Równania różniczkowe ze specjalną tabelą po prawej stronie. Liniowe niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami

Struktura rozwiązania ogólnego

Liniowe równanie niejednorodne tego typu ma postać:

gdzie p, q− liczby stałe (które mogą być zarówno rzeczywiste, jak i zespolone). Dla każdego takiego równania można napisać odpowiednie jednorodne równanie:

Twierdzenie: Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego y 0 (x) odpowiedniego jednorodnego równania i konkretnego rozwiązania y 1 (x) równania niejednorodnego:

Poniżej rozważamy dwie metody rozwiązywania niejednorodnych równań różniczkowych.

Metoda stałej zmienności

Jeśli ogólne rozwiązanie y 0 powiązanego równania jednorodnego jest znane, to ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego można znaleźć za pomocą metoda stałej zmienności. Niech ogólne rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu ma postać:

Zamiast stałego C 1 i C 2 rozważymy funkcje pomocnicze C 1 (x) oraz C 2 (x). Będziemy szukać tych funkcji tak, że rozwiązanie

spełnia równanie niejednorodne z prawą stroną f(x). Nieznane funkcje C 1 (x) oraz C 2 (x) wyznacza się z układu dwóch równań:

Metoda współczynników nieokreślonych

Prawa część f(x) niejednorodnego równania różniczkowego jest często wielomianem, funkcją wykładniczą lub trygonometryczną lub pewną kombinacją tych funkcji. W takim przypadku wygodniej jest znaleźć rozwiązanie za pomocą metoda niepewnych współczynników. Podkreślamy, że ta metoda działa tylko dla ograniczonej klasy funkcji po prawej stronie, np

W obu przypadkach wybór konkretnego rozwiązania musi odpowiadać strukturze prawej strony niejednorodnego równania różniczkowego. W przypadku 1, jeśli liczba α w funkcji wykładniczej pokrywa się z pierwiastkiem równania charakterystycznego, to dane rozwiązanie będzie zawierało dodatkowy czynnik x s, gdzie s− krotność pierwiastka α w charakterystycznym równaniu. W przypadku 2, jeśli liczba α + βi pokrywa się z pierwiastkiem równania charakterystycznego, to wyrażenie dla konkretnego rozwiązania będzie zawierało dodatkowy czynnik x. Nieznane współczynniki można wyznaczyć, podstawiając znalezione wyrażenie dla konkretnego rozwiązania do pierwotnego niejednorodnego równania różniczkowego.

Zasada superpozycji

Jeśli prawa strona niejednorodnego równania jest ilość kilka funkcji formularza

wtedy rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego będzie również suma rozwiązań szczegółowych skonstruowanych oddzielnie dla każdego wyrazu po prawej stronie.

Przykład 1

Rozwiąż równanie różniczkowe y"" + y= grzech(2 x).

Rozwiązanie.

Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne y"" + y= 0. W tym przypadku pierwiastki charakterystycznego równania są czysto urojone:

Dlatego ogólne rozwiązanie równania jednorodnego jest podane przez

Wróćmy jeszcze do równania niejednorodnego. Jego rozwiązania będziemy szukać w postaci

stosując metodę wariacji stałych. Funkcje C 1 (x) oraz C 2 (x) można znaleźć z następującego układu równań:

Wyrażamy pochodną C 1 " (x) z pierwszego równania:

Podstawiając do drugiego równania, znajdujemy pochodną C 2 " (x):

Stąd wynika, że

Wyrażenia całkujące dla pochodnych C 1 " (x) oraz C 2 " (x), otrzymujemy:

gdzie A 1 , A 2 − stałe całkowania. Teraz podstawiamy znalezione funkcje C 1 (x) oraz C 2 (x) do wzoru na y 1 (x) i napisz ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego:

Przykład 2

Znajdź ogólne rozwiązanie równania y"" + y" −6y = 36x.

Rozwiązanie.

Skorzystajmy z metody nieoznaczonych współczynników. Prawa strona podanego równania jest funkcją liniową f(x)= topór + b. Dlatego będziemy szukać konkretnego rozwiązania w formularzu

Pochodne to:

Podstawiając to do równania różniczkowego, otrzymujemy:

Ostatnie równanie jest tożsamością, to znaczy jest ważne dla wszystkich x, więc przyrównujemy współczynniki wyrazów o tych samych potęgach x po lewej i prawej stronie:

Z powstałego układu znajdujemy: A = −6, B= −1. W rezultacie konkretne rozwiązanie jest zapisywane w formularzu

Teraz znajdźmy ogólne rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego. Obliczmy pierwiastki pomocniczego równania charakterystycznego:

Dlatego ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego ma postać:

Tak więc ogólne rozwiązanie pierwotnego niejednorodnego równania jest wyrażone wzorem

Całka ogólna DE.

Rozwiąż równanie różniczkowe

Ale zabawne jest to, że odpowiedź jest już znana: dokładniej, musimy również dodać stałą: całka ogólna jest rozwiązaniem równania różniczkowego.

Metoda wariacji dowolnych stałych. Przykłady rozwiązań

Metoda wariacji dowolnych stałych służy do rozwiązywania niejednorodnych równań różniczkowych. Ta lekcja jest przeznaczona dla tych uczniów, którzy są już mniej lub bardziej zaznajomieni z tematem. Jeśli dopiero zaczynasz zapoznawać się z pilotem, tj. Jeśli jesteś czajnikiem, polecam zacząć od pierwszej lekcji: Równania różniczkowe pierwszego rzędu. Przykłady rozwiązań. A jeśli już kończysz, proszę odrzuć ewentualne z góry przyjęte przekonanie, że metoda jest trudna. Bo on jest prosty.

W jakich przypadkach stosuje się metodę wariacji dowolnych stałych?

1) Do rozwiązania można zastosować metodę wariacji dowolnej stałej liniowy niejednorodny DE pierwszego rzędu. Ponieważ równanie jest pierwszego rzędu, to stała (stała) również jest równa jeden.

2) Do niektórych rozwiązań stosuje się metodę wariacji dowolnych stałych liniowe równania niejednorodne drugiego rzędu. Tutaj zmieniają się dwie stałe (stałe).

Logiczne jest założenie, że lekcja będzie składać się z dwóch akapitów .... Napisałem tę propozycję i przez około 10 minut boleśnie myślałem, jakie jeszcze mądre bzdury dodać, aby płynnie przejść do praktycznych przykładów. Ale z jakiegoś powodu nie ma myśli po wakacjach, chociaż wydaje się, że niczego nie nadużyłem. Przejdźmy więc od razu do pierwszego akapitu.

Metoda dowolnej stałej zmienności dla liniowego niejednorodnego równania pierwszego rzędu

Przed rozważeniem metody zmiany dowolnej stałej pożądane jest zapoznanie się z artykułem Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu. Na tej lekcji ćwiczyliśmy pierwszy sposób rozwiązania niejednorodny DE pierwszego rzędu. To pierwsze rozwiązanie, przypominam, nazywa się metoda zastępcza lub Metoda Bernoulliego(nie mylić z Równanie Bernoulliego!!!)

Rozważymy teraz drugi sposób rozwiązania– metoda wariacji dowolnej stałej. Podam tylko trzy przykłady i wezmę je z powyższej lekcji. Dlaczego tak mało? Bo tak naprawdę rozwiązanie w drugi sposób będzie bardzo podobne do rozwiązania w pierwszy sposób. Ponadto, zgodnie z moimi obserwacjami, metoda wariacji dowolnych stałych jest stosowana rzadziej niż metoda zastępcza.

Przykład 1

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego (Diffur z przykładu nr 2 lekcji Liniowy niejednorodny DE pierwszego rzędu)

Rozwiązanie: To równanie jest liniowo niejednorodne i ma znajomą postać:

Na pierwszym etapie konieczne jest rozwiązanie prostszego równania: To znaczy głupio resetujemy prawą stronę - zamiast tego piszemy zero. Równanie, które wywołam równanie pomocnicze.

W tym przykładzie musisz rozwiązać następujące równanie pomocnicze:

Przed nami równanie rozdzielne, którego rozwiązanie (mam nadzieję) nie jest już dla Ciebie trudne:

Zatem: jest rozwiązaniem ogólnym równania pomocniczego .

Na drugim stopniu zastąpić stała niektórych już nieznana funkcja zależna od „x”:

Stąd nazwa metody - zmieniamy stałą. Alternatywnie stałą może być jakaś funkcja, którą musimy teraz znaleźć.

W oryginał równanie niejednorodne, dokonamy zamiany:

Podstaw w równaniu:

moment kontrolny - dwa wyrazy po lewej stronie anulują się. Jeśli tak się nie stanie, powinieneś poszukać powyższego błędu.

W wyniku zamiany otrzymuje się równanie ze zmiennymi rozdzielnymi. Oddziel zmienne i zintegruj.

Co za błogosławieństwo, wykładniki też się kurczą:

Do znalezionej funkcji dodajemy „normalną” stałą:

Na ostatnim etapie przypominamy sobie naszą wymianę:

Funkcja właśnie znaleziona!

Więc ogólne rozwiązanie to:

Odpowiadać: wspólna decyzja:

Jeśli wydrukujesz oba rozwiązania, łatwo zauważysz, że w obu przypadkach znaleźliśmy te same całki. Jedyna różnica polega na algorytmie rozwiązania.

Teraz coś bardziej skomplikowanego, skomentuję też drugi przykład:

Przykład 2

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego (Diffur z przykładu nr 8 lekcji Liniowy niejednorodny DE pierwszego rzędu)

Rozwiązanie: Doprowadźmy równanie do postaci:

Ustaw prawą stronę na zero i rozwiąż równanie pomocnicze:

Rozdziel zmienne i zintegruj: Ogólne rozwiązanie równania pomocniczego:

W równaniu niejednorodnym dokonamy podstawienia:

Zgodnie z zasadą różnicowania produktów:

Podstaw i do pierwotnego niejednorodnego równania:

Dwa wyrazy po lewej stronie znoszą się, co oznacza, że jesteśmy na dobrej drodze:

Całkujemy przez części. Smakowita litera ze wzoru na całkowanie przez części jest już zaangażowana w rozwiązanie, więc używamy np. liter „a” i „być”:

Ostatecznie:

Teraz spójrzmy na zamiennik:

Odpowiadać: wspólna decyzja:

Metoda wariacji dowolnych stałych dla liniowego niejednorodnego równania drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami

Często słyszeliśmy opinię, że metoda wariacji dowolnych stałych dla równania drugiego rzędu nie jest rzeczą łatwą. Ale domyślam się, co następuje: najprawdopodobniej metoda wydaje się trudna dla wielu, ponieważ nie jest tak powszechna. Ale w rzeczywistości nie ma szczególnych trudności - przebieg decyzji jest jasny, przejrzysty i zrozumiały. I piękny.

Aby opanować metodę, pożądana jest umiejętność rozwiązywania niejednorodnych równań drugiego rzędu poprzez wybór konkretnego rozwiązania zgodnie z postacią prawej strony. Ta metoda została szczegółowo omówiona w artykule. Niejednorodne DE drugiego rzędu. Przypomnijmy, że niejednorodne równanie liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać:

Metoda selekcji, która została omówiona w powyższej lekcji, działa tylko w ograniczonej liczbie przypadków, gdy wielomiany, wykładniki, sinusy, cosinusy znajdują się po prawej stronie. Ale co zrobić, gdy po prawej stronie np. ułamek, logarytm, tangens? W takiej sytuacji z pomocą przychodzi metoda wariacji stałych.

Przykład 4

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego drugiego rzędu

Rozwiązanie: Po prawej stronie tego równania jest ułamek, więc od razu możemy powiedzieć, że metoda wyboru konkretnego rozwiązania nie działa. Korzystamy z metody wariacji dowolnych stałych.

Nic nie zwiastuje burzy, początek rozwiązania jest dość zwyczajny:

Znajdźmy wspólna decyzja odpowiedni jednorodny równania:

Tworzymy i rozwiązujemy równanie charakterystyczne: – otrzymujemy sprzężone pierwiastki zespolone, więc ogólne rozwiązanie to:

Zwróć uwagę na zapis rozwiązania ogólnego - jeśli są nawiasy, otwórz je.

Teraz robimy prawie tę samą sztuczkę, co w przypadku równania pierwszego rzędu: zmieniamy stałe , zastępując je nieznanymi funkcjami . To znaczy, ogólne rozwiązanie niejednorodności Będziemy szukać równań w postaci:

Gdzie - już nieznane funkcje.

Wygląda jak wysypisko śmieci, ale teraz wszystko posortujemy.

Pochodne funkcji działają jak niewiadome. Naszym celem jest znalezienie pochodnych, a znalezione pochodne muszą spełniać zarówno pierwsze, jak i drugie równanie układu.

Skąd się biorą „gry”? Przynosi je bocian. Patrzymy na wcześniej otrzymane ogólne rozwiązanie i piszemy:

Znajdźmy pochodne:

Zajmował się lewą stroną. Co jest po prawej stronie?

jest prawą stroną pierwotnego równania, w tym przypadku:

Artykuł ten ujawnia kwestię rozwiązywania liniowych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami. Teoria zostanie omówiona wraz z przykładami zadanych problemów. Aby rozszyfrować niezrozumiałe pojęcia, konieczne jest odwołanie się do tematu podstawowych definicji i pojęć teorii równań różniczkowych.

Rozważ liniowe równanie różniczkowe (LDE) drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami postaci y "" + p y " + q y \u003d fa (x) , gdzie p i q są dowolnymi liczbami, a istniejąca funkcja f (x) to ciągła na przedziale całkowania x .

Przejdźmy do sformułowania ogólnego twierdzenia o rozwiązaniu dla LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ogólne twierdzenie o rozwiązaniu dla LDNU

Twierdzenie 1

Rozwiązanie ogólne, znajdujące się na przedziale x, niejednorodnego równania różniczkowego postaci y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + fa 0 (x) y = fa (x) ze współczynnikami całkowania ciągłego na przedziale x fa 0 (x) , fa 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) i funkcja ciągła f (x) jest równa sumie rozwiązania ogólnego y 0 , które odpowiada LODE, i jakiegoś szczególnego rozwiązania y ~ , gdzie pierwotne równanie niejednorodne to y = y 0 + y ~ .

To pokazuje, że rozwiązanie takiego równania drugiego rzędu ma postać y = y 0 + y ~ . Algorytm znajdowania y 0 jest rozważany w artykule na temat liniowych jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami. Następnie należy przejść do definicji y ~ .

Wybór konkretnego rozwiązania LIDE zależy od rodzaju dostępnej funkcji f(x) znajdującej się po prawej stronie równania. Aby to zrobić, należy osobno rozważyć rozwiązania liniowych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami.

Kiedy f (x) jest uważane za wielomian n-tego stopnia f (x) = P n (x) , wynika z tego, że określone rozwiązanie LIDE można znaleźć za pomocą wzoru postaci y ~ = Q n (x ) x γ , gdzie Q n ( x) jest wielomianem stopnia n, r jest liczbą pierwiastków zerowych równania charakterystycznego. Wartość y ~ to konkretne rozwiązanie y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , to dostępne współczynniki, które są określone wielomianem
Q n (x) , znajdujemy metodą nieokreślonych współczynników z równości y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Przykład 1

Oblicz używając twierdzenia Cauchy'ego y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Rozwiązanie

Innymi słowy, konieczne jest przejście do konkretnego rozwiązania liniowego niejednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach y "" - 2 y " = x 2 + 1 , które spełni podane warunki y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Ogólne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania jest sumą ogólnego rozwiązania odpowiadającego równaniu y 0 lub szczególnemu rozwiązaniu niejednorodnego równania y ~ , to znaczy y = y 0 + y ~ .

Najpierw znajdźmy ogólne rozwiązanie dla LNDE, a następnie konkretne.

Przejdźmy do znalezienia y 0 . Zapisanie charakterystycznego równania pomoże znaleźć pierwiastki. Rozumiemy to

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Odkryliśmy, że korzenie są inne i prawdziwe. Dlatego piszemy

y 0 \u003d do 1 mi 0 x + do 2 mi 2 x \u003d do 1 + do 2 mi 2 x.

Znajdźmy y ~ . Widać, że prawa strona podanego równania jest wielomianem drugiego stopnia, wtedy jeden z pierwiastków jest równy zeru. Stąd otrzymujemy, że określone rozwiązanie dla y ~ będzie

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, gdzie wartości A, B, C przyjąć niezdefiniowane współczynniki.

Znajdźmy je z równości postaci y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Wtedy otrzymujemy, że:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + do x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + do x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Zrównując współczynniki z tymi samymi wykładnikami x , otrzymujemy układ wyrażeń liniowych - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Rozwiązując w dowolny sposób, znajdujemy współczynniki i piszemy: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 i y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Ten wpis jest nazywany ogólnym rozwiązaniem pierwotnego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami.

Aby znaleźć rozwiązanie spełniające warunki y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , należy wyznaczyć wartości C1 oraz C2, na podstawie równości postaci y \u003d do 1 + do 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Dostajemy to:

y (0) = do 1 + do 2 mi 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = do 1 + do 2 y "(0) = do 1 + do 2 mi 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 do 2 mi 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 do 2 - 3 4

Pracujemy z otrzymanym układem równań postaci C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , gdzie C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Stosując twierdzenie Cauchy'ego mamy to

y = do 1 + do 2 mi 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 mi 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Odpowiadać: 3 2 + 1 2 mi 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Gdy funkcja f (x) jest reprezentowana jako iloczyn wielomianu o stopniu n i wykładniku f (x) = P n (x) e a x , to stąd otrzymujemy, że szczególnym rozwiązaniem LIDE drugiego rzędu będzie równanie postaci y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , gdzie Q n (x) jest wielomianem n-tego stopnia, a r jest liczbą pierwiastków równania charakterystycznego równą α .

Współczynniki należące do Q n (x) znajdują się na podstawie równości y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Przykład 2

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego postaci y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Rozwiązanie

Ogólne równanie y = y 0 + y ~ . Wskazane równanie odpowiada LOD y "" - 2 y " = 0. Poprzedni przykład pokazuje, że jego pierwiastki są k1 = 0 i k 2 = 2 i y 0 = do 1 + do 2 e 2 x zgodnie z równaniem charakterystycznym.

Można zauważyć, że prawa strona równania to x 2 + 1 · e x . Stąd LNDE znajduje się poprzez y ~ = e a x Q n (x) x γ , gdzie Q n (x) , który jest wielomianem drugiego stopnia, gdzie α = 1 i r = 0 , ponieważ równanie charakterystyczne nie mieć pierwiastek równy 1 . Stąd to rozumiemy

y ~ = mi za x Q n (x) x γ = mi x ZA x 2 + b x + do x 0 = mi x ZA x 2 + b x + do .

A, B, C to nieznane współczynniki, które można znaleźć z równości y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Zrozumiałeś

y ~ "= mi x ZA x 2 + B x + do" = mi x ZA x 2 + B x + do + mi x 2 ZA x + B == mi x ZA x 2 + x 2 A + B + B + do y ~ " " = mi x ZA x 2 + x 2 ZA + B + B + do " = = mi x ZA x 2 + x 2 ZA + B + B + do + mi x 2 ZA x + 2 ZA + B = = mi x ZA x 2 + x 4 ZA + B + 2 ZA + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) mi x ⇔ mi x ZA x 2 + x 4 ZA + B + 2 ZA + 2 B + do - - 2 mi x ZA x 2 + x 2 ZA + B + B + C = x 2 + 1 mi x ⇔ mi x - ZA x 2 - B x + 2 ZA - do = (x 2 + 1) mi x ⇔ - ZA x 2 - B x + 2 ZA - do = x 2 + 1 ⇔ - ZA x 2 - B x + 2 ZA - do = 1 x 2 + 0 x + 1

Zrównujemy wskaźniki dla tych samych współczynników i otrzymujemy układ równań liniowych. Stąd znajdujemy A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ ZA = - 1 B = 0 C = - 3

Odpowiadać: widać, że y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 jest szczególnym rozwiązaniem LIDE, a y = y 0 + y = do 1 mi 2 x - mi x · x 2 + 3

Gdy funkcja jest zapisana jako f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , oraz 1 oraz W 1 są liczbami, to równanie postaci y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , gdzie A i B są uważane za współczynniki nieokreślone, a r liczba zespolonych pierwiastków związanych z równaniem charakterystycznym równa ± ja β . W tym przypadku wyszukiwanie współczynników odbywa się za pomocą równości y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Przykład 3

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego postaci y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 grzech (2 x) .

Rozwiązanie

Przed zapisaniem równania charakterystycznego znajdujemy y 0 . Następnie

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 ja, k 2 \u003d - 2 ja

Mamy parę złożonych sprzężonych korzeni. Przekształcamy i otrzymujemy:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + do 2 grzech (2 x)) \u003d do 1 cos 2 x + do 2 grzech (2 x)

Pierwiastki z równania charakterystycznego są uważane za parę sprzężoną ± 2 i , wtedy f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . To pokazuje, że wyszukiwanie y ~ zostanie wykonane z y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Niewiadome współczynniki A i B będą poszukiwane z równości postaci y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

przekształćmy:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B grzech (2 x)) x - 2 A grzech (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A grzech (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Wtedy to widać

y ~ "" + 4 y ~ = sałata (2 x) + 3 grzech (2 x) ⇔ (- 4 A sałata (2 x) - 4 B grzech (2 x)) x - 4 A grzech (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B grzech (2 x)) x = cos (2 x) + 3 grzech (2 x) ⇔ - 4 A grzech (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 grzech(2x)

Konieczne jest zrównanie współczynników sinusów i cosinusów. Otrzymujemy układ postaci:

4 ZA = 3 4 B = 1 ⇔ ZA = - 3 4 B = 1 4

Wynika z tego, że y ~ = (A sałata (2 x) + B grzech (2 x) x = - 3 4 sałata (2 x) + 1 4 grzech (2 x) x .

Odpowiadać: uważa się, że ogólne rozwiązanie pierwotnego LIDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami jest

y = y 0 + y ~ = = do 1 sałata (2 x) + do 2 grzech (2 x) + - 3 4 sałata (2 x) + 1 4 grzech (2 x) x

Gdy f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , to y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Mamy, że r jest liczbą zespolonych par pierwiastków związanych z równaniem charakterystycznym, równą α ± i β , gdzie P n (x) , Q k (x) , L m ( x) i Nm (x) są wielomianami stopnia n, k, m, gdzie m = m za x (n, k). Znajdowanie współczynników dł.m (x) oraz Nm (x) jest tworzony na podstawie równości y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Przykład 4

Znajdź rozwiązanie ogólne y "" + 3 y " + 2 y = - mi 3 x ((38 x + 45) grzech (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Rozwiązanie

Z warunku wynika, że

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Wtedy m = m za x (n , k) = 1 . Znajdujemy y 0, najpierw pisząc charakterystyczne równanie postaci:

k 2 - 3 k + 2 = 0 re = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Odkryliśmy, że korzenie są prawdziwe i wyraźne. Stąd y 0 = do 1 mi x + do 2 mi 2 x . Następnie należy szukać ogólnego rozwiązania opartego na niejednorodnym równaniu y ~ postaci

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) grzech (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) sałata (5 x) + (C x + D) grzech (5 x))

Wiadomo, że A, B, C są współczynnikami, r = 0, ponieważ nie ma pary pierwiastków sprzężonych związanych z równaniem charakterystycznym z α ± i β = 3 ± 5 · i . Współczynniki te można znaleźć na podstawie otrzymanej równości:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - mi 3 x ((38 x + 45) grzech (5 x) + (8 x - 5) sałata (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) sałata (5 x) + (C x + D) grzech (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) sałata (5 x) + (C x + D) grzech (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) grzech (5 x) + (8 x - 5) sałata (5 x))

Znalezienie pochodnej i podobnych terminów daje

mi 3 x ((15 A + 23 C) x grzech (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) sałata (5 x)) = = - e 3 x (38 x grzech (5 x) + 45 grzech (5 x) + + 8 x sałata ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Po zrównaniu współczynników otrzymujemy układ postaci

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 P + 23 C = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 re = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Ze wszystkiego wynika, że

y ~= e 3 x ((A x + B) sałata (5 x) + (C x + D) grzech (5 x)) == e 3 x ((x + 1) sałata (5 x) + (x +1)grzech(5x))

Odpowiadać: teraz otrzymano rozwiązanie ogólne podanego równania liniowego:

y = y 0 + y ~ = = do 1 mi x + do 2 mi 2 x + mi 3 x ((x + 1) sałata (5 x) + (x + 1) grzech (5 x))

Algorytm rozwiązywania LDNU

Definicja 1

Dowolny inny rodzaj funkcji f (x) dla rozwiązania przewiduje algorytm rozwiązania:

znalezienie ogólnego rozwiązania odpowiedniego liniowego równania jednorodnego, gdzie y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , gdzie y 1 oraz y2 są liniowo niezależnymi rozwiązaniami szczególnymi LODE, Od 1 oraz od 2 są uważane za dowolne stałe;
przyjęcie jako rozwiązania ogólnego LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
definicja pochodnych funkcji poprzez układ postaci C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , i znajdowanie funkcji C 1 (x) i C2(x) przez całkowanie.

Przykład 5

Znajdź ogólne rozwiązanie dla y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Rozwiązanie

Przystępujemy do pisania równania charakterystycznego, po uprzednim napisaniu y 0 , y "" + 36 y = 0 . Napiszmy i rozwiążmy:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 ja , k 2 = - 6 ja ⇒ y 0 = do 1 sałata (6 x) + do 2 grzech (6 x) ⇒ y 1 (x) = sałata (6 x) , y 2 (x) = grzech (6 x)

Mamy, że zapis rozwiązania ogólnego podanego równania przyjmie postać y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Należy przejść do definicji funkcji pochodnych C 1 (x) oraz C2(x) według układu z równaniami:

do 1 "(x) cos (6 x) + do 2" (x) grzech (6 x) = 0 do 1 "(x) (cos (6 x))" + do 2 "(x) (grzech (6 x)) " = 0 ⇔ do 1 " (x) sałata (6 x) + do 2 " (x) grzech (6 x) = 0 do 1 " (x) (- 6 grzech (6 x) + do 2 " (x) (6 sałat (6 x)) \u003d \u003d 24 grzech (6 x) - 12 sałat (6 x) + 36 mi 6 x

Należy podjąć decyzję dot C 1 "(x) oraz C2" (x) przy użyciu dowolnej metody. Następnie piszemy:

C 1 "(x) \u003d - 4 grzech 2 (6 x) + 2 grzech (6 x) sałata (6 x) - 6 e 6 x grzech (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 grzech (6 x) sałata (6 x) - 2 sałata 2 (6 x) + 6 e 6 x sałata (6 x)

Każde z równań należy scałkować. Następnie zapisujemy otrzymane równania:

do 1 (x) = 1 3 grzech (6 x) sałata (6 x) - 2 x - 1 6 sałata 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x sałata (6 x) - 1 2 mi 6 x grzech ( 6 x) + do 3 do 2 (x) = - 1 6 grzech (6 x) sałata (6 x) - x - 1 3 sałata 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x sałata (6 x) + 1 2 mi 6 x grzech (6 x) + do 4

Wynika z tego, że rozwiązanie ogólne będzie miało postać:

y = 1 3 grzech (6 x) sałata (6 x) - 2 x - 1 6 sałata 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x sałata (6 x) - 1 2 mi 6 x grzech (6 x) + do 3 sałata (6 x) + + - 1 6 grzech (6 x) sałata (6 x) - x - 1 3 sałata 2 (6 x) + + 1 2 mi 6 x sałata (6 x) + 1 2 mi 6 x grzech (6 x) + do 4 grzech (6 x) = = - 2 x sałata (6 x) - x grzech (6 x) - 1 6 sałata (6 x) + + 1 2 mi 6 x + do 3 sałata (6 x) + C 4 grzech (6 x)

Odpowiadać: y = y 0 + y ~ = - 2 x sałata (6 x) - x grzech (6 x) - 1 6 sałata (6 x) + + 1 2 e 6 x + do 3 sałata (6 x) + do 4 grzech (6x)

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Podstawy rozwiązywania liniowych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu (LNDE-2) o stałych współczynnikach (PC)

CLDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami $p$ i $q$ ma postać $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, gdzie $f\left( x \right)$ jest funkcją ciągłą.

Poniższe dwa stwierdzenia są prawdziwe w odniesieniu do drugiego LNDE z PC.

Załóżmy, że pewna funkcja $U$ jest dowolnym rozwiązaniem szczególnym niejednorodnego równania różniczkowego. Załóżmy również, że pewna funkcja $Y$ jest rozwiązaniem ogólnym (OR) odpowiedniego liniowego jednorodnego równania różniczkowego (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Wtedy OR funkcji LHDE-2 jest równe sumie wskazanych rozwiązań prywatnych i ogólnych, czyli $y=U+Y$.

Jeśli prawa strona LIDE drugiego rzędu jest sumą funkcji, to znaczy $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+...+f_(r) \left(x\right)$, to najpierw możesz znaleźć PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $, które odpowiadają każdemu z funkcji $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, a następnie napisz LNDE-2 PD jako $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Rozwiązanie 2. rzędu LNDE z PC

Oczywiście postać takiego czy innego PD $U$ danego LNDE-2 zależy od konkretnej postaci jego prawej strony $f\left(x\right)$. Najprostsze przypadki poszukiwania PD LNDE-2 są sformułowane jako następujące cztery reguły.

Zasada numer 1.

Prawa strona LNDE-2 ma postać $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, gdzie $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, czyli nazywa się wielomian stopnia $n$. Wtedy szuka się jej PR $U$ w postaci $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, gdzie $Q_(n) \left(x\right)$ jest inną wielomian tego samego stopnia co $P_(n) \left(x\right)$, a $r$ to liczba pierwiastków zerowych równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2. Współczynniki wielomianu $Q_(n) \left(x\right)$ wyznaczamy metodą współczynników nieokreślonych (NC).

Zasada numer 2.

Prawa strona LNDE-2 ma postać $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, gdzie $P_(n) \left( x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, gdzie $Q_(n ) \ left(x\right)$ to kolejny wielomian tego samego stopnia co $P_(n) \left(x\right)$, a $r$ to liczba pierwiastków charakterystycznego równania odpowiedniego LODE-2 równy $\alfa $. Współczynniki wielomianu $Q_(n) \left(x\right)$ znajdują się metodą NK.

Zasada numer 3.

Prawa część LNDE-2 ma postać $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, gdzie $a$, $b$ i $\beta $ to znane liczby. Następnie szukane jest jego PD $U$ w postaci $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) )\right )\cdot x^(r) $, gdzie $A$ i $B$ to nieznane współczynniki, a $r$ to liczba pierwiastków charakterystycznego równania odpowiedniego LODE-2 równa $i\cdot \beta $. Współczynniki $A$ i $B$ wyznacza się metodą NDT.

Zasada numer 4.

Prawa strona LNDE-2 ma postać $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, gdzie $P_(n) \left(x\right)$ to wielomian stopnia $n$, a $P_(m) \left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $m$. Następnie szukane jest jego PD $U$ w postaci $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, gdzie $Q_(s) \left(x\right) $ i $ R_(s) \left(x\right)$ to wielomiany stopnia $s$, liczba $s$ to maksimum dwóch liczb $n$ i $m$, a $r$ to liczba pierwiastki równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2, równe $\alpha +i\cdot \beta $. Współczynniki wielomianów $Q_(s) \left(x\right)$ i $R_(s) \left(x\right)$ znajdują się metodą NK.

Metoda NK polega na zastosowaniu następującej zasady. Aby znaleźć nieznane współczynniki wielomianu, które wchodzą w skład rozwiązania szczególnego niejednorodnego równania różniczkowego LNDE-2, należy:

zastąpić PD $U$, zapisane w formie ogólnej, w lewej części LNDE-2;
po lewej stronie LNDE-2 wykonaj uproszczenia i pogrupuj wyrazy o tych samych potęgach $x$;
w otrzymanej tożsamości zrównaj współczynniki wyrazów z takimi samymi potęgami $x$ lewej i prawej strony;
rozwiązać otrzymany układ równań liniowych dla nieznanych współczynników.

Przykład 1

Zadanie: znajdź OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Znajdź także PR , spełniając warunki początkowe $y=6$ dla $x=0$ i $y"=1$ dla $x=0$.

Wpisz odpowiednią LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Równanie charakterystyczne: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Pierwiastki równania charakterystycznego: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Te korzenie są prawdziwe i odrębne. Zatem LUB odpowiedniego LODE-2 ma postać: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Prawa część tego LNDE-2 ma postać $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Należy wziąć pod uwagę współczynnik wykładnika wykładnika wykładnika $\alpha =3$. Współczynnik ten nie pokrywa się z żadnym z pierwiastków równania charakterystycznego. Dlatego PR tego LNDE-2 ma postać $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Współczynników $A$, $B$ będziemy szukać metodą NK.

Znajdujemy pierwszą pochodną CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Znajdujemy drugą pochodną CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Podstawiamy funkcje $U""$, $U"$ i $U$ zamiast $y""$, $y"$ i $y$ do danego LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ W tym samym czasie, ponieważ wykładnik $e^(3\cdot x) $ jest zawarty jako czynnik we wszystkich składnikach, to można go pominąć.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Wykonujemy akcje po lewej stronie wynikowej równości:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Stosujemy metodę NC. Otrzymujemy układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Rozwiązaniem tego układu jest: $A=-2$, $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ dla naszego problemu wygląda następująco: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

LUB $y=Y+U$ dla naszego problemu wygląda następująco: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Aby znaleźć PD spełniające podane warunki początkowe, znajdujemy pochodną $y"$ LUB:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

W $y$ i $y"$ podstawiamy warunki początkowe $y=6$ na $x=0$ i $y"=1$ na $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Otrzymaliśmy układ równań:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Rozwiązujemy to. $C_(1) $ znajdujemy za pomocą wzoru Cramera, a $C_(2) $ wyznaczamy z pierwszego równania:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(tablica)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(tablica)\right|)(\left|\ begin(tablica)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(tablica)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Zatem PD tego równania różniczkowego wynosi: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Wykład dotyczy LNDE - liniowych niejednorodnych równań różniczkowych. Uwzględniono strukturę rozwiązania ogólnego, rozwiązanie LNDE metodą wariacji dowolnych stałych, rozwiązanie LNDE ze stałymi współczynnikami i prawą stronę postaci specjalnej. Rozważane zagadnienia są wykorzystywane w badaniu drgań wymuszonych w fizyce, elektrotechnice i elektronice oraz teorii automatyki.

1. Struktura rozwiązania ogólnego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego II rzędu.

Rozważmy najpierw liniowe niejednorodne równanie dowolnego rzędu:

Biorąc pod uwagę notację, możemy napisać:

W tym przypadku założymy, że współczynniki i prawa strona tego równania są ciągłe w pewnym przedziale.

Twierdzenie. Ogólne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania różniczkowego w jakiejś dziedzinie jest sumą dowolnego z jego rozwiązań i ogólnym rozwiązaniem odpowiedniego liniowego jednorodnego równania różniczkowego.

Dowód. Niech Y będzie pewnym rozwiązaniem niejednorodnego równania.

Następnie, podstawiając to rozwiązanie do pierwotnego równania, otrzymujemy tożsamość:

Wynajmować
- podstawowy układ rozwiązań liniowego równania jednorodnego
. Wtedy ogólne rozwiązanie równania jednorodnego można zapisać jako:

W szczególności dla liniowego niejednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu struktura rozwiązania ogólnego ma postać:

gdzie
jest podstawowym układem rozwiązań odpowiedniego jednorodnego równania i
- dowolne szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego.

Zatem, aby rozwiązać liniowe niejednorodne równanie różniczkowe, konieczne jest znalezienie ogólnego rozwiązania odpowiedniego równania jednorodnego i jakoś znalezienie jednego szczególnego rozwiązania niejednorodnego równania. Zwykle znajduje się przez selekcję. Sposoby wyboru konkretnego rozwiązania zostaną omówione w kolejnych pytaniach.

2. Metoda zmienności

W praktyce wygodnie jest zastosować metodę wariacji dowolnych stałych.

Aby to zrobić, najpierw znajdź ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego w postaci:

Następnie ustawienie współczynników C i funkcje od X, poszukuje się rozwiązania równania niejednorodnego:

Można to pokazać, aby znaleźć funkcje C i (x) musisz rozwiązać układ równań:

Przykład. Rozwiązać równanie

Rozwiązujemy liniowe równanie jednorodne

Rozwiązanie niejednorodnego równania będzie wyglądać następująco:

Tworzymy układ równań:

Rozwiążmy ten układ:

Z relacji znajdujemy funkcję Oh).

Teraz znajdujemy B(x).

Otrzymane wartości podstawiamy do wzoru na ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego:

Ostatnia odpowiedź:

Ogólnie rzecz biorąc, metoda wariacji dowolnych stałych jest odpowiednia do znajdowania rozwiązań dowolnego liniowego równania niejednorodnego. Lecz odkąd znalezienie podstawowego układu rozwiązań odpowiedniego równania jednorodnego może być dość trudnym zadaniem, metoda ta jest stosowana głównie do równań niejednorodnych o stałych współczynnikach.

3. Równania z prawą stroną postaci specjalnej

Wydaje się możliwe przedstawienie postaci konkretnego rozwiązania w zależności od postaci prawej strony równania niejednorodnego.

Istnieją następujące przypadki:

I. Prawa strona liniowego niejednorodnego równania różniczkowego ma postać:

gdzie jest wielomianem stopnia m.

Następnie szuka się konkretnego rozwiązania w postaci:

Tutaj Q(x) jest wielomianem tego samego stopnia co P(x) , ale z niezdefiniowanymi współczynnikami i r- liczba pokazująca, ile razy liczba  jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla odpowiedniego liniowego jednorodnego równania różniczkowego.

Przykład. Rozwiązać równanie
.

Rozwiązujemy odpowiednie jednorodne równanie:

Teraz znajdźmy konkretne rozwiązanie pierwotnego równania niejednorodnego.

Porównajmy prawą stronę równania z omówioną powyżej postacią prawej strony.

Poszukujemy konkretnego rozwiązania w postaci:
, gdzie

Tych.

Teraz definiujemy nieznane współczynniki ALE oraz W.

Podstawmy konkretne rozwiązanie w postaci ogólnej do pierwotnego niejednorodnego równania różniczkowego.

Tak więc prywatne rozwiązanie:

Następnie ogólne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania różniczkowego:

II. Prawa strona liniowego niejednorodnego równania różniczkowego ma postać:

Tutaj R 1 (X) oraz R 2 (X) są wielomianami stopnia m 1 i m 2 odpowiednio.

Wówczas rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego będzie miało postać:

gdzie numer r pokazuje, ile razy liczba
jest pierwiastkiem charakterystycznego równania dla odpowiedniego równania jednorodnego, oraz Q 1 (x) oraz Q 2 (x) – co najwyżej wielomiany stopnia m, gdzie m- największy ze stopni m 1 oraz m 2 .

Zestawienie typów poszczególnych rozwiązań

dla różnych rodzajów właściwych części

Prawa strona równania różniczkowego	równanie charakterystyczne	Rodzaje prywatnych
	1. Liczba nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego
	2. Liczba jest pierwiastkiem charakterystycznego równania krotności
	1. Numer nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego
	2. Numer jest pierwiastkiem charakterystycznego równania krotności
	1. Liczby
	2. Liczby są pierwiastkami charakterystycznego równania krotności
	1. Liczby nie są pierwiastkami charakterystycznego równania krotności
	2. Liczby są pierwiastkami charakterystycznego równania krotności

Należy zauważyć, że jeśli prawa strona równania jest kombinacją wyrażeń o postaci rozważanej powyżej, to rozwiązaniem jest kombinacja rozwiązań równań pomocniczych, z których każde ma prawą stronę odpowiadającą wyrażeniu zawartemu w kombinacji.

Tych. jeśli równanie wygląda następująco:
, to będzie rozwiązaniem szczególnym tego równania
gdzie w 1 oraz w 2 są szczególnymi rozwiązaniami równań pomocniczych