Logarytm liczby ujemnej. Definicja logarytmu i jego własności: teoria i rozwiązywanie problemów

Instrukcje

Zapisz podane wyrażenie logarytmiczne. Jeżeli w wyrażeniu używany jest logarytm liczby 10, to jego zapis ulega skróceniu i wygląda następująco: lg b jest logarytmem dziesiętnym. Jeżeli logarytm ma za podstawę liczbę e, to zapisz wyrażenie: ln b – logarytm naturalny. Rozumie się, że wynikiem any jest potęga, do której należy podnieść liczbę podstawową, aby otrzymać liczbę b.

Gdy znajdujesz sumę dwóch funkcji, wystarczy je rozróżnić i dodać wyniki: (u+v)" = u"+v";

Szukając pochodnej iloczynu dwóch funkcji należy pomnożyć pochodną pierwszej funkcji przez drugą i dodać pochodną drugiej funkcji pomnożoną przez pierwszą funkcję: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Aby znaleźć pochodną ilorazu dwóch funkcji, należy od iloczynu pochodnej dzielnej pomnożonej przez funkcję dzielnika odjąć iloczyn pochodnej dzielnika pomnożonej przez funkcję dzielnej i podzielić wszystko to przez funkcję dzielnika do kwadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jeśli podana jest funkcja złożona, należy pomnożyć pochodną funkcji wewnętrznej i pochodną funkcji zewnętrznej. Niech y=u(v(x)), wtedy y"(x)=y"(u)*v"(x).

Korzystając z wyników uzyskanych powyżej, można rozróżnić prawie każdą funkcję. Spójrzmy więc na kilka przykładów:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Istnieją również problemy związane z obliczaniem pochodnej w punkcie. Niech będzie podana funkcja y=e^(x^2+6x+5), należy znaleźć wartość funkcji w punkcie x=1.
1) Znajdź pochodną funkcji: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Oblicz wartość funkcji w danym punkcie y"(1)=8*e^0=8

Wideo na ten temat

Pomocna rada

Poznaj tabelę elementarnych pochodnych. Pozwoli to znacznie zaoszczędzić czas.

Źródła:

• pochodna stałej

Jaka jest więc różnica między równaniem irracjonalnym a równaniem racjonalnym? Jeśli nieznana zmienna znajduje się pod pierwiastkiem kwadratowym, równanie uważa się za niewymierne.

Instrukcje

Główną metodą rozwiązywania takich równań jest metoda konstruowania obu stron równania w kwadrat. Jednakże. jest to naturalne, pierwszą rzeczą, którą musisz zrobić, to pozbyć się znaku. Metoda ta nie jest trudna technicznie, lecz czasem może przysporzyć kłopotów. Na przykład równanie ma postać v(2x-5)=v(4x-7). Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymasz 2x-5 = 4x-7. Rozwiązanie takiego równania nie jest trudne; x=1. Ale numer 1 nie zostanie podany równania. Dlaczego? Podstaw jeden do równania zamiast wartości x. To znaczy prawa i lewa strona będą zawierać wyrażenia, które nie mają sensu. Ta wartość nie dotyczy pierwiastka kwadratowego. Dlatego 1 jest obcym pierwiastkiem i dlatego to równanie nie ma pierwiastków.

Zatem irracjonalne równanie rozwiązuje się metodą podniesienia obu jego stron do kwadratu. Po rozwiązaniu równania konieczne jest odcięcie obcych korzeni. Aby to zrobić, podstaw znalezione pierwiastki do pierwotnego równania.

Rozważ inny.
2х+vх-3=0
Oczywiście równanie to można rozwiązać za pomocą tego samego równania, co poprzednie. Przesuń związki równania, które nie mają pierwiastka kwadratowego, po prawej stronie, a następnie zastosuj metodę podniesienia do kwadratu. rozwiązać powstałe racjonalne równanie i pierwiastki. Ale także inny, bardziej elegancki. Wprowadź nową zmienną; vх=y. W związku z tym otrzymasz równanie w postaci 2y2+y-3=0. Oznacza to, że jest to zwykłe równanie kwadratowe. Znajdź swoje korzenie; y1=1 i y2=-3/2. Następnie rozwiąż dwa równania vх=1; vх=-3/2. Drugie równanie nie ma pierwiastków, z pierwszego wynika, że ​​x=1. Nie zapomnij sprawdzić korzeni.

Rozwiązywanie tożsamości jest dość proste. Aby to zrobić, należy przeprowadzić identyczne przekształcenia, aż do osiągnięcia założonego celu. Zatem za pomocą prostych działań arytmetycznych postawiony problem zostanie rozwiązany.

Będziesz potrzebować

• - papier;
• - długopis.

Instrukcje

Najprostszymi tego typu przekształceniami są algebraiczne skrócone mnożenia (takie jak kwadrat sumy (różnicy), różnica kwadratów, suma (różnica), sześcian sumy (różnica)). Ponadto istnieje wiele wzorów trygonometrycznych, które są zasadniczo tymi samymi tożsamościami.

Rzeczywiście, kwadrat sumy dwóch wyrazów jest równy kwadratowi pierwszego plus dwukrotność iloczynu pierwszego przez drugi plus kwadrat drugiego, czyli (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Uprość oba

Ogólne zasady rozwiązania

Zmienna metoda wymiany

Rozwiązywanie całek drugiego rodzaju

Podstawienie granic całkowych

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

W miarę rozwoju społeczeństwa i coraz bardziej złożonej produkcji rozwijała się także matematyka. Przejście od prostego do złożonego. Ze zwykłej księgowości metodą dodawania i odejmowania, z ich wielokrotnym powtarzaniem, doszliśmy do pojęcia mnożenia i dzielenia. Ograniczenie powtarzającej się operacji mnożenia stało się koncepcją potęgowania. Pierwsze tablice zależności liczb od podstawy i liczby potęgowań zostały opracowane już w VIII wieku przez indyjskiego matematyka Varasenę. Z nich można policzyć czas wystąpienia logarytmów.

Szkic historyczny

Odrodzenie Europy w XVI wieku pobudziło także rozwój mechaniki. T wymagało dużej ilości obliczeń związane z mnożeniem i dzieleniem liczb wielocyfrowych. Starożytne stoły były bardzo przydatne. Umożliwiły zastąpienie skomplikowanych operacji prostszymi - dodawaniem i odejmowaniem. Dużym krokiem naprzód była praca matematyka Michaela Stiefela, opublikowana w 1544 roku, w której zrealizował ideę wielu matematyków. Umożliwiło to wykorzystanie tablic nie tylko dla potęg w postaci liczb pierwszych, ale także dla dowolnych liczb wymiernych.

W 1614 r. Szkot John Napier, rozwijając te idee, po raz pierwszy wprowadził nowy termin „logarytm liczby”. Opracowano nowe złożone tabele do obliczania logarytmów sinusów i cosinusów, a także stycznych. To znacznie ograniczyło pracę astronomów.

Zaczęły pojawiać się nowe tablice, z których naukowcy z powodzeniem korzystali przez trzy stulecia. Minęło dużo czasu, zanim nowa operacja algebry uzyskała gotową formę. Podano definicję logarytmu i zbadano jego właściwości.

Dopiero w XX wieku, wraz z pojawieniem się kalkulatora i komputera, ludzkość porzuciła starożytne tablice, które z powodzeniem działały przez cały XIII wiek.

Dzisiaj nazywamy logarytm b opierając a na liczbie x, która jest potęgą a dającą b. Zapisuje się to jako wzór: x = log a(b).

Na przykład log 3(9) będzie równy 2. Jest to oczywiste, jeśli postępujesz zgodnie z definicją. Jeśli podniesiemy 3 do potęgi 2, otrzymamy 9.

Tak więc sformułowana definicja stawia tylko jedno ograniczenie: liczby a i b muszą być rzeczywiste.

Rodzaje logarytmów

Klasyczna definicja nazywa się logarytmem rzeczywistym i jest w rzeczywistości rozwiązaniem równania a x = b. Opcja a = 1 jest na granicy i nie jest interesująca. Uwaga: 1 do dowolnej potęgi równa się 1.

Rzeczywista wartość logarytmu zdefiniowane tylko wtedy, gdy podstawa i argument są większe niż 0, a podstawa nie może być równa 1.

Szczególne miejsce w dziedzinie matematyki zagraj w logarytmy, które będą nazywane w zależności od wielkości ich podstawy:

Zasady i ograniczenia

Podstawową właściwością logarytmów jest zasada: logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmicznej. log abp = log a(b) + log a(p).

Wariantem tego stwierdzenia będzie: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), funkcja ilorazu jest równa różnicy funkcji.

Z dwóch poprzednich reguł łatwo zauważyć, że: log a(b p) = p * log a(b).

Inne właściwości obejmują:

Komentarz. Nie ma potrzeby popełniać typowego błędu - logarytm sumy nie jest równy sumie logarytmów.

Przez wiele stuleci operacja znajdowania logarytmu była zadaniem dość czasochłonnym. Matematycy posługiwali się dobrze znanym wzorem logarytmicznej teorii rozwinięcia wielomianu:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), gdzie n jest liczbą naturalną większą od 1, która decyduje o dokładności obliczeń.

Logarytmy o innych podstawach obliczono, korzystając z twierdzenia o przejściu z jednej podstawy do drugiej i własności logarytmu iloczynu.

Ponieważ metoda ta jest bardzo pracochłonna i przy rozwiązywaniu problemów praktycznych trudne do wdrożenia, wykorzystaliśmy gotowe tablice logarytmów, co znacznie przyspieszyło całą pracę.

W niektórych przypadkach stosowano specjalnie zaprojektowane wykresy logarytmów, co dawało mniejszą dokładność, ale znacznie przyspieszało poszukiwanie pożądanej wartości. Krzywa funkcji y = log a(x), zbudowana w kilku punktach, pozwala za pomocą zwykłej linijki znaleźć wartość funkcji w dowolnym innym punkcie. Przez długi czas inżynierowie używali do tych celów tzw. papieru milimetrowego.

W XVII wieku pojawiły się pierwsze pomocnicze analogowe warunki obliczeniowe, które w XIX wieku uzyskały pełną formę. Najbardziej udane urządzenie nazwano suwakiem logarytmicznym. Pomimo prostoty urządzenia, jego wygląd znacznie przyspieszał proces wszelkich obliczeń inżynierskich, a to jest trudne do przecenienia. Obecnie niewiele osób zna to urządzenie.

Pojawienie się kalkulatorów i komputerów sprawiło, że korzystanie z jakichkolwiek innych urządzeń stało się bezcelowe.

Równania i nierówności

Aby rozwiązać różne równania i nierówności za pomocą logarytmów, stosuje się następujące wzory:

• Przechodzenie z jednej bazy do drugiej: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Konsekwencją poprzedniej opcji: log a(b) = 1 / log b(a).

Aby rozwiązać nierówności, warto wiedzieć:

• Wartość logarytmu będzie dodatnia tylko wtedy, gdy podstawa i argument będą większe lub mniejsze od jedności; jeżeli zostanie naruszony przynajmniej jeden warunek, wartość logarytmu będzie ujemna.
• Jeżeli funkcję logarytmu zastosujemy do prawej i lewej strony nierówności, a podstawa logarytmu jest większa niż jeden, to znak nierówności zostaje zachowany; inaczej to się zmienia.

Przykładowe problemy

Rozważmy kilka opcji użycia logarytmów i ich właściwości. Przykłady rozwiązywania równań:

Rozważ możliwość umieszczenia logarytmu w potędze:

• Zadanie 3. Oblicz 25^log 5(3). Rozwiązanie: w warunkach problemu wpis jest podobny do następującego (5^2)^log5(3) lub 5^(2 * log 5(3)). Zapiszmy to inaczej: 5^log 5(3*2), czyli kwadrat liczby jako argumentu funkcji, można zapisać jako kwadrat samej funkcji (5^log 5(3))^2. Korzystając z właściwości logarytmów, to wyrażenie jest równe 3^2. Odpowiedź: w wyniku obliczeń otrzymujemy 9.

Praktyczne użycie

Będąc narzędziem czysto matematycznym, logarytm nagle nabrał ogromnego znaczenia w opisie obiektów w świecie rzeczywistym. Trudno znaleźć naukę, w której nie jest ona wykorzystywana. Dotyczy to w pełni nie tylko przyrodniczych, ale także humanitarnych dziedzin wiedzy.

Zależności logarytmiczne

Oto kilka przykładów zależności numerycznych:

Mechanika i fizyka

Historycznie rzecz biorąc, mechanika i fizyka zawsze rozwijały się przy użyciu matematycznych metod badawczych i jednocześnie stanowiły zachętę do rozwoju matematyki, w tym logarytmów. Teoria większości praw fizyki jest napisana w języku matematyki. Podajmy tylko dwa przykłady opisu praw fizycznych za pomocą logarytmu.

Problem obliczenia tak złożonej wielkości, jak prędkość rakiety, można rozwiązać za pomocą wzoru Ciołkowskiego, który położył podwaliny pod teorię eksploracji kosmosu:

V = I * ln (M1/M2), gdzie

• V to prędkość końcowa samolotu.
• I – impuls właściwy silnika.
• M 1 – masa początkowa rakiety.
• M 2 – masa końcowa.

Kolejny ważny przykład- jest to stosowane we wzorze innego wielkiego naukowca Maxa Plancka, który służy do oceny stanu równowagi w termodynamice.

S = k * ln (Ω), gdzie

• S – właściwość termodynamiczna.
• k – stała Boltzmanna.
• Ω jest wagą statystyczną różnych stanów.

Chemia

Mniej oczywiste jest stosowanie w chemii wzorów zawierających iloraz logarytmów. Podajmy tylko dwa przykłady:

• Równanie Nernsta, stan potencjału redoks ośrodka w zależności od aktywności substancji i stałej równowagi.
• Obliczenia takich stałych jak wskaźnik autolizy i kwasowość roztworu również nie da się wykonać bez naszej funkcji.

Psychologia i biologia

I wcale nie jest jasne, co ma z tym wspólnego psychologia. Okazuje się, że siłę czucia dobrze opisuje ta funkcja jako odwrotny stosunek wartości natężenia bodźca do wartości natężenia niższego.

Po powyższych przykładach nie jest już zaskakujące, że temat logarytmów jest szeroko stosowany w biologii. O formach biologicznych odpowiadających spiralom logarytmicznym można napisać całe tomy.

Inne obszary

Wydaje się, że istnienie świata nie jest możliwe bez związku z tą funkcją i rządzi ona wszelkimi prawami. Zwłaszcza, gdy prawa natury wiążą się z postępem geometrycznym. Warto zajrzeć na stronę MatProfi, a takich przykładów jest wiele w następujących obszarach działalności:

Lista może nie mieć końca. Po opanowaniu podstawowych zasad tej funkcji możesz zanurzyć się w świat nieskończonej mądrości.

274. Uwagi.

A) Jeśli wyrażenie, które chcesz obliczyć, zawiera suma Lub różnica liczby, wówczas należy je znaleźć bez pomocy tabel, poprzez zwykłe dodawanie lub odejmowanie. Np:

log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

B) Wiedząc, jak logarytmować wyrażenia, możemy odwrotnie, korzystając z podanego wyniku logarytmu, znaleźć wyrażenie, z którego uzyskano ten wynik; więc jeśli

dziennik X=log A+ log B- 3 dzienniki Z,

wtedy łatwo to zrozumieć

V) Zanim przejdziemy do rozważań nad strukturą tablic logarytmicznych, wskażemy niektóre właściwości logarytmów dziesiętnych, tj. te, w których za podstawę przyjmuje się liczbę 10 (do obliczeń używa się tylko takich logarytmów).

Rozdział drugi.

Własności logarytmów dziesiętnych.

275 . A) Ponieważ 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 itd., to log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4 itd.

Oznacza, Logarytm liczby całkowitej reprezentowanej przez jeden i zera jest dodatnią liczbą całkowitą zawierającą tyle jedynek, ile jest zer w reprezentacji tej liczby.

Zatem: log 100 000 = 5, dziennik 1000 000 = 6 itp.

B) Ponieważ

log 0,1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, itp.

Oznacza, Logarytm ułamka dziesiętnego reprezentowanego przez jednostkę z poprzedzającymi zerami jest ujemną liczbą całkowitą zawierającą tyle jednostek ujemnych, ile jest zer w reprezentacji ułamka, włączając 0 liczb całkowitych.

Zatem: log 0,00001= - 5, log 0,000001 = -6, itp.

V) Weźmy na przykład liczbę całkowitą, która nie jest reprezentowana przez jedynkę i zera. Na przykład 35 lub liczba całkowita z ułamkiem. 10.7. Logarytm takiej liczby nie może być liczbą całkowitą, gdyż podnosząc 10 do potęgi z wykładnikiem całkowitym (dodatnim lub ujemnym) otrzymujemy 1 z zerami (po 1 lub przed nią). Załóżmy teraz, że logarytm takiej liczby jest jakimś ułamkiem A / B . Wtedy mielibyśmy równość

Ale te równości są niemożliwe, ponieważ 10A są jedynki z zerami, natomiast stopnie 35B I 10,7B jakimkolwiek środkiem B nie można podać 1 i zera. Oznacza to, że nie możemy na to pozwolić log 35 I log 10.7 były równe ułamkom. Ale z właściwości funkcji logarytmicznej wiemy (), że każda liczba dodatnia ma logarytm; w konsekwencji każda z liczb 35 i 10,7 ma swój własny logarytm, a ponieważ nie może być liczbą całkowitą ani liczbą ułamkową, jest liczbą niewymierną i dlatego nie można jej dokładnie wyrazić za pomocą liczb. Logarytmy niewymierne są zwykle wyrażane w przybliżeniu jako ułamek dziesiętny z kilkoma miejscami po przecinku. Nazywa się liczbę całkowitą tego ułamka (nawet jeśli jest to „0 liczb całkowitych”) Charakterystyka, a część ułamkowa to mantysa logarytmu. Jeśli na przykład istnieje logarytm 1,5441 , to jego charakterystyka jest równa 1 , a mantysa jest 0,5441 .

G) Weźmy na przykład liczbę całkowitą lub mieszaną. 623 Lub 623,57 . Logarytm takiej liczby składa się z cechy i mantysy. Okazuje się, że logarytmy dziesiętne mają tę wygodę zawsze możemy znaleźć ich charakterystykę według jednego rodzaju liczby . Aby to zrobić, policzmy, ile cyfr znajduje się w danej liczbie całkowitej lub w części całkowitej liczby mieszanej. W naszych przykładach tych cyfr 3 . Dlatego każda z liczb 623 I 623,57 więcej niż 100, ale mniej niż 1000; oznacza to, że logarytm każdego z nich jest większy log 100, czyli więcej 2 , ale mniej zaloguj 1000, czyli mniej 3 (pamiętaj, że większa liczba ma również większy logarytm). Stąd, log 623 = 2,..., I log 623,57 = 2,... (kropki zastępują nieznane mantysy).

W ten sposób znajdujemy:

Niech ogólnie dana liczba całkowita lub część całkowita danej liczby mieszanej zawiera M liczby Ponieważ najmniejsza liczba całkowita zawierająca M liczby, tak 1 Z M - 1 zera na końcu, a następnie (oznaczające tę liczbę N) możemy napisać nierówności:

i dlatego,

M - 1 < log N < M ,

log N = ( M- 1) + ułamek dodatni.

A więc charakterystyka logN = M - 1 .

Widzimy w ten sposób, że charakterystyka logarytmu liczby całkowitej lub mieszanej zawiera tyle jednostek dodatnich, ile jest cyfr w części całkowitej liczby minus jeden.

Zauważywszy to, możemy bezpośrednio napisać:

log 7,205 = 0,...; log 83 = 1,...; log 720,4 = 2,... i tak dalej.

D) Weźmy kilka ułamków dziesiętnych mniejszych 1 (tj. posiadanie 0 cały): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, i tak dalej.

Zatem każdy z tych logarytmów jest zawarty pomiędzy dwiema ujemnymi liczbami całkowitymi, które różnią się o jedną jednostkę; zatem każda z nich jest równa mniejszej z tych liczb ujemnych powiększonej o jakiś ułamek dodatni. Na przykład, log0,0056= -3 + ułamek dodatni. Załóżmy, że ten ułamek wynosi 0,7482. Wtedy to oznacza:

log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

Kwoty takie jak - 3 + 0,7482 , składający się z ujemnej liczby całkowitej i dodatniego ułamka dziesiętnego, zgodziliśmy się pisać w skrócie w następujący sposób w obliczeniach logarytmicznych: 3 ,7482 (Ta liczba brzmi: 3 minus, 7482 dziesięć tysięcznych.), czyli stawiają znak minus nad cechą, aby pokazać, że dotyczy ona tylko tej cechy, a nie mantysy, która pozostaje dodatnia. Zatem z powyższej tabeli jasno wynika, że

log 0,35 == 1,....; log 0,07 = 2,.....; log 0,0008 = 4,....

Niech w ogóle . występuje ułamek dziesiętny, w którym przed pierwszą cyfrą znaczącą α koszty M zera, w tym 0 liczb całkowitych. Wtedy jest to oczywiste

- M < log A < - (M- 1).

Ponieważ z dwóch liczb całkowitych: - M I - (M- 1) jest mniej - M , To

log A = - M+ ułamek dodatni,

i dlatego charakterystyka log A = - M (z dodatnią mantysą).

Zatem, charakterystyka logarytmu ułamka dziesiętnego mniejszego niż 1 zawiera tyle jedynek ujemnych, ile jest zer w obrazie ułamka dziesiętnego przed pierwszą cyfrą znaczącą, włączając liczby całkowite zerowe; Mantysa takiego logarytmu jest dodatnia.

mi) Pomnóżmy jakąś liczbę N(całkowite lub ułamkowe - nie ma to znaczenia) o 10, o 100 o 1000..., ogólnie o 1 z zerami. Zobaczmy, jak to się zmienia log N. Ponieważ logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; itp.

Kiedy log N dodajemy jakąś liczbę całkowitą, wtedy zawsze możemy dodać tę liczbę do charakterystyki, a nie do mantysy.

Zatem jeśli log N = 2,7804, to 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 itd.;

lub jeśli log N = 3,5649, to 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649 itd.

Kiedy liczba jest mnożona przez 10, 100, 1000,..., zazwyczaj przez 1 z zerami, mantysa logarytmu nie zmienia się, a charakterystyka wzrasta o tyle jednostek, ile jest zer we współczynniku .

Podobnie, biorąc pod uwagę, że logarytm ilorazu jest równy logarytmowi dzielnej bez logarytmu dzielnika, otrzymujemy:

log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;

log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3; i tak dalej.

Jeśli zgodzimy się przy odejmowaniu liczby całkowitej od logarytmu zawsze odejmować tę liczbę całkowitą od charakterystyki i pozostawić mantysę bez zmian, to możemy powiedzieć:

Dzielenie liczby przez 1 przez zera nie powoduje zmiany mantysy logarytmu, ale charakterystyka zmniejsza się o tyle jednostek, ile jest zer w dzielniku.

276. Konsekwencje. Z nieruchomości ( mi) można wywnioskować następujące dwa wnioski:

A) Mantysa logarytmu liczby dziesiętnej nie zmienia się po przesunięciu do kropki dziesiętnej , ponieważ przesuwanie przecinka jest równoznaczne z mnożeniem lub dzieleniem przez 10, 100, 1000 itd. Zatem logarytmy liczb:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

różnią się jedynie cechami, ale nie mantysami (pod warunkiem, że wszystkie mantysy są dodatnie).

B) Mantysy liczb, które mają tę samą część znaczącą, ale różnią się jedynie zerami na końcu, są takie same: Zatem logarytmy liczb: 23, 230, 2300, 23 000 różnią się jedynie cechami.

Komentarz. Ze wskazanych właściwości logarytmów dziesiętnych jasno wynika, że ​​charakterystykę logarytmu liczby całkowitej i ułamka dziesiętnego możemy znaleźć bez pomocy tabel (jest to wielka wygoda logarytmów dziesiętnych); w rezultacie w tabelach logarytmicznych umieszczana jest tylko jedna mantysa; ponadto, ponieważ znajdowanie logarytmów ułamków sprowadza się do znajdowania logarytmów liczb całkowitych (logarytm ułamka = logarytm licznika bez logarytmu mianownika), w tabelach umieszcza się mantysy logarytmów tylko liczb całkowitych.

Rozdział trzeci.

Projektowanie i zastosowanie tablic czterocyfrowych.

277. Systemy logarytmów. System logarytmów to zbiór logarytmów obliczonych dla pewnej liczby kolejnych liczb całkowitych przy użyciu tej samej podstawy. Stosowane są dwa systemy: system logarytmów zwyczajnych lub dziesiętnych, w którym za podstawę przyjmuje się liczbę 10 oraz system tak zwanych logarytmów naturalnych, w którym za podstawę przyjmuje się liczbę niewymierną (z pewnych powodów, które są jasne w innych gałęziach matematyki) 2,7182818 ... Do obliczeń stosuje się logarytmy dziesiętne, ze względu na wygodę, którą wskazaliśmy, wymieniając właściwości takich logarytmów.

Logarytmy naturalne nazywane są również Neperowem, nazwany na cześć wynalazcy logarytmów, szkockiego matematyka Nepera(1550-1617) i logarytmy dziesiętne – Briggs nazwany imieniem profesora Brigga(współczesny i przyjaciel Napiera), który jako pierwszy sporządził tablice tych logarytmów.

278. Zamiana logarytmu ujemnego na taki, którego mantysa jest dodatnia i transformacja odwrotna. Widzieliśmy, że logarytmy liczb mniejszych niż 1 są ujemne. Oznacza to, że składają się one z cechy ujemnej i mantysy ujemnej. Takie logarytmy można zawsze przekształcić tak, aby ich mantysa była dodatnia, ale charakterystyka pozostała ujemna. Aby to zrobić, wystarczy dodać do mantysy dodatnią, a ujemną do charakterystyki (co oczywiście nie zmienia wartości logarytmu).

Jeśli na przykład mamy logarytm - 2,0873 , to możesz napisać:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

lub w skrócie:

I odwrotnie, każdy logarytm o charakterystyce ujemnej i dodatniej mantysie można przekształcić w ujemną. Aby to zrobić, wystarczy dodać ujemną mantysę do dodatniej mantysy, a dodatnią do ujemnej cechy: można więc napisać:

279. Opis tablic czterocyfrowych. Do rozwiązania większości praktycznych problemów w zupełności wystarczą czterocyfrowe tablice, których obsługa jest bardzo prosta. Tablice te (z napisem „logarytmy” u góry) umieszczono na końcu tej książki, a niewielka ich część (w celu wyjaśnienia układu) została wydrukowana na tej stronie. Zawierają mantysy

Logarytmy.

logarytmy wszystkich liczb całkowitych z 1 zanim 9999 włącznie, obliczane z dokładnością do czterech miejsc po przecinku, przy czym ostatnie z tych miejsc jest powiększone o 1 we wszystkich przypadkach, w których piąte miejsce po przecinku wynosi 5 lub więcej niż 5; dlatego 4-cyfrowe tabele podają przybliżone mantysy do 1 / 2 część dziesięciotysięczna (z niedoborem lub nadmiarem).

Ponieważ możemy bezpośrednio scharakteryzować logarytm liczby całkowitej lub ułamka dziesiętnego, w oparciu o właściwości logarytmów dziesiętnych, musimy wziąć tylko mantysy z tabel; Jednocześnie musimy pamiętać, że położenie przecinka w liczbie dziesiętnej, a także liczba zer na końcu liczby nie mają wpływu na wartość mantysy. Dlatego też, szukając mantysy dla danej liczby, odrzucamy przecinek w tej liczbie oraz zera na jej końcu, jeśli takie istnieją, i znajdujemy mantysę powstałej po niej liczby całkowitej. Mogą wystąpić następujące przypadki.

1) Liczba całkowita składa się z 3 cyfr. Załóżmy na przykład, że musimy znaleźć mantysę logarytmu liczby 536. Pierwsze dwie cyfry tej liczby, czyli 53, znajdują się w tabelach w pierwszej pionowej kolumnie po lewej stronie (patrz tabela). Po znalezieniu liczby 53 przesuwamy się od niej po poziomej linii w prawo, aż ta linia przetnie się z pionową kolumną przechodzącą przez jedną z liczb 0, 1, 2, 3,... 9, umieszczoną na górze (i dół) tabeli, czyli 3-ta cyfra danej liczby, czyli w naszym przykładzie liczba 6. Na przecięciu otrzymujemy mantysę 7292 (czyli 0,7292), która należy do logarytmu liczby 536. Podobnie , dla liczby 508 znajdujemy mantysę 0,7059, dla liczby 500 znajdujemy 0,6990 itd.

2) Liczba całkowita składa się z 2 lub 1 cyfry. Następnie w myślach przypisujemy tej liczbie jedno lub dwa zera i znajdujemy mantysę tak utworzonej liczby trzycyfrowej. Na przykład do liczby 51 dodajemy jedno zero, z czego otrzymujemy 510 i znajdujemy mantysę 7070; do liczby 5 przypisujemy 2 zera i znajdujemy mantysę 6990 itd.

3) Liczbę całkowitą wyraża się za pomocą 4 cyfr. Na przykład trzeba znaleźć mantysę logu 5436. Następnie najpierw znajdujemy w tabelach, jak właśnie wskazano, mantysę dla liczby reprezentowanej przez pierwsze 3 cyfry tej liczby, tj. dla 543 (ta mantysa będzie wynosić 7348) ; następnie od znalezionej mantysy przesuwamy się wzdłuż poziomej linii w prawo (na prawą stronę stołu, znajdującą się za grubą pionową linią), aż przetnie się ona z pionową kolumną przechodzącą przez jedną z liczb: 1, 2 3,. ..9, znajdująca się na górze (i na dole) tej części tabeli, która reprezentuje 4-tą cyfrę danej liczby, czyli w naszym przykładzie cyfrę 6. Na przecięciu znajdziemy korektę (liczbę 5), które należy mentalnie zastosować do mantysy 7348, aby otrzymać mantysę liczby 5436; W ten sposób otrzymamy mantysę 0,7353.

4) Liczbę całkowitą wyraża się za pomocą 5 lub więcej cyfr. Następnie odrzucamy wszystkie cyfry z wyjątkiem pierwszych 4 i bierzemy w przybliżeniu czterocyfrową liczbę, a ostatnią cyfrę tej liczby zwiększamy o 1 w tej liczbie. przypadek, gdy odrzucona piąta cyfra liczby wynosi 5 lub więcej niż 5. Zamiast 57842 bierzemy 5784, zamiast 30257 bierzemy 3026, zamiast 583263 bierzemy 5833 itd. Dla tej zaokrąglonej czterocyfrowej liczby znajdujemy mantysę, jak już wyjaśniono.

Kierując się tymi instrukcjami, znajdźmy na przykład logarytmy następujących liczb:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Przede wszystkim, nie odwracając się na razie do tabel, wypiszemy tylko cechy, zostawiając miejsce na mantysy, które napiszemy później:

log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....

log 804,7 = 2,.... log 7,2634 = 0,....

log 0,26 = 1,.... log 3456,86 = 3,....

log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;

log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.

280. Uwaga. W niektórych tabelach czterocyfrowych (na przykład w tabelach V. Lorchenko i N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) nie wprowadza się poprawek na 4. cyfrę tego numeru. Mając do czynienia z takimi tabelami, należy znaleźć te poprawki za pomocą prostego obliczenia, które można przeprowadzić w oparciu o następującą prawdę: jeśli liczby przekraczają 100, a różnice między nimi są mniejsze niż 1, to bez wrażliwego błędu można tak założyć różnice między logarytmami są proporcjonalne do różnic między odpowiednimi liczbami . Załóżmy na przykład, że musimy znaleźć mantysę odpowiadającą liczbie 5367. Ta mantysa jest oczywiście taka sama jak dla liczby 536,7. W tabelach dla liczby 536 znajdujemy mantysę 7292. Porównując tę ​​mantysę z mantysą 7300 sąsiadującą po prawej stronie, odpowiadającą liczbie 537, zauważamy, że jeśli liczba 536 wzrośnie o 1, to jej mantysa wzrośnie o 8 dziesięć -tysięczne (8 to tzw różnica w tabeli między dwiema sąsiednimi mantysami); jeśli liczba 536 wzrośnie o 0,7, wówczas jej mantysa wzrośnie nie o 8 dziesięciotysięcznych, ale o jakąś mniejszą liczbę X dziesięciu tysięcznych, które zgodnie z założoną proporcjonalnością muszą spełniać proporcje:

X :8 = 0,7:1; Gdzie X = 8 07 = 5,6,

co jest zaokrąglane do 6 dziesięciotysięcznych. Oznacza to, że mantysa dla liczby 536,7 (a więc i dla liczby 5367) będzie wynosić: 7292 + 6 = 7298.

Należy pamiętać, że znajdowanie liczby pośredniej na podstawie dwóch sąsiednich liczb w tabelach nazywa się interpolacja. Opisana tutaj interpolacja nazywa się proporcjonalny, ponieważ opiera się na założeniu, że zmiana logarytmu jest proporcjonalna do zmiany liczby. Nazywa się ją również liniową, ponieważ zakłada, że ​​graficznie zmianę funkcji logarytmicznej wyraża się linią prostą.

281. Granica błędu logarytmu przybliżonego. Jeśli liczba, której logarytm jest poszukiwany, jest liczbą dokładną, to można przyjąć granicę błędu jej logarytmu znalezioną w tablicach 4-cyfrowych, jak powiedzieliśmy w 1 / 2 część dziesięciotysięczna. Jeżeli liczba ta nie jest dokładna, to do tej granicy błędu należy dodać jeszcze granicę innego błędu wynikającego z niedokładności samej liczby. Udowodniono (pomijamy ten dowód), że taką granicę można przyjąć za iloczyn

A(D +1) dziesięć tysięcznych.,

w którym A jest marginesem błędu dla najbardziej niedokładnej liczby, przy założeniu, że jego część całkowita zawiera 3 cyfry,A D tabelaryczna różnica mantys odpowiadających dwóm kolejnym liczbom trzycyfrowym, pomiędzy którymi znajduje się dana liczba niedokładna. Zatem granica błędu końcowego logarytmu będzie wówczas wyrażona wzorem:

1 / 2 + A(D +1) dziesięć tysięcznych

Przykład. Znajdź dziennik π , biorąc za π przybliżona liczba 3,14, dokładnie do 1 / 2 setny.

Przesuwając przecinek po 3. cyfrze liczby 3,14, licząc od lewej strony, otrzymamy trzycyfrową liczbę 314, dokładnie 1 / 2 jednostki; Oznacza to, że margines błędu dla liczby niedokładnej, czyli takiej, jaką oznaczyliśmy literą A , jest 1 / 2 Z tabel znajdziemy:

log 3,14 = 0,4969.

Różnica w tabeli D między mantysami liczb 314 i 315 jest równe 14, więc błąd znalezionego logarytmu będzie mniejszy

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 dziesięciotysięcznych.

Ponieważ nie wiemy o logarytmie 0,4969, czy jest on niedostateczny, czy nadmierny, możemy jedynie zagwarantować, że dokładny logarytm π mieści się w przedziale od 0,4969 - 0,0008 do 0,4969 + 0,0008, czyli 0,4961< log π < 0,4977.

282. Znajdź liczbę za pomocą podanego logarytmu. Aby znaleźć liczbę za pomocą danego logarytmu, można użyć tych samych tabel, aby znaleźć mantysy danych liczb; ale wygodniej jest używać innych tabel, które zawierają tzw. antylogarytmy, czyli liczby odpowiadające tym mantysom. Tablice te, oznaczone u góry napisem „antylogarytmy”, umieszczono na końcu tej książki po tablicach logarytmów, a niewielka ich część została umieszczona na tej stronie (w celu wyjaśnienia).

Załóżmy, że otrzymasz 4-cyfrową mantysę 2863 (nie zwracamy uwagi na charakterystykę) i musisz znaleźć odpowiednią liczbę całkowitą. Następnie, mając tablice antylogarytmów, należy z nich skorzystać dokładnie w taki sam sposób, jak wyjaśniono wcześniej, aby znaleźć mantysę dla danej liczby, a mianowicie: pierwsze 2 cyfry mantysy znajdujemy w pierwszej kolumnie po lewej stronie. Następnie przechodzimy od tych liczb wzdłuż poziomej linii w prawo, aż przetnie się ona z pionową kolumną wychodzącą z 3. cyfry mantysy, której należy szukać w górnej (lub dolnej) linii. Na przecięciu znajdujemy czterocyfrową liczbę 1932, odpowiadającą mantysie 286. Następnie od tej liczby przesuwamy się dalej wzdłuż poziomej linii w prawo, aż do przecięcia z pionową kolumną wychodzącą z 4. cyfry mantysy, która musi znaleźć się na górze (lub na dole) wśród umieszczonych tam cyfr 1, 2, 3,... 9. Na skrzyżowaniu znajdujemy poprawkę 1, którą należy zastosować (w myślach) do znalezionej wcześniej liczby 1032, aby aby uzyskać liczbę odpowiadającą mantysie 2863.

Zatem liczba będzie wynosić 1933. Następnie zwracając uwagę na charakterystykę, należy wpisać zajęty w odpowiednim miejscu w liczbie 1933. Na przykład:

Jeśli dziennik X = 3,2863, zatem X = 1933,

„ dziennik x = 1,2863, „ X = 19,33,

, dziennik X = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ dziennik X = 2 ,2863, „ X = 0,01933

Oto więcej przykładów:

dziennik X = 0,2287, X = 1,693,

dziennik X = 1 ,7635, X = 0,5801,

dziennik X = 3,5029, X = 3184,

dziennik X = 2 ,0436, X = 0,01106.

Jeśli mantysa zawiera 5 lub więcej cyfr, wówczas bierzemy tylko pierwsze 4 cyfry, resztę odrzucamy (i zwiększamy czwartą cyfrę o 1, jeśli piąta cyfra ma pięć lub więcej). Na przykład zamiast mantysy 35478 bierzemy 3548, zamiast 47562 bierzemy 4756.

283. Uwaga. Korektę na czwartą i kolejne cyfry mantysy można również znaleźć poprzez interpolację. Zatem jeśli mantysa wynosi 84357, to po znalezieniu liczby 6966 odpowiadającej mantysie 843 możemy dalej rozumować w następujący sposób: jeśli mantysa wzrośnie o 1 (tysięczną), tj. wyniesie 844, to liczba, jak widać z tabel, wzrośnie o 16 jednostek; jeśli mantysa wzrośnie nie o 1 (tysięczną), ale o 0,57 (tysięczną), wówczas liczba wzrośnie o X jednostki i X musi spełniać proporcje:

X : 16 = 0,57: 1, skąd x = 16 0,57 = 9,12.

Oznacza to, że wymagana liczba będzie wynosić 6966 + 9,12 = 6975,12 lub (ograniczona tylko do czterech cyfr) 6975.

284. Limit błędu znalezionej liczby. Udowodniono, że w przypadku, gdy w znalezionej liczbie przecinek znajduje się po 3 cyfrze od lewej, czyli gdy charakterystyka logarytmu wynosi 2, sumę można przyjąć jako granicę błędu

Gdzie A jest granicą błędu logarytmu (wyrażonego w dziesięciotysięcznych), według którego znaleziono liczbę, oraz D - różnica mantys dwóch kolejnych liczb trzycyfrowych, pomiędzy którymi leży znaleziona liczba (z przecinkiem po 3. cyfrze od lewej). Gdy cechą nie jest 2, ale inna, wówczas w znalezionej liczbie przecinek będzie musiał zostać przesunięty w lewo lub w prawo, tj. podzielić lub pomnożyć liczbę przez jakąś potęgę 10. W tym przypadku błąd wyniku zostanie również podzielona lub pomnożona przez tę samą potęgę 10.

Niech na przykład szukamy liczby za pomocą logarytmu 1,5950 , o którym wiadomo, że ma dokładność do 3 dziesięciotysięcznych; to znaczy wtedy A = 3 . Liczba odpowiadająca temu logarytmowi, znaleziona w tabeli antylogarytmów, to 39,36 . Przesuwając przecinek po 3 cyfrze od lewej mamy liczbę 393,6 , składający się pomiędzy 393 I 394 . Z tabel logarytmów widzimy, że różnica między mantysami odpowiadającymi tym dwóm liczbom wynosi 11 dziesięć tysięcznych; Oznacza D = 11 . Błąd liczby 393,6 będzie mniejszy

Oznacza to, że błąd w numerze 39,36 będzie mniej 0,05 .

285. Działania na logarytmach o charakterystyce ujemnej. Dodawanie i odejmowanie logarytmów nie nastręcza żadnych trudności, co widać na poniższych przykładach:

Nie ma również trudności z pomnożeniem logarytmu przez liczbę dodatnią, na przykład:

W ostatnim przykładzie dodatnią mantysę mnoży się oddzielnie przez 34, następnie ujemną charakterystykę mnoży się przez 34.

Jeśli logarytm cechy ujemnej i mantysy dodatniej pomnożymy przez liczbę ujemną, to postępujemy na dwa sposoby: albo najpierw zamieniamy podany logarytm na ujemny, albo mantysę i charakterystykę mnożymy oddzielnie i wyniki sumujemy np. :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

Podczas dzielenia mogą zaistnieć dwa przypadki: 1) cecha ujemna jest podzielona i 2) nie jest podzielna przez dzielnik. W pierwszym przypadku charakterystyka i mantysa są oddzielane osobno:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

W drugim przypadku do charakterystyki dodaje się tyle jednostek ujemnych, że otrzymaną liczbę dzieli się przez dzielnik; do mantysy dodaje się tę samą liczbę jednostek dodatnich:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Ta transformacja musi zostać dokonana w umyśle, więc działanie wygląda następująco:

286. Zastępowanie odejmowanych logarytmów wyrazami. Obliczając złożone wyrażenie za pomocą logarytmów, należy dodać niektóre logarytmy, a inne odjąć; w tym przypadku, w zwykły sposób wykonywania czynności, osobno znajdują sumę dodanych logarytmów, następnie sumę odejmowanych i odejmuje drugą od pierwszej sumy. Na przykład, jeśli mamy:

dziennik X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

wówczas zwykłe wykonanie działań będzie wyglądać następująco:

Można jednak zastąpić odejmowanie dodawaniem. Więc:

Teraz możesz ułożyć obliczenia w następujący sposób:

287. Przykłady obliczeń.

Przykład 1. Oceń wyrażenie:

Jeśli A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 I D = 7,246.

Weźmy logarytm tego wyrażenia:

dziennik X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

Teraz, aby uniknąć niepotrzebnej straty czasu i zmniejszyć możliwość błędów, w pierwszej kolejności uporządkujemy wszystkie obliczenia bez ich wykonywania na razie, a zatem bez odwoływania się do tabel:

Następnie bierzemy tabele i umieszczamy logarytmy w pozostałych wolnych miejscach:

Granica błędu. Najpierw znajdźmy granicę błędu liczby X 1 = 194,5 , równy:

Więc przede wszystkim musisz znaleźć A , tj. granica błędu przybliżonego logarytmu, wyrażona w dziesiątkach tysięcznych. Załóżmy, że są to liczby A, B, C I D wszystkie są dokładne. Wtedy błędy w poszczególnych logarytmach będą następujące (w dziesiątkach tysięcznych):

V logA.......... 1 / 2

V 1/3 loga A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 dodany, ponieważ dzieląc przez 3 logarytmy z 1,9146, zaokrągliliśmy iloraz, odrzucając jego piątą cyfrę, a zatem popełniliśmy jeszcze mniejszy błąd 1 / 2 dziesięciotysięczna).

Teraz znajdujemy granicę błędu logarytmu:

A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (dziesięć tysięcznych).

Zdefiniujmy dalej D . Ponieważ X 1 = 194,5 , a następnie 2 kolejne liczby całkowite pomiędzy którymi leży X 1 będzie 194 I 195 . Różnica w tabeli D między mantysami odpowiadającymi tym liczbom jest równa 22 . Oznacza to, że granica błędu liczby wynosi X 1 Jest:

Ponieważ X = X 1 : 10, następnie granica błędu w liczbie X równa się 0,3:10 = 0,03 . Zatem liczba, którą znaleźliśmy 19,45 różni się od dokładnej liczby o mniej niż 0,03 . Ponieważ nie wiemy, czy w naszym przybliżeniu stwierdzono niedobór, czy nadmiar, możemy tylko to zagwarantować

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , tj.

19,48 > X > 19,42 ,

i dlatego, jeśli przyjmiemy X =19,4 , wówczas będziemy mieli przybliżenie z wadą z dokładnością do 0,1.

Przykład 2. Oblicz:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Ponieważ liczby ujemne nie mają logarytmów, najpierw znajdujemy:

X" = (2,31) 3 5 √72

przez rozkład:

dziennik X"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.

Po obliczeniu wychodzi:

X" = 28,99 ;

stąd,

X = - 28,99 .

Przykład 3. Oblicz:

Nie można tu zastosować logarytmu ciągłego, ponieważ znak pierwiastka to cu m m a. W takich przypadkach należy obliczyć wzór na części.

Najpierw znajdujemy N = 5 √8 , Następnie N 1 = 4 √3 ; następnie przez proste dodawanie określamy N+ N 1 i na koniec obliczamy 3 √N+ N 1 ; okazało się:

N=1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

dziennik X= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2.830 = 0,1506 ;

X = 1,415 .

Rozdział czwarty.

Równania wykładnicze i logarytmiczne.

288. Równania wykładnicze to takie, w których nieznana jest zawarta w wykładniku, i logarytmiczny- takie, w których pod znakiem wkracza nieznane dziennik. Równania takie można rozwiązać tylko w szczególnych przypadkach i trzeba opierać się na własnościach logarytmów i na zasadzie, że jeśli liczby są równe, to ich logarytmy są równe i odwrotnie, jeśli logarytmy są równe, to odpowiadające im liczby są równe.

Przykład 1. Rozwiązać równanie: 2 X = 1024 .

Logarytmujemy obie strony równania:

Przykład 2. Rozwiązać równanie: A 2x - A X = 1 . Układanie A X = Na , otrzymujemy równanie kwadratowe:

y 2 - Na - 1 = 0 ,

Ponieważ 1-√5 < 0 , to ostatnie równanie jest niemożliwe (funkcja A X zawsze jest liczba dodatnia), a pierwsza daje:

Przykład 3. Rozwiązać równanie:

dziennik( + x) + log ( b + x) = log ( c + x) .

Równanie można zapisać w następujący sposób:

dziennik [( + x) (b + x)] = log ( c + x) .

Z równości logarytmów wnioskujemy, że liczby są równe:

(+ x) (b + x) = c + x .

Jest to równanie kwadratowe, którego rozwiązanie nie jest trudne.

Rozdział piąty.

Odsetki składane, płatności terminowe i płatności terminowe.

289. Podstawowy problem odsetek składanych. Na ile zamieni się kapitał? A rubli, biorąc pod uwagę wzrost o godz R odsetki składane, po T lata ( T - liczba całkowita)?

Mówią, że kapitał jest spłacany według odsetek składanych, jeśli weźmie się pod uwagę tzw. „odsetki od odsetek”, to znaczy, jeśli należne odsetki od kapitału zostaną dodane do kapitału na koniec każdego roku w celu zwiększenia z zainteresowaniem w kolejnych latach.

Każdy rubel kapitału rozdany R %, przyniesie zysk w ciągu jednego roku P / 100 rubel, a zatem każdy rubel kapitału w ciągu 1 roku zamieni się w 1 + P / 100 rubel (na przykład, jeśli kapitał zostanie przekazany na 5 %, wtedy każdy rubel w ciągu roku zamieni się w 1 + 5 / 100 , czyli w 1,05 rubel).

Dla zwięzłości, oznaczając ułamek P / 100 jedną literą, np. R , możemy powiedzieć, że zamieni się każdy rubel kapitału w ciągu roku 1 + R ruble; stąd, A ruble zostaną zwrócone za 1 rok A (1 + R ) pocierać. Po kolejnym roku, czyli 2 latach od rozpoczęcia wzrostu, każdy z nich rubel A (1 + R ) pocierać. skontaktuję się ponownie 1 + R pocierać.; Oznacza to, że cały kapitał zamieni się w A (1 + R ) 2 pocierać. W ten sam sposób dowiadujemy się, że po trzech latach stolica będzie A (1 + R ) 3 , za cztery lata będzie A (1 + R ) 4 ,... ogólnie rzecz biorąc T lat, jeśli T jest liczbą całkowitą, to się zmieni A (1 + R ) T pocierać. Zatem oznaczając przez A kapitału końcowego, otrzymamy następujący wzór na odsetki składane:

A = A (1 + R ) T Gdzie R = P / 100 .

Przykład. Pozwalać A =2300 rubli, P = 4, T=20 lata; wtedy formuła daje:

R = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2300 (1,04) 20.

Liczyć A, używamy logarytmów:

dziennik A = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617 + 0,3400 = 3,7017.

A = 5031 rubel.

Komentarz. W tym przykładzie musieliśmy log 1.04 pomnożyć przez 20 . Od numeru 0,0170 istnieje wartość przybliżona log 1.04 aż do 1 / 2 część dziesięciotysięczna, a następnie iloczyn tej liczby przez 20 to na pewno tylko do czasu 1 / 2 20, tj. do 10 dziesięciotysięcznych = 1 tysięczna. Dlatego w sumie 3,7017 Nie możemy ręczyć nie tylko za liczbę dziesięciu tysięcznych, ale także za liczbę tysięcznych. Aby uzyskać większą dokładność w takich przypadkach, lepiej jest podać liczbę 1 + R bierz logarytmy nie z 4 cyframi, ale na przykład z dużą liczbą cyfr. 7-cyfrowy. W tym celu prezentujemy tutaj małą tabelkę, w której wypisane są 7-cyfrowe logarytmy dla najpopularniejszych wartości R .

290. Głównym zadaniem są pilne płatności. Ktoś wziął A rubli za R % pod warunkiem spłaty zadłużenia wraz z należnymi odsetkami, w T lat, płacąc tę ​​samą kwotę na koniec każdego roku. Jaka powinna być ta kwota?

Suma X , wypłacane corocznie na takich warunkach, nazywa się płatnością pilną. Oznaczmy jeszcze raz literą R roczne odsetki od 1 rub., tj. liczba P / 100 . Następnie pod koniec pierwszego roku dług A wzrasta do A (1 + R ), opłata podstawowa X będzie kosztować ruble A (1 + R )-X .

Do końca drugiego roku każdy rubel tej kwoty ponownie zamieni się w 1 + R rubli, a zatem dług będzie [ A (1 + R )-X ](1 + R ) = A (1 + R ) 2 - X (1 + R ) i do zapłaty X ruble będą: A (1 + R ) 2 - X (1 + R ) - X . W ten sam sposób upewnimy się, że do końca 3 roku dług będzie

A (1 + R ) 3 - X (1 + R ) 2 - X (1 + R ) - X ,

i w ogóle i koniec T rok będzie:

A (1 + R ) T - X (1 + R ) t-1 - X (1 + R ) t -2 ... - X (1 + R ) - X , Lub

A (1 + R ) T - X [ 1 + (1 + R ) + (1 + R ) 2 + ...+ (1 + R ) t -2 + (1 + R ) t-1 ]

Wielomian w nawiasach przedstawia sumę wyrazów postępu geometrycznego; który ma pierwszego członka 1 , ostatni ( 1 + R ) t-1 i mianownik ( 1 + R ). Korzystając ze wzoru na sumę wyrazów postępu geometrycznego (§ 10 rozdział 3 § 249) znajdujemy:

i kwotę długu po T -ta płatność będzie wynosić:

Zgodnie z warunkami problemu, dług dobiega końca T -ty rok musi być równy 0 ; Dlatego:

Gdzie

Przy obliczaniu tego pilne formuły płatności używając logarytmów, musimy najpierw znaleźć liczbę pomocniczą N = (1 + R ) T logarytmem: log N= T log(1+ R) ; znalazłszy N, odejmij od niego 1, a następnie otrzymamy mianownik wzoru na X, po czym za pomocą logarytmu wtórnego znajdujemy:

dziennik X=log A+ log N + log r - log (N - 1).

291. Główne zadanie składek terminowych. Na początku każdego roku ktoś wpłaca do banku tę samą kwotę. A pocierać. Ustal, jaki kapitał zostanie później utworzony z tych wkładów T lat, jeśli bank zapłaci R odsetki składane.

Wyznaczony przez R roczne odsetki od 1 rubla, tj. P / 100 , rozumujemy w ten sposób: do końca pierwszego roku stolica będzie A (1 + R );

na początku drugiego roku zostaną doliczone do tej kwoty A ruble; oznacza to, że w tym czasie kapitał będzie A (1 + R ) + A . Pod koniec drugiego roku będzie A (1 + R ) 2 + za (1 + R );

na początku trzeciego roku wpisuje się go ponownie A ruble; oznacza to, że w tym czasie będzie kapitał A (1 + R ) 2 + za (1 + R ) + A ; pod koniec trzeciego będzie A (1 + R ) 3 + za (1 + R ) 2 + za (1 + R ) Kontynuując dalej te argumenty, dochodzimy do wniosku, że na końcu T rok wymaganego kapitału A będzie:

Jest to wzór na składki terminowe wpłacane na początku każdego roku.

Tę samą formułę można otrzymać za pomocą następującego rozumowania: zaliczka na A rubli w banku T lat, zgodnie ze wzorem na procent składany, zamieni się w A (1 + R ) T pocierać. Druga rata, przebywanie w banku o rok krócej, tj. T - 1 lat, skontaktuj się A (1 + R ) t- 1 pocierać. Podobnie da trzecia część A (1 + R ) t-2 itd., i w końcu ostatnia rata, będąc w banku dopiero 1 rok, trafi do A (1 + R ) pocierać. Oznacza to ostateczną stolicę A pocierać. będzie:

A= A (1 + R ) T + A (1 + R ) t- 1 + A (1 + R ) t-2 + . . . + A (1 + R ),

co po uproszczeniu daje wzór podany powyżej.

Obliczając za pomocą logarytmów tego wzoru, należy postępować w taki sam sposób, jak przy obliczaniu wzoru na pilne płatności, tj. Najpierw znajdź liczbę N = ( 1 + R ) T według logarytmu: log N= T dziennik(1 + R ), a następnie numer N- 1 i następnie weź logarytm ze wzoru:

log A = log A+log(1+ R) + log (N - 1) - 1ogR

Komentarz. Jeśli pilny wkład w A pocierać. dokonano nie na początku, ale na koniec każdego roku (gdy np. dokonano pilnej płatności). X spłacić dług), to rozumując podobnie jak poprzednio, dochodzimy do tego na końcu T rok wymaganego kapitału A" pocierać. będzie (łącznie z ostatnią ratą A rub., nieoprocentowane):

A"= A (1 + R ) t- 1 + A (1 + R ) t-2 + . . . + A (1 + R ) + A

co jest równe:

tj. A" kończy się w ( 1 + R ) razy mniej A, czego można było się spodziewać, skoro każdy rubel kapitału A" leży w banku przez rok mniej niż odpowiedni rubel kapitału A.

Kontynuujemy naukę logarytmów. W tym artykule porozmawiamy o obliczanie logarytmów, proces ten nazywa się logarytm. Najpierw zrozumiemy obliczanie logarytmów z definicji. Następnie przyjrzyjmy się, jak znaleźć wartości logarytmów za pomocą ich właściwości. Następnie skupimy się na obliczaniu logarytmów poprzez początkowo określone wartości innych logarytmów. Na koniec nauczmy się korzystać z tablic logarytmicznych. Całość teorii opatrzona jest przykładami ze szczegółowymi rozwiązaniami.

Nawigacja strony.

Obliczanie logarytmów z definicji

W najprostszych przypadkach można to zrobić dość szybko i łatwo znalezienie logarytmu z definicji. Przyjrzyjmy się bliżej, jak zachodzi ten proces.

Jego istotą jest przedstawienie liczby b w postaci a c, z której zgodnie z definicją logarytmu liczba c jest wartością logarytmu. Oznacza to, że z definicji znalezienie logarytmu odpowiada następującemu łańcuchowi równości: log a b=log a a c =c.

Zatem obliczenie logarytmu z definicji sprowadza się do znalezienia liczby c takiej, że a c = b, a liczba c sama w sobie jest pożądaną wartością logarytmu.

Biorąc pod uwagę informacje z poprzednich akapitów, gdy liczbę pod znakiem logarytmu podaje się przez pewną potęgę podstawy logarytmu, można od razu wskazać, czemu logarytm jest równy - jest równy wykładnikowi. Pokażmy rozwiązania na przykładach.

Przykład.

Znajdź log 2 2 −3, a także oblicz logarytm naturalny liczby e 5,3.

Rozwiązanie.

Definicja logarytmu pozwala od razu powiedzieć, że log 2 2 −3 =−3. Rzeczywiście liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie 2 do potęgi -3.

Podobnie znajdujemy drugi logarytm: lne 5,3 =5,3.

Odpowiedź:

log 2 2 −3 =−3 i lne 5,3 =5,3.

Jeśli liczba b pod znakiem logarytmu nie jest określona jako potęga podstawy logarytmu, należy dokładnie sprawdzić, czy możliwe jest przedstawienie liczby b w postaci a c . Często to przedstawienie jest dość oczywiste, zwłaszcza gdy liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie do potęgi 1, 2, lub 3, ...

Przykład.

Oblicz logarytmy log 5 25 i .

Rozwiązanie.

Łatwo zauważyć, że 25=5 2, co pozwala obliczyć pierwszy logarytm: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Przejdźmy do obliczenia drugiego logarytmu. Liczbę można przedstawić jako potęgę liczby 7: (zobacz, jeśli to konieczne). Stąd, .

Przepiszmy trzeci logarytm w następującej formie. Teraz możesz to zobaczyć , z czego wnioskujemy, że . Dlatego z definicji logarytmu .

W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: .

Odpowiedź:

log 5 25=2 , I .

Gdy pod znakiem logarytmu znajduje się wystarczająco duża liczba naturalna, nie zaszkodzi rozłożyć ją na czynniki pierwsze. Często pomaga przedstawienie takiej liczby jako jakiejś potęgi podstawy logarytmu, a zatem obliczenie tego logarytmu z definicji.

Przykład.

Znajdź wartość logarytmu.

Rozwiązanie.

Niektóre właściwości logarytmów pozwalają na natychmiastowe określenie wartości logarytmów. Właściwości te obejmują własność logarytmu jedności i własność logarytmu liczby równej podstawie: log 1 1=log a a 0 =0 i log a=log a a 1 =1. Oznacza to, że gdy pod znakiem logarytmu znajduje się liczba 1 lub liczba a równa podstawie logarytmu, wówczas w tych przypadkach logarytmy są równe odpowiednio 0 i 1.

Przykład.

Czym są logarytmy i log10?

Rozwiązanie.

Ponieważ , to z definicji logarytmu wynika .

W drugim przykładzie liczba 10 pod znakiem logarytmu pokrywa się z jej podstawą, więc logarytm dziesiętny z dziesięciu jest równy jeden, czyli lg10=lg10 1 =1.

Odpowiedź:

I lg10=1 .

Należy zauważyć, że obliczanie logarytmów z definicji (o czym mówiliśmy w poprzednim akapicie) implikuje użycie logarytmu równości a a p = p, który jest jedną z właściwości logarytmów.

W praktyce, gdy liczbę pod znakiem logarytmu i podstawę logarytmu można łatwo przedstawić jako potęgę określonej liczby, bardzo wygodnie jest skorzystać ze wzoru , co odpowiada jednej z właściwości logarytmów. Spójrzmy na przykład znalezienia logarytmu ilustrującego użycie tej formuły.

Przykład.

Oblicz logarytm.

Rozwiązanie.

Odpowiedź:

.

W obliczeniach wykorzystywane są również właściwości logarytmów niewymienione powyżej, ale o tym porozmawiamy w kolejnych akapitach.

Znajdowanie logarytmów za pomocą innych znanych logarytmów

Informacje zawarte w tym akapicie stanowią kontynuację tematu wykorzystania właściwości logarytmów podczas ich obliczania. Ale tutaj główna różnica polega na tym, że właściwości logarytmów służą do wyrażenia pierwotnego logarytmu w postaci innego logarytmu, którego wartość jest znana. Podajmy przykład dla wyjaśnienia. Powiedzmy, że wiemy, że log 2 3≈1,584963, to możemy znaleźć na przykład log 2 6, wykonując małą transformację, wykorzystując właściwości logarytmu: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

W powyższym przykładzie wystarczyło nam skorzystać z własności logarytmu iloczynu. Jednak znacznie częściej konieczne jest wykorzystanie szerszego arsenału właściwości logarytmów, aby obliczyć logarytm pierwotny poprzez dane.

Przykład.

Oblicz logarytm 27 o podstawie 60, jeśli wiesz, że log 60 2=a i log 60 5=b.

Rozwiązanie.

Musimy więc znaleźć log 60 27 . Łatwo zauważyć, że 27 = 3 3 , a logarytm pierwotny, ze względu na własność logarytmu potęgi, można zapisać jako 3·log 60 3 .

Zobaczmy teraz, jak wyrazić log 60 3 za pomocą znanych logarytmów. Własność logarytmu liczby równej podstawie pozwala nam zapisać log równości 60 60=1. Z drugiej strony log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 + log 60 3 + log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Zatem, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Stąd, log 60 3=1-2·log 60 2-log 60 5=1-2·a-b.

Na koniec obliczamy logarytm pierwotny: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Odpowiedź:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Osobno warto wspomnieć o znaczeniu wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu postaci . Pozwala przejść od logarytmów o dowolnej podstawie do logarytmów o określonej podstawie, których wartości są znane lub można je znaleźć. Zwykle z pierwotnego logarytmu, korzystając ze wzoru przejścia, przechodzą do logarytmów w jednej z podstaw 2, e lub 10, ponieważ dla tych podstaw istnieją tabele logarytmów, które pozwalają obliczyć ich wartości z pewnym stopniem dokładność. W następnym akapicie pokażemy, jak to się robi.

Tablice logarytmiczne i ich zastosowania

Do przybliżonych obliczeń można zastosować wartości logarytmu tablice logarytmiczne. Najczęściej używana tablica logarytmów o podstawie 2, tablica logarytmu naturalnego i tablica logarytmu dziesiętnego. Podczas pracy w systemie liczb dziesiętnych wygodnie jest używać tabeli logarytmów opartych na podstawie dziesiątej. Za jego pomocą nauczymy się znajdować wartości logarytmów.

Prezentowana tabela pozwala znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb od 1000 do 9999 (z trzema miejscami po przecinku) z dokładnością do jednej dziesięciotysięcznej. Przeanalizujemy zasadę znajdowania wartości logarytmu za pomocą tabeli logarytmów dziesiętnych na konkretnym przykładzie - tak jest jaśniej. Znajdźmy log1.256.

W lewej kolumnie tabeli logarytmów dziesiętnych znajdujemy dwie pierwsze cyfry liczby 1,256, czyli 1,2 (dla przejrzystości liczba ta jest zakreślona na niebiesko). Trzecia cyfra liczby 1,256 (cyfra 5) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na lewo od podwójnej linii (liczba ta jest zakreślona na czerwono). Czwarta cyfra pierwotnej liczby 1,256 (cyfra 6) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na prawo od podwójnej linii (liczba ta jest otoczona zieloną linią). Teraz znajdujemy liczby w komórkach tabeli logarytmów na przecięciu zaznaczonego wiersza i zaznaczonych kolumn (liczby te są podświetlone na pomarańczowo). Suma zaznaczonych liczb daje żądaną wartość logarytmu dziesiętnego z dokładnością do czwartego miejsca po przecinku, czyli log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Czy można, korzystając z powyższej tabeli, znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb, które mają więcej niż trzy cyfry po przecinku, a także tych, które wykraczają poza zakres od 1 do 9,999? Tak, możesz. Pokażmy, jak to się robi na przykładzie.

Obliczmy lg102.76332. Najpierw musisz zapisać numer w standardowej formie: 102,76332=1,0276332·10 2. Następnie mantysę należy zaokrąglić do trzeciego miejsca po przecinku 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, podczas gdy pierwotny logarytm dziesiętny jest w przybliżeniu równy logarytmowi wynikowej liczby, to znaczy przyjmujemy log102,76332≈lg1,028·10 2. Teraz stosujemy właściwości logarytmu: lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Na koniec wartość logarytmu lg1.028 znajdujemy z tabeli logarytmów dziesiętnych lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. W rezultacie cały proces obliczania logarytmu wygląda następująco: log102,76332=log1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Podsumowując, warto zauważyć, że korzystając z tabeli logarytmów dziesiętnych można obliczyć przybliżoną wartość dowolnego logarytmu. Aby to zrobić, wystarczy skorzystać ze wzoru przejścia, aby przejść do logarytmów dziesiętnych, znaleźć ich wartości w tabeli i wykonać pozostałe obliczenia.

Na przykład obliczmy log 2 3 . Zgodnie ze wzorem na przejście do nowej podstawy logarytmu mamy . Z tabeli logarytmów dziesiętnych znajdujemy log3≈0,4771 i log2≈0,3010. Zatem, .

Bibliografia.

• Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).