Matematyczne wzorce w życiu. Matematyczne wzorce przyrody żywej

Jeśli rozejrzysz się uważnie, rola matematyki w życiu człowieka stanie się oczywista. Komputery, nowoczesne telefony i inny sprzęt towarzyszą nam na co dzień, a ich stworzenie nie jest możliwe bez wykorzystania praw i obliczeń wielkiej nauki. Jednak rola matematyki w społeczeństwie nie ogranicza się do takich zastosowań. W przeciwnym razie wielu artystów mogłoby na przykład z czystym sumieniem powiedzieć, że czas poświęcony na rozwiązywanie problemów i udowadnianie twierdzeń w szkole został zmarnowany. Jednak tak nie jest. Spróbujmy dowiedzieć się, dlaczego potrzebna jest matematyka.

Baza

Na początek warto zrozumieć, czym właściwie jest matematyka. W tłumaczeniu ze starożytnej greki sama nazwa oznacza „naukę”, „naukę”. Matematyka opiera się na operacjach liczenia, mierzenia i opisywania kształtów obiektów. na których opiera się wiedza o strukturze, porządku i relacjach. Są istotą nauki. Wyidealizowane są w nim właściwości obiektów rzeczywistych i zapisane w języku formalnym. W ten sposób przekształcane są w obiekty matematyczne. Niektóre wyidealizowane właściwości stają się aksjomatami (twierdzeniami, które nie wymagają dowodu). Z tych innych prawdziwych właściwości następnie wyprowadza się. W ten sposób powstaje realnie istniejący obiekt.

Dwie sekcje

Matematykę można podzielić na dwie uzupełniające się części. Nauki teoretyczne zajmują się głęboką analizą struktur wewnątrzmatematycznych. Nauki stosowane dostarczają swoje modele innym dyscyplinom. Fizyka, chemia i astronomia, systemy inżynieryjne, prognozowanie i logika stale korzystają z aparatu matematycznego. Za jego pomocą dokonuje się odkryć, odkrywa wzorce i przewiduje wydarzenia. W tym sensie znaczenie matematyki w życiu człowieka jest nie do przecenienia.

Podstawa działalności zawodowej

Bez znajomości podstawowych praw matematycznych i umiejętności ich wykorzystania, we współczesnym świecie bardzo trudno jest nauczyć się niemal każdego zawodu. Liczbami i operacjami zajmują się nie tylko finansiści i księgowi. Bez takiej wiedzy astronom nie będzie w stanie określić odległości do gwiazdy i najlepszego czasu na jej obserwację, a biolog molekularny nie będzie w stanie zrozumieć, jak sobie poradzić z mutacją genową. Inżynier nie zaprojektuje działającego systemu alarmowego czy monitoringu, a programista nie znajdzie podejścia do systemu operacyjnego. Wiele z tych i innych zawodów po prostu nie istnieje bez matematyki.

Humanistyka

Jednak rola matematyki w życiu człowieka, który na przykład poświęcił się malarstwu lub literaturze, nie jest tak oczywista. A jednak ślady królowej nauk obecne są także w humanistyce.

Wydawać by się mogło, że poezja to czysty romans i inspiracja, nie ma w niej miejsca na analizy i kalkulacje. Wystarczy jednak pamiętać o poetyckich wymiarach amfibrachów), a można dojść do wniosku, że matematyka też miała w tym swój udział. Rytm, werbalny czy muzyczny, jest również opisywany i obliczany przy wykorzystaniu wiedzy tej nauki.

Dla pisarza lub psychologa często ważne są takie pojęcia, jak wiarygodność informacji, izolowany przypadek, uogólnienie i tak dalej. Wszystkie są albo bezpośrednio matematyczne, albo zbudowane w oparciu o prawa opracowane przez królową nauk i istnieją dzięki niej i według jej zasad.

Psychologia narodziła się na styku nauk humanistycznych i przyrodniczych. Wszystkie jej kierunki, nawet te działające wyłącznie z obrazami, opierają się na obserwacji, analizie danych, ich uogólnieniu i weryfikacji. Wykorzystuje się tu metody modelowania, prognozowania i statystyki.

Ze szkoły

Matematyka jest obecna w naszym życiu nie tylko w procesie opanowywania zawodu i wdrażania zdobytej wiedzy. Tak czy inaczej, niemal w każdym momencie posługujemy się królową nauk. Dlatego naukę matematyki zaczyna się dość wcześnie. Rozwiązując proste i złożone problemy, dziecko nie tylko uczy się dodawać, odejmować i mnożyć. Powoli, od podstaw, pojmuje strukturę współczesnego świata. I nie mówimy tu o postępie technicznym czy możliwości sprawdzenia zmiany w sklepie. Matematyka kształtuje pewne cechy myślenia i wpływa na nasz stosunek do świata.

Najprostsze, najtrudniejsze, najważniejsze

Pewnie każdy pamięta choć jeden wieczór podczas odrabiania lekcji, kiedy chciał rozpaczliwie krzyknąć: „Nie rozumiem, po co jest matematyka!”, odrzucić znienawidzone, skomplikowane i żmudne problemy i pobiec z przyjaciółmi na podwórko. W szkole, a nawet później, na studiach, zapewnienia rodziców i nauczycieli, że „przyda się później”, wydają się irytującym bzdurą. Okazuje się jednak, że mają rację.

To matematyka, a potem fizyka, uczy znajdowania związków przyczynowo-skutkowych, wyrabia nawyk szukania osławionego „skąd wyrastają nogi”. Uwaga, koncentracja, siła woli - trenują także w rozwiązywaniu tak znienawidzonych problemów. Jeśli pójdziemy dalej, umiejętność wyciągania konsekwencji z faktów, przewidywania przyszłych zdarzeń i robienia tego samego kształtuje się podczas studiowania teorii matematycznych. Modelowanie, abstrakcja, dedukcja i indukcja to nauki i jednocześnie sposoby pracy mózgu z informacją.

I znowu psychologia

Często to właśnie matematyka daje dziecku odkrycie, że dorośli nie są wszechmocni i nie wiedzą wszystkiego. Dzieje się tak, gdy mama lub tata, poproszeni o pomoc w rozwiązaniu problemu, po prostu wzruszają ramionami i deklarują, że nie są w stanie tego zrobić. A dziecko jest zmuszone szukać odpowiedzi samodzielnie, popełniać błędy i szukać jeszcze raz. Zdarza się również, że rodzice po prostu odmawiają pomocy. „Musisz to zrobić sam” – mówią. I robią to dobrze. Po wielu godzinach prób dziecko otrzyma nie tylko odrobioną pracę domową, ale umiejętność samodzielnego znajdowania rozwiązań, wykrywania i poprawiania błędów. Na tym polega także rola matematyki w życiu człowieka.

Oczywiście samodzielność, umiejętność podejmowania decyzji, odpowiedzialność za nie i brak strachu przed błędami rozwijane są nie tylko na lekcjach algebry i geometrii. Ale te dyscypliny odgrywają znaczącą rolę w tym procesie. Matematyka kształtuje takie cechy, jak determinacja i aktywność. To prawda, że wiele zależy od nauczyciela. Niewłaściwa prezentacja materiału, nadmierny rygor i presja mogą wręcz przeciwnie, zaszczepiać strach przed trudnościami i błędami (najpierw na zajęciach, a potem w życiu), niechęć do wyrażania swojej opinii i bierność.

Matematyka w życiu codziennym

Po ukończeniu uniwersytetu lub college'u dorośli z każdym dniem nie przestają rozwiązywać problemów matematycznych. Jak złapać pociąg? Czy kilogram mięsa może ugotować obiad dla dziesięciu gości? Ile kalorii jest w naczyniu? Jak długo będzie działać jedna żarówka? Te i wiele innych pytań są bezpośrednio związane z Królową Nauk i bez niej nie da się ich rozwiązać. Okazuje się, że matematyka jest niewidocznie obecna w naszym życiu niemal stale. A najczęściej nawet tego nie zauważamy.

Matematyka w życiu społeczeństwa i jednostki wpływa na ogromną liczbę dziedzin. Niektóre zawody są bez niej nie do pomyślenia, wiele pojawiło się dopiero dzięki rozwojowi poszczególnych jej dziedzin. Współczesny postęp techniczny jest ściśle związany ze skomplikowaniem i rozwojem aparatu matematycznego. Komputery i telefony, samoloty i statki kosmiczne nigdy by się nie pojawiły, gdyby ludzie nie znali królowej nauk. Na tym jednak rola matematyki w życiu człowieka się nie kończy. Nauka pomaga dziecku opanować świat, uczy efektywniej z nim współdziałać, kształtuje jego sposób myślenia i indywidualne cechy charakteru. Jednak sama matematyka nie poradziłaby sobie z takimi zadaniami. Jak wspomniano powyżej, ogromną rolę odgrywa prezentacja materiału i cechy osobowości tego, kto wprowadza dziecko w świat.

Podsumowując, spróbujemy pokrótce scharakteryzować ogólne wzorce rozwoju matematyki.

1. Matematyka nie jest wytworem jakiejś jednej epoki historycznej, żadnego narodu; jest wytworem wielu epok, wytworem pracy wielu pokoleń. Powstały jej pierwsze koncepcje i postanowienia

jak widzieliśmy, w starożytności i już ponad dwa tysiące lat temu zostały one wprowadzone w harmonijny system. Pomimo wszystkich przemian matematyki, jej pojęcia i wnioski zostają zachowane, przechodząc z jednej epoki do drugiej, jak na przykład reguły arytmetyki czy twierdzenie Pitagorasa.

Nowe teorie uwzględniają dotychczasowe osiągnięcia, wyjaśniając je, uzupełniając i uogólniając.

Jednocześnie, jak wynika z podanego powyżej krótkiego zarysu historii matematyki, jej rozwoju nie tylko nie można sprowadzić do prostego nagromadzenia nowych twierdzeń, ale zachodzą w nim istotne zmiany jakościowe. W związku z tym rozwój matematyki dzieli się na szereg okresów, których przejścia są precyzyjnie wyznaczane przez tak zasadnicze zmiany w samym przedmiocie lub strukturze tej nauki.

Matematyka obejmuje w swoim zakresie wszystkie nowe obszary ilościowych relacji rzeczywistości. Jednocześnie najważniejszym przedmiotem matematyki były i pozostają formy przestrzenne i relacje ilościowe w prostym, najbardziej bezpośrednim znaczeniu tych słów, a matematyczne rozumienie nowych powiązań i relacji nieuchronnie następuje na podstawie i w powiązaniu z już ustalony system ilościowych i przestrzennych koncepcji naukowych.

Wreszcie, akumulacja wyników w samej matematyce pociąga za sobą zarówno wzniesienie się na nowe poziomy abstrakcji, do nowych pojęć uogólniających, jak i pogłębienie analizy podstaw i pojęć początkowych.

Tak jak dąb w swoim potężnym wzroście zagęszcza stare gałęzie nowymi warstwami, wypuszcza nowe gałęzie, rozciąga się w górę i pogłębia się z korzeniami w dół, tak matematyka w swoim rozwoju gromadzi nowy materiał na swoich już ustalonych obszarach, tworzy nowe kierunki, wznosi się na nowe wyżyny abstrakcji i zagłębia się w jej podstawy.

2. Matematyka ma za przedmiot realne formy i stosunki rzeczywistości, lecz, jak mówił Engels, aby badać te formy i relacje w ich czystej postaci, należy je całkowicie oddzielić od ich treści, tę ostatnią pominąć coś obojętnego. Formy i relacje nie istnieją jednak poza treścią, formy i relacje matematyczne nie mogą być wobec treści całkowicie obojętne. Dlatego matematyka, która ze swej istoty dąży do takiego rozdzielenia, dąży do osiągnięcia niemożliwego. Jest to zasadnicza sprzeczność w samej istocie matematyki. Jest to specyficzny dla matematyki przejaw ogólnej sprzeczności poznania. Refleksja myślowa nad każdym zjawiskiem, każdą stroną, każdym momentem rzeczywistości zgrubia, upraszcza ją, wyrywając ją z ogólnego związku natury. Kiedy ludzie badając właściwości przestrzeni, ustalili, że ma ona geometrię euklidesową, było to coś wyjątkowego

ważny akt poznania, ale zawierał też złudzenie: rzeczywiste właściwości przestrzeni [ujmowano w sposób uproszczony, schematyczny, w abstrakcji od materii. Ale bez tego po prostu nie byłoby geometrii i to właśnie na podstawie tej abstrakcji (zarówno z wewnętrznych badań, jak i z porównania wyników matematycznych z nowymi danymi z innych nauk) narodziły się i umocniły nowe teorie geometryczne.

Ciągłe rozwiązywanie i przywracanie tej sprzeczności na etapach poznania coraz bliższych rzeczywistości stanowi istotę rozwoju poznania. Decydującym czynnikiem jest w tym przypadku oczywiście pozytywna treść wiedzy, zawarty w niej pierwiastek prawdy absolutnej. Wiedza porusza się po linii rosnącej i nie wyznacza czasu, po prostu zmieszana z błędem. Przepływ wiedzy jest ciągłym pokonywaniem jej niedokładności i ograniczeń.

Ta główna sprzeczność pociąga za sobą inne. Widzieliśmy to na przykładzie przeciwieństw dyskretnego i ciągłego. (W przyrodzie nie ma między nimi absolutnej przepaści, a ich rozdzielenie w matematyce nieuchronnie pociągnęło za sobą konieczność tworzenia coraz to nowych pojęć, które głębiej odzwierciedlają rzeczywistość, a jednocześnie pokonują wewnętrzne niedoskonałości istniejącej teorii matematycznej). Dokładnie w ten sam sposób sprzeczności skończonego i nieskończonego, abstrakcji i konkretu, formy i treści itd. pojawiają się w matematyce jako przejaw jej zasadniczej sprzeczności. Jednak jego decydującym przejawem jest to, że odrywając się od konkretu, krążąc w kręgu swoich abstrakcyjnych pojęć, matematyka oddziela się w ten sposób od doświadczenia i praktyki, a jednocześnie jest tylko nauką (tj. ma wartość poznawczą) o tyle, o ile opiera się na na praktyce, ponieważ okazuje się, że nie jest to czysta, ale stosowana matematyka. Ujmując to nieco w języku heglowskim, czysta matematyka nieustannie „zaprzecza” sobie jako czysta matematyka, bez tego nie może mieć znaczenia naukowego, nie może się rozwijać, nie może przezwyciężyć trudności, które nieuchronnie się w niej pojawiają.

W swojej formalnej formie teorie matematyczne przeciwstawiane są rzeczywistej treści jako pewne schematy konkretnych wniosków. W tym przypadku matematyka działa jako metoda formułowania ilościowych praw nauk przyrodniczych, jako aparat do rozwijania jej teorii, jako sposób rozwiązywania problemów w naukach przyrodniczych i technologii. Znaczenie czystej matematyki na obecnym etapie polega przede wszystkim na metodzie matematycznej. I tak jak każda metoda istnieje i rozwija się nie sama z siebie, lecz jedynie w oparciu o swoje zastosowania, w powiązaniu z treścią, do której jest stosowana, tak i matematyka nie może istnieć i rozwijać się bez zastosowań. Tutaj znowu ujawnia się jedność przeciwieństw: metoda ogólna przeciwstawia się konkretnemu problemowi jako sposobowi jego rozwiązania, ale sama wynika z uogólnienia określonego materiału i istnieje

rozwija się i znajduje swoje uzasadnienie jedynie w rozwiązywaniu konkretnych problemów.

3. Praktyka społeczna odgrywa decydującą rolę w rozwoju matematyki pod trzema względami. Stawia przed matematyką nowe problemy, stymuluje jej rozwój w tym czy innym kierunku i dostarcza kryterium prawdziwości jej wniosków.

Widać to niezwykle wyraźnie w powstaniu analizy. Po pierwsze, to rozwój mechaniki i technologii podniósł problem badania zależności zmiennych w ich ogólnej postaci. Archimedes, zbliżywszy się do rachunku różniczkowego i całkowego, pozostał jednak w ramach zagadnień statyki, podczas gdy w czasach nowożytnych to właśnie badanie ruchu zrodziło pojęcia zmiennej i funkcji oraz wymusiło sformułowanie analizy. Newton nie mógłby rozwinąć mechaniki bez opracowania odpowiedniej metody matematycznej.

Po drugie, to właśnie potrzeby produkcji społecznej skłoniły do sformułowania i rozwiązania wszystkich tych problemów. Ani w społeczeństwie starożytnym, ani średniowiecznym nie istniały takie zachęty. Wreszcie jest rzeczą bardzo charakterystyczną, że analiza matematyczna od samego początku znajdowała uzasadnienie dla swoich wniosków właśnie w zastosowaniach. Tylko dlatego mógłby się on rozwijać bez podanych później ścisłych definicji jego podstawowych pojęć (zmienna, funkcja, granica). Prawdziwość analizy potwierdziły zastosowania w mechanice, fizyce i technologii.

Powyższe dotyczy wszystkich okresów rozwoju matematyki. Od XVII wieku. Najbardziej bezpośredni wpływ na jej rozwój wywiera obok mechaniki fizyka teoretyczna i problemy nowych technologii. Mechanika kontinuum, a następnie teoria pola (przewodność cieplna, elektryczność, magnetyzm, pole grawitacyjne) kierują rozwojem teorii równań różniczkowych cząstkowych. Rozwój teorii molekularnej i ogólnie fizyki statystycznej, począwszy od końca ubiegłego wieku, stał się ważnym bodźcem do rozwoju teorii prawdopodobieństwa, zwłaszcza teorii procesów losowych. Teoria względności odegrała decydującą rolę w rozwoju geometrii Riemanna wraz z jej metodami analitycznymi i uogólnieniami.

Obecnie rozwój nowych teorii matematycznych, takich jak analiza funkcjonalna itp., jest stymulowany problemami mechaniki kwantowej i elektrodynamiki, problemami informatyki, zagadnieniami statystycznymi fizyki i technologii itp. itp. Fizyka i technika nie tylko stanowią nowe wyzwania problemów matematyki, popychają ją w stronę nowych przedmiotów badań, ale także rozbudzają rozwój niezbędnych dla nich gałęzi matematyki, która początkowo rozwijała się w większym stopniu sama w sobie, jak miało to miejsce w przypadku geometrii riemannowskiej. Krótko mówiąc, dla intensywnego rozwoju nauki konieczne jest, aby nie tylko podchodziła ona do rozwiązywania nowych problemów, ale aby narzucała ona potrzebę ich rozwiązywania

potrzeby rozwojowe społeczeństwa. W matematyce powstało ostatnio wiele teorii, jednak rozwinięte i mocno wpisane do nauki są tylko te, które znalazły swoje zastosowanie w naukach przyrodniczych i technice lub odegrały rolę ważnych uogólnień tych teorii, które mają takie zastosowania. Jednocześnie bez ruchu pozostają inne teorie, jak na przykład niektóre wyrafinowane teorie geometryczne (geometrie niedesarguezjańskie, niearchimedesowe), które nie znalazły znaczących zastosowań.

Prawdziwość wniosków matematycznych znajduje ostateczną podstawę nie w ogólnych definicjach i aksjomatach, nie w formalnym rygorze dowodów, ale w rzeczywistych zastosowaniach, czyli ostatecznie w praktyce.

Ogólnie rzecz biorąc, rozwój matematyki należy rozumieć przede wszystkim jako wynik interakcji logiki jej przedmiotu, odzwierciedlonej w wewnętrznej logice samej matematyki, wpływie produkcji i powiązaniach z naukami przyrodniczymi. Różnica ta przebiega po skomplikowanych ścieżkach walki między przeciwieństwami, włączając w to znaczące zmiany w podstawowych treściach i formach matematyki. Pod względem merytorycznym rozwój matematyki jest zdeterminowany przez jej przedmiot, ale jest stymulowany głównie i ostatecznie potrzebami produkcji. Jest to podstawowy wzorzec rozwoju matematyki.

Oczywiście nie możemy zapominać, że mówimy tylko o podstawowym wzorcu i że związek między matematyką a produkcją, ogólnie rzecz biorąc, jest złożony. Z tego, co powiedziano powyżej, jasno wynika, że naiwnością byłoby próbować uzasadniać powstanie jakiejkolwiek teorii matematycznej bezpośrednim „zleceniem produkcyjnym”. Co więcej, matematyka, jak każda nauka, ma względną niezależność, własną logikę wewnętrzną, odzwierciedlającą, jak podkreślaliśmy, logikę obiektywną, czyli regularność jej przedmiotu.

4. Matematyka zawsze wywierała największy wpływ nie tylko na produkcję społeczną, ale także na wszystkie warunki społeczne w ogóle. Jej błyskotliwy postęp w epoce powstania starożytnej Grecji, sukces algebry we Włoszech w okresie renesansu, rozwój analizy w epoce, która nastąpiła po rewolucji angielskiej, sukces matematyki we Francji w okresie sąsiadującym z rewolucją francuską - wszystko to w przekonujący sposób pokazuje nierozerwalny związek postępu matematyki z ogólnym postępem technicznym, kulturalnym i politycznym społeczeństwa.

Widać to wyraźnie także w rozwoju matematyki w Rosji. Powstania niezależnej rosyjskiej szkoły matematycznej, wywodzącej się z Łobaczewskiego, Ostrogradskiego i Czebyszewa, nie można oddzielać od postępu całego społeczeństwa rosyjskiego. Czas Łobaczewskiego to czas Puszkina,

Glinka, czasy dekabrystów i rozkwit matematyki były jednym z elementów powszechnego ożywienia.

Tym bardziej przekonujący jest wpływ rozwoju społecznego w okresie po Wielkiej Socjalistycznej Rewolucji Październikowej, kiedy z zadziwiającą szybkością pojawiały się badania o fundamentalnym znaczeniu w wielu kierunkach: w teorii mnogości, topologii, teorii liczb, teorii prawdopodobieństwa, teorii równania różniczkowe, analiza funkcjonalna, algebra, geometria.

Wreszcie, matematyka zawsze pozostawała i pozostaje pod znaczącym wpływem ideologii. Jak w każdej nauce, obiektywna treść matematyki jest postrzegana i interpretowana przez matematyków i filozofów w ramach tej czy innej ideologii.

Krótko mówiąc, obiektywna treść nauki zawsze mieści się w tej czy innej formie ideologicznej; jedność i walka tych dialektycznych przeciwieństw - obiektywnej treści i form ideologicznych - w matematyce, jak w każdej nauce, odgrywają ważną rolę w jej rozwoju.

Walka pomiędzy materializmem, który odpowiada obiektywnej treści nauki, a idealizmem, który zaprzecza tej treści i wypacza jej rozumienie, toczy się przez całą historię matematyki. Walka ta została wyraźnie zaznaczona już w starożytnej Grecji, gdzie idealizm Pitagorasa, Sokratesa i Platona przeciwstawiał się materializmowi Talesa, Demokryta i innych filozofów tworzących grecką matematykę. Wraz z rozwojem systemu niewolniczego elity społeczeństwa oderwały się od udziału w produkcji, uznając to za los klas niższych, co doprowadziło do oddzielenia „czystej” nauki od praktyki. Jedynie geometria czysto teoretyczna została uznana za godną uwagi prawdziwego filozofa. Charakterystyczne jest, że Platon uważał powstające badania niektórych krzywych mechanicznych, a nawet przekrojów stożkowych za pozostające poza granicami geometrii, gdyż „nie wprowadzają nas w łączność z ideami wiecznymi i bezcielesnymi” oraz „wymagają użycia narzędzi wulgarnego rzemiosło."

Uderzającym przykładem walki materializmu z idealizmem w matematyce jest działalność Łobaczewskiego, który wysuwał i bronił materialistycznego rozumienia matematyki przeciwko idealistycznym poglądom kantyzmu.

Rosyjską szkołę matematyczną charakteryzuje ogólnie tradycja materialistyczna. Tym samym Czebyszew wyraźnie podkreślił decydujące znaczenie praktyki, a Lapunow wyraził styl rosyjskiej szkoły matematycznej w następujących niezwykłych słowach: „Szczegółowe opracowanie zagadnień szczególnie ważnych z punktu widzenia zastosowania, a jednocześnie prezentujących szczególne trudności teoretyczne, wymagające wynalezienia nowych metod i wzniesienia się do zasad nauki, a następnie uogólnienia ustaleń i w ten sposób stworzenia mniej lub bardziej ogólnej teorii. Uogólnienia i abstrakcje nie są same w sobie, ale w powiązaniu z konkretnym materiałem

twierdzenia i teorie nie same w sobie, ale w ogólnym powiązaniu nauki, prowadzącym ostatecznie do praktyki – to właśnie okazuje się rzeczywiście ważne i obiecujące.

Takie były także aspiracje tak wielkich uczonych jak Gauss i Riemann.

Jednak wraz z rozwojem kapitalizmu w Europie poglądy materialistyczne, które odzwierciedlały zaawansowaną ideologię wschodzącej burżuazji XVI - początku XIX wieku, zaczęły być zastępowane poglądami idealistycznymi. Przykładowo Cantor (1846-1918), tworząc teorię zbiorów nieskończonych, odwoływał się bezpośrednio do Boga, mówiąc w duchu, że zbiory nieskończone mają absolutne istnienie w boskim umyśle. Największy francuski matematyk końca XIX i początku XX wieku. Poincaré wysunął idealistyczną koncepcję „konwencjonalizmu”, zgodnie z którą matematyka jest schematem konwencjonalnych porozumień, przyjętym dla wygody opisu różnorodności doświadczeń. Zatem zdaniem Poincarégo aksjomaty geometrii euklidesowej nie są niczym innym jak zgodnościami warunkowymi, a o ich znaczeniu decyduje wygoda i prostota, a nie ich zgodność z rzeczywistością. Dlatego Poincaré stwierdził, że np. w fizyce woleliby raczej porzucić prawo prostoliniowego rozchodzenia się światła niż geometrię euklidesową. Ten punkt widzenia został obalony przez rozwój teorii względności, która pomimo całej „prostoty” i „wygody” geometrii euklidesowej, w pełnej zgodzie z materialistycznymi ideami Łobaczewskiego i Riemanna, doprowadziła do wniosku, że rzeczywista geometria przestrzeni różni się od euklidesowej.

Ze względu na trudności, jakie pojawiły się w teorii mnogości, a także w związku z koniecznością analizowania podstawowych pojęć matematyki, wśród matematyków na początku XX wieku. pojawiły się różne prądy. Utracono jedność w rozumieniu treści matematyki; różni matematycy zaczęli inaczej postrzegać nie tylko ogólne podstawy nauki, jak miało to miejsce wcześniej, ale nawet zaczęli odmiennie oceniać znaczenie i znaczenie poszczególnych konkretnych wyników i dowodów. Wnioski, które jednym wydawały się sensowne i znaczące, przez innych uznano za pozbawione znaczenia i znaczenia. Powstały idealistyczne ruchy „logicyzmu”, „intuicjonizmu”, „formalizmu” itp.

Logistycy twierdzą, że całą matematykę można wyprowadzić z pojęć logiki. Intuicjoniści widzą źródło matematyki w intuicji i nadają znaczenie tylko temu, co jest intuicyjnie postrzegane. Dlatego w szczególności całkowicie zaprzeczają znaczeniu teorii zbiorów nieskończonych Cantora. Co więcej, intuicjoniści zaprzeczają prostemu znaczeniu nawet takich stwierdzeń

jako twierdzenie, że każde algebraiczne równanie stopnia ma pierwiastki. Dla nich ta instrukcja jest pusta, dopóki nie zostanie określona metoda obliczania pierwiastków. Zatem całkowite zaprzeczenie obiektywnemu znaczeniu matematyki doprowadziło intuicjonistów do zdyskredytowania znacznej części osiągnięć matematyki jako „pozbawionej znaczenia”. Najbardziej skrajny z nich posunął się nawet do twierdzenia, że matematyków jest tylu, ilu jest matematyków.

Próbę na swój sposób uratowania matematyki przed tego rodzaju atakiem podjął największy matematyk początku naszego stulecia – D. Hilbert. Istotą jego pomysłu było sprowadzenie teorii matematycznych do czysto formalnych operacji na symbolach według ustalonych reguł. Kalkulacja była taka, że przy tak całkowicie formalnym podejściu wszelkie trudności zostaną usunięte, gdyż przedmiotem matematyki będą symbole i zasady postępowania z nimi, bez żadnego związku z ich znaczeniem. Na tym polega formalizm w matematyce. Według intuicjonisty Brouwera dla formalisty prawda matematyki jest na papierze, dla intuicjonisty – w głowie matematyka.

Nietrudno jednak zauważyć, że i jedno i drugie myli się, bo matematyka, a jednocześnie to, co jest napisane na papierze i to, co myśli matematyk, odzwierciedla rzeczywistość, a prawda matematyki polega na jej zgodności z obiektywną rzeczywistością . Oddzielając matematykę od rzeczywistości materialnej, wszystkie te tendencje okazują się idealistyczne.

Pomysł Hilberta został pokonany przez własny rozwój. Austriacki matematyk Gödel udowodnił, że nawet arytmetyki nie można całkowicie sformalizować, jak miał nadzieję Hilbert. Konkluzja Gödla wyraźnie ujawniła wewnętrzną dialektykę matematyki, która nie pozwala na wyczerpanie żadnego z jej obszarów przez rachunek formalny. Nawet najprostsza nieskończoność naturalnego ciągu liczb okazała się niewyczerpanym, skończonym schematem symboli i zasad postępowania z nimi. Udowodniono w ten sposób matematycznie to, co Engels wyraził w sposób ogólny, pisząc:

„Nieskończoność jest sprzecznością... Zniszczenie tej sprzeczności byłoby końcem nieskończoności.” Hilbert miał nadzieję zamknąć matematyczną nieskończoność w ramach skończonych schematów i w ten sposób wyeliminować wszelkie sprzeczności i trudności. To okazało się niemożliwe.

Ale w warunkach kapitalizmu konwencjonalizm, intuicjonizm, formalizm i inne podobne ruchy nie tylko zostają zachowane, ale są uzupełniane przez nowe warianty idealistycznych poglądów na matematykę. Teorie związane z analizą logiczną podstaw matematyki znajdują istotne zastosowanie w niektórych nowych odmianach subiektywnego idealizmu. Subiektywny

idealizm posługuje się obecnie matematyką, w szczególności logiką matematyczną, w nie mniejszym stopniu niż fizyką, dlatego kwestie zrozumienia podstaw matematyki stają się szczególnie ostre.

Tym samym trudności w rozwoju matematyki w warunkach kapitalizmu spowodowały kryzys ideologiczny tej nauki, podobny w swoich podstawach do kryzysu fizyki, którego istotę wyjaśnił Lenin w swoim genialnym dziele „Materializm i Empirio” -Krytyka." Kryzys ten wcale nie oznacza, że matematyka w krajach kapitalistycznych jest całkowicie opóźniona w rozwoju. Szereg naukowców o wyraźnie idealistycznych stanowiskach osiąga ważne, czasem wybitne sukcesy w rozwiązywaniu konkretnych problemów matematycznych i opracowywaniu nowych teorii. Wystarczy wspomnieć o genialnym rozwoju logiki matematycznej.

Zasadnicza wada powszechnego w krajach kapitalistycznych poglądu na matematykę polega na jej idealizmie i metafizyce: oddzieleniu matematyki od rzeczywistości i zaniedbaniu jej prawdziwego rozwoju. Logistyka, intuicjonizm, formalizm i inne podobne nurty uwydatniają w matematyce jeden z jej aspektów – związek z logiką, intuicyjną klarowność, rygor formalny itp. – bezzasadnie wyolbrzymiają, absolutyzują jej znaczenie, oddzielają od rzeczywistości i po głębokiej analizie tego Jedną z cech matematyki samej w sobie jest utrata z pola widzenia matematyki jako całości. Właśnie z powodu tej jednostronności żaden z tych nurtów, przy całej subtelności i głębi indywidualnych wniosków, nie może prowadzić do prawidłowego rozumienia matematyki. W przeciwieństwie do różnych nurtów i odcieni idealizmu i metafizyki, materializm dialektyczny traktuje matematykę, jak całą naukę jako całość, taką, jaką jest, w całym bogactwie i złożoności jej powiązań i rozwoju. I właśnie dlatego, że materializm dialektyczny stara się zrozumieć całe bogactwo i całą złożoność powiązań nauki z rzeczywistością, całą złożoność jej rozwoju, przechodząc od prostego uogólnienia doświadczenia do wyższych abstrakcji, a od nich do praktyki, właśnie dlatego, że stale prowadzi swoje podejście do nauki zgodnie z jej obiektywną treścią, swoimi nowymi odkryciami, właśnie z tego powodu i ostatecznie tylko z tego powodu okazuje się jedyną prawdziwie naukową filozofią prowadzącą do prawidłowego zrozumienia nauki ogólnie, a w szczególności matematyki.

Wstęp

W szkole często słyszymy, że matematyka jest królową nauk. Któregoś dnia usłyszałam jeszcze jedno zdanie, które kiedyś wypowiedziała jedna z moich nauczycielek, a tata lubi powtarzać: „Natura nie jest na tyle głupia, żeby nie stosować praw matematyki”. (Kotelnikov F.M., były profesor matematyki na wydziale Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego). To właśnie skłoniło mnie do przestudiowania tego zagadnienia.

Ideę tę potwierdza następujące powiedzenie: „Piękno jest zawsze względne... Nie należy... zakładać, że brzegi oceanu są naprawdę bezkształtne tylko dlatego, że ich kształt różni się od prawidłowego kształtu zbudowanych przez nas pomostów; kształtu gór nie można uznać za nieregularny na tej podstawie, że nie są to regularne stożki lub piramidy; To, że odległości między gwiazdami są nierówne, nie oznacza, że zostały one rozrzucone po niebie nieudolną ręką. Te nieprawidłowości istnieją tylko w naszej wyobraźni, ale w rzeczywistości tak nie jest i w żaden sposób nie zakłócają prawdziwych przejawów życia na Ziemi, w królestwie roślin i zwierząt, czy wśród ludzi. (Richard Bentley, XVII-wieczny angielski naukowiec)

Ale studiując matematykę, opieramy się wyłącznie na znajomości wzorów, twierdzeń i obliczeń. A matematyka jawi się nam jako rodzaj abstrakcyjnej nauki operującej liczbami. Jak się jednak okazuje, matematyka jest piękną nauką.

Dlatego postawiłem sobie następujący cel: pokazać piękno matematyki za pomocą wzorców istniejących w naturze.

Aby osiągnąć swój cel, podzielono go na szereg zadań:

Poznaj różnorodność wzorów matematycznych używanych przez naturę.

Podaj opis tych wzorów.

Korzystając z własnego doświadczenia, spróbuj znaleźć matematyczne zależności w budowie ciała kota (jak stwierdzono w jednym ze słynnych filmów: pociąg na koty).

Metody wykorzystane w pracy: analiza literatury przedmiotu, eksperyment naukowy.

1. Szukaj wzorców matematycznych w przyrodzie.

Wzorców matematycznych można poszukiwać zarówno w przyrodzie ożywionej, jak i nieożywionej.

Ponadto konieczne jest określenie, jakich wzorców szukać.

Ponieważ w szóstej klasie nie studiowano zbyt wielu wzorów, musiałam przestudiować podręczniki w szkole średniej. Dodatkowo musiałam wziąć pod uwagę, że przyroda bardzo często wykorzystuje wzory geometryczne. Dlatego oprócz podręczników do algebry musiałem zwrócić uwagę na podręczniki do geometrii.

Wzorce matematyczne występujące w przyrodzie:

Złoty podział. Liczby Fibonacciego (spirala Archimedesa). Jak również inne rodzaje spiral.
Różne rodzaje symetrii: centralna, osiowa, obrotowa. A także symetria w przyrodzie ożywionej i nieożywionej.
Kąty i kształty geometryczne.
Fraktale. Termin fraktal pochodzi z języka łacińskiego fraktus (przerwa, przerwa), tj. tworzyć fragmenty o nieregularnym kształcie.
Postęp arytmetyki i geometrii.

Przyjrzyjmy się zidentyfikowanym wzorcom bardziej szczegółowo, ale w nieco innej kolejności.

Pierwszą rzeczą, która rzuca się w oczy, jest obecność symetria w naturze.W tłumaczeniu z języka greckiego słowo to oznacza „proporcjonalność, proporcjonalność, jednolitość układu części”. Matematycznie rygorystyczna koncepcja symetrii powstała stosunkowo niedawno – w XIX wieku. W najprostszej interpretacji (według G. Weila) współczesna definicja symetrii wygląda następująco: obiekt, który można w jakiś sposób zmienić, uzyskując to samo, od czego zaczęliśmy, nazywa się symetrycznym. .

W naturze dwa najczęstsze typy symetrii to symetria „lustrzana” i „wiązka” („promieniowa”). Jednak oprócz jednej nazwy te typy symetrii mają inne. Dlatego symetria lustrzana nazywana jest również: symetrią osiową, dwustronną, symetrią liściową. Symetria promieniowa nazywana jest również symetrią promieniową.

Symetria osiowa występuje najczęściej w naszym świecie. Domy, różne urządzenia, samochody (zewnętrznie), ludzie (!) są symetryczni lub prawie symetryczni. Ludzie są symetryczni, ponieważ wszyscy zdrowi ludzie mają dwie ręce, każda dłoń ma pięć palców; jeśli złożysz dłonie, będzie to jak lustrzane odbicie.

Sprawdzenie symetrii jest bardzo proste. Wystarczy wziąć lustro i umieścić je mniej więcej pośrodku przedmiotu. Jeśli część obiektu znajdująca się po matowej, nieodblaskowej stronie lustra odpowiada odbiciu, wówczas obiekt jest symetryczny.

Symetria promieniowa .Wszystko, co rośnie lub porusza się w pionie, tj. w górę lub w dół względem powierzchni ziemi, z zastrzeżeniem symetrii promieniowej.

Liście i kwiaty wielu roślin mają symetrię promieniową. (Rys. 1, załączniki)

W przekrojach tkanek tworzących korzeń lub łodygę rośliny wyraźnie widoczna jest symetria promieniowa (kiwi, ścięcie drzewa). Symetria promieniowa jest charakterystyczna dla form osiadłych i przywiązanych (koralowce, hydry, meduzy, ukwiały). (Rys. 2, załączniki)

Symetria obrotowa . Obrót o określoną liczbę stopni, któremu towarzyszy przesunięcie na odległość wzdłuż osi obrotu, powoduje powstanie symetrii śrubowej – symetrii schodów kręconych. Przykładem symetrii spiralnej jest ułożenie liści na łodydze wielu roślin. Główka słonecznika ma pędy ułożone w geometryczne spirale, rozwijające się od środka na zewnątrz. (Rys. 3, załączniki)

Symetrię można znaleźć nie tylko w naturze żywej. W przyrodzie nieożywionej Istnieją również przykłady symetrii. Symetria przejawia się w różnorodnych strukturach i zjawiskach świata nieorganicznego. Symetria zewnętrznego kształtu kryształu jest konsekwencją jego wewnętrznej symetrii - uporządkowanego względnego układu w przestrzeni atomów (cząsteczek).

Symetria płatków śniegu jest bardzo piękna.

Trzeba jednak powiedzieć, że natura nie toleruje dokładnej symetrii. Zawsze są przynajmniej niewielkie odchylenia. Zatem nasze ręce, nogi, oczy i uszy nie są do końca identyczne, chociaż są bardzo podobne.

Złoty podział.

Obecnie w szóstej klasie nie naucza się złotego podziału. Wiadomo jednak, że złota proporcja, czyli złota proporcja, to stosunek mniejszej części do większej, dający ten sam wynik przy podziale całego odcinka na większą część i podzieleniu większej części na mniejszą. Wzór: A/B=B/C

Zasadniczo stosunek wynosi 1/1,618. Złoty podział jest bardzo powszechny w świecie zwierząt.

Człowiek, można powiedzieć, „składa się” wyłącznie ze złotego podziału. Na przykład odległość między oczami (1,618) i między brwiami (1) to złoty podział. A odległość od pępka do stopy i wysokość również będą złotą proporcją. Całe nasze ciało jest „usypane” złotymi proporcjami. (Rys. 5, załączniki)

Kąty i kształty geometryczne Występują również powszechnie w przyrodzie. Istnieją zauważalne kąty, są one wyraźnie widoczne na przykład w nasionach słonecznika, w plastrach miodu, na skrzydłach owadów, w liściach klonu itp. Cząsteczka wody ma kąt 104,7 0 C. Ale są też subtelne kąty. Na przykład w kwiatostanie słonecznika nasiona znajdują się pod kątem 137,5 stopnia względem środka.

Figury geometryczne Widzieli także wszystko w przyrodzie żywej i nieożywionej, ale nie zwracali na nie uwagi. Jak wiadomo, tęcza jest częścią elipsy, której środek znajduje się poniżej poziomu gruntu. Liście roślin i owoce śliwek mają kształt eliptyczny. Chociaż prawdopodobnie można je obliczyć za pomocą bardziej złożonego wzoru. Przykładowo ten (ryc. 6, załączniki):

Świerk, niektóre rodzaje muszli i różne szyszki mają kształt stożka. Niektóre kwiatostany wyglądają jak piramida, ośmiościan lub ten sam stożek.

Najbardziej znanym naturalnym sześciokątem jest plaster miodu (pszczoła, osa, trzmiel itp.). W przeciwieństwie do wielu innych form mają niemal idealny kształt i różnią się jedynie wielkością komórek. Ale jeśli zwrócisz uwagę, zauważysz, że złożone oczy owadów są również zbliżone do tej formy.

Szyszki jodły są bardzo podobne do małych cylindrów.

Znalezienie idealnych kształtów geometrycznych w przyrodzie nieożywionej jest prawie niemożliwe, ale wiele gór wygląda jak piramidy o różnych podstawach, a mierzeja piaskowa przypomina elipsę.

A takich przykładów jest wiele.

O złotym podziale już mówiłem. Teraz chcę zwrócić uwagę na Liczby Fibonacciego i inne spirale, które są ściśle powiązane ze złotym podziałem.

Spirale są bardzo powszechne w przyrodzie. Uwagę Archimedesa przykuł kształt spiralnie zwiniętej muszli (ryc. 2). Przestudiował to i wymyślił równanie spirali. Spirala narysowana według tego równania nosi jego imię. Wzrost jej kroku jest zawsze równomierny. Obecnie spirala Archimedesa jest szeroko stosowana w technologii. (Rys. 7 załącznik)

„Złote” spirale są szeroko rozpowszechnione w świecie biologicznym. Jak wspomniano powyżej, rogi zwierzęce wyrastają tylko z jednego końca. Wzrost ten zachodzi w formie spirali logarytmicznej. W książce „Curved Lines in Life” T. Cook bada różne rodzaje spiral, które pojawiają się w rogach baranów, kóz, antylop i innych rogatych zwierząt.

Już dawno zauważono spiralne i spiralne ułożenie liści na gałęziach drzew. Spiralę można było zobaczyć w ułożeniu nasion słonecznika, szyszek, ananasów, kaktusów itp. Wspólna praca botaników i matematyków rzuciła światło na te niesamowite zjawiska naturalne. Okazało się, że w ułożeniu liści na gałęzi – filotaksji, nasionach słonecznika, szyszkach, objawia się ciąg Fibonacciego, a zatem objawia się prawo złotego podziału. Pająk tka swoją sieć spiralnie. Huragan wiruje jak spirala. Przestraszone stado reniferów rozprasza się po spirali.

I wreszcie nośniki informacji - cząsteczki DNA - również są skręcone w spiralę. Goethe nazwał spiralę „krzywą życia”.

Łuski szyszki na jej powierzchni są ułożone ściśle regularnie - wzdłuż dwóch spiral, które przecinają się w przybliżeniu pod kątem prostym.

Wróćmy jednak do jednej wybranej spirali – liczb Fibonacciego. To bardzo ciekawe liczby. Liczbę uzyskuje się przez dodanie dwóch poprzednich. Oto początkowe liczby Fibonacciego dla 144: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... I spójrzmy na kilka ilustrujących przykładów (slajd 14).

Fraktalezostały otwarte nie tak dawno temu. Pojęcie geometrii fraktalnej pojawiło się w latach 70. XX wieku. Teraz fraktale aktywnie wkroczyły w nasze życie, a nawet rozwija się taki kierunek, jak grafika fraktalna. (Rys. 8, załączniki)

Fraktale występują w przyrodzie dość często. Zjawisko to jest jednak bardziej typowe dla roślin i przyrody nieożywionej. Na przykład liście paproci, kwiatostany parasolowe. W przyrodzie nieożywionej są to uderzenia piorunów, wzory na oknach, śnieg przyklejający się do gałęzi drzew, elementy linii brzegowej i wiele innych.

Postęp geometryczny.

Postęp geometryczny w swojej najbardziej podstawowej definicji polega na pomnożeniu poprzedniej liczby przez współczynnik.

Postęp ten występuje w organizmach jednokomórkowych. Na przykład każda komórka jest podzielona na dwie, te dwie są podzielone na cztery itd. Oznacza to, że jest to postęp geometryczny ze współczynnikiem 2. Mówiąc najprościej, liczba komórek zwiększa się 2 razy przy każdym podziale.

Dokładnie tak samo jest z bakteriami. Podział, podwojenie populacji.

W związku z tym przestudiowałem wzorce matematyczne istniejące w przyrodzie i podałem odpowiednie przykłady.

Należy zauważyć, że w tej chwili aktywnie badane są prawa matematyczne w przyrodzie i istnieje nawet nauka zwana biosymetrią. Opisuje znacznie bardziej złożone wzorce, niż uwzględniono w pracy.

Przeprowadzenie eksperymentu naukowego.

Uzasadnienie wyboru:

Kot został wybrany na zwierzę doświadczalne z kilku powodów:

Mam w domu kota;

Mam ich w domu cztery, więc uzyskane dane powinny być dokładniejsze niż przy badaniu jednego zwierzęcia.

Sekwencja eksperymentu:

Pomiar ciała kota.

Rejestrowanie uzyskanych wyników;

Szukaj wzorców matematycznych.

Wnioski na podstawie uzyskanych wyników.

Lista rzeczy do nauki na kocie:

Symetria;
Złoty podział;
spirale;
Kąty;
Fraktale;
Postęp geometryczny.

Badanie symetrii na przykładzie kota wykazało, że kot jest symetryczny. Rodzaj symetrii – osiowy, tj. jest symetryczny względem osi. Jak zbadano w materiale teoretycznym, dla kota, jako zwierzęcia mobilnego, symetria promieniowa, centralna i obrotowa nie jest charakterystyczna.

Aby zbadać złoty podział, wykonałem pomiary ciała kota i sfotografowałem je. Stosunek wielkości ciała z ogonem i bez ogona, ciała bez ogona do głowy naprawdę zbliża się do wartości złotego podziału.

65/39=1,67

39/24=1,625

W takim przypadku należy wziąć pod uwagę błąd pomiaru i względną długość wełny. Ale w każdym razie uzyskane wyniki są bliskie wartości 1,618. (Rys. 9, załącznik).

Kotka uparcie nie chciała dać się zmierzyć, więc próbowałam ją sfotografować, ułożyłam skalę złotego podziału i nałożyłam ją na zdjęcia kotów. Niektóre wyniki były bardzo interesujące.

Na przykład:

wysokość siedzącego kota od podłogi do głowy i od głowy do „pachy”;
„stawy nadgarstkowe” i „stawy łokciowe”;
wysokość siedzącego kota do wysokości głowy;
szerokość kufy do szerokości grzbietu nosa;
wysokość pyska do wysokości oczu;
szerokość nosa do szerokości nozdrza;

U kota znalazłem tylko jedną spiralę - są to pazury. Podobna spirala nazywa się ewolwentą.

W ciele kota można znaleźć różne kształty geometryczne, ale ja szukałem kątów. Tylko kocie uszy i pazury były kanciaste. Ale pazury, jak zdefiniowałem wcześniej, są spiralami. Kształt uszu bardziej przypomina piramidę.

Poszukiwanie fraktali na ciele kota nie dało rezultatów, ponieważ nie ma on niczego podobnego i jest podzielony na te same drobne szczegóły. Mimo to fraktale są bardziej charakterystyczne dla roślin niż dla zwierząt, zwłaszcza ssaków.

Ale po zastanowieniu się nad tym zagadnieniem doszedłem do wniosku, że fraktale występują w ciele kota, ale w jego wewnętrznej strukturze. Ponieważ nie studiowałem jeszcze biologii ssaków, zajrzałem do Internetu i znalazłem następujące rysunki (ryc. 10, załączniki):

Dzięki nim przekonałem się, że układ krwionośny i oddechowy kota działa zgodnie z prawem fraktali.

Postęp geometryczny jest charakterystyczny dla procesu reprodukcji, ale nie dla ciała. Postęp arytmetyczny nie jest typowy dla kotów, ponieważ kot rodzi pewną liczbę kociąt. Prawdopodobnie można zaobserwować postęp geometryczny w reprodukcji kotów, ale najprawdopodobniej będą to pewne złożone współczynniki. Pozwólcie, że wyjaśnię moje przemyślenia.

Kotka zaczyna rodzić kocięta w wieku od 9 miesięcy do 2 lat (wszystko zależy od kota). Okres ciąży wynosi 64 dni. Kotka karmi kocięta przez około 3 miesiące, więc średnio będzie miała 4 mioty w roku. Liczba kociąt wynosi od 3 do 7. Jak widać, pewne wzorce można uchwycić, ale nie jest to postęp geometryczny. Parametry są zbyt niejasne.

Otrzymałem takie wyniki:

Ciało kota zawiera: symetrię osiową, złotą proporcję, spirale (pazury), kształty geometryczne (uszy piramidalne).

W wyglądzie nie ma fraktali ani postępów geometrycznych.

Budowa wewnętrzna kota należy bardziej do biologii, jednak należy zauważyć, że budowa płuc i układu krążenia (podobnie jak u innych zwierząt) podlega logice fraktali.

Wniosek

W swojej pracy zapoznawałem się z literaturą przedmiotu oraz zapoznawałem się z głównymi zagadnieniami teoretycznymi. Na konkretnym przykładzie udowodnił, że w przyrodzie wiele, jeśli nie wszystko, podlega prawom matematycznym.

Po przestudiowaniu materiału zdałem sobie sprawę, że aby zrozumieć naturę, trzeba znać nie tylko matematykę, trzeba studiować algebrę, geometrię i ich sekcje: stereometrię, trygonometrię itp.

Na przykładzie kota domowego przestudiowałem realizację praw matematycznych. W rezultacie odkryłem, że ciało kota zawiera symetrię osiową, złotą proporcję, spirale, kształty geometryczne i fraktale (w strukturze wewnętrznej). Ale jednocześnie nie udało mu się znaleźć postępu geometrycznego, choć wyraźnie widoczne były pewne wzorce w reprodukcji kotów.

I teraz zgadzam się ze stwierdzeniem: „Natura nie jest na tyle głupia, żeby nie podporządkowywać wszystkiego prawom matematyki”.

Czasami wydaje się, że nasz świat jest prosty i zrozumiały. W rzeczywistości jest to wielka tajemnica Wszechświata, który stworzył tak idealną planetę. A może stworzył go ktoś, kto zapewne wie, co robi? Największe umysły naszych czasów pracują nad tym problemem.

Za każdym razem dochodzą do wniosku, że bez Wyższego Umysłu nie da się stworzyć wszystkiego, co mamy. Jak niezwykła, złożona, a jednocześnie prosta i spontaniczna jest nasza planeta Ziemia! Otaczający nas świat jest niesamowity swoimi zasadami, kształtami i kolorami.

Prawa natury

Pierwszą rzeczą, na którą można zwrócić uwagę na naszej ogromnej i niesamowitej planecie, jest to, że występuje ona we wszystkich formach otaczającego świata, a także jest podstawową zasadą piękna, idealności i proporcjonalności. To nic innego jak matematyka w naturze.

Pojęcie „symetrii” oznacza harmonię, poprawność. Jest to właściwość otaczającej rzeczywistości, która systematyzuje fragmenty i zamienia je w jedną całość. Już w starożytnej Grecji po raz pierwszy zaczęto dostrzegać oznaki tego prawa. Na przykład Platon uważał, że piękno pojawia się wyłącznie w wyniku symetrii i proporcjonalności. Tak naprawdę, jeśli spojrzymy na przedmioty, które są proporcjonalne, prawidłowe i kompletne, wówczas nasz stan wewnętrzny będzie piękny.

Prawa matematyki w przyrodzie ożywionej i nieożywionej

Przyjrzyjmy się dowolnemu stworzeniu, na przykład najdoskonalszemu - człowiekowi. Zobaczymy strukturę ciała, która wygląda tak samo po obu stronach. Możesz także wymienić wiele przykładów, takich jak owady, zwierzęta, życie morskie, ptaki. Każdy gatunek ma swój własny kolor.

Jeśli występuje jakiś wzór lub wzór, wiadomo, że jest on odzwierciedlony wokół linii środkowej. Wszystkie organizmy powstają dzięki prawom wszechświata. Takie wzorce matematyczne można prześledzić także w przyrodzie nieożywionej.

Jeśli zwrócić uwagę na wszystkie zjawiska, takie jak tornado, tęcza, rośliny, płatki śniegu, można znaleźć w nich wiele wspólnego. Stosunkowo liść drzewa dzieli się na pół, a każda część będzie odbiciem poprzedniej.

Jeśli weźmiemy za przykład tornado, które wznosi się pionowo i wygląda jak lejek, wówczas można je również podzielić na dwie absolutnie identyczne połowy. Zjawisko symetrii można odnaleźć w zmianie dnia i nocy, pór roku. Prawa otaczającego świata mają charakter matematyczny, który ma swój własny doskonały system. Na nim opiera się cała koncepcja stworzenia Wszechświata.

Tęcza

Nieczęsto myślimy o zjawiskach naturalnych. Padał śnieg lub padał deszcz, wyszło słońce lub uderzyła burza – typowy stan zmiennej pogody. Rozważ wielokolorowy łuk, który zwykle można znaleźć po opadach atmosferycznych. Tęcza na niebie to niesamowite zjawisko naturalne, któremu towarzyszy spektrum wszystkich kolorów widocznych tylko dla ludzkiego oka. Dzieje się tak w wyniku przejścia promieni słonecznych przez odlatującą chmurę. Każda kropla deszczu służy jako pryzmat posiadający właściwości optyczne. Można powiedzieć, że każda kropla to mała tęcza.

Przechodząc przez barierę wodną, promienie zmieniają swój pierwotny kolor. Każdy strumień światła ma określoną długość i odcień. Dlatego nasze oczy postrzegają tęczę jako tak kolorową. Zwróćmy uwagę na ciekawy fakt, że zjawisko to może zaobserwować jedynie człowiek. Bo to tylko iluzja.

Rodzaje tęczy

Najbardziej powszechne są tęcze utworzone przez słońce. Jest najjaśniejszą ze wszystkich odmian. Składa się z siedmiu podstawowych kolorów: czerwonego pomarańczowego, żółtego, zielonego, niebieskiego, indygo, fioletu. Ale jeśli przyjrzymy się szczegółom, odcieni jest znacznie więcej, niż nasze oczy mogą dostrzec.
Tęcza stworzona przez Księżyc pojawia się w nocy. Uważa się, że zawsze można to zobaczyć. Ale, jak pokazuje praktyka, zjawisko to obserwuje się głównie tylko na obszarach deszczowych lub w pobliżu dużych wodospadów. Kolory księżycowej tęczy są bardzo przyćmione. Są przeznaczone do badania wyłącznie przy pomocy specjalnego sprzętu. Ale nawet przy tym nasze oko może dostrzec tylko biały pasek.
Tęcza, która pojawia się w wyniku mgły, przypomina szeroki świecący łuk światła. Czasami ten typ jest mylony z poprzednim. Kolor może być pomarańczowy na górze i odcień fioletu na dole. Promienie słoneczne przechodzące przez mgłę tworzą piękne zjawisko naturalne.
pojawia się na niebie niezwykle rzadko. Nie przypomina poprzednich typów swoim poziomym kształtem. Zjawisko to jest możliwe jedynie nad chmurami cirrus. Zwykle rozciągają się na wysokości 8-10 kilometrów. Kąt, pod którym tęcza pokaże się w całej okazałości, musi wynosić więcej niż 58 stopni. Kolory zwykle pozostają takie same jak w słonecznej tęczy.

Złoty podział (1,618)

Idealną proporcjonalność najczęściej można spotkać w świecie zwierząt. Otrzymują oni część równą pierwiastkowi numeru PHI odpowiadającemu jedynce. Ten stosunek jest faktem łączącym wszystkie zwierzęta na planecie. Wielkie umysły starożytności nazywały tę liczbę boską proporcją. Można to również nazwać złotym podziałem.

Zasada ta jest w pełni zgodna z harmonią struktury człowieka. Na przykład, jeśli określisz odległość między oczami a brwiami, będzie ona równa boskiej stałej.

Złoty podział jest przykładem tego, jak ważna w przyrodzie jest matematyka, której prawem zaczęli kierować się projektanci, artyści, architekci oraz twórcy rzeczy pięknych i doskonałych. Tworzą, za pomocą boskiej stałej, swoje dzieła, które mają równowagę, harmonię i są przyjemne dla oka. Nasz umysł jest w stanie uznać za piękne te rzeczy, przedmioty, zjawiska, w których występuje nierówny stosunek części. Nasz mózg nazywa złoty podział proporcjonalnością.

Helisa DNA

Jak słusznie zauważył niemiecki naukowiec Hugo Weyl, korzenie symetrii wywodzą się z matematyki. Wielu zauważyło doskonałość geometrycznych kształtów i zwróciło na nie uwagę. Na przykład plaster miodu to nic innego jak sześciokąt stworzony przez samą naturę. Można również zwrócić uwagę na szyszki świerkowe, które mają kształt cylindryczny. Spirale często można znaleźć także w otaczającym świecie: rogi dużych i małych zwierząt gospodarskich, muszle mięczaków, cząsteczki DNA.

Stworzony zgodnie z zasadą złotego podziału. Jest ogniwem łączącym schemat ciała materialnego z jego rzeczywistym obrazem. A jeśli weźmiemy pod uwagę mózg, to jest on niczym więcej niż przewodnikiem między ciałem a umysłem. Inteligencja łączy życie z formą jego przejawu i pozwala poznać życie zawarte w formie. Dzięki temu ludzkość może zrozumieć otaczającą planetę, szukać w niej wzorców, które następnie można zastosować do badania świata wewnętrznego.

Podział w przyrodzie

Mitoza komórkowa składa się z czterech faz:

Profaza. Rdzeń w nim wzrasta. Pojawiają się chromosomy, które zaczynają skręcać się w spiralę i przybierają swoją zwykłą formę. Tworzy się miejsce podziału komórki. Pod koniec tej fazy jądro i jego otoczka rozpuszczają się, a chromosomy przedostają się do cytoplazmy. To najdłuższy etap podziału.
Metafaza. Tutaj kończy się spirala chromosomów i tworzą one płytkę metafazową. Chromatydy ustawia się naprzeciw siebie w przygotowaniu do podziału. Pomiędzy nimi pojawia się miejsce do rozłączenia - wrzeciono. Na tym kończy się drugi etap.

Anafaza. Chromatydy rozchodzą się w przeciwnych kierunkach. Komórka ma teraz dwa zestawy chromosomów ze względu na ich podział. Ten etap jest bardzo krótki.
Telofaza. W każdej połowie komórki powstaje jądro, w którym tworzy się jąderko. Cytoplazma ulega aktywnej dysocjacji. Wrzeciono stopniowo zanika.

Znaczenie mitozy

Ze względu na unikalny sposób podziału, każda kolejna komórka po rozmnożeniu ma taki sam skład genów jak jej matka. Obie komórki otrzymują ten sam skład chromosomów. Nie byłoby to możliwe bez takiej nauki jak geometria. Postęp mitozy jest ważny, ponieważ na tej zasadzie rozmnażają się wszystkie komórki.

Skąd się biorą mutacje?

Proces ten zapewnia stały dopływ chromosomów i materiału genetycznego do każdej komórki. Dzięki mitozie organizm rozwija się, rozmnaża i regeneruje. W przypadku zaburzeń spowodowanych działaniem niektórych trucizn, chromosomy mogą nie rozdzielić się na połowy lub mogą wykazywać zaburzenia strukturalne. Będzie to wyraźny wskaźnik początkowych mutacji.

Podsumowując

Co ma wspólnego matematyka i natura? Odpowiedź na to pytanie znajdziesz w naszym artykule. A jeśli kopiesz głębiej, musisz powiedzieć, że studiując otaczający nas świat, człowiek poznaje siebie. Bez Tego, który zrodził wszystko, co żyje, nic nie mogłoby się wydarzyć. Natura panuje wyłącznie w harmonii, w ścisłej kolejności swoich praw. Czy to wszystko jest możliwe bez powodu?

Przytoczmy wypowiedź naukowca, filozofa, matematyka i fizyka Henriego Poincaré, który jak nikt inny potrafi odpowiedzieć na pytanie, czy matematyka w przyrodzie jest rzeczywiście fundamentalna. Niektórym materialistom może nie podobać się takie rozumowanie, ale jest mało prawdopodobne, że będą w stanie je obalić. Poincaré twierdzi, że harmonia, którą ludzki umysł chce odkryć w naturze, nie może istnieć poza nią. która jest obecna w umysłach przynajmniej kilku jednostek, może być dostępna całej ludzkości. Połączenie, które łączy aktywność umysłową, nazywa się harmonią świata. Ostatnio nastąpił kolosalny postęp w kierunku takiego procesu, ale są one bardzo małe. Te ogniwa łączące Wszechświat i jednostkę powinny być cenne dla każdego ludzkiego umysłu, który jest wrażliwy na te procesy.

Wstęp. 2

Rozdział 1. Matematyczne prawa przyrody żywej. 3

Rozdział 2. Zasady kształtowania się kształtu w przyrodzie 5

Rozdział 3. Złoty podział 8

Rozdział 4. Rapsodia geometryczna Eschera. 15

Rozdział 5. Liczba transcendentalna   18

Wykaz używanej literatury. 20

Wstęp.

Przy powierzchownej znajomości matematyki może się to wydawać niezrozumiałym labiryntem formuł, zależności numerycznych i ścieżek logicznych. Przypadkowych gości, którzy nie poznali prawdziwej wartości matematycznych skarbów, przeraża suchy schemat matematycznych abstrakcji, przez który matematyk widzi żywą wielobarwność rzeczywistości.

Kto pojął wspaniały świat matematyki, nie pozostaje jedynie entuzjastycznym kontemplatorem jego skarbów. Sam stara się tworzyć nowe obiekty matematyczne, szukając sposobów rozwiązania nowych problemów lub nowych, bardziej zaawansowanych rozwiązań już rozwiązanych problemów. Znaleziono i opublikowano już ponad 300 dowodów twierdzenia Pitagorasa, dziesiątki nieklasycznych kwadratur koła, trisekcji kąta i podwojeń sześcianu.

Ale niespokojna, dociekliwa myśl prowadzi do nowych poszukiwań. Jednocześnie jeszcze bardziej niż sam wynik, przyciąga jego poszukiwanie. To jest naturalne. W końcu droga do rozwiązania każdego wystarczająco znaczącego problemu jest zawsze niesamowitym łańcuchem wniosków, cementowanym prawami logiki.

Twórczość matematyczna jest prawdziwą twórczością umysłu. Oto, co napisał radziecki matematyk G.D. Suworow: „Twierdzenie, napisane logicznie nienagannie, naprawdę wydaje się pozbawione jakiegokolwiek poetyckiego początku i nie wydaje się owocem ognistej fantazji, ale ponurym dzieckiem matczynej logiki. Ale nikt nie wie, poza naukowcem, jaki wir fantazji i poetyckich wzlotów faktycznie zrodził to twierdzenie. W końcu była skrzydlatym, egzotycznym motylem, zanim została schwytana, uśpiona logiką i przypięta do papieru szpilkami dowodowymi!" To naturalne, że w swoich wspomnieniach K.F. Gauss, A. Poincaré, J. Hadamard, A.N. Kołmogorow i inni wybitni matematycy mówili o wielkiej radości, prawdziwej przyjemności estetycznej, jakiej doświadczyli szukając odpowiedzi na nierozwiązane problemy, które były dla nich drogami w nieznane. Bo do takich rozwiązań doszli po raz pierwszy, a matematyka dała im pełną miarę radości pionierów.

W niektórych problemach, wśród wielu dróg do rozwiązania, jest jedna, najbardziej nieoczekiwana, często starannie „zamaskowana”, a z reguły najpiękniejsza i najbardziej pożądana. Znalezienie go i przespacerowanie się nim to wielka radość. Poszukiwanie takich rozwiązań, umiejętność wykraczania poza możliwości znanych już algorytmów, to prawdziwa estetyczna twórczość matematyczna.
^

Rozdział 1. Matematyczne prawa przyrody żywej.

Dzika przyroda wykazuje liczne symetryczne formy organizmów. W wielu przypadkach symetryczny kształt organizmu uzupełniają kolorowe, symetryczne kolory.

Mały ryjkowiec brzozowy, ledwo osiągający 4 mm, oczywiście nie zna wyższej matematyki. Ale tworząc kołyskę dla swojego potomstwa, „rysuje”, a raczej rzeźbi ewolucję na liściu drewna - krzywiznę, która reprezentuje wiele środków krzywizny liścia. Sama krawędź liścia będzie ewolwentowa w stosunku do krzywizny wyciętej przez ryjkowca.

Architektura komórki o strukturze plastra miodu podlega złożonym wzorom geometrycznym.

Krzywe teoretyczne i krzywa fazowa wahań liczebności populacji agregatu dwóch oddziałujących na siebie gatunków (biocenoza) „drapieżnik-ofiara”.

Vito Voltaire (1860-1940) to wybitny włoski matematyk. Skonstruował teorię dynamiki populacji biologicznych,

w którym zastosował metodę równań różniczkowych.

Podobnie jak większość modeli matematycznych zjawisk biologicznych, opiera się na wielu założeniach upraszczających.

W Podczas skoku środek masy zwierząt opisuje dobrze znaną figurę - kwadratową parabolę, której ramiona skierowane są w dół: y=ax 2, a>1, a

Kontury liści wielu roślin są piękne. Z dużą dokładnością ich kształty opisywane są eleganckimi równaniami w układzie współrzędnych biegunowych lub kartezjańskich.

Rozdział 2. Zasady kształtowania się kształtu w przyrodzie

Wszystko, co przybrało jakąś formę, powstało, rosło, starało się zająć miejsce w przestrzeni i zachować się. Pragnienie to realizuje się głównie w dwóch opcjach - rosnąc w górę lub rozprzestrzeniając się po powierzchni ziemi i skręcając się w spiralę.

Skorupa jest skręcona w spiralę. Jeśli go rozłożysz, otrzymasz długość nieco krótszą niż długość węża. Mała dziesięciocentymetrowa muszla ma spiralę o długości 35 cm, która jest bardzo powszechna w przyrodzie.

Uwagę Archimedesa przykuł kształt spiralnie zwiniętej muszli. Przestudiował to i wymyślił równanie spirali. Spirala narysowana według tego równania nosi jego imię. Wzrost jej kroku jest zawsze równomierny. Obecnie spirala Archimedesa jest szeroko stosowana w technologii.

Goethe podkreślał także tendencję natury do spiralności. Już dawno zauważono spiralne i spiralne ułożenie liści na gałęziach drzew. Spiralę można było zobaczyć w ułożeniu nasion słonecznika, szyszek, ananasów, kaktusów itp. Pająk tka swoją sieć spiralnie. Huragan wiruje jak spirala. Przestraszone stado reniferów rozprasza się po spirali. Cząsteczka DNA jest skręcona w podwójną helisę. Goethe nazwał spiralę „krzywą życia”.

Muszle mięczaków Nautilus, Haliotis i innych uformowane są w kształcie spirali logarytmicznej: p=ae B φ .

Liście na młodych pędach roślin ułożone są w przestrzenną spiralę. Patrząc na nie z góry, znajdziemy drugą spiralę, ponieważ są one również ustawione tak, aby nie zakłócać wzajemnego postrzegania światła słonecznego. Odległości pomiędzy poszczególnymi liśćmi charakteryzują liczby ciągu Fibonacciego: 1,1,2,3,5,8,…,u n, u n +1,…, gdzie u n =u n -1 +u n -2.

Nasiona słonecznika ułożone są w charakterystyczne łuki zbliżone do dwóch rodzin spiral logarytmicznych.

Natura faworyzowała spiralę logarytmiczną ze względu na wiele niezwykłych właściwości tej krzywej. Nie zmienia się np. podczas transformacji podobieństwa.

Dzięki temu organizm nie musi w procesie wzrostu odbudowywać architektury swojego ciała.

Uderzającym przykładem asymetrii żywych istot na poziomie submolekularnym jest wtórna forma materialnych nośników informacji dziedzicznej - podwójna helisa gigantycznej cząsteczki DNA. Ale DNA jest już helisą owiniętą wokół nukleosomu; jest to podwójna helisa. Życie powstaje w nieuchwytnym, zdumiewająco precyzyjnym procesie realizacji planów architekta natury, według których zbudowane są cząsteczki białek.

Pająk tka swoją pułapkę w postaci złożonej krzywej transcendentalnej - spirali logarytmicznej p=ae b φ

Rozdział 3. Złoty podział

Osoba rozróżnia otaczające go przedmioty według ich kształtu. Zainteresowanie kształtem przedmiotu może być podyktowane koniecznością życiową lub może być spowodowane pięknem kształtu. Forma, której konstrukcja opiera się na połączeniu symetrii i złotego podziału, wpływa na najlepszą percepcję wzrokową oraz pojawienie się poczucia piękna i harmonii. Całość zawsze składa się z części, części o różnej wielkości pozostają w pewnym stosunku do siebie i do całości. Zasada złotego podziału jest najwyższym przejawem strukturalnej i funkcjonalnej doskonałości całości i jej części w sztuce, nauce, technologii i naturze.

W matematyce proporcja (łac. proportio) to równość dwóch stosunków: a: b = c: d.

Odcinek prosty AB można podzielić na dwie części w następujący sposób:

na dwie równe części – AB: AC = AB: BC;
na dwie nierówne pod każdym względem części (części te nie tworzą proporcji);
zatem, gdy AB: AC = AC: BC.

Ten ostatni jest złotym podziałem lub podziałem segmentu w stosunku skrajnym i średnim.

^ Złoty podział- jest to taki proporcjonalny podział odcinka na nierówne części, w którym cały odcinek odnosi się do części większej, tak jak sama część większa do mniejszej; lub innymi słowy, mniejszy segment ma się do większego, jak większy do całości

a: b = b: c lub c: b = b: a.

Geometryczny obraz złotego podziału

P Praktyczna znajomość złotej proporcji rozpoczyna się od podzielenia odcinka prostej w złotej proporcji za pomocą kompasu i linijki. Dzielenie odcinka prostej przy użyciu złotej proporcji. BC = 1/2 AB; CD = BC

Z punktu B przywracana jest prostopadła równa połowie AB. Powstały punkt C łączy się linią z punktem A. Na powstałej linii kładzie się odcinek BC kończący się na punkcie D. Odcinek AD przenosi się na prostą AB. Powstały punkt E dzieli odcinek AB w złotej proporcji.

Segmenty złotej proporcji wyrażane są przez nieskończony ułamek niewymierny AE = 0,618..., jeśli AB przyjąć jako jeden, BE = 0,382... Ze względów praktycznych często stosuje się przybliżone wartości 0,62 i 0,38. Jeśli przyjąć, że odcinek AB ma 100 części, to większa część odcinka wynosi 62, a mniejsza część 38 części.

Właściwości złotego podziału opisuje równanie:

x 2 – x – 1 = 0.

Rozwiązanie tego równania:

Właściwości złotego podziału stworzyły wokół tej liczby romantyczną aurę tajemniczości i niemal mistycznego kultu.
^ Historia złotego podziału
Powszechnie przyjmuje się, że koncepcję złotego podziału wprowadził do użytku naukowego Pitagoras, starożytny grecki filozof i matematyk (VI wiek p.n.e.). Zakłada się, że Pitagoras zapożyczył swoją wiedzę o złotym podziale od Egipcjan i Babilończyków. Rzeczywiście proporcje piramidy Cheopsa, świątyń, płaskorzeźb, artykułów gospodarstwa domowego i biżuterii z grobowca Tutanchamona wskazują, że egipscy rzemieślnicy podczas ich tworzenia stosowali proporcje złotego podziału. Francuski architekt Le Corbusier stwierdził, że w płaskorzeźbie ze świątyni faraona Seti I w Abydos oraz w płaskorzeźbie przedstawiającej faraona Ramzesa proporcje figur odpowiadają wartościom złotego podziału. Architekt Khesira, przedstawiony na płaskorzeźbie drewnianej deski z grobowca nazwanego jego imieniem, trzyma w rękach przyrządy pomiarowe, w których zapisywane są proporcje złotego podziału.

Grecy byli utalentowanymi geometrami. Uczyli nawet swoje dzieci arytmetyki, używając figur geometrycznych. Kwadrat pitagorejski i przekątna tego kwadratu były podstawą konstrukcji dynamicznych prostokątów.

^ Dynamiczne prostokąty

Platon (427...347 p.n.e.) również wiedział o złotym podziale. Jego dialog „Timajos” poświęcony jest matematycznym i estetycznym poglądom szkoły pitagorejskiej, a zwłaszcza zagadnieniom złotego podziału.

Fasada starożytnej greckiej świątyni Partenon ma złote proporcje. Podczas wykopalisk odkryto kompasy, których używali architekci i rzeźbiarze starożytnego świata. Kompas Pompejański (muzeum w Neapolu) również zawiera proporcje złotego podziału.

W znanej nam literaturze starożytnej o złotym podziale po raz pierwszy wspomniano w Elementach Euklidesa. W 2. księdze „Zasad” podana jest geometryczna konstrukcja złotego podziału. Po Euklidesie badania nad złotym podziałem prowadzili Hypsicles (II w. p.n.e.), Pappus (III w. n.e.) i inni. średniowieczna Europa, ze złotym podziałem. Poznaliśmy się dzięki arabskim tłumaczeniom Elementów Euklidesa. Do tłumaczenia naniósł uwagi tłumacz J. Campano z Nawarry (III w.). Sekrety złotej dywizji były zazdrośnie strzeżone i trzymane w ścisłej tajemnicy. Znane były jedynie wtajemniczonym.

W okresie renesansu wzrosło zainteresowanie złotym podziałem wśród naukowców i artystów ze względu na jego zastosowanie zarówno w geometrii, jak i sztuce, zwłaszcza w architekturze.Leonardo da Vinci, artysta i naukowiec, widział, że włoscy artyści mieli dużo doświadczenia empirycznego, ale mało wiedza . Wymyślił i zaczął pisać książkę o geometrii, ale w tym czasie pojawiła się książka mnicha Luca Pacioli, a Leonardo porzucił swój pomysł. Według współczesnych i historyków nauki Luca Pacioli był prawdziwym luminarzem, największym matematykiem Włoch okresu między Fibonacciem a Galileuszem. Luca Pacioli był uczniem artysty Piero della Franceschi, który napisał dwie książki, z których jedna nosiła tytuł „O perspektywie w malarstwie”. Uważany jest za twórcę geometrii wykreślnej.

Luca Pacioli doskonale rozumiał znaczenie nauki dla sztuki. W 1496 roku na zaproszenie księcia Moreau przybył do Mediolanu, gdzie wykładał matematykę. Leonardo da Vinci pracował wówczas także w Mediolanie na dworze Moro. W 1509 roku w Wenecji ukazała się książka Luca Pacioli „Boska proporcja” ze znakomicie wykonanymi ilustracjami, dlatego uważa się, że wykonał je Leonardo da Vinci. Książka była entuzjastycznym hymnem na cześć złotego podziału. Wśród wielu zalet złotej proporcji mnich Luca Pacioli nie omieszkał wymienić jej „boskiej esencji” jako wyrazu boskiej trójcy – Boga syna, Boga ojca i Boga ducha świętego (sugerowano, że mała segment to personifikacja Boga-Syna, większy segment to bóg ojca, a cały segment – Bóg Ducha Świętego).

Leonardo da Vinci również poświęcił wiele uwagi badaniu złotego podziału. Wykonywał przekroje stereometrycznej bryły utworzonej z pięciokątów foremnych i za każdym razem uzyskiwał prostokąty o proporcjach w złotym podziale. Dlatego nadał temu podziałowi nazwę złoty podział. Dlatego nadal pozostaje najpopularniejszym.

W tym samym czasie na północy Europy, w Niemczech, Albrecht Dürer pracował nad tymi samymi problemami. Szkicuje wstęp do pierwszej wersji traktatu o proporcjach. Dürer pisze. „Konieczne jest, aby ktoś, kto wie, jak coś zrobić, uczył tego innych, którzy tego potrzebują. Oto, co postanowiłem zrobić.”

Sądząc po jednym z listów Dürera, podczas pobytu we Włoszech spotkał się z Lucą Pacioli. Albrecht Durer szczegółowo rozwija teorię proporcji ciała ludzkiego. Dürer przypisał złotemu podziałowi ważne miejsce w swoim systemie relacji. Wzrost osoby dzieli się w złotych proporcjach linią paska, a także linią poprowadzoną przez czubki środkowych palców opuszczonych dłoni, dolną część twarzy przy ustach itp. Kompas proporcjonalny Dürera jest dobrze znany.

Wielki astronom XVI wieku. Johannes Kepler nazwał złoty podział jednym ze skarbów geometrii. Jako pierwszy zwrócił uwagę na znaczenie złotej proporcji dla botaniki (wzrost roślin i ich budowa).

W kolejnych wiekach zasada złotej proporcji przekształciła się w kanon akademicki, a gdy z czasem w sztuce rozpoczęła się walka z akademicką rutyną, w ferworze walki „wylano dziecko z kąpielą”. Złoty podział został ponownie „odkryty” w połowie XIX wieku. W 1855 roku niemiecki badacz złotego podziału, profesor Zeising, opublikował swoje dzieło „Studia estetyczne”. To, co przydarzyło się Zeisingowi, było dokładnie tym, co nieuchronnie powinno przydarzyć się badaczowi rozpatrującemu zjawisko jako takie, bez związku z innymi zjawiskami. Absolutyzował proporcje złotego podziału, uznając go za uniwersalny dla wszelkich zjawisk natury i sztuki. Zeising miał wielu zwolenników, ale byli też przeciwnicy, którzy uznawali jego doktrynę proporcji za „estetykę matematyczną”.

^ Złote proporcje w sylwetce ludzkiej
Zeising wykonał świetną robotę. Zmierzył około dwóch tysięcy ciał ludzkich i doszedł do wniosku, że złoty podział wyraża przeciętne prawo statystyczne. Podział ciała według punktu pępkowego jest najważniejszym wyznacznikiem złotego podziału. Proporcje ciała mężczyzny oscylują w średnim stosunku 13:8 = 1,625 i są nieco bliższe złotemu podziałowi niż proporcje ciała kobiety, w stosunku do których średnia wartość proporcji wyraża się w stosunku 8: 5 = 1,6. U noworodka proporcja wynosi 1:1, w wieku 13 lat – 1,6, a w wieku 21 lat – na poziomie mężczyzny. Proporcje złotego podziału pojawiają się także w odniesieniu do innych części ciała – długości barku, przedramienia i dłoni, dłoni i palców itp.

^ Złote proporcje w częściach ludzkiego ciała
Na przełomie XIX i XX w. Pojawiło się wiele czysto formalistycznych teorii na temat stosowania złotego podziału w dziełach sztuki i architekturze. Wraz z rozwojem wzornictwa i estetyki technicznej prawo złotego podziału rozszerzyło się na projektowanie samochodów, mebli itp.

Wśród przydrożnych ziół rośnie niepozorna roślina – cykoria. Przyjrzyjmy się temu bliżej. Z głównej łodygi wyrósł pęd. Pierwszy liść znajdował się właśnie tam.

Cykoria

Pęd wykonuje silny wyrzut w przestrzeń, zatrzymuje się, wypuszcza liść, ale tym razem jest krótszy od pierwszego, ponownie wykonuje wyrzut w przestrzeń, ale z mniejszą siłą, wypuszcza liść jeszcze mniejszego rozmiaru i zostaje wyrzucony ponownie . Jeżeli pierwszą emisję przyjmiemy jako 100 jednostek, wówczas druga będzie równa 62 jednostkom, trzecia – 38, czwarta – 24 itd. Długość płatków również podlega złotej proporcji. Rosnąc i podbijając przestrzeń, roślina zachowała pewne proporcje. Impulsy jego wzrostu stopniowo malały proporcjonalnie do złotego podziału.

^ Żyworodna jaszczurka

Na pierwszy rzut oka jaszczurka ma przyjemne dla oka proporcje – długość jej ogona jest powiązana z długością reszty ciała i wynosi od 62 do 38.

Natura dokonała podziału na symetryczne części i złote proporcje. W częściach ujawnia się powtórzenie struktury całości.
^ Ptasie jajo

Wielki Goethe, poeta, przyrodnik i artysta (rysował i malował akwarelami), marzył o stworzeniu jednolitej doktryny o formie, powstawaniu i przemianie ciał organicznych.

Pierre Curie na początku tego stulecia sformułował szereg głębokich idei dotyczących symetrii. Twierdził, że nie można rozważać symetrii żadnego ciała bez uwzględnienia symetrii otoczenia.

Prawa „złotej” symetrii przejawiają się w przejściach energetycznych cząstek elementarnych, w strukturze niektórych związków chemicznych, w układach planetarnych i kosmicznych, w strukturach genowych organizmów żywych. Wzorce te, jak wskazano powyżej, istnieją w budowie poszczególnych narządów człowieka i organizmu jako całości, a także przejawiają się w biorytmach i funkcjonowaniu mózgu oraz percepcji wzrokowej.

Złotego podziału nie można rozpatrywać osobno, bez powiązania z symetrią. Wielki rosyjski krystalograf G.V. Wulf (1863...1925) uważał złoty podział za jeden z przejawów symetrii.

Rozdział 4. Rapsodia geometryczna Eschera.

Holenderski artysta Maur Cornelius Escher (1898-1971) stworzył cały świat obrazów wizualnych, które ujawniają podstawowe idee i prawa matematyki, fizyki oraz psychologiczne cechy ludzkiego postrzegania obiektów rzeczywistości w otaczającej nas trójwymiarowej przestrzeni.

Nieograniczona przestrzeń, lustrzane odbicia, sprzeczności między płaszczyzną a przestrzenią - wszystkie te koncepcje ucieleśniają zapadające w pamięć obrazy pełne szczególnego uroku. Jaszczurki wizualnie reprezentują odwzorowania geometryczne, których uczyli się w szkole średniej.

Jeźdźcy zapewniają doskonałą wizualną reprezentację przeniesienia równoległego, symetrii i wypełnienia całej płaszczyzny figurami o złożonej konfiguracji.

„Kostka i magiczne wstążki”. Wstążki Belvedere - nie tylko -

naprawdę magiczne: żart geometryczny, ale całość

„wybrzuszenia” na nich mogą być kompleksem niespodzianek,

rozważ znak i wypukłość generowane przez cechy i wklęsłość. percepcja przedmiotów przez człowieka

Wystarczy zmienić punkt widzenia w trójwymiarowej przestrzeni.

jak taśmy natychmiast się skręcają
Maurits Cornelius Escher stworzył wyjątkową galerię obrazów, które należą zarówno do sztuki, jak i nauki. Ilustrują teorię względności Einsteina, strukturę materii, przekształcenia geometryczne, topologię, krystalografię i fizykę. Świadczą o tym tytuły niektórych albumów artysty: „Unlimited Space”, „Mirror Images”, „Inversions”, „Polyhedrons”, „Relativity”, „Contradictions Between plane and space”, „Impossible Constructions”.

„Często czuję się bliższy matematykom niż innym artystom” – napisał Escher. Rzeczywiście, jego obrazy są niezwykłe, przepełnione są głębokim znaczeniem filozoficznym i przekazują złożone zależności matematyczne. Reprodukcje obrazów Eschera są powszechnie wykorzystywane jako ilustracje w książkach naukowych i popularnonaukowych.

Rozdział 5. Liczba transcendentalna  

Natura liczby  jest jedną z największych tajemnic matematyki. Intuicja podpowiadała, że długość koła i jego średnica są równie zrozumiałymi wielkościami.

W ciągu ostatnich dwóch stuleci wielu naukowców zajmowało się obliczaniem setek miejsc po przecinku.

W książce „Koszmary wybitnych osobistości” słynny angielski matematyk i filozof Bertrand Russell napisał: „Twarz Pi była ukryta za maską. Wszyscy rozumieli, że nikt nie będzie w stanie go zburzyć i nadal żyć. Przez szczeliny maski oczy patrzyły przenikliwie, bezlitośnie, chłodno i tajemniczo.” Opisywanie koncepcji matematycznej może być zbyt żałosne, ale ogólnie rzecz biorąc, jest to prawda. Rzeczywiście, historia liczby  to ekscytujące strony wielowiekowego zwycięskiego marszu myśli matematycznej, niestrudzonej pracy odkrywców prawdy. Po drodze zdarzały się triumfy zwycięstw, były gorzkie porażki, dramatyczne zderzenia i komiczne nieporozumienia. Naukowcy wykonali gigantyczną pracę poszukiwań, ujawniając arytmetyczną naturę jednej z najbardziej trudnych, tajemniczych i popularnych liczb - liczby oznaczonej grecką literą .

Matematycy sumeryjsko-babilońscy obliczyli obwód i pole koła z przybliżeniami odpowiadającymi wartości =3, znali też dokładniejsze przybliżenie =3 1/8. W papirusie Raine’a (Ahmesa) wskazano, że pole koła wynosi (8/9*2R) 2 =256/81R 2

Oznacza to, że ≈3,1605… .
Archimedes jako pierwszy postawił problem obliczania obwodu i pola koła na podstawach naukowych. Zatem r =  > 48a 96 ≈3,1410>3 10/71

Naukowiec obliczył górną granicę (3 1/7): 3 10/71≈3,14084...Uzbecki matematyk i astronom al-Kashi, pracujący w ośrodku naukowym słynnego matematyka i astronoma Ulugbeka, obliczył liczbę 2 z dokładnością do 16 miejsc po przecinku: 2=6,283 185 307 179 5866.

Podwajając liczbę boków wielokątów foremnych wpisanych w okrąg, otrzymał wielokąt o 800 355 168 bokach.

Holenderski matematyk Ludolf Van Zeijlen (1540-1610) obliczył 35 miejsc po przecinku  i zapisał tę wartość, aby wyryć ją na swoim nagrobku.

Jedna z najpiękniejszych kwadratur koła, wykonana przez polskiego matematyka A.A. Kohańskiego (1631-1700).

Wszystkie konstrukcje wykonywane są przy użyciu tego samego rozwiązania kompasu i szybko prowadzą do w miarę dobrego przybliżenia liczby.

Johann Heinrich Lambert (1728-1777) – niemiecki matematyk, fizyk, astronom i filozof. Zrobiłem decydujący krok w kierunku rozwiązania liczby . W 1766 r

udowodnił niewymierność liczby . Wynik ujawnienia tajemnicy liczby podsumował niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann (1852-1939).

W 1882 r udowodnił, że liczba  jest przestępna. Tym samym udowodniono niemożność kwadratury koła w klasycznym ujęciu tego problemu.

Zdarzenia losowe: realizowano je poprzez rzucenie igłą, a także pomogły naukowcom obliczyć liczbę  z dość dużą dokładnością.
Zadanie to po raz pierwszy postawił i zrealizował francuski przyrodnik Georges Louis Leclerc Buffon (1707-1788).

W ten sam sposób szwajcarski astronom i matematyk Rudolf Wolf (1816-1896) w wyniku 5 tysięcy rzutów igłą stwierdził, że  = 3,1596.

Inni naukowcy uzyskali następujące wyniki: przy 3204 rzutach =3,1533; z 3408 rzutami =3,141593.

Wykaz używanej literatury.

1. Słownik encyklopedyczny młodego matematyka

2. Wasiliew N.B., Gutenmacher V.L. Linie proste i krzywe - M.: Nauka, 1976

3. Markushevich A.I. Cudowne krzywizny. – M., Nauka, 1978

4. Stroik D.Ya. Krótki zarys historii matematyki. – M., Nauka, 1984

5. Glazer G.I. Historia matematyki w szkole., M., Edukacja, 1982

6. Gardner M. Cuda i tajemnice matematyczne. M., Mir. 1978

Kovalev F.V. Złoty podział w malarstwie. K.: Szkoła Wyszcze, 1989.
Kepler I. O sześciokątnych płatkach śniegu. – M., 1982.
Durer A. Dzienniki, listy, traktaty - L., M., 1957.
Tsekov-Pencil Ts. O drugim złotym podziale. – Sofia, 1983.
Stachow A. Kody złotej proporcji.