Metoda Gaussa dla 4 równań liniowych. Metoda Gaussa

Metoda Gaussa idealny do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych (SLAE). Ma wiele zalet w porównaniu do innych metod:

• po pierwsze, nie ma potrzeby najpierw badać układu równań pod kątem spójności;
• po drugie, metodą Gaussa można rozwiązywać nie tylko SLAE, w których liczba równań pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych, a główna macierz układu jest nieosobliwa, ale także układy równań, w których liczba równań nie pokrywa się z liczba nieznanych zmiennych lub wyznacznik macierzy głównej jest równa zeru;
• po trzecie, metoda Gaussa prowadzi do wyników przy stosunkowo niewielkiej liczbie operacji obliczeniowych.

Krótki przegląd artykułu.

Najpierw podajemy niezbędne definicje i wprowadzamy oznaczenia.

Następnie opiszemy algorytm metody Gaussa dla najprostszego przypadku, czyli dla układów liniowych równań algebraicznych liczba równań, w których pokrywa się liczba nieznanych zmiennych, a wyznacznikiem macierzy głównej układu jest nie równe zeru. Przy rozwiązywaniu takich układów równań najlepiej widać istotę metody Gaussa, jaką jest sekwencyjna eliminacja nieznanych zmiennych. Dlatego metoda Gaussa nazywana jest również metodą sekwencyjnej eliminacji niewiadomych. Pokażemy szczegółowe rozwiązania kilku przykładów.

Podsumowując, rozważymy rozwiązanie metodą Gaussa układów liniowych równań algebraicznych, których główna macierz jest prostokątna lub osobliwa. Rozwiązanie takich systemów ma pewne cechy, które szczegółowo przeanalizujemy na przykładach.

Nawigacja strony.

Podstawowe definicje i oznaczenia.

Rozważmy układ p równań liniowych z n niewiadomymi (p może być równe n):

Gdzie są nieznane zmienne, są liczbami (rzeczywistymi lub zespolonymi) i są terminami swobodnymi.

Jeśli , wówczas nazywany jest układem liniowych równań algebraicznych jednorodny, W przeciwnym razie - heterogeniczny.

Nazywa się zbiór wartości nieznanych zmiennych, dla którego wszystkie równania układu stają się tożsamościami decyzja SLA.

Jeżeli istnieje co najmniej jedno rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych, wówczas nazywa się je wspólny, W przeciwnym razie - nie wspólne.

Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się je niektórzy. Jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to system jest wywoływany niepewny.

Mówią, że system jest wpisany formularz współrzędnych, jeśli ma postać
.

Ten system w postać matrycowa rekordy mają postać , gdzie - macierz główna SLAE, - macierz kolumny nieznanych zmiennych, - macierz wolnych terminów.

Jeśli do macierzy A dodamy macierz-kolumnę wolnych wyrazów jako (n+1)-tą kolumnę, otrzymamy tzw. rozszerzona matryca układy równań liniowych. Zazwyczaj macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych terminów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli

Nazywa się macierz kwadratową A zdegenerowany, jeśli jego wyznacznik wynosi zero. Jeżeli , to wywoływana jest macierz A niezdegenerowany.

Należy zwrócić uwagę na następującą kwestię.

Jeśli wykonasz następujące czynności z układem liniowych równań algebraicznych

• zamień dwa równania,
• pomnóż obie strony dowolnego równania przez dowolną i niezerową liczbę rzeczywistą (lub zespoloną) k,
• do obu stron dowolnego równania dodaj odpowiednie części innego równania, pomnożone przez dowolną liczbę k,

wtedy otrzymujesz równoważny system, który ma te same rozwiązania (lub tak jak oryginalny, nie ma rozwiązań).

Dla rozszerzonej macierzy układu liniowych równań algebraicznych działania te będą oznaczać przeprowadzenie elementarnych przekształceń z wierszami:

• zamiana dwóch linii,
• pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza macierzy T przez niezerową liczbę k,
• dodanie do elementów dowolnego wiersza macierzy odpowiednich elementów innego wiersza pomnożonych przez dowolną liczbę k.

Teraz możemy przejść do opisu metody Gaussa.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, a macierz główna układu jest nieosobliwa, metodą Gaussa.

Co byśmy robili w szkole, gdybyśmy mieli za zadanie znaleźć rozwiązanie układu równań? .

Niektórzy by tak zrobili.

Zauważ, że dodając lewą stronę pierwszego równania do lewej strony drugiego równania, a prawą stronę do prawej, możesz pozbyć się nieznanych zmiennych x 2 i x 3 i natychmiast znaleźć x 1:

Podstawiamy znalezioną wartość x 1 =1 do pierwszego i trzeciego równania układu:

Jeśli pomnożymy obie strony trzeciego równania układu przez -1 i dodamy je do odpowiednich części pierwszego równania, pozbędziemy się nieznanej zmiennej x 3 i znajdziemy x 2:

Podstawiamy wynikową wartość x 2 = 2 do trzeciego równania i znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną x 3:

Inni postąpiliby inaczej.

Rozwiążmy pierwsze równanie układu w odniesieniu do nieznanej zmiennej x 1 i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego i trzeciego równania układu, aby wykluczyć z nich tę zmienną:

Rozwiążmy teraz drugie równanie układu dla x 2 i otrzymany wynik podstawmy do trzeciego równania, aby wyeliminować z niego nieznaną zmienną x 2:

Z trzeciego równania układu wynika, że ​​x 3 =3. Z drugiego równania znajdujemy , i z pierwszego równania otrzymujemy .

Znane rozwiązania, prawda?

Najciekawsze jest tutaj to, że druga metoda rozwiązywania jest w zasadzie metodą sekwencyjnej eliminacji niewiadomych, czyli metodą Gaussa. Kiedy wyraziliśmy nieznane zmienne (najpierw x 1, na kolejnym etapie x 2) i podstawiliśmy je do pozostałych równań układu, w ten sposób je wykluczyliśmy. Eliminację przeprowadzaliśmy tak długo, aż w ostatnim równaniu pozostała tylko jedna nieznana zmienna. Proces sekwencyjnego eliminowania niewiadomych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po zakończeniu ruchu do przodu mamy możliwość obliczenia nieznanej zmiennej znalezionej w ostatnim równaniu. Za jego pomocą znajdujemy kolejną nieznaną zmienną z przedostatniego równania i tak dalej. Nazywa się proces sekwencyjnego wyszukiwania nieznanych zmiennych podczas przechodzenia od ostatniego równania do pierwszego odwrotność metody Gaussa.

Należy zauważyć, że gdy w pierwszym równaniu wyrażamy x 1 w postaci x 2 i x 3, a następnie podstawiamy powstałe wyrażenie do drugiego i trzeciego równania, następujące działania prowadzą do tego samego wyniku:

Rzeczywiście, takie postępowanie pozwala również wyeliminować nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu:

Niuanse przy eliminacji nieznanych zmiennych metodą Gaussa powstają, gdy równania układu nie zawierają niektórych zmiennych.

Na przykład w SLAU w pierwszym równaniu nie ma nieznanej zmiennej x 1 (innymi słowy współczynnik przed nią wynosi zero). Dlatego nie możemy rozwiązać pierwszego równania układu dla x 1, aby wyeliminować tę nieznaną zmienną z pozostałych równań. Wyjściem z tej sytuacji jest zamiana równań układu. Ponieważ rozważamy układy równań liniowych, których wyznaczniki głównych macierzy są różne od zera, zawsze istnieje równanie, w którym występuje potrzebna nam zmienna i możemy przestawić to równanie do potrzebnej pozycji. W naszym przykładzie wystarczy zamienić pierwsze i drugie równanie układu , to możesz rozwiązać pierwsze równanie dla x 1 i wykluczyć je z pozostałych równań układu (chociaż x 1 nie jest już obecne w drugim równaniu).

Mamy nadzieję, że rozumiesz sedno.

Opiszmy Algorytm metody Gaussa.

Załóżmy, że musimy rozwiązać układ n liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi postaci , i niech wyznacznik jej macierzy głównej będzie różny od zera.

Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wyeliminujmy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. W tym celu do drugiego równania układu dodajemy pierwsze pomnożone przez , do trzeciego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i .

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w kategoriach innych nieznanych zmiennych i podstawieli otrzymane wyrażenie do wszystkich pozostałych równań. Zatem zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od drugiego.

Następnie postępujemy w podobny sposób, ale tylko z częścią powstałego układu, co zaznaczono na rysunku

W tym celu do trzeciego równania układu dodajemy drugie pomnożone przez , do czwartego równania dodajemy drugie pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy drugie pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i . Zatem zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego.

Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomej x 3, analogicznie postępujemy z zaznaczoną na rysunku częścią układu

Kontynuujemy zatem bezpośredni postęp metody Gaussa, aż system przyjmie formę

Od tego momentu zaczynamy odwrotność metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , wykorzystując otrzymaną wartość x n z przedostatniego równania znajdujemy x n-1 i tak dalej, z pierwszego równania znajdujemy x 1 .

Przyjrzyjmy się algorytmowi na przykładzie.

Przykład.

Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Współczynnik a 11 jest niezerowy, zatem przejdźmy do bezpośredniego postępu metody Gaussa, czyli do wykluczenia nieznanej zmiennej x 1 ze wszystkich równań układu z wyjątkiem pierwszego. Aby to zrobić, do lewej i prawej strony drugiego, trzeciego i czwartego równania dodaj lewą i prawą stronę pierwszego równania, odpowiednio pomnożone przez . I :

Nieznana zmienna x 1 została wyeliminowana, przejdźmy do eliminacji x 2 . Do lewej i prawej strony trzeciego i czwartego równania układu dodajemy lewą i prawą stronę drugiego równania, pomnożone odpowiednio przez I :

Aby zakończyć postęp metody Gaussa, musimy wyeliminować nieznaną zmienną x 3 z ostatniego równania układu. Dodajmy odpowiednio do lewej i prawej strony czwartego równania lewą i prawą stronę trzeciego równania, pomnożone przez :

Można rozpocząć odwrotność metody Gaussa.

Z ostatniego równania, które mamy ,
z trzeciego równania otrzymujemy,
od drugiego,
od pierwszego.

Aby to sprawdzić, możesz podstawić otrzymane wartości nieznanych zmiennych do oryginalnego układu równań. Wszystkie równania zamieniają się w tożsamości, co oznacza, że ​​rozwiązanie metodą Gaussa zostało znalezione poprawnie.

Odpowiedź:

Rozwiążmy teraz ten sam przykład, stosując metodę Gaussa w notacji macierzowej.

Przykład.

Znajdź rozwiązanie układu równań Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Rozbudowana macierz układu ma postać . Na górze każdej kolumny znajdują się nieznane zmienne odpowiadające elementom macierzy.

Bezpośrednie podejście metody Gaussa polega tutaj na sprowadzeniu rozszerzonej macierzy układu do postaci trapezowej za pomocą przekształceń elementarnych. Proces ten jest podobny do eliminacji nieznanych zmiennych, którą zrobiliśmy w przypadku układu w postaci współrzędnych. Teraz to zobaczysz.

Przekształćmy macierz tak, aby wszystkie elementy w pierwszej kolumnie, zaczynając od drugiej, wyniosły zero. W tym celu do elementów drugiej, trzeciej i czwartej linii dodajemy odpowiednie elementy pierwszej linii pomnożone przez , i odpowiednio:

Następnie przekształcamy powstałą macierz tak, aby w drugiej kolumnie wszystkie elementy, począwszy od trzeciej, osiągnęły wartość zerową. Odpowiadałoby to wyeliminowaniu nieznanej zmiennej x 2 . W tym celu do elementów trzeciego i czwartego rzędu dodajemy odpowiednie elementy pierwszego rzędu macierzy, pomnożone przez odpowiednio I :

Pozostaje wykluczyć nieznaną zmienną x 3 z ostatniego równania układu. Aby to zrobić, do elementów ostatniego wiersza wynikowej macierzy dodajemy odpowiednie elementy przedostatniego wiersza pomnożone przez :

Należy zauważyć, że macierz ta odpowiada układowi równań liniowych

co uzyskano wcześniej po ruchu do przodu.

Czas zawrócić. W zapisie macierzowym odwrotność metody Gaussa polega na przekształceniu otrzymanej macierzy w taki sposób, że macierz zaznaczona na rysunku

stał się przekątny, to znaczy przybrał formę

gdzie są jakieś liczby.

Transformacje te są podobne do transformacji do przodu metody Gaussa, ale są wykonywane nie od pierwszej do ostatniej linii, ale od ostatniej do pierwszej.

Dodaj do elementów trzeciej, drugiej i pierwszej linii odpowiednie elementy ostatniej linii, pomnożone przez , ciągle odpowiednio:

Teraz dodaj do elementów drugiej i pierwszej linii odpowiednie elementy trzeciej linii, odpowiednio pomnożone przez i przez:

Na ostatnim etapie odwrotnej metody Gaussa do elementów pierwszego rzędu dodajemy odpowiednie elementy drugiego rzędu pomnożone przez:

Otrzymana macierz odpowiada układowi równań , skąd znajdujemy nieznane zmienne.

Odpowiedź:

NOTATKA.

Stosując metodę Gaussa do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych należy unikać obliczeń przybliżonych, gdyż może to prowadzić do zupełnie błędnych wyników. Zalecamy, aby nie zaokrąglać miejsc po przecinku. Lepiej jest przejść od ułamków dziesiętnych do ułamków zwykłych.

Przykład.

Rozwiąż układ trzech równań metodą Gaussa .

Rozwiązanie.

Zauważ, że w tym przykładzie nieznane zmienne mają inne oznaczenie (nie x 1, x 2, x 3, ale x, y, z). Przejdźmy do ułamków zwykłych:

Wykluczmy nieznane x z drugiego i trzeciego równania układu:

W otrzymanym układzie nieznana zmienna y jest nieobecna w drugim równaniu, ale y jest obecne w trzecim równaniu, dlatego zamieńmy drugie i trzecie równanie:

Na tym kończy się bezpośredni postęp metody Gaussa (nie ma potrzeby wykluczania y z trzeciego równania, ponieważ ta nieznana zmienna już nie istnieje).

Zacznijmy odwrotny ruch.

Z ostatniego równania, które znajdujemy ,
od przedostatniego


z pierwszego równania, które mamy

Odpowiedź:

X = 10, y = 5, z = -20.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą niewiadomych lub główna macierz układu jest liczbą pojedynczą, metodą Gaussa.

Układy równań, których główna macierz jest prostokątna lub kwadratowa, mogą nie mieć rozwiązań, mogą mieć jedno rozwiązanie lub mogą mieć nieskończoną liczbę rozwiązań.

Teraz zrozumiemy, w jaki sposób metoda Gaussa pozwala ustalić zgodność lub niespójność układu równań liniowych, a w przypadku jego zgodności określić wszystkie rozwiązania (lub jedno rozwiązanie).

W zasadzie proces eliminacji nieznanych zmiennych w przypadku takich SLAE pozostaje taki sam. Warto jednak szczegółowo omówić niektóre sytuacje, które mogą wystąpić.

Przejdźmy do najważniejszego etapu.

Załóżmy więc, że układ liniowych równań algebraicznych po zakończeniu postępu metody Gaussa przyjmuje postać i ani jedno równanie nie zostało zredukowane do (w tym przypadku doszlibyśmy do wniosku, że system jest niezgodny). Nasuwa się logiczne pytanie: „Co dalej”?

Zapiszmy nieznane zmienne, które zajmują pierwsze miejsce we wszystkich równaniach powstałego układu:

W naszym przykładzie są to x 1, x 4 i x 5. Po lewej stronie równań układu pozostawiamy tylko te wyrazy, które zawierają zapisane nieznane zmienne x 1, x 4 i x 5, pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę równań z przeciwnym znakiem:

Nieznanym zmiennym znajdującym się po prawej stronie równań nadajmy dowolne wartości, gdzie - liczby dowolne:

Następnie prawe strony wszystkich równań naszego SLAE zawierają liczby i możemy przejść do odwrotności metody Gaussa.

Z ostatniego równania układu mamy, z przedostatniego równania, które znajdujemy, z pierwszego równania, które otrzymujemy

Rozwiązaniem układu równań jest zbiór wartości nieznanych zmiennych

Nadawanie liczb różne wartości, otrzymamy różne rozwiązania układu równań. Oznacza to, że nasz układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź:

Gdzie - dowolne liczby.

Aby skonsolidować materiał, szczegółowo przeanalizujemy rozwiązania kilku kolejnych przykładów.

Przykład.

Rozwiązać jednorodny układ liniowych równań algebraicznych Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Wykluczmy nieznaną zmienną x z drugiego i trzeciego równania układu. W tym celu do lewej i prawej strony drugiego równania dodajemy odpowiednio lewą i prawą stronę pierwszego równania pomnożone przez , a do lewej i prawej strony trzeciego równania dodajemy lewą i prawą stronę prawe strony pierwszego równania pomnożone przez:

Wykluczmy teraz y z trzeciego równania powstałego układu równań:

Powstały SLAE jest równoważny systemowi .

Po lewej stronie równań układu pozostawiamy tylko wyrazy zawierające nieznane zmienne x i y, a wyrazy z nieznaną zmienną z przesuwamy na prawą stronę:

1. Układ liniowych równań algebraicznych

1.1 Pojęcie układu liniowych równań algebraicznych

Układ równań to stan polegający na jednoczesnym wykonaniu kilku równań względem kilku zmiennych. Układ liniowych równań algebraicznych (zwany dalej SLAE) zawierający m równań i n niewiadomych nazywa się układem o postaci:

gdzie liczby a ij nazywane są współczynnikami systemowymi, liczby b i nazywane są terminami wolnymi, ij I b ja(i=1,…, m; b=1,…, n) reprezentują pewne znane liczby, a x 1 ,…, x rz- nieznany. W wyznaczaniu współczynników ij pierwszy indeks i oznacza numer równania, a drugi j to liczba niewiadomej, przy której stoi ten współczynnik. Należy znaleźć liczby x n. Wygodnie jest zapisać taki system w postaci zwartej macierzy: AX=B. Tutaj A jest macierzą współczynników układu, zwaną macierzą główną;

Iloczyn macierzy A*X jest określony, ponieważ w macierzy A jest tyle kolumn, ile wierszy w macierzy X (n sztuk).

Rozbudowana macierz systemu to macierz A systemu, uzupełniona kolumną wolnych terminów

1.2 Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych

Rozwiązaniem układu równań jest uporządkowany zbiór liczb (wartości zmiennych), zastępując je zamiast zmiennych, każde z równań układu zamienia się w prawdziwą równość.

Rozwiązaniem układu jest n wartości niewiadomych x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, po podstawieniu których wszystkie równania układu stają się prawdziwymi równościami. Każde rozwiązanie układu można zapisać w postaci macierzy kolumnowej

Układ równań nazywamy spójnym, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, a niespójnym, jeśli nie ma żadnego rozwiązania.

Mówi się, że system spójny jest określony, jeśli ma jedno rozwiązanie, i nieokreślony, jeśli ma więcej niż jedno rozwiązanie. W tym drugim przypadku każde z jego rozwiązań nazywane jest szczególnym rozwiązaniem układu. Zbiór wszystkich rozwiązań szczegółowych nazywamy rozwiązaniem ogólnym.

Rozwiązanie systemu oznacza sprawdzenie, czy jest on kompatybilny, czy niespójny. Jeżeli układ jest spójny, znajdź jego rozwiązanie ogólne.

Dwa układy nazywane są równoważnymi (równoważnymi), jeśli mają to samo rozwiązanie ogólne. Innymi słowy, systemy są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego z nich jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie.

Transformacja, której zastosowanie zamienia system w nowy system równoważny pierwotnemu, nazywa się transformacją równoważną lub równoważną. Przykładami przekształceń równoważnych są następujące przekształcenia: zamiana dwóch równań układu, zamiana dwóch niewiadomych wraz ze współczynnikami wszystkich równań, pomnożenie obu stron dowolnego równania układu przez liczbę różną od zera.

Układ równań liniowych nazywa się jednorodnym, jeśli wszystkie wolne wyrazy są równe zero:

Układ jednorodny jest zawsze spójny, gdyż x1=x2=x3=…=xn=0 jest rozwiązaniem układu. To rozwiązanie nazywa się zerowym lub trywialnym.

2. Metoda eliminacji Gaussa

2.1 Istota metody eliminacji Gaussa

Klasyczną metodą rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych jest metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych - Metoda Gaussa(nazywana jest także metodą eliminacji Gaussa). Jest to metoda sekwencyjnej eliminacji zmiennych, gdy za pomocą elementarnych przekształceń układ równań sprowadza się do równoważnego układu o postaci schodkowej (lub trójkątnej), z którego wszystkie pozostałe zmienne znajdują się sekwencyjnie, zaczynając od ostatniej (przez liczba) zmiennych.

Proces rozwiązania metodą Gaussa składa się z dwóch etapów: ruchów do przodu i do tyłu.

1. Skok bezpośredni.

W pierwszym etapie przeprowadza się tzw. ruch bezpośredni, gdy poprzez elementarne przekształcenia po rzędach układ zostaje doprowadzony do kształtu schodkowego lub trójkątnego, albo zostaje ustalone, że układ jest niekompatybilny. Mianowicie spośród elementów pierwszej kolumny macierzy wybierz niezerowy, przesuń go na najwyższą pozycję przestawiając wiersze i odejmij powstały pierwszy wiersz od pozostałych wierszy po przestawieniu, mnożąc go przez wartość równy stosunkowi pierwszego elementu każdego z tych wierszy do pierwszego elementu pierwszego wiersza, zerując w ten sposób kolumnę pod nim.

Po zakończeniu wskazanych przekształceń pierwszy wiersz i pierwsza kolumna są mentalnie przekreślane i kontynuowane, aż pozostanie macierz o zerowym rozmiarze. Jeśli w dowolnej iteracji wśród elementów pierwszej kolumny nie ma elementu niezerowego, to przejdź do następnej kolumny i wykonaj podobną operację.

W pierwszym etapie (skok bezpośredni) system zostaje zredukowany do formy schodkowej (w szczególności trójkątnej).

Poniższy system ma postać etapową:

Współczynniki aii nazywane są głównymi (wiodącymi) elementami układu.

Przekształćmy układ, eliminując niewiadomą x1 we wszystkich równaniach z wyjątkiem pierwszego (wykorzystując elementarne transformacje układu). Aby to zrobić, pomnóż obie strony pierwszego równania przez

Kontynuując ten proces, otrzymujemy układ równoważny:

Zatem w pierwszym kroku wszystkie współczynniki leżące pod pierwszym elementem wiodącym a 11 ulegają zniszczeniu

Jeżeli w procesie redukcji układu do postaci krokowej pojawią się równania zerowe, tj. równości w postaci 0=0, są one odrzucane. Jeśli pojawi się równanie postaci

Na tym kończy się bezpośredni postęp metody Gaussa.

2. Skok wsteczny.

W drugim etapie przeprowadzany jest tzw. ruch odwrotny, którego istotą jest wyrażenie wszystkich powstałych zmiennych podstawowych w kategoriach niepodstawowych i zbudowanie podstawowego układu rozwiązań lub, jeśli wszystkie zmienne są podstawowe , następnie wyraź liczbowo jedyne rozwiązanie układu równań liniowych.

Procedura ta rozpoczyna się od ostatniego równania, z którego wyrażana jest odpowiednia zmienna podstawowa (jest w niej tylko jedna) i podstawiona do poprzednich równań, i tak dalej, przechodząc „kroki” w górę.

Każda linia odpowiada dokładnie jednej zmiennej bazowej, zatem na każdym kroku z wyjątkiem ostatniego (najwyższego) sytuacja dokładnie powtarza się z ostatnią linią.

Uwaga: w praktyce wygodniej jest pracować nie z systemem, ale z jego rozszerzoną macierzą, wykonując wszystkie elementarne przekształcenia na jego wierszach. Wygodnie jest, aby współczynnik a11 był równy 1 (przekształć równania lub podziel obie strony równania przez a11).

2.2 Przykłady rozwiązywania SLAE metodą Gaussa

W tej sekcji, korzystając z trzech różnych przykładów, pokażemy, jak metoda Gaussa może rozwiązać SLAE.

Przykład 1. Rozwiąż SLAE trzeciego rzędu.

Zresetujmy współczynniki przy

Metoda Gaussa jest łatwa! Dlaczego? Słynny niemiecki matematyk Johann Carl Friedrich Gauss już za życia zyskał uznanie jako największy matematyk wszechczasów, geniusz, a nawet przydomek „Króla matematyki”. A wszystko genialne, jak wiadomo, jest proste! Swoją drogą pieniądze dostają nie tylko frajerzy, ale i geniusze – portret Gaussa widniał na banknocie 10 marek niemieckich (przed wprowadzeniem euro), a Gauss do dziś uśmiecha się tajemniczo do Niemców ze zwykłych znaczków pocztowych.

Metoda Gaussa jest o tyle prosta, że ​​do jej opanowania wystarczy WIEDZA UCZNIA PIĄTEJ KLASY. Musisz umieć dodawać i mnożyć! To nie przypadek, że nauczyciele często rozważają metodę sekwencyjnego wykluczania niewiadomych w szkolnych przedmiotach do wyboru z matematyki. To paradoks, ale uczniowie uważają, że metoda Gaussa jest najtrudniejsza. Nic dziwnego – chodzi o metodologię, a o algorytmie metody postaram się w przystępnej formie opowiedzieć.

Na początek usystematyzujmy trochę wiedzy o układach równań liniowych. Układ równań liniowych może:

1) Mieć unikalne rozwiązanie.
2) Mają nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Nie mają rozwiązań (być nie wspólne).

Metoda Gaussa jest najpotężniejszym i najbardziej uniwersalnym narzędziem do znalezienia rozwiązania każdy układy równań liniowych. Jak pamiętamy, Reguła Cramera i metoda macierzowa są nieodpowiednie w przypadkach, gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Oraz metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych W każdym razie doprowadzi nas do odpowiedzi! W tej lekcji ponownie rozważymy metodę Gaussa dla przypadku nr 1 (jedyne rozwiązanie układu), artykuł poświęcony jest sytuacjom z punktów nr 2-3. Zwracam uwagę, że algorytm samej metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach.

Wróćmy do najprostszego systemu z lekcji Jak rozwiązać układ równań liniowych?
i rozwiązać go metodą Gaussa.

Pierwszym krokiem jest zapisanie rozbudowana matryca systemu:
. Myślę, że każdy może zobaczyć, według jakiej zasady zapisywane są współczynniki. Pionowa linia wewnątrz matrycy nie ma żadnego znaczenia matematycznego – jest po prostu przekreśleniem dla ułatwienia projektowania.

Odniesienie :Polecam pamiętać warunki algebra liniowa. Matryca systemu jest macierzą złożoną wyłącznie ze współczynników niewiadomych, w tym przykładzie macierzą układu: . Rozszerzona matryca systemu– jest to ta sama macierz układu plus kolumna wolnych terminów, w tym przypadku: . Dla uproszczenia każdą z macierzy można po prostu nazwać macierzą.

Po napisaniu rozszerzonej macierzy systemu należy wykonać z nią pewne działania, które są również nazywane elementarne przemiany.

Istnieją następujące przekształcenia elementarne:

1) Smyczki matryce Móc przemieniać w niektórych miejscach. Na przykład w rozważanej macierzy możesz bezboleśnie zmienić układ pierwszego i drugiego wiersza:

2) Jeżeli w macierzy są (lub pojawiły się) proporcjonalne (w szczególnym przypadku - identyczne) wiersze, to należy usuwać z macierzy wszystkie te wiersze z wyjątkiem jednego. Rozważmy na przykład macierz . W tej macierzy ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, dlatego wystarczy pozostawić tylko jeden z nich: .

3) Jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawia się wiersz zerowy, to też powinien tak być usuwać. Nie będę oczywiście rysować, linia zerowa to linia, w której wszystkie zera.

4) Wiersz macierzy może być mnożyć (dzielić) na dowolny numer niezerowy. Rozważmy na przykład macierz . W tym przypadku wskazane jest podzielenie pierwszej linii przez –3 i pomnożenie drugiej linii przez 2: . Akcja ta jest bardzo przydatna, gdyż ułatwia dalsze przekształcenia macierzy.

5) Ta transformacja sprawia najwięcej trudności, ale tak naprawdę nie ma też nic skomplikowanego. Do rzędu macierzy można dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różny od zera. Spójrzmy na naszą macierz na praktycznym przykładzie: . Najpierw opiszę bardzo szczegółowo transformację. Pomnóż pierwszą linię przez –2: , I do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –2: . Teraz pierwszą linię można podzielić „wstecz” przez –2: . Jak widać, linia, która jest DODANA LI – nie uległo zmianie. Zawsze zmienia się linia DO KTÓREGO JEST DODAWANA Ut.

W praktyce oczywiście nie piszą tego tak szczegółowo, ale piszą krótko:

Jeszcze raz: do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez –2. Wiersz jest zwykle mnożony ustnie lub w wersji roboczej, a proces obliczeń w myślach przebiega mniej więcej tak:

„Przepisuję macierz i przepisuję pierwszą linijkę: »

"Pierwsza kolumna. Na dole muszę uzyskać zero. Dlatego mnożę tę na górze przez –2: , a pierwszą dodaję do drugiej linii: 2 + (–2) = 0. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„Teraz druga kolumna. Na górze mnożę -1 przez -2: . Pierwszy dodaję do drugiej linii: 1 + 2 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„I trzecia kolumna. Na górze mnożę -5 przez -2: . Pierwszy dodaję do drugiego wiersza: –7 + 10 = 3. Wynik zapisuję w drugim wierszu: »

Proszę dokładnie zrozumieć ten przykład i zrozumieć algorytm obliczeń sekwencyjnych, jeśli to rozumiesz, to metoda Gaussa jest praktycznie w twojej kieszeni. Ale oczywiście nadal będziemy pracować nad tą transformacją.

Przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań

! UWAGA: uważane za manipulacje nie można użyć, jeśli zaproponowano ci zadanie, w którym macierze są podawane „same w sobie”. Na przykład w przypadku „klasycznego” operacje na macierzach W żadnym wypadku nie należy przestawiać czegokolwiek wewnątrz macierzy!

Wróćmy do naszego systemu. Jest praktycznie rozebrany na kawałki.

Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i korzystając z przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci widok schodkowy:

(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. I jeszcze raz: dlaczego mnożymy pierwszą linię przez –2? Aby uzyskać zero na dole, co oznacza pozbycie się jednej zmiennej w drugiej linii.

(2) Podziel drugą linię przez 3.

Cel przekształceń elementarnych – sprowadź macierz do postaci krokowej: . Projektując zadanie, po prostu zaznaczają „schody” prostym ołówkiem, a także zakreślają liczby znajdujące się na „stopniach”. Sam termin „widok schodkowy” nie jest całkowicie teoretyczny; w literaturze naukowej i edukacyjnej jest często nazywany widok trapezowy Lub widok trójkątny.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymaliśmy równowartość oryginalny układ równań:

Teraz system należy „rozwinąć” w przeciwnym kierunku - proces ten nazywa się od dołu do góry odwrotność metody Gaussa.

W dolnym równaniu mamy już gotowy wynik: .

Rozważmy pierwsze równanie układu i podstawmy do niego znaną już wartość „y”:

Rozważmy najczęstszą sytuację, gdy metoda Gaussa wymaga rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.

Przykład 1

Rozwiąż układ równań metodą Gaussa:

Napiszmy rozszerzoną macierz układu:

Teraz od razu narysuję wynik, do którego dojdziemy podczas rozwiązania:

I powtarzam, naszym celem jest doprowadzenie macierzy do postaci krokowej za pomocą elementarnych przekształceń. Gdzie zacząć?

Najpierw spójrz na liczbę w lewym górnym rogu:

Powinien prawie zawsze tu być jednostka. Ogólnie rzecz biorąc, wystarczy –1 (a czasami inne liczby), ale jakoś tradycyjnie tak się złożyło, że zwykle umieszczano je w tym miejscu. Jak zorganizować jednostkę? Patrzymy na pierwszą kolumnę - mamy gotową jednostkę! Transformacja pierwsza: zamień pierwszą i trzecią linię:

Teraz pierwsza linia pozostanie niezmieniona aż do końca rozwiązania. Teraz dobrze.

Jednostka w lewym górnym rogu jest zorganizowana. Teraz musisz uzyskać zera w tych miejscach:

Zera otrzymujemy stosując „trudną” transformację. Najpierw zajmujemy się drugą linią (2, –1, 3, 13). Co należy zrobić, aby na pierwszym miejscu pojawiło się zero? Potrzebować do drugiej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –2. W myślach lub w szkicu pomnóż pierwszą linię przez –2: (–2, –4, 2, –18). I konsekwentnie przeprowadzamy (znowu w myślach lub na szkicu) dodawanie, do drugiej linii dodajemy pierwszą linię, już pomnożoną przez –2:

Wynik zapisujemy w drugiej linii:

W ten sam sposób postępujemy z trzecią linią (3, 2, –5, –1). Aby uzyskać zero na pierwszej pozycji, potrzebujesz do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3. W myślach lub w szkicu pomnóż pierwszą linię przez –3: (–3, –6, 3, –27). I do trzeciej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –3:

Wynik zapisujemy w trzeciej linii:

W praktyce czynności te najczęściej wykonywane są ustnie i spisywane w jednym kroku:

Nie trzeba liczyć wszystkiego na raz i w tym samym czasie. Kolejność obliczeń i „wpisywania” wyników spójny i zwykle jest tak: najpierw przepisujemy pierwszą linijkę i powoli się zaciągamy - KONSEKWENCJONALNIE i UWAŻNIE:


Omówiłem już proces mentalny samych obliczeń powyżej.

W tym przykładzie jest to łatwe do zrobienia; dzielimy drugą linię przez –5 (ponieważ wszystkie liczby w niej są podzielne przez 5 bez reszty). Jednocześnie dzielimy trzecią linię przez –2, bo im mniejsze liczby, tym prostsze rozwiązanie:

Na ostatnim etapie elementarnych przekształceń musisz tutaj uzyskać kolejne zero:

Dla tego do trzeciej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –2:


Spróbuj sam wymyślić tę akcję - pomnóż w myślach drugą linię przez –2 i wykonaj dodawanie.

Ostatnią wykonaną akcją jest fryzura wyniku, podziel trzecią linię przez 3.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymano równoważny układ równań liniowych:

Fajny.

Teraz wchodzi w grę odwrotność metody Gaussa. Równania „rozwijają się” od dołu do góry.

W trzecim równaniu mamy już gotowy wynik:

Spójrzmy na drugie równanie: . Znaczenie słowa „zet” jest już znane, a zatem:

I na koniec pierwsze równanie: . „Igrek” i „zet” są znane, to tylko kwestia drobiazgów:

Odpowiedź:

Jak już kilkukrotnie zauważono, dla każdego układu równań możliwe i konieczne jest sprawdzenie znalezionego rozwiązania, na szczęście jest to łatwe i szybkie.

Przykład 2

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, próbka finalnego projektu i odpowiedź na koniec lekcji.

Warto zauważyć, że Twój postęp decyzji może nie pokrywać się z moim procesem decyzyjnym, i jest to cecha metody Gaussa. Ale odpowiedzi muszą być takie same!

Przykład 3

Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa

Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

Patrzymy na lewy górny „krok”. Powinniśmy go tam mieć. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma jednostek, więc zmiana kolejności wierszy niczego nie rozwiąże. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana przy użyciu transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Ja to zrobiłem:
(1) Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez –1 i dodaliśmy pierwszą i drugą linię, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz w lewym górnym rogu znajduje się „minus jeden”, co nam całkiem odpowiada. Każdy, kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkowy ruch: pomnożyć pierwszą linię przez –1 (zmienić jej znak).

(2) Do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez 5. Pierwszą linię pomnożoną przez 3 dodano do trzeciej linii.

(3) Pierwsza linia została pomnożona przez –1, w zasadzie dotyczy to piękna. Zmieniono także znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, dzięki czemu na drugim „kroku” mieliśmy już wymaganą jednostkę.

(4) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez 2.

(5) Trzecia linia została podzielona przez 3.

Zły znak wskazujący na błąd w obliczeniach (rzadziej literówkę) to „zły” wynik końcowy. To znaczy, jeśli mamy coś takiego jak poniżej i odpowiednio , to z dużym prawdopodobieństwem można powiedzieć, że przy przekształceniach elementarnych popełniono błąd.

My obciążamy odwrotnie, przy projektowaniu przykładów często nie przepisuje się samego układu, lecz równania „bierze się bezpośrednio z danej macierzy”. Przypominam, że odwrotny skok działa od dołu do góry. Tak, oto prezent:

Odpowiedź: .

Przykład 4

Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, jest nieco bardziej skomplikowany. Nie ma problemu, jeśli ktoś się pomyli. Pełne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego.

W ostatniej części przyjrzymy się niektórym cechom algorytmu Gaussa.
Pierwszą cechą jest to, że czasami w równaniach układu brakuje niektórych zmiennych, na przykład:

Jak poprawnie napisać rozszerzoną macierz systemu? Mówiłem już o tym punkcie na zajęciach. Reguła Cramera. Metoda matrycowa. W rozszerzonej macierzy systemu w miejsce brakujących zmiennych wstawiamy zera:

Nawiasem mówiąc, jest to dość łatwy przykład, ponieważ pierwsza kolumna ma już jedno zero, a do wykonania jest mniej elementarnych transformacji.

Druga cecha jest taka. We wszystkich rozważanych przykładach umieściliśmy „kroki” albo –1, albo +1. Czy mogą być tam inne numery? W niektórych przypadkach mogą. Rozważ system: .

Tutaj, w lewym górnym „kroku”, mamy dwójkę. Ale zauważamy, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2 bez reszty - a druga to dwa i sześć. A te dwa w lewym górnym rogu będą nam odpowiadać! W pierwszym kroku należy wykonać następujące przekształcenia: dodać do drugiej linii pierwszą linię pomnożoną przez –1; do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3. W ten sposób uzyskamy wymagane zera w pierwszej kolumnie.

Lub inny konwencjonalny przykład: . Tutaj trójka w drugim „kroku” również nam odpowiada, ponieważ 12 (miejsce, w którym musimy uzyskać zero) jest podzielne przez 3 bez reszty. Należy przeprowadzić następującą transformację: dodać drugą linię do trzeciej linii, pomnożoną przez –4, w wyniku czego otrzymamy potrzebne nam zero.

Metoda Gaussa jest uniwersalna, ale ma jedną osobliwość. Rozwiązywania układów innymi metodami (metoda Cramera, metoda macierzowa) można śmiało nauczyć się dosłownie za pierwszym razem – mają one bardzo rygorystyczny algorytm. Ale żeby mieć pewność co do metody Gaussa, trzeba ją opanować i rozwiązać przynajmniej 5-10 układów. Dlatego na początku może pojawić się zamieszanie i błędy w obliczeniach i nie ma w tym nic niezwykłego ani tragicznego.

Za oknem deszczowa jesienna pogoda.... Dlatego dla każdego, kto ma ochotę na bardziej złożony przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 5

Rozwiąż układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi, stosując metodę Gaussa.

Takie zadanie nie jest w praktyce tak rzadkie. Myślę, że nawet czajniczek, który dokładnie przestudiował tę stronę, zrozumie algorytm intuicyjnego rozwiązania takiego systemu. Zasadniczo wszystko jest takie samo - jest tylko więcej akcji.

Przypadki, gdy układ nie ma rozwiązań (niespójny) lub ma nieskończenie wiele rozwiązań, omówione są na lekcji Systemy niekompatybilne i systemy z rozwiązaniem ogólnym. Tam możesz naprawić rozważany algorytm metody Gaussa.

Życzę Ci sukcesu!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie : Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej.


Wykonane przekształcenia elementarne:
(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –1. Uwaga! Tutaj możesz pokusić się o odjęcie pierwszej linii od trzeciej linii; zdecydowanie nie radzę tego odejmować – ryzyko błędu znacznie wzrasta. Po prostu złóż!
(2) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Druga i trzecia linia zostały zamienione miejscami. notatka, że na „stopniach” zadowalamy się nie tylko jednym, ale także –1, co jest jeszcze wygodniejsze.
(3) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez 5.
(4) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Trzecia linia została podzielona przez 14.

Odwracać:

Odpowiedź: .

Przykład 4: Rozwiązanie : Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

Wykonane konwersje:
(1) Do pierwszego wiersza dodano drugi wiersz. W ten sposób żądana jednostka jest zorganizowana w lewym górnym „kroku”.
(2) Do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez 7. Do trzeciej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez 6.

Z drugim „krokiem” wszystko się pogarsza , „kandydatami” do tego są liczby 17 i 23, a my potrzebujemy albo jednego, albo –1. Transformacje (3) i (4) będą miały na celu uzyskanie pożądanej jednostki

(3) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –1.
(4) Do drugiej linii dodano trzecią linię pomnożoną przez –3.
(3) Do trzeciej linii dodano drugą linię, pomnożoną przez 4. Do czwartej linii dodano drugą linię, pomnożoną przez –1.
(4) Zmieniono znak drugiej linii. Czwarta linia została podzielona przez 3 i umieszczona w miejscu trzeciej linii.
(5) Do czwartej linii dodano trzecią linię, pomnożoną przez –5.

Odwracać:

Niech zostanie podany układ liniowych równań algebraicznych, który należy rozwiązać (znajdź takie wartości niewiadomych xi, które zamieniają każde równanie układu w równość).

Wiemy, że układ liniowych równań algebraicznych może:

1) Nie mają rozwiązań (być nie wspólne).
2) Mają nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Miej jedno rozwiązanie.

Jak pamiętamy, reguła Cramera i metoda macierzowa nie sprawdzają się w przypadkach, gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda Gaussa – najpotężniejsze i wszechstronne narzędzie do znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych, Który w każdym przypadku doprowadzi nas do odpowiedzi! Sam algorytm metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach. Jeśli metoda Cramera i metoda macierzowa wymagają znajomości wyznaczników, to do zastosowania metody Gaussa wystarczy znajomość działań arytmetycznych, co czyni ją przystępną nawet dla uczniów szkół podstawowych.

Rozszerzone transformacje macierzy ( to jest macierz układu - macierz złożona tylko ze współczynników niewiadomych plus kolumna wolnych wyrazów) układy liniowych równań algebraicznych w metodzie Gaussa:

1) Z troki matryce Móc przemieniać w niektórych miejscach.

2) jeżeli w macierzy pojawiają się (lub istnieją) proporcjonalne (w szczególnym przypadku – identyczne) wiersze, to należy usuwać z macierzy wszystkie te wiersze z wyjątkiem jednego.

3) jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawia się wiersz zerowy, to też powinien tak być usuwać.

4) może być wiersz macierzy mnożyć (dzielić) na dowolną liczbę inną niż zero.

5) do wiersza macierzy możesz dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różny od zera.

W metodzie Gaussa przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań.

Metoda Gaussa składa się z dwóch etapów:

1. „Ruch bezpośredni” - za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy rozszerzoną macierz układu liniowych równań algebraicznych do postaci „trójkątnej” schodkowej: elementy rozszerzonej macierzy znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zeru (ruch z góry na dół). Na przykład do tego typu:

Aby to zrobić, wykonaj następujące kroki:

1) Rozważmy pierwsze równanie układu liniowych równań algebraicznych, a współczynnik dla x 1 jest równy K. Drugie, trzecie itd. przekształcamy równania w następujący sposób: dzielimy każde równanie (współczynniki niewiadomych, w tym wyrazy wolne) przez współczynnik niewiadomej x 1 w każdym równaniu i mnożymy przez K. Następnie odejmujemy pierwsze od drugiego równania ( współczynniki niewiadomych i terminy swobodne). Dla x 1 w drugim równaniu otrzymujemy współczynnik 0. Od trzeciego przekształconego równania odejmujemy pierwsze równanie, aż wszystkie równania oprócz pierwszego, dla nieznanego x 1, będą miały współczynnik 0.

2) Przejdźmy do następnego równania. Niech to będzie drugie równanie i współczynnik dla x 2 równy M. Postępujemy ze wszystkimi „niższymi” równaniami jak opisano powyżej. Zatem „pod” niewiadomą x 2 we wszystkich równaniach będą zera.

3) Przejdź do następnego równania i tak dalej, aż pozostanie ostatnia niewiadoma i przekształcony człon wolny.

1. „Ruch odwrotny” metody Gaussa polega na uzyskaniu rozwiązania układu liniowych równań algebraicznych (ruch „od dołu do góry”). Z ostatniego „niższego” równania otrzymujemy jedno pierwsze rozwiązanie - niewiadomą x n. W tym celu rozwiązujemy równanie elementarne A * x n = B. W powyższym przykładzie x 3 = 4. Znalezioną wartość podstawiamy do „górnego” następnego równania i rozwiązujemy z uwzględnieniem kolejnej niewiadomej. Na przykład x 2 – 4 = 1, tj. x 2 = 5. I tak dalej, aż znajdziemy wszystkie niewiadome.

Przykład.

Rozwiążmy układ równań liniowych metodą Gaussa, jak radzą niektórzy autorzy:

Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

Patrzymy na lewy górny „krok”. Powinniśmy go tam mieć. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma jednostek, więc zmiana kolejności wierszy niczego nie rozwiąże. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana przy użyciu transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Zróbmy to:
1 krok . Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez –1 i dodaliśmy pierwszą i drugą linię, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz w lewym górnym rogu znajduje się „minus jeden”, co nam całkiem odpowiada. Każdy, kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkową akcję: pomnożyć pierwszą linię przez –1 (zmienić jej znak).

Krok 2 . Pierwsza linia pomnożona przez 5 została dodana do drugiej linii, pierwsza linia pomnożona przez 3 została dodana do trzeciej linii.

Krok 3 . Pierwsza linia została pomnożona przez –1, w zasadzie dotyczy to piękna. Zmieniono także znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, dzięki czemu na drugim „kroku” mieliśmy już wymaganą jednostkę.

Krok 4 . Trzecia linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez 2.

Krok 5 . Trzecia linia została podzielona przez 3.

Znak wskazujący na błąd w obliczeniach (rzadziej literówkę) to „zły” wynik końcowy. Oznacza to, że jeśli poniżej otrzymamy coś w rodzaju (0 0 11 |23) i odpowiednio 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, to z dużym prawdopodobieństwem możemy powiedzieć, że podczas zajęć elementarnych popełniono błąd przemiany.

Zróbmy odwrotnie: przy projektowaniu przykładów często nie przepisuje się samego układu, ale równania „bierze się bezpośrednio z danej macierzy”. Przypominam, że ruch odwrotny działa od dołu do góry. W tym przykładzie efektem był prezent:

x 3 = 1
x2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, zatem x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odpowiedź:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Rozwiążmy ten sam układ, korzystając z zaproponowanego algorytmu. Dostajemy

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Podziel drugie równanie przez 5, a trzecie przez 3. Otrzymujemy:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Mnożąc drugie i trzecie równanie przez 4, otrzymujemy:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odejmij pierwsze równanie od drugiego i trzeciego równania, mamy:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podziel trzecie równanie przez 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnóż trzecie równanie przez 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odejmując drugie od trzeciego równania, otrzymujemy „schodkową” rozszerzoną macierz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Zatem, ponieważ błąd narósł podczas obliczeń, otrzymujemy x 3 = 0,96 lub w przybliżeniu 1.

x 2 = 3 i x 1 = –1.

Rozwiązując w ten sposób, nigdy nie pomylisz się w obliczeniach i pomimo błędów obliczeniowych otrzymasz wynik.

Ten sposób rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych jest łatwo programowalny i nie uwzględnia specyfiki współczynników dla niewiadomych, gdyż w praktyce (w obliczeniach ekonomicznych i technicznych) mamy do czynienia ze współczynnikami niecałkowitymi.

Życzę Ci sukcesu! Do zobaczenia w klasie! Korepetytor Dmitrij Aystrachanow.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

W artykule metodę tę traktuje się jako metodę rozwiązywania układów równań liniowych (SLAE). Metoda ma charakter analityczny, to znaczy pozwala na napisanie algorytmu rozwiązania w formie ogólnej, a następnie podstawienie tam wartości z konkretnych przykładów. W przeciwieństwie do metody macierzowej czy wzorów Cramera, rozwiązując układ równań liniowych metodą Gaussa, można pracować także z tymi, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań. Albo nie mają go w ogóle.

Co to znaczy rozwiązywać metodą Gaussa?

Najpierw musimy zapisać nasz układ równań w następujący sposób. Weź system:

Współczynniki zapisano w formie tabeli, a terminy wolne w osobnej kolumnie po prawej stronie. Dla wygody kolumna z terminami wolnymi została oddzielona, ​​a macierz zawierającą tę kolumnę nazywa się rozszerzoną.

Następnie główną macierz ze współczynnikami należy sprowadzić do postaci górnego trójkąta. To jest główny punkt rozwiązania układu metodą Gaussa. Mówiąc najprościej, po pewnych manipulacjach macierz powinna wyglądać tak, aby jej lewa dolna część zawierała tylko zera:

Następnie, jeśli napiszesz nową macierz ponownie jako układ równań, zauważysz, że ostatni wiersz zawiera już wartość jednego z pierwiastków, który następnie podstawia się do powyższego równania, zostaje znaleziony inny pierwiastek i tak dalej.

Jest to opis rozwiązania metodą Gaussa w najbardziej ogólnym ujęciu. Co się stanie, jeśli nagle system nie będzie miał rozwiązania? A może jest ich nieskończenie wiele? Aby odpowiedzieć na te i wiele innych pytań, należy osobno rozważyć wszystkie elementy stosowane w rozwiązaniu metody Gaussa.

Macierze, ich właściwości

W matrixie nie ma żadnego ukrytego znaczenia. Jest to po prostu wygodny sposób na zapisanie z nim danych do późniejszych operacji. Nawet uczniowie nie muszą się ich bać.

Matryca jest zawsze prostokątna, bo tak jest wygodniej. Nawet w metodzie Gaussa, gdzie wszystko sprowadza się do zbudowania macierzy o postaci trójkątnej, we wpisie pojawia się prostokąt, tylko z zerami w miejscu, w którym nie ma liczb. Zera mogą nie być zapisane, ale są dorozumiane.

Macierz ma rozmiar. Jego „szerokość” to liczba wierszy (m), „długość” to liczba kolumn (n). Wtedy wielkość macierzy A (zwykle do ich oznaczenia używa się wielkich liter łacińskich) będzie oznaczona jako A m×n. Jeśli m=n, to ta macierz jest kwadratowa, a m=n jest jej rządem. Odpowiednio, dowolny element macierzy A można oznaczyć numerami jego wierszy i kolumn: a xy ; x - numer wiersza, zmiany, y - numer kolumny, zmiany.

B nie jest głównym punktem decyzji. W zasadzie wszystkie operacje można wykonać bezpośrednio na samych równaniach, ale zapis będzie znacznie bardziej uciążliwy i znacznie łatwiej będzie się w nim pomylić.

Wyznacznik

Macierz ma również wyznacznik. Jest to bardzo ważna cecha. Nie trzeba już teraz dowiadywać się o jego znaczeniu, wystarczy pokazać, jak jest on obliczany, a następnie powiedzieć, jakie właściwości macierzy wyznacza. Najłatwiej znaleźć wyznacznik poprzez przekątne. W macierzy rysowane są wyimaginowane przekątne; elementy znajdujące się na każdym z nich są mnożone, a następnie dodawane są powstałe iloczyny: przekątne o nachyleniu w prawo - ze znakiem plus, o nachyleniu w lewo - ze znakiem minus.

Niezwykle ważne jest, aby pamiętać, że wyznacznik można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej. W przypadku macierzy prostokątnej można wykonać następującą operację: wybrać najmniejszą z liczby wierszy i liczby kolumn (niech będzie k), a następnie losowo zaznaczyć w macierzy k kolumn i k wierszy. Elementy na przecięciu wybranych kolumn i wierszy utworzą nową macierz kwadratową. Jeżeli wyznacznik takiej macierzy jest liczbą różną od zera, nazywa się ją mollą bazową pierwotnej macierzy prostokątnej.

Zanim zaczniesz rozwiązywać układ równań metodą Gaussa, nie zaszkodzi obliczyć wyznacznik. Jeśli okaże się, że wynosi zero, to od razu możemy powiedzieć, że macierz ma albo nieskończoną liczbę rozwiązań, albo nie ma ich wcale. W tak smutnym przypadku trzeba pójść dalej i dowiedzieć się o randze macierzy.

Klasyfikacja systemu

Istnieje coś takiego jak stopień macierzy. Jest to maksymalny rząd jej niezerowego wyznacznika (jeśli pamiętamy o molowej bazie, to można powiedzieć, że rząd macierzy jest rzędem molowej podstawy).

W zależności od sytuacji z rangą, SLAE można podzielić na:

• Wspólny. U W układach połączonych stopień macierzy głównej (składającej się wyłącznie ze współczynników) pokrywa się z rzędem macierzy rozszerzonej (z kolumną wolnych terminów). Takie systemy mają rozwiązanie, ale niekoniecznie jedno, dlatego dodatkowo systemy wspólne dzielą się na:
• - niektórzy- posiadanie jednego rozwiązania. W niektórych systemach rząd macierzy i liczba niewiadomych (lub liczba kolumn, co jest tym samym) są równe;
• - nieokreślony - z nieskończoną liczbą rozwiązań. Ranga macierzy w takich układach jest mniejsza niż liczba niewiadomych.
• Niekompatybilny. U W takich układach szeregi macierzy głównej i rozszerzonej nie pokrywają się. Niekompatybilne systemy nie mają rozwiązania.

Metoda Gaussa jest dobra, ponieważ w trakcie rozwiązania pozwala uzyskać albo jednoznaczny dowód niespójności układu (bez obliczania wyznaczników dużych macierzy), albo rozwiązanie w postaci ogólnej dla układu o nieskończonej liczbie rozwiązań.

Transformacje elementarne

Przed przystąpieniem bezpośrednio do rozwiązywania układu można uczynić go mniej uciążliwym i wygodniejszym do obliczeń. Osiąga się to poprzez elementarne przekształcenia - tak, aby ich realizacja w żaden sposób nie zmieniała ostatecznej odpowiedzi. Należy zaznaczyć, że część podanych przekształceń elementarnych obowiązuje tylko dla macierzy, których źródłem był SLAE. Oto lista tych transformacji:

1. Przestawianie linii. Oczywiście, jeśli zmienisz kolejność równań w zapisie systemowym, nie będzie to miało żadnego wpływu na rozwiązanie. W związku z tym wiersze w macierzy tego układu również można zamieniać, nie zapominając oczywiście o kolumnie wolnych terminów.
2. Mnożenie wszystkich elementów ciągu przez określony współczynnik. Bardzo pomocne! Można go użyć do zmniejszenia dużych liczb w macierzy lub usunięcia zer. Wiele decyzji jak zwykle się nie zmieni, ale dalsze operacje staną się wygodniejsze. Najważniejsze jest to, że współczynnik nie jest równy zero.
3. Usuwanie wierszy ze współczynnikami proporcjonalnymi. Częściowo wynika to z poprzedniego akapitu. Jeżeli dwa lub więcej wierszy macierzy ma współczynniki proporcjonalności, to mnożąc/dzieląc jeden z wierszy przez współczynnik proporcjonalności, otrzymujemy dwa (lub więcej) absolutnie identyczne wiersze, a dodatkowe można usunąć, pozostawiając tylko jeden.
4. Usuwanie linii zerowej. Jeśli w trakcie transformacji otrzyma się gdzieś wiersz, w którym wszystkie elementy, łącznie z wyrazem wolnym, są równe zeru, to taki wiersz można nazwać zerem i wyrzucić z macierzy.
5. Dodanie do elementów jednego wiersza elementów drugiego (w odpowiednich kolumnach), pomnożone przez określony współczynnik. Najbardziej nieoczywista i najważniejsza przemiana ze wszystkich. Warto zastanowić się nad tym bardziej szczegółowo.

Dodanie ciągu pomnożonego przez współczynnik

Dla ułatwienia zrozumienia warto rozłożyć ten proces krok po kroku. Z macierzy pobierane są dwa wiersze:

za 11 za 12 ... za 1n | b1

za 21 za 22 ... za 2n | b 2

Załóżmy, że musisz dodać pierwszy do drugiego, pomnożony przez współczynnik „-2”.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Następnie drugi wiersz macierzy zostaje zastąpiony nowym, a pierwszy pozostaje niezmieniony.

za 11 za 12 ... za 1n | b1

a" 21 a" 22... a" 2n | b 2

Należy zaznaczyć, że współczynnik mnożenia można tak dobrać, aby w wyniku dodania dwóch wierszy jeden z elementów nowego wiersza był równy zero. W rezultacie możliwe jest otrzymanie równania w układzie, w którym będzie o jedno mniej niewiadome. A jeśli otrzymasz dwa takie równania, operację można wykonać ponownie i otrzymać równanie, które będzie zawierało o dwie niewiadome mniej. A jeśli za każdym razem zamienisz jeden współczynnik wszystkich wierszy znajdujących się poniżej pierwotnego na zero, możesz niczym schody zejść na sam dół macierzy i otrzymać równanie z jedną niewiadomą. Nazywa się to rozwiązywaniem układu metodą Gaussa.

Ogólnie

Niech będzie system. Ma m równań i n nieznanych pierwiastków. Można to zapisać w następujący sposób:

Główna macierz jest kompilowana ze współczynników systemowych. Do rozszerzonej macierzy dodawana jest kolumna wolnych terminów i dla wygody oddzielana linią.

• pierwszy wiersz macierzy mnoży się przez współczynnik k = (-a 21 /a 11);
• dodaje się pierwszy zmodyfikowany wiersz i drugi wiersz macierzy;
• zamiast drugiego wiersza do macierzy wstawiany jest wynik dodania z poprzedniego akapitu;
• teraz pierwszy współczynnik w nowym drugim rzędzie to a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz wykonywana jest ta sama seria przekształceń, zaangażowane są tylko pierwszy i trzeci rząd. Odpowiednio na każdym etapie algorytmu element 21 jest zastępowany przez 31. Następnie wszystko powtarza się dla 41, ... m1. Wynikiem jest macierz, w której pierwszym elementem w wierszach jest zero. Teraz musisz zapomnieć o linii numer jeden i wykonać ten sam algorytm, zaczynając od linii drugiej:

• współczynnik k = (-a 32 /a 22);
• druga zmodyfikowana linia jest dodawana do linii „bieżącej”;
• wynik dodawania jest podstawiony do trzeciego, czwartego i tak dalej, podczas gdy pierwszy i drugi pozostają niezmienione;
• w wierszach macierzy dwa pierwsze elementy są już równe zeru.

Algorytm należy powtarzać aż do pojawienia się współczynnika k = (-a m,m-1 /a mm). Oznacza to, że ostatni raz algorytm był wykonywany tylko dla dolnego równania. Teraz matryca wygląda jak trójkąt lub ma kształt schodkowy. W dolnej linii znajduje się równość a mn × x n = b m. Znany jest współczynnik i wyraz wolny, a pierwiastek wyraża się za ich pośrednictwem: x n = b m /a mn. Powstały pierwiastek podstawiamy do górnej linii, aby znaleźć x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. I tak dalej przez analogię: w każdej kolejnej linii znajduje się nowy pierwiastek, a po dotarciu na „szczyt” systemu można znaleźć wiele rozwiązań. To będzie jedyny.

Kiedy nie ma rozwiązań

Jeżeli w jednym z wierszy macierzy wszystkie elementy poza wyrazem wolnym są równe zeru, to równanie odpowiadające temu wierszowi wygląda jak 0 = b. Nie ma rozwiązania. A skoro takie równanie jest zawarte w układzie, to zbiór rozwiązań całego układu jest pusty, czyli zdegenerowany.

Gdy istnieje nieskończona liczba rozwiązań

Może się zdarzyć, że w danej macierzy trójkątnej nie ma wierszy z jednym elementem współczynnikowym równania i jednym wyrazem wolnym. Istnieją tylko linie, które po przepisaniu wyglądałyby jak równanie z dwiema lub więcej zmiennymi. Oznacza to, że układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań. W takim przypadku odpowiedź można podać w formie ogólnego rozwiązania. Jak to zrobić?

Wszystkie zmienne w macierzy dzielą się na podstawowe i dowolne. Podstawowe to te, które stoją „na krawędzi” wierszy macierzy schodkowej. Reszta jest bezpłatna. W rozwiązaniu ogólnym zmienne podstawowe zapisywane są poprzez zmienne wolne.

Dla wygody macierz jest najpierw przepisana z powrotem do układu równań. Następnie w ostatnim z nich, gdzie dokładnie pozostaje tylko jedna zmienna podstawowa, pozostaje ona po jednej stronie, a wszystko inne zostaje przeniesione na drugą. Odbywa się to dla każdego równania z jedną zmienną podstawową. Następnie w pozostałych równaniach, gdzie jest to możliwe, zamiast zmiennej podstawowej podstawiamy otrzymane dla niej wyrażenie. Jeśli wynikiem jest ponownie wyrażenie zawierające tylko jedną zmienną podstawową, jest ono ponownie wyrażane od tego miejsca i tak dalej, aż każda zmienna podstawowa zostanie zapisana jako wyrażenie ze zmiennymi wolnymi. Jest to ogólne rozwiązanie SLAE.

Można też znaleźć podstawowe rozwiązanie układu - nadaj zmiennym swobodnym dowolne wartości, a następnie dla tego konkretnego przypadku oblicz wartości zmiennych podstawowych. Istnieje nieskończona liczba rozwiązań szczegółowych, które można podać.

Rozwiązanie na konkretnych przykładach

Oto układ równań.

Dla wygody lepiej od razu utworzyć matrycę

Wiadomo, że po rozwiązaniu metodą Gaussa równanie odpowiadające pierwszemu wierszowi pozostanie niezmienione po zakończeniu przekształceń. Dlatego bardziej opłacalne będzie, jeśli lewy górny element macierzy będzie najmniejszy - wówczas pierwsze elementy pozostałych wierszy po operacjach wyniosą zero. Oznacza to, że w skompilowanej macierzy korzystne będzie umieszczenie drugiego wiersza w miejsce pierwszego.

druga linia: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

trzecia linia: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = za 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = za 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Teraz, aby się nie pomylić, musisz zapisać macierz z pośrednimi wynikami transformacji.

Oczywiście taką matrycę można uczynić wygodniejszą dla percepcji za pomocą pewnych operacji. Na przykład możesz usunąć wszystkie „minusy” z drugiej linii, mnożąc każdy element przez „-1”.

Warto również zauważyć, że w trzeciej linii wszystkie elementy są wielokrotnościami trójki. Następnie możesz skrócić ciąg o tę liczbę, mnożąc każdy element przez „-1/3” (minus - jednocześnie, aby usunąć wartości ujemne).

Wygląda dużo ładniej. Teraz musimy zostawić pierwszą linię w spokoju i pracować z drugą i trzecią. Zadanie polega na dodaniu drugiej linii do trzeciej linii i pomnożeniu przez taki współczynnik, aby element a 32 stał się równy zero.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jeżeli podczas niektórych przekształceń odpowiedź nie okaże się liczbą całkowitą, zaleca się zachowanie dokładności obliczeń pozostawić to „tak jak jest”, w postaci ułamka zwykłego i dopiero wtedy, gdy otrzymamy odpowiedzi, zadecydujemy, czy zaokrąglić i przekonwertować na inną formę zapisu)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Macierz jest zapisywana ponownie z nowymi wartościami.

Jak widać, otrzymana macierz ma już postać schodkową. Nie są zatem wymagane dalsze transformacje układu metodą Gaussa. Możesz tutaj usunąć ogólny współczynnik „-1/7” z trzeciej linii.

Teraz wszystko jest piękne. Pozostało jeszcze raz zapisać macierz w postaci układu równań i obliczyć pierwiastki

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algorytm, za pomocą którego zostaną teraz znalezione pierwiastki, nazywa się ruchem odwrotnym w metodzie Gaussa. Równanie (3) zawiera wartość z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Pierwsze równanie pozwala nam znaleźć x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Mamy prawo nazwać taki system wspólnym, a nawet określonym, czyli posiadającym unikalne rozwiązanie. Odpowiedź jest zapisana w następującej formie:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Przykład niepewnego układu

Przeanalizowano wariant rozwiązania pewnego układu metodą Gaussa, obecnie należy rozważyć przypadek, gdy układ jest niepewny, czyli można dla niego znaleźć nieskończenie wiele rozwiązań.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Już sam wygląd układu jest niepokojący, gdyż liczba niewiadomych wynosi n=5, a rząd macierzy układu jest już dokładnie mniejszy od tej liczby, gdyż liczba wierszy wynosi m=4, czyli największy rząd wyznacznika wynosi 4. Oznacza to, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań i trzeba szukać ich ogólnego wyglądu. Umożliwia to metoda Gaussa dla równań liniowych.

Najpierw, jak zwykle, kompilowana jest rozszerzona macierz.

Druga linia: współczynnik k = (-a 21 /a 11) = -3. W trzeciej linii pierwszy element jest przed przekształceniami, więc nie trzeba niczego dotykać, trzeba to zostawić tak, jak jest. Czwarta linia: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Mnożąc elementy pierwszego rzędu po kolei przez każdy z ich współczynników i dodając je do wymaganych wierszy, otrzymujemy macierz o postaci:

Jak widać drugi, trzeci i czwarty rząd składają się z elementów proporcjonalnych do siebie. Drugi i czwarty są na ogół identyczne, więc jeden z nich można natychmiast usunąć, a drugi można pomnożyć przez współczynnik „-1” i uzyskać linię nr 3. I znowu z dwóch identycznych linii zostaw jedną.

Rezultatem jest taka macierz. Choć system nie został jeszcze spisany, należy tu wyznaczyć zmienne podstawowe – te stojące przy współczynnikach a 11 = 1 i a 22 = 1 oraz wolne – całą resztę.

W drugim równaniu występuje tylko jedna zmienna podstawowa – x ​​2. Oznacza to, że można to wyrazić stamtąd, zapisując je poprzez zmienne x 3 , x 4 , x 5 , które są bezpłatne.

Podstawiamy otrzymane wyrażenie do pierwszego równania.

Wynikiem jest równanie, w którym jedyną zmienną podstawową jest x 1 . Zróbmy z tym to samo co z x2.

Wszystkie zmienne podstawowe, których są dwie, wyrażamy w postaci trzech wolnych, teraz możemy zapisać odpowiedź w postaci ogólnej.

Można także wskazać jedno z konkretnych rozwiązań systemu. W takich przypadkach zwykle wybiera się zera jako wartości wolnych zmiennych. Wtedy odpowiedź będzie brzmieć:

16, 23, 0, 0, 0.

Przykład systemu niekooperacyjnego

Najszybsze jest rozwiązywanie niezgodnych układów równań metodą Gaussa. Kończy się natychmiast, gdy tylko na jednym z etapów zostanie uzyskane równanie, które nie ma rozwiązania. Oznacza to, że etap obliczania pierwiastków, który jest dość długi i żmudny, zostaje wyeliminowany. Rozważany jest następujący system:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Jak zwykle macierz jest kompilowana:

I sprowadza się to do postaci krokowej:

k 1 = -2 k 2 = -4

Po pierwszym przekształceniu trzecia linia zawiera równanie postaci

bez rozwiązania. W rezultacie system jest niespójny, a odpowiedzią będzie zbiór pusty.

Zalety i wady metody

Jeśli wybierzesz metodę rozwiązywania SLAE na papierze za pomocą pióra, wówczas metoda omówiona w tym artykule wygląda najbardziej atrakcyjnie. O wiele trudniej jest się pogubić w elementarnych transformacjach, niż gdy trzeba ręcznie szukać wyznacznika lub jakiejś skomplikowanej macierzy odwrotnej. Jeśli jednak używasz programów do pracy z danymi tego typu, na przykład arkuszy kalkulacyjnych, okazuje się, że takie programy zawierają już algorytmy do obliczania głównych parametrów macierzy - wyznacznika, drugorzędnych, odwrotności i tak dalej. A jeśli masz pewność, że maszyna sama obliczy te wartości i nie popełni błędów, bardziej wskazane jest skorzystanie z metody macierzowej lub wzorów Cramera, ponieważ ich stosowanie zaczyna się i kończy na obliczeniu wyznaczników i macierzy odwrotnych .

Aplikacja

Ponieważ rozwiązanie Gaussa jest algorytmem, a macierz jest w rzeczywistości tablicą dwuwymiarową, można je wykorzystać w programowaniu. Ponieważ jednak artykuł pozycjonuje się jako przewodnik „dla opornych”, należy powiedzieć, że najłatwiejszym miejscem do wprowadzenia metody są arkusze kalkulacyjne, na przykład Excel. Ponownie, każdy SLAE wprowadzony do tabeli w postaci macierzy będzie traktowany przez Excel jako tablica dwuwymiarowa. A do operacji na nich jest wiele fajnych poleceń: dodawanie (można dodawać tylko macierze o tej samej wielkości!), mnożenie przez liczbę, mnożenie macierzy (również z pewnymi ograniczeniami), znajdowanie macierzy odwrotnych i transponowanych i co najważniejsze , obliczenie wyznacznika. Jeśli to czasochłonne zadanie zastąpimy pojedynczym poleceniem, możliwe jest znacznie szybsze określenie rangi macierzy, a co za tym idzie ustalenie jej kompatybilności lub niekompatybilności.