Czy rząd macierzy może być równy zeru? Ranga macierzy i podstawa macierzy drugorzędna

Niech zostanie podana pewna macierz:

Wybierzmy w tej macierzy dowolne ciągi znaków i dowolne kolumny
. Następnie wyznacznik rzędu, złożonego z elementów macierzy
, znajdujący się na przecięciu wybranych wierszy i kolumn, nazywany jest drugorzędnym macierz trzeciego rzędu
.

Definicja 1.13. Ranga matrycy
jest największym rzędem niezerowej części mniejszej tej macierzy.

Aby obliczyć rząd macierzy, należy uwzględnić wszystkie jej molle najniższego rzędu i jeżeli chociaż jeden z nich jest różny od zera, przystąpić do uwzględnienia minorów najwyższego rzędu. Takie podejście do określania rangi macierzy nazywa się metodą graniczną (lub metodą graniczących nieletnich).

Zadanie 1.4. Korzystając z metody graniczących nieletnich, określ rangę macierzy
.

Weźmy pod uwagę krawędzie pierwszego rzędu, np.
. Następnie przechodzimy do rozważenia krawędzi drugiego rzędu.

Na przykład,
.

Na koniec przeanalizujmy granicę trzeciego rzędu.

Zatem najwyższym rzędem niezerowej mniejszości jest 2
.

Rozwiązując Problem 1.4, można zauważyć, że liczba graniczących nieletnich drugiego rzędu jest różna od zera. W tym zakresie obowiązuje następująca koncepcja.

Definicja 1.14. Moll bazowy macierzy to dowolny niezerowy minor, którego rząd jest równy rządowi macierzy.

Twierdzenie 1.2.(Podstawowe twierdzenie). Wiersze bazowe (kolumny podstawowe) są liniowo niezależne.

Należy zauważyć, że wiersze (kolumny) macierzy są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z nich można przedstawić jako liniową kombinację pozostałych.

Twierdzenie 1.3. Liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy jest równa liczbie liniowo niezależnych kolumn macierzy i jest równa rangi macierzy.

Twierdzenie 1.4.(Warunek konieczny i wystarczający, aby wyznacznik był równy zero). W celu wyznacznika -ta kolejność była równa zeru, konieczne i wystarczające jest, aby jej wiersze (kolumny) były liniowo zależne.

Obliczanie rangi macierzy na podstawie jej definicji jest zbyt kłopotliwe. Staje się to szczególnie ważne w przypadku macierzy wysokich rzędów. W związku z tym w praktyce rangę macierzy oblicza się w oparciu o zastosowanie Twierdzeń 10.2 - 10.4, a także wykorzystanie koncepcji równoważności macierzy i przekształceń elementarnych.

Definicja 1.15. Dwie matryce
I nazywane są równoważnymi, jeśli ich rangi są równe, tj.
.

Jeśli macierze
I są równoważne, to zanotuj
 .

Twierdzenie 1.5. Ranga macierzy nie zmienia się pod wpływem elementarnych przekształceń.

Nazwiemy je elementarnymi transformacjami macierzy
dowolna z następujących operacji na macierzy:

Zastępowanie wierszy kolumnami i kolumn odpowiednimi wierszami;

Przestawianie wierszy macierzy;

Przekreślenie linii, której wszystkie elementy są zerowe;

Mnożenie ciągu przez liczbę inną niż zero;

Dodanie do elementów jednej linii odpowiednich elementów drugiej linii pomnożonych przez tę samą liczbę
.

Wniosek z twierdzenia 1.5. Jeśli macierz
otrzymane z matrixa stosując skończoną liczbę przekształceń elementarnych, a następnie macierz
I są równoważne.

Obliczając rząd macierzy, należy ją sprowadzić do postaci trapezowej za pomocą skończonej liczby przekształceń elementarnych.

Definicja 1.16. Trapezową będziemy nazywać formą reprezentacji macierzowej, gdy w graniczącym mollu najwyższego rzędu niezerowego wszystkie elementy poniżej przekątnych znikają. Na przykład:

Tutaj
, elementy macierzy
iść do zera. Wtedy postać reprezentacji takiej macierzy będzie trapezowa.

Z reguły macierze są redukowane do kształtu trapezowego za pomocą algorytmu Gaussa. Ideą algorytmu Gaussa jest to, że mnożąc elementy pierwszego rzędu macierzy przez odpowiednie współczynniki, uzyskuje się to, że wszystkie elementy pierwszej kolumny znajdujące się poniżej elementu
, zmieni się na zero. Następnie mnożąc elementy drugiej kolumny przez odpowiednie współczynniki, upewniamy się, że wszystkie elementy drugiej kolumny znajdujące się poniżej elementu
, zmieni się na zero. Następnie postępuj w ten sam sposób.

Zadanie 1.5. Określ rząd macierzy, redukując ją do kształtu trapezu.

Aby ułatwić korzystanie z algorytmu Gaussa, możesz zamienić pierwszą i trzecią linię.








.

To oczywiste, że tutaj
. Aby jednak nadać wynikowi bardziej elegancką formę, możesz dalej przekształcać kolumny.










.

Rozważymy również ważne praktyczne zastosowanie tematu: badanie układu równań liniowych pod kątem spójności.

Jaki jest rząd macierzy?

Humorystyczny motto artykułu zawiera dużą ilość prawdy. Słowo „ranga” kojarzy nam się zwykle z jakąś hierarchią, najczęściej ze szczeblem kariery. Im więcej wiedzy, doświadczenia, umiejętności, powiązań itp. ma dana osoba. – im wyższa jego pozycja i zakres możliwości. W przypadku młodzieży ranga odnosi się do ogólnego stopnia „stromości”.

A nasi matematyczni bracia żyją według tych samych zasad. Zabierzmy na spacer kilka przypadkowych osób macierze zerowe:

Pomyślmy o tym, jeśli w matrixie wszystkie zera, to o jakiej randze możemy mówić? Każdy zna nieformalne wyrażenie „całkowite zero”. W społeczeństwie matryc wszystko jest dokładnie takie samo:

Ranga macierzy zerowejdowolny rozmiar jest równy zero.

Notatka : Macierz zerowa jest oznaczona grecką literą „theta”

Aby lepiej zrozumieć rangę matrycy, w dalszej części posłużę się materiałami do pomocy geometria analityczna. Rozważ zero wektor naszą trójwymiarową przestrzeń, która nie wyznacza określonego kierunku i jest bezużyteczna do budowania podstawa afiniczna. Z algebraicznego punktu widzenia współrzędne tego wektora są zapisywane matryca„jeden po trzech” i logiczne (we wskazanym sensie geometrycznym) załóżmy, że rząd tej macierzy wynosi zero.

Teraz spójrzmy na kilka niezerowy wektory kolumnowe I wektory wierszowe:

Każda instancja ma co najmniej jeden niezerowy element i to jest coś!

Ranga dowolnego niezerowego wektora wierszowego (wektora kolumnowego) jest równa jeden

I ogólnie rzecz biorąc - jeśli w matrixie dowolne rozmiary istnieje co najmniej jeden element niezerowy, to jego ranga nie mniej jednostki.

Algebraiczne wektory wierszowe i wektory kolumnowe są w pewnym stopniu abstrakcyjne, więc wróćmy ponownie do skojarzenia geometrycznego. Niezerowe wektor wyznacza bardzo określony kierunek w przestrzeni i nadaje się do konstruowania podstawa, dlatego rangę macierzy przyjmiemy jako równą jeden.

Informacje teoretyczne : w algebrze liniowej wektor jest elementem przestrzeni wektorowej (określanej przez 8 aksjomatów), która w szczególności może reprezentować uporządkowany rząd (lub kolumnę) liczb rzeczywistych z określonymi operacjami dodawania i mnożenia przez liczbę rzeczywistą dla nich. Bardziej szczegółowe informacje na temat wektorów można znaleźć w artykule Przekształcenia liniowe.

liniowo zależne(wyrażane przez siebie). Z geometrycznego punktu widzenia druga linia zawiera współrzędne wektora współliniowego , co w ogóle nie posunęło sprawy w budownictwie podstawa trójwymiarowa, będąc w tym sensie zbędnym. Zatem ranga tej macierzy jest również równa jeden.

Zapiszmy współrzędne wektorów w kolumnach ( transponować macierz):

Co się zmieniło jeśli chodzi o rangę? Nic. Kolumny są proporcjonalne, co oznacza, że stopień jest równy jeden. Nawiasem mówiąc, zauważ, że wszystkie trzy linie są również proporcjonalne. Można je zidentyfikować za pomocą współrzędnych trzy wektory współliniowe płaszczyzny, z czego tylko jeden przydatne do budowy „płaskiej” podstawy. Jest to całkowicie zgodne z naszym geometrycznym poczuciem rangi.

Z powyższego przykładu wynika ważne stwierdzenie:

Ranga macierzy w wierszach jest równa rangi macierzy w kolumnach. Wspomniałem już o tym trochę w lekcji o efektywności metody obliczania wyznacznika.

Notatka : liniowa zależność wierszy implikuje liniową zależność kolumn (i odwrotnie). Ale żeby zaoszczędzić czas i z przyzwyczajenia, prawie zawsze będę mówił o liniowej zależności ciągów.

Kontynuujmy szkolenie naszego ukochanego zwierzaka. Dodajmy współrzędne innego wektora współliniowego do macierzy w trzecim wierszu :

Czy pomógł nam w skonstruowaniu trójwymiarowej podstawy? Oczywiście nie. Wszystkie trzy wektory chodzą tam i z powrotem po tej samej ścieżce, a stopień macierzy jest równy jeden. Możesz wziąć dowolną liczbę wektorów współliniowych, powiedzmy 100, umieścić ich współrzędne w macierzy „sto na trzy”, a ranga takiego drapacza chmur nadal pozostanie jedna.

Zapoznajmy się z macierzą, której wiersze liniowo niezależny. Do skonstruowania podstawy trójwymiarowej odpowiednia jest para wektorów niewspółliniowych. Ranga tej macierzy wynosi dwa.

Jaki jest rząd macierzy? Linie nie wydają się być proporcjonalne... więc teoretycznie jest ich trzy. Jednak ranga tej macierzy również wynosi dwa. Dodałem dwie pierwsze linijki i wynik zapisałem na dole, tj. wyrażone liniowo trzecią linię przez dwie pierwsze. Geometrycznie rzędy macierzy odpowiadają współrzędnym trójki wektory współpłaszczyznowe, a wśród tej trójki jest para niewspółliniowych towarzyszy.

Jak widzisz, zależność liniowa w rozważanej matrycy nie jest oczywiste, a dziś dowiemy się, jak wydobyć to na światło dzienne.

Myślę, że wiele osób jest w stanie odgadnąć, jaki jest stopień macierzy!

Rozważmy macierz, której wiersze liniowo niezależny. Formularz wektorów podstawa afiniczna, a rząd tej macierzy wynosi trzy.

Jak wiadomo, każdy czwarty, piąty, dziesiąty wektor przestrzeni trójwymiarowej będzie wyrażony liniowo w postaci wektorów bazowych. Dlatego jeśli dodasz dowolną liczbę wierszy do macierzy, wówczas jej ranga nadal będzie wynosić trzy.

Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla macierzy o większych rozmiarach (oczywiście bez żadnego znaczenia geometrycznego).

Definicja : Ranga macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy. Lub: Rząd macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn. Tak, ich liczba jest zawsze taka sama.

Z powyższego wynika również ważna praktyczna wskazówka: rząd macierzy nie przekracza jej minimalnego wymiaru. Na przykład w matrixie cztery wiersze i pięć kolumn. Minimalny wymiar to cztery, dlatego ranga tej macierzy na pewno nie przekroczy 4.

Oznaczenia: w teorii i praktyce świata nie ma ogólnie przyjętego standardu wyznaczania rangi macierzy, najczęściej można spotkać: - jak to mówią, Anglik pisze co innego, Niemiec co innego. Dlatego, opierając się na słynnym dowcipie o amerykańskim i rosyjskim piekle, oznaczmy rangę macierzy rodzimym słowem. Na przykład: . A jeśli macierz jest „nienazwana”, a jest ich wiele, to możesz po prostu napisać.

Jak znaleźć rangę macierzy za pomocą nieletnich?

Gdyby moja babcia miała w swojej macierzy piątą kolumnę, to musiałaby obliczyć kolejną nieletnią czwartego rzędu („niebieski”, „malinowy” + 5. kolumna).

Wniosek: maksymalny rząd niezerowej mniejszości to trzy, co oznacza .

Być może nie wszyscy w pełni zrozumieli to zdanie: małoletni czwartego rzędu jest równy zeru, ale wśród nieletnich trzeciego rzędu była jedynka niezerowa - dlatego maksymalny rząd niezerowy mniejsze i równe trzy.

Powstaje pytanie, dlaczego nie od razu obliczyć wyznacznik? Cóż, po pierwsze, w większości zadań macierz nie jest kwadratowa, a po drugie, nawet jeśli otrzymasz wartość różną od zera, zadanie najprawdopodobniej zostanie odrzucone, ponieważ zwykle obejmuje standardowe rozwiązanie „oddolne”. A w rozważanym przykładzie zerowy wyznacznik czwartego rzędu pozwala nam stwierdzić, że rząd macierzy jest tylko mniejszy niż cztery.

Przyznam, że sam wpadłem na problem, który analizowałem, żeby lepiej wyjaśnić sposób pogranicza nieletnich. W praktyce wszystko jest prostsze:

Przykład 2

Znajdź rząd macierzy, korzystając z metody drugorzędnych krawędzi

Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Kiedy algorytm działa najszybciej? Wróćmy do tej samej macierzy cztery na cztery. . Oczywiście rozwiązanie będzie najkrótsze w przypadku „dobrego” narożnikowi nieletni:

A jeśli , to , w przeciwnym razie – .

Myślenie wcale nie jest hipotetyczne – przykładów jest wiele, gdy cała sprawa ogranicza się jedynie do nieletnich kątowych.

Jednak w niektórych przypadkach inna metoda jest bardziej skuteczna i preferowana:

Jak znaleźć rząd macierzy metodą Gaussa?

Akapit przeznaczony jest dla czytelników, którzy już się z nim zapoznali Metoda Gaussa i mniej więcej wpadło w jego ręce.

Z technicznego punktu widzenia metoda nie jest nowa:

1) stosując przekształcenia elementarne sprowadzamy macierz do postaci schodkowej;

2) rząd macierzy jest równy liczbie wierszy.

To zupełnie jasne zastosowanie metody Gaussa nie powoduje zmiany rangi macierzy, a istota tutaj jest niezwykle prosta: zgodnie z algorytmem podczas elementarnych transformacji identyfikowane i usuwane są wszystkie niepotrzebne proporcjonalne (liniowo zależne) wiersze, w wyniku czego powstaje „sucha pozostałość” - maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy.

Przekształćmy starą, znaną macierz o współrzędne trzech współliniowych wektorów:

(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii.

(2) Linie zerowe zostały usunięte.

Zatem pozostała jedna linia, stąd . Nie trzeba dodawać, że jest to znacznie szybsze niż obliczenie dziewięciu małoletnich zerowych drugiego rzędu i dopiero potem wyciągnięcie wniosków.

Przypominam, że samo w sobie macierz algebraiczna nic nie można zmienić, a przekształcenia dokonywane są wyłącznie w celu ustalenia rangi! Nawiasem mówiąc, zatrzymajmy się jeszcze raz nad pytaniem, dlaczego nie? Macierz źródłowa niesie informację, która zasadniczo różni się od informacji zawartej w macierzy i wierszu. W niektórych modelach matematycznych (bez przesady) różnica w jednej liczbie może być sprawą życia i śmierci. ...Przypomniałem sobie nauczycieli matematyki w szkołach podstawowych i średnich, którzy bezlitośnie obniżali oceny o 1-2 punkty za najdrobniejszą niedokładność lub odstępstwo od algorytmu. I było strasznie rozczarowujące, gdy zamiast pozornie gwarantowanego „A” wyszło „dobrze”, a nawet gorzej. Zrozumienie przyszło znacznie później – jak inaczej powierzyć człowiekowi satelity, głowice nuklearne i elektrownie? Ale nie martw się, nie pracuję w tych obszarach =)

Przejdźmy do bardziej znaczących zadań, gdzie między innymi zapoznamy się z ważnymi technikami obliczeniowymi Metoda Gaussa:

Przykład 3

Znajdź rząd macierzy za pomocą przekształceń elementarnych

Rozwiązanie: podana jest macierz „cztery na pięć”, co oznacza, że jej ranga z pewnością nie jest większa niż 4.

W pierwszej kolumnie nie ma ani 1, ani –1, zatem wymagane są dodatkowe działania, aby zdobyć choć jedną jednostkę. Przez cały okres istnienia serwisu wielokrotnie zadawano mi pytanie: „Czy można przestawiać kolumny podczas elementarnych przekształceń?” Tutaj przestawiliśmy pierwszą i drugą kolumnę i wszystko jest w porządku! W większości zadań, w których jest używany Metoda Gaussa, kolumny rzeczywiście można zmienić. ALE NIE POTRZEBNE. I nie chodzi nawet o ewentualne pomieszanie ze zmiennymi, chodzi o to, że w klasycznym toku wyższej matematyki działanie to tradycyjnie nie jest brane pod uwagę, więc takie skinienie będzie odebrane BARDZO krzywo (lub nawet zmuszone do przerobienia wszystkiego).

Druga kwestia dotyczy liczb. Podejmując decyzję, warto zastosować się do następującej praktycznej zasady: przekształcenia elementarne powinny w miarę możliwości redukować liczby macierzy. W końcu znacznie łatwiej jest pracować z jednym, dwoma, trzema niż na przykład z 23, 45 i 97. A pierwsza akcja ma na celu nie tylko uzyskanie jedynki w pierwszej kolumnie, ale także wyeliminowanie liczb 7 i 11.

Najpierw kompletne rozwiązanie, potem komentarze:

(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –3. I do sterty: pierwsza linia została dodana do czwartej linii, pomnożona przez –1.

(2) Ostatnie trzy linie są proporcjonalne. Linie 3 i 4 zostały usunięte, linia druga została przesunięta na pierwsze miejsce.

(3) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –3.

Macierz zredukowana do postaci rzutowej ma dwa wiersze.

Odpowiedź:

Teraz twoja kolej na torturowanie matrycy cztery na cztery:

Przykład 4

Znajdź rząd macierzy za pomocą metody Gaussa

Przypominam ci to Metoda Gaussa nie oznacza jednoznacznej sztywności, a Twoja decyzja najprawdopodobniej będzie się różnić od mojej. Krótki przykład zadania na koniec lekcji.

Jakiej metody należy użyć, aby znaleźć rząd macierzy?

W praktyce często nie jest w ogóle określone, jaką metodę należy zastosować, aby znaleźć rangę. W takiej sytuacji należy przeanalizować warunek - dla niektórych macierzy bardziej racjonalne jest rozwiązanie poprzez niepełne elementy, dla innych znacznie bardziej opłacalne jest zastosowanie elementarnych przekształceń:

Przykład 5

Znajdź rząd macierzy

Rozwiązanie: pierwsza metoda jakoś natychmiast znika =)

Nieco wyżej radziłem nie dotykać kolumn macierzy, ale gdy jest kolumna zerowa, lub kolumny proporcjonalne/zbieżne, to i tak warto amputować:

(1) Piąta kolumna ma wartość zero, usuń ją z macierzy. Zatem ranga macierzy jest nie większa niż cztery. Pierwsza linia została pomnożona przez –1. To kolejna charakterystyczna cecha metody Gaussa, która zamienia następującą czynność w przyjemny spacer:

(2) Do wszystkich wierszy, począwszy od drugiego, dodano wiersz pierwszy.

(3) Pierwszą linię pomnożono przez –1, trzecią linię podzielono przez 2, czwartą linię podzielono przez 3. Druga linia została dodana do piątej linii i pomnożona przez –1.

(4) Trzecia linia została dodana do piątej linii, pomnożona przez –2.

(5) Dwa ostatnie wiersze są proporcjonalne, piąty skreśla się.

Rezultatem są 4 linie.

Odpowiedź:

Standardowy pięciopiętrowy budynek do samodzielnego studiowania:

Przykład 6

Znajdź rząd macierzy

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Należy zauważyć, że wyrażenie „ranga matrycy” nie jest tak często spotykane w praktyce, a w większości problemów można się bez niego obejść. Ale jest jedno zadanie, w którym dana koncepcja jest głównym bohaterem i zakończymy artykuł tym praktycznym zastosowaniem:

Jak badać układ równań liniowych pod kątem spójności?

Często oprócz rozwiązania układy równań liniowych zgodnie z warunkiem należy najpierw sprawdzić go pod kątem zgodności, to znaczy udowodnić, że w ogóle istnieje jakiekolwiek rozwiązanie. Kluczową rolę w takiej weryfikacji odgrywają Twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które sformułuję w niezbędnej formie:

Jeśli ranga macierze systemowe równy rangi rozbudowany układ matrycowy, to układ jest spójny i jeśli liczba ta pokrywa się z liczbą niewiadomych, to rozwiązanie jest jednoznaczne.

Zatem, aby zbadać system pod kątem zgodności, konieczne jest sprawdzenie równości , Gdzie - matryca systemu(pamiętaj terminologię z lekcji Metoda Gaussa), A - rozbudowana matryca systemu(tj. macierz ze współczynnikami zmiennych + kolumna wolnych terminów).

Aby obliczyć rząd macierzy, można zastosować metodę graniczących nieletnich lub metodę Gaussa. Rozważmy metodę Gaussa lub metodę przekształceń elementarnych.

Rangą macierzy jest maksymalny rząd jej elementów podrzędnych, wśród których jest przynajmniej jeden nierówny zero.

Ranga systemu wierszy (kolumn) to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy (kolumn) tego układu.

Algorytm wyznaczania rangi macierzy metodą graniczących nieletnich:

Drobny M-to porządek nie jest zerowy.
Jeśli graniczy z nieletnimi dla nieletnich M (k+1)th kolejności nie da się skomponować (tj. matryca zawiera k linie lub k kolumny), wówczas ranga macierzy jest równa k. Jeśli istnieją graniczące nieletni i wszystkie są zerowe, wówczas ranga wynosi k. Jeśli wśród graniczących nieletnich jest co najmniej jeden, który nie jest równy zero, wówczas staramy się skomponować nowy małoletni k+2 itp.

Przeanalizujmy algorytm bardziej szczegółowo. Najpierw rozważ osoby niepełnoletnie pierwszego rzędu (elementy macierzy) macierzy A. Jeśli wszystkie są równe zeru, to rangaA = 0. Jeśli istnieją drugorzędne elementy pierwszego rzędu (elementy macierzy), które nie są równe zero M 1 ≠ 0, a następnie ranga rangaA ≥ 1.

M 1. Jeśli są tacy nieletni, to będą to nieletni drugiego stopnia. Jeśli wszyscy nieletni graniczą z małoletnim M 1 są wówczas równe zeru rangaA = 1. Jeśli istnieje co najmniej jeden element drugorzędny drugiego rzędu różny od zera M2 ≠ 0, a następnie ranga rangaA ≥ 2.

Sprawdźmy, czy dla małoletniego nie istnieją osoby graniczące z małoletnimi M 2. Jeśli są tacy nieletni, to będą to nieletni trzeciego rzędu. Jeśli wszyscy nieletni graniczą z małoletnim M 2 są wówczas równe zeru rangaA = 2. Jeśli istnieje co najmniej jeden element nieletni trzeciego rzędu różny od zera M 3 ≠ 0, a następnie ranga rangaA ≥ 3.

Sprawdźmy, czy dla małoletniego nie istnieją osoby graniczące z małoletnimi M 3. Jeśli są tacy nieletni, to będą to nieletni czwartego rzędu. Jeśli wszyscy nieletni graniczą z małoletnim M 3 są wówczas równe zeru rangaA = 3. Jeśli istnieje co najmniej jeden element drugorzędny czwartego rzędu różny od zera M4 ≠ 0, a następnie ranga rangaA ≥ 4.

Sprawdzenie, czy dla małoletniego istnieje małoletni graniczący M 4, i tak dalej. Algorytm zatrzymuje się, jeśli na pewnym etapie molle graniczące są równe zeru lub nie można uzyskać molowych graniczących (w macierzy „wyczerpią się” wiersze lub kolumny). Rząd niezerowego elementu drugorzędnego, który został utworzony, będzie rzędem macierzy.

Przykład

Przyjrzyjmy się tej metodzie na przykładzie. Biorąc pod uwagę macierz 4x5:

Macierz ta nie może mieć rangi większej niż 4. Również ta macierz posiada elementy niezerowe (mniejsze pierwszego rzędu), co oznacza, że ranga macierzy wynosi ≥ 1.

Skomponujmy moll 2 zamówienie. Zacznijmy od rogu.

Zatem wyznacznik jest równy zero, utwórzmy kolejny moll.

Znajdźmy wyznacznik tego drobnego.

Zdefiniuj daną mollę równą -2 . Zatem rząd macierzy ≥ 2 .

Gdyby ten minor był równy 0, wówczas powstałyby inne minory. Do końca skomponowaliby wszystkie molle w I i II linijce. Następnie linia 1 i 3, linia 2 i 3, linia 2 i 4, aż znajdziesz małą liczbę różną od 0, na przykład:

Gdyby wszystkie niepełne dzieci drugiego rzędu wynosiły 0, wówczas rząd macierzy wynosiłby 1. Rozwiązanie można by zatrzymać.

3 zamówienie.

Minus okazał się niezerowy. oznacza rząd macierzy ≥ 3 .

Gdyby ten małoletni wynosił zero, wówczas należałoby skomponować inne nieletnie. Na przykład:

Gdyby wszystkie niepełne dzieci trzeciego rzędu wynosiły 0, wówczas stopień macierzy wynosiłby 2. Rozwiązanie można by zatrzymać.

Kontynuujmy poszukiwanie rangi macierzy. Skomponujmy moll 4 zamówienie.

Znajdźmy wyznacznik tego drobnego.

Wyznacznik molla okazał się równy 0 . Skonstruujmy kolejny minor.

Znajdźmy wyznacznik tego drobnego.

Nieletni okazał się równy 0 .

Zbuduj mniejsze 5 kolejność nie będzie działać, w tej macierzy nie ma na to wiersza. Ostatni moll nie był równy zero 3 porządek, co oznacza, że ranga macierzy jest równa 3 .

Podstawowy Nazywa się następujące przekształcenia macierzy:

1) permutacja dowolnych dwóch wierszy (lub kolumn),

2) pomnożenie wiersza (lub kolumny) przez liczbę niezerową,

3) dodanie do jednego wiersza (lub kolumny) innego wiersza (lub kolumny) pomnożonego przez określoną liczbę.

Obie macierze nazywane są równowartość, jeśli jedno z nich otrzymamy od drugiego za pomocą skończonego zestawu przekształceń elementarnych.

Macierze równoważne nie są, ogólnie rzecz biorąc, równe, ale ich rangi są równe. Jeżeli macierze A i B są równoważne, to pisze się to następująco: A ~ B.

Kanoniczny Macierz to macierz, w której na początku głównej przekątnej znajduje się kilka jedynek w rzędzie (których liczba może wynosić zero), a wszystkie pozostałe elementy są równe zeru, np.

Stosując elementarne przekształcenia wierszy i kolumn, dowolną macierz można sprowadzić do postaci kanonicznej. Rząd macierzy kanonicznej jest równy liczbie jedynek na jej głównej przekątnej.

Przykład 2 Znajdź rząd macierzy

i doprowadź go do postaci kanonicznej.

Rozwiązanie. Od drugiej linii odejmij pierwszą i zmień kolejność tych linii:

Teraz od drugiej i trzeciej linii odejmujemy pierwszą pomnożoną odpowiednio przez 2 i 5:

;

odejmij pierwszą od trzeciej linii; otrzymujemy macierz

B = ,

co jest równoważne macierzy A, ponieważ jest z niej otrzymywane za pomocą skończonego zestawu przekształceń elementarnych. Oczywiście rząd macierzy B wynosi 2, a zatem r(A)=2. Macierz B można łatwo sprowadzić do postaci kanonicznej. Odejmując pierwszą kolumnę pomnożoną przez odpowiednie liczby od wszystkich kolejnych, zerujemy wszystkie elementy pierwszego wiersza z wyjątkiem pierwszego, a elementy pozostałych wierszy nie ulegają zmianie. Następnie odejmując drugą kolumnę pomnożoną przez odpowiednie liczby od wszystkich kolejnych, zerujemy wszystkie elementy drugiego rzędu oprócz drugiego i otrzymujemy macierz kanoniczną:

Twierdzenie Kroneckera – Capellego- kryterium zgodności dla układu liniowych równań algebraicznych:

Aby układ liniowy był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby stopień rozszerzonej macierzy tego układu był równy rządowi jego macierzy głównej.

Dowód (warunki kompatybilności systemu)

Konieczność

Pozwalać system wspólny Są też takie liczby, że . Dlatego kolumna jest liniową kombinacją kolumn macierzy. Z faktu, że ranga macierzy nie ulegnie zmianie, jeżeli usuniemy lub dodamy wiersz (kolumnę) z układu jej wierszy (kolumn), który jest liniową kombinacją innych wierszy (kolumn), wynika, że .

Adekwatność

Pozwalać . Weźmy jakiś podstawowy element pomocniczy w macierzy. Od tego momentu będzie to również podstawa drugorzędna macierzy. Następnie zgodnie z twierdzeniem bazowym drobny, ostatnia kolumna macierzy będzie liniową kombinacją kolumn bazowych, czyli kolumn macierzy. Dlatego kolumna wolnych terminów systemu jest liniową kombinacją kolumn macierzy.

Konsekwencje

Liczba głównych zmiennych systemy równy rangi systemu.

Wspólny system zostanie określony (jego rozwiązanie jest unikalne), jeśli ranga systemu będzie równa liczbie wszystkich jego zmiennych.

Jednorodny układ równań

Oferta15 . 2 Jednorodny układ równań

jest zawsze wspólne.

Dowód. Dla tego układu rozwiązaniem jest zbiór liczb , , .

W tej części będziemy stosować zapis macierzowy układu: .

Oferta15 . 3 Suma rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych jest rozwiązaniem tego układu. Rozwiązaniem jest także rozwiązanie pomnożone przez liczbę.

Dowód. Niech służą jako rozwiązania dla systemu. Potem i. Pozwalać . Następnie

Od tego czasu - rozwiązanie.

Niech będzie dowolną liczbą, . Następnie

Od tego czasu - rozwiązanie.

Konsekwencja15 . 1 Jeśli jednorodny układ równań liniowych ma rozwiązanie niezerowe, to ma nieskończenie wiele różnych rozwiązań.

Rzeczywiście, mnożąc niezerowe rozwiązanie przez różne liczby, otrzymamy różne rozwiązania.

Definicja15 . 5 Powiemy, że rozwiązania tworzą się systemy podstawowy system rozwiązań, jeśli kolumny tworzą liniowo niezależny układ, a każde rozwiązanie układu jest liniową kombinacją tych kolumn.

>>Ranga matrycy

Ranga matrycy

Wyznaczanie rangi macierzy

Rozważmy macierz prostokątną. Jeśli w tej macierzy wybieramy arbitralnie k linie i k kolumn, wówczas elementy na przecięciu wybranych wierszy i kolumn tworzą macierz kwadratową k-tego rzędu. Wyznacznik tej macierzy nazywa się moll k-tego rzędu macierz A. Oczywiście macierz A ma drobne elementy dowolnego rzędu od 1 do najmniejszej z liczb m i n. Wśród wszystkich niezerowych minorów macierzy A istnieje co najmniej jeden minor, którego rząd jest największy. Nazywa się największy z niezerowych rzędów mniejszych danej macierzy ranga matryce. Jeżeli rząd macierzy A wynosi R, oznacza to, że macierz A ma niezerowy element drugorzędny rzędu R, ale każdy mniejszy rzędu większego niż R, jest równe zeru. Rząd macierzy A oznaczamy r(A). Oczywiście, że zależność zachodzi

Obliczanie rangi macierzy za pomocą nieletnich

Rangę macierzy wyznacza się metodą graniczących nieletnich lub metodą przekształceń elementarnych. Przy obliczaniu rangi macierzy metodą pierwszą należy przejść od drugorzędnych niższego rzędu do drugorzędnych wyższego rzędu. Jeżeli znaleziono już drobne D k-tego rzędu macierzy A, różne od zera, to obliczenia wymagają jedynie molle rzędu (k+1) graniczące z mollem D, tj. zawierające go jako osobę nieletnią. Jeśli wszystkie są równe zeru, wówczas ranga macierzy jest równa k.

Przykład 1.Znajdź rząd macierzy, stosując metodę graniczących nieletnich

Rozwiązanie.Zaczynamy od nieletnich I rzędu, tj. z elementów macierzy A. Wybierzmy np. niewielki (element) M 1 = 1, znajdujący się w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie. Granicząc za pomocą drugiego rzędu i trzeciej kolumny, otrzymujemy drobne M 2 = różne od zera. Przejdźmy teraz do nieletnich trzeciego rzędu graniczących z M2. Są tylko dwa z nich (można dodać drugą lub czwartą kolumnę). Obliczmy je: = 0. Zatem wszystkie graniczące nieletni trzeciego rzędu okazały się równe zero. Rząd macierzy A wynosi dwa.

Obliczanie rangi macierzy za pomocą przekształceń elementarnych

PodstawowyNazywa się następujące przekształcenia macierzy:

1) permutacja dowolnych dwóch wierszy (lub kolumn),

2) pomnożenie wiersza (lub kolumny) przez liczbę niezerową,

3) dodanie do jednego wiersza (lub kolumny) innego wiersza (lub kolumny) pomnożonego przez określoną liczbę.

Obie macierze nazywane są równowartość, jeśli jedno z nich otrzymamy od drugiego za pomocą skończonego zestawu przekształceń elementarnych.

Macierze równoważne nie są, ogólnie rzecz biorąc, równe, ale ich rangi są równe. Jeżeli macierze A i B są równoważne, to pisze się to następująco: A~B.

KanonicznyMacierz to macierz, w której na początku głównej przekątnej znajduje się kilka jedynek w rzędzie (których liczba może wynosić zero), a wszystkie pozostałe elementy są równe zeru, np.

Przykład 2Znajdź rząd macierzy

i doprowadź go do postaci kanonicznej.

Rozwiązanie. Od drugiej linii odejmij pierwszą i zmień kolejność tych linii:

Teraz od drugiej i trzeciej linii odejmujemy pierwszą pomnożoną odpowiednio przez 2 i 5:

;

odejmij pierwszą od trzeciej linii; otrzymujemy macierz

B = ,