Teoria drgań mechanicznych. Podstawy teorii drgań układów mechanicznych

Przyjrzeliśmy się już początkom mechaniki klasycznej, wytrzymałości materiałów i teorii sprężystości. Najważniejszą częścią mechaniki jest także teoria oscylacji. Wibracje są główną przyczyną niszczenia maszyn i konstrukcji. Pod koniec lat pięćdziesiątych. 80% wypadków związanych ze sprzętem miało miejsce z powodu zwiększonych wibracji. Wibracje mają również szkodliwy wpływ na osoby obsługujące urządzenia. Mogą również powodować awarie systemów sterowania.

Mimo to teoria oscylacji wyłoniła się jako samodzielna nauka dopiero na przełomie XIX i XX wieku. Jednak obliczenia maszyn i mechanizmów do samego początku XX wieku prowadzone były w układzie statycznym. Rozwój inżynierii mechanicznej, wzrost mocy i prędkości silników parowych przy jednoczesnym zmniejszeniu ich masy, pojawienie się nowych typów silników – silników spalinowych i turbin parowych – spowodował konieczność prowadzenia obliczeń wytrzymałościowych z uwzględnieniem dynamiki masa. Z reguły nowe problemy w teorii drgań pojawiały się w technologii pod wpływem wypadków lub nawet katastrof powstałych na skutek zwiększonych drgań.

Oscylacje to ruchy lub zmiany stanu, które mają różny stopień powtarzalności.

Teorię oscylacji można podzielić na cztery okresy.

Iokres– pojawienie się teorii drgań w ramach mechaniki teoretycznej (koniec XVI – koniec XVIII w.). Okres ten charakteryzuje się pojawieniem się i rozwojem dynamiki w dziełach Galileusza, Huygensa, Newtona, d'Alemberta, Eulera, D. Bernoulliego i Lagrange'a.

Założycielem teorii oscylacji był Leonhard Euler. W 1737 r. L. Euler na zlecenie petersburskiej Akademii Nauk rozpoczął badania nad równowagą i ruchem statku, a w 1749 r. w Petersburgu ukazała się jego książka „Nauka o statku”. To właśnie w tej pracy Eulera położono podwaliny teorii stabilności statycznej i teorii oscylacji.

Jean Leron d'Alembert w swoich licznych pracach badał indywidualne problemy, takie jak małe oscylacje ciała wokół środka masy i wokół osi obrotu w powiązaniu z problemem precesji i nutacji Ziemi, oscylacje wahadła , ciało pływające, sprężyna itp. Jednak ogólna teoria d'Alemberta nie budziła żadnych wątpliwości.

Najważniejszym zastosowaniem metod teorii drgań było eksperymentalne wyznaczanie sztywności skrętnej drutu, przeprowadzone przez Charlesa Coulomba. Coulomb ustalił także eksperymentalnie właściwość izochronizmu małych oscylacji w tym zagadnieniu. Badając tłumienie drgań, ten wielki eksperymentator doszedł do wniosku, że jego główną przyczyną nie jest opór powietrza, ale straty spowodowane tarciem wewnętrznym w materiale drutu.

Wielki wkład w podstawy teorii oscylacji wnieśli L. Euler, który położył podwaliny teorii stabilności statycznej i teorii małych oscylacji, d'Alembert, D. Bernoulli i Lagrange.W swoich pracach ukształtowały się pojęcia okresu i częstotliwości drgań, ukształtowały się kształty drgań, zaczęto stosować określenie małe oscylacje, sformułowano zasadę superpozycji rozwiązań oraz podjęto próby rozwinięcia rozwiązania w szereg trygonometryczny.

Pierwszymi problemami teorii oscylacji były zagadnienia oscylacji wahadła i struny. Mówiliśmy już o oscylacjach wahadła - praktycznym rezultatem rozwiązania tego problemu było wynalezienie zegara przez Huygensa.

Jeśli chodzi o problem drgań strun, jest to jeden z najważniejszych problemów w historii rozwoju matematyki i mechaniki. Przyjrzyjmy się temu bliżej.

Struna akustyczna Jest to idealna, gładka, cienka i elastyczna nić o skończonej długości, wykonana z litego materiału, rozciągnięta pomiędzy dwoma stałymi punktami. We współczesnej interpretacji problem drgań poprzecznych struny o długości l sprowadza się do znalezienia rozwiązania równania różniczkowego (1) w pochodnych cząstkowych. Tutaj X jest współrzędną punktu struny na całej długości, oraz y– jego przemieszczenie poprzeczne; H– napięcie struny, – jego masa eksploatacyjna. A jest prędkością rozchodzenia się fali. Podobne równanie opisuje również drgania wzdłużne słupa powietrza w rurze.

W tym przypadku należy podać początkowy rozkład odchyleń punktów struny od linii prostej oraz ich prędkości, tj. równanie (1) musi spełniać warunki początkowe (2) i warunki brzegowe (3).

Pierwsze zasadnicze badania eksperymentalne drgań strun przeprowadzili holenderski matematyk i mechanik Izaak Beckmann (1614–1618) oraz M. Mersenne, który ustalił szereg prawidłowości, a swoje wyniki opublikował w 1636 r. w „Księdze Konsonansów”:

Prawa Mersenne’a zostały teoretycznie potwierdzone w 1715 roku przez uczennicę Newtona, Brooke Taylor. Rozważa strunę jako układ punktów materialnych i przyjmuje następujące założenia: wszystkie punkty struny jednocześnie przechodzą przez swoje położenia równowagi (pokrywają się z osią X), a siła działająca na każdy punkt jest proporcjonalna do jego przemieszczenia y względem osi X. Oznacza to, że sprowadza problem do układu o jednym stopniu swobody – równanie (4). Taylor poprawnie uzyskał pierwszą częstotliwość naturalną (ton podstawowy) – (5).

D'Alembert w 1747 roku zastosował do tego problemu metodę sprowadzenia zagadnienia dynamiki do zagadnienia statyki (zasada d'Alemberta) i otrzymał równanie różniczkowe drgań jednorodnej struny w pochodnych cząstkowych (1) - pierwsze równanie fizyka matematyczna. Szukał rozwiązania tego równania w postaci sumy dwóch dowolnych funkcji (6)

Gdzie I – funkcje okresowe okresu 2 l. Przy wyjaśnianiu pytania o rodzaj funkcji I d'Alembert uwzględnia warunki brzegowe (1.2), zakładając, że kiedy
ciąg pokrywa się z osią X. Znaczenie to
nie określono w opisie problemu.

Euler rozważa szczególny przypadek, gdy
struna zostaje odchylona od położenia równowagi i zwolniona bez uzyskania prędkości początkowej. Co ważne, Euler nie nakłada żadnych ograniczeń na początkowy kształt struny, tj. nie wymaga, aby można było to określić analitycznie, biorąc pod uwagę dowolną krzywą, którą „można narysować ręcznie”. Wynik końcowy uzyskany przez autora: if
kształt struny opisuje równanie
, wówczas oscylacje wyglądają następująco (7). Euler zrewidował swoje poglądy na temat pojęcia funkcji, w przeciwieństwie do poprzedniego wyobrażenia o niej jedynie jako wyrażeniu analitycznym. W ten sposób poszerzono klasę funkcji, które należy badać w analizie, a Euler doszedł do wniosku, że „skoro dowolna funkcja będzie wyznaczać pewną prostą, prawdą jest również sytuacja odwrotna – linie krzywe można sprowadzić do funkcji”.

Rozwiązania otrzymane przez d'Alemberta i Eulera przedstawiają prawo drgań struny w postaci dwóch biegnących ku sobie fal, nie byli jednak zgodni w kwestii postaci funkcji wyznaczającej linię zgięcia.

D. Bernoulli poszedł inną drogą w badaniu drgań struny, rozbijając strunę na punkty materialne, których liczbę uważał za nieskończoną. Wprowadza koncepcję prostych oscylacji harmonicznych układu, tj. taki ruch, w którym wszystkie punkty układu wibrują synchronicznie z tą samą częstotliwością, ale różnymi amplitudami. Eksperymenty przeprowadzone z ciałami sondującymi doprowadziły D. Bernoulliego do wniosku, że najbardziej ogólny ruch struny polega na jednoczesnym wykonywaniu wszystkich dostępnych jej ruchów. Jest to tak zwana superpozycja rozwiązań. Tym samym w 1753 roku na podstawie rozważań fizycznych uzyskał ogólne rozwiązanie drgań struny, przedstawiając je jako sumę rozwiązań cząstkowych, dla każdego z nich struna wygina się w postaci krzywej charakterystycznej (8).

W tej serii pierwszy tryb oscylacji to połowa fali sinusoidalnej, drugi to cała fala sinusoidalna, trzeci składa się z trzech fal półsinusoidalnych itp. Ich amplitudy są reprezentowane jako funkcje czasu i w istocie są uogólnionymi współrzędnymi rozpatrywanego układu. Według rozwiązania D. Bernoulliego ruch struny jest nieskończoną serią drgań harmonicznych z okresami
. W tym przypadku liczba węzłów (punktów stałych) jest o jeden mniejsza niż liczba częstotliwości własnych. Ograniczając szereg (8) do skończonej liczby wyrazów, otrzymujemy skończoną liczbę równań układu kontinuum.

Rozwiązanie D. Bernoulliego zawiera jednak pewną niedokładność – nie uwzględnia faktu, że przesunięcie fazowe każdej harmonicznej oscylacji jest inne.

D. Bernoulli prezentując rozwiązanie w postaci szeregu trygonometrycznego, zastosował zasadę superpozycji i rozwinięcia rozwiązania w pełny układ funkcji. Słusznie uważał, że za pomocą różnych wyrazów wzoru (8) można wyjaśnić tony harmoniczne, które struna emituje jednocześnie z jej tonem podstawowym. Uważał to za prawo ogólne, obowiązujące dla każdego układu ciał, który wykonuje małe oscylacje. Motywacja fizyczna nie może jednak zastąpić dowodu matematycznego, którego wówczas nie przedstawiono. Z tego powodu koledzy nie zrozumieli rozwiązania D. Bernoulliego, chociaż już w 1737 roku K. A. Clairaut zastosował rozwinięcie funkcji w szereg.

Obecność dwóch różnych sposobów rozwiązania problemu drgań strun wywołała poruszenie wśród czołowych naukowców XVIII wieku. gorąca debata – „spór o sznurki”. Spór ten dotyczył głównie pytań o to, jaką postać mają dopuszczalne rozwiązania zadania, o analityczne przedstawienie funkcji oraz o to, czy można przedstawić dowolną funkcję w postaci szeregu trygonometrycznego. W „sporze o struny” rozwinęła się jedna z najważniejszych koncepcji analizy – koncepcja funkcji.

D'Alembert i Euler nie zgodzili się, że rozwiązanie zaproponowane przez D. Bernoulliego może mieć charakter ogólny, w szczególności Euler nie mógł zgodzić się, że szereg ten może reprezentować dowolną „swobodnie rysowaną krzywą”, jak sam obecnie zdefiniował pojęcie funkcji.

Joseph Louis Lagrange, wdając się w polemikę, połamał strunę na małe łuki o równej długości, z masą skupioną w środku i zbadał rozwiązanie układu równań różniczkowych zwyczajnych o skończonej liczbie stopni swobody. Przechodząc następnie do granicy, Lagrange uzyskał wynik podobny do wyniku D. Bernoulliego, nie postulując jednak z góry, że rozwiązanie ogólne musi być nieskończoną sumą rozwiązań cząstkowych. Jednocześnie udoskonala rozwiązanie D. Bernoulliego, przedstawiając je w postaci (9), a także wyprowadza wzory na wyznaczanie współczynników tego szeregu. Choć rozwiązanie twórcy mechaniki analitycznej nie spełniało wszystkich wymogów rygoru matematycznego, było znaczącym krokiem naprzód.

Jeśli chodzi o rozwinięcie rozwiązania w szereg trygonometryczny, Lagrange uważał, że w dowolnych warunkach początkowych szereg jest rozbieżny. 40 lat później, w 1807 r., J. Fourier ponownie po raz trzeci odkrył rozwinięcie funkcji w szereg trygonometryczny i pokazał, jak można to wykorzystać do rozwiązania problemu, potwierdzając tym samym poprawność rozwiązania D. Bernoulliego. Kompletny dowód analityczny twierdzenia Fouriera o rozwinięciu jednowartościowej funkcji okresowej w szereg trygonometryczny został podany w rachunku całkowym Todgönthera oraz w Thomsonie (Lord Kelvin) i Traktacie o filozofii naturalnej Taita.

Badania nad drganiami swobodnymi naciągniętej struny trwały dwa stulecia, licząc od prac Beckmanna. Problem ten był potężnym bodźcem do rozwoju matematyki. Rozważając drgania układów kontinuum, Euler, d'Alembert i D. Bernoulli stworzyli nową dyscyplinę - fizykę matematyczną.Matematyzacja fizyki, czyli jej przedstawienie poprzez nową analizę, jest największą zasługą Eulera, dzięki której wytyczono nowe ścieżki w nauce. Logiczne rozwinięcie wyników Euler i Fourier doszli do dobrze znanej definicji funkcji Łobaczewskiego i Lejeune Dirichleta, opartej na idei korespondencji jeden do jednego dwóch zbiorów.Dirichlet udowodnił także możliwość rozszerzając odcinkowo funkcje ciągłe i monotoniczne w szereg Fouriera. Otrzymano także jednowymiarowe równanie falowe i ustalono równość jego dwóch rozwiązań, co matematycznie potwierdziło związek pomiędzy wibracjami i falami. Fakt, że wibrująca struna generuje dźwięk, skłonił naukowców zastanowić się nad tożsamością procesu rozchodzenia się dźwięku i procesu drgań struny. Zidentyfikowano także najważniejszą rolę warunków brzegowych i początkowych w tego typu zagadnieniach. Ważnym rezultatem dla rozwoju mechaniki było zastosowanie teorii d'Alemberta zasada pisania różniczkowych równań ruchu, a dla teorii oscylacji problem ten również odegrał bardzo ważną rolę, a mianowicie zastosowano zasadę superpozycji i rozwinięcia rozwiązania w zakresie naturalnych postaci drgań, podstawowe pojęcia teorii sformułowano drgania – częstotliwość drgań własnych i postać drgań.

Wyniki uzyskane dla drgań swobodnych struny posłużyły jako podstawa do stworzenia teorii drgań układów ciągłych. Dalsze badania drgań niejednorodnych strun, membran i prętów wymagały odkrycia specjalnych metod rozwiązywania najprostszych równań hiperbolicznych drugiego i czwartego rzędu.

Problem drgań swobodnych naciągniętej struny zainteresował naukowców oczywiście nie ze względu na praktyczne zastosowanie; prawa tych drgań były w mniejszym lub większym stopniu znane rzemieślnikom zajmującym się produkcją instrumentów muzycznych. Świadczą o tym niezrównane instrumenty smyczkowe takich mistrzów jak Amati, Stradivari, Guarneri i inni, których arcydzieła powstały już w XVII wieku. Zainteresowania największych naukowców zajmujących się tym problemem najprawdopodobniej polegały na chęci dostarczenia matematycznej podstawy dla istniejących już praw drgań strun. W tej kwestii odsłoniła się tradycyjna droga każdej nauki, zaczynając od stworzenia teorii wyjaśniającej już znane fakty, aby następnie znajdować i badać nieznane zjawiska.

IIokres – analityczny(koniec XVIII w. – koniec XIX w.). Najważniejszy krok w rozwoju mechaniki dokonał Lagrange, tworząc nową naukę – mechanikę analityczną. Początek drugiego okresu rozwoju teorii oscylacji wiąże się z twórczością Lagrange'a. W swojej książce Analytical Mechanics, wydanej w Paryżu w 1788 roku, Lagrange podsumował wszystko, co zostało zrobione w mechanice w XVIII wieku i sformułował nowe podejście do rozwiązywania jej problemów. W doktrynie równowagi porzucił geometryczne metody statyki i zaproponował zasadę możliwych przemieszczeń (prawo Lagrange'a). W dynamice Lagrange, stosując jednocześnie zasadę d'Alemberta i zasadę możliwych przemieszczeń, uzyskał ogólne wariacyjne równanie dynamiki, zwane także zasadą d'Alemberta-Lagrange'a. Na koniec wprowadził pojęcie współrzędnych uogólnionych i uzyskał równania ruchu w najwygodniejszej postaci - równania Lagrange'a drugiego rodzaju.

Równania te stały się podstawą do stworzenia teorii małych oscylacji, opisywanych liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach. Liniowość rzadko jest nieodłączną cechą układu mechanicznego i w większości przypadków jest wynikiem jego uproszczenia. Biorąc pod uwagę małe oscylacje w pobliżu położenia równowagi, które występują przy małych prędkościach, możliwe jest odrzucenie w równaniach ruchu członów drugiego i wyższych rzędów w odniesieniu do uogólnionych współrzędnych i prędkości.

Zastosowanie równań Lagrange'a drugiego rodzaju dla układów zachowawczych

dostaniemy system S liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach

, (11)

Gdzie I I C– odpowiednio macierze bezwładności i sztywności, których składnikami będą współczynniki bezwładności i sprężystości.

Szczególnego rozwiązania (11) szuka się w postaci

i opisuje monoharmoniczny tryb oscylacyjny z częstotliwością k, to samo dla wszystkich współrzędnych uogólnionych. Różniczkowanie (12) dwukrotnie względem T i podstawiając wynik do równań (11) otrzymujemy układ liniowych równań jednorodnych do znajdowania amplitud w postaci macierzowej

. (13)

Ponieważ gdy układ oscyluje, wszystkie amplitudy nie mogą być równe zero, wyznacznik jest równy zero

. (14)

Równanie częstotliwości (14) nazwano równaniem świeckim, ponieważ po raz pierwszy zostało rozważone przez Lagrange'a i Laplace'a w teorii świeckich zaburzeń elementów orbit planet. To jest równanie S-stopień krewny , liczba jego pierwiastków jest równa liczbie stopni swobody układu. Pierwiastki te są zwykle ułożone w porządku rosnącym i tworzą widmo własnych częstotliwości. Do każdego korzenia odpowiada konkretnemu rozwiązaniu postaci (12), zbiór S amplitudy reprezentują kształt drgań, a rozwiązanie całkowite jest sumą tych rozwiązań.

Lagrange podał stwierdzenie D. Bernoulliego, że ogólny ruch oscylacyjny układu punktów dyskretnych polega na jednoczesnym wykonaniu wszystkich jego drgań harmonicznych, w postaci twierdzenia matematycznego, wykorzystującego teorię całkowania równań różniczkowych o stałych współczynnikach, utworzonego Eulera w latach 40. XVIII w. oraz dorobek d'Alemberta, który pokazał, jak integrują się układy takich równań.Jednocześnie należało wykazać, że pierwiastki odwiecznego równania są rzeczywiste, dodatnie i nierówne względem siebie.

W ten sposób w mechanice analitycznej Lagrange otrzymał równanie częstotliwości w postaci ogólnej. Jednocześnie powtarza błąd d'Alemberta z 1761 r., że wielokrotne pierwiastki równania świeckiego odpowiadają rozwiązaniu niestabilnemu, gdyż rzekomo w tym przypadku terminy świeckie lub świeckie zawierające T nie pod znakiem sinusa lub cosinusa. W związku z tym zarówno d'Alembert, jak i Lagrange uważali, że równanie częstotliwości nie może mieć wielu pierwiastków ( paradoks d'Alemberta – Lagrange'a ). Wystarczyło, aby Lagrange wziął pod uwagę przynajmniej wahadło sferyczne lub drgania pręta, którego przekrój jest na przykład okrągły lub kwadratowy, aby przekonać się, że w konserwatywnych układach mechanicznych możliwych jest wiele częstotliwości. Błąd popełniony w pierwszym wydaniu Mechaniki analitycznej powtórzono w wydaniu drugim (1812), opublikowanym za życia Lagrange'a, i w trzecim (1853). Autorytet naukowy d'Alemberta i Lagrange'a był tak wysoki, że błąd ten powtórzyli zarówno Laplace, jak i Poisson, a poprawili go dopiero prawie 100 lat później niezależnie od siebie w 1858 r. K. Weierstrass i w 1859 r. Osip Iwanowicz Somow, który wniósł wielki wkład w rozwój teorii oscylacji układów dyskretnych.

Zatem, aby wyznaczyć częstotliwości i postaci drgań swobodnych układu liniowego bez oporu, konieczne jest rozwiązanie równania świeckiego (13). Jednakże równania stopnia wyższego niż piąty nie mają rozwiązania analitycznego.

Problemem było nie tylko rozwiązanie równania świeckiego, ale w większym stopniu jego zestawienie, gdyż rozwinięty wyznacznik (13) ma
terminy, np. dla układu o 20 stopniach swobody, liczba wyrazów wynosi 2,4 · 10 · 18, a czas na ujawnienie takiego wyznacznika dla najpotężniejszego komputera lat 70., wykonującego 1 milion operacji na sekundę, wynosi około 1,5 milionów lat, a dla współczesnego komputera ma „tylko” kilkaset lat.

Problem wyznaczania częstotliwości i postaci drgań swobodnych można również uznać za problem algebry liniowej i rozwiązać go numerycznie. Przepisanie równości (13) w postaci

, (14)

Należy pamiętać, że macierz kolumnowa jest wektorem własnym macierzy

, (15)

A swoje własne znaczenie.

Rozwiązanie problemu wartości własnych i wektorów jest jednym z najbardziej atrakcyjnych problemów analizy numerycznej. Jednocześnie nie da się zaproponować jednego algorytmu rozwiązującego wszystkie problemy spotykane w praktyce. Wybór algorytmu zależy od rodzaju macierzy, a także od tego, czy należy wyznaczyć wszystkie wartości własne, czy tylko najmniejszą (największą) lub bliską danej liczbie. W 1846 roku Carl Gustav Jacob Jacobi zaproponował iteracyjną metodę rotacji w celu rozwiązania całego problemu wartości własnej. Metoda opiera się na nieskończonym ciągu elementarnych obrotów, który w granicy przekształca macierz (15) w diagonalną. Elementy przekątne powstałej macierzy będą pożądanymi wartościami własnymi. W tym przypadku wymagane jest określenie wartości własnych
operacji arytmetycznych, a także wektorów własnych
operacje. Pod tym względem metoda w XIX wieku. nie znalazła zastosowania i została zapomniana na ponad sto lat.

Kolejnym ważnym krokiem w rozwoju teorii oscylacji były prace Rayleigha, a zwłaszcza jego podstawowe dzieło „Teoria dźwięku”. W tej książce Rayleigh bada zjawiska oscylacyjne w mechanice, akustyce i układach elektrycznych z jednolitego punktu widzenia. Rayleigh jest właścicielem szeregu podstawowych twierdzeń liniowej teorii oscylacji (twierdzenia o stacjonarności i własnościach częstotliwości własnych). Rayleigh sformułował także zasadę wzajemności. Przez analogię do energii kinetycznej i potencjalnej wprowadził funkcję rozpraszającą, którą nazwał Rayleigh i reprezentuje połowę szybkości rozpraszania energii.

W Teorii dźwięku Rayleigh proponuje również przybliżoną metodę wyznaczania pierwszej częstotliwości własnej systemu konserwatywnego

, (16)

Gdzie
. W tym przypadku, aby obliczyć maksymalne wartości energii potencjalnej i kinetycznej, przyjmuje się pewną formę wibracji. Jeśli pokrywa się to z pierwszą modą drgań układu, otrzymamy dokładną wartość pierwszej częstotliwości własnej, lecz w innym przypadku wartość ta jest zawsze zawyżona. Metoda daje dokładność całkiem akceptowalną w praktyce, jeżeli jako pierwszą postać drgań przyjmuje się odkształcenie statyczne układu.

Tak więc już w XIX wieku w pracach Somova i Rayleigha powstała metodologia konstruowania równań różniczkowych opisujących małe ruchy oscylacyjne dyskretnych układów mechanicznych za pomocą równań Lagrange'a drugiego rodzaju

gdzie w uogólnionej mocy
należy uwzględnić wszystkie współczynniki sił, z wyjątkiem sprężystych i rozpraszających, objętych funkcjami R i p.

Równania Lagrange'a (17) w postaci macierzowej, opisujące drgania wymuszone układu mechanicznego, po podstawieniu wszystkich funkcji wyglądają następująco

. (18)

Tutaj jest macierzą tłumienia, oraz
– wektory kolumnowe odpowiednio uogólnionych współrzędnych, prędkości i przyspieszeń. Ogólne rozwiązanie tego równania składa się z oscylacji swobodnych i towarzyszących, które są zawsze tłumione, oraz oscylacji wymuszonych, które występują przy częstotliwości siły zakłócającej. Ograniczmy się do rozważenia tylko konkretnego rozwiązania odpowiadającego oscylacjom wymuszonym. Jako wzbudzenie Rayleigh uznał uogólnione siły zmieniające się zgodnie z prawem harmonicznym. Wielu przypisało ten wybór prostocie rozpatrywanego przypadku, ale Rayleigh podaje bardziej przekonujące wyjaśnienie – rozwinięcie szeregu Fouriera.

Zatem w przypadku układu mechanicznego o więcej niż dwóch stopniach swobody rozwiązanie układu równań stwarza pewne trudności, które rosną wykładniczo wraz ze wzrostem rzędu układu. Nawet przy pięciu do sześciu stopniach swobody problemu drgań wymuszonych nie można rozwiązać ręcznie metodą klasyczną.

W teorii drgań układów mechanicznych szczególną rolę odgrywają drgania małe (liniowe) układów dyskretnych. Teoria spektralna opracowana dla układów liniowych nie wymaga nawet konstrukcji równań różniczkowych, a aby otrzymać rozwiązanie, można od razu zapisać układy liniowych równań algebraicznych. Choć w połowie XIX wieku opracowano metody wyznaczania wektorów własnych i wartości własnych (Jacobi), a także rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych (Gauss), to ich praktyczne zastosowanie nawet dla układów o małej liczbie stopni swobody okazało się bez dyskusji. Dlatego przed pojawieniem się wystarczająco wydajnych komputerów opracowano wiele różnych metod rozwiązania problemu swobodnych i wymuszonych oscylacji liniowych układów mechanicznych. Zagadnieniami tymi zajmowało się wielu wybitnych naukowców - matematyków i mechaników, o czym poniżej. Pojawienie się potężnej technologii obliczeniowej umożliwiło nie tylko rozwiązywanie wielkoskalowych problemów liniowych w ułamku sekundy, ale także zautomatyzowanie procesu tworzenia układów równań.

I tak w XVIII w. w teorii małych oscylacji układów o skończonej liczbie stopni swobody oraz oscylacji ciągłych układów sprężystych opracowano podstawowe schematy fizyczne i wyjaśniono zasady niezbędne do matematycznej analizy problemów. Aby jednak stworzyć teorię drgań mechanicznych jako samodzielną naukę, zabrakło jednolitego podejścia do rozwiązywania problemów dynamiki, a od technologii nie było próśb o jej szybszy rozwój.

Rozwój wielkiego przemysłu na przełomie XVIII i XIX w., spowodowany powszechnym wprowadzeniem maszyny parowej, doprowadził do wydzielenia mechaniki stosowanej w odrębną dyscyplinę. Jednak do końca XIX wieku obliczenia wytrzymałościowe prowadzono w ujęciu statycznym, ponieważ maszyny nadal miały małą moc i wolno się poruszały.

Pod koniec XIX wieku, wraz ze wzrostem prędkości i malejącymi wymiarami maszyn, nie można było zaniedbać wahań. Liczne wypadki, które miały miejsce na skutek wystąpienia rezonansu lub uszkodzeń zmęczeniowych podczas drgań, zmusiły inżynierów do zwrócenia uwagi na procesy oscylacyjne. Wśród problemów, które pojawiły się w tym okresie, należy wymienić: zawalenie się mostów od przejeżdżających pociągów, drgania skrętne wałów oraz drgania kadłubów statków wzbudzane siłami bezwładności ruchomych części niewyważonych maszyn.

IIIokres– powstanie i rozwój stosowanej teorii oscylacji (lata 1900–1960). Rozwój inżynierii mechanicznej, ulepszanie lokomotyw i statków, pojawienie się turbin parowych i gazowych, szybkich silników spalinowych, samochodów, samolotów itp. zażądał dokładniejszej analizy naprężeń w częściach maszyn. Było to podyktowane wymogami bardziej ekonomicznego wykorzystania metalu. Odciążanie konstrukcji spowodowało problemy z wibracjami, które w coraz większym stopniu decydują o wytrzymałości maszyn. Liczne wypadki na początku XX wieku przekonująco pokazują, jakie katastrofalne skutki może wywołać zaniedbanie wibracji lub ich nieznajomość.

Pojawienie się nowych technologii z reguły stawia nowe wyzwania przed teorią oscylacji. I tak w latach 30., 40. Pojawiły się nowe problemy, takie jak trzepotanie i drgania przeciągnięcia w lotnictwie, drgania zginające i giętno-skrętne obracających się wałów itp., co wymagało opracowania nowych metod obliczania drgań. Pod koniec lat dwudziestych, najpierw w fizyce, a następnie w mechanice, zaczęto badać drgania nieliniowe. W związku z rozwojem automatycznych układów sterowania i innymi potrzebami technicznymi, począwszy od lat 30. XX wieku, szeroko rozwijano i stosowano teorię stabilności ruchu, której podstawą była rozprawa doktorska A. M. Lapunowa „Ogólny problem stabilności ruchu”.

Brak analitycznego rozwiązania problemów teorii oscylacji, nawet w ujęciu liniowym, z jednej strony i technologii komputerowej, z drugiej, doprowadził do opracowania dużej liczby różnych numerycznych metod ich rozwiązywania.

Konieczność wykonywania obliczeń drgań dla różnego rodzaju urządzeń doprowadziła do pojawienia się w latach trzydziestych XX wieku pierwszych szkoleń z teorii drgań.

Przejście do IVokres(początek lat 60. XX w. – współczesność) wiąże się z epoką rewolucji naukowo-technicznej i charakteryzuje się pojawieniem się nowych technologii, przede wszystkim lotnictwa i przestrzeni kosmicznej oraz systemów robotycznych. Ponadto rozwój energetyki, transportu itp. wysunął na pierwszy plan problemy wytrzymałości dynamicznej i niezawodności. Tłumaczy się to wzrostem prędkości roboczych i spadkiem zużycia materiału przy jednoczesnej chęci zwiększenia żywotności maszyn. W teorii oscylacji coraz więcej problemów rozwiązuje się w ujęciu nieliniowym. W zakresie drgań układów ciągłych, pod wpływem wymagań technologii lotniczej i kosmicznej, pojawiają się problemy w dynamice płyt i powłok.

Największy wpływ na rozwój teorii oscylacji w tym okresie wywarło pojawienie się i szybki rozwój elektronicznej techniki komputerowej, co doprowadziło do opracowania numerycznych metod obliczania oscylacji.

Ruch oscylacyjny Nazywa się każdy ruch lub zmianę stanu, charakteryzującą się takim lub innym stopniem powtarzalności w czasie wartości wielkości fizycznych determinujących ten ruch lub stan. Oscylacje są charakterystyczne dla wszystkich zjawisk naturalnych: promieniowanie gwiazd pulsuje; planety Układu Słonecznego obracają się z dużą częstotliwością; wiatry wzbudzają wibracje i fale na powierzchni wody; Wewnątrz każdego żywego organizmu nieustannie zachodzą różnorodne, rytmicznie powtarzające się procesy, na przykład ludzkie serce bije z zadziwiającą niezawodnością.

Oscylacje wyróżniają się w fizyce mechaniczny I elektromagnetyczny. Poprzez rozprzestrzeniające się mechaniczne wahania gęstości i ciśnienia powietrza, które odbieramy jako dźwięk, a także bardzo gwałtowne wahania pól elektrycznych i magnetycznych, które postrzegamy jako światło, otrzymujemy dużą ilość bezpośrednich informacji o otaczającym nas świecie. Przykładami ruchu oscylacyjnego w mechanice są drgania wahadeł, strun, mostów itp.

Oscylacje nazywane są okresowy, jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniających się podczas oscylacji powtarzają się w regularnych odstępach czasu. Najprostszym rodzajem oscylacji okresowych są oscylacje harmoniczne. Oscylacje harmoniczne to takie, w których zmienna wielkość zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinus (lub cosinus):

gdzie x jest przemieszczeniem z położenia równowagi;

A – amplituda drgań – maksymalne wychylenie z położenia równowagi;

- częstotliwość cykliczna;

- początkowa faza oscylacji;

- faza oscylacji; określa przemieszczenie w dowolnym momencie, tj. określa stan układu oscylacyjnego.

W przypadku oscylacji ściśle harmonicznych o wielkości A, I nie zależą od czasu.

Częstotliwość cykliczna związany z okresem T drgań i częstotliwością stosunek:

(2)

Koniec dyskusji oscylacje to najkrótszy okres czasu, po którym powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących oscylacje.

Częstotliwość oscylacje to liczba pełnych oscylacji wykonanych w jednostce czasu, mierzona w hercach (1 Hz = 1
).

Częstotliwość cykliczna liczbowo równa liczbie oscylacji wykonanych w 2 sekundy

Drgania występujące w układzie, na który nie działają zmienne siły zewnętrzne, w wyniku dowolnego początkowego odchylenia tego układu od stanu równowagi stabilnej, nazywane są bezpłatny(lub własne).

Jeśli system jest konserwatywny, wówczas podczas oscylacji nie następuje żadne rozpraszanie energii. W tym przypadku nazywane są drgania swobodne nietłumiony.

Prędkość Drgania punktu definiujemy jako pochodną przemieszczenia w czasie:

(3)

Przyśpieszenie punkt oscylacyjny jest równy pochodnej prędkości po czasie:

(4)

Równanie (4) pokazuje, że przyspieszenie podczas oscylacji harmonicznych jest zmienne, zatem oscylacja jest spowodowana działaniem zmiennej siły.

Drugie prawo Newtona pozwala nam ogólnie napisać związek pomiędzy siłą F a przyspieszeniem dla prostoliniowych oscylacji harmonicznych punktu materialnego z masą
:

Gdzie
, (6)

k – współczynnik sprężystości.

Zatem siła powodująca drgania harmoniczne jest proporcjonalna do przemieszczenia i skierowana przeciwko przemieszczeniu. W związku z tym możemy podać dynamiczną definicję oscylacji harmonicznych: harmoniczna to oscylacja spowodowana siłą wprost proporcjonalną do przemieszczenia x i skierowaną przeciwnie do przemieszczenia.

Siłą przywracającą może być na przykład siła sprężystości. Siły, które mają inny charakter niż siły sprężyste, ale jednocześnie spełniają warunek (5), nazywane są siłami quasi-elastyczny.

W przypadku oscylacji prostoliniowych wzdłuż osi x, przyspieszenie równa się:

.

Zastępując to wyrażenie przyspieszeniem i znaczenie siły
do drugiego prawa Newtona, otrzymujemy podstawowe równanie prostoliniowych oscylacji harmonicznych:

Lub
(7)

Rozwiązaniem tego równania jest równanie (1).

Program zajęć z teorii oscylacji dla studentów 4 Kurs FACI

Dyscyplina opiera się na wynikach takich dyscyplin, jak klasyczna algebra ogólna, teoria równań różniczkowych zwyczajnych, mechanika teoretyczna i teoria funkcji zmiennej zespolonej. Cechą studiowania tej dyscypliny jest częste korzystanie z aparatury analizy matematycznej i innych pokrewnych dyscyplin matematycznych, wykorzystanie praktycznie ważnych przykładów z zakresu mechaniki teoretycznej, fizyki, elektrotechniki i akustyki.

1. Jakościowa analiza ruchu w układzie zachowawczym o jednym stopniu swobody

• Metoda płaszczyzny fazowej
• Zależność okresu oscylacji od amplitudy. Systemy miękkie i twarde

2. Równanie Duffinga

• Wyrażenie ogólnego rozwiązania równania Duffinga w funkcjach eliptycznych

3. Układy quasilinearne

• Zmienne Van der Pol
• Metoda uśredniania

4. Oscylacje relaksacyjne

• Równanie Van der Pol
• Układy osobliwie zaburzone równań różniczkowych

5. Dynamika nieliniowych układów autonomicznych o postaci ogólnej o jednym stopniu swobody

• Pojęcie „chropowatości” układu dynamicznego
• Bifurkacje układów dynamicznych

6. Elementy teorii Floqueta

• Rozwiązania normalne i mnożniki liniowych układów równań różniczkowych ze współczynnikami okresowymi
• Rezonans parametryczny

7. Równanie Hilla

• Analiza zachowania rozwiązań równania typu Hilla jako ilustracja zastosowania teorii Floqueta do liniowych układów Hamiltona o współczynnikach okresowych
• Równanie Mathieu jako szczególny przypadek równania typu Hilla. Diagram Inesa-Stretta

8. Oscylacje wymuszone w układzie z nieliniową siłą przywracającą

• Zależność pomiędzy amplitudą oscylacji a wielkością siły napędowej przyłożonej do układu
• Zmiana trybu jazdy przy zmianie częstotliwości siły napędowej. Pojęcie histerezy „dynamicznej”.

9. Niezmienniki adiabatyczne

• Zmienne kąta działania
• Zasada zachowania niezmienników adiabatycznych przy jakościowej zmianie natury ruchu

10. Dynamika wielowymiarowych układów dynamicznych

• Pojęcie ergodyczności i mieszania w układach dynamicznych
• Mapa Poincarégo

11. Równania Lorentza. Dziwny atraktor

• Równania Lorentza jako model termokonwekcji
• Bifurkacje rozwiązań równań Lorentza. Przejście do chaosu
• Struktura fraktalna dziwnego atraktora

12. Wyświetlacze jednowymiarowe. Wszechstronność Feigenbauma

• Mapowanie kwadratowe - najprostsze mapowanie nieliniowe
• Okresowe orbity mapowań. Bifurkacje orbit okresowych

Literatura (główna)

1. Moiseev N.N. Asymptotyczne metody mechaniki nieliniowej. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Wprowadzenie do teorii oscylacji i fal. wyd. 2. Centrum Badawcze „Dynamika Regularna i Chaotyczna”, 2000.

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Metody asymptotyczne w teorii oscylacji nieliniowych. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Wprowadzenie do teorii oscylacji nieliniowych. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. Wprowadzenie do synergii. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kirichenko N.A. Oscylacje, fale, struktury.. - M.: Fizmatlit, 2003.

Literatura (dodatkowa)

7. Zhuravlev V.F., Klimov D.M. Metody stosowane w teorii drgań. Wydawnictwo „Nauka”, 1988.

8. Stocker J. Drgania nieliniowe w układach mechanicznych i elektrycznych. – M.: Literatura zagraniczna, 1952.

9. Starzhinsky V.M., Stosowane metody oscylacji nieliniowych. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Drgania nieliniowe w układach fizycznych. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Teoria oscylacji. – M.: Fizmatgiz, 1959.

Książka wprowadza czytelnika w ogólne właściwości procesów oscylacyjnych zachodzących w układach radiotechnicznych, optycznych i innych, a także w różne jakościowe i ilościowe metody ich badania. Dużo uwagi poświęca się rozważaniom parametrycznych, samooscylacyjnych i innych nieliniowych układów oscylacyjnych.
Opisane w książce badanie układów oscylacyjnych i procesów w nich zachodzących przedstawiono przy użyciu dobrze znanych metod teorii oscylacji, bez szczegółowego przedstawienia i uzasadnienia samych metod. Główną uwagę poświęcono wyjaśnieniu podstawowych cech badanych modeli oscylacyjnych układów rzeczywistych przy użyciu najbardziej adekwatnych metod analizy.

Oscylacje swobodne w obwodzie o nieliniowej indukcyjności.
Rozważmy teraz inny przykład elektrycznego nieliniowego układu zachowawczego, a mianowicie obwód, którego indukcyjność zależy od przepływającego przez niego prądu. Przypadek ten nie ma jasnego i prostego, nierelatywistycznego odpowiednika mechanicznego, gdyż zależność samoindukcji od prądu jest dla mechaniki równoznaczna z przypadkiem zależności masy od prędkości.

Z układami elektrycznymi tego typu spotykamy się, gdy w indukcyjnościach stosowane są rdzenie wykonane z materiału ferromagnetycznego. W takich przypadkach dla każdego zadanego rdzenia można otrzymać zależność pomiędzy polem magnesującym a strumieniem indukcji magnetycznej. Krzywa obrazująca tę zależność nazywana jest krzywą namagnesowania. Jeśli pominiemy zjawisko histerezy, to jej przybliżony przebieg można przedstawić na wykresie pokazanym na ryc. 1.13. Ponieważ wielkość pola H jest proporcjonalna do prądu płynącego w cewce, prąd ten można wykreślić bezpośrednio na odpowiedniej skali wzdłuż osi odciętych.

Pobierz e-book za darmo w wygodnym formacie, obejrzyj i przeczytaj:
Pobierz książkę Podstawy teorii oscylacji, Migulin V.V., Miedwiediew V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, pobierz szybko i bezpłatnie.

• Podstawy fizyki teoretycznej, Mechanika, teoria pola, elementy mechaniki kwantowej, Medvedev B.V., 2007
• Kurs fizyki, Ershov A.P., Fedotovich G.V., Kharitonov V.G., Pruuel E.R., Miedwiediew D.A.
• Termodynamika techniczna z podstawami wymiany ciepła i hydrauliki, Lashutina N.G., Makashova O.V., Miedwiediew R.M., 1988