Zadania szkoleniowe z egzaminu Unified State Exam dotyczące instrumentów pochodnych. Zastosowanie pochodnych w zadaniach egzaminacyjnych

Znaczenie geometryczne pochodnej X Y 0 tangens α k – współczynnik kątowy prostej (styczna) Znaczenie geometryczne pochodnej: jeżeli można poprowadzić styczną do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie z odciętą , nierównoległa do osi y, to wyraża współczynnik kątowy stycznej, tj. Ponieważ zatem równość prostej jest prawdziwa

X y Jeśli α 0. Jeżeli α > 90°, to k 90°, następnie k 90°, następnie k 90°, następnie k 90°, to k title="х y Jeśli α 0. Jeśli α > 90°, następnie k

X y Zadanie 1. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) oraz styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie o odciętej -1. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x =

Y x x0x Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0. Odpowiedź: -0,25

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-6;6). Znajdź przedziały wzrostu funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów. B =...

Pochodna funkcji jest jednym z trudnych tematów w programie nauczania. Nie każdy absolwent odpowie na pytanie, czym jest pochodna.

W tym artykule w prosty i jasny sposób wyjaśniono, czym jest instrument pochodny i dlaczego jest potrzebny.. Nie będziemy teraz dążyć do matematycznego rygoru prezentacji. Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie znaczenia.

Przypomnijmy definicję:

Pochodna jest szybkością zmiany funkcji.

Rysunek przedstawia wykresy trzech funkcji. Jak myślisz, który rośnie szybciej?

Odpowiedź jest oczywista – trzecia. Ma najwyższą stopę zmian, czyli największą pochodną.

Oto kolejny przykład.

Kostya, Grisza i Matwiej dostali pracę w tym samym czasie. Zobaczmy, jak zmieniły się ich dochody w ciągu roku:

Wykres pokazuje wszystko na raz, prawda? Dochody Kostyi wzrosły ponad dwukrotnie w ciągu sześciu miesięcy. Dochody Grishy również wzrosły, ale tylko trochę. A dochód Matveya spadł do zera. Warunki początkowe są takie same, ale szybkość zmiany funkcji, tj pochodna, - różny. Jeśli chodzi o Matveya, jego instrument pochodny dochodowy jest generalnie ujemny.

Intuicyjnie łatwo szacujemy szybkość zmian funkcji. Ale jak to zrobić?

Tak naprawdę patrzymy na to, jak stromo wykres funkcji rośnie (lub maleje). Innymi słowy, jak szybko zmienia się y, gdy zmienia się x? Oczywiście ta sama funkcja w różnych punktach może mieć różne wartości pochodnych – czyli może zmieniać się szybciej lub wolniej.

Oznacza się pochodną funkcji.

Pokażemy Ci, jak to znaleźć za pomocą wykresu.

Narysowano wykres pewnej funkcji. Weźmy punkt z odciętą. Narysujmy w tym punkcie styczną do wykresu funkcji. Chcemy oszacować, jak stromo rośnie wykres funkcji. Wygodną wartością jest to tangens kąta stycznego.

Pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta stycznego narysowanego do wykresu funkcji w tym punkcie.

Należy pamiętać, że za kąt nachylenia stycznej przyjmujemy kąt pomiędzy styczną a dodatnim kierunkiem osi.

Czasami uczniowie pytają, czym jest styczna do wykresu funkcji. Jest to linia prosta, która ma jeden punkt wspólny z wykresem w tej sekcji, jak pokazano na naszym rysunku. Wygląda jak styczna do okręgu.

Znajdźmy to. Pamiętamy, że tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Z trójkąta:

Pochodną znaleźliśmy za pomocą wykresu, nawet nie znając wzoru funkcji. Takie problemy często można znaleźć w jednolitym egzaminie państwowym z matematyki pod numerem.

Jest jeszcze jedna ważna zależność. Przypomnijmy, że linię prostą wyznacza równanie

Wielkość w tym równaniu nazywa się nachylenie linii prostej. Jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi.

.

Rozumiemy to

Zapamiętajmy tę formułę. Wyraża geometryczne znaczenie pochodnej.

Pochodna funkcji w punkcie jest równa nachyleniu stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym punkcie.

Inaczej mówiąc, pochodna jest równa tangensowi kąta stycznego.

Powiedzieliśmy już, że ta sama funkcja może mieć różne pochodne w różnych punktach. Zobaczmy, jak pochodna jest powiązana z zachowaniem funkcji.

Narysujmy wykres jakiejś funkcji. Niech ta funkcja rośnie w niektórych obszarach i maleje w innych, i to w różnym tempie. I niech ta funkcja ma punkty maksymalne i minimalne.

W pewnym momencie funkcja wzrasta. Styczna do wykresu narysowanego w punkcie tworzy kąt ostry; z dodatnim kierunkiem osi. Oznacza to, że pochodna w tym punkcie jest dodatnia.

W tym momencie nasza funkcja maleje. Styczna w tym punkcie tworzy kąt rozwarty; z dodatnim kierunkiem osi. Ponieważ tangens kąta rozwartego jest ujemny, pochodna w tym punkcie jest ujemna.

Oto, co się dzieje:

Jeśli funkcja jest rosnąca, jej pochodna jest dodatnia.

Jeśli maleje, jego pochodna jest ujemna.

Co stanie się w punktach maksymalnych i minimalnych? Widzimy, że w punktach (punkt maksymalny) i (punkt minimalny) styczna jest pozioma. Zatem tangens stycznej w tych punktach wynosi zero i pochodna również wynosi zero.

Punkt - maksymalny punkt. W tym momencie wzrost funkcji zostaje zastąpiony spadkiem. W konsekwencji znak pochodnej zmienia się w punkcie z „plus” na „minus”.

W punkcie - punkcie minimalnym - pochodna również wynosi zero, ale jej znak zmienia się z „minus” na „plus”.

Wniosek: korzystając z pochodnej, możemy dowiedzieć się wszystkiego, co nas interesuje na temat zachowania funkcji.

Jeżeli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie.

Jeśli pochodna jest ujemna, to funkcja maleje.

W punkcie maksymalnym pochodna wynosi zero i zmienia znak z „plus” na „minus”.

W punkcie minimalnym pochodna również wynosi zero i zmienia znak z „minus” na „plus”.

Zapiszmy te wnioski w formie tabeli:

Zróbmy dwa małe wyjaśnienia. Będziesz potrzebować jednego z nich podczas rozwiązywania problemu. Kolejny - w pierwszym roku, z poważniejszym badaniem funkcji i pochodnych.

Możliwe jest, że pochodna funkcji w pewnym punkcie jest równa zeru, ale funkcja nie ma w tym punkcie ani maksimum, ani minimum. Jest to tzw :

W pewnym momencie styczna do wykresu jest pozioma, a pochodna wynosi zero. Jednak przed punktem funkcja wzrosła - a po punkcie nadal rośnie. Znak pochodnej się nie zmienia – pozostaje dodatni tak jak był.

Zdarza się również, że w punkcie maksimum lub minimum pochodna nie istnieje. Na wykresie odpowiada to ostremu załamaniu, gdy w danym punkcie nie da się narysować stycznej.

Jak znaleźć pochodną, ​​jeśli funkcję podaje nie wykres, ale wzór? W tym przypadku ma to zastosowanie

Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Typ lekcji: powtarzanie i uogólnianie.

Forma lekcji: lekcja-konsultacja.

Cele Lekcji:

• edukacyjny: powtarzanie i uogólnianie wiedzy teoretycznej na tematy: „Znaczenie geometryczne pochodnej” i „Zastosowanie pochodnej do badania funkcji”; rozważyć wszystkie typy problemów B8 napotkanych na jednolitym egzaminie państwowym z matematyki; zapewnienie studentom możliwości sprawdzenia swojej wiedzy poprzez samodzielne rozwiązywanie problemów; uczyć, jak wypełnić formularz odpowiedzi na egzamin;
• rozwijający się: promowanie rozwoju komunikacji jako metody wiedzy naukowej, pamięci semantycznej i dobrowolnej uwagi; ukształtowanie takich kompetencji kluczowych jak porównywanie, zestawianie, klasyfikacja obiektów, określanie adekwatnych sposobów rozwiązania zadania edukacyjnego w oparciu o zadane algorytmy, umiejętność samodzielnego działania w sytuacjach niepewności, monitorowania i oceniania swoich działań, znajdowania i eliminowania przyczyn trudności;
• edukacyjny: rozwijać kompetencje komunikacyjne uczniów (kultura komunikacji, umiejętność pracy w grupie); sprzyjać rozwojowi potrzeby samokształcenia.

Technologie: edukacja rozwojowa, ICT.

Metody nauczania: werbalne, wizualne, praktyczne, problematyczne.

Formy pracy: indywidualny, frontalny, grupowy.

Wsparcie dydaktyczne i metodyczne:

1. Algebra i początki analizy matematycznej Klasa 11: podręcznik. Do edukacji ogólnej Instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); pod redakcją A. B. Zhizhchenko. – 4. wyd. – M.: Edukacja, 2011.

2. Ujednolicony egzamin państwowy: 3000 zadań z odpowiedziami z matematyki. Wszystkie zadania grupy B/A.L. Semenow, I.V. Jaszczenko i inni; pod redakcją A.L. Siemionowa, I.V. Jaszczenko. – M.: Wydawnictwo „Egzamin”, 2011.

3. Otwórz bank zadań.

Sprzęt i materiały do ​​lekcji: projektor, ekran, komputer dla każdego ucznia z zainstalowaną prezentacją, wydruk notatki dla wszystkich uczniów (Aneks 1) i arkusz wyników ( Załącznik 2) .

Wstępne przygotowanie do lekcji: w ramach pracy domowej uczniowie proszeni są o powtórzenie materiału teoretycznego z podręcznika na tematy: „Geometryczne znaczenie pochodnej”, „Zastosowanie pochodnej do badania funkcji”; Klasa podzielona jest na grupy (4 osobowe każda), z których każda składa się z uczniów na różnym poziomie.

Wyjaśnienie lekcji: Lekcji tej uczy się w klasie 11, na etapie powtórki i przygotowania do Jednolitego Egzaminu Państwowego. Lekcja ma na celu powtórzenie i uogólnienie materiału teoretycznego, jego zastosowanie w rozwiązywaniu problemów egzaminacyjnych. Czas trwania lekcji - 1,5 godziny .

Lekcja ta nie jest dołączona do podręcznika, dlatego można ją przeprowadzić pracując z dowolnymi materiałami dydaktycznymi. Lekcję tę można również podzielić na dwie osobne i poprowadzić jako lekcje końcowe dotyczące omawianych tematów.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

II. Lekcja wyznaczania celów.

III. Powtórzenie tematu „Geometryczne znaczenie pochodnych”.

Praca ustna czołowa z wykorzystaniem projektora (slajdy nr 3-7)

Praca w grupach: rozwiązywanie problemów z podpowiedziami, odpowiedziami, przy konsultacji z nauczycielem (slajdy nr 8-17)

IV. Samodzielna praca 1.

Studenci pracują indywidualnie na komputerze (slajdy nr 18-26), a swoje odpowiedzi wpisują do arkusza oceny. W razie potrzeby możesz skonsultować się z nauczycielem, ale w tym przypadku uczeń straci 0,5 punktu. Jeżeli uczeń zakończy pracę wcześniej, może zdecydować się na rozwiązanie dodatkowych zadań ze zbioru s. 242, 306-324 (zadania dodatkowe oceniane są osobno).

V. Wzajemna weryfikacja.

Studenci wymieniają się arkuszami ocen, sprawdzają pracę kolegi i przyznają punkty (slajd nr 27)

VI. Korekta wiedzy.

VII. Powtórzenie tematu „Zastosowanie pochodnej do badania funkcji”

Praca ustna czołowa z wykorzystaniem projektora (slajdy nr 28-30)

Praca w grupach: rozwiązywanie problemów z podpowiedziami, odpowiedziami, z konsultacją z nauczycielem (slajdy nr 31-33)

VIII. Samodzielna praca 2.

Studenci pracują indywidualnie na komputerze (slajdy nr 34-46), a swoje odpowiedzi wpisują w formularzu odpowiedzi. W razie potrzeby możesz skonsultować się z nauczycielem, ale w tym przypadku uczeń straci 0,5 punktu. Jeżeli uczeń zakończy pracę wcześniej, może zdecydować się na rozwiązanie dodatkowych zadań ze zbioru s. 243-305 (zadania dodatkowe oceniane są osobno).

IX. Recenzja partnerska.

Uczniowie wymieniają się arkuszami ocen, sprawdzają pracę kolegi i przyznają punkty (slajd nr 47).

X. Korekta wiedzy.

Uczniowie ponownie pracują w swoich grupach, dyskutują o rozwiązaniu i poprawiają błędy.

XI. Zreasumowanie.

Każdy uczeń podlicza swoje punkty i wpisuje ocenę do arkusza ocen.

Studenci przekazują prowadzącemu arkusz oceny oraz rozwiązania dodatkowych problemów.

Każdy uczeń otrzymuje notatkę (slajd nr 53-54).

XII. Odbicie.

Studenci proszeni są o ocenę swojej wiedzy poprzez wybranie jednego z wyrażeń:

• Udało mi się!!!
• Musimy rozwiązać jeszcze kilka przykładów.
• No cóż, kto wymyślił tę matematykę!

XIII. Praca domowa.

Do zadań domowych uczniowie proszeni są o wybranie zadań ze zbioru, s. 242-334, a także z otwartego banku zadań.

Wyobraźmy sobie prostą drogę przebiegającą przez pagórkowaty teren. Oznacza to, że porusza się w górę i w dół, ale nie skręca w prawo ani w lewo. Jeśli oś jest skierowana poziomo wzdłuż drogi i pionowo, to linia drogi będzie bardzo podobna do wykresu jakiejś funkcji ciągłej:

Oś to pewien poziom zerowej wysokości, w życiu używamy jako tego poziomu morza.

Poruszając się do przodu taką drogą, poruszamy się także w górę lub w dół. Można też powiedzieć: gdy zmienia się argument (ruch wzdłuż osi odciętych), zmienia się wartość funkcji (ruch wzdłuż osi rzędnych). Zastanówmy się teraz, jak określić „stromość” naszej drogi? Jakiej to może być wartości? To bardzo proste: jak bardzo zmieni się wysokość, gdy przesuniesz się do przodu na określoną odległość. Rzeczywiście, na różnych odcinkach drogi, przesuwając się do przodu (wzdłuż osi x) o jeden kilometr, podniesiemy się lub opadniemy o różną liczbę metrów w stosunku do poziomu morza (wzdłuż osi y).

Oznaczmy postęp (czytaj „delta x”).

Grecka litera (delta) jest powszechnie używana w matematyce jako przedrostek oznaczający „zmianę”. To znaczy - jest to zmiana ilościowa, - zmiana; więc co to jest? Zgadza się, zmiana wielkości.

Ważne: wyrażenie to pojedyncza całość, jedna zmienna. Nigdy nie oddzielaj „delty” od „x” lub jakiejkolwiek innej litery! Czyli np. .

Zatem posunęliśmy się do przodu, poziomo, o. Jeśli porównamy linię drogi z wykresem funkcji, to jak oznaczyć wzrost? Z pewnością, . Oznacza to, że w miarę jak idziemy do przodu, wznosimy się wyżej.

Wartość jest łatwa do obliczenia: jeśli na początku byliśmy na wysokości, a po przeprowadzce znaleźliśmy się na wysokości, to. Jeśli punkt końcowy będzie niższy od punktu początkowego, będzie on ujemny – oznacza to, że nie wznosimy się, a opadamy.

Wróćmy do „stromości”: jest to wartość pokazująca, jak bardzo (stromo) wzrasta wysokość podczas poruszania się do przodu o jedną jednostkę odległości:

Załóżmy, że na pewnym odcinku drogi, przesuwając się o kilometr do przodu, droga wznosi się o kilometr. Wtedy nachylenie w tym miejscu jest równe. A jeśli droga poruszając się do przodu o m, obniży się o km? Wtedy nachylenie jest równe.

Spójrzmy teraz na szczyt wzgórza. Jeśli weźmiemy początek odcinka pół kilometra przed szczytem i koniec pół kilometra za nim, zobaczymy, że wysokość jest prawie taka sama.

Oznacza to, że zgodnie z naszą logiką okazuje się, że nachylenie tutaj jest prawie równe zeru, co oczywiście nie jest prawdą. Już na dystansie kilku kilometrów wiele może się zmienić. W celu bardziej odpowiedniej i dokładnej oceny stromości konieczne jest uwzględnienie mniejszych obszarów. Na przykład, jeśli zmierzysz zmianę wysokości w miarę przesuwania się o jeden metr, wynik będzie znacznie dokładniejszy. Ale nawet ta dokładność może nam nie wystarczyć – wszak jeśli na środku drogi stoi słup, możemy go po prostu minąć. Jaki dystans w takim razie wybrać? Centymetr? Milimetr? Mniej znaczy lepiej!

W prawdziwym życiu mierzenie odległości z dokładnością do milimetra jest więcej niż wystarczające. Ale matematycy zawsze dążą do perfekcji. Dlatego wymyślono taką koncepcję nieskończenie mały, to znaczy wartość bezwzględna jest mniejsza niż jakakolwiek liczba, którą możemy nazwać. Na przykład mówisz: jedna bilionowa! O ile mniej? I podzielisz tę liczbę przez - i będzie jeszcze mniej. I tak dalej. Jeśli chcemy napisać, że ilość jest nieskończenie mała, piszemy w ten sposób: (czytamy „x dąży do zera”). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć że ta liczba nie jest zerowa! Ale bardzo blisko tego. Oznacza to, że możesz przez to dzielić.

Pojęcie przeciwne nieskończenie małemu jest nieskończenie duże (). Prawdopodobnie już się z tym spotkałeś, pracując nad nierównościami: ta liczba jest modulo większa niż jakakolwiek inna liczba, jaką możesz wymyślić. Jeśli otrzymasz największą możliwą liczbę, po prostu pomnóż ją przez dwa, a otrzymasz jeszcze większą liczbę. A nieskończoność jest jeszcze większa niż to, co się dzieje. W rzeczywistości nieskończenie duże i nieskończenie małe są względem siebie odwrotnością, to znaczy w i odwrotnie: w.

Wróćmy teraz na naszą drogę. Idealnie obliczone nachylenie to nachylenie obliczone dla nieskończenie małego odcinka ścieżki, czyli:

Zauważam, że przy nieskończenie małym przemieszczeniu zmiana wysokości będzie również nieskończenie mała. Ale przypomnę, że nieskończenie mały nie znaczy równy zeru. Jeśli podzielisz przez siebie nieskończenie małe liczby, możesz otrzymać zupełnie zwyczajną liczbę, na przykład . Oznacza to, że jedna mała wartość może być dokładnie razy większa od drugiej.

Po co to wszystko? Droga, stromość... Nie jedziemy na rajd samochodowy, ale uczymy matematyki. A w matematyce wszystko jest dokładnie takie samo, tylko inaczej się nazywa.

Pojęcie pochodnej

Pochodna funkcji to stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu.

Stopniowo w matematyce nazywają to zmianą. Nazywa się stopień, w jakim argument () zmienia się w miarę przesuwania się wzdłuż osi przyrost argumentu i jest wyznaczony.Jak bardzo zmieniła się funkcja (wysokość) podczas przesuwania się do przodu wzdłuż osi o odległość przyrost funkcji i jest wyznaczony.

Zatem pochodną funkcji jest stosunek do kiedy. Pochodną oznaczamy tą samą literą co funkcję, tylko liczbą pierwszą w prawym górnym rogu: lub po prostu. Zapiszmy więc wzór na pochodną, ​​korzystając z następujących oznaczeń:

Podobnie jak w przypadku drogi, tutaj, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna.

Czy pochodna może być równa zero? Z pewnością. Przykładowo, jeśli jedziemy po płaskiej, poziomej drodze, nachylenie wynosi zero. I to prawda, wysokość w ogóle się nie zmienia. Podobnie jest z pochodną: pochodna funkcji stałej (stała) jest równa zeru:

ponieważ przyrost takiej funkcji jest dla dowolnego równy zero.

Przypomnijmy przykład ze wzgórza. Okazało się, że możliwe jest takie ułożenie końców odcinka po przeciwnych stronach wierzchołka, aby wysokość na końcach okazała się taka sama, czyli odcinek był równoległy do ​​osi:

Ale duże segmenty są oznaką niedokładnego pomiaru. Podniesiemy nasz odcinek równolegle do siebie, wówczas jego długość będzie się zmniejszać.

Ostatecznie, gdy będziemy nieskończenie blisko szczytu, długość odcinka stanie się nieskończenie mała. Ale jednocześnie pozostał równoległy do ​​osi, to znaczy różnica wysokości na jego końcach jest równa zeru (nie ma tendencji, ale jest równa). Zatem pochodna

Można to rozumieć w ten sposób: gdy stoimy na samej górze, niewielkie przesunięcie w lewo lub w prawo zmienia nasz wzrost w pomijalnym stopniu.

Istnieje również wyjaśnienie czysto algebraiczne: na lewo od wierzchołka funkcja rośnie, a na prawo maleje. Jak dowiedzieliśmy się wcześniej, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna. Ale zmienia się płynnie, bez skoków (ponieważ droga nigdzie nie zmienia gwałtownie nachylenia). Dlatego muszą istnieć wartości pomiędzy wartościami ujemnymi i dodatnimi. Będzie to miejsce, w którym funkcja ani nie rośnie, ani nie maleje - w punkcie wierzchołkowym.

To samo dotyczy doliny (obszaru, w którym funkcja po lewej stronie maleje, a po prawej rośnie):

Trochę więcej o przyrostach.

Zmieniamy więc argument na wielkość. Zmieniamy od jakiej wartości? Czym on się teraz (argumentem) stał? Możemy wybrać dowolny punkt, a teraz będziemy od niego tańczyć.

Rozważ punkt ze współrzędnymi. Wartość funkcji w nim jest równa. Następnie wykonujemy ten sam przyrost: zwiększamy współrzędną o. Jaka jest teraz argumentacja? Bardzo łatwe: . Jaka jest teraz wartość funkcji? Tam, gdzie trafia argument, tam też znajduje się funkcja: . A co z przyrostem funkcji? Nic nowego: nadal jest to kwota, o jaką zmieniła się funkcja:

Poćwicz znajdowanie przyrostów:

1. Znajdź przyrost funkcji w punkcie, w którym przyrost argumentu jest równy.
2. To samo dotyczy funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

W różnych punktach z tym samym przyrostem argumentu przyrost funkcji będzie inny. Oznacza to, że pochodna w każdym punkcie jest inna (rozmawialiśmy o tym na samym początku – stromość drogi jest różna w różnych punktach). Dlatego pisząc pochodną, ​​musimy wskazać, w którym momencie:

Funkcja zasilania.

Funkcja potęgi to funkcja, której argument jest do pewnego stopnia (logiczny, prawda?).

Ponadto - w jakimkolwiek stopniu: .

Najprostszy przypadek ma miejsce, gdy wykładnik wynosi:

Znajdźmy jego pochodną w pewnym punkcie. Przypomnijmy definicję pochodnej:

Zatem argument zmienia się z na. Jaki jest przyrost funkcji?

Przyrost to jest to. Ale funkcja w dowolnym punkcie jest równa swojemu argumentowi. Dlatego:

Pochodna jest równa:

Pochodna jest równa:

b) Rozważmy teraz funkcję kwadratową (): .

Teraz pamiętajmy o tym. Oznacza to, że wartość przyrostu można pominąć, gdyż jest ona nieskończenie mała, a zatem nieistotna na tle drugiego członu:

Wymyśliliśmy więc kolejną zasadę:

c) Kontynuujemy ciąg logiczny: .

Wyrażenie to można uprościć na różne sposoby: otwórz pierwszy nawias, korzystając ze wzoru na skrócone pomnożenie sześcianu sumy, lub rozłóż całe wyrażenie na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę kostek. Spróbuj zrobić to sam, korzystając z dowolnej z sugerowanych metod.

Więc otrzymałem co następuje:

I jeszcze raz o tym pamiętajmy. Oznacza to, że możemy pominąć wszystkie terminy zawierające:

Otrzymujemy: .

d) Podobne zasady można uzyskać dla dużych potęg:

e) Okazuje się, że tę regułę można uogólnić dla funkcji potęgowej z dowolnym wykładnikiem, a nie nawet liczbą całkowitą:

Zasadę tę można sformułować słowami: „stopień jest podnoszony jako współczynnik, a następnie zmniejszany o ”.

Tę regułę udowodnimy później (prawie na samym końcu). Teraz spójrzmy na kilka przykładów. Znajdź pochodną funkcji:

1. (na dwa sposoby: według wzoru i korzystając z definicji pochodnej - obliczając przyrost funkcji);

Funkcje trygonometryczne.

Tutaj wykorzystamy jeden fakt z wyższej matematyki:

Z ekspresją.

Dowód nauczysz się na pierwszym roku instytutu (a żeby się tam dostać, musisz dobrze zdać Unified State Exam). Teraz pokażę to graficznie:

Widzimy, że gdy funkcja nie istnieje – punkt na wykresie zostaje wycięty. Ale im bliżej wartości, tym bliżej jest funkcja. To jest jej „cel”.

Dodatkowo możesz sprawdzić tę regułę za pomocą kalkulatora. Tak, tak, nie wstydź się, weź kalkulator, nie jesteśmy jeszcze na egzaminie Unified State Exam.

Więc spróbujmy: ;

Nie zapomnij przełączyć kalkulatora w tryb radianów!

itp. Widzimy, że im mniejsza, tym bliższa jest wartość stosunku do.

a) Rozważmy funkcję. Jak zwykle, znajdźmy jego przyrost:

Zamieńmy różnicę sinusów na iloczyn. Aby to zrobić, używamy wzoru (pamiętaj temat „”): .

Teraz pochodna:

Dokonajmy zamiany: . Wtedy dla nieskończenie małego jest to również nieskończenie małe: . Wyrażenie for ma postać:

A teraz pamiętamy to z wyrażeniem. A także, co się stanie, jeśli w sumie można pominąć nieskończenie małą ilość (to znaczy at).

Otrzymujemy więc następującą regułę: pochodna sinusa jest równa cosinusowi:

Są to podstawowe („tabelaryczne”) instrumenty pochodne. Oto one na jednej liście:

Później dodamy do nich jeszcze kilka, ale te są najważniejsze, ponieważ są najczęściej używane.

Ćwiczyć:

1. Znajdź pochodną funkcji w punkcie;
2. Znajdź pochodną funkcji.

Rozwiązania:

Wykładnik i logarytm naturalny.

W matematyce istnieje funkcja, której pochodna dla dowolnej wartości jest jednocześnie równa wartości samej funkcji. Nazywa się to „wykładnikiem” i jest funkcją wykładniczą

Podstawą tej funkcji - stałą - jest nieskończony ułamek dziesiętny, czyli liczba niewymierna (taka jak). Nazywa się ją „liczbą Eulera” i dlatego jest oznaczona literą.

Zatem zasada:

Bardzo łatwe do zapamiętania.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

1. Znajdź pochodną funkcji.
2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne na dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

1. w pewnym momencie;
2. w pewnym momencie;
3. w pewnym momencie;
4. w tym punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

1. Znajdź pochodne funkcji i;
2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

W tym celu zastosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się w Unified State Examination, ale ich znajomość nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla pierwszego przykładu .

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...

Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule -
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - Kup podręcznik - 499 RUR

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!

Prosta y=3x+2 jest styczna do wykresu funkcji y=-12x^2+bx-10. Znajdź b, biorąc pod uwagę, że odcięta punktu stycznego jest mniejsza od zera.

Rozwiązanie

Niech x_0 będzie odciętą punktu na wykresie funkcji y=-12x^2+bx-10, przez który przechodzi styczna do tego wykresu.

Wartość pochodnej w punkcie x_0 jest równa nachyleniu stycznej, czyli y"(x_0)=-24x_0+b=3. Natomiast punkt styczności należy jednocześnie do obu wykresu funkcja i tangens, czyli -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Otrzymujemy układ równań \begin(przypadki) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(przypadki)

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1. Zgodnie z warunkiem odciętej punkty styczne są mniejsze od zera, zatem x_0=-1, wówczas b=3+24x_0=-21.

Odpowiedź

Stan

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) (która jest linią łamaną złożoną z trzech prostych odcinków). Korzystając z rysunku, oblicz F(9)-F(5), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x).

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem Newtona-Leibniza różnica F(9)-F(5), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x), jest równa polu ograniczonego trapezu krzywoliniowego poprzez wykres funkcji y=f(x), proste y=0 , x=9 i x=5. Z wykresu stwierdzamy, że wskazany zakrzywiony trapez jest trapezem o podstawach równych 4 i 3 oraz wysokości 3.

Jego pole jest równe \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Stan

Rysunek przedstawia wykres y=f"(x) - pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-4; 10). Znajdź przedziały malejącej funkcji f(x). W swojej odpowiedzi: wskaż długość największego z nich.

Rozwiązanie

Jak wiadomo, funkcja f(x) maleje na tych przedziałach, w każdym punkcie, w którym pochodna f”(x) jest mniejsza od zera. Biorąc pod uwagę konieczność znalezienia długości największego z nich, wyznaczamy trzy takie przedziały naturalnie odróżnione od figury: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Długość największego z nich - (5; 9) wynosi 4.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Stan

Rysunek przedstawia wykres y=f"(x) - pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-8; 7). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x) należących do przedział [-6; -2].

Rozwiązanie

Z wykresu wynika, że ​​pochodna f”(x) funkcji f(x) zmienia znak z plusa na minus (w takich punktach będzie maksimum) dokładnie w jednym punkcie (pomiędzy -5 a -4) z przedziału [ -6; -2 ] Zatem na przedziale [-6; -2] znajduje się dokładnie jeden punkt maksymalny.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Stan

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), określonej na przedziale (-2; 8). Wyznacz liczbę punktów, w których pochodna funkcji f(x) jest równa 0.

Rozwiązanie

Równość pochodnej w punkcie do zera oznacza, że ​​styczna do wykresu funkcji narysowanej w tym punkcie jest równoległa do osi Ox. Znajdujemy zatem punkty, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi Wółu. Na tym wykresie takie punkty są punktami ekstremalnymi (punktami maksymalnymi lub minimalnymi). Jak widać, istnieje 5 punktów ekstremalnych.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Stan

Prosta y=-3x+4 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7. Znajdź odciętą punktu stycznego.

Rozwiązanie

Współczynnik kątowy prostej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7 w dowolnym punkcie x_0 jest równy y"(x_0). Ale y"=-2x+5, co oznacza y" (x_0)=-2x_0+5.Kątowy współczynnik linii y=-3x+4 określony w warunku jest równy -3.Proste równoległe mają takie same współczynniki nachylenia.Dlatego znajdujemy wartość x_0 taką, że =- 2x_0 +5=-3.

Otrzymujemy: x_0 = 4.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Stan

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), a na odciętej zaznaczono punkty -6, -1, 1, 4. W którym z tych punktów pochodna jest najmniejsza? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.