Spoločný násobok čísel. Ako nájsť najmenší spoločný násobok dvoch čísel

Matematické výrazy a úlohy si vyžadujú množstvo ďalších vedomostí. NOC je jedným z hlavných, ktorý sa často používa v téme, ktorá sa študuje na strednej škole a nie je zvlášť náročná na pochopenie látky, človek, ktorý pozná mocniny a násobilku, nebude mať problém identifikovať potrebné čísla a objaviť výsledok.

Definícia

Spoločný násobok je číslo, ktoré možno úplne rozdeliť na dve čísla súčasne (a a b). Najčastejšie sa toto číslo získa vynásobením pôvodných čísel a a b. Číslo musí byť deliteľné oboma číslami naraz, bez odchýlok.

NOC je krátky názov pre označenie, ktorý sa zbiera z prvých písmen.

Spôsoby, ako získať číslo

Metóda násobenia čísel nie je vždy vhodná na nájdenie LCM, oveľa lepšie sa hodí pre jednoduché jednociferné alebo dvojciferné čísla. Zvykom je rozdelenie na faktory, čím väčšie číslo, tým viac faktorov bude.

Príklad č. 1

Pre najjednoduchší príklad školy zvyčajne používajú prvočísla, jedno- alebo dvojciferné čísla. Napríklad musíte vyriešiť nasledujúcu úlohu, nájsť najmenší spoločný násobok čísel 7 a 3, riešenie je celkom jednoduché, stačí ich vynásobiť. Výsledkom je číslo 21, menšie číslo jednoducho neexistuje.

Príklad č.2

Druhá verzia úlohy je oveľa náročnejšia. Uvádzajú sa čísla 300 a 1260, zistenie LOC je povinné. Na vyriešenie problému sa predpokladajú nasledujúce akcie:

Rozklad prvého a druhého čísla na jednoduché faktory. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prvá etapa je dokončená.

Druhá fáza zahŕňa prácu s už získanými údajmi. Každé z prijatých čísel sa musí podieľať na výpočte konečného výsledku. Pre každý faktor sa z pôvodných čísel berie najväčší počet výskytov. LCM je všeobecné číslo, preto sa v ňom musia opakovať faktory čísel, každý jeden, aj tie, ktoré sú prítomné v jednom exemplári. Obidve počiatočné čísla obsahujú čísla 2, 3 a 5 v rôznych mocninách, 7 je prítomná iba v jednom prípade.

Ak chcete vypočítať konečný výsledok, musíte do rovnice vziať každé číslo s najväčšou mocninou. Zostáva len násobiť a dostať odpoveď, ak je úloha vyplnená správne, zapadá do dvoch krokov bez vysvetlenia:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

To je celý problém, ak sa pokúsite vypočítať požadované číslo vynásobením, odpoveď určite nebude správna, pretože 300 * 1260 = 378 000.

Vyšetrenie:

6300 / 300 = 21 - správne;

6300 / 1260 = 5 - správne.

Správnosť získaného výsledku sa zistí kontrolou - vydelením LCM oboma pôvodnými číslami, ak je číslo v oboch prípadoch celé číslo, potom je odpoveď správna.

Čo znamená NOC v matematike?

Ako viete, v matematike neexistuje jediná zbytočná funkcia, táto nie je výnimkou. Najbežnejším účelom tohto čísla je zredukovať zlomky na spoločného menovateľa. Čo sa zvyčajne študuje v 5. – 6. ročníku strednej školy. Je to tiež spoločný deliteľ pre všetky násobky, ak sú takéto podmienky v probléme prítomné. Takýto výraz môže nájsť násobok nielen dvoch čísel, ale aj oveľa väčšieho čísla - tri, päť atď. Čím viac čísel, tým viac akcií v úlohe, no náročnosť sa nezvyšuje.

Napríklad pri číslach 250, 600 a 1500 musíte nájsť ich spoločné LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - tento príklad podrobne popisuje faktorizáciu bez redukcie.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Pre zostavenie výrazu je potrebné uviesť všetky faktory, v tomto prípade sú uvedené 2, 5, 3 - pre všetky tieto čísla je potrebné určiť maximálny stupeň.

Pozor: všetky faktory musia byť dovedené do bodu úplného zjednodušenia, ak je to možné, rozložené na úroveň jednotlivých číslic.

Vyšetrenie:

1) 3000 / 250 = 12 - správne;

2) 3000 / 600 = 5 - pravda;

3) 3000 / 1500 = 2 - správne.

Táto metóda nevyžaduje žiadne triky ani schopnosti na úrovni génia, všetko je jednoduché a prehľadné.

Inač

V matematike je veľa vecí spojených, veľa vecí sa dá vyriešiť dvoma alebo viacerými spôsobmi, to isté platí aj o hľadaní najmenšieho spoločného násobku, LCM. V prípade jednoduchých dvojciferných a jednociferných čísel možno použiť nasledujúci spôsob. Zostaví sa tabuľka, do ktorej sa zapíše násobiteľ vertikálne, násobiteľ horizontálne a v pretínajúcich sa bunkách stĺpca sa uvedie súčin. Tabuľku môžete zobraziť pomocou čiary, vziať číslo a zapísať výsledky vynásobenia tohto čísla celými číslami, od 1 do nekonečna, niekedy stačí 3-5 bodov, druhé a ďalšie čísla prechádzajú rovnakým výpočtovým procesom. Všetko sa deje, kým sa nenájde spoločný násobok.

Vzhľadom na čísla 30, 35, 42 musíte nájsť LCM spájajúce všetky čísla:

1) Násobky 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 atď.

2) Násobky 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 atď.

3) Násobky 42: 84, 126, 168, 210, 252 atď.

Je zrejmé, že všetky čísla sú dosť odlišné, jediné spoločné číslo medzi nimi je 210, takže to bude NOC. Medzi procesmi zahrnutými do tohto výpočtu je aj najväčší spoločný deliteľ, ktorý sa počíta podľa podobných princípov a často sa vyskytuje v susedných problémoch. Rozdiel je malý, ale dosť významný, LCM zahŕňa výpočet čísla, ktoré je delené všetkými danými počiatočnými hodnotami a GCD zahŕňa výpočet najväčšej hodnoty, ktorou sú pôvodné čísla delené.

Začnime študovať najmenší spoločný násobok dvoch alebo viacerých čísel. V tejto časti definujeme pojem, zvážime vetu, ktorá stanovuje spojenie medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom, a uvedieme príklady riešenia problémov.

Spoločné násobky – definícia, príklady

V tejto téme nás budú zaujímať len spoločné násobky celých čísel okrem nuly.

Definícia 1

Spoločný násobok celých čísel je celé číslo, ktoré je násobkom všetkých daných čísel. V skutočnosti je to akékoľvek celé číslo, ktoré možno deliť ktorýmkoľvek z daných čísel.

Definícia spoločných násobkov sa týka dvoch, troch alebo viacerých celých čísel.

Príklad 1

Podľa vyššie uvedenej definície sú spoločné násobky čísla 12 3 a 2. Tiež číslo 12 bude spoločným násobkom čísel 2, 3 a 4. Čísla 12 a -12 sú spoločné násobky čísel ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Spoločným násobkom čísel 2 a 3 budú zároveň čísla 12, 6, − 24, 72, 468, − 100 010 004 a celý rad ďalších.

Ak vezmeme čísla, ktoré sú deliteľné prvým číslom dvojice a nie sú deliteľné druhým, potom takéto čísla nebudú spoločnými násobkami. Pre čísla 2 a 3 teda čísla 16, − 27, 5009, 27001 nebudú spoločné násobky.

0 je spoločný násobok ľubovoľnej množiny celých čísel iných ako nula.

Ak si pripomenieme vlastnosť deliteľnosti vzhľadom na opačné čísla, ukáže sa, že nejaké celé číslo k bude spoločným násobkom týchto čísel, rovnako ako číslo - k. To znamená, že spoločné deliče môžu byť kladné alebo záporné.

Je možné nájsť LCM pre všetky čísla?

Spoločný násobok možno nájsť pre akékoľvek celé číslo.

Príklad 2

Predpokladajme, že sme dané k celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. Číslo, ktoré dostaneme pri násobení čísel a 1 · a 2 · … · a k podľa vlastnosti deliteľnosti sa rozdelí na každý z faktorov, ktoré boli zahrnuté v pôvodnom produkte. To znamená, že súčin čísel a 1 , a 2 , ... , k je najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Koľko spoločných násobkov môžu mať tieto celé čísla?

Skupina celých čísel môže mať veľký počet spoločných násobkov. V skutočnosti je ich počet nekonečný.

Príklad 3

Predpokladajme, že máme nejaké číslo k. Potom súčin čísel k · z, kde z je celé číslo, bude spoločným násobkom čísel k a z. Vzhľadom na to, že počet čísel je nekonečný, počet spoločných násobkov je nekonečný.

Najmenší spoločný násobok (LCM) – definícia, zápis a príklady

Spomeňte si na koncept najmenšieho čísla z danej množiny čísel, o ktorom sme hovorili v časti „Porovnávanie celých čísel“. Berúc do úvahy tento pojem, formulujeme definíciu najmenšieho spoločného násobku, ktorý má spomedzi všetkých spoločných násobkov najväčší praktický význam.

Definícia 2

Najmenší spoločný násobok daných celých čísel je najmenší kladný spoločný násobok týchto čísel.

Pre ľubovoľný počet daných čísel existuje najmenší spoločný násobok. Najbežnejšie používaná skratka pre pojem v referenčnej literatúre je NOC. Krátky zápis najmenšieho spoločného násobku čísel a 1 , a 2 , ... , k bude mať tvar LOC (a 1, a 2, …, a k).

Príklad 4

Najmenší spoločný násobok 6 a 7 je 42. Tie. LCM(6,7) = 42. Najmenší spoločný násobok štyroch čísel 2, 12, 15 a 3 je 60. Krátky zápis bude vyzerať ako LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Najmenší spoločný násobok nie je zrejmý pre všetky skupiny daných čísel. Často sa to musí počítať.

Vzťah medzi NOC a GCD

Najmenší spoločný násobok a najväčší spoločný deliteľ spolu súvisia. Vzťah medzi pojmami je stanovený teorémom.

Veta 1

Najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel aab sa rovná súčinu aab deleného najväčším spoločným deliteľom aab, teda LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Dôkaz 1

Predpokladajme, že máme nejaké číslo M, ktoré je násobkom čísel a a b. Ak je číslo M deliteľné a, existuje aj nejaké celé číslo z , za ktorých platí rovnosť M = k. Podľa definície deliteľnosti, ak M je deliteľné b, tak potom a · k deleno b.

Ak zavedieme nový zápis pre gcd (a, b) ako d, potom môžeme použiť rovnosti a = a 1 d a b = b1.d. V tomto prípade budú obe rovnosti relatívne prvočísla.

Uviedli sme to už vyššie a · k deleno b. Teraz je možné túto podmienku zapísať takto:
a 1 d k deleno b 1 d, čo je ekvivalent podmienky a 1 k deleno b 1 podľa vlastností deliteľnosti.

Podľa vlastnosti prvočísel, ak 1 A b 1- coprime čísla, 1 nedeliteľné b 1 Napriek tomu, že a 1 k deleno b 1, To b 1 musia byť zdieľané k.

V tomto prípade by bolo vhodné predpokladať, že existuje číslo t, pre ktoré k = b 1 t a odvtedy b1 = b: d, To k = b: d t.

Teraz namiesto toho k dosadíme do rovnosti M = k vyjadrenie formy b: d t. To nám umožňuje dosiahnuť rovnosť M = a b: d t. O t = 1 môžeme získať najmenší kladný spoločný násobok a a b , rovný a b: d za predpokladu, že čísla a a b pozitívne.

Tak sme dokázali, že LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Vytvorenie spojenia medzi LCM a GCD vám umožní nájsť najmenší spoločný násobok cez najväčšieho spoločného deliteľa dvoch alebo viacerých daných čísel.

Definícia 3

Veta má dva dôležité dôsledky:

• násobky najmenšieho spoločného násobku dvoch čísel sú rovnaké ako spoločné násobky týchto dvoch čísel;
• najmenší spoločný násobok vzájomne prvočíselných kladných čísel aab sa rovná ich súčinu.

Podložiť tieto dve skutočnosti nie je ťažké. Akýkoľvek spoločný násobok M čísel aab je definovaný rovnosťou M = LCM (a, b) · t pre nejakú celočíselnú hodnotu t. Keďže a a b sú relatívne prvočísla, potom gcd (a, b) = 1, teda gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel

Aby sme našli najmenší spoločný násobok viacerých čísel, je potrebné postupne nájsť LCM dvoch čísel.

Veta 2

Predstierajme to a 1 , a 2 , ... , k sú nejaké kladné celé čísla. Na výpočet LCM m k tieto čísla musíme postupne vypočítať m2 = LCM(a1, a2), m3= NOC(m 2, a 3), …, m k = NOC(mk-1, ak).

Dôkaz 2

Prvý dôsledok z prvej vety diskutovanej v tejto téme nám pomôže dokázať platnosť druhej vety. Úvaha je založená na nasledujúcom algoritme:

• spoločné násobky čísel 1 A a 2 sa zhodujú s násobkami ich LCM, v skutočnosti sa zhodujú s násobkami čísla m 2;
• spoločné násobky čísel 1, a 2 A a 3 m 2 A a 3 m 3;
• spoločné násobky čísel a 1 , a 2 , ... , k sa zhodujú so spoločnými násobkami čísel m k - 1 A a k, sa teda zhodujú s násobkami čísla m k;
• z dôvodu, že najmenší kladný násobok čísla m k je samotné číslo m k, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 , a 2 , ... , k je m k.

Takto sme dokázali vetu.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Žiaci stredných škôl sa v šiestom ročníku stretávajú s pojmami najväčší spoločný deliteľ (GCD) a najmenší spoločný násobok (LCM). Túto tému je vždy ťažké pochopiť. Deti si tieto pojmy často pletú a nechápu, prečo ich treba študovať. V poslednej dobe sa v populárno-náučnej literatúre vyskytujú ojedinelé tvrdenia, že tento materiál by mal byť vylúčený zo školských osnov. Myslím si, že to nie je celkom pravda a je potrebné to študovať ak nie na hodine, tak v mimoškolských hodinách počas vyučovania školských zložiek, keďže prispieva k rozvoju logického myslenia u školákov, zvyšuje rýchlosť výpočtových operácií, a schopnosť riešiť problémy pomocou krásnych metód.

V Sčítaní a odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi učíme deti nájsť spoločného menovateľa dvoch alebo viacerých čísel. Napríklad musíte pridať zlomky 1/3 a 1/5. Žiaci ľahko nájdu číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné 3 a 5. Toto číslo je 15. V skutočnosti, ak sú čísla malé, ich spoločný menovateľ sa dá ľahko nájsť, ak dobre poznáte násobilku. Jedno z detí si všimne, že toto číslo je súčinom čísel 3 a 5. Deti majú názor, že takto sa vždy dá nájsť spoločný menovateľ pre čísla. Napríklad odčítajte zlomky 7/18 a 5/24. Nájdite súčin čísel 18 a 24. Rovná sa 432. Dostali sme už veľké číslo a ak je potrebné vykonať ďalšie výpočty (najmä pre príklady pre všetky akcie), pravdepodobnosť chyby sa zvyšuje. Ale nájdený najmenší spoločný násobok čísel (LCM), ktorý je v tomto prípade ekvivalentom najmenšieho spoločného menovateľa (LCD) - číslu 72 - výrazne uľahčí výpočty a povedie k rýchlejšiemu riešeniu príkladu, a tým ušetrí čas vyhradený na splnenie tejto úlohy, ktorý zohráva dôležitú úlohu pri vykonávaní záverečných testov a skúšok, najmä pri záverečnej certifikácii.

Pri štúdiu témy „Zmenšovanie zlomkov“ sa môžete pohybovať postupne vydelením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým prirodzeným číslom pomocou znakov deliteľnosti čísel, čím nakoniec získate neredukovateľný zlomok. Napríklad musíte znížiť zlomok 128/344. Najprv vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku číslom 2, dostaneme zlomok 64/172. Ešte raz vydelíme čitateľa a menovateľa výsledného zlomku 2, dostaneme zlomok 32/86. Čitateľa a menovateľa zlomku opäť vydelíme 2, dostaneme nezredukovateľný zlomok 16/43. Zmenšenie zlomku sa však dá urobiť oveľa jednoduchšie, ak nájdeme najväčšieho spoločného deliteľa čísel 128 a 344. GCD(128, 344) = 8. Vydelením čitateľa a menovateľa zlomku týmto číslom okamžite dostaneme nezredukovateľný zlomok .

Musíme deťom ukázať rôzne spôsoby, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) a najmenšieho spoločného násobku (LCD) čísel. V jednoduchých prípadoch je vhodné nájsť najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) a najmenšieho spoločného násobku (LCD) čísel jednoduchým spočítaním. Keď sa čísla zväčšia, môžete použiť rozklad na prvočíslo. Učebnica šiesteho ročníka (autor N.Ya. Vilenkin) ukazuje nasledujúcu metódu hľadania najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) čísel. Rozpočítajme čísla do hlavných faktorov:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Potom z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel vyčiarkneme tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla. Súčin zostávajúcich faktorov bude najväčším spoločným deliteľom týchto čísel. V tomto prípade ide o číslo 8. Z vlastnej skúsenosti som presvedčený, že pre deti je jasnejšie, ak pri rozkladoch čísel podčiarkneme tie isté faktory a potom v jednom z rozkladov nájdeme súčin tzv. podčiarknuté faktory. Toto je najväčší spoločný deliteľ týchto čísel. V šiestom ročníku sú deti aktívne a zvedavé. Môžete im zadať nasledujúcu úlohu: pokúste sa pomocou opísanej metódy nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 343 a 287. Nie je hneď jasné, ako ich rozdeliť na prvočiniteľa. A tu im môžete povedať o úžasnej metóde vynájdenej starými Grékmi, ktorá vám umožňuje hľadať najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) bez toho, aby ste ho započítali do hlavných faktorov. Tento spôsob hľadania najväčšieho spoločného deliteľa bol prvýkrát opísaný v Euklidovej knihe Elements. Nazýva sa to Euklidovský algoritmus. Pozostáva z nasledovného: Najprv vydeľte väčšie číslo menším. Ak získate zvyšok, vydeľte menšie číslo zvyškom. Ak opäť získate zvyšok, vydeľte prvý zvyšok druhým. Pokračujte v delení, kým zvyšok nebude nula. Posledný deliteľ je najväčší spoločný deliteľ (GCD) týchto čísel.

Vráťme sa k nášmu príkladu a pre názornosť napíšme riešenie vo forme tabuľky.

Takže gcd(344,287) = 7

Ako nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) rovnakých čísel? Existuje na to nejaký spôsob, ktorý nevyžaduje predchádzajúci rozklad týchto čísel na prvočíselné faktory? Ukázalo sa, že existuje a je to veľmi jednoduché. Tieto čísla musíme vynásobiť a súčin vydeliť najväčším spoločným deliteľom (GCD), ktorý sme našli. V tomto príklade je súčin čísel 98441. Vydeľte ho číslom 7 a dostanete číslo 14063. LCM(343,287) = 14063.

Jednou z ťažkých tém matematiky je riešenie slovných úloh. Musíme študentom ukázať, ako sa dajú použiť pojmy Najväčší spoločný deliteľ (GCD) a Najmenší spoločný násobok (LCM) na riešenie problémov, ktoré je niekedy ťažké vyriešiť bežným spôsobom. Tu je vhodné spolu s úlohami, ktoré navrhli autori školskej učebnice, uvažovať so študentmi o starodávnych a zábavných úlohách, ktoré rozvíjajú zvedavosť detí a zvyšujú záujem o štúdium tejto témy. Šikovné zvládnutie týchto pojmov umožňuje študentom vidieť krásne riešenie neštandardného problému. A ak sa nálada dieťaťa po vyriešení dobrého problému zvýši, je to znak úspešnej práce.

Štúdium takých pojmov ako „najväčší spoločný deliteľ (GCD)“ a „najmenší spoločný násobok (LCD)“ čísel

Umožňuje vám ušetriť čas vyhradený na dokončenie práce, čo vedie k výraznému zvýšeniu objemu dokončených úloh;

Zvyšuje rýchlosť a presnosť vykonávania aritmetických operácií, čo vedie k výraznému zníženiu počtu výpočtových chýb;

Umožňuje vám nájsť krásne spôsoby riešenia neštandardných textových problémov;

Rozvíja zvedavosť žiakov, rozširuje ich obzory;

Vytvára predpoklady pre výchovu všestrannej tvorivej osobnosti.

Najväčšie prirodzené číslo, ktorým sa čísla a a b bezo zvyšku delia, sa nazýva najväčší spoločný deliteľ tieto čísla. Označte GCD(a, b).

Uvažujme o nájdení GCD pomocou príkladu dvoch prirodzených čísel 18 a 60:

324 , 111 A 432

Rozpočítajme čísla do hlavných faktorov:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Prečiarknutím z prvého čísla, ktorého faktory nie sú v druhom a treťom čísle, dostaneme:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Výsledkom je, že GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Nájdenie GCD pomocou euklidovského algoritmu

Druhým spôsobom, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa, je použitie Euklidovský algoritmus. Euklidovský algoritmus je najefektívnejší spôsob hľadania GCD, pomocou neho musíte neustále nájsť zvyšok deliacich čísel a aplikovať rekurentný vzorec.

Vzorec opakovania pre GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), kde a mod b je zvyšok a delený b.

Euklidov algoritmus

Príklad Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 7920 A 594

Poďme nájsť GCD( 7920 , 594 ) pomocou euklidovského algoritmu vypočítame zvyšok delenia pomocou kalkulačky.

• 7920 mod 594 = 7920 – 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

V dôsledku toho dostaneme GCD( 7920 , 594 ) = 198

Najmenší spoločný násobok

Aby ste našli spoločného menovateľa pri sčítaní a odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi, musíte vedieť a vedieť vypočítať najmenší spoločný násobok(NOK).

Násobok čísla „a“ je číslo, ktoré je samo deliteľné číslom „a“ bezo zvyšku.

Čísla, ktoré sú násobkami 8 (to znamená, že tieto čísla sú bezo zvyšku deliteľné 8): sú to čísla 16, 24, 32...

Násobky 9: 18, 27, 36, 45…

Existuje nekonečne veľa násobkov daného čísla a, na rozdiel od deliteľov toho istého čísla. Existuje konečný počet deliteľov.

Spoločný násobok dvoch prirodzených čísel je číslo, ktoré je deliteľné oboma týmito číslami..

Najmenší spoločný násobok(LCM) dvoch alebo viacerých prirodzených čísel je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je samo deliteľné každým z týchto čísel.

Ako nájsť NOC

LCM je možné nájsť a zapísať dvoma spôsobmi.

Prvý spôsob, ako nájsť LOC

Táto metóda sa zvyčajne používa pre malé čísla.

1. Násobky pre každé číslo zapisujeme na riadok, kým nenájdeme násobok, ktorý je pre obe čísla rovnaký.
2. Násobok čísla „a“ sa označuje veľkým písmenom „K“.

Príklad. Nájdite LCM 6 a 8.

Druhý spôsob, ako nájsť LOC

Táto metóda je vhodná na nájdenie LCM pre tri alebo viac čísel.

Počet rovnakých faktorov v rozkladoch čísel môže byť rôzny.

Nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM) môžete formalizovať aj takto. Poďme nájsť LOC (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

Ako vidíme z rozkladu čísel, do rozkladu 24 (najväčšieho z čísel) sú zahrnuté všetky faktory 12, takže do LCM pripočítame len jednu 2 z rozkladu čísla 16.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Odpoveď: LCM (12, 16, 24) = 48

Špeciálne prípady nájdenia NOC

Napríklad LCM (60, 15) = 60
Keďže prvočísla nemajú žiadne spoločné prvočísla, ich najmenší spoločný násobok sa rovná súčinu týchto čísel.

Na našej webovej stránke môžete tiež použiť špeciálnu kalkulačku na vyhľadanie najmenej spoločného násobku online na kontrolu vašich výpočtov.

Ak je prirodzené číslo deliteľné iba 1 a samo sebou, potom sa nazýva prvočíslo.

Akékoľvek prirodzené číslo je vždy deliteľné 1 a samo sebou.

Číslo 2 je najmenšie prvočíslo. Toto je jediné párne prvočíslo, ostatné prvočísla sú nepárne.

Existuje veľa prvočísel a prvé z nich je číslo 2. Neexistuje však žiadne posledné prvočíslo. V časti „Na štúdium“ si môžete stiahnuť tabuľku prvočísel do 997.

Ale mnohé prirodzené čísla sú deliteľné aj inými prirodzenými číslami.

• číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;
• Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, ktorými je číslo deliteľné celkom (pre 12 sú to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú delitelia čísla.

Deliteľ prirodzeného čísla a je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo „a“ bezo zvyšku.

Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch deliteľov, sa nazýva zložené.

Upozorňujeme, že čísla 12 a 36 majú spoločné faktory. Tieto čísla sú: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12.

Spoločný deliteľ dvoch daných čísel „a“ a „b“ je číslo, ktorým sa obe dané čísla „a“ a „b“ bezo zvyšku delia.

Najväčší spoločný deliteľ(GCD) dvoch daných čísel „a“ a „b“ je najväčšie číslo, ktorým sú obe čísla „a“ a „b“ deliteľné bezo zvyšku.

Stručne povedané, najväčší spoločný deliteľ čísel „a“ a „b“ je napísaný takto::

Príklad: gcd (12; 36) = 12.

Deliče čísel v zázname riešenia sú označené veľkým písmenom „D“.

Čísla 7 a 9 majú iba jedného spoločného deliteľa - číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú coprime čísla.

Coprime čísla- sú to prirodzené čísla, ktoré majú len jedného spoločného deliteľa - číslo 1. Ich gcd je 1.

Ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa

Na nájdenie gcd dvoch alebo viacerých prirodzených čísel potrebujete:

• rozložiť deliteľa čísel na prvočísla;

Je vhodné písať výpočty pomocou zvislej čiary. Vľavo od riadku najskôr zapíšeme dividendu, vpravo deliteľ. Ďalej do ľavého stĺpca zapíšeme hodnoty kvocientov.

Poďme si to hneď vysvetliť na príklade. Rozložme čísla 28 a 64 na prvočísla.

V oboch číslach zdôrazňujeme rovnaké prvočísla.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Nájdite súčin rovnakých prvočiniteľov a zapíšte odpoveď;
GCD (28; 64) = 22 = 4

Odpoveď: GCD (28; 64) = 4

Umiestnenie GCD môžete formalizovať dvoma spôsobmi: v stĺpci (ako je uvedené vyššie) alebo „v rade“.

Prvý spôsob, ako napísať gcd

Nájdite gcd 48 a 36.

GCD (48; 36) = 223 = 12

Druhý spôsob zápisu gcd

Teraz si zapíšme riešenie pre vyhľadávanie GCD do riadku. Nájdite gcd 10 a 15.

Na našej informačnej stránke môžete na kontrolu svojich výpočtov použiť aj online pomocníka Najväčší spoločný deliteľ.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku, metódy, príklady hľadania LCM.

Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku s názvom LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady, spojenie medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM), pričom osobitnú pozornosť budeme venovať riešeniu príkladov. Najprv si ukážeme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel pomocou GCD týchto čísel. Ďalej sa pozrieme na nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.

Navigácia na stránke.

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) cez GCD

Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúce spojenie medzi LCM a GCD nám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Pozrime sa na príklady nájdenia LCM pomocou daného vzorca.

Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70.

V tomto príklade a=126, b=70. Využime spojenie medzi LCM a GCD, vyjadrené vzorcom LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme pomocou napísaného vzorca vypočítať LCM týchto čísel.

Nájdite GCD(126, 70) pomocou euklidovského algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, teda GCD(126, 70)=14.

Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Čomu sa rovná LCM(68, 34)?

Keďže 68 je deliteľné 34, potom GCD(68, 34)=34. Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla a a b: ak a je deliteľné b, potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na prvočísla

Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak poskladáte súčin zo všetkých prvočísel daných čísel a potom z tohto súčinu vylúčite všetky spoločné prvočísla prítomné v rozkladoch daných čísel, výsledný súčin sa bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku daných čísel .

Uvedené pravidlo pre nájdenie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Súčin čísel a a b sa skutočne rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na rozširovaní čísel a a b. Na druhej strane, GCD(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočiniteľov súčasne prítomných v expanziách čísel a a b (ako je popísané v časti o hľadaní GCD pomocou rozšírenia čísel na prvočísla).

Uveďme si príklad. Dajte nám vedieť, že 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. Zostavme súčin zo všetkých faktorov týchto expanzií: 2·3·3·5·5·5·7 . Teraz z tohto súčinu vylúčime všetky faktory prítomné v rozšírení čísla 75 aj rozšírení čísla 210 (tieto faktory sú 3 a 5), ​​potom bude súčin mať tvar 2·3·5·5·7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku čísel 75 a 210, teda LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Rozložte čísla 441 a 700 na prvočísla a nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Rozložme čísla 441 a 700 do prvočísel:

Dostaneme 441=3·3·7·7 a 700=2·2·5·5·7.

Teraz vytvorme súčin zo všetkých faktorov zahrnutých do rozšírenia týchto čísel: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Teda, LCM(441,700)=2,2,3,3,5,5,7,7, = 44,100.

NOC(441,700)= 44100.

Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak sa chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b pripočítajú k faktorom z rozšírenia čísla a, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b.

Vezmime si napríklad rovnaké čísla 75 a 210, ich rozklad na prvočiniteľ je nasledovný: 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. K faktorom 3, 5 a 5 z rozšírenia čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozšírenia čísla 210, dostaneme súčin 2·3·5·5·7, ktorého hodnota je sa rovná LCM(75, 210).

Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.

Najprv získame rozklady čísel 84 a 648 na prvočiniteľa. Vyzerajú ako 84=2·2·3·7 a 648=2·2·2·3·3·3·3. K faktorom 2, 2, 3 a 7 z rozšírenia čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2, 3, 3 a 3 z rozšírenia čísla 648, dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7, čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok 84 a 648 je teda 4 536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si zodpovedajúcu vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.

Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme postupným výpočtom m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a 3), …, mk = LCM(mk-1, ak).

Uvažujme o aplikácii tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.

Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.

Najprv nájdeme m2 = LCM(a 1, a 2) = LCM(140, 9) . Aby sme to dosiahli, pomocou euklidovského algoritmu určíme GCD(140, 9), máme 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, teda GCD(140,9)=1, z čoho LCM(140,9)=140.9:GCD(140,9)= 140.9:1=1260. To znamená, m2 = 1 260.

Teraz nájdeme m3 = LCM(m2, a3) = LCM(1 260, 54). Vypočítajme to pomocou GCD(1 260, 54), ktoré určíme aj pomocou euklidovského algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potom gcd(1,260, 54)=18, z čoho gcd(1,260,54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To znamená, m3 = 3 780.

Zostáva nájsť m4 = LCM(m3, a4) = LCM(3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3,780, 250) pomocou euklidovského algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Preto GCD(3,780, 250)=10, z čoho GCD(3,780,250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. To znamená, m4 = 94 500.

Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.

LCM(140, 9, 54, 250) = 94,500.

V mnohých prípadoch je vhodné nájsť najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pomocou prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade by ste mali dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým súčiniteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k výsledným faktorom atď.

Pozrime sa na príklad hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou prvočíselného rozkladu.

Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Najprv získame rozklady týchto čísel na prvočísla: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prvočíslo, zhoduje sa s jej rozkladom na prvočiniteľa) a 143=11·13.

Ak chcete nájsť LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2, 2, 3 a 7), musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6. Rozklad čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozklade prvého čísla 84. Ďalej k faktorom 2, 2, 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48, dostaneme množinu faktorov 2, 2, 2, 2, 3 a 7. V ďalšom kroku nebude potrebné do tejto sady pridávať násobiče, keďže 7 je v nej už obsiahnutá. Nakoniec k faktorom 2, 2, 2, 2, 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143. Dostaneme súčin 2·2·2·2·3·7·11·13, čo sa rovná 48 048.

Preto LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

LCM(84,6,48,7,143)=48,048.

Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel

Niekedy existujú úlohy, v ktorých musíte nájsť najmenší spoločný násobok čísel, medzi ktorými je jedno, niekoľko alebo všetky čísla záporné. V týchto prípadoch musia byť všetky záporné čísla nahradené ich opačnými číslami a potom sa musí nájsť LCM kladných čísel. Toto je spôsob, ako nájsť LCM záporných čísel. Napríklad LCM(54, -34) = LCM(54, 34) a LCM(-622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888).

Môžeme to urobiť, pretože množina násobkov a je rovnaká ako množina násobkov −a (a a −a sú opačné čísla). Vskutku, nech b je nejaký násobok a, potom b je deliteľné a a pojem deliteľnosti uvádza existenciu celého čísla q takého, že b=a·q. Ale bude platiť aj rovnosť b=(−a)·(−q), čo v dôsledku rovnakého konceptu deliteľnosti znamená, že b je deliteľné −a, čiže b je násobkom −a. Platí to aj naopak: ak b je nejaký násobok −a, potom b je tiež násobok a.

Nájdite najmenší spoločný násobok záporných čísel −145 a −45.

Nahraďte záporné čísla −145 a −45 ich opačnými číslami 145 a 45. Máme LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Po určení GCD(145, 45)=5 (napríklad pomocou euklidovského algoritmu) vypočítame GCM(145, 45)=145·45:GCD(145,45)= 145·45:5=1 305 . Najmenší spoločný násobok záporných celých čísel −145 a −45 je teda 1 305.

www.cleverstudents.ru

Pokračujeme v štúdiu divízie. V tejto lekcii sa pozrieme na pojmy ako napr GCD A NOC.

GCD je najväčší spoločný deliteľ.

NOC je najmenší spoločný násobok.

Téma je dosť nudná, ale určite ju musíte pochopiť. Bez pochopenia tejto témy nebudete vedieť efektívne pracovať so zlomkami, ktoré sú v matematike skutočnou prekážkou.

Najväčší spoločný deliteľ

Definícia. Najväčší spoločný deliteľ čísel a A b a A b rozdelené bezo zvyšku.

Aby sme túto definíciu dobre pochopili, nahraďme premenné a A b akékoľvek dve čísla, napríklad namiesto premennej a Dosadíme číslo 12 a namiesto premennej bčíslo 9. Teraz si skúsme prečítať túto definíciu:

Najväčší spoločný deliteľ čísel 12 A 9 sa nazýva najväčšie číslo, ktorým 12 A 9 rozdelené bezo zvyšku.

Z definície je zrejmé, že hovoríme o spoločnom deliteľovi čísel 12 a 9, pričom tento deliteľ je najväčší zo všetkých existujúcich deliteľov. Tento najväčší spoločný deliteľ (GCD) je potrebné nájsť.

Na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel sa používajú tri metódy. Prvá metóda je pomerne náročná na prácu, ale umožňuje vám jasne pochopiť podstatu témy a cítiť jej plný význam.

Druhá a tretia metóda sú pomerne jednoduché a umožňujú rýchlo nájsť GCD. Pozrieme sa na všetky tri spôsoby. A ktorý z nich použijete v praxi, je len na vás, ktorý si vyberiete.

Prvým spôsobom je nájsť všetkých možných deliteľov dvoch čísel a vybrať najväčšieho. Pozrime sa na túto metódu pomocou nasledujúceho príkladu: Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 12 a 9.

Najprv nájdeme všetkých možných deliteľov čísla 12. K tomu vydelíme 12 všetkými deliteľmi v rozsahu od 1 do 12. Ak nám deliteľ umožňuje deliť 12 bezo zvyšku, tak to zvýrazníme v modrá a v zátvorkách uveďte príslušné vysvetlenie.

12: 1 = 12
(12 je delené 1 bez zvyšku, čo znamená, že 1 je deliteľ čísla 12)

12: 2 = 6
(12 je delené 2 bez zvyšku, čo znamená, že 2 je deliteľ čísla 12)

12: 3 = 4
(12 je delené 3 bez zvyšku, čo znamená, že 3 je deliteľ čísla 12)

12: 4 = 3
(12 je delené 4 bez zvyšku, čo znamená, že 4 je deliteľ čísla 12)

12: 5 = 2 (2 zostávajú)
(12 nie je delené 5 bez zvyšku, čo znamená, že 5 nie je deliteľ čísla 12)

12: 6 = 2
(12 je delené 6 bez zvyšku, čo znamená, že 6 je deliteľ čísla 12)

12: 7 = 1 (5 zostávajúcich)
(12 nie je delené 7 bez zvyšku, čo znamená, že 7 nie je deliteľ čísla 12)

12: 8 = 1 (4 zostávajúce)
(12 nie je delené 8 bez zvyšku, čo znamená, že 8 nie je deliteľom 12)

12: 9 = 1 (3 zostávajúce)
(12 nie je delené 9 bez zvyšku, čo znamená, že 9 nie je deliteľ čísla 12)

12: 10 = 1 (2 zostávajúce)
(12 nie je delené 10 bez zvyšku, čo znamená, že 10 nie je deliteľ čísla 12)

12: 11 = 1 (1 zvyšok)
(12 nie je delené 11 bez zvyšku, čo znamená, že 11 nie je deliteľom 12)

12: 12 = 1
(12 je delené 12 bez zvyšku, čo znamená, že 12 je deliteľ čísla 12)

Teraz nájdime deliteľa čísla 9. Ak to chcete urobiť, skontrolujte všetkých deliteľov od 1 do 9

9: 1 = 9
(9 je delené 1 bez zvyšku, čo znamená, že 1 je deliteľ čísla 9)

9: 2 = 4 (1 zvyšok)
(9 sa nedelí 2 bez zvyšku, čo znamená, že 2 nie je deliteľom čísla 9)

9: 3 = 3
(9 je delené 3 bez zvyšku, čo znamená, že 3 je deliteľ čísla 9)

9: 4 = 2 (1 zvyšok)
(9 nie je delené 4 bez zvyšku, čo znamená, že 4 nie je deliteľom čísla 9)

9: 5 = 1 (4 zostávajúce)
(9 nie je delené 5 bez zvyšku, čo znamená, že 5 nie je deliteľ čísla 9)

9: 6 = 1 (3 zostávajúce)
(9 nie je delené 6 bez zvyšku, čo znamená, že 6 nie je deliteľom čísla 9)

9: 7 = 1 (2 zostávajúce)
(9 nie je delené 7 bez zvyšku, čo znamená, že 7 nie je deliteľom čísla 9)

9: 8 = 1 (1 zvyšok)
(9 sa nedelí 8 bez zvyšku, čo znamená, že 8 nie je deliteľom čísla 9)

9: 9 = 1
(9 je delené 9 bez zvyšku, čo znamená, že 9 je deliteľ čísla 9)

Teraz si zapíšme deliteľa oboch čísel. Čísla zvýraznené modrou farbou sú deliče. Zapíšme si ich:

Po zapísaní deliteľov môžete okamžite určiť, ktorý je najväčší a najbežnejší.

Podľa definície je najväčším spoločným deliteľom čísel 12 a 9 číslo, ktoré delí 12 a 9 bezo zvyšku. Najväčším a spoločným deliteľom čísel 12 a 9 je číslo 3

Číslo 12 aj číslo 9 sú bezo zvyšku deliteľné tromi:

Takže gcd (12 a 9) = 3

Druhý spôsob, ako nájsť GCD

Teraz sa pozrime na druhú metódu hľadania najväčšieho spoločného deliteľa. Podstatou tejto metódy je rozložiť obe čísla na prvočísla a vynásobiť tie spoločné.

Príklad 1. Nájdite gcd čísel 24 a 18

Najprv dajme obe čísla do hlavných faktorov:

Teraz znásobme ich spoločné faktory. Aby sa predišlo nejasnostiam, je možné zdôrazniť spoločné faktory.

Pozeráme sa na expanziu čísla 24. Jeho prvým faktorom je 2. Hľadáme rovnaký faktor pri expanzii čísla 18 a vidíme, že tam je tiež. Zdôrazňujeme obe dve:

Opäť sa pozrieme na expanziu čísla 24. Jeho druhý faktor je tiež 2. Hľadáme rovnaký faktor pri expanzii čísla 18 a vidíme, že po druhýkrát tam už nie je. Potom nič nezdôrazňujeme.

Ďalšie dve v rozšírení čísla 24 absentujú aj v rozšírení čísla 18.

Prejdime k poslednému faktoru rozšírenia čísla 24. Toto je faktor 3. Hľadáme rovnaký faktor pri expanzii čísla 18 a vidíme, že tam je tiež. Zdôrazňujeme obe trojky:

Spoločné faktory čísel 24 a 18 sú teda faktory 2 a 3. Ak chcete získať GCD, musíte tieto faktory vynásobiť:

Takže gcd (24 a 18) = 6

Tretí spôsob, ako nájsť GCD

Teraz sa pozrime na tretí spôsob, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa. Podstatou tejto metódy je, že čísla, ktoré sa majú nájsť pre najväčšieho spoločného deliteľa, sa rozložia na prvočísla. Potom sa z rozšírenia prvého čísla prečiarknu faktory, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla. Zostávajúce čísla v prvom rozšírení sa vynásobia a získajú sa GCD.

Napríklad nájdime GCD pre čísla 28 a 16 pomocou tejto metódy. Najprv tieto čísla rozložíme na hlavné faktory:

Máme dve rozšírenia: a

Teraz z rozkladu prvého čísla vymažeme faktory, ktoré nie sú zahrnuté v rozklade druhého čísla. Rozšírenie druhého čísla nezahŕňa sedem. Vyškrtnime to z prvého rozšírenia:

Teraz vynásobíme zostávajúce faktory a dostaneme GCD:

Číslo 4 je najväčším spoločným deliteľom čísel 28 a 16. Obe tieto čísla sú bezo zvyšku deliteľné 4:

Príklad 2 Nájdite gcd čísel 100 a 40

Zohľadnenie čísla 100

Zohľadnenie čísla 40

Máme dve rozšírenia:

Teraz z rozkladu prvého čísla vymažeme faktory, ktoré nie sú zahrnuté v rozklade druhého čísla. Rozšírenie druhého čísla nezahŕňa jednu päťku (je len jedna päťka). Preškrtnime to od prvého rozšírenia

Vynásobme zvyšné čísla:

Dostali sme odpoveď 20. To znamená, že číslo 20 je najväčším spoločným deliteľom čísel 100 a 40. Tieto dve čísla sú bezo zvyšku deliteľné 20:

GCD (100 a 40) = 20.

Príklad 3 Nájdite gcd čísel 72 a 128

Zohľadnenie čísla 72

Zohľadnenie čísla 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Teraz z rozkladu prvého čísla vymažeme faktory, ktoré nie sú zahrnuté v rozklade druhého čísla. Rozšírenie druhého čísla nezahŕňa dve trojičky (vôbec tam nie sú). Vyškrtnime ich z prvého rozšírenia:

Dostali sme odpoveď 8. To znamená, že číslo 8 je najväčším spoločným deliteľom čísel 72 a 128. Tieto dve čísla sú bezo zvyšku deliteľné 8:

GCD (72 a 128) = 8

Nájdenie GCD pre niekoľko čísel

Najväčší spoločný deliteľ možno nájsť pre niekoľko čísel, nielen pre dve. Na tento účel sa čísla, ktoré sa majú nájsť pre najväčšieho spoločného deliteľa, rozložia na prvočísla a potom sa nájde súčin spoločných prvočísel týchto čísel.

Napríklad nájdime GCD pre čísla 18, 24 a 36

Rozložme číslo 18 na faktor

Rozložme číslo 24 na faktor

Rozložme číslo 36 na faktor

Máme tri rozšírenia:

Teraz vyzdvihnime a podčiarknime spoločné faktory v týchto číslach. Spoločné faktory sa musia objaviť vo všetkých troch číslach:

Vidíme, že spoločné faktory pre čísla 18, 24 a 36 sú faktory 2 a 3. Vynásobením týchto faktorov dostaneme gcd, ktorý hľadáme:

Dostali sme odpoveď 6. To znamená, že číslo 6 je najväčším spoločným deliteľom čísel 18, 24 a 36. Tieto tri čísla sú bezo zvyšku deliteľné šiestimi:

GCD (18, 24 a 36) = 6

Príklad 2 Nájdite GCD pre čísla 12, 24, 36 a 42

Rozložme každé číslo na prvočísla. Potom nájdeme súčin spoločných faktorov týchto čísel.

Rozložme číslo 12 na faktor

Rozložme číslo 42 na faktor

Máme štyri rozšírenia:

Teraz vyzdvihnime a podčiarknime spoločné faktory v týchto číslach. Spoločné faktory sa musia objaviť vo všetkých štyroch číslach:

Vidíme, že spoločné faktory pre čísla 12, 24, 36 a 42 sú faktory 2 a 3. Vynásobením týchto faktorov dostaneme gcd, ktorý hľadáme:

Dostali sme odpoveď 6. To znamená, že číslo 6 je najväčším spoločným deliteľom čísel 12, 24, 36 a 42. Tieto čísla sú bezo zvyšku deliteľné šiestimi:

GCD (12, 24, 36 a 42) = 6

Z predchádzajúcej lekcie vieme, že ak sa číslo delí druhým bezo zvyšku, nazýva sa násobkom tohto čísla.

Ukazuje sa, že niekoľko čísel môže mať spoločný násobok. A teraz nás bude zaujímať násobok dvoch čísel a ten by mal byť čo najmenší.

Definícia. Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel a A b- a A b a a číslo b.

Definícia obsahuje dve premenné a A b. Namiesto týchto premenných dosaďte ľubovoľné dve čísla. Napríklad namiesto premennej a Dosadíme číslo 9 a namiesto premennej b Dosadíme číslo 12. Teraz si skúsme prečítať definíciu:

Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel 9 A 12 - je najmenšie číslo, ktoré je násobkom 9 A 12 . Inými slovami, ide o také malé číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné číslom 9 a podľa čísla 12 .

Z definície je zrejmé, že LCM je najmenšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné 9 a 12. Toto LCM je potrebné nájsť.

Na nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM) môžete použiť dve metódy. Prvý spôsob je, že si môžete zapísať prvé násobky dvoch čísel a potom si z týchto násobkov vybrať číslo, ktoré bude spoločné pre čísla aj malé. Aplikujme túto metódu.

Najprv nájdime prvé násobky čísla 9. Ak chcete nájsť násobky 9, musíte túto deviatku vynásobiť postupne číslami od 1 do 9. Výsledné odpovede budú násobky čísla 9. Takže, Poďme začať. Násobky zvýrazníme červenou farbou:

Teraz nájdeme násobky čísla 12. Aby sme to dosiahli, vynásobíme 12 postupne všetkými číslami 1 až 12.

Pokračujme v rozhovore o najmenšom spoločnom násobku, ktorý sme začali v časti „LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady“. V tejto téme sa pozrieme na spôsoby, ako nájsť LCM pre tri alebo viac čísel, a pozrieme sa na otázku, ako nájsť LCM záporného čísla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) cez GCD

Vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom sme už stanovili. Teraz sa naučíme, ako určiť LCM pomocou GCD. Po prvé, poďme zistiť, ako to urobiť pre kladné čísla.

Definícia 1

Najmenší spoločný násobok môžete nájsť pomocou najväčšieho spoločného deliteľa pomocou vzorca LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Príklad 1

Musíte nájsť LCM čísel 126 a 70.

Riešenie

Zoberme si a = 126, b = 70. Dosaďte hodnoty do vzorca na výpočet najmenšieho spoločného násobku cez najväčšieho spoločného deliteľa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Nájde gcd čísel 70 a 126. Na to potrebujeme euklidovský algoritmus: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, teda GCD (126 , 70) = 14 .

Vypočítajme LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odpoveď: LCM(126,70) = 630.

Príklad 2

Nájdite číslo 68 a 34.

Riešenie

GCD v tomto prípade nie je ťažké nájsť, pretože 68 je deliteľné 34. Vypočítajme najmenší spoločný násobok pomocou vzorca: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odpoveď: LCM(68,34) = 68.

V tomto príklade sme použili pravidlo na nájdenie najmenšieho spoločného násobku kladných celých čísel a a b: ak je prvé číslo deliteľné druhým, LCM týchto čísel sa bude rovnať prvému číslu.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na prvočísla

Teraz sa pozrime na metódu hľadania LCM, ktorá je založená na rozklade čísel na prvočiniteľa.

Definícia 2

Aby sme našli najmenší spoločný násobok, musíme vykonať niekoľko jednoduchých krokov:

• skladáme súčin všetkých prvočísel čísel, pre ktoré potrebujeme nájsť LCM;
• z ich výsledných produktov vylučujeme všetky hlavné faktory;
• produkt získaný po odstránení spoločných prvočísel sa bude rovnať LCM daných čísel.

Táto metóda hľadania najmenšieho spoločného násobku je založená na rovnosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ak sa pozriete na vzorec, bude jasné: súčin čísel a a b sa rovná súčinu všetkých faktorov, ktoré sa podieľajú na rozklade týchto dvoch čísel. V tomto prípade sa gcd dvoch čísel rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v rozkladoch týchto dvoch čísel.

Príklad 3

Máme dve čísla 75 a 210. Môžeme ich rozpočítať takto: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Ak poskladáte súčin všetkých faktorov dvoch pôvodných čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ak vylúčime faktory spoločné pre čísla 3 a 5, dostaneme súčin nasledujúceho tvaru: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pre čísla 75 a 210.

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 441 A 700 , pričom obe čísla sa rozdelia na prvočísla.

Riešenie

Nájdite všetky prvočísla čísel uvedených v podmienke:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dostaneme dva reťazce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7.

Súčin všetkých faktorov, ktoré sa podieľali na rozklade týchto čísel, bude mať tvar: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poďme nájsť spoločné faktory. Toto je číslo 7. Vylúčme to z celkového produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje sa, že NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odpoveď: LOC(441, 700) = 44 100.

Uveďme inú formuláciu metódy na nájdenie LCM rozkladom čísel na prvočiniteľa.

Definícia 3

Predtým sme z celkového počtu vylúčili faktory spoločné pre obe čísla. Teraz to urobíme inak:

• Zoberme obe čísla do prvočiniteľov:
• doplniť k súčinu prvočísel prvého čísla chýbajúce činitele druhého čísla;
• získame súčin, ktorým bude požadovaná LCM dvoch čísel.

Príklad 5

Vráťme sa k číslam 75 a 210, pre ktoré sme už LCM hľadali v jednom z predchádzajúcich príkladov. Rozdeľme ich na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Na súčin faktorov 3, 5 a 5 čísla 75 doplniť chýbajúce faktory 2 A 7 čísla 210. Dostaneme: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.

Príklad 6

Je potrebné vypočítať LCM čísel 84 a 648.

Riešenie

Rozložme čísla z podmienky do jednoduchých faktorov: 84 = 2 2 3 7 A 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pridajme k súčinu faktory 2, 2, 3 a 7 čísla 84 chýbajúce faktory 2, 3, 3 a
3 čísla 648. Dostaneme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Toto je najmenší spoločný násobok 84 a 648.

odpoveď: LCM(84,648) = 4,536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Bez ohľadu na to, s koľkými číslami máme čo do činenia, algoritmus našich akcií bude vždy rovnaký: postupne nájdeme LCM dvoch čísel. Pre tento prípad existuje veta.

Veta 1

Predpokladajme, že máme celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. NOC m k tieto čísla sa zistia postupným výpočtom m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Teraz sa pozrime na to, ako sa dá veta použiť na riešenie konkrétnych problémov.

Príklad 7

Musíte vypočítať najmenší spoločný násobok štyroch čísel 140, 9, 54 a 250 .

Riešenie

Zavedme zápis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Začnime výpočtom m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Aplikujme euklidovský algoritmus na výpočet GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Získame: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Preto m 2 = 1 260.

Teraz vypočítajme pomocou rovnakého algoritmu m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Pri výpočtoch dostaneme m 3 = 3 780.

Musíme len vypočítať m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Postupujeme podľa rovnakého algoritmu. Dostaneme m 4 = 94 500.

LCM štyroch čísel z príkladu podmienky je 94500.

odpoveď: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Ako vidíte, výpočty sú jednoduché, ale dosť náročné na prácu. Ak chcete ušetriť čas, môžete ísť iným spôsobom.

Definícia 4

Ponúkame vám nasledujúci algoritmus akcií:

• všetky čísla rozložíme na prvočiniteľa;
• k súčinu činiteľov prvého čísla pripočítame chýbajúce činitele súčinu druhého čísla;
• k produktu získanému v predchádzajúcej fáze pridáme chýbajúce faktory tretieho čísla atď.;
• výsledný súčin bude najmenší spoločný násobok všetkých čísel z podmienky.

Príklad 8

Musíte nájsť LCM piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Riešenie

Rozložme všetkých päť čísel na prvočísla: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prvočísla, čo je číslo 7, nemožno zahrnúť do prvočísel. Takéto čísla sa zhodujú s ich rozkladom na prvočísla.

Teraz zoberme súčin prvočiniteľov 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a pripočítajme k nim chýbajúce činitele druhého čísla. Rozložili sme číslo 6 na 2 a 3. Tieto faktory sú už v súčine prvého čísla. Preto ich vynechávame.

Pokračujeme v dopĺňaní chýbajúcich násobiteľov. Prejdime k číslu 48, z ktorého súčinu prvočiniteľov vezmeme 2 a 2. Potom pridáme prvočíslo 7 zo štvrtého čísla a faktory 11 a 13 z piateho. Získame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Ide o najmenší spoločný násobok pôvodných piatich čísel.

odpoveď: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel

Aby sme našli najmenší spoločný násobok záporných čísel, musia byť tieto čísla najskôr nahradené číslami s opačným znamienkom a potom je potrebné vykonať výpočty pomocou vyššie uvedených algoritmov.

Príklad 9

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) a LCM ( - 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takéto akcie sú prípustné vzhľadom na skutočnosť, že ak to prijmeme a A − a- opačné čísla,
potom množina násobkov čísla a sa zhoduje s množinou násobkov čísla − a.

Príklad 10

Je potrebné vypočítať LCM záporných čísel − 145 A − 45 .

Riešenie

Nahradíme čísla − 145 A − 45 na ich opačné čísla 145 A 45 . Teraz pomocou algoritmu vypočítame LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1 305, pričom sme predtým určili GCD pomocou euklidovského algoritmu.

Dostaneme, že LCM čísel je − 145 a − 45 rovná sa 1 305 .

odpoveď: LCM (- 145, - 45) = 1 305.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter