Ortogonálna projekčná plocha. Vývoj "Podrobného dôkazu vety o ortogonálnom premietaní mnohouholníka" (10. ročník)

Predstavte si lietadlo p a priamka, ktorá ju pretína . Nechaj A - ľubovoľný bod v priestore. Cez tento bod nakreslíme priamku , rovnobežne s čiarou . Nechaj . Bodka nazývaná projekcia bodu A do lietadla p s paralelným dizajnom pozdĺž danej priamky . Lietadlo p , na ktorú sa premietajú body priestoru sa nazýva premietacia rovina.

p - projekčná rovina;

- priamy dizajn; ;

; ; ;

Ortogonálny dizajn je špeciálny prípad paralelného dizajnu. Ortogonálny dizajn je paralelný dizajn, v ktorom je dizajnová čiara kolmá na projekčnú rovinu. Ortogonálny dizajn je široko používaný v technickom kreslení, kde sa postava premieta do troch rovín - horizontálnej a dvoch zvislých.

Definícia: Ortogonálne premietanie bodu M do lietadla p volal základňu M 1 kolmý MM 1, vypadol z pointy M do lietadla p.

Označenie: , , .

Definícia: Ortogonálne premietanie postavy F do lietadla p je množina všetkých bodov roviny, ktoré sú ortogonálnymi priemetmi množiny bodov obrazca F do lietadla p.

Ortogonálny dizajn, ako špeciálny prípad paralelného dizajnu, má rovnaké vlastnosti:

p - projekčná rovina;

- priamy dizajn; ;

1) ;

2) , .

1. Priemetne rovnobežných čiar sú rovnobežné.

PROJEKCIA PLOCHY PLOCHEJ POSTAVY

Veta: Plocha priemetu rovinného mnohouholníka na určitú rovinu sa rovná ploche premietnutého mnohouholníka vynásobenej kosínom uhla medzi rovinou mnohouholníka a rovinou premietania.

1. fáza: Premietnutý obrazec je trojuholník ABC, ktorého strana AC leží v premietacej rovine a (rovnobežnej s premietacou rovinou a).

Dané:

dokázať:

Dôkaz:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Podľa vety o troch odvesniciach;

ВD – výška; B 1 D – výška;

5. – lineárny uhol dihedrálneho uhla;

6. ; ; ; ;

2. fáza: Premietnutý obrazec je trojuholník ABC, ktorého žiadna zo strán neleží v premietacej rovine a a nie je s ňou rovnobežná.

Dané:

dokázať:

Dôkaz:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(1. fáza);

5. ; ; ;

(1. fáza);

Etapa: Navrhnutý obrazec je ľubovoľný mnohouholník.

Dôkaz:

Mnohouholník je rozdelený uhlopriečkami nakreslenými z jedného vrcholu na konečný počet trojuholníkov, pre každý z nich platí veta. Preto bude veta platiť aj pre súčet plôch všetkých trojuholníkov, ktorých roviny zvierajú s premietacou rovinou rovnaký uhol.

Komentujte: Dokázaná veta platí pre akýkoľvek rovinný útvar ohraničený uzavretou krivkou.

Cvičenia:

1. Nájdite plochu trojuholníka, ktorého rovina je naklonená k premietacej rovine pod uhlom, ak je jeho priemet pravidelný trojuholník so stranou a.

2. Nájdite plochu trojuholníka, ktorého rovina je naklonená k premietacej rovine pod uhlom, ak je jeho priemet rovnoramenný trojuholník so stranou 10 cm a základňou 12 cm.

3. Nájdite plochu trojuholníka, ktorého rovina je naklonená k premietacej rovine pod uhlom, ak je jeho priemet trojuholník so stranami 9, 10 a 17 cm.

4. Vypočítajte plochu lichobežníka, ktorého rovina je naklonená k premietacej rovine pod uhlom , ak je jeho priemetom rovnoramenný lichobežník, ktorého väčšia základňa je 44 cm, strana je 17 cm a uhlopriečka je 39 cm.

5. Vypočítajte premietaciu plochu pravidelného šesťuholníka so stranou 8 cm, ktorého rovina je naklonená k rovine premietania pod uhlom.

6. Kosoštvorec so stranou 12 cm a ostrým uhlom zviera uhol s danou rovinou. Vypočítajte plochu priemetu kosoštvorca na túto rovinu.

7. Kosoštvorec so stranou 20 cm a uhlopriečkou 32 cm zviera s danou rovinou uhol. Vypočítajte plochu priemetu kosoštvorca na túto rovinu.

8. Priemet vrchlíka na vodorovnú rovinu je obdĺžnik so stranami a . Nájdite plochu vrchlíka, ak sú bočné strany rovnaké obdĺžniky naklonené k vodorovnej rovine pod uhlom a stredná časť vrchlíka je štvorec rovnobežný s rovinou projekcie.

11. Cvičenia na tému „Priamky a roviny vo vesmíre“:

Strany trojuholníka sa rovnajú 20 cm, 65 cm, 75 cm Z vrcholu väčšieho uhla trojuholníka je k jeho rovine nakreslená kolmica rovnajúca sa 60 cm Nájdite vzdialenosť od koncov kolmice k väčšia strana trojuholníka.

2. Z bodu, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti cm od roviny, sú nakreslené dva naklonené, ktoré zvierajú s rovinou uhly rovné , a pravý uhol medzi nimi. Nájdite vzdialenosť medzi priesečníkmi naklonených rovín.

3. Strana pravidelného trojuholníka je 12 cm Bod M zvolíme tak, aby úsečky spájajúce bod M so všetkými vrcholmi trojuholníka zvierali s jeho rovinou uhly. Nájdite vzdialenosť od bodu M k vrcholom a stranám trojuholníka.

4. Cez stranu štvorca je nakreslená rovina pod uhlom k uhlopriečke štvorca. Nájdite uhly, pod ktorými sú dve strany štvorca naklonené k rovine.

5. Rameno rovnoramenného pravouhlého trojuholníka je naklonené k rovine a prechádzajúcej cez preponu pod uhlom . Dokážte, že uhol medzi rovinou a a rovinou trojuholníka je rovný .

6. Dihedrálny uhol medzi rovinami trojuholníkov ABC a DBC je rovný . Nájdite AD, ak AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Testovacie otázky na tému „Priamky a roviny vo vesmíre“

1. Vymenujte základné pojmy stereometrie. Formulujte axiómy stereometrie.

2. Dokážte dôsledky z axióm.

3. Aká je vzájomná poloha dvoch priamok v priestore? Uveďte definície pretínajúcich sa, rovnobežných a šikmých čiar.

4. Dokážte znamenie šikmých čiar.

5. Aká je vzájomná poloha priamky a roviny? Uveďte definície pretínajúcich sa, rovnobežných čiar a rovín.

6. Dokážte znamienko rovnobežnosti medzi priamkou a rovinou.

7. Aká je vzájomná poloha dvoch rovín?

8. Definujte rovnobežné roviny. Dokážte, že dve roviny sú rovnobežné. Uveďte vety o rovnobežných rovinách.

9. Definujte uhol medzi priamymi čiarami.

10. Dokážte znamienko kolmosti priamky a roviny.

11. Definujte podstavu kolmice, podstavu naklonenej, priemet naklonenej do roviny. Formulujte vlastnosti kolmých a naklonených čiar spadnutých do roviny z jedného bodu.

12. Definujte uhol medzi priamkou a rovinou.

13. Dokážte vetu o troch kolmiciach.

14. Uveďte definície dihedrálneho uhla, lineárneho uhla dihedrálneho uhla.

15. Dokážte znamienko kolmosti dvoch rovín.

16. Definujte vzdialenosť medzi dvoma rôznymi bodmi.

17. Definujte vzdialenosť od bodu k priamke.

18. Definujte vzdialenosť od bodu k rovine.

19. Definujte vzdialenosť medzi priamkou a rovinou rovnobežnou s ňou.

20. Definujte vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami.

21. Definujte vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami.

22. Definujte ortogonálny priemet bodu do roviny.

23. Definujte ortogonálny priemet obrazca do roviny.

24. Formulujte vlastnosti priemetov do roviny.

25. Formulujte a dokážte vetu o premietacej ploche rovinného mnohouholníka.

Podrobný dôkaz vety o ortogonálnej projekcii mnohouholníka

Ak je projekcia bytu n -gon do roviny, potom kde je uhol medzi rovinami mnohouholnikov a. Inými slovami, projekčná plocha rovinného mnohouholníka sa rovná súčinu plochy premietnutého mnohouholníka a kosínusu uhla medzi rovinou projekcie a rovinou premietnutého mnohouholníka.

Dôkaz. ja etapa. Najprv urobme dôkaz pre trojuholník. Zoberme si 5 prípadov.

1 prípad. ležať v projekčnej rovine .

Nech sú projekcie bodov do roviny, resp. V našom prípade. Predpokladajme, že. Nech je výška, potom pomocou vety o troch kolmiciach môžeme dospieť k záveru, že - výška (- priemet naklonenej, - jej základňa a priamka prechádza základňou naklonenej a).

Uvažujme. Je obdĺžnikový. Podľa definície kosínusu:

Na druhej strane, keďže a potom podľa definície je lineárny uhol dihedrálneho uhla tvorený polrovinami rovín a hraničnou priamkou, a preto je jeho miera tiež mierou uhla medzi roviny priemetu trojuholníka a samotného trojuholníka, tzn.

Nájdite pomer plochy k:

Všimnite si, že vzorec zostáva pravdivý, aj keď. V tomto prípade

Prípad 2 Leží iba v rovine premietania a je rovnobežná s rovinou premietania .

Nech sú projekcie bodov do roviny, resp. V našom prípade.

Nakreslíme priamku cez bod. V našom prípade priamka pretína projekčnú rovinu, čo v leme znamená, že priamka pretína aj premietaciu rovinu. Nech je to v bode Keďže, potom body ležia v tej istej rovine, a keďže je rovnobežná s premietacou rovinou, tak následkom znamienka rovnobežnosti priamky a roviny z toho vyplýva. Ide teda o rovnobežník. Uvažujme a. Na troch stranách sú rovnaké (spoločná strana je ako protiľahlé strany rovnobežníka). Všimnite si, že štvoruholník je obdĺžnik a je rovnaký (pozdĺž nohy a prepony), teda rovnaký na troch stranách. Preto.

Pre príslušný prípad 1: , t.j.

Prípad 3 Leží len v rovine premietania a nie je rovnobežná s rovinou premietania .

Nech je bod priesečníkom priamky s premietacou rovinou. Všimnite si, že a. V 1 prípade: i. Tak to dostaneme

Prípad 4 Vrcholy neležia v projekčnej rovine . Pozrime sa na kolmice. Zoberme si najmenšiu z týchto kolmic. Nech je kolmá. Môže sa ukázať, že je to buď len, alebo len. Potom to aj tak vezmeme.

Odložme bod z bodu na úsečke tak, a z bodu na úsečke bod, takže. Táto konštrukcia je možná, pretože je najmenšia z kolmíc. Všimnite si, že ide o projekciu a podľa konštrukcie. Dokážme to a sme si rovní.

Zvážte štvoruholník. Podľa podmienky - kolmice na jednu rovinu teda podľa vety teda. Keďže podľa konštrukcie, potom na základe charakteristík rovnobežníka (podľa rovnobežných a rovnakých protiľahlých strán) môžeme usúdiť, že ide o rovnobežník. Znamená, . Podobne je dokázané, že . Preto a sú rovnaké na troch stranách. Preto. Všimnite si, že a ako protiľahlé strany rovnobežníkov, teda na základe rovnobežnosti rovín, . Keďže tieto roviny sú rovnobežné, zvierajú s rovinou premietania rovnaký uhol.

Platia predchádzajúce prípady:.

Prípad 5 Premietacia rovina pretína strany . Pozrime sa na rovné čiary. Sú kolmé na premietaciu rovinu, takže podľa vety sú rovnobežné. Na kosmerných lúčoch s počiatkami v bodoch nakreslíme rovnaké segmenty tak, aby vrcholy ležali mimo rovinu premietania. Všimnite si, že ide o projekciu a podľa konštrukcie. Ukážme, že je to rovnaké.

Od a podľa konštrukcie teda. Preto podľa charakteristiky rovnobežníka (na dvoch rovnakých a rovnobežných stranách) ide o rovnobežník. Podobným spôsobom je dokázané, že a sú rovnobežníky. Ale potom, a (ako protiľahlé strany), sú teda rovnaké na troch stranách. Znamená, .

Okrem toho a teda na základe rovnobežnosti rovín. Keďže tieto roviny sú rovnobežné, zvierajú s rovinou premietania rovnaký uhol.

Pre príslušný prípad 4:.

II etapa. Rozdeľme plochý mnohouholník na trojuholníky pomocou uhlopriečok nakreslených z vrcholu: Potom podľa predchádzajúcich prípadov pre trojuholníky: .

Q.E.D.

V úlohách geometrie úspech závisí nielen od znalosti teórie, ale aj od kvalitného výkresu.
S plochými kresbami je všetko viac-menej jasné. Ale v stereometrii je situácia komplikovanejšia. Koniec koncov, je potrebné znázorniť trojrozmerný telo na plochý kresbu a tak, aby ste vy aj osoba, ktorá sa pozerá na vašu kresbu, videli rovnaké objemové teleso.

Ako to spraviť?
Samozrejme, akýkoľvek obraz objemového telesa v rovine bude podmienený. Existuje však určitý súbor pravidiel. Existuje všeobecne uznávaný spôsob vytvárania výkresov - paralelná projekcia.

Zoberme si objemové telo.
Poďme si vybrať projekčná rovina.
Cez každý bod objemového telesa nakreslíme priamky navzájom rovnobežné a pretínajúce rovinu premietania pod ľubovoľným uhlom. Každá z týchto čiar v určitom bode pretína projekčnú rovinu. A všetky dohromady tvoria tieto body projekcia objemového telesa na rovinu, teda jeho plochý obraz.

Ako zostrojiť projekcie objemových telies?
Predstavte si, že máte rám objemového telesa - hranol, pyramída alebo valec. Jeho osvetlením paralelným lúčom svetla získame obraz – tieň na stene alebo na obrazovke. Všimnite si, že z rôznych uhlov sa získajú rôzne obrázky, ale niektoré vzory sú stále prítomné:

Projekcia segmentu bude segmentom.

Samozrejme, ak je segment kolmý na projekčnú rovinu, zobrazí sa v jednom bode.

Vo všeobecnom prípade bude projekcia kruhu elipsa.

Priemet obdĺžnika je rovnobežník.

Takto vyzerá projekcia kocky do roviny:

Tu sú predná a zadná strana rovnobežné s rovinou premietania

Môžete to urobiť inak:

Akýkoľvek uhol zvolíme, projekcie rovnobežných segmentov na výkrese budú tiež rovnobežnými segmentmi. Toto je jeden z princípov paralelného premietania.

Kreslíme projekcie pyramídy,

valec:

Zopakujme si ešte raz základný princíp paralelného premietania. Vyberieme projekčnú rovinu a nakreslíme rovnobežné čiary cez každý bod objemového telesa. Tieto čiary pretínajú rovinu premietania pod ľubovoľným uhlom. Ak je tento uhol 90°, hovoríme o pravouhlé premietanie. Pomocou pravouhlej projekcie sú konštruované výkresy objemových častí v technológii. V tomto prípade hovoríme o pohľade zhora, spredu a zboku.

Kapitola IV. Priame čiary a roviny v priestore. Polyhedra

§ 55. Premietacia plocha polygónu.

Pripomeňme si, že uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi danou priamkou a jej priemetom do roviny (obr. 164).

Veta. Plocha ortogonálneho priemetu mnohouholníka na rovinu sa rovná ploche premietnutého mnohouholníka vynásobenej kosínusom uhla vytvoreného rovinou mnohouholníka a projekčnou rovinou.

Každý polygón možno rozdeliť na trojuholníky, ktorých súčet plôch sa rovná ploche polygónu. Preto stačí dokázať vetu o trojuholníku.

Nechaj /\ ABC sa premieta do roviny R. Zoberme si dva prípady:
a) jedna zo strán /\ ABC je rovnobežná s rovinou R;
b) ani jedna strana /\ ABC nie je paralelné R.

Uvažujme prvý prípad: nech [AB] || R.

Nakreslíme rovinu cez (AB) R 1 || R a navrhnúť ortogonálne /\ ABC zapnuté R 1 a ďalej R(obr. 165); dostaneme /\ ABC 1 a /\ A"B"C".
Podľa projekčnej vlastnosti, ktorú máme /\ ABC 1 /\ A"B"C" a preto

S /\ ABC1=S /\ A"B"C"

Nakreslíme _|_ a úsečku D 1 C 1 . Potom _|_ , a = φ je hodnota uhla medzi rovinou /\ ABC a lietadlo R 1. Preto

S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

a preto S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Prejdime k úvahám druhý prípad. Nakreslíme rovinu R 1 || R cez ten vrchol /\ ABC, vzdialenosť od ktorej k rovine R najmenší (nech je to vrchol A).
Poďme navrhnúť /\ ABC v lietadle R 1 a R(obr. 166); nech sú jeho projekcie resp /\ AB 1 C 1 a /\ A"B"C".

Nechajte (slnko) p 1 = D. Potom

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Úloha. Cez základnú stranu pravidelného trojuholníkového hranola je vedená rovina pod uhlom φ = 30° k rovine jeho podstavy. Nájdite plochu výsledného prierezu, ak je strana základne hranola A= 6 cm.

Znázornime si prierez tohto hranola (obr. 167). Keďže hranol je pravidelný, jeho bočné hrany sú kolmé na rovinu podstavy. znamená, /\ ABC je projekcia /\ ADC teda