Úlohy na školenia o jednotnej štátnej skúške o derivátoch. Aplikácia derivátov v úlohách skúšky

Geometrický význam derivácie X Y 0 dotyčnica α k – uhlový koeficient priamky (tangens) Geometrický význam derivácie: ak je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode s úsečkou , nerovnobežná s osou y, potom vyjadruje uhlový koeficient dotyčnice, t.j. Od tej doby platí rovnosť priamky

X y Ak α 0. Ak α > 90°, potom k 90°, potom k 90°, potom k 90°, potom k 90°, potom k title="х y Ak α 0. Ak α > 90°, potom k

X y Úloha 1. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnica k tomuto grafu nakreslená v bode s osou -1. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x =

Y x x0x Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnice k nej v bode s osou x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0. Odpoveď: -0,25

Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale (-6;6). Nájdite intervaly nárastu funkcie f(x). Vo svojej odpovedi uveďte súčet celočíselných bodov zahrnutých v týchto intervaloch. B =...

Derivácia funkcie je jednou z ťažkých tém v školských osnovách. Nie každý absolvent odpovie na otázku, čo je derivát.

Tento článok jednoduchým a jasným spôsobom vysvetľuje, čo je derivát a prečo je potrebný.. V prezentácii sa teraz nebudeme snažiť o matematickú prísnosť. Najdôležitejšie je pochopiť význam.

Pripomeňme si definíciu:

Derivácia je rýchlosť zmeny funkcie.

Na obrázku sú znázornené grafy troch funkcií. Ktorá podľa vás rastie rýchlejšie?

Odpoveď je zrejmá - tretia. Má najvyššiu mieru zmeny, teda najväčší derivát.

Tu je ďalší príklad.

Kostya, Grisha a Matvey dostali prácu v rovnakom čase. Pozrime sa, ako sa zmenili ich príjmy v priebehu roka:

Graf zobrazuje všetko naraz, nie? Kostyov príjem sa za šesť mesiacov viac ako zdvojnásobil. A Grishov príjem sa tiež zvýšil, ale len trochu. A Matveyho príjem klesol na nulu. Počiatočné podmienky sú rovnaké, ale rýchlosť zmeny funkcie, tj derivát, - rôzne. Čo sa týka Matveyho, jeho príjmový derivát je vo všeobecnosti negatívny.

Intuitívne ľahko odhadneme rýchlosť zmeny funkcie. Ale ako to urobíme?

V skutočnosti sa pozeráme na to, ako strmo stúpa graf funkcie nahor (alebo nadol). Inými slovami, ako rýchlo sa mení y, keď sa mení x? Je zrejmé, že rovnaká funkcia v rôznych bodoch môže mať rôzne derivačné hodnoty - to znamená, že sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie.

Derivácia funkcie sa označuje .

Ukážeme vám, ako ho nájsť pomocou grafu.

Bol nakreslený graf nejakej funkcie. Zoberme si bod s osou x. V tomto bode nakreslíme dotyčnicu ku grafu funkcie. Chceme odhadnúť, ako strmo stúpa funkčný graf. Výhodná hodnota pre to je tangens tangens uhla.

Derivácia funkcie v bode sa rovná tangente dotyčnicového uhla nakresleného ku grafu funkcie v tomto bode.

Upozorňujeme, že ako uhol sklonu dotyčnice berieme uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi.

Niekedy sa študenti pýtajú, čo je dotyčnica ku grafu funkcie. Toto je priamka, ktorá má jeden spoločný bod s grafom v tejto časti a ako je znázornené na našom obrázku. Vyzerá to ako dotyčnica ku kruhu.

Poďme to nájsť. Pamätáme si, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná pomeru protiľahlej strany k susednej strane. Z trojuholníka:

Našli sme deriváciu pomocou grafu bez toho, aby sme poznali vzorec funkcie. Takéto problémy sa často nachádzajú v Jednotnej štátnej skúške z matematiky pod číslom.

Je tu ešte jeden dôležitý vzťah. Pripomeňme, že priamka je daná rovnicou

Množstvo v tejto rovnici sa nazýva sklon priamky. Rovná sa dotyčnici uhla sklonu priamky k osi.

.

Chápeme to

Zapamätajme si tento vzorec. Vyjadruje geometrický význam derivácie.

Derivácia funkcie v bode sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.

Inými slovami, derivácia sa rovná dotyčnici dotyčnicového uhla.

Už sme povedali, že tá istá funkcia môže mať v rôznych bodoch rôzne derivácie. Pozrime sa, ako derivácia súvisí so správaním funkcie.

Nakreslíme graf nejakej funkcie. Nechajte túto funkciu v niektorých oblastiach rásť a v iných znižovať a rôznymi rýchlosťami. A nech má táto funkcia maximálny a minimálny počet bodov.

V určitom bode sa funkcia zvýši. Dotyčnica ku grafu nakreslenému v bode tvorí ostrý uhol; s kladným smerom osi. To znamená, že derivácia v bode je kladná.

V tomto bode naša funkcia klesá. Dotyčnica v tomto bode zviera tupý uhol; s kladným smerom osi. Keďže tangens tupého uhla je záporný, derivácia v bode je záporná.

Čo sa stane:

Ak je funkcia rastúca, jej derivácia je kladná.

Ak klesá, jeho derivácia je záporná.

Čo sa stane s maximálnym a minimálnym počtom bodov? Vidíme, že v bodoch (maximálny bod) a (minimálny bod) je dotyčnica vodorovná. Preto je dotyčnica dotyčnice v týchto bodoch nula a derivácia je tiež nulová.

Bod - maximálny bod. V tomto bode je nárast funkcie nahradený poklesom. V dôsledku toho sa znamienko derivácie mení v bode z „plus“ na „mínus“.

V bode - minimálnom bode - je derivácia tiež nulová, ale jej znamienko sa mení z „mínus“ na „plus“.

Záver: pomocou derivácie môžeme zistiť všetko, čo nás o správaní funkcie zaujíma.

Ak je derivácia kladná, funkcia sa zvyšuje.

Ak je derivácia záporná, funkcia klesá.

V maximálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z „plus“ na „mínus“.

V minimálnom bode je derivácia tiež nula a mení znamienko z „mínus“ na „plus“.

Zapíšme si tieto závery vo forme tabuľky:

Urobme dve malé upresnenia. Pri riešení problému budete potrebovať jeden z nich. Ďalší - v prvom ročníku, s vážnejším štúdiom funkcií a derivátov.

Je možné, že derivácia funkcie sa v určitom bode rovná nule, ale funkcia v tomto bode nemá ani maximum, ani minimum. Ide o tzv :

V bode je dotyčnica ku grafu vodorovná a derivácia je nula. Pred bodom sa však funkcia zvýšila - a po bode sa naďalej zvyšuje. Znamienko derivátu sa nemení – zostáva kladné tak, ako bolo.

Stáva sa tiež, že v bode maxima alebo minima derivát neexistuje. Na grafe to zodpovedá prudkému zlomu, keď nie je možné nakresliť dotyčnicu v danom bode.

Ako nájsť deriváciu, ak funkcia nie je daná grafom, ale vzorcom? V tomto prípade platí

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Typ lekcie: opakovanie a zovšeobecňovanie.

Formát lekcie: lekcia-konzultácia.

Ciele lekcie:

• vzdelávacie: zopakovať a zovšeobecniť teoretické poznatky na témy: „Geometrický význam derivácie“ a „Aplikácia derivácie na štúdium funkcií“; zvážiť všetky typy problémov B8, s ktorými sa stretnete na jednotnej štátnej skúške z matematiky; poskytnúť žiakom možnosť vyskúšať si svoje vedomosti samostatným riešením problémov; naučiť, ako vyplniť formulár odpovede na skúšku;
• rozvíjanie: podporovať rozvoj komunikácie ako metódy vedeckého poznania, sémantickej pamäte a dobrovoľnej pozornosti; formovanie takých kľúčových kompetencií ako porovnávanie, juxtapozícia, klasifikácia predmetov, určovanie adekvátnych spôsobov riešenia vzdelávacej úlohy na základe daných algoritmov, schopnosť samostatne konať v situáciách neistoty, sledovať a vyhodnocovať svoje aktivity, hľadať a odstraňovať príčiny ťažkostiach;
• vzdelávacie: rozvíjať komunikačné kompetencie žiakov (komunikačná kultúra, schopnosť pracovať v skupine); podporovať rozvoj potreby sebavzdelávania.

Technológie: rozvojové vzdelávanie, IKT.

Vyučovacie metódy: verbálne, vizuálne, praktické, problematické.

Formy práce: individuálne, frontálne, skupinové.

Vzdelávacia a metodická podpora:

1. Algebra a začiatky matematickej analýzy 11. ročník: učebnica. Pre všeobecné vzdelanie Inštitúcie: základné a profilové. úrovne / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); spracoval A. B. Žižčenko. – 4. vyd. – M.: Vzdelávanie, 2011.

2. Jednotná štátna skúška: 3000 úloh s odpoveďami z matematiky. Všetky úlohy skupiny B / A.L. Semenov, I.V. Yashchenko a ďalší; upravil A.L. Semjonová, I.V. Jaščenko. – M.: Vydavateľstvo „Skúška“, 2011.

3. Otvorte banku úloh.

Vybavenie a materiály na lekciu: projektor, plátno, PC pre každého študenta s nainštalovanou prezentáciou, tlač poznámky pre všetkých študentov (Príloha 1) a výsledková listina ( Dodatok 2) .

Predbežná príprava na lekciu: ako domácu úlohu majú študenti zopakovať teoretické učivo z učebnice na témy: „Geometrický význam derivácie“, „Aplikácia derivácie na štúdium funkcií“; Trieda je rozdelená do skupín (každá 4 ľudia), v každej z nich sú študenti rôznych úrovní.

Vysvetlenie lekcie: Táto lekcia sa vyučuje v 11. ročníku v štádiu opakovania a prípravy na jednotnú štátnu skúšku. Lekcia je zameraná na zopakovanie a zovšeobecnenie teoretickej látky, na jej aplikáciu pri riešení úloh skúšky. Trvanie lekcie - 1,5 hodiny .

Táto lekcia nie je pripojená k učebnici, takže ju možno vyučovať pri práci na akýchkoľvek učebných materiáloch. Túto lekciu možno tiež rozdeliť na dve samostatné lekcie a vyučovať ako záverečné lekcie na preberané témy.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

II. Lekcia stanovovania cieľov.

III. Opakovanie na tému „Geometrický význam derivátov“.

Ústna frontálna práca pomocou projektora (snímky č. 3-7)

Práca v skupinách: riešenie problémov s tipmi, odpoveďami, s konzultáciou s učiteľom (snímky č. 8-17)

IV. Samostatná práca 1.

Študenti pracujú samostatne na PC (snímky č. 18-26) a svoje odpovede zapisujú do hodnotiaceho hárku. V prípade potreby sa môžete poradiť s učiteľom, ale v tomto prípade študent stratí 0,5 bodu. Ak študent dokončí prácu skôr, môže si zvoliť riešenie doplňujúcich úloh zo zbierky str.242, 306-324 (doplňujúce úlohy sa posudzujú samostatne).

V. Vzájomné overovanie.

Študenti si vymieňajú hodnotiace hárky, kontrolujú prácu kamaráta a prideľujú body (snímka č. 27)

VI. Oprava vedomostí.

VII. Opakovanie na tému „Aplikácia derivácie na štúdium funkcií“

Ústna frontálna práca pomocou projektora (snímky č. 28-30)

Práca v skupinách: riešenie problémov s tipmi, odpoveďami, s konzultáciou s učiteľom (snímky č. 31-33)

VIII. Samostatná práca 2.

Študenti pracujú samostatne na PC (snímky č. 34-46) a svoje odpovede zapisujú do odpoveďového formulára. V prípade potreby sa môžete poradiť s učiteľom, ale v tomto prípade študent stratí 0,5 bodu. Ak študent dokončí prácu skôr, môže si zvoliť riešenie doplňujúcich úloh zo zbierky str.243-305 (doplňujúce úlohy sa posudzujú samostatne).

IX. Peer review.

Študenti si vymieňajú hodnotiace hárky, kontrolujú prácu svojho kamaráta a prideľujú body (snímka č. 47).

X. Oprava vedomostí.

Študenti opäť pracujú vo svojich skupinách, diskutujú o riešení a opravujú chyby.

XI. Zhrnutie.

Každý študent si spočíta svoje body a zapíše známku do bodovacieho hárku.

Študenti odovzdajú učiteľovi hodnotiaci hárok a riešenia ďalších problémov.

Každý študent dostane poznámku (snímka č. 53-54).

XII. Reflexia.

Študenti majú zhodnotiť svoje vedomosti výberom jednej z fráz:

• Uspel som!!!
• Musíme vyriešiť ešte pár príkladov.
• No kto vymyslel túto matematiku!

XIII. Domáca úloha.

Za domácu úlohu si žiaci vyberú úlohy zo zbierky, s. 242-334, ako aj z otvorenej banky úloh.

Predstavme si rovnú cestu prechádzajúcu kopcovitou oblasťou. To znamená, že ide hore a dole, ale nezatáča doprava ani doľava. Ak je os nasmerovaná horizontálne pozdĺž cesty a vertikálne, potom bude čiara cesty veľmi podobná grafu nejakej spojitej funkcie:

Os je určitá úroveň nulovej nadmorskej výšky; v živote ako to používame hladinu mora.

Keď sa po takejto ceste pohybujeme vpred, pohybujeme sa aj nahor alebo nadol. Môžeme tiež povedať: keď sa argument zmení (pohyb po vodorovnej osi), zmení sa hodnota funkcie (pohyb po zvislej osi). Teraz sa zamyslime nad tým, ako určiť „strmosť“ našej cesty? Aká by to mohla byť hodnota? Je to veľmi jednoduché: ako veľmi sa zmení výška pri pohybe vpred o určitú vzdialenosť. V skutočnosti na rôznych úsekoch cesty, keď sa posunieme vpred (pozdĺž osi x) o jeden kilometer, budeme stúpať alebo klesať o iný počet metrov v porovnaní s hladinou mora (pozdĺž osi y).

Označme pokrok (čítaj „delta x“).

Grécke písmeno (delta) sa bežne používa v matematike ako predpona s významom „zmena“. To je - to je zmena množstva, - zmena; čo je potom? Správne, zmena veľkosti.

Dôležité: výraz je jeden celok, jedna premenná. Nikdy neoddeľujte „delta“ od „x“ alebo akéhokoľvek iného písmena! To je napríklad .

Takže sme sa posunuli horizontálne dopredu. Ak porovnáme čiaru cesty s grafom funkcie, ako potom označíme stúpanie? Určite,. To znamená, že keď napredujeme, stúpame vyššie.

Hodnota sa dá ľahko vypočítať: ak sme na začiatku boli vo výške a po presťahovaní sme sa ocitli vo výške, potom. Ak je koncový bod nižšie ako začiatočný bod, bude záporný – to znamená, že nestúpame, ale klesáme.

Vráťme sa k „strmosti“: toto je hodnota, ktorá ukazuje, o koľko (strmšie) sa výška zväčší pri pohybe dopredu o jednu jednotku vzdialenosti:

Predpokladajme, že na niektorom úseku cesty sa pri posune vpred o kilometer cesta zdvihne o kilometer. Potom je sklon na tomto mieste rovnaký. A ak cesta pri pohybe vpred o m klesla o km? Potom je sklon rovnaký.

Teraz sa pozrime na vrchol kopca. Ak si vezmete začiatok úseku pol kilometra pred vrcholom a koniec pol kilometra za ním, môžete vidieť, že výška je takmer rovnaká.

To znamená, že podľa našej logiky sa ukazuje, že sklon je tu takmer rovný nule, čo zjavne nie je pravda. Len na vzdialenosť niekoľkých kilometrov sa môže veľa zmeniť. Pre adekvátnejšie a presnejšie posúdenie strmosti je potrebné zvážiť menšie plochy. Ak napríklad zmeriate zmenu výšky pri pohybe o jeden meter, výsledok bude oveľa presnejší. Ale ani táto presnosť nám nemusí stačiť – veď ak je v strede cesty stĺp, jednoducho ho prejdeme. Akú vzdialenosť by sme teda mali zvoliť? Centimeter? Milimeter? Menej je lepšie!

V reálnom živote je meranie vzdialeností s presnosťou na milimeter viac než dosť. Ale matematici sa vždy snažia o dokonalosť. Preto bol vynájdený koncept nekonečne malý, to znamená, že absolútna hodnota je menšia ako akékoľvek číslo, ktoré vieme pomenovať. Napríklad poviete: jeden bilión! O koľko menej? A toto číslo vydelíte - a bude ešte menej. A tak ďalej. Ak chceme napísať, že množstvo je nekonečne malé, napíšeme takto: (čítame „x má tendenciu k nule“). Je veľmi dôležité pochopiť že toto číslo nie je nula! Ale veľmi blízko k tomu. To znamená, že ním môžete deliť.

Pojem opačný k nekonečne malému je nekonečne veľký (). Pravdepodobne ste sa s tým už stretli, keď ste pracovali na nerovnostiach: toto číslo je modulo väčšie ako akékoľvek číslo, ktoré si dokážete predstaviť. Ak prídete na najväčšie možné číslo, jednoducho ho vynásobte dvomi a dostanete ešte väčšie číslo. A nekonečno je ešte väčšie ako to, čo sa deje. V skutočnosti sú nekonečne veľké a nekonečne malé navzájom inverzné, teda at, a naopak: at.

Teraz sa vráťme na našu cestu. Ideálne vypočítaný sklon je sklon vypočítaný pre nekonečne malý segment cesty, to znamená:

Podotýkam, že pri nekonečne malom posune bude aj zmena výšky nekonečne malá. Dovoľte mi však pripomenúť, že nekonečne malý neznamená rovný nule. Ak rozdelíte nekonečne malé čísla navzájom, dostanete úplne obyčajné číslo, napríklad . To znamená, že jedna malá hodnota môže byť presne krát väčšia ako druhá.

Načo to všetko je? Cesta, strmosť... Nejdeme na automobilovú rely, ale učíme matematiku. A v matematike je všetko úplne rovnaké, len sa inak volá.

Koncept derivátu

Derivácia funkcie je pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu pre nekonečne malý prírastok argumentu.

Postupne v matematike nazývajú zmena. Rozsah, v akom sa argument () mení, keď sa pohybuje pozdĺž osi, sa nazýva prírastok argumentov a je určený.O koľko sa zmenila funkcia (výška) pri pohybe vpred pozdĺž osi o vzdialenosť sa nazýva prírastok funkcie a je určený.

Derivácia funkcie je teda pomer k kedy. Deriváciu označujeme rovnakým písmenom ako funkcia, len s prvočíslom vpravo hore: alebo jednoducho. Takže napíšme odvodený vzorec pomocou týchto zápisov:

Rovnako ako v analógii s cestou, aj tu, keď sa funkcia zvyšuje, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná.

Môže sa derivácia rovnať nule? určite. Napríklad, ak ideme po rovnej vodorovnej ceste, strmosť je nulová. A je pravda, že výška sa vôbec nemení. Tak je to aj s deriváciou: derivácia konštantnej funkcie (konštanta) sa rovná nule:

keďže prírastok takejto funkcie je rovný nule pre ľubovoľnú.

Spomeňme si na príklad z kopca. Ukázalo sa, že je možné usporiadať konce segmentu na opačných stranách vrcholu tak, aby výška na koncoch bola rovnaká, to znamená, že segment bol rovnobežný s osou:

Ale veľké segmenty sú znakom nepresného merania. Zdvihneme náš segment nahor rovnobežne so sebou, potom sa jeho dĺžka zníži.

Nakoniec, keď sme nekonečne blízko vrcholu, dĺžka segmentu bude nekonečne malá. Zároveň však zostal rovnobežný s osou, to znamená, že rozdiel vo výškach na jej koncoch je rovný nule (nemá tendenciu, ale rovná sa). Takže derivát

Dá sa to chápať takto: keď stojíme na samom vrchole, malý posun doľava alebo doprava zmení našu výšku zanedbateľne.

Existuje aj čisto algebraické vysvetlenie: vľavo od vrcholu sa funkcia zvyšuje a vpravo klesá. Ako sme už skôr zistili, keď funkcia rastie, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná. Mení sa ale plynulo, bez skokov (keďže cesta nikde prudko nemení sklon). Preto musia existovať záporné a kladné hodnoty. Bude to tam, kde sa funkcia ani nezväčšuje, ani neznižuje – v bode vrcholu.

To isté platí pre žľab (oblasť, kde funkcia vľavo klesá a vpravo sa zvyšuje):

Trochu viac o prírastkoch.

Takže zmeníme argument na veľkosť. Z akej hodnoty sa meníme? Čo sa to (argument) stalo teraz? Môžeme si vybrať ľubovoľný bod a teraz z neho budeme tancovať.

Zvážte bod so súradnicou. Hodnota funkcie v ňom je rovnaká. Potom urobíme rovnaký prírastok: zväčšíme súradnicu o. Aký je teraz argument? Veľmi ľahké: . Akú hodnotu má funkcia teraz? Kam smeruje argument, tam je aj funkcia: . A čo zvýšenie funkcie? Nič nové: toto je stále suma, o ktorú sa funkcia zmenila:

Precvičte si nájdenie prírastkov:

1. Nájdite prírastok funkcie v bode, v ktorom je prírastok argumentu rovný.
2. To isté platí pre funkciu v bode.

Riešenia:

V rôznych bodoch s rovnakým prírastkom argumentov bude prírastok funkcie odlišný. To znamená, že derivácia v každom bode je iná (rozoberali sme to úplne na začiatku – strmosť cesty je v rôznych bodoch rôzna). Preto, keď píšeme derivát, musíme uviesť, v ktorom bode:

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia je funkcia, ktorej argument je do určitej miery (logický, však?).

Navyše - v akomkoľvek rozsahu: .

Najjednoduchší prípad je, keď je exponent:

Nájdite jeho derivát v bode. Pripomeňme si definíciu derivátu:

Takže argument sa mení z na. Aký je prírastok funkcie?

Prírastok je toto. Ale funkcia v ktoromkoľvek bode sa rovná jej argumentu. Preto:

Derivát sa rovná:

Derivácia sa rovná:

b) Teraz zvážte kvadratickú funkciu (): .

Teraz si to pripomeňme. To znamená, že hodnotu prírastku možno zanedbať, pretože je nekonečne malá, a preto je na pozadí druhého výrazu nevýznamná:

Tak sme prišli s ďalším pravidlom:

c) Pokračujeme v logickom rade: .

Tento výraz je možné zjednodušiť rôznymi spôsobmi: otvorte prvú zátvorku pomocou vzorca na skrátené násobenie kocky súčtu alebo celý výraz rozložte pomocou vzorca rozdielu kociek. Skúste to urobiť sami pomocou ktorejkoľvek z navrhovaných metód.

Takže som dostal nasledovné:

A opäť si to pripomeňme. To znamená, že môžeme zanedbať všetky výrazy obsahujúce:

Dostaneme: .

d) Podobné pravidlá možno získať pre veľké právomoci:

e) Ukazuje sa, že toto pravidlo možno zovšeobecniť pre mocninnú funkciu s ľubovoľným exponentom, dokonca ani nie celým číslom:

Pravidlo možno formulovať slovami: „stupeň sa posunie dopredu ako koeficient a potom sa zníži o .

Toto pravidlo si preukážeme neskôr (takmer na samom konci). Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov. Nájdite deriváciu funkcií:

1. (dvoma spôsobmi: vzorcom a pomocou definície derivácie - výpočtom prírastku funkcie);

Goniometrické funkcie.

Tu použijeme jeden fakt z vyššej matematiky:

S výrazom.

Dôkaz sa naučíte v prvom ročníku inštitútu (a aby ste sa tam dostali, musíte dobre zložiť jednotnú štátnu skúšku). Teraz to ukážem graficky:

Vidíme, že keď funkcia neexistuje - bod na grafe je vyrezaný. Ale čím bližšie k hodnote, tým bližšie je funkcia. To je to, čo je cieľom.

Toto pravidlo môžete navyše skontrolovať pomocou kalkulačky. Áno, áno, nehanbite sa, vezmite si kalkulačku, ešte nie sme na Jednotnej štátnej skúške.

Tak skúsme: ;

Nezabudnite si prepnúť kalkulačku do režimu Radians!

atď. Vidíme, že čím je menší, tým je hodnota pomeru bližšie.

a) Zvážte funkciu. Ako obvykle, nájdime jeho prírastok:

Premeňme rozdiel sínusov na produkt. Na tento účel používame vzorec (zapamätajte si tému „“): .

Teraz derivát:

Urobme náhradu: . Potom pre nekonečne malé je tiež nekonečne malé: . Výraz pre má tvar:

A teraz si to pamätáme s výrazom. A tiež, čo ak možno v súčte (teda at) zanedbať nekonečne malé množstvo.

Takže dostaneme nasledujúce pravidlo: derivácia sínusu sa rovná kosínusu:

Ide o základné („tabuľkové“) deriváty. Tu sú v jednom zozname:

Neskôr k nim pridáme niekoľko ďalších, no tieto sú najdôležitejšie, keďže sa používajú najčastejšie.

Cvičenie:

1. Nájdite deriváciu funkcie v bode;
2. Nájdite deriváciu funkcie.

Riešenia:

Exponent a prirodzený logaritmus.

V matematike existuje funkcia, ktorej derivácia pre ľubovoľnú hodnotu sa zároveň rovná hodnote samotnej funkcie. Nazýva sa „exponent“ a je to exponenciálna funkcia

Základom tejto funkcie – konštanta – je nekonečný desatinný zlomok, teda iracionálne číslo (ako napr.). Nazýva sa „Eulerovo číslo“, a preto je označené písmenom.

Takže, pravidlo:

Veľmi ľahko zapamätateľné.

No, nechoďme ďaleko, okamžite zvážime inverznú funkciu. Ktorá funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (to znamená logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšeme.

Čomu sa to rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

1. Nájdite deriváciu funkcie.
2. Aká je derivácia funkcie?

Odpovede: Exponenciálny a prirodzený logaritmus sú z derivačnej perspektívy jedinečne jednoduché funkcie. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

Pravidlá čoho? Opäť nový termín, opäť?!...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

To je všetko. Ako inak môžete nazvať tento proces jedným slovom? Nie derivácia... Matematici nazývajú diferenciál rovnakým prírastkom funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je vyňatá z derivačného znamienka.

Ak - nejaké konštantné číslo (konštanta), potom.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel: .

Poďme to dokázať. Nech je to tak, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite deriváty funkcií:

1. v bode;
2. v bode;
3. v bode;
4. v bode.

Riešenia:

Derivát produktu

Tu je všetko podobné: predstavme si novú funkciu a nájdime jej prírastok:

odvodený:

Príklady:

1. Nájdite derivácie funkcií a;
2. Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, a nielen exponentov (zabudli ste, čo to je?).

Takže, kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme našu funkciu zredukovať na nový základ:

Na to použijeme jednoduché pravidlo: . potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivátu exponentu: ako to bolo, zostáva rovnaký, objavil sa iba faktor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite deriváty funkcií:

Odpovede:

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný logaritmus s inou základňou, napríklad:

Tento logaritmus musíme zredukovať na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Len teraz namiesto toho napíšeme:

Menovateľ je jednoducho konštanta (konštantné číslo, bez premennej). Derivát sa získa veľmi jednoducho:

Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v jednotnej štátnej skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkustangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám zdá logaritmus ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a budete v poriadku), ale z matematického hľadiska slovo „komplexný“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravný pás: dvaja ľudia sedia a robia nejaké akcie s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Výsledkom je zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a previazaná stuhou. Ak chcete zjesť čokoládovú tyčinku, musíte vykonať opačné kroky v opačnom poradí.

Vytvorme podobný matematický reťazec: najprv nájdeme kosínus čísla a potom odmocnime výsledné číslo. Takže dostaneme číslo (čokoláda), nájdem jeho kosínus (obal) a potom utvoríte štvorec, čo som dostal (previažte to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď na zistenie jej hodnoty vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom druhú akciu s tým, čo vyplynulo z prvej.

Rovnaké kroky môžeme jednoducho urobiť v opačnom poradí: najprv to odmocni a ja potom hľadám kosínus výsledného čísla: . Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexných funkcií: keď sa zmení poradie akcií, funkcia sa zmení.

Inými slovami, komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre prvý príklad, .

Druhý príklad: (to isté). .

Akcia, ktorú urobíme ako posledná, bude zavolaná „vonkajšia“ funkcia, a akcia vykonaná ako prvá - podľa toho „vnútorná“ funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je externá a ktorá interná:

Odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

Zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vyberieme našu čokoládovú tyčinku a budeme hľadať derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Vo vzťahu k pôvodnému príkladu to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Takže konečne sformulujme oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Zdá sa to jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu pre nekonečne malý prírastok argumentu:

Základné deriváty:

Pravidlá rozlišovania:

Konštanta je vyňatá z derivačného znamienka:

Derivát súčtu:

Derivát produktu:

Derivát kvocientu:

Derivácia komplexnej funkcie:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

1. Definujeme „internú“ funkciu a nájdeme jej deriváciu.
2. Definujeme „vonkajšiu“ funkciu a nájdeme jej deriváciu.
3. Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Aby ste mohli lepšie využívať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 499 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Priamka y=3x+2 je dotyčnicou grafu funkcie y=-12x^2+bx-10. Nájdite b za predpokladu, že úsečka dotykového bodu je menšia ako nula.

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=-12x^2+bx-10, ktorým prechádza dotyčnica k tomuto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, teda y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhej strane bod dotyku patrí súčasne do oboch grafu funkcie a dotyčnice, teda -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Získame sústavu rovníc \begin(prípady) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Vyriešením tohto systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body menšie ako nula, takže x_0=-1, potom b=3+24x_0=-21.

Odpoveď

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) (čo je prerušovaná čiara zložená z troch priamych segmentov). Pomocou obrázku vypočítajte F(9)-F(5), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x).

Riešenie

Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca sa rozdiel F(9)-F(5), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x), rovná ploche ohraničeného krivočiareho lichobežníka. grafom funkcie y=f(x), priamky y=0 , x=9 a x=5. Z grafu určíme, že naznačený zakrivený lichobežník je lichobežník so základňami rovnými 4 a 3 a výškou 3.

Jeho plocha je rovnaká \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf y=f"(x) - derivácia funkcie f(x), definovaná na intervale (-4; 10). Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(x). Vo Vašej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

Riešenie

Ako je známe, funkcia f(x) klesá na tých intervaloch, v ktorých je derivácia f"(x) menšia ako nula. Vzhľadom na to, že je potrebné nájsť dĺžku najväčšieho z nich, sú tri takéto intervaly prirodzene sa odlišuje od čísla: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Dĺžka najväčšieho z nich - (5; 9) je 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf y=f"(x) - derivácia funkcie f(x), definovaná na intervale (-8; 7). Nájdite počet maximálnych bodov funkcie f(x) patriacich do interval [-6; -2].

Riešenie

Graf ukazuje, že derivácia f"(x) funkcie f(x) mení znamienko z plus na mínus (v takýchto bodoch bude maximum) presne v jednom bode (medzi -5 a -4) z intervalu [ -6; -2 ] Preto na intervale [-6; -2] je práve jeden maximálny bod.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x), definovanej na intervale (-2; 8). Určte počet bodov, v ktorých sa derivácia funkcie f(x) rovná 0.

Riešenie

Rovnosť derivácie v bode k nule znamená, že dotyčnica ku grafu funkcie nakreslenej v tomto bode je rovnobežná s osou Ox. Preto nájdeme body, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou Ox. Na tomto grafe sú takéto body extrémnymi bodmi (maximálne alebo minimálne body). Ako vidíte, existuje 5 extrémnych bodov.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Priamka y=-3x+4 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7. Nájdite úsečku dotykového bodu.

Riešenie

Uhlový koeficient priamky ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7 v ľubovoľnom bode x_0 sa rovná y"(x_0). Ale y"=-2x+5, čo znamená y" (x_0)=-2x_0+5. Uhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmienke sa rovná -3. Rovnobežné čiary majú rovnaké koeficienty sklonu. Preto nájdeme hodnotu x_0 takú, že =- 2x_0 +5=-3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a na vodorovnej osi sú vyznačené body -6, -1, 1, 4. V ktorom z týchto bodov je derivácia najmenšia? Označte tento bod vo svojej odpovedi.