తార్కిక సూత్రాలను ఎలా పరిష్కరించాలి. కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ సమస్యలలో తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలు

సమీకరణాల ఉపయోగం మన జీవితాల్లో విస్తృతంగా ఉంది. వారు అనేక గణనలు, నిర్మాణాల నిర్మాణం మరియు క్రీడలలో కూడా ఉపయోగిస్తారు. మనిషి పురాతన కాలంలో సమీకరణాలను ఉపయోగించాడు మరియు అప్పటి నుండి వాటి ఉపయోగం పెరిగింది. గణితంలో, ప్రతిపాదిత తర్కంతో వ్యవహరించే కొన్ని సమస్యలు ఉన్నాయి. ఈ రకమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు కొంత జ్ఞానం కలిగి ఉండాలి: ప్రతిపాదిత తర్కం యొక్క చట్టాల పరిజ్ఞానం, 1 లేదా 2 వేరియబుల్స్ యొక్క తార్కిక ఫంక్షన్ల సత్య పట్టికల జ్ఞానం, తార్కిక వ్యక్తీకరణలను మార్చే పద్ధతులు. అదనంగా, మీరు తార్కిక కార్యకలాపాల యొక్క క్రింది లక్షణాలను తెలుసుకోవాలి: సంయోగం, డిస్జంక్షన్, విలోమం, చిక్కు మరియు సమానత్వం.

\ వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా లాజికల్ ఫంక్షన్ - \ సత్య పట్టిక ద్వారా పేర్కొనవచ్చు.

అనేక తార్కిక సమీకరణాలను పరిష్కరిద్దాం:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

పరిష్కారాన్ని \[X1\]తో ప్రారంభిద్దాం మరియు ఈ వేరియబుల్ ఏ విలువలను తీసుకుంటుందో నిర్ధారిద్దాం: 0 మరియు 1. తర్వాత, పైన పేర్కొన్న ప్రతి విలువలను పరిశీలిస్తాము మరియు \[X2.\] ఎలా ఉంటుందో చూద్దాం.

పట్టిక నుండి చూడగలిగినట్లుగా, మా తార్కిక సమీకరణంలో 11 పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

నేను ఆన్‌లైన్‌లో లాజిక్ సమీకరణాన్ని ఎక్కడ పరిష్కరించగలను?

మీరు మా వెబ్‌సైట్ https://siteలో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు. ఉచిత ఆన్‌లైన్ పరిష్కర్త ఏదైనా సంక్లిష్టత యొక్క ఆన్‌లైన్ సమీకరణాలను సెకన్ల వ్యవధిలో పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మీరు చేయాల్సిందల్లా మీ డేటాను సాల్వర్‌లో నమోదు చేయండి. మీరు వీడియో సూచనలను కూడా చూడవచ్చు మరియు మా వెబ్‌సైట్‌లో సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకోవచ్చు. మరియు మీకు ఇంకా ప్రశ్నలు ఉంటే, మీరు వాటిని మా VKontakte సమూహంలో అడగవచ్చు http://vk.com/pocketteacher. మా గుంపులో చేరండి, మీకు సహాయం చేయడానికి మేము ఎల్లప్పుడూ సంతోషిస్తాము.

వేరియబుల్స్ మార్చడం ద్వారా తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

కొన్ని వేరియబుల్స్ సమీకరణాలలో నిర్దిష్ట వ్యక్తీకరణ రూపంలో మాత్రమే చేర్చబడితే వేరియబుల్స్ ప్రత్యామ్నాయం యొక్క పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది మరియు మరేమీ లేదు. అప్పుడు ఈ వ్యక్తీకరణను కొత్త వేరియబుల్ ద్వారా సూచించవచ్చు.

ఉదాహరణ 1.

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 లాజికల్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఎన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలు క్రింద జాబితా చేయబడిన అన్ని షరతులను సంతృప్తిపరుస్తాయి?

(x1 → x2) → (x3→ x4) = 1

(x3 → x4) → (x5 → x6) = 1

(x5 → x6) → (x7 → x8) = 1

సమాధానానికి x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలను జాబితా చేయవలసిన అవసరం లేదు, దీని కోసం ఈ సమానత్వ వ్యవస్థ సంతృప్తి చెందుతుంది. సమాధానంగా, మీరు అటువంటి సెట్ల సంఖ్యను సూచించాలి.

పరిష్కారం:

(x1 → x2) = y1; (x3 → x4) = y2; (x5 → x6) = y3; (x7 → x8) = y4.

అప్పుడు మనం సిస్టమ్‌ను ఒకే సమీకరణం రూపంలో వ్రాయవచ్చు:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. ప్రతి ఆపరాండ్ విలువ 1 తీసుకున్నప్పుడు సంయోగం 1 (నిజం) అవుతుంది. అంటే ప్రతి చిక్కులు తప్పక నిజం మరియు ఇది (1 → 0) మినహా అన్ని విలువలకు నిజం. ఆ. y1, y2, y3, y4 వేరియబుల్స్ విలువల పట్టికలో, ఒకటి సున్నాకి ఎడమవైపు ఉండకూడదు:

ఆ. 5 సెట్ల y1-y4 కోసం షరతులు సంతృప్తి చెందాయి.

ఎందుకంటే y1 = x1 → x2, ఆపై y1 = 0 విలువ ఒకే సెట్ x1, x2: (1, 0)పై సాధించబడుతుంది మరియు విలువ y1 = 1 – మూడు సెట్‌లలో x1, x2: (0,0) , (0 ,1), (1.1). అలాగే y2, y3, y4 కోసం.

వేరియబుల్ y1 కోసం ప్రతి సెట్ (x1,x2) వేరియబుల్ y2 మొదలైన వాటి కోసం ప్రతి సెట్ (x3,x4)తో కలిపి ఉంటుంది కాబట్టి, వేరియబుల్స్ x సెట్ల సంఖ్యలు గుణించబడతాయి:

సెట్ల సంఖ్యను జత చేద్దాం: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.

సమాధానం: 121

ఉదాహరణ 2.

x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 లాజికల్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఎన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలు క్రింద జాబితా చేయబడిన అన్ని షరతులను సంతృప్తిపరుస్తాయి?

(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)

(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)

(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)

ప్రతిస్పందనగా అవసరం లేదు x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలను జాబితా చేయండి, దీని కోసం ఇచ్చిన సమానత్వ వ్యవస్థ సంతృప్తి చెందుతుంది. సమాధానంగా, మీరు అటువంటి సెట్ల సంఖ్యను సూచించాలి.

పరిష్కారం:

వేరియబుల్స్ మార్పు చేద్దాం:

(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9

వ్యవస్థను ఒకే సమీకరణంగా వ్రాయవచ్చు:

(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ .....∧ (¬ z8 ≡ z9)

రెండు ఒపెరాండ్‌లు సమానంగా ఉంటేనే సమానత్వం నిజం. ఈ సమీకరణానికి రెండు సెట్ల పరిష్కారాలు ఉన్నాయి:

ఎందుకంటే zi = (xi ≡ yi), అప్పుడు zi = 0 విలువ రెండు సెట్‌లకు (xi,yi): (0,1) మరియు (1,0), మరియు zi = 1 విలువ రెండు సెట్‌లకు (xi,yi) అనుగుణంగా ఉంటుంది ): (0 ,0) మరియు (1,1).

అప్పుడు మొదటి సెట్ z1, z2,..., z9 2 9 సెట్‌లకు (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9) అనుగుణంగా ఉంటుంది.

అదే సంఖ్య రెండవ సెట్ z1, z2,..., z9కి అనుగుణంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మొత్తం 2 9 +2 9 = 1024 సెట్లు ఉన్నాయి.

సమాధానం: 1024

రికర్షన్ యొక్క దృశ్య నిర్ధారణ పద్ధతిని ఉపయోగించి తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

సమీకరణాల వ్యవస్థ చాలా సరళంగా ఉంటే మరియు వేరియబుల్స్ జోడించేటప్పుడు సెట్ల సంఖ్యను పెంచే క్రమం స్పష్టంగా ఉంటే ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 3.

సమీకరణాల వ్యవస్థలో ఎన్ని విభిన్న పరిష్కారాలు ఉన్నాయి?

¬x9 ∨ x10 = 1,

ఎక్కడ x1, x2, … x10 లాజికల్ వేరియబుల్స్?

సమాధానానికి ఈ సమానత్వ వ్యవస్థ సంతృప్తి చెందిన x1, x2, ... x10 విలువల యొక్క అన్ని విభిన్న సెట్లను జాబితా చేయవలసిన అవసరం లేదు. సమాధానంగా, మీరు అటువంటి సెట్ల సంఖ్యను సూచించాలి.

పరిష్కారం:

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం. ఒక విచ్ఛేదం 1కి సమానం అయితే దాని ఆపరేండ్‌లలో కనీసం ఒకటి 1కి సమానం. అంటే పరిష్కారాలు సెట్లు:

x1=0 కోసం, x2 (0 మరియు 1) యొక్క రెండు విలువలు ఉన్నాయి, మరియు x1=1 కోసం x2 (1) యొక్క ఒక విలువ మాత్రమే ఉంటుంది, అంటే సెట్ (x1,x2) సమీకరణానికి పరిష్కారం . మొత్తం 3 సెట్లు ఉన్నాయి.

వేరియబుల్ x3ని జోడించి, రెండవ సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం. ఇది మొదటిదానిని పోలి ఉంటుంది, అంటే x2=0కి x3 (0 మరియు 1) రెండు విలువలు ఉన్నాయి మరియు x2=1కి ఒకే ఒక విలువ x3 (1), అంటే సెట్ (x2) ,x3) సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారం. మొత్తం 4 సెట్లు ఉన్నాయి.

మరొక వేరియబుల్ జోడించినప్పుడు, ఒక సెట్ జోడించబడిందని చూడటం సులభం. ఆ. (i+1) వేరియబుల్స్ సెట్‌ల సంఖ్య కోసం పునరావృత సూత్రం:

N i +1 = N i + 1. అప్పుడు పది వేరియబుల్స్ కోసం మనకు 11 సెట్లు వస్తాయి.

సమాధానం: 11

వివిధ రకాల తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

ఉదాహరణ 4.

x 1, ..., x 4, y 1,..., y 4, z 1,..., z 4 లాజికల్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఎన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలు క్రింద జాబితా చేయబడిన అన్ని షరతులను సంతృప్తిపరుస్తాయి ?

(x 1 → x 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) = 1

(y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) = 1

(z 1 → z 2) ∧ (z 2 → z 3) ∧ (z 3 → z 4) = 1

x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0

ప్రతిస్పందనగా అవసరం లేదు x 1, ..., x 4, y 1, ..., y 4, z 1, ..., z 4 వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలను జాబితా చేయండి, దీని కోసం ఈ సమానత్వ వ్యవస్థ సంతృప్తి చెందుతుంది.

సమాధానంగా, మీరు అటువంటి సెట్ల సంఖ్యను సూచించాలి.

పరిష్కారం:

సిస్టమ్ యొక్క మూడు సమీకరణాలు వేర్వేరు స్వతంత్ర సెట్ల వేరియబుల్స్‌లో ఒకే విధంగా ఉంటాయని గమనించండి.

మొదటి సమీకరణాన్ని చూద్దాం. సంయోగం నిజం (1కి సమానం) దాని అన్ని ఆపరేండ్‌లు నిజమైతే మాత్రమే (1కి సమానం). (1,0) మినహా అన్ని టుపుల్స్‌పై తాత్పర్యం 1. దీనర్థం మొదటి సమీకరణానికి పరిష్కారం క్రింది సెట్‌లు x1, x2, x3, x4గా ఉంటుంది, దీనిలో 1 0 (5 సెట్‌లు)కి ఎడమవైపు ఉండదు.

అదేవిధంగా, రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాలకు పరిష్కారాలు ఖచ్చితంగా ఒకే సెట్లు y1,…,y4 మరియు z1,..., z4.

ఇప్పుడు సిస్టమ్ యొక్క నాల్గవ సమీకరణాన్ని విశ్లేషిద్దాం: x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0. పరిష్కారం x4, y4, z4 అన్ని సెట్‌లుగా ఉంటుంది, దీనిలో కనీసం ఒక వేరియబుల్ 0కి సమానం.

ఆ. x4 = 0 కోసం, సాధ్యమయ్యే అన్ని సెట్‌లు (y4, z4) అనుకూలంగా ఉంటాయి మరియు x4 = 1 కోసం, సెట్‌లు (y4, z4) అనుకూలంగా ఉంటాయి, ఇందులో కనీసం ఒక సున్నా ఉంటుంది: (0, 0), (0,1 ) , (1, 0).

మొత్తం సెట్ల సంఖ్య 25 + 4*9 = 25 + 36 = 61.

సమాధానం: 61

పునరావృత సూత్రాలను నిర్మించడం ద్వారా తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

సంక్లిష్ట వ్యవస్థలను పరిష్కరించేటప్పుడు పునరావృత సూత్రాలను నిర్మించే పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది, దీనిలో సెట్ల సంఖ్యను పెంచే క్రమం స్పష్టంగా లేదు మరియు వాల్యూమ్‌ల కారణంగా చెట్టును నిర్మించడం అసాధ్యం.

ఉదాహరణ 5.

x1, x2, ... x7, y1, y2, ... y7 లాజికల్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఎన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలు క్రింద జాబితా చేయబడిన అన్ని షరతులను సంతృప్తిపరుస్తాయి?

(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) = 1

(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) = 1

(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) = 1

సమాధానానికి ఈ సమానత్వ వ్యవస్థ సంతృప్తి చెందిన వేరియబుల్స్ x1, x2, ..., x7, y1, y2, ..., y7 యొక్క అన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలను జాబితా చేయవలసిన అవసరం లేదు. సమాధానంగా, మీరు అటువంటి సెట్ల సంఖ్యను సూచించాలి.

పరిష్కారం:

సిస్టమ్ యొక్క మొదటి ఆరు సమీకరణాలు ఒకేలా ఉంటాయి మరియు వేరియబుల్స్ సెట్‌లో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి. మొదటి సమీకరణాన్ని చూద్దాం. దీని పరిష్కారం క్రింది వేరియబుల్స్ సెట్‌గా ఉంటుంది:

సూచిస్తాము:

A 1 నుండి వేరియబుల్స్ (x1,y1) పై టుపుల్స్ సంఖ్య (0,0),

B 1 నుండి వేరియబుల్స్ (x1,y1) పై టుపుల్స్ సంఖ్య (0,1),

C 1 నుండి వేరియబుల్స్ (x1,y1) పై టుపుల్స్ సంఖ్య (1,0),

D 1 ద్వారా వేరియబుల్స్ (x1,y1) పై టుపుల్స్ (1,1) సంఖ్య.

A 2 నుండి వేరియబుల్స్ (x2,y2) పై టుపుల్స్ (0,0) సంఖ్య,

టుపుల్స్ సంఖ్య (0,1) వేరియబుల్స్ (x2,y2) నుండి B 2,

C 2 నుండి వేరియబుల్స్ (x2,y2) పై టుపుల్స్ సంఖ్య (1,0),

D 2 ద్వారా వేరియబుల్స్ (x2,y2)పై టుపుల్స్ (1,1) సంఖ్య.

నిర్ణయం చెట్టు నుండి మనం చూస్తాము

A 1 =0, B 1 =1, C 1 =1, D 1 =1.

వేరియబుల్స్‌పై (x2,y2) సెట్ (0,0) సెట్‌లు (0,1), (1,0) మరియు (1,1) వేరియబుల్స్‌పై (x1,y1) పొందబడిందని గమనించండి. ఆ. A 2 =B 1 +C 1 +D 1.

వేరియబుల్స్ (x2,y2)పై సెట్ (0,1) సెట్లు (0,1), (1,0) మరియు (1,1) వేరియబుల్స్ (x1,y1) నుండి పొందబడతాయి. ఆ. B 2 =B 1 +C 1 +D 1.

అదేవిధంగా వాదిస్తూ, మేము C 2 =B 1 +C 1 +D 1 అని గమనించండి. D2 = D1.

అందువలన, మేము పునరావృత సూత్రాలను పొందుతాము:

A i+1 = B i + C i + D i

B i+1 = B i + C i + D i

C i+1 = B i + C i + D i

D i+1 = A i +B i + C i + D i

ఒక టేబుల్ తయారు చేద్దాం

చివరి సమీకరణం (x7 ∨ y7) = 1 x7=0 మరియు y7=0 మినహా అన్ని సెట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది. మా పట్టికలో అటువంటి సెట్ల సంఖ్య A 7.

అప్పుడు మొత్తం సెట్ల సంఖ్య B 7 + C 7 + D 7 = 127+127+1 = 255

సమాధానం: 255

మున్సిపల్ బడ్జెట్ విద్యా సంస్థ

"సెకండరీ స్కూల్ నం. 18"

రిపబ్లిక్ ఆఫ్ బాష్కోర్టోస్టన్ యొక్క సలావత్ నగరంలోని పట్టణ జిల్లా

తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలు

కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ సమస్యలు

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ టాస్క్‌లలో "ఫండమెంటల్స్ ఆఫ్ ఆల్జీబ్రా ఆఫ్ లాజిక్" అనే విభాగం చాలా కష్టతరమైన మరియు పరిష్కరించడానికి కష్టతరమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. ఈ అంశంపై పూర్తి చేసిన టాస్క్‌ల సగటు శాతం అత్యల్పంగా ఉంది మరియు 43.2.

2018 KIM స్పెసిఫికేషన్ ఆధారంగా, ఈ బ్లాక్‌లో వివిధ కష్ట స్థాయిల నాలుగు టాస్క్‌లు ఉన్నాయి.

టాస్క్ 23 కష్టతరమైన స్థాయిలో ఉంది, కాబట్టి ఇది పూర్తి చేసిన అతి తక్కువ శాతాన్ని కలిగి ఉంది. సిద్ధమైన గ్రాడ్యుయేట్లలో (81-100 పాయింట్లు), 49.8% టాస్క్‌ను పూర్తి చేసారు; మధ్యస్తంగా సిద్ధమైన గ్రాడ్యుయేట్లు (61-80 పాయింట్లు) 13.7% పూర్తి చేసారు; మిగిలిన విద్యార్థుల సమూహం ఈ పనిని పూర్తి చేయలేదు.

తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో విజయం తర్కం యొక్క చట్టాల జ్ఞానం మరియు వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి పద్ధతుల యొక్క ఖచ్చితమైన అనువర్తనంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

మ్యాపింగ్ పద్ధతిని ఉపయోగించి తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిద్దాం.

(23.154 Polyakov K.Yu.) సమీకరణాల వ్యవస్థలో ఎన్ని విభిన్న పరిష్కారాలు ఉన్నాయి?

((x1  వై1 )  (x2  వై2 ))  (x1  x2 )  (వై1  వై2 ) =1

((x2  వై2 )  (x3  వై3 ))  (x2  x3 )  (వై2  వై3 ) =1

((x7  వై7 )  (x8  వై8 ))  (x7  x8 )  (వై7  వై8 ) =1

ఎక్కడ x1 , x2 ,…, x8, వద్ద1 ,వై2 ,…,వై8 - లాజికల్ వేరియబుల్స్? సమాధానం ఈ సమానత్వం కలిగి ఉన్న అన్ని విభిన్న వేరియబుల్ విలువల సెట్‌లను జాబితా చేయవలసిన అవసరం లేదు. సమాధానంగా, మీరు అటువంటి సెట్ల సంఖ్యను సూచించాలి.

పరిష్కారం. సిస్టమ్‌లో చేర్చబడిన అన్ని సమీకరణాలు ఒకే రకంగా ఉంటాయి మరియు ప్రతి సమీకరణంలో నాలుగు వేరియబుల్స్ ఉంటాయి. x1 మరియు y1 తెలుసుకోవడం, మొదటి సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే x2 మరియు y2 యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువలను మనం కనుగొనవచ్చు. ఇదే విధంగా తర్కించడం, తెలిసిన x2 మరియు y2 నుండి మనం రెండవ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే x3, y3ని కనుగొనవచ్చు. అంటే, జత (x1, y1) తెలుసుకోవడం మరియు జత (x2, y2) విలువను నిర్ణయించడం, మేము జత (x3, y3) ను కనుగొంటాము, ఇది జతకు దారి తీస్తుంది (x4, y4) మరియు అందువలన న.

మొదటి సమీకరణానికి అన్ని పరిష్కారాలను కనుగొనండి. ఇది రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు: తార్కికం మరియు తర్కం యొక్క చట్టాల అన్వయం ద్వారా సత్య పట్టికను నిర్మించడం.

సత్య పట్టిక:

సత్య పట్టికను నిర్మించడం శ్రమతో కూడుకున్నది మరియు సమయం-అసమర్థమైనది, కాబట్టి మేము రెండవ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము - లాజికల్ రీజనింగ్. ప్రతి కారకం 1కి సమానం అయితే మాత్రమే ఉత్పత్తి 1కి సమానం.

(x1  వై1 )  (x2  వై2 ))=1

(x1  x2 ) =1

(వై1  వై2 ) =1

మొదటి సమీకరణాన్ని చూద్దాం. పర్యవసానం 0 0, 0 1, 1 1 అయినప్పుడు 1కి సమానం, అంటే (x1 y1)=0 (01), (10), తర్వాత జత (x2  వై2 ) ఏదైనా కావచ్చు (00), (01), (10), (11), మరియు (x1 y1) = 1, అంటే (00) మరియు (11) జత (x2 y2) = 1 తీసుకుంటుంది అదే విలువలు (00) మరియు (11). రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాలు తప్పుగా ఉన్న జతలను ఈ పరిష్కారం నుండి మినహాయిద్దాం, అంటే x1=1, x2=0, y1=1, y2=0.

జతల మొత్తం సంఖ్య 1+1+1+22= 25

2) (23.160 Polyakov K.Yu.) తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థ ఎన్ని విభిన్న పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది?

(x 1  (x 2  వై 2 ))  (వై 1  వై 2 ) = 1

(x 2  (x 3  వై 3 ))  (వై 2  వై 3 ) = 1

...

( x 6  ( x 7  వై 7 ))  ( వై 6  వై 7 ) = 1

x 7  వై 7 = 1

పరిష్కారం. 1) సమీకరణాలు ఒకే రకానికి చెందినవి, కాబట్టి తార్కికం ఉపయోగించి మొదటి సమీకరణంలో సాధ్యమయ్యే అన్ని జతలను (x1,y1), (x2,y2) కనుగొంటాము.

(x1  (x2  వై2 ))=1

(వై1  వై2 ) = 1

రెండవ సమీకరణానికి పరిష్కారం జతలు (00), (01), (11).

మొదటి సమీకరణానికి పరిష్కారాలను కనుగొనండి. x1=0 అయితే, x2, y2 - ఏదైనా, x1=1 అయితే, x2, y2 విలువ (11) తీసుకుంటుంది.

జతల (x1, y1) మరియు (x2, y2) మధ్య కనెక్షన్‌లను చేద్దాం.

ప్రతి దశలో జతల సంఖ్యను లెక్కించడానికి పట్టికను రూపొందిద్దాం.

చివరి సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం x 7  వై 7 = 1, జతని మినహాయిద్దాం (10). 1+7+0+34=42 పరిష్కారాల మొత్తం సంఖ్యను కనుగొనండి

3)(23.180) తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థ ఎన్ని విభిన్న పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది?

(x1  x2 )  (x3  x4 ) = 1

(x3  x4 )  (x5  x6 ) = 1

(x5  x6 )  (x7  x8 ) = 1

(x7  x8 )  (x9  x10 ) = 1

x1  x3  x5  x7  x9 = 1

పరిష్కారం. 1) సమీకరణాలు ఒకే రకానికి చెందినవి, కాబట్టి తార్కికం ఉపయోగించి మొదటి సమీకరణంలో సాధ్యమయ్యే అన్ని జతలను (x1,x2), (x3,x4) కనుగొంటాము.

(x1  x2 )  (x3  x4 ) = 1

ఈ క్రమంలో 0 (1 0) ఇచ్చే జతలను పరిష్కారం నుండి మినహాయిద్దాం, ఇవి జతలు (01, 00, 11) మరియు (10).

జతల మధ్య కనెక్షన్‌లు చేద్దాం (x1,x2), (x3,x4)

సూచనలు. కీబోర్డ్ నుండి ప్రవేశించేటప్పుడు, కింది సంప్రదాయాలను ఉపయోగించండి:

లాజికల్ ఫంక్షన్‌ను నమోదు చేయడానికి నియమాలు

1. v (డిజంక్షన్, OR) గుర్తుకు బదులుగా, + గుర్తును ఉపయోగించండి.
2. లాజికల్ ఫంక్షన్‌కు ముందు ఫంక్షన్ హోదాను పేర్కొనవలసిన అవసరం లేదు. ఉదాహరణకు, F(x,y)=(x|y)=(x^y)కి బదులుగా మీరు కేవలం (x|y)=(x^y)ని నమోదు చేయాలి.
3. వేరియబుల్స్ గరిష్ట సంఖ్య 10.

కంప్యూటర్ లాజిక్ సర్క్యూట్ల రూపకల్పన మరియు విశ్లేషణ గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రత్యేక శాఖను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది - లాజిక్ ఆల్జీబ్రా. తర్కం యొక్క బీజగణితంలో, మూడు ప్రధాన తార్కిక విధులను వేరు చేయవచ్చు: “NOT” (నిరాకరణ), “AND” (సంయోగం), “OR” (విచ్ఛిన్నం).
ఏదైనా తార్కిక పరికరాన్ని సృష్టించడానికి, ఇప్పటికే ఉన్న ఇన్‌పుట్ వేరియబుల్స్‌పై ప్రతి అవుట్‌పుట్ వేరియబుల్స్ ఆధారపడటాన్ని గుర్తించడం అవసరం; ఈ ఆధారపడటాన్ని స్విచింగ్ ఫంక్షన్ లేదా లాజిక్ ఆల్జీబ్రా ఫంక్షన్ అంటారు.
లాజికల్ ఆల్జీబ్రా ఫంక్షన్‌ని దాని మొత్తం 2n విలువలు ఇచ్చినట్లయితే పూర్తిగా నిర్వచించబడుతుంది, ఇక్కడ n అనేది అవుట్‌పుట్ వేరియబుల్స్ సంఖ్య.
అన్ని విలువలు నిర్వచించబడకపోతే, ఫంక్షన్ పాక్షికంగా నిర్వచించబడింది.
ఒక పరికరం లాజిక్ ఆల్జీబ్రా ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి దాని స్థితిని వివరించినట్లయితే దానిని లాజికల్ అంటారు.
లాజికల్ ఆల్జీబ్రా ఫంక్షన్‌ను సూచించడానికి క్రింది పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి:
బీజగణిత రూపంలో, మీరు తార్కిక మూలకాలను ఉపయోగించి తార్కిక పరికరం యొక్క సర్క్యూట్‌ను నిర్మించవచ్చు.


మూర్తి 1 - లాజిక్ పరికర రేఖాచిత్రం

తర్కం యొక్క బీజగణితం యొక్క అన్ని కార్యకలాపాలు నిర్వచించబడ్డాయి సత్య పట్టికలువిలువలు. సత్యం పట్టిక ఆపరేషన్ ఫలితాన్ని నిర్ణయిస్తుంది ప్రతి ఒక్కరూ సాధ్యమే x అసలు ప్రకటనల తార్కిక విలువలు. అన్వయించే ఆపరేషన్ల ఫలితాన్ని ప్రతిబింబించే ఎంపికల సంఖ్య లాజికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లోని స్టేట్‌మెంట్‌ల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది. లాజికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లోని స్టేట్‌మెంట్‌ల సంఖ్య N అయితే, ట్రూట్ టేబుల్ 2 N అడ్డు వరుసలను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే 2 N విభిన్న ఆర్గ్యుమెంట్ విలువల కలయికలు ఉంటాయి.

ఆపరేషన్ కాదు - తార్కిక నిరాకరణ (విలోమం)

• అసలు వ్యక్తీకరణ నిజమైతే, దాని తిరస్కరణ ఫలితం తప్పు అవుతుంది;
• అసలు వ్యక్తీకరణ తప్పు అయితే, దాని తిరస్కరణ ఫలితం నిజం అవుతుంది.

OR ఆపరేషన్ - తార్కిక జోడింపు (డిజంక్షన్, యూనియన్)

ఆపరేషన్ మరియు - తార్కిక గుణకారం (సంయోగం)

ఆపరేషన్ “IF-THEN” - తార్కిక పర్యవసానం (అర్థం)

ఆపరేషన్ “A అయితే మరియు B అయితే మాత్రమే” (సమానత, సమానత్వం)

ఆపరేషన్ “అడిషన్ మాడ్యులో 2” (XOR, ప్రత్యేకమైన లేదా, కఠినమైన డిస్జంక్షన్)

తార్కిక కార్యకలాపాల ప్రాధాన్యత

• కుండలీకరణాల్లో చర్యలు
• విలోమం
• సంయోగం (&)
• డిస్జంక్షన్ (V), ప్రత్యేకమైన OR (XOR), సమ్ మాడ్యులో 2
• తాత్పర్యం (→)
• సమానత్వం (↔)

పర్ఫెక్ట్ డిజంక్టివ్ సాధారణ రూపం

1. ఫార్ములా యొక్క ప్రతి తార్కిక పదం F(x 1,x 2,...x n) ఫంక్షన్‌లో చేర్చబడిన అన్ని వేరియబుల్స్‌ను కలిగి ఉంటుంది.
2. సూత్రం యొక్క అన్ని తార్కిక నిబంధనలు భిన్నంగా ఉంటాయి.
3. ఒక్క తార్కిక పదం కూడా వేరియబుల్ మరియు దాని నిరాకరణను కలిగి ఉండదు.
4. ఫార్ములాలోని ఏ తార్కిక పదం ఒకే వేరియబుల్‌ని రెండుసార్లు కలిగి ఉండదు.

సంపూర్ణ సంయోగ సాధారణ రూపం

1. అన్ని ఎలిమెంటరీ డిస్జంక్షన్‌లు F(x 1 ,x 2 ,...x n) ఫంక్షన్‌లో చేర్చబడిన అన్ని వేరియబుల్‌లను కలిగి ఉంటాయి.
2. అన్ని ప్రాథమిక విభజనలు భిన్నంగా ఉంటాయి.
3. ప్రతి ఎలిమెంటరీ డిస్‌జంక్షన్ ఒకసారి వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉంటుంది.
4. ఒక్క ఎలిమెంటరీ డిస్జంక్షన్ కూడా వేరియబుల్ మరియు దాని నిరాకరణను కలిగి ఉండదు.

తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు

మీరు తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించవచ్చు, ఉదాహరణకు, సత్య పట్టికను ఉపయోగించి (వేరియబుల్స్ సంఖ్య చాలా పెద్దది కానట్లయితే) లేదా నిర్ణయం ట్రీని ఉపయోగించి, మొదట ప్రతి సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయడం ద్వారా.

1. వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ పద్ధతి.

కొత్త వేరియబుల్స్ పరిచయం చేయడం వలన మీరు సమీకరణాల వ్యవస్థను సులభతరం చేయడానికి అనుమతిస్తుంది, తెలియని వాటి సంఖ్యను తగ్గిస్తుంది.కొత్త వేరియబుల్స్ ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉండాలి. సరళీకృత వ్యవస్థను పరిష్కరించిన తర్వాత, మనం అసలు వేరియబుల్స్‌కు తిరిగి రావాలి.

నిర్దిష్ట ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ పద్ధతి యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

పరిష్కారం:

కొత్త వేరియబుల్స్‌ని పరిచయం చేద్దాం: A=(X1≡ X2); B=(X3 ≡ X4); С=(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); E=(X9 ≡ X10).

(శ్రద్ధ! ప్రతి వేరియబుల్స్ x1, x2, ..., x10 తప్పనిసరిగా కొత్త వేరియబుల్స్ A, B, C, D, E, అంటే కొత్త వేరియబుల్స్ ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉంటాయి).

అప్పుడు సమీకరణాల వ్యవస్థ ఇలా కనిపిస్తుంది:

(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0

(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0

(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

ఫలిత వ్యవస్థ కోసం నిర్ణయ వృక్షాన్ని నిర్మిస్తాము:

A=0 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి, అనగా. (X1≡ X2)=0. దీనికి 2 మూలాలు ఉన్నాయి:

అదే పట్టిక నుండి A=1 సమీకరణం కూడా 2 మూలాలను కలిగి ఉందని చూడవచ్చు. నిర్ణయం చెట్టుపై మూలాల సంఖ్యను ఏర్పాటు చేద్దాం:

ఒక శాఖ యొక్క పరిష్కారాల సంఖ్యను కనుగొనడానికి, మీరు ప్రతి స్థాయిలో పరిష్కారాల సంఖ్యను గుణించాలి. ఎడమ శాఖలో 2 ఉన్నాయి⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 పరిష్కారాలు; కుడి శాఖ కూడా 32 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది. ఆ. మొత్తం సిస్టమ్ 32+32=64 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది.

సమాధానం: 64.

2. తార్కికం యొక్క పద్ధతి.

తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడంలో ఇబ్బంది అనేది పూర్తి నిర్ణయం చెట్టు యొక్క గజిబిజిగా ఉంటుంది. తార్కిక పద్ధతి మొత్తం చెట్టును నిర్మించకూడదని మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, కానీ అది ఎన్ని శాఖలను కలిగి ఉంటుందో అర్థం చేసుకోవడానికి. నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి ఈ పద్ధతిని చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1. x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 లాజికల్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఎన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలు క్రింద జాబితా చేయబడిన అన్ని షరతులను సంతృప్తిపరుస్తాయి?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

సమాధానానికి ఈ సమానత్వ వ్యవస్థ సంతృప్తి చెందిన వేరియబుల్స్ x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 యొక్క అన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలను జాబితా చేయవలసిన అవసరం లేదు. సమాధానంగా, మీరు అటువంటి సెట్ల సంఖ్యను సూచించాలి.

పరిష్కారం:

మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాలు మూడవ షరతుతో సంబంధం ఉన్న స్వతంత్ర వేరియబుల్స్‌ను కలిగి ఉంటాయి. మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాల కోసం ఒక పరిష్కార చెట్టును నిర్మిస్తాము.

మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాల వ్యవస్థ కోసం పరిష్కార చెట్టును సూచించడానికి, మొదటి చెట్టు యొక్క ప్రతి శాఖను వేరియబుల్స్ కోసం ఒక చెట్టుతో కొనసాగించాలి.వద్ద . ఈ విధంగా నిర్మించిన చెట్టు 36 కొమ్మలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ శాఖలలో కొన్ని వ్యవస్థ యొక్క మూడవ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచవు. మొదటి చెట్టుపై చెట్టు యొక్క కొమ్మల సంఖ్యను గుర్తించండి"y" , ఇది మూడవ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది:

మనం వివరిస్తాము: మూడవ షరతును సంతృప్తి పరచడానికి, x1=0 ఉన్నప్పుడు తప్పనిసరిగా y1=1 ఉండాలి, అనగా చెట్టు యొక్క అన్ని శాఖలు"X" , ఇక్కడ x1=0ని చెట్టు నుండి ఒక శాఖతో మాత్రమే కొనసాగించవచ్చు"y" . మరియు చెట్టు యొక్క ఒక శాఖకు మాత్రమే"X" (కుడి) చెట్టు యొక్క అన్ని శాఖలు సరిపోతాయి"y". ఈ విధంగా, మొత్తం వ్యవస్థ యొక్క పూర్తి చెట్టు 11 శాఖలను కలిగి ఉంటుంది. ప్రతి శాఖ సమీకరణాల అసలు వ్యవస్థకు ఒక పరిష్కారాన్ని సూచిస్తుంది. అంటే మొత్తం సిస్టమ్‌లో 11 పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

సమాధానం: 11.

ఉదాహరణ 2. సమీకరణాల వ్యవస్థలో ఎన్ని విభిన్న పరిష్కారాలు ఉన్నాయి?

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)= 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10)= 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10)= 1

(X1 ≡ X10) = 0

ఎక్కడ x1, x2, ..., x10 లాజికల్ వేరియబుల్స్? సమాధానం ఈ సమానత్వం కలిగి ఉన్న అన్ని విభిన్న వేరియబుల్ విలువల సెట్‌లను జాబితా చేయవలసిన అవసరం లేదు. సమాధానంగా, మీరు అటువంటి సెట్ల సంఖ్యను సూచించాలి.

పరిష్కారం: వ్యవస్థను సులభతరం చేద్దాం. మొదటి సమీకరణంలో కొంత భాగం కోసం సత్య పట్టికను రూపొందిద్దాం:

చివరి నిలువు వరుసకు శ్రద్ధ వహించండి, ఇది చర్య యొక్క ఫలితంతో సరిపోతుంది X1 ≡ X10.

సరళీకృతం చేసిన తర్వాత మనకు లభిస్తుంది:

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1

(X1 ≡ X10) = 0

చివరి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:(X1 ≡ X10) = 0, అనగా. x1 x10తో ఏకీభవించకూడదు. మొదటి సమీకరణం 1కి సమానం కావాలంటే, సమానత్వం నిజం అయి ఉండాలి(X1 ≡ X2)=1, అనగా. x1 తప్పనిసరిగా x2తో సరిపోలాలి.

మొదటి సమీకరణం కోసం ఒక పరిష్కార చెట్టును తయారు చేద్దాం:

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి: x10=1 మరియు x2=0 బ్రాకెట్ కోసంతప్పనిసరిగా 1కి సమానంగా ఉండాలి (అనగా x2 x3తో సమానంగా ఉంటుంది); x10=0 మరియు x2=1 బ్రాకెట్ కోసం(X2 ≡ X10)=0, అంటే బ్రాకెట్ (X2 ≡ X3) 1కి సమానంగా ఉండాలి (అనగా x2 x3తో సమానంగా ఉంటుంది):

ఈ విధంగా తర్కించడం, మేము అన్ని సమీకరణాల కోసం నిర్ణయ వృక్షాన్ని నిర్మిస్తాము:

ఈ విధంగా, సమీకరణాల వ్యవస్థ కేవలం 2 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది.

సమాధానం: 2.

ఉదాహరణ 3.

x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 లాజికల్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఎన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలు క్రింద జాబితా చేయబడిన అన్ని షరతులను సంతృప్తిపరుస్తాయి?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

పరిష్కారం:

1వ సమీకరణం కోసం పరిష్కార వృక్షాన్ని తయారు చేద్దాం:

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:

• ఎప్పుడు x1=0 : రెండవ మరియు మూడవ బ్రాకెట్లు 0కి సమానంగా ఉంటాయి; మొదటి బ్రాకెట్ 1, y1=1, z1=1కి సమానంగా ఉండాలి (అంటే ఈ సందర్భంలో - 1 పరిష్కారం)
• ఎప్పుడు x1=1 : మొదటి బ్రాకెట్ 0కి సమానంగా ఉంటుంది; రెండవలేదా మూడవ కుండలీకరణం తప్పనిసరిగా 1కి సమానంగా ఉండాలి; y1=0 మరియు z1=1 అయినప్పుడు రెండవ బ్రాకెట్ 1కి సమానంగా ఉంటుంది; y1=1 మరియు z1=0 (అంటే ఈ సందర్భంలో - 2 పరిష్కారాలు) ఉన్నప్పుడు మూడవ బ్రాకెట్ 1కి సమానంగా ఉంటుంది.

అదేవిధంగా మిగిలిన సమీకరణాల కోసం. ప్రతి చెట్టు నోడ్‌కు పరిష్కారాల సంఖ్యను మనం గమనించండి:

ప్రతి శాఖకు పరిష్కారాల సంఖ్యను తెలుసుకోవడానికి, ప్రతి శాఖకు (ఎడమ నుండి కుడికి) వేర్వేరుగా ఫలిత సంఖ్యలను గుణించాలి.

1 శాఖ: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 పరిష్కారం

శాఖ 2: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 =2 పరిష్కారాలు

3వ శాఖ: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 =4 పరిష్కారాలు

4వ శాఖ: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8 పరిష్కారాలు

5వ శాఖ: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 పరిష్కారాలు

ఫలిత సంఖ్యలను జతచేద్దాం: మొత్తం 31 పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

సమాధానం: 31.

3. మూలాల సంఖ్యలో సహజ పెరుగుదల

కొన్ని వ్యవస్థలలో, తదుపరి సమీకరణం యొక్క మూలాల సంఖ్య మునుపటి సమీకరణం యొక్క మూలాల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 1. x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 లాజికల్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఎన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలు క్రింద జాబితా చేయబడిన అన్ని షరతులను సంతృప్తిపరుస్తాయి?

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

సరళీకృతం చేద్దాం మొదటి సమీకరణం:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). అప్పుడు సిస్టమ్ రూపం తీసుకుంటుంది:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

మొదలైనవి

ప్రతి తదుపరి సమీకరణం మునుపటి కంటే 2 మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.

4 సమీకరణం 12 మూలాలను కలిగి ఉంటుంది;

సమీకరణం 5 14 మూలాలను కలిగి ఉంది

సమీకరణం 8కి 20 మూలాలు ఉన్నాయి.

సమాధానం: 20 మూలాలు.

కొన్నిసార్లు ఫిబొనాక్సీ చట్టం ప్రకారం మూలాల సంఖ్య పెరుగుతుంది.

తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సృజనాత్మక విధానం అవసరం.