ప్రతికూల ఘాతాంకాలతో వ్యక్తీకరణలను ఎలా పరిష్కరించాలి. డిగ్రీ - లక్షణాలు, నియమాలు, చర్యలు మరియు సూత్రాలు

ప్రతికూల శక్తికి పెంచడం అనేది గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలలో ఒకటి, ఇది బీజగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడంలో తరచుగా ఎదుర్కొంటుంది. వివరణాత్మక సూచనల కోసం క్రింద చూడండి.

ప్రతికూల శక్తిని ఎలా పెంచాలి - సిద్ధాంతం

మేము ఒక సంఖ్యను సాధారణ శక్తికి తీసుకున్నప్పుడు, మేము దాని విలువను అనేక సార్లు గుణిస్తాము. ఉదాహరణకు, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. ప్రతికూల భిన్నంతో, వ్యతిరేకం నిజం. సూత్రం ప్రకారం సాధారణ రూపం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: a -n = 1/a n . అందువల్ల, ఒక సంఖ్యను ప్రతికూల శక్తికి పెంచడానికి, మీరు యూనిట్‌ను ఇచ్చిన సంఖ్యతో విభజించాలి, కానీ ఇప్పటికే సానుకూల శక్తికి.

ప్రతికూల శక్తిని ఎలా పెంచాలి - సాధారణ సంఖ్యలపై ఉదాహరణలు

పై నియమాన్ని దృష్టిలో ఉంచుకుని, కొన్ని ఉదాహరణలను పరిష్కరిద్దాం.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
సమాధానం: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
సమాధానం -4 -2 = 1/16.

అయితే మొదటి మరియు రెండవ ఉదాహరణలలో సమాధానం ఎందుకు ఒకే విధంగా ఉంటుంది? వాస్తవం ఏమిటంటే, ప్రతికూల సంఖ్యను సరి శక్తికి (2, 4, 6, మొదలైనవి) పెంచినప్పుడు, సంకేతం సానుకూలంగా మారుతుంది. డిగ్రీ సమానంగా ఉంటే, మైనస్ భద్రపరచబడుతుంది:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

ప్రతికూల శక్తికి ఎలా పెంచాలి - 0 నుండి 1 వరకు సంఖ్యలు

0 మరియు 1 మధ్య సంఖ్యను సానుకూల శక్తికి పెంచినప్పుడు, శక్తి పెరిగేకొద్దీ విలువ తగ్గుతుందని గుర్తుంచుకోండి. కాబట్టి ఉదాహరణకు, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

ఉదాహరణ 3: 0.5 -2ని లెక్కించండి
పరిష్కారం: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
సమాధానం: 0.5 -2 = 4

పార్సింగ్ (చర్యల క్రమం):

• దశాంశ 0.5ని భిన్నం 1/2కి మార్చండి. ఇది సులభం.
  ప్రతికూల శక్తికి 1/2 పెంచండి. 1/(2) -2 . 1ని 1/(2) 2తో భాగిస్తే, మనకు 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 వస్తుంది

ఉదాహరణ 4: 0.5 -3ని లెక్కించండి
పరిష్కారం: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

ఉదాహరణ 5: లెక్కించు -0.5 -3
పరిష్కారం: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
సమాధానం: -0.5 -3 = -8

4 వ మరియు 5 వ ఉదాహరణల ఆధారంగా, మేము అనేక తీర్మానాలు చేస్తాము:

• 0 నుండి 1 వరకు (ఉదాహరణ 4) పరిధిలోని ధనాత్మక సంఖ్యకు, ప్రతికూల శక్తికి పెంచబడుతుంది, సరి లేదా బేసి డిగ్రీ ముఖ్యం కాదు, వ్యక్తీకరణ విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, ఎక్కువ డిగ్రీ, ఎక్కువ విలువ.
• 0 మరియు 1 మధ్య ఉన్న ప్రతికూల సంఖ్యకు (ఉదాహరణ 5), ప్రతికూల శక్తికి పెంచబడుతుంది, సరి లేదా బేసి డిగ్రీ ముఖ్యం కాదు, వ్యక్తీకరణ విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, ఎక్కువ డిగ్రీ, తక్కువ విలువ.

ప్రతికూల శక్తికి ఎలా పెంచాలి - శక్తిని పాక్షిక సంఖ్యగా

ఈ రకమైన వ్యక్తీకరణలు క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి: a -m/n, ఇక్కడ a సాధారణ సంఖ్య, m అనేది డిగ్రీ యొక్క లవం, n అనేది డిగ్రీ యొక్క హారం.

ఒక ఉదాహరణను పరిగణించండి:
లెక్కించు: 8 -1/3

పరిష్కారం (చర్యల క్రమం):

• సంఖ్యను ప్రతికూల శక్తికి పెంచే నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి. మనకు లభిస్తుంది: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• హారం ఒక పాక్షిక శక్తికి 8 అని గమనించండి. పాక్షిక డిగ్రీని లెక్కించే సాధారణ రూపం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: a m/n = n √8 m .
• అందువలన, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). మనకు ఎనిమిది క్యూబ్ రూట్ వస్తుంది, అది 2. దీని ఆధారంగా, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• సమాధానం: 8 -1/3 = 2

అంశంపై పాఠం మరియు ప్రదర్శన: "ప్రతికూల సూచికతో డిగ్రీ. సమస్య పరిష్కారానికి నిర్వచనం మరియు ఉదాహరణలు"

అదనపు పదార్థాలు
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, అభిప్రాయాలు, సూచనలను తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు. అన్ని పదార్థాలు యాంటీవైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడతాయి.

గ్రేడ్ 8 కోసం ఆన్‌లైన్ స్టోర్ "ఇంటిగ్రల్"లో టీచింగ్ ఎయిడ్స్ మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
పాఠ్యపుస్తకం కోసం మాన్యువల్ మురవిన జి.కె. పాఠ్యపుస్తకం కోసం మాన్యువల్ అలిమోవా Sh.A.

ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీని నిర్ణయించడం

సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం అని మనకు బాగా తెలుసు. $a^0=1$, $a≠0$.
ప్రశ్న తలెత్తుతుంది, మీరు ఒక సంఖ్యను ప్రతికూల శక్తికి పెంచినట్లయితే ఏమి జరుగుతుంది? ఉదాహరణకు, $2^(-2)$ సంఖ్య దేనికి సమానంగా ఉంటుంది?
ఈ ప్రశ్నను అడిగిన మొదటి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు చక్రాన్ని తిరిగి ఆవిష్కరించడం విలువైనది కాదని నిర్ణయించుకున్నారు మరియు డిగ్రీల యొక్క అన్ని లక్షణాలు ఒకే విధంగా ఉండటం మంచిది. అంటే, అదే స్థావరంతో శక్తులను గుణించినప్పుడు, ఘాతాంకాలు జోడించబడతాయి.
ఈ కేసును పరిశీలిద్దాం: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
అటువంటి సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఏకత్వాన్ని ఇవ్వాలని మేము అర్థం చేసుకున్నాము. ఉత్పత్తిలోని యూనిట్ రెసిప్రోకల్‌లను గుణించడం ద్వారా పొందబడుతుంది, అంటే $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

అటువంటి తార్కికం క్రింది నిర్వచనానికి దారితీసింది.
నిర్వచనం. $n$ అనేది సహజ సంఖ్య మరియు $а≠0$ అయితే, కింది సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

తరచుగా ఉపయోగించే ముఖ్యమైన గుర్తింపు: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
ముఖ్యంగా, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

పరిష్కార ఉదాహరణలు

పరిష్కారం.
ప్రతి పదాన్ని విడిగా పరిశీలిద్దాం.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
ఇది కూడిక మరియు తీసివేత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి మిగిలి ఉంది: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
సమాధానం: $6\frac(1)(4)$.

ఉదాహరణ 2
ఇవ్వబడిన సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్య $\frac(1)(729)$ యొక్క శక్తిగా వ్యక్తపరచండి.

పరిష్కారం.
సహజంగానే $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
కానీ 729 అనేది 9 తో ముగిసే ప్రధాన సంఖ్య కాదు. ఈ సంఖ్య మూడు యొక్క శక్తి అని మనం భావించవచ్చు. వరుసగా 729ని 3తో భాగిద్దాం.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
ఆరు ఆపరేషన్లు పూర్తయ్యాయి, అంటే: $729=3^6$.
మా పని కోసం:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
సమాధానం: $3^(-6)$.

ఉదాహరణ 3. వ్యక్తీకరణను శక్తిగా వ్యక్తపరచండి: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
పరిష్కారం. మొదటి ఆపరేషన్ ఎల్లప్పుడూ బ్రాకెట్ల లోపల జరుగుతుంది, ఆపై $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^(-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
సమాధానం: $a$.

ఉదాహరణ 4. గుర్తింపును నిరూపించండి:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

పరిష్కారం.
ఎడమ వైపున, కుండలీకరణాల్లోని ప్రతి కారకాన్ని విడిగా పరిగణించండి.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. మనం విభజించే భిన్నానికి వెళ్దాం.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. విభజన చేద్దాం.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
మేము సరైన గుర్తింపును పొందాము, అది నిరూపించబడాలి.

పాఠం ముగింపులో, మేము చర్యల కోసం నిబంధనలను మళ్లీ డిగ్రీలతో వ్రాస్తాము, ఇక్కడ ఘాతాంకం పూర్ణాంకం.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం పనులు

మొదటి స్థాయి

డిగ్రీ మరియు దాని లక్షణాలు. సమగ్ర గైడ్ (2019)

డిగ్రీలు ఎందుకు అవసరం? మీకు అవి ఎక్కడ అవసరం? మీరు వాటిని అధ్యయనం చేయడానికి ఎందుకు సమయం వెచ్చించాలి?

డిగ్రీల గురించి ప్రతిదీ తెలుసుకోవడానికి, అవి దేనికి, రోజువారీ జీవితంలో మీ జ్ఞానాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో, ఈ కథనాన్ని చదవండి.

మరియు, వాస్తవానికి, డిగ్రీలను తెలుసుకోవడం OGE లేదా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి మరియు మీ కలల విశ్వవిద్యాలయంలోకి ప్రవేశించడానికి మిమ్మల్ని దగ్గర చేస్తుంది.

వెళ్దాం... (వెళ్దాం!)

ముఖ్య గమనిక! ఫార్ములాలకు బదులుగా మీరు అసంబద్ధంగా కనిపిస్తే, మీ కాష్‌ని క్లియర్ చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, CTRL+F5 (Windowsలో) లేదా Cmd+R (Macలో) నొక్కండి.

మొదటి స్థాయి

ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ అనేది కూడిక, తీసివేత, గుణకారం లేదా భాగహారం వలె అదే గణిత ఆపరేషన్.

ఇప్పుడు నేను చాలా సులభమైన ఉదాహరణలను ఉపయోగించి మానవ భాషలో ప్రతిదీ వివరిస్తాను. జాగ్రత్త. ఉదాహరణలు ప్రాథమికమైనవి, కానీ ముఖ్యమైన విషయాలను వివరించండి.

అదనంగా ప్రారంభిద్దాం.

ఇక్కడ వివరించడానికి ఏమీ లేదు. మీకు ఇప్పటికే ప్రతిదీ తెలుసు: మాలో ఎనిమిది మంది ఉన్నారు. ఒక్కొక్కరి వద్ద రెండు కోలా సీసాలు ఉంటాయి. కోలా ఎంత? అది నిజం - 16 సీసాలు.

ఇప్పుడు గుణకారం.

కోలాతో ఉన్న అదే ఉదాహరణను వేరే విధంగా వ్రాయవచ్చు: . గణిత శాస్త్రవేత్తలు జిత్తులమారి మరియు సోమరి వ్యక్తులు. వారు మొదట కొన్ని నమూనాలను గమనిస్తారు, ఆపై వాటిని వేగంగా "లెక్కించడానికి" ఒక మార్గంతో ముందుకు వస్తారు. మా విషయానికొస్తే, ఎనిమిది మందిలో ప్రతి ఒక్కరికి ఒకే సంఖ్యలో కోలా సీసాలు ఉన్నాయని వారు గమనించారు మరియు గుణకారం అనే సాంకేతికతను కనుగొన్నారు. అంగీకరిస్తున్నారు, ఇది కంటే సులభంగా మరియు వేగంగా పరిగణించబడుతుంది.

కాబట్టి, వేగంగా, సులభంగా మరియు లోపాలు లేకుండా లెక్కించడానికి, మీరు కేవలం గుర్తుంచుకోవాలి గుణకార పట్టిక. అయితే, మీరు ప్రతిదీ నెమ్మదిగా, కష్టంగా మరియు తప్పులతో చేయవచ్చు! కానీ…

ఇక్కడ గుణకారం పట్టిక ఉంది. పునరావృతం చేయండి.

మరియు మరొకటి, అందమైనది:

మరియు సోమరితనం గల గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఏ ఇతర గమ్మత్తైన లెక్కింపు ఉపాయాలను కనుగొన్నారు? సరిగ్గా - సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం.

సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం

మీరు ఒక సంఖ్యను ఐదుసార్లు గుణించవలసి వస్తే, మీరు ఈ సంఖ్యను ఐదవ శక్తికి పెంచాలని గణిత శాస్త్రవేత్తలు అంటున్నారు. ఉదాహరణకి, . రెండు నుండి ఐదవ శక్తి అని గణిత శాస్త్రవేత్తలు గుర్తుంచుకుంటారు. మరియు వారు వారి మనస్సులో ఇటువంటి సమస్యలను పరిష్కరిస్తారు - వేగంగా, సులభంగా మరియు లోపాలు లేకుండా.

దీన్ని చేయడానికి, మీకు మాత్రమే అవసరం సంఖ్యల శక్తుల పట్టికలో రంగులో హైలైట్ చేయబడిన వాటిని గుర్తుంచుకోండి. నన్ను నమ్మండి, ఇది మీ జీవితాన్ని సులభతరం చేస్తుంది.

మార్గం ద్వారా, రెండవ డిగ్రీని ఎందుకు పిలుస్తారు చతురస్రంసంఖ్యలు మరియు మూడవది క్యూబ్? దాని అర్థం ఏమిటి? చాలా మంచి ప్రశ్న. ఇప్పుడు మీకు చతురస్రాలు మరియు ఘనాల రెండూ ఉంటాయి.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #1

సంఖ్య యొక్క స్క్వేర్ లేదా రెండవ శక్తితో ప్రారంభిద్దాం.

ఒక చదరపు కొలను మీటరుకు మీటర్లు కొలిచే ఇమాజిన్ చేయండి. కొలను మీ పెరట్లో ఉంది. ఇది వేడిగా ఉంది మరియు నేను నిజంగా ఈత కొట్టాలనుకుంటున్నాను. కానీ... దిగువన లేని కొలను! పూల్ దిగువన పలకలతో కప్పడం అవసరం. మీకు ఎన్ని పలకలు అవసరం? దీన్ని గుర్తించడానికి, మీరు పూల్ దిగువ ప్రాంతాన్ని తెలుసుకోవాలి.

పూల్ దిగువన మీటరు వారీగా క్యూబ్‌లు ఉన్నాయని మీ వేలితో నొక్కడం ద్వారా మీరు లెక్కించవచ్చు. మీ టైల్స్ మీటరుకు మీటర్ అయితే, మీకు ముక్కలు అవసరం. ఇది సులభం ... కానీ మీరు అలాంటి పలకను ఎక్కడ చూశారు? టైల్ సెంమీ సెం.మీ ఉంటుంది. ఆపై మీరు "మీ వేలితో లెక్కించడం" ద్వారా హింసించబడతారు. అప్పుడు మీరు గుణించాలి. కాబట్టి, పూల్ దిగువన ఒక వైపున మేము టైల్స్ (ముక్కలు) మరియు మరొకదానిపై కూడా టైల్స్ సరిపోతాము. ద్వారా గుణించడం, మీరు టైల్స్ () పొందుతారు.

పూల్ దిగువ ప్రాంతాన్ని నిర్ణయించడానికి మేము అదే సంఖ్యను స్వయంగా గుణించామని మీరు గమనించారా? దాని అర్థం ఏమిటి? అదే సంఖ్య గుణించబడినందున, మేము ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ టెక్నిక్‌ని ఉపయోగించవచ్చు. (వాస్తవానికి, మీకు రెండు సంఖ్యలు మాత్రమే ఉన్నప్పుడు, మీరు వాటిని గుణించాలి లేదా వాటిని శక్తికి పెంచాలి. కానీ మీకు చాలా ఉంటే, శక్తికి పెంచడం చాలా సులభం మరియు గణనలలో తక్కువ లోపాలు కూడా ఉన్నాయి. పరీక్ష కోసం, ఇది చాలా ముఖ్యమైనది).
కాబట్టి, ముప్పై నుండి రెండవ డిగ్రీ () అవుతుంది. లేదా మీరు ముప్పై స్క్వేర్డ్ అని చెప్పవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తిని ఎల్లప్పుడూ చతురస్రం వలె సూచించవచ్చు. మరియు వైస్ వెర్సా, మీరు ఒక చతురస్రాన్ని చూసినట్లయితే, అది ఎల్లప్పుడూ కొంత సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తిగా ఉంటుంది. చతురస్రం అనేది సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తి యొక్క చిత్రం.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #2

ఇక్కడ మీ కోసం ఒక పని ఉంది, సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ఉపయోగించి చదరంగంలో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయో లెక్కించండి ... సెల్‌ల యొక్క ఒక వైపు మరియు మరొక వైపు కూడా. వారి సంఖ్యను లెక్కించడానికి, మీరు ఎనిమిదిని ఎనిమిదితో గుణించాలి, లేదా ... చదరంగం బోర్డ్ ఒక వైపు ఉన్న చతురస్రం అని మీరు గమనించినట్లయితే, మీరు ఎనిమిదికి స్క్వేర్ చేయవచ్చు. కణాలను పొందండి. () కాబట్టి?

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #3

ఇప్పుడు సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ లేదా మూడవ శక్తి. అదే కొలను. కానీ ఇప్పుడు మీరు ఈ కొలనులో ఎంత నీరు పోయవలసి ఉంటుందో తెలుసుకోవాలి. మీరు వాల్యూమ్ను లెక్కించాలి. (వాల్యూమ్‌లు మరియు లిక్విడ్‌లు, క్యూబిక్ మీటర్లలో కొలుస్తారు. ఊహించనిది, సరియైనదా?) ఒక కొలనుని గీయండి: దిగువన ఒక మీటరు పరిమాణం మరియు ఒక మీటర్ లోతు మరియు మీ పూల్‌లో మీటర్ క్యూబ్‌లు ఎన్ని మీటర్లు ప్రవేశిస్తాయో లెక్కించేందుకు ప్రయత్నించండి.

మీ వేలు చూపించి లెక్కించండి! ఒకటి, రెండు, మూడు, నాలుగు...ఇరవై రెండు, ఇరవై మూడు... ఎంత వచ్చింది? తప్పిపోలేదా? వేలితో లెక్కించడం కష్టమా? అందువలన! గణిత శాస్త్రజ్ఞుల నుండి ఒక ఉదాహరణ తీసుకోండి. వారు సోమరితనం, కాబట్టి పూల్ యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు దాని పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తును ఒకదానికొకటి గుణించాలి అని వారు గమనించారు. మా విషయంలో, పూల్ యొక్క వాల్యూమ్ ఘనాలకి సమానంగా ఉంటుంది ... సులభం, సరియైనదా?

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దానిని చాలా సులభతరం చేస్తే ఎంత సోమరితనం మరియు మోసపూరితంగా ఉంటారో ఇప్పుడు ఊహించండి. ప్రతిదీ ఒక చర్యకు తగ్గించింది. పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు సమానంగా ఉన్నాయని మరియు అదే సంఖ్య స్వయంగా గుణించబడుతుందని వారు గమనించారు ... మరియు దీని అర్థం ఏమిటి? మీరు డిగ్రీని ఉపయోగించవచ్చని దీని అర్థం. కాబట్టి, మీరు ఒకసారి వేలితో లెక్కించినది, వారు ఒక చర్యలో చేస్తారు: ఒక క్యూబ్‌లో మూడు సమానం. ఇది ఇలా వ్రాయబడింది:

మాత్రమే మిగిలి ఉంది డిగ్రీల పట్టికను గుర్తుంచుకోండి. తప్ప, మీరు గణిత శాస్త్రవేత్తల వలె సోమరితనం మరియు మోసపూరితంగా ఉంటారు. మీరు కష్టపడి తప్పులు చేయడానికి ఇష్టపడితే, మీరు మీ వేలితో లెక్కించవచ్చు.

సరే, డిగ్రీలు లోఫర్‌లు మరియు మోసపూరిత వ్యక్తులు వారి జీవిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మరియు మీ కోసం సమస్యలను సృష్టించడానికి కాదు అని చివరకు మిమ్మల్ని ఒప్పించడానికి, ఇక్కడ జీవితం నుండి మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #4

మీకు మిలియన్ రూబిళ్లు ఉన్నాయి. ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో, మీరు ప్రతి మిలియన్‌కి మరో మిలియన్ సంపాదిస్తారు. అంటే, ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో మీ ప్రతి మిలియన్ రెట్టింపు అవుతుంది. సంవత్సరాలలో మీ వద్ద ఎంత డబ్బు ఉంటుంది? మీరు ఇప్పుడు కూర్చుని "మీ వేలితో లెక్కించడం" చేస్తుంటే, మీరు చాలా కష్టపడి పనిచేసే వ్యక్తి మరియు .. మూర్ఖుడు. కానీ చాలా మటుకు మీరు కొన్ని సెకన్లలో సమాధానం ఇస్తారు, ఎందుకంటే మీరు తెలివైనవారు! కాబట్టి, మొదటి సంవత్సరంలో - రెండు సార్లు రెండు ... రెండవ సంవత్సరంలో - ఏమి జరిగింది, మరో రెండు ద్వారా, మూడవ సంవత్సరంలో ... ఆపు! ఆ సంఖ్య ఒక్కసారిగా గుణించబడుతుందని మీరు గమనించారు. కాబట్టి రెండు నుండి ఐదవ శక్తి ఒక మిలియన్! ఇప్పుడు మీకు పోటీ ఉందని ఊహించుకోండి మరియు వేగంగా లెక్కించే వ్యక్తి ఈ మిలియన్లను పొందుతాడు ... ఇది సంఖ్యల డిగ్రీలను గుర్తుంచుకోవడం విలువైనదేనా, మీరు ఏమనుకుంటున్నారు?

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #5

మీ దగ్గర మిలియన్ ఉంది. ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో, మీరు ప్రతి మిలియన్‌కు మరో రెండు సంపాదిస్తారు. ఇది చాలా బాగుంది, సరియైనదా? ప్రతి మిలియన్ మూడు రెట్లు. ఒక సంవత్సరంలో మీ దగ్గర ఎంత డబ్బు ఉంటుంది? గణిద్దాం. మొదటి సంవత్సరం - గుణించండి, ఆపై ఫలితం మరొక దానితో ... ఇది ఇప్పటికే బోరింగ్, ఎందుకంటే మీరు ఇప్పటికే ప్రతిదీ అర్థం చేసుకున్నారు: మూడు స్వయంగా రెట్లు గుణించబడుతుంది. కాబట్టి నాల్గవ శక్తి మిలియన్. మూడు నుండి నాల్గవ శక్తి లేదా అని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి.

సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం ద్వారా, మీరు మీ జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తారని ఇప్పుడు మీకు తెలుసు. మీరు డిగ్రీలతో ఏమి చేయవచ్చు మరియు వాటి గురించి మీరు తెలుసుకోవలసిన వాటిని మరింత పరిశీలిద్దాం.

నిబంధనలు మరియు భావనలు ... కాబట్టి గందరగోళం చెందకుండా

కాబట్టి, మొదట, భావనలను నిర్వచించండి. మీరు ఏమనుకుంటున్నారు, ఘాతాంకం అంటే ఏమిటి? ఇది చాలా సులభం - ఇది సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క "పైభాగంలో" ఉన్న సంఖ్య. శాస్త్రీయమైనది కాదు, కానీ స్పష్టంగా మరియు సులభంగా గుర్తుంచుకోవడానికి ...

బాగా, అదే సమయంలో, ఏమి అటువంటి డిగ్రీ బేస్? దిగువన, బేస్ వద్ద ఉన్న సంఖ్య మరింత సరళమైనది.

మీరు ఖచ్చితంగా నిర్ధారించుకోవడానికి ఇక్కడ ఒక చిత్రం ఉంది.

బాగా, సాధారణ పరంగా, సాధారణీకరించడానికి మరియు బాగా గుర్తుంచుకోవడానికి ... ఒక బేస్ "" మరియు సూచిక "" ఉన్న డిగ్రీ "డిగ్రీలో" చదవబడుతుంది మరియు ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది:

సహజ ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి

మీరు బహుశా ఇప్పటికే ఊహించి ఉండవచ్చు: ఎందుకంటే ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య. అవును, కానీ ఏమిటి సహజ సంఖ్య? ప్రాథమిక! వస్తువులను జాబితా చేసేటప్పుడు లెక్కించడంలో ఉపయోగించే సహజ సంఖ్యలు: ఒకటి, రెండు, మూడు ... మేము అంశాలను లెక్కించినప్పుడు, మేము చెప్పము: "మైనస్ ఐదు", "మైనస్ ఆరు", "మైనస్ ఏడు". మేము "మూడవ వంతు" లేదా "సున్నా పాయింట్ ఐదు పదవ వంతు" అని కూడా అనము. ఇవి సహజ సంఖ్యలు కావు. ఈ సంఖ్యలు ఏమిటి అని మీరు అనుకుంటున్నారు?

"మైనస్ ఐదు", "మైనస్ ఆరు", "మైనస్ ఏడు" వంటి సంఖ్యలు సూచిస్తాయి మొత్తం సంఖ్యలు.సాధారణంగా, పూర్ణాంకాలలో అన్ని సహజ సంఖ్యలు, సహజ సంఖ్యలకు వ్యతిరేక సంఖ్యలు (అంటే మైనస్ గుర్తుతో తీసుకోబడినవి) మరియు ఒక సంఖ్య ఉంటాయి. జీరో అర్థం చేసుకోవడం సులభం - ఏమీ లేనప్పుడు ఇది. మరియు ప్రతికూల ("మైనస్") సంఖ్యల అర్థం ఏమిటి? కానీ అవి ప్రధానంగా అప్పులను సూచించడానికి కనుగొనబడ్డాయి: మీరు మీ ఫోన్‌లో రూబిళ్లుగా బ్యాలెన్స్ కలిగి ఉంటే, మీరు ఆపరేటర్ రూబిళ్లు రుణపడి ఉంటారని దీని అర్థం.

అన్ని భిన్నాలు హేతుబద్ధ సంఖ్యలు. అవి ఎలా వచ్చాయి, మీరు అనుకుంటున్నారా? చాలా సింపుల్. అనేక వేల సంవత్సరాల క్రితం, మన పూర్వీకులు పొడవు, బరువు, ప్రాంతం మొదలైనవాటిని కొలవడానికి తగినంత సహజ సంఖ్యలు లేవని కనుగొన్నారు. మరియు వారు ముందుకు వచ్చారు హేతుబద్ధ సంఖ్యలు… ఆసక్తికరంగా ఉంది, కాదా?

అకరణీయ సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయి. ఈ సంఖ్యలు ఏమిటి? సంక్షిప్తంగా, అనంతమైన దశాంశ భిన్నం. ఉదాహరణకు, మీరు వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతను దాని వ్యాసంతో భాగిస్తే, మీరు అహేతుక సంఖ్యను పొందుతారు.

సారాంశం:

డిగ్రీ భావనను నిర్వచిద్దాం, దీని ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య (అంటే పూర్ణాంకం మరియు ధనాత్మకం).

1. మొదటి శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య దానికి సమానం:
2. సంఖ్యను వర్గీకరించడం అంటే దానిని దానితో గుణించడం:
3. సంఖ్యను క్యూబ్ చేయడం అంటే దానిని మూడు సార్లు గుణించడం:

నిర్వచనం.సంఖ్యను సహజ శక్తికి పెంచడం అంటే ఆ సంఖ్యను దానినే రెట్లు గుణించడం:
.

డిగ్రీ లక్షణాలు

ఈ ఆస్తులు ఎక్కడి నుంచి వచ్చాయి? నేను ఇప్పుడు మీకు చూపిస్తాను.

ఏమిటో చూద్దాం మరియు ?

నిర్వచనం ప్రకారం:

మొత్తం ఎన్ని గుణకాలు ఉన్నాయి?

ఇది చాలా సులభం: మేము కారకాలకు కారకాలను జోడించాము మరియు ఫలితం కారకాలు.

కానీ నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క డిగ్రీ, అంటే: , ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ఉదాహరణ: వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం:

ఉదాహరణ:వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం:మన పాలనలో గమనించాల్సిన విషయం తప్పనిసరిగాఅదే కారణం అయి ఉండాలి!
అందువల్ల, మేము డిగ్రీలను బేస్‌తో కలుపుతాము, కానీ ప్రత్యేక కారకంగా మిగిలిపోతాము:

అధికారాల ఉత్పత్తులకు మాత్రమే!

ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ అలా రాయకూడదు.

2. అంటే -ఒక సంఖ్య యొక్క శక్తి

మునుపటి ఆస్తి వలె, డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనానికి వెళ్దాం:

వ్యక్తీకరణ ఒకసారి గుణించబడిందని తేలింది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది సంఖ్య యొక్క వ శక్తి:

వాస్తవానికి, దీనిని "బ్రాకెటింగ్ ది ఇండికేటర్" అని పిలుస్తారు. కానీ మీరు దీన్ని పూర్తిగా ఎప్పటికీ చేయలేరు:

సంక్షిప్త గుణకారం కోసం సూత్రాలను గుర్తుచేసుకుందాం: మనం ఎన్నిసార్లు వ్రాయాలనుకుంటున్నాము?

కానీ అది నిజం కాదు, నిజంగా.

ప్రతికూల ఆధారంతో డిగ్రీ

ఈ పాయింట్ వరకు, మేము ఘాతాంకం ఏమిటో మాత్రమే చర్చించాము.

అయితే ఏది ఆధారం కావాలి?

నుండి డిగ్రీలలో సహజ సూచికఆధారం కావచ్చు ఏదైనా సంఖ్య. నిజమే, మనం ఏదైనా సంఖ్యను ఒకదానితో ఒకటి గుణించవచ్చు, అవి సానుకూలంగా, ప్రతికూలంగా లేదా సమానంగా ఉంటాయి.

ఏ సంకేతాలు ("" లేదా "") సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయో ఆలోచిద్దాం?

ఉదాహరణకు, సంఖ్య సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉంటుందా? కానీ? ? మొదటిదానితో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: మనం ఎన్ని సానుకూల సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించినా, ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

కానీ ప్రతికూలమైనవి కొంచెం ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి. అన్నింటికంటే, మేము 6వ తరగతి నుండి ఒక సాధారణ నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము: "ఒక మైనస్ సార్లు ఒక మైనస్ ప్లస్ ఇస్తుంది." అంటే, లేదా. కానీ మనం గుణిస్తే, అది మారుతుంది.

కింది వ్యక్తీకరణలు ఏ సంకేతాన్ని కలిగి ఉంటాయో మీరే నిర్ణయించుకోండి:

మీరు నిర్వహించారా?

ఇక్కడ సమాధానాలు ఉన్నాయి: మొదటి నాలుగు ఉదాహరణలలో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను? మేము కేవలం బేస్ మరియు ఘాతాంకాన్ని పరిశీలిస్తాము మరియు తగిన నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ఉదాహరణ 5 లో), ప్రతిదీ కూడా కనిపించేంత భయానకంగా లేదు: బేస్ దేనికి సమానం అనేది పట్టింపు లేదు - డిగ్రీ సమానంగా ఉంటుంది, అంటే ఫలితం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది.

బాగా, బేస్ సున్నా ఉన్నప్పుడు తప్ప. ఆధారం ఒకేలా ఉండదు కదా? స్పష్టంగా లేదు, నుండి (ఎందుకంటే).

ఉదాహరణ 6) ఇకపై అంత సులభం కాదు!

6 అభ్యాస ఉదాహరణలు

పరిష్కారం యొక్క విశ్లేషణ 6 ఉదాహరణలు

మనం ఎనిమిదో డిగ్రీకి శ్రద్ధ చూపకపోతే, ఇక్కడ మనం ఏమి చూస్తాము? 7వ తరగతి కార్యక్రమాన్ని ఒకసారి చూద్దాం. కాబట్టి, గుర్తుందా? ఇది సంక్షిప్త గుణకార సూత్రం, అవి చతురస్రాల వ్యత్యాసం! మాకు దొరికింది:

మేము హారంను జాగ్రత్తగా పరిశీలిస్తాము. ఇది చాలా న్యూమరేటర్ కారకాలలో ఒకటిగా కనిపిస్తోంది, కానీ తప్పు ఏమిటి? నిబంధనల తప్పు క్రమం. వాటిని మార్చుకుంటే, నిబంధన వర్తించవచ్చు.

కానీ అది ఎలా చేయాలి? ఇది చాలా సులభం అని తేలింది: హారం యొక్క సరి స్థాయి ఇక్కడ మాకు సహాయపడుతుంది.

నిబంధనలు అద్భుతంగా స్థలాలను మార్చాయి. ఈ "దృగ్విషయం" ఏదైనా వ్యక్తీకరణకు సమాన స్థాయికి వర్తిస్తుంది: బ్రాకెట్లలోని సంకేతాలను మనం స్వేచ్ఛగా మార్చవచ్చు.

కానీ గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం: అన్ని సంకేతాలు ఒకే సమయంలో మారుతాయి!

ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం:

మరియు మళ్ళీ సూత్రం:

మొత్తంమేము సహజ సంఖ్యలు, వాటి వ్యతిరేకతలు (అంటే, "" గుర్తుతో తీసుకోబడింది) మరియు సంఖ్య అని పేరు పెట్టాము.

ధన పూర్ణాంకం, మరియు ఇది సహజంగా భిన్నంగా లేదు, అప్పుడు ప్రతిదీ మునుపటి విభాగంలో సరిగ్గా కనిపిస్తుంది.

ఇప్పుడు కొత్త కేసులను చూద్దాం. సమానమైన సూచికతో ప్రారంభిద్దాం.

సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం:

ఎప్పటిలాగే, మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకుంటాము: ఇది ఎందుకు?

ఆధారంతో కొంత శక్తిని పరిగణించండి. ఉదాహరణకు తీసుకోండి మరియు దీని ద్వారా గుణించండి:

కాబట్టి, మేము సంఖ్యను గుణించాము మరియు అదే విధంగా పొందాము -. ఏమీ మారకుండా ఏ సంఖ్యను గుణించాలి? అది నిజం, న. అర్థం.

మేము ఏకపక్ష సంఖ్యతో అదే విధంగా చేయవచ్చు:

నియమాన్ని పునరావృతం చేద్దాం:

సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం.

కానీ చాలా నియమాలకు మినహాయింపులు ఉన్నాయి. మరియు ఇక్కడ అది కూడా ఉంది - ఇది ఒక సంఖ్య (ఆధారంగా).

ఒక వైపు, అది ఏ డిగ్రీకి సమానంగా ఉండాలి - మీరు సున్నాని దానితో ఎంత గుణించినా, మీరు ఇప్పటికీ సున్నాని పొందుతారు, ఇది స్పష్టంగా ఉంది. కానీ మరోవైపు, సున్నా డిగ్రీకి ఏదైనా సంఖ్య వలె, అది తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండాలి. ఇంతకీ ఇందులో నిజం ఏమిటి? గణిత శాస్త్రవేత్తలు జోక్యం చేసుకోకూడదని నిర్ణయించుకున్నారు మరియు సున్నాని సున్నాకి పెంచడానికి నిరాకరించారు. అంటే, ఇప్పుడు మనం సున్నాతో విభజించడమే కాకుండా, దానిని సున్నా శక్తికి పెంచవచ్చు.

మరింత ముందుకు వెళ్దాం. సహజ సంఖ్యలు మరియు సంఖ్యలతో పాటు, పూర్ణాంకాలు ప్రతికూల సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి. ప్రతికూల డిగ్రీ అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి, చివరిసారి చేసినట్లే చేద్దాం: మేము కొంత సాధారణ సంఖ్యను ప్రతికూల డిగ్రీతో గుణిస్తాము:

ఇక్కడ నుండి కావలసిన వాటిని వ్యక్తీకరించడం ఇప్పటికే సులభం:

ఇప్పుడు మేము ఫలిత నియమాన్ని ఏకపక్ష స్థాయికి విస్తరిస్తాము:

కాబట్టి, నియమాన్ని రూపొందిద్దాం:

ప్రతికూల శక్తికి సంఖ్య అంటే అదే సంఖ్యకు సానుకూల శక్తికి విలోమం. కానీ అదే సమయంలో ఆధారం శూన్యంగా ఉండకూడదు:(ఎందుకంటే విభజించడం అసాధ్యం).

సారాంశం చేద్దాం:

I. వ్యక్తీకరణ సందర్భంలో నిర్వచించబడలేదు. ఒకవేళ, అప్పుడు.

II. సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం: .

III. ప్రతికూల శక్తికి సున్నాకి సమానం కాని సంఖ్య సానుకూల శక్తికి అదే సంఖ్యకు విలోమం: .

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం విధులు:

బాగా, ఎప్పటిలాగే, స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం ఉదాహరణలు:

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం పనుల విశ్లేషణ:

నాకు తెలుసు, నాకు తెలుసు, సంఖ్యలు భయానకంగా ఉన్నాయి, కానీ పరీక్షలో మీరు దేనికైనా సిద్ధంగా ఉండాలి! మీరు పరిష్కరించలేకపోతే ఈ ఉదాహరణలను పరిష్కరించండి లేదా వాటి పరిష్కారాన్ని విశ్లేషించండి మరియు పరీక్షలో వాటిని ఎలా సులభంగా ఎదుర్కోవాలో మీరు నేర్చుకుంటారు!

"సరిపోయే" సంఖ్యల పరిధిని ఘాతాంకం వలె విస్తరించడాన్ని కొనసాగిద్దాం.

ఇప్పుడు పరిగణించండి హేతుబద్ధ సంఖ్యలు.ఏ సంఖ్యలను హేతుబద్ధం అంటారు?

సమాధానం: పూర్ణాంకాలు ఎక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు అనేవి భిన్నం వలె సూచించబడతాయి.

ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి "పాక్షిక డిగ్రీ"ఒక భిన్నాన్ని పరిశీలిద్దాం:

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా శక్తికి పెంచుదాం:

ఇప్పుడు నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి "డిగ్రీ నుండి డిగ్రీ":

పొందడానికి ఏ సంఖ్యను శక్తికి పెంచాలి?

ఈ సూత్రీకరణ వ డిగ్రీ యొక్క మూలం యొక్క నిర్వచనం.

నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: సంఖ్య () యొక్క వ శక్తి యొక్క మూలం ఒక సంఖ్య, అది శక్తికి పెరిగినప్పుడు సమానంగా ఉంటుంది.

అంటే, వ డిగ్రీ యొక్క మూలం ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ యొక్క విలోమ ఆపరేషన్: .

అని తేలుతుంది. సహజంగానే, ఈ ప్రత్యేక కేసును పొడిగించవచ్చు: .

ఇప్పుడు న్యూమరేటర్‌ను జోడించండి: అది ఏమిటి? పవర్-టు-పవర్ నియమంతో సమాధానం పొందడం సులభం:

కానీ ఆధారం ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు? అన్ని తరువాత, రూట్ అన్ని సంఖ్యల నుండి సంగ్రహించబడదు.

ఏదీ లేదు!

నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి: సమాన శక్తికి పెంచబడిన ఏదైనా సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య. అంటే, ప్రతికూల సంఖ్యల నుండి సరి డిగ్రీ మూలాలను తీయడం అసాధ్యం!

మరియు దీని అర్థం అటువంటి సంఖ్యలను సమాన హారంతో పాక్షిక శక్తికి పెంచడం సాధ్యం కాదు, అంటే వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతం కాదు.

వ్యక్తీకరణ గురించి ఏమిటి?

కానీ ఇక్కడ ఒక సమస్య తలెత్తుతుంది.

సంఖ్యను ఇతర, తగ్గించబడిన భిన్నాలుగా సూచించవచ్చు, ఉదాహరణకు, లేదా.

మరియు అది ఉనికిలో ఉందని, కానీ ఉనికిలో లేదని తేలింది మరియు ఇవి ఒకే సంఖ్యలో ఉన్న రెండు వేర్వేరు రికార్డులు.

లేదా మరొక ఉదాహరణ: ఒకసారి, మీరు దానిని వ్రాయవచ్చు. కానీ మేము సూచికను వేరే విధంగా వ్రాసిన వెంటనే, మనకు మళ్ళీ ఇబ్బంది వస్తుంది: (అంటే, మనకు పూర్తిగా భిన్నమైన ఫలితం వచ్చింది!).

అటువంటి వైరుధ్యాలను నివారించడానికి, పరిగణించండి పాక్షిక ఘాతాంకంతో ధనాత్మక మూల ఘాతాంకం మాత్రమే.

కనుక:

• - సహజ సంఖ్య;
• ఒక పూర్ణాంకం;

ఉదాహరణలు:

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకం ఉన్న శక్తులు మూలాలతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటాయి, ఉదాహరణకు:

5 అభ్యాస ఉదాహరణలు

శిక్షణ కోసం 5 ఉదాహరణల విశ్లేషణ

బాగా, ఇప్పుడు - చాలా కష్టం. ఇప్పుడు మేము విశ్లేషిస్తాము అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.

ఇక్కడ ఉన్న డిగ్రీల యొక్క అన్ని నియమాలు మరియు లక్షణాలు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో ఉన్న డిగ్రీలతో సమానంగా ఉంటాయి, మినహా

నిజానికి, నిర్వచనం ప్రకారం, అహేతుక సంఖ్యలు భిన్నం వలె సూచించబడని సంఖ్యలు, ఇక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు (అనగా, అకరణీయ సంఖ్యలు హేతుబద్ధమైన వాటిని మినహాయించి అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు).

సహజ, పూర్ణాంకం మరియు హేతుబద్ధమైన సూచికతో డిగ్రీలు చదువుతున్నప్పుడు, ప్రతిసారీ మేము ఒక నిర్దిష్ట "చిత్రం", "సారూప్యత" లేదా వివరణను మరింత సుపరిచితమైన పరంగా రూపొందించాము.

ఉదాహరణకు, సహజ ఘాతాంకం అనేది అనేక సార్లు దానితో గుణించబడిన సంఖ్య;

...సున్నా శక్తి- ఇది, ఒక సారి స్వయంగా గుణించిన సంఖ్య, అనగా, ఇది ఇంకా గుణించడం ప్రారంభించలేదు, అంటే ఆ సంఖ్య ఇంకా కనిపించలేదు - కాబట్టి, ఫలితం ఒక నిర్దిష్ట “తయారీ ఒక సంఖ్య”, అవి ఒక సంఖ్య;

...ప్రతికూల పూర్ణాంక ఘాతాంకం- ఇది ఒక నిర్దిష్ట “రివర్స్ ప్రాసెస్” జరిగినట్లుగా ఉంది, అనగా, సంఖ్య స్వయంగా గుణించబడలేదు, కానీ విభజించబడింది.

మార్గం ద్వారా, సైన్స్ తరచుగా సంక్లిష్ట ఘాతాంకంతో డిగ్రీని ఉపయోగిస్తుంది, అనగా ఘాతాంకం వాస్తవ సంఖ్య కూడా కాదు.

కానీ పాఠశాలలో, మేము అలాంటి ఇబ్బందుల గురించి ఆలోచించము; ఇన్స్టిట్యూట్‌లో ఈ కొత్త భావనలను అర్థం చేసుకోవడానికి మీకు అవకాశం ఉంటుంది.

మీరు ఎక్కడికి వెళ్తారని మేము ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాము! (అటువంటి ఉదాహరణలను ఎలా పరిష్కరించాలో మీరు నేర్చుకుంటే :))

ఉదాహరణకి:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

పరిష్కారాల విశ్లేషణ:

1. డిగ్రీని డిగ్రీకి పెంచడానికి ఇప్పటికే ఉన్న సాధారణ నియమంతో ప్రారంభిద్దాం:

ఇప్పుడు స్కోర్ చూడండి. అతను మీకు ఏదైనా గుర్తు చేస్తున్నాడా? చతురస్రాల వ్యత్యాసం యొక్క సంక్షిప్త గుణకారం కోసం మేము సూత్రాన్ని గుర్తుచేసుకుంటాము:

ఈ సందర్భంలో,

ఇది ఇలా మారుతుంది:

సమాధానం: .

2. మేము ఘాతాంకాలలో భిన్నాలను ఒకే రూపంలోకి తీసుకువస్తాము: దశాంశం లేదా రెండూ సాధారణం. మేము పొందుతాము, ఉదాహరణకు:

సమాధానం: 16

3. ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు, మేము డిగ్రీల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను వర్తింపజేస్తాము:

అధునాతన స్థాయి

డిగ్రీ నిర్వచనం

డిగ్రీ అనేది ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ: , ఎక్కడ:

• — డిగ్రీ బేస్;
• - ఘాతాంకం.

సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ (n = 1, 2, 3,...)

సంఖ్యను సహజ శక్తి nకి పెంచడం అంటే సంఖ్యను దానికదే రెట్లు గుణించడం:

పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో శక్తి (0, ±1, ±2,...)

ఘాతాంకం ఉంటే ధన పూర్ణాంకంసంఖ్య:

అంగస్తంభన సున్నా శక్తికి:

వ్యక్తీకరణ నిరవధికంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే, ఒక వైపు, ఏ స్థాయికి ఇది, మరియు మరోవైపు, వ డిగ్రీకి ఏదైనా సంఖ్య ఇది.

ఘాతాంకం ఉంటే పూర్ణాంకం ప్రతికూలంసంఖ్య:

(ఎందుకంటే విభజించడం అసాధ్యం).

శూన్యత గురించి మరొకసారి: వ్యక్తీకరణ సందర్భంలో నిర్వచించబడలేదు. ఒకవేళ, అప్పుడు.

ఉదాహరణలు:

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

• - సహజ సంఖ్య;
• ఒక పూర్ణాంకం;

ఉదాహరణలు:

డిగ్రీ లక్షణాలు

సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సులభతరం చేయడానికి, అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం: ఈ లక్షణాలు ఎక్కడ నుండి వచ్చాయి? వాటిని నిరూపిద్దాం.

చూద్దాం: ఏమిటి మరియు?

నిర్వచనం ప్రకారం:

కాబట్టి, ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క కుడి వైపున, కింది ఉత్పత్తి పొందబడుతుంది:

కానీ నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి, అంటే:

Q.E.D.

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం : .

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం : మన పాలనలో ఇది గమనించాల్సిన విషయం తప్పనిసరిగాఅదే ఆధారాన్ని కలిగి ఉండాలి. అందువల్ల, మేము డిగ్రీలను బేస్‌తో కలుపుతాము, కానీ ప్రత్యేక కారకంగా మిగిలిపోతాము:

మరొక ముఖ్యమైన గమనిక: ఈ నియమం - అధికారాల ఉత్పత్తులకు మాత్రమే!

ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ అలా రాయకూడదు.

మునుపటి ఆస్తి వలె, డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనానికి వెళ్దాం:

దీన్ని ఇలా క్రమాన్ని మార్చుకుందాం:

వ్యక్తీకరణ ఒకసారి గుణించబడిందని తేలింది, అనగా, నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది సంఖ్య యొక్క -వ శక్తి:

వాస్తవానికి, దీనిని "బ్రాకెటింగ్ ది ఇండికేటర్" అని పిలుస్తారు. కానీ మీరు దీన్ని మొత్తంగా ఎప్పటికీ చేయలేరు:!

సంక్షిప్త గుణకారం కోసం సూత్రాలను గుర్తుచేసుకుందాం: మనం ఎన్నిసార్లు వ్రాయాలనుకుంటున్నాము? కానీ అది నిజం కాదు, నిజంగా.

ప్రతికూల ఆధారంతో శక్తి.

ఈ సమయం వరకు, మేము ఏమి ఉండాలో మాత్రమే చర్చించాము సూచికడిగ్రీ. అయితే ఏది ఆధారం కావాలి? నుండి డిగ్రీలలో సహజ సూచిక ఆధారం కావచ్చు ఏదైనా సంఖ్య .

నిజమే, మనం ఏదైనా సంఖ్యను ఒకదానితో ఒకటి గుణించవచ్చు, అవి సానుకూలంగా, ప్రతికూలంగా లేదా సమానంగా ఉంటాయి. ఏ సంకేతాలు ("" లేదా "") సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయో ఆలోచిద్దాం?

ఉదాహరణకు, సంఖ్య సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉంటుందా? కానీ? ?

మొదటిదానితో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: మనం ఎన్ని సానుకూల సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించినా, ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

కానీ ప్రతికూలమైనవి కొంచెం ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి. అన్నింటికంటే, మేము 6వ తరగతి నుండి ఒక సాధారణ నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము: "ఒక మైనస్ సార్లు ఒక మైనస్ ప్లస్ ఇస్తుంది." అంటే, లేదా. కానీ మనం () ద్వారా గుణిస్తే మనకు లభిస్తుంది -.

మరియు ప్రకటన అనంతం: ప్రతి తదుపరి గుణకారంతో, గుర్తు మారుతుంది. మీరు ఈ సాధారణ నియమాలను రూపొందించవచ్చు:

1. కూడాడిగ్రీ, - సంఖ్య అనుకూల.
2. ప్రతికూల సంఖ్యకు పెంచబడింది బేసిడిగ్రీ, - సంఖ్య ప్రతికూల.
3. ఏదైనా శక్తికి ధనాత్మక సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య.
4. ఏదైనా శక్తికి సున్నా సున్నాకి సమానం.

కింది వ్యక్తీకరణలు ఏ సంకేతాన్ని కలిగి ఉంటాయో మీరే నిర్ణయించుకోండి:

మీరు నిర్వహించారా? ఇక్కడ సమాధానాలు ఉన్నాయి:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

మొదటి నాలుగు ఉదాహరణలలో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను? మేము కేవలం బేస్ మరియు ఘాతాంకాన్ని పరిశీలిస్తాము మరియు తగిన నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

ఉదాహరణ 5 లో), ప్రతిదీ కూడా కనిపించేంత భయానకంగా లేదు: బేస్ దేనికి సమానం అనేది పట్టింపు లేదు - డిగ్రీ సమానంగా ఉంటుంది, అంటే ఫలితం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది. బాగా, బేస్ సున్నా ఉన్నప్పుడు తప్ప. ఆధారం ఒకేలా ఉండదు కదా? స్పష్టంగా లేదు, నుండి (ఎందుకంటే).

ఉదాహరణ 6) ఇకపై అంత సులభం కాదు. ఇక్కడ మీరు ఏది తక్కువ అని తెలుసుకోవాలి: లేదా? మీరు దానిని గుర్తుంచుకుంటే, ఆధారం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉందని స్పష్టమవుతుంది. అంటే, మేము నియమం 2ని వర్తింపజేస్తాము: ఫలితం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

మరియు మళ్ళీ మేము డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

ప్రతిదీ ఎప్పటిలాగే ఉంది - మేము డిగ్రీల నిర్వచనాన్ని వ్రాసి వాటిని ఒకదానికొకటి విభజించి, వాటిని జంటలుగా విభజించి పొందండి:

చివరి నియమాన్ని విశ్లేషించే ముందు, కొన్ని ఉదాహరణలను పరిష్కరిద్దాం.

వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించండి:

పరిష్కారాలు :

మనం ఎనిమిదో డిగ్రీకి శ్రద్ధ చూపకపోతే, ఇక్కడ మనం ఏమి చూస్తాము? 7వ తరగతి కార్యక్రమాన్ని ఒకసారి చూద్దాం. కాబట్టి, గుర్తుందా? ఇది సంక్షిప్త గుణకార సూత్రం, అవి చతురస్రాల వ్యత్యాసం!

మాకు దొరికింది:

మేము హారంను జాగ్రత్తగా పరిశీలిస్తాము. ఇది చాలా న్యూమరేటర్ కారకాలలో ఒకటిగా కనిపిస్తోంది, కానీ తప్పు ఏమిటి? నిబంధనల తప్పు క్రమం. అవి రివర్స్ అయితే, రూల్ 3 వర్తింపజేయవచ్చు. అయితే దీన్ని ఎలా చేయాలి? ఇది చాలా సులభం అని తేలింది: హారం యొక్క సరి స్థాయి ఇక్కడ మాకు సహాయపడుతుంది.

మీరు దానిని గుణిస్తే, ఏమీ మారదు, సరియైనదా? కానీ ఇప్పుడు ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

నిబంధనలు అద్భుతంగా స్థలాలను మార్చాయి. ఈ "దృగ్విషయం" ఏదైనా వ్యక్తీకరణకు సమాన స్థాయికి వర్తిస్తుంది: బ్రాకెట్లలోని సంకేతాలను మనం స్వేచ్ఛగా మార్చవచ్చు. కానీ గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం: అన్ని సంకేతాలు ఒకే సమయంలో మారతాయి!మనకు అభ్యంతరకరమైన ఒక్క మైనస్‌ని మాత్రమే మార్చడం ద్వారా దాన్ని భర్తీ చేయలేము!

ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం:

మరియు మళ్ళీ సూత్రం:

కాబట్టి ఇప్పుడు చివరి నియమం:

మేము దానిని ఎలా నిరూపించబోతున్నాము? వాస్తవానికి, ఎప్పటిలాగే: డిగ్రీ భావనను విస్తరింపజేద్దాం మరియు సరళీకృతం చేద్దాం:

సరే, ఇప్పుడు బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం. ఎన్ని అక్షరాలు ఉంటాయి? గుణకాల ద్వారా సార్లు - ఇది ఎలా కనిపిస్తుంది? ఇది ఆపరేషన్ యొక్క నిర్వచనం తప్ప మరొకటి కాదు గుణకారం: మొత్తం అక్కడ గుణకాలుగా మారాయి. అంటే, ఇది నిర్వచనం ప్రకారం, ఘాతాంకంతో కూడిన సంఖ్య యొక్క శక్తి:

ఉదాహరణ:

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

సగటు స్థాయికి సంబంధించిన డిగ్రీల గురించి సమాచారంతో పాటు, మేము డిగ్రీని అహేతుక సూచికతో విశ్లేషిస్తాము. ఇక్కడ ఉన్న డిగ్రీల యొక్క అన్ని నియమాలు మరియు లక్షణాలు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో ఉన్న డిగ్రీకి ఖచ్చితంగా సమానంగా ఉంటాయి, మినహాయింపుతో - అన్ని తరువాత, నిర్వచనం ప్రకారం, అహేతుక సంఖ్యలు భిన్నం వలె సూచించలేని సంఖ్యలు, ఎక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు (అంటే , అకరణీయ సంఖ్యలు హేతుబద్ధమైన వాటిని మినహాయించి అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు).

సహజ, పూర్ణాంకం మరియు హేతుబద్ధమైన సూచికతో డిగ్రీలు చదువుతున్నప్పుడు, ప్రతిసారీ మేము ఒక నిర్దిష్ట "చిత్రం", "సారూప్యత" లేదా వివరణను మరింత సుపరిచితమైన పరంగా రూపొందించాము. ఉదాహరణకు, సహజ ఘాతాంకం అనేది అనేక సార్లు దానితో గుణించబడిన సంఖ్య; సున్నా స్థాయికి ఒక సంఖ్య, అది ఉన్నట్లుగా, ఒకసారి దానితో గుణించిన సంఖ్య, అంటే, అది ఇంకా గుణించడం ప్రారంభించలేదు, అంటే ఆ సంఖ్య ఇంకా కనిపించలేదు - కాబట్టి, ఫలితం కేవలం ఒక నిర్దిష్ట "సంఖ్య యొక్క తయారీ", అవి ఒక సంఖ్య; పూర్ణాంకం ప్రతికూల సూచికతో డిగ్రీ - ఇది ఒక నిర్దిష్ట “రివర్స్ ప్రాసెస్” సంభవించినట్లుగా ఉంటుంది, అనగా, సంఖ్య స్వయంగా గుణించబడలేదు, కానీ విభజించబడింది.

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీని ఊహించడం చాలా కష్టం (4-డైమెన్షనల్ స్పేస్‌ను ఊహించడం కష్టంగా ఉంటుంది). బదులుగా, ఇది పూర్తిగా గణిత వస్తువు, ఇది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఒక డిగ్రీ భావనను సంఖ్యల మొత్తం స్థలానికి విస్తరించడానికి సృష్టించారు.

మార్గం ద్వారా, సైన్స్ తరచుగా సంక్లిష్ట ఘాతాంకంతో డిగ్రీని ఉపయోగిస్తుంది, అనగా ఘాతాంకం వాస్తవ సంఖ్య కూడా కాదు. కానీ పాఠశాలలో, మేము అలాంటి ఇబ్బందుల గురించి ఆలోచించము; ఇన్స్టిట్యూట్‌లో ఈ కొత్త భావనలను అర్థం చేసుకోవడానికి మీకు అవకాశం ఉంటుంది.

కాబట్టి మనం అహేతుక ఘాతాంకాన్ని చూస్తే మనం ఏమి చేస్తాము? మేము దానిని వదిలించుకోవడానికి మా వంతు ప్రయత్నం చేస్తున్నాము! :)

ఉదాహరణకి:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

సమాధానాలు:

1. చతురస్రాల ఫార్ములా తేడాను గుర్తుంచుకోండి. సమాధానం: .
2. మేము భిన్నాలను ఒకే రూపానికి తీసుకువస్తాము: రెండు దశాంశాలు లేదా రెండూ సాధారణమైనవి. మేము పొందుతాము, ఉదాహరణకు: .
3. ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు, మేము డిగ్రీల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను వర్తింపజేస్తాము:

విభాగం సారాంశం మరియు ప్రాథమిక ఫార్ములా

డిగ్రీఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ అంటారు: , ఎక్కడ:

పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

డిగ్రీ, దీని ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య (అంటే పూర్ణాంకం మరియు ధనాత్మకం).

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

డిగ్రీ, దీని సూచిక ప్రతికూల మరియు పాక్షిక సంఖ్యలు.

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

ఘాతాంకం దీని ఘాతాంకం అనంతమైన దశాంశ భిన్నం లేదా మూలం.

డిగ్రీ లక్షణాలు

డిగ్రీల లక్షణాలు.

• ప్రతికూల సంఖ్యకు పెంచబడింది కూడాడిగ్రీ, - సంఖ్య అనుకూల.
• ప్రతికూల సంఖ్యకు పెంచబడింది బేసిడిగ్రీ, - సంఖ్య ప్రతికూల.
• ఏదైనా శక్తికి ధనాత్మక సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య.
• సున్నా ఏ శక్తికైనా సమానం.
• సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య సమానం.

ఇప్పుడు మీకు ఒక పదం ఉంది...

మీకు కథనం ఎలా నచ్చింది? మీకు నచ్చినా నచ్చకపోయినా దిగువ వ్యాఖ్యలలో నాకు తెలియజేయండి.

శక్తి లక్షణాలతో మీ అనుభవం గురించి మాకు చెప్పండి.

బహుశా మీకు ప్రశ్నలు ఉండవచ్చు. లేదా సూచనలు.

వ్యాఖ్యలలో వ్రాయండి.

మరియు మీ పరీక్షలతో అదృష్టం!

ఈ పదార్థం యొక్క ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో, సంఖ్య యొక్క శక్తి ఏమిటో మేము విశ్లేషిస్తాము. ప్రాథమిక నిర్వచనాలతో పాటు, సహజ, పూర్ణాంకం, హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక ఘాతాంకాలతో ఏ డిగ్రీలు ఉన్నాయో మేము రూపొందిస్తాము. ఎప్పటిలాగే, అన్ని భావనలు పనుల ఉదాహరణలతో వివరించబడతాయి.

Yandex.RTB R-A-339285-1

మొదట, మేము సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క ప్రాథమిక నిర్వచనాన్ని రూపొందిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము గుణకారం యొక్క ప్రాథమిక నియమాలను గుర్తుంచుకోవాలి. ప్రస్తుతానికి వాస్తవ సంఖ్యను బేస్‌గా తీసుకుంటామని ముందుగానే స్పష్టం చేద్దాం (దానిని a అక్షరం ద్వారా సూచిస్తాము), మరియు సూచికగా - సహజ సంఖ్య (అక్షరం n ద్వారా సూచించబడుతుంది).

నిర్వచనం 1

సహజ ఘాతాంకం nతో ఉన్న శక్తి అనేది nవ సంఖ్య కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి a సంఖ్యకు సమానం. డిగ్రీ ఇలా వ్రాయబడింది: ఒక ఎన్, మరియు ఫార్ములా రూపంలో, దాని కూర్పును ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు:

ఉదాహరణకు, ఘాతాంకం 1 అయితే, ఆధారం a అయితే, a యొక్క మొదటి శక్తి ఇలా వ్రాయబడుతుంది a 1. a అనేది కారకం యొక్క విలువ మరియు 1 అనేది కారకాల సంఖ్య కాబట్టి, మేము దానిని ముగించవచ్చు a 1 = a.

సాధారణంగా, డిగ్రీ అనేది పెద్ద సంఖ్యలో సమాన కారకాలను వ్రాయడానికి అనుకూలమైన రూపం అని మేము చెప్పగలం. కాబట్టి, ఫారమ్ యొక్క రికార్డు 8 8 8 8కు తగ్గించవచ్చు 8 4 . అదే విధంగా, ఉత్పత్తి పెద్ద సంఖ్యలో నిబంధనలను వ్రాయకుండా ఉండటానికి మాకు సహాయపడుతుంది (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; సహజ సంఖ్యల గుణకారానికి అంకితమైన వ్యాసంలో మేము దీనిని ఇప్పటికే విశ్లేషించాము.

డిగ్రీ రికార్డును సరిగ్గా చదవడం ఎలా? సాధారణంగా ఆమోదించబడిన ఎంపిక "a టు ది పవర్ ఆఫ్ n". లేదా మీరు "a యొక్క nth పవర్" లేదా "nth పవర్" అని చెప్పవచ్చు. ఒకవేళ, ఉదాహరణలో ఒక ఎంట్రీ ఉంది 8 12 , మనం "8 నుండి 12వ శక్తి", "8 నుండి 12 శక్తికి" లేదా "8 యొక్క 12వ శక్తి"ని చదవవచ్చు.

సంఖ్య యొక్క రెండవ మరియు మూడవ డిగ్రీలు వాటి స్వంత బాగా స్థిరపడిన పేర్లను కలిగి ఉన్నాయి: చదరపు మరియు క్యూబ్. మనం రెండవ శక్తిని చూసినట్లయితే, ఉదాహరణకు, సంఖ్య 7 (7 2), అప్పుడు మనం "7 స్క్వేర్డ్" లేదా "సంఖ్య 7 యొక్క స్క్వేర్" అని చెప్పవచ్చు. అదేవిధంగా, మూడవ డిగ్రీ ఇలా చదవబడుతుంది: 5 3 "5 క్యూబ్ ఆఫ్ ది నంబర్" లేదా "5 క్యూబ్డ్". అయినప్పటికీ, "రెండవ / మూడవ డిగ్రీలో" ప్రామాణిక పదాలను ఉపయోగించడం కూడా సాధ్యమే, ఇది పొరపాటు కాదు.

ఉదాహరణ 1

సహజ సూచికతో డిగ్రీ యొక్క ఉదాహరణను చూద్దాం: కోసం 5 7 ఐదు బేస్, మరియు ఏడు సూచిక ఉంటుంది.

ఆధారం పూర్ణాంకం కానవసరం లేదు: డిగ్రీకి (4 , 32) 9 ఆధారం భిన్నం 4, 32, మరియు ఘాతాంకం తొమ్మిది అవుతుంది. బ్రాకెట్లకు శ్రద్ధ వహించండి: అటువంటి సంజ్ఞామానం అన్ని డిగ్రీలకు తయారు చేయబడింది, వీటిలో స్థావరాలు సహజ సంఖ్యల నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణకు: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

బ్రాకెట్లు దేనికి? వారు గణనలో లోపాలను నివారించడానికి సహాయం చేస్తారు. మనకు రెండు ఎంట్రీలు ఉన్నాయని అనుకుందాం: (− 2) 3 మరియు − 2 3 . వాటిలో మొదటిది అంటే ప్రతికూల సంఖ్య మైనస్ రెండు, మూడు సహజ ఘాతాంకంతో శక్తికి పెంచబడింది; రెండవది డిగ్రీ యొక్క వ్యతిరేక విలువకు సంబంధించిన సంఖ్య 2 3 .

కొన్నిసార్లు పుస్తకాలలో మీరు సంఖ్య యొక్క డిగ్రీకి కొద్దిగా భిన్నమైన స్పెల్లింగ్‌ను కనుగొనవచ్చు - a^n(ఇక్కడ a అనేది బేస్ మరియు n అనేది ఘాతాంకం). కాబట్టి 4^9 ఒకటే 4 9 . n అనేది బహుళ-అంకెల సంఖ్య అయితే, అది కుండలీకరణాల్లో జతచేయబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 15 ^ (21) , (- 3 , 1) ^ (156) . కానీ మేము సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగిస్తాము ఒక ఎన్మరింత సాధారణమైనది.

సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ విలువను ఎలా లెక్కించాలి అనేది దాని నిర్వచనం నుండి ఊహించడం సులభం: మీరు కేవలం n -వ సంఖ్యను గుణించాలి. మేము దీని గురించి మరొక వ్యాసంలో వ్రాసాము.

డిగ్రీ భావన మరొక గణిత భావనకు వ్యతిరేకం - సంఖ్య యొక్క మూలం. ఘాతాంకం మరియు ఘాతాంకం యొక్క విలువ మనకు తెలిస్తే, మనం దాని ఆధారాన్ని లెక్కించవచ్చు. డిగ్రీలో కొన్ని నిర్దిష్ట లక్షణాలు ఉన్నాయి, అవి మేము ప్రత్యేక మెటీరియల్‌లో విశ్లేషించిన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగపడతాయి.

ఘాతాంకాలు సహజ సంఖ్యలను మాత్రమే కాకుండా, ప్రతికూల వాటిని మరియు సున్నాలతో సహా సాధారణంగా ఏదైనా పూర్ణాంకాల విలువలను కలిగి ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవి కూడా పూర్ణాంకాల సమితికి చెందినవి.

నిర్వచనం 2

ధనాత్మక పూర్ణాంక ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క డిగ్రీని ఫార్ములాగా ప్రదర్శించవచ్చు: .

అంతేకాకుండా, n అనేది ఏదైనా ధనాత్మక పూర్ణాంకం.

సున్నా డిగ్రీ భావనతో వ్యవహరిస్తాం. దీన్ని చేయడానికి, సమానమైన స్థావరాలు కలిగిన అధికారాల కోసం గుణకం యొక్క ఆస్తిని పరిగణనలోకి తీసుకునే విధానాన్ని మేము ఉపయోగిస్తాము. ఇది ఇలా రూపొందించబడింది:

నిర్వచనం 3

సమానత్వం a m: a n = a m - nకింది పరిస్థితులలో నిజం అవుతుంది: m మరియు n సహజ సంఖ్యలు, m< n , a ≠ 0 .

చివరి పరిస్థితి ముఖ్యమైనది ఎందుకంటే ఇది సున్నాతో విభజించడాన్ని నివారిస్తుంది. m మరియు n విలువలు సమానంగా ఉంటే, మేము ఈ క్రింది ఫలితాన్ని పొందుతాము: a n: a n = a n - n = a 0

కానీ అదే సమయంలో a n: a n = 1 - సమాన సంఖ్యల గుణకం ఒక ఎన్మరియు ఎ. ఏదైనా సున్నా కాని సంఖ్య యొక్క సున్నా డిగ్రీ ఒకదానికి సమానం అని తేలింది.

అయితే, అటువంటి రుజువు శక్తి సున్నాకి సున్నాకి తగినది కాదు. దీన్ని చేయడానికి, మనకు అధికారాల యొక్క మరొక ఆస్తి అవసరం - సమాన స్థావరాలు కలిగిన శక్తుల ఉత్పత్తుల ఆస్తి. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: a m a n = a m + n .

n 0 అయితే, అప్పుడు a m a 0 = a m(ఈ సమానత్వం కూడా మనకు రుజువు చేస్తుంది a 0 = 1) కానీ సున్నాకి సమానం అయితే, మన సమానత్వం రూపం తీసుకుంటుంది 0 మీ 0 0 = 0 మీ, n యొక్క ఏదైనా సహజ విలువకు ఇది నిజం అవుతుంది మరియు డిగ్రీ విలువ ఎంత అనేది పట్టింపు లేదు 0 0 , అంటే, ఇది ఏ సంఖ్యకైనా సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఇది సమానత్వం యొక్క చెల్లుబాటును ప్రభావితం చేయదు. అందువలన, ఫారమ్ యొక్క రికార్డు 0 0 దాని స్వంత ప్రత్యేక అర్ధం లేదు మరియు మేము దానిని ఆపాదించము.

కావాలనుకుంటే, దాన్ని తనిఖీ చేయడం సులభం a 0 = 1డిగ్రీ ఆస్తితో కలుస్తుంది (a m) n = a m nడిగ్రీ యొక్క ఆధారం సున్నాకి సమానం కాదని అందించింది. కాబట్టి, సున్నా ఘాతాంకం ఉన్న ఏదైనా సున్నా కాని సంఖ్య యొక్క డిగ్రీ ఒకదానికి సమానం.

ఉదాహరణ 2

నిర్దిష్ట సంఖ్యలతో ఉదాహరణను చూద్దాం: కాబట్టి, 5 0 - యూనిట్, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , మరియు విలువ 0 0 నిర్వచించబడలేదు.

సున్నా డిగ్రీ తర్వాత, ప్రతికూల డిగ్రీ అంటే ఏమిటో గుర్తించడం మాకు మిగిలి ఉంది. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఇప్పటికే పైన ఉపయోగించిన సమాన స్థావరాలు కలిగిన శక్తుల ఉత్పత్తి యొక్క అదే ఆస్తి అవసరం: a m · a n = a m + n.

మేము షరతును పరిచయం చేస్తాము: m = - n , అప్పుడు సున్నాకి సమానంగా ఉండకూడదు. ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది a - n a n = a - n + n = a 0 = 1. ఇది ఒక n మరియు అని మారుతుంది a-nమేము పరస్పరం పరస్పర సంఖ్యలను కలిగి ఉన్నాము.

ఫలితంగా, ప్రతికూల పూర్ణాంకం శక్తికి a అనేది భిన్నం 1 a n తప్ప మరొకటి కాదు.

ఈ సూత్రీకరణ ప్రతికూల పూర్ణాంక ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీకి, సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ కలిగి ఉన్న ఒకే విధమైన లక్షణాలు చెల్లుబాటు అవుతాయని నిర్ధారిస్తుంది (బేస్ సున్నాకి సమానంగా ఉండకపోతే).

ఉదాహరణ 3

ప్రతికూల పూర్ణాంకం nతో పవర్ aని భిన్నం 1 a nగా సూచించవచ్చు. అందువలన, a - n = 1 a n షరతు కింద a ≠ 0మరియు n అనేది ఏదైనా సహజ సంఖ్య.

నిర్దిష్ట ఉదాహరణలతో మా ఆలోచనను ఉదహరిద్దాం:

ఉదాహరణ 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

పేరా చివరి భాగంలో, మేము ఒక సూత్రంలో స్పష్టంగా చెప్పబడిన ప్రతిదాన్ని చిత్రీకరించడానికి ప్రయత్నిస్తాము:

నిర్వచనం 4

సహజ ఘాతాంకం zతో ఉన్న a యొక్క శక్తి: a z = a z , e c మరియు z అనేది ధనాత్మక పూర్ణాంకం 1 , z = 0 మరియు a ≠ 0 , (z = 0 మరియు a = 0 అయితే మనకు 0 0 వస్తుంది , విలువలు వ్యక్తీకరణ 0 0 నిర్ణయించబడలేదు)   1 a z , ఒకవేళ z ప్రతికూల పూర్ణాంకం మరియు ≠ 0 (z అనేది ప్రతికూల పూర్ణాంకం మరియు a = 0 అయితే మనకు 0 z వస్తుంది, అది n d e n t i o n )

హేతుబద్ధ ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీలు ఏమిటి

ఘాతాంకం పూర్ణాంకం అయినప్పుడు మేము కేసులను విశ్లేషించాము. అయినప్పటికీ, ఘాతాంకం పాక్షిక సంఖ్య అయినప్పుడు మీరు సంఖ్యను శక్తికి పెంచవచ్చు. దీనిని హేతుబద్ధ ఘాతాంకంతో కూడిన డిగ్రీ అంటారు. ఈ ఉపవిభాగంలో మేము ఇతర శక్తులకు సమానమైన లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయని నిరూపిస్తాము.

హేతుబద్ధ సంఖ్యలు అంటే ఏమిటి? వాటి సెట్‌లో పూర్ణాంకం మరియు పాక్షిక సంఖ్యలు ఉంటాయి, అయితే భిన్న సంఖ్యలను సాధారణ భిన్నాలుగా (పాజిటివ్ మరియు నెగెటివ్ రెండూ) సూచించవచ్చు. మేము ఒక సంఖ్య యొక్క డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనాన్ని పాక్షిక ఘాతాంకం m / nతో రూపొందిస్తాము, ఇక్కడ n అనేది సహజ సంఖ్య మరియు m అనేది పూర్ణాంకం.

మేము ఒక m n పాక్షిక ఘాతాంకంతో కొంత డిగ్రీని కలిగి ఉన్నాము. పవర్ ప్రాపర్టీ ఒక డిగ్రీలో ఉండాలంటే, a m n n = a m n · n = a m సమానత్వం తప్పనిసరిగా ఉండాలి.

ఒక n వ మూలం యొక్క నిర్వచనం మరియు a m n n = a m , ఇచ్చిన m , n మరియు a యొక్క విలువలకు m n అర్ధమైతే a m n = a m n అనే షరతును మనం అంగీకరించవచ్చు.

పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో ఉన్న డిగ్రీ యొక్క పైన పేర్కొన్న లక్షణాలు a m n = a m n షరతులో నిజం అవుతుంది.

మా తార్కికం నుండి ప్రధాన ముగింపు ఈ క్రింది విధంగా ఉంది: పాక్షిక ఘాతాంకం m / n తో కొంత సంఖ్య a యొక్క డిగ్రీ సంఖ్య a నుండి శక్తి m వరకు nవ డిగ్రీకి మూలం. m, n మరియు a యొక్క ఇచ్చిన విలువలకు, a m n అనే వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతంగా ఉంటే ఇది నిజం.

1. మేము డిగ్రీ యొక్క ఆధార విలువను పరిమితం చేయవచ్చు: a తీసుకోండి, ఇది m యొక్క సానుకూల విలువల కోసం 0 కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది మరియు ప్రతికూల విలువల కోసం ఇది ఖచ్చితంగా తక్కువగా ఉంటుంది (m ≤ కోసం 0 మనకు లభిస్తుంది 0 మీ, కానీ ఈ డిగ్రీ నిర్వచించబడలేదు). ఈ సందర్భంలో, పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనం ఇలా కనిపిస్తుంది:

కొంత ధనాత్మక సంఖ్య a కోసం పాక్షిక ఘాతాంకం m/n అనేది m శక్తికి పెంచబడిన nవ మూలం. ఫార్ములా రూపంలో, దీనిని ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు:

సున్నా బేస్ ఉన్న డిగ్రీకి, ఈ నిబంధన కూడా అనుకూలంగా ఉంటుంది, అయితే దాని ఘాతాంకం సానుకూల సంఖ్య అయితే మాత్రమే.

మూలాధార సున్నా మరియు ధనాత్మక పాక్షిక ఘాతాంకం m/nతో శక్తిని ఇలా వ్యక్తీకరించవచ్చు

0 m n = 0 m n = 0 సానుకూల పూర్ణాంకం m మరియు సహజ n షరతులో.

ప్రతికూల నిష్పత్తి m n తో< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ఒక విషయం గమనించండి. మేము a అనేది సున్నా కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం అనే షరతును ప్రవేశపెట్టినందున, మేము కొన్ని సందర్భాలను విస్మరించాము.

a m n అనే వ్యక్తీకరణ కొన్నిసార్లు a యొక్క కొన్ని ప్రతికూల విలువలకు మరియు m యొక్క కొన్ని ప్రతికూల విలువలకు అర్ధమే. కాబట్టి, ఎంట్రీలు సరైనవి (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , దీనిలో బేస్ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

2. రెండవ విధానం ఏమిటంటే, ఒక m n మూలాన్ని సరి మరియు బేసి ఘాతాంకాలతో విడిగా పరిగణించడం. అప్పుడు మనం మరొక షరతును పరిచయం చేయాలి: డిగ్రీ a, ఘాతాంకంలో తగ్గించదగిన సాధారణ భిన్నం ఉంది, డిగ్రీ aగా పరిగణించబడుతుంది, దాని ఘాతాంకంలో సంబంధిత తగ్గించలేని భిన్నం ఉంటుంది. మనకు ఈ పరిస్థితి ఎందుకు అవసరమో మరియు అది ఎందుకు చాలా ముఖ్యమైనదో తరువాత వివరిస్తాము. ఈ విధంగా, మన వద్ద m · k n · k రికార్డు ఉంటే, దానిని m nకి తగ్గించి, గణనలను సరళీకృతం చేయవచ్చు.

n అనేది బేసి సంఖ్య మరియు m ధనాత్మకం మరియు a ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య అయితే, అప్పుడు m n అర్థవంతంగా ఉంటుంది. ప్రతికూల సంఖ్య నుండి సరి డిగ్రీ యొక్క మూలం సంగ్రహించబడనందున, నాన్-నెగటివ్ a కోసం షరతు అవసరం. m యొక్క విలువ ధనాత్మకంగా ఉంటే, అప్పుడు a ప్రతికూల మరియు సున్నా రెండూ కావచ్చు, ఎందుకంటే ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య నుండి బేసి మూలాన్ని తీసుకోవచ్చు.

నిర్వచనం పైన ఉన్న మొత్తం డేటాను ఒక ఎంట్రీలో మిళితం చేద్దాం:

ఇక్కడ m/n అంటే తగ్గించలేని భిన్నం, m ఏదైనా పూర్ణాంకం మరియు n ఏదైనా సహజ సంఖ్య.

నిర్వచనం 5

ఏదైనా సాధారణ తగ్గిన భిన్నం m · k n · k కోసం, డిగ్రీని m nతో భర్తీ చేయవచ్చు.

తగ్గించలేని పాక్షిక ఘాతాంకం m / nతో ఉన్న సంఖ్య యొక్క డిగ్రీని ఈ క్రింది సందర్భాలలో m nగా వ్యక్తీకరించవచ్చు: - ఏదైనా నిజమైన a కోసం , సానుకూల పూర్ణాంకం విలువలు m మరియు బేసి సహజ విలువలు n . ఉదాహరణ: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

ఏదైనా సున్నా కాని వాస్తవ a , ప్రతికూల పూర్ణాంకం విలువలు m మరియు n యొక్క బేసి విలువలు, ఉదాహరణకు, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

ఏదైనా నాన్-నెగటివ్ a కోసం, m మరియు n యొక్క సానుకూల పూర్ణాంకాల విలువలు, ఉదాహరణకు, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

ఏదైనా ధనాత్మక a , ప్రతికూల పూర్ణాంకం m మరియు n కూడా , ఉదాహరణకు, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

ఇతర విలువల విషయంలో, పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ నిర్ణయించబడదు. అటువంటి అధికారాలకు ఉదాహరణలు: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

ఇప్పుడు పైన పేర్కొన్న షరతు యొక్క ప్రాముఖ్యతను వివరిస్తాము: ఒక భిన్నం కోసం తగ్గించదగిన ఘాతాంకంతో భిన్నాన్ని ఎందుకు భర్తీ చేయాలి. మేము దీన్ని చేయకపోతే, అలాంటి పరిస్థితులు 6/10 = 3/5 అని చెప్పవచ్చు. అప్పుడు (- 1) 6 10 = - 1 3 5 నిజం అయి ఉండాలి, కానీ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , మరియు (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

మేము మొదట ఇచ్చిన పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనం, రెండవదాని కంటే ఆచరణలో దరఖాస్తు చేయడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, కాబట్టి మేము దానిని ఉపయోగించడం కొనసాగిస్తాము.

నిర్వచనం 6

అందువలన, పాక్షిక ఘాతాంకం m / n తో సానుకూల సంఖ్య a యొక్క శక్తి 0 m n = 0 m n = 0 గా నిర్వచించబడింది. ప్రతికూల విషయంలో a a m n అనే సంజ్ఞామానానికి అర్థం లేదు. పాజిటివ్ ఫ్రాక్షనల్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌ల కోసం సున్నా డిగ్రీ m/n 0 m n = 0 m n = 0 గా నిర్వచించబడింది, ప్రతికూల పాక్షిక ఘాతాంకాలకు మేము సున్నా యొక్క డిగ్రీని నిర్వచించము.

ముగింపులలో, ఏదైనా భిన్నమైన సూచికను మిశ్రమ సంఖ్యగా మరియు దశాంశ భిన్నంగా వ్రాయవచ్చని మేము గమనించాము: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

లెక్కించేటప్పుడు, ఘాతాంకాన్ని సాధారణ భిన్నంతో భర్తీ చేసి, ఆపై డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనాన్ని పాక్షిక ఘాతాంకంతో ఉపయోగించడం మంచిది. పై ఉదాహరణల కోసం, మేము పొందుతాము:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

అహేతుక మరియు నిజమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీలు ఏమిటి

వాస్తవ సంఖ్యలు ఏమిటి? వారి సమితిలో హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక సంఖ్యలు రెండూ ఉంటాయి. కాబట్టి, నిజమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి, మేము హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక ఘాతాంకాలతో డిగ్రీలను నిర్వచించాలి. హేతుబద్ధత గురించి మేము ఇప్పటికే పైన పేర్కొన్నాము. అహేతుక సూచికలతో దశలవారీగా వ్యవహరిస్తాం.

ఉదాహరణ 5

మనకు అహేతుక సంఖ్య a మరియు దాని దశాంశ ఉజ్జాయింపుల శ్రేణి 0 , a 1 , a 2 , . . . . ఉదాహరణకు, a = 1 , 67175331 విలువను తీసుకుందాం. . . , అప్పుడు

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

a 0 , a 1 , a 2 , శక్తుల శ్రేణితో మేము ఉజ్జాయింపుల క్రమాలను అనుబంధించవచ్చు. . . . సంఖ్యలను హేతుబద్ధమైన శక్తికి పెంచడం గురించి మనం ఇంతకు ముందు మాట్లాడిన వాటిని గుర్తుచేసుకుంటే, ఈ శక్తుల విలువలను మనం లెక్కించవచ్చు.

ఉదాహరణకు తీసుకోండి a = 3, అప్పుడు a a 0 = 3 1 , 67 , a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . మొదలైనవి

డిగ్రీల క్రమాన్ని సంఖ్యకు తగ్గించవచ్చు, ఇది బేస్ a మరియు అహేతుక ఘాతాంకంతో ఉన్న డిగ్రీ విలువ అవుతుంది. ఫలితంగా: రూపం 3 1 , 67175331 యొక్క అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ. . 6, 27 సంఖ్యకు తగ్గించవచ్చు.

నిర్వచనం 7

అకరణీయ ఘాతాంకం aతో ధనాత్మక సంఖ్య a యొక్క శక్తి a గా వ్రాయబడుతుంది. దీని విలువ a 0 , a a 1 , a 2 , సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి. . . , ఇక్కడ a 0 , a 1 , a 2 , . . . అకరణీయ సంఖ్య a యొక్క వరుస దశాంశ ఉజ్జాయింపులు. 0 a \u003d 0 కాబట్టి, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0 అయితే సున్నా బేస్ ఉన్న డిగ్రీని సానుకూల అహేతుక ఘాతాంకాలకు కూడా నిర్వచించవచ్చు. మరియు ప్రతికూల వాటి కోసం, ఇది చేయలేము, ఉదాహరణకు, 0 - 5, 0 - 2 π విలువ నిర్వచించబడలేదు. ఏదైనా అహేతుక శక్తికి పెంచబడిన యూనిట్ ఒక యూనిట్‌గా మిగిలిపోతుంది, ఉదాహరణకు, 2లో 1 2 , 1 5 మరియు 1 - 5 1కి సమానం.

మీరు టెక్స్ట్‌లో పొరపాటును గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

శక్తి సూత్రాలుసంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలను తగ్గించే మరియు సరళీకృతం చేసే ప్రక్రియలో, సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంలో ఉపయోగిస్తారు.

సంఖ్య సిఉంది n-ఒక సంఖ్య యొక్క శక్తి aఎప్పుడు:

డిగ్రీలతో కార్యకలాపాలు.

1. ఒకే ఆధారంతో డిగ్రీలను గుణించడం, వాటి సూచికలు జోడించబడతాయి:

ఒక ma n = a m + n.

2. అదే ఆధారంతో డిగ్రీల విభజనలో, వాటి సూచికలు తీసివేయబడతాయి:

3. 2 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క డిగ్రీ ఈ కారకాల డిగ్రీల ఉత్పత్తికి సమానం:

(abc...) n = a n b n c n …

4. భిన్నం యొక్క డిగ్రీ డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ డిగ్రీల నిష్పత్తికి సమానం:

(a/b) n = a n / b n .

5. శక్తికి శక్తిని పెంచడం, ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి:

(am) n = a m n .

ఎగువన ఉన్న ప్రతి ఫార్ములా ఎడమ నుండి కుడికి మరియు వైస్ వెర్సా దిశలలో సరైనది.

ఉదాహరణకి. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

మూలాలతో కార్యకలాపాలు.

1. అనేక కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క మూలం ఈ కారకాల మూలాల ఉత్పత్తికి సమానం:

2. నిష్పత్తి యొక్క మూలం డివిడెండ్ మరియు మూలాల విభజన నిష్పత్తికి సమానం:

3. రూట్‌ని పవర్‌కి పెంచేటప్పుడు, రూట్ నంబర్‌ను ఈ పవర్‌కి పెంచితే సరిపోతుంది:

4. మేము ఇన్ రూట్ యొక్క డిగ్రీని పెంచినట్లయితే nఒకసారి మరియు అదే సమయంలో పెంచండి nవ పవర్ అనేది రూట్ నంబర్, అప్పుడు రూట్ విలువ మారదు:

5. మనం ఇన్ రూట్ డిగ్రీని తగ్గిస్తే nఅదే సమయంలో రూట్ nరాడికల్ సంఖ్య నుండి వ డిగ్రీ, అప్పుడు రూట్ విలువ మారదు:

ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.నాన్-పాజిటివ్ (పూర్ణాంకం) ఘాతాంకం ఉన్న నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క డిగ్రీని అదే సంఖ్య యొక్క డిగ్రీతో భాగించబడినది, నాన్-పాజిటివ్ ఘాతాంకం యొక్క సంపూర్ణ విలువకు సమానమైన ఘాతాంకంతో విభజించబడింది:

ఫార్ములా ఒక m:a n = a m - nకోసం మాత్రమే ఉపయోగించవచ్చు m> n, కానీ వద్ద కూడా m< n.

ఉదాహరణకి. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

సూత్రానికి ఒక m:a n = a m - nవద్ద ఫెయిర్ అయింది m=n, మీరు సున్నా డిగ్రీ ఉనికిని కలిగి ఉండాలి.

సున్నా ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.సున్నా ఘాతాంకం ఉన్న ఏదైనా సున్నా కాని సంఖ్య యొక్క శక్తి ఒకదానికి సమానం.

ఉదాహరణకి. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.వాస్తవ సంఖ్యను పెంచడానికి aఒక డిగ్రీ వరకు m/n, మీరు రూట్ సేకరించేందుకు అవసరం nయొక్క డిగ్రీ mఈ సంఖ్య యొక్క శక్తి a.