గణిత ప్రేరణ పాఠ్య గమనికల పద్ధతి. ఉదాహరణలు - గణిత ప్రేరణ

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

రష్యన్ భాషలో ఇండక్షన్ అనే పదానికి మార్గదర్శకం అని అర్థం, మరియు పరిశీలనలు, ప్రయోగాల ఆధారంగా తీర్మానాలు, అనగా ప్రేరక అని పిలుస్తారు. నిర్దిష్ట నుండి సాధారణ వరకు అనుమితి ద్వారా పొందబడింది.

ఉదాహరణకు, సూర్యుడు తూర్పు నుండి ఉదయించడాన్ని మనం ప్రతిరోజూ గమనిస్తాము. అందువల్ల, రేపు అది పశ్చిమాన కాకుండా తూర్పున కనిపిస్తుందని మీరు అనుకోవచ్చు. ఆకాశం అంతటా సూర్యుని కదలికకు కారణం గురించి ఎటువంటి ఊహలను ఆశ్రయించకుండా మేము ఈ తీర్మానాన్ని చేస్తాము (అంతేకాకుండా, భూగోళం వాస్తవానికి కదులుతున్నందున ఈ కదలిక స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది). ఇంకా ఈ ప్రేరక ముగింపు మనం రేపు చేసే పరిశీలనలను సరిగ్గా వివరిస్తుంది.

ప్రయోగాత్మక శాస్త్రాలలో ప్రేరక ముగింపుల పాత్ర చాలా గొప్పది. వారు ఆ నిబంధనలను ఇస్తారు, దాని నుండి తగ్గింపు ద్వారా తదుపరి ముగింపులు తీసుకోబడతాయి. సైద్ధాంతిక మెకానిక్స్ న్యూటన్ యొక్క మూడు చలన నియమాలపై ఆధారపడి ఉన్నప్పటికీ, ఈ చట్టాలు ప్రయోగాత్మక డేటా ద్వారా లోతైన ఆలోచనల ఫలితంగా ఉన్నాయి, ప్రత్యేకించి కెప్లర్ యొక్క గ్రహ చలన నియమాలు, అతను డానిష్ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త టైకోచే అనేక సంవత్సరాల పరిశీలనల ప్రాసెసింగ్ నుండి తీసుకోబడింది. బ్రహే. పరిశీలన మరియు ఇండక్షన్ చేసిన ఊహలను స్పష్టం చేయడానికి భవిష్యత్తులో ఉపయోగపడతాయి. కదిలే మాధ్యమంలో కాంతి వేగాన్ని కొలవడానికి మిచెల్సన్ చేసిన ప్రయోగాల తర్వాత, భౌతిక శాస్త్ర నియమాలను స్పష్టం చేయడం మరియు సాపేక్షత సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించడం అవసరం అని తేలింది.

గణితశాస్త్రంలో, ఇండక్షన్ పాత్ర ఎక్కువగా అది ఎంచుకున్న యాక్సియోమాటిక్స్‌లో ఉంటుంది. దీర్ఘకాల అభ్యాసం వక్ర లేదా విరిగిన మార్గం కంటే సరళమైన మార్గం ఎల్లప్పుడూ తక్కువగా ఉంటుందని చూపించిన తర్వాత, ఒక సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించడం సహజం: ఏదైనా మూడు పాయింట్లు A, B మరియు C, అసమానత

కింది భావన, ఇది అంకగణితానికి ఆధారం, సైనికులు, నౌకలు మరియు ఇతర ఆర్డర్ సెట్ల ఏర్పాటు యొక్క పరిశీలనల నుండి కూడా కనిపించింది.

ఏది ఏమైనప్పటికీ, ఇది గణితంలో ఇండక్షన్ పాత్రను నిర్వీర్యం చేస్తుందని భావించకూడదు. వాస్తవానికి, సిద్ధాంతాల నుండి తార్కికంగా తీసివేయబడిన సిద్ధాంతాలను మనం ప్రయోగాత్మకంగా పరీక్షించకూడదు: ఉత్పన్నం సమయంలో ఎటువంటి తార్కిక లోపాలు జరగకపోతే, మేము అంగీకరించిన సిద్ధాంతాలు నిజం అయినంత వరకు అవి నిజమైనవి. కానీ ఈ సిద్ధాంతాల వ్యవస్థ నుండి చాలా ప్రకటనలను తీసివేయవచ్చు. మరియు నిరూపించబడవలసిన ఆ ప్రకటనల ఎంపిక మళ్లీ ఇండక్షన్ ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఇది పనికిరాని వాటి నుండి ఉపయోగకరమైన సిద్ధాంతాలను వేరు చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఏ సిద్ధాంతాలు నిజం కావచ్చో సూచిస్తుంది మరియు రుజువు యొక్క మార్గాన్ని వివరించడానికి కూడా సహాయపడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క సారాంశం

అంకగణితం, బీజగణితం, జ్యామితి మరియు విశ్లేషణ యొక్క అనేక శాఖలలో, సహజ వేరియబుల్ ఆధారంగా వాక్యాల A(n) యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించడం అవసరం. వేరియబుల్ యొక్క అన్ని విలువలకు ప్రతిపాదన A(n) యొక్క సత్యం యొక్క రుజువు తరచుగా గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది, ఇది క్రింది సూత్రంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

కింది రెండు షరతులు నెరవేరినట్లయితే వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సహజ విలువలకు ప్రతిపాదన A(n) నిజమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది:

ప్రతిపాదన A(n) n=1కి నిజం.

n=k (ఇక్కడ k అనేది ఏదైనా సహజ సంఖ్య)కి A(n) సరైనది అనే ఊహ నుండి, అది తదుపరి విలువ n=k+1కి సరైనదని అనుసరిస్తుంది.

ఈ సూత్రాన్ని గణిత ప్రేరణ సూత్రం అంటారు. ఇది సాధారణంగా సంఖ్యల సహజ శ్రేణిని నిర్వచించే సిద్ధాంతాలలో ఒకటిగా ఎంపిక చేయబడుతుంది మరియు అందువల్ల రుజువు లేకుండా ఆమోదించబడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి అంటే క్రింది రుజువు పద్ధతి. మీరు అన్ని సహజ n కోసం A(n) వాక్యం యొక్క సత్యాన్ని రుజువు చేయాలనుకుంటే, ముందుగా, మీరు A(1) స్టేట్‌మెంట్ యొక్క సత్యాన్ని తనిఖీ చేయాలి మరియు రెండవది, A(k) స్టేట్‌మెంట్ యొక్క సత్యాన్ని ఊహిస్తూ ఉండాలి. ప్రకటన A(k +1) నిజమని నిరూపించడానికి ప్రయత్నించండి. ఇది నిరూపించగలిగితే మరియు k యొక్క ప్రతి సహజ విలువకు రుజువు చెల్లుబాటు అయ్యేలా ఉంటే, గణిత ప్రేరణ సూత్రానికి అనుగుణంగా, A(n) ప్రతిపాదన n యొక్క అన్ని విలువలకు నిజమైనదిగా గుర్తించబడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి సిద్ధాంతాలు, గుర్తింపులు, అసమానతలను నిరూపించడంలో, విభజన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో, కొన్ని రేఖాగణిత మరియు అనేక ఇతర సమస్యలను పరిష్కరించడంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

సమస్యలను పరిష్కరించడంలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

విభజన

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి, మీరు సహజ సంఖ్యల విభజనకు సంబంధించి వివిధ ప్రకటనలను నిరూపించవచ్చు.

కింది ప్రకటన సాపేక్షంగా సరళంగా నిరూపించబడుతుంది. గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఇది ఎలా పొందబడుతుందో చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ 1. n అనేది సహజ సంఖ్య అయితే, ఆ సంఖ్య సరి.

n=1 మన ప్రకటన నిజం అయినప్పుడు: - సరి సంఖ్య. అది సరిసంఖ్య అని అనుకుందాం. కాబట్టి, 2k అనేది సరి సంఖ్య కూడా. కాబట్టి, n=1 కోసం సమానత్వం నిరూపించబడింది, సమానత్వం నుండి సమానత్వం తీసివేయబడుతుంది .ఇది n యొక్క అన్ని సహజ విలువలకు కూడా అని అర్థం.

ఉదాహరణ 2.వాక్యం యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించండి

A(n)=(సంఖ్య 5 అనేది 19 యొక్క గుణకం), n అనేది సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

ప్రకటన A(1)=(19చే భాగించబడే సంఖ్య) నిజం.

కొంత విలువ n=k అని అనుకుందాం

A(k)=(సంఖ్య 19 ద్వారా భాగించబడుతుంది) నిజం. అప్పుడు, నుండి

సహజంగానే, A(k+1) కూడా నిజం. నిజానికి, A(k) నిజం అనే ఊహ కారణంగా మొదటి పదం 19తో భాగించబడుతుంది; రెండవ పదం కూడా 19 ద్వారా భాగించబడుతుంది ఎందుకంటే ఇది 19 కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది. గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క రెండు షరతులు సంతృప్తి చెందాయి, కాబట్టి, ప్రతిపాదన A(n) n యొక్క అన్ని విలువలకు నిజం.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్

సంగ్రహించే సిరీస్

ఉదాహరణ 1.సూత్రాన్ని నిరూపించండి

, n అనేది సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

n=1 అయినప్పుడు, సమానత్వం యొక్క రెండు భుజాలు ఒకదానికి మారుతాయి మరియు అందువల్ల, గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క మొదటి షరతు సంతృప్తి చెందుతుంది.

n=kకి ఫార్ములా సరైనదని అనుకుందాం, అనగా.

.

ఈ సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా జోడించి, కుడి వైపును మారుద్దాం. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

ఈ విధంగా, సూత్రం n=kకి నిజం అయినందున, ఇది n=k+1కి కూడా సరైనదని అనుసరిస్తుంది. ఈ ప్రకటన k యొక్క ఏదైనా సహజ విలువకు వర్తిస్తుంది. కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క రెండవ షరతు కూడా సంతృప్తి చెందింది. సూత్రం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 2.సహజ శ్రేణిలోని మొదటి n సంఖ్యల మొత్తం సమానమని నిరూపించండి.

పరిష్కారం.

అవసరమైన మొత్తాన్ని సూచిస్తాము, అనగా. .

n=1 ఉన్నప్పుడు పరికల్పన నిజం.

వీలు . అది చూపిద్దాం .

నిజానికి,

సమస్య పరిష్కారమైంది.

ఉదాహరణ 3.సహజ శ్రేణిలోని మొదటి n సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం సమానమని నిరూపించండి .

పరిష్కారం.

వీలు .

.

అలా నటిద్దాం . అప్పుడు

మరియు చివరకు.

ఉదాహరణ 4.నిరూపించు .

పరిష్కారం.

ఉంటే, అప్పుడు

ఉదాహరణ 5.నిరూపించు

పరిష్కారం.

n=1 ఉన్నప్పుడు పరికల్పన స్పష్టంగా నిజం.

వీలు .

అని నిరూపిద్దాం.

నిజంగా,

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని వర్తించే ఉదాహరణలు

అసమానతలకు రుజువు

ఉదాహరణ 1.ఏదైనా సహజ సంఖ్య n>1 కోసం నిరూపించండి

.

పరిష్కారం.

అసమానత యొక్క ఎడమ వైపుని ద్వారా సూచిస్తాము.

కాబట్టి, n=2కి అసమానత నిజం.

కొందరికి లెట్. అప్పుడు దానిని నిరూపిద్దాం మరియు. మన దగ్గర ఉంది , .

పోల్చడం మరియు , మేము కలిగి ఉన్నాము , అనగా .

ఏదైనా సానుకూల పూర్ణాంకం k కోసం, చివరి సమానత్వం యొక్క కుడి వైపు సానుకూలంగా ఉంటుంది. అందుకే . కానీ అది కూడా అర్థం.

ఉదాహరణ 2.తార్కికంలో లోపాన్ని కనుగొనండి.

ప్రకటన. ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు n అసమానత నిజం.

రుజువు.

. (1)

అసమానత n=k+1కి కూడా చెల్లుబాటు అవుతుందని నిరూపిద్దాం, అనగా.

.

నిజానికి, ఏదైనా సహజ k కోసం 2 కంటే తక్కువ కాదు. అసమానత యొక్క ఎడమ వైపుకు (1) మరియు కుడి వైపున 2కి జోడిద్దాం. మేము న్యాయమైన అసమానతను పొందుతాము, లేదా . ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 3.నిరూపించు , ఇక్కడ >-1, , n అనేది 1 కంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

n=2 కోసం అసమానత నిజం, నుండి .

అసమానత n=k కోసం నిజమైనదిగా ఉండనివ్వండి, ఇక్కడ k అనేది కొంత సహజ సంఖ్య, అనగా.

. (1)

అసమానత n=k+1కి కూడా చెల్లుబాటు అవుతుందని చూపిద్దాం, అనగా.

. (2)

నిజానికి, షరతు ప్రకారం, , కాబట్టి అసమానత నిజం

, (3)

ప్రతి భాగాన్ని గుణించడం ద్వారా అసమానత (1) నుండి పొందబడింది. అసమానత (3)ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాద్దాం: . చివరి అసమానత యొక్క కుడి వైపున ఉన్న సానుకూల పదాన్ని విస్మరిస్తే, మేము సరసమైన అసమానతను పొందుతాము (2).

ఉదాహరణ 4.నిరూపించు

(1)

ఇక్కడ , n అనేది 1 కంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

n=2 అసమానత (1) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

. (2)

అప్పటి నుండి, అసమానత నిజం

. (3)

అసమానత (3) యొక్క ప్రతి భాగానికి జోడించడం ద్వారా మేము అసమానత (2) ను పొందుతాము.

ఇది n=2 అసమానత (1) నిజమని రుజువు చేస్తుంది.

అసమానత (1) n=k కోసం నిజమైనదిగా ఉండనివ్వండి, ఇక్కడ k అనేది కొంత సహజ సంఖ్య, అనగా.

. (4)

అసమానత (1) n=k+1కి కూడా తప్పక నిజమని నిరూపిద్దాం, అనగా.

(5)

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా (4) a+bతో గుణిద్దాం. షరతుల ప్రకారం, మేము ఈ క్రింది న్యాయమైన అసమానతను పొందుతాము:

. (6)

అసమానత (5) యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపించడానికి, దానిని చూపించడానికి సరిపోతుంది

, (7)

లేదా, అదే ఏమిటి,

. (8)

అసమానత (8) అసమానతతో సమానం

. (9)

ఒకవేళ , అప్పుడు , మరియు అసమానత యొక్క ఎడమ వైపున (9) మనకు రెండు సానుకూల సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఉంటుంది. ఒకవేళ , అప్పుడు , మరియు అసమానత యొక్క ఎడమ వైపున (9) మనకు రెండు ప్రతికూల సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఉంటుంది. రెండు సందర్భాల్లో, అసమానత (9) నిజం.

n=k కోసం అసమానత (1) యొక్క చెల్లుబాటు n=k+1 కోసం దాని చెల్లుబాటును సూచిస్తుందని ఇది రుజువు చేస్తుంది.

ఇతరులకు వర్తించే గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

పనులు

జ్యామితిలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అత్యంత సహజమైన అప్లికేషన్, సంఖ్య సిద్ధాంతం మరియు బీజగణితంలో ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడం దగ్గరగా, రేఖాగణిత గణన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి దాని అప్లికేషన్. కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1.R వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తంలో వ్రాయబడిన సాధారణ చతురస్రం యొక్క ప్రక్కను లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

n=2 సరిగ్గా ఉన్నప్పుడు 2 n - ఒక చతురస్రం ఒక చతురస్రం; అతని వైపు. ఇంకా, రెట్టింపు సూత్రం ప్రకారం

సాధారణ అష్టభుజి వైపు అని మేము కనుగొన్నాము , సాధారణ షడ్భుజి వైపు , సాధారణ ముప్పై రెండు త్రిభుజం వైపు . కాబట్టి మనం సరైన లిఖించిన వైపు 2 అని భావించవచ్చు n - ఏదైనా సమానం కోసం చదరపు

. (1)

సాధారణ లిఖిత చతురస్రం యొక్క వైపు ఫార్ములా (1) ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిందని అనుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, రెట్టింపు సూత్రం ప్రకారం

,

ఆ ఫార్ములా (1) అన్ని n కోసం చెల్లుబాటు అయ్యేది.

ఉదాహరణ 2.ఒక n-gon (తప్పనిసరిగా కుంభాకారం కాదు) దాని అసమ్మతి కర్ణాల ద్వారా ఎన్ని త్రిభుజాలుగా విభజించవచ్చు?

పరిష్కారం.

ఒక త్రిభుజం కోసం, ఈ సంఖ్య ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది (త్రిభుజంలో ఒక్క వికర్ణం కూడా డ్రా చేయబడదు); చతుర్భుజం కోసం ఈ సంఖ్య స్పష్టంగా రెండు.

ప్రతి k-gon, ఎక్కడ k అని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు అని అనుకుందాం 1 A 2 ...A n త్రిభుజాలలోకి.

ఒక ఎన్

ఎ 1 ఎ 2

A 1 A k ఈ విభజన యొక్క వికర్ణాలలో ఒకటిగా ఉండనివ్వండి; ఇది n-gon A 1 A 2 ...A n ను k-gon A 1 A 2 ...A k మరియు (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 ..గా విభజిస్తుంది. .ఎ ఎన్ . చేసిన ఊహ కారణంగా, విభజనలోని మొత్తం త్రిభుజాల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

అందువలన, మా ప్రకటన అన్ని n కోసం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 3.ఒక కుంభాకార n-gonను విడదీయబడిన వికర్ణాల ద్వారా త్రిభుజాలుగా విభజించే మార్గాల సంఖ్య P(n)ని గణించే నియమాన్ని పేర్కొనండి.

పరిష్కారం.

త్రిభుజం కోసం, ఈ సంఖ్య స్పష్టంగా ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది: P(3)=1.

మేము ఇప్పటికే అన్ని k కోసం P(k) సంఖ్యలను నిర్ణయించామని అనుకుందాం 1 A 2 ...A n . ఇది త్రిభుజాలుగా విభజించబడినప్పుడల్లా, వైపు A 1 ఎ 2 విభజన త్రిభుజాలలో ఒకదాని వైపు ఉంటుంది, ఈ త్రిభుజం యొక్క మూడవ శీర్షం A బిందువులలో ప్రతి ఒక్కటితో సమానంగా ఉంటుంది 3, A 4, …, A n . ఈ శీర్షం పాయింట్ Aతో కలిసే n-gonని విభజించే మార్గాల సంఖ్య 3 , (n-1)-gon Aని త్రిభుజాలుగా విభజించే మార్గాల సంఖ్యకు సమానం 1 A 3 A 4 …A n , అనగా P(n-1)కి సమానం. ఈ శీర్షం Aతో కలిసే విభజన పద్ధతుల సంఖ్య 4 , (n-2)-gon Aని విభజించే మార్గాల సంఖ్యకు సమానం 1 A 4 A 5 …A n , అనగా సమానం P(n-2)=P(n-2)P(3); విభజన పద్ధతుల సంఖ్య Aతో సమానంగా ఉంటుంది 5 , P(n-3)P(4)కి సమానం, ఎందుకంటే (n-3)-gon A యొక్క ప్రతి విభజన 1 A 5 ...A n చతుర్భుజం A యొక్క ప్రతి విభజనతో కలపవచ్చు 2 ఎ 3 ఎ 4 ఎ 5 , మొదలైనవి కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది సంబంధానికి చేరుకుంటాము:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).

ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మేము స్థిరంగా పొందుతాము:

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

మొదలైనవి

మీరు గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి గ్రాఫ్‌లతో సమస్యలను కూడా పరిష్కరించవచ్చు.

విమానంలో కొన్ని పాయింట్లను కనెక్ట్ చేసే లైన్ల నెట్‌వర్క్ ఉండనివ్వండి మరియు ఇతర పాయింట్లు లేవు. అటువంటి పంక్తుల నెట్‌వర్క్‌ను మేము మ్యాప్ అని పిలుస్తాము, దాని శీర్షాలుగా ఇచ్చిన పాయింట్లు, రెండు ప్రక్కనే ఉన్న శీర్షాల మధ్య వంపుల విభాగాలు - మ్యాప్ యొక్క సరిహద్దులు, సరిహద్దుల ద్వారా విభజించబడిన విమానం యొక్క భాగాలు - మ్యాప్‌లోని దేశాలు.

విమానంలో కొంత మ్యాప్ ఇవ్వనివ్వండి. దానిలోని ప్రతి దేశం ఒక నిర్దిష్ట రంగుతో పెయింట్ చేయబడితే అది సరిగ్గా రంగులో ఉందని మేము చెబుతాము మరియు ఉమ్మడి సరిహద్దు ఉన్న ఏవైనా రెండు దేశాలు వేర్వేరు రంగులతో పెయింట్ చేయబడతాయి.

ఉదాహరణ 4.విమానంలో n సర్కిల్‌లు ఉన్నాయి. ఈ సర్కిల్‌ల యొక్క ఏదైనా అమరిక కోసం, అవి రూపొందించే మ్యాప్‌ను రెండు రంగులతో సరిగ్గా రంగు వేయవచ్చని నిరూపించండి.

పరిష్కారం.

n=1 కోసం మా ప్రకటన స్పష్టంగా ఉంది.

n సర్కిల్‌ల ద్వారా ఏర్పడిన ఏదైనా మ్యాప్‌కు మన ప్రకటన సరైనదని అనుకుందాం మరియు విమానంలో n+1 సర్కిల్‌లు ఉండనివ్వండి. ఈ సర్కిల్‌లలో ఒకదానిని తీసివేయడం ద్వారా, మేము ఊహించిన కారణంగా, రెండు రంగులతో సరిగ్గా రంగులు వేయగల మ్యాప్‌ను పొందుతాము, ఉదాహరణకు, నలుపు మరియు తెలుపు.

సవేలీవా ఎకటెరినా

విభజన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో మరియు శ్రేణిని సంగ్రహించడంలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అనువర్తనాన్ని పేపర్ చర్చిస్తుంది. అసమానతలను నిరూపించడానికి మరియు రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని వర్తింపజేయడానికి ఉదాహరణలు పరిగణించబడతాయి. పని ప్రదర్శనతో వివరించబడింది.

డౌన్‌లోడ్:

ప్రివ్యూ:

రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క సైన్స్ మరియు విద్య మంత్రిత్వ శాఖ

రాష్ట్ర విద్యా సంస్థ

మాధ్యమిక పాఠశాల నం. 618

కోర్సు: బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ ప్రారంభం

ప్రాజెక్ట్ పని యొక్క అంశం

"గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి మరియు సమస్య పరిష్కారానికి దాని అప్లికేషన్"

పని పూర్తయింది: Savelyeva E, 11B తరగతి

సూపర్‌వైజర్ : మకరోవా T.P., గణిత ఉపాధ్యాయుడు, GOU సెకండరీ స్కూల్ నం. 618

1. పరిచయం.

2.విభజన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి.

3. శ్రేణి యొక్క సమ్మషన్‌కు గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్.

4. అసమానతల రుజువుకు గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని వర్తింపజేయడానికి ఉదాహరణలు.

5. రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్.

6. ఉపయోగించిన సాహిత్యం జాబితా.

పరిచయం

ఏదైనా గణిత పరిశోధన యొక్క ఆధారం తగ్గింపు మరియు ప్రేరక పద్ధతులు. తార్కికం యొక్క తగ్గింపు పద్ధతి సాధారణ నుండి నిర్దిష్టమైన వరకు తార్కికం, అనగా. తార్కికం, దీని ప్రారంభ స్థానం సాధారణ ఫలితం మరియు చివరి పాయింట్ నిర్దిష్ట ఫలితం. నిర్దిష్ట ఫలితాల నుండి సాధారణ ఫలితాలకు వెళ్లేటప్పుడు ఇండక్షన్ ఉపయోగించబడుతుంది, అనగా. తగ్గింపు పద్ధతికి వ్యతిరేకం. గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని పురోగతితో పోల్చవచ్చు. మేము అత్యల్ప నుండి ప్రారంభిస్తాము మరియు తార్కిక ఆలోచన ఫలితంగా మనం అత్యున్నత స్థాయికి వస్తాము. మనిషి ఎల్లప్పుడూ పురోగతి కోసం, తన ఆలోచనలను తార్కికంగా అభివృద్ధి చేయగల సామర్థ్యం కోసం ప్రయత్నిస్తాడు, అంటే ప్రకృతి అతనిని ప్రేరేపకంగా ఆలోచించాలని నిర్ణయించింది. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క పరిధి పెరిగినప్పటికీ, పాఠశాల పాఠ్యాంశాల్లో తక్కువ సమయం కేటాయించబడింది. సమస్యలను పరిష్కరించడంలో మరియు సిద్ధాంతాలను నిరూపించడంలో ఈ సూత్రం యొక్క అన్వయం పాఠశాల అభ్యాసంలో ఇతర గణిత సూత్రాల పరిశీలనతో సమానంగా ఉంటుంది: మినహాయించబడిన మధ్య, చేర్చడం-మినహాయింపు, డిరిచ్లెట్, మొదలైనవి. ఈ సారాంశం గణితశాస్త్రంలోని వివిధ శాఖల నుండి సమస్యలను కలిగి ఉంటుంది, దీనిలో ప్రధాన సాధనం గణిత ప్రేరణ యొక్క ఉపయోగ పద్ధతి. ఈ పద్ధతి యొక్క ప్రాముఖ్యత గురించి మాట్లాడుతూ, A.N. కోల్మోగోరోవ్ "గణిత ప్రేరణ సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకోవడం మరియు వర్తించే సామర్థ్యం పరిపక్వతకు మంచి ప్రమాణం, ఇది గణిత శాస్త్రజ్ఞుడికి ఖచ్చితంగా అవసరం." దాని విస్తృత అర్థంలో ఇండక్షన్ పద్ధతి నిర్దిష్ట పరిశీలనల నుండి సార్వత్రిక, సాధారణ నమూనా లేదా సాధారణ సూత్రీకరణకు పరివర్తనలో ఉంటుంది. ఈ వివరణలో, పద్ధతి, వాస్తవానికి, ఏదైనా ప్రయోగాత్మక సహజ శాస్త్రంలో పరిశోధనను నిర్వహించే ప్రధాన పద్ధతి.

మానవ చర్య. అన్ని సహజ సంఖ్యల కోసం ఒక నిర్దిష్ట ప్రకటనను నిరూపించడానికి అవసరమైనప్పుడు దాని సరళమైన రూపంలో గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి (సూత్రం) ఉపయోగించబడుతుంది.

టాస్క్ 1. తన వ్యాసంలో "నేను గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిని ఎలా అయ్యాను" A.N. కోల్మోగోరోవ్ ఇలా వ్రాశాడు: "నేను ఐదు లేదా ఆరు సంవత్సరాల వయస్సులో ఒక నమూనాను గమనించి, గణిత "ఆవిష్కరణ" యొక్క ఆనందాన్ని ముందుగానే నేర్చుకున్నాను.

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 = 3 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 మరియు మొదలైనవి.

పాఠశాల "స్ప్రింగ్ స్వాలోస్" పత్రికను ప్రచురించింది. అందులో నా ఆవిష్కరణ ప్రచురించబడింది...”

ఈ జర్నల్‌లో ఎలాంటి సాక్ష్యం ఇవ్వబడిందో మాకు తెలియదు, కానీ ఇదంతా ప్రైవేట్ పరిశీలనలతో ప్రారంభమైంది. ఈ పాక్షిక సమానత్వాలను కనుగొన్న తర్వాత బహుశా ఉద్భవించిన పరికల్పన, సూత్రం

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

ఇచ్చిన ఏదైనా సంఖ్యకు నిజం n = 1, 2, 3, ...

ఈ పరికల్పనను నిరూపించడానికి, రెండు వాస్తవాలను స్థాపించడం సరిపోతుంది. ముందుగా, కోసం n = 1 (మరియు n = కోసం కూడా 2, 3, 4) కోరుకున్న ప్రకటన నిజం. రెండవది, ఆ ప్రకటన నిజం అని అనుకుందాం p = k, మరియు అది కూడా నిజమని మేము నిర్ధారిస్తాము n = k + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + I) 2.

దీనర్థం నిరూపించబడిన ప్రకటన అన్ని విలువలకు సంబంధించినది n: n = కోసం 1 ఇది నిజం (ఇది ధృవీకరించబడింది), మరియు రెండవ వాస్తవం కారణంగా - కోసం n = 2, n కోసం ఎక్కడ నుండి = 3 (అదే, రెండవ వాస్తవం కారణంగా), మొదలైనవి.

సమస్య 2. న్యూమరేటర్ 1 మరియు ఏదైనా (పాజిటివ్ పూర్ణాంకం)తో సాధ్యమయ్యే అన్ని సాధారణ భిన్నాలను పరిగణించండి

(నామమాత్రం) హారం: దేనికైనా నిరూపించండి p> 3 మనం యూనిట్‌ని మొత్తంగా సూచించవచ్చుపి ఈ రకమైన వివిధ భిన్నాలు.

పరిష్కారం, ముందుగా ఈ స్టేట్‌మెంట్‌ని పరిశీలిద్దాం n = 3; మాకు ఉన్నాయి:

అందువల్ల, ప్రాథమిక ప్రకటన సంతృప్తికరంగా ఉంది

మనకు ఆసక్తి ఉన్న ప్రకటన కొంత సంఖ్యకు నిజమని ఇప్పుడు అనుకుందాంకు, మరియు దానిని అనుసరించే సంఖ్యకు కూడా ఇది నిజమని నిరూపించండికు + 1. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ప్రాతినిధ్యం ఉందని అనుకుందాం

ఇందులో కె నిబంధనలు మరియు అన్ని హారం భిన్నంగా ఉంటాయి. అప్పుడు మనం ఐక్యత యొక్క ప్రాతినిధ్యాన్ని మొత్తంగా పొందగలమని నిరూపిద్దాంకు అవసరమైన రకం + 1 భిన్నాలు. భిన్నాలు తగ్గుతున్నాయని, అంటే హారం (మొత్తం ద్వారా యూనిట్ ప్రాతినిధ్యంలో) అని మేము ఊహిస్తాముకు నిబంధనలు) ఎడమ నుండి కుడికి పెంచండిటి - హారంలో అతిపెద్దది. మొత్తం రూపంలో మనకు కావాల్సిన ప్రాతినిధ్యం లభిస్తుంది(కు + 1)వ భిన్నం, మనం ఒక భిన్నాన్ని విభజిస్తే, ఉదాహరణకు చివరిది రెండుగా. ఎందుకంటే ఇది చేయవచ్చు

ఇందుమూలంగా

అదనంగా, అన్ని భిన్నాలు భిన్నంగానే ఉన్నాయిటి అతిపెద్ద హారం, మరియు t + 1 > t, మరియు

t(t + 1) > t.

అందువలన, మేము ఏర్పాటు చేసాము:

1. n = తో 3 ఈ ప్రకటన నిజం;

1. మనకు ఆసక్తి ఉన్న ప్రకటన నిజమైతేకు,
   అప్పుడు అది కూడా నిజం k + 1.

దీని ఆధారంగా, మూడు నుండి ప్రారంభించి, అన్ని సహజ సంఖ్యలకు ప్రశ్నలోని ప్రకటన సరైనదని మేము క్లెయిమ్ చేయవచ్చు. అంతేకాకుండా, పైన పేర్కొన్న రుజువు ఐక్యత యొక్క అవసరమైన విభజనను కనుగొనడానికి ఒక అల్గోరిథంను కూడా సూచిస్తుంది. (ఇది ఏ అల్గారిథమ్? సంఖ్య 1ని 4, 5, 7 పదాల మొత్తంగా ఊహించండి.)

మునుపటి రెండు సమస్యలను పరిష్కరించడంలో, రెండు దశలు తీసుకోబడ్డాయి. మొదటి దశ అంటారుఆధారంగా ప్రేరణ, రెండవది -ప్రేరక జంక్షన్లేదా ఇండక్షన్ దశ. రెండవ దశ చాలా ముఖ్యమైనది, మరియు ఇది ఒక ఊహను తయారు చేయడం (ప్రకటన ఎప్పుడు నిజం n = k) మరియు ముగింపు (ప్రకటన నిజం అయినప్పుడు n = k + 1). పారామితి n నే అంటారు ఇండక్షన్ పరామితి.ఈ లాజికల్ స్కీమ్ (టెక్నిక్), ఆధారం మరియు పరివర్తన రెండూ చెల్లుబాటు అయ్యేవి కాబట్టి, ప్రశ్నలోని స్టేట్‌మెంట్ అన్ని సహజ సంఖ్యలకు (లేదా అన్నింటికీ, కొన్నింటి నుండి) సరైనదని నిర్ధారించడానికి అనుమతిస్తుంది, దీనిని అంటారుగణిత ప్రేరణ సూత్రం,దేనిమీద గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ఆధారంగా ఉంటుంది."ఇండక్షన్" అనే పదం లాటిన్ పదం నుండి వచ్చిందిప్రేరణ (మార్గదర్శకత్వం), అంటే ఇచ్చిన తరగతి యొక్క వ్యక్తిగత వస్తువుల గురించి ఒకే జ్ఞానం నుండి ఇచ్చిన తరగతి యొక్క అన్ని వస్తువుల గురించి సాధారణ ముగింపుకు మారడం, ఇది జ్ఞానానికి సంబంధించిన ప్రధాన పద్ధతుల్లో ఒకటి.

గణిత ప్రేరణ సూత్రం, ఖచ్చితంగా రెండు దశల సుపరిచితమైన రూపంలో, మొదటిసారిగా 1654లో బ్లెయిస్ పాస్కల్ యొక్క "ట్రీటైజ్ ఆన్ ది అరిథ్మెటిక్ ట్రయాంగిల్"లో కనిపించింది, దీనిలో కలయికల సంఖ్యను (ద్విపద గుణకాలు) లెక్కించడానికి సులభమైన మార్గం ఇండక్షన్ ద్వారా నిరూపించబడింది. D. Polya చతురస్రాకార బ్రాకెట్లలో ఇవ్వబడిన చిన్న మార్పులతో పుస్తకంలో B. పాస్కల్‌ను ఉటంకించారు:

“ప్రశ్నలో ఉన్న ప్రతిపాదన [బినోమియల్ కోఎఫీషియంట్స్ కోసం స్పష్టమైన ఫార్ములా] లెక్కలేనన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలను కలిగి ఉన్నప్పటికీ, నేను రెండు లెమ్మాస్ ఆధారంగా దానికి చాలా చిన్న రుజువు ఇస్తాను.

మొదటి లెమ్మా కారణం కోసం ఊహ నిజమని పేర్కొంది - ఇది స్పష్టంగా ఉంది. [వద్దపి = 1 స్పష్టమైన సూత్రం చెల్లుతుంది...]

రెండవ లెమ్మా ఈ క్రింది వాటిని పేర్కొంటుంది: మా ఊహ ఒక ఏకపక్ష ప్రాతిపదికన నిజమైతే [ఒక ఏకపక్ష r కోసం], అది క్రింది కారణాల వలన నిజం అవుతుంది. n + 1].

ఈ రెండు లెమ్మాస్ నుండి తప్పనిసరిగా అన్ని విలువలకు ప్రతిపాదన చెల్లుబాటు అవుతుందని అనుసరిస్తుందిపి. నిజానికి, మొదటి లెమ్మా కారణంగా ఇది నిజంపి = 1; కాబట్టి, రెండవ లెమ్మా కారణంగా, ఇది నిజంపి = 2; కాబట్టి, మళ్ళీ రెండవ లెమ్మా ద్వారా, ఇది చెల్లుబాటు అవుతుంది n = 3 మరియు ఇతర ప్రకటన అనంతం."

సమస్య 3. హనోయి టవర్స్ పజిల్ మూడు రాడ్‌లను కలిగి ఉంటుంది. రాడ్లలో ఒకదానిపై పిరమిడ్ ఉంది (Fig. 1), వివిధ వ్యాసాల యొక్క అనేక రింగులను కలిగి ఉంటుంది, దిగువ నుండి పైకి తగ్గుతుంది

చిత్రం 1

ఈ పిరమిడ్ తప్పనిసరిగా ఇతర రాడ్‌లలో ఒకదానికి తరలించబడాలి, ప్రతిసారీ ఒక రింగ్‌ను మాత్రమే కదిలించాలి మరియు పెద్ద రింగ్‌ను చిన్నదానిపై ఉంచకూడదు. ఇలా చేయడం సాధ్యమేనా?

పరిష్కారం. కాబట్టి, మేము ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వాలి: వీటిని కలిగి ఉన్న పిరమిడ్‌ను తరలించడం సాధ్యమేనాపి వివిధ వ్యాసాల వలయాలు, ఒక రాడ్ నుండి మరొకదానికి, ఆట నియమాలను అనుసరించాలా? ఇప్పుడు మేము, వారు చెప్పినట్లుగా, సమస్యను పారామితి చేసాము (ఒక సహజ సంఖ్యను పరిగణనలోకి తీసుకోబడిందిపి), మరియు ఇది గణిత ప్రేరణ ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది.

1. ఇండక్షన్ బేస్. ఎప్పుడు n = 1 ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది, ఎందుకంటే ఒక రింగ్ యొక్క పిరమిడ్ స్పష్టంగా ఏదైనా రాడ్‌కి తరలించబడుతుంది.
2. ఇండక్షన్ దశ. రింగ్‌ల సంఖ్యతో మనం ఏదైనా పిరమిడ్‌లను తరలించవచ్చని అనుకుందాం p = k.
   అప్పుడు మనం పైర మిడ్కాను తరలించగలమని నిరూపిద్దాం n = k + 1.

నుండి పిరమిడ్ రింగులు అతిపెద్ద మీద పడి ఉన్నాయి(కు + 1)-వ రింగ్, మేము ఊహ ప్రకారం, దానిని ఏదైనా ఇతర రాడ్‌కి తరలించవచ్చు. మనం చేద్దాం. చలనం లేని(కు + 1)వ రింగ్ కదలిక అల్గారిథమ్‌ను అమలు చేయకుండా మమ్మల్ని నిరోధించదు, ఎందుకంటే ఇది అతిపెద్దది. కదిలిన తర్వాతకు ఉంగరాలు, ఈ అతిపెద్ద దానిని తరలిద్దాం(కు + 1) మిగిలిన రాడ్‌పై వ రింగ్. ఆపై మళ్లీ ప్రేరక ఊహ ద్వారా మనకు తెలిసిన కదలిక అల్గోరిథంను వర్తింపజేస్తాముకు రింగులు, మరియు వాటిని క్రింద పడుకున్న ఒక రాడ్‌కు తరలించండి(కు + 1)వ రింగ్. ఈ విధంగా, పిరమిడ్లను ఎలా తరలించాలో మనకు తెలిస్తేకు రింగులు, అప్పుడు మేము పిరమిడ్లు మరియు తో తరలించడానికి ఎలా తెలుసుకు + 1 రింగులు. అందువల్ల, గణిత ప్రేరణ సూత్రం ప్రకారం, పిరమిడ్‌ను తరలించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యపడుతుంది n రింగులు, ఇక్కడ n > 1.

విభజన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి, మీరు సహజ సంఖ్యల విభజనకు సంబంధించి వివిధ ప్రకటనలను నిరూపించవచ్చు.

సమస్య 4 . n అనేది సహజ సంఖ్య అయితే, ఆ సంఖ్య సరి.

n=1 మన ప్రకటన నిజం అయినప్పుడు: - సరి సంఖ్య. అది సరిసంఖ్య అని అనుకుందాం. 2k అనేది సరి సంఖ్య కాబట్టి, అది సరి. కాబట్టి, సమానత్వం n=1 కోసం నిరూపించబడింది, సమానత్వం సమానత్వం నుండి తీసివేయబడుతుంది. అంటే ఇది n యొక్క అన్ని సహజ విలువలకు కూడా అని అర్థం.

సమస్య 3. సంఖ్య Z అని నిరూపించండి 3 + 3 - 26n - 27 ఏకపక్ష సహజతో n అనేది శేషం లేకుండా 26 2తో భాగించబడుతుంది.

పరిష్కారం. ముందుగా 3 అనే సహాయక ప్రకటనను ఇండక్షన్ ద్వారా నిరూపిద్దాం 3n+3 - 1 ఎప్పుడు శేషం లేకుండా 26తో భాగించబడుతుంది n > 0.

1. ఇండక్షన్ బేస్. n = 0 కోసం మనకు: 3 3 - 1 = 26-26చే భాగించబడుతుంది.

ఇండక్షన్ దశ. 3 అని అనుకుందాం 3n+3 - 1 ఎప్పుడు 26తో భాగించబడుతుంది n = k, మరియు ఈ సందర్భంలో ప్రకటన నిజమని నిరూపిద్దాం n = k + 1. నుండి 3

ప్రేరక పరికల్పన నుండి మేము సంఖ్య 3 అని నిర్ధారించాము 3k + 6 - 1 26చే భాగించబడుతుంది.

ఇప్పుడు మేము సమస్య ప్రకటనలో రూపొందించిన ప్రకటనను నిరూపిస్తాము. మరియు మళ్ళీ ఇండక్షన్ ద్వారా.

1. ఇండక్షన్ బేస్. ఎప్పుడనేది స్పష్టం n = 1 ప్రకటన నిజం: 3 నుండి 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. ఇండక్షన్ దశ. అది ఎప్పుడనే అనుకుందాం p = k
   వ్యక్తీకరణ 3 3k + 3 - 26k - 27 26తో భాగించబడింది 2 మిగిలినవి లేకుండా, మరియు ప్రకటన నిజమని నిరూపించండి n = k + 1,
   అంటే, ఆ సంఖ్య

26 2చే భాగించబడుతుంది ఆధారం లేకుండా. చివరి మొత్తంలో, రెండు పదాలు 26 ద్వారా భాగించబడతాయి 2 . మొదటిది ఎందుకంటే కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణ 26తో భాగించబడుతుందని మేము నిరూపించాము; రెండవది ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా. గణిత ప్రేరణ సూత్రం ద్వారా, కావలసిన ప్రకటన పూర్తిగా నిరూపించబడింది.

శ్రేణి యొక్క సమ్మషన్‌కు గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్.

టాస్క్ 5. సూత్రాన్ని నిరూపించండి

N అనేది సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

n=1 అయినప్పుడు, సమానత్వం యొక్క రెండు భుజాలు ఒకదానికి మారుతాయి మరియు అందువల్ల, గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క మొదటి షరతు సంతృప్తి చెందుతుంది.

n=kకి ఫార్ములా సరైనదని అనుకుందాం, అనగా.

ఈ సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా జోడించి, కుడి వైపును మారుద్దాం. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

ఈ విధంగా, సూత్రం n=kకి నిజం అయినందున, ఇది n=k+1కి కూడా సరైనదని అనుసరిస్తుంది. ఈ ప్రకటన k యొక్క ఏదైనా సహజ విలువకు వర్తిస్తుంది. కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క రెండవ షరతు కూడా సంతృప్తి చెందింది. సూత్రం నిరూపించబడింది.

టాస్క్ 6. బోర్డుపై రెండు సంఖ్యలు వ్రాయబడ్డాయి: 1,1. సంఖ్యల మధ్య వాటి మొత్తాన్ని నమోదు చేయడం ద్వారా, మనకు 1, 2, 1 సంఖ్యలు లభిస్తాయి. ఈ చర్యను మళ్లీ పునరావృతం చేస్తే, మనకు 1, 3, 2, 3, 1 సంఖ్యలు వస్తాయి. మూడు ఆపరేషన్ల తర్వాత, సంఖ్యలు 1, 4, 3 అవుతుంది. , 5, 2, 5, 3, 4, 1. తర్వాత బోర్డులోని అన్ని సంఖ్యల మొత్తం ఎంత అవుతుంది 100 ఆపరేషన్లు?

పరిష్కారం. ప్రతిదీ 100 చేయండి కార్యకలాపాలు చాలా శ్రమతో కూడుకున్న మరియు సమయం తీసుకునే పని. అంటే S మొత్తానికి కొన్ని సాధారణ సూత్రాన్ని కనుగొనడానికి మనం ప్రయత్నించాలి n తర్వాత సంఖ్యలు ఆపరేషన్లు. పట్టికను చూద్దాం:

మీరు ఇక్కడ ఏదైనా నమూనాను గమనించారా? కాకపోతే, మీరు మరో అడుగు వేయవచ్చు: నాలుగు ఆపరేషన్ల తర్వాత సంఖ్యలు ఉంటాయి

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

S 4 మొత్తం 82కి సమానం.

వాస్తవానికి, మీరు సంఖ్యలను వ్రాయలేరు, కానీ కొత్త సంఖ్యలను జోడించిన తర్వాత మొత్తం ఎలా మారుతుందో వెంటనే చెప్పండి. మొత్తం 5కి సమానంగా ఉండనివ్వండి. కొత్త సంఖ్యలను జోడించినప్పుడు అది ఏమవుతుంది? ప్రతి కొత్త సంఖ్యను రెండు పాత వాటి మొత్తానికి భాగిద్దాం. ఉదాహరణకు, 1, 3, 2, 3, 1 నుండి మనం 1కి వెళ్తాము,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

అంటే, ప్రతి పాత సంఖ్య (రెండు తీవ్రమైన యూనిట్లు మినహా) ఇప్పుడు మొత్తంలో మూడు సార్లు చేర్చబడింది, కాబట్టి కొత్త మొత్తం 3S - 2కి సమానం (తప్పిపోయిన యూనిట్లను పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి 2ని తీసివేయండి). అందువల్ల ఎస్ 5 = 3S 4 - 2 = 244, మరియు సాధారణంగా

సాధారణ సూత్రం ఏమిటి? ఇది రెండు యూనిట్ల వ్యవకలనం కోసం కాకపోతే, ప్రతిసారి మొత్తం మూడు (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...) శక్తులలో వలె మూడు రెట్లు పెరుగుతుంది. మరియు మన సంఖ్యలు, మనం ఇప్పుడు చూడగలిగినట్లుగా, మరొకటి. అందువలన, ఇది ఊహించవచ్చు

ఇప్పుడు ఇండక్షన్ ద్వారా దీనిని నిరూపించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

ఇండక్షన్ బేస్. పట్టిక చూడండి (కోసం n = 0, 1, 2, 3).

ఇండక్షన్ దశ. అలా నటిద్దాం

అప్పుడు దానిని నిరూపిద్దాం S k + 1 = Z k + 1 + 1.

నిజంగా,

కాబట్టి, మా సూత్రం నిరూపించబడింది. ఇది వంద ఆపరేషన్ల తర్వాత బోర్డ్‌లోని అన్ని సంఖ్యల మొత్తం 3కి సమానంగా ఉంటుందని చూపిస్తుంది 100 + 1.

గణిత ప్రేరణ సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడానికి ఒక గొప్ప ఉదాహరణను చూద్దాం, దీనిలో మీరు మొదట రెండు సహజ పారామితులను పరిచయం చేసి, ఆపై వాటి మొత్తంపై ఇండక్షన్ చేయాలి.

టాస్క్ 7. ఉంటే నిరూపించండి= 2, x 2 = 3 మరియు ఏదైనా సహజమైనది p> 3 సంబంధం కలిగి ఉంది

x p = 3x p - 1 - 2x p - 2,

ఆ

2 p - 1 + 1, p = 1, 2, 3, ...

పరిష్కారం. ఈ సమస్యలో సంఖ్యల అసలైన క్రమాన్ని గమనించండి(x p) ఇండక్షన్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, ఎందుకంటే మొదటి రెండు మినహా మా క్రమం యొక్క నిబంధనలు ప్రేరకంగా పేర్కొనబడ్డాయి, అంటే మునుపటి వాటి ద్వారా. కాబట్టి ఇచ్చిన సీక్వెన్స్‌లు అంటారుపునరావృత, మరియు మా విషయంలో, ఈ క్రమం ఒక ప్రత్యేక పద్ధతిలో (దాని మొదటి రెండు పదాలను పేర్కొనడం ద్వారా) నిర్ణయించబడుతుంది.

ఇండక్షన్ బేస్. ఇది రెండు స్టేట్‌మెంట్‌లను తనిఖీ చేస్తుంది: ఎప్పుడు n = 1 మరియు n = 2.V రెండు సందర్భాల్లోనూ షరతు ప్రకారం ప్రకటన నిజం.

ఇండక్షన్ దశ. దాని కోసం అనుకుందాం n = k - 1 మరియు n = k ప్రకటన నెరవేరింది, అంటే

ఆ తర్వాత ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపిద్దాం n = k + 1. మేము కలిగి ఉన్నాము:

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2+1, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

టాస్క్ 8. ఏదైనా సహజ సంఖ్యను ఫిబొనాక్సీ సంఖ్యల పునరావృత క్రమం యొక్క అనేక విభిన్న పదాల మొత్తంగా సూచించవచ్చని నిరూపించండి:

k > 2 కోసం.

పరిష్కారం. లెట్ ఎన్ - సహజ సంఖ్య. మేము ఇండక్షన్‌ను నిర్వహిస్తాముపి.

ఇండక్షన్ బేస్. ఎప్పుడు n = స్టేట్‌మెంట్ 1 ఫిబొనాక్సీ సంఖ్య అయినందున అది నిజం.

ఇండక్షన్ దశ. అన్ని సహజ సంఖ్యలు కొంత సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉన్నాయని అనుకుందాంపి, ఫైబొనాక్సీ సీక్వెన్స్ యొక్క అనేక విభిన్న పదాల మొత్తంగా సూచించబడుతుంది. అతిపెద్ద ఫిబొనాక్సీ సంఖ్యను కనుగొనండిఅడుగులు, ఉన్నతమైనది కాదుపి; అందువలన, F t p మరియు F t +1 > p.

ఎందుకంటే

ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా, సంఖ్య n- F t ఫైబొనాక్సీ సీక్వెన్స్ యొక్క అనేక విభిన్న పదాల మొత్తం 5గా సూచించబడుతుంది మరియు చివరి అసమానత నుండి మొత్తం 8లో ఉన్న ఫిబొనాక్సీ సీక్వెన్స్ యొక్క అన్ని నిబంధనలు తక్కువగా ఉంటాయి.ఎఫ్ టి. అందువలన, సంఖ్య విస్తరణ n = 8 + F t సమస్య యొక్క పరిస్థితులను సంతృప్తిపరుస్తుంది.

అసమానతలను రుజువు చేయడానికి గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని వర్తింపజేయడానికి ఉదాహరణలు.

టాస్క్ 9. (బెర్నౌలీ అసమానత.)ఎప్పుడు అని నిరూపించండి x > -1, x 0, మరియు పూర్ణాంకం n > కోసం 2 అసమానత నిజం

(1 + x) n > 1 + xn.

పరిష్కారం. మేము మళ్లీ ఇండక్షన్ ద్వారా రుజువును నిర్వహిస్తాము.

1. ఇండక్షన్ బేస్. అసమానత యొక్క చెల్లుబాటును ధృవీకరిద్దాం n = 2. నిజానికి,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x.

2. ఇండక్షన్ దశ. సంఖ్య కోసం అని అనుకుందాం p = k ప్రకటన నిజం, అంటే

(1 + x) k > 1 + xk,

ఎక్కడ k > 2. దానిని n = k + 1 కోసం నిరూపిద్దాం. మనకు ఇవి ఉన్నాయి: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)>(1 + kx)(1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.

కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, బెర్నౌలీ యొక్క అసమానత దేనికైనా నిజమని మనం క్లెయిమ్ చేయవచ్చు. n > 2.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడిన సమస్యల సందర్భంలో, నిరూపించాల్సిన సాధారణ చట్టం ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా రూపొందించబడదు. కొన్నిసార్లు నిర్దిష్ట కేసులను గమనించడం ద్వారా, అవి ఏ సాధారణ చట్టానికి దారితీస్తాయో మొదట కనుగొనడం (ఊహించడం) అవసరం, మరియు గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా పేర్కొన్న పరికల్పనను మాత్రమే నిరూపించండి. అదనంగా, ఇండక్షన్ వేరియబుల్ ముసుగు చేయవచ్చు మరియు సమస్యను పరిష్కరించడానికి ముందు, ఇండక్షన్ ఏ పరామితిపై నిర్వహించబడుతుందో నిర్ణయించడం అవసరం. ఉదాహరణలుగా, కింది పనులను పరిగణించండి.

సమస్య 10. దానిని నిరూపించండి

ఏదైనా సహజ కింద n > 1.

పరిష్కారం, గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ అసమానతను నిరూపించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

ఇండక్షన్ ప్రాతిపదికను సులభంగా ధృవీకరించవచ్చు: 1+

ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా

మరియు దానిని నిరూపించడం మాకు మిగిలి ఉంది

మేము ప్రేరక పరికల్పనను ఉపయోగిస్తే, మేము దానిని వాదిస్తాము

ఈ సమానత్వం నిజానికి నిజమైనప్పటికీ, అది మనకు సమస్యకు పరిష్కారాన్ని ఇవ్వదు.

అసలు సమస్యలో అవసరమైన దానికంటే బలమైన ప్రకటనను నిరూపించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. నామంగా, మేము దానిని నిరూపిస్తాము

ఈ ప్రకటనను ఇండక్షన్ ద్వారా నిరూపించడం నిస్సహాయ విషయంగా అనిపించవచ్చు.

అయితే, ఎప్పుడు n = 1 మాకు ఉంది: ప్రకటన నిజం. ప్రేరక దశను సమర్ధించుకోవడానికి, మనం దానిని అనుకుందాం

ఆపై మేము దానిని నిరూపిస్తాము

నిజంగా,

అందువలన, మేము ఒక బలమైన ప్రకటనను నిరూపించాము, దాని నుండి సమస్య యొక్క ప్రకటనలో ఉన్న ప్రకటన వెంటనే అనుసరిస్తుంది.

ఇక్కడ బోధించే విషయం ఏమిటంటే, సమస్యలో అవసరమైన దానికంటే బలమైన ప్రకటనను మేము నిరూపించవలసి ఉన్నప్పటికీ, ప్రేరక దశలో మేము బలమైన ఊహను ఉపయోగించవచ్చు. గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క సూటిగా వర్తించడం ఎల్లప్పుడూ లక్ష్యానికి దారితీయదని ఇది వివరిస్తుంది.

సమస్యను పరిష్కరిస్తే ఏర్పడిన పరిస్థితిని పిలిచారుఆవిష్కర్త యొక్క పారడాక్స్.వైరుధ్యం ఏమిటంటే, మరింత సంక్లిష్టమైన ప్రణాళికలు విషయం యొక్క సారాంశాన్ని లోతుగా అర్థం చేసుకోవడంపై ఆధారపడి ఉంటే, వాటిని మరింత విజయవంతంగా అమలు చేయవచ్చు.

సమస్య 11. 2 m + n - 2 m అని నిరూపించండి ఏదైనా సహజ కోసంరకం.

పరిష్కారం. ఇక్కడ మనకు రెండు పారామితులు ఉన్నాయి. అందువలన, మీరు అని పిలవబడే చేపడుతుంటారు ప్రయత్నించవచ్చుడబుల్ ఇండక్షన్(ఇండక్షన్ లోపల ఇండక్షన్).

మేము ఇండక్టివ్ రీజనింగ్ నిర్వహిస్తాముపి.

1. పేరా ప్రకారం ఇండక్షన్ బేస్.ఎప్పుడు n = 1 దాన్ని తనిఖీ చేయాలి 2 టి ~ 1 > టి. ఈ అసమానతను నిరూపించడానికి మేము ఇండక్షన్‌ని ఉపయోగిస్తాముటి.

ఎ) అని పిలవబడే ప్రకారం ఇండక్షన్ బేస్ఎప్పుడు t = 1 అమలు చేయబడింది
సమానత్వం, ఇది ఆమోదయోగ్యమైనది.

బి) అని పిలవబడే ప్రకారం ఇండక్షన్ దశఅది ఎప్పుడనే అనుకుందాం t = k ప్రకటన నిజం, అంటే 2 k ~ 1 > k. అప్పుడు వరకు
ఆ ప్రకటన కూడా నిజమవుతుందని చెప్పుకుందాం t = k + 1.
మాకు ఉన్నాయి:

సహజ తో.

కాబట్టి అసమానత 2 ఏదైనా సహజంగా ప్రదర్శించబడుతుందిటి.

2. అంశం ప్రకారం ఇండక్షన్ దశ.కొన్ని సహజ సంఖ్యలను ఎంచుకుని సరిచేద్దాంటి. అది ఎప్పుడనే అనుకుందాం n = నేను ప్రకటన నిజం (స్థిరమైనది t), అంటే, 2 t +1 ~ 2 > t1, మరియు ఆ ప్రకటన నిజమని మేము నిరూపిస్తాము n = l + 1.
మాకు ఉన్నాయి:

ఏదైనా సహజ కోసంరకం.

కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా (ద్వారాపి) సమస్య యొక్క ప్రకటన ఎవరికైనా నిజంపి మరియు ఏదైనా స్థిరమైనదిటి. అందువల్ల, ఈ అసమానత ఏదైనా సహజంగా ఉంటుందిరకం.

సమస్య 12. m, n మరియు k లెట్ సహజ సంఖ్యలు, మరియు t > p. రెండు సంఖ్యలలో ఏది ఎక్కువ:

ప్రతి వ్యక్తీకరణలోకు వర్గమూల సంకేతాలు, t మరియు p ప్రత్యామ్నాయం.

పరిష్కారం. మొదట కొన్ని సహాయక ప్రకటనలను నిరూపిద్దాం.

లేమ్మా. ఏదైనా సహజ కోసం t మరియు p (t > p) మరియు నాన్-నెగటివ్ (పూర్తిగా అవసరం లేదు) X అసమానత నిజం

రుజువు. అసమానతను పరిగణించండి

ఎడమ వైపున ఉన్న రెండు కారకాలు సానుకూలంగా ఉన్నందున ఈ అసమానత నిజం. బ్రాకెట్లను విస్తరించడం మరియు రూపాంతరం చేయడం, మేము పొందుతాము:

చివరి అసమానత యొక్క రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని తీసుకుంటే, మేము లెమ్మా ప్రకటనను పొందుతాము. కాబట్టి, లెమ్మా నిరూపించబడింది.

ఇప్పుడు సమస్యను పరిష్కరించడానికి ముందుకు వెళ్దాం. ఈ సంఖ్యలలో మొదటి సంఖ్యను దీని ద్వారా సూచిస్తాము A, మరియు రెండవ - ద్వారాబి కె. అని నిరూపిద్దాం a ఏదైనా సహజ కిందకు. మేము సరి మరియు బేసి కోసం విడిగా గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి రుజువును నిర్వహిస్తాముకు.

ఇండక్షన్ బేస్. ఎప్పుడు k = 1 మనకు అసమానత ఉంది

y[t > y/n , వాస్తవం కారణంగా ఫెయిర్ t > p. ఎప్పుడు k = 2 అవసరమైనది నిరూపితమైన లెమ్మా నుండి ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా పొందబడుతుంది x = 0.

ఇండక్షన్ దశ. అనుకుందాం, కొందరికి k అసమానత a > b k న్యాయమైన. అని నిరూపిద్దాం

ఇండక్షన్ ఊహ మరియు వర్గమూలం మోనోటోనిసిటీ నుండి మనకు:

మరోవైపు, నిరూపితమైన లెమ్మా నుండి అది అనుసరిస్తుంది

చివరి రెండు అసమానతలను కలిపి, మేము పొందుతాము:

గణిత ప్రేరణ సూత్రం ప్రకారం, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

సమస్య 13. (కౌచీ అసమానత.)ఏదైనా సానుకూల సంఖ్యల కోసం నిరూపించండి...,ఒక p అసమానత నిజం

పరిష్కారం. n = 2 కోసం అసమానత

మేము అంకగణిత సగటు మరియు రేఖాగణిత సగటు (రెండు సంఖ్యల కోసం) తెలిసినట్లు ఊహిస్తాము. వీలు n= 2, k = 1, 2, 3, ... మరియు మొదట ఇండక్షన్‌ని అమలు చేయండికు. అవసరమైన అసమానత ఇప్పటికే స్థాపించబడిందని భావించడం ద్వారా ఈ ప్రేరణ యొక్క ఆధారం జరుగుతుంది n = 2, దానిని నిరూపిద్దాంపి = 2 మేము కలిగి ఉన్నాము (రెండు సంఖ్యల కోసం అసమానతను వర్తింపజేయడం):

కాబట్టి, ప్రేరక పరికల్పన ద్వారా

అందువలన, k పై ఇండక్షన్ ద్వారా మేము అందరికీ అసమానతను నిరూపించాము p 9 రెండు శక్తిగా ఉండటం.

ఇతర విలువలకు అసమానతను నిరూపించడానికిపి మనం "డౌన్‌వర్డ్ ఇండక్షన్"ని ఉపయోగిస్తాము, అంటే, అసమానత ఏకపక్ష నాన్-నెగటివ్‌ని కలిగి ఉంటే మేము నిరూపిస్తాము.పి సంఖ్యలు, అది కూడా నిజం(పి - 1 వ రోజు. దీన్ని ధృవీకరించడానికి, మేము చేసిన ఊహ ప్రకారం గమనించండిపి అసమానత కలిగి ఉన్న సంఖ్యలు

అంటే, a g + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1)A. రెండు భాగాలను విభజించడంపి - 1, మేము అవసరమైన అసమానతను పొందుతాము.

కాబట్టి, అసమానత అనంత సంఖ్యలో సాధ్యమయ్యే విలువలను కలిగి ఉందని మేము మొదట నిర్ధారించాముపి, ఆపై అసమానత కోసం కలిగి ఉంటే చూపించాడుపి సంఖ్యలు, అది కూడా నిజం(పి - 1) సంఖ్యలు. దీని నుండి మేము ఇప్పుడు కౌటీ యొక్క అసమానత యొక్క సెట్ కోసం కలిగి ఉన్నామని నిర్ధారించాముపి దేనికైనా ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్యలు n = 2, 3, 4, ...

సమస్య 14. (డి. ఉస్పెన్స్కీ.) ఏ త్రిభుజం ABC కోణాల = CAB, = CBA అనుగుణంగా ఉంటాయి, అసమానతలు ఉన్నాయి

పరిష్కారం. కోణాలు మరియు సరిపోతాయి, మరియు దీని అర్థం (నిర్వచనం ప్రకారం) ఈ కోణాలకు ఒక సాధారణ కొలత ఉంటుంది, దీని కోసం = p, = (p, q అనేది సహజ సంఖ్యలు).

గణిత ప్రేరేపణ పద్ధతిని ఉపయోగించుకుందాం మరియు మొత్తం ద్వారా దాన్ని అమలు చేద్దాం p = p + q సహజ సహ ప్రైమ్ నంబర్లు..

ఇండక్షన్ బేస్. p + q = 2 కోసం మనకు ఇవి ఉన్నాయి: p = 1 మరియు q = 1. అప్పుడు త్రిభుజం ABC అనేది సమద్విబాహులు, మరియు అవసరమైన అసమానతలు స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి: అవి త్రిభుజ అసమానత నుండి అనుసరిస్తాయి

ఇండక్షన్ దశ. ఇప్పుడు p + q = 2, 3, ..., కోసం అవసరమైన అసమానతలు ఏర్పడ్డాయని అనుకుందాం. k - 1, ఇక్కడ k > 2. అసమానతలు కూడా చెల్లుబాటు అవుతాయని నిరూపిద్దాం p + q = k.

ABCని అనుమతించండి - ఇచ్చిన త్రిభుజం> 2. తర్వాత వైపులా AC మరియు BC సమానంగా ఉండకూడదు: వీలు AC > BC. ఇప్పుడు మనం ఫిగర్ 2లో ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని నిర్మిస్తాం ABC; మాకు ఉన్నాయి:

AC = DC మరియు AD = AB + BD, కాబట్టి,

2AC > AB + BD (1)

ఇప్పుడు త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి BDC, దీని కోణాలు కూడా సరిపోతాయి:

DСВ = (q - р), ВDC = p.

అన్నం. 2

ఈ త్రిభుజం కోసం ప్రేరక పరికల్పన కలిగి ఉంది మరియు అందువలన

(2)

(1) మరియు (2) జోడిస్తే, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

2AC+BD>

ఇందుమూలంగా

అదే త్రిభుజం నుండి VBS ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా మేము దానిని ముగించాము

మునుపటి అసమానతలను పరిగణనలోకి తీసుకొని, మేము దానిని ముగించాము

అందువలన, ప్రేరక పరివర్తన పొందబడుతుంది మరియు సమస్య యొక్క ప్రకటన గణిత ప్రేరణ సూత్రం నుండి అనుసరిస్తుంది.

వ్యాఖ్య. a మరియు p కోణాలు సమానంగా లేనప్పుడు కూడా సమస్య యొక్క ప్రకటన చెల్లుబాటు అవుతుంది. సాధారణ సందర్భంలో పరిశీలన ఆధారంగా, మేము ఇప్పటికే మరొక ముఖ్యమైన గణిత సూత్రాన్ని వర్తింపజేయాలి - కొనసాగింపు సూత్రం.

సమస్య 15. అనేక సరళ రేఖలు విమానాన్ని భాగాలుగా విభజిస్తాయి. మీరు ఈ భాగాలకు తెలుపు రంగు వేయవచ్చని నిరూపించండి

మరియు నలుపు రంగులు తద్వారా ఉమ్మడి సరిహద్దు విభాగాన్ని కలిగి ఉన్న ప్రక్కనే ఉన్న భాగాలు వేర్వేరు రంగులలో ఉంటాయి (మూర్తి 3లో వలె n = 4).

చిత్రం 3

పరిష్కారం. పంక్తుల సంఖ్యపై ఇండక్షన్‌ని ఉపయోగిస్తాము. కాబట్టి వీలుపి - మా విమానాన్ని భాగాలుగా విభజించే పంక్తుల సంఖ్య, n > 1.

ఇండక్షన్ బేస్. ఒకే సరళ రేఖ ఉంటే(పి = 1), అప్పుడు అది విమానాన్ని రెండు అర్ధ-విమానాలుగా విభజిస్తుంది, వాటిలో ఒకటి తెలుపు మరియు రెండవది నలుపు రంగులో ఉంటుంది మరియు సమస్య యొక్క ప్రకటన నిజం.

ఇండక్షన్ దశ. ప్రేరక పరివర్తన యొక్క రుజువును మరింత స్పష్టంగా చేయడానికి, ఒక కొత్త పంక్తిని జోడించే ప్రక్రియను పరిగణించండి. మేము రెండవ సరళ రేఖను గీస్తే(పి= 2), అప్పుడు వ్యతిరేక మూలలను ఒకే రంగులో పెయింట్ చేయడం ద్వారా అవసరమైన విధంగా రంగు వేయగల నాలుగు భాగాలను మనం పొందుతాము. మనం మూడవ సరళ రేఖను గీస్తే ఏమి జరుగుతుందో చూద్దాం. ఇది "పాత" భాగాలలో కొన్నింటిని విభజిస్తుంది, అయితే సరిహద్దు యొక్క కొత్త విభాగాలు కనిపిస్తాయి, రెండు వైపులా రంగు ఒకే విధంగా ఉంటుంది (Fig. 4).

అన్నం. 4

ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగిద్దాం:ఒకవైపుకొత్త సరళ రేఖ నుండి మేము రంగులను మారుస్తాము - మేము తెలుపు నలుపు మరియు వైస్ వెర్సా చేస్తాము; అదే సమయంలో, మేము ఈ సరళ రేఖ యొక్క ఇతర వైపున ఉన్న ఆ భాగాలను తిరిగి పెయింట్ చేయము (Fig. 5). అప్పుడు ఈ కొత్త కలరింగ్ అవసరమైన అవసరాలను తీరుస్తుంది: లైన్ యొక్క ఒక వైపు ఇది ఇప్పటికే ఏకాంతరంగా ఉంది (కానీ వేర్వేరు రంగులతో), మరియు మరొక వైపు అది అవసరం. గీసిన రేఖకు చెందిన సాధారణ అంచుని కలిగి ఉన్న భాగాలను వేర్వేరు రంగులలో పెయింట్ చేయడానికి, మేము ఈ గీసిన సరళ రేఖలో ఒక వైపు మాత్రమే భాగాలను తిరిగి పెయింట్ చేసాము.

Fig.5

ఇప్పుడు ప్రేరక పరివర్తనను నిరూపిద్దాం. కొందరికి అలా అనుకుందాంp = kసమస్య యొక్క ప్రకటన నిజం, అంటే, విమానం యొక్క అన్ని భాగాలు వీటి ద్వారా విభజించబడ్డాయికునేరుగా, మీరు వాటిని తెలుపు మరియు నలుపు రంగులో పెయింట్ చేయవచ్చు, తద్వారా ప్రక్కనే ఉన్న భాగాలు వేర్వేరు రంగులలో ఉంటాయి. అలాంటి కలరింగ్ ఉందని నిరూపిద్దాంపి= కు+ 1 నేరుగా. రెండు పంక్తుల నుండి మూడు వరకు పరివర్తన విషయంలో అదేవిధంగా కొనసాగిద్దాం. విమానంలో గీయండికునేరుగా అప్పుడు, ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా, ఫలితంగా "మ్యాప్" కావలసిన విధంగా రంగు వేయవచ్చు. ఇప్పుడు అమలు చేద్దాం(కు+ 1)వ సరళ రేఖ మరియు దాని ఒక వైపున మేము రంగులను వ్యతిరేక వాటికి మారుస్తాము. కాబట్టి ఇప్పుడు(కు+ 1)-వ సరళ రేఖ ప్రతిచోటా వేర్వేరు రంగుల ప్రాంతాలను వేరు చేస్తుంది, అయితే “పాత” భాగాలు, మనం ఇప్పటికే చూసినట్లుగా, సరిగ్గా రంగులో ఉంటాయి. గణిత ప్రేరణ సూత్రం ప్రకారం, సమస్య పరిష్కరించబడుతుంది.

టాస్క్16. ఎడారి అంచున గ్యాసోలిన్ యొక్క పెద్ద సరఫరా మరియు పూర్తిగా ఇంధనం నింపినప్పుడు, 50 కిలోమీటర్లు ప్రయాణించగల కారు ఉంది. అపరిమిత పరిమాణంలో డబ్బాలు ఉన్నాయి, వీటిలో మీరు మీ కారు గ్యాస్ ట్యాంక్ నుండి గ్యాసోలిన్ పోసి ఎడారిలో ఎక్కడైనా నిల్వ ఉంచవచ్చు. కారు 50 కిలోమీటర్ల కంటే ఎక్కువ పూర్ణాంక దూరం ప్రయాణించగలదని నిరూపించండి. మీరు గ్యాసోలిన్ డబ్బాలను తీసుకెళ్లడానికి అనుమతించబడరు; మీరు ఖాళీగా ఉన్న వాటిని ఏ పరిమాణంలోనైనా తీసుకెళ్లవచ్చు.

పరిష్కారం.ఆన్ ఇండక్షన్ ద్వారా నిరూపించడానికి ప్రయత్నిద్దాంపి,కారు దూరంగా నడపగలదనిపిఎడారి అంచు నుండి కి.మీ. వద్దపి= 50 అంటారు. ఇండక్షన్ దశను నిర్వహించడం మరియు అక్కడికి ఎలా చేరుకోవాలో వివరించడం మాత్రమే మిగిలి ఉందిp = k+ అది తెలిస్తే 1 కిలోమీటర్లుp = kకిలోమీటర్లు డ్రైవ్ చేయవచ్చు.

అయితే, ఇక్కడ మేము ఒక కష్టాన్ని ఎదుర్కొంటాము: మేము పాస్ అయిన తర్వాతకుకిలోమీటర్లు, తిరుగు ప్రయాణానికి కూడా తగినంత గ్యాసోలిన్ ఉండకపోవచ్చు (నిల్వ గురించి చెప్పనవసరం లేదు). మరియు ఈ సందర్భంలో, నిరూపితమైన ప్రకటనను బలోపేతం చేయడం (ఆవిష్కర్త యొక్క పారడాక్స్) పరిష్కారం. మీరు డ్రైవ్ చేయడమే కాదు అని నిరూపిస్తాంపికిలోమీటర్లు, కానీ కూడా దూరం వద్ద ఒక పాయింట్ వద్ద గ్యాసోలిన్ యొక్క ఏకపక్షంగా పెద్ద సరఫరా చేయడానికిపిఎడారి అంచు నుండి కిలోమీటర్ల దూరంలో, రవాణా ముగిసిన తర్వాత ఈ ప్రదేశానికి చేరుకుంటుంది.

ఇండక్షన్ బేస్.ఒక యూనిట్ గ్యాసోలిన్ ఒక కిలోమీటరు ప్రయాణించడానికి అవసరమైన గ్యాసోలిన్ మొత్తం. అప్పుడు 1 కిలోమీటరు మరియు వెనుక ప్రయాణానికి రెండు యూనిట్ల గ్యాసోలిన్ అవసరం, కాబట్టి మేము అంచు నుండి ఒక కిలోమీటరు దూరంలో ఉన్న నిల్వ సదుపాయంలో 48 యూనిట్ల గ్యాసోలిన్‌ను వదిలి కొత్త భాగానికి తిరిగి రావచ్చు. ఈ విధంగా, నిల్వ సదుపాయానికి అనేక పర్యటనల ద్వారా, మనకు అవసరమైన ఏ పరిమాణంలోనైనా స్టాక్‌ను తయారు చేయవచ్చు. అదే సమయంలో, 48 యూనిట్ల రిజర్వ్ సృష్టించడానికి, మేము 50 యూనిట్ల గ్యాసోలిన్ వినియోగిస్తాము.

ఇండక్షన్ దశ.దూరంలో ఉందనుకుందాంపి= కుఎడారి అంచు నుండి మీరు గ్యాసోలిన్ మొత్తాన్ని నిల్వ చేసుకోవచ్చు. దూరం వద్ద నిల్వ సౌకర్యాన్ని సృష్టించడం సాధ్యమవుతుందని నిరూపిద్దాంp = k+ 1 కిలోమీటర్ల గ్యాసోలిన్ రిజర్వ్‌తో ముందుగానే పేర్కొనబడింది మరియు రవాణా చివరిలో ఈ నిల్వ సౌకర్యం వద్ద ముగుస్తుంది. ఎందుకంటే పాయింట్ వద్దపి= కుగ్యాసోలిన్ యొక్క అపరిమిత సరఫరా ఉంది, అప్పుడు (ఇండక్షన్ బేస్ ప్రకారం) మేము అనేక పర్యటనలలో ఒక పాయింట్‌ను చేరుకోవచ్చుp = kపాయింట్ వద్ద + 1 చేయండిపి= కు4- ఏ పరిమాణంలో అయినా 1 స్టాక్ అవసరం.

సమస్య ప్రకటన కంటే సాధారణ ప్రకటన యొక్క నిజం ఇప్పుడు గణిత ప్రేరణ సూత్రం నుండి అనుసరిస్తుంది.

ముగింపు

ముఖ్యంగా, గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, నేను ఈ గణిత రంగంలో నా జ్ఞానాన్ని పెంచుకున్నాను మరియు గతంలో నా శక్తికి మించిన సమస్యలను పరిష్కరించడం నేర్చుకున్నాను.

ఎక్కువగా ఇవి తార్కిక మరియు వినోదాత్మక పనులు, అనగా. కేవలం గణితశాస్త్రంలో ఒక శాస్త్రంగా ఆసక్తిని పెంచేవి. అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడం వినోదాత్మక కార్యకలాపంగా మారుతుంది మరియు మరింత ఆసక్తిగల వ్యక్తులను గణిత చిక్కుల్లోకి ఆకర్షిస్తుంది. నా అభిప్రాయం ప్రకారం, ఇది ఏదైనా శాస్త్రానికి ఆధారం.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని అధ్యయనం చేయడం కొనసాగిస్తూ, నేను గణితంలో మాత్రమే కాకుండా, భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం మరియు జీవితంలోని సమస్యలను పరిష్కరించడంలో కూడా ఎలా ఉపయోగించాలో తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తాను.

సాహిత్యం

1.వులెంకిన్ ఇండక్షన్. కాంబినేటరిక్స్. ఉపాధ్యాయుల కోసం మాన్యువల్. M., జ్ఞానోదయం,

1976.-48 పే.

2. గోలోవినా L.I., యాగ్లోమ్ I.M. జ్యామితిలో ఇండక్షన్. - M.: రాష్ట్రం. ప్రచురించబడింది లీటరు. - 1956 - S.I00. విశ్వవిద్యాలయాలలో ప్రవేశించే వారి కోసం గణితంపై ఒక మాన్యువల్ / Ed. యాకోవ్లెవా G.N. సైన్స్. -1981. - పి.47-51.

3.గోలోవినా L.I., యాగ్లోమ్ I.M. జ్యామితిలో ఇండక్షన్. —
M.: నౌకా, 1961. - (గణితంపై ప్రసిద్ధ ఉపన్యాసాలు.)

4. I.T.Demidov, A.N.Kolmogorov, S.I.Schvartsburg, O.S.ఇవాషెవ్-ముసాటోవ్, B.E.వెయిట్జ్. పాఠ్యపుస్తకం / “జ్ఞానోదయం” 1975.

5.ఆర్. కొరెంట్, జి. రాబిన్స్ "గణితం అంటే ఏమిటి?" అధ్యాయం 1, § 2

6.Popa D. గణితం మరియు ఆమోదయోగ్యమైన తార్కికం. - M,: నౌకా, 1975.

7.పోపా డి. గణిత శాస్త్ర ఆవిష్కరణ. - M.: నౌకా, 1976.

8. రుబానోవ్ I.S. గణిత ప్రేరణ / గణిత పాఠశాల పద్ధతిని ఎలా బోధించాలి. - Nl. - 1996. - P.14-20.

9. సోమిన్స్కీ I.S., గోలోవినా L.I., యాగ్లోమ్ IM. గణిత ప్రేరణ పద్ధతిపై. - M.: నౌకా, 1977. - (గణితంపై ప్రసిద్ధ ఉపన్యాసాలు.)

10.సోలోమిన్స్కీ I.S. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి. - M.: సైన్స్.

63లు.

11.సోలోమిన్స్కీ I.S., గోలోవినా L.I., యాగ్లోమ్ I.M. గణిత ప్రేరణ గురించి. - M.: సైన్స్. - 1967. - P.7-59.

12.http://w.wikimedia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

ఉపన్యాసం 6. గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి.

సైన్స్ మరియు జీవితంలో కొత్త జ్ఞానం వివిధ మార్గాల్లో పొందబడుతుంది, అయితే అవన్నీ (మీరు వివరాల్లోకి వెళ్లకపోతే) రెండు రకాలుగా విభజించబడ్డాయి - సాధారణం నుండి నిర్దిష్టంగా మరియు నిర్దిష్టం నుండి సాధారణానికి మారడం. మొదటిది తగ్గింపు, రెండవది ఇండక్షన్. డిడక్టివ్ రీజనింగ్‌ని సాధారణంగా గణితశాస్త్రంలో అంటారు. తార్కిక తార్కికం, మరియు గణిత శాస్త్రంలో మినహాయింపు అనేది పరిశోధన యొక్క ఏకైక చట్టబద్ధమైన పద్ధతి. లాజికల్ రీజనింగ్ యొక్క నియమాలు రెండున్నర సహస్రాబ్దాల క్రితం పురాతన గ్రీకు శాస్త్రవేత్త అరిస్టాటిల్ చేత రూపొందించబడ్డాయి. అతను సరళమైన సరైన తార్కికం యొక్క పూర్తి జాబితాను సృష్టించాడు, సిలోజిజమ్స్- తర్కం యొక్క “బిల్డింగ్ బ్లాక్‌లు”, అదే సమయంలో చాలా సరైన, కానీ తప్పు (మీడియాలో ఇలాంటి “సూడోలాజికల్” రీజనింగ్‌లను మనం తరచుగా ఎదుర్కొంటాము) సాధారణ తార్కికతను సూచిస్తుంది.

ఇండక్షన్ (ఇండక్షన్ - లాటిన్లో మార్గదర్శకత్వం) ఐజాక్ న్యూటన్ తన తలపై ఆపిల్ పడిన తర్వాత సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని ఎలా రూపొందించాడో ప్రసిద్ధ పురాణం ద్వారా స్పష్టంగా వివరించబడింది. భౌతిక శాస్త్రం నుండి మరొక ఉదాహరణ: విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ వంటి దృగ్విషయంలో, ఒక విద్యుత్ క్షేత్రం అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని సృష్టిస్తుంది, "ప్రేరేపిస్తుంది". "న్యూటన్ యాపిల్" అనేది ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ప్రత్యేక సందర్భాలలో, అంటే, ఒక పరిస్థితికి ఒక సాధారణ ఉదాహరణ. పరిశీలనలు, సాధారణ ప్రకటనను "సూచించండి"; నిర్దిష్ట కేసుల ఆధారంగా సాధారణ ముగింపు తీసుకోబడుతుంది. సహజ మరియు మానవ శాస్త్రాలలో సాధారణ నమూనాలను పొందేందుకు ప్రేరక పద్ధతి ప్రధానమైనది. కానీ ఇది చాలా ముఖ్యమైన లోపాన్ని కలిగి ఉంది: నిర్దిష్ట ఉదాహరణల ఆధారంగా, ఒక తప్పు తీర్మానం చేయవచ్చు. ప్రైవేట్ పరిశీలనల నుండి ఉత్పన్నమయ్యే పరికల్పనలు ఎల్లప్పుడూ సరైనవి కావు. యూలర్ కారణంగా ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

మేము కొన్ని మొదటి విలువల కోసం ట్రినోమియల్ విలువను గణిస్తాము n:

గణనల ఫలితంగా పొందిన సంఖ్యలు ప్రధానమైనవి అని గమనించండి. మరియు ప్రతి ఒక్కటి నేరుగా ధృవీకరించవచ్చు n 1 నుండి 39 బహుపది విలువ
ఒక ప్రధాన సంఖ్య. అయితే, ఎప్పుడు n=40 మనకు 1681=41 2 అనే సంఖ్య వస్తుంది, ఇది ప్రైమ్ కాదు. అందువలన, ఇక్కడ ఉత్పన్నమయ్యే పరికల్పన, అంటే, ప్రతిదానికీ పరికల్పన nసంఖ్య
సులభం, తప్పు అని తేలింది.

లీబ్నిజ్ 17వ శతాబ్దంలో ప్రతి సానుకూల మొత్తానికి అని నిరూపించాడు nసంఖ్య
3 ద్వారా భాగించబడుతుంది, సంఖ్య
5 ద్వారా భాగించవచ్చు, మొదలైనవి దీని ఆధారంగా, అతను ఏదైనా బేసి కోసం ఊహించాడు కెమరియు ఏదైనా సహజమైనది nసంఖ్య
భాగించబడిన కె, కానీ వెంటనే నేను గమనించాను
9చే భాగించబడదు.

పరిగణించబడిన ఉదాహరణలు మాకు ఒక ముఖ్యమైన ముగింపుని ఇవ్వడానికి అనుమతిస్తాయి: ఒక ప్రకటన అనేక ప్రత్యేక సందర్భాలలో న్యాయంగా ఉంటుంది మరియు అదే సమయంలో సాధారణంగా అన్యాయంగా ఉంటుంది. సాధారణ సందర్భంలో స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు యొక్క ప్రశ్న అనేది ఒక ప్రత్యేక రీజనింగ్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది గణిత ప్రేరణ ద్వారా(పూర్తి ఇండక్షన్, పర్ఫెక్ట్ ఇండక్షన్).

6.1 గణిత ప్రేరణ సూత్రం.

♦ గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ఆధారంగా ఉంటుంది గణిత ప్రేరణ సూత్రం , ఇది క్రింది విధంగా ఉంది:

1) ఈ ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటు తనిఖీ చేయబడిందిn=1 (ఇండక్షన్ ప్రాతిపదిక) ,

2) ఈ ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటు కోసం భావించబడుతుందిn= కె, ఎక్కడకె- ఏకపక్ష సహజ సంఖ్య 1(ఇండక్షన్ ఊహ) , మరియు ఈ ఊహను పరిగణనలోకి తీసుకుని, దాని చెల్లుబాటు కోసం ఏర్పాటు చేయబడిందిn= కె+1.

రుజువు. మనము వ్యతిరేకతను ఊహించుదాము, అనగా ప్రతి సహజత్వానికి ఆ ప్రకటన నిజం కాదని అనుకుందాం n. అప్పుడు అటువంటి సహజమైనది m, ఏమిటి:

1) కోసం ప్రకటన n=mమంచిది కాదు,

2) అందరికీ n, చిన్నది m, ప్రకటన నిజం (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, mప్రకటన నిజం కాని మొదటి సహజ సంఖ్య).

అన్నది సుస్పష్టం m>1, ఎందుకంటే కోసం n=1 ప్రకటన నిజం (షరతు 1). అందుకే,
- సహజ సంఖ్య. ఇది సహజ సంఖ్య కోసం మారుతుంది
ప్రకటన నిజం మరియు తదుపరి సహజ సంఖ్య కోసం mఅది అన్యాయం. ఇది షరతు 2. ■కి విరుద్ధంగా ఉంది

సహజ సంఖ్యల యొక్క ఏదైనా సేకరణ అతి చిన్న సంఖ్యను కలిగి ఉంటుందని రుజువు సూత్రాన్ని ఉపయోగించిందని గమనించండి.

గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా ఒక రుజువు అంటారు పూర్తి గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా .

 ఉదాహరణ6.1. ఏదైనా సహజంగా నిరూపించండి nసంఖ్య
3 ద్వారా భాగించబడుతుంది.

పరిష్కారం.

1) ఎప్పుడు n=1, కాబట్టి a 1 అనేది 3చే భాగించబడుతుంది మరియు ప్రకటన ఎప్పుడు నిజం అవుతుంది n=1.

2) ప్రకటన నిజమని అనుకుందాం n=కె,
, అంటే, ఆ సంఖ్య
3 ద్వారా భాగించబడుతుంది మరియు మేము ఎప్పుడు అని నిర్ధారిస్తాము n=కె+1 సంఖ్య 3చే భాగించబడుతుంది.

నిజానికి,

ఎందుకంటే ప్రతి పదం 3తో భాగించబడుతుంది, ఆపై వాటి మొత్తం కూడా 3తో భాగించబడుతుంది. ■ 

 ఉదాహరణ6.2. మొదటి మొత్తం అని నిరూపించండి nసహజ బేసి సంఖ్యలు వాటి సంఖ్య యొక్క వర్గానికి సమానం, అంటే.

పరిష్కారం.పూర్తి గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించుకుందాం.

1) మేము ఈ ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటును ఎప్పుడు తనిఖీ చేస్తాము n=1: 1=1 2 – ఇది నిజం.

2) మొదటి మొత్తం అని అనుకుందాం కె (
) బేసి సంఖ్యల సంఖ్య ఈ సంఖ్యల సంఖ్య యొక్క వర్గానికి సమానం, అంటే. ఈ సమానత్వం ఆధారంగా, మేము మొదటి మొత్తాన్ని ఏర్పాటు చేస్తాము కె+1 బేసి సంఖ్యలు దీనికి సమానం
, అంటే.

మేము మా ఊహను ఉపయోగిస్తాము మరియు పొందుతాము

. ■ 

పూర్తి గణిత ప్రేరణ పద్ధతి కొన్ని అసమానతలను నిరూపించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. బెర్నౌలీ అసమానతను నిరూపిద్దాం.

 ఉదాహరణ6.3. ఎప్పుడు అని నిరూపించండి
మరియు ఏదైనా సహజమైనది nఅసమానత నిజం
(బెర్నౌలీ అసమానత).

పరిష్కారం. 1) ఎప్పుడు n=1 మనకు లభిస్తుంది
, ఇది నిజం.

2) మేము ఎప్పుడు అని ఊహిస్తాము n=కెఅసమానత ఉంది
(*). ఈ ఊహను ఉపయోగించి, మేము దానిని నిరూపిస్తాము
. ఎప్పుడు అని గమనించండి
ఈ అసమానత ఉంది మరియు అందువల్ల కేసును పరిగణనలోకి తీసుకోవడం సరిపోతుంది
.

అసమానత (*) యొక్క రెండు వైపులా సంఖ్యతో గుణిద్దాం
మరియు మేము పొందుతాము:

అంటే (1+
.■ 

పద్ధతి ద్వారా రుజువు అసంపూర్ణ గణిత ప్రేరణ ఆధారపడి కొంత ప్రకటన n, ఎక్కడ
ఇదే విధంగా నిర్వహించబడుతుంది, కానీ ప్రారంభంలో సరసత చిన్న విలువ కోసం స్థాపించబడింది n.

కొన్ని సమస్యలు గణిత ప్రేరణ ద్వారా నిరూపించబడే ప్రకటనను స్పష్టంగా పేర్కొనవు. అటువంటి సందర్భాలలో, మీరు నమూనాను మీరే ఏర్పాటు చేసుకోవాలి మరియు ఈ నమూనా యొక్క ప్రామాణికత గురించి పరికల్పనను రూపొందించాలి, ఆపై ప్రతిపాదిత పరికల్పనను పరీక్షించడానికి గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించండి.

 ఉదాహరణ6.4. మొత్తాన్ని కనుగొనండి
.

పరిష్కారం.మొత్తాలను కనుక్కోండి ఎస్ 1 , ఎస్ 2 , ఎస్ 3. మన దగ్గర ఉంది
,
,
. మేము ఏదైనా సహజంగా ఊహిస్తాము nసూత్రం చెల్లుతుంది
. ఈ పరికల్పనను పరీక్షించడానికి, మేము పూర్తి గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము.

1) ఎప్పుడు n=1 పరికల్పన సరైనది, ఎందుకంటే
.

2) పరికల్పన నిజమని అనుకుందాం n=కె,
, అంటే
. ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, పరికల్పన నిజమని మేము నిర్ధారిస్తాము n=కె+1, అంటే

నిజానికి,

కాబట్టి, ఊహ ఆధారంగా పరికల్పన ఎప్పుడు నిజమవుతుంది n=కె,
, ఇది కూడా నిజమని నిరూపించబడింది n=కె+1, మరియు గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు ఫార్ములా చెల్లుబాటు అవుతుందని మేము నిర్ధారించాము n. ■ 

 ఉదాహరణ6.5. గణితశాస్త్రంలో, రెండు ఏకరీతి నిరంతర ఫంక్షన్ల మొత్తం ఏకరీతిగా నిరంతర ఫంక్షన్ అని నిరూపించబడింది. ఈ ప్రకటన ఆధారంగా, మీరు ఏదైనా సంఖ్య యొక్క మొత్తం అని నిరూపించాలి
ఏకరీతిగా నిరంతర విధులు ఏకరీతిగా నిరంతర ఫంక్షన్. కానీ మేము ఇంకా "ఏకరీతిలో నిరంతర ఫంక్షన్" అనే భావనను పరిచయం చేయలేదు కాబట్టి, సమస్యను మరింత వియుక్తంగా చూపుదాం: కొంత ఆస్తిని కలిగి ఉన్న రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తం అని తెలియజేయండి. ఎస్, దానికదే ఆస్తి ఉంది ఎస్. ఎన్ని ఫంక్షన్ల మొత్తానికి ఆస్తి ఉందని నిరూపిద్దాం ఎస్.

పరిష్కారం.ఇక్కడ ఇండక్షన్ యొక్క ఆధారం సమస్య యొక్క సూత్రీకరణలోనే ఉంటుంది. ఇండక్షన్ ఊహను చేసిన తర్వాత, పరిగణించండి
విధులు f 1 , f 2 , …, f n , f nఆస్తిని కలిగి ఉన్న +1 ఎస్. అప్పుడు . కుడి వైపున, మొదటి పదం ఆస్తిని కలిగి ఉంది ఎస్ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా, రెండవ పదం ఆస్తిని కలిగి ఉంటుంది ఎస్షరతు ద్వారా. పర్యవసానంగా, వారి మొత్తానికి ఆస్తి ఉంది ఎస్- రెండు పదాలకు ఇండక్షన్ ఆధారం "పనిచేస్తుంది".

ఇది ప్రకటనను రుజువు చేస్తుంది మరియు మేము దానిని మరింత ఉపయోగిస్తాము. ■ 

 ఉదాహరణ6.6. అన్నింటినీ సహజంగా కనుగొనండి n, దీనికి అసమానత నిజం

.

పరిష్కారం.పరిగణలోకి తీసుకుందాం n=1, 2, 3, 4, 5, 6. మనకు ఉన్నాయి: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6 >6 2. అందువలన, మేము ఒక పరికల్పన చేయవచ్చు: అసమానత
అందరికీ చోటు ఉంది
. ఈ పరికల్పన యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించడానికి, మేము అసంపూర్ణ గణిత ప్రేరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

1) పైన స్థాపించబడినట్లుగా, ఈ పరికల్పన ఎప్పుడు నిజమవుతుంది n=5.

2) ఇది నిజమని భావించండి n=కె,
, అంటే అసమానత నిజం
. ఈ ఊహను ఉపయోగించి, అసమానత అని మేము నిరూపిస్తాము
.

ఎందుకంటే
మరియు వద్ద
అసమానత ఉంది

వద్ద
,

అప్పుడు మేము దానిని పొందుతాము
. కాబట్టి, వద్ద పరికల్పన యొక్క నిజం n=కె+1 అనేది ఎప్పుడు నిజమనే ఊహ నుండి అనుసరిస్తుంది n=కె,
.

పేరాల నుండి. 1 మరియు 2, అసంపూర్ణ గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, అసమానతని అనుసరిస్తుంది
ప్రతి సహజానికి నిజం
. ■ 

 ఉదాహరణ6.7. ఏదైనా సహజ సంఖ్య కోసం నిరూపించండి nభేద సూత్రం చెల్లుతుంది
.

పరిష్కారం.వద్ద n=1 ఈ ఫార్ములా కనిపిస్తుంది
, లేదా 1=1, అంటే ఇది సరైనది. ఇండక్షన్ ఊహను తయారు చేయడం, మేము కలిగి ఉన్నాము:

Q.E.D. ■ 

 ఉదాహరణ6.8. కలిగి ఉన్న సెట్ నిరూపించండి nమూలకాలు, ఉన్నాయి ఉపసమితులు

పరిష్కారం.ఒక మూలకంతో కూడిన సమితి ఎ, రెండు ఉపసమితులు ఉన్నాయి. ఇది నిజం ఎందుకంటే దాని అన్ని ఉపసమితులు ఖాళీ సెట్ మరియు ఖాళీ సెట్ కూడా, మరియు 2 1 =2.

ప్రతి సెట్ అని అనుకుందాం nఅంశాలు ఉన్నాయి ఉపసమితులు సెట్ A కలిగి ఉంటే n+1 మూలకాలు, ఆపై మేము దానిలో ఒక మూలకాన్ని పరిష్కరిస్తాము - మేము దానిని సూచిస్తాము డి, మరియు అన్ని ఉపసమితులను రెండు తరగతులుగా విభజించండి - కలిగి లేనివి డిమరియు కలిగి ఉంటుంది డి. మొదటి తరగతి నుండి అన్ని ఉపసమితులు ఒక మూలకాన్ని తీసివేయడం ద్వారా A నుండి పొందిన B సెట్ యొక్క ఉపసమితులు డి.

సెట్ B కలిగి ఉంటుంది nమూలకాలు, అందువలన, ఇండక్షన్ ద్వారా, అతను కలిగి ఉపసమితులు, కాబట్టి మొదటి తరగతిలో ఉపసమితులు

కానీ రెండవ తరగతిలో ఒకే సంఖ్యలో ఉపసమితులు ఉన్నాయి: వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఒక మూలకాన్ని జోడించడం ద్వారా మొదటి తరగతిలోని ఒక ఉపసమితి నుండి పొందబడుతుంది. డి. కాబట్టి, మొత్తం సెట్ A
ఉపసమితులు

కాబట్టి ప్రకటన నిరూపించబడింది. 0 మూలకాలతో కూడిన సెట్‌కు కూడా ఇది సరైనదని గమనించండి - ఖాళీ సెట్: ఇది ఒకే ఉపసమితిని కలిగి ఉంటుంది - దానికదే, మరియు 2 0 = 1. ■ 

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి, ఏదైనా సహజమైనదని నిరూపించండి nకింది సమానత్వం చెల్లుబాటు అవుతుంది:
ఎ) ;
బి) .

పరిష్కారం.

ఎ) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం నిజం. వద్ద సమానత్వం యొక్క చెల్లుబాటును ఊహిస్తూ n, ఎప్పుడు కూడా దాని చెల్లుబాటును చూపిద్దాం n+ 1. నిజానికి,

Q.E.D.

బి) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం యొక్క చెల్లుబాటు స్పష్టంగా ఉంది. వద్ద దాని చెల్లుబాటు యొక్క ఊహ నుండి nఉండాలి

సమానత్వం 1 + 2 + ... + ఇవ్వబడింది n = n(n+ 1)/2, మేము పొందుతాము

1 3 + 2 3 + ... + n 3 + (n + 1) 3 = (1 + 2 + ... + n + (n + 1)) 2 ,

అంటే ప్రకటన కూడా ఎప్పుడు నిజమే n + 1.

ఉదాహరణ 1.కింది సమానత్వాన్ని నిరూపించండి

పరిష్కారం.ఎ) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం 1=1 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది, కాబట్టి, పి(1) నిజం. ఈ సమానత్వం నిజమని, అంటే అది కలిగి ఉందని అనుకుందాం

అందువలన, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ప్రకారం, అసలు సమానత్వం ఏదైనా సహజంగా చెల్లుతుంది n.

గమనిక 2.ఈ ఉదాహరణను వేరే విధంగా పరిష్కరించవచ్చు. నిజానికి, మొత్తం 1 + 2 + 3 + ... + nమొదటి మొత్తం nమొదటి పదంతో అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలు a 1 = 1 మరియు తేడా డి= 1. బాగా తెలిసిన సూత్రం ద్వారా , మాకు దొరికింది

బి) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: 2 1 - 1 = 1 2 లేదా 1=1, అంటే, పి(1) నిజం. సమానత్వం అని అనుకుందాం

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2 మరియు అది సంభవిస్తుందని నిరూపించండిపి(n + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n+ 1) 2 లేదా 1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

ఇండక్షన్ పరికల్పనను ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

ఈ విధంగా, పి(n+ 1) నిజం మరియు అందువల్ల, అవసరమైన సమానత్వం నిరూపించబడింది.

గమనిక 3.ఈ ఉదాహరణను గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించకుండా (మునుపటి మాదిరిగానే) పరిష్కరించవచ్చు.

సి) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం నిజం: 1=1. సమానత్వం నిజమని అనుకుందాం

డి) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం నిజం: 1=1. అది జరుగుతుందని అనుకుందాం

నిజంగా,

ఇ) ఆమోదం పి(1) నిజం: 2=2. సమానత్వం అని అనుకుందాం

పర్యవసానంగా, అసలు సమానత్వం ఏదైనా సహజంగా ఉంటుంది n.

f) పి(1) నిజం: 1/3 = 1/3. సమానత్వం ఉండనివ్వండి పి(n):

వాస్తవానికి, దానిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే పి(n) కలిగి ఉంది, మేము పొందుతాము

కాబట్టి, సమానత్వం నిరూపించబడింది.

g) ఎప్పుడు n= 1 మా వద్ద ఉంది a + బి = బి + aఅందువలన సమానత్వం న్యాయమైనది.

న్యూటన్ యొక్క ద్విపద ఫార్ములా చెల్లుబాటవుతుంది n = కె, అంటే,

ఉదాహరణ 2.అసమానతలను నిరూపించండి

పరిష్కారం.ఎ) ఎప్పుడు n= 1 మేము నిజమైన అసమానతను పొందుతాము

1 + a ≥ 1 + a . అసమానత ఉందని అనుకుందాం

నిజానికి, ఒక > -1 అనేది + 1 > 0ని సూచిస్తుంది కాబట్టి, అసమానత యొక్క రెండు వైపులా (1)ని (a + 1) గుణిస్తే, మేము పొందుతాము

(1 + ఎ) n(1 + ఎ) ≥ (1 + n a )(1 + a ) లేదా (1 + a ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1) a + n a 2 నుండి nఒక 2 ≥ 0, కాబట్టి(1 + ఎ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1) a + n a 2 ≥ 1 + ( n+ 1) ఎ .

అందువలన, ఉంటే పి(n) నిజమే, అప్పుడు పి(n+ 1) నిజం, కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ సూత్రం ప్రకారం, బెర్నౌలీ అసమానత నిజం.

బి) ఎప్పుడు n= 1 మనకు లభిస్తుంది x 1 = 1 మరియు అందువలన x 1 ≥ 1 అంటే పి(1) న్యాయమైన ప్రకటన. అలా నటిద్దాం పి(n) నిజం, అంటే అదికా అయితే, x 1 ,x 2 ,...,x n - nధనాత్మక సంఖ్యలు దీని ఉత్పత్తి ఒకదానికి సమానం, x 1 x 2 ·...· x n= 1, మరియు x 1 + x 2 + ... + x n ≥ n.

ఈ వాక్యం కిందివాటిలో సత్యాన్ని కలిగి ఉందని చూపిద్దాం: అయితే x 1 ,x 2 ,...,x n ,x n+1 - (n+ 1) సానుకూల సంఖ్యలు x 1 x 2 ·...· x n · x n+1 = 1, అప్పుడు x 1 + x 2 + ... + x n + x n + 1 ≥n + 1.

కింది రెండు సందర్భాలను పరిగణించండి:

1) x 1 = x 2 = ... = x n = x n+1 = 1. అప్పుడు ఈ సంఖ్యల మొత్తం ( n+ 1), మరియు అవసరమైన అసమానత సంతృప్తి చెందుతుంది;

2) కనీసం ఒక సంఖ్య ఒకదానికి భిన్నంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, నుండి x 1 x 2 · ... · x n · x n+ 1 = 1, ఒకటి కంటే కనీసం మరో సంఖ్య భిన్నంగా ఉంటుంది (మరింత ఖచ్చితంగా, ఒకటి కంటే తక్కువ). వీలు x n+ 1 > 1 మరియు x n < 1. Рассмотрим nసానుకూల సంఖ్యలు

ఎందుకంటే

(1 - x n)(x n+1 - 1) > 0, ఆపై n + x n + x n+1 - x n x n+1 = n + 1 + x n+1 (1 - x n) - 1 + x n =
= n + 1 + x n+1 (1 - x n) - (1 - x n) = n + 1 + (1 - x n)(x n+1 - 1) ≥ n+ 1. కాబట్టి, x 1 + x 2 + ... + x n + x n+1 ≥ n+1, అంటే పి(n) నిజమే, అప్పుడుపి(n+ 1) న్యాయమైన. అసమానత నిరూపించబడింది.

గమనిక 4.సమాన సంకేతం ఉంటే మరియు ఉంటే మాత్రమే ఉంటుంది x 1 = x 2 = ... = x n = 1.

సి) లెట్ x 1 ,x 2 ,...,x n- ఏకపక్ష సానుకూల సంఖ్యలు. కింది వాటిని పరిగణించండి nసానుకూల సంఖ్యలు:

గమనిక 5.సమానత్వం ఉంటే మరియు మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది x 1 = x 2 = ... = x n .

d) పి(1) అనేది న్యాయమైన ప్రకటన: sin 2 a + cos 2 a = 1. మనం దానిని అనుకుందాం పి(n) నిజమైన ప్రకటన:

పాపం 2 n a + cos 2 n a ≤ 1 మరియు ఏమి జరుగుతుందో చూపించుపి(n+ 1). నిజంగా,పాపం 2( n+ 1) a + cos 2( n+ 1) a = పాపం 2 n a sin 2 a + cos 2 n a cos 2 a< sin 2n a + cos 2 n a ≤ 1 (పాపం 2 a ≤ 1 అయితే, cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 ఎ ≤ 1, ఆపై పాపం 2 ఎ < 1). Таким образом, для любого nగురించి ఎన్పాపం 2 n a + cos 2 n ≤ 1 మరియు సమానత్వ చిహ్నం ఎప్పుడు మాత్రమే సాధించబడుతుందిn = 1.

ఇ) ఎప్పుడు n= 1 ప్రకటన నిజం: 1< 3 / 2 .

అని అనుకుందాం మరియు మేము దానిని నిరూపిస్తాము

f) రిమార్క్ 1ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, తనిఖీ చేద్దాం పి(10): 2 10 > 10 3, 1024 > 1000, అందుకోసం n= 10 ప్రకటన నిజం. 2 అని అనుకుందాం n > n 3 (n> 10) మరియు నిరూపించండి పి(n+ 1), అంటే 2 n+1 > (n + 1) 3 .

ఎప్పట్నుంచి n> 10 మేము కలిగి లేదా , దానిని అనుసరిస్తుంది

2n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n+ 1 లేదా n 3 > 3n 2 + 3n + 1. అసమానత కారణంగా (2 n > n 3), మనకు 2 వస్తుంది n+1 = 2 n·2 = 2 n + 2 n > n 3 + n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n + 1 = (n + 1) 3 .

అందువలన, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ప్రకారం, ఏ సహజ కోసం nగురించి ఎన్, n≥ 10 మనకు 2 ఉంది n > n 3 .

ఉదాహరణ 3.అది ఎవరికైనా నిరూపించండి nగురించి ఎన్

పరిష్కారం. a) పి(1) నిజమైన స్టేట్‌మెంట్ (0ని 6తో విభజించారు). వీలు పి(n) న్యాయమైనది, అంటే n(2n 2 - 3n + 1) = n(n - 1)(2n- 1) 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది. అప్పుడు అది సంభవిస్తుందని చూపిద్దాం పి(n+ 1), అంటే, ( n + 1)n(2n+ 1) 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది. నిజానికి, నుండి

ఈ విధంగా, పి(n+ 1) న్యాయమైన ప్రకటన, అందువలన n(2n 2 - 3n+ 1) దేనికైనా 6తో భాగించవచ్చు nగురించి ఎన్.

బి) తనిఖీ చేద్దాం పి(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11, కాబట్టి, పి(1) న్యాయమైన ప్రకటన. 6 2 అయితే అని నిరూపించాలి n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 11 ద్వారా విభజించబడింది ( పి(n)), ఆపై 6 2 n + 3 n+2 + 3 n 11 ద్వారా కూడా భాగించబడుతుంది ( పి(n+ 1)). నిజానికి, నుండి

6 2n + 3 n+2 + 3 n = 6 2n-2+2 + 3 n+1+1 + 3 n-1+1 = = 6 2 6 2 n-2 + 3 3 n+1 + 3 3 n-1 = 3·(6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1) + 33 6 2 n-2 మరియు 6 2 వంటివి n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 మరియు 33 6 2 n-2 వాటిని 11తో భాగించవచ్చు, అప్పుడు వాటి మొత్తం 6 2n + 3 n+2 + 3 n 11 ద్వారా భాగించబడుతుంది. ప్రకటన నిరూపించబడింది. జ్యామితిలో ఇండక్షన్

ఉదాహరణ 4.సరైన 2 వైపును లెక్కించండి nవ్యాసార్థం యొక్క వృత్తంలో చెక్కబడిన త్రిభుజం ఆర్.

గ్రంథ పట్టిక వివరణ:బడానిన్ A. S., సిజోవా M. Yu. సహజ సంఖ్యల విభజనపై సమస్యలను పరిష్కరించడానికి గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్ // యువ శాస్త్రవేత్త. 2015. నం. 2. పి. 84-86..04.2019).

గణిత శాస్త్ర ఒలింపియాడ్‌లలో సహజ సంఖ్యల విభజనను నిరూపించడానికి చాలా కష్టమైన సమస్యలు ఉంటాయి. పాఠశాల పిల్లలు సమస్యను ఎదుర్కొంటారు: అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి వారిని అనుమతించే సార్వత్రిక గణిత పద్ధతిని ఎలా కనుగొనాలి?

విభజనను నిరూపించడంలో చాలా సమస్యలను గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కరించవచ్చని తేలింది, అయితే పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలు ఈ పద్ధతికి చాలా తక్కువ శ్రద్ధ చూపుతాయి; చాలా తరచుగా సంక్షిప్త సైద్ధాంతిక వివరణ ఇవ్వబడుతుంది మరియు అనేక సమస్యలు విశ్లేషించబడతాయి.

మేము సంఖ్య సిద్ధాంతంలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని కనుగొంటాము. సంఖ్యా సిద్ధాంతం ప్రారంభంలో, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అనేక వాస్తవాలను ప్రేరేపకంగా కనుగొన్నారు: L. ఆయిలర్ మరియు K. గాస్ కొన్నిసార్లు సంఖ్యా నమూనాను గమనించి దానిని విశ్వసించే ముందు వేలాది ఉదాహరణలను పరిగణించారు. కానీ అదే సమయంలో "చివరి" పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించిన పరికల్పనలు ఎంత మోసపూరితంగా ఉంటాయో వారు అర్థం చేసుకున్నారు. పరిమిత ఉపసమితి కోసం ధృవీకరించబడిన స్టేట్‌మెంట్ నుండి మొత్తం అనంత సమితికి ఒకే విధమైన స్టేట్‌మెంట్‌కు ప్రేరేపకంగా మారడానికి, రుజువు అవసరం. ఈ పద్ధతిని బ్లేజ్ పాస్కల్ ప్రతిపాదించారు, అతను ఏదైనా పూర్ణాంకాన్ని ఇతర పూర్ణాంకాల ద్వారా విభజించే సంకేతాలను కనుగొనడానికి ఒక సాధారణ అల్గారిథమ్‌ను కనుగొన్నాడు ("సంఖ్యల విభజన యొక్క స్వభావంపై").

గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి అన్ని సహజ సంఖ్యల కోసం ఒక నిర్దిష్ట ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని లేదా నిర్దిష్ట సంఖ్య n నుండి ప్రారంభమయ్యే స్టేట్‌మెంట్ యొక్క సత్యాన్ని వాదించడం ద్వారా నిరూపించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి నిర్దిష్ట ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించడానికి సమస్యలను పరిష్కరించడం నాలుగు దశలను కలిగి ఉంటుంది (Fig. 1):

అన్నం. 1. సమస్యను పరిష్కరించడానికి పథకం

1. ఇండక్షన్ ఆధారం . స్టేట్‌మెంట్ అర్థవంతంగా ఉండే అతి చిన్న సహజ సంఖ్య కోసం వారు స్టేట్‌మెంట్ చెల్లుబాటును తనిఖీ చేస్తారు.

2. ప్రేరక పరికల్పన . k యొక్క కొంత విలువ కోసం ప్రకటన నిజమని మేము ఊహిస్తాము.

3. ఇండక్షన్ పరివర్తన . మేము k+1 కోసం ప్రకటన నిజమని నిరూపిస్తాము.

4. ముగింపు . అటువంటి రుజువు పూర్తయినట్లయితే, గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం ప్రకటన నిజమని వాదించవచ్చు.

సహజ సంఖ్యల విభజనను నిరూపించే సమస్యలను పరిష్కరించడానికి గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1. సంఖ్య 5 అనేది 19 యొక్క గుణకం అని నిరూపించండి, ఇక్కడ n అనేది సహజ సంఖ్య.

రుజువు:

1) ఈ ఫార్ములా n = 1కి సరైనదేనా అని తనిఖీ చేద్దాం: సంఖ్య =19 19 యొక్క గుణకం.

2) ఈ ఫార్ములా n = kకి నిజం కానివ్వండి, అనగా సంఖ్య 19 యొక్క గుణకం.

ఇది 19 యొక్క గుణకం. నిజానికి, ఊహ (2) కారణంగా మొదటి పదం 19తో భాగించబడుతుంది; రెండవ పదం కూడా 19 ద్వారా భాగించబడుతుంది ఎందుకంటే ఇది 19 కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 2.మూడు వరుస సహజ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తం 9చే భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

రుజువు:

ఈ ప్రకటనను నిరూపిద్దాం: “ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం, వ్యక్తీకరణ n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 అనేది 9 యొక్క గుణకం.

1) ఈ ఫార్ములా n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 9 యొక్క గుణిజాలకు సరైనదో లేదో తనిఖీ చేద్దాం.

2) ఈ ఫార్ములా n = kకి నిజం కానివ్వండి, అనగా k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 అనేది 9 యొక్క గుణకం.

3) n = k + 1కి కూడా సూత్రం సరైనదని నిరూపిద్దాం, అంటే (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 అనేది 9 యొక్క గుణకం. (k+1) 3 +( k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3k+ 3).

ఫలిత వ్యక్తీకరణ రెండు పదాలను కలిగి ఉంటుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి 9 ద్వారా భాగించబడుతుంది, కాబట్టి మొత్తం 9 ద్వారా భాగించబడుతుంది.

4) గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క రెండు షరతులు సంతృప్తి చెందాయి, కాబట్టి, వాక్యం n యొక్క అన్ని విలువలకు నిజం.

ఉదాహరణ 3.ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం, సంఖ్య 3 2n+1 +2 n+2 7 ద్వారా భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

రుజువు:

1) ఈ ఫార్ములా n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35కి సరైనదేనా అని తనిఖీ చేద్దాం, 35 అనేది 7 యొక్క గుణకం.

2) ఈ ఫార్ములా n = kకి నిజం కానివ్వండి, అంటే 3 2 k +1 +2 k +2ని 7తో భాగించండి.

3) n = k + 1కి కూడా సూత్రం సరైనదని నిరూపిద్దాం, అనగా.

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 =3 2 k +1 ·3 2 +2 k +2 ·2 1 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·2 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·(9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2)·9–7·2 k +2 .T. k. (3 2 k +1 +2 k +2) 9 7 ద్వారా భాగించబడింది మరియు 7 2 k +2 7 ద్వారా భాగించబడుతుంది, అప్పుడు వాటి వ్యత్యాసం 7 ద్వారా భాగించబడుతుంది.

4) గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క రెండు షరతులు సంతృప్తి చెందాయి, కాబట్టి, వాక్యం n యొక్క అన్ని విలువలకు నిజం.

సహజ సంఖ్యల విభజన సిద్ధాంతంలోని అనేక రుజువు సమస్యలను గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి సౌకర్యవంతంగా పరిష్కరించవచ్చు; ఈ పద్ధతిలో సమస్యలను పరిష్కరించడం పూర్తిగా అల్గోరిథమిక్ అని కూడా చెప్పవచ్చు; ఇది 4 ప్రాథమిక దశలను నిర్వహించడానికి సరిపోతుంది. కానీ ఈ పద్ధతిని సార్వత్రికం అని పిలవలేము, ఎందుకంటే ప్రతికూలతలు కూడా ఉన్నాయి: మొదట, ఇది సహజ సంఖ్యల సమితిలో మాత్రమే నిరూపించబడుతుంది మరియు రెండవది, ఇది ఒక వేరియబుల్ కోసం మాత్రమే నిరూపించబడుతుంది.

తార్కిక ఆలోచన మరియు గణిత సంస్కృతి అభివృద్ధికి, ఈ పద్ధతి అవసరమైన సాధనం, ఎందుకంటే గొప్ప రష్యన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు A. N. కోల్మోగోరోవ్ ఇలా అన్నాడు: “గణిత ప్రేరణ సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకోవడం మరియు సరిగ్గా వర్తించే సామర్థ్యం తార్కిక పరిపక్వతకు మంచి ప్రమాణం, ఇది ఖచ్చితంగా ఉంది. గణిత శాస్త్రజ్ఞుడికి అవసరం."

సాహిత్యం:

1. విలెంకిన్ N. యా. ఇండక్షన్. కాంబినేటరిక్స్. - M.: విద్య, 1976. - 48 p.

2. Genkin L. గణిత ప్రేరణపై. - M., 1962. - 36 p.

3. సోలోమిన్స్కీ I. S. గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి. - M.: నౌకా, 1974. - 63 p.

4. Sharygin I.F. గణితంలో ఐచ్ఛిక కోర్సు: సమస్య పరిష్కారం: 10వ తరగతికి పాఠ్య పుస్తకం. పాఠశాల సగటు - M.: విద్య, 1989. - 252 p.

5. షెన్ A. గణిత ప్రేరణ. - M.: MTsNMO, 2007. - 32 p.