విలోమ మాత్రికలు. ఉన్నత గణితం

ఈ అంశం విద్యార్థులలో అత్యంత అసహ్యించుకునే వాటిలో ఒకటి. అధ్వాన్నంగా, బహుశా, క్వాలిఫైయర్లు.

ఉపాయం ఏమిటంటే, విలోమ మూలకం యొక్క భావన (మరియు నేను మాత్రికల గురించి మాట్లాడటం లేదు) గుణకారం యొక్క ఆపరేషన్‌ను సూచిస్తుంది. పాఠశాల పాఠ్యాంశాల్లో కూడా, గుణకారం సంక్లిష్టమైన ఆపరేషన్‌గా పరిగణించబడుతుంది మరియు మాత్రికల గుణకారం సాధారణంగా ఒక ప్రత్యేక అంశం, దీనికి నేను మొత్తం పేరా మరియు వీడియో పాఠాన్ని అంకితం చేసాను.

ఈ రోజు మనం మ్యాట్రిక్స్ లెక్కల వివరాలలోకి వెళ్లము. గుర్తుంచుకోండి: మాత్రికలు ఎలా నియమించబడతాయి, అవి ఎలా గుణించబడతాయి మరియు దీని నుండి ఏమి అనుసరిస్తుంది.

సమీక్ష: మాతృక గుణకారం

ముందుగా, సంజ్ఞామానాన్ని అంగీకరిస్తాం. $\ఎడమ[ m\times n \right]$ పరిమాణం గల $A$ మాతృక కేవలం ఖచ్చితంగా $m$ అడ్డు వరుసలు మరియు $n$ నిలువు వరుసలతో కూడిన సంఖ్యల పట్టిక:

\=\అండర్బ్రేస్(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\ end(matrix) \right])_(n)\]

అనుకోకుండా అడ్డు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలను కలపడాన్ని నివారించడానికి (నన్ను నమ్మండి, పరీక్షలో మీరు ఒకదానిని రెండుతో గందరగోళానికి గురి చేయవచ్చు, కొన్ని అడ్డు వరుసలను విడదీయండి), చిత్రాన్ని చూడండి:

ఏం జరుగుతోంది? మీరు స్టాండర్డ్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ $OXY$ని ఎగువ ఎడమ మూలలో ఉంచి, అక్షాలు మొత్తం మ్యాట్రిక్స్‌ను కవర్ చేసేలా నిర్దేశిస్తే, ఈ మాతృకలోని ప్రతి సెల్ $\left(x;y \right)$ అక్షాంశాలతో ప్రత్యేకంగా అనుబంధించబడుతుంది. - ఇది అడ్డు వరుస సంఖ్య మరియు నిలువు వరుస సంఖ్య అవుతుంది.

కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఎగువ ఎడమ మూలలో ఎందుకు ఉంచబడింది? అవును, ఎందుకంటే అక్కడ నుండి మనం ఏదైనా పాఠాలను చదవడం ప్రారంభిస్తాము. గుర్తుంచుకోవడం చాలా సులభం.

$x$ అక్షం ఎందుకు క్రిందికి మళ్లించబడింది మరియు కుడి వైపుకు కాదు? మళ్ళీ, ఇది చాలా సులభం: ఒక ప్రామాణిక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను తీసుకోండి ($x$ అక్షం కుడివైపుకు వెళుతుంది, $y$ అక్షం పైకి వెళుతుంది) మరియు దానిని తిప్పండి, తద్వారా అది మాతృకను కవర్ చేస్తుంది. ఇది 90 డిగ్రీల సవ్యదిశలో భ్రమణం - మేము చిత్రంలో ఫలితాన్ని చూస్తాము.

సాధారణంగా, మాతృక మూలకాల సూచికలను ఎలా గుర్తించాలో మేము కనుగొన్నాము. ఇప్పుడు గుణకారం చూద్దాం.

నిర్వచనం. మాత్రికలు $A=\left[ m\times n \right]$ మరియు $B=\left[ n\times k \right]$, మొదటి నిలువు వరుసల సంఖ్య రెండవ వరుసల సంఖ్యతో సమానంగా ఉన్నప్పుడు, అవి స్థిరమైన అని.

సరిగ్గా ఆ క్రమంలోనే. ఒకరు గందరగోళానికి గురవుతారు మరియు $A$ మరియు $B$ మాత్రికలు $\left(A;B \right)$ని ఆర్డర్ చేసిన జంటగా ఏర్పరుస్తాయని చెప్పవచ్చు: అవి ఈ క్రమంలో స్థిరంగా ఉంటే, అప్పుడు $B అవసరం లేదు $ మరియు $A$ ఆ. జత $\left(B;A \right)$ కూడా స్థిరంగా ఉంటుంది.

సరిపోలిన మాత్రికలను మాత్రమే గుణించవచ్చు.

నిర్వచనం. సరిపోలిన మాత్రికల ఉత్పత్తి $A=\left[ m\times n \right]$ మరియు $B=\left[ n\times k \right]$ కొత్త మాతృక $C=\left[ m\times k \right ]$ , సూత్రం ప్రకారం $((c)_(ij))$ లెక్కించబడే మూలకాలు:

\[((c)_(ij))=\sum\పరిమితి_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

మరో మాటలో చెప్పాలంటే: $C=A\cdot B$ మాతృక యొక్క $((c)_(ij))$ మూలకాన్ని పొందడానికి, మీరు మొదటి మాతృక యొక్క $i$-వరుస, $j$ని తీసుకోవాలి. రెండవ మాతృక యొక్క -వ నిలువు వరుస, ఆపై ఈ అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుస నుండి జతల మూలకాలలో గుణించండి. ఫలితాలను జోడించండి.

అవును, ఇది చాలా కఠినమైన నిర్వచనం. దాని నుండి అనేక వాస్తవాలు వెంటనే అనుసరిస్తాయి:

1. మాతృక గుణకారం, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, కమ్యుటేటివ్ కాదు: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. అయితే, గుణకారం అనుబంధం: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. మరియు పంపిణీపరంగా కూడా: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. మరియు మరోసారి పంపిణీపరంగా: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

గుణకారం యొక్క డిస్ట్రిబ్యూటివిటీని గుణకారం ఆపరేషన్ యొక్క నాన్-కమ్యుటాటివిటీ కారణంగా ఖచ్చితంగా ఎడమ మరియు కుడి మొత్తం కారకం కోసం విడిగా వివరించాలి.

$A\cdot B=B\cdot A$ అని తేలితే, అటువంటి మాత్రికలను కమ్యుటేటివ్ అంటారు.

అక్కడ ఏదో ఒకదానితో గుణించబడిన అన్ని మాత్రికలలో, ప్రత్యేకమైనవి ఉన్నాయి - ఏదైనా మాతృక $A$తో గుణించినప్పుడు, మళ్లీ $A$ని ఇచ్చేవి:

నిర్వచనం. $A\cdot E=A$ లేదా $E\cdot A=A$ అయితే $E$ మాతృకను గుర్తింపు అంటారు. చదరపు మాతృక $A$ విషయంలో మనం వ్రాయవచ్చు:

మాతృక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు గుర్తింపు మాతృక తరచుగా అతిథిగా ఉంటుంది. మరియు సాధారణంగా, మాత్రికల ప్రపంచంలో తరచుగా అతిథి. :)

మరియు దీని కారణంగా $E$, ఎవరైనా తదుపరి వ్రాయబోయే అన్ని అర్ధంలేని విషయాలతో ముందుకు వచ్చారు.

విలోమ మాతృక అంటే ఏమిటి

మాతృక గుణకారం అనేది చాలా శ్రమతో కూడుకున్న ఆపరేషన్ కాబట్టి (మీరు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసల సమూహాన్ని గుణించాలి), విలోమ మాతృక భావన కూడా చాలా చిన్నవిషయం కాదు. మరియు కొంత వివరణ అవసరం.

కీ నిర్వచనం

సరే, నిజం తెలుసుకోవాల్సిన సమయం వచ్చింది.

నిర్వచనం. $B$ మాతృకను $A$ మాత్రిక విలోమం అంటారు

విలోమ మాతృక $((A)^(-1))$తో సూచించబడుతుంది (డిగ్రీతో గందరగోళం చెందకూడదు!), కాబట్టి నిర్వచనాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

ప్రతిదీ చాలా సరళంగా మరియు స్పష్టంగా ఉన్నట్లు అనిపిస్తుంది. కానీ ఈ నిర్వచనాన్ని విశ్లేషించేటప్పుడు, అనేక ప్రశ్నలు వెంటనే తలెత్తుతాయి:

1. విలోమ మాతృక ఎల్లప్పుడూ ఉంటుందా? మరియు ఎల్లప్పుడూ కాకపోతే, అప్పుడు ఎలా గుర్తించాలి: అది ఎప్పుడు ఉంది మరియు ఎప్పుడు లేదు?
2. మరియు అటువంటి మాతృక ఖచ్చితంగా ఉందని ఎవరు చెప్పారు? కొన్ని ప్రారంభ మాతృక $A$ కోసం మొత్తం విలోమాలు ఉంటే ఏమి చేయాలి?
3. ఈ "రివర్స్" అన్నీ ఎలా కనిపిస్తాయి? మరియు ఎలా, ఖచ్చితంగా, మేము వాటిని లెక్కించాలి?

గణన అల్గోరిథంల విషయానికొస్తే, మేము దీని గురించి కొంచెం తరువాత మాట్లాడుతాము. కానీ మేము ఇప్పుడు మిగిలిన ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇస్తాము. వాటిని ప్రత్యేక స్టేట్‌మెంట్స్-లెమ్మాస్ రూపంలో రూపొందిద్దాం.

ప్రాథమిక లక్షణాలు

$A$ మాతృక, సూత్రప్రాయంగా, దాని కోసం $((A)^(-1)) $ ఎలా ఉండాలనే దానితో ప్రారంభిద్దాం. ఇప్పుడు మేము ఈ రెండు మాత్రికలు తప్పనిసరిగా చతురస్రాకారంలో ఉండాలని మరియు ఒకే పరిమాణంలో ఉండాలని నిర్ధారిస్తాము: $\left[ n\times n \right]$.

లెమ్మా 1. మాత్రిక $A$ మరియు దాని విలోమ $((A)^(-1))$ ఇవ్వబడింది. అప్పుడు ఈ రెండు మాత్రికలు చతురస్రాకారంలో ఉంటాయి మరియు అదే క్రమంలో $n$.

రుజువు. ఇది సులభం. మాత్రిక $A=\left[ m\times n \right]$, $(A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ని అనుమతించండి. ఉత్పత్తి $A\cdot ((A)^(-1))=E$ నిర్వచనం ప్రకారం ఉనికిలో ఉన్నందున, $A$ మరియు $(A)^(-1))$ మాత్రికలు చూపిన క్రమంలో స్థిరంగా ఉంటాయి:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( సమలేఖనం)\]

ఇది మాతృక గుణకార అల్గోరిథం యొక్క ప్రత్యక్ష పరిణామం: $n$ మరియు $a$ అనే గుణకాలు "ట్రాన్సిట్" మరియు తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండాలి.

అదే సమయంలో, విలోమ గుణకారం కూడా నిర్వచించబడింది: $((A)^(-1))\cdot A=E$, కాబట్టి మాత్రికలు $((A)^(-1))$ మరియు $A$ పేర్కొన్న క్రమంలో కూడా స్థిరంగా ఉంటుంది:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( సమలేఖనం)\]

అందువల్ల, సాధారణతను కోల్పోకుండా, మనం $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$ అని అనుకోవచ్చు. అయితే, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, మాత్రికల పరిమాణాలు ఖచ్చితంగా సమానంగా ఉంటాయి:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

కాబట్టి మొత్తం మూడు మాత్రికలు - $A$, $((A)^(-1))$ మరియు $E$ - పరిమాణం $\left[ n\times n \right]$ యొక్క చదరపు మాత్రికలు అని తేలింది. లెమ్మా నిరూపించబడింది.

బాగా, ఇది ఇప్పటికే మంచిది. చతురస్రాకార మాత్రికలు మాత్రమే విలోమంగా ఉన్నాయని మనం చూస్తాము. ఇప్పుడు విలోమ మాతృక ఎల్లప్పుడూ ఒకేలా ఉండేలా చూసుకుందాం.

లెమ్మా 2. మాత్రిక $A$ మరియు దాని విలోమ $((A)^(-1))$ ఇవ్వబడింది. అప్పుడు ఈ విలోమ మాతృక ఒక్కటే.

రుజువు. వైరుధ్యం ద్వారా వెళ్దాం: $A$ మాతృక కనీసం రెండు విలోమాలను కలిగి ఉండనివ్వండి - $B$ మరియు $C$. అప్పుడు, నిర్వచనం ప్రకారం, కింది సమానతలు నిజం:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

లెమ్మా 1 నుండి మేము మొత్తం నాలుగు మాత్రికలు - $A$, $B$, $C$ మరియు $E$ - ఒకే క్రమంలో ఉండే స్క్వేర్‌లు అని నిర్ధారించాము: $\left[ n\times n \right]$. అందువలన, ఉత్పత్తి నిర్వచించబడింది:

మాతృక గుణకారం అనుబంధం (కానీ కమ్యుటేటివ్ కాదు!), మేము వ్రాయవచ్చు:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మనకు సాధ్యమయ్యే ఏకైక ఎంపిక ఉంది: విలోమ మాతృక యొక్క రెండు కాపీలు సమానంగా ఉంటాయి. లెమ్మా నిరూపించబడింది.

పై ఆర్గ్యుమెంట్‌లు అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల $b\ne 0$ కోసం విలోమ మూలకం యొక్క ప్రత్యేకత యొక్క రుజువును దాదాపు పదజాలంగా పునరావృతం చేస్తాయి. మాత్రికల పరిమాణాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మాత్రమే ముఖ్యమైన జోడింపు.

అయినప్పటికీ, ప్రతి చదరపు మాతృక విలోమంగా ఉందా అనే దాని గురించి మాకు ఇంకా ఏమీ తెలియదు. ఇక్కడ డిటర్మినెంట్ మా సహాయానికి వస్తుంది - ఇది అన్ని చతురస్రాకార మాత్రికలకు కీలకమైన లక్షణం.

లెమ్మా 3. $A$ మాత్రిక ఇవ్వబడింది. దాని విలోమ మాతృక $((A)^(-1))$ ఉనికిలో ఉన్నట్లయితే, అసలు మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి నాన్జీరో:

\[\ఎడమ| ఎ\కుడి|\ne 0\]

రుజువు. $A$ మరియు $(A)^(-1))$ అనేది $\ఎడమ[ n\times n \right]$ పరిమాణం గల చదరపు మాత్రికలు అని మాకు ఇప్పటికే తెలుసు. కాబట్టి, వాటిలో ప్రతిదానికీ మనం డిటర్మినేట్‌ని లెక్కించవచ్చు: $\left| ఎ\కుడి|$ మరియు $\ఎడమ| ((A)^(-1)) \కుడి|$. అయితే, ఒక ఉత్పత్తి యొక్క నిర్ణయాధికారం నిర్ణయాధికారుల ఉత్పత్తికి సమానం:

\[\ఎడమ| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

కానీ నిర్వచనం ప్రకారం, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, మరియు $E$ యొక్క డిటర్మినేంట్ ఎల్లప్పుడూ 1కి సమానం, కాబట్టి

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \ ఎడమ| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \ ఎడమ| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఈ సంఖ్యలలో ప్రతి ఒక్కటి సున్నా కానట్లయితే మాత్రమే రెండు సంఖ్యల లబ్ధం ఒకదానికి సమానం:

\[\ఎడమ| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

కనుక ఇది $\left| ఒక \కుడి|\ne 0$. లెమ్మా నిరూపించబడింది.

నిజానికి, ఈ అవసరం చాలా తార్కికం. ఇప్పుడు మేము విలోమ మాతృకను కనుగొనే అల్గోరిథంను విశ్లేషిస్తాము - మరియు సున్నా నిర్ణాయకంతో, సూత్రప్రాయంగా విలోమ మాతృక ఎందుకు ఉండదని పూర్తిగా స్పష్టమవుతుంది.

అయితే మొదట, "సహాయక" నిర్వచనాన్ని రూపొందిద్దాం:

నిర్వచనం. ఏకవచన మాత్రిక అనేది $\left[ n\times n \right]$ పరిమాణం గల చదరపు మాతృక, దీని నిర్ణయాధికారి సున్నా.

అందువల్ల, ప్రతి ఇన్వర్టబుల్ మాతృక ఏకవచనం కానిదని మేము క్లెయిమ్ చేయవచ్చు.

మాతృక యొక్క విలోమాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

ఇప్పుడు మనం విలోమ మాత్రికలను కనుగొనడానికి సార్వత్రిక అల్గోరిథంను పరిశీలిస్తాము. సాధారణంగా, సాధారణంగా ఆమోదించబడిన రెండు అల్గోరిథంలు ఉన్నాయి మరియు మేము ఈ రోజు రెండవదాన్ని కూడా పరిశీలిస్తాము.

ఇప్పుడు చర్చించబడేది $\left[ 2\times 2 \right]$ మరియు - పాక్షికంగా - $\left[ 3\times 3 \right]$ మాత్రికల కోసం చాలా ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది. కానీ $\left[ 4\times 4 \right]$ సైజు నుండి ప్రారంభించి దానిని ఉపయోగించకపోవడమే మంచిది. ఎందుకు - ఇప్పుడు మీరు ప్రతిదీ మీరే అర్థం చేసుకుంటారు.

బీజగణిత చేర్పులు

సిద్దంగా ఉండండి. ఇప్పుడు నొప్పి ఉంటుంది. లేదు, చింతించకండి: స్కర్ట్‌లో అందమైన నర్సు, లేస్‌తో కూడిన మేజోళ్ళు మీ వద్దకు రావు మరియు పిరుదులలో మీకు ఇంజెక్షన్ ఇవ్వవు. ప్రతిదీ చాలా ప్రాసంగికంగా ఉంది: బీజగణిత జోడింపులు మరియు హర్ మెజెస్టి "యూనియన్ మ్యాట్రిక్స్" మీకు వస్తాయి.

ప్రధాన విషయంతో ప్రారంభిద్దాం. $A=\left[ n\times n \right]$ పరిమాణం గల చదరపు మాతృక ఉండనివ్వండి, దీని మూలకాలు $((a)_(ij))$ అని పిలువబడతాయి. అటువంటి ప్రతి మూలకానికి మనం బీజగణిత పూరకాన్ని నిర్వచించవచ్చు:

నిర్వచనం. బీజగణితం పూరక $((A)_(ij))$ మూలకం $((a)_(ij))$కి $i$వ అడ్డు వరుస మరియు $j$వ నిలువు వరుస $A=\ఎడమ[ n \times n \right]$ అనేది ఫారమ్ యొక్క నిర్మాణం

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

ఇక్కడ $M_(ij)^(*)$ అనేది అదే $i$వ అడ్డు వరుస మరియు $j$వ నిలువు వరుసను తొలగించడం ద్వారా అసలు $A$ నుండి పొందిన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి.

మళ్ళీ. $\left(i;j \right)$ అక్షాంశాలతో కూడిన మాతృక మూలకం యొక్క బీజగణితం $(A)_(ij))$గా సూచించబడుతుంది మరియు పథకం ప్రకారం గణించబడుతుంది:

1. ముందుగా, మేము ఒరిజినల్ మ్యాట్రిక్స్ నుండి $i$-వరుస మరియు $j$-వ నిలువు వరుసను తొలగిస్తాము. మేము కొత్త స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్‌ని పొందుతాము మరియు మేము దాని డిటర్మినేంట్‌ని $M_(ij)^(*)$గా సూచిస్తాము.
2. అప్పుడు మనం ఈ డిటర్‌మినేంట్‌ని $((\left(-1 \right))^(i+j))$తో గుణిస్తాము - మొదట ఈ వ్యక్తీకరణ మనసుకు హత్తుకునేలా అనిపించవచ్చు, కానీ సారాంశంలో మనం దాని ముందు ఉన్న గుర్తును గుర్తించాము. $M_(ij)^(*) $.
3. మేము లెక్కించి నిర్దిష్ట సంఖ్యను పొందుతాము. ఆ. బీజగణిత సంకలనం ఖచ్చితంగా ఒక సంఖ్య, మరియు కొన్ని కొత్త మాతృక, మొదలైనవి కాదు.

మాతృక $M_(ij)^(*)$ దానినే మూలకం $((a)_(ij))$కి అదనపు మైనర్ అంటారు. మరియు ఈ కోణంలో, బీజగణిత కాంప్లిమెంట్ యొక్క పై నిర్వచనం మరింత సంక్లిష్టమైన నిర్వచనం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం - మేము డిటర్మినెంట్ గురించి పాఠంలో చూసాము.

ముఖ్య గమనిక. వాస్తవానికి, "వయోజన" గణితంలో, బీజగణిత చేర్పులు ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచించబడ్డాయి:

1. మేము చదరపు మాతృకలో $k$ అడ్డు వరుసలు మరియు $k$ నిలువు వరుసలను తీసుకుంటాము. వాటి ఖండన వద్ద మేము $\left[ k\times k \right]$ పరిమాణం యొక్క మాతృకను పొందుతాము - దాని నిర్ణయాన్ని $k$ యొక్క మైనర్ అని పిలుస్తారు మరియు $((M)_(k))$ అని సూచించబడుతుంది.
2. అప్పుడు మేము ఈ "ఎంచుకున్న" $k$ అడ్డు వరుసలు మరియు $k$ నిలువు వరుసలను దాటుతాము. మరోసారి మీరు స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్‌ని పొందుతారు - దాని డిటర్‌మినేంట్‌ని అదనపు మైనర్ అని పిలుస్తారు మరియు $M_(k)^(*)$ అని సూచిస్తారు.
3. $M_(k)^(*)$ని $(\ఎడమ(-1 \కుడి))^(t))$తో గుణించండి, ఇక్కడ $t$ అంటే (ఇప్పుడే శ్రద్ధ వహించండి!) ఎంచుకున్న అన్ని అడ్డు వరుసల సంఖ్యల మొత్తాన్ని మరియు నిలువు వరుసలు. ఇది బీజగణిత జోడింపు అవుతుంది.

మూడవ దశను చూడండి: వాస్తవానికి $2k$ నిబంధనల మొత్తం ఉంది! మరో విషయం ఏమిటంటే $k=1$కి మనకు 2 నిబంధనలు మాత్రమే లభిస్తాయి - ఇవి ఒకే $i+j$గా ఉంటాయి - మనం ఉన్న మూలకం $((a)_(ij))$ యొక్క “కోఆర్డినేట్‌లు” బీజగణిత పూరక కోసం వెతుకుతోంది.

కాబట్టి ఈ రోజు మనం కొద్దిగా సరళీకృత నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తున్నాము. కానీ మేము తరువాత చూస్తాము, ఇది తగినంత కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. కింది విషయం చాలా ముఖ్యమైనది:

నిర్వచనం. అనుబంధ మాతృక $S$ నుండి స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ $A=\left[ n\times n \right]$ పరిమాణం $\left[ n\times n \right]$, ఇది $A$ నుండి పొందబడిన కొత్త మాతృక. బీజగణిత చేర్పుల ద్వారా $((a)_(ij))$ని భర్తీ చేయడం ద్వారా $((A)_(ij))$:

\\రైట్‌టారో S=\ఎడమ[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ ((( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\ end(matrix) \right]\]

ఈ నిర్వచనాన్ని గ్రహించిన క్షణంలో తలెత్తే మొదటి ఆలోచన “ఎంత లెక్కించాలి!” విశ్రాంతి తీసుకోండి: మీరు లెక్కించవలసి ఉంటుంది, కానీ అంత కాదు. :)

సరే, ఇదంతా చాలా బాగుంది, అయితే ఇది ఎందుకు అవసరం? కానీ ఎందుకు.

ప్రధాన సిద్ధాంతం

కొంచెం వెనక్కి వెళ్దాం. గుర్తుంచుకోండి, లెమ్మా 3లో $A$ విలోమ మాతృక ఎల్లప్పుడూ ఏకవచనం కాదని పేర్కొనబడింది (అంటే, దాని డిటర్మినేంట్ సున్నా కాదు: $\left| A \right|\ne 0$).

కాబట్టి, వ్యతిరేకం కూడా నిజం: $A$ మాతృక ఏకవచనం కానట్లయితే, అది ఎల్లప్పుడూ విలోమంగా ఉంటుంది. మరియు $((A)^(-1))$ కోసం శోధన పథకం కూడా ఉంది. దీన్ని తనిఖీ చేయండి:

విలోమ మాతృక సిద్ధాంతం. స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ $A=\left[ n\times n \right]$ ఇవ్వబడనివ్వండి మరియు దాని డిటర్మినేంట్ నాన్ జీరో: $\left| ఒక \కుడి|\ne 0$. అప్పుడు విలోమ మాతృక $((A)^(-1))$ ఉంది మరియు ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

మరియు ఇప్పుడు - ప్రతిదీ ఒకేలా ఉంది, కానీ స్పష్టమైన చేతివ్రాతలో. విలోమ మాతృకను కనుగొనడానికి, మీకు ఇది అవసరం:

1. డిటర్మినెంట్ $\ఎడమ| A \right|$ మరియు అది సున్నా కాదని నిర్ధారించుకోండి.
2. యూనియన్ మ్యాట్రిక్స్ $S$ని నిర్మించండి, అనగా. 100500 బీజగణిత జోడింపులను $((A)_(ij))$ లెక్కించి $((a)_(ij))$ స్థానంలో ఉంచండి.
3. ఈ మాతృక $S$ని మార్చండి, ఆపై దాన్ని $q=(1)/(\left| A \right|)\;$తో గుణించండి.

అంతే! విలోమ మాతృక $((A)^(-1))$ కనుగొనబడింది. ఉదాహరణలను చూద్దాం:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ end(matrix) \right]\]

పరిష్కారం. రివర్సిబిలిటీని తనిఖీ చేద్దాం. నిర్ణాయకాన్ని గణిద్దాం:

\[\ఎడమ| ఎ\కుడి|=\ఎడమ| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

డిటర్మినెంట్ సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. దీని అర్థం మాతృక విలోమమైనది. యూనియన్ మ్యాట్రిక్స్‌ని క్రియేట్ చేద్దాం:

బీజగణిత జోడింపులను గణిద్దాం:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \ right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \కుడి|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \కుడి|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\కుడి|=3. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

దయచేసి గమనించండి: నిర్ణాయకాలు |2|, |5|, |1| మరియు |3| పరిమాణం $\left[ 1\times 1 \right]$ యొక్క మాత్రికల నిర్ణాయకాలు, మరియు మాడ్యూల్స్ కాదు. ఆ. నిర్ణాయకాలలో ప్రతికూల సంఖ్యలు ఉన్నట్లయితే, "మైనస్" ను తీసివేయవలసిన అవసరం లేదు.

మొత్తంగా, మా యూనియన్ మ్యాట్రిక్స్ ఇలా కనిపిస్తుంది:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (శ్రేణి)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ end(array) \right]\]

సరే ఇప్పుడు అంతా అయిపోయింది. సమస్య పరిష్కారమైంది.

సమాధానం. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ end(array) \right]$

టాస్క్. విలోమ మాతృకను కనుగొనండి:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right] \]

పరిష్కారం. మేము డిటర్మినెంట్‌ను మళ్లీ లెక్కిస్తాము:

\[\ప్రారంభం(సమలేఖనం) & \ఎడమ| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\ఎడమ (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\ end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

డిటర్మినేంట్ నాన్ జీరో-మాతృక విలోమమైనది. కానీ ఇప్పుడు ఇది చాలా కఠినంగా ఉంటుంది: మేము 9 (తొమ్మిది, మదర్‌ఫకర్!) బీజగణిత జోడింపులను లెక్కించాలి. మరియు వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి $\left[ 2\times 2 \right]$ని నిర్ధారిస్తుంది. ఎగిరింది:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\ end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ end(matrix) \right|=2; \\ \ఎండ్(మ్యాట్రిక్స్)\]

సంక్షిప్తంగా, యూనియన్ మ్యాట్రిక్స్ ఇలా ఉంటుంది:

కాబట్టి, విలోమ మాతృక ఉంటుంది:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ ముగింపు(మ్యాట్రిక్స్) \right]=\ఎడమ[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \కుడి]\]

అంతే. ఇక్కడ సమాధానం ఉంది.

సమాధానం. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\ end(array) \right ]$

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ప్రతి ఉదాహరణ చివరిలో మేము ఒక చెక్ చేసాము. ఈ విషయంలో, ఒక ముఖ్యమైన గమనిక:

తనిఖీ చేయడానికి సోమరితనం చేయవద్దు. దొరికిన విలోమ మాత్రికతో అసలైన మాతృకను గుణించండి - మీరు $E$ పొందాలి.

ఉదాహరణకు, మీరు మ్యాట్రిక్స్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు తదుపరి గణనలలో లోపం కోసం వెతకడం కంటే ఈ తనిఖీని చేయడం చాలా సులభం మరియు వేగంగా ఉంటుంది.

ప్రత్యామ్నాయ మార్గం

నేను చెప్పినట్లుగా, విలోమ మాతృక సిద్ధాంతం $\left[ 2\times 2 \right]$ మరియు $\left[ 3\times 3 \right]$ పరిమాణాలకు బాగా పని చేస్తుంది (తరువాతి సందర్భంలో, ఇది అంత "గొప్పది" కాదు " ), కానీ పెద్ద మాత్రికలకు విచారం ప్రారంభమవుతుంది.

కానీ చింతించకండి: ప్రత్యామ్నాయ అల్గోరిథం ఉంది, దీనితో మీరు మాతృక $\left[ 10\times 10 \right]$కి కూడా విలోమాన్ని ప్రశాంతంగా కనుగొనవచ్చు. కానీ, తరచుగా జరిగే విధంగా, ఈ అల్గోరిథంను పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి మనకు కొద్దిగా సైద్ధాంతిక నేపథ్యం అవసరం.

ప్రాథమిక రూపాంతరాలు

సాధ్యమయ్యే అన్ని మాతృక పరివర్తనలలో, అనేక ప్రత్యేకతలు ఉన్నాయి - వాటిని ప్రాథమికంగా పిలుస్తారు. సరిగ్గా మూడు అటువంటి పరివర్తనలు ఉన్నాయి:

1. గుణకారం. మీరు $i$వ అడ్డు వరుసను (నిలువు వరుస) తీసుకొని దానిని ఏదైనా $k\ne 0$తో గుణించవచ్చు;
2. అదనంగా. $i$-వ అడ్డు వరుస (నిలువు వరుస)కి ఏదైనా $j$-వ అడ్డు వరుస (నిలువు వరుస) జోడించండి, ఏదైనా $k\ne 0$తో గుణిస్తే (మీరు $k=0$ చేయవచ్చు, కానీ ఏమిటి పాయింట్? ? ఏమీ మారదు).
3. పునర్వ్యవస్థీకరణ. $i$th మరియు $j$వ అడ్డు వరుసలను (నిలువు వరుసలు) తీసుకొని స్థలాలను మార్చుకోండి.

ఈ పరివర్తనలను ప్రాథమికంగా ఎందుకు పిలుస్తారు (పెద్ద మాత్రికల కోసం అవి అంత ప్రాథమికంగా కనిపించవు) మరియు వాటిలో మూడు మాత్రమే ఎందుకు ఉన్నాయి - ఈ ప్రశ్నలు నేటి పాఠం యొక్క పరిధికి మించినవి. అందువల్ల, మేము వివరాలలోకి వెళ్ళము.

మరొక విషయం ముఖ్యమైనది: మేము ఈ అన్ని వక్రీకరణలను ప్రక్కనే ఉన్న మాతృకలో ప్రదర్శించాలి. అవును, అవును: మీరు విన్నది నిజమే. ఇప్పుడు మరొక నిర్వచనం ఉంటుంది - నేటి పాఠంలో చివరిది.

అనుబంధ మాతృక

ఖచ్చితంగా పాఠశాలలో మీరు అదనపు పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించారు. సరే, అక్కడ, ఒక పంక్తి నుండి మరొకదాన్ని తీసివేయండి, కొంత పంక్తిని సంఖ్యతో గుణించండి - అంతే.

కాబట్టి: ఇప్పుడు ప్రతిదీ ఒకేలా ఉంటుంది, కానీ "వయోజన" మార్గంలో. సిద్ధంగా ఉన్నారా?

నిర్వచనం. $A=\left[ n\times n \right]$ మాత్రిక మరియు అదే పరిమాణం $n$ యొక్క గుర్తింపు మాతృక $E$ ఇవ్వబడనివ్వండి. అప్పుడు అనుబంధ మాతృక $\left[ A\left| ఇ\ కుడి. \right]$ అనేది $\left[ n\times 2n \right]$ యొక్క కొత్త మ్యాట్రిక్స్ ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

\[\left[ A\left| ఇ\ కుడి. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ end(array) \right]\]

సంక్షిప్తంగా, మేము $A$ మాతృకను తీసుకుంటాము, కుడివైపున మేము దానికి అవసరమైన పరిమాణంలో గుర్తింపు మాతృక $E$ని కేటాయిస్తాము, మేము వాటిని అందం కోసం నిలువు పట్టీతో వేరు చేస్తాము - ఇక్కడ మీకు అనుబంధం ఉంది. :)

క్యాచ్ ఏమిటి? ఇక్కడ ఏమి ఉంది:

సిద్ధాంతం. $A$ మాతృక విలోమంగా ఉండనివ్వండి. అనుబంధ మాతృక $\left[ A\left|ని పరిగణించండి ఇ\ కుడి. \right]$. ఉపయోగిస్తుంటే ప్రాథమిక స్ట్రింగ్ మార్పిడులుదానిని $\left[ E\left| ఫారమ్‌కి తీసుకురండి బి\ కుడి. \right]$, అనగా. కుడివైపున ఉన్న $E$ మాతృకను $A$ నుండి పొందేందుకు అడ్డు వరుసలను గుణించడం, తీసివేయడం మరియు పునర్వ్యవస్థీకరించడం ద్వారా, ఎడమవైపున పొందిన $B$ మాతృక $A$కి విలోమం అవుతుంది:

\[\left[ A\left| ఇ\ కుడి. \right]\ నుండి \ఎడమ[ E\left| బి\ కుడి. \right]\రైట్‌టారో B=((A)^(-1))\]

ఇది చాలా సులభం! సంక్షిప్తంగా, విలోమ మాతృకను కనుగొనే అల్గోరిథం ఇలా కనిపిస్తుంది:

1. అనుబంధ మాతృక $\left[ A\left|ని వ్రాయండి ఇ\ కుడి. \కుడి]$;
2. $A$కి బదులుగా $E$ కనిపించే వరకు ప్రాథమిక స్ట్రింగ్ మార్పిడులను నిర్వహించండి;
3. వాస్తవానికి, ఎడమ వైపున కూడా ఏదో కనిపిస్తుంది - ఒక నిర్దిష్ట మాతృక $B$. ఇది విరుద్ధంగా ఉంటుంది;
4. లాభం! :)

వాస్తవానికి, ఇది పూర్తి చేయడం కంటే చాలా సులభం. కాబట్టి రెండు ఉదాహరణలను చూద్దాం: $\left[ 3\times 3 \right]$ మరియు $\left[ 4\times 4 \right]$ పరిమాణాల కోసం.

టాస్క్. విలోమ మాతృకను కనుగొనండి:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ end(array) \right]\ ]

పరిష్కారం. మేము అనుబంధ మాతృకను సృష్టిస్తాము:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \కుడి]\]

అసలు మాతృక యొక్క చివరి నిలువు వరుస వాటిని నింపినందున, మిగిలిన వాటి నుండి మొదటి అడ్డు వరుసను తీసివేయండి:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \కుడి]\ ప్రారంభం(మ్యాట్రిక్స్) \\\\ -1 \\ -1 \\\ ముగింపు(మ్యాట్రిక్స్)\ నుండి \\ & \ \ ఎడమకు [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \ కుడి] \\ \ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మొదటి పంక్తి మినహా ఎక్కువ యూనిట్లు లేవు. కానీ మేము దానిని తాకము, లేకుంటే కొత్తగా తొలగించబడిన యూనిట్లు మూడవ నిలువు వరుసలో "గుణించడం" ప్రారంభమవుతుంది.

కానీ మనం రెండవ పంక్తిని చివరి నుండి రెండుసార్లు తీసివేయవచ్చు - దిగువ ఎడమ మూలలో మనకు ఒకటి లభిస్తుంది:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \ కుడి]\ ప్రారంభం(మ్యాట్రిక్స్) \ \\ \ downarrow \\ -2 \\\ end(matrix)\ to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \ కుడి] \\ \ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇప్పుడు మనం చివరి అడ్డు వరుసను మొదటి నుండి మరియు రెండవది నుండి రెండుసార్లు తీసివేయవచ్చు - ఈ విధంగా మనం మొదటి నిలువు వరుసను "సున్నా" చేస్తాము:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \ కుడి]\ ప్రారంభం(మ్యాట్రిక్స్) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\ end(matrix)\ to \\ & \ \ ఎడమకు[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \ right] \\ \ end(align)\]

రెండవ పంక్తిని −1తో గుణించండి, ఆపై దానిని మొదటి నుండి 6 సార్లు తీసివేసి, చివరిదానికి 1 సారి జోడించండి:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \ కుడి]\ ప్రారంభం(మ్యాట్రిక్స్) \ \\ \ ఎడమ| \cdot \ఎడమ(-1 \కుడి) \కుడి. \\ \ \\\ end(matrix)\ to \\ & \ to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\ end (మాతృక)\ నుండి \\ & \ \ ఎడమకు[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \ right] \\ \ end(align)\]

1 మరియు 3 పంక్తులను మార్చుకోవడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \కుడి]\]

సిద్ధంగా ఉంది! కుడివైపున అవసరమైన విలోమ మాతృక ఉంది.

సమాధానం. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\ end(array) \right ]$

టాస్క్. విలోమ మాతృకను కనుగొనండి:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\ ముగింపు(మ్యాట్రిక్స్) \కుడి]\]

పరిష్కారం. మేము మళ్ళీ అనుబంధాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \right]\]

కాస్త ఏడ్చేద్దాం, ఇప్పుడు ఎంత లెక్కపెట్టాలి అని బాధపడి... లెక్కపెట్టడం మొదలుపెట్టా. ముందుగా, అడ్డు వరుసలు 2 మరియు 3 నుండి అడ్డు వరుస 1ని తీసివేయడం ద్వారా మొదటి నిలువు వరుసను "సున్నా" చేద్దాం:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\ end(matrix)\ to \\ & \ to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \ right] \\ \ end(align)\]

మేము 2-4 పంక్తులలో చాలా "కాన్స్" చూస్తాము. మూడు అడ్డు వరుసలను −1తో గుణించి, ఆపై 3వ వరుసను మిగిలిన వాటి నుండి తీసివేయడం ద్వారా మూడవ నిలువు వరుసను బర్న్ చేయండి:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \ఎడమ(-1 \కుడి) \కుడి. \\ \ఎడమ| \cdot \ఎడమ(-1 \కుడి) \కుడి. \\ \ఎడమ| \cdot \ఎడమ(-1 \కుడి) \కుడి. \\\ ముగింపు(మ్యాట్రిక్స్)\ నుండి \\ & \\ ఎడమకు[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (శ్రేణి) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\ end(matrix)\ to \\ & \ to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \ right] \\ \ end(align)\]

అసలైన మాతృక యొక్క చివరి నిలువు వరుసను "వేయించడానికి" ఇప్పుడు సమయం ఆసన్నమైంది: మిగిలిన వాటి నుండి 4వ వరుసను తీసివేయండి:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\ end(matrix)\ to \\ & \ to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \right] \\ \ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

చివరి త్రో: పంక్తులు 1 మరియు 3 నుండి లైన్ 2 తీసివేయడం ద్వారా రెండవ నిలువు వరుసను "బర్న్ అవుట్" చేయండి:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ ముగింపు( అర్రే) \right]\begin(matrix) 6 \\ \ updownarrow \\ -5 \\ \ \\\ end(matrix)\ to \\ & \ to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ ముగింపు(శ్రేణి) \ right] \\ \ end(align)\]

మరలా గుర్తింపు మాతృక ఎడమ వైపున ఉంది, అంటే విలోమం కుడి వైపున ఉంటుంది. :)

సమాధానం. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ ముగింపు(మ్యాట్రిక్స్) \right]$

అనేక లక్షణాలలో విలోమం వలె ఉంటుంది.

ఎన్సైక్లోపెడిక్ YouTube

1 / 5

✪ మాతృక యొక్క విలోమాన్ని ఎలా కనుగొనాలి - bezbotvy

✪ విలోమ మాతృక (కనుగొనడానికి 2 మార్గాలు)

✪ విలోమ మాతృక #1

✪ 2015-01-28. విలోమ 3x3 మాతృక

✪ 2015-01-27. విలోమ మాతృక 2x2

ఉపశీర్షికలు

విలోమ మాతృక యొక్క లక్షణాలు

• det A − 1 = 1 det A (\డిస్ప్లేస్టైల్ \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), ఎక్కడ det (\డిస్ప్లేస్టైల్ \\det)నిర్ణాయకమును సూచిస్తుంది.
• (A B) − 1 = B - 1 A - 1 (\ displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))రెండు చతురస్రాకార ఇన్వర్టబుల్ మాత్రికల కోసం A (\డిస్ప్లేస్టైల్ A)మరియు B (\డిస్ప్లేస్టైల్ B).
• (A T) − 1 = (A - 1) T (\డిస్ప్లేస్టైల్ \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), ఎక్కడ (. .) T (\డిస్ప్లేస్టైల్ (...)^(T))బదిలీ చేయబడిన మాతృకను సూచిస్తుంది.
• (k A) - 1 = k - 1 A - 1 (\ displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))ఏదైనా గుణకం కోసం k ≠ 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ k\not =0).
• E - 1 = E (\ డిస్ప్లేస్టైల్ \E^(-1)=E).
• సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంటే, (b అనేది సున్నా కాని వెక్టర్) ఎక్కడ x (\డిస్ప్లేస్టైల్ x)కావలసిన వెక్టర్, మరియు ఉంటే A − 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ A^(-1))ఉనికిలో ఉంది, అప్పుడు x = A - 1 b (\ displaystyle x=A^(-1)b). లేకపోతే, పరిష్కార స్థలం యొక్క పరిమాణం సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది లేదా పరిష్కారాలు ఏవీ లేవు.

విలోమ మాతృకను కనుగొనే పద్ధతులు

మాతృక విలోమంగా ఉంటే, విలోమ మాతృకను కనుగొనడానికి మీరు క్రింది పద్ధతుల్లో ఒకదాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

ఖచ్చితమైన (ప్రత్యక్ష) పద్ధతులు

గాస్-జోర్డాన్ పద్ధతి

రెండు మాత్రికలను తీసుకుందాం: ది ఎమరియు సింగిల్ ఇ. మాతృకను ప్రజెంట్ చేద్దాం ఎగౌస్-జోర్డాన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి గుర్తింపు మాతృకకు, అడ్డు వరుసల వెంట పరివర్తనలను వర్తింపజేయడం (మీరు నిలువు వరుసల వెంట పరివర్తనలను కూడా వర్తింపజేయవచ్చు, కానీ పరస్పరం కాదు). మొదటి మ్యాట్రిక్స్‌కు ప్రతి ఆపరేషన్‌ను వర్తింపజేసిన తర్వాత, అదే ఆపరేషన్‌ను రెండవదానికి వర్తింపజేయండి. మొదటి మాత్రికను యూనిట్ ఫారమ్‌కి తగ్గించడం పూర్తయినప్పుడు, రెండవ మాత్రిక సమానంగా ఉంటుంది A−1.

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, మొదటి మాతృక ఎడమవైపున ప్రాథమిక మాత్రికలలో ఒకదానితో గుణించబడుతుంది Λ i (\ displaystyle \Lambda _(i))(ఒక స్థానం మినహా, ప్రధాన వికర్ణంలో యూనిట్లతో బదిలీ లేదా వికర్ణ మాతృక):

అన్ని కార్యకలాపాలను వర్తింపజేసిన తర్వాత రెండవ మాతృక సమానంగా ఉంటుంది Λ (\డిస్ప్లేస్టైల్ \లాంబ్డా), అంటే, అది కోరుకున్నది అవుతుంది. అల్గోరిథం సంక్లిష్టత - O (n 3) (\డిస్ప్లేస్టైల్ O(n^(3))).

బీజగణిత పూరక మాతృకను ఉపయోగించడం

మాతృక యొక్క మాతృక విలోమం A (\డిస్ప్లేస్టైల్ A), రూపంలో సూచించవచ్చు

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

ఎక్కడ adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- అనుబంధ మాతృక;

అల్గోరిథం యొక్క సంక్లిష్టత నిర్ణాయక O detని లెక్కించడానికి అల్గోరిథం యొక్క సంక్లిష్టతపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు O(n²)·O detకి సమానం.

LU/LUP డికంపోజిషన్ ఉపయోగించి

మాతృక సమీకరణం A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))విలోమ మాతృక కోసం X (\డిస్ప్లేస్టైల్ X)సేకరణగా పరిగణించవచ్చు n (\ displaystyle n)రూపం యొక్క వ్యవస్థలు A x = b (\displaystyle Ax=b). సూచిస్తాం i (\డిస్ప్లేస్టైల్ i)మాతృక యొక్క నిలువు వరుస X (\డిస్ప్లేస్టైల్ X)ద్వారా X i (\డిస్ప్లేస్టైల్ X_(i)); అప్పుడు A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\ displaystyle i=1,\ldots ,n),ఎందుకంటే i (\డిస్ప్లేస్టైల్ i)మాతృక యొక్క నిలువు వరుస I n (\ displaystyle I_(n))యూనిట్ వెక్టర్ e i (\డిస్ప్లేస్టైల్ e_(i)). మరో మాటలో చెప్పాలంటే, విలోమ మాతృకను కనుగొనడం అనేది అదే మాతృక మరియు విభిన్న కుడి-భుజాలతో n సమీకరణాలను పరిష్కరించడం వరకు వస్తుంది. LUP కుళ్ళిపోవటం (O(n³) సమయం) చేసిన తర్వాత, ప్రతి n సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి O(n²) సమయం పడుతుంది, కాబట్టి పని యొక్క ఈ భాగానికి O(n³) సమయం కూడా అవసరం.

మాతృక A ఏకవచనం కానిది అయితే, దాని కోసం LUP కుళ్ళిపోవడాన్ని లెక్కించవచ్చు P A = L U (\displaystyle PA=LU). వీలు P A = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\డిస్ప్లేస్టైల్ B^(-1)=D). అప్పుడు విలోమ మాతృక యొక్క లక్షణాల నుండి మనం వ్రాయవచ్చు: D = U - 1 L - 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ D=U^(-1)L^(-1)). మీరు ఈ సమానత్వాన్ని U మరియు L ద్వారా గుణిస్తే, మీరు ఫారమ్ యొక్క రెండు సమానత్వాన్ని పొందవచ్చు U D = L - 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ UD=L^(-1))మరియు D L = U - 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ DL=U^(-1)). ఈ సమానత్వాలలో మొదటిది n² సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ n (n + 1) 2 (\ప్రదర్శన శైలి (\frac (n(n+1))(2)))దీని నుండి కుడి-భుజాలు తెలిసినవి (త్రిభుజాకార మాత్రికల లక్షణాల నుండి). రెండవది n² సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను కూడా సూచిస్తుంది n (n - 1) 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\frac (n(n-1))(2)))దీని నుండి కుడి-భుజాలు తెలిసినవి (త్రిభుజాకార మాత్రికల లక్షణాల నుండి కూడా). అవి కలిసి n² సమానత్వ వ్యవస్థను సూచిస్తాయి. ఈ సమానతలను ఉపయోగించి, మేము మాతృక D యొక్క అన్ని n² మూలకాలను పునరావృతంగా గుర్తించవచ్చు. తర్వాత సమానత్వం (PA) −1 = A -1 P -1 = B -1 = D. మేము సమానత్వాన్ని పొందుతాము. A - 1 = D P (\ displaystyle A^(-1)=DP).

LU కుళ్ళిపోవడాన్ని ఉపయోగించే సందర్భంలో, మాతృక D యొక్క నిలువు వరుసల ప్రస్తారణ అవసరం లేదు, కానీ మాతృక A అసంపూర్ణమైనప్పటికీ పరిష్కారం వేరుగా ఉండవచ్చు.

అల్గోరిథం యొక్క సంక్లిష్టత O(n³).

పునరావృత పద్ధతులు

షుల్ట్జ్ పద్ధతులు

( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\ displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

లోపం అంచనా

ప్రారంభ ఉజ్జాయింపును ఎంచుకోవడం

ఇక్కడ పరిగణించబడిన పునరుక్తి మాతృక విలోమ ప్రక్రియలలో ప్రారంభ ఉజ్జాయింపును ఎంచుకునే సమస్య వాటిని స్వతంత్ర సార్వత్రిక పద్ధతులుగా పరిగణించడానికి అనుమతించదు, అవి ప్రత్యక్ష విలోమ పద్ధతులతో పోటీపడతాయి, ఉదాహరణకు, మాత్రికల LU కుళ్ళిపోవడంపై. ఎంచుకోవడానికి కొన్ని సిఫార్సులు ఉన్నాయి U 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ U_(0)), షరతు యొక్క నెరవేర్పును నిర్ధారిస్తుంది ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (మాతృక యొక్క స్పెక్ట్రల్ వ్యాసార్థం ఐక్యత కంటే తక్కువగా ఉంటుంది), ఇది ప్రక్రియ యొక్క కలయికకు అవసరమైనది మరియు సరిపోతుంది. అయితే, ఈ సందర్భంలో, మొదటగా, విలోమ మాతృక A లేదా మాతృక యొక్క స్పెక్ట్రం యొక్క అంచనా పైన నుండి తెలుసుకోవడం అవసరం A A T (\డిస్ప్లేస్టైల్ AA^(T))(అవి, A అనేది సుష్ట ధనాత్మక నిర్దిష్ట మాతృక అయితే మరియు ρ (A) ≤ β (\డిస్ప్లేస్టైల్ \rho (A)\leq \beta ), అప్పుడు మీరు తీసుకోవచ్చు U 0 = α E (\డిస్ప్లేస్టైల్ U_(0)=(\alpha )E), ఎక్కడ ; A అనేది ఏకవచనం కాని మాతృక అయితే మరియు ρ (A A T) ≤ β (\డిస్ప్లేస్టైల్ \rho (AA^(T))\leq \beta ), అప్పుడు వారు నమ్ముతారు U 0 = α A T (\ displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), ఎక్కడ కూడా α ∈ (0 , 2 β) (\డిస్ప్లేస్టైల్ \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\కుడి)); మీరు, వాస్తవానికి, పరిస్థితిని సులభతరం చేయవచ్చు మరియు వాస్తవం యొక్క ప్రయోజనాన్ని పొందవచ్చు ρ (A A T) ≤ k A A T k (\డిస్ప్లేస్టైల్ \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), చాలు U 0 = A T‖ A A T‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))) రెండవది, ఈ విధంగా ప్రారంభ మాతృకను పేర్కొన్నప్పుడు, దానికి ఎటువంటి హామీ లేదు ‖ Ψ 0 ‖ (\డిస్ప్లేస్టైల్ \|\Psi _(0)\|)చిన్నదిగా ఉంటుంది (బహుశా అది కూడా అవుతుంది ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ \|\Psi _(0)\|>1)), మరియు కన్వర్జెన్స్ రేటు యొక్క అధిక క్రమం వెంటనే బహిర్గతం చేయబడదు.

ఉదాహరణలు

మాతృక 2x2

2x2 మాతృక యొక్క విలోమం షరతు ప్రకారం మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

A*A -1 = E అయితే మాతృక Aకి సంబంధించి మ్యాట్రిక్స్ A -1ని విలోమ మాతృక అంటారు, ఇక్కడ E అనేది nవ క్రమం యొక్క గుర్తింపు మాతృక. విలోమ మాతృక చతురస్రాకార మాత్రికలకు మాత్రమే ఉంటుంది.

సేవ యొక్క ఉద్దేశ్యం. ఈ సేవను ఆన్‌లైన్‌లో ఉపయోగించడం ద్వారా మీరు బీజగణిత పూరకాలను, ట్రాన్స్‌పోజ్డ్ మ్యాట్రిక్స్ A T, అనుబంధ మాత్రిక మరియు విలోమ మాతృకలను కనుగొనవచ్చు. నిర్ణయం నేరుగా వెబ్‌సైట్‌లో (ఆన్‌లైన్) నిర్వహించబడుతుంది మరియు ఉచితం. గణన ఫలితాలు వర్డ్ మరియు ఎక్సెల్ ఫార్మాట్‌లో నివేదికలో ప్రదర్శించబడతాయి (అనగా, పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయడం సాధ్యపడుతుంది). డిజైన్ ఉదాహరణ చూడండి.

సూచనలు. పరిష్కారాన్ని పొందడానికి, మాతృక యొక్క పరిమాణాన్ని పేర్కొనడం అవసరం. తర్వాత, కొత్త డైలాగ్ బాక్స్‌లో మ్యాట్రిక్స్ A నింపండి.

జోర్డానో-గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి విలోమ మాతృక కూడా చూడండి

విలోమ మాతృకను కనుగొనే అల్గోరిథం

1. ట్రాన్స్‌పోజ్డ్ మ్యాట్రిక్స్ A Tని కనుగొనడం.
2. బీజగణిత పూరకాల నిర్వచనం. మాతృకలోని ప్రతి మూలకాన్ని దాని బీజగణిత పూరకంతో భర్తీ చేయండి.
3. బీజగణిత జోడింపుల నుండి విలోమ మాత్రికను కంపైల్ చేయడం: ఫలిత మాత్రిక యొక్క ప్రతి మూలకం అసలు మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి ద్వారా విభజించబడింది. ఫలిత మాతృక అసలు మాతృక యొక్క విలోమం.

1. మాతృక చతురస్రాకారంలో ఉందో లేదో నిర్ణయించండి. కాకపోతే, దానికి విలోమ మాతృక లేదు.
2. మాతృక A యొక్క నిర్ణాయకం యొక్క గణన. ఇది సున్నాకి సమానంగా లేకుంటే, మేము పరిష్కారాన్ని కొనసాగిస్తాము, లేకుంటే విలోమ మాతృక ఉనికిలో లేదు.
3. బీజగణిత పూరకాల నిర్వచనం.
4. యూనియన్ (మ్యూచువల్, అడ్జాయింట్) మ్యాట్రిక్స్ సి నింపడం.
5. బీజగణిత జోడింపుల నుండి విలోమ మాత్రికను కంపైల్ చేయడం: అనుబంధ మాత్రిక C యొక్క ప్రతి మూలకం అసలు మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారంతో విభజించబడింది. ఫలిత మాతృక అసలు మాతృక యొక్క విలోమం.
6. వారు తనిఖీ చేస్తారు: అవి అసలైన మరియు ఫలిత మాత్రికలను గుణిస్తారు. ఫలితం ఐడెంటిటీ మ్యాట్రిక్స్ అయి ఉండాలి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 1. మాతృకను రూపంలో వ్రాస్దాం:

విలోమ మాతృకను కనుగొనడానికి మరొక అల్గోరిథం

1. ఇచ్చిన స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ A యొక్క డిటర్మినేట్‌ను కనుగొనండి.
2. మాతృక A యొక్క అన్ని మూలకాలకు మేము బీజగణిత పూరకాలను కనుగొంటాము.
3. మేము నిలువు వరుస మూలకాల బీజగణిత జోడింపులను నిలువు వరుసలకు (ట్రాన్స్‌పోజిషన్) వ్రాస్తాము.
4. మేము ఫలిత మాతృక యొక్క ప్రతి మూలకాన్ని మాతృక A యొక్క డిటర్మినెంట్ ద్వారా విభజిస్తాము.

ఒక ప్రత్యేక సందర్భం: గుర్తింపు మాతృక E యొక్క విలోమం ఐడెంటిటీ మ్యాట్రిక్స్ E.

మాత్రికలతో చర్యల గురించి సంభాషణను కొనసాగిద్దాం. అవి, ఈ ఉపన్యాసం యొక్క అధ్యయనం సమయంలో మీరు విలోమ మాతృకను ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకుంటారు. నేర్చుకో. గణితం కష్టంగా ఉన్నా.

విలోమ మాతృక అంటే ఏమిటి? ఇక్కడ మనం విలోమ సంఖ్యలతో సారూప్యతను గీయవచ్చు: ఉదాహరణకు, ఆశావాద సంఖ్య 5 మరియు దాని విలోమ సంఖ్యను పరిగణించండి. ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఒకదానికి సమానం: . మాత్రికలతో ప్రతిదీ సమానంగా ఉంటుంది! మాతృక మరియు దాని విలోమ మాతృక యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం - గుర్తింపు మాతృక, ఇది సంఖ్యా యూనిట్ యొక్క మాతృక అనలాగ్. అయితే, ముందుగా మొదటి విషయాలు - ముందుగా ఒక ముఖ్యమైన ఆచరణాత్మక సమస్యను పరిష్కరిద్దాం, అంటే, ఈ విలోమ మాతృకను ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకుందాం.

విలోమ మాతృకను కనుగొనడానికి మీరు ఏమి తెలుసుకోవాలి మరియు చేయగలరు? మీరు నిర్ణయించుకోగలగాలి క్వాలిఫైయర్లు. అది ఏమిటో మీరు అర్థం చేసుకోవాలి మాతృకమరియు వారితో కొన్ని చర్యలు చేయగలరు.

విలోమ మాతృకను కనుగొనడానికి రెండు ప్రధాన పద్ధతులు ఉన్నాయి:
ఉపయోగించడం ద్వార బీజగణిత చేర్పులుమరియు ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించడం.

ఈ రోజు మనం మొదటి, సరళమైన పద్ధతిని అధ్యయనం చేస్తాము.

అత్యంత భయంకరమైన మరియు అపారమయిన వాటితో ప్రారంభిద్దాం. పరిగణలోకి తీసుకుందాం చతురస్రంమాతృక. కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి విలోమ మాతృకను కనుగొనవచ్చు:

మాతృక యొక్క నిర్ణాయకం ఎక్కడ ఉంది, మాతృక యొక్క సంబంధిత మూలకాల యొక్క బీజగణిత పూరకాలను మార్చిన మాతృక.

విలోమ మాతృక భావన చతురస్రాకార మాత్రికలకు మాత్రమే ఉంటుంది, మాత్రికలు “టూ బై టూ”, “త్రీ బై త్రీ” మొదలైనవి.

హోదాలు: మీరు ఇప్పటికే గమనించినట్లుగా, విలోమ మాతృక సూపర్‌స్క్రిప్ట్ ద్వారా సూచించబడుతుంది

సరళమైన కేసుతో ప్రారంభిద్దాం - టూ-బై-టూ మ్యాట్రిక్స్. చాలా తరచుగా, “మూడు మూడు” అవసరం, అయితే, పరిష్కారం యొక్క సాధారణ సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి సరళమైన పనిని అధ్యయనం చేయాలని నేను గట్టిగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

ఉదాహరణ:

మాతృక యొక్క విలోమాన్ని కనుగొనండి

తేల్చుకుందాం. పాయింట్ల వారీగా చర్యల క్రమాన్ని విచ్ఛిన్నం చేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

1) ముందుగా మనం మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని కనుగొంటాము.

ఈ చర్య గురించి మీ అవగాహన బాగా లేకుంటే, విషయాన్ని చదవండి డిటర్మినెంట్‌ను ఎలా లెక్కించాలి?

ముఖ్యమైనది!మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సమానంగా ఉంటే జీరో- విలోమ మాతృక ఉనికిలో లేదు.

పరిశీలనలో ఉన్న ఉదాహరణలో, అది ముగిసినట్లుగా, , అంటే ప్రతిదీ క్రమంలో ఉంది.

2) మైనర్‌ల మాతృకను కనుగొనండి.

మా సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మైనర్ అంటే ఏమిటో తెలుసుకోవడం అవసరం లేదు, అయితే, కథనాన్ని చదవడం మంచిది డిటర్మినెంట్‌ను ఎలా లెక్కించాలి.

మైనర్‌ల మాతృక మాతృక వలె అదే కొలతలు కలిగి ఉంటుంది, అంటే ఈ సందర్భంలో.
నాలుగు సంఖ్యలను కనుగొని వాటిని ఆస్టరిస్క్‌లకు బదులుగా ఉంచడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది.

మన మాతృకకు తిరిగి వద్దాం
మొదట ఎగువ ఎడమ మూలకాన్ని చూద్దాం:

దాన్ని ఎలా కనుగొనాలి మైనర్?
మరియు ఇది ఇలా జరుగుతుంది: ఈ మూలకం ఉన్న అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసను మానసికంగా దాటవేయండి:

మిగిలిన సంఖ్య ఈ మూలకం యొక్క చిన్నది, మేము మైనర్‌ల మాతృకలో వ్రాస్తాము:

కింది మాతృక మూలకాన్ని పరిగణించండి:

ఈ మూలకం కనిపించే అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసలను మానసికంగా దాటవేయండి:

ఈ మూలకం యొక్క మైనర్ మిగిలి ఉన్నది, మనం మా మాతృకలో వ్రాస్తాము:

అదేవిధంగా, మేము రెండవ వరుసలోని అంశాలను పరిగణలోకి తీసుకుంటాము మరియు వారి మైనర్లను కనుగొంటాము:


సిద్ధంగా ఉంది.

ఇది సులభం. మీకు అవసరమైన మైనర్‌ల మాతృకలో సంకేతాలను మార్చండిరెండు సంఖ్యలు:

ఇవి నేను సర్కిల్ చేసిన సంఖ్యలు!

– మాతృక యొక్క సంబంధిత మూలకాల బీజగణిత జోడింపుల మాతృక.

మరియు కేవలం ...

4) బీజగణిత జోడింపుల ట్రాన్స్‌పోజ్డ్ మ్యాట్రిక్స్‌ను కనుగొనండి.

- మాతృక యొక్క సంబంధిత మూలకాల యొక్క బీజగణిత పూరకాలను మార్చిన మాతృక.

5) సమాధానం.

మన ఫార్ములా గుర్తుంచుకుందాం
ప్రతిదీ కనుగొనబడింది!

కాబట్టి విలోమ మాతృక:

సమాధానాన్ని అలాగే వదిలేయడం మంచిది. అవసరం లేదుమాతృకలోని ప్రతి మూలకాన్ని 2 ద్వారా భాగించండి, ఎందుకంటే ఫలితం పాక్షిక సంఖ్యలు. ఈ స్వల్పభేదాన్ని అదే వ్యాసంలో మరింత వివరంగా చర్చించారు. మాత్రికలతో చర్యలు.

పరిష్కారాన్ని ఎలా తనిఖీ చేయాలి?

మీరు మాతృక గుణకారాన్ని నిర్వహించాలి లేదా

పరీక్ష:

ఇప్పటికే పేర్కొన్న స్వీకరించబడింది గుర్తింపు మాతృకద్వారా ఒక మాతృక ప్రధాన వికర్ణంమరియు ఇతర ప్రదేశాలలో సున్నాలు.

అందువలన, విలోమ మాతృక సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

మీరు చర్యను నిర్వహిస్తే, ఫలితం కూడా గుర్తింపు మాతృకగా ఉంటుంది. మాతృక గుణకారం కమ్యుటేటివ్ అయిన కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది ఒకటి, మరిన్ని వివరాలను కథనంలో చూడవచ్చు మాత్రికలపై కార్యకలాపాల లక్షణాలు. మ్యాట్రిక్స్ వ్యక్తీకరణలు. చెక్ సమయంలో, స్థిరాంకం (భిన్నం) ముందుకు తీసుకురాబడి, చివరిలో ప్రాసెస్ చేయబడుతుందని గమనించండి - మాతృక గుణకారం తర్వాత. ఇది ప్రామాణిక సాంకేతికత.

ఆచరణలో మరింత సాధారణ కేసుకు వెళ్దాం - త్రీ బై త్రీ మ్యాట్రిక్స్:

ఉదాహరణ:

మాతృక యొక్క విలోమాన్ని కనుగొనండి

అల్గోరిథం సరిగ్గా "రెండు బై టూ" కేసుకు సమానంగా ఉంటుంది.

మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి విలోమ మాతృకను కనుగొంటాము: , మాతృక యొక్క సంబంధిత మూలకాల యొక్క బీజగణిత పూరకాల యొక్క ట్రాన్స్‌పోజ్డ్ మ్యాట్రిక్స్ ఎక్కడ ఉంది.

1) మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని కనుగొనండి.

ఇక్కడ డిటర్మినెంట్ వెల్లడైంది మొదటి పంక్తిలో.

అలాగే, అది మర్చిపోవద్దు, అంటే అంతా బాగానే ఉంది - విలోమ మాతృక ఉంది.

2) మైనర్‌ల మాతృకను కనుగొనండి.

మైనర్‌ల మాతృక "మూడు మూడు" కోణాన్ని కలిగి ఉంటుంది , మరియు మేము తొమ్మిది సంఖ్యలను కనుగొనాలి.

నేను ఇద్దరు మైనర్‌లను వివరంగా చూస్తాను:

కింది మాతృక మూలకాన్ని పరిగణించండి:

ఈ మూలకం ఉన్న అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసను మానసికంగా దాటవేయండి:

మేము మిగిలిన నాలుగు సంఖ్యలను "టూ బై టూ" డిటర్మినెంట్‌లో వ్రాస్తాము.

ఈ టూ-బై-టూ డిటర్మినేంట్ మరియు ఈ మూలకం యొక్క చిన్నది. ఇది లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉంది:


అంతే, మైనర్ కనుగొనబడింది, మేము దానిని మా మైనర్‌ల మాతృకలో వ్రాస్తాము:

మీరు బహుశా ఊహించినట్లుగా, మీరు తొమ్మిది రెండు-రెండు నిర్ణాయకాలను లెక్కించాలి. ప్రక్రియ, కోర్సు యొక్క, దుర్భరమైన ఉంది, కానీ కేసు చాలా తీవ్రమైన కాదు, అది అధ్వాన్నంగా ఉంటుంది.

బాగా, ఏకీకృతం చేయడానికి – చిత్రాలలో మరొక మైనర్‌ని కనుగొనడం:

మిగిలిన మైనర్లను మీరే లెక్కించడానికి ప్రయత్నించండి.

తుది ఫలితం:
- మాతృక యొక్క సంబంధిత మూలకాల యొక్క మైనర్‌ల మాతృక.

మైనర్లందరూ ప్రతికూలంగా మారిన వాస్తవం పూర్తిగా ప్రమాదం.

3) బీజగణిత జోడింపుల మాతృకను కనుగొనండి.

మైనర్ల మాతృకలో ఇది అవసరం సంకేతాలను మార్చండికింది అంశాల కోసం ఖచ్చితంగా:

ఈ విషయంలో:

"నాలుగు నాలుగు" మాతృక కోసం విలోమ మాతృకను కనుగొనడాన్ని మేము పరిగణించము, ఎందుకంటే అలాంటి పనిని ఒక శాడిస్ట్ టీచర్ మాత్రమే ఇవ్వగలరు (విద్యార్థికి ఒక "నాలుగు ద్వారా నాలుగు" డిటర్మినేట్ మరియు 16 "మూడు ద్వారా మూడు" డిటర్మినేట్‌లను లెక్కించడానికి ) నా ఆచరణలో, అలాంటి ఒక కేసు మాత్రమే ఉంది, మరియు పరీక్ష యొక్క కస్టమర్ నా వేదనకు చాలా చెల్లించారు =).

అనేక పాఠ్యపుస్తకాలు మరియు మాన్యువల్స్‌లో మీరు విలోమ మాతృకను కనుగొనడానికి కొంచెం భిన్నమైన విధానాన్ని కనుగొనవచ్చు, అయితే పైన వివరించిన పరిష్కార అల్గారిథమ్‌ను ఉపయోగించమని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను. ఎందుకు? ఎందుకంటే లెక్కలు మరియు సంకేతాలలో గందరగోళానికి గురయ్యే అవకాశం చాలా తక్కువ.

సాధారణంగా, సంక్లిష్ట బీజగణిత వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి విలోమ కార్యకలాపాలు ఉపయోగించబడతాయి. ఉదాహరణకు, సమస్య భిన్నం ద్వారా విభజించే ఆపరేషన్‌ను కలిగి ఉంటే, మీరు దానిని భిన్నం యొక్క పరస్పరం ద్వారా గుణించడం యొక్క ఆపరేషన్‌తో భర్తీ చేయవచ్చు, ఇది విలోమ ఆపరేషన్. అంతేకాకుండా, మాత్రికలు విభజించబడవు, కాబట్టి మీరు విలోమ మాతృకతో గుణించాలి. 3x3 మాతృక యొక్క విలోమాన్ని లెక్కించడం చాలా శ్రమతో కూడుకున్నది, కానీ మీరు దీన్ని మాన్యువల్‌గా చేయగలగాలి. మీరు మంచి గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి పరస్పరం కూడా కనుగొనవచ్చు.

దశలు

అనుబంధ మాతృకను ఉపయోగించడం

అసలు మాతృకను మార్చండి.ట్రాన్స్‌పోజిషన్ అనేది మాతృక యొక్క ప్రధాన వికర్ణానికి సంబంధించి నిలువు వరుసలను మార్చడం, అంటే, మీరు మూలకాలను (i,j) మరియు (j,i) మార్చుకోవాలి. ఈ సందర్భంలో, ప్రధాన వికర్ణం (ఎగువ ఎడమ మూలలో మొదలై దిగువ కుడి మూలలో ముగుస్తుంది) యొక్క అంశాలు మారవు.

• అడ్డు వరుసలను నిలువు వరుసలుగా మార్చడానికి, మొదటి నిలువు వరుసలోని మూలకాలను మొదటి నిలువు వరుసలో, రెండవ వరుసలోని మూలకాలను రెండవ నిలువు వరుసలో మరియు మూడవ వరుసలోని మూలకాలను మూడవ నిలువు వరుసలో వ్రాయండి. మూలకాల స్థానాన్ని మార్చే క్రమం చిత్రంలో చూపబడింది, దీనిలో సంబంధిత అంశాలు రంగు వృత్తాలతో చుట్టుముట్టబడతాయి.