MS EXCELలో ఏకరీతి నిరంతర పంపిణీ. నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ యొక్క ఏకరీతి మరియు ఘాతాంక చట్టాలు

ఈ సమస్య చాలా కాలం పాటు వివరంగా అధ్యయనం చేయబడింది మరియు 1958లో జార్జ్ బాక్స్, మెర్విన్ ముల్లర్ మరియు జార్జ్ మార్సాగ్లియా ప్రతిపాదించిన ధ్రువ కోఆర్డినేట్ల పద్ధతి చాలా విస్తృతంగా ఉపయోగించబడింది. ఈ పద్దతి క్రింది విధంగా గణిత అంచనా 0 మరియు వైవిధ్యం 1తో స్వతంత్ర సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌ను పొందడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది:

Z 0 మరియు Z 1 కావాల్సిన విలువలు అయితే, s \u003d u 2 + v 2, మరియు u మరియు v అనేవి సెగ్మెంట్ (-1, 1)పై ఏకరీతిగా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్, ఆ విధంగా కండిషన్ 0 ఎంపిక చేయబడుతుంది.< s < 1.
చాలా మంది ఈ సూత్రాలను ఆలోచించకుండానే ఉపయోగిస్తున్నారు మరియు చాలా మంది వారి ఉనికిని కూడా అనుమానించరు, ఎందుకంటే వారు రెడీమేడ్ అమలులను ఉపయోగిస్తున్నారు. కానీ ప్రశ్నలు ఉన్న వ్యక్తులు ఉన్నారు: “ఈ సూత్రం ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? మరియు మీరు ఒకేసారి ఒక జత విలువలను ఎందుకు పొందుతారు? కింది వాటిలో, నేను ఈ ప్రశ్నలకు స్పష్టమైన సమాధానం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నిస్తాను.

ప్రారంభించడానికి, సంభావ్యత సాంద్రత, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ ఫంక్షన్ మరియు విలోమ ఫంక్షన్ ఏమిటో మీకు గుర్తు చేస్తాను. కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ఉందని అనుకుందాం, దీని పంపిణీ సాంద్రత ఫంక్షన్ f(x) ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇది క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

అంటే ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువ విరామం (A, B)లో ఉండే సంభావ్యత షేడెడ్ ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం. మరియు పర్యవసానంగా, మొత్తం షేడెడ్ ప్రాంతం యొక్క ప్రాంతం ఐక్యతకు సమానంగా ఉండాలి, ఎందుకంటే ఏదైనా సందర్భంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువ ఫంక్షన్ f యొక్క డొమైన్‌లోకి వస్తుంది.
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పంపిణీ ఫంక్షన్ సాంద్రత ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రమైనది. మరియు ఈ సందర్భంలో, దాని ఉజ్జాయింపు రూపం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

ఇక్కడ అర్థం ఏమిటంటే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువ సంభావ్యత Bతో A కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. ఫలితంగా, ఫంక్షన్ ఎప్పుడూ తగ్గదు మరియు దాని విలువలు విరామంలో ఉంటాయి.

విలోమ ఫంక్షన్ అనేది మీరు అసలు ఫంక్షన్ యొక్క విలువను దానిలోకి పంపినట్లయితే, అసలు ఫంక్షన్ యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌ను తిరిగి ఇచ్చే ఒక ఫంక్షన్. ఉదాహరణకు, x 2 ఫంక్షన్‌కు విలోమం రూట్ ఎక్స్‌ట్రాక్షన్ ఫంక్షన్ అవుతుంది, sin (x) కోసం ఇది ఆర్క్‌సిన్ (x) మొదలైనవి.

చాలా నకిలీ యాదృచ్ఛిక సంఖ్య జనరేటర్లు అవుట్‌పుట్ వద్ద ఏకరీతి పంపిణీని మాత్రమే ఇస్తాయి కాబట్టి, దానిని మరొకదానికి మార్చడం తరచుగా అవసరం అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ఒక సాధారణ గాస్సియన్కు:

ఏకరీతి పంపిణీని ఏదైనా ఇతర పంపిణీగా మార్చడానికి అన్ని పద్ధతులకు ఆధారం విలోమ పరివర్తన పద్ధతి. ఇది క్రింది విధంగా పనిచేస్తుంది. అవసరమైన డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్‌కి విలోమంగా ఉండే ఫంక్షన్ కనుగొనబడింది మరియు సెగ్మెంట్ (0, 1)పై ఏకరీతిగా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ దానికి ఆర్గ్యుమెంట్‌గా పంపబడుతుంది. అవుట్పుట్ వద్ద, మేము అవసరమైన పంపిణీతో విలువను పొందుతాము. స్పష్టత కోసం, ఇక్కడ క్రింది చిత్రం ఉంది.

ఈ విధంగా, ఒక ఏకరీతి విభాగం, కొత్త పంపిణీకి అనుగుణంగా స్మెర్ చేయబడింది, విలోమ ఫంక్షన్ ద్వారా మరొక అక్షం మీద అంచనా వేయబడుతుంది. కానీ సమస్య ఏమిటంటే, గాస్సియన్ పంపిణీ యొక్క సాంద్రత యొక్క సమగ్రతను లెక్కించడం సులభం కాదు, కాబట్టి పై శాస్త్రవేత్తలు మోసం చేయాల్సి వచ్చింది.

చి-స్క్వేర్డ్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ (పియర్సన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్) ఉంది, ఇది k స్వతంత్ర సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క స్క్వేర్‌ల మొత్తం పంపిణీ. మరియు k = 2 అయిన సందర్భంలో, ఈ పంపిణీ ఘాతాంకం.

దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని ఒక బిందువు యాదృచ్ఛికంగా పంపిణీ చేయబడిన X మరియు Y కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటే, ఈ కోఆర్డినేట్‌లను ధ్రువ వ్యవస్థకు (r, θ) మార్చిన తర్వాత, వ్యాసార్థం యొక్క చతురస్రం (మూలం నుండి బిందువుకు దూరం) విపరీతంగా పంపిణీ చేయబడుతుంది, ఎందుకంటే వ్యాసార్థం యొక్క స్క్వేర్ కోఆర్డినేట్‌ల చతురస్రాల మొత్తం (పైథాగరియన్ చట్టం ప్రకారం). విమానంలో అటువంటి పాయింట్ల పంపిణీ సాంద్రత ఇలా ఉంటుంది:

ఇది అన్ని దిశలలో సమానంగా ఉన్నందున, కోణం θ 0 నుండి 2π వరకు ఒకే విధమైన పంపిణీని కలిగి ఉంటుంది. సంభాషణ కూడా నిజం: మీరు రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ (కోణం ఏకరీతిగా మరియు వ్యాసార్థం విపరీతంగా పంపిణీ చేయబడి) ఉపయోగించి ధ్రువ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఒక పాయింట్‌ను నిర్దేశిస్తే, ఈ పాయింట్ యొక్క దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్‌లు స్వతంత్ర సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌గా ఉంటాయి. మరియు అదే విలోమ పరివర్తన పద్ధతిని ఉపయోగించి, ఏకరీతి నుండి ఘాతాంక పంపిణీని పొందడం ఇప్పటికే చాలా సులభం. ఇది బాక్స్-ముల్లర్ ధ్రువ పద్ధతి యొక్క సారాంశం.
ఇప్పుడు ఫార్ములాలను తెలుసుకుందాం.

(1)

r మరియు θలను పొందేందుకు, విభాగంలో (0, 1) ఏకరీతిలో పంపిణీ చేయబడిన రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌లను రూపొందించడం అవసరం (వాటిని u మరియు v అని పిలుద్దాం), వీటిలో ఒకదాని పంపిణీని (v అనుకుందాం) ఘాతాంకానికి మార్చాలి వ్యాసార్థాన్ని పొందండి. ఘాతాంక పంపిణీ ఫంక్షన్ ఇలా కనిపిస్తుంది:

దీని విలోమ ఫంక్షన్:

ఏకరీతి పంపిణీ సుష్టంగా ఉన్నందున, పరివర్తన ఫంక్షన్‌తో సమానంగా పని చేస్తుంది

ఇది λ = 0.5 అని చి-స్క్వేర్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫార్ములా నుండి అనుసరిస్తుంది. మేము ఈ ఫంక్షన్‌లో λ, vని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు వ్యాసార్థం యొక్క వర్గాన్ని, ఆపై వ్యాసార్థాన్ని పొందుతాము:

యూనిట్ విభాగాన్ని 2πకి విస్తరించడం ద్వారా మేము కోణాన్ని పొందుతాము:

ఇప్పుడు మనం r మరియు θ లను ఫార్ములాల్లో (1) ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు పొందండి:

(2)

ఈ ఫార్ములాలు ఉపయోగించడానికి సిద్ధంగా ఉన్నాయి. X మరియు Y స్వతంత్రంగా ఉంటాయి మరియు సాధారణంగా 1 వ్యత్యాసం మరియు సగటు 0తో పంపిణీ చేయబడతాయి. ఇతర లక్షణాలతో పంపిణీని పొందడానికి, ఫంక్షన్ యొక్క ఫలితాన్ని ప్రామాణిక విచలనం ద్వారా గుణించి, సగటును జోడించడం సరిపోతుంది.
కానీ కోణాన్ని నేరుగా కాకుండా, పరోక్షంగా సర్కిల్‌లోని యాదృచ్ఛిక బిందువు యొక్క దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా పేర్కొనడం ద్వారా త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌లను వదిలించుకోవడం సాధ్యమవుతుంది. అప్పుడు, ఈ కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా, వ్యాసార్థం వెక్టర్ యొక్క పొడవును లెక్కించడం సాధ్యమవుతుంది, ఆపై x మరియు y లను వరుసగా విభజించడం ద్వారా కొసైన్ మరియు సైన్‌లను కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది. ఎలా మరియు ఎందుకు పని చేస్తుంది?
మేము యూనిట్ వ్యాసార్థం యొక్క సర్కిల్‌లో ఏకరీతిలో పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక బిందువును ఎంచుకుంటాము మరియు ఈ బిందువు యొక్క వ్యాసార్థం వెక్టర్ యొక్క పొడవు యొక్క చతురస్రాన్ని s అక్షరంతో సూచిస్తాము:

విరామం (-1, 1)లో ఏకరీతిలో పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక x మరియు y దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్‌లను కేటాయించడం ద్వారా ఎంపిక చేయబడుతుంది మరియు వృత్తానికి చెందని పాయింట్‌లను విస్మరించడం, అలాగే వ్యాసార్థం వెక్టర్ యొక్క కోణం ఉన్న కేంద్ర బిందువు వివరించబడలేదు. అంటే, షరతు 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

మేము వ్యాసం ప్రారంభంలో వలె సూత్రాలను పొందుతాము. ఈ పద్ధతి యొక్క ప్రతికూలత సర్కిల్‌లో చేర్చబడని పాయింట్ల తిరస్కరణ. అంటే, ఉత్పత్తి చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌లో 78.5% మాత్రమే ఉపయోగించడం. పాత కంప్యూటర్లలో, త్రికోణమితి విధులు లేకపోవడం ఇప్పటికీ పెద్ద ప్రయోజనం. ఇప్పుడు, ఒక ప్రాసెసర్ సూచన ఒకేసారి సైన్ మరియు కొసైన్‌లను తక్షణం లెక్కించినప్పుడు, ఈ పద్ధతులు ఇప్పటికీ పోటీ పడగలవని నేను భావిస్తున్నాను.

వ్యక్తిగతంగా, నాకు మరో రెండు ప్రశ్నలు ఉన్నాయి:

• s విలువ ఎందుకు సమానంగా పంపిణీ చేయబడింది?
• రెండు సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క స్క్వేర్‌ల మొత్తం ఎందుకు విపరీతంగా పంపిణీ చేయబడింది?

సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం ఇదే విధమైన పరివర్తన జరిగితే, దాని స్క్వేర్ యొక్క సాంద్రత ఫంక్షన్ హైపర్బోలా వలె మారుతుంది. మరియు సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క రెండు స్క్వేర్‌ల జోడింపు ఇప్పటికే డబుల్ ఇంటిగ్రేషన్‌తో అనుబంధించబడిన చాలా క్లిష్టమైన ప్రక్రియ. మరియు ఫలితం ఘాతాంక పంపిణీ అవుతుందనే వాస్తవం, వ్యక్తిగతంగా, దానిని ఆచరణాత్మక పద్ధతి ద్వారా తనిఖీ చేయడం లేదా దానిని సిద్ధాంతంగా అంగీకరించడం నాకు మిగిలి ఉంది. మరియు ఆసక్తి ఉన్నవారి కోసం, ఈ పుస్తకాల నుండి జ్ఞానాన్ని పొందడం ద్వారా మీరు ఈ అంశాన్ని దగ్గరగా తెలుసుకోవాలని నేను సూచిస్తున్నాను:

• వెంట్జెల్ E.S. సంభావ్యత సిద్ధాంతం
• నాట్ డి.ఇ. ఆర్ట్ ఆఫ్ ప్రోగ్రామింగ్ వాల్యూమ్ 2

ముగింపులో, జావాస్క్రిప్ట్‌లో సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక సంఖ్య జనరేటర్ అమలుకు నేను ఒక ఉదాహరణ ఇస్తాను:

ఫంక్షన్ Gauss() (var సిద్ధంగా = తప్పు; var రెండవ = 0.0; this.next = ఫంక్షన్ (సగటు, dev) ( సగటు = అర్థం == నిర్వచించబడలేదు? 0.0: అర్థం; dev = dev == నిర్వచించబడలేదు ? 1.0: dev; అయితే ( this.ready) ( this.ready = తప్పు; ఇది తిరిగి ఇవ్వు యాదృచ్ఛిక () - 1.0; s = u * u + v * v; ) అయితే (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; తిరిగి r * v * dev + మీన్;) );) g = కొత్త Gauss(); // ఒక వస్తువును సృష్టించండి a = g.next(); // ఒక జత విలువలను రూపొందించండి మరియు మొదటిది పొందండి b = g.next(); // రెండవ c = g.next(); // మళ్లీ ఒక జత విలువలను రూపొందించండి మరియు మొదటిదాన్ని పొందండి
సగటు (గణిత అంచనా) మరియు దేవ్ (ప్రామాణిక విచలనం) పారామితులు ఐచ్ఛికం. సంవర్గమానం సహజంగా ఉందని నేను మీ దృష్టిని ఆకర్షిస్తున్నాను.

ఈ సందర్భంలో పంపిణీ ఫంక్షన్, (5.7) ప్రకారం, రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

ఇక్కడ: m అనేది గణిత నిరీక్షణ, s అనేది ప్రామాణిక విచలనం.

సాధారణ పంపిణీని జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు గాస్ తర్వాత గాస్సియన్ అని కూడా పిలుస్తారు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పారామితులతో సాధారణ పంపిణీని కలిగి ఉంటుంది: m,, క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: N (m, s), ఇక్కడ: m =a =M ;

చాలా తరచుగా, సూత్రాలలో, గణిత నిరీక్షణ ద్వారా సూచించబడుతుంది a . ఒక యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ N(0,1) చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడితే, దానిని సాధారణీకరించిన లేదా ప్రామాణికమైన సాధారణ వేరియబుల్ అంటారు. దాని పంపిణీ ఫంక్షన్ రూపం కలిగి ఉంది:

సాధారణ పంపిణీ యొక్క సాంద్రత యొక్క గ్రాఫ్, దీనిని సాధారణ వక్రత లేదా గాస్సియన్ వక్రత అని పిలుస్తారు, ఇది అంజీర్ 5.4లో చూపబడింది.

అన్నం. 5.4 సాధారణ పంపిణీ సాంద్రత

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలను దాని సాంద్రత ద్వారా నిర్ణయించడం ఒక ఉదాహరణలో పరిగణించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 6.

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ సాంద్రత ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: .

పంపిణీ రకాన్ని నిర్ణయించండి, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ M(X) మరియు వ్యత్యాసం D(X)ని కనుగొనండి.

(5.16) ఇచ్చిన పంపిణీ సాంద్రతను పోల్చి చూస్తే, m =4తో సాధారణ పంపిణీ చట్టం ఇవ్వబడిందని మేము నిర్ధారించవచ్చు. కాబట్టి, గణిత నిరీక్షణ M(X)=4, భేదం D(X)=9.

ప్రామాణిక విచలనం s=3.

లాప్లేస్ ఫంక్షన్, ఇది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

సంబంధం ద్వారా సాధారణ పంపిణీ ఫంక్షన్ (5.17)కి సంబంధించినది:

F 0 (x) \u003d F (x) + 0.5.

లాప్లేస్ ఫంక్షన్ బేసిగా ఉంది.

Ф(-x)=-Ф(x).

లాప్లేస్ ఫంక్షన్ Ф(х) యొక్క విలువలు x విలువ ప్రకారం పట్టికలో మరియు పట్టిక నుండి తీసుకోబడ్డాయి (అనుబంధం 1 చూడండి).

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధారణ పంపిణీ సంభావ్యత యొక్క సిద్ధాంతంలో మరియు వాస్తవికత యొక్క వివరణలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది; ఇది యాదృచ్ఛిక సహజ దృగ్విషయాలలో చాలా విస్తృతంగా ఉంది. ఆచరణలో, చాలా తరచుగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ ఉన్నాయి, ఇవి అనేక యాదృచ్ఛిక పదాల సమ్మషన్ ఫలితంగా ఖచ్చితంగా ఏర్పడతాయి. ప్రత్యేకించి, కొలత లోపాల విశ్లేషణ అవి వివిధ రకాల లోపాల మొత్తం అని చూపిస్తుంది. కొలత లోపాల సంభావ్యత పంపిణీ సాధారణ చట్టానికి దగ్గరగా ఉందని ప్రాక్టీస్ చూపిస్తుంది.

లాప్లేస్ ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి, ఒక సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ఇచ్చిన విరామం మరియు ఇచ్చిన విచలనంలో పడే సంభావ్యతను గణించడంలో సమస్యలను పరిష్కరించవచ్చు.

ఏకరీతి నిరంతర పంపిణీని పరిగణించండి. గణిత అంచనా మరియు వ్యత్యాసాన్ని గణిద్దాం. MS EXCEL ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి యాదృచ్ఛిక విలువలను రూపొందిద్దాంRAND() మరియు విశ్లేషణ ప్యాకేజీ యాడ్-ఇన్, మేము సగటు మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని మూల్యాంకనం చేస్తాము.

సమానంగా పంపిణీ చేయబడిందివిరామంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కలిగి ఉంటుంది:

పరిధి నుండి 50 సంఖ్యల శ్రేణిని రూపొందిద్దాం )