మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం. ఆన్‌లైన్‌లో అవకలన సమీకరణాలు

ఖచ్చితమైన సమగ్రాలను కనుగొనేటప్పుడు మనకు ఎదురైన పనిని గుర్తుచేసుకుందాం:

లేదా dy = f(x)dx. ఆమె పరిష్కారం:

మరియు ఇది నిరవధిక సమగ్రతను లెక్కించడానికి వస్తుంది. ఆచరణలో, మరింత క్లిష్టమైన పని తరచుగా ఎదుర్కొంటుంది: ఫంక్షన్ కనుగొనడం వై, అది రూపం యొక్క సంబంధాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుందని తెలిస్తే

ఈ సంబంధం స్వతంత్ర చరరాశికి సంబంధించినది x, తెలియని ఫంక్షన్ వైమరియు ఆర్డర్ వరకు దాని ఉత్పన్నాలు nకలుపుకొని, అంటారు .

అవకలన సమీకరణం ఒక క్రమంలో లేదా మరొక దాని ఉత్పన్నాల (లేదా అవకలనలు) సంకేతం క్రింద ఒక ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉంటుంది. అత్యధిక క్రమాన్ని ఆర్డర్ అంటారు (9.1) .

అవకలన సమీకరణాలు:

- మొదటి ఆర్డర్,

రెండవ ఆర్డర్

- ఐదవ ఆర్డర్, మొదలైనవి.

ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే ఫంక్షన్‌ను దాని పరిష్కారం అంటారు , లేదా సమగ్ర . దాన్ని పరిష్కరించడం అంటే దాని అన్ని పరిష్కారాలను కనుగొనడం. అవసరమైన ఫంక్షన్ కోసం ఉంటే వైఅన్ని పరిష్కారాలను అందించే సూత్రాన్ని పొందగలిగాము, అప్పుడు మేము దాని సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొన్నాము , లేదా సాధారణ సమగ్ర .

సాధారణ నిర్ణయం కలిగి ఉంటుంది nఏకపక్ష స్థిరాంకాలు మరియు కనిపిస్తుంది

ఒక సంబంధం పొందినట్లయితే అది సంబంధించినది x, yమరియు nఏకపక్ష స్థిరాంకాలు, సంబంధించి అనుమతించబడని రూపంలో వై -

అప్పుడు అటువంటి సంబంధాన్ని సాధారణ సమీకరణం (9.1) అంటారు.

కౌచీ సమస్య

ప్రతి నిర్దిష్ట పరిష్కారం, అంటే, ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే మరియు ఏకపక్ష స్థిరాంకాలపై ఆధారపడని ప్రతి నిర్దిష్ట విధిని నిర్దిష్ట పరిష్కారం అంటారు. , లేదా పాక్షిక సమగ్రం. సాధారణ వాటి నుండి నిర్దిష్ట పరిష్కారాలను (ఇంటిగ్రల్స్) పొందేందుకు, స్థిరాంకాలు తప్పనిసరిగా నిర్దిష్ట సంఖ్యా విలువలను ఇవ్వాలి.

నిర్దిష్ట పరిష్కారం యొక్క గ్రాఫ్‌ను సమగ్ర వక్రరేఖ అంటారు. సాధారణ పరిష్కారం, అన్ని పాక్షిక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది, ఇది సమగ్ర వక్రరేఖల కుటుంబం. మొదటి-ఆర్డర్ సమీకరణం కోసం ఈ కుటుంబం సమీకరణం కోసం ఒక ఏకపక్ష స్థిరాంకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది n-వ ఆర్డర్ - నుండి nఏకపక్ష స్థిరాంకాలు.

కౌచీ సమస్య సమీకరణానికి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం n-వ క్రమం, సంతృప్తికరంగా nప్రారంభ పరిస్థితులు:

దీని ద్వారా n స్థిరాంకాలు c 1, c 2,..., c n నిర్ణయించబడతాయి.

1వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలు

ఉత్పన్నానికి సంబంధించి పరిష్కరించబడని 1వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం కోసం, దీనికి రూపం ఉంటుంది

లేదా సాపేక్షంగా అనుమతి కోసం

ఉదాహరణ 3.46. సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారం.సమగ్రపరచడం, మేము పొందుతాము

ఇక్కడ C అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకం. మేము C కి నిర్దిష్ట సంఖ్యా విలువలను కేటాయించినట్లయితే, మేము నిర్దిష్ట పరిష్కారాలను పొందుతాము, ఉదాహరణకు,

ఉదాహరణ 3.47. 100 r యొక్క అక్రూవల్‌కు లోబడి బ్యాంక్‌లో డిపాజిట్ చేయబడిన డబ్బు యొక్క పెరుగుతున్న మొత్తాన్ని పరిగణించండి సంవత్సరానికి చక్రవడ్డీ. యో అనేది డబ్బు యొక్క ప్రారంభ మొత్తం, మరియు Yx - చివరికి xసంవత్సరాలు. సంవత్సరానికి ఒకసారి వడ్డీని లెక్కిస్తే, మనకు లభిస్తుంది

ఇక్కడ x = 0, 1, 2, 3,.... వడ్డీని సంవత్సరానికి రెండుసార్లు లెక్కించినప్పుడు, మనకు లభిస్తుంది

ఇక్కడ x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... వడ్డీని లెక్కించేటప్పుడు nసంవత్సరానికి ఒకసారి మరియు x అయితేసీక్వెన్షియల్ విలువలను తీసుకుంటుంది 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., ఆపై

1/n = hని పేర్కొనండి, ఆపై మునుపటి సమానత్వం ఇలా కనిపిస్తుంది:

అపరిమిత మాగ్నిఫికేషన్‌తో n(వద్ద ) పరిమితిలో మేము నిరంతర వడ్డీని పొందడంతో డబ్బు మొత్తాన్ని పెంచే ప్రక్రియకు వస్తాము:

అందువల్ల నిరంతర మార్పుతో స్పష్టమవుతుంది xడబ్బు సరఫరాలో మార్పు యొక్క చట్టం 1వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఇక్కడ Y x అనేది తెలియని ఫంక్షన్, x- స్వతంత్ర చరరాశి, ఆర్- స్థిరమైన. ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం, దీన్ని చేయడానికి మేము ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాస్తాము:

ఎక్కడ , లేదా , ఇక్కడ P e Cని సూచిస్తుంది.

ప్రారంభ పరిస్థితుల నుండి Y(0) = Yo, మేము P: Yo = Pe o, ఎక్కడ నుండి, Yo = P. కాబట్టి, పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

రెండవ ఆర్థిక సమస్యను పరిశీలిద్దాం. స్థూల ఆర్థిక నమూనాలు 1వ క్రమం యొక్క సరళ అవకలన సమీకరణాల ద్వారా కూడా వర్ణించబడ్డాయి, ఆదాయం లేదా అవుట్‌పుట్ Yలో మార్పులను సమయం యొక్క విధులుగా వివరిస్తాయి.

ఉదాహరణ 3.48. జాతీయ ఆదాయం Y దాని విలువకు అనులోమానుపాతంలో పెరగనివ్వండి:

మరియు ప్రభుత్వ వ్యయంలో లోటు అనుపాత గుణకంతో Y ఆదాయానికి నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉండనివ్వండి q. వ్యయ లోటు జాతీయ రుణ పెరుగుదలకు దారి తీస్తుంది D:

ప్రారంభ పరిస్థితులు Y = Yo మరియు D = డూ వద్ద t = 0. మొదటి సమీకరణం Y= Yoe kt నుండి. Yని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే మనకు dD/dt = qYoe kt వస్తుంది. సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది
D = (q/ k) Yoe kt +С, ఇక్కడ С = const, ఇది ప్రారంభ పరిస్థితుల నుండి నిర్ణయించబడుతుంది. ప్రారంభ పరిస్థితులను ప్రత్యామ్నాయంగా, మేము డూ = (q/ k)Yo + C. కాబట్టి, చివరకు,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

జాతీయ రుణం అదే సాపేక్ష రేటుతో పెరుగుతోందని ఇది చూపిస్తుంది కె, జాతీయ ఆదాయంతో సమానం.

సరళమైన అవకలన సమీకరణాలను పరిశీలిద్దాం nవ క్రమం, ఇవి రూపం యొక్క సమీకరణాలు

దీని సాధారణ పరిష్కారం ఉపయోగించి పొందవచ్చు nసార్లు ఏకీకరణలు.

ఉదాహరణ 3.49. y """ = cos x ఉదాహరణను పరిగణించండి.

పరిష్కారం.సమగ్రపరచడం, మేము కనుగొంటాము

సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

సరళ అవకలన సమీకరణాలు

అవి ఆర్థిక శాస్త్రంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి; అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిద్దాం. (9.1) రూపం కలిగి ఉంటే:

అప్పుడు దానిని లీనియర్ అంటారు, ఇక్కడ рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) లకు విధులు ఇవ్వబడ్డాయి. f(x) = 0 అయితే, (9.2) సజాతీయంగా పిలువబడుతుంది, లేకుంటే దానిని అసమానత అంటారు. సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం (9.2) దాని నిర్దిష్ట పరిష్కారాల మొత్తానికి సమానం y(x)మరియు దానికి సంబంధించిన సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం:

గుణకాలు р o (x), р 1 (x),..., р n (x) స్థిరంగా ఉంటే, అప్పుడు (9.2)

(9.4) క్రమం యొక్క స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ అవకలన సమీకరణం అంటారు n .

కోసం (9.4) రూపం ఉంది:

సాధారణతను కోల్పోకుండా, మనం p o = 1ని సెట్ చేసి (9.5) రూపంలో వ్రాయవచ్చు

మేము y = e kx రూపంలో పరిష్కారం (9.6) కోసం చూస్తాము, ఇక్కడ k అనేది స్థిరాంకం. మాకు ఉంది: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . ఫలిత వ్యక్తీకరణలను (9.6)కి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మేము కలిగి ఉంటాము:

(9.7) అనేది బీజగణిత సమీకరణం, దాని తెలియనిది కె, దీనిని లక్షణం అంటారు. లక్షణ సమీకరణం డిగ్రీని కలిగి ఉంటుంది nమరియు nమూలాలు, వీటిలో బహుళ మరియు సంక్లిష్టమైనవి రెండూ ఉండవచ్చు. k 1 , k 2 ,..., k n నిజమైనదిగా మరియు విభిన్నంగా ఉండనివ్వండి - ప్రత్యేక పరిష్కారాలు (9.7), మరియు సాధారణ

స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ సజాతీయ రెండవ-క్రమం అవకలన సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:

దాని లక్షణ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

(9.9)

దాని విచక్షణ D = p 2 - 4q, D యొక్క గుర్తుపై ఆధారపడి, మూడు కేసులు సాధ్యమే.

1. D>0 అయితే, k 1 మరియు k 2 (9.9) మూలాలు నిజమైనవి మరియు భిన్నంగా ఉంటాయి మరియు సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

పరిష్కారం.లక్షణ సమీకరణం: k 2 + 9 = 0, ఎక్కడ నుండి k = ± 3i, a = 0, b = 3, సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

వస్తువుల ఇన్వెంటరీలతో వెబ్-రకం ఆర్థిక నమూనాను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు 2 వ ఆర్డర్ యొక్క సరళ అవకలన సమీకరణాలు ఉపయోగించబడతాయి, ఇక్కడ ధర P లో మార్పు రేటు జాబితా పరిమాణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది (పేరా 10 చూడండి). సరఫరా మరియు డిమాండ్ ధర యొక్క సరళ విధులు అయితే, అంటే

a అనేది ప్రతిచర్య రేటును నిర్ణయించే స్థిరాంకం, అప్పుడు ధర మార్పు ప్రక్రియ అవకలన సమీకరణం ద్వారా వివరించబడుతుంది:

ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం కోసం మనం స్థిరంగా తీసుకోవచ్చు

అర్ధవంతమైన సమతౌల్య ధర. విచలనం సజాతీయ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది

(9.10)

లక్షణ సమీకరణం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

పదం సానుకూలంగా ఉంటే. సూచిస్తాం . లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలాలు k 1,2 = ± i w, కాబట్టి సాధారణ పరిష్కారం (9.10) రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఇక్కడ C మరియు ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు, అవి ప్రారంభ పరిస్థితుల నుండి నిర్ణయించబడతాయి. మేము కాలక్రమేణా ధర మార్పు చట్టాన్ని పొందాము:

అవకలన సమీకరణం (DE) - ఇది సమీకరణం,
స్వతంత్ర వేరియబుల్స్ ఎక్కడ ఉన్నాయి, y అనేది ఫంక్షన్ మరియు పాక్షిక ఉత్పన్నాలు.

సాధారణ అవకలన సమీకరణం అనేది ఒకే ఒక స్వతంత్ర చరరాశిని కలిగి ఉండే అవకలన సమీకరణం.

పాక్షిక అవకలన సమీకరణం రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ స్వతంత్ర చరరాశులను కలిగి ఉండే అవకలన సమీకరణం.

ఏ సమీకరణం పరిగణించబడుతుందో స్పష్టంగా ఉంటే "సాధారణ" మరియు "పాక్షిక ఉత్పన్నాలు" అనే పదాలను విస్మరించవచ్చు. కింది వాటిలో, సాధారణ అవకలన సమీకరణాలు పరిగణించబడతాయి.

అవకలన సమీకరణ క్రమం అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క క్రమం.

ఇక్కడ మొదటి ఆర్డర్ సమీకరణం యొక్క ఉదాహరణ:

ఇక్కడ నాల్గవ ఆర్డర్ సమీకరణం యొక్క ఉదాహరణ:

కొన్నిసార్లు మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం అవకలనల పరంగా వ్రాయబడుతుంది:

ఈ సందర్భంలో, వేరియబుల్స్ x మరియు y సమానంగా ఉంటాయి. అంటే, స్వతంత్ర వేరియబుల్ x లేదా y కావచ్చు. మొదటి సందర్భంలో, y అనేది x యొక్క ఫంక్షన్. రెండవ సందర్భంలో, x అనేది y యొక్క ఫంక్షన్. అవసరమైతే, మేము ఈ సమీకరణాన్ని స్పష్టంగా y′ ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉండే రూపానికి తగ్గించవచ్చు.
ఈ సమీకరణాన్ని dxతో భాగిస్తే మనకు లభిస్తుంది:
.
నుండి మరియు , అది దానిని అనుసరిస్తుంది
.

అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల యొక్క ఉత్పన్నాలు ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి. ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల యొక్క సమగ్రతలు తరచుగా ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల పరంగా వ్యక్తీకరించబడవు. అవకలన సమీకరణాలతో పరిస్థితి మరింత దారుణంగా ఉంది. పరిష్కారం ఫలితంగా మీరు పొందవచ్చు:

• వేరియబుల్‌పై ఫంక్షన్ యొక్క స్పష్టమైన ఆధారపడటం;

  అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం y = u ఫంక్షన్ (x), ఇది నిర్వచించబడింది, n సార్లు తేడా ఉంటుంది మరియు .

• రకం Φ యొక్క సమీకరణం రూపంలో అవ్యక్త ఆధారపడటం (x, y) = 0లేదా సమీకరణాల వ్యవస్థలు;

  అవకలన సమీకరణం యొక్క సమగ్రం అవ్యక్త రూపాన్ని కలిగి ఉన్న అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం.

• ప్రాథమిక విధులు మరియు వాటి నుండి సమగ్రాల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన ఆధారపడటం;

  చతుర్భుజాలలో అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం - ఇది ప్రాథమిక విధులు మరియు వాటి సమగ్రాల కలయిక రూపంలో ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం.

• ప్రాథమిక విధుల ద్వారా పరిష్కారం వ్యక్తీకరించబడకపోవచ్చు.

అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అనేది ఇంటిగ్రల్స్‌ను లెక్కించడానికి వస్తుంది కాబట్టి, పరిష్కారం C 1, C 2, C 3, ... C n స్థిరాంకాల సమితిని కలిగి ఉంటుంది. స్థిరాంకాల సంఖ్య సమీకరణ క్రమానికి సమానం. అవకలన సమీకరణం యొక్క పాక్షిక సమగ్రత C 1, C 2, C 3, ..., C n స్థిరాంకాల యొక్క ఇచ్చిన విలువలకు సాధారణ సమగ్రం.

ప్రస్తావనలు:
వి.వి. స్టెపనోవ్, అవకలన సమీకరణాల కోర్సు, "LKI", 2015.
ఎన్.ఎం. గుంథర్, R.O. కుజ్మిన్, ఉన్నత గణితంలో సమస్యల సేకరణ, "లాన్", 2003.

సాధారణ అవకలన సమీకరణం అనేది స్వతంత్ర వేరియబుల్‌కు సంబంధించిన సమీకరణం, ఈ వేరియబుల్ యొక్క తెలియని ఫంక్షన్ మరియు వివిధ ఆర్డర్‌ల యొక్క దాని ఉత్పన్నాలు (లేదా భేదాలు).

అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం దానిలో ఉన్న అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క క్రమం అంటారు.

సాధారణ వాటితో పాటు, పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలు కూడా అధ్యయనం చేయబడతాయి. ఇవి స్వతంత్ర వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించిన సమీకరణాలు, ఈ వేరియబుల్స్ యొక్క తెలియని ఫంక్షన్ మరియు అదే వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి దాని పాక్షిక ఉత్పన్నాలు. కానీ మేము మాత్రమే పరిశీలిస్తాము సాధారణ అవకలన సమీకరణాలు అందువలన, సంక్షిప్తత కొరకు, మేము "సాధారణ" పదాన్ని విస్మరిస్తాము.

అవకలన సమీకరణాల ఉదాహరణలు:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

సమీకరణం (1) నాల్గవ క్రమం, సమీకరణం (2) మూడవ క్రమం, సమీకరణాలు (3) మరియు (4) రెండవ క్రమం, సమీకరణం (5) మొదటి క్రమం.

అవకలన సమీకరణం nవ ఆర్డర్ తప్పనిసరిగా స్పష్టమైన ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉండవలసిన అవసరం లేదు, మొదటి నుండి దాని అన్ని ఉత్పన్నాలు n-వ క్రమం మరియు స్వతంత్ర వేరియబుల్. ఇది నిర్దిష్ట ఆర్డర్‌లు, ఫంక్షన్ లేదా స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క ఉత్పన్నాలను స్పష్టంగా కలిగి ఉండకపోవచ్చు.

ఉదాహరణకు, సమీకరణం (1)లో స్పష్టంగా మూడవ మరియు రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నాలు, అలాగే ఒక ఫంక్షన్ లేవు; సమీకరణంలో (2) - రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నం మరియు ఫంక్షన్; సమీకరణంలో (4) - స్వతంత్ర వేరియబుల్; సమీకరణంలో (5) - విధులు. సమీకరణం (3) మాత్రమే స్పష్టంగా అన్ని ఉత్పన్నాలు, ఫంక్షన్ మరియు స్వతంత్ర చరరాశిని కలిగి ఉంటుంది.

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ప్రతి ఫంక్షన్ అంటారు y = f(x), సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు అది గుర్తింపుగా మారుతుంది.

అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనే ప్రక్రియను దాని అంటారు అనుసంధానం.

ఉదాహరణ 1.అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. ఈ సమీకరణాన్ని రూపంలో వ్రాస్దాం. దాని ఉత్పన్నం నుండి ఫంక్షన్‌ను కనుగొనడం పరిష్కారం. అసలైన ఫంక్షన్, సమగ్ర కాలిక్యులస్ నుండి తెలిసినట్లుగా, దీనికి యాంటీడెరివేటివ్, అనగా.

అది ఏమిటి ఈ అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం . అందులో మారుతున్నారు సి, మేము వివిధ పరిష్కారాలను పొందుతాము. మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణానికి అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయని మేము కనుగొన్నాము.

అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం nవ ఆర్డర్ అనేది దాని పరిష్కారం, తెలియని ఫంక్షన్‌కు సంబంధించి స్పష్టంగా వ్యక్తీకరించబడింది మరియు కలిగి ఉంటుంది nస్వతంత్ర ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు, అనగా.

ఉదాహరణ 1లోని అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం సాధారణమైనది.

అవకలన సమీకరణం యొక్క పాక్షిక పరిష్కారం ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు నిర్దిష్ట సంఖ్యా విలువలను ఇచ్చే పరిష్కారాన్ని అంటారు.

ఉదాహరణ 2.అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని మరియు నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి .

పరిష్కారం. అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమానికి సమానమైన అనేక సార్లు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఏకీకృతం చేద్దాం.

,

.

ఫలితంగా, మేము సాధారణ పరిష్కారాన్ని అందుకున్నాము -

ఇచ్చిన మూడవ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం.

ఇప్పుడు పేర్కొన్న పరిస్థితులలో నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, ఏకపక్ష కోఎఫీషియంట్‌లకు బదులుగా వాటి విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు పొందండి

.

అవకలన సమీకరణానికి అదనంగా, ప్రారంభ స్థితి రూపంలో ఇవ్వబడితే, అటువంటి సమస్యను అంటారు కౌచీ సమస్య . విలువలను మరియు సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు ఏకపక్ష స్థిరాంకం యొక్క విలువను కనుగొనండి సి, ఆపై కనుగొన్న విలువ కోసం సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం సి. ఇది కౌచీ సమస్యకు పరిష్కారం.

ఉదాహరణ 3.ఉదాహరణ 1 నుండి అవకలన సమీకరణం కోసం కౌచీ సమస్యను పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం. ప్రారంభ స్థితి నుండి సాధారణ పరిష్కారంలోకి విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం వై = 3, x= 1. మేము పొందుతాము

ఈ మొదటి-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం కోసం మేము కౌచీ సమస్యకు పరిష్కారాన్ని వ్రాస్తాము:

అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, సరళమైన వాటికి కూడా, సంక్లిష్ట విధులతో సహా మంచి ఏకీకరణ మరియు ఉత్పన్న నైపుణ్యాలు అవసరం. ఇది క్రింది ఉదాహరణలో చూడవచ్చు.

ఉదాహరణ 4.అవకలన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. సమీకరణం అటువంటి రూపంలో వ్రాయబడింది, మీరు వెంటనే రెండు వైపులా ఏకీకృతం చేయవచ్చు.

.

మేము వేరియబుల్ (ప్రత్యామ్నాయం) మార్పు ద్వారా ఏకీకరణ పద్ధతిని వర్తింపజేస్తాము. అది అప్పుడు ఉండనివ్వండి.

తీసుకోవాల్సిన అవసరం ఉంది dxమరియు ఇప్పుడు - శ్రద్ధ - సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ యొక్క భేదం యొక్క నియమాల ప్రకారం మేము దీన్ని చేస్తాము xమరియు ఒక సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ ఉంది (“యాపిల్” అనేది వర్గమూలం యొక్క వెలికితీత లేదా అదే విషయం, “ఒకటి సగం” శక్తిని పెంచడం, మరియు “ముక్కలు చేసిన మాంసం” అనేది రూట్ కింద చాలా వ్యక్తీకరణ):

మేము సమగ్రతను కనుగొంటాము:

వేరియబుల్‌కి తిరిగి వస్తోంది x, మాకు దొరికింది:

.

ఈ మొదటి డిగ్రీ అవకలన సమీకరణానికి ఇది సాధారణ పరిష్కారం.

అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో మునుపటి ఉన్నత గణిత విభాగాల నుండి నైపుణ్యాలు మాత్రమే కాకుండా, ప్రాథమిక, అంటే పాఠశాల గణితంలో నైపుణ్యాలు కూడా అవసరం. ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, ఏదైనా ఆర్డర్ యొక్క అవకలన సమీకరణంలో స్వతంత్ర వేరియబుల్ ఉండకపోవచ్చు, అనగా వేరియబుల్ x. పాఠశాల నుండి మరచిపోని (అయితే, ఎవరిని బట్టి) పాఠశాల నుండి నిష్పత్తుల గురించి జ్ఞానం ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి సహాయపడుతుంది. ఇది తదుపరి ఉదాహరణ.

అవకలన సమీకరణం అనేది ఒక ఫంక్షన్ మరియు దాని యొక్క ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉండే సమీకరణం. చాలా ఆచరణాత్మక సమస్యలలో, విధులు భౌతిక పరిమాణాలను సూచిస్తాయి, ఉత్పన్నాలు ఈ పరిమాణాల మార్పు రేటుకు అనుగుణంగా ఉంటాయి మరియు ఒక సమీకరణం వాటి మధ్య సంబంధాన్ని నిర్ణయిస్తుంది.

ఈ వ్యాసం కొన్ని రకాల సాధారణ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులను చర్చిస్తుంది, వీటి పరిష్కారాలను రూపంలో వ్రాయవచ్చు ప్రాథమిక విధులు, అంటే, బహుపది, ఘాతాంక, సంవర్గమాన మరియు త్రికోణమితి, అలాగే వాటి విలోమ విధులు. ఈ సమీకరణాలలో చాలా వరకు నిజ జీవితంలో సంభవిస్తాయి, అయినప్పటికీ చాలా ఇతర అవకలన సమీకరణాలు ఈ పద్ధతుల ద్వారా పరిష్కరించబడవు మరియు వాటికి సమాధానం ప్రత్యేక విధులు లేదా పవర్ సిరీస్ రూపంలో వ్రాయబడుతుంది లేదా సంఖ్యా పద్ధతుల ద్వారా కనుగొనబడుతుంది.

ఈ కథనాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు అవకలన మరియు సమగ్ర కాలిక్యులస్‌లో ప్రావీణ్యం కలిగి ఉండాలి, అలాగే పాక్షిక ఉత్పన్నాల గురించి కొంత అవగాహన కలిగి ఉండాలి. అవకలన సమీకరణాలకు వర్తించే విధంగా సరళ బీజగణితం యొక్క ప్రాథమికాలను తెలుసుకోవాలని కూడా సిఫార్సు చేయబడింది, ప్రత్యేకించి రెండవ-క్రమం అవకలన సమీకరణాలు, వాటిని పరిష్కరించడానికి అవకలన మరియు సమగ్ర కాలిక్యులస్ పరిజ్ఞానం సరిపోతుంది.

ప్రాథమిక సమాచారం

• అవకలన సమీకరణాలు విస్తృతమైన వర్గీకరణను కలిగి ఉంటాయి. ఈ వ్యాసం గురించి మాట్లాడుతుంది సాధారణ అవకలన సమీకరణాలు, అంటే, ఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ మరియు దాని ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉన్న సమీకరణాల గురించి. సాధారణ అవకలన సమీకరణాలు అర్థం చేసుకోవడం మరియు పరిష్కరించడం కంటే చాలా సులభం పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలు, ఇది అనేక వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్లను కలిగి ఉంటుంది. ఈ వ్యాసం పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలను చర్చించదు, ఎందుకంటే ఈ సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు సాధారణంగా వాటి ప్రత్యేక రూపం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి.
  • సాధారణ అవకలన సమీకరణాల యొక్క కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • పాక్షిక అవకలన సమీకరణాల యొక్క కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\ displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\పాక్షిక y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t - α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\ displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2))=0)
• ఆర్డర్ చేయండిఅవకలన సమీకరణం ఈ సమీకరణంలో చేర్చబడిన అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క క్రమం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. పైన పేర్కొన్న సాధారణ అవకలన సమీకరణాలలో మొదటిది మొదటి క్రమానికి చెందినది, రెండవది రెండవ క్రమ సమీకరణం. డిగ్రీఅవకలన సమీకరణం అనేది ఈ సమీకరణం యొక్క నిబంధనలలో ఒకటి పెంచబడిన అత్యధిక శక్తి.
  • ఉదాహరణకు, దిగువ సమీకరణం మూడవ క్రమం మరియు రెండవ డిగ్రీ.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ \ ఎడమ((\frac ((\mathrm (d)))^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ కుడివైపు)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• అవకలన సమీకరణం సరళ అవకలన సమీకరణంఫంక్షన్ మరియు దాని అన్ని ఉత్పన్నాలు మొదటి డిగ్రీలో ఉన్న సందర్భంలో. లేకపోతే సమీకరణం నాన్ లీనియర్ అవకలన సమీకరణం. లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ సమీకరణాలు విశేషమైనవి, వాటి పరిష్కారాలు ఇచ్చిన సమీకరణానికి పరిష్కారాలుగా ఉండే సరళ కలయికలను రూపొందించడానికి ఉపయోగించబడతాయి.
  • సరళ అవకలన సమీకరణాల యొక్క కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.
  • నాన్ లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్స్ యొక్క కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి. సైన్ టర్మ్ కారణంగా మొదటి సమీకరణం నాన్ లీనియర్‌గా ఉంటుంది.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d)) x)((\mathrm (d) )t)\ right)^(2)+tx^(2)=0)
• సాధారణ నిర్ణయంసాధారణ అవకలన సమీకరణం ప్రత్యేకమైనది కాదు, ఇందులో ఉంటుంది ఏకపక్ష ఏకీకరణ స్థిరాంకాలు. చాలా సందర్భాలలో, ఏకపక్ష స్థిరాంకాల సంఖ్య సమీకరణ క్రమానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఆచరణలో, ఈ స్థిరాంకాల విలువలు ఇచ్చిన వాటి ఆధారంగా నిర్ణయించబడతాయి ప్రారంభ పరిస్థితులు, అంటే, ఫంక్షన్ విలువలు మరియు దాని ఉత్పన్నాల ప్రకారం x = 0. (\డిస్ప్లేస్టైల్ x=0.)కనుగొనడానికి అవసరమైన ప్రారంభ పరిస్థితుల సంఖ్య ప్రైవేట్ పరిష్కారంఅవకలన సమీకరణం, చాలా సందర్భాలలో ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క క్రమానికి సమానంగా ఉంటుంది.
  • ఉదాహరణకు, ఈ కథనం క్రింద ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి చూస్తుంది. ఇది రెండవ ఆర్డర్ లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్. దీని సాధారణ పరిష్కారం రెండు ఏకపక్ష స్థిరాంకాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ స్థిరాంకాలను కనుగొనడానికి ప్రారంభ పరిస్థితులను తెలుసుకోవడం అవసరం x (0) (\డిస్ప్లేస్టైల్ x(0))మరియు x′ (0) . (\displaystyle x"(0))సాధారణంగా ప్రారంభ పరిస్థితులు పాయింట్ వద్ద పేర్కొనబడతాయి x = 0 , (\డిస్ప్లేస్టైల్ x=0,), ఇది అవసరం లేనప్పటికీ. ఇవ్వబడిన ప్రారంభ పరిస్థితులకు నిర్దిష్ట పరిష్కారాలను ఎలా కనుగొనాలో కూడా ఈ వ్యాసం చర్చిస్తుంది.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

దశలు

1 వ భాగము

ఈ సేవను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, కొంత సమాచారం YouTubeకి బదిలీ చేయబడవచ్చు.

1. మొదటి ఆర్డర్ యొక్క సరళ సమీకరణాలు.కొన్ని పదాలు సున్నాకి సమానంగా ఉన్నప్పుడు సాధారణంగా మరియు ప్రత్యేక సందర్భాలలో మొదటి-క్రమం సరళ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులను ఈ విభాగం చర్చిస్తుంది. అలా నటిద్దాం y = y (x) , (\డిస్ప్లేస్టైల్ y=y(x),) p (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ p(x))మరియు q (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ q(x))విధులు x. (\డిస్ప్లేస్టైల్ x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\డిస్ప్లేస్టైల్ p(x)=0.)గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రధాన సిద్ధాంతాలలో ఒకదాని ప్రకారం, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క సమగ్రత కూడా ఒక విధి. అందువల్ల, దాని పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి సమీకరణాన్ని ఏకీకృతం చేయడం సరిపోతుంది. నిరవధిక సమగ్రతను లెక్కించేటప్పుడు, ఏకపక్ష స్థిరాంకం కనిపిస్తుంది అని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\డిస్ప్లేస్టైల్ q(x)=0.)మేము పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము వేరియబుల్స్ వేరు. ఇది వివిధ వేరియబుల్స్‌ను సమీకరణంలోని వివిధ భుజాలకు తరలిస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీరు సభ్యులందరినీ దీని నుండి తరలించవచ్చు y (\డిస్ప్లేస్టైల్ y)ఒకటి, మరియు సభ్యులందరూ x (\డిస్ప్లేస్టైల్ x)సమీకరణం యొక్క మరొక వైపు. సభ్యులను కూడా బదిలీ చేయవచ్చు d x (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\mathrm (d) )x)మరియు d y (\ displaystyle (\mathrm (d) )y), ఇవి ఉత్పన్నాల వ్యక్తీకరణలలో చేర్చబడ్డాయి, అయితే, ఇది సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌ను వేరు చేసేటప్పుడు అనుకూలమైన చిహ్నం మాత్రమే అని గుర్తుంచుకోవాలి. అని పిలవబడే ఈ సభ్యుల చర్చ అవకలనలు, ఈ వ్యాసం యొక్క పరిధికి మించినది.

   • ముందుగా, మీరు వేరియబుల్స్‌ను సమాన గుర్తుకు వ్యతిరేక భుజాలకు తరలించాలి.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఏకీకృతం చేద్దాం. ఏకీకరణ తర్వాత, ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు రెండు వైపులా కనిపిస్తాయి, ఇవి సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు బదిలీ చేయబడతాయి.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e - ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • ఉదాహరణ 1.1.చివరి దశలో మేము నియమాన్ని ఉపయోగించాము e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))మరియు భర్తీ చేయబడింది e C (\డిస్ప్లేస్టైల్ e^(C))పై సి (\డిస్ప్లేస్టైల్ సి), ఇది కూడా ఏకపక్ష ఏకీకరణ స్థిరాంకం కాబట్టి.
     • d y d x - 2 y sin ⁡ x = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos (\dibe sty x )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\ డిస్ప్లేస్టైల్ p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)మేము ప్రవేశపెట్టిన సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి సమగ్ర కారకంయొక్క విధిగా x (\డిస్ప్లేస్టైల్ x)ఎడమ వైపును సాధారణ ఉత్పన్నానికి తగ్గించి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

   • రెండు వైపులా గుణించండి μ (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ \mu (x))
     • μd y d x + μp y = μ q (\ displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • ఎడమ వైపును సాధారణ ఉత్పన్నానికి తగ్గించడానికి, కింది పరివర్తనలు చేయాలి:
     • d d x (μ y) = d μd x y + μd y d x = μd y d x + μp y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d))((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • చివరి సమానత్వం అంటే d μd x = μp (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). ఇది ఏదైనా మొదటి-ఆర్డర్ లీనియర్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సరిపోయే సమీకృత కారకం. ఇప్పుడు మనం ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సూత్రాన్ని పొందవచ్చు μ , (\ ప్రదర్శన శైలి \mu ,)అన్ని ఇంటర్మీడియట్ గణనలను చేయడానికి శిక్షణ కోసం ఇది ఉపయోగకరంగా ఉన్నప్పటికీ.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • ఉదాహరణ 1.2.ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులతో అవకలన సమీకరణానికి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని ఎలా కనుగొనాలో ఈ ఉదాహరణ చూపిస్తుంది.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\ displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\ displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(సమలేఖనం చేయబడింది)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\డిస్ప్లేస్టైల్ 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\ డిస్ప్లేస్టైల్ y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   మొదటి ఆర్డర్ యొక్క సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం (ఇన్ట్యూట్ - నేషనల్ ఓపెన్ యూనివర్శిటీ ద్వారా రికార్డ్ చేయబడింది).

2. నాన్ లీనియర్ ఫస్ట్ ఆర్డర్ సమీకరణాలు. ఈ విభాగం కొన్ని ఫస్ట్-ఆర్డర్ నాన్ లీనియర్ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులను చర్చిస్తుంది. అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ పద్ధతి లేనప్పటికీ, వాటిలో కొన్ని క్రింది పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడతాయి.

   D y d x = f (x , y) (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)ఫంక్షన్ అయితే f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))ఒక వేరియబుల్ యొక్క విధులుగా విభజించవచ్చు, అటువంటి సమీకరణం అంటారు వేరు చేయగల వేరియబుల్స్తో అవకలన సమీకరణం. ఈ సందర్భంలో, మీరు పై పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • ఉదాహరణ 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\ డిస్ప్లే స్టైల్ (\ ప్రారంభం(సమలేఖనం)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(సమలేఖనం చేయబడింది)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))))అలా నటిద్దాం g (x , y) (\డిస్ప్లేస్టైల్ g(x,y))మరియు h (x , y) (\డిస్ప్లేస్టైల్ h(x,y))విధులు x (\డిస్ప్లేస్టైల్ x)మరియు వై. (\ ప్రదర్శన శైలి y.)అప్పుడు సజాతీయ అవకలన సమీకరణంఅనేది ఒక సమీకరణం g (\డిస్ప్లేస్టైల్ g)మరియు h (\డిస్ప్లేస్టైల్ h)ఉన్నాయి సజాతీయ విధులుఅదే స్థాయికి. అంటే, విధులు తప్పనిసరిగా పరిస్థితిని సంతృప్తి పరచాలి g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\ displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)ఎక్కడ k (\డిస్ప్లేస్టైల్ k)సజాతీయత డిగ్రీ అంటారు. ఏదైనా సజాతీయ అవకలన సమీకరణం అనుకూలం ద్వారా ఉపయోగించవచ్చు వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రత్యామ్నాయాలు (v = y / x (\డిస్ప్లేస్టైల్ v=y/x)లేదా v = x / y (\డిస్ప్లేస్టైల్ v=x/y)) వేరు చేయగల సమీకరణానికి మార్చండి.

   • ఉదాహరణ 1.4.సజాతీయత యొక్క పై వివరణ అస్పష్టంగా అనిపించవచ్చు. ఈ భావనను ఒక ఉదాహరణతో చూద్దాం.
     • d y d x = y 3 - x 3 y 2 x (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • ప్రారంభించడానికి, ఈ సమీకరణం సంబంధించి నాన్ లీనియర్ అని గమనించాలి వై. (\ ప్రదర్శన శైలి y.)ఈ సందర్భంలో వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేయడం అసాధ్యం అని కూడా మేము చూస్తాము. అదే సమయంలో, ఈ అవకలన సమీకరణం సజాతీయంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ 3 శక్తితో సజాతీయంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, మనం వేరియబుల్స్‌లో మార్పు చేయవచ్చు. v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x - x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x, d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = - 1 v 2 . (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\frac ((\mathrm (d))v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))))ఫలితంగా, మనకు సమీకరణం ఉంది v (\డిస్ప్లేస్టైల్ v)వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\డిస్ప్లేస్టైల్ v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\డిస్ప్లేస్టైల్ y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)ఈ బెర్నౌలీ అవకలన సమీకరణం- మొదటి డిగ్రీ యొక్క ప్రత్యేక రకం నాన్ లీనియర్ సమీకరణం, దీని పరిష్కారం ప్రాథమిక విధులను ఉపయోగించి వ్రాయవచ్చు.

   • సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించండి (1 - n) y − n (\ displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 - n) y - n d y d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • ఎడమ వైపున సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడానికి మేము నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు సమీకరణాన్ని సరళ సమీకరణంగా మారుస్తాము y 1 − n , (\డిస్ప్లేస్టైల్ y^(1-n),)పై పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు.
     • d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\ డిస్ప్లేస్టైల్ M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.)ఈ మొత్తం అవకలనలలో సమీకరణం. ఇది అని పిలవబడే కనుగొనేందుకు అవసరం సంభావ్య ఫంక్షన్ φ (x , y) , (\డిస్ప్లేస్టైల్ \varphi (x,y),), ఇది పరిస్థితిని సంతృప్తిపరుస్తుంది d φ d x = 0. (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • ఈ షరతును నెరవేర్చడానికి, కలిగి ఉండటం అవసరం మొత్తం ఉత్పన్నం. మొత్తం ఉత్పన్నం ఇతర వేరియబుల్స్‌పై ఆధారపడటాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది. మొత్తం ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడానికి φ (\డిస్ప్లేస్టైల్ \varphi )ద్వారా x , (\ డిస్ప్లేస్టైల్ x,)అని మేము ఊహిస్తాము y (\డిస్ప్లేస్టైల్ y)మీద కూడా ఆధారపడి ఉండవచ్చు x. (\డిస్ప్లేస్టైల్ x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\frac (\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac \hi\partial )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • నిబంధనలను పోల్చడం మనకు ఇస్తుంది M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\డిస్ప్లేస్టైల్ M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))మరియు N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)))అనేక వేరియబుల్స్‌లోని సమీకరణాలకు ఇది ఒక సాధారణ ఫలితం, దీనిలో మృదువైన ఫంక్షన్‌ల మిశ్రమ ఉత్పన్నాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. కొన్నిసార్లు ఈ కేసును పిలుస్తారు క్లైరాట్ సిద్ధాంతం. ఈ సందర్భంలో, కింది షరతు సంతృప్తి చెందితే అవకలన సమీకరణం మొత్తం అవకలన సమీకరణం:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • మొత్తం అవకలనలలో సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతి అనేక ఉత్పన్నాల సమక్షంలో సంభావ్య విధులను కనుగొనడం వలె ఉంటుంది, వీటిని మేము క్లుప్తంగా చర్చిస్తాము. ముందుగా ఏకం చేద్దాం M (\డిస్ప్లేస్టైల్ M)ద్వారా x. (\డిస్ప్లేస్టైల్ x.)ఎందుకంటే M (\డిస్ప్లేస్టైల్ M)ఒక ఫంక్షన్ మరియు x (\డిస్ప్లేస్టైల్ x), మరియు y , (\ డిస్ప్లే స్టైల్ y,)ఏకీకరణపై మనకు అసంపూర్ణమైన ఫంక్షన్ వస్తుంది φ , (\డిస్ప్లేస్టైల్ \varphi ,)గా నియమించబడినది φ ~ (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\టిల్డే (\varphi ))). ఫలితం కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది y (\డిస్ప్లేస్టైల్ y)ఏకీకరణ స్థిరాంకం.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • దీని తరువాత, పొందడానికి c (y) (\డిస్ప్లేస్టైల్ c(y))ఫలిత ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాన్ని మనం సంబంధించి తీసుకోవచ్చు y , (\ డిస్ప్లే స్టైల్ y,)ఫలితాన్ని సమం చేయండి N (x , y) (\డిస్ప్లేస్టైల్ N(x,y))మరియు ఏకీకృతం చేయండి. మీరు కూడా మొదటి ఇంటిగ్రేట్ చేయవచ్చు N (\డిస్ప్లేస్టైల్ N), ఆపై సంబంధించి పాక్షిక ఉత్పన్నం తీసుకోండి x (\డిస్ప్లేస్టైల్ x), ఇది ఏకపక్ష ఫంక్షన్‌ను కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది d(x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ d(x))రెండు పద్ధతులు అనుకూలంగా ఉంటాయి మరియు సాధారణంగా ఏకీకరణ కోసం సరళమైన ఫంక్షన్ ఎంపిక చేయబడుతుంది.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(frac (\ పాక్షిక (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • ఉదాహరణ 1.5.మీరు పాక్షిక ఉత్పన్నాలను తీసుకోవచ్చు మరియు దిగువ సమీకరణం మొత్తం అవకలన సమీకరణం అని చూడవచ్చు.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\ డిస్ప్లేస్టైల్ 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin (aligned)\varp &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\డిస్ప్లేస్టైల్ x^(3)+xy^(2)=C)
   • అవకలన సమీకరణం మొత్తం అవకలన సమీకరణం కానట్లయితే, కొన్ని సందర్భాల్లో మీరు దానిని మొత్తం అవకలన సమీకరణంగా మార్చడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే సమగ్ర కారకాన్ని కనుగొనవచ్చు. అయినప్పటికీ, ఇటువంటి సమీకరణాలు ఆచరణలో చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడతాయి మరియు సమగ్ర కారకం అయినప్పటికీ ఉంది, దానిని కనుగొనడం జరుగుతుంది సులభం కాదు, కాబట్టి ఈ సమీకరణాలు ఈ వ్యాసంలో పరిగణించబడవు.

పార్ట్ 2

1. స్థిరమైన గుణకాలతో సజాతీయ సరళ అవకలన సమీకరణాలు.ఈ సమీకరణాలు ఆచరణలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి, కాబట్టి వాటి పరిష్కారం ప్రాథమిక ప్రాముఖ్యత కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మేము సజాతీయ ఫంక్షన్ల గురించి మాట్లాడటం లేదు, కానీ సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున 0 ఉన్న వాస్తవం గురించి. తదుపరి విభాగం సంబంధిత వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో చూపుతుంది విజాతీయమైనఅవకలన సమీకరణాలు. క్రింద a (\ displaystyle a)మరియు b (\డిస్ప్లేస్టైల్ బి)స్థిరంగా ఉంటాయి.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\dsplaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   లక్షణ సమీకరణం. ఈ అవకలన సమీకరణం విశేషమైనది, దాని పరిష్కారాలు ఏ లక్షణాలను కలిగి ఉండాలో మీరు శ్రద్ధ వహిస్తే చాలా సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు. సమీకరణం నుండి అది స్పష్టంగా ఉంది y (\డిస్ప్లేస్టైల్ y)మరియు దాని ఉత్పన్నాలు ఒకదానికొకటి అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి. మొదటి-ఆర్డర్ సమీకరణాల విభాగంలో చర్చించబడిన మునుపటి ఉదాహరణల నుండి, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌కు మాత్రమే ఈ లక్షణం ఉందని మాకు తెలుసు. అందువలన, ముందుకు ఉంచడం సాధ్యమవుతుంది అన్సాట్జ్(ఒక విద్యావంతుల అంచనా) ఇచ్చిన సమీకరణానికి పరిష్కారం ఏమిటి అనే దాని గురించి.

   • పరిష్కారం ఘాతాంక ఫంక్షన్ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది e r x , (\డిస్ప్లేస్టైల్ e^(rx),)ఎక్కడ r (\డిస్ప్లేస్టైల్ r)విలువను కనుగొనవలసిన స్థిరాంకం. ఈ ఫంక్షన్‌ను సమీకరణంలోకి మార్చండి మరియు క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందండి
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • ఈ సమీకరణం ఘాతాంక ఫంక్షన్ మరియు బహుపది యొక్క ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి అని సూచిస్తుంది. డిగ్రీ యొక్క ఏదైనా విలువలకు ఘాతాంకం సున్నాకి సమానంగా ఉండదని తెలుసు. దీని నుండి మనం బహుపది సున్నాకి సమానం అని నిర్ధారించాము. ఈ విధంగా, మేము అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే సమస్యను బీజగణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో చాలా సరళమైన సమస్యకు తగ్గించాము, ఇది ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణానికి లక్షణ సమీకరణం అని పిలుస్తారు.
     • r 2 + a r + b = 0 (\ displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = - a ± a 2 − 4 b 2 (\ displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • మాకు రెండు మూలాలు వచ్చాయి. ఈ అవకలన సమీకరణం సరళంగా ఉన్నందున, దాని సాధారణ పరిష్కారం పాక్షిక పరిష్కారాల సరళ కలయిక. ఇది రెండవ ఆర్డర్ సమీకరణం కాబట్టి, ఇది అని మనకు తెలుసు నిజంగాసాధారణ పరిష్కారం, మరియు ఇతరులు ఏవీ లేవు. దీనికి మరింత కఠినమైన సమర్థన పాఠ్యపుస్తకాలలో కనుగొనబడే పరిష్కారం యొక్క ఉనికి మరియు ప్రత్యేకతపై సిద్ధాంతాలలో ఉంది.
   • రెండు పరిష్కారాలు సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయడానికి ఉపయోగకరమైన మార్గం లెక్కించడం వ్రోన్స్కియానా. వ్రోన్స్కియన్ W (\డిస్ప్లేస్టైల్ W)కాలమ్‌లు ఫంక్షన్‌లు మరియు వాటి వరుస ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉండే మాతృక యొక్క నిర్ణాయకం. వ్రోన్స్కియన్ సున్నాకి సమానం అయితే వ్రాన్‌స్కియన్‌లో చేర్చబడిన విధులు సరళంగా ఆధారపడి ఉంటాయని లీనియర్ ఆల్జీబ్రా సిద్ధాంతం పేర్కొంది. ఈ విభాగంలో మనం రెండు పరిష్కారాలు సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయవచ్చు - దీన్ని చేయడానికి వ్రోన్స్కియన్ సున్నా కాదని నిర్ధారించుకోవాలి. విభిన్న పారామితుల పద్ధతి ద్వారా స్థిరమైన గుణకాలతో అసమాన అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు వ్రోన్స్కియన్ ముఖ్యమైనది.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • లీనియర్ బీజగణితం పరంగా, ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణానికి అన్ని పరిష్కారాల సమితి ఒక వెక్టార్ స్పేస్‌ను ఏర్పరుస్తుంది, దీని పరిమాణం అవకలన సమీకరణ క్రమానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ స్థలంలో ఒక ఆధారాన్ని ఎంచుకోవచ్చు సరళ స్వతంత్రఒకరి నుండి ఒకరు నిర్ణయాలు. ఫంక్షన్ వాస్తవం కారణంగా ఇది సాధ్యమవుతుంది y (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ y(x))చెల్లుతుంది సరళ ఆపరేటర్. ఉత్పన్నం ఉందిలీనియర్ ఆపరేటర్, ఎందుకంటే ఇది డిఫరెన్సిబుల్ ఫంక్షన్‌ల స్థలాన్ని అన్ని ఫంక్షన్‌ల స్పేస్‌గా మారుస్తుంది. ఏదైనా లీనియర్ ఆపరేటర్ కోసం సమీకరణాలు ఆ సందర్భాలలో సజాతీయంగా పిలువబడతాయి L (\డిస్ప్లేస్టైల్ L)మేము సమీకరణానికి పరిష్కారం కనుగొనాలి L [y ] = 0. (\డిస్ప్లేస్టైల్ L[y]=0.)

   ఇప్పుడు మనం అనేక నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం. క్రమాన్ని తగ్గించే విభాగంలో, లక్షణ సమీకరణం యొక్క బహుళ మూలాల కేసును మేము కొంచెం తరువాత పరిశీలిస్తాము.

   మూలాలు ఉంటే r ± (\డిస్ప్లేస్టైల్ r_(\pm))విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు, అవకలన సమీకరణం క్రింది పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r - x (\ displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   రెండు సంక్లిష్ట మూలాలు.బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం నుండి, వాస్తవ గుణకాలతో బహుపది సమీకరణాలకు పరిష్కారాలు నిజమైన మూలాలను కలిగి ఉంటాయి లేదా సంయోగ జతలను ఏర్పరుస్తాయి. కాబట్టి, సంక్లిష్ట సంఖ్య అయితే r = α + i β (\డిస్ప్లేస్టైల్ r=\alpha +i\beta)లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలం, అప్పుడు r ∗ = α − i β (\డిస్ప్లేస్టైల్ r^(*)=\alpha -i\beta )అనేది కూడా ఈ సమీకరణానికి మూలం. అందువలన, మేము రూపంలో పరిష్కారం వ్రాయవచ్చు c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\డిస్ప్లేస్టైల్ c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)అయినప్పటికీ, ఇది సంక్లిష్ట సంఖ్య మరియు ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి కోరుకోదగినది కాదు.

   • బదులుగా మీరు ఉపయోగించవచ్చు ఆయిలర్ సూత్రం e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), ఇది త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల రూపంలో పరిష్కారాన్ని వ్రాయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x - i c 2 sin ⁡ β x) (\ displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos బీటా x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • ఇప్పుడు మీరు స్థిరమైన బదులుగా చేయవచ్చు c 1 + c 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ c_(1)+c_(2))వ్రాయండి c 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ c_(1)), మరియు వ్యక్తీకరణ i (c 1 - c 2) (\ displaystyle i(c_(1)-c_(2)))ద్వారా భర్తీ చేయబడింది c 2 . (\displaystyle c_(2).)దీని తరువాత మేము ఈ క్రింది పరిష్కారాన్ని పొందుతాము:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • వ్యాప్తి మరియు దశ పరంగా పరిష్కారాన్ని వ్రాయడానికి మరొక మార్గం ఉంది, ఇది భౌతిక సమస్యలకు బాగా సరిపోతుంది.
   • ఉదాహరణ 2.1.ఇవ్వబడిన ప్రారంభ పరిస్థితులతో క్రింద ఇవ్వబడిన అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఫలిత పరిష్కారాన్ని తీసుకోవాలి, అలాగే దాని ఉత్పన్నం, మరియు వాటిని ప్రారంభ పరిస్థితుల్లోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి, ఇది ఏకపక్ష స్థిరాంకాలను గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) ^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 i (\ డిస్ప్లే స్టైల్ r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\కుడి))
     • x (0) = 1 = c 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 31 sin ⁡ + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\ఎడమ(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\కుడి)\ ముగింపు(సమలేఖనం చేయబడింది)))
     • x ′ (0) = − 1 = - 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\ displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\ displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\కుడి))
   
   స్థిరమైన గుణకాలతో nth ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తుంది (Intuit - నేషనల్ ఓపెన్ యూనివర్సిటీ ద్వారా రికార్డ్ చేయబడింది).

2. తగ్గుతున్న క్రమం.ఆర్డర్ తగ్గింపు అనేది ఒక సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారం తెలిసినప్పుడు అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక పద్ధతి. ఈ పద్ధతిలో సమీకరణం యొక్క క్రమాన్ని ఒకటిగా తగ్గించడం ఉంటుంది, ఇది మునుపటి విభాగంలో వివరించిన పద్ధతులను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. పరిష్కారం తెలియజేయండి. ఆర్డర్ తగ్గింపు యొక్క ప్రధాన ఆలోచన ఏమిటంటే, దిగువ రూపంలో ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం, ఇక్కడ ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించడం అవసరం. v (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ v(x)), దానిని అవకలన సమీకరణంలోకి మార్చడం మరియు కనుగొనడం v(x) (\displaystyle v(x))స్థిరమైన గుణకాలు మరియు బహుళ మూలాలతో అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఆర్డర్ తగ్గింపును ఎలా ఉపయోగించవచ్చో చూద్దాం.

   
   

   బహుళ మూలాలుస్థిరమైన గుణకాలతో సజాతీయ అవకలన సమీకరణం. రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణం తప్పనిసరిగా రెండు సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలను కలిగి ఉండాలని గుర్తుంచుకోండి. లక్షణ సమీకరణం బహుళ మూలాలను కలిగి ఉంటే, పరిష్కారాల సమితి కాదుఈ పరిష్కారాలు సరళంగా ఆధారపడి ఉంటాయి కాబట్టి ఖాళీని ఏర్పరుస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, రెండవ సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి ఆర్డర్ తగ్గింపును ఉపయోగించడం అవసరం.

   • లక్షణ సమీకరణం బహుళ మూలాలను కలిగి ఉండనివ్వండి r (\డిస్ప్లేస్టైల్ r). రెండవ పరిష్కారాన్ని రూపంలో వ్రాయవచ్చని అనుకుందాం y (x) = e r x v (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ y(x)=e^(rx)v(x)), మరియు దానిని అవకలన సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. ఈ సందర్భంలో, ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నంతో పదం మినహా చాలా నిబంధనలు v , (\ displaystyle v,)తగ్గుతుంది.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ v""(x)e^(rx)=0)
   • ఉదాహరణ 2.2.బహుళ మూలాలను కలిగి ఉన్న కింది సమీకరణాన్ని ఇవ్వనివ్వండి r = - 4. (\డిస్ప్లేస్టైల్ r=-4.)ప్రత్యామ్నాయం సమయంలో, చాలా నిబంధనలు తగ్గించబడతాయి.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e - 4 x y ′ = v ′ (x) e - 4 x - 4 v (x) e - 4 x y ″ = v ″ (x) e - 4 x − (8 v) − 4 x + 16 v (x) e - 4 x (\ displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(సమలేఖనం చేయబడింది)))
     • v ″ e - 4 x - 8 v ′ e - 4 x + 16 v e - 4 x + 8 v ′ e - 4 x - 32 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v )v""e^(-4x)&-(\రద్దు (8v"e^(-4x)))+(\రద్దు (16ve^(-4x)))\\&+(\రద్దు (8v"e) ^(-4x)))-(\రద్దు (32ve^(-4x)))+(\రద్దు (16ve^(-4x)))=0\ ముగింపు(సమలేఖనం చేయబడింది)))
   • స్థిరమైన గుణకాలతో అవకలన సమీకరణం కోసం మా అన్సాట్జ్ మాదిరిగానే, ఈ సందర్భంలో రెండవ ఉత్పన్నం మాత్రమే సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. మేము రెండుసార్లు ఏకీకృతం చేస్తాము మరియు కావలసిన వ్యక్తీకరణను పొందుతాము v (\డిస్ప్లేస్టైల్ v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\డిస్ప్లేస్టైల్ v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • లక్షణ సమీకరణం బహుళ మూలాలను కలిగి ఉన్న సందర్భంలో స్థిరమైన గుణకాలతో కూడిన అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని క్రింది రూపంలో వ్రాయవచ్చు. సౌలభ్యం కోసం, సరళ స్వాతంత్ర్యం పొందడానికి రెండవ పదాన్ని గుణిస్తే సరిపోతుందని మీరు గుర్తుంచుకోవచ్చు x (\డిస్ప్లేస్టైల్ x). ఈ పరిష్కారాల సమితి సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది మరియు ఈ సమీకరణానికి మేము అన్ని పరిష్కారాలను కనుగొన్నాము.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\డిస్ప్లేస్టైల్ y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)పరిష్కారం తెలిస్తే ఆర్డర్ తగ్గింపు వర్తిస్తుంది y 1 (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(1)(x)), ఇది సమస్య ప్రకటనలో కనుగొనవచ్చు లేదా ఇవ్వబడుతుంది.

   • మేము రూపంలో పరిష్కారం కోసం చూస్తున్నాము y (x) = v (x) y 1 (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ y(x)=v(x)y_(1)(x))మరియు దానిని ఈ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1′ + q (x)) = 0 (\డిస్‌ప్లేస్టైల్ v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • ఎందుకంటే y 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(1))అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం, అన్ని నిబంధనలు v (\డిస్ప్లేస్టైల్ v)తగ్గించబడుతున్నాయి. చివరికి అది మిగిలిపోయింది మొదటి ఆర్డర్ సరళ సమీకరణం. దీన్ని మరింత స్పష్టంగా చూడడానికి, వేరియబుల్స్‌లో మార్పు చేద్దాం w (x) = v ′ (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\ displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\ displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x))+p(x)\కుడి)(\mathrm (d) )x\కుడి))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • సమగ్రాలను లెక్కించగలిగితే, ప్రాథమిక విధుల కలయికగా మేము సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందుతాము. లేకపోతే, పరిష్కారం సమగ్ర రూపంలో వదిలివేయబడుతుంది.

3. కౌచీ-యూలర్ సమీకరణం. Cauchy-Euler సమీకరణం రెండవ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణానికి ఉదాహరణ వేరియబుల్స్గుణకాలు, ఇది ఖచ్చితమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ సమీకరణం ఆచరణలో ఉపయోగించబడుతుంది, ఉదాహరణకు, గోళాకార కోఆర్డినేట్లలో లాప్లేస్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\ displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   లక్షణ సమీకరణం.మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఈ అవకలన సమీకరణంలో, ప్రతి పదం శక్తి కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దీని డిగ్రీ సంబంధిత ఉత్పన్నం యొక్క క్రమానికి సమానంగా ఉంటుంది.

   • అందువలన, మీరు రూపంలో పరిష్కారం కోసం ప్రయత్నించవచ్చు y (x) = x n , (\డిస్ప్లేస్టైల్ y(x)=x^(n),)ఎక్కడ గుర్తించాలి n (\displaystyle n), స్థిరమైన గుణకాలతో కూడిన సరళ అవకలన సమీకరణం కోసం ఘాతాంక ఫంక్షన్ రూపంలో మనం పరిష్కారం కోసం చూస్తున్నట్లే. భేదం మరియు ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత మనకు లభిస్తుంది
     • x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • లక్షణ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడానికి, మనం దానిని ఊహించాలి x ≠ 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ x\neq 0). చుక్క x = 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ x=0)అని పిలిచారు సాధారణ ఏక బిందువుఅవకలన సమీకరణం. పవర్ సిరీస్ ఉపయోగించి అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఇటువంటి పాయింట్లు ముఖ్యమైనవి. ఈ సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది, అవి భిన్నమైనవి మరియు వాస్తవమైనవి, బహుళ లేదా సంక్లిష్ట సంయోగం కావచ్చు.
     • n ± = 1 - a ± (a - 1) 2 − 4 b 2 (\ displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^2)-4b )))(2)))

   రెండు వేర్వేరు నిజమైన మూలాలు.మూలాలు ఉంటే n ± (\ డిస్ప్లేస్టైల్ n_(\pm ))నిజమైనవి మరియు విభిన్నమైనవి, అప్పుడు అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\ displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   రెండు సంక్లిష్ట మూలాలు.లక్షణ సమీకరణం మూలాలను కలిగి ఉంటే n ± = α ± β i (\ displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), పరిష్కారం ఒక సంక్లిష్ట విధి.

   • పరిష్కారాన్ని నిజమైన ఫంక్షన్‌గా మార్చడానికి, మేము వేరియబుల్స్‌లో మార్పు చేస్తాము x = e t , (\డిస్ప్లేస్టైల్ x=e^(t),)అంటే t = ln ⁡ x , (\డిస్ప్లేస్టైల్ t=\ln x,)మరియు యూలర్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి. ఏకపక్ష స్థిరాంకాలను నిర్ణయించేటప్పుడు ఇలాంటి చర్యలు గతంలో నిర్వహించబడ్డాయి.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\ displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • అప్పుడు సాధారణ పరిష్కారాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   బహుళ మూలాలు.రెండవ సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాన్ని పొందేందుకు, మళ్లీ ఆర్డర్‌ను తగ్గించడం అవసరం.

   • ఇది చాలా లెక్కలను తీసుకుంటుంది, కానీ సూత్రం అలాగే ఉంటుంది: మేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము y = v (x) y 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ y=v(x)y_(1))మొదటి పరిష్కారం ఉన్న సమీకరణంలోకి y 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(1)). తగ్గింపు తర్వాత, కింది సమీకరణం పొందబడుతుంది:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • ఇది సంబంధించి మొదటి ఆర్డర్ సరళ సమీకరణం v′ (x) . (\displaystyle v"(x))అతని పరిష్కారం v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)అందువలన, పరిష్కారం క్రింది రూపంలో వ్రాయవచ్చు. ఇది గుర్తుంచుకోవడం చాలా సులభం - రెండవ సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాన్ని పొందేందుకు కేవలం అదనపు పదం అవసరం ln ⁡ x (\డిస్ప్లేస్టైల్ \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. స్థిరమైన గుణకాలతో అసమాన సరళ అవకలన సమీకరణాలు.అసమాన సమీకరణాలు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)ఎక్కడ f (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ f(x))- అని పిలవబడే ఉచిత సభ్యుడు. అవకలన సమీకరణాల సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఈ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం సూపర్‌పొజిషన్ ప్రైవేట్ పరిష్కారం y p (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(p)(x))మరియు అదనపు పరిష్కారం y c (x) . (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(c)(x).)అయితే, ఈ సందర్భంలో, ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం అంటే ప్రారంభ పరిస్థితుల ద్వారా ఇవ్వబడిన పరిష్కారం కాదు, కానీ భిన్నత్వం (ఉచిత పదం) ఉనికి ద్వారా నిర్ణయించబడే పరిష్కారం. అదనపు పరిష్కారం అనేది సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారం f (x) = 0. (\డిస్ప్లేస్టైల్ f(x)=0.)మొత్తం పరిష్కారం ఈ రెండు పరిష్కారాల యొక్క సూపర్‌పొజిషన్, ఎందుకంటే L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), మరియు అప్పటి నుండి L [y c ] = 0 , (\డిస్ప్లేస్టైల్ L=0,)అటువంటి సూపర్‌పొజిషన్ నిజానికి ఒక సాధారణ పరిష్కారం.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\dsplaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   నిర్ణయించబడని గుణకాల పద్ధతి.ఇంటర్‌సెప్ట్ పదం ఎక్స్‌పోనెన్షియల్, త్రికోణమితి, హైపర్‌బోలిక్ లేదా పవర్ ఫంక్షన్‌ల కలయిక అయిన సందర్భాల్లో నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ ఫంక్షన్‌లు మాత్రమే పరిమిత సంఖ్యలో సరళ స్వతంత్ర ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంటాయని హామీ ఇవ్వబడుతుంది. ఈ విభాగంలో మనం సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము.

   • లో నిబంధనలను పోల్చి చూద్దాం f (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ f(x))స్థిరమైన కారకాలపై దృష్టి పెట్టకుండా నిబంధనలతో. మూడు సాధ్యమైన కేసులు ఉన్నాయి.
     • ఇద్దరు సభ్యులు ఒకేలా ఉండరు.ఈ సందర్భంలో, ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం y p (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(p))నుండి నిబంధనల సరళ కలయిక ఉంటుంది y p (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(p))
     • f (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ f(x)) సభ్యుని కలిగి ఉంది x n (\డిస్ప్లేస్టైల్ x^(n)) మరియు సభ్యుడు y c , (\ displaystyle y_(c),) ఎక్కడ n (\displaystyle n) సున్నా లేదా సానుకూల పూర్ణాంకం, మరియు ఈ పదం లక్షణ సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక మూలానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.ఈ విషయంలో y p (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(p))ఫంక్షన్ కలయికను కలిగి ఉంటుంది x n + 1 h (x) , (\ displaystyle x^(n+1)h(x),)దాని సరళ స్వతంత్ర ఉత్పన్నాలు, అలాగే ఇతర నిబంధనలు f (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ f(x))మరియు వాటి సరళ స్వతంత్ర ఉత్పన్నాలు.
     • f (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ f(x)) సభ్యుని కలిగి ఉంది h (x) , (\డిస్ప్లేస్టైల్ h(x),) ఇది ఒక పని x n (\డిస్ప్లేస్టైల్ x^(n)) మరియు సభ్యుడు y c , (\ displaystyle y_(c),) ఎక్కడ n (\displaystyle n) 0 లేదా ధన పూర్ణాంకానికి సమానం, మరియు ఈ పదానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది బహుళలక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలం.ఈ విషయంలో y p (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(p))ఫంక్షన్ యొక్క సరళ కలయిక x n + s h (x) (\ displaystyle x^(n+s)h(x))(ఎక్కడ s (\డిస్ప్లేస్టైల్ లు)- రూట్ యొక్క బహుళత్వం) మరియు దాని సరళ స్వతంత్ర ఉత్పన్నాలు, అలాగే ఫంక్షన్‌లోని ఇతర సభ్యులు f (x) (\డిస్ప్లేస్టైల్ f(x))మరియు దాని సరళ స్వతంత్ర ఉత్పన్నాలు.
   • రాసుకుందాం y p (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(p))పైన జాబితా చేయబడిన నిబంధనల యొక్క సరళ కలయికగా. సరళ కలయికలో ఈ గుణకాల కారణంగా, ఈ పద్ధతిని "నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి" అని పిలుస్తారు. లో ఉన్నప్పుడు y c (\ displaystyle y_(c))లో ఏకపక్ష స్థిరాంకాల ఉనికి కారణంగా సభ్యులను విస్మరించవచ్చు వై సి. (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(c).)దీని తరువాత మేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము y p (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(p))సమీకరణంలోకి మరియు సారూప్య పదాలను సమం చేయండి.
   • మేము గుణకాలను నిర్ణయిస్తాము. ఈ దశలో, బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ పొందబడుతుంది, ఇది సాధారణంగా సమస్యలు లేకుండా పరిష్కరించబడుతుంది. ఈ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం మాకు పొందటానికి అనుమతిస్తుంది y p (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(p))మరియు తద్వారా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
   • ఉదాహరణ 2.3.ఉచిత పదం పరిమిత సంఖ్యలో సరళ స్వతంత్ర ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉన్న అసమాన అవకలన సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం. అటువంటి సమీకరణానికి నిర్దిష్ట పరిష్కారం నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి ద్వారా కనుగొనబడుతుంది.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\ displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − 5 \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(సమలేఖనం చేయబడింది)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\ displaystyle (\begin(cases) 9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ ముగింపు (కేసులు)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   లాగ్రాంజ్ పద్ధతి. Lagrange పద్ధతి, లేదా ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి, అసమాన అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మరింత సాధారణ పద్ధతి, ప్రత్యేకించి ఇంటర్‌సెప్ట్ పదం పరిమిత సంఖ్యలో సరళ స్వతంత్ర ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉండని సందర్భాలలో. ఉదాహరణకు, ఉచిత నిబంధనలతో టాన్ ⁡ x (\డిస్ప్లేస్టైల్ \tan x)లేదా x - n (\డిస్ప్లేస్టైల్ x^(-n))ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి Lagrange పద్ధతిని ఉపయోగించడం అవసరం. లాగ్రాంజ్ పద్ధతిని వేరియబుల్ కోఎఫీషియంట్స్‌తో అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి కూడా ఉపయోగించవచ్చు, అయితే ఈ సందర్భంలో, కౌచీ-యూలర్ సమీకరణం మినహా, ఇది తక్కువ తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, ఎందుకంటే అదనపు పరిష్కారం సాధారణంగా ప్రాథమిక విధుల పరంగా వ్యక్తీకరించబడదు.

   • పరిష్కారం క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉందని అనుకుందాం. దీని ఉత్పన్నం రెండవ పంక్తిలో ఇవ్వబడింది.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\ displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\ displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • ప్రతిపాదిత పరిష్కారం కలిగి ఉన్నందున రెండుతెలియని పరిమాణాలు, విధించడం అవసరం అదనపుపరిస్థితి. కింది రూపంలో ఈ అదనపు షరతును ఎంచుకుందాం:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\ డిస్ప్లేస్టైల్ v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\ displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\ displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • ఇప్పుడు మనం రెండవ సమీకరణాన్ని పొందవచ్చు. సభ్యుల ప్రత్యామ్నాయం మరియు పునఃపంపిణీ తర్వాత, మీరు సభ్యులను సమూహపరచవచ్చు v 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ v_(1))మరియు సభ్యులు v 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ v_(2)). ఎందుకంటే ఈ నిబంధనలు తగ్గించబడ్డాయి y 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(1))మరియు y 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ y_(2))సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాలు. ఫలితంగా, మేము క్రింది సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\ displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\ end(aligned)))
   • ఈ వ్యవస్థ రూపం యొక్క మాతృక సమీకరణంగా మార్చబడుతుంది A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)దీని పరిష్కారం x = A - 1 బి . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)మాతృక కోసం 2 × 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ 2\టైమ్స్ 2)విలోమ మాతృక నిర్ణాయకం ద్వారా విభజించడం, వికర్ణ మూలకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం మరియు వికర్ణేతర మూలకాల చిహ్నాన్ని మార్చడం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది. వాస్తవానికి, ఈ మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి వ్రోన్స్కియన్.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ - y 2 - y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ ముగింపు(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • కోసం వ్యక్తీకరణలు v 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ v_(1))మరియు v 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ v_(2))క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి. ఆర్డర్ తగ్గింపు పద్ధతిలో వలె, ఈ సందర్భంలో, ఏకీకరణ సమయంలో, ఏకపక్ష స్థిరాంకం కనిపిస్తుంది, ఇది అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారంలో అదనపు పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
     • v 1 (x) = - ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   నేషనల్ ఓపెన్ యూనివర్శిటీ ఇంట్యూట్ నుండి ఉపన్యాసం "స్థిరమైన కోఎఫీషియంట్స్‌తో nth ఆర్డర్ యొక్క లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్స్."

ఆచరణాత్మక ఉపయోగం

అవకలన సమీకరణాలు ఒక ఫంక్షన్ మరియు దాని ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉత్పన్నాల మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఇటువంటి సంబంధాలు చాలా సాధారణం కాబట్టి, అవకలన సమీకరణాలు వివిధ రంగాలలో విస్తృత అనువర్తనాన్ని కనుగొన్నాయి మరియు మనం నాలుగు కోణాలలో జీవిస్తున్నందున, ఈ సమీకరణాలు తరచుగా అవకలన సమీకరణాలు ప్రైవేట్ఉత్పన్నాలు. ఈ విభాగం ఈ రకమైన కొన్ని ముఖ్యమైన సమీకరణాలను కవర్ చేస్తుంది.

• ఘాతాంక పెరుగుదల మరియు క్షయం.రేడియోధార్మిక క్షయం. చక్రవడ్డీ. రసాయన ప్రతిచర్యల రేటు. రక్తంలో ఔషధాల ఏకాగ్రత. అపరిమిత జనాభా పెరుగుదల. న్యూటన్-రిచ్‌మన్ చట్టం. వాస్తవ ప్రపంచంలో అనేక వ్యవస్థలు ఉన్నాయి, వీటిలో ఏ సమయంలోనైనా పెరుగుదల లేదా క్షీణత రేటు నిర్దిష్ట సమయంలో పరిమాణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది లేదా మోడల్ ద్వారా బాగా అంచనా వేయబడుతుంది. ఎందుకంటే, ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్, గణితం మరియు ఇతర శాస్త్రాలలో అత్యంత ముఖ్యమైన విధుల్లో ఒకటి. మరింత సాధారణంగా, నియంత్రిత జనాభా పెరుగుదలతో, సిస్టమ్ వృద్ధిని పరిమితం చేసే అదనపు నిబంధనలను కలిగి ఉండవచ్చు. దిగువ సమీకరణంలో, స్థిరాంకం k (\డిస్ప్లేస్టైల్ k)సున్నా కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువగా ఉండవచ్చు.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• హార్మోనిక్ కంపనాలు.క్లాసికల్ మరియు క్వాంటం మెకానిక్స్ రెండింటిలోనూ, హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ దాని సరళత మరియు సాధారణ లోలకం వంటి సంక్లిష్ట వ్యవస్థలను అంచనా వేయడంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించడం వలన అత్యంత ముఖ్యమైన భౌతిక వ్యవస్థలలో ఒకటి. క్లాసికల్ మెకానిక్స్‌లో, హార్మోనిక్ వైబ్రేషన్‌లు ఒక సమీకరణం ద్వారా వర్ణించబడతాయి, ఇది హుక్ యొక్క చట్టం ద్వారా దాని త్వరణానికి పదార్థ స్థానం యొక్క స్థానంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, డంపింగ్ మరియు డ్రైవింగ్ దళాలను కూడా పరిగణనలోకి తీసుకోవచ్చు. దిగువ వ్యక్తీకరణలో x ˙ (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\dot (x)))- సమయం ఉత్పన్నం x , (\ డిస్ప్లేస్టైల్ x,) β (\డిస్ప్లేస్టైల్ \బీటా)- డంపింగ్ శక్తిని వివరించే పరామితి, ω 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ \omega _(0))- వ్యవస్థ యొక్క కోణీయ ఫ్రీక్వెన్సీ, F (t) (\డిస్ప్లేస్టైల్ F(t))- సమయం-ఆధారిత చోదక శక్తి. హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ విద్యుదయస్కాంత ఓసిలేటరీ సర్క్యూట్‌లలో కూడా ఉంటుంది, ఇక్కడ ఇది యాంత్రిక వ్యవస్థల కంటే ఎక్కువ ఖచ్చితత్వంతో అమలు చేయబడుతుంది.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\dsplaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• బెస్సెల్ సమీకరణం.తరంగ సమీకరణం, లాప్లేస్ సమీకరణం మరియు ష్రోడింగర్ సమీకరణం, ముఖ్యంగా స్థూపాకార లేదా గోళాకార సమరూపతతో సహా భౌతికశాస్త్రంలోని అనేక రంగాలలో బెస్సెల్ అవకలన సమీకరణం ఉపయోగించబడుతుంది. వేరియబుల్ కోఎఫీషియంట్‌లతో కూడిన ఈ రెండవ-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం కౌచీ-యూలర్ సమీకరణం కాదు, కాబట్టి దాని పరిష్కారాలను ప్రాథమిక విధులుగా వ్రాయడం సాధ్యం కాదు. బెస్సెల్ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు బెస్సెల్ ఫంక్షన్‌లు, ఇవి అనేక రంగాలలో వాటి అప్లికేషన్ కారణంగా బాగా అధ్యయనం చేయబడ్డాయి. దిగువ వ్యక్తీకరణలో α (\ డిస్ప్లే స్టైల్ \ ఆల్ఫా )- అనుగుణంగా ఉండే స్థిరాంకం క్రమంలోబెస్సెల్ విధులు.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - α 2) y = 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• మాక్స్వెల్ సమీకరణాలు.లోరెంజ్ ఫోర్స్‌తో పాటు, మాక్స్‌వెల్ సమీకరణాలు క్లాసికల్ ఎలక్ట్రోడైనమిక్స్‌కు ఆధారం. ఇవి విద్యుత్ కోసం నాలుగు పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలు E (r , t) (\ displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))మరియు అయస్కాంత B (r , t) (\ displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))పొలాలు. దిగువ వ్యక్తీకరణలలో ρ = ρ (r , t) (\డిస్ప్లేస్టైల్ \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- ఛార్జ్ సాంద్రత, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- ప్రస్తుత సాంద్రత, మరియు ϵ 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ \epsilon _(0))మరియు μ 0 (\డిస్ప్లేస్టైల్ \mu _(0))- వరుసగా విద్యుత్ మరియు అయస్కాంత స్థిరాంకాలు.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\డిస్ప్లే స్టైల్ \\n\nఅజ్ఞాతం చేయబడింది (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• ష్రోడింగర్ సమీకరణం.క్వాంటం మెకానిక్స్‌లో, ష్రోడింగర్ సమీకరణం అనేది చలనం యొక్క ప్రాథమిక సమీకరణం, ఇది వేవ్ ఫంక్షన్‌లో మార్పుకు అనుగుణంగా కణాల కదలికను వివరిస్తుంది. Ψ = Ψ (r , t) (\ displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))సమయముతోపాటు. కదలిక యొక్క సమీకరణం ప్రవర్తన ద్వారా వివరించబడింది హామిల్టోనియన్ H^(\డిస్ప్లేస్టైల్ (\hat (H))) - ఆపరేటర్, ఇది వ్యవస్థ యొక్క శక్తిని వివరిస్తుంది. భౌతిక శాస్త్రంలో ష్రోడింగర్ సమీకరణం యొక్క ప్రసిద్ధ ఉదాహరణలలో ఒకటి సంభావ్యతకు లోబడి ఒకే సాపేక్షత లేని కణానికి సమీకరణం. V (r , t) (\డిస్ప్లేస్టైల్ V((\mathbf (r) ),t)). అనేక వ్యవస్థలు సమయం-ఆధారిత ష్రోడింగర్ సమీకరణం ద్వారా వివరించబడ్డాయి మరియు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున E Ψ , (\డిస్ప్లేస్టైల్ E\Psi ,)ఎక్కడ E (\డిస్ప్లేస్టైల్ E)- కణ శక్తి. దిగువ వ్యక్తీకరణలలో ℏ (\డిస్ప్లేస్టైల్ \hbar)- తగ్గిన ప్లాంక్ స్థిరాంకం.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\ displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\ displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\కుడి)\Psi )
• వేవ్ సమీకరణం.తరంగాలు లేకుండా ఫిజిక్స్ మరియు టెక్నాలజీని ఊహించలేము; అవి అన్ని రకాల వ్యవస్థలలో ఉన్నాయి. సాధారణంగా, తరంగాలు క్రింది సమీకరణం ద్వారా వివరించబడతాయి, దీనిలో u = u (r , t) (\ displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))కావలసిన ఫంక్షన్, మరియు సి (\డిస్ప్లేస్టైల్ సి)- ప్రయోగాత్మకంగా స్థిరంగా నిర్ణయించబడుతుంది. వన్-డైమెన్షనల్ కేస్ కోసం వేవ్ సమీకరణానికి పరిష్కారం అని డి'అలెంబర్ట్ మొదటిసారి కనుగొన్నాడు. ఏదైనావాదనతో పని x - c t (\డిస్ప్లేస్టైల్ x-ct), ఇది కుడివైపుకు వ్యాపించే ఏకపక్ష ఆకారం యొక్క తరంగాన్ని వివరిస్తుంది. వన్-డైమెన్షనల్ కేస్ కోసం సాధారణ పరిష్కారం వాదనతో రెండవ ఫంక్షన్‌తో ఈ ఫంక్షన్ యొక్క సరళ కలయిక x + c t (\డిస్ప్లేస్టైల్ x+ct), ఇది ఎడమ వైపుకు వ్యాపించే తరంగాన్ని వివరిస్తుంది. ఈ పరిష్కారం రెండవ పంక్తిలో ప్రదర్శించబడుతుంది.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x - c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• నావియర్-స్టోక్స్ సమీకరణాలు.నావియర్-స్టోక్స్ సమీకరణాలు ద్రవాల కదలికను వివరిస్తాయి. విజ్ఞాన శాస్త్రం మరియు సాంకేతిక పరిజ్ఞానం యొక్క దాదాపు ప్రతి రంగంలో ద్రవాలు ఉన్నందున, వాతావరణాన్ని అంచనా వేయడానికి, విమానాల రూపకల్పనకు, సముద్ర ప్రవాహాలను అధ్యయనం చేయడానికి మరియు అనేక ఇతర అనువర్తిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఈ సమీకరణాలు చాలా ముఖ్యమైనవి. నేవియర్-స్టోక్స్ సమీకరణాలు నాన్ లీనియర్ పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలు, మరియు చాలా సందర్భాలలో వాటిని పరిష్కరించడం చాలా కష్టం ఎందుకంటే నాన్ లీనియారిటీ అల్లకల్లోలానికి దారితీస్తుంది మరియు సంఖ్యా పద్ధతుల ద్వారా స్థిరమైన పరిష్కారాన్ని పొందాలంటే చాలా చిన్న సెల్‌లుగా విభజించడం అవసరం, దీనికి ముఖ్యమైన కంప్యూటింగ్ శక్తి అవసరం. హైడ్రోడైనమిక్స్‌లో ఆచరణాత్మక ప్రయోజనాల కోసం, అల్లకల్లోల ప్రవాహాలను మోడల్ చేయడానికి సమయం సగటు వంటి పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి. నాన్ లీనియర్ పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలకు పరిష్కారాల ఉనికి మరియు ప్రత్యేకత వంటి మరిన్ని ప్రాథమిక ప్రశ్నలు సవాలుగా ఉన్నాయి మరియు నేవియర్-స్టోక్స్ సమీకరణాలకు మూడు కోణాలలో పరిష్కారం యొక్క ఉనికి మరియు ప్రత్యేకతను నిరూపించడం సహస్రాబ్ది గణిత సమస్యలలో ఒకటి. దిగువన కుదించలేని ద్రవ ప్రవాహ సమీకరణం మరియు కొనసాగింపు సమీకరణం ఉన్నాయి.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\డిస్ప్లే స్టైల్ (\ufc) భాగం (\ub) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• పైన పేర్కొన్న పద్ధతులను ఉపయోగించి అనేక అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించలేము, ముఖ్యంగా చివరి విభాగంలో పేర్కొన్నవి. సమీకరణం వేరియబుల్ కోఎఫీషియంట్‌లను కలిగి ఉన్నప్పుడు మరియు కౌచీ-యూలర్ సమీకరణం కానప్పుడు లేదా కొన్ని చాలా అరుదైన సందర్భాల్లో మినహా సమీకరణం నాన్‌లీనియర్‌గా ఉన్నప్పుడు ఇది వర్తిస్తుంది. ఏదేమైనా, పైన పేర్కొన్న పద్ధతులు విజ్ఞాన శాస్త్రంలోని వివిధ రంగాలలో తరచుగా ఎదుర్కొనే అనేక ముఖ్యమైన అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించగలవు.
• ఏదైనా ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే భేదం కాకుండా, అనేక వ్యక్తీకరణల యొక్క సమగ్రతను ప్రాథమిక ఫంక్షన్లలో వ్యక్తీకరించలేము. కాబట్టి అసాధ్యమైన చోట సమగ్రతను లెక్కించడానికి ప్రయత్నిస్తూ సమయాన్ని వృథా చేయకండి. సమగ్రాల పట్టికను చూడండి. అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల పరంగా వ్యక్తీకరించబడకపోతే, కొన్నిసార్లు ఇది సమగ్ర రూపంలో సూచించబడుతుంది మరియు ఈ సందర్భంలో ఈ సమగ్రతను విశ్లేషణాత్మకంగా లెక్కించవచ్చా అనేది పట్టింపు లేదు.

హెచ్చరికలు

• స్వరూపంఅవకలన సమీకరణం తప్పుదారి పట్టించవచ్చు. ఉదాహరణకు, క్రింద రెండు మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలు ఉన్నాయి. ఈ వ్యాసంలో వివరించిన పద్ధతులను ఉపయోగించి మొదటి సమీకరణాన్ని సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు. మొదటి చూపులో, చిన్న మార్పు y (\డిస్ప్లేస్టైల్ y)పై y 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ y^(2))రెండవ సమీకరణంలో దానిని నాన్-లీనియర్‌గా చేస్తుంది మరియు పరిష్కరించడం చాలా కష్టమవుతుంది.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) x))=x^(2)+y^(2))

ఉత్పన్నానికి సంబంధించి ఇప్పటికే పరిష్కరించబడింది లేదా ఉత్పన్నానికి సంబంధించి వాటిని పరిష్కరించవచ్చు .

విరామంలో రకం యొక్క అవకలన సమీకరణాల సాధారణ పరిష్కారం X, ఇవ్వబడినది, ఈ సమానత్వం యొక్క రెండు వైపుల సమగ్రతను తీసుకోవడం ద్వారా కనుగొనవచ్చు.

మాకు దొరికింది .

మేము నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాలను పరిశీలిస్తే, మేము కోరుకున్న సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము:

y = F(x) + C,

ఎక్కడ F(x)- ఆదిమ విధుల్లో ఒకటి f(x)నడి మధ్యలో X, ఎ తో- ఏకపక్ష స్థిరాంకం.

దయచేసి చాలా సమస్యలలో విరామం అని గమనించండి Xసూచించవద్దు. అంటే ప్రతి ఒక్కరికీ ఒక పరిష్కారం కనుగొనాలి. x, దీని కోసం మరియు కావలసిన ఫంక్షన్ వై, మరియు అసలు సమీకరణం అర్ధవంతంగా ఉంటుంది.

మీరు ప్రారంభ స్థితిని సంతృప్తిపరిచే అవకలన సమీకరణానికి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉంటే y(x 0) = y 0, అప్పుడు సాధారణ సమగ్రాన్ని లెక్కించిన తర్వాత y = F(x) + C, స్థిరమైన విలువను గుర్తించడం ఇప్పటికీ అవసరం C = C 0, ప్రారంభ పరిస్థితిని ఉపయోగించి. అంటే, స్థిరమైనది C = C 0సమీకరణం నుండి నిర్ణయించబడింది F(x 0) + C = y 0, మరియు అవకలన సమీకరణం యొక్క కావలసిన పాక్షిక పరిష్కారం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

y = F(x) + C 0.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

అవకలన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొని, ఫలితం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేద్దాం. ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే ఈ సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

మేము ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణాన్ని ఏకీకృతం చేసిన తర్వాత, మనకు లభిస్తుంది:

.

భాగాల వారీగా ఏకీకరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ సమగ్రతను తీసుకుందాం:

అది., అవకలన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం.

ఫలితం సరైనదని నిర్ధారించుకోవడానికి, తనిఖీ చేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఇచ్చిన సమీకరణంలో కనుగొన్న పరిష్కారాన్ని భర్తీ చేస్తాము:

.

అంటే, ఎప్పుడు అసలు సమీకరణం గుర్తింపుగా మారుతుంది:

కాబట్టి, అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం సరిగ్గా నిర్ణయించబడింది.

మేము కనుగొన్న పరిష్కారం వాదన యొక్క ప్రతి వాస్తవ విలువకు అవకలన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం x.

ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే ODEకి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని లెక్కించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, స్థిరమైన విలువను లెక్కించడం అవసరం తో, దీనిలో సమానత్వం నిజం అవుతుంది:

.

.

అప్పుడు, ప్రత్యామ్నాయం సి = 2 ODE యొక్క సాధారణ పరిష్కారంలో, మేము ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే అవకలన సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని పొందుతాము:

.

సాధారణ అవకలన సమీకరణం సమీకరణం యొక్క 2 వైపులా విభజించడం ద్వారా ఉత్పన్నం కోసం పరిష్కరించవచ్చు f(x). ఒకవేళ ఈ పరివర్తన సమానంగా ఉంటుంది f(x)ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ సున్నాకి మారదు xఅవకలన సమీకరణం యొక్క ఏకీకరణ విరామం నుండి X.

వాదన యొక్క కొన్ని విలువల కోసం, సంభావ్య పరిస్థితులు ఉన్నాయి x ∈ Xవిధులు f(x)మరియు g(x)ఏకకాలంలో సున్నా అవుతుంది. సారూప్య విలువల కోసం xఅవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం ఏదైనా ఫంక్షన్ వై, ఇది వాటిలో నిర్వచించబడింది, ఎందుకంటే .

కొన్ని వాదన విలువలు ఉంటే x ∈ Xపరిస్థితి సంతృప్తికరంగా ఉంది, అంటే ఈ సందర్భంలో ODEకి పరిష్కారాలు లేవు.

అందరి కోసం xవిరామం నుండి Xఅవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం రూపాంతరం చెందిన సమీకరణం నుండి నిర్ణయించబడుతుంది.

ఉదాహరణలను చూద్దాం:

ఉదాహరణ 1.

ODEకి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి: .

పరిష్కారం.

ప్రాథమిక ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల లక్షణాల నుండి, సహజ సంవర్గమానం ఫంక్షన్ వాదన యొక్క ప్రతికూల విలువలకు నిర్వచించబడిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, కాబట్టి వ్యక్తీకరణ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ ln(x+3)ఒక విరామం ఉంది x > -3 . దీనర్థం ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం అర్థవంతంగా ఉంటుంది x > -3 . ఈ వాదన విలువలకు, వ్యక్తీకరణ x+3అదృశ్యం కాదు, కాబట్టి మీరు 2 భాగాలను విభజించడం ద్వారా ఉత్పన్నం కోసం ODEని పరిష్కరించవచ్చు x + 3.

మాకు దొరికింది .

తరువాత, ఉత్పన్నానికి సంబంధించి పరిష్కరించబడిన ఫలిత అవకలన సమీకరణాన్ని మేము ఏకీకృతం చేస్తాము: . ఈ సమగ్రతను తీసుకోవడానికి, మేము దానిని అవకలన గుర్తు క్రింద ఉపసంహరించుకునే పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము.