ఫంక్షన్ల పట్టిక విలువలు. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం సంభావ్యత పంపిణీ చట్టం
2.1 లాప్లేస్ యొక్క ఫంక్షన్ (సంభావ్యత సమగ్రం).ఇలా కనిపిస్తుంది:
లాప్లేస్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ Fig.5లో చూపబడింది.
ఫంక్షన్ ఎఫ్(X) పట్టికలో ఉంది (అనుబంధాల పట్టిక 1 చూడండి). ఈ పట్టికను ఉపయోగించడానికి, మీరు తెలుసుకోవాలి లాప్లేస్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు:
1) ఫంక్షన్ Ф( X) బేసి: ఎఫ్(-X)= -ఎఫ్(X).
2) ఫంక్షన్ ఎఫ్(X) మార్పు లేకుండా పెరుగుతోంది.
3) ఎఫ్(0)=0.
4) ఎఫ్(+¥ )=0,5; ఎఫ్(-¥ )=-0.5. ఆచరణలో, మేము x³5 ఫంక్షన్ కోసం ఊహించవచ్చు ఎఫ్(X)=0.5; x £ -5 ఫంక్షన్ కోసం ఎఫ్(X)=-0,5.
2.2. లాప్లేస్ ఫంక్షన్ యొక్క ఇతర రూపాలు ఉన్నాయి:
మరియు 
ఈ రూపాల వలె కాకుండా, ఫంక్షన్ ఎఫ్(X) ప్రామాణిక లేదా సాధారణీకరించిన లాప్లేస్ ఫంక్షన్ అంటారు. ఇది సంబంధాల ద్వారా ఇతర రూపాలకు సంబంధించినది:
 |
ఉదాహరణ 2.నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xపారామితులతో సాధారణ పంపిణీ చట్టాన్ని కలిగి ఉంది: m=3, లు=4. పరీక్ష ఫలితంగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ సంభావ్యతను కనుగొనండి X: a) విరామంలో ఉన్న విలువను తీసుకుంటుంది (2; 6); బి) 2 కంటే తక్కువ విలువను తీసుకుంటుంది; c) 10 కంటే ఎక్కువ విలువను తీసుకుంటుంది; d) గణిత నిరీక్షణ నుండి 2కి మించని మొత్తంతో వైదొలగండి. సమస్య యొక్క పరిష్కారాన్ని గ్రాఫికల్‌గా వివరించండి.
పరిష్కారం. a) సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ సంభావ్యత Xఇచ్చిన విరామం లోపల వస్తుంది ( a,b), ఎక్కడ a=2 మరియు బి=6 దీనికి సమానం:
లాప్లేస్ ఫంక్షన్ యొక్క విలువలు F(x)అనుబంధంలో ఇచ్చిన పట్టిక ప్రకారం నిర్ణయించబడుతుంది, దానిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది ఎఫ్(–X)= –ఎఫ్(X).
బి) సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ సంభావ్యత X 2 కంటే తక్కువ విలువను తీసుకుంటుంది, దీనికి సమానం:
c) సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ సంభావ్యత X 10 కంటే ఎక్కువ విలువను తీసుకుంటుంది, దీనికి సమానం:
d) సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ సంభావ్యత X డి=2 దీనికి సమానం:
రేఖాగణిత దృక్కోణం నుండి, లెక్కించిన సంభావ్యతలు సంఖ్యాపరంగా సాధారణ వక్రరేఖ క్రింద షేడెడ్ ప్రాంతాలకు సమానంగా ఉంటాయి (Fig. 6 చూడండి).
 |
|||
 |
|
అన్నం. 6. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం సాధారణ వక్రత X~ఎన్(3;4)
ఉదాహరణ 3.షాఫ్ట్ వ్యాసం క్రమబద్ధమైన (ఒక సంకేతం) లోపాలు లేకుండా కొలుస్తారు. యాదృచ్ఛిక కొలత లోపాలు 10 మిమీ ప్రామాణిక విచలనంతో సాధారణ పంపిణీ చట్టానికి లోబడి ఉంటాయి. సంపూర్ణ విలువలో 15 మిమీ మించని లోపంతో కొలత జరిగే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.యాదృచ్ఛిక దోషాల గణిత అంచనా సున్నా m Xకంటే తక్కువ మొత్తంలో గణిత నిరీక్షణ నుండి వైదొలగండి డి=15 దీనికి సమానం:
ఉదాహరణ 4. యంత్రం బంతులను చేస్తుంది. విచలనం ఉంటే బంతి చెల్లుబాటు అయ్యేదిగా పరిగణించబడుతుంది Xడిజైన్ పరిమాణం నుండి బంతి వ్యాసం సంపూర్ణ విలువలో 0.7 మిమీ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అని ఊహిస్తూ X 0.4 మిమీ ప్రామాణిక విచలనంతో సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడుతుంది, 100 తయారు చేసిన వాటిలో సగటున ఎన్ని మంచి బంతులు ఉంటాయో కనుగొనండి.
పరిష్కారం.యాదృచ్ఛిక విలువ X- డిజైన్ పరిమాణం నుండి బంతి వ్యాసం యొక్క విచలనం. విచలనం యొక్క గణిత అంచనా సున్నా, అనగా. ఎం(X)=m=0. అప్పుడు సంభావ్యత సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xకంటే తక్కువ మొత్తంలో గణిత నిరీక్షణ నుండి వైదొలగండి డి\u003d 0.7, దీనికి సమానం:
100 బంతుల్లో సుమారు 92 బంతులు బాగుంటాయి.
ఉదాహరణ 5."3" నియమాన్ని నిరూపించండి లు».
పరిష్కారం.ఒక సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ సంభావ్యత Xకంటే తక్కువ మొత్తంలో గణిత నిరీక్షణ నుండి వైదొలగండి d= 3లు, సమానముగా:
ఉదాహరణ 6.యాదృచ్ఛిక విలువ Xసాధారణంగా గణిత నిరీక్షణతో పంపిణీ చేయబడుతుంది m=10. సంభావ్యతను కొట్టండి Xవిరామంలో (10, 20) 0.3. కొట్టే సంభావ్యత ఏమిటి Xవిరామం (0, 10) లోకి?
పరిష్కారం.ఒక సాధారణ వక్రరేఖ సరళ రేఖకు సుష్టంగా ఉంటుంది X=m=10, కాబట్టి పైన సాధారణ వక్రరేఖతో మరియు దిగువన (0, 10) మరియు (10, 20) విరామాల ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. ప్రాంతాలు సంఖ్యాపరంగా కొట్టే సంభావ్యతలకు సమానం కాబట్టి Xతగిన విరామంలో.
స్థానిక మరియు సమగ్ర లాప్లేస్ సిద్ధాంతాలు
ఈ వ్యాసం గురించి పాఠం యొక్క సహజ కొనసాగింపు స్వతంత్ర పరీక్షలుమేము ఎక్కడ కలుసుకున్నాము బెర్నౌలీ ఫార్ములామరియు అంశంపై సాధారణ ఉదాహరణలను రూపొందించారు. లాప్లేస్ (మోయివ్రే-లాప్లేస్) యొక్క స్థానిక మరియు సమగ్ర సిద్ధాంతాలు చాలా పెద్ద సంఖ్యలో స్వతంత్ర పరీక్షలకు వర్తించే తేడాతో సారూప్య సమస్యను పరిష్కరిస్తాయి. “స్థానికం”, “సమగ్రం”, “సిద్ధాంతాలు” అనే పదాలను హుష్ అప్ చేయవలసిన అవసరం లేదు - లాప్లేస్ నెపోలియన్ గిరజాల తలపై తట్టినంత సౌలభ్యంతో పదార్థం ప్రావీణ్యం పొందింది. అందువల్ల, ఎటువంటి కాంప్లెక్స్‌లు మరియు ప్రాథమిక వ్యాఖ్యలు లేకుండా, మేము వెంటనే డెమో ఉదాహరణను పరిశీలిస్తాము:
నాణెం 400 సార్లు విసిరివేయబడింది. తలలు 200 సార్లు వచ్చే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
లక్షణ లక్షణాల ద్వారా, ఇక్కడ దరఖాస్తు అవసరం బెర్నౌలీ సూత్రం 
. ఈ అక్షరాల అర్థాన్ని గుర్తుంచుకోండి:
స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో యాదృచ్ఛిక సంఘటన సరిగ్గా ఒకసారి సంభవించే సంభావ్యత;
– ద్విపద గుణకం;
ప్రతి ట్రయల్‌లో జరిగే ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత;
మా పని కోసం:
మొత్తం పరీక్షల సంఖ్య;
- డేగ బయటకు రావాల్సిన త్రోల సంఖ్య;
ఈ విధంగా, 400 కాయిన్ టాసుల ఫలితంగా సరిగ్గా 200 తలలు వచ్చే సంభావ్యత: ...ఆపు, తర్వాత ఏమి చేయాలి? మైక్రోకాలిక్యులేటర్ (కనీసం గని) 400వ డిగ్రీని ఎదుర్కోలేదు మరియు లొంగిపోయింది కారకాలు. కానీ ఉత్పత్తి ద్వారా లెక్కించాలని నాకు అనిపించలేదు =) ఉపయోగించుకుందాం ఎక్సెల్ స్టాండర్డ్ ఫంక్షన్, ఇది రాక్షసుడిని ప్రాసెస్ చేయగలిగింది: .
నేను స్వీకరించిన వాటిపై మీ దృష్టిని ఆకర్షిస్తున్నాను ఖచ్చితమైనవిలువ మరియు అటువంటి పరిష్కారం ఆదర్శంగా ఉంది. తొలి చూపులో. ఇక్కడ కొన్ని బలవంతపు వ్యతిరేకతలు ఉన్నాయి:
- ముందుగా, సాఫ్ట్‌వేర్ చేతిలో ఉండకపోవచ్చు;
- మరియు రెండవది, పరిష్కారం ప్రామాణికం కానిదిగా కనిపిస్తుంది (అధిక సంభావ్యతతో మీరు దీన్ని మళ్లీ చేయాల్సి ఉంటుంది);
కాబట్టి, ప్రియమైన పాఠకులారా, సమీప భవిష్యత్తులో మేము దీని కోసం ఎదురు చూస్తున్నాము:
స్థానిక లాప్లేస్ సిద్ధాంతం
ప్రతి ట్రయల్‌లో యాదృచ్ఛిక సంఘటన సంభవించే సంభావ్యత స్థిరంగా ఉంటే, ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ సరిగ్గా ఒకసారి సంభవించే సంభావ్యత సుమారుగా సమానంగా ఉంటుంది: 
, ఎక్కడ .
ఈ సందర్భంలో, మరింత , మెరుగైన లెక్కించిన సంభావ్యత పొందిన ఖచ్చితమైన విలువను అంచనా వేస్తుంది (కనీసం ఊహాత్మకంగా)బెర్నౌలీ ఫార్ములా ప్రకారం. సిఫార్సు చేయబడిన కనీస పరీక్షల సంఖ్య సుమారు 50-100, లేకుంటే ఫలితం సత్యానికి దూరంగా ఉండవచ్చు. అదనంగా, స్థానిక లాప్లేస్ సిద్ధాంతం మెరుగ్గా పనిచేస్తుంది, సంభావ్యత 0.5కి దగ్గరగా ఉంటుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా - ఇది సున్నా లేదా ఒకదానికి దగ్గరగా ఉన్న విలువలకు గణనీయమైన లోపాన్ని ఇస్తుంది. ఈ కారణంగా, సూత్రం యొక్క ప్రభావవంతమైన ఉపయోగం కోసం మరొక ప్రమాణం 
అసమానత యొక్క నెరవేర్పు ()
.
కాబట్టి, ఉదాహరణకు, 50 ట్రయల్స్ కోసం లాప్లేస్ సిద్ధాంతం యొక్క అప్లికేషన్ సమర్థించబడుతుంది. కానీ ఉంటే మరియు , అప్పుడు ఉజ్జాయింపు (ఖచ్చితమైన విలువకు)చెడు ఉంటుంది.
ఎందుకు మరియు ప్రత్యేక ఫంక్షన్ గురించి 
మేము క్లాసులో మాట్లాడుతాము సాధారణ సంభావ్యత పంపిణీ, కానీ ప్రస్తుతానికి మనకు సమస్య యొక్క అధికారిక-గణన వైపు అవసరం. ముఖ్యంగా, ఒక ముఖ్యమైన వాస్తవం సమానత్వంఈ ఫంక్షన్: 
.
మన ఉదాహరణతో సంబంధాన్ని అధికారికం చేద్దాం:
టాస్క్ 1
నాణెం 400 సార్లు విసిరివేయబడింది. తలలు సరిగ్గా ల్యాండ్ అయ్యే సంభావ్యతను కనుగొనండి:
a) 200 సార్లు;
బి) 225 సార్లు.
ఎక్కడ ప్రారంభించాలి పరిష్కారం? మొదట, మనకు తెలిసిన పరిమాణాలను వ్రాసుకుందాం, తద్వారా అవి మన కళ్ళ ముందు ఉన్నాయి:
స్వతంత్ర పరీక్షల మొత్తం సంఖ్య;
ప్రతి టాస్‌లో తలలు పొందే సంభావ్యత;
తోకలు పొందడానికి సంభావ్యత.
a) 400 త్రోల శ్రేణిలో తలలు సరిగ్గా ఒకసారి పడిపోయే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పెద్ద సంఖ్యలో పరీక్షలు ఉన్నందున, మేము స్థానిక లాప్లేస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము: 
, ఎక్కడ 
.
మొదటి దశలో, మేము ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క అవసరమైన విలువను లెక్కిస్తాము:
తరువాత, మేము ఫంక్షన్ యొక్క సంబంధిత విలువను కనుగొంటాము: . ఇది అనేక విధాలుగా చేయవచ్చు. అన్నింటిలో మొదటిది, ప్రత్యక్ష గణనలు తలెత్తుతాయి:
రౌండింగ్ సాధారణంగా 4 దశాంశ స్థానాలకు నిర్వహించబడుతుంది.
ప్రత్యక్ష గణన యొక్క ప్రతికూలత ఏమిటంటే, ప్రతి మైక్రోకాలిక్యులేటర్ ఘాతాంకాన్ని జీర్ణం చేయదు, అదనంగా, లెక్కలు చాలా ఆహ్లాదకరంగా ఉండవు మరియు సమయం పడుతుంది. ఎందుకు అంత బాధ? వా డు టర్వర్ కాలిక్యులేటర్ (పాయింట్ 4)మరియు తక్షణమే విలువ పొందండి!
అదనంగా, ఉంది ఫంక్షన్ విలువ పట్టిక, ఇది ప్రాబబిలిటీ థియరీపై దాదాపు ఏ పుస్తకంలోనైనా అందుబాటులో ఉంటుంది, ప్రత్యేకించి పాఠ్యపుస్తకంలో V.E. గ్ముర్మాన్. డౌన్‌లోడ్ చేయండి, ఇంకా ఎవరు డౌన్‌లోడ్ చేయలేదు - సాధారణంగా చాలా ఉపయోగకరమైన అంశాలు ఉన్నాయి ;-) మరియు పట్టికను ఎలా ఉపయోగించాలో తెలుసుకోండి (ప్రస్తుతం!)- తగిన కంప్యూటర్ టెక్నాలజీ ఎల్లప్పుడూ చేతిలో ఉండకపోవచ్చు!
చివరి దశలో, మేము సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము 
:
400 టాసుల్లో నాణేల తలలు సరిగ్గా 200 సార్లు వచ్చే అవకాశం ఉంది.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, పొందిన ఫలితం లెక్కించిన ఖచ్చితమైన విలువకు చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది బెర్నౌలీ ఫార్ములా.
బి) 400 ట్రయల్స్ సిరీస్‌లో హెడ్‌లు సరిగ్గా ఒకసారి వచ్చే సంభావ్యతను కనుగొనండి. మేము స్థానిక లాప్లేస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము. ఒకటి, రెండు, మూడు - మరియు మీరు పూర్తి చేసారు:
కావలసిన సంభావ్యత.
సమాధానం:
తరువాతి ఉదాహరణ, చాలామంది ఊహించినట్లుగా, సంతానోత్పత్తికి అంకితం చేయబడింది - మరియు ఇది మీ స్వంతంగా నిర్ణయించుకోవడం కోసం :)
టాస్క్ 2
అబ్బాయి పుట్టే సంభావ్యత 0.52. 100 మంది నవజాత శిశువులలో ఖచ్చితంగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి: ఎ) 40 మంది అబ్బాయిలు, బి) 50 మంది అబ్బాయిలు, సి) 30 మంది బాలికలు.
4 దశాంశ స్థానాలకు రౌండ్ ఫలితాలు.
... "స్వతంత్ర పరీక్షలు" అనే పదబంధం ఇక్కడ ఆసక్తికరంగా ఉంది =) మార్గం ద్వారా, నిజమైనది గణాంక సంభావ్యతప్రపంచంలోని అనేక ప్రాంతాలలో అబ్బాయి జనన రేటు 0.51 నుండి 0.52 వరకు ఉంటుంది.
పాఠం చివరిలో ఒక పని యొక్క ఉదాహరణ.
సంఖ్యలు చాలా తక్కువగా ఉన్నాయని అందరూ గమనించారు మరియు ఇది తప్పుదారి పట్టించకూడదు - అన్నింటికంటే, మేము వ్యక్తిగత సంభావ్యత గురించి మాట్లాడుతున్నాము, స్థానికవిలువలు (అందుకే సిద్ధాంతం పేరు). మరియు అలాంటి అనేక విలువలు ఉన్నాయి మరియు అలంకారికంగా చెప్పాలంటే, సంభావ్యత "అందరికీ సరిపోతుంది." నిజమే, చాలా సంఘటనలు ఆచరణాత్మకంగా అసాధ్యం.
నాణేలతో ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి నేను పైన వివరించాను: నాలుగు వందల ట్రయల్స్ సిరీస్‌లో, తలలు సిద్ధాంతపరంగా 0 నుండి 400 సార్లు పడిపోతాయి మరియు ఈ సంఘటనలు ఏర్పడతాయి పూర్తి సమూహం:
అయితే, ఈ విలువలు చాలా తక్కువ మొత్తాన్ని సూచిస్తాయి, కాబట్టి, ఉదాహరణకు, తలలు 250 సార్లు పడిపోయే సంభావ్యత ఇప్పటికే పది మిలియన్లలో ఒకటి:. వంటి విలువల గురించి 
యుక్తిగా మౌనంగా ఉండు =)
మరోవైపు, నిరాడంబరమైన ఫలితాలను తక్కువగా అంచనా వేయకూడదు: ఇది గురించి మాత్రమే అయితే, తలలు పడిపోయే సంభావ్యత, చెప్పండి, 220 నుండి 250 సార్లు, చాలా గుర్తించదగ్గ ఉంటుంది.
ఇప్పుడు ఆలోచిద్దాం: ఈ సంభావ్యతను ఎలా లెక్కించాలి? ద్వారా లెక్కించవద్దు అననుకూల సంఘటనల సంభావ్యత కోసం అదనపు సిద్ధాంతంమొత్తం:
ఈ విలువలు చాలా సులభం ఏకం. మరియు ఏదైనా యూనియన్, మీకు తెలిసినట్లుగా, అంటారు అనుసంధానం:
లాప్లేస్ సమగ్ర సిద్ధాంతం
ప్రతి ట్రయల్‌లో యాదృచ్ఛిక సంఘటన సంభవించే సంభావ్యత స్థిరంగా ఉంటే, అప్పుడు సంభావ్యత 
ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ వస్తుంది వాస్తవం తక్కువ కాదు మరియు ఎక్కువ సార్లు కాదు (కాలానుగుణంగా కలుపుకొని), సుమారుగా దీనికి సమానం:
ఈ సందర్భంలో, ట్రయల్స్ సంఖ్య తప్పనిసరిగా తగినంత పెద్దదిగా ఉండాలి మరియు సంభావ్యత చాలా చిన్నది/అధికంగా ఉండదు (సుమారు), లేకుంటే ఉజ్జాయింపు అప్రధానంగా లేదా చెడుగా ఉంటుంది.
ఫంక్షన్ అంటారు లాప్లేస్ ఫంక్షన్, మరియు దాని విలువలు మళ్లీ ప్రామాణిక పట్టికలో సంగ్రహించబడ్డాయి ( దానితో ఎలా పని చేయాలో కనుగొని నేర్చుకోండి!!) మైక్రోకాలిక్యులేటర్ ఇక్కడ సహాయం చేయదు, ఎందుకంటే సమగ్రం ముడుచుకోలేనిది. కానీ Excel లో సంబంధిత కార్యాచరణ ఉంది - ఉపయోగం పాయింట్ 5 డిజైన్ లేఅవుట్.
ఆచరణలో, అత్యంత సాధారణ విలువలు:
- మీ నోట్‌బుక్‌లో రాసుకోండి.
నుండి ప్రారంభించి, మనం , లేదా, మరింత కఠినంగా వ్రాసినట్లయితే: 
అదనంగా, లాప్లేస్ ఫంక్షన్ బేసి: 
, మరియు ఈ ఆస్తి ఇప్పటికే మా కోసం వేచి ఉన్న టాస్క్‌లలో చురుకుగా ఉపయోగించబడుతోంది:
టాస్క్ 3
షూటర్ లక్ష్యాన్ని చేధించే సంభావ్యత 0.7. 100 షాట్‌లతో లక్ష్యాన్ని 65 నుండి 80 సార్లు కొట్టే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
నేను చాలా వాస్తవిక ఉదాహరణను ఎంచుకున్నాను, లేకుంటే షూటర్ వేలకొద్దీ షాట్లు చేసే అనేక పనులను నేను కనుగొన్నాను =)
పరిష్కారం: ఈ సమస్యలో మేము మాట్లాడుతున్నాము పునరావృత స్వతంత్ర పరీక్షలు, మరియు వారి సంఖ్య చాలా పెద్దది. షరతు ప్రకారం, లక్ష్యాన్ని కనీసం 65 కొట్టే సంభావ్యతను కనుగొనడం అవసరం, కానీ 80 సార్లు మించకూడదు, అంటే మీరు లాప్లేస్ సమగ్ర సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించాలి: , ఎక్కడ
సౌలభ్యం కోసం, మేము అసలు డేటాను నిలువు వరుసలో తిరిగి వ్రాస్తాము:
- మొత్తం షాట్లు;
- హిట్‌ల కనీస సంఖ్య;
- గరిష్ట సంఖ్యలో హిట్స్;
- ప్రతి షాట్‌తో లక్ష్యాన్ని చేధించే సంభావ్యత;
- ప్రతి షాట్‌తో మిస్ అయ్యే సంభావ్యత.
అందువల్ల, లాప్లేస్ సిద్ధాంతం మంచి ఉజ్జాయింపును ఇస్తుంది.
వాదనల విలువలను గణిద్దాం: 
నేను మీ దృష్టిని ఆకర్షిస్తున్నాను, పని పూర్తిగా రూట్ కింద నుండి సంగ్రహించవలసిన అవసరం లేదు (సమస్యల రచయితలు సంఖ్యలను "సర్దుబాటు" చేయాలనుకుంటున్నారు)- సందేహం యొక్క నీడ లేకుండా, మేము మూలాన్ని సంగ్రహించి ఫలితాన్ని రౌండ్ చేస్తాము; నేను 4 దశాంశ స్థానాలను వదిలివేయడం అలవాటు చేసుకున్నాను. కానీ పొందిన విలువలు సాధారణంగా 2 దశాంశ స్థానాలకు గుండ్రంగా ఉంటాయి - ఈ సంప్రదాయం నుండి వచ్చింది ఫంక్షన్ విలువ పట్టికలు, ఇక్కడ వాదనలు ఈ రూపంలో ప్రదర్శించబడతాయి.
పై పట్టికను ఉపయోగించండి లేదా టెర్వర్ డిజైన్ లేఅవుట్ (పాయింట్ 5).
వ్రాతపూర్వక వ్యాఖ్యగా, ఈ క్రింది పదబంధాన్ని ఉంచమని నేను మీకు సలహా ఇస్తున్నాను: మేము సంబంధిత పట్టిక ప్రకారం ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను కనుగొంటాము:
- 100 షాట్‌లతో లక్ష్యాన్ని 65 నుండి 80 సార్లు కొట్టే సంభావ్యత.
ఫంక్షన్ యొక్క అసమాన్యతను ఉపయోగించాలని నిర్ధారించుకోండి!ఒకవేళ, నేను వివరంగా వ్రాస్తాను:
వాస్తవం ఏమిటంటే ఫంక్షన్ విలువ పట్టికసానుకూల "x"ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది మరియు మేము పని చేస్తాము (కనీసం పురాణం ప్రకారం)ఒక టేబుల్ తో!
సమాధానం:
ఫలితం చాలా తరచుగా 4 దశాంశ స్థానాలకు గుండ్రంగా ఉంటుంది. (మళ్ళీ టేబుల్ ఫార్మాట్ ప్రకారం).
స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం:
టాస్క్ 4
భవనంలో 2500 దీపాలు ఉన్నాయి, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సాయంత్రం ఆన్ చేయబడే సంభావ్యత 0.5. సాయంత్రం కనీసం 1250 మరియు గరిష్టంగా 1275 దీపాలు ఆన్ చేయబడే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పాఠం ముగింపులో ముగింపు యొక్క ఉజ్జాయింపు నమూనా.
పరిశీలనలో ఉన్న పనులు చాలా తరచుగా "వ్యక్తిగతం" రూపంలో కనిపిస్తాయని గమనించాలి, ఉదాహరణకు:
యాదృచ్ఛిక సంఘటన 0.5 సంభావ్యతతో సంభవించే కొన్ని ప్రయోగం నిర్వహించబడుతుంది. మార్పులేని పరిస్థితుల్లో ప్రయోగం 2500 సార్లు పునరావృతమవుతుంది. 2500 ప్రయోగాలలో ఈవెంట్ 1250 నుండి 1275 సార్లు జరిగే సంభావ్యతను నిర్ణయించండి
మరియు పైకప్పు ద్వారా ఇలాంటి పదాలు. పనుల యొక్క స్టెన్సిల్ స్వభావం కారణంగా, వారు తరచుగా పరిస్థితిని దాచిపెట్టడానికి ప్రయత్నిస్తారు - పరిష్కారాన్ని ఎలాగైనా వైవిధ్యపరచడానికి మరియు క్లిష్టతరం చేయడానికి ఇది “ఒకే అవకాశం”:
టాస్క్ 5
ఇన్స్టిట్యూట్లో 1000 మంది విద్యార్థులు చదువుతున్నారు. భోజనాల గదిలో 105 సీట్లు ఉన్నాయి. ప్రతి విద్యార్థి 0.1 సంభావ్యతతో పెద్ద విరామం సమయంలో ఫలహారశాలకు వెళ్తాడు. ఒక సాధారణ పాఠశాల రోజున సంభావ్యత ఏమిటి:
ఎ) భోజనాల గది మూడింట రెండు వంతుల కంటే ఎక్కువ నింపబడదు;
బి) అందరికీ సరిపడా సీట్లు లేవు.
"సాధారణ పాఠశాల రోజున" అనే ముఖ్యమైన నిబంధనకు నేను మీ దృష్టిని ఆకర్షిస్తున్నాను - ఇది పరిస్థితి యొక్క సాపేక్ష అస్థిరతను నిర్ధారిస్తుంది. సెలవుల తర్వాత, గణనీయంగా తక్కువ మంది విద్యార్థులు ఇన్‌స్టిట్యూట్‌కి రావచ్చు మరియు "ఓపెన్ డోర్స్ డే" నాడు ఆకలితో ఉన్న ప్రతినిధి బృందం వస్తుంది =) అంటే, "అసాధారణ" రోజున, సంభావ్యత గణనీయంగా భిన్నంగా ఉంటుంది.
పరిష్కారం: మేము లాప్లేస్ యొక్క సమగ్ర సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము
ఈ పనిలో:
- ఇన్స్టిట్యూట్లో మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య;
- విద్యార్థి పెద్ద విరామంలో క్యాంటీన్‌కు వెళ్లే సంభావ్యత;
వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత.
ఎ) మొత్తంలో మూడింట రెండు వంతుల సీట్లు ఎన్ని ఉన్నాయో లెక్కించండి: సీట్లు
ఒక సాధారణ పాఠశాల రోజున క్యాంటీన్‌లో మూడింట రెండు వంతుల కంటే ఎక్కువ నిండిపోయే సంభావ్యతను కనుగొనండి. దాని అర్థం ఏమిటి? అంటే 0 నుండి 70 మంది వరకు పెద్ద విరామానికి వస్తారు. ఎవ్వరూ రారు లేదా కొంతమంది విద్యార్థులు మాత్రమే వస్తారన్నది వాస్తవం - సంఘటనలు ఉన్నాయి ఆచరణాత్మకంగా అసాధ్యం, అయితే, లాప్లేస్ సమగ్ర సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడానికి, ఈ సంభావ్యతలను ఇప్పటికీ పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. ఈ విధంగా: 
సంబంధిత వాదనలను గణిద్దాం: 
ఫలితంగా:
- ఒక సాధారణ పాఠశాల రోజున క్యాంటీన్‌లో మూడింట రెండు వంతుల కంటే ఎక్కువ నింపే అవకాశం ఉండదు.
రిమైండర్ : లాప్లేస్ ఫంక్షన్ సమానంగా పరిగణించబడినప్పుడు.
క్రష్, అయితే =)
బి) ఈవెంట్ "అందరికీ సరిపడా సీట్లు లేవు"పెద్ద విరామం సమయంలో 106 నుండి 1000 మంది వరకు భోజనాల గదికి వస్తారు. (ముఖ్యంగా, బాగా మూసివేయండి =)).అధిక హాజరు నమ్మశక్యం కానిదని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, అయితే: 
.
వాదనలను లెక్కించడం: 
అందువల్ల, ప్రతి ఒక్కరికీ తగినంత సీట్లు ఉండకపోవచ్చు:
సమాధానం:
ఇప్పుడు ఒకదానిపై దృష్టి పెడదాం ముఖ్యమైన స్వల్పభేదాన్నిపద్ధతి: మేము గణనలను నిర్వహించినప్పుడు ఒక ప్రత్యేక విభాగం, అప్పుడు ప్రతిదీ “మేఘరహితమైనది” - పరిగణించబడిన టెంప్లేట్ ప్రకారం నిర్ణయించండి. అయితే, పరిగణించినట్లయితే సంఘటనల పూర్తి సమూహంచూపించాలి ఒక నిర్దిష్ట ఖచ్చితత్వం. ఇప్పుడే విశ్లేషించిన సమస్య యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ అంశాన్ని వివరిస్తాను. “ఉండండి” అనే పేరాలో, ప్రతి ఒక్కరికీ సరిపడా సీట్లు ఉండవు అనే సంభావ్యతను మేము కనుగొన్నాము. ఇంకా, అదే పథకం ప్రకారం, మేము లెక్కిస్తాము:
- తగినంత స్థలాలు ఉండే సంభావ్యత.
ఎందుకంటే ఈ సంఘటనలు ఎదురుగా, అప్పుడు సంభావ్యతల మొత్తం తప్పనిసరిగా ఒకదానికి సమానంగా ఉండాలి:
ఏంటి విషయం? - ఇక్కడ ప్రతిదీ తార్కికంగా ఉంది. పాయింట్ లాప్లేస్ ఫంక్షన్ ఉంది నిరంతర, కానీ మేము పరిగణనలోకి తీసుకోలేదు విరామం 105 నుండి 106 వరకు. ఇక్కడే 0.0338 ముక్క అదృశ్యమైంది. అందుకే అదే ప్రామాణిక సూత్రం ద్వారాలెక్కించాలి:
బాగా, లేదా మరింత సులభంగా:
అనే ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: మనం మొదట కనుగొన్నట్లయితే? అప్పుడు పరిష్కారం యొక్క మరొక వెర్షన్ ఉంటుంది:
అయితే అది ఎలా అవుతుంది?! - రెండు విధాలుగా వేర్వేరు సమాధానాలు పొందబడతాయి! ఇది చాలా సులభం: లాప్లేస్ యొక్క సమగ్ర సిద్ధాంతం ఒక పద్ధతి సుమారుగాలెక్కలు, అందువలన రెండు మార్గాలు ఆమోదయోగ్యమైనవి.
మరింత ఖచ్చితమైన గణనల కోసం, ఉపయోగించండి బెర్నౌలీ ఫార్ములామరియు, ఉదాహరణకు, ఎక్సెల్ ఫంక్షన్ BINOMDIST. ఫలితంగా దాని అప్లికేషన్మాకు దొరికింది:
మరియు ఈ సూక్ష్మభేదం పట్ల దృష్టిని ఆకర్షించిన సైట్ సందర్శకులలో ఒకరికి నేను నా కృతజ్ఞతలు తెలియజేస్తున్నాను - ఇది నా దృష్టి రంగం నుండి పడిపోయింది, ఎందుకంటే పూర్తి సంఘటనల సమూహం యొక్క అధ్యయనం ఆచరణలో చాలా అరుదుగా కనిపిస్తుంది. కావలసిన వారు తమను తాము పరిచయం చేసుకోవచ్చు
గణితశాస్త్రంలో, అవకలన సమీకరణాల సిద్ధాంతంలో, గణాంకాలలో మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో ఉపయోగించే అత్యంత ప్రసిద్ధ నాన్-ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్లలో ఒకటి లాప్లేస్ ఫంక్షన్. దానితో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ముఖ్యమైన తయారీ అవసరం. ఎక్సెల్ సాధనాలను ఉపయోగించి మీరు ఈ సూచికను ఎలా లెక్కించవచ్చో తెలుసుకుందాం.
లాప్లేస్ ఫంక్షన్ విస్తృత అనువర్తిత మరియు సైద్ధాంతిక అనువర్తనాన్ని కలిగి ఉంది. ఉదాహరణకు, అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఇది చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ పదానికి మరొక సమానమైన పేరు ఉంది - సంభావ్యత సమగ్రం. కొన్ని సందర్భాల్లో, పరిష్కారానికి ఆధారం విలువల పట్టిక నిర్మాణం.
ఆపరేటర్ NORM.ST.DIST
Excel లో, పేర్కొన్న పని ఆపరేటర్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది NORM.ST.DIST. దీని పేరు "సాధారణ ప్రామాణిక పంపిణీ" అనే పదానికి చిన్నది. ఎంచుకున్న సెల్‌కు ప్రామాణిక సాధారణ సమగ్ర పంపిణీని తిరిగి ఇవ్వడం దీని ప్రధాన పని కాబట్టి. ఈ ఆపరేటర్ ప్రామాణిక Excel ఫంక్షన్ల గణాంక వర్గానికి చెందినది.
Excel 2007లో మరియు అంతకు ముందు, ఈ ప్రకటనను పిలిచారు నార్మ్‌స్ట్రాస్ట్. అనుకూలత ప్రయోజనాల కోసం, ఇది ఆధునిక అనువర్తనాల సంస్కరణల్లో కూడా మిగిలి ఉంది. అయినప్పటికీ, వారు మరింత అధునాతన అనలాగ్‌ను ఉపయోగించమని సిఫార్సు చేస్తున్నారు - NORM.ST.DIST.
ఆపరేటర్ సింటాక్స్ NORM.ST.DISTక్రింది విధంగా:
NORM.ST.DIST(z;ఇంటిగ్రల్)
నిలిపివేయబడిన ఆపరేటర్ నార్మ్‌స్ట్రాస్ట్ఇలా వ్రాయబడింది:
NORMSDIST(z)
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, కొత్త సంస్కరణలో ఇప్పటికే ఉన్న వాదనకు Zవాదన జోడించబడింది "సమగ్రం". ప్రతి వాదన అవసరమని గమనించాలి.
వాదన Zపంపిణీని ప్లాన్ చేస్తున్న సంఖ్యా విలువను నిర్దేశిస్తుంది.
వాదన "సమగ్రం"ప్రాతినిధ్యం వహించే బూలియన్ విలువ "నిజం" ("ఒకటి")లేదా "తప్పు" («0») . మొదటి సందర్భంలో, సమగ్ర పంపిణీ ఫంక్షన్ పేర్కొన్న సెల్‌కు తిరిగి ఇవ్వబడుతుంది మరియు రెండవ సందర్భంలో, వెయిటెడ్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్.
సమస్య పరిష్కారం
వేరియబుల్‌పై అవసరమైన గణనను నిర్వహించడానికి, కింది ఫార్ములా వర్తించబడుతుంది:
NORM.ST.DIST(z;integral(1))-0.5
ఇప్పుడు ఆపరేటర్ని ఉపయోగించి నిర్దిష్ట ఉదాహరణను చూద్దాం NORM.ST.DISTఒక నిర్దిష్ట సమస్యను పరిష్కరించడానికి.
లాప్లేస్ ఫంక్షన్ అనేది నాన్-ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ మరియు ఇది తరచుగా అవకలన సమీకరణాలు మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు గణాంకాలలో రెండింటిలోనూ ఉపయోగించబడుతుంది. లాప్లేస్ ఫంక్షన్‌కు నిర్దిష్ట జ్ఞానం మరియు శిక్షణ అవసరం, ఎందుకంటే ఇది అనువర్తిత మరియు సైద్ధాంతిక అనువర్తనాల రంగంలో వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
లాప్లేస్ ఫంక్షన్ తరచుగా అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది మరియు దీనిని తరచుగా సంభావ్యత సమగ్రంగా సూచిస్తారు. ఈ ఫంక్షన్‌ను ఎక్సెల్‌లో ఎలా ఉపయోగించవచ్చో మరియు అది ఎలా పనిచేస్తుందో చూద్దాం.
Excelలో సంభావ్యత సమగ్ర లేదా లాప్లేస్ ఫంక్షన్ "NORMSDIST" ఆపరేటర్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఇది సింటాక్స్‌ను కలిగి ఉంటుంది: "=NORMSDIST(z). ప్రోగ్రామ్ యొక్క కొత్త వెర్షన్‌లలో, ఆపరేటర్‌కు "NORM.ST.DIST" అనే పేరు కూడా ఉంది. మరియు కొద్దిగా సవరించిన సింటాక్స్ “=NORM.ST.DIST(z; సమగ్రం).
పంపిణీ యొక్క సంఖ్యా విలువకు "Z" వాదన బాధ్యత వహిస్తుంది. ఆర్గ్యుమెంట్ "ఇంటిగ్రల్" - రెండు విలువలను అందిస్తుంది - "1" - సమగ్ర పంపిణీ ఫంక్షన్, "0" - బరువు పంపిణీ ఫంక్షన్.
సిద్ధాంతం పరిష్కరించబడింది. అభ్యాసానికి వెళ్దాం. Excelలో లాప్లేస్ ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించడాన్ని పరిగణించండి.
1. సెల్‌లో విలువను వ్రాయండి, తదుపరి దానిలో ఒక ఫంక్షన్‌ను చొప్పించండి.
2. ఫంక్షన్‌ని మాన్యువల్‌గా వ్రాద్దాం "=NORM.ST.DIST(B4;1).
3. లేదా ఫంక్షన్ చొప్పించే విజార్డ్‌ని ఉపయోగించండి - “స్టాటిక్” వర్గానికి వెళ్లి, “పూర్తి అక్షరమాల జాబితాను ఎంచుకోండి.
4. ఫంక్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్స్ కనిపించిన విండోలో, ప్రారంభ విలువలను సూచించండి. మా అసలు సెల్ "Z" వేరియబుల్‌కు బాధ్యత వహిస్తుంది మరియు "1"ని "ఇంటిగ్రల్"లో చొప్పించండి. మా ఫంక్షన్ సంచిత పంపిణీ ఫంక్షన్‌ని అందిస్తుంది.
5. మేము ఈ ఫంక్షన్ "NORM.ST.DIST" కోసం ప్రామాణిక సాధారణ సమగ్ర పంపిణీ యొక్క రెడీమేడ్ పరిష్కారాన్ని పొందుతాము. కానీ అంతే కాదు, లాప్లేస్ ఫంక్షన్ లేదా సంభావ్యత సమగ్రతను కనుగొనడం మా లక్ష్యం, కాబట్టి మనం మరికొన్ని దశలను తీసుకుందాం.
6. లాప్లేస్ ఫంక్షన్ "0.5" తప్పనిసరిగా పొందిన ఫంక్షన్ విలువ నుండి తీసివేయబడుతుందని సూచిస్తుంది. మేము ఫంక్షన్‌కు అవసరమైన ఆపరేషన్‌ను జోడిస్తాము. "Enter" నొక్కండి మరియు తుది పరిష్కారాన్ని పొందండి. కావలసిన విలువ సరైనది మరియు త్వరగా కనుగొనబడింది.
Excel ఏదైనా సెల్ విలువ, కణాల పరిధి లేదా సెల్ సూచనల కోసం ఈ ఫంక్షన్‌ను సులభంగా గణిస్తుంది. NORM.ST.DIST ఫంక్షన్ అనేది సంభావ్యత సమగ్రతను కనుగొనడానికి ఒక ప్రామాణిక ఆపరేటర్ లేదా దీనిని లాప్లేస్ ఫంక్షన్ అని కూడా పిలుస్తారు.
బేస్ ఫార్ములా
ఈవెంట్‌లు B 1 , B 2 ,…, B n అననుకూలమైనవి మరియు పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి, అనగా. Р(В 1)+ Р(В 2)+…+ Р(В n)=1. మరియు ఈవెంట్ B 1 , B 2 ,…, B n ఈవెంట్‌లలో ఒకటి కనిపించినప్పుడు మాత్రమే ఈవెంట్ A సంభవించవచ్చు. అప్పుడు ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యత మొత్తం సంభావ్యత సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది.
ఈవెంట్ A ఇప్పటికే జరిగి ఉండనివ్వండి. అప్పుడు B 1 , B 2 ,…, B n పరికల్పనల సంభావ్యతలను బేయస్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి అతిగా అంచనా వేయవచ్చు:
బెర్నౌలీ ఫార్ములా
n స్వతంత్ర ట్రయల్స్ చేయనివ్వండి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఈవెంట్ A సంభవించవచ్చు లేదా జరగకపోవచ్చు. సంఘటన A యొక్క సంభావ్యత (సంభవించడం కాదు) p (q=1-p)కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు సమానంగా ఉంటుంది.
n స్వతంత్ర ట్రయల్స్ ఈవెంట్‌లో A ఖచ్చితంగా k సార్లు సంభవించే సంభావ్యత (అంజీర్ ప్రకారం, ఏ క్రమంలో) బెర్నౌలీ ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడింది:
n స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యత:
a) P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1) కంటే తక్కువ సార్లు.
బి) k కంటే ఎక్కువ సార్లు P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).
లో). కనీసం k సార్లు P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).
జి). k సార్లు P n (0)+P n (1)+…+P n (k) కంటే ఎక్కువ కాదు.
లాప్లేస్ యొక్క స్థానిక మరియు సమగ్ర సిద్ధాంతాలు.
n తగినంత పెద్దగా ఉన్నప్పుడు మేము ఈ సిద్ధాంతాలను ఉపయోగిస్తాము.
స్థానిక లాప్లేస్ సిద్ధాంతం
n స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో ఒక ఈవెంట్ సరిగ్గా `k" సమయాలు సంభవించే సంభావ్యత దీనికి దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది:
సానుకూల విలువలు (x) కోసం ఫంక్షన్ల పట్టిక అనుబంధం 1, pp. 324-325లో గ్మర్మాన్ యొక్క సమస్య పుస్తకంలో ఇవ్వబడింది.
కూడా (), అప్పుడు ప్రతికూల విలువలు (x) కోసం మేము ఒకే పట్టికను ఉపయోగిస్తాము.
లాప్లేస్ యొక్క సమగ్ర సిద్ధాంతం.
n స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో ఈవెంట్ కనీసం `k" సార్లు జరిగే సంభావ్యత ఇంచుమించు సమానంగా ఉంటుంది:
లాప్లేస్ ఫంక్షన్
సానుకూల విలువల కోసం ఫంక్షన్ల పట్టిక అనుబంధం 2, pp. 326-327లో గ్మర్మాన్ యొక్క సమస్య పుస్తకంలో ఇవ్వబడింది. 5 కంటే ఎక్కువ విలువల కోసం, మేము Ф(х)=0.5 సెట్ చేస్తాము.
లాప్లేస్ ఫంక్షన్ బేసి F(-x)=-F(x) కాబట్టి, ప్రతికూల విలువల కోసం (x) మేము ఒకే పట్టికను ఉపయోగిస్తాము, మేము ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను మైనస్ గుర్తుతో మాత్రమే తీసుకుంటాము.
వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం సంభావ్యత పంపిణీ చట్టం
ద్విపద పంపిణీ చట్టం.
వివిక్త- యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, దీని యొక్క సాధ్యమైన విలువలు ప్రత్యేక వివిక్త సంఖ్యలు, ఈ వేరియబుల్ నిర్దిష్ట సంభావ్యతలను తీసుకుంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమైన విలువలను లెక్కించవచ్చు.
వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే విలువల సంఖ్య పరిమిత లేదా అనంతం కావచ్చు.
వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పెద్ద అక్షరాలు X ద్వారా సూచించబడతాయి మరియు వాటి సాధ్యం విలువలు - చిన్న అక్షరాలతో x1, x2, x3 ...
ఉదాహరణకి.
X అనేది పాచికలపై చుట్టబడిన పాయింట్ల సంఖ్య; X ఆరు సాధ్యమయ్యే విలువలను తీసుకుంటుంది: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 సంభావ్యతలతో p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 =1/6.
వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పంపిణీ చట్టందాని సాధ్యమైన విలువలు మరియు వాటి సంబంధిత సంభావ్యతల జాబితాను పేర్కొనండి.
పంపిణీ చట్టం ఇవ్వవచ్చు:
1. పట్టిక రూపంలో.
2. విశ్లేషణాత్మకంగా - ఫార్ములా రూపంలో.
3. గ్రాఫికల్‌గా. ఈ సందర్భంలో, పాయింట్లు М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn) XOP దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో నిర్మించబడ్డాయి. ఈ పాయింట్లు సరళ రేఖల ద్వారా అనుసంధానించబడి ఉంటాయి. ఫలిత ఆకృతిని అంటారు పంపిణీ బహుభుజి.
వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ (x) యొక్క పంపిణీ చట్టాన్ని వ్రాయడానికి, దాని సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువలను జాబితా చేయడం మరియు వాటికి సంబంధించిన సంభావ్యతలను కనుగొనడం అవసరం.
వాటికి సంబంధించిన సంభావ్యత బెర్నౌలీ ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడితే, అటువంటి పంపిణీ చట్టాన్ని ద్విపద అంటారు.
ఉదాహరణ సంఖ్య 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సంఖ్యా విలువలు.
గణిత నిరీక్షణ, వైవిధ్యం మరియు ప్రామాణిక విచలనం.
వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ గణిత నిరీక్షణ ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది.
గణిత నిరీక్షణవివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అనేది దాని సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువలు మరియు వాటి సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం. ఆ. పంపిణీ చట్టం ఇచ్చినట్లయితే, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ
వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే విలువల సంఖ్య అనంతంగా ఉంటే, అప్పుడు
అంతేకాకుండా, సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న శ్రేణి ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది మరియు అన్ని సంభావ్యతల మొత్తం pi ఒకటికి సమానం.
గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలు.
1. M(S)=S, S=cons.
2. M(Cx)=CM(x)
3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)
4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).
5. ద్విపద పంపిణీ చట్టం కోసం, గణిత అంచనా సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడింది:
గణిత నిరీక్షణ చుట్టూ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమైన విలువల వ్యాప్తి యొక్క లక్షణం వైవిధ్యం మరియు ప్రామాణిక విచలనం.
చెదరగొట్టడంవివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ (x) స్క్వేర్డ్ విచలనం యొక్క గణిత అంచనాగా పిలువబడుతుంది. D(x)=M(x-M(x)) 2 .
వ్యాప్తి సూత్రం ద్వారా సౌకర్యవంతంగా లెక్కించబడుతుంది: D (x) \u003d M (x 2) - (M (x)) 2.
వ్యాప్తి లక్షణాలు.
1. D(S)=0, S=cons.
2. D (Cx) \u003d C 2 D (x)
3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)
4. ద్విపద పంపిణీ చట్టం యొక్క వ్యాప్తి
ప్రామాణిక విచలనంయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను భేదం యొక్క వర్గమూలం అంటారు.
ఉదాహరణలు. 191, 193, 194, 209, d/z.
నిరంతర రాండమ్ వేరియబుల్ (NSV) సంభావ్యత యొక్క సమగ్ర పంపిణీ ఫంక్షన్ (IDF, DF). నిరంతర- కొంత పరిమిత లేదా అనంతమైన విరామం నుండి అన్ని విలువలను తీసుకోగల పరిమాణం. సాధ్యమయ్యే అనేక NSV విలువలు ఉన్నాయి మరియు దానిని తిరిగి నంబర్ చేయడం సాధ్యం కాదు.
ఉదాహరణకి.
ప్రక్షేపకం కాల్చినప్పుడు ప్రయాణించే దూరం NSV.
FMIని ఫంక్షన్ F(x) అని పిలుస్తారు, ఇది x యొక్క ప్రతి విలువకు NSV X విలువ Xపై తీసుకునే సంభావ్యతను నిర్ణయిస్తుంది.<х, т.е. F(x)=Р(X తరచుగా వారు IFRకి బదులుగా FR అని చెబుతారు. రేఖాగణితంగా, సమానత్వం F(x)=P(X IF లక్షణాలు. 1. IF యొక్క విలువ విరామానికి చెందినది, అనగా. F(x) 2. IF అనేది తగ్గని ఫంక్షన్, అనగా. x2 > x1,. పర్యవసానంగా 1. NSV X విరామంలో ఉన్న విలువను తీసుకునే సంభావ్యత (a; c) ఈ విరామంలో సమగ్ర ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌కు సమానం, అనగా. పి(ఎ పరిణామం 2. NSV X ఒక నిర్దిష్ట విలువను తీసుకునే సంభావ్యత, ఉదాహరణకు, x1=0, 0కి సమానం, అనగా. P(x=x1)=0. 3. NSV X యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువలు (a; c)కి చెందినట్లయితే, x కోసం F(x)=0<а, и F(x)=1 при х>లో పరిణామం 3. కింది పరిమితి సంబంధాలు హోల్డ్. నిరంతర రాండమ్ వేరియబుల్ (NSV) (సంభావ్యత సాంద్రత) యొక్క సంభావ్యత యొక్క అవకలన పంపిణీ ఫంక్షన్ (DDF). DF f(x) NSV సంభావ్యత పంపిణీలు IGF యొక్క మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కాల్ చేయండి: తరచుగా, PDDకి బదులుగా, వారు సంభావ్యత సాంద్రత (PD) అని చెబుతారు. ఇది IF F(x)ని తెలుసుకోవడం ద్వారా DF f(x)ని కనుగొనవచ్చు అనే నిర్వచనం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది. కానీ రివర్స్ ట్రాన్స్ఫర్మేషన్ కూడా నిర్వహించబడుతుంది: DF f(x) తెలుసుకోవడం, మనం IF F(x)ని కనుగొనవచ్చు. NSW X (a; c)కి చెందిన విలువను తీసుకునే సంభావ్యత: కానీ). IF ఇచ్చినట్లయితే - పర్యవసానం 1. బి). డీఎఫ్ ఇస్తే DF లక్షణాలు. 1. DF - ప్రతికూలమైనది కాదు, అనగా. . 2. () లోపల DF యొక్క సరికాని సమగ్రం 1కి సమానం, అనగా. . పరిణామం 1. NSV X యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువలు (a; c)కి చెందినవి అయితే. ఉదాహరణలు. నం. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d / z. NSV యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలు. 1. NSW X యొక్క గణిత నిరీక్షణ (MO), మొత్తం OX అక్షానికి చెందిన సాధ్యమయ్యే విలువలు సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి: NSV X యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువలు (a; c)కి చెందినవి అయితే, అప్పుడు MO సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: MO యొక్క అన్ని లక్షణాలు, వివిక్త పరిమాణాల కోసం సూచించబడతాయి, అవి నిరంతర పరిమాణాల కోసం కూడా భద్రపరచబడతాయి. 2. NSW X యొక్క విక్షేపణ, మొత్తం OX అక్షానికి చెందిన సాధ్యమయ్యే విలువలు సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి: NSV X యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువలు (a; c)కి చెందినవి అయితే, వైవిధ్యం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: వివిక్త పరిమాణాల కోసం సూచించబడిన వ్యాప్తి యొక్క అన్ని లక్షణాలు నిరంతర పరిమాణాల కోసం కూడా భద్రపరచబడతాయి. 3. NSW X యొక్క ప్రామాణిక విచలనం వివిక్త పరిమాణాల మాదిరిగానే నిర్ణయించబడుతుంది: ఉదాహరణలు. నం. 276, 279, X, d / z. ఆపరేషనల్ కాలిక్యులస్ (OI). OI అనేది సరళమైన చర్యలకు ఫంక్షన్ల భేదం మరియు ఏకీకరణ యొక్క కార్యకలాపాలను తగ్గించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే ఒక పద్ధతి: ఈ ఫంక్షన్ల యొక్క చిత్రాల అని పిలవబడే వాదన ద్వారా గుణకారం మరియు విభజన. OI యొక్క ఉపయోగం అనేక సమస్యల పరిష్కారాన్ని సులభతరం చేస్తుంది. ప్రత్యేకించి, LDEలను స్థిరమైన గుణకాలు మరియు అటువంటి సమీకరణాల వ్యవస్థలతో ఏకీకృతం చేయడంలో సమస్యలు, వాటిని సరళ బీజగణితానికి తగ్గించడం. అసలైనవి మరియు చిత్రాలు. లాప్లేస్ పరివర్తనాలు. f(t)-అసలు; F(p)-చిత్రం. పరివర్తన f(t)F(p) అంటారు లాప్లేస్ రూపాంతరం. ఫంక్షన్ f(t) యొక్క లాప్లేస్ పరివర్తనను F(p) అంటారు, ఇది సంక్లిష్ట వేరియబుల్‌పై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు ఫార్ములా ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది: ఈ సమగ్రతను లాప్లేస్ ఇంటిగ్రల్ అంటారు. ఈ సరికాని సమగ్రత సమ్మిళితం కావడానికి, f(t) విరామంలో ఖండాంతరంగా నిరంతరాయంగా ఉంటుంది మరియు కొన్ని స్థిరాంకాల కోసం M > 0 మరియు అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తుంది అని భావించడం సరిపోతుంది. అటువంటి లక్షణాలతో కూడిన ఫంక్షన్ f(t) అంటారు అసలు, మరియు అసలు నుండి దాని చిత్రానికి పరివర్తన అంటారు లాప్లేస్ రూపాంతరం. లాప్లేస్ రూపాంతరం యొక్క లక్షణాలు. ఫార్ములా (2) ద్వారా చిత్రాలను ప్రత్యక్షంగా నిర్ణయించడం సాధారణంగా కష్టం మరియు లాప్లేస్ పరివర్తన యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించడం ద్వారా చాలా సులభతరం చేయబడుతుంది. F(p) మరియు G(p) వరుసగా అసలైన f(t) మరియు g(t) యొక్క చిత్రాలుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు క్రింది లక్షణాలు-సంబంధాలు జరుగుతాయి: 1. С*f(t)С*F(p), С=const - సజాతీయత ఆస్తి. 2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - సంకలిత లక్షణం. 3. f(t)F(p-) - స్థానభ్రంశం సిద్ధాంతం. ఒరిజినల్ యొక్క n-వ ఉత్పన్నాన్ని ఇమేజ్‌లోకి మార్చడం (ఒరిజినల్ డిఫరెన్సియేషన్ థియరం).
