యాంత్రిక వైబ్రేషన్ల సిద్ధాంతం. మెకానికల్ సిస్టమ్స్ యొక్క కంపనాల సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు

మేము ఇప్పటికే క్లాసికల్ మెకానిక్స్ యొక్క మూలాలు, పదార్థాల బలం మరియు స్థితిస్థాపకత సిద్ధాంతాన్ని పరిశీలించాము. మెకానిక్స్ యొక్క అతి ముఖ్యమైన భాగం కూడా డోలనాల సిద్ధాంతం. యంత్రాలు మరియు నిర్మాణాల నాశనానికి కంపనాలు ప్రధాన కారణం. 1950ల చివరి నాటికి. 80% పరికరాల ప్రమాదాలు పెరిగిన కంపనాలు కారణంగా సంభవించాయి. పరికరాల ఆపరేషన్‌లో పాల్గొన్న వ్యక్తులపై కంపనాలు కూడా హానికరమైన ప్రభావాన్ని చూపుతాయి. అవి నియంత్రణ వ్యవస్థల వైఫల్యానికి కూడా కారణం కావచ్చు.

ఇవన్నీ ఉన్నప్పటికీ, డోలనాల సిద్ధాంతం 19వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో మాత్రమే స్వతంత్ర శాస్త్రంగా ఉద్భవించింది. అయితే, ప్రారంభం వరకు యంత్రాలు మరియు యంత్రాంగాల లెక్కలు XX శతాబ్దం స్టాటిక్ సెట్టింగ్‌లో నిర్వహించబడింది. మెకానికల్ ఇంజనీరింగ్ అభివృద్ధి, ఆవిరి ఇంజిన్ల శక్తి మరియు వేగం పెరగడం, వాటి బరువును ఏకకాలంలో తగ్గించడం, కొత్త రకాల ఇంజిన్ల ఆవిర్భావం - అంతర్గత దహన యంత్రాలు మరియు ఆవిరి టర్బైన్లు - డైనమిక్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకొని బలం గణనలను నిర్వహించాల్సిన అవసరం ఏర్పడింది. లోడ్లు. నియమం ప్రకారం, కంపనాల సిద్ధాంతంలో కొత్త సమస్యలు ప్రమాదాలు లేదా పెరిగిన కంపనాల ఫలితంగా సంభవించే విపత్తుల ప్రభావంతో సాంకేతికతలో తలెత్తాయి.

డోలనాలు అనేది వివిధ స్థాయిలలో పునరావృతమయ్యే స్థితిలో కదలికలు లేదా మార్పులు.

ఆసిలేషన్ సిద్ధాంతాన్ని నాలుగు కాలాలుగా విభజించవచ్చు.

Iకాలం- సైద్ధాంతిక మెకానిక్స్ ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో డోలనాల సిద్ధాంతం యొక్క ఆవిర్భావం (16 వ శతాబ్దం ముగింపు - 18 వ శతాబ్దం ముగింపు). ఈ కాలం గెలీలియో, హ్యూజెన్స్, న్యూటన్, డి'అలెంబర్ట్, ఆయిలర్, డి. బెర్నౌల్లి మరియు లాగ్రాంజ్ యొక్క రచనలలో డైనమిక్స్ యొక్క ఆవిర్భావం మరియు అభివృద్ధి ద్వారా వర్గీకరించబడింది.

డోలనాల సిద్ధాంత స్థాపకుడు లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్. 1737లో, సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్ అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్ తరపున L. ఆయిలర్, ఓడ యొక్క సమతుల్యత మరియు చలనంపై పరిశోధన ప్రారంభించాడు మరియు 1749లో అతని పుస్తకం "షిప్ సైన్స్" సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్‌లో ప్రచురించబడింది. ఆయిలర్ యొక్క ఈ పనిలోనే స్థిర స్థిరత్వం మరియు డోలనాల సిద్ధాంతం యొక్క సిద్ధాంతం యొక్క పునాదులు వేయబడ్డాయి.

జీన్ లెరాన్ డి'అలెంబర్ట్ తన అనేక రచనలలో, భూమి యొక్క పూర్వస్థితి మరియు నూటేషన్ సమస్యకు సంబంధించి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం చుట్టూ మరియు భ్రమణ అక్షం చుట్టూ శరీరం యొక్క చిన్న డోలనాలు, లోలకం యొక్క డోలనాలు వంటి వ్యక్తిగత సమస్యలను పరిశీలించారు. , తేలియాడే శరీరం, స్ప్రింగ్ మొదలైనవి. కానీ సాధారణ సిద్ధాంతం డి'అలెంబర్ట్ ఎటువంటి సంకోచాన్ని సృష్టించలేదు.

వైబ్రేషన్ సిద్ధాంతం యొక్క పద్ధతుల యొక్క అతి ముఖ్యమైన అనువర్తనం చార్లెస్ కూలంబ్ చేత నిర్వహించబడిన వైర్ యొక్క టోర్షనల్ దృఢత్వాన్ని ప్రయోగాత్మకంగా నిర్ణయించడం. కూలంబ్ ఈ సమస్యలో చిన్న డోలనాల ఐసోక్రోనిజం యొక్క ఆస్తిని కూడా ప్రయోగాత్మకంగా స్థాపించాడు. ప్రకంపనల డంపింగ్‌ను అధ్యయనం చేస్తూ, ఈ గొప్ప ప్రయోగాత్మకుడు దాని ప్రధాన కారణం గాలి నిరోధకత కాదు, కానీ వైర్ పదార్థంలో అంతర్గత ఘర్షణ నుండి నష్టాలు అని నిర్ధారణకు వచ్చారు.

డోలనాల సిద్ధాంతం యొక్క పునాదులకు L. ఆయిలర్ గొప్ప సహకారం అందించారు, అతను స్థిర స్థిరత్వం మరియు చిన్న డోలనాల సిద్ధాంతం యొక్క పునాదులు వేశాడు, డి'అలెంబర్ట్, D. బెర్నౌల్లి మరియు లాగ్రాంజ్ వారి రచనలలో, ది డోలనాల కాలం మరియు పౌనఃపున్యం యొక్క భావనలు, డోలనాల ఆకారం ఏర్పడింది మరియు చిన్న డోలనాలు అనే పదం వాడుకలోకి వచ్చింది, పరిష్కారాల సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రం రూపొందించబడింది మరియు పరిష్కారాన్ని త్రికోణమితి శ్రేణిగా విస్తరించడానికి ప్రయత్నాలు జరిగాయి.

డోలనాల సిద్ధాంతం యొక్క మొదటి సమస్యలు లోలకం మరియు స్ట్రింగ్ యొక్క డోలనాల సమస్యలు. మేము ఇప్పటికే లోలకం యొక్క డోలనాల గురించి మాట్లాడాము - ఈ సమస్యను పరిష్కరించే ఆచరణాత్మక ఫలితం హ్యూజెన్స్ చేత గడియారాన్ని కనుగొనడం.

స్ట్రింగ్ వైబ్రేషన్ల సమస్య విషయానికొస్తే, గణితం మరియు మెకానిక్స్ అభివృద్ధి చరిత్రలో ఇది చాలా ముఖ్యమైన సమస్యలలో ఒకటి. దానిని నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.

అకౌస్టిక్ స్ట్రింగ్ఇది రెండు స్థిర బిందువుల మధ్య విస్తరించి ఉన్న ఘన పదార్థంతో తయారు చేయబడిన పరిమిత పొడవు యొక్క ఆదర్శవంతమైన, మృదువైన, సన్నని మరియు సౌకర్యవంతమైన థ్రెడ్. ఆధునిక వివరణలో, పొడవు యొక్క స్ట్రింగ్ యొక్క విలోమ కంపనాల సమస్య ఎల్పాక్షిక ఉత్పన్నాలలో అవకలన సమీకరణం (1)కి పరిష్కారాన్ని కనుగొనడాన్ని తగ్గిస్తుంది. ఇక్కడ xపొడవుతో పాటు స్ట్రింగ్ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్, మరియు వై- దాని విలోమ స్థానభ్రంశం; హెచ్- స్ట్రింగ్ టెన్షన్, - దాని నడుస్తున్న బరువు. aతరంగ ప్రచారం యొక్క వేగం. ఇదే విధమైన సమీకరణం పైపులోని గాలి కాలమ్ యొక్క రేఖాంశ కంపనాలను కూడా వివరిస్తుంది.

ఈ సందర్భంలో, సరళ రేఖ నుండి స్ట్రింగ్ పాయింట్ల విచలనాల ప్రారంభ పంపిణీ మరియు వాటి వేగాలు తప్పనిసరిగా పేర్కొనబడాలి, అనగా. సమీకరణం (1) తప్పనిసరిగా ప్రారంభ పరిస్థితులు (2) మరియు సరిహద్దు పరిస్థితులను (3) సంతృప్తి పరచాలి.

స్ట్రింగ్ వైబ్రేషన్‌ల యొక్క మొదటి ప్రాథమిక ప్రయోగాత్మక అధ్యయనాలు డచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు మెకానిక్ ఐజాక్ బెక్‌మాన్ (1614–1618) మరియు M. మెర్సేన్చే నిర్వహించబడ్డాయి, వీరు అనేక క్రమబద్ధతలను స్థాపించారు మరియు 1636లో "బుక్ ఆఫ్ కాన్సన్సెస్"లో తన ఫలితాలను ప్రచురించారు:

1715లో న్యూటన్ విద్యార్థి బ్రూక్ టేలర్ చేత మెర్సేన్ చట్టాలు సిద్ధాంతపరంగా ధృవీకరించబడ్డాయి. అతను స్ట్రింగ్‌ను మెటీరియల్ పాయింట్ల వ్యవస్థగా పరిగణిస్తాడు మరియు క్రింది అంచనాలను అంగీకరిస్తాడు: స్ట్రింగ్ యొక్క అన్ని పాయింట్లు ఏకకాలంలో వాటి సమతౌల్య స్థానాల గుండా వెళతాయి (అక్షంతో సమానంగా ఉంటాయి x) మరియు ప్రతి బిందువుపై పనిచేసే శక్తి దాని స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది వైఅక్షానికి సంబంధించి x. దీనర్థం ఇది ఒక స్థాయి స్వేచ్ఛ కలిగిన వ్యవస్థకు సమస్యను తగ్గిస్తుంది - సమీకరణం (4). టేలర్ మొదటి సహజ పౌనఃపున్యాన్ని (ఫండమెంటల్ టోన్) సరిగ్గా పొందాడు - (5).

ఈ సమస్య కోసం 1747లో డి'అలెంబర్ట్ డైనమిక్స్ సమస్యను స్టాటిక్స్ సమస్యకు (డి'అలెంబర్ట్ సూత్రం) తగ్గించే పద్ధతిని వర్తింపజేశాడు మరియు పాక్షిక ఉత్పన్నాలలో (1) సజాతీయ స్ట్రింగ్ యొక్క డోలనాల అవకలన సమీకరణాన్ని పొందాడు - మొదటి సమీకరణం గణిత భౌతిక శాస్త్రం. అతను ఈ సమీకరణానికి రెండు ఏకపక్ష ఫంక్షన్ల మొత్తం రూపంలో పరిష్కారాన్ని కోరాడు (6)

ఎక్కడ మరియు - పీరియడ్ 2 యొక్క ఆవర్తన విధులు ఎల్. ఫంక్షన్ల రకం గురించి ప్రశ్నను స్పష్టం చేసినప్పుడు మరియు డి'అలెంబర్ట్ సరిహద్దు పరిస్థితులను పరిగణనలోకి తీసుకుంటాడు (1.2), ఎప్పుడు అని ఊహిస్తూ
స్ట్రింగ్ అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది x. అర్థం
సమస్య ప్రకటనలో పేర్కొనబడలేదు.

ఆయిలర్ ప్రత్యేక సందర్భాన్ని ఎప్పుడు పరిగణిస్తాడు
స్ట్రింగ్ దాని సమతౌల్య స్థానం నుండి మళ్లించబడుతుంది మరియు ప్రారంభ వేగం లేకుండా విడుదల చేయబడుతుంది. ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, స్ట్రింగ్ యొక్క ప్రారంభ ఆకృతిపై యూలర్ ఎటువంటి పరిమితులను విధించలేదు, అనగా. "చేతితో డ్రా చేయగల" ఏదైనా వక్రతను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా దానిని విశ్లేషణాత్మకంగా పేర్కొనవలసిన అవసరం లేదు. రచయిత పొందిన తుది ఫలితం: if
స్ట్రింగ్ యొక్క ఆకృతి సమీకరణం ద్వారా వివరించబడింది
, అప్పుడు డోలనాలు ఇలా కనిపిస్తాయి (7). ఆయిలర్ ఫంక్షన్ యొక్క భావనపై తన అభిప్రాయాలను సవరించాడు, ఇది ఒక విశ్లేషణాత్మక వ్యక్తీకరణగా మాత్రమే మునుపటి ఆలోచనకు భిన్నంగా. అందువలన, విశ్లేషణలో అధ్యయనం చేయవలసిన ఫంక్షన్ల తరగతి విస్తరించబడింది మరియు "ఏదైనా ఫంక్షన్ ఒక నిర్దిష్ట రేఖను నిర్వచిస్తుంది కాబట్టి, సంభాషణ కూడా నిజం - వక్ర రేఖలను ఫంక్షన్లకు తగ్గించవచ్చు" అని ఆయిలర్ నిర్ణయానికి వచ్చారు.

d'Alembert మరియు Euler ద్వారా పొందిన పరిష్కారాలు ఒకదానికొకటి నడుస్తున్న రెండు తరంగాల రూపంలో స్ట్రింగ్ డోలనాల నియమాన్ని సూచిస్తాయి.అయితే, బెండింగ్ లైన్‌ను నిర్వచించే ఫంక్షన్ యొక్క రూపం యొక్క ప్రశ్నపై వారు ఏకీభవించలేదు.

D. బెర్నౌలీ స్ట్రింగ్ వైబ్రేషన్‌లను అధ్యయనం చేయడంలో భిన్నమైన మార్గాన్ని తీసుకున్నాడు, స్ట్రింగ్‌ను మెటీరియల్ పాయింట్‌లుగా విభజించాడు, వాటి సంఖ్యను అతను అనంతంగా పరిగణించాడు. అతను వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ హార్మోనిక్ డోలనం యొక్క భావనను పరిచయం చేస్తాడు, అనగా. సిస్టమ్ యొక్క అన్ని పాయింట్లు ఒకే పౌనఃపున్యంతో సమకాలీనంగా కంపించే అటువంటి కదలిక, కానీ విభిన్న వ్యాప్తి. సౌండింగ్ బాడీలతో చేసిన ప్రయోగాలు స్ట్రింగ్ యొక్క అత్యంత సాధారణ కదలిక దానికి అందుబాటులో ఉన్న అన్ని కదలికల యొక్క ఏకకాల పనితీరును కలిగి ఉంటుంది అనే ఆలోచనకు D. బెర్నౌలీకి దారితీసింది. ఇది పరిష్కారాల యొక్క సూపర్‌పొజిషన్ అని పిలవబడేది. అందువలన, 1753లో, భౌతిక పరిగణనల ఆధారంగా, అతను స్ట్రింగ్ వైబ్రేషన్‌ల కోసం ఒక సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందాడు, దానిని పాక్షిక పరిష్కారాల మొత్తంగా ప్రదర్శించాడు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి లక్షణ వక్రరేఖ రూపంలో వంగి ఉంటుంది (8).

ఈ శ్రేణిలో, మొదటి డోలనం మోడ్ సగం సైన్ వేవ్, రెండవది మొత్తం సైన్ వేవ్, మూడవది మూడు సగం-సైన్ తరంగాలు మొదలైనవి. వాటి వ్యాప్తి సమయం యొక్క విధులుగా సూచించబడుతుంది మరియు సారాంశంలో, పరిశీలనలో ఉన్న సిస్టమ్ యొక్క సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్‌లు. D. బెర్నౌలీ యొక్క పరిష్కారం ప్రకారం, స్ట్రింగ్ యొక్క కదలిక అనేది కాలాలతో కూడిన హార్మోనిక్ డోలనాల అనంతమైన శ్రేణి.
. ఈ సందర్భంలో, నోడ్‌ల సంఖ్య (స్థిర పాయింట్లు) సహజ పౌనఃపున్యాల సంఖ్య కంటే ఒకటి తక్కువగా ఉంటుంది. శ్రేణి (8)ని పరిమిత సంఖ్యలో పదాలకు పరిమితం చేయడం, మేము నిరంతర వ్యవస్థ కోసం పరిమిత సంఖ్యలో సమీకరణాలను పొందుతాము.

అయితే, D. బెర్నౌలీ యొక్క పరిష్కారం ఒక సరికానిది కలిగి ఉంది - ఇది డోలనాల యొక్క ప్రతి హార్మోనిక్ యొక్క దశ మార్పు భిన్నంగా ఉంటుందని పరిగణనలోకి తీసుకోదు.

D. బెర్నౌలీ, త్రికోణమితి శ్రేణి రూపంలో పరిష్కారాన్ని ప్రదర్శిస్తూ, పూర్తి ఫంక్షన్ల వ్యవస్థలోకి పరిష్కారం యొక్క సూపర్‌పొజిషన్ మరియు విస్తరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించారు. ఫార్ములా (8) యొక్క వివిధ పదాల సహాయంతో స్ట్రింగ్ దాని ప్రాథమిక స్వరంతో ఏకకాలంలో విడుదల చేసే హార్మోనిక్ టోన్‌లను వివరించడం సాధ్యమవుతుందని అతను సరిగ్గా నమ్మాడు. అతను దీనిని సాధారణ చట్టంగా పరిగణించాడు, చిన్న డోలనాలను చేసే ఏదైనా శరీర వ్యవస్థకు చెల్లుబాటు అవుతుంది. అయినప్పటికీ, భౌతిక ప్రేరణ ఆ సమయంలో సమర్పించబడని గణిత రుజువును భర్తీ చేయదు. దీని కారణంగా, సహోద్యోగులు D. బెర్నౌలీ యొక్క పరిష్కారాన్ని అర్థం చేసుకోలేదు, అయితే తిరిగి 1737లో K. A. Clairaut ఫంక్షన్ల శ్రేణి విస్తరణను ఉపయోగించారు.

స్ట్రింగ్ వైబ్రేషన్ల సమస్యను పరిష్కరించడానికి రెండు విభిన్న మార్గాల ఉనికి 18వ శతాబ్దపు ప్రముఖ శాస్త్రవేత్తలలో ప్రకంపనలు సృష్టించింది. వేడి చర్చ - "స్ట్రింగ్ వివాదం". ఈ వివాదం ప్రధానంగా సమస్యకు ఏ రూపంలో ఆమోదయోగ్యమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది, ఫంక్షన్ యొక్క విశ్లేషణాత్మక ప్రాతినిధ్యం గురించి మరియు త్రికోణమితి శ్రేణి రూపంలో ఏకపక్ష విధిని సూచించడం సాధ్యమేనా అనే ప్రశ్నలకు సంబంధించినది. "స్ట్రింగ్ వివాదం" లో విశ్లేషణ యొక్క అతి ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకటి అభివృద్ధి చేయబడింది - ఫంక్షన్ యొక్క భావన.

D. బెర్నౌలీ ప్రతిపాదించిన పరిష్కారం సాధారణమైనదని డి'అలెంబర్ట్ మరియు ఆయిలర్ అంగీకరించలేదు.ముఖ్యంగా, ఈ శ్రేణి ఏదైనా "స్వేచ్ఛగా గీసిన వక్రరేఖ"కు ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుందని ఆయిలర్ అంగీకరించలేదు, ఎందుకంటే అతను ఇప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క భావనను నిర్వచించాడు.

జోసెఫ్ లూయిస్ లాగ్రాంజ్, వివాదంలోకి ప్రవేశించి, మధ్యలో కేంద్రీకృతమై ఉన్న ద్రవ్యరాశితో సమాన పొడవు గల చిన్న ఆర్క్‌లుగా స్ట్రింగ్‌ను విడగొట్టాడు మరియు పరిమిత సంఖ్యలో స్వేచ్ఛా స్థాయిలతో సాధారణ అవకలన సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాన్ని పరిశోధించాడు. పరిమితిని దాటితే, Lagrange D. బెర్నౌలీ ఫలితాన్ని పోలిన ఫలితాన్ని పొందాడు, అయితే, సాధారణ పరిష్కారం పాక్షిక పరిష్కారాల యొక్క అనంతమైన మొత్తంగా ఉండాలి అని ముందుగానే సూచించకుండా. అదే సమయంలో, అతను D. బెర్నౌలీ యొక్క పరిష్కారాన్ని మెరుగుపరుస్తాడు, దానిని రూపంలో (9) ప్రదర్శిస్తాడు మరియు ఈ శ్రేణి యొక్క గుణకాలను నిర్ణయించడానికి సూత్రాలను కూడా పొందాడు. విశ్లేషణాత్మక మెకానిక్స్ యొక్క స్థాపకుడు యొక్క పరిష్కారం గణిత శాస్త్ర కఠినత యొక్క అన్ని అవసరాలను తీర్చనప్పటికీ, ఇది ఒక ముఖ్యమైన ముందడుగు.

త్రికోణమితి శ్రేణిలోకి పరిష్కారం యొక్క విస్తరణకు సంబంధించి, ఏకపక్ష ప్రారంభ పరిస్థితులలో సిరీస్ వేరుగా ఉంటుందని లాగ్రాంజ్ నమ్మాడు. 40 సంవత్సరాల తరువాత, 1807లో, J. ఫోరియర్ మళ్లీ మూడవసారి త్రికోణమితి శ్రేణిలోకి ఒక ఫంక్షన్‌ని విస్తరించడాన్ని కనుగొన్నాడు మరియు సమస్యను పరిష్కరించడానికి దీన్ని ఎలా ఉపయోగించవచ్చో చూపించాడు, తద్వారా D. బెర్నౌలీ యొక్క పరిష్కారం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ధారించాడు. ఒక త్రికోణమితి శ్రేణిగా ఒకే-విలువ గల ఆవర్తన ఫంక్షన్‌ను విస్తరించడంపై ఫోరియర్ సిద్ధాంతం యొక్క పూర్తి విశ్లేషణాత్మక రుజువు టోడ్‌గాంథర్ యొక్క సమగ్ర కాలిక్యులస్‌లో మరియు థామ్సన్ (లార్డ్ కెల్విన్) మరియు టైట్స్ ట్రీటైస్ ఆన్ నేచురల్ ఫిలాసఫీలో ఇవ్వబడింది.

రెండు శతాబ్దాల పాటు సాగిన స్ట్రింగ్ యొక్క ఉచిత కంపనాల పరిశోధన బెక్‌మాన్ యొక్క పని నుండి లెక్కించబడుతుంది. ఈ సమస్య గణితశాస్త్ర అభివృద్ధికి శక్తివంతమైన ఉద్దీపనగా పనిచేసింది. నిరంతర వ్యవస్థల డోలనాలను పరిశీలిస్తే, ఆయిలర్, డి'అలెంబర్ట్ మరియు డి. బెర్నౌలీ కొత్త క్రమశిక్షణను సృష్టించారు - గణిత భౌతిక శాస్త్రం.భౌతికశాస్త్రం యొక్క గణితీకరణ, అంటే కొత్త విశ్లేషణ ద్వారా దాని ప్రదర్శన, ఐలర్ యొక్క గొప్ప యోగ్యత, దీనికి ధన్యవాదాలు సైన్స్‌లో కొత్త మార్గాలు సుగమం చేయబడ్డాయి. ఫలితాల యొక్క తార్కిక అభివృద్ధి యూలర్ మరియు ఫోరియర్ రెండు సెట్ల యొక్క ఒకదానికొకటి కరస్పాండెన్స్ ఆలోచన ఆధారంగా లోబాచెవ్స్కీ మరియు లెజ్యూన్ డిరిచ్లెట్ ద్వారా ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ప్రసిద్ధ నిర్వచనాన్ని అందించారు. ఫోరియర్ శ్రేణికి ముక్కలుగా నిరంతర మరియు మార్పులేని విధులను విస్తరించడం.ఒక డైమెన్షనల్ తరంగ సమీకరణం కూడా పొందబడింది మరియు దాని రెండు పరిష్కారాల సమానత్వం స్థాపించబడింది, ఇది కంపనాలు మరియు తరంగాల మధ్య సంబంధాన్ని గణితశాస్త్రపరంగా నిర్ధారించింది.వైబ్రేటింగ్ స్ట్రింగ్ ధ్వనిని ఉత్పత్తి చేస్తుందనే వాస్తవం శాస్త్రవేత్తలను ప్రేరేపించింది. ధ్వని ప్రచారం మరియు స్ట్రింగ్ వైబ్రేషన్ ప్రక్రియ యొక్క గుర్తింపు గురించి ఆలోచించడం.అటువంటి సమస్యలలో సరిహద్దు మరియు ప్రారంభ పరిస్థితుల యొక్క అతి ముఖ్యమైన పాత్ర కూడా వెల్లడైంది.మెకానిక్స్ అభివృద్ధికి, ఒక ముఖ్యమైన ఫలితం డి'అలెంబర్ట్ యొక్క ఉపయోగం చలనం యొక్క అవకలన సమీకరణాలను వ్రాయడానికి సూత్రం మరియు డోలనాల సిద్ధాంతం కోసం ఈ సమస్య కూడా చాలా ముఖ్యమైన పాత్ర పోషించింది, అవి సహజమైన వైబ్రేషన్ల పరంగా పరిష్కారం యొక్క సూపర్పోజిషన్ మరియు విస్తరణ సూత్రం వర్తించబడ్డాయి, సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు కంపనాలు రూపొందించబడ్డాయి - సహజ పౌనఃపున్యం మరియు కంపనాల మోడ్.

స్ట్రింగ్ యొక్క ఉచిత వైబ్రేషన్ల కోసం పొందిన ఫలితాలు నిరంతర వ్యవస్థల కంపనాల సిద్ధాంతం యొక్క సృష్టికి ఆధారం. అసమాన తీగలు, పొరలు మరియు కడ్డీల కంపనాల యొక్క తదుపరి అధ్యయనం రెండవ మరియు నాల్గవ ఆర్డర్‌ల యొక్క సరళమైన హైపర్బోలిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రత్యేక పద్ధతులను కనుగొనడం అవసరం.

స్ట్రెచ్డ్ స్ట్రింగ్ ఆసక్తిగల శాస్త్రవేత్తల యొక్క ఉచిత ప్రకంపనల సమస్య, వాస్తవానికి, దాని ఆచరణాత్మక అనువర్తనం వల్ల కాదు; ఈ కంపనాల చట్టాలు, సంగీత వాయిద్యాలను తయారుచేసే హస్తకళాకారులకు ఒక డిగ్రీ లేదా మరొకటి తెలిసినవి. అమాతి, స్ట్రాడివారి, గ్వర్నేరి మరియు ఇతరుల వంటి మాస్టర్స్ యొక్క అసాధారణమైన స్ట్రింగ్ వాయిద్యాల ద్వారా ఇది రుజువు చేయబడింది, దీని కళాఖండాలు 17వ శతాబ్దంలో సృష్టించబడ్డాయి. ఈ సమస్యపై పనిచేసిన గొప్ప శాస్త్రవేత్తల ఆసక్తులు ఇప్పటికే ఉన్న స్ట్రింగ్ వైబ్రేషన్ చట్టాలకు గణిత ప్రాతిపదికను అందించాలనే కోరికలో ఎక్కువగా ఉన్నాయి. ఈ విషయంలో, తెలియని దృగ్విషయాలను కనుగొని అధ్యయనం చేయడానికి, ఇప్పటికే తెలిసిన వాస్తవాలను వివరించే సిద్ధాంతాన్ని సృష్టించడం ప్రారంభించి, ఏదైనా సైన్స్ యొక్క సాంప్రదాయ మార్గం వెల్లడైంది.

IIకాలం - విశ్లేషణాత్మక(18వ శతాబ్దం ముగింపు - 19వ శతాబ్దం ముగింపు). మెకానిక్స్ అభివృద్ధిలో అత్యంత ముఖ్యమైన దశ లాగ్రాంజ్ చేత సాధించబడింది, అతను కొత్త శాస్త్రాన్ని సృష్టించాడు - విశ్లేషణాత్మక మెకానిక్స్. డోలనాల సిద్ధాంతం యొక్క అభివృద్ధి యొక్క రెండవ కాలం ప్రారంభం లాగ్రాంజ్ పనితో ముడిపడి ఉంది. 1788లో ప్యారిస్‌లో ప్రచురించబడిన తన పుస్తకం అనలిటికల్ మెకానిక్స్‌లో, లాగ్రాంజ్ 18వ శతాబ్దంలో మెకానిక్స్‌లో చేసిన ప్రతిదాన్ని సంగ్రహించి, దాని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి కొత్త విధానాన్ని రూపొందించాడు. సమతౌల్య సిద్ధాంతంలో, అతను స్టాటిక్స్ యొక్క రేఖాగణిత పద్ధతులను విడిచిపెట్టాడు మరియు సాధ్యమయ్యే స్థానభ్రంశం యొక్క సూత్రాన్ని ప్రతిపాదించాడు (లాగ్రాంజ్ సూత్రం). డైనమిక్స్‌లో, లాగ్రాంజ్, డి'అలెంబర్ట్ సూత్రాన్ని మరియు సాధ్యమయ్యే స్థానభ్రంశం యొక్క సూత్రాన్ని ఏకకాలంలో వర్తింపజేసి, డైనమిక్స్ యొక్క సాధారణ వైవిధ్య సమీకరణాన్ని పొందాడు, దీనిని డి'అలెంబర్ట్-లాగ్రేంజ్ సూత్రం అని కూడా పిలుస్తారు. చివరగా, అతను సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్‌ల భావనను ప్రవేశపెట్టాడు మరియు అత్యంత అనుకూలమైన రూపంలో చలన సమీకరణాలను పొందాడు - రెండవ రకమైన లాగ్రాంజ్ సమీకరణాలు.

ఈ సమీకరణాలు స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ అవకలన సమీకరణాల ద్వారా వివరించబడిన చిన్న డోలనాల సిద్ధాంతం యొక్క సృష్టికి ఆధారం అయ్యాయి. యాంత్రిక వ్యవస్థలో లీనియారిటీ చాలా అరుదుగా అంతర్లీనంగా ఉంటుంది మరియు చాలా సందర్భాలలో దాని సరళీకరణ ఫలితంగా ఉంటుంది. తక్కువ వేగంతో సంభవించే సమతౌల్య స్థానానికి సమీపంలో ఉన్న చిన్న డోలనాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్‌లు మరియు వేగాలకు సంబంధించి చలన సమీకరణాలలో రెండవ మరియు అధిక ఆర్డర్‌ల నిబంధనలను విస్మరించడం సాధ్యమవుతుంది.

సాంప్రదాయిక వ్యవస్థల కోసం రెండవ రకమైన లాగ్రాంజ్ సమీకరణాలను వర్తింపజేయడం

మేము వ్యవస్థను పొందుతాము లుస్థిరమైన గుణకాలతో రెండవ క్రమం యొక్క సరళ అవకలన సమీకరణాలు

, (11)

ఎక్కడ Iమరియు సి- వరుసగా, జడత్వం మరియు దృఢత్వం యొక్క మాత్రికలు, వీటిలో భాగాలు జడత్వం మరియు సాగే గుణకాలుగా ఉంటాయి.

ప్రత్యేక పరిష్కారం (11) రూపంలో కోరబడుతుంది

మరియు ఫ్రీక్వెన్సీతో మోనోహార్మోనిక్ ఓసిలేటరీ మోడ్‌ను వివరిస్తుంది కె, అన్ని సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్‌లకు ఒకే విధంగా ఉంటుంది. సంబంధించి రెండుసార్లు భేదం (12). tమరియు ఫలితాన్ని సమీకరణాలుగా మార్చడం (11), మాతృక రూపంలో వ్యాప్తిని కనుగొనడానికి మేము సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము

. (13)

సిస్టమ్ డోలనం అయినప్పుడు, అన్ని యాంప్లిట్యూడ్‌లు సున్నాకి సమానంగా ఉండవు కాబట్టి, డిటర్మినెంట్ సున్నాకి సమానం

. (14)

ఫ్రీక్వెన్సీ సమీకరణం (14)ను లౌకిక సమీకరణం అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే దీనిని గ్రహాల కక్ష్యల మూలకాల యొక్క లౌకిక కదలికల సిద్ధాంతంలో లాగ్రాంజ్ మరియు లాప్లేస్ మొదట పరిగణించారు. ఇది ఒక సమీకరణం లు-డిగ్రీ బంధువు , దాని మూలాల సంఖ్య వ్యవస్థ యొక్క స్వేచ్ఛ యొక్క డిగ్రీల సంఖ్యకు సమానం. ఈ మూలాలు సాధారణంగా ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటాయి మరియు అవి వాటి స్వంత పౌనఃపున్యాల వర్ణపటాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ప్రతి మూలానికి రూపం (12), సెట్ యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది లుయాంప్లిట్యూడ్‌లు వైబ్రేషన్‌ల ఆకారాన్ని సూచిస్తాయి మరియు మొత్తం పరిష్కారం ఈ పరిష్కారాల మొత్తం.

వివిక్త బిందువుల వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ ఆసిలేటరీ చలనం దాని అన్ని హార్మోనిక్ డోలనాలను ఏకకాలంలో అమలు చేయడం, గణిత సిద్ధాంతం యొక్క రూపం, స్థిరమైన గుణకాలతో అవకలన సమీకరణాల ఏకీకరణ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, సృష్టించబడిన D. బెర్నౌలీ యొక్క ప్రకటనను Lagrange ఇచ్చాడు. 18వ శతాబ్దపు 40వ దశకంలో ఆయిలర్ ద్వారా. మరియు అటువంటి సమీకరణాల వ్యవస్థలు ఎలా ఏకీకృతం చేయబడతాయో చూపించిన డి'అలెంబర్ట్ యొక్క విజయాలు అదే సమయంలో, పాత సమీకరణం యొక్క మూలాలు నిజమైనవి, సానుకూలమైనవి మరియు ఒకదానికొకటి అసమానమైనవి అని నిరూపించడం అవసరం.

అందువలన, విశ్లేషణాత్మక మెకానిక్స్లో లాగ్రాంజ్ సాధారణ రూపంలో ఫ్రీక్వెన్సీ సమీకరణాన్ని పొందింది. అదే సమయంలో, అతను 1761లో డి'అలెంబర్ట్ చేసిన తప్పును పునరావృతం చేశాడు, లౌకిక సమీకరణం యొక్క బహుళ మూలాలు అస్థిర పరిష్కారానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో లౌకిక లేదా లౌకిక పదాలు ఉంటాయి. tసైన్ లేదా కొసైన్ గుర్తు కింద కాదు. ఈ విషయంలో, పౌనఃపున్య సమీకరణం బహుళ మూలాలను కలిగి ఉండదని డి'అలెంబర్ట్ మరియు లాగ్రాంజ్ ఇద్దరూ విశ్వసించారు (డి'అలెంబర్ట్-లాగ్రాంజ్ పారడాక్స్). సాంప్రదాయిక యాంత్రిక వ్యవస్థలలో బహుళ పౌనఃపున్యాలు సాధ్యమేనని నిర్ధారించుకోవడానికి, లాగ్రాంజ్ కనీసం ఒక గోళాకార లోలకం లేదా క్రాస్-సెక్షన్ ఉన్న రాడ్ యొక్క డోలనాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే సరిపోతుంది, ఉదాహరణకు, రౌండ్ లేదా చదరపు. ఎనలిటికల్ మెకానిక్స్ యొక్క మొదటి ఎడిషన్‌లో చేసిన తప్పు రెండవ ఎడిషన్‌లో (1812) పునరావృతమైంది, లాగ్రాంజ్ జీవితకాలంలో ప్రచురించబడింది మరియు మూడవది (1853). d'Alembert మరియు Lagrange యొక్క శాస్త్రీయ అధికారం చాలా ఎక్కువగా ఉంది, ఈ తప్పును లాప్లేస్ మరియు పాయిసన్ ఇద్దరూ పునరావృతం చేసారు మరియు ఇది దాదాపు 100 సంవత్సరాల తర్వాత ఒకరికొకరు స్వతంత్రంగా 1858లో K. వీయర్‌స్ట్రాస్ మరియు 1859లో Osip Ivanovich Somov ద్వారా సరిదిద్దబడింది. వివిక్త వ్యవస్థల డోలనాల సిద్ధాంతం అభివృద్ధికి గొప్ప సహకారం అందించారు.

అందువల్ల, ప్రతిఘటన లేకుండా సరళ వ్యవస్థ యొక్క ఉచిత డోలనాల యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీలు మరియు రూపాలను నిర్ణయించడానికి, లౌకిక సమీకరణాన్ని (13) పరిష్కరించడం అవసరం. అయితే, ఐదవ కంటే ఎక్కువ డిగ్రీ సమీకరణాలకు విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారం లేదు.

సమస్య లౌకిక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడమే కాకుండా, విస్తరించిన డిటర్మినెంట్ (13) నుండి చాలా వరకు దానిని సంకలనం చేయడం కూడా
నిబంధనలు, ఉదాహరణకు, 20 డిగ్రీల స్వేచ్ఛ ఉన్న సిస్టమ్ కోసం, నిబంధనల సంఖ్య 2.4 10 18, మరియు సెకనుకు 1 మిలియన్ ఆపరేషన్లు చేస్తూ, 1970ల అత్యంత శక్తివంతమైన కంప్యూటర్ కోసం అటువంటి నిర్ణాయకాన్ని బహిర్గతం చేసే సమయం సుమారు 1.5 మిలియన్ సంవత్సరాలు , మరియు ఆధునిక కంప్యూటర్ కోసం ఇది కొన్ని వందల సంవత్సరాల "మాత్రమే".

ఫ్రీక్వెన్సీలు మరియు ఫ్రీ వైబ్రేషన్‌ల రూపాలను నిర్ణయించే సమస్య కూడా సరళ బీజగణితం యొక్క సమస్యగా పరిగణించబడుతుంది మరియు సంఖ్యాపరంగా పరిష్కరించబడుతుంది. రూపంలో సమానత్వం (13) తిరిగి వ్రాయడం

, (14)

కాలమ్ మ్యాట్రిక్స్ అని గమనించండి మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్

, (15)

ఎ దాని స్వంత అర్థం.

ఈజెన్‌వాల్యూస్ మరియు వెక్టర్స్ సమస్యను పరిష్కరించడం సంఖ్యా విశ్లేషణలో అత్యంత ఆకర్షణీయమైన సమస్యలలో ఒకటి. అదే సమయంలో, ఆచరణలో ఎదురయ్యే అన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఒకే అల్గోరిథంను ప్రతిపాదించడం అసాధ్యం. అల్గోరిథం ఎంపిక మాతృక రకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, అలాగే అన్ని ఈజెన్‌వాల్యూలను నిర్ణయించడం అవసరమా లేదా చిన్నది (అతిపెద్దది) లేదా ఇచ్చిన సంఖ్యకు దగ్గరగా ఉందా అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. 1846లో, కార్ల్ గుస్తావ్ జాకబ్ జాకబ్ పూర్తి ఈజెన్‌వాల్యూ సమస్యను పరిష్కరించడానికి పునరుక్తి భ్రమణ పద్ధతిని ప్రతిపాదించాడు. ఈ పద్ధతి ప్రాథమిక భ్రమణాల యొక్క అనంతమైన క్రమం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇది పరిమితిలో మాతృక (15)ని వికర్ణంగా మారుస్తుంది. ఫలిత మాతృక యొక్క వికర్ణ మూలకాలు కావలసిన ఈజెన్‌వాల్యూలుగా ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, ఈజెన్‌వాల్యూలను నిర్ణయించడానికి ఇది అవసరం
అంకగణిత కార్యకలాపాలు మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లకు కూడా
ఆపరేషన్లు. ఈ విషయంలో, 19 వ శతాబ్దంలో పద్ధతి. దరఖాస్తు ఏదీ కనుగొనబడలేదు మరియు వంద సంవత్సరాలకు పైగా మరచిపోయింది.

డోలనాల సిద్ధాంతం అభివృద్ధిలో తదుపరి ముఖ్యమైన దశ రేలీ యొక్క పని, ముఖ్యంగా అతని ప్రాథమిక పని "ది థియరీ ఆఫ్ సౌండ్". ఈ పుస్తకంలో, రేలీ మెకానిక్స్, అకౌస్టిక్స్ మరియు ఎలక్ట్రికల్ సిస్టమ్స్‌లోని ఓసిలేటరీ దృగ్విషయాలను ఏకీకృత దృక్కోణం నుండి పరిశీలిస్తాడు. రేలీ డోలనాల సరళ సిద్ధాంతం యొక్క అనేక ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలను కలిగి ఉంది (నిశ్చలత మరియు సహజ పౌనఃపున్యాల లక్షణాలపై సిద్ధాంతాలు). రేలీ పరస్పరం సూత్రాన్ని కూడా రూపొందించాడు. గతితార్కిక మరియు సంభావ్య శక్తితో సారూప్యతతో, అతను డిస్సిపేటివ్ ఫంక్షన్‌ను ప్రవేశపెట్టాడు, దీనికి రేలీ అని పేరు పెట్టారు మరియు శక్తి వెదజల్లడం యొక్క సగం రేటును సూచిస్తుంది.

ది థియరీ ఆఫ్ సౌండ్‌లో, సాంప్రదాయిక వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సహజ పౌనఃపున్యాన్ని నిర్ణయించడానికి రేలీ ఒక ఉజ్జాయింపు పద్ధతిని కూడా ప్రతిపాదించాడు.

, (16)

ఎక్కడ
. ఈ సందర్భంలో, సంభావ్య మరియు గతి శక్తుల గరిష్ట విలువలను లెక్కించడానికి, కంపనం యొక్క నిర్దిష్ట రూపం తీసుకోబడుతుంది. ఇది సిస్టమ్ యొక్క డోలనం యొక్క మొదటి మోడ్‌తో సమానంగా ఉంటే, మేము మొదటి సహజ పౌనఃపున్యం యొక్క ఖచ్చితమైన విలువను పొందుతాము, లేకపోతే ఈ విలువ ఎల్లప్పుడూ ఎక్కువగా అంచనా వేయబడుతుంది. సిస్టమ్ యొక్క స్టాటిక్ డిఫార్మేషన్ వైబ్రేషన్ యొక్క మొదటి మోడ్‌గా తీసుకుంటే, ఈ పద్ధతి అభ్యాసానికి చాలా ఆమోదయోగ్యమైన ఖచ్చితత్వాన్ని ఇస్తుంది.

ఈ విధంగా, 19వ శతాబ్దంలో, సోమోవ్ మరియు రేలీ యొక్క రచనలలో, రెండవ రకమైన లాగ్రాంజ్ సమీకరణాలను ఉపయోగించి వివిక్త యాంత్రిక వ్యవస్థల యొక్క చిన్న ఆసిలేటరీ కదలికలను వివరించే అవకలన సమీకరణాలను నిర్మించడానికి ఒక పద్దతి రూపొందించబడింది.

సాధారణీకరించిన శక్తిలో
విధుల ద్వారా కవర్ చేయబడిన సాగే మరియు చెదిరిపోయే వాటిని మినహాయించి, అన్ని శక్తి కారకాలు తప్పనిసరిగా చేర్చబడాలి ఆర్ మరియు పి.

లాగ్రాంజ్ సమీకరణాలు (17) మాతృక రూపంలో, యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క బలవంతపు డోలనాలను వివరిస్తాయి, అన్ని విధులను ప్రత్యామ్నాయం చేసిన తర్వాత ఇలా కనిపిస్తాయి

. (18)

ఇక్కడ డంపింగ్ మ్యాట్రిక్స్, మరియు
– వరుసగా సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్లు, వేగాలు మరియు త్వరణాల నిలువు వెక్టర్స్. ఈ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం ఉచిత మరియు దానితో కూడిన డోలనాలను కలిగి ఉంటుంది, ఇది ఎల్లప్పుడూ తడిగా ఉంటుంది మరియు అవాంతర శక్తి యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీలో సంభవించే బలవంతపు డోలనాలను కలిగి ఉంటుంది. బలవంతపు డోలనాలకు సంబంధించిన నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని మాత్రమే పరిగణలోకి తీసుకోవడానికి మనల్ని మనం పరిమితం చేసుకుందాం. ఒక ఉద్వేగంగా, రేలీ హార్మోనిక్ చట్టం ప్రకారం మారుతున్న సాధారణ శక్తులను పరిగణించాడు. చాలా మంది ఈ ఎంపికను పరిశీలనలో ఉన్న కేసు యొక్క సరళతకు ఆపాదించారు, అయితే రేలీ మరింత నమ్మదగిన వివరణను ఇచ్చారు - ఫోరియర్ సిరీస్ విస్తరణ.

అందువల్ల, రెండు డిగ్రీల కంటే ఎక్కువ స్వేచ్ఛ ఉన్న యాంత్రిక వ్యవస్థ కోసం, సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం కొన్ని ఇబ్బందులను అందిస్తుంది, ఇది వ్యవస్థ యొక్క క్రమం పెరిగేకొద్దీ విపరీతంగా పెరుగుతుంది. ఐదు నుండి ఆరు డిగ్రీల స్వేచ్ఛతో కూడా, బలవంతపు డోలనాల సమస్య శాస్త్రీయ పద్ధతిని ఉపయోగించి మానవీయంగా పరిష్కరించబడదు.

యాంత్రిక వ్యవస్థల కంపనాల సిద్ధాంతంలో, వివిక్త వ్యవస్థల యొక్క చిన్న (సరళ) కంపనాలు ప్రత్యేక పాత్ర పోషించాయి. లీనియర్ సిస్టమ్స్ కోసం అభివృద్ధి చేయబడిన స్పెక్ట్రల్ సిద్ధాంతానికి అవకలన సమీకరణాల నిర్మాణం కూడా అవసరం లేదు, మరియు ఒక పరిష్కారాన్ని పొందేందుకు వెంటనే లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను వ్రాయవచ్చు. 19వ శతాబ్దం మధ్యలో ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు మరియు ఈజెన్‌వాల్యూస్ (జాకోబి)ని నిర్ణయించడానికి, అలాగే లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల (గాస్) పరిష్కార వ్యవస్థల కోసం పద్ధతులు అభివృద్ధి చేయబడినప్పటికీ, తక్కువ సంఖ్యలో స్వేచ్ఛ ఉన్న వ్యవస్థలకు కూడా వాటి ఆచరణాత్మక అనువర్తనం ప్రశ్న లేదు. అందువల్ల, తగినంత శక్తివంతమైన కంప్యూటర్లు రాకముందు, సరళ యాంత్రిక వ్యవస్థల యొక్క ఉచిత మరియు బలవంతంగా డోలనాల సమస్యను పరిష్కరించడానికి అనేక విభిన్న పద్ధతులు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి. చాలా మంది అత్యుత్తమ శాస్త్రవేత్తలు - గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మరియు మెకానిక్స్ - ఈ సమస్యలతో వ్యవహరించారు; వారు క్రింద చర్చించబడతారు. శక్తివంతమైన కంప్యూటింగ్ సాంకేతికత యొక్క ఆగమనం స్ప్లిట్ సెకనులో పెద్ద-స్థాయి లీనియర్ సమస్యలను పరిష్కరించడమే కాకుండా, సమీకరణాల వ్యవస్థలను కంపోజ్ చేసే ప్రక్రియను స్వయంచాలకంగా చేయడం కూడా సాధ్యం చేసింది.

కాబట్టి, 18వ శతాబ్దంలో. పరిమిత సంఖ్యలో స్వేచ్ఛ మరియు నిరంతర సాగే వ్యవస్థల డోలనాలతో వ్యవస్థల యొక్క చిన్న డోలనాల సిద్ధాంతంలో, ప్రాథమిక భౌతిక పథకాలు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి మరియు సమస్యల గణిత విశ్లేషణకు అవసరమైన సూత్రాలు వివరించబడ్డాయి. అయినప్పటికీ, యాంత్రిక వైబ్రేషన్ల సిద్ధాంతాన్ని స్వతంత్ర శాస్త్రంగా రూపొందించడానికి, డైనమిక్స్ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఏకీకృత విధానం లేకపోవడం మరియు దాని వేగవంతమైన అభివృద్ధికి సాంకేతికత నుండి అభ్యర్థనలు లేవు.

18వ చివరిలో మరియు 19వ శతాబ్దాల ప్రారంభంలో పెద్ద ఎత్తున పరిశ్రమల వృద్ధి, ఆవిరి యంత్రం యొక్క విస్తృతమైన పరిచయం కారణంగా ఏర్పడింది, అనువర్తిత మెకానిక్స్‌ను ప్రత్యేక క్రమశిక్షణగా విభజించడానికి దారితీసింది. కానీ 19వ శతాబ్దం చివరి వరకు, యంత్రాలు ఇప్పటికీ తక్కువ-శక్తి మరియు నెమ్మదిగా కదులుతున్నందున, బలం గణనలు స్థిరమైన సూత్రీకరణలో నిర్వహించబడ్డాయి.

19వ శతాబ్దం చివరి నాటికి, పెరుగుతున్న వేగం మరియు యంత్రాల కొలతలు తగ్గడంతో, హెచ్చుతగ్గులను నిర్లక్ష్యం చేయడం అసాధ్యం. కంపనాల సమయంలో ప్రతిధ్వని లేదా అలసట వైఫల్యం కారణంగా సంభవించిన అనేక ప్రమాదాలు ఇంజనీర్లను ఆసిలేటరీ ప్రక్రియలపై దృష్టి పెట్టవలసి వచ్చింది. ఈ కాలంలో తలెత్తిన సమస్యలలో, ఈ క్రింది వాటిని గమనించాలి: ప్రయాణిస్తున్న రైళ్ల నుండి వంతెనలు కూలిపోవడం, షాఫ్టింగ్‌ల యొక్క టోర్షనల్ కంపనాలు మరియు అసమతుల్య యంత్రాల కదిలే భాగాల జడత్వ శక్తుల ద్వారా ఉత్తేజితమయ్యే ఓడ హల్‌ల కంపనాలు.

IIIకాలం- డోలనాల అనువర్తిత సిద్ధాంతం యొక్క నిర్మాణం మరియు అభివృద్ధి (1900-1960లు). మెకానికల్ ఇంజనీరింగ్‌ను అభివృద్ధి చేయడం, లోకోమోటివ్‌లు మరియు నౌకల మెరుగుదల, ఆవిరి మరియు గ్యాస్ టర్బైన్‌ల ఆవిర్భావం, హై-స్పీడ్ అంతర్గత దహన యంత్రాలు, కార్లు, విమానాలు మొదలైనవి. యంత్ర భాగాలలో ఒత్తిడి యొక్క మరింత ఖచ్చితమైన విశ్లేషణను డిమాండ్ చేసింది. ఇది మెటల్ యొక్క మరింత పొదుపుగా ఉపయోగించడం కోసం అవసరాల ద్వారా నిర్దేశించబడింది. మెషిన్ స్ట్రక్చర్స్ కంపన సమస్యలకు దారితీశాయి, ఇవి మెషిన్ బలం విషయంలో నిర్ణయాత్మకంగా మారుతున్నాయి. 20వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో, ప్రకంపనలను నిర్లక్ష్యం చేయడం లేదా వాటి గురించి తెలియకపోవడం వల్ల ఎలాంటి విపత్కర పరిణామాలు సంభవిస్తాయో అనేక ప్రమాదాలు నమ్మకంగా చూపించాయి.

కొత్త సాంకేతికత యొక్క ఆవిర్భావం, ఒక నియమం వలె, డోలనాల సిద్ధాంతానికి కొత్త సవాళ్లను కలిగిస్తుంది. కాబట్టి 30 మరియు 40 లలో. విమానయానంలో స్టాల్ ఫ్లటర్ మరియు షిమ్మీ, రొటేటింగ్ షాఫ్ట్‌ల బెండింగ్ మరియు ఫ్లెక్చరల్-టోర్షనల్ వైబ్రేషన్‌లు మొదలైనవి వంటి కొత్త సమస్యలు తలెత్తాయి, దీనికి కంపనాలను లెక్కించడానికి కొత్త పద్ధతులను అభివృద్ధి చేయడం అవసరం. 20వ దశకం చివరిలో, మొదట భౌతిక శాస్త్రంలో మరియు తరువాత మెకానిక్స్‌లో, నాన్ లీనియర్ డోలనాల అధ్యయనం ప్రారంభమైంది. ఆటోమేటిక్ కంట్రోల్ సిస్టమ్స్ మరియు ఇతర సాంకేతిక అవసరాల అభివృద్ధికి సంబంధించి, 30 ల నుండి, చలన స్థిరత్వం యొక్క సిద్ధాంతం విస్తృతంగా అభివృద్ధి చేయబడింది మరియు వర్తింపజేయబడింది, దీని ఆధారంగా A. M. లియాపునోవ్ యొక్క డాక్టోరల్ పరిశోధన "ది జనరల్ ప్రాబ్లమ్ ఆఫ్ మోషన్ స్టెబిలిటీ".

డోలనాల సిద్ధాంతంలో సమస్యలకు విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారం లేకపోవడం, సరళ సూత్రీకరణలో కూడా, ఒక వైపు, మరియు కంప్యూటర్ టెక్నాలజీ, మరోవైపు, వాటిని పరిష్కరించడానికి పెద్ద సంఖ్యలో వివిధ సంఖ్యా పద్ధతుల అభివృద్ధికి దారితీసింది.

వివిధ రకాల పరికరాల కోసం కంపనాల గణనలను నిర్వహించాల్సిన అవసరం 1930 లలో వైబ్రేషన్ల సిద్ధాంతంలో మొదటి శిక్షణా కోర్సుల రూపానికి దారితీసింది.

కు పరివర్తన IVకాలం(1960ల ప్రారంభంలో - ప్రస్తుతం) శాస్త్రీయ మరియు సాంకేతిక విప్లవ యుగంతో ముడిపడి ఉంది మరియు కొత్త సాంకేతికత, ప్రధానంగా విమానయానం మరియు అంతరిక్షం మరియు రోబోటిక్ వ్యవస్థల ఆవిర్భావం ద్వారా వర్గీకరించబడింది. అదనంగా, పవర్ ఇంజనీరింగ్, రవాణా మొదలైన వాటి అభివృద్ధి డైనమిక్ బలం మరియు విశ్వసనీయత సమస్యలను తెరపైకి తెచ్చింది. యంత్రాల సేవ జీవితాన్ని పెంచాలనే ఏకకాల కోరికతో ఆపరేటింగ్ వేగం పెరుగుదల మరియు పదార్థ వినియోగంలో తగ్గుదల ద్వారా ఇది వివరించబడింది. డోలనాల సిద్ధాంతంలో, నాన్ లీనియర్ ఫార్ములేషన్‌లో మరిన్ని సమస్యలు పరిష్కరించబడుతున్నాయి. నిరంతర వ్యవస్థల కంపనాల రంగంలో, ఏవియేషన్ మరియు స్పేస్ టెక్నాలజీ నుండి వచ్చిన అభ్యర్థనల ప్రభావంతో, ప్లేట్లు మరియు షెల్ల డైనమిక్స్‌లో సమస్యలు తలెత్తుతాయి.

ఈ కాలంలో డోలనాల సిద్ధాంతం అభివృద్ధిపై గొప్ప ప్రభావం ఎలక్ట్రానిక్ కంప్యూటర్ టెక్నాలజీ యొక్క ఆవిర్భావం మరియు వేగవంతమైన అభివృద్ధి ద్వారా చూపబడింది, ఇది డోలనాలను లెక్కించడానికి సంఖ్యా పద్ధతుల అభివృద్ధికి దారితీసింది.

ఆసిలేటరీ కదలికఏదైనా కదలిక లేదా స్థితి యొక్క మార్పు అంటారు, ఈ కదలిక లేదా స్థితిని నిర్ణయించే భౌతిక పరిమాణాల విలువల సమయంలో ఒకటి లేదా మరొక స్థాయి పునరావృతతతో వర్గీకరించబడుతుంది. డోలనాలు అన్ని సహజ దృగ్విషయాల లక్షణం: నక్షత్రాల రేడియేషన్ పల్సేట్లు; సౌర వ్యవస్థ యొక్క గ్రహాలు అధిక స్థాయి ఆవర్తనంతో తిరుగుతాయి; గాలులు నీటి ఉపరితలంపై కంపనాలు మరియు తరంగాలను ప్రేరేపిస్తాయి; ఏదైనా జీవి లోపల, వివిధ, లయబద్ధంగా పునరావృతమయ్యే ప్రక్రియలు నిరంతరం జరుగుతాయి, ఉదాహరణకు, మానవ హృదయం అద్భుతమైన విశ్వసనీయతతో కొట్టుకుంటుంది.

ఫిజిక్స్‌లో డోలనాలు ప్రత్యేకంగా నిలుస్తాయి యాంత్రికమరియు విద్యుదయస్కాంత.మనం ధ్వనిగా భావించే గాలి సాంద్రత మరియు పీడనంలో యాంత్రిక హెచ్చుతగ్గులను ప్రచారం చేయడం ద్వారా, అలాగే మనం కాంతిగా భావించే విద్యుత్ మరియు అయస్కాంత క్షేత్రాలలో చాలా వేగంగా హెచ్చుతగ్గుల ద్వారా, మన చుట్టూ ఉన్న ప్రపంచం గురించి పెద్ద మొత్తంలో ప్రత్యక్ష సమాచారాన్ని పొందుతాము. మెకానిక్స్‌లో ఆసిలేటరీ మోషన్‌కు ఉదాహరణలు లోలకాలు, తీగలు, వంతెనలు మొదలైన వాటి యొక్క డోలనాలు.

డోలనాలు అంటారు ఆవర్తన, డోలనాల సమయంలో మారుతున్న భౌతిక పరిమాణాల విలువలు క్రమ వ్యవధిలో పునరావృతమైతే. ఆవర్తన డోలనాలు సరళమైన రకం హార్మోనిక్ డోలనాలు. హార్మోనిక్ డోలనాలు సైన్ (లేదా కొసైన్) చట్టం ప్రకారం కాలక్రమేణా మారుతున్న హెచ్చుతగ్గుల పరిమాణం:

ఇక్కడ x అనేది సమతౌల్య స్థానం నుండి స్థానభ్రంశం;

A - డోలనం యొక్క వ్యాప్తి - సమతౌల్య స్థానం నుండి గరిష్ట స్థానభ్రంశం;

- చక్రీయ ఫ్రీక్వెన్సీ;

- డోలనం యొక్క ప్రారంభ దశ;

- డోలనం దశ; ఇది ఏ సమయంలోనైనా స్థానభ్రంశాన్ని నిర్ణయిస్తుంది, అనగా. ఓసిలేటరీ వ్యవస్థ యొక్క స్థితిని నిర్ణయిస్తుంది.

మాగ్నిట్యూడ్ A యొక్క ఖచ్చితంగా హార్మోనిక్ డోలనాల విషయంలో, మరియు సమయం మీద ఆధారపడవద్దు.

సైక్లిక్ ఫ్రీక్వెన్సీ డోలనాలు మరియు ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క కాలం T తో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది నిష్పత్తి:

(2)

కాలం Tడోలనాలు అనేది డోలనాలను వర్ణించే అన్ని భౌతిక పరిమాణాల విలువలు పునరావృతమయ్యే అతి తక్కువ కాలం.

తరచుదనం డోలనాలు అనేది హెర్ట్జ్ (1 Hz = 1)లో కొలవబడిన సమయానికి యూనిట్ సమయానికి పూర్తి డోలనాల సంఖ్య
).

సైక్లిక్ ఫ్రీక్వెన్సీ సంఖ్యాపరంగా 2లో పూర్తి చేసిన డోలనాల సంఖ్యకు సమానం సెకన్లు

స్థిరమైన సమతౌల్య స్థితి నుండి ఈ వ్యవస్థ యొక్క ఏదైనా ప్రారంభ విచలనం ఫలితంగా, వేరియబుల్ బాహ్య శక్తుల చర్యకు లోబడి లేని వ్యవస్థలో సంభవించే డోలనాలు అంటారు. ఉచిత(లేదా మీ స్వంతం).

సిస్టమ్ సంప్రదాయవాదంగా ఉంటే, డోలనాల సమయంలో శక్తి వెదజల్లడం జరగదు. ఈ సందర్భంలో, ఉచిత కంపనాలు అంటారు తడబడని.

వేగం మేము పాయింట్ యొక్క డోలనాలను సమయానికి స్థానభ్రంశం యొక్క ఉత్పన్నంగా నిర్వచించాము:

(3)

త్వరణం డోలనం పాయింట్ సమయానికి సంబంధించి వేగం యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానం:

(4)

సమీకరణం (4) హార్మోనిక్ డోలనాల సమయంలో త్వరణం వేరియబుల్ అని చూపిస్తుంది, కాబట్టి, డోలనం వేరియబుల్ ఫోర్స్ చర్య వల్ల సంభవిస్తుంది.

న్యూటన్ యొక్క రెండవ నియమం శక్తి F మరియు త్వరణం మధ్య సంబంధాన్ని సాధారణ పదాలలో వ్రాయడానికి అనుమతిస్తుంది ద్రవ్యరాశితో కూడిన మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క రెక్టిలినియర్ హార్మోనిక్ డోలనాల కోసం
:

ఎక్కడ
, (6)

k - స్థితిస్థాపకత గుణకం.

అందువల్ల, హార్మోనిక్ వైబ్రేషన్‌లకు కారణమయ్యే శక్తి స్థానభ్రంశంకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది మరియు స్థానభ్రంశంకు వ్యతిరేకంగా ఉంటుంది. ఈ విషయంలో, మేము హార్మోనిక్ డోలనం యొక్క డైనమిక్ నిర్వచనాన్ని ఇవ్వగలము: హార్మోనిక్ అనేది స్థానభ్రంశం xకి నేరుగా అనులోమానుపాతంలో మరియు స్థానభ్రంశానికి వ్యతిరేకంగా నిర్దేశించబడిన శక్తి వల్ల కలిగే డోలనం.

పునరుద్ధరణ శక్తి, ఉదాహరణకు, సాగే శక్తి కావచ్చు. సాగే శక్తుల కంటే భిన్నమైన స్వభావాన్ని కలిగి ఉన్న శక్తులు, కానీ పరిస్థితిని కూడా సంతృప్తిపరుస్తాయి (5), అంటారు పాక్షిక-సాగే.

x అక్షం వెంట రెక్టిలినియర్ డోలనాల విషయంలో, త్వరణం సమానం:

.

త్వరణం కోసం ఈ వ్యక్తీకరణను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తోంది మరియు బలం యొక్క అర్థం
న్యూటన్ యొక్క రెండవ నియమాన్ని మనం పొందుతాము రెక్టిలినియర్ హార్మోనిక్ డోలనాల ప్రాథమిక సమీకరణం:

లేదా
(7)

ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం సమీకరణం (1).

విద్యార్థుల కోసం డోలనాల కోర్సు ప్రోగ్రామ్ సిద్ధాంతం 4 FACI కోర్సు

క్రమశిక్షణ అనేది క్లాసికల్ జనరల్ ఆల్జీబ్రా, సాధారణ అవకలన సమీకరణాల సిద్ధాంతం, సైద్ధాంతిక మెకానిక్స్ మరియు సంక్లిష్ట వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతం వంటి విభాగాల ఫలితాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. గణిత విశ్లేషణ మరియు ఇతర సంబంధిత గణిత విభాగాల ఉపకరణాన్ని తరచుగా ఉపయోగించడం, సైద్ధాంతిక మెకానిక్స్, ఫిజిక్స్, ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్ మరియు ఎకౌస్టిక్స్ యొక్క సబ్జెక్ట్ ప్రాంతం నుండి ఆచరణాత్మకంగా ముఖ్యమైన ఉదాహరణలను ఉపయోగించడం క్రమశిక్షణ అధ్యయనం యొక్క లక్షణం.

1. ఒక స్థాయి స్వేచ్ఛతో సంప్రదాయవాద వ్యవస్థలో చలనం యొక్క గుణాత్మక విశ్లేషణ

• దశ విమానం పద్ధతి
• వ్యాప్తిపై డోలనం కాలం యొక్క ఆధారపడటం. సాఫ్ట్ మరియు హార్డ్ సిస్టమ్స్

2. డఫింగ్ సమీకరణం

• ఎలిప్టిక్ ఫంక్షన్లలో డఫింగ్ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం కోసం వ్యక్తీకరణ

3. క్వాసిలినియర్ సిస్టమ్స్

• వాన్ డెర్ పోల్ వేరియబుల్స్
• సగటు పద్ధతి

4. రిలాక్సేషన్ డోలనాలు

• వాన్ డెర్ పోల్ సమీకరణం
• అవకలన సమీకరణాల యొక్క ఏకవచనం కలవరపరిచిన వ్యవస్థలు

5. ఒక డిగ్రీ స్వేచ్ఛతో సాధారణ రూపం యొక్క నాన్ లీనియర్ అటానమస్ సిస్టమ్స్ యొక్క డైనమిక్స్

• డైనమిక్ సిస్టమ్ యొక్క "కరుకుదనం" భావన
• డైనమిక్ సిస్టమ్స్ యొక్క విభజనలు

6. ఫ్లోకెట్ సిద్ధాంతం యొక్క అంశాలు

• ఆవర్తన గుణకాలతో అవకలన సమీకరణాల సరళ వ్యవస్థల సాధారణ పరిష్కారాలు మరియు గుణకాలు
• పారామెట్రిక్ ప్రతిధ్వని

7. హిల్ యొక్క సమీకరణం

• ఆవర్తన కోఎఫీషియంట్స్‌తో లీనియర్ హామిల్టోనియన్ సిస్టమ్‌లకు ఫ్లోకెట్ సిద్ధాంతం యొక్క అన్వయం యొక్క ఉదాహరణగా హిల్-టైప్ సమీకరణానికి పరిష్కారాల ప్రవర్తన యొక్క విశ్లేషణ
• కొండ-రకం సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భంలో మాథ్యూ యొక్క సమీకరణం. ఇనెస్-స్ట్రెట్ రేఖాచిత్రం

8. నాన్ లీనియర్ రీస్టోరింగ్ ఫోర్స్ ఉన్న సిస్టమ్‌లో ఫోర్స్డ్ డోలనాలు

• డోలనాల వ్యాప్తి మరియు సిస్టమ్‌కు వర్తించే చోదక శక్తి పరిమాణం మధ్య సంబంధం
• డ్రైవింగ్ ఫోర్స్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీని మార్చేటప్పుడు డ్రైవింగ్ మోడ్ను మార్చడం. "డైనమిక్" హిస్టెరిసిస్ భావన

9. అడియాబాటిక్ ఇన్వేరియెంట్స్

• యాక్షన్-యాంగిల్ వేరియబుల్స్
• చలన స్వభావంలో గుణాత్మక మార్పుతో అడియాబాటిక్ మార్పుల పరిరక్షణ

10. మల్టీడైమెన్షనల్ డైనమిక్ సిస్టమ్స్ యొక్క డైనమిక్స్

• డైనమిక్ సిస్టమ్స్‌లో ఎర్గోడిసిటీ మరియు మిక్సింగ్ భావన
• Poincaré మ్యాప్

11. లోరెంజ్ సమీకరణాలు. వింత ఆకర్షణ

• థర్మోకన్వేక్షన్ యొక్క నమూనాగా లోరెంజ్ సమీకరణాలు
• లోరెంజ్ సమీకరణాలకు పరిష్కారాల విభజనలు. గందరగోళానికి పరివర్తన
• వింత ఆకర్షణ యొక్క ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం

12. ఒక డైమెన్షనల్ డిస్ప్లేలు. ఫీగెన్‌బామ్ యొక్క బహుముఖ ప్రజ్ఞ

• క్వాడ్రాటిక్ మ్యాపింగ్ - సరళమైన నాన్ లీనియర్ మ్యాపింగ్
• మ్యాపింగ్‌ల యొక్క ఆవర్తన కక్ష్యలు. ఆవర్తన కక్ష్యల విభజన

సాహిత్యం (ప్రధాన)

1. మొయిసేవ్ N.N. నాన్ లీనియర్ మెకానిక్స్ యొక్క అసింప్టోటిక్ పద్ధతులు. – M.: నౌకా, 1981.

2. రాబినోవిచ్ M.I., ట్రూబెత్స్కోవ్ D.I. డోలనాలు మరియు తరంగాల సిద్ధాంతానికి పరిచయం. Ed. 2వ. రీసెర్చ్ సెంటర్ "రెగ్యులర్ అండ్ అస్తవ్యస్తమైన డైనమిక్స్", 2000.

3. బోగోలియుబోవ్ N.N., మిట్రోపోల్స్కీ యు.ఎ. నాన్ లీనియర్ డోలనాల సిద్ధాంతంలో అసింప్టోటిక్ పద్ధతులు. – M.: నౌకా, 1974.

4. బుటెనిన్ ఎన్.వి., నెయిమార్క్ యు.ఐ., ఫుఫేవ్ ఎన్.ఎ. నాన్ లీనియర్ డోలనాల సిద్ధాంతానికి పరిచయం. – M.: నౌకా, 1987.

5. లోస్కుటోవ్ A.Yu., మిఖైలోవ్ A.S. సినర్జెటిక్స్ పరిచయం. – M.: నౌకా, 1990.

6. కార్లోవ్ N.V., కిరిచెంకో N.A. డోలనాలు, తరంగాలు, నిర్మాణాలు.. - M.: Fizmatlit, 2003.

సాహిత్యం (అదనపు)

7. జురావ్లెవ్ V.F., క్లిమోవ్ D.M. ప్రకంపనల సిద్ధాంతంలో అనువర్తిత పద్ధతులు. పబ్లిషింగ్ హౌస్ "సైన్స్", 1988.

8. స్టాకర్ J. మెకానికల్ మరియు ఎలక్ట్రికల్ సిస్టమ్స్‌లో నాన్‌లీనియర్ డోలనాలు. – M.: విదేశీ సాహిత్యం, 1952.

9. స్టార్జిన్స్కీ V.M., నాన్ లీనియర్ ఆసిలేషన్స్ యొక్క అప్లైడ్ పద్ధతులు. – M.: నౌకా, 1977.

10. హయాషి T. భౌతిక వ్యవస్థలలో నాన్ లీనియర్ డోలనాలు. - M.: మీర్, 1968.

11. ఆండ్రోనోవ్ A.A., విట్ A.A., ఖైకిన్ S.E. డోలనం సిద్ధాంతం. – M.: ఫిజ్మత్గిజ్, 1959.

రేడియో ఇంజనీరింగ్, ఆప్టికల్ మరియు ఇతర వ్యవస్థలలో సంభవించే ఓసిలేటరీ ప్రక్రియల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను, అలాగే వాటిని అధ్యయనం చేయడానికి వివిధ గుణాత్మక మరియు పరిమాణాత్మక పద్ధతులను ఈ పుస్తకం పాఠకుడికి పరిచయం చేస్తుంది. పారామెట్రిక్, స్వీయ-ఓసిలేటరీ మరియు ఇతర నాన్ లీనియర్ ఓసిలేటరీ సిస్టమ్‌ల పరిశీలనకు గణనీయమైన శ్రద్ధ చెల్లించబడుతుంది.
పుస్తకంలో వివరించిన వాటిలో ఆసిలేటరీ వ్యవస్థలు మరియు ప్రక్రియల అధ్యయనం, డోలనాల సిద్ధాంతం యొక్క ప్రసిద్ధ పద్ధతులను ఉపయోగించి వివరణాత్మక ప్రదర్శన మరియు పద్ధతుల సమర్థన లేకుండా ప్రదర్శించబడుతుంది. చాలా తగినంత విశ్లేషణ పద్ధతులను ఉపయోగించి నిజమైన వ్యవస్థల యొక్క అధ్యయనం చేయబడిన ఓసిలేటరీ నమూనాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను వివరించడానికి ప్రధాన శ్రద్ధ చెల్లించబడుతుంది.

నాన్ లీనియర్ ఇండక్టెన్స్‌తో సర్క్యూట్‌లో ఉచిత డోలనాలు.
ఇప్పుడు మనం ఒక ఎలక్ట్రికల్ నాన్ లీనియర్ కన్జర్వేటివ్ సిస్టమ్ యొక్క మరొక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం, అంటే, దాని ద్వారా ప్రవహించే కరెంట్‌పై ఆధారపడి ఇండక్టెన్స్‌తో కూడిన సర్క్యూట్. ఈ సందర్భంలో స్పష్టమైన మరియు సరళమైన సాపేక్షత లేని యాంత్రిక అనలాగ్ లేదు, ఎందుకంటే కరెంట్‌పై స్వీయ-ఇండక్షన్ ఆధారపడటం మెకానిక్స్‌కు వేగంపై ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడే సందర్భానికి సమానం.

ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థంతో తయారు చేయబడిన కోర్లను ఇండక్టెన్స్‌లలో ఉపయోగించినప్పుడు మేము ఈ రకమైన విద్యుత్ వ్యవస్థలను ఎదుర్కొంటాము. అటువంటి సందర్భాలలో, ఇచ్చిన ప్రతి కోర్కి అయస్కాంతీకరణ క్షేత్రం మరియు అయస్కాంత ఇండక్షన్ ఫ్లక్స్ మధ్య సంబంధాన్ని పొందడం సాధ్యమవుతుంది. ఈ ఆధారపడటాన్ని వర్ణించే వక్రరేఖను అయస్కాంతీకరణ వక్రరేఖ అంటారు. మేము హిస్టెరిసిస్ యొక్క దృగ్విషయాన్ని నిర్లక్ష్యం చేస్తే, దాని ఉజ్జాయింపు కోర్సును అంజీర్లో చూపిన గ్రాఫ్ ద్వారా సూచించవచ్చు. 1.13 ఫీల్డ్ H యొక్క పరిమాణం కాయిల్‌లో ప్రవహించే కరెంట్‌కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది కాబట్టి, కరెంట్‌ను అబ్సిస్సా అక్షం వెంట తగిన స్థాయిలో నేరుగా ప్లాట్ చేయవచ్చు.

ఇ-బుక్‌ని అనుకూలమైన ఆకృతిలో ఉచితంగా డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి, చూడండి మరియు చదవండి:
ఫండమెంటల్స్ ఆఫ్ ది థియరీ ఆఫ్ ఆసిలేషన్స్ పుస్తకాన్ని డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి, మిగులిన్ V.V., మెద్వెదేవ్ V.I., ముస్టెల్ E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, వేగంగా మరియు ఉచితంగా డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి.

• థియరిటికల్ ఫిజిక్స్, మెకానిక్స్, ఫీల్డ్ థియరీ, క్వాంటం మెకానిక్స్ మూలకాలు, మెద్వెదేవ్ B.V., 2007
• ఫిజిక్స్ కోర్సు, ఎర్షోవ్ A.P., ఫెడోటోవిచ్ G.V., ఖరిటోనోవ్ V.G., ప్రూయెల్ E.R., మెద్వెదేవ్ D.A.
• ఉష్ణ బదిలీ మరియు హైడ్రాలిక్స్ యొక్క ఫండమెంటల్స్‌తో సాంకేతిక థర్మోడైనమిక్స్, లషుటినా N.G., మకాషోవా O.V., మెద్వెదేవ్ R.M., 1988