విజువల్ గైడ్ (2019). రేఖాగణిత బొమ్మలు

ఇక్కడ పిరమిడ్‌లు మరియు సంబంధిత సూత్రాలు మరియు భావనల గురించి ప్రాథమిక సమాచారం సేకరించబడింది. వారందరినీ పరీక్షకు సన్నాహకంగా గణితంలో ట్యూటర్‌తో అధ్యయనం చేస్తారు.

ఒక విమానం, బహుభుజిని పరిగణించండి దానిలో పడుకోవడం మరియు ఒక పాయింట్ S దానిలో పడకపోవడం. బహుభుజి యొక్క అన్ని శీర్షాలకు Sని కనెక్ట్ చేయండి. ఫలితంగా వచ్చే పాలిహెడ్రాన్‌ను పిరమిడ్ అంటారు. విభాగాలను పార్శ్వ అంచులు అంటారు. బహుభుజిని బేస్ అని పిలుస్తారు మరియు పాయింట్ S ను పిరమిడ్ పైభాగం అని పిలుస్తారు. n సంఖ్యపై ఆధారపడి, పిరమిడ్‌ను త్రిభుజాకారం (n=3), చతుర్భుజం (n=4), పెంటగోనల్ (n=5) మరియు మొదలైనవి అంటారు. త్రిభుజాకార పిరమిడ్ యొక్క ప్రత్యామ్నాయ పేరు - టెట్రాహెడ్రాన్. పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు దాని శిఖరం నుండి బేస్ ప్లేన్ వరకు లంబంగా ఉంటుంది.

పిరమిడ్ సరైనది అయితే అంటారు ఒక సాధారణ బహుభుజి, మరియు పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు యొక్క ఆధారం (లంబంగా ఉన్న ఆధారం) దాని కేంద్రం.

గురువు యొక్క వ్యాఖ్య:
"రెగ్యులర్ పిరమిడ్" మరియు "రెగ్యులర్ టెట్రాహెడ్రాన్" అనే భావనను కంగారు పెట్టవద్దు. సాధారణ పిరమిడ్‌లో, పక్క అంచులు బేస్ అంచులకు తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండవు, కానీ సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్‌లో, అంచుల యొక్క అన్ని 6 అంచులు సమానంగా ఉంటాయి. ఇది అతని నిర్వచనం. సమానత్వం బహుభుజి యొక్క కేంద్రం P అని సూచిస్తుందని నిరూపించడం సులభం ఎత్తు పునాదితో, కాబట్టి సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్ ఒక సాధారణ పిరమిడ్.

అపోథెమ్ అంటే ఏమిటి?
పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్ దాని వైపు ముఖం యొక్క ఎత్తు. పిరమిడ్ సక్రమంగా ఉంటే, దాని అన్ని అపోథెమ్‌లు సమానంగా ఉంటాయి. రివర్స్ నిజం కాదు.

అతని పరిభాష గురించి గణిత బోధకుడు: పిరమిడ్‌లతో పని 80% రెండు రకాల త్రిభుజాల ద్వారా నిర్మించబడింది:
1) అపోథెమ్ SK మరియు ఎత్తు SPని కలిగి ఉంటుంది
2) పార్శ్వ అంచు SA మరియు దాని ప్రొజెక్షన్ PA కలిగి ఉంటుంది

ఈ త్రిభుజాల సూచనలను సరళీకృతం చేయడానికి, వాటిలో మొదటిదానికి పేరు పెట్టడం గణిత బోధకుడికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. అపోథమిక్, మరియు రెండవది వ్యయమైన. దురదృష్టవశాత్తూ, మీరు ఏ పాఠ్యపుస్తకాలలోనూ ఈ పదజాలాన్ని కనుగొనలేరు మరియు ఉపాధ్యాయుడు దీనిని ఏకపక్షంగా పరిచయం చేయాలి.

పిరమిడ్ వాల్యూమ్ ఫార్ములా:
1) , పిరమిడ్ యొక్క బేస్ ప్రాంతం ఎక్కడ ఉంది మరియు పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు
2) , లిఖించబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థం ఎక్కడ ఉంది మరియు పిరమిడ్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం.
3) , ఇక్కడ MN అనేది ఏదైనా రెండు క్రాసింగ్ అంచుల దూరం మరియు మిగిలిన నాలుగు అంచుల మధ్య బిందువులచే ఏర్పడిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం.

పిరమిడ్ ఎత్తు బేస్ ప్రాపర్టీ:

పాయింట్ P (చిత్రాన్ని చూడండి) కింది షరతుల్లో ఒకదానిని నెరవేర్చినట్లయితే పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద లిఖించబడిన వృత్తం మధ్యలో సమానంగా ఉంటుంది:
1) అన్ని అపోథీలు సమానం
2) అన్ని వైపు ముఖాలు సమానంగా బేస్ వైపు వంపుతిరిగి ఉంటాయి
3) అన్ని అపోథెమ్‌లు పిరమిడ్ ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటాయి
4) పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు అన్ని వైపుల ముఖాలకు సమానంగా వంపుతిరిగి ఉంటుంది

గణిత బోధకుల వ్యాఖ్యానం: అన్ని పాయింట్లు ఒక ఉమ్మడి ఆస్తి ద్వారా ఏకం చేయబడతాయని గమనించండి: ఒక మార్గం లేదా మరొకటి, సైడ్ ఫేసెస్ ప్రతిచోటా పాల్గొంటాయి (అపోథెమ్స్ వాటి మూలకాలు). అందువల్ల, బోధకుడు జ్ఞాపకం కోసం తక్కువ ఖచ్చితమైన, కానీ మరింత అనుకూలమైన సూత్రీకరణను అందించగలడు: పాయింట్ P దాని పార్శ్వ ముఖాల గురించి ఏదైనా సమాన సమాచారం ఉన్నట్లయితే, లిఖిత వృత్తం యొక్క కేంద్రం, పిరమిడ్ యొక్క ఆధారంతో సమానంగా ఉంటుంది. దానిని నిరూపించడానికి, అన్ని అపోథెమికల్ త్రిభుజాలు సమానంగా ఉన్నాయని చూపించడానికి సరిపోతుంది.

మూడు షరతుల్లో ఒకటి నిజమైతే, పాయింట్ P పిరమిడ్ యొక్క బేస్ సమీపంలో ఉన్న చుట్టుపక్కల వృత్తం యొక్క కేంద్రంతో సమానంగా ఉంటుంది:
1) అన్ని వైపు అంచులు సమానంగా ఉంటాయి
2) అన్ని వైపు పక్కటెముకలు బేస్ వైపు సమానంగా వంపుతిరిగి ఉంటాయి
3) అన్ని వైపు పక్కటెముకలు సమానంగా ఎత్తుకు వంపుతిరిగి ఉంటాయి

విద్యార్థులు జ్యామితిని అధ్యయనం చేయడానికి చాలా కాలం ముందు పిరమిడ్ భావనను చూస్తారు. ప్రపంచంలోని ప్రసిద్ధ గొప్ప ఈజిప్షియన్ అద్భుతాలను నిందించండి. అందువలన, ఈ అద్భుతమైన పాలిహెడ్రాన్ యొక్క అధ్యయనాన్ని ప్రారంభించి, చాలామంది విద్యార్థులు ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఊహించారు. పై దృశ్యాలన్నీ సరైన ఆకృతిలో ఉన్నాయి. ఏమిటి కుడి పిరమిడ్, మరియు ఇది ఏ లక్షణాలను కలిగి ఉంది మరియు మరింత చర్చించబడుతుంది.

తో పరిచయంలో ఉన్నారు

నిర్వచనం

పిరమిడ్‌కు అనేక నిర్వచనాలు ఉన్నాయి. పురాతన కాలం నుండి, ఇది చాలా ప్రజాదరణ పొందింది.

ఉదాహరణకు, యూక్లిడ్ దానిని ఒక ఘనమైన బొమ్మగా నిర్వచించాడు, ఇది ఒకదాని నుండి ప్రారంభించి, ఒక నిర్దిష్ట బిందువు వద్ద కలుస్తుంది.

హెరాన్ మరింత ఖచ్చితమైన సూత్రీకరణను అందించింది. అది ఒక ఫిగర్ అని అతను నొక్కి చెప్పాడు త్రిభుజాల రూపంలో బేస్ మరియు విమానాలను కలిగి ఉంటుంది,ఒక పాయింట్ వద్ద కలుస్తుంది.

ఆధునిక వివరణ ఆధారంగా, పిరమిడ్ ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉండే నిర్దిష్ట k-gon మరియు k ఫ్లాట్ త్రిభుజాకార బొమ్మలను కలిగి ఉండే ప్రాదేశిక పాలిహెడ్రాన్‌గా ప్రదర్శించబడుతుంది.

నిశితంగా పరిశీలిద్దాం, ఇది ఏ అంశాలను కలిగి ఉంటుంది?

• k-gon ఫిగర్ ఆధారంగా పరిగణించబడుతుంది;
• 3-కోణ బొమ్మలు పక్క భాగం యొక్క భుజాల వలె పొడుచుకు వస్తాయి;
• సైడ్ ఎలిమెంట్స్ ఉద్భవించిన ఎగువ భాగాన్ని పైభాగం అంటారు;
• శీర్షాన్ని అనుసంధానించే అన్ని విభాగాలను అంచులు అంటారు;
• 90 డిగ్రీల కోణంలో ఒక సరళ రేఖను పై నుండి బొమ్మ యొక్క సమతలానికి తగ్గించినట్లయితే, లోపలి ప్రదేశంలో దాని భాగం పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు;
• మా పాలిహెడ్రాన్ వైపు ఏదైనా సైడ్ ఎలిమెంట్‌లో, మీరు అపోథెమ్ అని పిలువబడే లంబంగా గీయవచ్చు.

అంచుల సంఖ్య 2*k సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది, ఇక్కడ k అనేది k-gon యొక్క భుజాల సంఖ్య. పిరమిడ్ వంటి పాలిహెడ్రాన్‌కి ఎన్ని ముఖాలు ఉన్నాయో k + 1 వ్యక్తీకరణ ద్వారా నిర్ణయించవచ్చు.

ముఖ్యమైనది!సాధారణ-ఆకారపు పిరమిడ్ అనేది స్టీరియోమెట్రిక్ ఫిగర్, దీని బేస్ ప్లేన్ సమాన భుజాలు కలిగిన k-gon.

ప్రాథమిక లక్షణాలు

సరైన పిరమిడ్ అనేక లక్షణాలను కలిగి ఉందిఆమెకే ప్రత్యేకమైనవి. వాటిని జాబితా చేద్దాం:

1. ఆధారం సరైన రూపం యొక్క చిత్రం.
2. పిరమిడ్ యొక్క అంచులు, సైడ్ ఎలిమెంట్లను పరిమితం చేయడం, సమాన సంఖ్యా విలువలను కలిగి ఉంటాయి.
3. పక్క మూలకాలు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు.
4. బొమ్మ యొక్క ఎత్తు యొక్క ఆధారం బహుభుజి మధ్యలోకి వస్తుంది, అదే సమయంలో ఇది లిఖించబడిన మరియు వివరించబడిన కేంద్ర బిందువు.
5. అన్ని వైపు పక్కటెముకలు ఒకే కోణంలో బేస్ ప్లేన్‌కు వంపుతిరిగి ఉంటాయి.
6. అన్ని వైపు ఉపరితలాలు బేస్కు సంబంధించి వంపు యొక్క ఒకే కోణం కలిగి ఉంటాయి.

జాబితా చేయబడిన అన్ని లక్షణాలకు ధన్యవాదాలు, మూలకం గణనల పనితీరు చాలా సరళీకృతం చేయబడింది. పై లక్షణాల ఆధారంగా, మేము శ్రద్ధ చూపుతాము రెండు సంకేతాలు:

1. బహుభుజి ఒక వృత్తంలోకి సరిపోయే సందర్భంలో, ప్రక్క ముఖాలు బేస్‌తో సమాన కోణాలను కలిగి ఉంటాయి.
2. బహుభుజి చుట్టూ ఉన్న వృత్తాన్ని వివరించేటప్పుడు, శీర్షం నుండి వెలువడే పిరమిడ్ యొక్క అన్ని అంచులు ఒకే పొడవు మరియు బేస్‌తో సమాన కోణాలను కలిగి ఉంటాయి.

చతురస్రం ఆధారంగా ఉంటుంది

సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ - చతురస్రం ఆధారంగా ఒక పాలిహెడ్రాన్.

ఇది నాలుగు వైపుల ముఖాలను కలిగి ఉంటుంది, ఇవి ఐసోసెల్స్ రూపంలో ఉంటాయి.

ఒక విమానంలో, ఒక చతురస్రం వర్ణించబడింది, కానీ అవి సాధారణ చతుర్భుజం యొక్క అన్ని లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి.

ఉదాహరణకు, ఒక చతురస్రం యొక్క ప్రక్కను దాని వికర్ణంతో అనుసంధానించాల్సిన అవసరం ఉన్నట్లయితే, ఈ క్రింది సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది: వికర్ణం అనేది స్క్వేర్ యొక్క సైడ్ మరియు రెండు వర్గమూలం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

సాధారణ త్రిభుజం ఆధారంగా

సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ అనేది పాలీహెడ్రాన్, దీని ఆధారం సాధారణ 3-గోన్.

బేస్ ఒక సాధారణ త్రిభుజం అయితే, మరియు సైడ్ అంచులు బేస్ అంచులకు సమానంగా ఉంటే, అటువంటి బొమ్మ టెట్రాహెడ్రాన్ అని పిలుస్తారు.

టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క అన్ని ముఖాలు సమబాహు 3-గోన్లు. ఈ సందర్భంలో, మీరు కొన్ని పాయింట్లను తెలుసుకోవాలి మరియు లెక్కించేటప్పుడు వాటిపై సమయాన్ని వృథా చేయకూడదు:

• ఏదైనా స్థావరానికి పక్కటెముకల వంపు కోణం 60 డిగ్రీలు;
• అన్ని అంతర్గత ముఖాల విలువ కూడా 60 డిగ్రీలు;
• ఏదైనా ముఖం బేస్ గా పనిచేస్తుంది;
• బొమ్మ లోపల గీసిన సమాన అంశాలు.

పాలిహెడ్రాన్ యొక్క విభాగాలు

ఏదైనా పాలిహెడ్రాన్‌లో ఉన్నాయి అనేక రకాల విభాగాలువిమానం. తరచుగా పాఠశాల జ్యామితి కోర్సులో వారు ఇద్దరితో పని చేస్తారు:

• అక్షసంబంధమైన;
• సమాంతర ఆధారం.

శీర్షం, ప్రక్క అంచులు మరియు అక్షం గుండా వెళ్ళే విమానంతో పాలిహెడ్రాన్‌ను ఖండన చేయడం ద్వారా అక్షసంబంధ విభాగం పొందబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, అక్షం అనేది శీర్షం నుండి తీయబడిన ఎత్తు. కట్టింగ్ విమానం అన్ని ముఖాలతో ఖండన రేఖల ద్వారా పరిమితం చేయబడింది, ఫలితంగా త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది.

శ్రద్ధ!సాధారణ పిరమిడ్‌లో, అక్షసంబంధ విభాగం ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం.

కట్టింగ్ విమానం బేస్కు సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫలితం రెండవ ఎంపిక. ఈ సందర్భంలో, మేము బేస్ పోలి ఒక ఫిగర్ సందర్భంలో కలిగి.

ఉదాహరణకు, ఆధారం చతురస్రం అయితే, ఆధారానికి సమాంతరంగా ఉండే విభాగం కూడా చతురస్రంగా ఉంటుంది, కేవలం చిన్న పరిమాణం మాత్రమే.

ఈ పరిస్థితిలో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, బొమ్మల సారూప్యత యొక్క సంకేతాలు మరియు లక్షణాలు ఉపయోగించబడతాయి, థేల్స్ సిద్ధాంతం ఆధారంగా. అన్నింటిలో మొదటిది, సారూప్యత యొక్క గుణకాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం.

విమానం బేస్‌కు సమాంతరంగా గీస్తే, మరియు అది పాలిహెడ్రాన్ యొక్క పై భాగాన్ని కత్తిరించినట్లయితే, దిగువ భాగంలో సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ పొందబడుతుంది. అప్పుడు కత్తిరించబడిన బహుభుజి యొక్క స్థావరాలు సారూప్య బహుభుజాలుగా చెప్పబడతాయి. ఈ సందర్భంలో, సైడ్ ఫేసెస్ ఐసోసెల్స్ ట్రాపెజాయిడ్స్. అక్షసంబంధ విభాగం కూడా ఐసోసెల్స్.

కత్తిరించబడిన పాలిహెడ్రాన్ యొక్క ఎత్తును నిర్ణయించడానికి, అక్షసంబంధ విభాగంలో, అంటే ట్రాపెజాయిడ్‌లో ఎత్తును గీయడం అవసరం.

ఉపరితల ప్రాంతాలు

పాఠశాల జ్యామితి కోర్సులో పరిష్కరించాల్సిన ప్రధాన రేఖాగణిత సమస్యలు పిరమిడ్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం మరియు పరిమాణాన్ని కనుగొనడం.

ఉపరితల వైశాల్యం రెండు రకాలు:

• సైడ్ ఎలిమెంట్స్ యొక్క ప్రాంతం;
• మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం.

టైటిల్ తోనే అది ఏంటో తెలుస్తుంది. సైడ్ ఉపరితలం మాత్రమే సైడ్ ఎలిమెంట్లను కలిగి ఉంటుంది. దీని నుండి దాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు పార్శ్వ విమానాల ప్రాంతాలను, అంటే సమద్విబాహు 3-గోన్‌ల ప్రాంతాలను జోడించాలి. సైడ్ ఎలిమెంట్స్ యొక్క వైశాల్యం కోసం సూత్రాన్ని పొందేందుకు ప్రయత్నిద్దాం:

1. సమద్విబాహు 3-గాన్ వైశాల్యం Str=1/2(aL), ఇక్కడ a అనేది బేస్ వైపు, L అనేది అపోథెమ్.
2. సైడ్ ప్లేన్‌ల సంఖ్య బేస్ వద్ద ఉన్న k-gon రకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఒక సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ నాలుగు పార్శ్వ విమానాలను కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L అనే నాలుగు సంఖ్యల ప్రాంతాలను జోడించడం అవసరం. . వ్యక్తీకరణ ఈ విధంగా సరళీకృతం చేయబడింది ఎందుకంటే విలువ 4a=POS, ఇక్కడ POS అనేది బేస్ యొక్క చుట్టుకొలత. మరియు వ్యక్తీకరణ 1/2 * Rosn దాని సెమీ చుట్టుకొలత.
3. కాబట్టి, సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క సైడ్ ఎలిమెంట్స్ వైశాల్యం బేస్ మరియు అపోథెమ్ యొక్క సెమీ చుట్టుకొలత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం అని మేము నిర్ధారించాము: Sside \u003d Rosn * L.

పిరమిడ్ యొక్క పూర్తి ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం పార్శ్వ విమానాలు మరియు బేస్ యొక్క ప్రాంతాల మొత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది: Sp.p. = Sside + Sbase.

బేస్ యొక్క ప్రాంతం కొరకు, ఇక్కడ ఫార్ములా బహుభుజి రకం ప్రకారం ఉపయోగించబడుతుంది.

సాధారణ పిరమిడ్ వాల్యూమ్బేస్ ప్లేన్ ప్రాంతం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం మరియు ఎత్తును మూడుతో విభజించారు: V=1/3*Sbase*H, ఇక్కడ H అనేది పాలిహెడ్రాన్ యొక్క ఎత్తు.

జ్యామితిలో సాధారణ పిరమిడ్ అంటే ఏమిటి

సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ యొక్క లక్షణాలు

• అపోథెమ్- ఒక సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క ప్రక్క ముఖం యొక్క ఎత్తు, దాని పైభాగం నుండి తీయబడుతుంది (అదనంగా, అపోథెమ్ అనేది లంబంగా ఉండే పొడవు, ఇది సాధారణ బహుభుజి మధ్య నుండి దాని 1 వైపుకు తగ్గించబడుతుంది);
• పక్క ముఖాలు (ASB, BSC, CSD, DSA) - ఎగువన కలిసే త్రిభుజాలు;
• పక్క పక్కటెముకలు ( AS , BS , CS , డి.ఎస్. ) - వైపు ముఖాల సాధారణ వైపులా;
• పిరమిడ్ పైన (v. S) - పక్క అంచులను కలిపే పాయింట్ మరియు ఇది బేస్ యొక్క విమానంలో ఉండదు;
• ఎత్తు ( SO ) - లంబంగా ఉన్న ఒక విభాగం, ఇది పిరమిడ్ పైభాగం ద్వారా దాని బేస్ యొక్క సమతలానికి లాగబడుతుంది (అటువంటి సెగ్మెంట్ యొక్క చివరలు పిరమిడ్ యొక్క పైభాగం మరియు లంబంగా ఉండే ఆధారం);
• పిరమిడ్ యొక్క వికర్ణ విభాగం- పిరమిడ్ యొక్క విభాగం, ఇది బేస్ యొక్క పైభాగం మరియు వికర్ణం గుండా వెళుతుంది;
• బేస్ (ఎ ​​బి సి డి) అనేది పిరమిడ్ యొక్క పైభాగానికి చెందని బహుభుజి.

పిరమిడ్ లక్షణాలు.

1. అన్ని వైపు అంచులు ఒకే పరిమాణంలో ఉన్నప్పుడు, అప్పుడు:

• పిరమిడ్ యొక్క బేస్ దగ్గర ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించడం సులభం, అయితే పిరమిడ్ పైభాగం ఈ వృత్తం మధ్యలో అంచనా వేయబడుతుంది;
• పక్క పక్కటెముకలు బేస్ ప్లేన్‌తో సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి;
• అదనంగా, సంభాషణ కూడా నిజం, అనగా. ప్రక్క అంచులు బేస్ ప్లేన్‌తో సమాన కోణాలను ఏర్పరుచుకున్నప్పుడు లేదా పిరమిడ్ యొక్క బేస్ దగ్గర ఒక వృత్తాన్ని వివరించగలిగినప్పుడు మరియు పిరమిడ్ పైభాగం ఈ వృత్తం మధ్యలోకి అంచనా వేయబడుతుంది, అప్పుడు పిరమిడ్ యొక్క అన్ని వైపు అంచులు ఉంటాయి అదే పరిమాణం.

2. ప్రక్క ముఖాలు ఒకే విలువ యొక్క బేస్ యొక్క సమతలానికి వంపు కోణం కలిగి ఉన్నప్పుడు, అప్పుడు:

• పిరమిడ్ యొక్క బేస్ దగ్గర, ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించడం సులభం, అయితే పిరమిడ్ పైభాగం ఈ వృత్తం మధ్యలో అంచనా వేయబడుతుంది;
• పక్క ముఖాల ఎత్తులు సమాన పొడవు కలిగి ఉంటాయి;
• ప్రక్క ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం ½ బేస్ చుట్టుకొలత మరియు ప్రక్క ముఖం యొక్క ఎత్తు యొక్క ఉత్పత్తి.

3. పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం బహుభుజి అయినట్లయితే, దాని చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించవచ్చు (అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి) ఒక గోళాన్ని పిరమిడ్ సమీపంలో వర్ణించవచ్చు. గోళం యొక్క కేంద్రం వాటికి లంబంగా పిరమిడ్ అంచుల మధ్య బిందువుల గుండా వెళ్ళే విమానాల ఖండన బిందువుగా ఉంటుంది. ఈ సిద్ధాంతం నుండి మనం ఏదైనా త్రిభుజాకారం చుట్టూ మరియు ఏదైనా సాధారణ పిరమిడ్ చుట్టూ ఒక గోళాన్ని వర్ణించవచ్చని నిర్ధారించాము.

4. పిరమిడ్ యొక్క అంతర్గత డైహెడ్రల్ కోణాల ద్విభాగ విమానాలు 1వ పాయింట్ వద్ద కలుస్తుంటే (అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి) ఒక గోళాన్ని పిరమిడ్‌లో లిఖించవచ్చు. ఈ పాయింట్ గోళానికి కేంద్రంగా మారుతుంది.

సరళమైన పిరమిడ్.

పిరమిడ్ యొక్క బేస్ యొక్క మూలల సంఖ్య ప్రకారం, అవి త్రిభుజాకార, చతుర్భుజాకార మరియు మొదలైనవిగా విభజించబడ్డాయి.

పిరమిడ్ రెడీ త్రిభుజాకార, చతుర్భుజి, మరియు మొదలైనవి, పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం ఒక త్రిభుజం, ఒక చతుర్భుజం మరియు మొదలైనవి. త్రిభుజాకార పిరమిడ్ ఒక టెట్రాహెడ్రాన్ - ఒక టెట్రాహెడ్రాన్. చతుర్భుజం - పెంటాహెడ్రాన్ మరియు మొదలైనవి.

ముఖ్యమైన గమనికలు!
1. ఫార్ములాలకు బదులుగా మీరు అబ్రకాడబ్రాను చూసినట్లయితే, కాష్‌ను క్లియర్ చేయండి. మీ బ్రౌజర్‌లో దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ వ్రాయబడింది:
2. మీరు కథనాన్ని చదవడం ప్రారంభించే ముందు, అత్యంత ఉపయోగకరమైన వనరు కోసం మా నావిగేటర్‌కు శ్రద్ధ వహించండి

పిరమిడ్ అంటే ఏమిటి?

ఆమె ఎలా కనిపిస్తుంది?

మీరు చూడండి: దిగువ పిరమిడ్ వద్ద (వారు " బేస్ వద్ద"") కొన్ని బహుభుజి, మరియు ఈ బహుభుజి యొక్క అన్ని శీర్షాలు అంతరిక్షంలో ఏదో ఒక బిందువుతో అనుసంధానించబడి ఉంటాయి (ఈ బిందువును " అంటారు శీర్షము»).

ఈ మొత్తం నిర్మాణం ఉంది పక్క ముఖాలు, పక్క పక్కటెముకలుమరియు బేస్ పక్కటెముకలు. మరోసారి, ఈ పేర్లతో పాటు పిరమిడ్‌ను గీయండి:

కొన్ని పిరమిడ్లు చాలా వింతగా అనిపించవచ్చు, కానీ అవి ఇప్పటికీ పిరమిడ్లు.

ఇక్కడ, ఉదాహరణకు, చాలా "వాలుగా" పిరమిడ్.

మరియు పేర్ల గురించి కొంచెం ఎక్కువ: పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద ఒక త్రిభుజం ఉంటే, అప్పుడు పిరమిడ్ త్రిభుజాకారంగా పిలువబడుతుంది;

అదే సమయంలో, అది పడిపోయిన పాయింట్ ఎత్తు, అని పిలిచారు ఎత్తు బేస్. "వంకర" పిరమిడ్లలో గమనించండి ఎత్తుపిరమిడ్ వెలుపల కూడా ఉండవచ్చు. ఇలా:

మరియు ఇందులో భయంకరమైనది ఏమీ లేదు. ఇది మందమైన త్రిభుజంలా కనిపిస్తుంది.

సరైన పిరమిడ్.

చాలా కష్టమైన పదాలు? అర్థంచేసుకుందాం: " బేస్ వద్ద - సరైనది"- ఇది అర్థమయ్యేలా ఉంది. మరియు ఇప్పుడు ఒక సాధారణ బహుభుజికి ఒక కేంద్రం ఉందని గుర్తుంచుకోండి - ఒక బిందువు కేంద్రం మరియు , మరియు .

బాగా, మరియు "పైభాగం బేస్ మధ్యలో అంచనా వేయబడింది" అనే పదాలు ఎత్తు యొక్క బేస్ సరిగ్గా బేస్ మధ్యలో పడుతుందని అర్థం. ఇది ఎంత మృదువుగా మరియు అందంగా ఉందో చూడండి కుడి పిరమిడ్.

షట్కోణాకారం: బేస్ వద్ద - ఒక సాధారణ షడ్భుజి, శీర్షం బేస్ మధ్యలో అంచనా వేయబడుతుంది.

చతుర్భుజి: బేస్ వద్ద - ఒక చతురస్రం, పైభాగం ఈ స్క్వేర్ యొక్క వికర్ణాల ఖండన బిందువుకు అంచనా వేయబడుతుంది.

త్రిభుజాకార: బేస్ వద్ద ఒక సాధారణ త్రిభుజం ఉంటుంది, ఈ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తుల (అవి మధ్యస్థాలు మరియు ద్విభాగాలు కూడా) ఖండన బిందువుకు శీర్షం అంచనా వేయబడుతుంది.

అత్యంత సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణాలు:

కుడి పిరమిడ్‌లో

• అన్ని వైపు అంచులు సమానంగా ఉంటాయి.
• అన్ని వైపుల ముఖాలు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు మరియు ఈ త్రిభుజాలన్నీ సమానంగా ఉంటాయి.

పిరమిడ్ వాల్యూమ్

పిరమిడ్ వాల్యూమ్ యొక్క ప్రధాన సూత్రం:

ఇది సరిగ్గా ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? ఇది చాలా సులభం కాదు, మరియు మొదట మీరు పిరమిడ్ మరియు కోన్ ఫార్ములాలో వాల్యూమ్ కలిగి ఉన్నాయని గుర్తుంచుకోవాలి, కానీ సిలిండర్ లేదు.

ఇప్పుడు అత్యంత ప్రజాదరణ పొందిన పిరమిడ్ల పరిమాణాన్ని గణిద్దాం.

బేస్ వైపు సమానంగా, మరియు వైపు అంచు సమానంగా ఉండనివ్వండి. కనుగొనేందుకు అవసరం మరియు

ఇది లంబ త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం.

ఈ ప్రాంతం కోసం ఎలా శోధించాలో గుర్తుంచుకోండి. మేము ఏరియా సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

మనకు "" - ఇది మరియు "" - ఇది కూడా ఉంది.

ఇప్పుడు వెతుకుదాం.

కోసం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

ఇది ఏమిటి? ఇది చుట్టుపక్కల వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, ఎందుకంటే పిరమిడ్సరైనఅందుకే కేంద్రం.

నుండి - ఖండన స్థానం మరియు మధ్యస్థం కూడా.

(పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం)

ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం.

అన్నింటినీ వాల్యూమ్ ఫార్ములాలోకి ప్లగ్ చేద్దాం:

శ్రద్ధ:మీకు సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్ ఉంటే (అంటే), అప్పుడు సూత్రం:

బేస్ వైపు సమానంగా, మరియు వైపు అంచు సమానంగా ఉండనివ్వండి.

ఇక్కడ వెతకవలసిన అవసరం లేదు; ఎందుకంటే బేస్ వద్ద ఒక చతురస్రం ఉంది, అందువలన.

వెతుకుదాం. కోసం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

మనకు తెలుసా? దాదాపు. చూడండి:

(మేము దీనిని సమీక్షించడం ద్వారా చూశాము).

ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం:

మరియు ఇప్పుడు మేము ప్రత్యామ్నాయంగా మరియు వాల్యూమ్ ఫార్ములాలోకి ప్రవేశిస్తాము.

బేస్ వైపు సమానంగా, మరియు వైపు అంచు ఉండనివ్వండి.

ఎలా కనుగొనాలి? చూడండి, షడ్భుజి ఖచ్చితంగా ఆరు ఒకేలాంటి సాధారణ త్రిభుజాలను కలిగి ఉంటుంది. సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను లెక్కించేటప్పుడు మేము ఇప్పటికే సాధారణ త్రిభుజం వైశాల్యం కోసం శోధించాము, ఇక్కడ మేము కనుగొన్న సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

ఇప్పుడు (ఇది) కనుగొనండి.

కోసం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

కానీ అది పట్టింపు ఏమిటి? ఇది చాలా సులభం ఎందుకంటే (మరియు అందరూ కూడా) సరైనది.

మేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

పిరమిడ్. ప్రధాన గురించి క్లుప్తంగా

పిరమిడ్ అనేది ఏదైనా ఫ్లాట్ బహుభుజి (), బేస్ (పిరమిడ్ పైభాగం)లో లేని పాయింట్ మరియు పిరమిడ్ పైభాగాన్ని బేస్ పాయింట్లకు (సైడ్ అంచులు) కనెక్ట్ చేసే అన్ని విభాగాలను కలిగి ఉండే ఒక పాలిహెడ్రాన్.

పిరమిడ్ పై నుండి బేస్ యొక్క విమానం వరకు లంబంగా పడిపోయింది.

సరైన పిరమిడ్- ఒక పిరమిడ్, ఇది బేస్ వద్ద సాధారణ బహుభుజిని కలిగి ఉంటుంది మరియు పిరమిడ్ పైభాగం బేస్ మధ్యలోకి అంచనా వేయబడుతుంది.

సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క ఆస్తి:

• సాధారణ పిరమిడ్‌లో, అన్ని వైపు అంచులు సమానంగా ఉంటాయి.
• అన్ని వైపుల ముఖాలు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు మరియు ఈ త్రిభుజాలన్నీ సమానంగా ఉంటాయి.

పిరమిడ్ వాల్యూమ్:

సరే, టాపిక్ ముగిసింది. మీరు ఈ పంక్తులు చదువుతుంటే, మీరు చాలా కూల్‌గా ఉన్నారు.

ఎందుకంటే కేవలం 5% మంది మాత్రమే సొంతంగా ఏదైనా నైపుణ్యం సాధించగలుగుతారు. మరియు మీరు చివరి వరకు చదివి ఉంటే, మీరు 5% లో ఉన్నారు!

ఇప్పుడు అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం.

మీరు ఈ అంశంపై సిద్ధాంతాన్ని కనుగొన్నారు. మరియు, నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, ఇది ... ఇది కేవలం సూపర్! మీ తోటివారిలో చాలా మంది కంటే మీరు ఇప్పటికే మెరుగ్గా ఉన్నారు.

సమస్య ఏమిటంటే ఇది సరిపోకపోవచ్చు ...

దేనికోసం?

పరీక్షలో విజయవంతమైన ఉత్తీర్ణత కోసం, బడ్జెట్‌లో ఇన్‌స్టిట్యూట్‌లో ప్రవేశం కోసం మరియు చాలా ముఖ్యమైనది, జీవితాంతం.

నేను మిమ్మల్ని దేనినీ ఒప్పించను, నేను ఒక్కటి చెబుతాను ...

మంచి విద్యను పొందిన వారు దానిని పొందని వారి కంటే చాలా ఎక్కువ సంపాదిస్తారు. ఇది గణాంకాలు.

కానీ ఇది ప్రధాన విషయం కాదు.

ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే వారు మరింత సంతోషంగా ఉన్నారు (అలాంటి అధ్యయనాలు ఉన్నాయి). బహుశా వారి ముందు చాలా అవకాశాలు తెరుచుకుంటాయి మరియు జీవితం ప్రకాశవంతంగా మారుతుంది? తెలియదు...

అయితే మీరే ఆలోచించండి...

పరీక్షలో ఇతరులకన్నా మెరుగ్గా ఉండటానికి మరియు చివరికి ... సంతోషంగా ఉండటానికి ఏమి అవసరం?

మీ చేతిని పూరించండి, ఈ అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించండి.

పరీక్షలో, మీరు సిద్ధాంతాన్ని అడగరు.

నీకు అవసరం అవుతుంది సకాలంలో సమస్యలను పరిష్కరించండి.

మరియు, మీరు వాటిని పరిష్కరించకపోతే (చాలా!), మీరు ఖచ్చితంగా ఎక్కడో ఒక తెలివితక్కువ పొరపాటు చేస్తారు లేదా సకాలంలో చేయలేరు.

ఇది క్రీడలలో లాగా ఉంటుంది - మీరు ఖచ్చితంగా గెలవడానికి చాలాసార్లు పునరావృతం చేయాలి.

మీకు కావలసిన చోట సేకరణను కనుగొనండి తప్పనిసరిగా పరిష్కారాలతో, వివరణాత్మక విశ్లేషణమరియు నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి!

మీరు మా పనులను ఉపయోగించవచ్చు (అవసరం లేదు) మరియు మేము వాటిని ఖచ్చితంగా సిఫార్సు చేస్తాము.

మా పనుల సహాయంతో చేయి పొందడానికి, మీరు ప్రస్తుతం చదువుతున్న YouClever పాఠ్యపుస్తకం యొక్క జీవితాన్ని పొడిగించడంలో మీరు సహాయం చేయాలి.

ఎలా? రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

1. ఈ కథనంలో దాచిన అన్ని పనులకు యాక్సెస్‌ను అన్‌లాక్ చేయండి -
2. పాఠ్యపుస్తకంలోని మొత్తం 99 కథనాలలో దాచిన అన్ని టాస్క్‌లకు ఓపెన్ యాక్సెస్ - పాఠ్యపుస్తకాన్ని కొనండి - 499 రూబిళ్లు

అవును, మేము పాఠ్యపుస్తకంలో అటువంటి 99 కథనాలను కలిగి ఉన్నాము మరియు అన్ని పనులకు యాక్సెస్ మరియు వాటిలోని అన్ని దాచిన పాఠాలు వెంటనే తెరవబడతాయి.

సైట్ యొక్క మొత్తం జీవితకాలం కోసం అన్ని దాచిన పనులకు యాక్సెస్ అందించబడుతుంది.

ముగింపులో...

మా పనులు మీకు నచ్చకపోతే, ఇతరులను కనుగొనండి. కేవలం సిద్ధాంతంతో ఆగిపోవద్దు.

"అర్థమైంది" మరియు "ఎలా పరిష్కరించాలో నాకు తెలుసు" పూర్తిగా భిన్నమైన నైపుణ్యాలు. మీకు రెండూ కావాలి.

సమస్యలను కనుగొని పరిష్కరించండి!

చతుర్భుజ పిరమిడ్పాలీహెడ్రాన్‌ను పాలీహెడ్రాన్ అంటారు, దీని ఆధారం చతురస్రం, మరియు అన్ని వైపుల ముఖాలు ఒకే ఐసోసెల్ త్రిభుజాలుగా ఉంటాయి.

ఈ పాలిహెడ్రాన్ అనేక విభిన్న లక్షణాలను కలిగి ఉంది:

• దాని పార్శ్వ పక్కటెముకలు మరియు ప్రక్కనే ఉన్న డైహెడ్రల్ కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి;
• వైపు ముఖాల ప్రాంతాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి;
• సాధారణ చతుర్భుజాకార పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద ఒక చతురస్రం ఉంటుంది;
• పిరమిడ్ ఎగువ నుండి పడిపోయిన ఎత్తు బేస్ యొక్క వికర్ణాల ఖండన బిందువుతో కలుస్తుంది.

ఈ లక్షణాలన్నీ కనుగొనడం సులభం చేస్తాయి. అయినప్పటికీ, చాలా తరచుగా, దానితో పాటు, పాలిహెడ్రాన్ యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, చతుర్భుజ పిరమిడ్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రాన్ని వర్తించండి:

అంటే, పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు మరియు బేస్ యొక్క ప్రాంతం యొక్క ఉత్పత్తిలో మూడింట ఒక వంతుకు సమానం. ఇది దాని సమాన భుజాల ఉత్పత్తికి సమానం కాబట్టి, మేము వెంటనే స్క్వేర్ ఏరియా సూత్రాన్ని వాల్యూమ్ వ్యక్తీకరణలో నమోదు చేస్తాము.
చతుర్భుజ పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను లెక్కించడానికి ఒక ఉదాహరణను పరిగణించండి.

చతుర్భుజాకార పిరమిడ్ ఇవ్వబడాలి, దాని అడుగుభాగంలో a = 6 సెం.మీ.తో ఒక చతురస్రం ఉంటుంది. పిరమిడ్ యొక్క ప్రక్క ముఖం b = 8 సెం.మీ. పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.

ఇచ్చిన పాలిహెడ్రాన్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనడానికి, మనకు దాని ఎత్తు పొడవు అవసరం. అందువల్ల, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా మేము దానిని కనుగొంటాము. మొదట, వికర్ణం యొక్క పొడవును గణిద్దాం. నీలి త్రిభుజంలో, ఇది హైపోటెన్యూస్ అవుతుంది. చతురస్రం యొక్క వికర్ణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉన్నాయని మరియు ఖండన పాయింట్ వద్ద సగానికి విభజించబడిందని గుర్తుంచుకోవడం విలువ:


ఇప్పుడు ఎరుపు త్రిభుజం నుండి మనకు h అవసరమైన ఎత్తును కనుగొంటాము. ఇది సమానంగా ఉంటుంది:

అవసరమైన విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు పిరమిడ్ ఎత్తును కనుగొనండి:

ఇప్పుడు, ఎత్తును తెలుసుకోవడం, మేము పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ కోసం సూత్రంలోని అన్ని విలువలను భర్తీ చేయవచ్చు మరియు అవసరమైన విలువను లెక్కించవచ్చు:

ఈ విధంగా, కొన్ని సాధారణ సూత్రాలను తెలుసుకోవడం ద్వారా, మేము సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్‌ను లెక్కించగలిగాము. ఈ విలువ క్యూబిక్ యూనిట్లలో కొలుస్తారు అని మర్చిపోవద్దు.