Arithmetic progression formula n numero. Arithmetic at geometric progressions

Pag-unlad ng aritmetika pangalanan ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero (mga tuntunin ng isang pag-unlad)

Kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong termino, na tinatawag ding pagkakaiba ng hakbang o pag-unlad.

Kaya, sa pamamagitan ng pagtukoy sa hakbang ng pag-unlad at ang unang termino nito, mahahanap mo ang alinman sa mga elemento nito gamit ang formula

Mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika

1) Ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawang numero, ay ang arithmetic mean ng nakaraan at susunod na mga miyembro ng progression

Totoo rin ang kabaligtaran. Kung ang arithmetic mean ng katabing odd (even) terms ng isang progression ay katumbas ng term na nasa pagitan ng mga ito, kung gayon ang sequence ng mga numero ay isang arithmetic progression. Gamit ang pahayag na ito, napakadaling suriin ang anumang pagkakasunud-sunod.

Gayundin, sa pamamagitan ng pag-aari ng arithmetic progression, ang formula sa itaas ay maaaring pangkalahatan sa mga sumusunod

Madali itong i-verify kung isusulat mo ang mga tuntunin sa kanan ng equal sign

Madalas itong ginagamit sa pagsasanay upang gawing simple ang mga kalkulasyon sa mga problema.

2) Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay kinakalkula gamit ang formula

Alalahaning mabuti ang pormula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika; ito ay kailangang-kailangan sa mga kalkulasyon at kadalasang matatagpuan sa mga simpleng sitwasyon sa buhay.

3) Kung kailangan mong hanapin hindi ang buong kabuuan, ngunit bahagi ng pagkakasunud-sunod simula sa kth term nito, kung gayon ang sumusunod na sum formula ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo

4) Ang praktikal na interes ay ang paghahanap ng kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika simula sa kth na numero. Upang gawin ito, gamitin ang formula

Tinatapos nito ang teoretikal na materyal at nagpapatuloy sa paglutas ng mga karaniwang problema sa pagsasanay.

Halimbawa 1. Hanapin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad ng arithmetic 4;7;...

Solusyon:

Ayon sa kondisyon na mayroon tayo

Tukuyin natin ang hakbang ng pag-unlad

Gamit ang isang kilalang formula, makikita natin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad

Halimbawa 2. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng ikatlo at ikapitong termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression at ang kabuuan ng sampu.

Solusyon:

Isulat natin ang mga ibinigay na elemento ng pag-unlad gamit ang mga formula

Ibinabawas namin ang una mula sa pangalawang equation, bilang isang resulta nakita namin ang hakbang ng pag-unlad

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa alinman sa mga equation upang mahanap ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic

Kinakalkula namin ang kabuuan ng unang sampung termino ng pag-unlad

Nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, nakita namin ang lahat ng kinakailangang dami.

Halimbawa 3. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng denominator at isa sa mga termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression, ang kabuuan ng 50 termino nito simula sa 50 at ang kabuuan ng unang 100.

Solusyon:

Isulat natin ang formula para sa ika-daang elemento ng progression

at hanapin ang una

Batay sa una, makikita natin ang ika-50 termino ng pag-unlad

Paghahanap ng kabuuan ng bahagi ng pag-unlad

at ang kabuuan ng unang 100

Ang halaga ng pag-unlad ay 250.

Halimbawa 4.

Hanapin ang bilang ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic kung:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Solusyon:

Isulat natin ang mga equation sa mga tuntunin ng unang termino at ang hakbang ng pag-unlad at tukuyin ang mga ito

Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa sum formula upang matukoy ang bilang ng mga termino sa kabuuan

Nagsasagawa kami ng mga pagpapasimple

at lutasin ang quadratic equation

Sa dalawang halaga na natagpuan, ang numero 8 lamang ang umaangkop sa mga kondisyon ng problema. Kaya, ang kabuuan ng unang walong termino ng pag-unlad ay 111.

Halimbawa 5.

Lutasin ang equation

1+3+5+...+x=307.

Solusyon: Ang equation na ito ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Isulat natin ang unang termino nito at hanapin ang pagkakaiba sa progreso

Kapag nag-aaral ng algebra sa isang sekondaryang paaralan (ika-9 na baitang), ang isa sa mga mahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga pagkakasunud-sunod ng numero, na kinabibilangan ng mga pag-unlad - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito titingnan natin ang isang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.

Ano ang isang pag-unlad ng aritmetika?

Upang maunawaan ito, kinakailangang tukuyin ang pag-unlad na pinag-uusapan, gayundin ang pagbibigay ng mga pangunahing pormula na gagamitin sa paglutas ng mga problema.

Ito ay kilala na sa ilang algebraic progression ang 1st term ay katumbas ng 6, at ang 7th term ay katumbas ng 18. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang sequence na ito sa 7th term.

Gamitin natin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang termino: a n = (n - 1) * d + a 1 . Palitan natin ang kilalang data mula sa kundisyon dito, iyon ay, ang mga numero a 1 at 7, mayroon tayo: 18 = 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito madali mong makalkula ang pagkakaiba: d = (18 - 6) /6 = 2. Kaya, nasagot namin ang unang bahagi ng problema.

Upang maibalik ang sequence sa ika-7 termino, dapat mong gamitin ang kahulugan ng isang algebraic progression, iyon ay, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, at iba pa. Bilang resulta, ibinabalik namin ang buong sequence: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Halimbawa Blg. 3: pagbubuo ng progreso

Gawin pa natin ang problema. Ngayon kailangan nating sagutin ang tanong kung paano makahanap ng pag-unlad ng aritmetika. Maaaring ibigay ang sumusunod na halimbawa: dalawang numero ang ibinibigay, halimbawa - 4 at 5. Kinakailangang lumikha ng algebraic progression upang tatlo pang termino ang mailagay sa pagitan ng mga ito.

Bago mo simulan ang paglutas ng problemang ito, kailangan mong maunawaan kung anong lugar ang sasakupin ng mga ibinigay na numero sa pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, pagkatapos ay isang 1 = -4 at isang 5 = 5. Kapag naitatag ito, nagpapatuloy tayo sa problema, na katulad ng nauna. Muli, para sa nth term na ginagamit namin ang formula, nakukuha namin ang: a 5 = a 1 + 4 * d. Mula sa: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Ang nakuha namin dito ay hindi isang integer na halaga ng pagkakaiba, ngunit ito ay isang rational na numero, kaya ang mga formula para sa algebraic progression ay nananatiling pareho.

Ngayon, idagdag natin ang nakitang pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang mga nawawalang termino ng pag-unlad. Nakukuha namin ang: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, na nagtutugma sa mga kondisyon ng problema.

Halimbawa Blg. 4: unang termino ng pag-unlad

Patuloy tayong magbigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may mga solusyon. Sa lahat ng nakaraang problema, ang unang bilang ng algebraic progression ay kilala. Ngayon isaalang-alang natin ang isang problema ng ibang uri: hayaan ang dalawang numero na ibigay, kung saan ang isang 15 = 50 at isang 43 = 37. Ito ay kinakailangan upang mahanap kung aling numero ang sequence na ito ay nagsisimula.

Ang mga formula na ginamit sa ngayon ay ipinapalagay ang kaalaman sa isang 1 at d. Sa pahayag ng problema, walang alam tungkol sa mga numerong ito. Gayunpaman, isusulat namin ang mga expression para sa bawat termino tungkol sa kung aling impormasyon ang makukuha: a 15 = a 1 + 14 * d at a 43 = a 1 + 42 * d. Nakatanggap kami ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi kilalang dami (a 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.

Ang pinakamadaling paraan upang malutas ang sistemang ito ay ang pagpapahayag ng 1 sa bawat equation at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang expression. Unang equation: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; pangalawang equation: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ang equating mga expression na ito, makakakuha tayo ng: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (3 decimal place lang ang binigay).

Alam ang d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 expression sa itaas para sa isang 1. Halimbawa, una: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Kung mayroon kang mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang ika-43 na termino ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin ang: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Ang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang rounding sa thousandths ay ginamit sa mga kalkulasyon.

Halimbawa Blg. 5: halaga

Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Hayaang magbigay ng numerical progression ng sumusunod na form: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 ng mga numerong ito?

Salamat sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, posible na malutas ang problemang ito, iyon ay, idagdag ang lahat ng mga numero nang sunud-sunod, na gagawin ng computer sa sandaling pinindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay maaaring malutas sa pag-iisip kung bibigyan mo ng pansin na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang algebraic progression, at ang pagkakaiba nito ay katumbas ng 1. Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan, makakakuha tayo ng: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian" dahil sa simula ng ika-18 siglo ang sikat na Aleman, 10 taong gulang pa lamang, ay nagawang lutasin ito sa kanyang ulo sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang pormula para sa kabuuan ng isang algebraic progression, ngunit napansin niya na kung idaragdag mo ang mga numero sa dulo ng sequence sa mga pares, palagi kang makakakuha ng parehong resulta, iyon ay, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., at dahil ang mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100 / 2), kung gayon para makuha ang tamang sagot sapat na upang i-multiply ang 50 sa 101.

Halimbawa Blg. 6: kabuuan ng mga termino mula n hanggang m

Ang isa pang tipikal na halimbawa ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang sumusunod: binigyan ng serye ng mga numero: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging katumbas ng kabuuan ng mga termino nito mula 8 hanggang 14 sa .

Ang problema ay nalutas sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga hindi kilalang termino mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay pagbubuod ng mga ito nang sunud-sunod. Dahil kakaunti ang mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi masyadong labor-intensive. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito gamit ang pangalawang paraan, na mas pangkalahatan.

Ang ideya ay upang makakuha ng isang formula para sa kabuuan ng algebraic progression sa pagitan ng mga terminong m at n, kung saan ang n > m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Dahil n > m, halatang kasama sa 2nd sum ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukunin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito at idagdag ang terminong a m dito (sa kaso ng pagkuha ng pagkakaiba, ito ay ibabawas mula sa kabuuan S n), makukuha natin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + isang m * (1- m/2). Kinakailangang palitan ang mga formula para sa a n at a m sa expression na ito. Pagkatapos ay makukuha natin ang: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ang resultang formula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, a 1 at d. Sa aming kaso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ang pagpapalit sa mga numerong ito, makakakuha tayo ng: S mn = 301.

Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga problema ay batay sa kaalaman sa expression para sa ika-n na termino at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago simulan ang paglutas ng alinman sa mga problemang ito, inirerekomenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan kung ano ang kailangan mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy sa solusyon.

Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang isang tanong nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, kailangan mong gawin iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na magkamali ay mas mababa. Halimbawa, sa halimbawa ng isang pag-unlad ng arithmetic na may solusyon No. 6, maaaring huminto ang isa sa formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, at hatiin ang pangkalahatang problema sa magkakahiwalay na mga subtask (sa kasong ito, hanapin muna ang mga terminong a n at a m).

Kung mayroon kang mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilan sa mga halimbawang ibinigay. Nalaman namin kung paano maghanap ng pag-unlad ng aritmetika. Kung naisip mo ito, hindi ito mahirap.

Online na calculator.
Paglutas ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Ibinigay: a n , d, n
Hanapin: a 1

Hinahanap ng mathematical program na ito ang \(a_1\) ng isang arithmetic progression batay sa mga numerong tinukoy ng user \(a_n, d\) at \(n\).
Ang mga numerong \(a_n\) at \(d\) ay maaaring tukuyin hindi lamang bilang mga integer, kundi pati na rin bilang mga fraction. Bukod dito, ang fractional number ay maaaring ilagay sa anyo ng decimal fraction (\(2.5\)) at sa anyo ng ordinaryong fraction (\(-5\frac(2)(7)\)).

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng paghahanap ng solusyon.

Ang online na calculator na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school sa mga sekondaryang paaralan kapag naghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sumusubok ng kaalaman bago ang Pinag-isang State Exam, at para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng mga numero, inirerekomenda namin na maging pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga numero

Ang mga numerong \(a_n\) at \(d\) ay maaaring tukuyin hindi lamang bilang mga integer, kundi pati na rin bilang mga fraction.
Ang numerong \(n\) ay maaari lamang maging isang positibong integer.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Ang integer at fractional na bahagi sa mga decimal fraction ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang magpasok ng mga decimal fraction tulad ng 2.5 o tulad ng 2.5

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Input:
Resulta: \(-\frac(2)(3)\)

Ang buong bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng ampersand sign: &
Input:
Resulta: \(-1\frac(2)(3)\)

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Feedback Form.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Pagkakasunod-sunod ng numero

Sa pang-araw-araw na pagsasanay, ang pagnunumero ng iba't ibang mga bagay ay kadalasang ginagamit upang ipahiwatig ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga ito ay nakaayos. Halimbawa, ang mga bahay sa bawat kalye ay binibilang. Sa library, ang mga subscription ng mambabasa ay binibilang at pagkatapos ay isinaayos sa pagkakasunud-sunod ng mga nakatalagang numero sa mga espesyal na file ng card.

Sa isang savings bank, gamit ang personal na account number ng depositor, madali mong mahahanap ang account na ito at makita kung anong deposito ang nakalagay dito. Hayaang maglaman ang account No. 1 ng deposito ng a1 rubles, ang account No. 2 ay naglalaman ng deposito ng a2 rubles, atbp. Lumalabas pagkakasunud-sunod ng numero
a 1 , a 2 , a 3 , ..., isang N
kung saan ang N ay ang bilang ng lahat ng mga account. Dito, ang bawat natural na numero n mula 1 hanggang N ay nauugnay sa isang numero a n.

Nag-aral din sa matematika infinite number sequences:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Ang numerong a 1 ay tinatawag unang miyembro ng sequence, numero a 2 - ikalawang termino ng pagkakasunod-sunod, numero a 3 - ikatlong termino ng pagkakasunod-sunod atbp.
Ang numero a n ay tinatawag nth (nth) miyembro ng sequence, at ang natural na bilang n ay nito numero.

Halimbawa, sa pagkakasunud-sunod ng mga parisukat ng mga natural na numero 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... at 1 = 1 ay ang unang termino ng pagkakasunod-sunod; at n = n 2 ay ang nth term ng sequence; a n+1 = (n + 1) 2 ay ang (n + 1)th (n plus first) term ng sequence. Kadalasan ang isang pagkakasunud-sunod ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pormula ng ika-n termino nito. Halimbawa, ang formula na \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) ay tumutukoy sa sequence \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Arithmetic progression

Ang haba ng taon ay humigit-kumulang 365 araw. Ang isang mas tumpak na halaga ay \(365\frac(1)(4)\) araw, kaya bawat apat na taon ay nag-iipon ang isang error sa isang araw.

Upang isaalang-alang ang error na ito, isang araw ay idinagdag sa bawat ikaapat na taon, at ang pinalawig na taon ay tinatawag na isang taon ng paglukso.

Halimbawa, sa ikatlong milenyo, ang mga leap year ay ang mga taong 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Sa pagkakasunud-sunod na ito, ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, idinagdag sa parehong numero 4. Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag mga pag-unlad ng aritmetika.

Kahulugan.
Ang pagkakasunod-sunod ng numero a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... ay tinatawag pag-unlad ng aritmetika, kung para sa lahat ng natural n ang pagkakapantay-pantay
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kung saan ang d ay ilang numero.

Mula sa formula na ito ay sumusunod na ang isang n+1 - a n = d. Ang bilang d ay tinatawag na pagkakaiba pag-unlad ng aritmetika.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang arithmetic progression mayroon tayo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
saan
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kung saan \(n>1 \)

Kaya, ang bawat termino ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawang katabing termino nito. Ipinapaliwanag nito ang pangalang "aritmetika" na pag-unlad.

Tandaan na kung ang isang 1 at d ay ibinigay, kung gayon ang natitirang mga termino ng pag-unlad ng arithmetic ay maaaring kalkulahin gamit ang paulit-ulit na formula na a n+1 = a n + d. Sa ganitong paraan hindi mahirap kalkulahin ang unang ilang termino ng pag-unlad, gayunpaman, halimbawa, ang 100 ay mangangailangan na ng maraming kalkulasyon. Karaniwan, ang nth term formula ay ginagamit para dito. Sa pamamagitan ng kahulugan ng arithmetic progression
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
atbp.
sa lahat,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
dahil ang nth term ng isang arithmetic progression ay nakuha mula sa unang termino sa pamamagitan ng pagdaragdag ng (n-1) na beses ng numero d.
Ang formula na ito ay tinatawag na formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika

Hanapin ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula 1 hanggang 100.
Isulat natin ang halagang ito sa dalawang paraan:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Idagdag natin ang mga pagkakapantay-pantay na ito ayon sa termino:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ang kabuuan na ito ay may 100 termino
Samakatuwid, 2S = 101 * 100, kaya S = 101 * 50 = 5050.

Isaalang-alang natin ngayon ang isang di-makatwirang pag-unlad ng aritmetika
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Hayaang S n ang kabuuan ng unang n termino ng pag-unlad na ito:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Pagkatapos ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Dahil \(a_n=a_1+(n-1)d\), pagkatapos ay pinapalitan ang a n sa formula na ito ay makakakuha tayo ng isa pang formula para sa paghahanap kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

O arithmetic ay isang uri ng ordered numerical sequence, ang mga katangian nito ay pinag-aaralan sa kursong algebra ng paaralan. Tinatalakay ng artikulong ito nang detalyado ang tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Anong uri ng pag-unlad ito?

Bago lumipat sa tanong (kung paano mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika), ito ay nagkakahalaga ng pag-unawa sa kung ano ang pinag-uusapan natin.

Anumang pagkakasunud-sunod ng mga tunay na numero na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag (pagbabawas) ng ilang halaga mula sa bawat nakaraang numero ay tinatawag na algebraic (aritmetika) na pag-unlad. Ang kahulugang ito, kapag isinalin sa wikang matematika, ay nasa anyo:

Narito ang i ay ang serial number ng elemento ng row a i. Kaya, sa pag-alam lamang ng isang panimulang numero, madali mong maibabalik ang buong serye. Ang parameter d sa formula ay tinatawag na progression difference.

Madaling maipakita na para sa serye ng mga numerong isinasaalang-alang ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay taglay:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Iyon ay, upang mahanap ang halaga ng nth elemento sa pagkakasunud-sunod, dapat mong idagdag ang pagkakaiba d sa unang elemento a 1 n-1 beses.

Ano ang kabuuan ng isang arithmetic progression: formula

Bago ibigay ang formula para sa ipinahiwatig na halaga, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simpleng espesyal na kaso. Dahil sa pag-unlad ng mga natural na numero mula 1 hanggang 10, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuan. Dahil kakaunti ang mga termino sa progression (10), posibleng lutasin ang problema nang direkta, iyon ay, pagsama-samahin ang lahat ng elemento sa pagkakasunud-sunod.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang kawili-wiling bagay: dahil ang bawat termino ay naiiba mula sa susunod sa pamamagitan ng parehong halaga d = 1, kung gayon ang pairwise na pagbubuod ng una sa ikasampu, ang pangalawa sa ikasiyam, at iba pa ay magbibigay ng parehong resulta. Talaga:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Tulad ng nakikita mo, mayroon lamang 5 sa mga kabuuan na ito, iyon ay, eksaktong dalawang beses na mas mababa kaysa sa bilang ng mga elemento ng serye. Pagkatapos ay i-multiply ang bilang ng mga kabuuan (5) sa resulta ng bawat kabuuan (11), makakarating ka sa resulta na nakuha sa unang halimbawa.

Kung i-generalize natin ang mga argumentong ito, maaari nating isulat ang sumusunod na expression:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ang expression na ito ay nagpapakita na ito ay hindi sa lahat ng kailangan upang isama ang lahat ng mga elemento sa isang hilera ito ay sapat na upang malaman ang halaga ng unang a 1 at ang huling a n, pati na rin ang kabuuang bilang ng mga termino n.

Ito ay pinaniniwalaan na unang naisip ni Gauss ang pagkakapantay-pantay na ito nang siya ay naghahanap ng solusyon sa isang problemang ibinigay ng kanyang guro sa paaralan: isama ang unang 100 integer.

Kabuuan ng mga elemento mula m hanggang n: formula

Ang pormula na ibinigay sa nakaraang talata ay sumasagot sa tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika (ang mga unang elemento), ngunit kadalasan sa mga problema ay kinakailangan na magsama ng isang serye ng mga numero sa gitna ng pag-unlad. Paano ito gagawin?

Ang pinakamadaling paraan upang sagutin ang tanong na ito ay sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa sumusunod na halimbawa: hayaang kailanganin na hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa m-th hanggang sa n-th. Upang malutas ang problema, dapat mong ipakita ang ibinigay na segment mula m hanggang n ng pag-unlad sa anyo ng isang bagong serye ng numero. Sa representasyong ito, ang mth term na a m ang magiging una, at ang n ay mabibilang na n-(m-1). Sa kasong ito, ang paglalapat ng karaniwang formula para sa kabuuan, ang sumusunod na expression ay makukuha:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Halimbawa ng paggamit ng mga formula

Ang pag-alam kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simpleng halimbawa ng paggamit ng mga formula sa itaas.

Nasa ibaba ang isang numerical sequence, dapat mong hanapin ang kabuuan ng mga termino nito, simula sa ika-5 at nagtatapos sa ika-12:

Ang mga ibinigay na numero ay nagpapahiwatig na ang pagkakaiba d ay katumbas ng 3. Gamit ang expression para sa ika-n na elemento, mahahanap mo ang mga halaga ng ika-5 at ika-12 na termino ng pag-unlad. Iyon pala:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Ang pag-alam sa mga halaga ng mga numero sa mga dulo ng algebraic progression na isinasaalang-alang, pati na rin ang pag-alam kung anong mga numero sa serye ang kanilang sinasakop, maaari mong gamitin ang formula para sa kabuuan na nakuha sa nakaraang talata. Ito ay lalabas:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Kapansin-pansin na ang halagang ito ay maaaring makuha sa ibang paraan: hanapin muna ang kabuuan ng unang 12 elemento gamit ang karaniwang formula, pagkatapos ay kalkulahin ang kabuuan ng unang 4 na elemento gamit ang parehong formula, pagkatapos ay ibawas ang pangalawa mula sa unang kabuuan.

I. V. Yakovlev | Mga materyales sa matematika | MathUs.ru

Arithmetic progression

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang espesyal na uri ng pagkakasunud-sunod. Samakatuwid, bago tukuyin ang aritmetika (at pagkatapos ay geometriko) na pag-unlad, kailangan nating maikling talakayin ang mahalagang konsepto ng pagkakasunud-sunod ng numero.

Kasunod

Isipin ang isang aparato sa screen kung saan ang ilang mga numero ay ipinapakita nang paisa-isa. Sabihin nating 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ang hanay ng mga numerong ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod.

Kahulugan. Ang pagkakasunud-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero kung saan ang bawat numero ay maaaring italaga ng isang natatanging numero (iyon ay, nauugnay sa isang solong natural na numero)1. Ang bilang n ay tinatawag na ika-n na termino ng pagkakasunod-sunod.

Kaya, sa halimbawa sa itaas, ang unang numero ay 2, ito ang unang miyembro ng sequence, na maaaring tukuyin ng a1; ang numero lima ay may bilang na 6 ay ang ikalimang termino ng pagkakasunod-sunod, na maaaring tukuyin ng a5. Sa pangkalahatan, ang nth term ng isang sequence ay tinutukoy ng isang (o bn, cn, atbp.).

Ang isang napaka-komportableng sitwasyon ay kapag ang ika-n na termino ng sequence ay maaaring tukuyin ng ilang formula. Halimbawa, ang formula an = 2n 3 ay tumutukoy sa pagkakasunod-sunod: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Tinutukoy ng formula an = (1)n ang sequence: 1; 1; 1; 1; : : :

Hindi lahat ng hanay ng mga numero ay isang pagkakasunod-sunod. Kaya, ang isang segment ay hindi isang sequence; naglalaman ito ng "napakaraming" mga numero upang muling lagyan ng numero. Ang set R ng lahat ng tunay na numero ay hindi rin isang sequence. Ang mga katotohanang ito ay napatunayan sa kurso ng mathematical analysis.

Arithmetic progression: pangunahing mga kahulugan

Ngayon ay handa na kaming tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika.

Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat termino (nagsisimula sa pangalawa) ay katumbas ng kabuuan ng nakaraang termino at ilang nakapirming numero (tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika).

Halimbawa, sequence 2; 5; 8; labing-isa; : : : ay isang arithmetic progression na may unang termino 2 at pagkakaiba 3. Sequence 7; 2; 3; 8; : : : ay isang arithmetic progression na may unang termino 7 at pagkakaiba 5. Sequence 3; 3; 3; : : : ay isang arithmetic progression na may pagkakaiba na katumbas ng zero.

Katumbas na kahulugan: ang sequence an ay tinatawag na arithmetic progression kung ang pagkakaiba an+1 an ay isang pare-parehong halaga (independent ng n).

Ang isang pag-unlad ng arithmetic ay tinatawag na pagtaas kung ang pagkakaiba nito ay positibo, at ang pagbaba kung ang pagkakaiba nito ay negatibo.

1 Ngunit narito ang isang mas maigsi na kahulugan: ang sequence ay isang function na tinukoy sa set ng mga natural na numero. Halimbawa, ang pagkakasunod-sunod ng mga tunay na numero ay isang function f: N ! R.

Bilang default, ang mga pagkakasunud-sunod ay itinuturing na walang hanggan, iyon ay, naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga numero. Ngunit walang sinuman ang nag-abala sa amin upang isaalang-alang ang mga may hangganang pagkakasunud-sunod; sa katunayan, ang anumang may hangganan na hanay ng mga numero ay maaaring tawaging isang may hangganang pagkakasunod-sunod. Halimbawa, ang ending sequence ay 1; 2; 3; 4; Ang 5 ay binubuo ng limang numero.

Formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

Madaling maunawaan na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ganap na tinutukoy ng dalawang numero: ang unang termino at ang pagkakaiba. Samakatuwid, ang tanong ay lumitaw: paano, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, makahanap ng isang arbitrary na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika?

Hindi mahirap makuha ang kinakailangang pormula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Hayaan ang isang

Problema 1. Sa aritmetika progression 2; 5; 8; labing-isa; : : : hanapin ang formula para sa ika-n na termino at kalkulahin ang ika-daang termino.

Solusyon. Ayon sa formula (1) mayroon tayong:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Pag-aari at tanda ng pag-unlad ng aritmetika

Katangian ng pag-unlad ng aritmetika. Sa arithmetic progression an for any

Sa madaling salita, ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression (simula sa pangalawa) ay ang arithmetic mean ng mga kalapit na miyembro nito.

na kung ano ang kinakailangan.

Sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng aritmetika ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay

a n = a n k+ a n+k

para sa anumang n > 2 at anumang natural na k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Lumalabas na ang formula (2) ay nagsisilbi hindi lamang bilang isang kinakailangan kundi bilang isang sapat na kondisyon para ang pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad ng aritmetika.

Tanda ng pag-unlad ng aritmetika. Kung ang pagkakapantay-pantay (2) ay humahawak para sa lahat ng n > 2, kung gayon ang pagkakasunod-sunod ay isang pag-unlad ng aritmetika.

Patunay. Isulat muli natin ang formula (2) gaya ng sumusunod:

a na n 1= a n+1a n:

Mula dito makikita natin na ang pagkakaiba an+1 an ay hindi nakadepende sa n, at ito ay tiyak na nangangahulugan na ang pagkakasunod-sunod na an ay isang arithmetic progression.

Ang ari-arian at tanda ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring mabalangkas sa anyo ng isang pahayag; Para sa kaginhawahan, gagawin namin ito para sa tatlong numero (ito ang sitwasyon na madalas na nangyayari sa mga problema).

Paglalarawan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ang tatlong numerong a, b, c ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika kung at kung 2b = a + c lamang.

Problema 2. (MSU, Faculty of Economics, 2007) Tatlong numero na 8x, 3 x2 at 4 sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod ay bumubuo ng isang bumababa na pag-unlad ng aritmetika. Hanapin ang x at ipahiwatig ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.

Solusyon. Sa pamamagitan ng pag-aari ng arithmetic progression mayroon tayo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Kung x = 1, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang bumababa na pag-unlad ng 8, 2, 4 na may pagkakaiba na 6. Kung x = 5, pagkatapos ay makakakuha tayo ng pagtaas ng pag-unlad ng 40, 22, 4; hindi angkop ang kasong ito.

Sagot: x = 1, ang pagkakaiba ay 6.

Kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika

Ayon sa alamat, isang araw sinabi ng guro sa mga bata na hanapin ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 100 at tahimik na umupo upang magbasa ng pahayagan. Gayunpaman, sa loob ng ilang minuto, sinabi ng isang batang lalaki na nalutas na niya ang problema. Ito ang 9-taong-gulang na si Carl Friedrich Gauss, nang maglaon ay isa sa mga pinakadakilang mathematician sa kasaysayan.

Ang ideya ni Little Gauss ay ang mga sumusunod. Hayaan

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Isulat natin ang halagang ito sa reverse order:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

at idagdag ang dalawang formula na ito:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Ang bawat termino sa mga bracket ay katumbas ng 101, at mayroong 100 ganoong mga termino sa kabuuan

2S = 101 100 = 10100;

Ginagamit namin ang ideyang ito upang makuha ang sum formula

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Makukuha ang isang kapaki-pakinabang na pagbabago ng formula (3) kung papalitan natin ang formula ng ika-n term na an = a1 + (n 1)d dito:

Problema 3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong tatlong-digit na numero na nahahati sa 13.

Solusyon. Ang tatlong-digit na numero na mga multiple ng 13 ay bumubuo ng isang pag-unlad ng arithmetic na ang unang termino ay 104 at ang pagkakaiba ay 13; Ang ikasiyam na termino ng pag-unlad na ito ay may anyo:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Alamin natin kung ilang termino ang nilalaman ng ating pag-unlad. Upang gawin ito, lutasin namin ang hindi pagkakapantay-pantay:

isang 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

Kaya, mayroong 69 na miyembro sa aming pag-unlad. Gamit ang formula (4) hinahanap namin ang kinakailangang halaga:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2