Ano ang pagkakaiba? Mga ganap na pagkakaiba-iba

Pagkalat sa mga istatistika ay matatagpuan bilang ang mga indibidwal na halaga ng katangian na nakakuwadrado mula sa . Depende sa paunang data, natutukoy ito gamit ang simple at weighted variance formula:

1. (para sa hindi nakagrupong data) ay kinakalkula gamit ang formula:

2. Natimbang na pagkakaiba-iba (para sa serye ng variation):

kung saan ang n ay frequency (reatability ng factor X)

Isang halimbawa ng paghahanap ng pagkakaiba

Ang pahinang ito ay naglalarawan ng isang karaniwang halimbawa ng paghahanap ng pagkakaiba, maaari mo ring tingnan ang iba pang mga problema para sa paghahanap nito

Halimbawa 1. Ang sumusunod na data ay magagamit para sa isang pangkat ng 20 mga mag-aaral sa pagsusulatan. Kinakailangan na bumuo ng isang serye ng pagitan ng pamamahagi ng katangian, kalkulahin ang average na halaga ng katangian at pag-aralan ang pagpapakalat nito

Bumuo tayo ng interval grouping. Tukuyin natin ang hanay ng pagitan gamit ang formula:

kung saan ang X max ay ang pinakamataas na halaga ng katangian ng pagpapangkat;
X min – pinakamababang halaga ng katangian ng pagpapangkat;
n – bilang ng mga pagitan:

Tinatanggap namin ang n=5. Ang hakbang ay: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

Gumawa tayo ng interval grouping

Para sa karagdagang mga kalkulasyon, bubuo kami ng isang auxiliary table:

Ang X'i ay ang gitna ng pagitan. (halimbawa, ang gitna ng pagitan 159 – 165.6 = 162.3)

Tinutukoy namin ang average na taas ng mga mag-aaral gamit ang weighted arithmetic average formula:

Tukuyin natin ang pagkakaiba-iba gamit ang formula:

Ang dispersion formula ay maaaring mabago tulad ng sumusunod:

Mula sa formula na ito ay sinusundan iyon ang pagkakaiba ay katumbas ng ang pagkakaiba sa pagitan ng average ng mga parisukat ng mga pagpipilian at ang parisukat at ang average.

Pagpapakalat sa serye ng variation na may pantay na pagitan gamit ang paraan ng mga sandali ay maaaring kalkulahin sa sumusunod na paraan gamit ang pangalawang pag-aari ng pagpapakalat (paghahati sa lahat ng mga pagpipilian sa halaga ng pagitan). Pagtukoy sa pagkakaiba-iba, kinakalkula gamit ang paraan ng mga sandali, gamit ang sumusunod na formula ay hindi gaanong matrabaho:

kung saan ang i ay ang halaga ng pagitan;
Ang A ay isang maginoo na zero, kung saan ito ay maginhawa upang gamitin ang gitna ng agwat na may pinakamataas na dalas;
m1 ay ang parisukat ng unang pagkakasunud-sunod sandali;
m2 - sandali ng pangalawang pagkakasunud-sunod

(kung sa isang istatistikal na populasyon ang isang katangian ay nagbabago sa paraang mayroon lamang dalawang magkaparehong eksklusibong mga opsyon, kung gayon ang gayong pagkakaiba-iba ay tinatawag na alternatibo) ay maaaring kalkulahin gamit ang pormula:

Ang pagpapalit ng q = 1- p sa dispersion formula na ito, makuha natin ang:

Mga uri ng pagkakaiba-iba

Kabuuang pagkakaiba sinusukat ang pagkakaiba-iba ng isang katangian sa buong populasyon sa kabuuan sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng salik na nagdudulot ng pagkakaiba-iba na ito. Ito ay katumbas ng ibig sabihin ng parisukat ng mga paglihis ng mga indibidwal na halaga ng isang katangiang x mula sa pangkalahatang mean na halaga ng x at maaaring tukuyin bilang simpleng pagkakaiba o timbang na pagkakaiba.

nagpapakilala ng random na pagkakaiba-iba, i.e. bahagi ng pagkakaiba-iba na dahil sa impluwensya ng hindi nabilang na mga salik at hindi nakadepende sa kadahilanan-katangian na nagiging batayan ng pangkat. Ang nasabing dispersion ay katumbas ng mean square ng mga deviations ng mga indibidwal na value ng attribute sa loob ng group X mula sa arithmetic mean ng grupo at maaaring kalkulahin bilang simpleng dispersion o bilang weighted dispersion.

kaya, mga hakbang sa pagkakaiba-iba sa loob ng pangkat pagkakaiba-iba ng isang katangian sa loob ng isang pangkat at tinutukoy ng formula:

kung saan ang xi ay ang average ng grupo;
ni ay ang bilang ng mga yunit sa pangkat.

Halimbawa, ang mga pagkakaiba-iba ng intragroup na kailangang matukoy sa gawain ng pag-aaral ng impluwensya ng mga kwalipikasyon ng mga manggagawa sa antas ng produktibidad ng paggawa sa isang workshop ay nagpapakita ng mga pagkakaiba-iba sa output sa bawat grupo na sanhi ng lahat ng posibleng mga kadahilanan (teknikal na kondisyon ng kagamitan, pagkakaroon ng mga kasangkapan at materyales, edad ng mga manggagawa, lakas ng paggawa, atbp.), maliban sa mga pagkakaiba sa kategorya ng kwalipikasyon (sa loob ng isang grupo ang lahat ng mga manggagawa ay may parehong mga kwalipikasyon).

Ang average ng mga pagkakaiba-iba sa loob ng pangkat ay nagpapakita ng random, ibig sabihin, ang bahagi ng pagkakaiba-iba na naganap sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng iba pang mga salik, maliban sa kadahilanan ng pagpapangkat. Kinakalkula ito gamit ang formula:

Nailalarawan ang sistematikong pagkakaiba-iba ng nagresultang katangian, na dahil sa impluwensya ng factor-sign na bumubuo sa batayan ng pangkat. Ito ay katumbas ng ibig sabihin ng parisukat ng mga paglihis ng ibig sabihin ng pangkat mula sa pangkalahatang mean. Kinakalkula ang pagkakaiba-iba ng intergroup gamit ang formula:

Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng pagkakaiba-iba sa mga istatistika

Ayon kay panuntunan para sa pagdaragdag ng mga pagkakaiba-iba ang kabuuang pagkakaiba ay katumbas ng kabuuan ng average ng mga pagkakaiba-iba sa loob ng pangkat at pagitan ng pangkat:

Ang kahulugan ng panuntunang ito ay ang kabuuang pagkakaiba-iba na lumitaw sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng mga kadahilanan ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba-iba na lumitaw sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng iba pang mga kadahilanan at ang pagkakaiba-iba na lumitaw dahil sa pangkat na kadahilanan.

Gamit ang formula para sa pagdaragdag ng mga pagkakaiba-iba, matutukoy mo ang pangatlong hindi kilalang pagkakaiba-iba mula sa dalawang kilalang pagkakaiba-iba, at hatulan din ang lakas ng impluwensya ng katangian ng pagpapangkat.

Mga katangian ng pagpapakalat

1. Kung ang lahat ng mga halaga ng isang katangian ay nabawasan (nadagdagan) ng parehong pare-parehong halaga, kung gayon ang pagpapakalat ay hindi magbabago.
2. Kung ang lahat ng mga halaga ng isang katangian ay nabawasan (nadagdagan) ng parehong bilang ng beses n, kung gayon ang pagkakaiba ay naaayon sa pagbaba (pagtaas) ng n^2 beses.

Kung ang populasyon ay nahahati sa mga pangkat ayon sa katangiang pinag-aaralan, kung gayon ang mga sumusunod na uri ng pagkakaiba ay maaaring kalkulahin para sa populasyon na ito: kabuuan, pangkat (sa loob ng pangkat), average ng pangkat (average ng loob ng pangkat), intergroup.

Sa una, kinakalkula nito ang koepisyent ng pagpapasiya, na nagpapakita kung anong bahagi ng kabuuang pagkakaiba-iba ng katangiang pinag-aaralan ang pagkakaiba-iba ng intergroup, i.e. dahil sa katangian ng pagpapangkat:

Ang relasyon sa empirikal na ugnayan ay nagpapakilala sa pagiging malapit ng koneksyon sa pagitan ng pagpapangkat (factorial) at mga katangian ng pagganap.

Ang empirical correlation ratio ay maaaring tumagal ng mga halaga mula 0 hanggang 1.

Upang masuri ang lapit ng koneksyon batay sa empirical correlation ratio, maaari mong gamitin ang Chaddock relations:

Halimbawa 4. Ang sumusunod na data ay magagamit sa pagganap ng trabaho sa pamamagitan ng disenyo at survey na mga organisasyon ng iba't ibang anyo ng pagmamay-ari:

tukuyin:

1) kabuuang pagkakaiba;

2) mga pagkakaiba-iba ng pangkat;

3) ang average ng mga pagkakaiba-iba ng pangkat;

4) pagkakaiba sa pagitan ng pangkat;

5) kabuuang pagkakaiba batay sa panuntunan para sa pagdaragdag ng mga pagkakaiba;

6) koepisyent ng determinasyon at ratio ng empirical na ugnayan.

Gumawa ng mga konklusyon.

Solusyon:

1. Tukuyin natin ang average na dami ng trabahong ginagawa ng mga negosyo ng dalawang anyo ng pagmamay-ari:

Kalkulahin natin ang kabuuang pagkakaiba:

2. Tukuyin ang mga average ng grupo:

milyong rubles;

milyong rubles

Mga pagkakaiba-iba ng pangkat:

;

3. Kalkulahin ang average ng mga pagkakaiba-iba ng pangkat:

4. Tukuyin natin ang pagkakaiba-iba ng intergroup:

5. Kalkulahin ang kabuuang pagkakaiba-iba batay sa panuntunan para sa pagdaragdag ng mga pagkakaiba-iba:

6. Tukuyin natin ang koepisyent ng determinasyon:

.

Kaya, ang dami ng trabaho na isinagawa ng mga organisasyon ng disenyo at survey ay nakasalalay sa 22% sa anyo ng pagmamay-ari ng mga negosyo.

Ang empirical correlation ratio ay kinakalkula gamit ang formula

.

Ang halaga ng kinakalkula na tagapagpahiwatig ay nagpapahiwatig na ang pag-asa ng dami ng trabaho sa anyo ng pagmamay-ari ng negosyo ay maliit.

Halimbawa 5. Bilang resulta ng isang survey ng teknolohikal na disiplina ng mga lugar ng produksyon, ang mga sumusunod na data ay nakuha:

Tukuyin ang koepisyent ng pagpapasiya

Kadalasan sa mga istatistika, kapag sinusuri ang isang kababalaghan o proseso, kinakailangang isaalang-alang hindi lamang ang impormasyon tungkol sa mga average na antas ng mga tagapagpahiwatig na pinag-aaralan, kundi pati na rin scatter o pagkakaiba-iba sa mga halaga ng mga indibidwal na yunit , na isang mahalagang katangian ng populasyon na pinag-aaralan.

Ang pinaka napapailalim sa pagkakaiba-iba ay ang mga presyo ng stock, supply at demand, at mga rate ng interes sa iba't ibang yugto ng panahon at sa iba't ibang lugar.

Ang mga pangunahing tagapagpahiwatig na nagpapakilala sa pagkakaiba-iba , ay range, dispersion, standard deviation at coefficient of variation.

Saklaw ng pagkakaiba-iba kumakatawan sa pagkakaiba sa pagitan ng maximum at minimum na mga halaga ng katangian: R = Xmax – Xmin. Ang kawalan ng tagapagpahiwatig na ito ay sinusuri lamang nito ang mga hangganan ng pagkakaiba-iba ng isang katangian at hindi nagpapakita ng pagkakaiba-iba nito sa loob ng mga hangganang ito.

Pagpapakalat kulang ang pagkukulang na ito. Ito ay kinakalkula bilang ang average na parisukat ng mga paglihis ng mga katangian na halaga mula sa kanilang average na halaga:

Isang pinasimpleng paraan upang kalkulahin ang pagkakaiba isinasagawa gamit ang mga sumusunod na formula (simple at may timbang):

Ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga formula na ito ay ipinakita sa mga gawain 1 at 2.

Ang isang malawakang ginagamit na tagapagpahiwatig sa pagsasanay ay karaniwang lihis :

Ang standard deviation ay tinukoy bilang square root ng variance at may parehong dimensyon sa katangiang pinag-aaralan.

Ang itinuturing na mga tagapagpahiwatig ay nagpapahintulot sa amin na makuha ang ganap na halaga ng pagkakaiba-iba, i.e. suriin ito sa mga yunit ng pagsukat ng katangiang pinag-aaralan. Hindi tulad nila, ang koepisyent ng pagkakaiba-iba sinusukat ang pagkakaiba-iba sa mga kamag-anak na termino - nauugnay sa average na antas, na sa maraming mga kaso ay mas mainam.

Formula para sa pagkalkula ng koepisyent ng pagkakaiba-iba.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Mga tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-iba sa mga istatistika"

Problema 1 . Kapag pinag-aaralan ang impluwensya ng advertising sa laki ng average na buwanang deposito sa mga bangko sa rehiyon, 2 bangko ang sinuri. Ang mga sumusunod na resulta ay nakuha:

tukuyin:
1) para sa bawat bangko: a) average na deposito bawat buwan; b) pagpapakalat ng kontribusyon;
2) ang average na buwanang deposito para sa dalawang bangko na magkasama;
3) pagkakaiba sa deposito para sa 2 bangko, depende sa advertising;
4) Pag-iiba ng deposito para sa 2 bangko, depende sa lahat ng salik maliban sa advertising;
5) Kabuuang pagkakaiba-iba gamit ang panuntunan sa karagdagan;
6) Koepisyent ng pagpapasiya;
7) Relasyon ng ugnayan.

Solusyon

1) Gumawa tayo ng talahanayan ng pagkalkula para sa isang bangko na may advertising . Upang matukoy ang average na buwanang deposito, hahanapin namin ang mga midpoint ng mga agwat. Sa kasong ito, ang halaga ng bukas na agwat (ang una) ay may kondisyon na katumbas sa halaga ng agwat na katabi nito (ang pangalawa).

Hahanapin namin ang average na laki ng deposito gamit ang weighted arithmetic average formula:

29,000/50 = 580 kuskusin.

Nahanap namin ang pagkakaiba ng kontribusyon gamit ang formula:

23 400/50 = 468

Magsasagawa kami ng mga katulad na aksyon para sa isang bangko na walang advertising :

2) Hanapin natin ang average na laki ng deposito para sa dalawang bangko nang magkasama. Хср =(580×50+542.8×50)/100 = 561.4 kuskusin.

3) Hahanapin namin ang pagkakaiba-iba ng deposito para sa dalawang bangko, depende sa advertising, gamit ang formula: σ 2 =pq (formula para sa variance ng isang alternatibong katangian). Dito ang p=0.5 ay ang proporsyon ng mga salik na nakadepende sa advertising; q=1-0.5, pagkatapos ay σ 2 =0.5*0.5=0.25.

4) Dahil ang bahagi ng iba pang mga kadahilanan ay 0.5, kung gayon ang pagkakaiba-iba ng deposito para sa dalawang bangko, depende sa lahat ng mga kadahilanan maliban sa advertising, ay 0.25 din.

5) Tukuyin ang kabuuang pagkakaiba gamit ang tuntunin sa pagdaragdag.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 fact + σ 2 rest = 552.08+345.96 = 898.04

6) Determination coefficient η 2 = σ 2 fact / σ 2 = 345.96/898.04 = 0.39 = 39% - ang laki ng kontribusyon ay depende sa advertising ng 39%.

7) Empirical correlation ratio η = √η 2 = √0.39 = 0.62 – medyo malapit ang relasyon.

Problema 2 . Mayroong isang pagpapangkat ng mga negosyo ayon sa laki ng mga mabibiling produkto:

Tukuyin: 1) ang pagpapakalat ng halaga ng mga mabibiling produkto; 2) karaniwang paglihis; 3) koepisyent ng pagkakaiba-iba.

Solusyon

1) Sa pamamagitan ng kundisyon, ipinakita ang isang serye ng pamamahagi ng pagitan. Dapat itong ipahayag nang discretely, iyon ay, hanapin ang gitna ng pagitan (x"). Sa mga pangkat ng mga saradong agwat, hinahanap natin ang gitna gamit ang isang simpleng arithmetic mean. Sa mga pangkat na may pinakamataas na limitasyon - bilang pagkakaiba sa pagitan ng itaas na limitasyong ito at kalahati ng laki ng susunod na pagitan (200-(400 -200):2=100).

Sa mga pangkat na may mas mababang limitasyon - ang kabuuan ng mas mababang limitasyong ito at kalahati ng laki ng nakaraang agwat (800+(800-600):2=900).

Kinakalkula namin ang average na halaga ng mga mabibiling produkto gamit ang formula:

Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a. Dito a=500 ang laki ng opsyon sa pinakamataas na frequency, k=600-400=200 ang laki ng pagitan sa pinakamataas na dalas Ilagay natin ang resulta sa talahanayan:

Kaya, ang average na halaga ng komersyal na output para sa panahon na pinag-aaralan ay karaniwang katumbas ng Хср = (-5:37)×200+500=472.97 thousand rubles.

2) Nahanap namin ang pagkakaiba-iba gamit ang sumusunod na formula:

σ 2 = (33/37)*2002-(472.97-500)2 = 35,675.67-730.62 = 34,945.05

3) standard deviation: σ = ±√σ 2 = ±√34,945.05 ≈ ±186.94 thousand rubles.

4) koepisyent ng variation: V = (σ /Хср)*100 = (186.94 / 472.97)*100 = 39.52%

Kasabay ng pag-aaral ng pagkakaiba-iba ng isang katangian sa buong populasyon sa kabuuan, kadalasang kinakailangan upang masubaybayan ang dami ng mga pagbabago sa katangian sa mga pangkat kung saan nahahati ang populasyon, gayundin sa pagitan ng mga pangkat. Ang pag-aaral na ito ng variation ay nakakamit sa pamamagitan ng pagkalkula at pagsusuri ng iba't ibang uri ng variance.
Mayroong kabuuang, intergroup at intragroup na pagkakaiba-iba.
Kabuuang pagkakaiba σ 2 sinusukat ang pagkakaiba-iba ng isang katangian sa buong populasyon sa ilalim ng impluwensya ng lahat ng mga salik na naging sanhi ng pagkakaiba-iba na ito.

Intergroup variance (δ) characterizes systematic variation, i.e. pagkakaiba sa halaga ng pinag-aralan na katangian na lumitaw sa ilalim ng impluwensya ng salik na katangian na bumubuo sa batayan ng pangkat. Kinakalkula ito gamit ang formula:
.

Pagkakaiba-iba sa loob ng pangkat (σ) sumasalamin sa random na pagkakaiba-iba, i.e. bahagi ng pagkakaiba-iba na nagaganap sa ilalim ng impluwensya ng mga hindi nabilang na mga salik at hindi nakadepende sa salik na katangian na bumubuo sa batayan ng pangkat. Ito ay kinakalkula ng formula:
.

Average ng mga pagkakaiba-iba sa loob ng pangkat: .

May batas na nag-uugnay sa 3 uri ng dispersion. Ang kabuuang pagkakaiba ay katumbas ng kabuuan ng average ng pagkakaiba-iba sa loob ng pangkat at pagitan ng pangkat: .
Ang ratio na ito ay tinatawag panuntunan para sa pagdaragdag ng mga pagkakaiba-iba.

Ang isang malawakang ginagamit na tagapagpahiwatig sa pagsusuri ay ang proporsyon ng pagkakaiba-iba sa pagitan ng pangkat sa kabuuang pagkakaiba. Ang tawag dito empirical coefficient ng determinasyon (η 2): .
Ang square root ng empirical coefficient of determination ay tinatawag empirical correlation ratio (η):
.
Nailalarawan nito ang impluwensya ng katangian na nagiging batayan ng pangkat sa pagkakaiba-iba ng nagresultang katangian. Ang empirical correlation ratio ay mula 0 hanggang 1.
Ipakita natin ang praktikal na paggamit nito gamit ang sumusunod na halimbawa (Talahanayan 1).

Halimbawa Blg. 1. Talahanayan 1 - Produktibidad ng paggawa ng dalawang grupo ng mga manggagawa sa isa sa mga workshop ng NPO "Cyclone"

Ang paunang data para sa pagkalkula ng average ng pagkakaiba-iba ng intragroup at intergroup ay ipinakita sa talahanayan. 2.
talahanayan 2
Pagkalkula at δ 2 para sa dalawang grupo ng mga manggagawa.

Kasama ng pagkakaiba-iba sa quantitative na katangian, ang pagkakaiba-iba sa qualitative na mga katangian ay maaari ding obserbahan. Ang pag-aaral na ito ng pagkakaiba-iba ay nakakamit sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga sumusunod na uri ng mga pagkakaiba-iba:

Ang pagpapakalat sa loob ng pangkat ng bahagi ay tinutukoy ng formula

Ang kaugnayang ito ng mga pagkakaiba ay tinatawag na teorama ng pagdaragdag ng mga pagkakaiba ng bahagi ng katangian.

Ang mga pangunahing tagapagpahiwatig ng pangkalahatang pagkakaiba-iba sa mga istatistika ay ang mga pagpapakalat at karaniwang mga paglihis.

Pagpapakalat ito ibig sabihin ng aritmetika squared deviations ng bawat katangiang value mula sa pangkalahatang average. Ang variance ay karaniwang tinatawag na mean square of deviations at ipinapahiwatig ng  2. Depende sa source data, ang pagkakaiba ay maaaring kalkulahin gamit ang simple o weighted arithmetic mean:

 walang timbang (simple) na pagkakaiba-iba;

 variance weighted.

Karaniwang lihis ito ay isang pangkalahatang katangian ng ganap na sukat mga pagkakaiba-iba mga palatandaan sa pinagsama-samang. Ito ay ipinahayag sa parehong mga yunit ng pagsukat bilang katangian (sa metro, tonelada, porsyento, ektarya, atbp.).

Ang karaniwang paglihis ay ang square root ng variance at tinutukoy ng :

 standard deviation na walang timbang;

 weighted standard deviation.

Ang standard deviation ay isang sukatan ng pagiging maaasahan ng mean. Kung mas maliit ang standard deviation, mas maganda ang arithmetic mean na sumasalamin sa buong kinakatawan na populasyon.

Ang pagkalkula ng karaniwang paglihis ay nauuna sa pagkalkula ng pagkakaiba.

Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng timbang na pagkakaiba ay ang mga sumusunod:

1) tukuyin ang weighted arithmetic mean:

2) kalkulahin ang mga paglihis ng mga pagpipilian mula sa average:

3) parisukat ang paglihis ng bawat opsyon mula sa average:

4) paramihin ang mga parisukat ng mga paglihis sa pamamagitan ng mga timbang (mga frequency):

5) ibuod ang mga resultang produkto:

6) ang nagresultang halaga ay hinati sa kabuuan ng mga timbang:

Halimbawa 2.1

Kalkulahin natin ang weighted arithmetic mean:

Ang mga halaga ng mga paglihis mula sa mean at ang kanilang mga parisukat ay ipinakita sa talahanayan. Tukuyin natin ang pagkakaiba:

Ang karaniwang paglihis ay magiging katumbas ng:

Kung ang pinagmulan ng data ay ipinakita sa anyo ng pagitan serye ng pamamahagi , pagkatapos ay kailangan mo munang matukoy ang discrete value ng attribute, at pagkatapos ay ilapat ang inilarawang paraan.

Halimbawa 2.2

Ipakita natin ang pagkalkula ng pagkakaiba-iba para sa isang serye ng pagitan gamit ang data sa pamamahagi ng nahasik na lugar ng isang kolektibong sakahan ayon sa ani ng trigo.

Ang ibig sabihin ng arithmetic ay:

Kalkulahin natin ang pagkakaiba:

6.3. Pagkalkula ng pagkakaiba-iba gamit ang isang formula batay sa indibidwal na data

Teknik ng pagkalkula mga pagkakaiba-iba kumplikado, at may malalaking halaga ng mga opsyon at frequency maaari itong maging mahirap. Maaaring gawing simple ang mga kalkulasyon gamit ang mga katangian ng dispersion.

Ang dispersion ay may mga sumusunod na katangian.

1. Ang pagbabawas o pagtaas ng mga timbang (mga frequency) ng iba't ibang katangian sa isang tiyak na bilang ng beses ay hindi nagbabago sa dispersion.

2. Bawasan o dagdagan ang bawat halaga ng isang katangian ng parehong pare-parehong halaga A hindi binabago ang dispersion.

3. Bawasan o dagdagan ang bawat halaga ng isang katangian sa isang tiyak na bilang ng beses k ayon sa pagkakabanggit ay binabawasan o pinapataas ang pagkakaiba sa k 2 beses karaniwang lihis  sa k minsan.

4. Ang dispersion ng isang katangian na nauugnay sa isang arbitrary na halaga ay palaging mas malaki kaysa sa pagpapakalat na nauugnay sa arithmetic mean bawat parisukat ng pagkakaiba sa pagitan ng average at arbitrary na mga halaga:

Kung A 0, pagkatapos ay dumating tayo sa sumusunod na pagkakapantay-pantay:

iyon ay, ang pagkakaiba-iba ng katangian ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng ibig sabihin ng parisukat ng mga halaga ng katangian at ang parisukat ng mean.

Ang bawat property ay maaaring gamitin nang hiwalay o kasama ng iba kapag kinakalkula ang pagkakaiba.

Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng pagkakaiba-iba ay simple:

1) matukoy ibig sabihin ng aritmetika :

2) parisukat ang arithmetic mean:

3) parisukat ang paglihis ng bawat variant ng serye:

X i 2 .

4) hanapin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga opsyon:

5) hatiin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga pagpipilian sa kanilang numero, ibig sabihin, matukoy ang average na parisukat:

6) tukuyin ang pagkakaiba sa pagitan ng mean square ng katangian at square ng mean:

Halimbawa 3.1 Ang sumusunod na data ay magagamit sa pagiging produktibo ng manggagawa:

Gawin natin ang mga sumusunod na kalkulasyon: