Kapag positive ang derivative. Mga graph ng mga function, derivatives ng mga function

Ang tuwid na linya na y=3x+2 ay padaplis sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10. Hanapin ang b, na ibinigay na ang abscissa ng tangent point ay mas mababa sa zero.

Solusyon

Hayaang x_0 ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10 kung saan dumadaan ang tangent sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, iyon ay, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sa kabilang banda, ang punto ng tangency ay nabibilang nang sabay-sabay sa parehong graph ng function at ang padaplis, iyon ay, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Kumuha kami ng isang sistema ng mga equation \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Ang paglutas ng sistemang ito, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga tangent na puntos ay mas mababa sa zero, kaya x_0=-1, pagkatapos b=3+24x_0=-21.

Sagot

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) (na isang putol na linya na binubuo ng tatlong tuwid na mga segment). Gamit ang figure, kalkulahin ang F(9)-F(5), kung saan ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives ng function na f(x).

Solusyon

Ayon sa formula ng Newton-Leibniz, ang pagkakaiba F(9)-F(5), kung saan ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives ng function na f(x), ay katumbas ng lugar ng curvilinear trapezoid na limitado sa pamamagitan ng graph ng function na y=f(x), tuwid na linya y=0 , x=9 at x=5. Mula sa graph, tinutukoy namin na ang ipinahiwatig na curved trapezoid ay isang trapezoid na may mga base na katumbas ng 4 at 3 at taas 3.

Ang lawak nito ay pantay \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng graph ng y=f"(x) - ang derivative ng function na f(x), na tinukoy sa pagitan (-4; 10). Hanapin ang mga pagitan ng nagpapababa ng function na f(x). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

Solusyon

Tulad ng nalalaman, ang function na f(x) ay bumababa sa mga pagitan sa bawat punto kung saan ang derivative f"(x) ay mas mababa sa zero. Isinasaalang-alang na ito ay kinakailangan upang mahanap ang haba ng pinakamalaki sa mga ito, tatlong ganoong pagitan ay natural na naiiba sa figure: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Ang haba ng pinakamalaki sa kanila - (5; 9) ay 4.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng graph ng y=f"(x) - ang derivative ng function na f(x), na tinukoy sa pagitan (-8; 7). Hanapin ang bilang ng maximum na mga puntos ng function na f(x) na kabilang sa ang pagitan [-6; -2].

Solusyon

Ipinapakita ng graph na ang derivative f"(x) ng function na f(x) ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus (sa mga nasabing punto ay magkakaroon ng maximum) sa eksaktong isang punto (sa pagitan ng -5 at -4) mula sa pagitan [ -6; -2 ] Samakatuwid, sa pagitan ng [-6; -2] mayroong eksaktong isang pinakamataas na punto.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x), na tinukoy sa pagitan (-2; 8). Tukuyin ang bilang ng mga puntos kung saan ang derivative ng function na f(x) ay katumbas ng 0.

Solusyon

Ang pagkakapantay-pantay ng derivative sa isang punto sa zero ay nangangahulugan na ang tangent sa graph ng function na iginuhit sa puntong ito ay parallel sa Ox axis. Samakatuwid, nakakahanap kami ng mga punto kung saan ang tangent sa graph ng function ay parallel sa Ox axis. Sa chart na ito, ang mga nasabing puntos ay mga extremum point (maximum o minimum na puntos). Tulad ng nakikita mo, mayroong 5 extremum point.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang tuwid na linya y=-3x+4 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=-x^2+5x-7. Hanapin ang abscissa ng tangent point.

Solusyon

Ang angular coefficient ng tuwid na linya sa graph ng function na y=-x^2+5x-7 sa isang arbitrary point x_0 ay katumbas ng y"(x_0). Ngunit y"=-2x+5, na nangangahulugang y" (x_0)=-2x_0+5. Angular ang koepisyent ng linyang y=-3x+4 na tinukoy sa kundisyon ay katumbas ng -3. Ang magkatulad na mga linya ay may parehong coefficient ng slope. Samakatuwid, nakahanap kami ng halagang x_0 na =- 2x_0 +5=-3.

Nakukuha namin ang: x_0 = 4.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) at ang mga puntos -6, -1, 1, 4 ay minarkahan sa abscissa. Alin sa mga puntong ito ang derivative ang pinakamaliit? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.

(Fig.1)

Figure 1. Derivative graph

Mga katangian ng derivative graph

1. Sa pagtaas ng mga pagitan, ang derivative ay positibo. Kung ang derivative sa isang tiyak na punto mula sa isang tiyak na pagitan ay may positibong halaga, kung gayon ang graph ng function sa pagitan na ito ay tumataas.
2. Sa pagbaba ng mga pagitan, ang derivative ay negatibo (na may minus sign). Kung ang derivative sa isang tiyak na punto mula sa isang tiyak na pagitan ay may negatibong halaga, ang graph ng function ay bumababa sa pagitan na ito.
3. Ang derivative sa point x ay katumbas ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa parehong punto.
4. Sa maximum at minimum na mga punto ng function, ang derivative ay katumbas ng zero. Ang tangent sa graph ng function sa puntong ito ay parallel sa OX axis.

Halimbawa 1

Gamit ang graph (Fig. 2) ng derivative, tukuyin kung anong punto sa segment [-3; 5] function ay maximum.

Figure 2. Derivative graph

Solusyon: Sa segment na ito, ang derivative ay negatibo, na nangangahulugan na ang function ay bumababa mula kaliwa hanggang kanan, at ang pinakamalaking halaga ay nasa kaliwang bahagi sa punto -3.

Halimbawa 2

Gamit ang graph (Fig. 3) ng derivative, tukuyin ang bilang ng maximum na mga puntos sa segment [-11; 3].

Figure 3. Derivative graph

Solusyon: Ang pinakamataas na puntos ay tumutugma sa mga punto kung saan nagbabago ang tanda ng derivative mula sa positibo patungo sa negatibo. Sa pagitan na ito, ang function ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus dalawang beses - sa punto -10 at sa punto -1. Nangangahulugan ito na ang bilang ng pinakamataas na puntos ay dalawa.

Halimbawa 3

Gamit ang graph (Fig. 3) ng derivative, tukuyin ang bilang ng pinakamababang puntos sa segment [-11; -1].

Solusyon: Ang pinakamababang puntos ay tumutugma sa mga punto kung saan ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa negatibo patungo sa positibo. Sa segment na ito, ang naturang punto ay -7 lamang. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga minimum na puntos sa isang partikular na segment ay isa.

Halimbawa 4

Gamit ang graph (Fig. 3) ng derivative, tukuyin ang bilang ng mga extremum point.

Solusyon: Ang mga matinding puntos ay parehong pinakamababa at pinakamataas na puntos. Hanapin natin ang bilang ng mga punto kung saan nag-sign ang derivative.

Susunod, sa klase, ipinapayong isaalang-alang ang isang pangunahing gawain: gamit ang ibinigay na graph ng derivative, ang mga mag-aaral ay dapat makabuo (siyempre, sa tulong ng guro) iba't ibang mga katanungan na may kaugnayan sa mga katangian ng mismong function. Naturally, ang mga isyung ito ay tinalakay, naitama kung kinakailangan, buod, naitala sa isang kuwaderno, pagkatapos kung saan magsisimula ang yugto ng paglutas ng mga gawaing ito. Dito kinakailangan upang matiyak na ang mga mag-aaral ay hindi lamang nagbibigay ng tamang sagot, ngunit magagawang makipagtalo (patunayan) ito, gamit ang mga angkop na kahulugan, katangian, at mga tuntunin.
Magbigay tayo ng isang halimbawa ng naturang gawain: sa pisara (halimbawa, gamit ang isang projector), ipinakita sa mga mag-aaral ang isang graph ng derivative; 10 mga gawain ang nabuo batay dito (hindi ganap na tama o mga duplicate na tanong ay tinanggihan).
Ang function na y = f(x) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan [–6; 6].
Gamit ang graph ng derivative y = f"(x), tukuyin:

1) ang bilang ng mga pagitan ng pagtaas ng function y = f(x);
2) ang haba ng pagitan ng pagpapababa ng function y = f(x);
3) ang bilang ng mga extremum point ng function na y = f(x);
4) pinakamataas na punto ng function na y = f(x);
5) kritikal (nakatigil) na punto ng function na y = f(x), na hindi isang extremum point;
6) ang abscissa ng graph point kung saan ang function na y = f(x) ay kumukuha ng pinakamalaking halaga sa segment;
7) ang abscissa ng graph point kung saan ang function na y = f(x) ay kumukuha ng pinakamaliit na halaga sa segment [–2; 2];
8) ang bilang ng mga puntos sa graph ng function na y = f(x), kung saan ang tangent ay patayo sa Oy axis;
9) ang bilang ng mga puntos sa graph ng function na y = f(x), kung saan ang tangent ay bumubuo ng isang anggulo na 60° na may positibong direksyon ng Ox axis;
10) ang abscissa ng graph point ng function na y = f(x), kung saan ang slope ng tangent ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga.
Sagot: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Upang palakasin ang mga kasanayan sa pag-aaral ng mga katangian ng isang function, ang mga mag-aaral ay maaaring mag-uwi ng isang gawain na nauugnay sa pagbabasa ng parehong graph, ngunit sa isang kaso ito ay isang graph ng isang function, at sa isa pa, isang graph ng derivative nito.

Na-publish ang artikulo sa suporta ng forum ng mga system administrator at programmer. Sa "CyberForum.ru" makakahanap ka ng mga forum tungkol sa mga paksa tulad ng programming, computer, software discussion, web programming, science, electronics at mga gamit sa bahay, karera at negosyo, libangan, tao at lipunan, kultura at sining, tahanan at ekonomiya, mga kotse , motorsiklo at marami pang iba. Sa forum maaari kang makakuha ng libreng tulong. Maaari mong malaman ang higit pa sa website, na matatagpuan sa: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.

Ang function na y = f(x) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan [–6; 5]. Ang ipinapakita ng larawan:
a) graph ng function na y = f(x);
b) graph ng derivative y = f"(x).
Tukuyin mula sa iskedyul:
1) pinakamababang puntos ng function na y = f(x);
2) ang bilang ng mga pagitan ng pagpapababa ng function y = f(x);
3) ang abscissa ng graph point ng function na y = f(x), kung saan tumatagal ang pinakamalaking halaga sa segment;
4) ang bilang ng mga puntos sa graph ng function na y = f(x) kung saan ang tangent ay parallel sa Ox axis (o kasabay nito).
Mga sagot:
a) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) –2; 4.6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Upang magsagawa ng kontrol, maaari mong ayusin ang trabaho nang magkapares: ang bawat mag-aaral ay naghahanda ng isang derivative graph sa isang card para sa kanyang kapareha nang maaga at sa ibaba ay nag-aalok ng 4-5 na tanong upang matukoy ang mga katangian ng function. Sa panahon ng mga aralin, nagpapalitan sila ng mga card, kumpletuhin ang mga iminungkahing gawain, pagkatapos nito ay sinusuri at sinusuri ng lahat ang gawain ng kanilang kapareha.

Ang pangwakas na gawain sa anyo ng Unified State Exam para sa mga 11th graders ay kinakailangang naglalaman ng mga gawain sa pagkalkula ng mga limitasyon, mga agwat ng pagbaba at pagtaas ng mga derivatives ng isang function, paghahanap ng mga extremum point at pagbuo ng mga graph. Ang mabuting kaalaman sa paksang ito ay nagbibigay-daan sa iyo na sagutin nang tama ang ilang mga tanong sa pagsusulit at hindi makaranas ng mga paghihirap sa karagdagang propesyonal na pagsasanay.

Ang mga batayan ng differential calculus ay isa sa mga pangunahing paksa ng modernong matematika ng paaralan. Pinag-aaralan niya ang paggamit ng derivative upang pag-aralan ang dependencies ng mga variable - ito ay sa pamamagitan ng derivative na masusuri ng isa ang pagtaas at pagbaba ng isang function nang hindi gumagamit ng drawing.

Ang komprehensibong paghahanda ng mga nagtapos para sa pagpasa sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado sa portal na pang-edukasyon ng Shkolkovo ay makakatulong sa iyong malalim na maunawaan ang mga prinsipyo ng pagkita ng kaibhan - maunawaan nang detalyado ang teorya, pag-aralan ang mga halimbawa ng paglutas ng mga tipikal na problema at subukan ang iyong kamay sa independiyenteng trabaho. Tutulungan ka naming isara ang mga puwang sa kaalaman - linawin ang iyong pag-unawa sa mga lexical na konsepto ng paksa at ang mga dependency ng mga dami. Magagawang suriin ng mga mag-aaral kung paano maghanap ng mga pagitan ng monotonicity, na nangangahulugang ang derivative ng isang function ay tumataas o bumababa sa isang partikular na segment kapag ang mga boundary point ay at hindi kasama sa mga nakitang pagitan.

Bago mo simulan ang direktang paglutas ng mga problemang pampakay, inirerekumenda namin na pumunta ka muna sa seksyong "Theoretical Background" at ulitin ang mga kahulugan ng mga konsepto, panuntunan at mga tabular na formula. Dito maaari mong basahin kung paano hanapin at isulat ang bawat pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function sa derivative graph.

Ang lahat ng impormasyong inaalok ay ipinakita sa pinaka-naa-access na form para sa pag-unawa, halos mula sa simula. Nagbibigay ang site ng mga materyales para sa pang-unawa at asimilasyon sa maraming iba't ibang anyo - pagbabasa, panonood ng video at direktang pagsasanay sa ilalim ng gabay ng mga may karanasang guro. Sasabihin sa iyo ng mga propesyonal na guro nang detalyado kung paano hanapin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga derivative ng isang function gamit ang analytical at graphical na mga pamamaraan. Sa panahon ng mga webinar, magagawa mong magtanong ng anumang tanong na interesado ka, kapwa sa teorya at sa paglutas ng mga partikular na problema.

Nang maalala ang mga pangunahing punto ng paksa, tingnan ang mga halimbawa ng pagtaas ng derivative ng isang function, katulad ng mga gawain sa mga opsyon sa pagsusulit. Upang pagsamahin ang iyong natutunan, tingnan ang "Catalog" - dito makikita mo ang mga praktikal na pagsasanay para sa independiyenteng trabaho. Ang mga gawain sa seksyon ay pinili sa iba't ibang antas ng kahirapan, isinasaalang-alang ang pag-unlad ng mga kasanayan. Halimbawa, ang bawat isa sa kanila ay sinamahan ng mga algorithm ng solusyon at mga tamang sagot.

Sa pamamagitan ng pagpili sa seksyong "Constructor", magagawa ng mga mag-aaral na magsanay sa pag-aaral ng pagtaas at pagbaba ng derivative ng isang function sa mga tunay na bersyon ng Unified State Examination, na patuloy na ina-update upang isaalang-alang ang mga pinakabagong pagbabago at inobasyon.