Theorem sa pangunahing sistema ng mga solusyon. Pangunahing sistema ng solusyon
Ang pamamaraang Gaussian ay may ilang mga disadvantages: imposibleng malaman kung ang sistema ay pare-pareho o hindi hanggang ang lahat ng mga pagbabagong kinakailangan sa pamamaraang Gaussian ay naisagawa; Ang pamamaraan ni Gauss ay hindi angkop para sa mga sistemang may mga titik na koepisyent.
Isaalang-alang natin ang iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ginagamit ng mga pamamaraang ito ang konsepto ng ranggo ng matrix at binabawasan ang solusyon ng anumang pare-parehong sistema sa solusyon ng isang sistema kung saan nalalapat ang panuntunan ng Cramer.
Halimbawa 1. Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa sumusunod na sistema ng mga linear equation gamit ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa pinababang homogenous na sistema at isang partikular na solusyon sa inhomogeneous na sistema.
1. Paggawa ng matrix A at pinalawig na system matrix (1)
2. Galugarin ang system (1) para sa pagkakaisa. Upang gawin ito, nakita namin ang mga ranggo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kung ito ay lumabas na , pagkatapos ay ang system (1) hindi magkatugma. Kung makuha natin iyon , kung gayon ang sistemang ito ay pare-pareho at malulutas namin ito. (Ang compatibility study ay batay sa Kronecker-Capelli theorem).
a. Nahanap namin rA.
Hanapin rA, isasaalang-alang namin ang sunud-sunod na hindi zero na mga menor de edad ng una, pangalawa, atbp. na mga order ng matrix A at ang mga menor de edad na nakapaligid sa kanila.
M1=1≠0 (kumukuha kami ng 1 mula sa kaliwang sulok sa itaas ng matrix A).
Border kami M1 ang pangalawang row at pangalawang column ng matrix na ito. 
. Nagpatuloy kami sa hangganan M1 ang pangalawang linya at ang pangatlong column..gif" width="37" height="20 src=">. Ngayon, border namin ang non-zero minor M2′ pangalawang utos.
Meron kami: 
(dahil ang unang dalawang column ay pareho)
(dahil ang pangalawa at pangatlong linya ay proporsyonal).
Nakikita natin yan rA=2, a ay ang batayang minor ng matrix A.
b. Nahanap namin.
Medyo basic na menor de edad M2′ matrice A border na may column ng mga libreng termino at lahat ng row (mayroon lang kaming huling row).
. Sinusundan nito iyon M3′′ nananatiling pangunahing minor ng matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
kasi M2′- batayang minor ng matrix A mga sistema (2) , kung gayon ang sistemang ito ay katumbas ng sistema (3) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (2) (para sa M2′ ay nasa unang dalawang hanay ng matrix A).
(3)
Dahil ang pangunahing menor de edad https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Sa sistemang ito mayroong dalawang libreng hindi alam ( x2 At x4 ). kaya lang FSR mga sistema (4) binubuo ng dalawang solusyon. Upang mahanap ang mga ito, nagtatalaga kami ng mga libreng hindi alam sa (4) mga halaga muna x2=1 , x4=0 , at pagkatapos - x2=0 , x4=1 .
Sa x2=1 , x4=0 nakukuha natin:
.
Ang sistemang ito ay mayroon na ang tanging bagay solusyon (matatagpuan ito gamit ang panuntunan ng Cramer o anumang iba pang pamamaraan). Ang pagbabawas ng una mula sa pangalawang equation, nakukuha natin:
Ang magiging solusyon niya x1= -1 , x3=0 . Ibinigay ang mga halaga x2 At x4 , na idinagdag namin, nakukuha namin ang unang pangunahing solusyon ng system (2) : .
Ngayon naniniwala kami sa (4) x2=0 , x4=1 . Nakukuha namin:
.
Niresolba namin ang sistemang ito gamit ang teorema ng Cramer:
.
Nakukuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon ng system (2) : .
Mga solusyon β1 , β2 at make up FSR mga sistema (2) . Pagkatapos ay ang pangkalahatang solusyon nito
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Dito C1 , C2 – di-makatwirang mga pare-pareho.
4. Maghanap tayo ng isa pribado solusyon heterogenous na sistema(1) . Tulad ng sa talata 3 , sa halip na ang sistema (1) Isaalang-alang natin ang isang katumbas na sistema (5) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (1) .
(5)
Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi x2 At x4.
(6)
Bigyan natin ng libreng mga hindi kilala x2 At x4 mga arbitrary na halaga, halimbawa, x2=2 , x4=1 at ilagay ang mga ito sa (6) . Kunin natin ang sistema
Ang sistemang ito ay may natatanging solusyon (dahil ang determinant nito M2′0). Ang paglutas nito (gamit ang Cramer's theorem o Gauss's method), makuha natin x1=3 , x3=3 . Ibinigay ang mga halaga ng mga libreng hindi alam x2 At x4 , nakukuha namin partikular na solusyon ng isang inhomogeneous system(1)α1=(3,2,3,1).
5. Ngayon ang natitira na lang ay isulat ito pangkalahatang solusyon α ng isang inhomogeneous system(1) : ito ay katumbas ng kabuuan pribadong solusyon ang sistemang ito at pangkalahatang solusyon ng pinababang homogenous na sistema nito (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Ibig sabihin nito: 
(7)
6. Pagsusulit. Upang suriin kung nalutas mo nang tama ang system (1) , kailangan namin ng pangkalahatang solusyon (7) kapalit sa (1) . Kung ang bawat equation ay nagiging pagkakakilanlan ( C1 At C2 dapat sirain), kung gayon ang solusyon ay matatagpuan nang tama.
Papalitan natin (7) halimbawa, ang huling equation lamang ng system (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Nakukuha namin ang: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Saan –1=–1. Nagkaroon kami ng pagkakakilanlan. Ginagawa namin ito sa lahat ng iba pang mga equation ng system (1) .
Magkomento. Ang tseke ay kadalasang medyo mahirap. Maaaring irekomenda ang sumusunod na "partial check": sa pangkalahatang solusyon ng system (1) magtalaga ng ilang mga halaga sa mga di-makatwirang constant at palitan lamang ang nagresultang bahagyang solusyon sa mga itinapon na equation (ibig sabihin, sa mga equation na iyon mula sa (1) , na hindi kasama sa (5) ). Kung nakakuha ka ng mga pagkakakilanlan, kung gayon parang, solusyon ng system (1) natagpuan nang tama (ngunit ang naturang tseke ay hindi nagbibigay ng kumpletong garantiya ng kawastuhan!). Halimbawa, kung sa (7) ilagay C2=- 1 , C1=1, pagkatapos ay makukuha natin ang: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Ang pagpapalit sa huling equation ng system (1), mayroon tayong: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ibig sabihin, –1=–1. Nagkaroon kami ng pagkakakilanlan.
Halimbawa 2. Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation (1) , na nagpapahayag ng mga pangunahing hindi alam sa mga tuntunin ng mga libre.
Solusyon. Tulad ng sa halimbawa 1, bumuo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ng mga matrice na ito. Ngayon, iiwan na lang namin ang mga equation ng system (1) , ang mga coefficient nito ay kasama sa pangunahing minor na ito (i.e., mayroon tayong unang dalawang equation) at isaalang-alang ang isang sistemang binubuo ng mga ito, katumbas ng system (1).
Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation na ito.
sistema (9) Nilulutas namin ang pamamaraang Gaussian, isinasaalang-alang ang kanang bahagi bilang mga libreng termino.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opsyon 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opsyon 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opsyon 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opsyon 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Maaari kang mag-order ng isang detalyadong solusyon sa iyong problema!!!Upang maunawaan kung ano ito pangunahing sistema ng pagpapasya maaari kang manood ng video tutorial para sa parehong halimbawa sa pamamagitan ng pag-click. Ngayon ay lumipat tayo sa aktwal na paglalarawan ng lahat ng kinakailangang gawain. Makakatulong ito sa iyo na maunawaan ang kakanyahan ng isyung ito nang mas detalyado.
Paano mahahanap ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang linear equation?
Kunin natin halimbawa ang sumusunod na sistema ng mga linear na equation:
Hanapin natin ang solusyon sa linear system na ito ng mga equation. Upang magsimula sa, kami kailangan mong isulat ang coefficient matrix ng system.
Ibahin natin ang matrix na ito sa isang tatsulok. Sinusulat namin muli ang unang linya nang walang mga pagbabago. At lahat ng mga elemento na nasa ilalim ng $a_(11)$ ay dapat gawing mga zero. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(21)$, kailangan mong ibawas ang una sa pangalawang linya, at isulat ang pagkakaiba sa pangalawang linya. Upang makagawa ng zero sa halip na elementong $a_(31)$, kailangan mong ibawas ang una sa ikatlong linya at isulat ang pagkakaiba sa ikatlong linya. Upang makagawa ng zero sa halip na elementong $a_(41)$, kailangan mong ibawas ang unang pinarami ng 2 mula sa ikaapat na linya at isulat ang pagkakaiba sa ikaapat na linya. Upang makagawa ng zero sa halip ng elementong $a_(31)$, kailangan mong ibawas ang unang pinarami ng 2 mula sa ikalimang linya at isulat ang pagkakaiba sa ikalimang linya. 
Sinusulat namin muli ang una at pangalawang linya nang walang mga pagbabago. At ang lahat ng mga elemento na nasa ilalim ng $a_(22)$ ay dapat gawing zero. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(32)$, kailangan mong ibawas ang pangalawa na pinarami ng 2 mula sa ikatlong linya at isulat ang pagkakaiba sa ikatlong linya. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(42)$, kailangan mong ibawas ang pangalawa na pinarami ng 2 mula sa ikaapat na linya at isulat ang pagkakaiba sa ikaapat na linya. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(52)$, kailangan mong ibawas ang pangalawa na pinarami ng 3 mula sa ikalimang linya at isulat ang pagkakaiba sa ikalimang linya. 
Nakikita natin yan ang huling tatlong linya ay pareho, kaya kung ibawas mo ang pangatlo sa ikaapat at ikalima, magiging zero sila. 
Ayon sa matrix na ito sumulat ng bagong sistema ng mga equation.
Nakikita natin na mayroon lamang tayong tatlong linearly independent equation, at limang hindi alam, kaya ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay bubuo ng dalawang vectors. Kaya kami kailangan nating ilipat sa kanan ang huling dalawang hindi alam.
Ngayon, nagsisimula kaming ipahayag ang mga hindi alam na nasa kaliwang bahagi sa pamamagitan ng mga nasa kanang bahagi. Magsisimula tayo sa huling equation, una nating ipinapahayag ang $x_3$, pagkatapos ay pinapalitan natin ang resultang resulta sa pangalawang equation at ipahayag ang $x_2$, at pagkatapos ay sa unang equation at dito ipinapahayag natin ang $x_1$. Kaya, ipinahayag namin ang lahat ng hindi alam na nasa kaliwang bahagi sa pamamagitan ng mga hindi alam na nasa kanang bahagi. 
Pagkatapos ay sa halip na $x_4$ at $x_5$, maaari naming palitan ang anumang numero at hanapin ang $x_1$, $x_2$ at $x_3$. Ang bawat lima sa mga numerong ito ang magiging ugat ng ating orihinal na sistema ng mga equation. Upang mahanap ang mga vector na kasama sa FSR kailangan nating palitan ang 1 sa halip na $x_4$, at palitan ang 0 sa halip na $x_5$, hanapin ang $x_1$, $x_2$ at $x_3$, at pagkatapos ay vice versa $x_4=0$ at $x_5=1$.
Ang paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAEs) ay walang alinlangan ang pinakamahalagang paksa sa isang linear algebra course. Ang isang malaking bilang ng mga problema mula sa lahat ng sangay ng matematika ay bumaba sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ipinapaliwanag ng mga salik na ito ang dahilan ng artikulong ito. Ang materyal ng artikulo ay pinili at nakabalangkas upang sa tulong nito ay magagawa mo
- piliin ang pinakamainam na paraan para sa paglutas ng iyong sistema ng mga linear algebraic equation,
- pag-aralan ang teorya ng napiling pamamaraan,
- lutasin ang iyong sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga detalyadong solusyon sa karaniwang mga halimbawa at problema.
Maikling paglalarawan ng materyal ng artikulo.
Una, ibibigay namin ang lahat ng kinakailangang mga kahulugan, konsepto at ipakilala ang mga notasyon.
Susunod, isasaalang-alang namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at kung saan ay may natatanging solusyon. Una, tututukan natin ang pamamaraan ng Cramer, pangalawa, ipapakita natin ang pamamaraan ng matrix para sa paglutas ng mga naturang sistema ng mga equation, at pangatlo, susuriin natin ang pamamaraang Gauss (ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable). Upang pagsama-samahin ang teorya, tiyak na malulutas namin ang ilang SLAE sa iba't ibang paraan.
Pagkatapos nito, magpapatuloy tayo sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo, kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable o ang pangunahing matrix ng system ay isahan. Bumuo tayo ng Kronecker-Capelli theorem, na nagpapahintulot sa atin na itatag ang compatibility ng SLAEs. Suriin natin ang solusyon ng mga system (kung magkatugma ang mga ito) gamit ang konsepto ng isang batayang minor ng isang matrix. Isasaalang-alang din natin ang pamamaraang Gauss at ilalarawan nang detalyado ang mga solusyon sa mga halimbawa.
Tiyak na tatalakayin natin ang istruktura ng pangkalahatang solusyon ng homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng linear algebraic equation. Ibigay natin ang konsepto ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at ipakita kung paano isinulat ang pangkalahatang solusyon ng isang SLAE gamit ang mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, tingnan natin ang ilang mga halimbawa.
Sa konklusyon, isasaalang-alang namin ang mga sistema ng mga equation na maaaring mabawasan sa mga linear, pati na rin ang iba't ibang mga problema sa solusyon kung saan lumitaw ang mga SLAE.
Pag-navigate sa pahina.
Mga kahulugan, konsepto, pagtatalaga.
Isasaalang-alang namin ang mga sistema ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang mga variable (p ay maaaring katumbas ng n) ng form
Mga hindi kilalang variable, - coefficients (ilang tunay o kumplikadong mga numero), - libreng termino (real o kumplikadong mga numero din).
Ang form na ito ng pagtatala ng SLAE ay tinatawag coordinate.
SA anyo ng matris Ang pagsulat ng sistemang ito ng mga equation ay may anyo,
saan 
- ang pangunahing matrix ng system, - isang column matrix ng hindi kilalang mga variable, - isang column matrix ng mga libreng termino.
Kung magdaragdag tayo ng matrix-column ng mga libreng termino sa matrix A bilang (n+1)th column, makukuha natin ang tinatawag na pinahabang matrix sistema ng mga linear na equation. Karaniwan, ang isang pinahabang matrix ay tinutukoy ng titik T, at ang haligi ng mga libreng termino ay pinaghihiwalay ng isang patayong linya mula sa natitirang mga haligi, iyon ay, 
Paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation tinatawag na isang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable na ginagawang mga pagkakakilanlan ang lahat ng mga equation ng system. Ang matrix equation para sa mga ibinigay na halaga ng hindi kilalang mga variable ay nagiging isang pagkakakilanlan din.
Kung ang isang sistema ng mga equation ay may hindi bababa sa isang solusyon, kung gayon ito ay tinatawag magkadugtong.
Kung ang isang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkasanib.
Kung ang isang SLAE ay may natatanging solusyon, kung gayon ito ay tinatawag tiyak; kung mayroong higit sa isang solusyon, kung gayon - hindi sigurado.
Kung ang mga libreng termino ng lahat ng mga equation ng system ay katumbas ng zero 
, pagkatapos ay tinawag ang system homogenous, kung hindi - magkakaiba.
Paglutas ng mga elementary system ng linear algebraic equation.
Kung ang bilang ng mga equation ng isang system ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix nito ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang mga naturang SLAE ay tatawagin elementarya. Ang ganitong mga sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, at sa kaso ng isang homogenous na sistema, ang lahat ng hindi kilalang mga variable ay katumbas ng zero.
Nagsimula kaming mag-aral ng mga ganitong SLAE noong high school. Kapag nilulutas ang mga ito, kinuha namin ang isang equation, ipinahayag ang isang hindi kilalang variable sa mga tuntunin ng iba at pinalitan ito sa natitirang mga equation, pagkatapos ay kinuha ang susunod na equation, ipinahayag ang susunod na hindi kilalang variable at pinalitan ito sa iba pang mga equation, at iba pa. O ginamit nila ang paraan ng pagdaragdag, iyon ay, nagdagdag sila ng dalawa o higit pang mga equation upang maalis ang ilang hindi kilalang mga variable. Hindi namin tatalakayin nang detalyado ang mga pamamaraang ito, dahil ang mga ito ay mahalagang pagbabago ng pamamaraang Gauss.
Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga elementary system ng linear equation ay ang Cramer method, ang matrix method at ang Gauss method. Ayusin natin sila.
Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng Cramer.
Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation 
kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay iba sa zero, iyon ay, .
Hayaan ang determinant ng pangunahing matrix ng system, at 
- mga determinant ng mga matrice na nakukuha mula sa A sa pamamagitan ng pagpapalit 1st, 2nd, …, nth column ayon sa pagkakasunod-sunod sa column ng mga libreng miyembro: 
Sa notasyong ito, ang mga hindi kilalang variable ay kinakalkula gamit ang mga formula ng paraan ng Cramer bilang 
. Ito ay kung paano ang solusyon sa isang sistema ng mga linear algebraic equation ay matatagpuan gamit ang Cramer's method.
Halimbawa.
Pamamaraan ni Cramer 
.
Solusyon.
Ang pangunahing matrix ng system ay may anyo 
. Kalkulahin natin ang determinant nito (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): 
Dahil ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay nonzero, ang system ay may natatanging solusyon na matatagpuan sa pamamaraan ni Cramer.
Bumuo tayo at kalkulahin ang mga kinakailangang determinant 
(nakukuha namin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa unang column sa matrix A ng column ng mga free terms, ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa pangalawang column ng column ng free terms, at sa pamamagitan ng pagpapalit sa ikatlong column ng matrix A ng column ng libreng terms) : 
Paghahanap ng mga hindi kilalang variable gamit ang mga formula 
:
Sagot:
Ang pangunahing kawalan ng pamamaraan ni Cramer (kung matatawag itong disadvantage) ay ang pagiging kumplikado ng pagkalkula ng mga determinant kapag ang bilang ng mga equation sa system ay higit sa tatlo.
Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method (gamit ang inverse matrix).
Hayaang ibigay ang isang sistema ng mga linear algebraic equation sa anyong matrix, kung saan ang matrix A ay may dimensyon n ng n at ang determinant nito ay nonzero.
Dahil , ang matrix A ay invertible, iyon ay, mayroong isang inverse matrix. Kung i-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa, makakakuha tayo ng formula para sa paghahanap ng matrix-column ng mga hindi kilalang variable. Ito ay kung paano namin nakuha ang isang solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method.
Halimbawa.
Lutasin ang sistema ng mga linear na equation pamamaraan ng matrix.
Solusyon.
Isulat muli natin ang sistema ng mga equation sa anyong matrix: 
kasi
pagkatapos ay ang SLAE ay maaaring malutas gamit ang matrix method. Gamit ang inverse matrix, ang solusyon sa sistemang ito ay matatagpuan bilang 
.
Bumuo tayo ng inverse matrix gamit ang isang matrix mula sa algebraic na pagdaragdag ng mga elemento ng matrix A (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): 
Ito ay nananatiling kalkulahin ang matrix ng mga hindi kilalang variable sa pamamagitan ng pagpaparami ng inverse matrix 
sa isang matrix-column ng mga libreng miyembro (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): 
Sagot:
o sa ibang notasyon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Ang pangunahing problema kapag naghahanap ng mga solusyon sa mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method ay ang pagiging kumplikado ng paghahanap ng inverse matrix, lalo na para sa square matrices ng order na mas mataas kaysa sa ikatlo.
Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method.
Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng solusyon sa isang sistema ng n linear equation na may n hindi kilalang mga variable 
ang determinant ng pangunahing matrix kung saan ay iba sa zero.
Ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss binubuo ng sunud-sunod na pagbubukod ng mga hindi kilalang variable: una, x 1 ay ibinukod sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa, pagkatapos x 2 ay ibinukod sa lahat ng equation, simula sa ikatlo, at iba pa, hanggang sa hindi kilalang variable na x n lamang nananatili sa huling equation. Ang prosesong ito ng pagbabago ng mga equation ng system upang sunud-sunod na alisin ang mga hindi kilalang variable ay tinatawag direktang pamamaraan ng Gaussian. Matapos makumpleto ang forward stroke ng Gaussian method, ang x n ay matatagpuan mula sa huling equation, gamit ang halagang ito mula sa penultimate equation, x n-1 ay kinakalkula, at iba pa, x 1 ay matatagpuan mula sa unang equation. Ang proseso ng pagkalkula ng mga hindi kilalang variable kapag lumilipat mula sa huling equation ng system hanggang sa una ay tinatawag kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian.
Ilarawan natin nang maikli ang algorithm para sa pag-aalis ng mga hindi kilalang variable.
Ipagpalagay natin na , dahil palagi nating makakamit ito sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga equation ng system. Tanggalin natin ang hindi kilalang variable x 1 sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, sa pangalawang equation ng system idinagdag namin ang una, pinarami ng , sa ikatlong equation idinagdag namin ang una, pinarami ng , at iba pa, sa ika-n equation idinaragdag namin ang una, pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo 
saan at 
.
Narating namin ang parehong resulta kung ipinahayag namin ang x 1 sa mga tuntunin ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at pinalitan ang nagresultang expression sa lahat ng iba pang mga equation. Kaya, ang variable na x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa pangalawa.
Susunod, nagpapatuloy kami sa isang katulad na paraan, ngunit sa bahagi lamang ng nagresultang sistema, na minarkahan sa figure 
Upang gawin ito, sa pangatlong equation ng system ay idinagdag namin ang pangalawa, pinarami ng , sa ikaapat na equation idinagdag namin ang pangalawa, pinarami ng , at iba pa, sa nth equation idinaragdag namin ang pangalawa, pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo 
saan at 
. Kaya, ang variable na x 2 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo.
Susunod, nagpapatuloy kami sa pag-aalis ng hindi kilalang x 3, habang kumikilos kami nang katulad sa bahagi ng system na minarkahan sa figure 
Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang pag-unlad ng pamamaraang Gaussian hanggang sa makuha ng sistema ang anyo 
Mula sa sandaling ito sinisimulan natin ang reverse ng Gaussian method: kinakalkula natin ang x n mula sa huling equation bilang , gamit ang nakuhang halaga ng x n nahanap natin ang x n-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, nahanap natin ang x 1 mula sa unang equation .
Halimbawa.
Lutasin ang sistema ng mga linear na equation Pamamaraan ng Gauss.
Solusyon.
Ibukod natin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system. Upang gawin ito, sa magkabilang panig ng pangalawa at pangatlong equation ay idinaragdag namin ang mga kaukulang bahagi ng unang equation, na pinarami ng at ng, ayon sa pagkakabanggit: 
Ngayon ay tinanggal namin ang x 2 mula sa ikatlong equation sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kaliwa at kanang bahagi nito sa kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, na pinarami ng: 
Kinukumpleto nito ang pasulong na stroke ng pamamaraang Gauss; sinisimulan natin ang reverse stroke.
Mula sa huling equation ng nagresultang sistema ng mga equation nakita namin ang x 3: 
Mula sa pangalawang equation makuha namin.
Mula sa unang equation nakita namin ang natitirang hindi kilalang variable at sa gayon ay kumpletuhin ang reverse ng Gauss method.
Sagot:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.
Sa pangkalahatan, ang bilang ng mga equation ng system p ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable n:
Ang mga naturang SLAE ay maaaring walang mga solusyon, may iisang solusyon, o may walang katapusang maraming solusyon. Nalalapat din ang pahayag na ito sa mga sistema ng mga equation na ang pangunahing matrix ay parisukat at isahan.
Kronecker–Capelli theorem.
Bago maghanap ng solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation, kinakailangan upang maitatag ang pagiging tugma nito. Ang sagot sa tanong kung kailan tugma ang SLAE at kapag hindi tugma ay ibinibigay ng Kronecker–Capelli theorem:
Upang maging pare-pareho ang isang sistema ng mga p equation na may n hindi alam (p ay maaaring katumbas ng n), kinakailangan at sapat na ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, iyon ay , Ranggo(A)=Ranggo(T).
Isaalang-alang natin, bilang isang halimbawa, ang aplikasyon ng Kronecker–Capelli theorem upang matukoy ang pagiging tugma ng isang sistema ng mga linear na equation.
Halimbawa.
Alamin kung ang sistema ng mga linear equation ay mayroon 
mga solusyon.
Solusyon.
. Gamitin natin ang paraan ng bordering menor de edad. Minor ng pangalawang order 
iba sa zero. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nasa hangganan nito: 
Dahil ang lahat ng mga karatig na menor de edad ng ikatlong order ay katumbas ng zero, ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng dalawa.
Sa turn, ang ranggo ng pinalawig na matrix 
ay katumbas ng tatlo, dahil ang menor de edad ay nasa ikatlong pagkakasunud-sunod 
iba sa zero.
kaya, Ang Rang(A), samakatuwid, gamit ang Kronecker-Capelli theorem, maaari nating tapusin na ang orihinal na sistema ng mga linear na equation ay hindi pare-pareho.
Sagot:
Ang sistema ay walang solusyon.
Kaya, natutunan nating itatag ang hindi pagkakapare-pareho ng isang sistema gamit ang Kronecker–Capelli theorem.
Ngunit paano makahanap ng solusyon sa isang SLAE kung ang pagkakatugma nito ay itinatag?
Upang gawin ito, kailangan namin ang konsepto ng isang batayang minor ng isang matrix at isang teorama tungkol sa ranggo ng isang matrix.
Ang menor ng pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng matrix A, naiiba sa zero, ay tinatawag basic.
Mula sa kahulugan ng isang batayang minor ay sumusunod na ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng ranggo ng matris. Para sa isang non-zero matrix A, maaaring mayroong ilang batayang minor; palaging may isang batayang minor.
Halimbawa, isaalang-alang ang matrix 
.
Ang lahat ng mga third-order na menor de edad ng matrix na ito ay katumbas ng zero, dahil ang mga elemento ng ikatlong hilera ng matrix na ito ay ang kabuuan ng mga katumbas na elemento ng una at ikalawang hanay.
Ang mga sumusunod na second-order minor ay basic, dahil hindi zero ang mga ito 
Mga menor de edad 
ay hindi basic, dahil ang mga ito ay katumbas ng zero.
Teorama ng ranggo ng matrix.
Kung ang ranggo ng isang matrix ng order p by n ay katumbas ng r, kung gayon ang lahat ng row (at column) na elemento ng matrix na hindi bumubuo sa napiling batayang minor ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng katumbas na row (at column) na mga elemento na bumubuo. ang batayang menor.
Ano ang sinasabi sa atin ng matrix rank theorem?
Kung, ayon sa Kronecker–Capelli theorem, naitatag namin ang compatibility ng system, pagkatapos ay pipili kami ng anumang batayang minor ng pangunahing matrix ng system (ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng r), at ibubukod mula sa system ang lahat ng mga equation na ginagawa hindi bumubuo ng napiling batayang menor. Ang SLAE na nakuha sa ganitong paraan ay magiging katumbas ng orihinal, dahil ang mga itinapon na equation ay kalabisan pa rin (ayon sa matrix rank theorem, sila ay isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang equation).
Bilang resulta, pagkatapos itapon ang mga hindi kinakailangang equation ng system, posible ang dalawang kaso.
Kung ang bilang ng mga equation r sa resultang sistema ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, kung gayon ito ay magiging tiyak at ang tanging solusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.
Halimbawa.
.
Solusyon.
Ranggo ng pangunahing matrix ng system 
ay katumbas ng dalawa, dahil ang menor de edad ay nasa pangalawang pagkakasunud-sunod 
iba sa zero. Pinalawak na Ranggo ng Matrix 
ay katumbas din ng dalawa, dahil ang tanging ikatlong order na minor ay zero 
at ang pangalawang-order na menor de edad na isinasaalang-alang sa itaas ay iba sa zero. Batay sa Kronecker–Capelli theorem, maaari nating igiit ang pagiging tugma ng orihinal na sistema ng mga linear equation, dahil Rank(A)=Rank(T)=2.
Bilang batayang minor ang kinukuha namin . Ito ay nabuo sa pamamagitan ng mga coefficient ng una at pangalawang equation: 
Ang pangatlong equation ng system ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng batayang menor, kaya hindi namin ito kasama sa system batay sa theorem sa ranggo ng matrix: 
Ito ay kung paano namin nakuha ang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation. Lutasin natin ito gamit ang paraan ng Cramer: 
Sagot:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Kung ang bilang ng mga equation r sa nagreresultang SLAE ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi kilalang variable n, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ng mga equation ay iniiwan natin ang mga terminong bumubuo sa batayang minor, at inililipat natin ang mga natitirang termino sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may kabaligtaran na tanda.
Ang mga hindi kilalang variable (r ng mga ito) na natitira sa kaliwang bahagi ng mga equation ay tinatawag pangunahing.
Ang mga hindi kilalang variable (may mga n - r na piraso) na nasa kanang bahagi ay tinatawag libre.
Ngayon naniniwala kami na ang mga libreng hindi kilalang variable ay maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga, habang ang mga pangunahing hindi kilalang variable ay ipahahayag sa pamamagitan ng mga libreng hindi kilalang variable sa isang natatanging paraan. Ang kanilang expression ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang SLAE gamit ang Cramer method, ang matrix method, o ang Gauss method.
Tingnan natin ito sa isang halimbawa.
Halimbawa.
Lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation 
.
Solusyon.
Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system 
sa pamamagitan ng paraan ng hangganan ng mga menor de edad. Kunin natin ang 1 1 = 1 bilang non-zero minor ng unang order. Simulan natin ang paghahanap para sa isang hindi zero na menor de edad ng pangalawang order na malapit sa menor de edad na ito: 
Ito ay kung paano namin nakita ang isang non-zero minor ng pangalawang order. Simulan natin ang paghahanap ng non-zero bordering minor ng ikatlong order: 
Kaya, ang ranggo ng pangunahing matrix ay tatlo. Ang ranggo ng pinalawig na matrix ay katumbas din ng tatlo, iyon ay, ang sistema ay pare-pareho.
Isinasaalang-alang namin ang nahanap na di-zero minor ng ikatlong order bilang batayan ng isa.
Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang mga elemento na bumubuo sa batayang minor: 
Iniiwan namin ang mga terminong kasangkot sa batayang minor sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system, at inilipat ang natitira na may magkasalungat na mga palatandaan sa kanang bahagi: 
Bigyan natin ang mga libreng hindi kilalang variable na x 2 at x 5 na mga arbitrary na halaga, ibig sabihin, tinatanggap natin 
, kung saan ang mga arbitrary na numero. Sa kasong ito, kukunin ng SLAE ang form 
Lutasin natin ang nagreresultang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation gamit ang paraan ng Cramer: 
Kaya naman, .
Sa iyong sagot, huwag kalimutang ipahiwatig ang mga libreng hindi kilalang variable.
Sagot:
Nasaan ang mga arbitrary na numero.
Ibuod.
Upang malutas ang isang sistema ng pangkalahatang linear algebraic equation, una naming tinutukoy ang pagiging tugma nito gamit ang Kronecker–Capelli theorem. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay hindi katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay napagpasyahan namin na ang sistema ay hindi tugma.
Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay pumili kami ng isang batayang menor at itapon ang mga equation ng sistema na hindi nakikilahok sa pagbuo ng napiling batayang menor.
Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang minor ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, kung gayon ang SLAE ay may natatanging solusyon, na maaaring matagpuan sa pamamagitan ng anumang paraan na alam natin.
Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang menor ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi kilalang variable, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system ay iniiwan namin ang mga termino na may pangunahing hindi kilalang mga variable, ilipat ang natitirang mga termino sa kanang bahagi at bigyan ng mga arbitrary na halaga sa ang mga libreng hindi kilalang variable. Mula sa nagresultang sistema ng mga linear equation ay makikita natin ang pangunahing hindi kilalang mga variable gamit ang Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.
Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.
Ang Gauss method ay maaaring gamitin upang malutas ang mga sistema ng linear algebraic equation ng anumang uri nang hindi muna sinusubukan ang mga ito para sa consistency. Ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable ay ginagawang posible upang makagawa ng isang konklusyon tungkol sa parehong compatibility at incompatibility ng SLAE, at kung mayroong isang solusyon, ginagawang posible na mahanap ito.
Mula sa isang computational point of view, ang Gaussian method ay mas mainam.
Tingnan ang detalyadong paglalarawan nito at sinuri na mga halimbawa sa artikulong Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng pangkalahatang linear algebraic equation.
Pagsusulat ng pangkalahatang solusyon sa homogenous at inhomogeneous na linear algebraic system gamit ang mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon.
Sa seksyong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa sabay-sabay na homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng mga linear algebraic equation na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Hayaan muna natin ang mga homogenous na sistema.
Pangunahing sistema ng mga solusyon homogenous system ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang variable ay isang koleksyon ng (n – r) linearly independent solutions ng system na ito, kung saan ang r ay ang order ng batayang minor ng pangunahing matrix ng system.
Kung tinutukoy natin ang mga linearly independent na solusyon ng isang homogenous na SLAE bilang X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ay mga columnar matrice ng dimensyon n sa pamamagitan ng 1) , kung gayon ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistemang ito ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vectors ng pangunahing sistema ng mga solusyon na may mga di-makatwirang pare-parehong coefficient C 1, C 2, ..., C (n-r), iyon ay, .
Ano ang ibig sabihin ng terminong pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear algebraic equation (oroslau)?
Ang kahulugan ay simple: ang formula ay tumutukoy sa lahat ng posibleng solusyon ng orihinal na SLAE, sa madaling salita, kumukuha ng anumang hanay ng mga halaga ng mga di-makatwirang constants C 1, C 2, ..., C (n-r), gamit ang formula na gagawin namin. kumuha ng isa sa mga solusyon ng orihinal na homogenous na SLAE.
Kaya, kung makakita tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon, maaari nating tukuyin ang lahat ng solusyon ng homogenous na SLAE na ito bilang .
Ipakita natin ang proseso ng pagbuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na SLAE.
Pinipili namin ang batayang minor ng orihinal na sistema ng mga linear na equation, ibinubukod ang lahat ng iba pang equation mula sa system at inililipat ang lahat ng terminong naglalaman ng mga libreng hindi kilalang variable sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may magkasalungat na mga palatandaan. Bigyan natin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga 1,0,0,...,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang elementarya na sistema ng mga linear na equation sa anumang paraan, halimbawa, gamit ang paraan ng Cramer. Magreresulta ito sa X (1) - ang unang solusyon ng pangunahing sistema. Kung bibigyan natin ang mga libreng hindi alam ng mga halaga 0,1,0,0,…,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, makakakuha tayo ng X (2). At iba pa. Kung itatalaga namin ang mga halaga 0.0,…,0.1 sa mga libreng hindi kilalang variable at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, nakukuha namin ang X (n-r) . Sa ganitong paraan, ang isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na SLAE ay bubuo at ang pangkalahatang solusyon nito ay maaaring isulat sa form .
Para sa mga inhomogeneous system ng linear algebraic equation, ang pangkalahatang solusyon ay kinakatawan sa anyo , kung saan ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system, at ang partikular na solusyon ng orihinal na inhomogeneous na SLAE, na nakukuha natin sa pamamagitan ng pagbibigay sa mga libreng hindi alam ng mga halaga 0,0,...,0 at pagkalkula ng mga halaga ng mga pangunahing hindi alam.
Tingnan natin ang mga halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin ang pangunahing sistema ng mga solusyon at ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng linear algebraic equation 
.
Solusyon.
Ang ranggo ng pangunahing matrix ng mga homogenous na sistema ng mga linear na equation ay palaging katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix. Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix gamit ang paraan ng hangganan ng mga menor de edad. Bilang isang non-zero minor ng unang order, kinukuha namin ang elemento a 1 1 = 9 ng pangunahing matrix ng system. Hanapin natin ang bordering non-zero minor ng pangalawang order: 
Ang isang menor de edad ng pangalawang order, naiiba sa zero, ay natagpuan. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nasa hangganan nito sa paghahanap ng hindi zero one: 
Ang lahat ng third-order bordering minors ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang ranggo ng main at extended matrix ay katumbas ng dalawa. Kunin natin . Para sa kalinawan, tandaan natin ang mga elemento ng system na bumubuo nito: 
Ang ikatlong equation ng orihinal na SLAE ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng batayang minor, samakatuwid, maaari itong ibukod: 
Iniiwan namin ang mga terminong naglalaman ng mga pangunahing hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation, at inililipat ang mga terminong may mga libreng hindi alam sa kanang bahagi:
Bumuo tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa orihinal na homogenous na sistema ng mga linear equation. Ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng SLAE na ito ay binubuo ng dalawang solusyon, dahil ang orihinal na SLAE ay naglalaman ng apat na hindi kilalang variable, at ang pagkakasunud-sunod ng batayang minor nito ay katumbas ng dalawa. Upang mahanap ang X (1), binibigyan namin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga x 2 = 1, x 4 = 0, pagkatapos ay nakita namin ang mga pangunahing hindi alam mula sa sistema ng mga equation 
.
Hayaan M 0 – set ng mga solusyon sa homogenous system (4) ng mga linear equation.
Kahulugan 6.12. Mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay tinatawag pangunahing hanay ng mga solusyon(pinaikling FNR), kung
1) mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p linearly independent (iyon ay, wala sa kanila ang maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba);
2) anumang iba pang solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga solusyon Sa 1 ,Sa 2 , …, may p.
Tandaan na kung Sa 1 ,Sa 2 , …, may p– anumang f.n.r., pagkatapos ay ang expression k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + … + k p× may p maaari mong ilarawan ang buong set M 0 solusyon sa system (4), kaya ito ay tinatawag na pangkalahatang pagtingin sa solusyon ng system (4).
Teorama 6.6. Ang anumang hindi tiyak na homogenous na sistema ng mga linear na equation ay may pangunahing hanay ng mga solusyon.
Ang paraan upang mahanap ang pangunahing hanay ng mga solusyon ay ang mga sumusunod:
Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation;
Build ( n – r) bahagyang mga solusyon ng sistemang ito, habang ang mga halaga ng mga libreng hindi alam ay dapat bumuo ng isang identity matrix;
Isulat ang pangkalahatang anyo ng solusyon na kasama sa M 0 .
Halimbawa 6.5. Maghanap ng pangunahing hanay ng mga solusyon sa sumusunod na sistema:
Solusyon. Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa sistemang ito.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Mayroong limang hindi alam sa sistemang ito ( n= 5), kung saan mayroong dalawang pangunahing hindi alam ( r= 2), mayroong tatlong libreng hindi alam ( n – r), iyon ay, ang pangunahing hanay ng solusyon ay naglalaman ng tatlong mga vector ng solusyon. Buuin natin sila. Meron kami x 1 at x 3 - pangunahing hindi alam, x 2 , x 4 , x 5 – libreng hindi alam
Mga halaga ng mga libreng hindi alam x 2 , x 4 , x 5 bumuo ng identity matrix E ikatlong order. Nakuha na ang mga vectors Sa 1 ,Sa 2 , Sa 3 anyo f.n.r. ng sistemang ito. Kung gayon ang hanay ng mga solusyon ng homogenous system na ito ay magiging M 0 = {k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + k 3× Sa 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Alamin natin ngayon ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng mga nonzero na solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, sa madaling salita, ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang pangunahing hanay ng mga solusyon.
Ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay may mga non-zero na solusyon, ibig sabihin, hindi tiyak kung
1) ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;
2) sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;
3) kung sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero (i.e. | A| = 0).
Halimbawa 6.6. Sa anong halaga ng parameter a homogenous na sistema ng mga linear na equation 
may mga non-zero na solusyon?
Solusyon. Buuin natin ang pangunahing matrix ng sistemang ito at hanapin ang determinant nito: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero sa a = –4.
Sagot: –4.
7. Arithmetic n-dimensional na espasyo ng vector
Pangunahing Konsepto
Sa mga nakaraang seksyon ay nakatagpo na natin ang konsepto ng isang hanay ng mga tunay na numero na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ito ay isang row matrix (o column matrix) at isang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation na may n hindi kilala. Maaaring ibuod ang impormasyong ito.
Kahulugan 7.1. n-dimensional na arithmetic vector tinatawag na isang ordered set ng n tunay na mga numero.
ibig sabihin A= (a 1 , a 2 , …, a n), kung saan a iО R, i = 1, 2, …, n– pangkalahatang view ng vector. Numero n tinawag sukat vectors, at mga numero a i ay tinatawag na kanya mga coordinate.
Halimbawa: A= (1, –8, 7, 4, ) – limang-dimensional na vector.
All set n-dimensional vectors ay karaniwang denoted bilang Rn.
Kahulugan 7.2. Dalawang vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) At b= (b 1 , b 2 , …, b n) ng parehong dimensyon pantay kung at kung magkapantay lamang ang kanilang mga katumbas na coordinate, i.e. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Kahulugan 7.3.Halaga dalawa n-dimensional na mga vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) At b= (b 1 , b 2 , …, b n) ay tinatawag na vector a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+ b n).
Kahulugan 7.4. Ang trabaho totoong numero k sa vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) ay tinatawag na vector k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)
Kahulugan 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) ay tinatawag sero(o null vector).
Madaling i-verify na ang mga aksyon (operasyon) ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero ay may mga sumusunod na katangian: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1× a = a, 1 О R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Kahulugan 7.6. Isang grupo ng Rn na may mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vectors at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero na ibinigay dito ay tinatawag arithmetic n-dimensional na vector space.
Patuloy nating pakinisin ang ating teknolohiya mga pagbabagong elementarya sa homogenous na sistema ng mga linear na equation.
Batay sa mga unang talata, ang materyal ay maaaring mukhang boring at karaniwan, ngunit ang impression na ito ay mapanlinlang. Bilang karagdagan sa karagdagang pag-unlad ng mga diskarte, magkakaroon ng maraming bagong impormasyon, kaya mangyaring subukang huwag pabayaan ang mga halimbawa sa artikulong ito.
Ano ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation?
Ang sagot ay nagmumungkahi mismo. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay homogenous kung ang libreng termino lahat equation ng system ay zero. Halimbawa:
Ito ay ganap na malinaw na ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, ibig sabihin, laging may solusyon. At, una sa lahat, ang nakakakuha ng iyong mata ay ang tinatawag na walang kuwenta solusyon 
. Trivial, para sa mga hindi naiintindihan ang kahulugan ng adjective sa lahat, ay nangangahulugan na walang pakitang-tao. Siyempre, hindi sa akademya, ngunit sa katinuan =) ...Bakit kailangan mo lang gawin, alamin natin kung may iba pang solusyon ang sistemang ito:
Halimbawa 1
Solusyon: upang malutas ang isang homogenous na sistema kinakailangan na magsulat system matrix at sa tulong ng mga elementarya na pagbabago ay dalhin ito sa isang hakbang-hakbang na anyo. Pakitandaan na dito hindi na kailangang isulat ang vertical bar at ang zero na column ng mga libreng termino - pagkatapos ng lahat, anuman ang gawin mo sa mga zero, mananatili silang mga zero: 
(1) Ang unang linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng –2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng –3.
(2) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng –1.
Ang paghahati sa ikatlong linya ng 3 ay hindi gaanong makatwiran.
Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na homogenous na sistema 
, at, gamit ang kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian, madaling i-verify na ang solusyon ay natatangi.
Sagot: 
Bumuo tayo ng malinaw na pamantayan: isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay may isang trivial solution lang, Kung ranggo ng system matrix(sa kasong ito 3) ay katumbas ng bilang ng mga variable (sa kasong ito - 3 piraso).
Magpainit tayo at ibagay ang ating radyo sa alon ng elementarya na pagbabago:
Halimbawa 2
Lutasin ang isang homogenous na sistema ng mga linear na equation 
Upang tuluyang pagsamahin ang algorithm, suriin natin ang panghuling gawain:
Halimbawa 7
Lutasin ang isang homogenous system, isulat ang sagot sa vector form. 
Solusyon: isulat natin ang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo: 
(1) Ang tanda ng unang linya ay binago. Muli kong iginuhit ang pansin sa isang pamamaraan na nakatagpo ng maraming beses, na nagbibigay-daan sa iyo upang makabuluhang pasimplehin ang susunod na aksyon.
(1) Ang unang linya ay idinagdag sa ika-2 at ika-3 linya. Ang unang linya, na pinarami ng 2, ay idinagdag sa ika-4 na linya.
(3) Ang huling tatlong linya ay proporsyonal, dalawa sa kanila ang tinanggal.
Bilang isang resulta, ang isang karaniwang step matrix ay nakuha, at ang solusyon ay nagpapatuloy kasama ang knurled track:
- pangunahing mga variable;
– mga libreng variable.
Ipahayag natin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libreng variable. Mula sa 2nd equation:
– palitan sa 1st equation:
Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:
Dahil sa halimbawang isinasaalang-alang mayroong tatlong libreng variable, ang pangunahing sistema ay naglalaman ng tatlong vectors.
Palitan natin ang isang triple ng mga halaga 
sa pangkalahatang solusyon at kumuha ng vector na ang mga coordinate ay nakakatugon sa bawat equation ng homogenous system. At muli, inuulit ko na lubos na maipapayo na suriin ang bawat natanggap na vector - hindi ito kukuha ng maraming oras, ngunit ito ay ganap na maprotektahan ka mula sa mga pagkakamali.
Para sa isang triple ng mga halaga 
hanapin ang vector
At sa wakas para sa tatlo 
nakuha namin ang pangatlong vector:
Sagot: , Saan
Ang mga nagnanais na maiwasan ang mga fractional na halaga ay maaaring isaalang-alang ang triplets 
at makakuha ng sagot sa katumbas na anyo:
Speaking of fractions. Tingnan natin ang matrix na nakuha sa problema 
at itanong natin sa ating sarili: posible bang gawing simple ang karagdagang solusyon? Pagkatapos ng lahat, dito namin unang ipinahayag ang pangunahing variable sa pamamagitan ng mga fraction, pagkatapos ay sa pamamagitan ng mga fraction ang pangunahing variable, at, dapat kong sabihin, ang prosesong ito ay hindi ang pinakasimpleng at hindi ang pinaka-kaaya-aya.
Pangalawang solusyon:
Ang ideya ay subukan pumili ng iba pang mga variable na batayan. Tingnan natin ang matrix at pansinin ang dalawa sa ikatlong hanay. Kaya bakit walang zero sa itaas? Magsagawa tayo ng isa pang elementarya na pagbabago: