Công thức tính thể tích của hình chóp cụt đều. Công thức thể tích cho một kim tự tháp đầy đủ và bị cắt ngắn

• 09.10.2014

  Bộ tiền khuếch đại trong hình được thiết kế để sử dụng với 4 loại nguồn âm thanh, chẳng hạn như micrô, đầu đĩa CD, máy ghi băng radio, ... Đồng thời, bộ tiền khuếch đại có một đầu vào có thể thay đổi độ nhạy từ 50mV đến 500mV . điện áp đầu ra của bộ khuếch đại là 1000mV. Bằng cách kết nối các nguồn tín hiệu khác nhau khi chuyển đổi công tắc SA1, chúng ta sẽ luôn nhận được ...

• 20.09.2014

  PSU được thiết kế cho tải có công suất 15 ... 20 watt. Nguồn được chế tạo theo sơ đồ của bộ biến đổi tần số cao dạng xung một chu kỳ. Một bộ dao động hoạt động ở tần số 20 ... 40 kHz được lắp ráp trên bóng bán dẫn. Tần số được điều chỉnh bởi điện dung C5. Các phần tử VD5, VD6 và C6 tạo thành mạch khởi động một dao động. Trong mạch thứ cấp, sau bộ chỉnh lưu cầu, có một bộ ổn định tuyến tính thông thường trên vi mạch, cho phép bạn có ...

• 28.09.2014

  Hình bên cho thấy một máy phát điện trên chip K174XA11, tần số của nó được điều khiển bằng điện áp. Bằng cách thay đổi điện dung C1 từ 560 đến 4700pF, có thể thu được một dải tần rộng, trong khi tần số được điều chỉnh bằng cách thay đổi điện trở R4. Ví dụ, tác giả phát hiện ra rằng, ở C1 \ u003d 560pF, tần số máy phát có thể được thay đổi bằng cách sử dụng R4 từ 600Hz đến 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Thiết bị được thiết kế để cấp nguồn cho ULF mạnh mẽ, nó được thiết kế cho điện áp đầu ra ± 27V và do đó tải lên đến 3A trên mỗi cánh tay. PSU là lưỡng cực, được làm trên các bóng bán dẫn hỗn hợp hoàn chỉnh KT825-KT827. Cả hai nhánh của bộ ổn định được thực hiện theo cùng một sơ đồ, nhưng ở nhánh khác (nó không được hiển thị), cực tính của các tụ điện được thay đổi và các bóng bán dẫn khác được sử dụng ...

Khả năng tính toán thể tích của các hình không gian rất quan trọng trong việc giải quyết một số vấn đề thực tế về hình học. Một trong những hình dạng phổ biến nhất là kim tự tháp. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các kim tự tháp, cả hình tròn và hình cắt cụt.

Kim tự tháp như một hình ba chiều

Mọi người đều biết về các kim tự tháp của Ai Cập, vì vậy họ có một ý tưởng tốt về con số sẽ được thảo luận. Tuy nhiên, các công trình kiến ​​trúc bằng đá của Ai Cập chỉ là một trường hợp đặc biệt của một loại kim tự tháp khổng lồ.

Đối tượng hình học đang xét trong trường hợp tổng quát là một cơ sở đa giác, mỗi đỉnh của chúng được nối với một điểm nào đó trong không gian không thuộc mặt phẳng cơ sở. Định nghĩa này dẫn đến một hình bao gồm một n-gon và n hình tam giác.

Hình chóp bất kỳ bao gồm n + 1 mặt, 2 * n cạnh và n + 1 đỉnh. Vì hình đang xét là một hình đa diện hoàn hảo nên số phần tử được đánh dấu tuân theo phương trình Euler:

2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.

Đa giác nằm ở đáy cho biết tên của kim tự tháp, ví dụ như hình tam giác, hình ngũ giác, v.v. Một tập hợp các kim tự tháp với các đáy khác nhau được hiển thị trong ảnh dưới đây.

Điểm có n tam giác của hình bên được gọi là đỉnh của hình chóp. Nếu một đường vuông góc được hạ thấp từ nó xuống mặt đáy và nó cắt nó ở tâm hình học, thì một hình như vậy sẽ được gọi là đường thẳng. Nếu không thỏa mãn điều kiện này thì có hình chóp nghiêng.

Một hình thẳng, đáy của nó được tạo thành bởi một n-gon đều (tương đương), được gọi là hình thường.

Công thức thể tích kim tự tháp

Để tính thể tích của hình chóp, ta sử dụng phép tính tích phân. Để làm điều này, chúng tôi chia hình bằng các mặt phẳng song song với mặt đáy thành vô số lớp mỏng. Hình dưới đây cho thấy một hình chóp tứ giác đều có chiều cao h và chiều dài cạnh bên là L, trong đó có một lớp mỏng được đánh dấu bằng một hình tứ giác.

Diện tích của mỗi lớp như vậy có thể được tính theo công thức:

A (z) = A 0 * (h-z) 2 / h 2.

Ở đây A 0 là diện tích của cơ sở, z là giá trị của tọa độ dọc. Có thể thấy rằng nếu z = 0 thì công thức cho giá trị A 0.

Để có công thức về thể tích của hình chóp, bạn phải tính tích phân trên toàn bộ chiều cao của hình đó, đó là:

V = ∫ h 0 (A (z) * dz).

Thay sự phụ thuộc A (z) và tính đạo hàm, chúng ta đi đến biểu thức:

V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 \ u003d 1/3 * A 0 * h.

Chúng tôi đã thu được công thức cho thể tích của một hình chóp. Để tìm giá trị của V, chỉ cần nhân chiều cao của hình với diện tích của \ u200b \ u200b, rồi chia kết quả cho ba.

Lưu ý rằng biểu thức kết quả có giá trị để tính thể tích của một hình chóp có kiểu tùy ý. Nghĩa là, nó có thể nghiêng và cơ sở của nó có thể là một n-gon tùy ý.

và âm lượng của nó

Công thức tổng quát về thể tích thu được trong đoạn trên có thể được tinh chỉnh trong trường hợp hình chóp có đáy đều. Diện tích của một cơ sở như vậy được tính theo công thức sau:

A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).

Ở đây L là độ dài cạnh của một đa giác đều có n đỉnh. Ký hiệu pi là số pi.

Thay biểu thức A 0 vào công thức tổng quát, ta được thể tích của một hình chóp đều:

V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).

Ví dụ, đối với một hình chóp tam giác, công thức này dẫn đến biểu thức sau:

V 3 \ u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \ u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Đối với hình chóp tứ giác đều, công thức thể tích có dạng:

V 4 \ u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \ u003d 1/3 * L 2 * h.

Để xác định thể tích của hình chóp đều yêu cầu biết cạnh bên và chiều cao của hình đó.

Kim tự tháp bị cắt ngắn

Giả sử chúng ta đã lấy một hình chóp tùy ý và cắt bỏ một phần của mặt bên chứa đỉnh của nó. Hình còn lại gọi là hình chóp cụt. Nó đã bao gồm hai cơ sở n-gonal và n hình thang nối chúng. Nếu mặt phẳng cắt song song với đáy của hình vẽ thì một hình chóp cụt được tạo thành với các đáy tương tự song song. Nghĩa là, độ dài các cạnh của một trong số chúng có thể nhận được bằng cách nhân độ dài của cạnh kia với một số hệ số k.

Hình trên cho thấy một hình thường xuyên bị cắt ngắn Có thể thấy rằng phần đế trên của nó, giống như phần dưới, được tạo thành bởi một hình lục giác đều.

Công thức có thể được suy ra bằng phép tính tích phân tương tự như trên là:

V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).

Trong đó A 0 và A 1 lần lượt là diện tích của đáy (lớn) và đáy trên (nhỏ). Biến h biểu thị chiều cao của hình chóp cụt.

Thể tích của kim tự tháp Cheops

Nó là tò mò để giải quyết vấn đề xác định thể tích mà kim tự tháp Ai Cập lớn nhất chứa.

Năm 1984, các nhà Ai Cập học người Anh Mark Lehner và Jon Goodman đã xác lập kích thước chính xác của kim tự tháp Cheops. Chiều cao ban đầu của nó là 146,50 mét (hiện tại khoảng 137 mét). Chiều dài trung bình của mỗi bốn cạnh của cấu trúc là 230,363 mét. Phần đế của kim tự tháp là hình vuông với độ chính xác cao.

Hãy sử dụng các số liệu đã cho để xác định khối lượng của khối đá khổng lồ này. Vì hình chóp là một tứ giác đều, nên công thức đúng cho nó:

Cắm vào các con số, chúng tôi nhận được:

V 4 \ u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Thể tích của kim tự tháp Cheops là gần 2,6 triệu m 3. Để so sánh, chúng tôi lưu ý rằng hồ bơi Olympic có thể tích 2,5 nghìn m 3. Tức là, để lấp đầy toàn bộ kim tự tháp Cheops, sẽ cần hơn 1000 hồ bơi như vậy!

- Đây là hình đa diện đều tạo bởi đáy của hình chóp và có thiết diện song song với nó. Chúng ta có thể nói rằng một kim tự tháp bị cắt cụt là một kim tự tháp có một đỉnh bị cắt. Hình này có nhiều thuộc tính độc đáo:

• Các mặt bên của hình chóp là hình thang;
• Các đường sườn bên của hình chóp cụt đều có cùng chiều dài và nghiêng với mặt đáy một góc;
• Các cơ sở là các đa giác tương tự;
• Trong một hình chóp cụt đều, các mặt là hình thang cân, diện tích các mặt là hình thang cân bằng nhau. Chúng cũng nghiêng với đế một góc.

Công thức tính diện tích mặt bên của hình chóp cụt là tổng diện tích các mặt của nó:

Vì các mặt của hình chóp cụt đều là hình thang nên bạn sẽ phải sử dụng công thức để tính các tham số diện tích hình thang. Đối với một hình chóp cụt đều, có thể áp dụng một công thức tính diện tích khác. Vì tất cả các mặt, các mặt và các góc của nó ở đáy bằng nhau, nên có thể áp dụng chu vi của mặt đáy và cạnh đáy, đồng thời tính diện tích thông qua góc ở mặt đáy.

Nếu, theo các điều kiện của một hình chóp cụt đều, apothem (chiều cao của mặt bên) và độ dài các cạnh của đáy đã cho, thì diện tích có thể được tính bằng nửa tích của tổng các chu vi của các cơ sở và apothem:

Hãy xem một ví dụ về tính toán diện tích mặt bên của một hình chóp cụt.
Cho hình chóp ngũ giác đều. Apothem l\ u003d 5 cm, chiều dài của mặt trong đế lớn là Một\ u003d 6 cm và mặt ở đáy nhỏ hơn b\ u003d 4 cm. Tính diện tích của \ u200b \ u200 hình chóp cụt.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm chu vi của các căn cứ. Vì chúng ta được cho một hình chóp ngũ giác, chúng ta hiểu rằng các đáy là ngũ giác. Điều này có nghĩa là các chân đế là một hình có năm cạnh giống nhau. Tìm chu vi của cơ sở lớn hơn:

Theo cách tương tự, chúng ta tìm chu vi của cơ sở nhỏ hơn:

Bây giờ chúng ta có thể tính diện tích của một hình chóp cụt đều. Chúng tôi thay thế dữ liệu trong công thức:

Do đó, chúng tôi tính diện tích của một hình chóp cụt đều thông qua các chu vi và apothem.

Một cách khác để tính diện tích mặt bên của hình chóp đều là công thức qua các góc ở đáy và diện tích của \ u200b \ u200 chính những góc này.

Hãy xem một phép tính ví dụ. Hãy nhớ rằng công thức này chỉ áp dụng cho một hình chóp cụt đều.

Cho hình chóp tứ giác đều. Mặt đáy là a = 6 cm, mặt trên b = 4 cm. Góc nhị diện ở đáy là β = 60 °. Tìm diện tích mặt bên của hình chóp cụt đều.

Đầu tiên, hãy tính diện tích của các căn cứ. Vì hình chóp đều nên tất cả các mặt của đáy đều bằng nhau. Cho rằng cơ sở là một tứ giác, chúng tôi hiểu rằng nó sẽ cần thiết để tính khu vuông. Nó là tích của chiều rộng và chiều dài, nhưng bình phương, các giá trị này giống nhau. Tìm diện tích của cơ sở lớn hơn:


Bây giờ chúng ta sử dụng các giá trị tìm được để tính diện tích bề mặt bên.

Biết một vài công thức đơn giản, chúng ta dễ dàng tính được diện tích hình thang bên của hình chóp cụt qua các giá trị khác nhau.