Cách tìm góc giữa các đường thẳng. Góc giữa các đường thẳng trên mặt phẳng

Oh-oh-oh-oh-oh... à, khó quá, cứ như thể anh ấy đang đọc cho chính mình một câu vậy =) Tuy nhiên, thư giãn sẽ giúp ích sau này, đặc biệt là vì hôm nay tôi đã mua những phụ kiện thích hợp. Vì vậy, chúng ta hãy chuyển sang phần đầu tiên, tôi hy vọng rằng đến cuối bài viết tôi sẽ giữ được tâm trạng vui vẻ.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Đây là trường hợp khán giả hát theo đồng ca. Hai đường thẳng có thể:

1) khớp;

2) song song: ;

3) hoặc cắt nhau tại một điểm: .

Trợ giúp cho người giả : Hãy nhớ dấu giao nhau toán học, nó sẽ xuất hiện rất thường xuyên. Ký hiệu này có nghĩa là đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm .

Làm thế nào để xác định vị trí tương đối của hai dòng?

Hãy bắt đầu với trường hợp đầu tiên:

Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỷ lệ thuận, tức là có một số “lambda” sao cho các đẳng thức được thỏa mãn

Hãy xem xét các đường thẳng và tạo ba phương trình từ các hệ số tương ứng: . Từ mỗi phương trình, do đó, các đường thẳng này trùng nhau.

Thật vậy, nếu tất cả các hệ số của phương trình nhân với –1 (đổi dấu) và tất cả các hệ số của phương trình giảm đi 2, bạn sẽ có được phương trình tương tự: .

Trường hợp thứ hai, khi các đường thẳng song song:

Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hệ số biến của chúng tỷ lệ thuận: , Nhưng.

Ví dụ: Xét hai đường thẳng. Ta kiểm tra tính tương xứng của các hệ số tương ứng với các biến:

Tuy nhiên, điều đó khá rõ ràng.

Và trường hợp thứ ba, khi các đường thẳng cắt nhau:

Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi hệ số của chúng KHÔNG tỷ lệ, nghĩa là KHÔNG có giá trị “lambda” nào thỏa mãn các đẳng thức

Vì vậy, đối với các đường thẳng, chúng ta sẽ tạo ra một hệ thống:

Từ phương trình thứ nhất suy ra , và từ phương trình thứ hai: , có nghĩa là hệ thống không nhất quán(không có giải pháp). Như vậy, hệ số của các biến không tỷ lệ thuận.

Kết luận: đường thẳng cắt nhau

Trong các bài toán thực tế, bạn có thể sử dụng sơ đồ giải vừa trình bày. Nhân tiện, nó rất gợi nhớ đến thuật toán kiểm tra vectơ cộng tuyến mà chúng ta đã xem xét trong lớp Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính (trong) của vectơ. Cơ sở của vectơ. Nhưng có một cách đóng gói văn minh hơn:

ví dụ 1

Tìm vị trí tương đối của các đường thẳng:

Giải pháp dựa vào việc nghiên cứu vectơ chỉ hướng của đường thẳng:

a) Từ các phương trình ta tìm được vectơ chỉ phương của các đường thẳng: .

, có nghĩa là các vectơ không thẳng hàng và các đường thẳng cắt nhau.

Để đề phòng, tôi sẽ đặt một hòn đá có biển báo ở ngã tư:

Những người còn lại nhảy qua tảng đá và đi xa hơn, thẳng tới Kashchei the Immortal =)

b) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Các đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương, nghĩa là chúng song song hoặc trùng nhau. Không cần thiết phải tính định thức ở đây.

Rõ ràng là các hệ số của ẩn số tỷ lệ thuận với nhau và .

Hãy tìm hiểu xem đẳng thức có đúng không:

Như vậy,

c) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ của các vectơ này:
, do đó, các vectơ chỉ phương thẳng hàng. Các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Hệ số tỉ lệ “lambda” dễ dàng nhận thấy trực tiếp từ tỉ số của các vectơ chỉ phương thẳng hàng. Tuy nhiên, nó cũng có thể được tìm thấy thông qua các hệ số của phương trình: .

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem đẳng thức có đúng hay không. Cả hai điều khoản miễn phí đều bằng 0, vì vậy:

Giá trị kết quả thỏa mãn phương trình này (bất kỳ số nào nói chung đều thỏa mãn nó).

Như vậy, các đường thẳng trùng nhau.

Trả lời:

Bạn sẽ sớm học được (hoặc thậm chí đã học được) cách giải quyết vấn đề được thảo luận bằng lời nói theo đúng nghĩa đen chỉ trong vài giây. Về vấn đề này, tôi không thấy có ích gì khi đưa ra bất cứ điều gì cho một giải pháp độc lập; tốt hơn hết là đặt một viên gạch quan trọng khác vào nền tảng hình học:

Làm thế nào để dựng một đường thẳng song song với một đường thẳng đã cho?

Vì thiếu hiểu biết về nhiệm vụ đơn giản nhất này, Nightingale the Robber đã trừng phạt nghiêm khắc.

Ví dụ 2

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường thẳng song song đi qua một điểm.

Giải pháp: Hãy biểu thị dòng chưa biết bằng chữ cái . Tình trạng nói gì về cô ấy? Đường thẳng đi qua điểm. Và nếu các đường thẳng song song thì hiển nhiên vectơ chỉ phương của đường thẳng “tse” cũng phù hợp để dựng đường thẳng “de”.

Chúng ta loại bỏ vectơ chỉ phương ra khỏi phương trình:

Trả lời:

Hình học ví dụ trông đơn giản:

Thử nghiệm phân tích bao gồm các bước sau:

1) Ta kiểm tra xem các đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương hay không (nếu phương trình của đường thẳng không được đơn giản hóa đúng cách thì các vectơ sẽ thẳng hàng).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình thu được hay không.

Trong hầu hết các trường hợp, việc kiểm tra phân tích có thể được thực hiện dễ dàng bằng miệng. Nhìn vào hai phương trình, nhiều bạn sẽ nhanh chóng xác định được độ song song của các đường thẳng mà không cần vẽ hình.

Ví dụ về các giải pháp độc lập ngày nay sẽ rất sáng tạo. Bởi vì bạn vẫn sẽ phải cạnh tranh với Baba Yaga, và bạn biết đấy, cô ấy là người yêu thích đủ loại câu đố.

Ví dụ 3

Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm song song với đường thẳng nếu

Có một cách hợp lý và không quá hợp lý để giải quyết nó. Con đường ngắn nhất là ở cuối bài học.

Chúng ta đã làm việc một chút với các đường thẳng song song và sẽ quay lại với chúng sau. Trường hợp các đường thẳng trùng nhau ít được quan tâm, hãy xét một bài toán rất quen thuộc với các bạn trong chương trình học ở trường:

Làm thế nào để tìm giao điểm của hai đường thẳng?

Nếu thẳng cắt nhau tại điểm thì tọa độ của nó là nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Làm thế nào để tìm điểm giao nhau của đường? Giải quyết hệ thống.

Đây nhé ý nghĩa hình học của hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số- đây là hai đường thẳng giao nhau (thường xuyên nhất) trên một mặt phẳng.

Ví dụ 4

Tìm giao điểm của đường

Giải pháp: Có hai cách giải - đồ họa và phân tích.

Phương pháp đồ họa chỉ đơn giản là vẽ các đường đã cho và tìm ra điểm giao nhau trực tiếp từ bản vẽ:

Đây là quan điểm của chúng tôi: . Để kiểm tra, bạn thay tọa độ của nó vào từng phương trình của đường thẳng thì phải vừa chỗ này vừa chỗ kia. Nói cách khác, tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ thống. Về cơ bản, chúng tôi đã xem xét giải pháp đồ họa hệ phương trình tuyến tính với hai phương trình, hai ẩn số.

Tất nhiên, phương pháp đồ họa không tệ, nhưng có những nhược điểm đáng chú ý. Không, vấn đề không phải là học sinh lớp bảy quyết định theo cách này, vấn đề là sẽ mất thời gian để tạo ra một bức vẽ đúng và CHÍNH XÁC. Ngoài ra, một số đường thẳng không dễ xây dựng và bản thân điểm giao nhau có thể nằm ở đâu đó trong vương quốc thứ ba mươi bên ngoài trang sổ tay.

Vì vậy, sẽ tốt hơn nếu tìm kiếm điểm giao nhau bằng phương pháp phân tích. Hãy giải hệ phương trình:

Để giải hệ phương trình, người ta sử dụng phương pháp cộng từng số hạng của phương trình. Để phát triển các kỹ năng liên quan, hãy học một bài học Giải hệ phương trình như thế nào?

Trả lời:

Việc kiểm tra rất đơn giản - tọa độ của điểm giao nhau phải thỏa mãn từng phương trình của hệ thống.

Ví dụ 5

Tìm giao điểm của các đường nếu chúng cắt nhau.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Thật thuận tiện để chia nhiệm vụ thành nhiều giai đoạn. Phân tích tình trạng cho thấy rằng cần thiết:
1) Viết phương trình đường thẳng.
2) Viết phương trình đường thẳng.
3) Tìm vị trí tương đối của các đường thẳng.
4) Nếu các đường thẳng cắt nhau thì tìm giao điểm.

Sự phát triển của một thuật toán hành động là điển hình cho nhiều bài toán hình học và tôi sẽ tập trung nhiều lần vào vấn đề này.

Lời giải và đáp án đầy đủ ở cuối bài:

Thậm chí không một đôi giày nào bị mòn trước khi chúng ta bước sang phần thứ hai của bài học:

Đường thẳng vuông góc. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
Góc giữa các đường thẳng

Hãy bắt đầu với một nhiệm vụ điển hình và rất quan trọng. Ở phần đầu tiên chúng ta đã học cách dựng một đường thẳng song song với đường thẳng này và bây giờ túp lều trên chân gà sẽ quay 90 độ:

Làm thế nào để dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng đã cho?

Ví dụ 6

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình vuông góc với đường thẳng đi qua điểm đó.

Giải pháp: Theo điều kiện thì biết rằng . Sẽ thật tuyệt nếu tìm được vectơ chỉ hướng của đường thẳng. Vì các đường thẳng vuông góc nên thủ thuật rất đơn giản:

Từ phương trình, chúng ta “loại bỏ” vectơ pháp tuyến: , sẽ là vectơ chỉ hướng của đường thẳng.

Viết phương trình đường thẳng sử dụng vectơ chỉ phương và điểm:

Trả lời:

Hãy mở rộng bản phác thảo hình học:

Hmmm... Bầu trời màu cam, biển màu cam, lạc đà màu cam.

Xác minh phân tích của giải pháp:

1) Chúng ta loại bỏ các vectơ chỉ phương từ các phương trình và với sự giúp đỡ tích vô hướng của vectơ chúng ta đi đến kết luận rằng các đường thẳng thực sự vuông góc: .

Nhân tiện, bạn có thể sử dụng vectơ pháp tuyến, điều đó thậm chí còn dễ dàng hơn.

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình thu được không .

Bài kiểm tra này, một lần nữa, rất dễ thực hiện bằng miệng.

Ví dụ 7

Tìm giao điểm của các đường vuông góc nếu biết phương trình và thời kỳ.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Trong bài toán có một số hành động nên việc xây dựng giải pháp theo từng điểm sẽ rất thuận tiện.

Cuộc hành trình thú vị của chúng tôi tiếp tục:

Khoảng cách từ điểm tới đường

Trước mặt chúng tôi là một dải sông thẳng tắp và nhiệm vụ của chúng tôi là phải đi đến đó bằng con đường ngắn nhất. Không có chướng ngại vật và con đường tối ưu nhất sẽ là di chuyển dọc theo đường vuông góc. Nghĩa là, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài của đoạn vuông góc.

Khoảng cách trong hình học theo truyền thống được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp “rho”, ví dụ: – khoảng cách từ điểm “em” đến đường thẳng “de”.

Khoảng cách từ điểm tới đường được thể hiện bằng công thức

Ví dụ 8

Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Giải pháp: tất cả những gì bạn cần làm là cẩn thận thay thế các số vào công thức và thực hiện các phép tính:

Trả lời:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Khoảng cách tìm được từ điểm đến đường thẳng chính xác là độ dài của đoạn màu đỏ. Nếu bạn vẽ một bức vẽ trên giấy ca-rô theo tỷ lệ 1 đơn vị. = 1 cm (2 ô) thì khoảng cách có thể đo được bằng thước thông thường.

Hãy xem xét một nhiệm vụ khác dựa trên cùng một bản vẽ:

Nhiệm vụ là tìm tọa độ của một điểm đối xứng với điểm đó so với đường thẳng . Tôi khuyên bạn nên tự mình thực hiện các bước, nhưng tôi sẽ phác thảo thuật toán giải với kết quả trung gian:

1) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó.

2) Tìm giao điểm của các đường thẳng: .

Cả hai hành động đều được thảo luận chi tiết trong bài học này.

3) Điểm là trung điểm của đoạn thẳng. Chúng ta biết tọa độ của phần giữa và một phần cuối. Qua công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng chúng ta tìm thấy .

Sẽ là một ý tưởng tốt nếu kiểm tra xem khoảng cách cũng là 2,2 đơn vị.

Ở đây có thể nảy sinh khó khăn khi tính toán, nhưng máy tính vi mô là một trợ giúp đắc lực trong tháp, cho phép bạn tính các phân số thông thường. Mình đã khuyên bạn nhiều lần và sẽ giới thiệu lại cho bạn.

Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song?

Ví dụ 9

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Đây là một ví dụ khác để bạn tự quyết định. Tôi sẽ cho bạn một gợi ý nhỏ: có vô số cách để giải quyết vấn đề này. Tóm tắt cuối bài nhưng tốt hơn hết bạn nên tự mình đoán xem, tôi nghĩ khả năng khéo léo của bạn đã phát triển tốt.

Góc giữa hai đường thẳng

Mỗi góc đều là một jamb:


Trong hình học, góc giữa hai đường thẳng được lấy là góc NHỎ hơn, từ đó tự động suy ra không thể tù được. Trong hình, góc được biểu thị bằng cung màu đỏ không được coi là góc giữa các đường thẳng cắt nhau. Và người hàng xóm “xanh” của anh ấy hoặc định hướng trái ngược góc "quả mâm xôi".

Nếu các đường thẳng vuông góc thì bất kỳ góc nào trong 4 góc đều có thể coi là góc giữa chúng.

Các góc khác nhau như thế nào? Định hướng. Thứ nhất, hướng mà góc được “cuộn” về cơ bản là quan trọng. Thứ hai, góc định hướng âm được viết bằng dấu trừ, ví dụ nếu .

Tại sao tôi lại nói với bạn điều này? Có vẻ như chúng ta có thể hiểu được khái niệm thông thường về một góc. Thực tế là các công thức dùng để tìm góc có thể dễ dàng dẫn đến kết quả âm và điều này không làm bạn ngạc nhiên. Một góc có dấu trừ cũng không tệ hơn và có ý nghĩa hình học rất cụ thể. Trong bản vẽ, đối với góc âm, hãy đảm bảo chỉ ra hướng của nó bằng một mũi tên (theo chiều kim đồng hồ).

Làm thế nào để tìm góc giữa hai đường thẳng? Có hai công thức làm việc:

Ví dụ 10

Tìm góc giữa các đường thẳng

Giải pháp Và Phương pháp một

Xét hai đường thẳng được xác định bởi phương trình ở dạng tổng quát:

Nếu thẳng không vuông góc, Cái đó định hướng Góc giữa chúng có thể được tính bằng công thức:

Chúng ta hãy chú ý đến mẫu số - đây chính xác là tích vô hướng Vectơ chỉ hướng của đường thẳng:

Nếu , thì mẫu số của công thức sẽ bằng 0 và các vectơ sẽ trực giao và các đường thẳng sẽ vuông góc. Đó là lý do tại sao người ta bảo lưu tính không vuông góc của các đường thẳng trong công thức.

Dựa trên những điều trên, thật thuận tiện để chính thức hóa giải pháp theo hai bước:

1) Hãy tính tích vô hướng của các vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
, có nghĩa là các đường thẳng không vuông góc.

2) Tìm góc giữa các đường thẳng bằng công thức:

Sử dụng hàm nghịch đảo, bạn có thể dễ dàng tìm được góc đó. Trong trường hợp này, chúng ta sử dụng độ lẻ của arctang (xem. Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản):

Trả lời:

Trong câu trả lời của bạn, chúng tôi chỉ ra giá trị chính xác cũng như giá trị gần đúng (tốt nhất là theo cả độ và radian), được tính bằng máy tính.

Vâng, trừ, trừ, không có gì to tát cả. Đây là một minh họa hình học:

Không có gì đáng ngạc nhiên khi góc hóa ra có hướng âm, bởi vì trong câu lệnh bài toán, số đầu tiên là một đường thẳng và việc “tháo” góc bắt đầu chính xác từ nó.

Nếu bạn thực sự muốn có được một góc dương, bạn cần hoán đổi các đường thẳng, nghĩa là lấy các hệ số từ phương trình thứ hai , và lấy các hệ số từ phương trình đầu tiên. Nói tóm lại, bạn cần bắt đầu bằng cách trực tiếp .

Sự định nghĩa. Nếu cho hai đường thẳng y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 thì góc nhọn giữa các đường thẳng này sẽ được xác định là

Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc nếu k 1 = -1/ k 2.

Định lý. Các đường thẳng Ax + Bу + C = 0 và A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 song song khi các hệ số A 1 = λA, B 1 = λB tỷ lệ thuận. Nếu C 1 = λC thì các đường thẳng trùng nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng được tìm là nghiệm của hệ phương trình của các đường thẳng này.

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước

Vuông góc với một đường thẳng nhất định

Sự định nghĩa.Đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y = kx + b được biểu diễn bằng phương trình:

Khoảng cách từ điểm tới đường

Định lý. Nếu cho điểm M(x 0, y 0) thì khoảng cách đến đường thẳng Ax + Bу + C = 0 được xác định như sau

.

Bằng chứng. Cho điểm M 1 (x 1, y 1) là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm M xuống một đường thẳng cho trước. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và M 1:

(1)

Tọa độ x 1 và y 1 có thể tìm được bằng cách giải hệ phương trình:

Phương trình thứ hai của hệ là phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 0 vuông góc với một đường thẳng cho trước. Nếu biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

thì giải ra ta được:

Thay các biểu thức này vào phương trình (1), chúng ta tìm thấy:

Định lý đã được chứng minh.

Ví dụ. Xác định góc giữa các đường thẳng: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Ví dụ. Chứng minh rằng các đường thẳng 3x – 5y + 7 = 0 và 10x + 6y – 3 = 0 vuông góc.

Giải pháp. Ta tìm được: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, do đó các đường thẳng vuông góc.

Ví dụ. Cho trước các đỉnh của tam giác A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Tìm phương trình đường cao vẽ từ đỉnh C.

Giải pháp. Ta tìm phương trình cạnh AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Phương trình chiều cao cần tìm có dạng: Ax + By + C = 0 hoặc y = kx + b. k = . Khi đó y = . Bởi vì độ cao đi qua điểm C thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình: từ đó b = 17. Tổng cộng: .

Đáp án: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước theo một hướng cho trước. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Góc giữa hai đường thẳng. Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng. Xác định giao điểm của hai đường thẳng

1. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước MỘT(x 1 , y 1) theo một hướng nhất định, được xác định bởi độ dốc k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Phương trình này xác định một bút chì gồm các đường đi qua một điểm MỘT(x 1 , y 1), được gọi là tâm chùm tia.

2. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: MỘT(x 1 , y 1) và B(x 2 , y 2), viết như thế này:

Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước được xác định theo công thức

3. Góc giữa các đường thẳng MỘT Và B là góc mà đường thẳng thứ nhất phải quay MỘT quanh giao điểm của các đường này ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi trùng với đường thứ hai B. Nếu hai đường thẳng được cho bởi phương trình có hệ số góc

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

thì góc giữa chúng được xác định theo công thức

Cần lưu ý rằng trong tử số của phân số, độ dốc của dòng đầu tiên được trừ đi độ dốc của dòng thứ hai.

Nếu phương trình đường thẳng được cho ở dạng tổng quát

MỘT 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

MỘT 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

góc giữa chúng được xác định theo công thức

4. Điều kiện để hai đường thẳng song song:

a) Nếu các đường thẳng được cho bởi phương trình (4) có hệ số góc thì điều kiện cần và đủ để chúng song song là các hệ số góc bằng nhau:

k 1 = k 2 . (8)

b) Đối với trường hợp các đường thẳng được cho bởi phương trình ở dạng tổng quát (6), điều kiện cần và đủ để chúng song song là các hệ số tọa độ dòng điện tương ứng trong phương trình của chúng tỷ lệ thuận, tức là

5. Điều kiện vuông góc của hai đường thẳng:

a) Trong trường hợp khi các đường thẳng được cho bởi phương trình (4) có hệ số góc, điều kiện cần và đủ để chúng vuông góc là hệ số góc của chúng nghịch đảo về độ lớn và ngược dấu, tức là

Điều kiện này cũng có thể được viết dưới dạng

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Nếu phương trình đường thẳng ở dạng tổng quát (6) thì điều kiện vuông góc (cần và đủ) của chúng là thỏa mãn đẳng thức

MỘT 1 MỘT 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng được tìm bằng cách giải hệ phương trình (6). Các đường thẳng (6) cắt nhau khi và chỉ khi

1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M, một đường thẳng song song, một đường thẳng vuông góc với đường thẳng l đã cho.

Góc giữa các đường thẳng trong không gian, chúng ta sẽ gọi bất kỳ góc kề nhau nào được tạo bởi hai đường thẳng vẽ qua một điểm tùy ý song song với dữ liệu.

Cho hai dòng trong không gian:

Rõ ràng, góc φ giữa các đường thẳng có thể coi là góc giữa các vectơ chỉ phương của chúng và . Vì , khi đó sử dụng công thức tính cosin của góc giữa các vectơ ta được

Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng tương đương với điều kiện song song và vuông góc của vectơ chỉ phương của chúng và:

Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỷ lệ thuận, tức là tôi 1 song song tôi 2 khi và chỉ nếu song song .

Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ nếu tổng các tích của các hệ số tương ứng bằng 0: .

bạn mục tiêu giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hãy để nó thẳng thắn d- không vuông góc với mặt phẳng θ;
d`− hình chiếu của một đường thẳng d tới mặt phẳng θ;
Góc nhỏ nhất giữa hai đường thẳng d Và d' chúng tôi sẽ gọi góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Chúng ta hãy ký hiệu nó là φ=( d,θ)
Nếu như d⊥θ, thì ( d,θ)=π/2

ôi→j→k→− hệ tọa độ chữ nhật.
Phương trình mặt phẳng:

θ: Cây rìu+Qua+Cz+D=0

Giả sử đường thẳng được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương: d[M 0,P→]
Vectơ N→(MỘT,B,C)⊥θ
Sau đó, việc còn lại là tìm ra góc giữa các vectơ N→ và P→, chúng ta hãy ký hiệu nó là γ=( N→,P→).

Nếu góc γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Nếu góc là γ>π/2 thì góc mong muốn là φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Sau đó, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có thể được tính bằng công thức:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+Cp 3∣ ∣ √MỘT 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23

Câu hỏi 29. Khái niệm về dạng bậc hai. Dấu hiệu xác định của dạng bậc hai.

Dạng bậc hai j (x 1, x 2, …, x n) n biến thực x 1, x 2, …, x nđược gọi là tổng của dạng
, (1)

Ở đâu một ij – một số số được gọi là hệ số. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng một ij = một ji.

Dạng bậc hai được gọi là có hiệu lực, Nếu như một ij Î GR. Ma trận dạng bậc haiđược gọi là ma trận gồm các hệ số của nó. Dạng bậc hai (1) tương ứng với ma trận đối xứng duy nhất
Đó là A T = A. Do đó, dạng bậc hai (1) có thể được viết dưới dạng ma trận j ( X) = x T Ah, Ở đâu x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Và ngược lại, mọi ma trận đối xứng (2) tương ứng với một dạng bậc hai duy nhất cho đến ký hiệu biến.

Xếp hạng của dạng bậc haiđược gọi là hạng của ma trận của nó. Dạng bậc hai được gọi là không thoái hóa, nếu ma trận của nó không số ít MỘT. (nhớ lại rằng ma trận MỘTđược gọi là không suy biến nếu định thức của nó không bằng 0). Ngược lại, dạng bậc hai bị suy biến.

tích cực nhất định(hoặc hoàn toàn tích cực) nếu

j ( X) > 0 , cho bât ki ai X = (X 1 , X 2 , …, x n), ngoại trừ X = (0, 0, …, 0).

Ma trận MỘT dạng bậc hai xác định dương j ( X) còn được gọi là xác định dương. Do đó, dạng bậc hai xác định dương tương ứng với một ma trận xác định dương duy nhất và ngược lại.

Dạng bậc hai (1) được gọi là được xác định tiêu cực(hoặc hoàn toàn phủ định) nếu

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), ngoại trừ X = (0, 0, …, 0).

Tương tự như trên, ma trận có dạng bậc hai xác định âm còn gọi là ma trận xác định âm.

Do đó, dạng bậc hai xác định dương (âm) j ( X) đạt giá trị tối thiểu (tối đa) j ( X*) = 0 tại X* = (0, 0, …, 0).

Lưu ý rằng hầu hết các dạng bậc hai không xác định bằng dấu, nghĩa là chúng không dương cũng không âm. Các dạng bậc hai như vậy biến mất không chỉ ở gốc tọa độ mà còn ở các điểm khác.

Khi N> 2, cần có tiêu chí đặc biệt để kiểm tra dấu của dạng bậc hai. Hãy nhìn vào chúng.

trẻ vị thành niên chính dạng bậc hai được gọi là trẻ vị thành niên:

nghĩa là đây là những trẻ vị thành niên theo thứ tự 1, 2, ..., N ma trận MỘT, nằm ở góc trên bên trái, số cuối cùng trùng với định thức của ma trận MỘT.

Tiêu chí xác định dương (Tiêu chí Sylvester)

X) = x T Ah là xác định dương, điều cần thiết và đủ là tất cả các cấp số trưởng của ma trận MỘT tích cực, đó là: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Tiêu chí chắc chắn phủ định Để có dạng bậc hai j ( X) = x T Ah là xác định âm, điều cần thiết và đủ là các bậc phụ chính của nó theo thứ tự chẵn là dương và theo thứ tự lẻ - âm, tức là: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N

MỘT. Cho hai đường thẳng.Những đường thẳng này, như đã chỉ ra ở Chương 1, tạo thành các góc dương và âm khác nhau, có thể là nhọn hoặc tù. Biết một trong những góc này, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy bất kỳ góc nào khác.

Nhân tiện, đối với tất cả các góc này, giá trị số của tiếp tuyến là như nhau, sự khác biệt chỉ có thể ở dấu

Phương trình của dòng. Các số là hình chiếu của vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ nhất và thứ hai. Góc giữa các vectơ này bằng một trong các góc tạo bởi đường thẳng. Do đó, vấn đề nằm ở việc xác định góc giữa các vectơ.Chúng ta có

Để đơn giản, chúng ta có thể đồng ý rằng góc giữa hai đường thẳng là một góc nhọn dương (ví dụ như trong Hình 53).

Khi đó tiếp tuyến của góc này sẽ luôn dương. Vì vậy, nếu có dấu trừ ở vế phải của công thức (1), thì chúng ta phải loại bỏ nó, tức là chỉ lưu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ. Xác định góc giữa các đường thẳng

Theo công thức (1) ta có

Với. Nếu nó được chỉ ra cạnh nào của góc là điểm đầu và cạnh nào là điểm cuối của nó, thì luôn đếm hướng của góc ngược chiều kim đồng hồ, chúng ta có thể rút ra thêm điều gì đó từ công thức (1). Như dễ dàng nhận thấy từ Hình. 53, dấu thu được ở vế phải của công thức (1) sẽ cho biết đường thẳng thứ hai tạo thành góc nào - nhọn hay tù - đường thẳng thứ hai tạo thành với đường thẳng thứ nhất.

(Thật vậy, từ Hình 53, chúng ta thấy rằng góc giữa vectơ chỉ phương thứ nhất và vectơ chỉ hướng thứ hai hoặc bằng góc mong muốn giữa các đường thẳng hoặc chênh lệch với nó khoảng ±180°.)

d. Nếu hai đường thẳng song song thì vectơ chỉ phương của chúng song song.Áp dụng điều kiện song song của hai vectơ ta có!

Đây là điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song.

Ví dụ. Trực tiếp

song song vì

đ. Nếu các đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của chúng cũng vuông góc. Áp dụng điều kiện vuông góc của hai vectơ ta thu được điều kiện vuông góc của hai đường thẳng đó là

Ví dụ. Trực tiếp

vuông góc vì thực tế là

Liên quan đến các điều kiện song song và vuông góc, chúng ta sẽ giải quyết hai vấn đề sau.

f. Vẽ đường thẳng đi qua một điểm song song với đường thẳng đã cho

Giải pháp được thực hiện như thế này. Vì đường thẳng mong muốn song song với đường thẳng này, nên đối với vectơ chỉ phương của nó, chúng ta có thể lấy vectơ chỉ phương của nó, tức là vectơ có hình chiếu A và B. Và khi đó phương trình của đường thẳng mong muốn sẽ được viết bằng biểu mẫu (§ 1)

Ví dụ. Phương trình đường thẳng đi qua điểm (1; 3) song song với đường thẳng

sẽ có tiếp theo!

g. Vẽ đường thẳng qua một điểm vuông góc với đường thẳng đã cho

Ở đây không còn phù hợp lấy vectơ có hình chiếu A làm vectơ dẫn hướng mà phải lấy vectơ vuông góc với nó. Do đó, hình chiếu của vectơ này phải được chọn theo điều kiện vuông góc của cả hai vectơ, tức là theo điều kiện

Điều kiện này có thể được thỏa mãn theo vô số cách, vì đây là một phương trình có hai ẩn số. Nhưng cách dễ nhất là lấy hoặc Khi đó phương trình của đường thẳng mong muốn sẽ được viết dưới dạng

Ví dụ. Phương trình đường thẳng đi qua điểm (-7; 2) vuông góc

sẽ có kết quả sau (theo công thức thứ hai)!

h. Trong trường hợp các đường thẳng được cho bởi phương trình có dạng

Hướng dẫn

ghi chú

Chu kỳ của hàm tiếp tuyến lượng giác bằng 180 độ, có nghĩa là góc dốc của đường thẳng không thể vượt quá giá trị tuyệt đối về giá trị này.

Lời khuyên hữu ích

Nếu các hệ số góc bằng nhau thì góc giữa các đường thẳng đó bằng 0, vì các đường thẳng đó trùng nhau hoặc song song.

Để xác định giá trị góc giữa các đường thẳng giao nhau, cần di chuyển cả hai đường thẳng (hoặc một trong hai đường thẳng) đến vị trí mới bằng phương pháp dịch song song cho đến khi chúng cắt nhau. Sau đó, bạn sẽ tìm góc giữa các đường giao nhau thu được.

Bạn sẽ cần

• Thước kẻ, tam giác vuông, bút chì, thước đo góc.

Hướng dẫn

Vì vậy, cho vectơ V = (a, b, c) và mặt phẳng A x + B y + C z = 0, trong đó A, B và C là tọa độ của pháp tuyến N. Khi đó cosin của góc α giữa các vectơ V và N bằng: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a2 + b2 + c 2) √(A 2 + B 2 + C 2)).

Để tính góc theo độ hoặc radian, bạn cần tính nghịch đảo của hàm cosin từ biểu thức kết quả, tức là arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a2 + b2 + c2) √(A 2 + B 2 + C 2))).

Ví dụ: tìm góc giữa vectơ(5, -3, 8) và máy bay, cho bởi phương trình tổng quát 2 x – 5 y + 3 z = 0. Giải: Viết tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng N = (2, -5, 3). Thay thế tất cả các giá trị đã biết vào công thức đã cho: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video về chủ đề

Đường thẳng có một điểm chung với đường tròn thì tiếp xúc với đường tròn. Một đặc điểm nữa của tiếp tuyến là luôn vuông góc với bán kính vẽ tới điểm tiếp xúc, tức là tiếp tuyến và bán kính tạo thành một đường thẳng góc. Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn AB và AC cùng xuất phát từ một điểm A thì chúng luôn bằng nhau. Xác định góc giữa các tiếp tuyến ( góc ABC) được thực hiện bằng định lý Pythagore.

Hướng dẫn

Để xác định góc, bạn cần biết bán kính của đường tròn OB và OS và khoảng cách từ điểm bắt đầu của tiếp tuyến đến tâm đường tròn - O. Vậy hai góc ABO và ACO bằng nhau, bán kính OB là: ví dụ 10 cm, khoảng cách đến tâm đường tròn AO là 15 cm, xác định độ dài tiếp tuyến bằng công thức theo định lý Pytago: AB = căn bậc hai của AO2 – OB2 hoặc 152 - 102 = 225 – 100 = 125;