Tìm công thức góc giữa các đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng
MỘT. Cho hai đường thẳng.Những đường thẳng này, như đã chỉ ra ở Chương 1, tạo thành các góc dương và góc âm khác nhau, có thể là nhọn hoặc tù. Biết một trong những góc này, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy bất kỳ góc nào khác.
Nhân tiện, đối với tất cả các góc này, giá trị số của tiếp tuyến là như nhau, sự khác biệt chỉ có thể ở dấu
Phương trình của dòng. Các số là hình chiếu của vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ nhất và thứ hai. Góc giữa các vectơ này bằng một trong các góc tạo bởi đường thẳng. Do đó, vấn đề nằm ở việc xác định góc giữa các vectơ.Chúng ta có
Để đơn giản, chúng ta có thể đồng ý rằng góc giữa hai đường thẳng là một góc nhọn dương (ví dụ như trong Hình 53).
Khi đó tiếp tuyến của góc này sẽ luôn dương. Vì vậy, nếu có dấu trừ ở vế phải của công thức (1), thì chúng ta phải loại bỏ nó, tức là chỉ lưu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ. Xác định góc giữa các đường thẳng
Theo công thức (1) ta có
Với. Nếu nó được chỉ ra cạnh nào của góc là điểm đầu và cạnh nào là điểm cuối của nó, thì bằng cách luôn đếm hướng của góc ngược chiều kim đồng hồ, chúng ta có thể rút ra thêm điều gì đó từ công thức (1). Như dễ dàng nhận thấy từ Hình. 53, dấu thu được ở vế phải của công thức (1) sẽ cho biết đường thẳng thứ hai tạo thành góc nào - nhọn hay tù - đường thẳng thứ hai tạo thành với đường thẳng thứ nhất.
(Thật vậy, từ Hình 53, chúng ta thấy rằng góc giữa vectơ chỉ phương thứ nhất và vectơ chỉ hướng thứ hai hoặc bằng góc mong muốn giữa các đường thẳng hoặc chênh lệch với nó khoảng ±180°.)
d. Nếu hai đường thẳng song song thì vectơ chỉ phương của chúng song song.Áp dụng điều kiện song song của hai vectơ ta có!
Đây là điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song.
Ví dụ. Trực tiếp
song song vì
đ. Nếu các đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của chúng cũng vuông góc. Áp dụng điều kiện vuông góc của hai vectơ ta thu được điều kiện vuông góc của hai đường thẳng đó là
Ví dụ. Trực tiếp
vuông góc vì thực tế là
Liên quan đến các điều kiện song song và vuông góc, chúng ta sẽ giải quyết hai vấn đề sau.
f. Vẽ đường thẳng đi qua một điểm song song với đường thẳng đã cho
Giải pháp được thực hiện như thế này. Vì đường thẳng mong muốn song song với đường thẳng này, nên đối với vectơ chỉ phương của nó, chúng ta có thể lấy vectơ chỉ phương của nó, tức là vectơ có hình chiếu A và B. Và khi đó phương trình của đường thẳng mong muốn sẽ được viết bằng biểu mẫu (§ 1)
Ví dụ. Phương trình đường thẳng đi qua điểm (1; 3) song song với đường thẳng
sẽ có tiếp theo!
g. Vẽ đường thẳng qua một điểm vuông góc với đường thẳng đã cho
Ở đây không còn phù hợp lấy vectơ có hình chiếu A làm vectơ dẫn hướng mà phải lấy vectơ vuông góc với nó. Do đó, hình chiếu của vectơ này phải được chọn theo điều kiện vuông góc của cả hai vectơ, tức là theo điều kiện
Điều kiện này có thể được thỏa mãn theo vô số cách, vì đây là một phương trình có hai ẩn số. Nhưng cách dễ nhất là lấy hoặc Khi đó phương trình của đường thẳng mong muốn sẽ được viết dưới dạng
Ví dụ. Phương trình đường thẳng đi qua điểm (-7; 2) vuông góc
sẽ có kết quả sau (theo công thức thứ hai)!
h. Trong trường hợp các đường thẳng được cho bởi phương trình có dạng
Hướng dẫn
ghi chú
Chu kỳ của hàm tiếp tuyến lượng giác bằng 180 độ, có nghĩa là góc dốc của đường thẳng không thể vượt quá giá trị tuyệt đối về giá trị này.
Lời khuyên hữu ích
Nếu các hệ số góc bằng nhau thì góc giữa các đường thẳng đó bằng 0, vì các đường thẳng đó trùng nhau hoặc song song.
Để xác định giá trị góc giữa các đường thẳng giao nhau, cần di chuyển cả hai đường thẳng (hoặc một trong số chúng) đến vị trí mới bằng phương pháp dịch song song cho đến khi chúng cắt nhau. Sau đó, bạn sẽ tìm góc giữa các đường giao nhau thu được.
Bạn sẽ cần
- Thước kẻ, tam giác vuông, bút chì, thước đo góc.
Hướng dẫn
Vì vậy, cho vectơ V = (a, b, c) và mặt phẳng A x + B y + C z = 0, trong đó A, B và C là tọa độ của pháp tuyến N. Khi đó cosin của góc α giữa các vectơ V và N bằng: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a2 + b2 + c 2) √(A 2 + B 2 + C 2)).
Để tính góc theo độ hoặc radian, bạn cần tính nghịch đảo của hàm cosin từ biểu thức kết quả, tức là arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a2 + b2 + c2) √(A 2 + B 2 + C 2))).
Ví dụ: tìm góc giữa vectơ(5, -3, 8) và máy bay, cho bởi phương trình tổng quát 2 x – 5 y + 3 z = 0. Giải: Viết tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng N = (2, -5, 3). Thay thế tất cả các giá trị đã biết vào công thức đã cho: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Video về chủ đề
Đường thẳng có một điểm chung với đường tròn thì tiếp xúc với đường tròn. Một đặc điểm nữa của tiếp tuyến là luôn vuông góc với bán kính vẽ tới điểm tiếp xúc, tức là tiếp tuyến và bán kính tạo thành một đường thẳng góc. Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn AB và AC cùng xuất phát từ một điểm A thì chúng luôn bằng nhau. Xác định góc giữa các tiếp tuyến ( góc ABC) được thực hiện bằng định lý Pythagore.
Hướng dẫn
Để xác định góc, bạn cần biết bán kính của đường tròn OB và OS và khoảng cách từ điểm bắt đầu của tiếp tuyến đến tâm đường tròn - O. Vậy hai góc ABO và ACO bằng nhau, bán kính OB là: ví dụ 10 cm, khoảng cách đến tâm đường tròn AO là 15 cm, xác định độ dài tiếp tuyến bằng công thức theo định lý Pytago: AB = căn bậc hai của AO2 – OB2 hoặc 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
Tôi sẽ nói ngắn gọn. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng. Do đó, nếu bạn tìm được tọa độ của các vectơ chỉ phương a = (x 1 ; y 1 ; z 1) và b = (x 2 ; y 2 ; z 2), thì bạn có thể tìm được góc. Chính xác hơn là cosin của góc theo công thức:
Hãy xem công thức này hoạt động như thế nào bằng các ví dụ cụ thể:
Nhiệm vụ. Trong khối lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, các điểm E và F lần lượt được đánh dấu - trung điểm của các cạnh A 1 B 1 và B 1 C 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng AE và BF.
Vì cạnh của hình lập phương không được xác định nên ta đặt AB = 1. Chúng tôi giới thiệu một hệ tọa độ chuẩn: gốc tọa độ tại điểm A, các trục x, y, z lần lượt hướng dọc theo AB, AD và AA 1. Đoạn đơn vị có AB = 1. Bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ các vectơ chỉ phương của đường thẳng của chúng ta.
Hãy tìm tọa độ của vectơ AE. Để làm được điều này, chúng ta cần các điểm A = (0; 0; 0) và E = (0,5; 0; 1). Vì điểm E là điểm giữa của đoạn A 1 B 1 nên tọa độ của nó bằng trung bình số học của tọa độ các đầu. Lưu ý rằng gốc của vectơ AE trùng với gốc tọa độ nên AE = (0,5; 0; 1).
Bây giờ hãy nhìn vào vectơ BF. Tương tự, ta phân tích các điểm B = (1; 0; 0) và F = (1; 0,5; 1), vì F là điểm giữa của đoạn B 1 C 1. Chúng ta có:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).
Vì vậy, các vectơ chỉ hướng đã sẵn sàng. Cosin của góc giữa các đường thẳng bằng cosin của góc giữa các vectơ chỉ phương nên ta có:
Nhiệm vụ. Trong lăng trụ tam giác đều ABCA 1 B 1 C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, đánh dấu các điểm D và E - trung điểm của các cạnh A 1 B 1 và B 1 C 1, tương ứng. Tìm góc giữa hai đường thẳng AD và BE.
Hãy giới thiệu hệ tọa độ chuẩn: gốc tọa độ tại điểm A, trục x hướng dọc theo AB, z - dọc theo AA 1. Hãy hướng trục y sao cho mặt phẳng OXY trùng với mặt phẳng ABC. Đoạn thẳng đơn vị có AB = 1. Hãy tìm tọa độ các vectơ chỉ phương của các đoạn thẳng cần tìm.
Đầu tiên hãy tìm tọa độ của vectơ AD. Xét các điểm: A = (0; 0; 0) và D = (0,5; 0; 1), vì D - giữa đoạn A 1 B 1. Vì phần đầu của vectơ AD trùng với gốc tọa độ nên ta thu được AD = (0,5; 0; 1).
Bây giờ hãy tìm tọa độ của vectơ BE. Điểm B = (1; 0; 0) dễ tính. Với điểm E - giữa đoạn C 1 B 1 - thì phức tạp hơn một chút. Chúng ta có:
Vẫn còn phải tìm cosin của góc:
Nhiệm vụ. Trong lăng trụ lục giác đều ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , tất cả các cạnh đều bằng 1, các điểm K và L được đánh dấu - trung điểm của các cạnh A 1 B 1 và B 1 C 1, tương ứng . Tìm góc giữa hai đường thẳng AK và BL.
Hãy giới thiệu hệ tọa độ chuẩn cho lăng kính: đặt gốc tọa độ tại tâm của đáy dưới, trục x hướng dọc theo FC, trục y hướng qua trung điểm của các đoạn AB và DE, và z hướng trục hướng thẳng đứng lên trên. Đoạn đơn vị lại bằng AB = 1. Hãy viết tọa độ của các điểm mà chúng ta quan tâm:
Điểm K và L lần lượt là trung điểm của các đoạn A 1 B 1 và B 1 C 1 nên tọa độ của chúng được tìm thông qua trung bình số học. Biết các điểm ta tìm được tọa độ của các vectơ chỉ phương AK và BL:
Bây giờ hãy tìm cosin của góc:
Nhiệm vụ. Trong hình chóp tứ giác đều SABCD, tất cả các cạnh đều bằng 1, đánh dấu các điểm E và F - trung điểm của các cạnh SB và SC. Tìm góc giữa hai đường thẳng AE và BF.
Hãy giới thiệu một hệ tọa độ chuẩn: gốc tọa độ tại điểm A, trục x và y lần lượt hướng dọc theo AB và AD và trục z hướng thẳng đứng lên trên. Đoạn thẳng đơn vị có AB = 1.
Điểm E và F lần lượt là trung điểm của các đoạn SB và SC, do đó tọa độ của chúng được tìm là trung bình số học của các đầu. Hãy viết ra tọa độ của các điểm mà chúng tôi quan tâm:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Biết các điểm ta tìm được tọa độ của các vectơ chỉ phương AE và BF:
Tọa độ của vectơ AE trùng với tọa độ của điểm E, vì điểm A là gốc tọa độ. Vẫn còn phải tìm cosin của góc:
Sự định nghĩa. Nếu cho hai đường thẳng y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 thì góc nhọn giữa các đường thẳng này sẽ được xác định là
Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc nếu k 1 = -1/ k 2.
Định lý. Các đường thẳng Ax + Bу + C = 0 và A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 song song khi các hệ số A 1 = λA, B 1 = λB tỷ lệ thuận. Nếu C 1 = λC thì các đường thẳng trùng nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng được coi là nghiệm của hệ phương trình của các đường thẳng này.
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước
Vuông góc với một đường thẳng nhất định
Sự định nghĩa.Đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y = kx + b được biểu diễn bằng phương trình:
Khoảng cách từ điểm tới đường
Định lý. Nếu cho điểm M(x 0, y 0) thì khoảng cách đến đường thẳng Ax + Bу + C = 0 được xác định như sau
.
Bằng chứng. Cho điểm M 1 (x 1, y 1) là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm M xuống một đường thẳng cho trước. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và M 1:
(1)
Tọa độ x 1 và y 1 có thể tìm được bằng cách giải hệ phương trình:
Phương trình thứ hai của hệ là phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 0 vuông góc với một đường thẳng cho trước. Nếu biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
thì giải ra ta được:
Thay các biểu thức này vào phương trình (1), chúng ta tìm thấy:
Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ. Xác định góc giữa các đường thẳng: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Ví dụ. Chứng minh rằng các đường thẳng 3x – 5y + 7 = 0 và 10x + 6y – 3 = 0 vuông góc.
Giải pháp. Ta tìm được: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, do đó các đường thẳng vuông góc.
Ví dụ. Cho trước các đỉnh của tam giác A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Tìm phương trình đường cao vẽ từ đỉnh C.
Giải pháp. Ta tìm phương trình cạnh AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Phương trình chiều cao cần tìm có dạng: Ax + By + C = 0 hoặc y = kx + b. k = . Khi đó y = . Bởi vì độ cao đi qua điểm C thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình: 
từ đó b = 17. Tổng cộng: . 
Đáp án: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước theo một hướng cho trước. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Góc giữa hai đường thẳng. Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng. Xác định giao điểm của hai đường thẳng
1. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước MỘT(x 1 , y 1) theo một hướng nhất định, được xác định bởi độ dốc k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Phương trình này xác định một bút chì gồm các đường đi qua một điểm MỘT(x 1 , y 1), được gọi là tâm chùm tia.
2. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: MỘT(x 1 , y 1) và B(x 2 , y 2), viết như thế này:
Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước được xác định theo công thức
3. Góc giữa các đường thẳng MỘT Và B là góc mà đường thẳng thứ nhất phải quay MỘT quanh giao điểm của các đường này ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi trùng với đường thứ hai B. Nếu hai đường thẳng được cho bởi phương trình có hệ số góc
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
thì góc giữa chúng được xác định theo công thức
Cần lưu ý rằng trong tử số của phân số, độ dốc của dòng đầu tiên được trừ đi độ dốc của dòng thứ hai.
Nếu phương trình đường thẳng được cho ở dạng tổng quát
MỘT 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
MỘT 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
góc giữa chúng được xác định theo công thức
4. Điều kiện để hai đường thẳng song song:
a) Nếu các đường thẳng được cho bởi phương trình (4) có hệ số góc thì điều kiện cần và đủ để chúng song song là các hệ số góc bằng nhau:
k 1 = k 2 . (8)
b) Đối với trường hợp các đường thẳng được cho bởi phương trình ở dạng tổng quát (6), điều kiện cần và đủ để chúng song song là các hệ số tọa độ dòng điện tương ứng trong phương trình của chúng tỷ lệ thuận, tức là
5. Điều kiện vuông góc của hai đường thẳng:
a) Trong trường hợp khi các đường thẳng được cho bởi phương trình (4) có hệ số góc, điều kiện cần và đủ để chúng vuông góc là hệ số góc của chúng nghịch đảo về độ lớn và ngược dấu, tức là
Điều kiện này cũng có thể được viết dưới dạng
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Nếu phương trình đường thẳng ở dạng tổng quát (6) thì điều kiện vuông góc (cần và đủ) của chúng là thỏa mãn đẳng thức
MỘT 1 MỘT 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng được tìm bằng cách giải hệ phương trình (6). Các đường thẳng (6) cắt nhau khi và chỉ khi
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M, một đường thẳng song song, một đường thẳng vuông góc với đường thẳng l đã cho.
Góc giữa các đường thẳng trong không gian, chúng ta sẽ gọi bất kỳ góc kề nhau nào được tạo bởi hai đường thẳng vẽ qua một điểm tùy ý song song với dữ liệu.
Cho hai dòng trong không gian:
Rõ ràng, góc φ giữa các đường thẳng có thể coi là góc giữa các vectơ chỉ phương của chúng và . Vì , khi đó sử dụng công thức tính cosin của góc giữa các vectơ ta được
Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng tương đương với điều kiện song song và vuông góc của vectơ chỉ phương của chúng và:
Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỷ lệ thuận, tức là tôi 1 song song tôi 2 khi và chỉ khi song song 
.
Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ nếu tổng các tích của các hệ số tương ứng bằng 0: .
bạn mục tiêu giữa đường thẳng và mặt phẳng
Hãy để nó thẳng thắn d- không vuông góc với mặt phẳng θ;
d`− hình chiếu của một đường thẳng d tới mặt phẳng θ;
Góc nhỏ nhất giữa hai đường thẳng d Và d' chúng tôi sẽ gọi góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Chúng ta hãy ký hiệu nó là φ=( d,θ)
Nếu như d⊥θ, thì ( d,θ)=π/2
ôi→j→k→− hệ tọa độ chữ nhật.
Phương trình mặt phẳng:
θ: Cây rìu+Qua+Cz+D=0
Giả sử đường thẳng được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương: d[M 0,P→]
Vectơ N→(MỘT,B,C)⊥θ
Sau đó, việc còn lại là tìm ra góc giữa các vectơ N→ và P→, chúng ta hãy ký hiệu nó là γ=( N→,P→).
Nếu góc γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Nếu góc là γ>π/2 thì góc mong muốn là φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Sau đó, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có thể được tính bằng công thức:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+Cp 3∣ ∣ √MỘT 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23
Câu hỏi 29. Khái niệm về dạng bậc hai. Dấu hiệu xác định của dạng bậc hai.
Dạng bậc hai j (x 1, x 2, …, x n) n biến thực x 1, x 2, …, x nđược gọi là tổng của dạng 
, (1)
Ở đâu một ij – một số số được gọi là hệ số. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng một ij = một ji.
Dạng bậc hai được gọi là có hiệu lực, Nếu như một ij
Î GR. Ma trận dạng bậc haiđược gọi là ma trận gồm các hệ số của nó. Dạng bậc hai (1) tương ứng với ma trận đối xứng duy nhất 
Đó là A T = A. Do đó, dạng bậc hai (1) có thể được viết dưới dạng ma trận j ( X) = x T Ah, Ở đâu x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Và ngược lại, mọi ma trận đối xứng (2) tương ứng với một dạng bậc hai duy nhất cho đến ký hiệu biến.
Xếp hạng của dạng bậc haiđược gọi là hạng của ma trận của nó. Dạng bậc hai được gọi là không thoái hóa, nếu ma trận của nó không số ít MỘT. (nhớ lại rằng ma trận MỘTđược gọi là không suy biến nếu định thức của nó không bằng 0). Ngược lại, dạng bậc hai bị suy biến.
tích cực nhất định(hoặc hoàn toàn tích cực) nếu
j ( X) > 0 , cho bât ki ai X = (X 1 , X 2 , …, x n), ngoại trừ X = (0, 0, …, 0).
Ma trận MỘT dạng bậc hai xác định dương j ( X) còn được gọi là xác định dương. Do đó, dạng bậc hai xác định dương tương ứng với một ma trận xác định dương duy nhất và ngược lại.
Dạng bậc hai (1) được gọi là được xác định tiêu cực(hoặc hoàn toàn phủ định) nếu
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), ngoại trừ X = (0, 0, …, 0).
Tương tự như trên, ma trận có dạng bậc hai xác định âm còn gọi là ma trận xác định âm.
Do đó, dạng bậc hai xác định dương (âm) j ( X) đạt giá trị tối thiểu (tối đa) j ( X*) = 0 tại X* = (0, 0, …, 0).
Lưu ý rằng hầu hết các dạng bậc hai không xác định bằng dấu, nghĩa là chúng không dương cũng không âm. Các dạng bậc hai như vậy biến mất không chỉ ở gốc tọa độ mà còn ở các điểm khác.
Khi N> 2, cần có tiêu chí đặc biệt để kiểm tra dấu của dạng bậc hai. Hãy nhìn vào chúng.
trẻ vị thành niên chính dạng bậc hai được gọi là trẻ vị thành niên:
nghĩa là đây là những trẻ vị thành niên theo thứ tự 1, 2, ..., N ma trận MỘT, nằm ở góc trên bên trái, số cuối cùng trùng với định thức của ma trận MỘT.
Tiêu chí xác định dương (Tiêu chí Sylvester)
X) = x T Ah là xác định dương, điều cần thiết và đủ là tất cả các cấp số trưởng của ma trận MỘT tích cực, đó là: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Tiêu chí chắc chắn phủ định Để có dạng bậc hai j ( X) = x T Ah là xác định âm, điều cần thiết và đủ là các bậc phụ chính của nó theo thứ tự chẵn là dương và theo thứ tự lẻ - âm, tức là: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N