Thể tích của hình giới hạn bởi đường thẳng. Tính thể tích của vật quay bằng tích phân xác định

Loại bài học: kết hợp.

Mục đích của bài học: học cách tính thể tích các vật quay bằng cách sử dụng tích phân.

Nhiệm vụ:

củng cố khả năng nhận biết các hình thang cong từ một số hình hình học và phát triển kỹ năng tính diện tích các hình thang cong;
làm quen với khái niệm hình ba chiều;
học cách tính thể tích của các vật quay;
thúc đẩy sự phát triển tư duy logic, khả năng diễn đạt toán học thành thạo, tính chính xác khi xây dựng bản vẽ;
nuôi dưỡng niềm yêu thích với môn học, vận hành với các khái niệm và hình ảnh toán học, trau dồi ý chí, tính độc lập và sự kiên trì để đạt được kết quả cuối cùng.

Trong các lớp học

I. Thời điểm tổ chức.

Lời chào từ nhóm. Truyền đạt mục tiêu bài học cho học sinh.

Sự phản xạ. Giai điệu êm đềm.

– Tôi xin bắt đầu bài học hôm nay bằng một câu chuyện ngụ ngôn. “Ngày xửa ngày xưa có một người thông thái, người biết tất cả mọi thứ. Một người đàn ông muốn chứng minh rằng nhà hiền triết không biết tất cả mọi thứ. Cầm một con bướm trên tay, anh hỏi: “Hãy nói cho tôi biết, nhà hiền triết, con bướm nào đang ở trong tay tôi: sống hay chết?” Và chính anh ta nghĩ: “Nếu người sống nói, tôi sẽ giết cô ấy, người chết sẽ nói, tôi sẽ thả cô ấy ra”. Nhà hiền triết sau khi suy nghĩ đã trả lời: "Tất cả nằm trong tay bạn". (Bài thuyết trình.Cầu trượt)

– Vì vậy, hôm nay chúng ta hãy làm việc hiệu quả, tiếp thu một kho kiến thức mới và áp dụng những kỹ năng, năng lực đã học được vào cuộc sống tương lai và vào hoạt động thực tế. "Tất cả nằm trong tay bạn".

II. Lặp lại các tài liệu đã học trước đó.

– Hãy nhớ lại những điểm chính của tài liệu đã học trước đó. Để làm được điều này, hãy hoàn thành nhiệm vụ “Loại bỏ từ thừa.”(Cầu trượt.)

(Học sinh vào I.D. dùng tẩy để xóa chữ thừa.)

- Phải "Khác biệt". Cố gắng gọi tên các từ còn lại bằng một từ thông dụng. (Tích phân tích.)

– Hãy nhớ lại các giai đoạn và khái niệm chính liên quan đến phép tính tích phân..

“Nhóm toán học”.

Bài tập. Khôi phục những khoảng trống. (Học sinh bước ra và dùng bút viết những từ cần thiết.)

– Chúng ta sẽ nghe phần tóm tắt về ứng dụng của tích phân sau.

Làm việc trong sổ ghi chép.

– Công thức Newton-Leibniz được đưa ra bởi nhà vật lý người Anh Isaac Newton (1643–1727) và nhà triết học người Đức Gottfried Leibniz (1646–1716). Và điều này không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì toán học là ngôn ngữ của tự nhiên.

– Hãy xem xét cách sử dụng công thức này để giải quyết các vấn đề thực tế.

Ví dụ 1: Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng

Lời giải: Xây dựng đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ . Hãy chọn diện tích của hình cần tìm.

III. Học tài liệu mới.

– Hãy chú ý đến màn hình. Những gì được thể hiện trong hình ảnh đầu tiên? (Cầu trượt) (Hình vẽ cho thấy một hình phẳng.)

- Bức tranh thứ hai thể hiện điều gì? Hình này có phẳng không? (Cầu trượt) (Hình vẽ thể hiện hình ba chiều.)

– Trong không gian, trên trái đất và trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta không chỉ gặp những hình phẳng mà còn cả những hình ba chiều, mà làm thế nào chúng ta có thể tính được thể tích của những vật thể đó? Ví dụ: thể tích của một hành tinh, sao chổi, thiên thạch, v.v.

– Người ta nghĩ đến thể tích cả khi xây nhà và khi đổ nước từ bình này sang bình khác. Các quy tắc và kỹ thuật tính khối lượng phải xuất hiện; chúng chính xác và hợp lý đến mức nào lại là một vấn đề khác.

Tin nhắn từ một học viên. (Tyurina Vera.)

Năm 1612 rất có kết quả đối với cư dân thành phố Linz của Áo, nơi nhà thiên văn học nổi tiếng Johannes Kepler sống, đặc biệt là đối với nho. Mọi người đang chuẩn bị thùng rượu và muốn biết cách xác định khối lượng của chúng một cách thực tế. (Trang trình bày 2)

– Như vậy, những công trình được coi là của Kepler đã đặt nền móng cho cả một dòng nghiên cứu mà đỉnh cao là vào một phần tư cuối thế kỷ 17. thiết kế trong các tác phẩm của I. Newton và G.V. Leibniz về phép tính vi phân và tích phân. Từ đó trở đi, toán học biến số chiếm vị trí hàng đầu trong hệ thống tri thức toán học.

– Hôm nay bạn và tôi sẽ tham gia vào những hoạt động thiết thực như vậy, vì vậy,

Chủ đề của bài học của chúng ta: “Tính thể tích của vật quay bằng tích phân xác định”. (Cầu trượt)

– Bạn sẽ tìm hiểu định nghĩa về vật quay bằng cách hoàn thành nhiệm vụ sau.

"Mê cung".

Mê cung (từ tiếng Hy Lạp) có nghĩa là đi dưới lòng đất. Mê cung là một mạng lưới phức tạp gồm các lối đi, lối đi và các phòng thông nhau.

Nhưng định nghĩa này đã “bị hỏng”, để lại những gợi ý dưới dạng mũi tên.

Bài tập. Tìm cách thoát khỏi tình huống khó hiểu và viết ra định nghĩa.

Cầu trượt. “Hướng dẫn bản đồ” Tính toán khối lượng.

Sử dụng tích phân xác định, bạn có thể tính thể tích của một vật thể cụ thể, đặc biệt là vật thể xoay.

Vật thể xoay là vật thể thu được bằng cách quay một hình thang cong quanh đáy của nó (Hình 1, 2)

Thể tích của vật quay được tính bằng một trong các công thức:

1. quanh trục OX.

2. , nếu phép quay của một hình thang cong quanh trục của op-amp.

Mỗi học sinh nhận được một thẻ hướng dẫn. Giáo viên nhấn mạnh những điểm chính.

– Giáo viên giải thích cách giải các ví dụ trên bảng.

Chúng ta hãy xem xét một đoạn trích từ câu chuyện cổ tích nổi tiếng của A. S. Pushkin “Câu chuyện về Sa hoàng Saltan, về người con vinh quang và dũng mãnh của ông, Hoàng tử Guidon Saltanovich và về Công chúa Thiên nga xinh đẹp” (Trang trình bày 4):

…..
Và người sứ giả say rượu đã mang đến
Trong cùng ngày, thứ tự như sau:
“Nhà vua ra lệnh cho các chàng trai của mình,
Không lãng phí thời gian,
Và nữ hoàng và con cháu
Bí mật ném xuống vực nước.”
Không có gì để làm: boyars,
Lo lắng về chủ quyền
Và gửi đến nữ hoàng trẻ tuổi,
Một đám đông kéo đến phòng ngủ của cô.
Họ tuyên bố ý muốn của nhà vua -
Cô và con trai cô có một phần tội lỗi,
Chúng tôi đọc to sắc lệnh,
Và nữ hoàng vào cùng một giờ
Họ bỏ tôi vào thùng cùng với con trai tôi,
Họ bôi hắc ín và lái đi
Và họ cho tôi vào okiyan -
Đây là những gì Sa hoàng Saltan đã ra lệnh.

Thể tích của thùng phải là bao nhiêu để hoàng hậu và con trai bà có thể nhét vừa vào đó?

- Xét các nhiệm vụ sau

1. Tìm thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành của một hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Đáp án: 1163 cm 3 .

Tìm thể tích của vật thu được khi quay hình thang parabol quanh trục hoành y = , x = 4, y = 0.

IV. Tổng hợp vật liệu mới

Ví dụ 2. Tính thể tích của vật thể tạo thành khi cánh hoa quay quanh trục x y = x 2 , y 2 = x.

Hãy xây dựng đồ thị của hàm số. y = x 2 , y 2 = x. Lịch trình y2 = x chuyển đổi sang dạng y= .

Chúng ta có V = V 1 – V 2 Hãy tính khối lượng của từng hàm

– Bây giờ, chúng ta hãy nhìn vào tòa tháp của đài phát thanh Moscow trên Shabolovka, được xây dựng theo thiết kế của kỹ sư nổi tiếng người Nga, viện sĩ danh dự V. G. Shukhov. Nó bao gồm các bộ phận - hyperboloid quay. Hơn nữa, mỗi cái đều được làm bằng các thanh kim loại thẳng nối các vòng tròn liền kề (Hình 8, 9).

- Hãy xem xét vấn đề.

Tìm thể tích của vật thu được khi quay cung hyperbol quanh trục ảo của nó như hình vẽ. 8, ở đâu

khối lập phương các đơn vị

Bài tập nhóm. Học sinh bốc thăm với nhiệm vụ, vẽ hình trên giấy whatman và một đại diện của nhóm bảo vệ tác phẩm.

Nhóm thứ nhất.

Đánh! Đánh! Một đòn nữa!
Bóng bay vào khung thành - BÓNG!
Và đây là quả dưa hấu
Màu xanh, tròn, ngon.
Hãy nhìn kỹ hơn - thật là một quả bóng!
Nó không được tạo thành gì ngoài những vòng tròn.
Cắt dưa hấu thành hình tròn
Và nếm thử chúng.

Tìm thể tích của vật thu được khi quay quanh trục OX của hàm số giới hạn

Lỗi! Dấu trang không được xác định.

– Xin vui lòng cho tôi biết chúng ta gặp nhân vật này ở đâu?

Căn nhà. nhiệm vụ cho 1 nhóm HÌNH TRỤ (cầu trượt) .

"Xi lanh - nó là gì?" – Tôi hỏi bố.
Ông bố cười: Mũ chóp là mũ.
Để có một ý tưởng đúng đắn,
Giả sử hình trụ là một hộp thiếc.
Ống nồi hơi - xi lanh,
Đường ống trên mái nhà của chúng tôi cũng vậy,

Tất cả các đường ống đều tương tự như một hình trụ.
Và tôi đã đưa ra một ví dụ như thế này -
Kính vạn hoa yêu quý của tôi,
Bạn không thể rời mắt khỏi anh ấy,
Và nó cũng trông giống như một hình trụ.

- Bài tập. Bài tập về nhà: Vẽ đồ thị hàm số và tính thể tích.

Nhóm thứ 2. hình nón (cầu trượt).

Mẹ nói: Và bây giờ
Câu chuyện của tôi sẽ là về hình nón.
Stargazer đội mũ cao
Đếm sao quanh năm.
CONE - mũ ngắm sao.
Tính cách của anh ấy là như vậy. Hiểu? Đó là nó.
Mẹ đang đứng ở bàn,
Tôi đổ dầu vào chai.
- Phễu ở đâu? Không có phễu.
Tìm nó. Đừng đứng bên lề.
- Mẹ, con sẽ không nhúc nhích.
Hãy cho chúng tôi biết thêm về hình nón.
– Phễu có dạng hình nón tưới nước.
Hãy nhanh chóng tìm cô ấy cho tôi.
Tôi không thể tìm thấy cái phễu
Nhưng mẹ đã làm một cái túi,
Tôi quấn tấm bìa cứng quanh ngón tay mình
Và cô đã khéo léo cố định nó bằng một chiếc kẹp giấy.
Dầu chảy, mẹ vui,
Hình nón xuất hiện vừa phải.

Bài tập. Tính thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành

Căn nhà. nhiệm vụ của nhóm thứ 2 KIM TỰ THÁP(cầu trượt).

Tôi đã nhìn thấy bức tranh. Trong bức ảnh này
Có một PYRAMID trên sa mạc đầy cát.
Mọi thứ trong kim tự tháp đều phi thường,
Có một số loại bí ẩn và bí ẩn trong đó.
Và Tháp Spasskaya trên Quảng trường Đỏ
Nó rất quen thuộc với cả trẻ em và người lớn.
Nếu bạn nhìn vào tòa tháp, nó trông bình thường,
Trên đó có gì thế? Kim tự tháp!

Bài tập. Bài tập về nhà: Vẽ đồ thị hàm số và tính thể tích hình chóp

– Chúng ta tính thể tích của các vật thể khác nhau dựa trên công thức cơ bản tính thể tích các vật thể bằng cách sử dụng tích phân.

Đây là một sự xác nhận khác rằng tích phân xác định là nền tảng nào đó cho việc nghiên cứu toán học.

- Bây giờ chúng ta hãy nghỉ ngơi một chút.

Tìm một cặp.

Giai điệu domino toán học vang lên.

“Con đường mà tôi đang tìm kiếm sẽ không bao giờ bị lãng quên…”

Công việc nghiên cứu. Ứng dụng tích phân trong kinh tế và công nghệ.

Bài kiểm tra học sinh giỏi và bóng đá toán học.

Trình mô phỏng toán học.

2. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm số nhất định được gọi là

A) tích phân không xác định,

B) chức năng,

B) sự khác biệt.

7. Tìm thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành của một hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng:

D/Z. Tính thể tích các vật cách mạng.

Sự phản xạ.

Tiếp nhận sự phản ánh dưới hình thức rượu đồng bộ(năm dòng).

Dòng 1 – tên chủ đề (một danh từ).

Dòng thứ 2 – mô tả chủ đề bằng hai từ, hai tính từ.

Dòng thứ 3 – mô tả hành động trong chủ đề này bằng ba từ.

Dòng thứ 4 là một cụm từ gồm bốn từ thể hiện thái độ đối với chủ đề (cả câu).

Dòng thứ 5 là từ đồng nghĩa lặp lại bản chất của chủ đề.

Âm lượng.
Hàm tích phân xác định.
Chúng tôi xây dựng, chúng tôi xoay vòng, chúng tôi tính toán.
Một vật thu được bằng cách quay một hình thang cong (quanh đáy của nó).
Thân quay (thân hình học thể tích).

Phần kết luận (cầu trượt).

Tích phân xác định là nền tảng nhất định cho việc nghiên cứu toán học, nó góp phần không thể thay thế trong việc giải các bài toán thực tiễn.
Đề tài “Tích phân” thể hiện rõ mối liên hệ giữa toán học và vật lý, sinh học, kinh tế và công nghệ.
Sự phát triển của khoa học hiện đại là không thể tưởng tượng được nếu không sử dụng tích phân. Về vấn đề này, cần phải bắt đầu nghiên cứu nó trong khuôn khổ giáo dục trung học chuyên ngành!

Chấm điểm. (Có bình luận.)

Omar Khayyam vĩ đại - nhà toán học, nhà thơ, triết gia. Ông khuyến khích chúng ta làm chủ vận mệnh của chính mình. Chúng ta hãy nghe một đoạn trích trong tác phẩm của ông:

Bạn sẽ nói, cuộc sống này là một khoảnh khắc.
Đánh giá cao nó, lấy cảm hứng từ nó.
Bạn tiêu bao nhiêu thì nó sẽ trôi qua bấy nhiêu.
Đừng quên: cô ấy là sự sáng tạo của bạn.

Đề tài: “Tính thể tích vật quay bằng tích phân xác định”

Loại bài học: kết hợp.

Mục đích của bài học: học cách tính thể tích các vật quay bằng cách sử dụng tích phân.

Nhiệm vụ:

củng cố khả năng nhận biết các hình thang cong từ một số hình hình học và phát triển kỹ năng tính diện tích các hình thang cong;

làm quen với khái niệm hình ba chiều;

học cách tính thể tích của các vật quay;

thúc đẩy sự phát triển tư duy logic, khả năng diễn đạt toán học thành thạo, tính chính xác khi xây dựng bản vẽ;

nuôi dưỡng niềm yêu thích với môn học, vận hành với các khái niệm và hình ảnh toán học, trau dồi ý chí, tính độc lập và sự kiên trì để đạt được kết quả cuối cùng.

Trong các lớp học

I. Thời điểm tổ chức.

Lời chào từ nhóm. Truyền đạt mục tiêu bài học cho học sinh.

Tôi muốn bắt đầu bài học hôm nay bằng một câu chuyện ngụ ngôn. “Ngày xửa ngày xưa có một người thông thái, người biết tất cả mọi thứ. Một người đàn ông muốn chứng minh rằng nhà hiền triết không biết tất cả mọi thứ. Cầm một con bướm trên tay, anh hỏi: “Hãy nói cho tôi biết, nhà hiền triết, con bướm nào đang ở trong tay tôi: sống hay chết?” Và anh ta nghĩ: “Nếu người sống nói, tôi sẽ giết cô ấy; nếu người chết nói, tôi sẽ thả cô ấy ra.” Nhà hiền triết sau khi suy nghĩ đã trả lời: "Mọi thứ đều nằm trong tay bạn."

Vì vậy, ngay hôm nay chúng ta hãy làm việc hiệu quả, tiếp thu kho kiến thức mới và áp dụng những kỹ năng, khả năng đã học được vào cuộc sống và hoạt động thực tế sau này.

II. Lặp lại các tài liệu đã học trước đó.

Hãy nhớ lại những điểm chính của tài liệu đã nghiên cứu trước đó. Để làm được điều này, chúng ta hãy hoàn thành nhiệm vụ “Loại bỏ từ thừa”.

(Học sinh nói thêm một từ.)

Phải "Khác biệt". Cố gắng gọi tên các từ còn lại bằng một từ thông dụng. (Tích phân tích.)

Hãy nhớ lại các giai đoạn và khái niệm chính liên quan đến phép tính tích phân.

Bài tập. Khôi phục những khoảng trống. (Học sinh bước ra và viết những từ cần thiết bằng bút dạ.)

Làm việc trong sổ ghi chép.

Công thức Newton-Leibniz được đưa ra bởi nhà vật lý người Anh Isaac Newton (1643-1727) và nhà triết học người Đức Gottfried Leibniz (1646-1716). Và điều này không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì toán học là ngôn ngữ của tự nhiên.

Hãy xem xét cách sử dụng công thức này để giải quyết các vấn đề thực tế.

Ví dụ 1: Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng

Giải pháp: Hãy vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ . Hãy chọn diện tích của hình cần tìm.

III. Học tài liệu mới.

Hãy chú ý đến màn hình. Những gì được thể hiện trong hình ảnh đầu tiên? (Hình vẽ cho thấy một hình phẳng.)

Những gì được thể hiện trong bức tranh thứ hai? Hình này có phẳng không? (Hình vẽ thể hiện hình ba chiều.)

Trong không gian, trên trái đất và trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta không chỉ gặp những hình phẳng mà còn cả những hình ba chiều, nhưng làm thế nào chúng ta có thể tính được thể tích của những vật thể đó? Ví dụ: thể tích của một hành tinh, sao chổi, thiên thạch, v.v.

Người ta nghĩ về thể tích cả khi xây nhà và khi đổ nước từ bình này sang bình khác. Các quy tắc và kỹ thuật tính toán khối lượng phải xuất hiện; chúng chính xác và hợp lý đến mức nào lại là một vấn đề khác.

Năm 1612 rất có kết quả đối với cư dân thành phố Linz của Áo, nơi nhà thiên văn học nổi tiếng Johannes Kepler sinh sống, đặc biệt là đối với nho. Mọi người đang chuẩn bị thùng rượu và muốn biết cách xác định khối lượng của chúng một cách thực tế.

Do đó, những công trình được coi là của Kepler đã đánh dấu sự khởi đầu của cả một dòng nghiên cứu mà đỉnh cao là vào một phần tư cuối thế kỷ 17. thiết kế trong các tác phẩm của I. Newton và G.V. Leibniz về phép tính vi phân và tích phân. Từ đó trở đi, toán học biến số chiếm vị trí hàng đầu trong hệ thống tri thức toán học.

Hôm nay bạn và tôi sẽ tham gia vào những hoạt động thiết thực như vậy, do đó,

Chủ đề của bài học của chúng ta: “Tính thể tích của vật quay bằng tích phân xác định”.

Bạn sẽ tìm hiểu định nghĩa của vật quay bằng cách hoàn thành nhiệm vụ sau.

"Mê cung".

Bài tập. Tìm cách thoát khỏi tình huống khó hiểu và viết ra định nghĩa.

IVTính toán khối lượng.

Sử dụng tích phân xác định, bạn có thể tính thể tích của một vật thể cụ thể, đặc biệt là vật thể xoay.

Vật thể xoay là vật thể thu được bằng cách quay một hình thang cong quanh đáy của nó (Hình 1, 2)

Thể tích của vật xoay được tính bằng một trong các công thức:

1. quanh trục OX.

2. , nếu phép quay của một hình thang cong quanh trục của op-amp.

Học sinh viết các công thức cơ bản vào vở.

- Giáo viên giải thích cách giải các ví dụ trên bảng.

1. Tìm thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành của một hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Giải pháp.

Đáp số: 1163 cm3.

2. Tìm thể tích của vật thu được khi quay một hình thang parabol quanh trục x y = , x = 4, y = 0.

Giải pháp.

V.. Trình mô phỏng toán học.

2. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm số nhất định được gọi là

A) tích phân không xác định,

B) chức năng,

B) sự khác biệt.

7. Tìm thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành của một hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng:

D/Z. Tổng hợp vật liệu mới

Tính thể tích của vật tạo thành khi cánh hoa quay quanh trục x y = x2, y2 = x.

Hãy xây dựng đồ thị của hàm số. y = x2, y2 = x. Hãy biến đổi đồ thị y2 = x thành dạng y = .

Ta có V = V1 - V2 Hãy tính thể tích của từng hàm số:

Phần kết luận:

Tích phân xác định là nền tảng nhất định cho việc nghiên cứu toán học, nó góp phần không thể thay thế trong việc giải các bài toán thực tiễn.

Đề tài “Tích phân” thể hiện rõ mối liên hệ giữa toán học và vật lý, sinh học, kinh tế và công nghệ.

Sự phát triển của khoa học hiện đại là không thể tưởng tượng được nếu không sử dụng tích phân. Về vấn đề này, cần phải bắt đầu nghiên cứu nó trong khuôn khổ giáo dục trung học chuyên ngành!

VI. Chấm điểm.(Có bình luận.)

Bạn nói, cuộc sống này là một khoảnh khắc.
Đánh giá cao nó, lấy cảm hứng từ nó.
Bạn tiêu bao nhiêu thì nó sẽ trôi qua bấy nhiêu.
Đừng quên: cô ấy là sự sáng tạo của bạn.

Thể tích của vật quay có thể được tính bằng công thức:

Trong công thức, số phải có mặt trước tích phân. Vì vậy, nó đã xảy ra - mọi thứ xoay quanh cuộc sống đều được kết nối với hằng số này.

Tôi nghĩ thật dễ dàng để đoán cách đặt giới hạn tích phân “a” và “be” từ bản vẽ đã hoàn thành.

Chức năng... chức năng này là gì? Chúng ta hãy nhìn vào bản vẽ. Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của parabol ở trên cùng. Đây là chức năng được ngụ ý trong công thức.

Trong các nhiệm vụ thực tế, một hình phẳng đôi khi có thể nằm bên dưới trục. Điều này không thay đổi bất cứ điều gì - hàm trong công thức được bình phương: , do đó thể tích của vật cách mạng luôn không âm, điều này rất logic.

Hãy tính thể tích của một vật quay bằng công thức sau:

Như tôi đã lưu ý, tích phân hầu như luôn đơn giản, điều chính yếu là phải cẩn thận.

Trả lời:

Trong câu trả lời của bạn, bạn phải chỉ ra thứ nguyên - đơn vị khối. Tức là, trong vật quay của chúng ta có khoảng 3,35 “khối”. Tại sao khối các đơn vị? Bởi vì công thức phổ quát nhất. Có thể có cm khối, có thể có mét khối, có thể có km khối, v.v., đó là số lượng người xanh mà trí tưởng tượng của bạn có thể đặt vào một chiếc đĩa bay.

Ví dụ 2

Tìm thể tích của một vật thể được hình thành bằng cách quay quanh trục của một hình được giới hạn bởi các đường thẳng , ,

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Hãy xem xét hai vấn đề phức tạp hơn, cũng thường gặp trong thực tế.

Ví dụ 3

Tính thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành của hình được giới hạn bởi các đường thẳng , , và

Giải pháp: Chúng ta hãy vẽ trong hình một hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng , , , , mà không quên rằng phương trình xác định trục:

Hình mong muốn được tô màu xanh lam. Khi nó quay quanh trục, nó trở thành một chiếc bánh rán siêu thực với bốn góc.

Hãy tính thể tích của vật quay như sau sự khác biệt về thể tích của cơ thể.

Đầu tiên chúng ta hãy nhìn vào hình được khoanh tròn màu đỏ. Khi nó quay quanh một trục sẽ thu được một hình nón cụt. Chúng ta hãy biểu thị thể tích của hình nón cụt này bằng .

Hãy xem xét hình được khoanh tròn màu xanh lá cây. Nếu bạn xoay hình này quanh trục, bạn cũng sẽ có được một hình nón cụt, chỉ nhỏ hơn một chút. Hãy biểu thị khối lượng của nó bằng .

Và rõ ràng, sự khác biệt về khối lượng chính xác là khối lượng chiếc bánh rán của chúng tôi.

Chúng tôi sử dụng công thức tiêu chuẩn để tìm thể tích của một vật quay:

1) Hình tròn màu đỏ được giới hạn phía trên bởi một đường thẳng nên:

2) Hình được khoanh tròn màu xanh lá cây được giới hạn phía trên bởi một đường thẳng, do đó:

3) Khối lượng của vật quay mong muốn:

Trả lời:

Điều tò mò là trong trường hợp này, nghiệm có thể được kiểm tra bằng cách sử dụng công thức tính thể tích của hình nón cụt trong trường học.

Bản thân quyết định thường được viết ngắn hơn, đại loại như thế này:

Bây giờ chúng ta hãy nghỉ ngơi một chút và kể cho bạn nghe về ảo ảnh hình học.

Mọi người thường có những ảo tưởng liên quan đến các tập sách, điều này đã được Perelman (không phải cái đó) chú ý trong cuốn sách. Hình học giải trí. Hãy nhìn vào hình phẳng trong bài toán đã giải - nó có vẻ có diện tích nhỏ và thể tích của vật quay chỉ hơn 50 đơn vị khối, có vẻ như quá lớn. Nhân tiện, một người bình thường uống lượng chất lỏng tương đương với một căn phòng 18 mét vuông trong suốt cuộc đời của mình, ngược lại, lượng chất lỏng này dường như quá nhỏ.

Nhìn chung, hệ thống giáo dục ở Liên Xô thực sự là tốt nhất. Cuốn sách tương tự của Perelman, được ông viết vào năm 1950, phát triển rất tốt, như nhà hài hước đã nói, suy nghĩ và dạy người ta tìm kiếm các giải pháp nguyên bản, không chuẩn cho các vấn đề. Gần đây tôi đã đọc lại một số chương và rất thích thú, tôi khuyên bạn nên đọc nó, nó có thể truy cập được ngay cả đối với những người theo chủ nghĩa nhân văn. Không, bạn không cần phải mỉm cười vì tôi đã cho bạn thời gian rảnh rỗi, sự uyên bác và tầm nhìn rộng rãi trong giao tiếp là một điều tuyệt vời.

Sau khi lạc đề trữ tình, việc giải quyết một nhiệm vụ sáng tạo là thích hợp:

Ví dụ 4

Tính thể tích của một vật hình thành khi quay quanh trục của một hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , , ở đâu .

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Xin lưu ý rằng tất cả mọi thứ xảy ra trong băng tần, nói cách khác, các giới hạn tích hợp thực tế đã được tạo sẵn đều được đưa ra. Ngoài ra, hãy cố gắng vẽ chính xác đồ thị của các hàm lượng giác; nếu đối số được chia cho hai: thì đồ thị được kéo dài hai lần dọc theo trục. Cố gắng tìm ít nhất 3-4 điểm theo bảng lượng giác và hoàn thiện bản vẽ chính xác hơn. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài. Nhân tiện, nhiệm vụ có thể được giải quyết một cách hợp lý và không hợp lý lắm.

Tính thể tích của một vật tạo thành do chuyển động quay
hình phẳng quanh một trục

Đoạn thứ hai sẽ còn thú vị hơn đoạn đầu tiên. Nhiệm vụ tính thể tích của một vật quay quanh trục tọa độ cũng là một bài toán khá phổ biến trong công tác kiểm tra. Trong quá trình thực hiện, nó sẽ được xem xét bài toán tìm diện tích của một hình Phương pháp thứ hai là tích hợp dọc theo trục, điều này không chỉ cho phép bạn cải thiện kỹ năng của mình mà còn dạy bạn cách tìm ra con đường giải pháp có lợi nhất. Ngoài ra còn có một ý nghĩa cuộc sống thực tế trong việc này! Khi giáo viên dạy toán của tôi mỉm cười nhớ lại, nhiều sinh viên tốt nghiệp đã cảm ơn cô bằng câu: “Môn học của cô đã giúp chúng tôi rất nhiều, giờ chúng tôi là những nhà quản lý hiệu quả và quản lý nhân viên một cách tối ưu”. Nhân cơ hội này, tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô ấy, đặc biệt là vì tôi đã sử dụng những kiến thức có được đúng mục đích =).

Ví dụ 5

Cho một hình phẳng giới hạn bởi các đường , , .

1) Tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường này.
2) Tìm thể tích của vật thu được khi quay một hình phẳng giới hạn bởi những đường này quanh trục.

Chú ý! Ngay cả khi bạn chỉ muốn đọc điểm thứ hai, trước tiên nhất thiếtđọc cái đầu tiên!

Giải pháp: Nhiệm vụ bao gồm hai phần. Hãy bắt đầu với hình vuông.

1) Hãy vẽ một bức tranh:

Dễ dàng nhận thấy hàm chỉ định nhánh trên của parabol, hàm chỉ định nhánh dưới của parabol. Trước mắt chúng ta là một hình parabol tầm thường “nằm nghiêng”.

Hình mong muốn, diện tích cần tìm, được tô màu xanh lam.

Làm thế nào để tìm diện tích của một hình? Nó có thể được tìm thấy theo cách “thông thường” đã được thảo luận trong lớp Tích phân xác định. Cách tính diện tích của hình. Hơn nữa, diện tích của hình được tính bằng tổng của các diện tích:
- trên phân khúc ;
- trên phân khúc.

Đó là lý do tại sao:

Tại sao giải pháp thông thường lại tệ trong trường hợp này? Đầu tiên, chúng ta có hai tích phân. Thứ hai, tích phân là nghiệm, và nghiệm trong tích phân không phải là một món quà, và bên cạnh đó, bạn có thể nhầm lẫn khi thay thế các giới hạn của tích phân. Trên thực tế, tất nhiên, tích phân không phải là sát thủ, nhưng trong thực tế, mọi thứ có thể còn đáng buồn hơn nhiều, tôi chỉ chọn các hàm “tốt hơn” cho bài toán.

Có một giải pháp hợp lý hơn: nó bao gồm việc chuyển sang các hàm nghịch đảo và lấy tích phân dọc theo trục.

Làm thế nào để có được hàm nghịch đảo? Nói một cách đại khái thì bạn cần diễn đạt từ “x” đến “y”. Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào parabol:

Điều này là đủ, nhưng hãy đảm bảo rằng chức năng tương tự có thể được bắt nguồn từ nhánh dưới:

Sẽ dễ dàng hơn với một đường thẳng:

Bây giờ hãy nhìn vào trục: vui lòng định kỳ nghiêng đầu sang phải 90 độ khi bạn giải thích (đây không phải là chuyện đùa!). Hình chúng ta cần nằm trên đoạn được biểu thị bằng đường chấm màu đỏ. Trong trường hợp này, trên đoạn thẳng, đường thẳng nằm phía trên parabol, có nghĩa là diện tích của hình sẽ được tìm bằng công thức đã quen thuộc với bạn: . Điều gì đã thay đổi trong công thức? Chỉ là một lá thư và không có gì hơn.

! Lưu ý: Nên đặt giới hạn tích phân dọc theo trục nghiêm ngặt từ dưới lên trên!

Tìm diện tích:

Do đó, trên phân khúc:

Xin lưu ý cách tôi thực hiện việc tích hợp, đây là cách hợp lý nhất và trong đoạn tiếp theo của nhiệm vụ sẽ giải thích lý do tại sao.

Đối với những độc giả nghi ngờ tính đúng đắn của tích phân, tôi sẽ tìm đạo hàm:

Hàm tích phân ban đầu thu được, có nghĩa là phép tích phân được thực hiện chính xác.

Trả lời:

2) Hãy tính thể tích của vật thể tạo thành khi hình này quay quanh trục.

Tôi sẽ vẽ lại bản vẽ theo một thiết kế hơi khác:

Vì vậy, hình được tô màu xanh lam quay quanh trục. Kết quả là một “con bướm bay lượn” quay quanh trục của nó.

Để tìm thể tích của một vật quay, chúng ta sẽ lấy tích phân dọc theo trục. Đầu tiên chúng ta cần đi đến hàm nghịch đảo. Điều này đã được thực hiện và mô tả chi tiết trong đoạn trước.

Bây giờ chúng ta lại nghiêng đầu sang phải và nghiên cứu hình dáng của mình. Hiển nhiên, thể tích của một vật quay phải được tính bằng hiệu về thể tích.

Chúng ta xoay hình được khoanh tròn màu đỏ quanh trục, tạo thành một hình nón bị cụt. Chúng ta hãy biểu thị khối lượng này bằng .

Chúng ta xoay hình được khoanh tròn màu xanh lá cây quanh trục và biểu thị nó bằng thể tích của vật quay thu được.

Thể tích con bướm của chúng ta bằng với sự chênh lệch về thể tích.

Chúng ta sử dụng công thức để tìm thể tích của vật xoay:

Sự khác biệt so với công thức trong đoạn trước là gì? Chỉ có trong thư.

Nhưng lợi thế của sự tích hợp mà tôi đã nói gần đây lại dễ tìm thấy hơn nhiều , thay vì trước tiên nâng tích phân lên lũy thừa bậc 4.

Trả lời:

Tuy nhiên, không phải là một con bướm ốm yếu.

Xin lưu ý rằng nếu cùng một hình phẳng được xoay quanh trục, bạn sẽ có một vật thể quay hoàn toàn khác, với thể tích khác, một cách tự nhiên.

Ví dụ 6

Cho một hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng và một trục.

1) Đi đến các hàm nghịch đảo và tìm diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường này bằng cách lấy tích phân trên biến.
2) Tính thể tích của vật thu được khi quay một hình phẳng giới hạn bởi những đường này quanh trục.

Làm thế nào để tính thể tích của vật xoay bằng tích phân xác định?

Bên cạnh đó tìm diện tích của hình phẳng bằng tích phân xác định ứng dụng quan trọng nhất của chủ đề này là tính thể tích của vật quay. Tài liệu rất đơn giản nhưng người đọc phải chuẩn bị sẵn sàng: bạn phải có khả năng giải quyết tích phân không xác định độ phức tạp trung bình và áp dụng công thức Newton-Leibniz trong tích phân xác định . Đối với bài toán tìm diện tích, bạn cần có kỹ năng vẽ tự tin - đây gần như là điều quan trọng nhất (vì bản thân việc tích phân thường dễ dàng). Bạn có thể thành thạo các kỹ thuật lập biểu đồ nhanh chóng và thành thạo với sự trợ giúp của tài liệu phương pháp luận . Nhưng trên thực tế, tôi đã nói nhiều lần về tầm quan trọng của việc vẽ trong lớp. .

Nói chung, có rất nhiều ứng dụng thú vị trong phép tính tích phân; sử dụng tích phân xác định, bạn có thể tính diện tích của một hình, thể tích của một vật quay, chiều dài của một cung, diện tích bề mặt của một cơ thể và nhiều hơn nữa. Vì vậy sẽ rất vui đấy, hãy lạc quan lên nhé!

Hãy tưởng tượng một số hình phẳng trên mặt phẳng tọa độ. Được giới thiệu? ... Không biết ai trình bày cái gì... =))) Chúng ta đã tìm ra được diện tích của nó rồi. Tuy nhiên, ngoài ra, hình này cũng có thể được xoay và xoay theo hai cách:

– quanh trục x; - quanh trục tọa độ.

Bài viết này sẽ xem xét cả hai trường hợp. Phương pháp quay thứ hai đặc biệt thú vị, nó gây ra nhiều khó khăn nhất, nhưng trên thực tế, giải pháp gần giống như cách quay phổ biến hơn quanh trục x. Như một phần thưởng tôi sẽ quay trở lại bài toán tìm diện tích của một hình và tôi sẽ cho bạn biết cách tìm diện tích theo cách thứ hai - dọc theo trục. Đó không phải là một phần thưởng quá lớn vì tài liệu rất phù hợp với chủ đề.

Hãy bắt đầu với kiểu xoay phổ biến nhất.

ví dụ 1

Tính thể tích của một vật thu được khi quay một hình được giới hạn bởi các đường quanh một trục.

Giải pháp: Giống như trong bài toán tìm diện tích, giải pháp bắt đầu bằng việc vẽ một hình phẳng. Nghĩa là, trên một mặt phẳng cần dựng một hình được giới hạn bởi các đường thẳng và đừng quên rằng phương trình xác định trục. Bạn có thể tìm thấy cách hoàn thành bản vẽ hiệu quả và nhanh chóng hơn trên các trang Đồ thị và tính chất của hàm sơ cấp Và Tích phân xác định. Cách tính diện tích của hình . Đây là lời nhắc nhở của Trung Quốc và tại thời điểm này tôi sẽ không nói sâu hơn nữa.

Bản vẽ ở đây khá đơn giản:

Hình phẳng mong muốn được tô màu xanh lam; nó là hình quay quanh trục. Kết quả của sự quay là một đĩa bay hơi hình trứng, đối xứng quanh trục. Thực ra vật thể có tên toán học, nhưng tôi lười tra cứu trong sách tham khảo nên chúng ta tiếp tục.

Làm thế nào để tính khối lượng của một cơ thể cách mạng?

Thể tích của vật quay có thể được tính bằng công thức:

Trong công thức, số phải có mặt trước tích phân. Vì vậy, nó đã xảy ra - mọi thứ xoay quanh cuộc sống đều được kết nối với hằng số này.

Tôi nghĩ thật dễ dàng để đoán cách đặt giới hạn tích phân “a” và “be” từ bản vẽ đã hoàn thành.

Chức năng... chức năng này là gì? Chúng ta hãy nhìn vào bản vẽ. Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị parabol ở trên cùng. Đây là chức năng được ngụ ý trong công thức.

Trong các nhiệm vụ thực tế, một hình phẳng đôi khi có thể nằm bên dưới trục. Điều này không thay đổi gì cả - hàm trong công thức được bình phương: do đó thể tích của vật cách mạng luôn không âm, điều này rất logic.

Hãy tính thể tích của một vật quay bằng công thức sau:

Như tôi đã lưu ý, tích phân hầu như luôn đơn giản, điều chính yếu là phải cẩn thận.

Trả lời:

Ví dụ 2

Tìm thể tích của một vật được tạo thành khi quay quanh trục của một hình được giới hạn bởi các đường thẳng,

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Hãy xem xét hai vấn đề phức tạp hơn, cũng thường gặp trong thực tế.

Ví dụ 3

Tính thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành của hình được giới hạn bởi các đường thẳng , và

Giải pháp: Chúng ta hãy vẽ trong hình một hình phẳng được giới hạn bởi các đường ,,,, mà không quên rằng phương trình xác định trục:

Hình mong muốn được tô màu xanh lam. Khi nó quay quanh trục, nó trở thành một chiếc bánh rán siêu thực với bốn góc.

Hãy tính thể tích của vật quay như sau sự khác biệt về thể tích của cơ thể.

Và rõ ràng, sự khác biệt về khối lượng chính xác là khối lượng chiếc bánh rán của chúng tôi.

Chúng tôi sử dụng công thức tiêu chuẩn để tìm thể tích của một vật quay:

1) Hình tròn màu đỏ được giới hạn phía trên bởi một đường thẳng nên:

2) Hình được khoanh tròn màu xanh lá cây được giới hạn phía trên bởi một đường thẳng, do đó:

3) Khối lượng của vật quay mong muốn:

Trả lời:

Điều tò mò là trong trường hợp này, nghiệm có thể được kiểm tra bằng cách sử dụng công thức tính thể tích của hình nón cụt trong trường học.

Bản thân quyết định thường được viết ngắn hơn, đại loại như thế này:

Bây giờ chúng ta hãy nghỉ ngơi một chút và kể cho bạn nghe về ảo ảnh hình học.

Sau khi lạc đề trữ tình, việc giải quyết một nhiệm vụ sáng tạo là thích hợp:

Ví dụ 4

Tính thể tích của một vật hình thành khi quay quanh trục của một hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng, ở đâu.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Xin lưu ý rằng tất cả mọi thứ xảy ra trong băng tần, nói cách khác, các giới hạn tích hợp thực tế đã được tạo sẵn đều được đưa ra. Ngoài ra, hãy cố gắng vẽ chính xác đồ thị của các hàm lượng giác, nếu đối số được chia cho hai: thì đồ thị được kéo dài dọc theo trục hai lần. Cố gắng tìm ít nhất 3-4 điểm theo bảng lượng giác và hoàn thiện bản vẽ chính xác hơn. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài. Nhân tiện, nhiệm vụ có thể được giải quyết một cách hợp lý và không hợp lý lắm.

Tính thể tích của một vật thể hình thành khi quay một hình phẳng quanh một trục

Ví dụ 5

Cho một hình phẳng giới hạn bởi các đường ,,.

1) Tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường này. 2) Tìm thể tích của vật thu được khi quay một hình phẳng giới hạn bởi những đường này quanh trục.

Chú ý! Ngay cả khi bạn chỉ muốn đọc điểm thứ hai, trước tiên nhất thiếtđọc cái đầu tiên!

Giải pháp: Nhiệm vụ bao gồm hai phần. Hãy bắt đầu với hình vuông.

1) Hãy vẽ một bức tranh:

Hình mong muốn, diện tích cần tìm, được tô màu xanh lam.

Làm thế nào để tìm diện tích của một hình? Nó có thể được tìm thấy theo cách “thông thường” đã được thảo luận trong lớp Tích phân xác định. Cách tính diện tích của hình . Hơn nữa, diện tích của hình được tính bằng tổng các diện tích: – trên đoạn thẳng ; - trên phân khúc.

Đó là lý do tại sao:

Có một giải pháp hợp lý hơn: nó bao gồm việc chuyển sang các hàm nghịch đảo và lấy tích phân dọc theo trục.

Làm thế nào để có được hàm nghịch đảo? Nói một cách đại khái thì bạn cần diễn đạt từ “x” đến “y”. Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào parabol:

Điều này là đủ, nhưng hãy đảm bảo rằng chức năng tương tự có thể được bắt nguồn từ nhánh dưới:

Sẽ dễ dàng hơn với một đường thẳng:

Bây giờ hãy nhìn vào trục: vui lòng định kỳ nghiêng đầu sang phải 90 độ khi bạn giải thích (đây không phải là chuyện đùa!). Hình chúng ta cần nằm trên đoạn được biểu thị bằng đường chấm màu đỏ. Hơn nữa, trên đoạn thẳng, đường thẳng nằm phía trên parabol, có nghĩa là diện tích của hình sẽ được tìm bằng công thức đã quen thuộc với bạn: . Điều gì đã thay đổi trong công thức? Chỉ là một lá thư và không có gì hơn.

! Lưu ý: Nên đặt giới hạn tích phân dọc theo trụcnghiêm ngặt từ dưới lên trên !

Tìm diện tích:

Do đó, trên phân khúc:

Xin lưu ý cách tôi thực hiện việc tích hợp, đây là cách hợp lý nhất và trong đoạn tiếp theo của nhiệm vụ sẽ giải thích lý do tại sao.

Đối với những độc giả nghi ngờ tính đúng đắn của tích phân, tôi sẽ tìm đạo hàm:

Hàm tích phân ban đầu thu được, có nghĩa là phép tích phân được thực hiện chính xác.

Trả lời:

2) Hãy tính thể tích của vật thể tạo thành khi hình này quay quanh trục.

Tôi sẽ vẽ lại bản vẽ theo một thiết kế hơi khác:

Vì vậy, hình được tô màu xanh lam quay quanh trục. Kết quả là một “con bướm bay lượn” quay quanh trục của nó.

Chúng ta xoay hình được khoanh tròn màu đỏ quanh trục, tạo thành một hình nón bị cụt. Hãy để chúng tôi biểu thị khối lượng này bằng cách.

Chúng ta xoay hình được khoanh tròn màu xanh lá cây quanh trục và biểu thị bằng thể tích của vật quay thu được.

Thể tích con bướm của chúng ta bằng với sự chênh lệch về thể tích.

Chúng ta sử dụng công thức để tìm thể tích của vật xoay:

Sự khác biệt so với công thức trong đoạn trước là gì? Chỉ có trong thư.

Nhưng lợi thế của sự tích hợp mà tôi đã nói gần đây lại dễ tìm thấy hơn nhiều , thay vì trước tiên nâng tích phân lên lũy thừa bậc 4.

I. Tập các cơ quan cách mạng. Nghiên cứu sơ bộ Chương XII, đoạn 197, 198 trong SGK của G. M. Fikhtengolts * Phân tích chi tiết các ví dụ nêu ở đoạn 198.

508. Tính thể tích của một vật thể tạo thành khi quay một hình elip quanh trục Ox.

Như vậy,

530. Tìm diện tích bề mặt được hình thành khi quay quanh trục Ox của cung hình sin y = sin x từ điểm X = 0 đến điểm X = It.

531. Tính diện tích bề mặt của hình nón có chiều cao h và bán kính r.

532. Tính diện tích bề mặt hình thành

phép quay của astroid x3 -)- y* - a3 quanh trục Ox.

533. Tính diện tích bề mặt được hình thành bằng cách xoay vòng của đường cong 18 ug - x (6 - x) z quanh trục Ox.

534. Tìm bề mặt của hình xuyến tạo ra do chuyển động quay của đường tròn X2 - j - (y-3)2 = 4 quanh trục Ox.

535. Tính diện tích bề mặt hình thành do phép quay của đường tròn X = a cost, y = asint quanh trục Ox.

536. Tính diện tích bề mặt hình thành do phép quay vòng của đường cong x = 9t2, y = St - 9t3 quanh trục Ox.

537. Tìm diện tích bề mặt được hình thành khi quay cung của đường cong x = e*sint, y = el chi phí quanh trục Ox

từ t = 0 đến t = —.

538. Chứng minh rằng mặt tạo bởi phép quay của cung cycloid x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) quanh trục Oy bằng 16 u2 o2.

539. Tìm bề mặt thu được khi quay cardioid quanh trục cực.

540. Tìm diện tích bề mặt được hình thành do phép quay của lemniscate Xung quanh trục cực.

Nhiệm vụ bổ sung cho Chương IV

Diện tích của hình phẳng

541. Tìm toàn bộ diện tích của vùng giới hạn bởi đường cong Và trục Ox.

542. Tìm diện tích vùng giới hạn bởi đường cong

Và trục Ox.

543. Tìm phần diện tích của vùng nằm trong góc phần tư thứ nhất và được giới hạn bởi đường cong

l trục tọa độ.

544. Tìm diện tích của vùng chứa bên trong

vòng lặp:

545. Tìm diện tích của vùng được giới hạn bởi một vòng của đường cong:

546. Tìm diện tích vùng chứa bên trong vòng lặp:

547. Tìm diện tích vùng giới hạn bởi đường cong

Và trục Ox.

548. Tìm diện tích vùng giới hạn bởi đường cong

Và trục Ox.

549. Tìm diện tích vùng giới hạn bởi trục Oxr

thẳng và đường cong