Khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Taylor. Chuỗi Maclaurin và khai triển một số hàm

Hãy để tôi đặt trước ngay rằng bài viết sẽ thảo luận về khai triển tiếp tuyến tại 0, cái được gọi là khai triển Maclaurin trong nhiều sách giáo khoa.

Chà, tất cả các hàm sẽ có khả năng vi phân vô hạn khi chúng ta cần chúng.

Trong khi hầu hết các hàm cơ bản đơn giản nhất khác có thể được mở rộng khá dễ dàng thành chuỗi Taylor và định luật hình thành các số hạng của khai triển thường không phức tạp và có thể đoán được một cách đơn giản, thì điều này không đúng với tiếp tuyến. Mặc dù có vẻ như cái sau chỉ là tỷ số giữa sin và cos, những hàm không có vấn đề gì phát sinh trong quá trình khai triển. Trong khi đó, để chỉ ra loại thuật ngữ tổng quát cho tiếp tuyến, chúng ta sẽ phải bắt đầu từ xa và sử dụng các kỹ thuật nhân tạo. Tuy nhiên, trong thực tế, thường không cần thiết phải biết tất cả các hệ số của một chuỗi; chỉ một vài số hạng của khai triển là đủ. Đây là vấn đề mà học sinh gặp phải thường xuyên nhất. Vì vậy, đó là nơi chúng ta sẽ bắt đầu. Để không bận tâm quá nhiều, chúng ta sẽ tìm cách khai triển đến hệ số lũy thừa thứ năm.

Điều đầu tiên bạn nghĩ đến ở đây là cố gắng sử dụng trực tiếp công thức Taylor. Thông thường mọi người không biết gì về các phương pháp phân rã khác trong chuỗi. Nhân tiện, chủng sinh của chúng tôi về toán học. phân tích, vào năm thứ hai, tôi đã tìm kiếm sự phân rã theo cách chính xác như vậy, mặc dù tôi không thể nói điều gì xấu về anh ấy, nhưng anh ấy là một người thông minh, có lẽ anh ấy chỉ muốn thể hiện khả năng lấy chứng khoán phái sinh của mình. Dù vậy, việc lấy đạo hàm bậc cao của tiếp tuyến vẫn là một niềm vui, một nhiệm vụ cực kỳ buồn tẻ, chỉ là một trong những công việc dễ giao phó cho máy móc hơn là con người. Tuy nhiên, với tư cách là những vận động viên thực thụ, chúng tôi không quan tâm đến kết quả mà quan tâm đến quá trình và mong muốn quá trình này đơn giản hơn. Đạo hàm như sau (được tính theo hệ cực đại): , , , , . Ai nghĩ rằng các công cụ phái sinh dễ dàng có được bằng tay, hãy để họ làm điều đó một cách thoải mái. Dù vậy, bây giờ chúng ta có thể viết khai triển: .

Đây là những gì chúng ta có thể đơn giản hóa ở đây: chúng ta lưu ý rằng và do đó, đạo hàm bậc nhất của tiếp tuyến được biểu thị thông qua tiếp tuyến, ngoài ra, từ đó, tất cả các đạo hàm khác của tiếp tuyến sẽ là đa thức của tiếp tuyến, điều này cho phép chúng ta không phải chịu đựng các đạo hàm của thương từ sin và cosin:
,
,
,
.
Tất nhiên, sự phân hủy cũng diễn ra như vậy.

Tôi đã học trực tiếp về một phương pháp khai triển chuỗi khác trong bài kiểm tra toán. phân tích và vì thiếu hiểu biết về phương pháp này nên tôi đã nhận được một dàn hợp xướng. thay vì ex.-a. Ý nghĩa của phương pháp là ta biết khai triển chuỗi của cả sin và cosin, cũng như hàm số, khai triển sau cho phép ta tìm khai triển của hàm thứ hai: . Bằng cách mở dấu ngoặc, chúng ta nhận được một chuỗi cần được nhân với phần mở rộng của sin. Bây giờ chúng ta chỉ cần nhân hai hàng. Nếu chúng ta nói về độ phức tạp, thì tôi nghi ngờ rằng nó kém hơn phương pháp đầu tiên, đặc biệt là khi khối lượng tính toán tăng lên nhanh chóng cùng với mức độ ngày càng tăng của các số hạng khai triển cần tìm.

Phương pháp tiếp theo là một biến thể của phương pháp hệ số không xác định. Trước tiên chúng ta hãy đặt ra câu hỏi: nhìn chung chúng ta biết gì về tiếp tuyến có thể giúp chúng ta xây dựng một phép khai triển, có thể nói là tiên nghiệm? Điều quan trọng nhất ở đây là hàm tiếp tuyến là số lẻ nên mọi hệ số ở lũy thừa chẵn đều bằng 0, nói cách khác là không cần tìm một nửa hệ số. Khi đó chúng ta có thể viết , hoặc , khai triển sin và cos thành chuỗi, chúng ta được . Và đánh đồng các hệ số ở cùng mức độ chúng ta nhận được, , và nói chung . Do đó, bằng cách sử dụng quy trình lặp, chúng ta có thể tìm thấy số lượng số hạng khai triển bất kỳ.

Phương pháp thứ tư cũng là phương pháp hệ số không xác định, nhưng đối với nó chúng ta không cần khai triển bất kỳ hàm nào khác. Chúng ta sẽ xem xét phương trình vi phân cho tiếp tuyến. Ở trên chúng ta đã thấy rằng đạo hàm của tiếp tuyến có thể được biểu diễn dưới dạng hàm của tiếp tuyến. Thay thế một loạt các hệ số không xác định vào phương trình này, chúng ta có thể viết: Bằng cách bình phương và từ đây, một lần nữa, thông qua một quá trình lặp đi lặp lại, sẽ có thể tìm ra các hệ số khai triển.

Những phương pháp này đơn giản hơn nhiều so với hai phương pháp đầu tiên, nhưng việc tìm biểu thức cho số hạng chung của chuỗi theo cách này sẽ không hiệu quả, nhưng tôi muốn làm như vậy. Như tôi đã nói lúc đầu, bạn sẽ phải bắt đầu từ xa (tôi sẽ làm theo sách giáo khoa của Courant). Chúng ta sẽ bắt đầu với việc khai triển chuỗi hàm. Kết quả là chúng ta nhận được một chuỗi sẽ được viết dưới dạng , trong đó các số là số Bernoulli.
Ban đầu, những số này được Jacob Bernoulli tìm ra khi tìm tổng lũy thừa thứ m của các số tự nhiên . Có vẻ như lượng giác có liên quan gì đến nó? Sau đó, Euler, khi giải bài toán tổng nghịch đảo bình phương của một dãy số tự nhiên, đã nhận được đáp án từ việc khai triển hàm sin thành tích vô hạn. Hơn nữa, hóa ra là sự khai triển của cotang chứa các tổng có dạng , với mọi n tự nhiên. Và dựa trên điều này, Euler đã thu được các biểu thức của những tổng như vậy dưới dạng số Bernoulli. Vì vậy, có những kết nối ở đây, và không có gì đáng ngạc nhiên khi khai triển tiếp tuyến chứa chuỗi này.
Nhưng hãy quay lại phân tích phân số. Khai triển số mũ, trừ một và chia cho "x", cuối cùng chúng ta nhận được . Từ đây rõ ràng là số Bernoulli đầu tiên bằng một, số thứ hai trừ một giây, v.v. Hãy viết biểu thức của số Bernoulli thứ k, bắt đầu từ đơn vị. Nhân biểu thức này với, chúng ta viết lại biểu thức dưới dạng sau. Và từ biểu thức này ta lần lượt thu được số Bernoulli, cụ thể: , ,

Trong lý thuyết về chuỗi hàm, vị trí trung tâm được chiếm bởi phần dành cho việc mở rộng hàm thành một chuỗi.

Do đó, nhiệm vụ được đặt ra: đối với một chức năng nhất định chúng ta cần tìm một chuỗi sức mạnh như vậy

hội tụ tại một khoảng nhất định và tổng của nó bằng
, những thứ kia.

= ..

Nhiệm vụ này được gọi là bài toán khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa.

Điều kiện cần để phân rã hàm số trong chuỗi lũy thừa khả vi của nó là vô số lần - điều này xuất phát từ các tính chất của chuỗi lũy thừa hội tụ. Điều kiện này được thỏa mãn, như một quy luật, đối với các hàm cơ bản trong miền định nghĩa của chúng.

Vì vậy hãy giả sử rằng hàm
có đạo hàm của bất kỳ thứ tự nào. Có thể khai triển nó thành một chuỗi lũy thừa không?Nếu vậy thì làm thế nào chúng ta có thể tìm được chuỗi lũy thừa này? Phần thứ hai của vấn đề dễ giải quyết hơn, vì vậy hãy bắt đầu với nó.

Chúng ta hãy giả sử rằng hàm
có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi lũy thừa hội tụ trong khoảng chứa điểm X 0 :

= .. (*)

Ở đâu MỘT 0 ,MỘT 1 ,MỘT 2 ,...,MỘT P ,... – các hệ số (chưa) chưa biết.

Chúng ta đặt đẳng thức (*) giá trị x = x 0 , sau đó chúng tôi nhận được

Hãy phân biệt chuỗi lũy thừa (*) theo từng số hạng

= ..

và tin tưởng ở đây x = x 0 , chúng tôi nhận được

Với đạo hàm tiếp theo, chúng ta thu được chuỗi

= ..

tin tưởng x = x 0 , chúng tôi nhận được
, Ở đâu
.

Sau đó P-nhiều sự khác biệt chúng tôi nhận được

Giả sử ở đẳng thức cuối cùng x = x 0 , chúng tôi nhận được
, Ở đâu

Vì vậy tìm được hệ số

,
,
, …,
,….,

Thay thế cái nào vào chuỗi (*), ta được

Chuỗi kết quả được gọi là bên cạnh Taylor cho chức năng
.

Vì vậy, chúng tôi đã thiết lập rằng nếu hàm số có thể được mở rộng thành chuỗi lũy thừa theo lũy thừa (x - x 0 ), thì khai triển này là duy nhất và chuỗi kết quả nhất thiết phải là chuỗi Taylor.

Lưu ý rằng có thể thu được chuỗi Taylor cho bất kỳ hàm số nào có đạo hàm cấp bất kỳ tại điểm x = x 0 . Nhưng điều này không có nghĩa là có thể đặt dấu bằng giữa hàm và chuỗi kết quả, tức là. rằng tổng của chuỗi bằng hàm ban đầu. Thứ nhất, đẳng thức như vậy chỉ có thể có ý nghĩa trong vùng hội tụ và chuỗi Taylor thu được cho hàm có thể phân kỳ và thứ hai, nếu chuỗi Taylor hội tụ thì tổng của nó có thể không trùng với hàm ban đầu.

3.2. Điều kiện đủ để phân tích hàm số trong chuỗi Taylor

Hãy để chúng tôi xây dựng một tuyên bố với sự trợ giúp của nhiệm vụ này sẽ được giải quyết.

Nếu chức năng
trong một lân cận nào đó của điểm x 0 có đạo hàm lên tới (N+ 1) bao gồm thứ tự, thì trong lân cận này chúng ta cócông thức Taylor

Ở đâuR N (X)-số hạng còn lại của công thức Taylor – có dạng (dạng Lagrange)

Ở đâu dấu chấmξ nằm giữa x và x 0 .

Lưu ý rằng có sự khác biệt giữa chuỗi Taylor và công thức Taylor: công thức Taylor là một tổng hữu hạn, tức là P - số cố định.

Hãy nhớ rằng tổng của chuỗi S(x) có thể được định nghĩa là giới hạn của chuỗi hàm của các tổng riêng phần S P (x) ở một khoảng thời gian nào đó X:

Theo đó, để mở rộng hàm số thành chuỗi Taylor có nghĩa là tìm một chuỗi sao cho với mọi XX

Chúng ta hãy viết công thức Taylor ở dạng trong đó

thông báo rằng
xác định lỗi chúng tôi nhận được, thay thế hàm f(x) đa thức S N (x).

Nếu như
, Cái đó
,những thứ kia. hàm số được mở rộng thành chuỗi Taylor. Ngược lại, nếu
, Cái đó
.

Như vậy chúng ta đã chứng minh tiêu chí cho khả năng phân rã của hàm số trong chuỗi Taylor.

Để có chức năngf(x) khai triển thành chuỗi Taylor, điều cần và đủ là trên khoảng này
, Ở đâuR N (x) là số hạng còn lại của chuỗi Taylor.

Sử dụng tiêu chí đã được xây dựng, người ta có thể thu được hợp lýđiều kiện phân rã của hàm số trong chuỗi Taylor.

Nếu ởlân cận nào đó của điểm x 0 các giá trị tuyệt đối của mọi đạo hàm của hàm số đều được giới hạn ở cùng một số M≥ 0, tức là

, To trong vùng lân cận này hàm số mở rộng thành chuỗi Taylor.

Từ trên suy ra thuật toánmở rộng chức năng f(x) trong chuỗi Taylor trong vùng lân cận của một điểm X 0 :

1. Tìm đạo hàm của hàm số f(x):

f(x), f'(x), f”(x), f’”(x), f (N) (x),…

2. Tính giá trị của hàm số và các giá trị đạo hàm của nó tại điểm X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), f (N) (x 0 ),…

3. Chúng ta chính thức viết chuỗi Taylor và tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa thu được.

4. Chúng tôi kiểm tra việc đáp ứng đủ điều kiện, tức là. chúng tôi thiết lập cho điều đó X từ vùng hội tụ, số hạng còn lại R N (x) có xu hướng bằng 0 như
hoặc
.

Việc khai triển hàm số thành chuỗi Taylor bằng thuật toán này được gọi là khai triển hàm số thành chuỗi Taylor theo định nghĩa hoặc phân hủy trực tiếp.

Nếu chức năng f(x) có một khoảng nào đó chứa điểm MỘT, đạo hàm của tất cả các bậc thì có thể áp dụng công thức Taylor cho nó:

Ở đâu r n– cái gọi là số hạng còn lại hoặc phần còn lại của chuỗi, nó có thể được ước tính bằng công thức Lagrange:

, trong đó số x nằm giữa X Và MỘT.

Nếu vì một giá trị nào đó x r n®0 tại N®¥ thì trong giới hạn công thức Taylor chuyển thành công thức hội tụ cho giá trị này loạt Taylor:

Vì vậy chức năng f(x) có thể được mở rộng thành chuỗi Taylor tại điểm đang xét X, Nếu như:

1) nó có các dẫn xuất của tất cả các lệnh;

2) chuỗi được xây dựng hội tụ tại điểm này.

Tại MỘT=0 chúng tôi nhận được một chuỗi tên là gần Maclaurin:

ví dụ 1 f(x)= 2x.

Giải pháp. Hãy tìm các giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.

Thay các giá trị thu được của đạo hàm vào công thức chuỗi Taylor, ta thu được:

Bán kính hội tụ của chuỗi này bằng vô cùng, do đó việc khai triển này hợp lệ với -¥<x<+¥.

Ví dụ 2 X+4) cho chức năng f(x)= e x.

Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm e x và giá trị của chúng tại điểm X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Do đó, chuỗi Taylor yêu cầu của hàm số có dạng:

Bản mở rộng này cũng hợp lệ cho -¥<x<+¥.

Ví dụ 3 . Mở rộng một chức năng f(x)=ln x trong một chuỗi quyền hạn ( X- 1),

(tức là trong chuỗi Taylor ở lân cận điểm X=1).

Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm số này.

Thay thế các giá trị này vào công thức, chúng ta thu được chuỗi Taylor mong muốn:

Sử dụng phép thử d'Alembert, bạn có thể xác minh rằng chuỗi hội tụ khi

½ X- 1½<1. Действительно,

Chuỗi hội tụ nếu ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 chúng ta thu được một chuỗi xen kẽ thỏa mãn các điều kiện của tiêu chí Leibniz. Tại X Hàm = 0 không được xác định. Như vậy vùng hội tụ của chuỗi Taylor là khoảng nửa mở (0;2).

Chúng ta hãy trình bày các khai triển thu được theo cách này vào chuỗi Maclaurin (tức là ở lân cận điểm X=0) đối với một số hàm cơ bản:

(2) ,

(3) ,

( sự phân hủy cuối cùng được gọi là chuỗi nhị thức)

Ví dụ 4 . Mở rộng hàm thành chuỗi lũy thừa

Giải pháp. Trong khai triển (1) chúng ta thay thế X TRÊN - X 2, chúng tôi nhận được:

Ví dụ 5 . Khai triển hàm số trong chuỗi Maclaurin

Giải pháp. Chúng ta có

Sử dụng công thức (4), chúng ta có thể viết:

thay thế thay thế X vào công thức -X, chúng tôi nhận được:

Từ đây chúng ta tìm thấy:

Mở ngoặc, sắp xếp lại các số hạng của dãy và đưa các số hạng tương tự, ta được

Chuỗi này hội tụ trong khoảng

(-1;1), vì nó thu được từ hai chuỗi, mỗi chuỗi đều hội tụ trong khoảng này.

Bình luận .

Các công thức (1)-(5) cũng có thể được sử dụng để mở rộng các hàm tương ứng thành chuỗi Taylor, tức là để mở rộng các hàm theo lũy thừa số nguyên dương ( Hà). Để làm được điều này, cần phải thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau trên một hàm đã cho để thu được một trong các hàm (1)-(5), trong đó thay vào đó X chi phí k( Hà) m , trong đó k là số không đổi, m là số nguyên dương. Việc thay đổi biến thường rất thuận tiện t=Hà và mở rộng hàm kết quả theo t trong chuỗi Maclaurin.

Phương pháp này minh họa định lý về tính duy nhất của khai triển chuỗi lũy thừa của hàm. Bản chất của định lý này là trong vùng lân cận của cùng một điểm, không thể có được hai chuỗi lũy thừa khác nhau hội tụ về cùng một hàm, bất kể việc khai triển nó được thực hiện như thế nào.

Ví dụ 6 . Khai triển hàm số trong chuỗi Taylor trong lân cận của một điểm X=3.

Giải pháp. Vấn đề này có thể được giải quyết, như trước đây, bằng cách sử dụng định nghĩa của chuỗi Taylor, mà chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm và các giá trị của chúng tại X=3. Tuy nhiên, sẽ dễ dàng hơn khi sử dụng bản mở rộng hiện có (5):

Chuỗi kết quả hội tụ tại hoặc –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Ví dụ 7 . Viết chuỗi Taylor theo lũy thừa ( X-1) chức năng .

Giải pháp.

Chuỗi hội tụ tại , hoặc 2< x£5.

Sinh viên toán cao cấp nên biết rằng tổng của một chuỗi lũy thừa nhất định thuộc khoảng hội tụ của chuỗi đã cho chúng ta hóa ra là một hàm vi phân liên tục và không giới hạn số lần. Câu hỏi đặt ra: có thể nói rằng một hàm tùy ý f(x) đã cho là tổng của một chuỗi lũy thừa nhất định không? Nghĩa là, trong những điều kiện nào hàm f(x) có thể được biểu diễn bằng chuỗi lũy thừa? Tầm quan trọng của câu hỏi này nằm ở chỗ có thể thay thế gần đúng hàm f(x) bằng tổng của một vài số hạng đầu tiên của chuỗi lũy thừa, tức là một đa thức. Việc thay thế hàm bằng một biểu thức khá đơn giản - đa thức - cũng thuận tiện khi giải một số bài toán nhất định, cụ thể là: khi giải tích phân, khi tính toán, v.v.

Người ta đã chứng minh rằng đối với một hàm f(x) nhất định, trong đó có thể tính đạo hàm lên đến bậc (n+1), kể cả bậc cuối cùng, trong lân cận của (α - R; x 0 + R ) một số điểm x = α thì công thức:

Công thức này được đặt theo tên của nhà khoa học nổi tiếng Brooke Taylor. Chuỗi thu được từ chuỗi trước được gọi là chuỗi Maclaurin:

Quy tắc cho phép thực hiện khai triển chuỗi Maclaurin:

Xác định đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba....
Tính đạo hàm tại x=0 bằng bao nhiêu.
Viết chuỗi Maclaurin cho hàm số này rồi xác định khoảng hội tụ của nó.
Xác định khoảng (-R;R), trong đó phần còn lại của công thức Maclaurin

R n (x) -> 0 tại n -> vô cùng. Nếu tồn tại thì hàm f(x) trong nó phải trùng với tổng của chuỗi Maclaurin.

Bây giờ chúng ta xét chuỗi Maclaurin cho từng hàm số.

1. Vậy số đầu tiên sẽ là f(x) = e x. Tất nhiên, theo đặc điểm của nó, một hàm số như vậy có đạo hàm cấp rất khác nhau, và f (k) (x) = e x , trong đó k bằng tất cả. Thay x = 0. Ta được f(k)(0) = e 0 =1, k = 1,2... Dựa vào tính chất trên, chuỗi e x sẽ có dạng như sau:

2. Chuỗi Maclaurin cho hàm số f(x) = sin x. Chúng ta hãy làm rõ ngay rằng hàm cho mọi ẩn số sẽ có đạo hàm, ngoài ra, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), trong đó k bằng một số tự nhiên bất kỳ, nghĩa là sau khi thực hiện các phép tính đơn giản, chúng ta có thể đi đến kết luận rằng chuỗi f(x) = sin x sẽ có dạng như sau:

3. Bây giờ hãy xét hàm f(x) = cos x. Đối với tất cả các ẩn số, nó có đạo hàm theo thứ tự tùy ý và |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Vì vậy, chúng tôi đã liệt kê các hàm quan trọng nhất có thể được mở rộng theo chuỗi Maclaurin, nhưng chúng được bổ sung bằng chuỗi Taylor đối với một số hàm. Bây giờ chúng tôi sẽ liệt kê chúng. Cũng cần lưu ý rằng chuỗi Taylor và Maclaurin là một phần quan trọng của công việc thực tiễn giải chuỗi trong toán học cao hơn. Vì vậy, chuỗi Taylor.

1. Đầu tiên sẽ là chuỗi của hàm f(x) = ln(1+x). Như trong các ví dụ trước, với f(x) = ln(1+x) đã cho, chúng ta có thể cộng chuỗi bằng cách sử dụng dạng tổng quát của chuỗi Maclaurin. tuy nhiên, đối với hàm này, chuỗi Maclaurin có thể thu được đơn giản hơn nhiều. Sau khi tích phân một chuỗi hình học nhất định, chúng ta thu được một chuỗi với f(x) = ln(1+x) của mẫu đó:

2. Và chuỗi thứ hai, cuối cùng trong bài viết của chúng ta, sẽ là chuỗi f(x) = arctan x. Đối với x thuộc khoảng [-1;1] khai triển là hợp lệ:

Đó là tất cả. Bài viết này xem xét chuỗi Taylor và Maclaurin được sử dụng nhiều nhất trong toán học cao hơn, đặc biệt là trong các trường đại học kinh tế và kỹ thuật.

16.1. Khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Taylor và

Maclaurin

Hãy chứng minh rằng nếu một hàm tùy ý được xác định trên một tập hợp
, ở lân cận điểm
có nhiều đạo hàm và là tổng của chuỗi lũy thừa:

thì bạn có thể tìm thấy các hệ số của chuỗi này.

Hãy thay thế trong một chuỗi lũy thừa
. Sau đó
.

Hãy tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số
:

Tại
:
.

Đối với đạo hàm thứ hai, chúng tôi nhận được:

Tại
:
.

Tiếp tục thủ tục này N một khi chúng tôi nhận được:
.

Như vậy, ta thu được chuỗi lũy thừa có dạng:

được gọi là bên cạnh Taylor cho chức năng
ở lân cận của điểm
.

Trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor là Dòng Maclaurin Tại
:

Phần còn lại của chuỗi Taylor (Maclaurin) thu được bằng cách loại bỏ chuỗi chính N thành viên đầu tiên và được ký hiệu là
. Sau đó, chức năng
có thể được viết dưới dạng tổng N thành viên đầu tiên của bộ truyện
và phần còn lại
:,

Phần còn lại thường là
thể hiện dưới các công thức khác nhau.

Một trong số chúng ở dạng Lagrange:

, Ở đâu
.
.

Lưu ý rằng trong thực tế dãy Maclaurin được sử dụng thường xuyên hơn. Vì vậy, để viết hàm
dưới dạng tổng chuỗi lũy thừa cần có:

1) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin (Taylor);

2) tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa thu được;

3) chứng minh rằng chuỗi này hội tụ về hàm
.

Định lý1 (điều kiện cần và đủ để chuỗi Maclaurin hội tụ). Gọi bán kính hội tụ của chuỗi
. Để chuỗi này hội tụ trong khoảng
hoạt động
, cần và đủ để thỏa mãn điều kiện:
trong khoảng thời gian quy định.

Định lý 2. Nếu đạo hàm của bất kỳ thứ tự nào của hàm số
trong một khoảng thời gian nào đó
giới hạn về giá trị tuyệt đối ở cùng một số M, đó là
, thì trong khoảng này hàm
có thể khai triển thành chuỗi Maclaurin.

Ví dụ1 . Khai triển chuỗi Taylor quanh điểm
chức năng.

Giải pháp.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Vùng hội tụ
.

Ví dụ2 . Mở rộng một chức năng trong chuỗi Taylor quanh một điểm
.

Giải pháp:

Tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
.

,
;

...........……………………………

,
.

Hãy đặt các giá trị này thành một hàng. Chúng tôi nhận được:

hoặc
.

Hãy tìm miền hội tụ của chuỗi này. Theo thử nghiệm của d'Alembert, một chuỗi hội tụ nếu

Vì vậy, đối với bất kỳ giới hạn này nhỏ hơn 1 và do đó phạm vi hội tụ của chuỗi sẽ là:
.

Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về khai triển chuỗi Maclaurin của các hàm cơ bản cơ bản. Hãy nhớ lại dãy Maclaurin:

hội tụ trên khoảng
hoạt động
.

Lưu ý rằng để mở rộng một hàm thành một chuỗi thì cần phải:

a) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin cho hàm số này;

b) tính bán kính hội tụ của chuỗi kết quả;

c) chứng minh rằng chuỗi kết quả hội tụ về hàm
.

Ví dụ 3. Hãy xem xét chức năng
.

Giải pháp.

Hãy tính giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
.

Khi đó các hệ số của chuỗi có dạng:

cho bât ki ai N. Hãy thay các hệ số tìm được vào chuỗi Maclaurin và nhận được:

Hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi kết quả, cụ thể là:

Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
.

Chuỗi này hội tụ về hàm cho bất kỳ giá trị , bởi vì trên bất kỳ khoảng nào
chức năng và đạo hàm giá trị tuyệt đối của nó bị giới hạn về số lượng .

Ví dụ4 . Hãy xem xét chức năng
.

Giải pháp.

Dễ dàng thấy rằng đạo hàm cấp chẵn
, và đạo hàm có thứ tự lẻ. Chúng ta hãy thay thế các hệ số tìm được vào chuỗi Maclaurin và thu được khai triển:

Hãy tìm khoảng hội tụ của chuỗi này. Theo dấu d'Alembert:

cho bât ki ai . Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
.

Chuỗi này hội tụ về hàm
, bởi vì tất cả các đạo hàm của nó đều bị giới hạn ở sự thống nhất.

Ví dụ5 .
.

Giải pháp.

Hãy tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
:

Do đó, các hệ số của chuỗi này:
Và
, kể từ đây:

Tương tự như hàng trước, diện tích hội tụ
. Chuỗi hội tụ về hàm
, bởi vì tất cả các đạo hàm của nó đều bị giới hạn ở sự thống nhất.

Xin lưu ý rằng chức năng
khai triển chuỗi lẻ và chuỗi theo lũy thừa lẻ, hàm số
– chẵn và khai triển thành một chuỗi có lũy thừa chẵn.

Ví dụ6 . Chuỗi nhị thức:
.

Giải pháp.

Hãy tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
:

Từ đó có thể thấy rằng:

Chúng ta hãy thay thế các giá trị hệ số này vào chuỗi Maclaurin và thu được phép khai triển hàm này thành chuỗi lũy thừa:

Hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi này:

Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
. Tại các điểm giới hạn ở
Và
một chuỗi có thể hội tụ hoặc không tùy thuộc vào số mũ
.

Chuỗi nghiên cứu hội tụ trên khoảng
hoạt động
, tức là tổng của chuỗi
Tại
.

Ví dụ7 . Chúng ta hãy mở rộng hàm số trong chuỗi Maclaurin
.

Giải pháp.

Để mở rộng hàm này thành một chuỗi, chúng ta sử dụng chuỗi nhị thức tại
. Chúng tôi nhận được:

Dựa vào tính chất của chuỗi lũy thừa (chuỗi lũy thừa có thể tích phân trong vùng hội tụ của nó), ta tìm tích phân bên trái và bên phải của chuỗi này:

Hãy tìm diện tích hội tụ của chuỗi này:
,

nghĩa là diện tích hội tụ của chuỗi này là khoảng
. Hãy xác định sự hội tụ của chuỗi tại các điểm cuối của khoảng. Tại

. Chuỗi này là một chuỗi hài hòa, nghĩa là nó phân kỳ. Tại
chúng ta nhận được một chuỗi số với một số hạng chung
.

Chuỗi hội tụ theo phép thử Leibniz. Do đó, vùng hội tụ của chuỗi này là khoảng
.

16.2. Ứng dụng chuỗi lũy thừa trong tính toán gần đúng

Trong các tính toán gần đúng, chuỗi lũy thừa đóng vai trò cực kỳ quan trọng. Với sự giúp đỡ của họ, các bảng hàm lượng giác, bảng logarit, bảng giá trị của các hàm khác đã được biên soạn, được sử dụng trong các lĩnh vực kiến thức khác nhau, chẳng hạn như trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Ngoài ra, việc mở rộng hàm số thành chuỗi lũy thừa rất hữu ích cho việc nghiên cứu lý thuyết của họ. Vấn đề chính khi sử dụng chuỗi lũy thừa trong tính toán gần đúng là vấn đề ước lượng sai số khi thay tổng của chuỗi bằng tổng của chuỗi đầu tiên. N các thành viên.

Hãy xem xét hai trường hợp:

chức năng được mở rộng thành chuỗi xen kẽ dấu hiệu;

hàm được mở rộng thành một chuỗi dấu không đổi.

Tính toán sử dụng chuỗi xen kẽ

Hãy để chức năng
mở rộng thành chuỗi điện xoay chiều. Sau đó, khi tính hàm này cho một giá trị cụ thể chúng ta thu được một chuỗi số mà chúng ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Leibniz. Theo tiêu chí này, nếu tổng của một chuỗi được thay thế bằng tổng của chuỗi đầu tiên N thì sai số tuyệt đối không vượt quá số hạng đầu tiên trong phần còn lại của chuỗi này, đó là:
.

Ví dụ8 . Tính toán
với độ chính xác 0,0001.

Giải pháp.

Chúng ta sẽ sử dụng dãy Maclaurin cho
, thay thế giá trị góc tính bằng radian:

Nếu chúng ta so sánh số hạng thứ nhất và thứ hai của chuỗi với độ chính xác nhất định thì: .

Số hạng khai triển thứ ba:

nhỏ hơn độ chính xác tính toán quy định. Vì vậy, để tính toán
chỉ cần để lại hai thuật ngữ của bộ truyện là đủ, đó là

Như vậy
.

Ví dụ9 . Tính toán
với độ chính xác 0,001.

Giải pháp.

Chúng ta sẽ sử dụng công thức chuỗi nhị thức. Để làm điều này, hãy viết
BẰNG:
.

Trong biểu thức này
,

Hãy so sánh từng số hạng của chuỗi với độ chính xác được chỉ định. Rõ ràng là
. Vì vậy, để tính toán
chỉ cần để lại ba thuật ngữ của bộ truyện là đủ.

hoặc
.

Tính toán sử dụng chuỗi dương

Ví dụ10 . Tính số với độ chính xác 0,001.

Giải pháp.

Trong một hàng cho một chức năng
hãy thay thế
. Chúng tôi nhận được:

Chúng ta hãy ước tính sai số phát sinh khi thay tổng của chuỗi bằng tổng của chuỗi đầu tiên các thành viên. Hãy viết lại bất đẳng thức hiển nhiên:

đó là 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Theo đề bài cần tìm N sao cho có bất đẳng thức sau:
hoặc
.

Thật dễ dàng để kiểm tra rằng khi N= 6:
.

Kể từ đây,
.

Ví dụ11 . Tính toán
với độ chính xác 0,0001.

Giải pháp.

Lưu ý rằng để tính logarit người ta có thể sử dụng một chuỗi cho hàm
, nhưng chuỗi này hội tụ rất chậm và để đạt được độ chính xác cho trước cần phải lấy 9999 số hạng! Do đó, để tính logarit, theo quy luật, một chuỗi cho hàm được sử dụng
, hội tụ trên khoảng
.