Taylor phân hủy trực tuyến. Chuỗi lũy thừa, sự hội tụ của chúng, mở rộng hàm thành chuỗi lũy thừa

Mở rộng chức năng thành chuỗi Taylor, Maclaurin và Laurent trên một địa điểm đào tạo các kỹ năng thực tế. Việc mở rộng chuỗi hàm này cho phép các nhà toán học ước tính giá trị gần đúng của hàm tại một điểm nào đó trong miền định nghĩa của nó. Việc tính giá trị hàm như vậy sẽ dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng bảng Bredis, bảng này không còn phù hợp trong thời đại công nghệ máy tính. Khai triển một hàm thành chuỗi Taylor có nghĩa là tính các hệ số của các hàm tuyến tính của chuỗi này và viết nó dưới dạng đúng. Học sinh nhầm lẫn giữa hai dãy này, không hiểu đâu là trường hợp tổng quát, đâu là trường hợp đặc biệt của dãy thứ hai. Hãy để chúng tôi nhắc bạn một lần và mãi mãi rằng chuỗi Maclaurin là trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor, nghĩa là đây là chuỗi Taylor, nhưng tại điểm x = 0. Tất cả các mục ngắn gọn cho việc khai triển các hàm nổi tiếng, chẳng hạn như e^x, Sin(x), Cos(x) và các chuỗi khác, đây là các khai triển chuỗi Taylor, nhưng tại điểm 0 cho đối số. Đối với các hàm số phức, chuỗi Laurent là bài toán phổ biến nhất trong TFCT, vì nó biểu thị một chuỗi vô hạn hai phía. Đó là tổng của hai chuỗi. Chúng tôi khuyên bạn nên xem trực tiếp ví dụ về phân tách trên trang web; điều này rất dễ thực hiện bằng cách nhấp vào “Ví dụ” với bất kỳ số nào, sau đó nhấp vào nút “Giải pháp”. Chính việc mở rộng hàm này thành một chuỗi được liên kết với một chuỗi lớn hóa sẽ giới hạn hàm ban đầu trong một vùng nhất định dọc theo trục tọa độ nếu biến thuộc vùng hoành độ. Phân tích vectơ được so sánh với một môn học thú vị khác trong toán học. Vì mỗi thuật ngữ cần phải được kiểm tra nên quá trình này đòi hỏi khá nhiều thời gian. Bất kỳ chuỗi Taylor nào cũng có thể liên kết với chuỗi Maclaurin bằng cách thay x0 bằng 0, nhưng đối với chuỗi Maclaurin, đôi khi việc biểu diễn chuỗi Taylor ngược lại là không rõ ràng. Như thể điều này không bắt buộc phải được thực hiện ở dạng nguyên chất, điều này rất thú vị cho sự phát triển bản thân nói chung. Mỗi chuỗi Laurent tương ứng với một chuỗi lũy thừa vô hạn hai phía theo lũy thừa nguyên z-a, nói cách khác, là một chuỗi cùng loại Taylor, nhưng hơi khác nhau trong cách tính các hệ số. Chúng ta sẽ nói về vùng hội tụ của chuỗi Laurent sau một vài tính toán lý thuyết. Như trong thế kỷ trước, việc mở rộng từng bước một hàm thành một chuỗi khó có thể đạt được chỉ bằng cách đưa các số hạng về một mẫu số chung, vì các hàm trong mẫu số là phi tuyến tính. Việc tính toán gần đúng giá trị hàm là cần thiết khi xây dựng các bài toán. Hãy nghĩ về thực tế rằng khi đối số của chuỗi Taylor là một biến tuyến tính, thì việc khai triển xảy ra theo một số bước, nhưng bức tranh hoàn toàn khác khi đối số của hàm được khai triển là một hàm phức hoặc hàm phi tuyến, thì quá trình việc biểu diễn một hàm như vậy trong chuỗi lũy thừa là điều hiển nhiên, vì theo cách này, rất dễ tính toán, mặc dù là một giá trị gần đúng, tại bất kỳ điểm nào trong vùng định nghĩa, với sai số tối thiểu ít ảnh hưởng đến các phép tính tiếp theo. Điều này cũng áp dụng cho dãy Maclaurin. khi cần tính hàm số tại điểm 0. Tuy nhiên, bản thân chuỗi Laurent được thể hiện ở đây bằng sự mở rộng trên mặt phẳng với các đơn vị tưởng tượng. Ngoài ra, giải pháp chính xác cho vấn đề trong toàn bộ quá trình sẽ không thành công. Cách tiếp cận này không được biết đến trong toán học, nhưng nó tồn tại một cách khách quan. Kết quả là, bạn có thể đi đến kết luận về cái gọi là tập hợp con theo điểm và khi khai triển hàm trong chuỗi, bạn cần sử dụng các phương pháp đã biết cho quá trình này, chẳng hạn như ứng dụng lý thuyết đạo hàm. Một lần nữa, chúng tôi tin rằng giáo viên đã đúng khi đưa ra giả định về kết quả của các phép tính sau tính toán. Hãy lưu ý rằng chuỗi Taylor, thu được theo tất cả các quy tắc toán học, tồn tại và được xác định trên toàn bộ trục số, tuy nhiên, những người dùng thân yêu của dịch vụ trang web, đừng quên loại hàm ban đầu, vì nó có thể xuất hiện rằng ban đầu cần thiết lập miền định nghĩa của hàm, nghĩa là viết và loại trừ khỏi xem xét thêm những điểm mà tại đó hàm không được xác định trong miền số thực. Có thể nói, điều này sẽ cho thấy hiệu quả của bạn trong việc giải quyết vấn đề. Việc xây dựng chuỗi Maclaurin với giá trị đối số bằng 0 sẽ không phải là ngoại lệ đối với những gì đã nói. Quá trình tìm miền định nghĩa của một hàm vẫn chưa bị hủy bỏ và bạn phải tiếp cận phép toán này với tất cả sự nghiêm túc. Trong trường hợp chuỗi Laurent chứa phần chính, tham số “a” sẽ được gọi là điểm kỳ dị cô lập và chuỗi Laurent sẽ được khai triển thành một vành - đây là giao điểm của các vùng hội tụ của các phần của nó, do đó định lý tương ứng sẽ theo sau. Nhưng không phải mọi thứ đều phức tạp như thoạt nhìn đối với một sinh viên thiếu kinh nghiệm. Sau khi nghiên cứu về chuỗi Taylor, bạn có thể dễ dàng hiểu được chuỗi Laurent - một trường hợp tổng quát để mở rộng không gian các số. Bất kỳ sự mở rộng chuỗi nào của hàm chỉ có thể được thực hiện tại một điểm trong miền định nghĩa của hàm. Cần tính đến các thuộc tính của hàm như tính tuần hoàn hoặc khả vi vô hạn. Chúng tôi cũng khuyên bạn nên sử dụng bảng mở rộng chuỗi Taylor làm sẵn của các hàm cơ bản, vì một hàm có thể được biểu diễn bằng hàng chục chuỗi lũy thừa khác nhau, như có thể thấy khi sử dụng máy tính trực tuyến của chúng tôi. Chuỗi Maclaurin trực tuyến dễ xác định, nếu bạn sử dụng dịch vụ trang web duy nhất, bạn chỉ cần nhập đúng chức năng viết và bạn sẽ nhận được câu trả lời được trình bày sau vài giây, nó được đảm bảo chính xác và đúng một dạng văn bản tiêu chuẩn. Bạn có thể sao chép kết quả trực tiếp thành một bản sao sạch để nộp cho giáo viên. Sẽ là đúng nếu trước tiên xác định tính phân tích của hàm đang xét trong các vành, sau đó phát biểu rõ ràng rằng nó có thể mở rộng theo dãy Laurent trong tất cả các vành như vậy. Điều quan trọng là không được bỏ qua các số hạng của dãy Laurent chứa đựng sức mạnh tiêu cực. Hãy tập trung vào điều này càng nhiều càng tốt. Vận dụng tốt định lý Laurent về khai triển hàm số lũy thừa nguyên.

Nếu hàm f(x) có đạo hàm của tất cả các bậc trên một khoảng nhất định chứa điểm a thì có thể áp dụng công thức Taylor cho nó:
,
Ở đâu r n– cái gọi là số hạng còn lại hoặc phần còn lại của chuỗi, nó có thể được ước tính bằng công thức Lagrange:
, trong đó số x nằm giữa x và a.

Quy tắc nhập hàm:

Nếu vì một giá trị nào đó X r n→0 lúc N→∞, thì trong giới hạn, công thức Taylor trở nên hội tụ với giá trị này loạt Taylor:
,
Do đó, hàm f(x) có thể được mở rộng thành chuỗi Taylor tại điểm x đang xét nếu:
1) nó có các dẫn xuất của tất cả các lệnh;
2) chuỗi được xây dựng hội tụ tại điểm này.

Khi a = 0 chúng ta nhận được một chuỗi gọi là gần Maclaurin:
,
Mở rộng các hàm (cơ bản) đơn giản nhất trong chuỗi Maclaurin:
Hàm số mũ
, R=∞
Hàm lượng giác
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Hàm Actgx không khai triển theo lũy thừa của x, bởi vì ctg0=∞
Hàm hyperbol


Hàm logarit
, -1
Chuỗi nhị thức
.

Ví dụ số 1. Mở rộng hàm thành chuỗi lũy thừa f(x)= 2x.
Giải pháp. Hãy tìm các giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.
Thay các giá trị thu được của đạo hàm vào công thức chuỗi Taylor, ta thu được:

Bán kính hội tụ của chuỗi này bằng vô cùng, do đó khai triển này đúng với -∞<x<+∞.

Ví dụ số 2. Viết chuỗi Taylor theo lũy thừa ( X+4) cho chức năng f(x)= e x.
Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm e x và giá trị của chúng tại điểm X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Do đó, chuỗi Taylor yêu cầu của hàm số có dạng:

Việc mở rộng này cũng hợp lệ cho -∞<x<+∞.

Ví dụ số 3. Mở rộng một chức năng f(x)=ln x trong một chuỗi quyền hạn ( X- 1),
(tức là trong chuỗi Taylor ở lân cận điểm X=1).
Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm số này.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Thay thế các giá trị này vào công thức, chúng ta thu được chuỗi Taylor mong muốn:

Sử dụng thử nghiệm của d'Alembert, bạn có thể xác minh rằng chuỗi hội tụ tại ½x-1½<1 . Действительно,

Chuỗi hội tụ nếu ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 chúng ta thu được một chuỗi xen kẽ thỏa mãn các điều kiện của tiêu chí Leibniz. Khi x=0 hàm không được xác định. Như vậy vùng hội tụ của chuỗi Taylor là khoảng nửa mở (0;2).

Ví dụ số 4. Mở rộng hàm số thành chuỗi lũy thừa.
Giải pháp. Trong khai triển (1), chúng ta thay x bằng -x 2, chúng ta nhận được:
, -∞

Ví dụ số 5. Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin.
Giải pháp. Chúng ta có
Sử dụng công thức (4), chúng ta có thể viết:

thay thế –x thay vì x trong công thức, chúng ta nhận được:

Từ đây chúng ta tìm thấy: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Mở ngoặc, sắp xếp lại các số hạng của dãy và đưa các số hạng tương tự, ta được
. Chuỗi này hội tụ trong khoảng (-1;1), vì nó được lấy từ hai chuỗi, mỗi chuỗi đều hội tụ trong khoảng này.

Bình luận .
Các công thức (1)-(5) cũng có thể được sử dụng để mở rộng các hàm tương ứng thành chuỗi Taylor, tức là để mở rộng các hàm theo lũy thừa số nguyên dương ( Hà). Để làm được điều này, cần phải thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau trên một hàm đã cho để thu được một trong các hàm (1)-(5), trong đó thay vào đó X chi phí k( Hà) m , trong đó k là số không đổi, m là số nguyên dương. Việc thay đổi biến thường rất thuận tiện t=Hà và mở rộng hàm kết quả theo t trong chuỗi Maclaurin.

Phương pháp này dựa trên định lý về tính duy nhất của khai triển hàm số trong chuỗi lũy thừa. Bản chất của định lý này là trong vùng lân cận của cùng một điểm, không thể thu được hai chuỗi lũy thừa khác nhau hội tụ về cùng một hàm, bất kể việc khai triển nó được thực hiện như thế nào.

Ví dụ số 5a. Khai triển hàm số theo chuỗi Maclaurin và chỉ ra vùng hội tụ.
Giải pháp. Đầu tiên chúng ta tìm 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
đến tiểu học:

Phân số 3/(1-3x) có thể được coi là tổng của cấp số nhân giảm vô hạn với mẫu số là 3x, nếu |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

với vùng hội tụ |x|< 1/3.

Ví dụ số 6. Khai triển hàm số thành chuỗi Taylor ở vùng lân cận điểm x = 3.
Giải pháp. Vấn đề này có thể được giải quyết, như trước đây, bằng cách sử dụng định nghĩa của chuỗi Taylor, mà chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm và các giá trị của chúng tại X=3. Tuy nhiên, sẽ dễ dàng hơn khi sử dụng bản mở rộng hiện có (5):
=
Chuỗi kết quả hội tụ tại hoặc –3

Ví dụ số 7. Viết chuỗi Taylor theo lũy thừa (x -1) của hàm số ln(x+2) .
Giải pháp.


Chuỗi hội tụ tại , hoặc -2< x < 5.

Ví dụ số 8. Khai triển hàm f(x)=sin(πx/4) thành chuỗi Taylor trong vùng lân cận điểm x =2.
Giải pháp. Hãy thay thế t=x-2:

Sử dụng khai triển (3), trong đó chúng ta thay π / 4 t thay cho x, chúng ta thu được:

Chuỗi kết quả hội tụ về hàm đã cho tại -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Như vậy,
, (-∞

Tính toán gần đúng sử dụng chuỗi lũy thừa

• nếu chuỗi kết quả xen kẽ thì thuộc tính sau được sử dụng: đối với chuỗi xen kẽ thỏa mãn điều kiện Leibniz, phần còn lại của chuỗi có giá trị tuyệt đối không vượt quá số hạng bị loại bỏ đầu tiên.
• nếu một chuỗi cho trước có dấu không đổi thì chuỗi gồm các số hạng bị loại bỏ sẽ được so sánh với một cấp số nhân giảm vô hạn.
• trong trường hợp tổng quát, để ước tính phần còn lại của chuỗi Taylor, bạn có thể sử dụng công thức Lagrange: a x ).

Ví dụ số 1. Tính ln(3) chính xác đến 0,01.
Giải pháp. Hãy sử dụng khai triển trong đó x=1/2 (xem ví dụ 5 trong chủ đề trước):

Hãy kiểm tra xem liệu chúng ta có thể loại bỏ phần còn lại sau ba số hạng đầu tiên của phép khai triển hay không; để làm điều này, chúng ta sẽ tính nó bằng cách sử dụng tổng của một cấp số nhân giảm vô hạn:

Vì vậy, chúng ta có thể loại bỏ phần còn lại này và nhận được

Ví dụ số 2. Tính đến 0,0001 gần nhất.
Giải pháp. Hãy sử dụng chuỗi nhị thức. Vì 5 3 là lập phương của một số nguyên gần 130 nhất nên nên biểu diễn số 130 là 130 = 5 3 +5.



vì số hạng thứ tư của chuỗi xen kẽ thu được thỏa mãn tiêu chí Leibniz nhỏ hơn độ chính xác yêu cầu:
, do đó nó và các số hạng theo sau nó có thể bị loại bỏ.
Nhiều tích phân xác định hoặc tích phân suy rộng thực tế cần thiết không thể tính được bằng công thức Newton-Leibniz, vì ứng dụng của nó gắn liền với việc tìm nguyên hàm, thường không có biểu thức trong các hàm cơ bản. Điều đó cũng xảy ra là có thể tìm được nguyên hàm, nhưng việc này tốn nhiều công sức một cách không cần thiết. Tuy nhiên, nếu hàm tích phân được mở rộng thành chuỗi lũy thừa và các giới hạn tích phân thuộc về khoảng hội tụ của chuỗi này thì có thể tính toán gần đúng tích phân với độ chính xác định trước.

Ví dụ số 3. Tính tích phân ∫ 0 1 4 sin (x) x trong khoảng 10 -5 .
Giải pháp. Tích phân bất định tương ứng không thể biểu diễn bằng các hàm cơ bản, tức là đại diện cho một “tích phân không cố định”. Công thức Newton-Leibniz không thể áp dụng được ở đây. Hãy tính tích phân xấp xỉ.
Chia từng số hạng cho chuỗi tội lỗi x TRÊN x, chúng tôi nhận được:

Tích phân từng số hạng của chuỗi này theo từng số hạng (điều này có thể thực hiện được, vì giới hạn tích phân thuộc về khoảng hội tụ của chuỗi này), ta thu được:

Vì chuỗi kết quả thỏa mãn các điều kiện của Leibniz và chỉ cần lấy tổng của hai số hạng đầu tiên là đủ để thu được giá trị mong muốn với độ chính xác nhất định.
Vì vậy, chúng tôi tìm thấy
.

Ví dụ số 4. Tính tích phân ∫ 0 1 4 e x 2 với độ chính xác 0,001.
Giải pháp.
. Hãy kiểm tra xem liệu chúng ta có thể loại bỏ phần còn lại sau số hạng thứ hai của chuỗi kết quả hay không.
0,0001<0.001. Следовательно, .

16.1. Khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Taylor và

Maclaurin

Hãy chứng minh rằng nếu một hàm tùy ý được xác định trên một tập hợp
, ở lân cận điểm
có nhiều đạo hàm và là tổng của chuỗi lũy thừa:

thì bạn có thể tìm thấy các hệ số của chuỗi này.

Hãy thay thế trong một chuỗi lũy thừa
. Sau đó
.

Hãy tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số
:

Tại
:
.

Đối với đạo hàm thứ hai, chúng tôi nhận được:

Tại
:
.

Tiếp tục thủ tục này N một khi chúng tôi nhận được:
.

Như vậy, ta thu được chuỗi lũy thừa có dạng:

,

được gọi là bên cạnh Taylor cho chức năng
ở lân cận của điểm
.

Trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor là Dòng Maclaurin Tại
:

Phần còn lại của chuỗi Taylor (Maclaurin) thu được bằng cách loại bỏ chuỗi chính N thành viên đầu tiên và được ký hiệu là
. Sau đó, chức năng
có thể được viết dưới dạng tổng N thành viên đầu tiên của bộ truyện
và phần còn lại
:,

.

Phần còn lại thường là
thể hiện dưới các công thức khác nhau.

Một trong số chúng ở dạng Lagrange:

, Ở đâu
.
.

Lưu ý rằng trong thực tế dãy Maclaurin được sử dụng thường xuyên hơn. Vì vậy, để viết hàm
dưới dạng tổng chuỗi lũy thừa cần có:

1) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin (Taylor);

2) tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa thu được;

3) chứng minh rằng chuỗi này hội tụ về hàm
.

Định lý1 (điều kiện cần và đủ để chuỗi Maclaurin hội tụ). Gọi bán kính hội tụ của chuỗi
. Để chuỗi này hội tụ trong khoảng
hoạt động
, cần và đủ để thỏa mãn điều kiện:
trong khoảng thời gian quy định.

Định lý 2. Nếu đạo hàm của bất kỳ thứ tự nào của hàm số
trong một khoảng thời gian nào đó
giới hạn về giá trị tuyệt đối ở cùng một số M, đó là
, thì trong khoảng này hàm
có thể khai triển thành chuỗi Maclaurin.

Ví dụ1 . Khai triển chuỗi Taylor quanh điểm
chức năng.

Giải pháp.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Vùng hội tụ
.

Ví dụ2 . Mở rộng một chức năng trong chuỗi Taylor quanh một điểm
.

Giải pháp:

Tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Hãy đặt các giá trị này thành một hàng. Chúng tôi nhận được:

hoặc
.

Hãy tìm miền hội tụ của chuỗi này. Theo thử nghiệm của d'Alembert, một chuỗi hội tụ nếu

.

Vì vậy, đối với bất kỳ giới hạn này nhỏ hơn 1 và do đó phạm vi hội tụ của chuỗi sẽ là:
.

Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về khai triển chuỗi Maclaurin của các hàm cơ bản cơ bản. Hãy nhớ lại dãy Maclaurin:

.

hội tụ trên khoảng
hoạt động
.

Lưu ý rằng để mở rộng một hàm thành một chuỗi thì cần phải:

a) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin cho hàm số này;

b) tính bán kính hội tụ của chuỗi kết quả;

c) chứng minh rằng chuỗi kết quả hội tụ về hàm
.

Ví dụ 3. Hãy xem xét chức năng
.

Giải pháp.

Hãy tính giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
.

Khi đó các hệ số của chuỗi có dạng:

cho bât ki ai N. Hãy thay các hệ số tìm được vào chuỗi Maclaurin và nhận được:

Hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi kết quả, cụ thể là:

.

Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
.

Chuỗi này hội tụ về hàm cho bất kỳ giá trị , bởi vì trên bất kỳ khoảng nào
chức năng và đạo hàm giá trị tuyệt đối của nó bị giới hạn về số lượng .

Ví dụ4 . Hãy xem xét chức năng
.

Giải pháp.

:

Dễ dàng thấy rằng đạo hàm cấp chẵn
, và đạo hàm có thứ tự lẻ. Chúng ta hãy thay thế các hệ số tìm được vào chuỗi Maclaurin và thu được khai triển:

Hãy tìm khoảng hội tụ của chuỗi này. Theo dấu d'Alembert:

cho bât ki ai . Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
.

Chuỗi này hội tụ về hàm
, bởi vì tất cả các đạo hàm của nó đều bị giới hạn ở sự thống nhất.

Ví dụ5 .
.

Giải pháp.

Hãy tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
:

Do đó, các hệ số của chuỗi này:
Và
, kể từ đây:

Tương tự như hàng trước, diện tích hội tụ
. Chuỗi hội tụ về hàm
, bởi vì tất cả các đạo hàm của nó đều bị giới hạn ở sự thống nhất.

Xin lưu ý rằng chức năng
khai triển chuỗi lẻ và chuỗi theo lũy thừa lẻ, hàm số
– chẵn và khai triển thành một chuỗi có lũy thừa chẵn.

Ví dụ6 . Chuỗi nhị thức:
.

Giải pháp.

Hãy tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
:

Từ đó có thể thấy rằng:

Chúng ta hãy thay thế các giá trị hệ số này vào chuỗi Maclaurin và thu được phép khai triển hàm này thành chuỗi lũy thừa:

Hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi này:

Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
. Tại các điểm giới hạn ở
Và
một chuỗi có thể hội tụ hoặc không tùy thuộc vào số mũ
.

Chuỗi nghiên cứu hội tụ trên khoảng
hoạt động
, tức là tổng của chuỗi
Tại
.

Ví dụ7 . Chúng ta hãy mở rộng hàm số trong chuỗi Maclaurin
.

Giải pháp.

Để mở rộng hàm này thành một chuỗi, chúng ta sử dụng chuỗi nhị thức tại
. Chúng tôi nhận được:

Dựa vào tính chất của chuỗi lũy thừa (chuỗi lũy thừa có thể tích phân trong vùng hội tụ của nó), ta tìm tích phân bên trái và bên phải của chuỗi này:

Hãy tìm diện tích hội tụ của chuỗi này:
,

nghĩa là diện tích hội tụ của chuỗi này là khoảng
. Hãy xác định sự hội tụ của chuỗi tại các điểm cuối của khoảng. Tại

. Chuỗi này là một chuỗi hài hòa, nghĩa là nó phân kỳ. Tại
chúng ta nhận được một chuỗi số với một số hạng chung
.

Chuỗi hội tụ theo phép thử Leibniz. Do đó, vùng hội tụ của chuỗi này là khoảng
.

16.2. Ứng dụng chuỗi lũy thừa trong tính toán gần đúng

Trong các tính toán gần đúng, chuỗi lũy thừa đóng vai trò cực kỳ quan trọng. Với sự giúp đỡ của họ, các bảng hàm lượng giác, bảng logarit, bảng giá trị của các hàm khác đã được biên soạn, được sử dụng trong các lĩnh vực kiến ​​thức khác nhau, chẳng hạn như trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Ngoài ra, việc mở rộng hàm số thành chuỗi lũy thừa rất hữu ích cho việc nghiên cứu lý thuyết của họ. Vấn đề chính khi sử dụng chuỗi lũy thừa trong tính toán gần đúng là vấn đề ước lượng sai số khi thay tổng của chuỗi bằng tổng của chuỗi đầu tiên. N các thành viên.

Hãy xem xét hai trường hợp:

chức năng được mở rộng thành chuỗi xen kẽ dấu hiệu;

hàm được mở rộng thành một chuỗi dấu không đổi.

Tính toán sử dụng chuỗi xen kẽ

Hãy để chức năng
mở rộng thành chuỗi điện xoay chiều. Sau đó, khi tính hàm này cho một giá trị cụ thể chúng ta thu được một chuỗi số mà chúng ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Leibniz. Theo tiêu chí này, nếu tổng của một chuỗi được thay thế bằng tổng của chuỗi đầu tiên N thì sai số tuyệt đối không vượt quá số hạng đầu tiên trong phần còn lại của chuỗi này, đó là:
.

Ví dụ8 . Tính toán
với độ chính xác 0,0001.

Giải pháp.

Chúng ta sẽ sử dụng dãy Maclaurin cho
, thay thế giá trị góc tính bằng radian:

Nếu chúng ta so sánh số hạng thứ nhất và thứ hai của chuỗi với độ chính xác nhất định thì: .

Số hạng khai triển thứ ba:

nhỏ hơn độ chính xác tính toán quy định. Vì vậy, để tính toán
chỉ cần để lại hai thuật ngữ của bộ truyện là đủ, đó là

.

Như vậy
.

Ví dụ9 . Tính toán
với độ chính xác 0,001.

Giải pháp.

Chúng ta sẽ sử dụng công thức chuỗi nhị thức. Để làm điều này, hãy viết
BẰNG:
.

Trong biểu thức này
,

Hãy so sánh từng số hạng của chuỗi với độ chính xác được chỉ định. Rõ ràng là
. Vì vậy, để tính toán
chỉ cần để lại ba thuật ngữ của bộ truyện là đủ.

hoặc
.

Tính toán sử dụng chuỗi dương

Ví dụ10 . Tính số với độ chính xác 0,001.

Giải pháp.

Trong một hàng cho một chức năng
hãy thay thế
. Chúng tôi nhận được:

Chúng ta hãy ước tính sai số phát sinh khi thay tổng của chuỗi bằng tổng của chuỗi đầu tiên các thành viên. Hãy viết lại bất đẳng thức hiển nhiên:

đó là 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Theo đề bài cần tìm N sao cho có bất đẳng thức sau:
hoặc
.

Thật dễ dàng để kiểm tra rằng khi N= 6:
.

Kể từ đây,
.

Ví dụ11 . Tính toán
với độ chính xác 0,0001.

Giải pháp.

Lưu ý rằng để tính logarit người ta có thể sử dụng một chuỗi cho hàm
, nhưng chuỗi này hội tụ rất chậm và để đạt được độ chính xác cho trước cần phải lấy 9999 số hạng! Do đó, để tính logarit, theo quy luật, một chuỗi cho hàm được sử dụng
, hội tụ trên khoảng
.

Hãy tính toán
sử dụng loạt bài này. Cho phép
, Sau đó .

Kể từ đây,
,

Để tính toán
với độ chính xác nhất định, lấy tổng của bốn số hạng đầu tiên:
.

Phần còn lại của loạt bài
hãy vứt bỏ nó đi. Hãy ước tính lỗi. Hiển nhiên là

hoặc
.

Do đó, trong chuỗi được sử dụng để tính toán, chỉ cần lấy bốn số hạng đầu tiên thay vì 9999 trong chuỗi cho hàm
.

Câu hỏi tự chẩn đoán

1. Chuỗi Taylor là gì?

2. Chuỗi Maclaurin có dạng gì?

3. Xây dựng định lý khai triển hàm số theo chuỗi Taylor.

4. Viết khai triển chuỗi Maclaurin của các hàm chính.

5. Hãy chỉ ra vùng hội tụ của chuỗi đang xét.

6. Làm thế nào để ước tính sai số trong phép tính gần đúng sử dụng chuỗi lũy thừa?

Trong lý thuyết về chuỗi hàm, vị trí trung tâm được chiếm bởi phần dành cho việc mở rộng hàm thành một chuỗi.

Do đó, nhiệm vụ được đặt ra: đối với một chức năng nhất định chúng ta cần tìm một chuỗi sức mạnh như vậy

hội tụ tại một khoảng nhất định và tổng của nó bằng
, những thứ kia.

= ..

Nhiệm vụ này được gọi là bài toán khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa.

Điều kiện cần để phân rã hàm số trong chuỗi lũy thừa khả vi của nó là vô số lần - điều này xuất phát từ các tính chất của chuỗi lũy thừa hội tụ. Điều kiện này được thỏa mãn, như một quy luật, đối với các hàm cơ bản trong miền định nghĩa của chúng.

Vì vậy hãy giả sử rằng hàm
có đạo hàm của bất kỳ thứ tự nào. Có thể khai triển nó thành một chuỗi lũy thừa không?Nếu vậy thì làm thế nào chúng ta có thể tìm được chuỗi lũy thừa này? Phần thứ hai của vấn đề dễ giải quyết hơn, vì vậy hãy bắt đầu với nó.

Chúng ta hãy giả sử rằng hàm
có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi lũy thừa hội tụ trong khoảng chứa điểm X 0 :

= .. (*)

Ở đâu MỘT 0 ,MỘT 1 ,MỘT 2 ,...,MỘT P ,... – các hệ số (chưa) chưa biết.

Chúng ta đặt đẳng thức (*) giá trị x = x 0 , sau đó chúng tôi nhận được

.

Hãy phân biệt chuỗi lũy thừa (*) theo từng số hạng

= ..

và tin tưởng ở đây x = x 0 , chúng tôi nhận được

.

Với đạo hàm tiếp theo, chúng ta thu được chuỗi

= ..

tin tưởng x = x 0 , chúng tôi nhận được
, Ở đâu
.

Sau đó P-nhiều sự khác biệt chúng tôi nhận được

Giả sử ở đẳng thức cuối cùng x = x 0 , chúng tôi nhận được
, Ở đâu

Vì vậy tìm được hệ số

,
,
, …,
,….,

Thay thế cái nào vào chuỗi (*), ta được

Chuỗi kết quả được gọi là bên cạnh Taylor cho chức năng
.

Vì vậy, chúng tôi đã thiết lập rằng nếu hàm có thể được mở rộng thành chuỗi lũy thừa theo lũy thừa (x - x 0 ), thì khai triển này là duy nhất và chuỗi kết quả nhất thiết phải là chuỗi Taylor.

Lưu ý rằng có thể thu được chuỗi Taylor cho bất kỳ hàm số nào có đạo hàm cấp bất kỳ tại điểm x = x 0 . Nhưng điều này không có nghĩa là có thể đặt dấu bằng giữa hàm và chuỗi kết quả, tức là. rằng tổng của chuỗi bằng hàm ban đầu. Thứ nhất, đẳng thức như vậy chỉ có thể có ý nghĩa trong vùng hội tụ và chuỗi Taylor thu được cho hàm có thể phân kỳ và thứ hai, nếu chuỗi Taylor hội tụ thì tổng của nó có thể không trùng với hàm ban đầu.

3.2. Điều kiện đủ để phân tích hàm số trong chuỗi Taylor

Hãy để chúng tôi xây dựng một tuyên bố với sự trợ giúp của nhiệm vụ này sẽ được giải quyết.

Nếu chức năng
trong một lân cận nào đó của điểm x 0 có đạo hàm lên tới (N+ 1) bao gồm thứ tự, thì trong lân cận này chúng ta cócông thức Taylor

Ở đâuR N (X)-số hạng còn lại của công thức Taylor – có dạng (dạng Lagrange)

Ở đâu dấu chấmξ nằm giữa x và x 0 .

Lưu ý rằng có sự khác biệt giữa chuỗi Taylor và công thức Taylor: công thức Taylor là một tổng hữu hạn, tức là P - số cố định.

Hãy nhớ rằng tổng của chuỗi S(x) có thể được định nghĩa là giới hạn của chuỗi hàm của các tổng riêng phần S P (x) ở một khoảng thời gian nào đó X:

.

Theo đó, để mở rộng hàm số thành chuỗi Taylor có nghĩa là tìm một chuỗi sao cho với mọi XX

Chúng ta hãy viết công thức Taylor ở dạng trong đó

thông báo rằng
xác định lỗi chúng tôi nhận được, thay thế hàm f(x) đa thức S N (x).

Nếu như
, Cái đó
,những thứ kia. hàm số được mở rộng thành chuỗi Taylor. Ngược lại, nếu
, Cái đó
.

Như vậy chúng ta đã chứng minh tiêu chí cho khả năng phân rã của hàm số trong chuỗi Taylor.

Để có chức năngf(x) khai triển thành chuỗi Taylor, điều cần và đủ là trên khoảng này
, Ở đâuR N (x) là số hạng còn lại của chuỗi Taylor.

Sử dụng tiêu chí đã được xây dựng, người ta có thể thu được hợp lýđiều kiện phân rã của hàm số trong chuỗi Taylor.

Nếu ởlân cận nào đó của điểm x 0 các giá trị tuyệt đối của mọi đạo hàm của hàm số đều được giới hạn ở cùng một số M≥ 0, tức là

, To trong vùng lân cận này hàm số mở rộng thành chuỗi Taylor.

Từ trên suy ra thuật toánmở rộng chức năng f(x) trong chuỗi Taylor trong vùng lân cận của một điểm X 0 :

1. Tìm đạo hàm của hàm số f(x):

f(x), f'(x), f”(x), f’”(x), f (N) (x),…

2. Tính giá trị của hàm số và các giá trị đạo hàm của nó tại điểm X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), f (N) (x 0 ),…

3. Chúng ta chính thức viết chuỗi Taylor và tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa thu được.

4. Chúng tôi kiểm tra việc đáp ứng đủ điều kiện, tức là. chúng tôi thiết lập cho điều đó X từ vùng hội tụ, số hạng còn lại R N (x) có xu hướng bằng 0 tại
hoặc
.

Việc khai triển hàm số thành chuỗi Taylor bằng thuật toán này được gọi là khai triển hàm số thành chuỗi Taylor theo định nghĩa hoặc phân hủy trực tiếp.

Nếu chức năng f(x) có một khoảng nào đó chứa điểm MỘT, đạo hàm của tất cả các bậc thì có thể áp dụng công thức Taylor cho nó:

Ở đâu r n– cái gọi là số hạng còn lại hoặc phần còn lại của chuỗi, nó có thể được ước tính bằng công thức Lagrange:

, trong đó số x nằm giữa X Và MỘT.

Nếu vì một giá trị nào đó x r n®0 tại N®¥ thì trong giới hạn công thức Taylor chuyển thành công thức hội tụ cho giá trị này loạt Taylor:

Vì vậy chức năng f(x) có thể được mở rộng thành chuỗi Taylor tại điểm đang xét X, Nếu như:

1) nó có các dẫn xuất của tất cả các lệnh;

2) chuỗi được xây dựng hội tụ tại điểm này.

Tại MỘT=0 chúng tôi nhận được một chuỗi tên là gần Maclaurin:

ví dụ 1 f(x)= 2x.

Giải pháp. Hãy tìm các giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.

Thay các giá trị thu được của đạo hàm vào công thức chuỗi Taylor, ta thu được:

Bán kính hội tụ của chuỗi này bằng vô cùng, do đó việc khai triển này hợp lệ với -¥<x<+¥.

Ví dụ 2 X+4) cho chức năng f(x)= e x.

Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm e x và giá trị của chúng tại điểm X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Do đó, chuỗi Taylor yêu cầu của hàm số có dạng:

Bản mở rộng này cũng hợp lệ cho -¥<x<+¥.

Ví dụ 3 . Mở rộng một chức năng f(x)=ln x trong một chuỗi quyền hạn ( X- 1),

(tức là trong chuỗi Taylor ở lân cận điểm X=1).

Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm số này.

Thay thế các giá trị này vào công thức, chúng ta thu được chuỗi Taylor mong muốn:

Sử dụng phép thử d'Alembert, bạn có thể xác minh rằng chuỗi hội tụ khi

½ X- 1½<1. Действительно,

Chuỗi hội tụ nếu ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 chúng ta thu được một chuỗi xen kẽ thỏa mãn các điều kiện của tiêu chí Leibniz. Tại X Hàm = 0 không được xác định. Như vậy vùng hội tụ của chuỗi Taylor là khoảng nửa mở (0;2).

Chúng ta hãy trình bày các khai triển thu được theo cách này vào chuỗi Maclaurin (tức là ở lân cận điểm X=0) đối với một số hàm cơ bản:

(2) ,

(3) ,

( sự phân hủy cuối cùng được gọi là chuỗi nhị thức)

Ví dụ 4 . Mở rộng hàm thành chuỗi lũy thừa

Giải pháp. Trong khai triển (1) chúng ta thay thế X TRÊN - X 2, chúng tôi nhận được:

Ví dụ 5 . Khai triển hàm số trong chuỗi Maclaurin

Giải pháp. Chúng ta có

Sử dụng công thức (4), chúng ta có thể viết:

thay thế thay thế X vào công thức -X, chúng tôi nhận được:

Từ đây chúng ta tìm thấy:

Mở ngoặc, sắp xếp lại các số hạng của dãy và đưa các số hạng tương tự, ta được

Chuỗi này hội tụ trong khoảng

(-1;1), vì nó thu được từ hai chuỗi, mỗi chuỗi đều hội tụ trong khoảng này.

Bình luận .

Các công thức (1)-(5) cũng có thể được sử dụng để mở rộng các hàm tương ứng thành chuỗi Taylor, tức là để mở rộng các hàm theo lũy thừa số nguyên dương ( Hà). Để làm được điều này, cần phải thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau trên một hàm đã cho để thu được một trong các hàm (1)-(5), trong đó thay vào đó X chi phí k( Hà) m , trong đó k là số không đổi, m là số nguyên dương. Việc thay đổi biến thường rất thuận tiện t=Hà và mở rộng hàm kết quả theo t trong chuỗi Maclaurin.

Phương pháp này minh họa định lý về tính duy nhất của khai triển chuỗi lũy thừa của hàm. Bản chất của định lý này là trong vùng lân cận của cùng một điểm, không thể thu được hai chuỗi lũy thừa khác nhau hội tụ về cùng một hàm, bất kể việc khai triển nó được thực hiện như thế nào.

Ví dụ 6 . Khai triển hàm số trong chuỗi Taylor trong lân cận của một điểm X=3.

Giải pháp. Vấn đề này có thể được giải quyết, như trước đây, bằng cách sử dụng định nghĩa của chuỗi Taylor, mà chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm và các giá trị của chúng tại X=3. Tuy nhiên, sẽ dễ dàng hơn khi sử dụng bản mở rộng hiện có (5):

Chuỗi kết quả hội tụ tại hoặc –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Ví dụ 7 . Viết chuỗi Taylor theo lũy thừa ( X-1) chức năng .

Giải pháp.

Chuỗi hội tụ tại , hoặc 2< x£5.