Постройте мнимые изображения. Построение изображений, которые дает тонкая линза. Формула тонкой линзы

Изображением точки S в линзе будет точка пересечения всех преломленных лучей или их продолжений. В первом случае изображение действительное, во втором - мнимое. Как всегда, чтобы найти точку пересечения всех лучей, достаточно построить любые два. Мы можем это сделать, пользуясь вторым законом преломления. Для этого надо измерить угол падения произвольного луча, сосчитать угол преломления, построить преломленный луч, который под каким-то углом упадет на другую грань линзы. Измерив этот угол падения, надо вычислить новый угол преломления и построить выходящий луч. Как видите, работа достаточно трудоемкая, поэтому обычно ее избегают. По известным свойствам линз можно построить три луча без всяких вычислений. Луч, падающий параллельно какой-либо оптической оси, после двойного преломления пройдет через действительный фокус или его продолжения пройдет через мнимый фокус. По закону обратимости луч, падающий по направлению на соответствующий фокус, после двойного преломления выйдет параллельно определенной оптической оси. Наконец, через оптический центр линзы луч пройдет, не отклоняясь.

На рис. 7 построено изображения точки S в собирающей линзе, на рис. 8 - в рассеивающей. При таких построениях изображают главную оптическую ось и на ней показывают фокусные расстояния F (расстояния от главных фокусов или от фокальных плоскостей до оптического центра линзы) и двойные фокусные расстояния (для собирающих линз). Затем ищут точку пересечения преломленных лучей (или их продолжений), используя любые два из вышеперечисленных.

Обычно вызывает затруднение построение изображения точки, расположенной на главной оптической оси. Для такого построения нужно взять любой луч, который будет параллелен какой-то побочной оптической оси (пунктир на рис. 9). После двойного преломления он пройдет через побочный фокус, который лежит в точке пересечения этой побочной оси и фокальной плоскости. В качестве второго луча удобно использовать луч, идущий без преломления вдоль главной оптической оси.

На рис. 10 изображены две собирающие линзы. Вторая «лучше» собирает лучи, ближе их сводит, она «сильнее». Оптической силой линзы называется величина, обратная фокусному расстоянию:

Выражается оптическая сила линзы в диоптриях (дптр).

Рис. 10

Одна диоптрия - оптическая сила такой линзы, фокусное расстояние которой 1 м.

У собирающих линз положительная оптическая сила, у рассеивающих - отрицательная.

Построение изображения предмета в собирающей линзе сводится к построению его крайних точек. В качестве предмета выберем стрелку АВ (рис. 11). Изображение точки A построено, как на рис. 7, точка B 1 может быть найдена, как на рис 19. Введем обозначение (аналогичные введенным при рассмотрении зеркал): расстояние от предмета до линзы |BO | = d ; расстояние от предмета до линзы изображения |BO 1 | = f , фокусное расстояние |OF | = F . Из подобия треугольников A 1 B 1 O и АВО (по равным острым - вертикальным - углам прямоугольные треугольники подобны) . Из подобия треугольников A 1 B 1 F и DOF (по тому же признаку подобия) . Следовательно,

Или fF = df − dF .

Разделив уравнение почленно на dFf и перенеся отрицательный член в другую сторону равенства, получим:

Мы вывели формулу линзы, аналогичную формуле зеркала.

В случае рассеивающей линзы (рис. 22) «работает» ближний мнимый фокус. Обратите внимание на то, что точка А1 является точкой пересечения продолжения преломленных лучей, а не точкой пересечения преломленного луча FD и падающего луча AO.

Для доказательства рассмотрите луч, падающий из точки А по направлению на дальний фокус. После двойного преломления он выйдет из линзы параллельно главной оптической оси, так что его продолжение пройдет через точку А1. Изображение точки В может быть построено аналогично рис. 9. Из подобия соответствующих треугольников ; ; fF = dF − df или

Можно провести исследования формулы линзы, аналогичное исследованию формулы зеркала.

Как изменится изображение предмета, если его половина линзы разбилась? Изображение станет менее интенсивным, но ни его форма, ни расположение не изменятся. Аналогично изображение предмета в любом кусочке линзы или зеркала.

Для построения изображения точки в идеальной системе достаточно построить любые два луча, идущие от этой точки. Точка пересечения выходящих лучей, соответствующих этим двум падающим, будет искомым изображением данной точки.

Темы кодификатора ЕГЭ: построение изображений в линзах, формула тонкой линзы.

Правила хода лучей в тонких линзах, сформулированные в , приводят нас к важнейшему утверждению.

Теорема об изображении. Если перед линзой находится светящаяся точка , то после преломления в линзе все лучи (или их продолжения) пересекаются в одной точке .

Точка называется изображением точки .

Если в точке пересекаются сами преломлённые лучи, то изображение называется действительным . Оно может быть получено на экране, так как в точке концентрируется энергия световых лучей.

Если же в точке пересекаются не сами преломлённые лучи, а их продолжения (так бывает, когда преломлённые лучи расходятся после линзы), то изображение называется мнимым. Его нельзя получить на экране, поскольку в точке не сосредоточено никакой энергии. Мнимое изображение, напомним, возникает благодаря особенности нашего мозга — достраивать расходящиеся лучи до их мнимого пересечения и видеть в этом пересечении светящуюся точку.Мнимое изображение существует лишь в нашем сознании.

Теорема об изображении служит основой построения изображений в тонких линзах. Мы докажем эту теорему как для собирающей, так и для рассеивающей линзы.

Собирающая линза: действительное изображение точки.

Сперва рассмотрим собирающую линзу. Пусть — расстояние от точки до линзы, — фокусное расстояние линзы. Имеются два принципиально разных случая: и (а также промежуточный случай ). Мы разберём эти случаи поочерёдно; в каждом из них мы
обсудим свойства изображений точечного источника и протяжённого объекта.

Первый случай: . Точечный источник света расположен дальше от линзы, чем левая фокальная плоскость (рис. 1 ).

Луч , идущий через оптический центр, не преломляется. Мы возьмём произвольный луч , построим точку , в которой преломлённый луч пересекается с лучом , а затем покажем, что положение точки не зависит от выбора луча (иными словами, точка является одной и той же для всевозможных лучей ). Тем самым окажется, что все лучи, исходящие из точки , после преломления в линзе пересекаются в точке и теорема об изображении будет доказана для рассматриваемого случая .

Точку мы найдём, построив дальнейший ход луча . Делать это мы умеем: параллельно лучу проводим побочную оптическую ось до пересечения с фокальной плоскостью в побочном фокусе , после чего проводим преломлённый луч до пересечения с лучом в точке .

Теперь будем искать расстояние от точки до линзы. Мы покажем, что это расстояние выражается только через и , т. е. определяется лишь положением источника и свойствами линзы, и не зависит тем самым от конкретного луча .

Опустим перпендикуляры и на главную оптическую ось. Проведём также параллельно главной оптической оси, т. е. перпендикулярно линзе. Получим три пары подобных треугольников:

, (1)
, (2)
. (3)

В результате имеем следующую цепочку равенств (номер формулы над знаком равенства указывает, из какой пары подобных треугольников данное равенство получено).

(4)

Но , так что соотношение (4) переписывается в виде:

. (5)

Отсюда находим искомое расстояние от точки до линзы:

. (6)

Как видим, оно и в самом деле не зависит от выбора луча . Следовательно, любой луч после преломления в линзе пройдёт через построенную нами точку , и эта точка будет действительным изображением источника

Теорема об изображении в данном случае доказана.

Практическая важность теоремы об изображении состоит вот в чём. Коль скоро все лучи источника пересекаются после линзы в одной точке — его изображении — то для построения изображения достаточно взять два наиболее удобных луча. Какие именно?

Если источник не лежит на главной оптической оси, то в качестве удобных лучей годятся следующие:

Луч, идущий через оптический центр линзы — он не преломляется;
- луч, параллельный главной оптической оси — после преломления он идёт через фокус.

Построение изображения с помощью этих лучей показано на рис. 2 .

Если же точка лежит на главной оптической оси, то удобный луч остаётся лишь один — идущий вдоль главной оптической оси. В качестве второго луча приходится брать «неудобный» (рис. 3 ).

Посмотрим ещё раз на выражение ( 5 ). Его можно записать в несколько ином виде, более симпатичном и запоминающемся. Перенесём сначала единицу влево:

Теперь разделим обе части этого равенства на a :

(7)

Соотношение (7) называется формулой тонкой линзы (или просто формулой линзы). Пока что формула линзы получена для случая собирающей линзы и для . В дальнейшем мы выведем модификации этой формулы для остальных случаев.

Теперь вернёмся к соотношению (6) . Его важность не исчерпывается тем, что оно доказывает теорему об изображении. Мы видим также, что не зависит от расстояния (рис. 1, 2 ) между источником и главной оптической осью!

Это означает, что какую бы точку отрезка мы ни взяли, её изображение будет находиться на одном и том же расстоянии от линзы. Оно будет лежать на отрезке — а именно, на пересечении отрезка с лучом , который пойдёт сквозь линзу без преломления. В частности, изображением точки будет точка .

Тем самым мы установили важный факт: изображением отрезка лужит отрезок . Отныне исходный отрезок, изображение которого нас интересует, мы называем предметом и обозначаем на рисунках красной стрелочкой. Направление стрелки нам понадобится для того, чтобы следить — прямым или перевёрнутым получается изображение.

Собирающая линза: действительное изображение предмета.

Перейдём к рассмотрению изображений предметов. Напомним, что пока мы находимся в рамках случая . Здесь можно выделить три характерных ситуации.

1. . Изображение предмета является действительным, перевёрнутым, увеличенным (рис. 4 ; двойной фокус обозначен ). Из формулы линзы следует, что в этом случае будет (почему?).

Такая ситуация реализуется, например, в диапроекторах и киноаппаратах — эти оптические приборы дают на экране увеличенное изображение того, что находится на плёнке. Если вам доводилось показывать слайды, то вы знаете, что слайд нужно вставлять в проектор перевёрнутым — чтобы изображение на экране выглядело правильно, а не получилось вверх ногами.

Отношение размера изображения к размеру предмета называется линейным увеличением линзы и обозначается Г — (это заглавная греческая «гамма»):

Из подобия треугольников и получим:

. (8)

Формула (8) применяется во многих задачах, где фигурирует линейное увеличение линзы.

2. . В этом случае из формулы (6) находим, что и . Линейное увеличение линзы согласно (8) равно единице, т. е. размер изображения равен размеру предмета (рис. 5 ).

Рис. 5.a=2f: размер изображения равен размеру предмета

3. . В этом случае из формулы линзы следует, что (почему?). Линейное увеличение линзы будет меньше единицы — изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное (рис. 6 ).

Данная ситуация является обычной для многих оптических приборов: фотоаппаратов, биноклей, телескопов — словом, тех, в которых получают изображения удалённых объектов. По мере удаления предмета от линзы его изображение уменьшается в размерах и приближается к фокальной плоскости.

Рассмотрение первого случая нами полностью закончено. Переходим ко второму случаю. Он уже не будет столь объёмным.

Собирающая линза: мнимое изображение точки.

Второй случай: . Точечный источник света расположен между линзой и фокальной плоскостью (рис. 7 ).

Наряду с лучом , идущим без преломления, мы снова рассматриваем произвольный луч . Однако теперь на выходе из линзы получаются два расходящихся луча и . Наш глаз продолжит эти лучи до пересечения в точке .

Теорема об изображении утверждает, что точка будет одной и той же для всех лучей , исходящих из точки . Мы опять докажем это с помощью трёх пар подобных треугольников:

Снова обозначая через расстояние от до линзы, имеем соответствующую цепочку равенств (вы уже без труда в ней разберётесь):

. (9)

. (10)

Величина не зависит от луча , что и доказывает теорему об изображении для нашего случая . Итак, — мнимое изображение источника . Если точка не лежит на главной оптической оси, то для построения изображения удобнее всего брать луч, идущий через оптический центр, и луч, параллельный главной оптической оси (рис. 8 ).

Ну а если точка лежит на главной оптической оси, то деваться некуда — придётся довольствоваться лучом, падающим на линзу наклонно (рис. 9 ).

Соотношение (9) приводит нас к варианту формулы линзы для рассматриваемого случая . Сначала переписываем это соотношение в виде:

а затем делим обе части полученного равенства на a :

. (11)

Сравнивая (7) и (11) , мы видим небольшую разницу: перед слагаемым стоит знак плюс, если изображение действительное, и знак минус, если изображение мнимое.

Величина , вычисляемая по формуле (10) , не зависит также от расстояния между точкой и главной оптической осью. Как и выше (вспомните рассуждение с точкой ), это означает, что изображением отрезка на рис. 9 будет отрезок .

Собирающая линза: мнимое изображение предмета.

Учитывая это, мы легко строим изображение предмета, находящегося между линзой и фокальной плоскостью (рис. 10 ). Оно получается мнимым, прямым и увеличенным.

Такое изображение вы наблюдаете, когда разглядываете мелкий предмет в увеличительное стекло — лупу. Случай полностью разобран. Как видите, он качественно отличается от нашего первого случая . Это не удивительно — ведь между ними лежит промежуточный «катастрофический» случай .

Собирающая линза: предмет в фокальной плоскости.

Промежуточный случай:. Источник света расположен в фокальной плоскости линзы (рис. 11 ).

Как мы помним из предыдущего раздела, лучи параллельного пучка после преломления в собирающей линзе пересекутся в фокальной плоскости — а именно, в главном фокусе, если пучок падает перпендикулярно линзе, и в побочном фокусе при наклонном падении пучка. Воспользовавшись обратимостью хода лучей, мы заключаем, что все лучи источника , расположенного в фокальной плоскости, после выхода из линзы пойдут параллельно друг другу.

Рис. 11. a=f: изображение отсутствует

Где же изображение точки ? Изображения нет. Впрочем, никто не запрещает нам считать, что параллельные лучи пересекаются в бесконечно удалённой точке. Тогда теорема об изображении сохраняет свою силу и в данном случае — изображение находится на бесконечности.

Соответственно, если предмет целиком расположен в фокальной плоскости, изображение этого предмета будет находиться на бесконечности (или, что то же самое, будет отсутствовать).

Итак, мы полностью рассмотрели построение изображений в собирающей линзе.

Рассеивающая линза: мнимое изображение точки.

К счастью, здесь нет такого разнообразия ситуаций, как для собирающей линзы. Характер изображения не зависит от того, на каком расстоянии предмет находится от рассеивающей линзы, так что случай тут будет один-единственный.

Снова берём луч и произвольный луч (рис. 12 ). На выходе из линзы имеем два расходящихся луча и , которые наш глаз достраивает до пересечения в точке .

Нам снова предстоит доказать теорему об изображении — о том, что точка будет одной и той же для всех лучей . Действуем с помощью всё тех же трёх пар подобных треугольников:

(12)

. (13)

Величина b не зависит от луча span
, поэтому продолжения всех преломлённых лучей span
пересекутся в точке — мнимом изображении точки . Теорема об изображении тем самым полностью доказана.

Вспомним, что для собирающей линзы мы получили аналогичные формулы (6) и (10) . В случае их знаменатель обращался в нуль (изображение уходило на бесконечность), и поэтому данный случай разграничивал принципиально разные ситуации и .

А вот у формулы (13) знаменатель не обращается в нуль ни при каком a. Стало быть, для рассеивающей линзы не существует качественно разных ситуаций расположения источника — случай тут, как мы и сказали выше, имеется только один.

Если точка не лежит на главной оптической оси, то для построения её изображения удобны два луча: один идёт через оптический центр, другой — параллельно главной оптической оси (рис. 13 ).

Если же точка лежит на главной оптической оси, то второй луч приходится брать произвольным (рис. 14 ).

Чтобы разобраться, какая линза какое изображение дает, нужно в первую очередь вспомнить, Основное физическое явление, которое используется при создании линзы, - это проходящего через среду. Именно это явление позволило создать такой прибор, который может управлять направлением световых потоков. Принципы такого управления объясняют детям еще в школе, в курсе физики восьмого класса.

Определение слова линза и материал, который используется для её изготовления

Линзы используют для того, чтобы человек смог увидеть увеличенное или уменьшенное изображение некоторого предмета. Например, с помощью телескопа или микроскопа. Поэтому данный прибор является прозрачным. Сделано это с целью, чтобы видеть предметы такими, какие мы есть на самом деле, лишь измененными в размере. Она не будет цветной, искаженной, если этого не требуется. То есть линза - это прозрачное тело. Далее переходим к ее составляющим. Линза состоит из двух поверхностей. Они могут быть криволинейными, зачастую сферическими, либо же одна из них будет криволинейной, а вторая плоской. Именно от этих плоскостей зависит то, какая линза какое изображение дает. Материалом для изготовления линз в широком быту служат стекло или пластик. Далее будем говорить именно о стеклянных линзах для общего понимания.

Разделение на выпуклые и вогнутые линзы

Данное разделение зависит от того, какая у линзы форма. Если линза имеет середину шире, чем края, ее называют выпуклой. Если наоборот - середина тоньше, чем края, что такой прибор называется вогнутым. Что важно еще? Важно то, в какой среде находится прозрачное тело. Ведь то, какая линза какое изображение дает, зависит от преломления в двух средах - в самой линзе и в окружающей ее материи. Далее будем рассматривать только воздушное пространство, так как линзы со стекла или с пластика выше, чем установленный показатель окружающей среды.

Собирающая линза

Возьмем выпуклую линзу и пропустим через нее поток света (параллельные лучи). После прохождения через плоскость поверхности поток собирается в одной точке, потому линза и называется собирающей.

Чтобы понять, какое изображение дает собирающая линза, да и любая другая, нужно вспомнить об основных ее параметрах.

Важные параметры для понимания свойств данного стеклянного тела

Если линза ограничена двумя сферическими поверхностями, то ее сферы, само собой, имеют определенный радиус. Эти радиусы называются радиусами кривизны, которые выходят из центров сфер. Прямая, которая соединяет оба центра, называется оптической осью. У тонкой линзы есть точка, через которую луч проходит без особых отклонений от предыдущего своего направления. Ее называют оптическим центром линзы. Через данный центр, перпендикулярно к оптической оси можно провести перпендикулярную плоскость. Ее называют главной плоскостью линзы. Также есть точка, которая называется главным фокусом - место, где соберутся лучи после прохождения стеклянного тела. При разборе вопроса, какое изображение дает собирающая линза, важно помнить, что ее фокус находится с обратной стороны от вхождения лучей. У рассеивающей линзы фокус является мнимым.

Какое изображение предмета дает собирающая линза

Это напрямую зависит от того, на каком расстоянии размещен предмет относительно линзы. Не будет никакого действительного изображения, если поместить предмет между фокусом линзы и самой линзой.

Изображение получается мнимым, прямым, и значительно увеличенным. Элементарный пример такого изображения - это лупа.

Если размещать предметы за фокусом, то тогда возможны два варианта, но в обоих случаях изображение в первую очередь будет перевернутым и действительным. Разница только в размере. Если разместить предметы между фокусом и двойным фокусом, изображение получается увеличенное. Если же разместить за двойным фокусом, оно станет уменьшенным.

В отдельных случаях может произойти так, что вообще не будет получено изображение. Как видно по рисунку выше, если разместить предмет как раз на месте фокуса линзы, линии, пересечение которых дает верхнюю точку предмета, идут параллельно. Соответственно, о пересечении не может быть и речи, потому изображение сможет получиться только лишь где-то в бесконечности. Также интересен случай, когда помещают предмет на месте двойного фокуса. В этом случае изображение получается перевернутым, действительным, но по размеру идентично исходному предмету.

На рисунках данную линзу схематически изображают как отрезок со стрелочками на концах, направленными наружу.

Рассеивающая линза

По логике, вогнутая линза является рассеивающей. Ее отличие в том, что она дает мнимое изображение. Лучи света после ее прохождения рассеиваются в разные стороны, потому действительного изображения нет. Ответ на вопрос о том, какое изображение дает всегда один. В любом случае изображение будет не перевернутым, то есть прямым, оно будет мнимым и уменьшенным.

На рисунках данную линзу схематически изображают как отрезок со стрелочками на концах, которые смотрят внутрь.

Каков принцип построения изображения

Шагов построения для несколько. Предмет, изображение которого будет строиться, имеет вершину. Из нее нужно провести две линии: одну - через оптический центр линзы, другую - паралельно к оптической оси до линзы, а затем через фокус. Пересечение этих линий даст вершину изображения. Все что нужно далее - это соединить оптическую ось и полученную точку, паралельно до исходного предмета. В случае, когда предмет находится перед фокусом линзы, изображение будет мнимым и находиться с той же стороны, что и предмет.

Мы помним, какое изображение дает рассеивающая линза, потому ведем построение изображения для вогнутой линзы, по тому же принципу, только с одной разницей. Фокус линзы, используемый для построения, находится в той же стороне, что и предмет, изображение которого необходимо строить.

Выводы

Подытожим вышеупомянутые материалы, для того чтобы понять, какая линза какое изображение дает. Ясно, что линза может увеличивать и уменьшать, но вопросы состоят в другом.

Вопрос номер один: какие линзы дают действительное изображение? Ответ - только собирательные. Именно вогнутая собирательная линза может дать действительное изображение.

Вопрос номер два: какая линза дает мнимое изображение? Ответ - рассеивающая, и в отдельных случаях, когда предмет находится между фокусом и линзой, - собирательная.

На рис. 22 представлены простейшие профили стеклянных линз: плоско-выпуклая, двояковыпуклая (рис. 22,б ), плоско-вогнутая (рис. 22,в ) и двояковогнутая (рис. 22,г ). Первые две из них в воздухе являются собирающими линзами, а вторые две – рассеивающими . Эти названия связаны с тем, что в собирающей линзе луч, преломляясь, отклоняется в сторону оптической оси, а в рассеивающей наоборот.

Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, отклоняются за собирающей линзой (рис. 23,а ) так, что собираются в точке, называемой фокусом . В рассеивающей линзе лучи, идущие параллельно главной оптической оси, отклоняются так, что в фокусе, находящемся со стороны падающих лучей, собираются их продолжения (рис. 23,б ). Расстояние до фокусов с одной и другой стороны тонкой линзы одинаково и не зависит от профиля правой и левой поверхностей линзы.

Рис. 22. Плоско-выпуклая (а ), двояковыпуклая (б ), плоско-вогнутая (в ) и двояковогнутая (г ) линзы.

Рис. 23. Ход лучей, идущих параллельно главной оптической оси, в собирающей (а) и рассеивающей (б) линзах.

Луч, идущий через центр линзы (рис. 24,а – собирающая линза, рис. 24,б – рассеивающая линза), не преломляется.

Рис. 24. Ход лучей, идущих через оптический центр О , в собирающей (а) и рассеивающей (б) линзах.

Лучи, идущие параллельно друг другу, но не параллельно главной оптической оси, пересекаются в точке (побочном фокусе) на фокальной плоскости , которая проходит через фокус линзы перпендикулярно главной оптической оси (рис. 25,а – собирающая линза, рис. 25,б – рассеивающая линза).

Рис. 25. Ход параллельных пучков лучей в собирающей (а) и рассеивающей (б) линзах.

.

При построении (рис. 26) изображения какой-либо точки (например, кончика стрелки) с помощью собирающей линзы, из этой точки выпускают два луча: параллельно главной оптической оси и через центр O линзы.

Рис. 26. Построение изображений в собирающей линзе

В зависимости от расстояния от стрелки до линзы можно получить четыре типа изображения, характеристики которых описаны в таблице 2. При построении изображения отрезка, перпендикулярного главной оптической оси, его изображение оказывается также отрезком, перпендикулярным главной оптической оси.

В случае рассеивающей линзы изображение предмета может получиться только одного типа – мнимое, уменьшенное, прямое . В этом легко убедиться, проведя аналогичные построения конца стрелки с помощью двух лучей (рис. 27).

Таблица 2