የቀጥታ መስመርን እኩልታ በመጠቀም የነጥቦችን መጋጠሚያዎች እንዴት ማግኘት እንደሚቻል። የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ

በአውሮፕላን ላይ የመስመር ላይ እኩልታ.

እንደሚታወቀው, በአውሮፕላኑ ላይ ያለው ማንኛውም ነጥብ በአንዳንድ የመጋጠሚያ ስርዓቶች ውስጥ በሁለት መጋጠሚያዎች ይወሰናል. የማስተባበር ሥርዓቶች እንደ መነሻ እና መነሻ ምርጫ ሊለያዩ ይችላሉ።

ፍቺ የመስመር እኩልታይህንን መስመር በሚፈጥሩት የነጥብ መጋጠሚያዎች መካከል ያለው ግንኙነት y = f(x) ነው።

የመስመሩ እኩልታ በተመጣጣኝ መንገድ ሊገለጽ እንደሚችል ልብ ይበሉ፣ ያም የእያንዳንዱ ነጥብ መጋጠሚያ በተወሰነ ገለልተኛ ግቤት ይገለጻል። ቲ.

የተለመደው ምሳሌ የሚንቀሳቀስ ነጥብ አቅጣጫ ነው. በዚህ ሁኔታ, ጊዜ የአንድ መለኪያ ሚና ይጫወታል.

በአውሮፕላን ላይ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.

ፍቺ በአውሮፕላኑ ውስጥ ያለው ማንኛውም መስመር በመጀመሪያ ቅደም ተከተል ቀመር ሊሰጥ ይችላል

አህ + ዉ + ሲ = 0፣

በተጨማሪም, ቋሚዎች A, B በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም, ማለትም. A 2 + B 2  0. ይህ የመጀመሪያ ደረጃ እኩልታ ይባላል የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ.

በቋሚዎቹ A ፣ B እና C እሴቶች ላይ በመመስረት የሚከተሉት ልዩ ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ ።

C \u003d 0, A  0, B  0 - መስመሩ በመነሻው በኩል ያልፋል

A \u003d 0, B  0, C  0 (በ + C \u003d 0) - መስመሩ ከኦክስ ዘንግ ጋር ትይዩ ነው.

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - መስመሩ ከኦይ ዘንግ ጋር ትይዩ ነው.

B \u003d C \u003d 0, A  0 - ቀጥተኛው መስመር ከኦይ ዘንግ ጋር ይጣጣማል.

A \u003d C \u003d 0, B  0 - ቀጥታ መስመር ከኦክስ ዘንግ ጋር ይጣጣማል.

በማንኛውም የመነሻ ሁኔታዎች ላይ በመመስረት የቀጥታ መስመር እኩልታ በተለያዩ ቅርጾች ሊቀርብ ይችላል.

የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በነጥብ እና በተለመደው ቬክተር።

ፍቺ በካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ሥርዓት፣ ክፍሎች ያሉት ቬክተር (A፣ B) በቀመር Ax + By + C = 0 ከተሰጠው መስመር ጋር ቀጥ ያለ ነው።

ለምሳሌ.ነጥብ A (1፣ 2) በቬክተር ቀጥ ብሎ የሚያልፈውን የቀጥታ መስመር እኩልታ ይፈልጉ (3, -1).

በ A \u003d 3 እና B \u003d -1 ቀጥታ መስመር ላይ ያለውን እኩልታ እንፃፍ 3x - y + C \u003d 0. Coefficient C ን ለማግኘት, የተሰጠውን ነጥብ A መጋጠሚያዎች በተፈጠረው አገላለጽ እንተካለን.

እኛ እናገኛለን: 3 - 2 + C \u003d 0, ስለዚህ C \u003d -1.

ጠቅላላ: የሚፈለገው እኩልታ: 3x - y - 1 \u003d 0.

በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.

ሁለት ነጥቦች M 1 (x 1, y 1, z 1) እና M 2 (x 2, y 2, z 2) በጠፈር ውስጥ ይሰጡ, ከዚያም በእነዚህ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ:

የትኛውም ተከፋዮች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ተጓዳኝ አሃዛዊው ከዜሮ ጋር እኩል መዋቀር አለበት።

በአውሮፕላን ላይ፣ ከላይ የተጻፈው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ቀላል ነው፡-

x 1  x 2 እና x \u003d x 1 ከሆነ፣ x 1 \u003d x 2 ከሆነ።

ክፍልፋይ
= k ይባላል ተዳፋት ምክንያትቀጥታ።

ለምሳሌ.በነጥቦች A(1፣ 2) እና B(3፣ 4) የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ ያግኙ።

ከላይ ያለውን ቀመር በመተግበር, እናገኛለን:

የቀጥታ መስመር በነጥብ እና በዳገት እኩልታ።

የቀጥታ መስመር አጠቃላይ እኩልታ Ax + Vy + C = 0 ወደ ቅጹ የሚመራ ከሆነ፡-

እና ይሰይሙ
, ከዚያም የተገኘው እኩልታ ይባላል ከቁልቁል ጋር ቀጥተኛ መስመር እኩልታክ.

በነጥብ እና በመምራት ቬክተር ላይ ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ።

የቀጥታ መስመርን በተለመደው ቬክተር በኩል ያለውን እኩልነት ግምት ውስጥ በማስገባት ከአንቀጹ ጋር በማመሳሰል፣ የቀጥታ መስመር ምደባን በነጥብ እና በቀጥተኛ መስመር ዳይሬክት ቬክተር ማስገባት ይችላሉ።

ፍቺ እያንዳንዱ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ( 1፣  2)፣ ሁኔታውን የሚያሟሉ ክፍሎቹ A 1 + B 2 = 0 የመስመሩ ዳይሬክት ቬክተር ይባላል።

አህ + ዉ + ሲ = 0

ለምሳሌ.የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ከአቅጣጫ ቬክተር ጋር ይፈልጉ (1, -1) እና ነጥብ A (1, 2) ውስጥ ማለፍ.

የተፈለገውን ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በቅጹ ውስጥ እንፈልጋለን: Ax + By + C = 0. በትርጉሙ መሰረት, ቅንጅቶቹ ሁኔታዎችን ማሟላት አለባቸው.

1A + (-1)B = 0፣ i.e. ሀ = ለ

ከዚያም የቀጥታ መስመር እኩልታ ቅፅ አለው፡ Ax + Ay + C = 0 ወይም x + y + C/A = 0።

በ x = 1, y = 2 С/A = -3 እናገኛለን, i.e. የሚፈለገው እኩልታ፡-

በክፍሎች ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.

በአጠቃላይ ቀጥታ መስመር Ah + Wu + C = 0 C 0 ከሆነ፣ በ –C ስንካፈል፣ እናገኛለን፡-
ወይም

፣ የት

የቅንጅቶች ጂኦሜትሪክ ትርጉሙ ኮፊሸን ማለት ነው። ሀየመስመሩ መገናኛ ነጥብ ከ x-ዘንግ ጋር ያለው መጋጠሚያ ነው, እና ለ- ከኦይ ዘንግ ጋር የቀጥታ መስመር መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያ.

ለምሳሌ.የመስመሩን አጠቃላይ እኩልነት ግምት ውስጥ በማስገባት x - y + 1 = 0. የዚህን መስመር እኩልነት በክፍሎቹ ውስጥ ያግኙ.

ሐ \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

የአንድ ቀጥተኛ መስመር መደበኛ እኩልታ።

የእኩልታ ሁለቱም ጎኖች Ax + Wy + C = 0 በቁጥር ከተከፋፈሉ
ተብሎ የሚጠራው። መደበኛ ሁኔታ, ከዚያም እናገኛለን

xcos + ysin - p = 0 –

የአንድ ቀጥተኛ መስመር መደበኛ እኩልታ።

የመደበኛነት ሁኔታ ምልክት  መመረጥ አለበት ስለዚህም С< 0.

p ከመነሻው ወደ ቀጥታ መስመር የወረደው የፔንዲኩላር ርዝመት ሲሆን  በዚህ ቀጥ ያለ ከኦክስ ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር የተገነባው አንግል ነው።

ለምሳሌ.የመስመሩን አጠቃላይ እኩልታ ግምት ውስጥ በማስገባት 12x - 5y - 65 = 0. ለዚህ መስመር የተለያዩ አይነት እኩልታዎችን መፃፍ ያስፈልጋል።

የዚህ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በክፍሎች ውስጥ

የዚህ መስመር እኩልታ ከዳገቱ ጋር፡ (በ5 ይካፈሉ)

የቀጥታ መስመር መደበኛ እኩልታ;

; cos = 12/13; ኃጢአት = -5/13; p=5

እያንዳንዱ ቀጥተኛ መስመር በክፍሎች ውስጥ በቀመር ሊወከል እንደማይችል ልብ ሊባል ይገባል, ለምሳሌ, ቀጥታ መስመሮች ከመጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ወይም በመነሻው ውስጥ ማለፍ.

ለምሳሌ.ቀጥተኛው መስመር በተስተካከሉ ዘንጎች ላይ እኩል አዎንታዊ ክፍሎችን ይቆርጣል. በእነዚህ ክፍሎች የተሠራው የሶስት ማዕዘን ቦታ 8 ሴ.ሜ 2 ከሆነ የቀጥታ መስመርን እኩልነት ይፃፉ።

የቀጥታ መስመር እኩልታ ቅፅ አለው፡-
, a = b = 1; ab/2 = 8; ሀ = 4; - አራት.

a = -4 ከችግሩ ሁኔታ ጋር አይጣጣምም.

ጠቅላላ፡
ወይም x + y - 4 = 0።

ለምሳሌ.በነጥብ A (-2, -3) እና በመነሻው በኩል የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ ይፃፉ.

የቀጥታ መስመር እኩልታ ቅፅ አለው፡-
, የት x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

በአውሮፕላን ላይ ባሉ መስመሮች መካከል አንግል.

ፍቺ ሁለት መስመሮች y = k 1 x + b 1 ፣ y = k 2 x + b 2 ከተሰጡ በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አጣዳፊ አንግል እንደሚከተለው ይገለጻል።

.

ሁለት መስመሮች k 1 = k 2 ከሆነ ትይዩ ናቸው.

ሁለት መስመሮች k 1 = -1/k 2 ከሆነ ቀጥ ያሉ ናቸው.

ቲዎረም. ቀጥ ያሉ መስመሮች Ax + Vy + C = 0 እና A 1 x + ቢ 1 y + ሲ 1 = 0 ትይዩዎች ናቸው የ A ብዛቶች ተመጣጣኝ ሲሆኑ 1 =  ኤ፣ ቢ 1 =  ለ. እንዲሁም ሲ 1 =  ሐ፣ ከዚያ መስመሮቹ ይጣጣማሉ።

የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች የእነዚህ መስመሮች እኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ሆነው ይገኛሉ.

በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ

በዚህ መስመር ላይ ቀጥ ያለ.

ፍቺ በነጥቡ M 1 (x 1፣ y 1) እና ቀጥታ y \u003d kx + b በኩል የሚያልፈው መስመር በቀመር ነው የሚወከለው፡-

ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት.

ቲዎረም. ነጥብ M (x 0 , y 0 ), ከዚያም ወደ መስመር Ax + Vy + C = 0 ያለው ርቀት እንደሚከተለው ይገለጻል

.

ማረጋገጫ። ነጥቡ M 1 (x 1፣ y 1) ከ M ነጥብ ወደ ተሰጠው መስመር የወረደው የቋሚው መሠረት ይሁን። ከዚያ በ M እና M 1 መካከል ያለው ርቀት:

የ x 1 እና y 1 መጋጠሚያዎች ለእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ሆነው ሊገኙ ይችላሉ፡-

የስርአቱ ሁለተኛ እኩልታ በተሰጠው ነጥብ M 0 በኩል የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር በተሰጠው ቀጥተኛ መስመር ላይ ቀጥ ያለ እኩልታ ነው።

የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ቅጹ ከቀየርነው፡-

A(x - x 0) + B(y - y 0) + መጥረቢያ 0 + በ 0 + ሲ = 0፣

ከዚያም በመፍታት, እኛ እናገኛለን:

እነዚህን አባባሎች በቀመር (1) በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

.

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ለምሳሌ.በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ይወስኑ: y = -3x + 7; y = 2x + 1

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4።

ለምሳሌ.መስመሮች 3x - 5y + 7 = 0 እና 10x + 6y - 3 = 0 ቀጥ ያሉ መሆናቸውን አሳይ።

እኛ እናገኛለን: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, ስለዚህ, መስመሮቹ ቀጥ ያሉ ናቸው.

ለምሳሌ.የሶስት ማዕዘኑ ጫፎች A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ተሰጥተዋል. ከቬርቴክስ ሐ ለተሳለው ቁመት እኩልታውን ይፈልጉ።

የጎን AB እኩልታ እናገኛለን:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3ይ + 3 = 0;

የሚፈለገው ቁመት እኩልታ፡ Ax + By + C = 0 ወይም y = kx + b.

k = . ከዚያ y =
. ምክንያቱም ቁመቱ በ ነጥብ C ውስጥ ያልፋል ፣ ከዚያ መጋጠሚያዎቹ ይህንን እኩልነት ያሟላሉ
ከየት ነው b = 17. ጠቅላላ:
.

መልስ፡- 3x + 2ይ - 34 = 0።

በጠፈር ውስጥ የትንታኔ ጂኦሜትሪ።

በጠፈር ውስጥ የመስመር እኩልታ።

በጠፈር ውስጥ ያለው የቀጥታ መስመር እኩልታ በነጥብ እና

አቅጣጫ ቬክተር.

የዘፈቀደ መስመር እና ቬክተር ይውሰዱ (m, n, p) ከተሰጠው መስመር ጋር ትይዩ. ቬክተር ተብሎ ይጠራል መመሪያ ቬክተርቀጥታ።

ቀጥታ መስመር ላይ ሁለት የዘፈቀደ ነጥቦችን M 0 (x 0፣ y 0፣ z 0) እና M(x, y, z) እንውሰድ።

ዝ

M1

የእነዚህን ነጥቦች ራዲየስ ቬክተሮች እንጥቀስ እና ፣ እንደሆነ ግልጽ ነው። - =
.

ምክንያቱም ቬክተሮች
እና ኮላይነር ናቸው፣ ከዚያ ግንኙነቱ እውነት ነው።
= t፣ የት የተወሰነ መለኪያ ነው።

በጠቅላላው, እኛ መጻፍ እንችላለን: = + ቲ.

ምክንያቱም ይህ እኩልታ በመስመሩ ላይ ባለው የየትኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች ረክቷል፣ ከዚያ የተገኘው እኩልታ ነው። ቀጥተኛ መስመር ፓራሜትሪክ እኩልታ.

ይህ የቬክተር እኩልታ በተቀናጀ መልኩ ሊወከል ይችላል፡-

ይህንን ስርዓት በመቀየር እና የመለኪያ t እሴቶችን በማመሳሰል በቦታ ውስጥ የቀጥታ መስመር ቀኖናዊ እኩልታዎችን እናገኛለን-

.

ፍቺ አቅጣጫ ኮሳይንቀጥተኛ የቬክተር አቅጣጫ ኮሲኖች ናቸው በቀመርዎቹ ሊሰላ የሚችል፡-

;

.

ከዚህ፡ m፡ n፡ p = cos፡ cos፡ cos እናገኛለን።

ቁጥሮች m, n, p ተጠርተዋል ተዳፋት ምክንያቶችቀጥታ። ምክንያቱም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ነው፣ m፣ n እና p በተመሳሳይ ጊዜ ዜሮ መሆን አይችሉም፣ ነገር ግን ከእነዚህ ቁጥሮች ውስጥ አንድ ወይም ሁለቱ ዜሮ ሊሆኑ ይችላሉ። በዚህ ሁኔታ, በቀጥተኛ መስመር እኩልታ ውስጥ, ተጓዳኝ ቁጥሮች ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለባቸው.

በጠፈር ማለፊያ ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ

በሁለት ነጥቦች በኩል.

ሁለት የዘፈቀደ ነጥቦች M 1 (x 1, y 1, z 1) እና M 2 (x 2, y 2, z 2) በህዋ ላይ ቀጥ ያለ መስመር ላይ ምልክት ከተደረገባቸው, የእነዚህ ነጥቦች መጋጠሚያዎች እኩልታውን ማሟላት አለባቸው. ከላይ የተገኘ ቀጥተኛ መስመር:

.

በተጨማሪም ፣ ለ M 1 እኛ መጻፍ እንችላለን-

.

እነዚህን እኩልታዎች አንድ ላይ ስንፈታ፣ እናገኛለን፡-

.

ይህ በጠፈር ውስጥ በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ነው።

በጠፈር ውስጥ የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታዎች።

የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልነት የሁለት አውሮፕላኖች መገናኛ መስመር እኩልነት ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል.

ከላይ እንደተብራራው፣ አውሮፕላን በቬክተር መልክ በቀመር ሊሰጥ ይችላል፡-

+ D = 0፣ የት

- መደበኛ አውሮፕላን; - የአውሮፕላኑ የዘፈቀደ ነጥብ ራዲየስ-ቬክተር።

በ Euclidean ጂኦሜትሪ ውስጥ የቀጥታ መስመር ባህሪያት.

በማናቸውም ነጥብ ሊሳቡ የሚችሉ እጅግ በጣም ብዙ መስመሮች አሉ።

በማናቸውም ሁለት የማይገጣጠሙ ነጥቦች፣ አንድ ቀጥተኛ መስመር ብቻ አለ።

በአውሮፕላኑ ውስጥ ሁለት በአጋጣሚ ያልሆኑ መስመሮች በአንድ ነጥብ ላይ ይገናኛሉ, ወይም ናቸው

ትይዩ (ከቀዳሚው ይከተላል).

በሶስት-ልኬት ቦታ ፣ ለሁለት መስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ ሶስት አማራጮች አሉ-

• መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ;

• ቀጥታ መስመሮች ትይዩ ናቸው;

• ቀጥታ መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ.

ቀጥታ መስመር- የመጀመሪያው ቅደም ተከተል የአልጀብራ ከርቭ: በካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት, ቀጥተኛ መስመር

በአውሮፕላኑ ላይ በአንደኛው ዲግሪ (መስመራዊ እኩልታ) እኩልነት ይሰጣል.

የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ።

ፍቺ. በአውሮፕላኑ ውስጥ ያለው ማንኛውም መስመር በመጀመሪያ ቅደም ተከተል ቀመር ሊሰጥ ይችላል

አህ + ዉ + ሲ = 0፣

እና ቋሚ ኤ፣ ቢበተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. ይህ የመጀመሪያ ትዕዛዝ እኩልታ ይባላል አጠቃላይ

ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.በቋሚዎቹ ዋጋዎች ላይ በመመስረት ኤ፣ ቢእና ከየሚከተሉት ልዩ ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- መስመሩ በመነሻው በኩል ያልፋል

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (በ + C = 0)- ቀጥ ያለ መስመር ከአክሱ ጋር ትይዩ ኦ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (አክስ + ሲ = 0)- ቀጥ ያለ መስመር ከአክሱ ጋር ትይዩ ኦ.ዩ

. B = C = 0, A ≠ 0- መስመሩ ከዘንጉ ጋር ይጣጣማል ኦ.ዩ

. A = C = 0, B ≠ 0- መስመሩ ከዘንጉ ጋር ይጣጣማል ኦ

የቀጥታ መስመር እኩልታ እንደማንኛውም አይነት በተለያየ መልኩ ሊወከል ይችላል።

የመጀመሪያ ሁኔታዎች.

የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በነጥብ እና በተለመደው ቬክተር።

ፍቺ. በካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ሥርዓት ውስጥ፣ ክፍሎች ያሉት ቬክተር (A፣ B)

በቀመር ከተሰጠው መስመር ጋር ቀጥ ያለ

አህ + ዉ + ሲ = 0

ለምሳሌ. በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ ያግኙ አ(1፣2)ወደ ቬክተር ቀጥ ያለ (3, -1).

መፍትሄ. በ A \u003d 3 እና B \u003d -1 ቀጥታ መስመር ላይ ያለውን እኩልታ እንፃፍ 3x - y + C \u003d 0. Coefficient C ለማግኘት

የተሰጠውን ነጥብ A መጋጠሚያዎች በውጤቱ አገላለጽ እንተካለን፡ 3 - 2 + C = 0፣ ስለዚህ እናገኛለን

ሐ = -1. ጠቅላላ: የሚፈለገው እኩልታ: 3x - y - 1 \u003d 0.

በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.

ሁለት ነጥቦች በጠፈር ውስጥ ይሰጡ M 1 (x 1 ፣ y 1 ፣ z 1)እና M2 (x 2፣ y 2፣ z 2)፣ከዚያም ቀጥተኛ መስመር እኩልታ,

እነዚህን ነጥቦች በማለፍ፡-

የትኛውም ተከፋዮች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ተጓዳኝ አሃዛዊው ከዜሮ ጋር እኩል መዋቀር አለበት። በላዩ ላይ

አውሮፕላን ፣ ከላይ የተጻፈው የቀጥታ መስመር እኩልታ ቀላል ነው-

ከሆነ x 1 ≠ x 2እና x = x 1፣ ከሆነ x 1 = x 2 .

ክፍልፋይ = ክተብሎ ይጠራል ተዳፋት ምክንያት ቀጥታ.

ለምሳሌ. በነጥቦች A(1፣ 2) እና B(3፣ 4) የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ ያግኙ።

መፍትሄ. ከላይ ያለውን ቀመር በመተግበር, እናገኛለን:

የቀጥታ መስመር በነጥብ እና በዳገት እኩልታ።

የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልነት ከሆነ አህ + ዉ + ሲ = 0ወደ ቅጹ አምጣ:

እና ይሰይሙ , ከዚያም የተገኘው እኩልታ ይባላል

ከዳገት ጋር ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ k.

በነጥብ እና በመምራት ቬክተር ላይ ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ።

በተለመደው ቬክተር በኩል የቀጥታ መስመርን እኩልነት ግምት ውስጥ በማስገባት ከነጥቡ ጋር በማመሳሰል ወደ ሥራው መግባት ይችላሉ

ቀጥ ያለ መስመር በነጥብ እና በቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ ቬክተር.

ፍቺ. እያንዳንዱ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር (α 1፣ α 2), የማን ክፍሎች ሁኔታውን ያረካሉ

አአ 1 + ቢኤ 2 = 0ተብሎ ይጠራል የቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር.

አህ + ዉ + ሲ = 0

ለምሳሌ. የቀጥተኛ መስመርን እኩልታ ከአቅጣጫ ቬክተር (1፣ -1) ጋር ፈልግ እና በ ነጥብ A(1፣ 2) ማለፍ።

መፍትሄ. በቅጹ ውስጥ የሚፈለገውን ቀጥተኛ መስመር እኩልታ እንፈልጋለን- አክስ + በ + ሲ = 0እንደ ትርጉሙ.

ቅንጅቶች የሚከተሉትን ሁኔታዎች ማሟላት አለባቸው-

1 * A + (-1) * B = 0, ማለትም. ሀ = ለ

ከዚያ የቀጥታ መስመር እኩልታ ቅጹ አለው: አክስ + አይ + ሲ = 0፣ወይም x + y + C / A = 0.

በ x=1፣ y=2እናገኛለን ሐ/ ኤ = -3፣ ማለትም እ.ኤ.አ. የሚፈለገው እኩልታ፡-

x + y - 3 = 0

በክፍሎች ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.

በአጠቃላይ ቀጥታ መስመር Ah + Wu + C = 0 C≠0 ከሆነ፣ በ -C ስንካፈል፣ እናገኛለን፡-

ወይም ፣ የት

የቅንጅቶች ጂኦሜትሪክ ትርጉሙ ውህደቱ a የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያ ነው

ቀጥ ያለ ከአክስል ጋር ወይሀ ለ- ከመስመሩ ጋር የመስመሩ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያ ኦ.ዩ.

ለምሳሌ. የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ተሰጥቷል x - y + 1 = 0የዚህን ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በክፍሎች ውስጥ ይፈልጉ።

ሐ \u003d 1,, a \u003d -1, b \u003d 1.

የአንድ ቀጥተኛ መስመር መደበኛ እኩልታ።

የእኩልታ ሁለቱም ጎኖች ከሆነ አህ + ዉ + ሲ = 0በቁጥር መከፋፈል ተብሎ የሚጠራው።

መደበኛ ሁኔታ, ከዚያም እናገኛለን

xcosφ + ysinφ - p = 0 -የአንድ ቀጥተኛ መስመር መደበኛ እኩልታ.

የመደበኛነት ሁኔታ ምልክት ± መመረጥ አለበት μ * ሲ< 0.

አር- የቋሚው ርዝመት ከመነሻው ወደ መስመር ወድቋል ፣

ሀ φ - በዚህ ቀጥ ያለ ቅርጽ ያለው አንግል ከአክሱ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር ኦ.

ለምሳሌ. የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ከተሰጠ 12x - 5y - 65 = 0. የተለያዩ አይነት እኩልታዎችን ለመፃፍ ያስፈልጋል

ይህ ቀጥተኛ መስመር.

የዚህ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በክፍሎች:

የዚህ መስመር እኩልታ ከዳገት ጋር: (በ5 ተከፋፍሏል)

የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ:

cos φ = 12/13; ኃጢአት φ= -5/13; p=5

እያንዳንዱ ቀጥተኛ መስመር በክፍሎች ውስጥ በቀመር ሊወከል እንደማይችል ልብ ሊባል ይገባል ፣ ለምሳሌ ፣ ቀጥ ያሉ መስመሮች ፣

ከመጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ወይም በመነሻው ውስጥ ማለፍ.

በአውሮፕላን ላይ ባሉ መስመሮች መካከል አንግል.

ፍቺ. ሁለት መስመሮች ከተሰጡ y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, ከዚያም በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አጣዳፊ ማዕዘን

ተብሎ ይገለጻል።

ከሆነ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው k 1 = k 2. ሁለት መስመሮች ቀጥ ያሉ ናቸው

ከሆነ k 1 \u003d -1/k 2 .

ቲዎረም.

ቀጥታ አህ + ዉ + ሲ = 0እና A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0ቅንጅቶች ተመጣጣኝ ሲሆኑ ትይዩ ናቸው

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. ከሆነ ደግሞ С 1 \u003d λС, ከዚያም መስመሮቹ ይጣጣማሉ. የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች

የእነዚህ መስመሮች እኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ይገኛሉ.

በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ በተሰጠው መስመር ላይ ቀጥ ያለ ነው።

ፍቺ. በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር M 1 (x 1፣ y 1)እና ቀጥታ ወደ መስመር y = kx + b

በቀመር የተወከለው፡-

ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት.

ቲዎረም. ነጥብ ከተሰጠ M(x 0፣ y 0)፣ከዚያም ወደ መስመር ያለው ርቀት አህ + ዉ + ሲ = 0እንደ፡-

ማረጋገጫ. ነጥቡ ይሁን M 1 (x 1፣ y 1)- የቋሚው መሠረት ከቦታው ወድቋል ኤምለተሰጠው

ቀጥተኛ. ከዚያም በነጥቦቹ መካከል ያለው ርቀት ኤምእና ኤም 1:

(1)

መጋጠሚያዎች x 1እና 1ለእኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ሊገኝ ይችላል-

የስርዓቱ ሁለተኛው እኩልታ በተሰጠው ነጥብ M 0 ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ነው.

የተሰጠው መስመር. የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ቅጹ ከቀየርነው፡-

A(x - x 0) + B(y - y 0) + መጥረቢያ 0 + በ 0 + ሲ = 0፣

ከዚያም በመፍታት, እኛ እናገኛለን:

እነዚህን አባባሎች በቀመር (1) በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

በነጥቡ K (x 0; y 0) በኩል የሚያልፈው መስመር እና ከመስመሩ y = kx + a ጋር ትይዩ የሚገኘው በቀመሩ ነው፡-

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

የት k የቀጥታ መስመር ተዳፋት ነው።

አማራጭ ቀመር፡
በነጥብ M 1 (x 1; y 1) በኩል የሚያልፈው መስመር እና ከመስመሩ ጋር ትይዩ Ax+By+C=0 በቀመርው ይወከላል

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 (2)

ምሳሌ #2. ከቀጥታ መስመር 2x + 5y = 0 ጋር ትይዩ የሆነ የቀጥታ መስመር እኩልታ ይፃፉ እና ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ጋር ፣ አካባቢው 5 የሆነ ሶስት ማእዘን።
መፍትሄ . መስመሮቹ ትይዩ ስለሆኑ የሚፈለገው መስመር እኩልታ 2x + 5y + C = 0. የቀኝ ትሪያንግል ስፋት, ሀ እና b እግሮቹ ናቸው. የተፈለገውን መስመር መገናኛ ነጥቦችን ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ጋር ያግኙ፡
;
.
ስለዚህ፣ A(-C/2፣0)፣ B(0፣-C/5)። ለአካባቢው በቀመር ውስጥ ይተኩ፡ . ሁለት መፍትሄዎችን እናገኛለን: 2x + 5y + 10 = 0 እና 2x + 5y - 10 = 0 .

ምሳሌ #3. በነጥቡ (-2; 5) በኩል የሚያልፈውን መስመር እኩልታ እና ትይዩ መስመር 5x-7y-4=0 ይጻፉ።
መፍትሄ። ይህ ቀጥተኛ መስመር በቀመር y = 5/7 x - 4/7 (እዚህ a = 5/7) ሊወከል ይችላል. የሚፈለገው መስመር እኩልታ y - 5 = 5/7 (x - (-2)) ማለትም እ.ኤ.አ. 7(y-5)=5(x+2) ወይም 5x-7y+45=0

ምሳሌ #4. ቀመር (2) በመጠቀም ምሳሌ 3 (A=5፣ B=-7)ን መፍታት 5(x+2)-7(y-5)=0 እናገኛለን።

ምሳሌ ቁጥር 5. በነጥቡ (-2;5) የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ እና ትይዩ ቀጥተኛ መስመር 7x+10=0 ይፃፉ።
መፍትሄ። እዚህ A=7፣ B=0። ፎርሙላ (2) 7(x+2)=0 ይሰጣል፣ i.e. x+2=0 ፎርሙላ (1) ተግባራዊ አይሆንም፣ ምክንያቱም ይህ እኩልታ yን በተመለከተ ሊፈታ ስለማይችል (ይህ ቀጥተኛ መስመር ከy-ዘንግ ጋር ትይዩ ነው)።

በ Euclidean ጂኦሜትሪ ውስጥ የቀጥታ መስመር ባህሪያት.

በማናቸውም ነጥብ ሊሳቡ የሚችሉ እጅግ በጣም ብዙ መስመሮች አሉ።

በማናቸውም ሁለት የማይገጣጠሙ ነጥቦች፣ አንድ ቀጥተኛ መስመር ብቻ አለ።

በአውሮፕላኑ ውስጥ ሁለት በአጋጣሚ ያልሆኑ መስመሮች በአንድ ነጥብ ላይ ይገናኛሉ, ወይም ናቸው

ትይዩ (ከቀዳሚው ይከተላል).

በሶስት-ልኬት ቦታ ፣ ለሁለት መስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ ሶስት አማራጮች አሉ-

• መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ;

• ቀጥታ መስመሮች ትይዩ ናቸው;

• ቀጥታ መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ.

ቀጥታ መስመር- የመጀመሪያው ቅደም ተከተል የአልጀብራ ከርቭ: በካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት, ቀጥተኛ መስመር

በአውሮፕላኑ ላይ በአንደኛው ዲግሪ (መስመራዊ እኩልታ) እኩልነት ይሰጣል.

የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ።

ፍቺ. በአውሮፕላኑ ውስጥ ያለው ማንኛውም መስመር በመጀመሪያ ቅደም ተከተል ቀመር ሊሰጥ ይችላል

አህ + ዉ + ሲ = 0፣

እና ቋሚ ኤ፣ ቢበተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. ይህ የመጀመሪያ ትዕዛዝ እኩልታ ይባላል አጠቃላይ

ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.በቋሚዎቹ ዋጋዎች ላይ በመመስረት ኤ፣ ቢእና ከየሚከተሉት ልዩ ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- መስመሩ በመነሻው በኩል ያልፋል

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (በ + C = 0)- ቀጥ ያለ መስመር ከአክሱ ጋር ትይዩ ኦ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (አክስ + ሲ = 0)- ቀጥ ያለ መስመር ከአክሱ ጋር ትይዩ ኦ.ዩ

. B = C = 0, A ≠ 0- መስመሩ ከዘንጉ ጋር ይጣጣማል ኦ.ዩ

. A = C = 0, B ≠ 0- መስመሩ ከዘንጉ ጋር ይጣጣማል ኦ

የቀጥታ መስመር እኩልታ እንደማንኛውም አይነት በተለያየ መልኩ ሊወከል ይችላል።

የመጀመሪያ ሁኔታዎች.

የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በነጥብ እና በተለመደው ቬክተር።

ፍቺ. በካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ሥርዓት ውስጥ፣ ክፍሎች ያሉት ቬክተር (A፣ B)

በቀመር ከተሰጠው መስመር ጋር ቀጥ ያለ

አህ + ዉ + ሲ = 0

ለምሳሌ. በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ ያግኙ አ(1፣2)ወደ ቬክተር ቀጥ ያለ (3, -1).

መፍትሄ. በ A \u003d 3 እና B \u003d -1 ቀጥታ መስመር ላይ ያለውን እኩልታ እንፃፍ 3x - y + C \u003d 0. Coefficient C ለማግኘት

የተሰጠውን ነጥብ A መጋጠሚያዎች በውጤቱ አገላለጽ እንተካለን፡ 3 - 2 + C = 0፣ ስለዚህ እናገኛለን

ሐ = -1. ጠቅላላ: የሚፈለገው እኩልታ: 3x - y - 1 \u003d 0.

በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.

ሁለት ነጥቦች በጠፈር ውስጥ ይሰጡ M 1 (x 1 ፣ y 1 ፣ z 1)እና M2 (x 2፣ y 2፣ z 2)፣ከዚያም ቀጥተኛ መስመር እኩልታ,

እነዚህን ነጥቦች በማለፍ፡-

የትኛውም ተከፋዮች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ተጓዳኝ አሃዛዊው ከዜሮ ጋር እኩል መዋቀር አለበት። በላዩ ላይ

አውሮፕላን ፣ ከላይ የተጻፈው የቀጥታ መስመር እኩልታ ቀላል ነው-

ከሆነ x 1 ≠ x 2እና x = x 1፣ ከሆነ x 1 = x 2 .

ክፍልፋይ = ክተብሎ ይጠራል ተዳፋት ምክንያት ቀጥታ.

ለምሳሌ. በነጥቦች A(1፣ 2) እና B(3፣ 4) የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ ያግኙ።

መፍትሄ. ከላይ ያለውን ቀመር በመተግበር, እናገኛለን:

የቀጥታ መስመር በነጥብ እና በዳገት እኩልታ።

የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልነት ከሆነ አህ + ዉ + ሲ = 0ወደ ቅጹ አምጣ:

እና ይሰይሙ , ከዚያም የተገኘው እኩልታ ይባላል

ከዳገት ጋር ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ k.

በነጥብ እና በመምራት ቬክተር ላይ ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ።

በተለመደው ቬክተር በኩል የቀጥታ መስመርን እኩልነት ግምት ውስጥ በማስገባት ከነጥቡ ጋር በማመሳሰል ወደ ሥራው መግባት ይችላሉ

ቀጥ ያለ መስመር በነጥብ እና በቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ ቬክተር.

ፍቺ. እያንዳንዱ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር (α 1፣ α 2), የማን ክፍሎች ሁኔታውን ያረካሉ

አአ 1 + ቢኤ 2 = 0ተብሎ ይጠራል የቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር.

አህ + ዉ + ሲ = 0

ለምሳሌ. የቀጥተኛ መስመርን እኩልታ ከአቅጣጫ ቬክተር (1፣ -1) ጋር ፈልግ እና በ ነጥብ A(1፣ 2) ማለፍ።

መፍትሄ. በቅጹ ውስጥ የሚፈለገውን ቀጥተኛ መስመር እኩልታ እንፈልጋለን- አክስ + በ + ሲ = 0እንደ ትርጉሙ.

ቅንጅቶች የሚከተሉትን ሁኔታዎች ማሟላት አለባቸው-

1 * A + (-1) * B = 0, ማለትም. ሀ = ለ

ከዚያ የቀጥታ መስመር እኩልታ ቅጹ አለው: አክስ + አይ + ሲ = 0፣ወይም x + y + C / A = 0.

በ x=1፣ y=2እናገኛለን ሐ/ ኤ = -3፣ ማለትም እ.ኤ.አ. የሚፈለገው እኩልታ፡-

x + y - 3 = 0

በክፍሎች ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.

በአጠቃላይ ቀጥታ መስመር Ah + Wu + C = 0 C≠0 ከሆነ፣ በ -C ስንካፈል፣ እናገኛለን፡-

ወይም ፣ የት

የቅንጅቶች ጂኦሜትሪክ ትርጉሙ ውህደቱ a የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያ ነው

ቀጥ ያለ ከአክስል ጋር ወይሀ ለ- ከመስመሩ ጋር የመስመሩ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያ ኦ.ዩ.

ለምሳሌ. የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ተሰጥቷል x - y + 1 = 0የዚህን ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በክፍሎች ውስጥ ይፈልጉ።

ሐ \u003d 1,, a \u003d -1, b \u003d 1.

የአንድ ቀጥተኛ መስመር መደበኛ እኩልታ።

የእኩልታ ሁለቱም ጎኖች ከሆነ አህ + ዉ + ሲ = 0በቁጥር መከፋፈል ተብሎ የሚጠራው።

መደበኛ ሁኔታ, ከዚያም እናገኛለን

xcosφ + ysinφ - p = 0 -የአንድ ቀጥተኛ መስመር መደበኛ እኩልታ.

የመደበኛነት ሁኔታ ምልክት ± መመረጥ አለበት μ * ሲ< 0.

አር- የቋሚው ርዝመት ከመነሻው ወደ መስመር ወድቋል ፣

ሀ φ - በዚህ ቀጥ ያለ ቅርጽ ያለው አንግል ከአክሱ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር ኦ.

ለምሳሌ. የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ከተሰጠ 12x - 5y - 65 = 0. የተለያዩ አይነት እኩልታዎችን ለመፃፍ ያስፈልጋል

ይህ ቀጥተኛ መስመር.

የዚህ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በክፍሎች:

የዚህ መስመር እኩልታ ከዳገት ጋር: (በ5 ተከፋፍሏል)

የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ:

cos φ = 12/13; ኃጢአት φ= -5/13; p=5

እያንዳንዱ ቀጥተኛ መስመር በክፍሎች ውስጥ በቀመር ሊወከል እንደማይችል ልብ ሊባል ይገባል ፣ ለምሳሌ ፣ ቀጥ ያሉ መስመሮች ፣

ከመጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ወይም በመነሻው ውስጥ ማለፍ.

በአውሮፕላን ላይ ባሉ መስመሮች መካከል አንግል.

ፍቺ. ሁለት መስመሮች ከተሰጡ y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, ከዚያም በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አጣዳፊ ማዕዘን

ተብሎ ይገለጻል።

ከሆነ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው k 1 = k 2. ሁለት መስመሮች ቀጥ ያሉ ናቸው

ከሆነ k 1 \u003d -1/k 2 .

ቲዎረም.

ቀጥታ አህ + ዉ + ሲ = 0እና A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0ቅንጅቶች ተመጣጣኝ ሲሆኑ ትይዩ ናቸው

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. ከሆነ ደግሞ С 1 \u003d λС, ከዚያም መስመሮቹ ይጣጣማሉ. የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች

የእነዚህ መስመሮች እኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ይገኛሉ.

በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ በተሰጠው መስመር ላይ ቀጥ ያለ ነው።

ፍቺ. በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር M 1 (x 1፣ y 1)እና ቀጥታ ወደ መስመር y = kx + b

በቀመር የተወከለው፡-

ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት.

ቲዎረም. ነጥብ ከተሰጠ M(x 0፣ y 0)፣ከዚያም ወደ መስመር ያለው ርቀት አህ + ዉ + ሲ = 0እንደ፡-

ማረጋገጫ. ነጥቡ ይሁን M 1 (x 1፣ y 1)- የቋሚው መሠረት ከቦታው ወድቋል ኤምለተሰጠው

ቀጥተኛ. ከዚያም በነጥቦቹ መካከል ያለው ርቀት ኤምእና ኤም 1:

(1)

መጋጠሚያዎች x 1እና 1ለእኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ሊገኝ ይችላል-

የስርዓቱ ሁለተኛው እኩልታ በተሰጠው ነጥብ M 0 ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ነው.

የተሰጠው መስመር. የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ቅጹ ከቀየርነው፡-

A(x - x 0) + B(y - y 0) + መጥረቢያ 0 + በ 0 + ሲ = 0፣

ከዚያም በመፍታት, እኛ እናገኛለን:

እነዚህን አባባሎች በቀመር (1) በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ይህ መጣጥፍ በአውሮፕላን ላይ በሚገኝ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ አመጣጥ ያሳያል። በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ በሁለት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ እናገኛለን። ከተሸፈነው ቁሳቁስ ጋር የተያያዙ በርካታ ምሳሌዎችን በእይታ እናሳያለን እና እንፈታለን።

Yandex.RTB R-A-339285-1

በሁለት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ከማግኘትዎ በፊት, ለአንዳንድ እውነታዎች ትኩረት መስጠት ያስፈልጋል. በአውሮፕላኑ ላይ ባሉ ሁለት በአጋጣሚ ባልሆኑ ነጥቦች ቀጥተኛ መስመር መሳል እንደሚቻል የሚገልጽ አክሲየም አለ። በሌላ አነጋገር የአውሮፕላኑ ሁለት የተሰጡ ነጥቦች የሚወሰኑት በእነዚህ ነጥቦች ውስጥ በሚያልፈው ቀጥተኛ መስመር ነው።

አውሮፕላኑ በአራት ማዕዘኑ አስተባባሪ ሲስተም ኦክሲ ከተሰጠ፣ በውስጡ የሚታየው ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በአውሮፕላኑ ላይ ካለው ቀጥተኛ መስመር እኩልነት ጋር ይዛመዳል። ከቀጥታ መስመር ዳይሬክቲንግ ቬክተር ጋር ግንኙነትም አለ እነዚህ መረጃዎች በሁለት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ ለማውጣት በቂ ናቸው።

ተመሳሳይ ችግር ለመፍታት አንድ ምሳሌ ተመልከት. በካርቴሲያን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ የሚገኙትን ሁለት ያልተዛመዱ ነጥቦች M 1 (x 1, y 1) እና M 2 (x 2, y 2) በማለፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ ማዘጋጀት አስፈላጊ ነው.

በአውሮፕላኑ ላይ ባለው ቀጥተኛ መስመር ቀኖናዊ እኩልታ ውስጥ ፣ ቅጽ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ፣ አራት ማዕዘን ቅርፅ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት O x y ከተጋጠሙት መጋጠሚያዎች ጋር በአንድ ነጥብ ላይ ካለው ቀጥተኛ መስመር ጋር ይገለጻል። 1 (x 1፣ y 1) ከመመሪያ ቬክተር ጋር a → = (a x፣ a y)።

የቀጥታ መስመርን ቀኖናዊ እኩልታ ማዘጋጀት አስፈላጊ ነው a, ይህም በሁለት ነጥቦች በኩል ከመጋጠሚያዎች M 1 (x 1, y 1) እና M 2 (x 2, y 2) ጋር ያልፋል.

ቀጥታ መስመር a ነጥቦቹን M 1 እና M 2 ስለሚያቋርጥ መጋጠሚያዎች (x 2 - x 1 ፣ y 2 - y 1) የሚመራ ቬክተር M 1 M 2 → አለው። ቀኖናዊውን እኩልታ ለመለወጥ ከአቅጣጫ ቬክተር M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) እና የነጥቦቹ መጋጠሚያዎች M 1 በላያቸው ላይ ተኝተው እንዲቀይሩ አስፈላጊውን መረጃ አግኝተናል. (x 1፣ y 1) እና M 2 (x 2፣ y 2)። የቅጹን እኩልነት እናገኛለን x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 or x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

ከታች ያለውን ምስል አስቡበት።

ስሌቶቹን ተከትለን, በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ቀጥ ያለ መስመር ላይ ያለውን ፓራሜትሪክ እኩልታዎች ከመጋጠሚያዎች M 1 (x 1, y 1) እና M 2 (x 2, y 2) ጋር በማለፍ በሁለት ነጥቦች ውስጥ እንጽፋለን. የቅጹን እኩልነት እናገኛለን x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ወይም x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

ጥቂት ምሳሌዎችን ጠለቅ ብለን እንመልከት።

ምሳሌ 1

በተሰጡ 2 ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን የቀጥታ መስመር እኩልታ ከመጋጠሚያዎች M 1 - 5 ፣ 2 3 ፣ M 2 1 ፣ - 1 6 ጋር ይፃፉ።

መፍትሄ

ቀጥ ያለ መስመር በሁለት ነጥቦች ላይ በመጋጠሚያዎች x 1 ፣ y 1 እና x 2 ፣ y 2 የሚያገናኝ ቀኖናዊ ቀመር x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ቅጽ ይወስዳል። በችግሩ ሁኔታ መሰረት እኛ x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 አለን. በቀመር ውስጥ የቁጥር እሴቶችን መተካት አስፈላጊ ነው x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . ከዚህ የምንረዳው ቀኖናዊው እኩልታ (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

መልስ፡- x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6

ችግርን በተለያየ አይነት እኩል መፍታት አስፈላጊ ከሆነ ከዚያ ለመጀመር ወደ ቀኖናዊው መሄድ ይችላሉ, ምክንያቱም ከእሱ ወደ ሌላ ለመምጣት ቀላል ስለሆነ.

ምሳሌ 2

በ O x y መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ M 1 (1, 1) እና M 2 (4, 2) በነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ያዘጋጁ።

መፍትሄ

በመጀመሪያ በተሰጡት ሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የአንድ የተወሰነ መስመር ቀኖናዊ እኩልታ መፃፍ ያስፈልግዎታል። የቅጹን እኩልታ እናገኛለን x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

ቀኖናዊውን እኩልታ ወደሚፈለገው ቅጽ እናመጣለን፣ ከዚያ የሚከተለውን እናገኛለን፡-

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

መልስ፡- x - 3 y + 2 = 0 .

የእንደዚህ አይነት ስራዎች ምሳሌዎች በአልጀብራ ትምህርቶች በት / ቤት የመማሪያ መጽሃፍቶች ውስጥ ተወስደዋል. የት/ቤት ተግባራት የሚለያዩት የ y \u003d k x + b ቅጽ ያለው የቀጥታ መስመር እኩልታ ከተዳፋት መጠን ጋር በመታወቁ ነው። የቁልቁል k እና የቁጥር b ዋጋን ማግኘት ከፈለጉ y \u003d k x + b በ O x y ስርዓት ውስጥ አንድ መስመርን የሚገልፅ ሲሆን ይህም በ M 1 (x 1, y 1) እና M ውስጥ የሚያልፍ ነው. 2 (x 2፣ y 2)፣ የት x 1 ≠ x 2። መቼ x 1 = x 2 , ከዚያም ዘንበል ያለ ገደብ ዋጋን ይይዛል, እና ቀጥታ መስመር M 1 M 2 በአጠቃላይ ያልተሟላ የቅጹ እኩልነት ይገለጻል x - x 1 = 0 .

ምክንያቱም ነጥቦቹ ኤም 1እና ኤም 2ቀጥ ያለ መስመር ላይ ናቸው፣ ከዚያ መጋጠሚያዎቻቸው y 1 = k x 1 + b እና y 2 = k x 2 + b የሚለውን ያሟላሉ። የ k እና bን በተመለከተ የእኩልታዎችን ስርዓት y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b መፍታት አስፈላጊ ነው.

ይህንን ለማድረግ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ወይም k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x እናገኛለን 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

እንደዚህ ባሉ የ k እና b እሴቶች ፣ በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ወይም y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

ይህን የመሰለ እጅግ በጣም ብዙ ቀመሮችን በአንድ ጊዜ ማስታወስ አይሰራም። ይህንን ለማድረግ ችግሮችን በመፍታት ድግግሞሾችን ቁጥር መጨመር አስፈላጊ ነው.

ምሳሌ 3

የቀጥታ መስመርን እኩልታ በነጥቦች ውስጥ በሚያልፉ ተዳፋት M 2 (2፣ 1) እና y = k x + b።

መፍትሄ

ችግሩን ለመፍታት, y \u003d k x + b ቅጽ ያለው ተዳፋት ያለው ቀመር እንጠቀማለን. የ k እና b መጋጠሚያዎች እንደዚህ ያለ ዋጋ መውሰድ አለባቸው ይህ እኩልታ በሁለት ነጥቦች ውስጥ ከሚያልፈው ቀጥተኛ መስመር ጋር ይዛመዳል M 1 (- 7, - 5) እና M 2 (2, 1) .

ነጥቦች ኤም 1እና ኤም 2ቀጥ ያለ መስመር ላይ የሚገኝ ፣ ከዚያ መጋጠሚያዎቻቸው y = k x + b ትክክለኛውን እኩልነት መገልበጥ አለባቸው። ከዚህ እናገኛለን - 5 = k · (- 7) + b እና 1 = k · 2 + b. እኩልታውን ወደ ስርዓቱ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b እና መፍታት.

በመተካት ላይ, ያንን እናገኛለን

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

አሁን እሴቶቹ k = 2 3 እና b = - 1 3 ወደ ቀመር y = k x + b ተተክተዋል. በተሰጡት ነጥቦች ውስጥ ማለፍ የሚፈለገው እኩልታ y = 2 3 x - 1 3 ቅጽ ያለው እኩልታ እንደሚሆን እናገኛለን.

ይህ የመፍትሄ መንገድ ብዙ ጊዜ የሚፈጀውን ወጪ አስቀድሞ ይወስናል። ሥራው በጥሬው በሁለት ደረጃዎች የሚፈታበት መንገድ አለ.

በ M 2 (2, 1) እና M 1 (- 7, - 5) በኩል የሚያልፈውን ቀጥተኛ መስመር ቀኖናዊ እኩልታ እንጽፋለን, ቅጽ x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6

አሁን ወደ ተዳፋት እኩልታ እንሂድ። ያንን እናገኛለን: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

መልስ፡ y = 2 3 x - 1 3 .

ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ አራት ማዕዘን ቅርፅ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት O x y z ሁለት ያልተገጣጠሙ ነጥቦች ከመጋጠሚያዎች M 1 (x 1, y 1, z 1) እና M 2 (x 2, y 2, z 2) ጋር ከሆነ, ቀጥተኛ መስመር M በእነሱ በኩል 1 M 2 ማለፍ, የዚህን መስመር እኩልነት ማግኘት አስፈላጊ ነው.

ያ ቀኖናዊ እኩልታዎች አሉን የቅጹ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z እና የቅጹ ፓራሜትሪክ እኩልታዎች x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ መጋጠሚያዎች (x 1 ፣ y 1 ፣ z 1) ከዳይሬክተር ቬክተር ጋር a → = (a x ፣ a y ፣ a z) ባሉባቸው ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን መስመር በ O x y z መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ማዘጋጀት ይችላሉ።

ቀጥ M 1 M 2 መስመሩ በ M 1 (x 1, y 1, z) በኩል የሚያልፍበት ቅጽ አቅጣጫ ቬክተር አለው. 1) እና M 2 (x 2, y 2, z 2), ስለዚህ ቀኖናዊው እኩልታ በ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z ሊሆን ይችላል. 2 - z 1 ወይም x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1 ፣ በተራው ፣ ፓራሜትሪክ x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ወይም x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

በቦታ ውስጥ 2 የተሰጡ ነጥቦችን እና የቀጥተኛ መስመርን እኩልነት የሚያሳይ ምስል አስቡበት።

ምሳሌ 4

የተሰጡትን ሁለት ነጥቦች በመጋጠሚያዎች M 1 (2, - 3, 0) እና M 2 (1, - 3, - 5) በማለፍ በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት O x y z የተገለጸውን ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ይፃፉ ። ) .

መፍትሄ

ቀኖናዊውን እኩልታ ማግኘት አለብን። ስለ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ እየተነጋገርን ስለሆነ ቀጥተኛ መስመር በተሰጡት ነጥቦች ውስጥ ሲያልፍ የሚፈለገው ቀኖናዊ እኩልታ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

በሁኔታው x 1 = 2 ፣ y 1 = - 3 ፣ z 1 = 0 ፣ x 2 = 1 ፣ y 2 = - 3 ፣ z 2 = - 5 አለን። አስፈላጊዎቹን እኩልታዎች በሚከተለው መልኩ መፃፍ ይቻላል፡-

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

መልስ፡- x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5።

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን