የመስመር ጥገኝነት እና የቬክተሮች ቀጥተኛ ነፃነት። የቬክተር መሰረት

ፍቀድ ኤል- የዘፈቀደ መስመራዊ ቦታ፣ ሀ እኔ Î ኤልየእሱ ንጥረ ነገሮች (ቬክተሮች) ናቸው.

ፍቺ 3.3.1.አገላለጽ ፣ የት ፣ - የዘፈቀደ እውነተኛ ቁጥሮች ፣ መስመራዊ ጥምረት ይባላል ቬክተሮችሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣… ፣ ሀ n.

ቬክተር ከሆነ አር = , ከዚያም እንዲህ ይላሉ አር ወደ ቬክተሮች መበስበስሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣… ፣ ሀ n.

ፍቺ 3.3.2.የቬክተሮች መስመራዊ ጥምረት ይባላል ቀላል ያልሆነ, ከቁጥሮች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ሌላ ካለ. አለበለዚያ, መስመራዊ ጥምረት ይባላል ተራ ነገር.

ፍቺ 3.3.3 . ቬክተሮች ሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣… ፣ ሀ nከነሱ መካከል ቀላል ያልሆነ የመስመር ጥምረት ካለ መስመራዊ ጥገኛ ይባላሉ

= 0 .

ፍቺ 3.3.4. ቬክተሮች ሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣… ፣ ሀ nእኩልነት ከሆነ መስመራዊ ገለልተኛ ተብለው ይጠራሉ = 0 ሁሉም ቁጥሮች ከሆነ ብቻ ይቻላል ኤል 1, ኤል 2,…, l nበተመሳሳይ ጊዜ ዜሮ ናቸው.

ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ኤለመንት 1 እንደ የመስመር ገለልተኛ ስርዓት ሊወሰድ እንደሚችል ልብ ይበሉ፣ ከእኩልነት ኤልሀ 1 = 0 የሚቻለው በሁኔታው ብቻ ነው ኤል= 0.

ቲዎረም 3.3.1.ለመስመር ጥገኝነት አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ ሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣… ፣ ሀ nከእነዚህ ንጥረ ነገሮች ውስጥ ቢያንስ አንዱን ወደ ቀሪው የመበስበስ እድል ነው.

ማረጋገጫ። ያስፈልጋል። ኤለመንቶች ሀ 1፣ ሀ 2፣…፣ ሀ nበመስመር ላይ ጥገኛ. ማለት ነው። = 0 , እና ቢያንስ አንድ ቁጥሮች ኤል 1, ኤል 2,…, l nከዜሮ የተለየ። ለትክክለኛነቱ ይሁን ኤል 1 ¹ 0. ከዚያም

ማለትም ኤለመንት ሀ 1 ወደ ኤለመንቶች 2፣ a 3፣…፣ ሀ n.

በቂነት። ኤለመንቱ 1 ወደ ኤለመንቶች አንድ 2፣ a 3፣…፣ ሀ n, ማለትም a 1 =. ከዚያም = 0 ስለዚህ፣ ቀላል ያልሆነ የቬክተር ሀ 1፣ ሀ 2፣…፣ ሀ nእኩል ይሆናል 0 , ስለዚህ እነሱ በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው .

ቲዎረም 3.3.2. ቢያንስ አንዱ ኤለመንቶች ከሆነ 1፣ a 2፣…፣ ሀ nዜሮ፣ ከዚያ እነዚህ ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው።

ማረጋገጫ . ፍቀድ ሀ n= 0 ከዚያም = 0 , ይህም ማለት የተጠቆሙ ንጥረ ነገሮች ቀጥተኛ ጥገኛ ማለት ነው.

ቲዎረም 3.3.3. ከ n ቬክተሮች መካከል ማንኛውም p (ገጽ< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

ማረጋገጫ። ለነገሩ ንጥረ ነገሮች ሀ 1፣ ሀ 2፣…፣ ሀ ገጽበመስመር ላይ ጥገኛ. ይህ ማለት እንደዚህ ያለ ቀላል ያልሆነ የመስመር ጥምረት አለ ማለት ነው። = 0 . ንጥረ ነገሩን በሁለቱም ክፍሎቹ ላይ ከጨመርን የተመለከተው እኩልነት ይጠበቃል። ከዚያም + = 0 , ቢያንስ አንድ ቁጥሮች ሳለ ኤል 1, ኤል 2,…, lpከዜሮ የተለየ። ስለዚህ፣ ቬክተሮች ሀ 1፣ ሀ 2፣…፣ ሀ nበመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው.

ማብራሪያ 3.3.1. n ኤለመንቶች በመስመራዊ ገለልተኛ ከሆኑ ፣ከነሱ ውስጥ ማንኛቸውም k በመስመራዊ ገለልተኛ ናቸው (k< n).

ቲዎረም 3.3.4. ቬክተሮች ከሆነሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣… ፣ ሀ n - 1 በመስመራዊ ገለልተኛ ናቸው, እና ንጥረ ነገሮችሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣… ፣ ሀ n - 1, አ n በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው, ከዚያም ቬክተርሀ n ወደ ቬክተሮች መበስበስ ይቻላልሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣… ፣ ሀ n - 1 .

ማረጋገጫ።በሁኔታ ሀ 1፣ ሀ 2 ፣… ፣ ሀ n - 1, አ n በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው፣ ከዚያ የእነሱ ቀላል ያልሆነ የመስመር ጥምረት አለ። = 0 , እና (አለበለዚያ, ቬክተሮች a 1, a 2,…, a n -አንድ). ግን ከዚያ ቬክተር

ጥ.ኢ.ዲ.

የቬክተሮች ስርዓት ይባላል በመስመር ላይ ጥገኛ, እንደዚህ ያሉ ቁጥሮች ካሉ, ከነዚህም መካከል ቢያንስ አንዱ ከዜሮ የተለየ ነው, እኩልነት https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src" >>

ይህ እኩልነት ሁሉንም ብቻ የሚይዝ ከሆነ የቬክተር ስርዓት ይባላል በመስመር ገለልተኛ.

ቲዎረም.የቬክተሮች ሥርዓት ይሆናል በመስመር ላይ ጥገኛከሆነ እና ቢያንስ አንዱ የእሱ ቬክተር የሌሎች ቀጥተኛ ጥምረት ከሆነ ብቻ።

ምሳሌ 1ፖሊኖሚል የብዙ ፖሊኖሚሎች መስመራዊ ጥምረት ነው https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">ፖሊኖማሎች ከመስመር ነፃ የሆነ ሥርዓትን ያቋቁማሉ። https ብዙ ቁጥር፡ //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">።

ምሳሌ 2የማትሪክስ ስርዓት , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> በመስመራዊ ገለልተኛ ነው፣የመስመራዊ ጥምር ከ ዜሮ ማትሪክስ በ https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">፣፣ https://pandia.ru/text/78/ ሲገባ ብቻ ነው። 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21">መስመራዊ ጥገኛ።

መፍትሄ።

የእነዚህ ቬክተሮች መስመራዊ ጥምረት https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" ቁመት ይጻፉ = " 22 ".

ተመሳሳይ ስም ያላቸው የእኩል ቬክተሮች መጋጠሚያዎችን በማመሳሰል https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> እናገኛለን።

በመጨረሻም እናገኛለን

እና

ስርዓቱ ልዩ የሆነ ጥቃቅን መፍትሄ አለው, ስለዚህ የእነዚህ ቬክተሮች መስመራዊ ጥምረት ዜሮ የሚሆነው ሁሉም ጥምርታዎች ዜሮ ከሆኑ ብቻ ነው. ስለዚህ ይህ የቬክተር ስርዓት ከመስመር ነጻ የሆነ ነው።

ምሳሌ 4ቬክተሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ ናቸው. የቬክተሮች ስርዓቶች ምን ይሆናሉ

ሀ);

ለ)?

መፍትሄ።

ሀ)መስመራዊ ጥምር ይጻፉ እና ከዜሮ ጋር ያመሳስሉት

በመስመራዊ ቦታ ላይ ከቬክተሮች ጋር የአሠራር ባህሪያትን በመጠቀም የመጨረሻውን እኩልነት በቅጹ ላይ እንደገና እንጽፋለን

ቬክተሮቹ በመስመራዊ ገለልተኛ በመሆናቸው፣ ውህደቶቹ ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለባቸው፣ i.e.gif" width="12" height="23 src=">

የተፈጠረው የእኩልታዎች ስርዓት ልዩ የሆነ ቀላል መፍትሄ አለው። .

ከእኩልነት ጀምሮ (*) የተፈፀመው በ https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - በመስመር ላይ ብቻ ነው;

ለ)እኩልነቱን ይፃፉ https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

ተመሳሳይ ምክንያቶችን በመተግበር, እናገኛለን

የእኩልታዎችን ስርዓት በጋውስ ዘዴ መፍታት, እናገኛለን

ወይም

የመጨረሻው ስርዓት ገደብ የለሽ የመፍትሄዎች ቁጥር አለው https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">። ስለዚህም ያልሆነ-አለ። ለእኩልነት ዜሮ ስብስብ (**) . ስለዚህ, የቬክተሮች ስርዓት በመስመር ላይ ጥገኛ ነው.

ምሳሌ 5የቬክተር ስርዓቱ በመስመራዊ ራሱን የቻለ ሲሆን የቬክተር ስርዓቱ ደግሞ በመስመራዊ ጥገኛ ነው..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

በእኩልነት (***) . በእርግጥ፣ ለ , ስርዓቱ በመስመር ላይ ጥገኛ ይሆናል.

ከግንኙነቱ (***) እናገኛለን ወይም አመልክት። .

አግኝ

ለገለልተኛ መፍትሄ ተግባራት (በክፍል ውስጥ)

1. ዜሮ ቬክተር ያለው ስርዓት በመስመር ላይ ጥገኛ ነው።

2. ነጠላ የቬክተር ስርዓት ሀከሆነ እና ብቻ ከሆነ ፣ በመስመር ላይ ጥገኛ ነው ፣ ሀ=0.

3. ሁለት ቬክተሮችን ያቀፈ ስርዓት ቀጥተኛ ጥገኛ ነው, እና ቬክተሮች ተመጣጣኝ ከሆኑ (ይህም አንዱ ከሌላው በቁጥር በማባዛት ነው).

4. አንድ ቬክተር ወደ መስመራዊ ጥገኛ ስርዓት ከተጨመረ, ከዚያም ቀጥተኛ ጥገኛ ስርዓት ተገኝቷል.

5. አንድ ቬክተር ከመስመር ነፃ ከሆነው ሥርዓት ከተወገደ፣ የተገኘው የቬክተር ሥርዓት በቀጥታ ራሱን የቻለ ነው።

6. ስርዓቱ ከሆነ ኤስበመስመራዊ ገለልተኛ፣ ነገር ግን ቬክተር ሲጨመር በቀጥታ ጥገኛ ይሆናል። ለ, ከዚያም ቬክተር ለከስርአቱ ቬክተር አንፃር በመስመራዊ ይገለጻል። ኤስ.

ሐ)የማትሪክስ ስርዓት , በሁለተኛው ቅደም ተከተል የማትሪክስ ቦታ.

10. የቬክተሮች ስርዓት ይሁን ሀ፣ለ፣ሐየቬክተር ቦታ በቀጥታ ገለልተኛ ነው. የሚከተሉት የቬክተር ስርዓቶች የመስመር ነፃነትን ያረጋግጡ።

ሀ)ሀ+ለ፣ ለ፣ ሐ.

ለ)ሀ+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–የዘፈቀደ ቁጥር

ሐ)ሀ+b፣ a+c፣ b+c

11. ፍቀድ ሀ፣ለ፣ሐበአውሮፕላኑ ውስጥ ሦስት ማዕዘን ቅርጾችን ለመሥራት የሚያገለግሉ ሦስት ቬክተሮች ናቸው. እነዚህ ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ይሆናሉ?

12. ሁለት ቬክተር ተሰጥቷል a1=(1፣2፣3፣4)፣a2=(0, 0, 0, 1). ሁለት ተጨማሪ 4D ቬክተሮችን አንሳ a3 እናሀ4ስለዚህ ስርዓቱ ሀ1፣a2፣a3፣ሀ4በመስመር ገለልተኛ ነበር። .

ሀ 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ሀ 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ሀ 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

መፍትሄ።ለእኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ እየፈለግን ነው።

ሀ 1 x 1 + ሀ 2 x 2 + ሀ 3 x 3 = Θ

Gaussian ዘዴ. ይህንን ለማድረግ ይህንን ተመሳሳይ ስርዓት በመጋጠሚያዎች ውስጥ እንጽፋለን-

የስርዓት ማትሪክስ

የተፈቀደው ስርዓት የሚከተለውን ይመስላል። (አር ኤ = 2, n= 3). ስርዓቱ ወጥነት ያለው እና ያልተገለጸ ነው. አጠቃላይ መፍትሔው ( x 2 - ነፃ ተለዋዋጭ): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . ዜሮ ያልሆነ የግል መፍትሄ መኖሩ, ለምሳሌ, ቬክተሮችን ያመለክታል ሀ 1 , ሀ 2 , ሀ 3 በመስመር ላይ ጥገኛ.

ምሳሌ 2

የተሰጠው የቬክተር ስርዓት በመስመር ላይ ጥገኛ ወይም በመስመር ላይ የተመሰረተ መሆኑን ይወቁ፡

1. ሀ 1 = { -20, -15, - 4 }, ሀ 2 = { –7, -2, -4 }, ሀ 3 = { 3, –1, –2 }.

መፍትሄ።የእኩልታዎች ተመሳሳይነት ያለውን ስርዓት አስቡበት ሀ 1 x 1 + ሀ 2 x 2 + ሀ 3 x 3 = Θ

ወይም ተዘርግቷል (በመጋጠሚያዎች)

ስርዓቱ ተመሳሳይ ነው. ያልተበላሸ ከሆነ, ከዚያም ልዩ የሆነ መፍትሄ አለው. ተመሳሳይነት ባለው ስርዓት ውስጥ, ዜሮ (ትሪቪል) መፍትሄ. ስለዚህ, በዚህ ሁኔታ የቬክተሮች ስርዓት ገለልተኛ ነው. ስርዓቱ የተበላሸ ከሆነ, ዜሮ ያልሆኑ መፍትሄዎች አሉት, ስለዚህም, ጥገኛ ነው.

የስርዓተ-ፆታ ብልሹነት መኖሩን ማረጋገጥ;

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

ስርዓቱ ያልተበላሸ እና, ስለዚህ, ቬክተሮች ሀ 1 , ሀ 2 , ሀ 3 በመስመር ነጻ ናቸው.

ተግባራትየተሰጠው የቬክተር ስርዓት በመስመር ላይ ጥገኛ ወይም በመስመር ላይ የተመሰረተ መሆኑን ይወቁ፡

1. ሀ 1 = { -4, 2, 8 }, ሀ 2 = { 14, -7, -28 }.

2. ሀ 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ሀ 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. ሀ 1 = { -7, 5, 19 }, ሀ 2 = { -5, 7 , -7 }, ሀ 3 = { -8, 7, 14 }.

4. ሀ 1 = { 1, 2, -2 }, ሀ 2 = { 0, -1, 4 }, ሀ 3 = { 2, -3, 3 }.

5. ሀ 1 = { 1, 8 , -1 }, ሀ 2 = { -2, 3, 3 }, ሀ 3 = { 4, -11, 9 }.

6. ሀ 1 = { 1, 2 , 3 }, ሀ 2 = { 2, -1 , 1 }, ሀ 3 = { 1, 3, 4 }.

7. ሀ 1 = {0, 1, 1 , 0}, ሀ 2 = {1, 1 , 3, 1}, ሀ 3 = {1, 3, 5, 1}, ሀ 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. ሀ 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ሀ 2 = {2, 3 , 2, 1}, ሀ 3 = {4, 4, 4, -3}, ሀ 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. የቬክተር ስርዓት የሚከተሉትን ነገሮች ካካተተ በመስመር ላይ ጥገኛ እንደሚሆን ያረጋግጡ።

ሀ) ሁለት እኩል ቬክተሮች;

ለ) ሁለት ተመጣጣኝ ቬክተሮች.

የመስመር ጥገኝነት እና የቬክተሮች ቀጥተኛ ነፃነት።
የቬክተሮች መሠረት. የአፊን ቅንጅት ስርዓት

በተመልካቾች ውስጥ ቸኮሌት ያለው ጋሪ አለ ፣ እና ዛሬ እያንዳንዱ ጎብኚ ጣፋጭ ባልና ሚስት ያገኛሉ - የትንታኔ ጂኦሜትሪ ከመስመር አልጀብራ ጋር። ይህ መጣጥፍ ሁለት የከፍተኛ የሂሳብ ክፍሎችን በአንድ ጊዜ ይዳስሳል፣ እና በአንድ ጥቅል ውስጥ እንዴት እንደሚስማሙ እንመለከታለን። እረፍት ይውሰዱ ፣ Twix ይበሉ! ... እርጉም, ጥሩ, የማይረባ ክርክር. ምንም እንኳን እሺ፣ አላስቆጥርም፣ በመጨረሻ፣ ለማጥናት አዎንታዊ አመለካከት መኖር አለበት።

የቬክተሮች ቀጥተኛ ጥገኛ, የቬክተሮች ቀጥተኛ ነፃነት, የቬክተር መሰረትእና ሌሎች ቃላት የጂኦሜትሪክ ትርጉም ብቻ ሳይሆን፣ ከሁሉም በላይ፣ አልጀብራ ትርጉም አላቸው። ከመስመር አልጀብራ አንፃር የ‹ቬክተር› ጽንሰ-ሀሳብ ሁል ጊዜ በአውሮፕላንም ሆነ በህዋ ላይ ልንገልጸው ከምንችለው “ተራ” ቬክተር የራቀ ነው። ለማስረጃ ሩቅ መፈለግ አያስፈልግም፣ ባለ አምስት አቅጣጫዊ ቦታ ቬክተር ለመሳል ይሞክሩ . ወይም የአየር ሁኔታ ቬክተር, ለዚያም ወደ Gismeteo ብቻ የሄድኩበት: - የሙቀት መጠን እና የከባቢ አየር ግፊት, በቅደም ተከተል. ምሳሌ, እርግጥ ነው, የቬክተር ቦታ ንብረቶች እይታ ነጥብ ጀምሮ ትክክል አይደለም, ነገር ግን, ማንም ሰው እነዚህን መለኪያዎች እንደ ቬክተር formalize አይከለክልም. የበልግ እስትንፋስ...

አይ፣ በቲዎሪ፣ በሊኒየር ቬክተር ክፍተቶች አላሰለቸኝዎትም፣ ተግባሩ ማድረግ ነው። መረዳትትርጓሜዎች እና ጽንሰ-ሐሳቦች. አዲሶቹ ቃላቶች (የመስመራዊ ጥገኝነት፣ ነፃነት፣ መስመራዊ ጥምር፣ መሰረት፣ወዘተ) ከአልጀብራዊ እይታ አንጻር ለሁሉም ቬክተሮች ተፈጻሚ ይሆናሉ፣ነገር ግን ምሳሌዎች በጂኦሜትሪያዊ መልኩ ይሰጣሉ። ስለዚህ, ሁሉም ነገር ቀላል, ተደራሽ እና ምስላዊ ነው. ከትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮች በተጨማሪ፣ አንዳንድ የተለመዱ የአልጀብራ ስራዎችንም እንመለከታለን። ትምህርቱን ለመቆጣጠር እራስዎን ከትምህርቶቹ ጋር በደንብ እንዲያውቁት ይመከራል Vectors ለ dummiesእና ወሳኙን እንዴት ማስላት ይቻላል?

የአውሮፕላን ቬክተሮች ቀጥተኛ ጥገኛ እና ነፃነት።
የአውሮፕላን መሠረት እና የአፊን ቅንጅት ስርዓት

የኮምፒተርዎን ጠረጴዛ (ጠረጴዛ ፣ የአልጋ ጠረጴዛ ፣ ወለል ፣ ጣሪያ ፣ የሚወዱትን) አውሮፕላን ግምት ውስጥ ያስገቡ ። ተግባሩ የሚከተሉትን ተግባራት ያቀፈ ይሆናል-

1) የአውሮፕላን መሠረት ይምረጡ. በግምት, የጠረጴዛው ጫፍ ርዝመት እና ስፋት አለው, ስለዚህ መሰረቱን ለመገንባት ሁለት ቬክተሮች እንደሚያስፈልጉ ግልጽ ነው. አንድ ቬክተር በግልጽ በቂ አይደለም, ሶስት ቬክተሮች በጣም ብዙ ናቸው.

2) በተመረጠው መሠረት ቅንጅት ሥርዓት አዘጋጅ(መጋጠሚያ ፍርግርግ) በጠረጴዛው ላይ ለሚገኙ ሁሉም እቃዎች መጋጠሚያዎችን ለመመደብ.

አትደነቁ, መጀመሪያ ላይ ማብራሪያዎቹ በጣቶቹ ላይ ይሆናሉ. ከዚህም በላይ, በእርስዎ ላይ. እባክዎን ያስቀምጡ የግራ እጅ አመልካች ጣትተቆጣጣሪውን እንዲመለከት በጠረጴዛው ጫፍ ላይ. ይህ ቬክተር ይሆናል. አሁን ቦታ የቀኝ እጅ ትንሽ ጣትበጠረጴዛው ጠርዝ ላይ በተመሳሳይ መንገድ - በማያ ገጹ ላይ እንዲመራው. ይህ ቬክተር ይሆናል. ፈገግ ይበሉ ፣ በጣም ጥሩ ይመስላል! ስለ ቬክተሮች ምን ማለት ይቻላል? የውሂብ ቬክተሮች ኮላይኔር, ማ ለ ት በመስመርእርስ በእርሳቸው ይገለጻሉ:
, ጥሩ, ወይም በተቃራኒው:, ዜሮ ያልሆነ ቁጥር የት አለ.

በትምህርቱ ውስጥ የዚህን ድርጊት ምስል ማየት ይችላሉ. Vectors ለ dummies፣ ቬክተርን በቁጥር የማባዛት ደንቡን ገለጽኩበት።

ጣቶችዎ በኮምፒተር ጠረጴዛው አውሮፕላን ላይ መሰረት ያዘጋጃሉ? እንዳልሆነ ግልጽ ነው። ኮላይኔር ቬክተሮች ወደ ኋላ እና ወደ ፊት ይጓዛሉ ብቻውንአቅጣጫ, አንድ አውሮፕላን ርዝመት እና ስፋት ሲኖረው.

እንዲህ ያሉት ቬክተሮች ይባላሉ በመስመር ላይ ጥገኛ.

ዋቢ፡ "መስመራዊ", "ሊኒያር" የሚሉት ቃላቶች በሂሳብ እኩልታዎች, መግለጫዎች ውስጥ ካሬዎች, ኪዩቦች, ሌሎች ሀይሎች, ሎጋሪዝም, ሳይን, ወዘተ አለመኖራቸውን ያመለክታሉ. ቀጥተኛ (1 ኛ ዲግሪ) መግለጫዎች እና ጥገኞች ብቻ አሉ።

ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛከሆነ እና እነሱ ኮላይነር ከሆኑ ብቻ.

ከ 0 ወይም 180 ዲግሪ በስተቀር በመካከላቸው አንግል እንዲኖር ጣቶችዎን በጠረጴዛው ላይ ያቋርጡ። ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮችበመስመር አይደለምኮላይነር ካልሆኑ ብቻ ጥገኛ ናቸው።. ስለዚህ, መሰረቱን ተቀብሏል. መሠረቱ የተለያየ ርዝመት ያላቸው ቋሚ ያልሆኑ ቬክተሮች ያሉት "ገደብ" ሆኖ ስለተገኘ ማሸማቀቅ አያስፈልግም። በጣም በቅርብ ጊዜ የ 90 ዲግሪ ማዕዘን ብቻ ሳይሆን ለግንባታው ተስማሚ መሆኑን እና እኩል ርዝመት ያላቸውን ቬክተሮች ብቻ ሳይሆን እናያለን.

ማንኛውምየአውሮፕላን ቬክተር ብቸኛው መንገድከመሠረቱ አንፃር ተዘርግቷል-
እውነተኛ ቁጥሮች የት አሉ . ቁጥሮች ተጠርተዋል የቬክተር መጋጠሚያዎችበዚህ መሠረት.

ሲሉም ይናገራሉ ቬክተርበቅጹ ላይ ቀርቧል መስመራዊ ጥምረትመሠረት ቬክተሮች. ማለትም አገላለጹ ይባላል የቬክተር መበስበስመሠረትወይም መስመራዊ ጥምረትመሠረት ቬክተሮች.

ለምሳሌ, አንድ ሰው ቬክተር በአውሮፕላኑ ውስጥ በኦርቶዶክስ ውስጥ ተዘርግቷል ወይም አንድ ሰው እንደ ተወክሏል ማለት ይችላል የቬክተር መስመራዊ ጥምረት .

እንቅረፅ መሠረት ፍቺመደበኛ፡ የአውሮፕላን መሠረትቀጥተኛ ገለልተኛ (ያልሆኑ) ቬክተሮች ጥንድ ነው ፣ ፣ በውስጡ ማንኛውምየአውሮፕላኑ ቬክተር የመሠረት ቬክተሮች መስመራዊ ጥምረት ነው.

የትርጓሜው አስፈላጊ ነጥብ ቬክተሮች መወሰዳቸው ነው በተወሰነ ቅደም ተከተል. መሠረቶች እነዚህ ሁለት ሙሉ ለሙሉ የተለያዩ መሠረቶች ናቸው! እነሱ እንደሚሉት, የግራ እጁ ትንሽ ጣት ወደ ቀኝ እጁ ትንሽ ጣት ቦታ ሊንቀሳቀስ አይችልም.

መሰረቱን አውቀናል, ነገር ግን የማስተባበሪያውን ፍርግርግ ማዘጋጀት እና በኮምፒተርዎ ጠረጴዛ ላይ ለእያንዳንዱ እቃዎች መጋጠሚያዎችን መመደብ በቂ አይደለም. ለምን በቂ አይደለም? ቬክተሮቹ ነፃ ናቸው እና በጠቅላላው አውሮፕላን ላይ ይንከራተታሉ. ስለዚህ ከዱር ቅዳሜና እሁድ ለቀሩት ለእነዚያ ትንሽ ቆሻሻ የጠረጴዛ ነጥቦች መጋጠሚያዎችን እንዴት ይመድባሉ? መነሻ ነጥብ ያስፈልጋል። እና እንዲህ ዓይነቱ የማመሳከሪያ ነጥብ ለሁሉም ሰው የሚታወቅ ነጥብ ነው - የመጋጠሚያዎች መነሻ. የአስተባባሪ ስርዓቱን መረዳት;

በ "ትምህርት ቤት" ስርዓት እጀምራለሁ. ቀድሞውኑ በመግቢያ ትምህርት ውስጥ Vectors ለ dummiesበአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አስተባባሪ ስርዓት እና በኦርቶዶክስ መሠረት መካከል ያሉትን አንዳንድ ልዩነቶች አጉልቻለሁ። መደበኛው ሥዕል ይህ ነው።

ስለ ሲናገር አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት, ከዚያም ብዙውን ጊዜ መነሻው, መጥረቢያዎችን እና ሚዛንን በመጥረቢያዎቹ ላይ ያስተባብራሉ. በፍለጋ ሞተሩ ውስጥ "አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓት" ለመተየብ ይሞክሩ, እና ብዙ ምንጮች ከ 5 ኛ-6 ኛ ክፍል ስለሚያውቁት የመጋጠሚያ መጥረቢያዎች እና በአውሮፕላን ላይ ነጥቦችን እንዴት እንደሚነኩ ይነግሩዎታል.

በሌላ በኩል, አንድ ሰው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አስተባባሪ ስርዓት በኦርቶዶክሳዊ መሠረት በደንብ ሊገለጽ ይችላል የሚል ግንዛቤ ያገኛል. እና ሊሆን ይችላል. ቃላቱ እንደሚከተለው ነው-

መነሻ, እና ኦርቶዶክሳዊመሠረት ስብስብ የአውሮፕላኑ የካርቴዥያ አስተባባሪ ስርዓት . ማለትም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የመጋጠሚያ ሥርዓት በእርግጠኝነትበአንድ ነጥብ እና በሁለት ዩኒት ኦርቶጎን ቬክተሮች ይገለጻል. ለዚያም ነው ከላይ የሰጠሁትን ሥዕል የምታዩት - በጂኦሜትሪክ ችግሮች ውስጥ ሁለቱም ቬክተሮች እና አስተባባሪ መጥረቢያዎች ብዙውን ጊዜ (ግን ሁልጊዜ በጣም የራቁ) ይሳሉ።

እኔ እንደማስበው ሁሉም ሰው በነጥብ (በመነሻ) እና በኦርቶዶክሳዊ መሠረት እርዳታ ይገነዘባል የአውሮፕላኑ ማንኛውም ነጥብ እና የአውሮፕላኑ ማንኛውም VECTORመጋጠሚያዎች ሊመደቡ ይችላሉ. በምሳሌያዊ አነጋገር "በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉት ሁሉም ነገሮች ሊቆጠሩ ይችላሉ."

አስተባባሪ ቬክተሮች አንድ መሆን አለባቸው? አይ፣ የዘፈቀደ ዜሮ ያልሆነ ርዝመት ሊኖራቸው ይችላል። የዘፈቀደ ዜሮ ያልሆነ ርዝመት አንድ ነጥብ እና ሁለት ኦርቶጎን ቬክተሮችን አስቡባቸው፡

እንዲህ ዓይነቱ መሠረት ይባላል orthogonal. ከቬክተሮች ጋር የመጋጠሚያዎች አመጣጥ የመጋጠሚያውን ፍርግርግ ይገልፃል, እና ማንኛውም የአውሮፕላኑ ነጥብ, ማንኛውም ቬክተር በተሰጠው መሠረት የራሱ መጋጠሚያዎች አሉት. ለምሳሌ, ወይም. ግልጽ የሆነ አለመመቸት አስተባባሪዎቹ ቬክተሮች ናቸው በአጠቃላይከአንድነት ሌላ የተለያየ ርዝመት አላቸው. ርዝመቶቹ ከአንድ ጋር እኩል ከሆኑ, የተለመደው ኦርቶማላዊ መሠረት ይገኛል.

! ማስታወሻ በአውሮፕላኑ እና በቦታ ውስጥ ባሉ አፊን መሠረቶች ውስጥ ፣ በሥርዓተ-አቀባዊ መሠረት ፣ በመጥረቢያዎቹ ላይ ያሉት ክፍሎች ይቆጠራሉ። ሁኔታዊ. ለምሳሌ አንድ አሃድ ከ abscissa ጋር 4 ሴ.ሜ ይይዛል ፣ በ ordinate ላይ ያለው አንድ ክፍል 2 ሴ.ሜ ይይዛል ። ይህ መረጃ አስፈላጊ ከሆነ “መደበኛ ያልሆኑ” መጋጠሚያዎችን ወደ “ተለመደው ሴንቲሜትር” ለመቀየር በቂ ነው።

እና ሁለተኛው ጥያቄ, በትክክል ቀድሞውኑ መልስ ያገኘው - በመሠረታዊ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል 90 ዲግሪ መሆን አስፈላጊ ነውን? አይደለም! ትርጉሙ እንደሚለው, የመሠረት ቬክተሮች መሆን አለባቸው ኮላይነር ያልሆነ ብቻ. በዚህ መሠረት አንግል ከ 0 እና 180 ዲግሪ በስተቀር ማንኛውም ሊሆን ይችላል.

በአውሮፕላኑ ላይ አንድ ነጥብ ተጠርቷል መነሻ, እና ኮላይነር ያልሆነቬክተሮች, , አዘጋጅ የአውሮፕላኑ አፊን ቅንጅት ስርዓት :

አንዳንድ ጊዜ ይህ የተቀናጀ ስርዓት ይባላል ግዴለሽስርዓት. ነጥቦች እና ቬክተሮች በሥዕሉ ላይ እንደ ምሳሌ ይታያሉ፡-

እርስዎ እንደተረዱት, የ affine መጋጠሚያ ስርዓት እንኳን ያነሰ ምቹ ነው, በትምህርቱ ሁለተኛ ክፍል ላይ የተመለከትናቸው የቬክተሮች እና ክፍሎች ርዝመት ያላቸው ቀመሮች በእሱ ውስጥ አይሰሩም. Vectors ለ dummies, ጋር የተያያዙ ብዙ ጣፋጭ ቀመሮች የቬክተሮች scalar ምርት. ነገር ግን ቬክተርን ለመጨመር እና ቬክተርን በቁጥር የማባዛት ደንቦቹ ልክ ናቸው፣ በዚህ ረገድ ክፍልን ለመከፋፈል ቀመሮች እንዲሁም በቅርቡ የምንመለከታቸው ሌሎች የችግሮች ዓይነቶች አሉ።

እና መደምደሚያው በጣም ምቹ የሆነ የአፊን መጋጠሚያ ስርዓት ጉዳይ የካርቴዥያን አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓት ነው. ስለዚህ, እሷ, የራሷ, ብዙውን ጊዜ መታየት አለባት. ... ሆኖም ግን, በዚህ ህይወት ውስጥ ሁሉም ነገር አንጻራዊ ነው - ብዙ ሁኔታዎች አሉ አስገዳጅ (ወይም ሌላ, ለምሳሌ,) መኖሩ ተገቢ ነው. የዋልታ) የማስተባበር ሥርዓት. አዎ ፣ እና የሰው ልጆች እንደዚህ ያሉ ስርዓቶች ወደ ጣዕም ሊመጡ ይችላሉ =)

ወደ ተግባራዊ ክፍል እንሂድ። በዚህ ትምህርት ውስጥ ያሉ ሁሉም ችግሮች ለአራት ማዕዘን ቅንጅት ስርዓት እና ለአጠቃላይ የአፊን ጉዳይ ሁለቱም ልክ ናቸው. እዚህ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም, ሁሉም ቁሳቁሶች ለትምህርት ቤት ልጅ እንኳን ይገኛሉ.

የአውሮፕላኑን ቬክተሮች መገጣጠሚያ እንዴት እንደሚወስኑ?

የተለመደ ነገር። ለሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች ቅደም ተከተል ኮላይኔር ናቸው፣ የየራሳቸው መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ እንዲሆኑ አስፈላጊ እና በቂ ነው።.በእውነቱ ይህ ግልጽ የሆነ ግንኙነትን በማስተባበር ማጣራት ነው።

ምሳሌ 1

ሀ) ቬክተሮቹ ኮላይኔር መሆናቸውን ያረጋግጡ .
ለ) ቬክተሮች መሠረት ይሠራሉ? ?

መፍትሄ፡-
ሀ) ለቬክተሮች መኖሩን ይወቁ የተመጣጠነ ተመጣጣኝነት, እኩልነት እንዲሟሉ;

በተግባር በትክክል ስለሚሠራው የዚህ ደንብ አተገባበር "foppish" ስሪት በእርግጠኝነት እነግራችኋለሁ. ሃሳቡ ወዲያውኑ የተወሰነ መጠን ማውጣት እና ትክክል መሆኑን ለማየት ነው፡-

ከተዛማጅ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ሬሾ እናድርገው፡-

እናሳጥረዋለን፡-
ስለዚህ ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ ናቸው, ስለዚህም,

ግንኙነቱ ሊፈጠር ይችላል እና በተቃራኒው ይህ ተመጣጣኝ አማራጭ ነው-

ለራስ-ምርመራ, አንድ ሰው ኮሊንየር ቬክተሮች እርስ በእርሳቸው በመስመሮች መገለጣቸውን ሊጠቀሙበት ይችላሉ. በዚህ ሁኔታ, እኩልነት አለ . ትክክለኛነታቸው በአንደኛ ደረጃ ኦፕሬሽኖች ከቬክተሮች ጋር በቀላሉ ማረጋገጥ ይቻላል፡-

ለ) ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች ኮሊንየር ካልሆኑ (መስመራዊ ገለልተኛ) ካልሆኑ መሠረት ይመሰርታሉ። ቬክተሮችን ለ collinearity እንመረምራለን . ስርዓት እንፍጠር፡

ከመጀመሪያው እኩልዮሽ እንደሚከተለው ነው, ከሁለተኛው እኩልታ ይከተላል, ማለትም, ስርዓቱ ወጥነት የለውም(መፍትሄዎች የሉም)። ስለዚህ, የቬክተሮች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ አይደሉም.

መደምደሚያ: ቬክተሮች በመስመራዊ ገለልተኛ እና መሰረት ይመሰርታሉ.

ቀለል ያለ የመፍትሄው ስሪት ይህንን ይመስላል።

ከተመጣጣኝ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ውስጥ ያለውን መጠን ያዘጋጁ :
ስለዚህ እነዚህ ቬክተሮች ከመስመር ነጻ ናቸው እና መሰረት ይመሰርታሉ።

ብዙውን ጊዜ ገምጋሚዎች ይህንን አማራጭ አይቀበሉም ፣ ግን አንዳንድ መጋጠሚያዎች ከዜሮ ጋር እኩል በሚሆኑበት ጊዜ ችግር ይፈጠራል። ልክ እንደዚህ: . ወይም እንደዚህ፡- . ወይም እንደዚህ፡- . እዚህ በተመጣጣኝ መጠን እንዴት እንደሚሰራ? (በእርግጥ በዜሮ መከፋፈል አይችሉም)። ለዚህም ነው ቀለል ያለ መፍትሄን "ፎፒሽ" ያልኩት።

መልስ፡-ሀ) ፣ ለ) ቅፅ ።

ለገለልተኛ መፍትሄ ትንሽ የፈጠራ ምሳሌ

ምሳሌ 2

የመለኪያ ቬክተሮች በየትኛው ዋጋ ኮሊነር ይሆናል?

በናሙና መፍትሄ, መለኪያው በተመጣጣኝ መጠን ይገኛል.

ቬክተርን ኮላይኔሪቲ ለመፈተሽ የሚያምር የአልጀብራ መንገድ አለ እውቀታችንን በስርዓት እናስተካክለው እና ልክ እንደ አምስተኛው ነጥብ እንጨምር፡-

ለሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች, የሚከተሉት መግለጫዎች እኩል ናቸው:

2) ቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ;
3) ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም;

+ 5) የእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተዋቀረው ቆራጩ ዜሮ ነው።.

በቅደም ተከተል፣ የሚከተሉት ተቃራኒ መግለጫዎች እኩል ናቸው።:
1) ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው;
2) ቬክተሮች መሰረት አይፈጥሩም;
3) ቬክተሮች ኮሊነር ናቸው;
4) ቬክተሮች እርስ በእርሳቸው በመስመር ሊገለጹ ይችላሉ;
+ 5) የእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተዋቀረው ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ነው.

በአሁኑ ጊዜ ሁሉንም ውሎች እና መግለጫዎች እንደተረዱት በጣም በጣም ተስፋ አደርጋለሁ።

አዲሱን አምስተኛውን ነጥብ በዝርዝር እንመልከት፡- ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች ከተሰጡት የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተዋቀረው ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ኮሊኔር ናቸው:: ይህንን ባህሪ ለመጠቀም, በእርግጥ, መቻል አለብዎት መወሰኛዎችን ያግኙ.

እኛ እንወስናለንምሳሌ 1 በሁለተኛው መንገድ፡-

ሀ) ከቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተውጣጣውን ወሳኙን አስላ :
, ስለዚህ እነዚህ ቬክተሮች ኮላይኔር ናቸው.

ለ) ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች ኮሊንየር ካልሆኑ (መስመራዊ ገለልተኛ) ካልሆኑ መሠረት ይመሰርታሉ። የቬክተሮች መጋጠሚያዎችን ያቀፈውን ወሳኙን እናሰላው :
ስለዚህ ቬክተሮች ከመስመር ነፃ ናቸው እና መሠረት ይመሰርታሉ።

መልስ፡-ሀ) ፣ ለ) ቅፅ ።

በተመጣጣኝ መጠን ከመፍትሔው የበለጠ የታመቀ እና የሚያምር ይመስላል።

የታሰበው ቁሳቁስ በመታገዝ የቬክተሮችን ኮሊኔሪቲ ብቻ ሳይሆን የክፍሎችን ትይዩነት, ቀጥተኛ መስመሮችን ማረጋገጥ ይቻላል. ከተወሰኑ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች ጋር ሁለት ችግሮችን አስቡባቸው.

ምሳሌ 3

የአራት ማዕዘን ጫፎች ተሰጥተዋል. አራት ማዕዘኑ ትይዩ መሆኑን ያረጋግጡ።

ማረጋገጫ: በችግሩ ውስጥ ስዕል መገንባት አያስፈልግም, ምክንያቱም መፍትሄው ሙሉ በሙሉ ትንታኔ ይሆናል. የትይዩአችን ፍቺ አስታውስ፡-
Parallelogram ባለአራት ጎን ተጠርቷል, በውስጡም ተቃራኒ ጎኖች ጥንድ ጥንድ ትይዩ ናቸው.

ስለዚህም የሚከተለውን ማረጋገጥ ያስፈልጋል።
1) የተቃራኒ ጎኖች ትይዩነት እና;
2) የተቃራኒ ጎኖች ትይዩ እና.

እናረጋግጣለን፡-

1) ቫይረሶችን ይፈልጉ;

2) ቫክተሮችን ይፈልጉ;

ውጤቱም ተመሳሳይ ቬክተር ነው ("እንደ ትምህርት ቤት" - እኩል ቬክተር). ኮላይኔሪቲ በጣም ግልጽ ነው, ነገር ግን ውሳኔውን በትክክል ከዝግጅቱ ጋር ማድረግ የተሻለ ነው. የቬክተር መጋጠሚያዎችን ያቀፈውን ወሳኙን አስላ፡
, ስለዚህ እነዚህ ቬክተሮች ኮሊነር ናቸው, እና.

መደምደሚያ: የአራት ማዕዘን ተቃራኒ ጎኖች በጥንድ አቅጣጫ ትይዩ ናቸው፣ ስለዚህ በትርጉሙ ትይዩ ነው። ጥ.ኢ.ዲ.

የበለጠ ጥሩ እና የተለያዩ አሃዞች:

ምሳሌ 4

የአራት ማዕዘን ጫፎች ተሰጥተዋል. አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትራፔዞይድ መሆኑን ያረጋግጡ.

ለተጨማሪ ጥብቅ የማረጋገጫ አጻጻፍ, የ trapezoid ፍቺን ማግኘት የተሻለ ነው, ነገር ግን ምን እንደሚመስል ማስታወስ ብቻ በቂ ነው.

ይህ ራሱን የቻለ ውሳኔ የማድረግ ተግባር ነው። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ የተሟላ መፍትሄ.

እና አሁን ከአውሮፕላኑ ወደ ጠፈር ቀስ ብሎ ለመንቀሳቀስ ጊዜው አሁን ነው፡-

የጠፈር ቬክተሮችን የጋራነት እንዴት መወሰን ይቻላል?

ደንቡ በጣም ተመሳሳይ ነው. ለሁለት የጠፈር ቬክተሮች ኮላይኔር እንዲሆኑ፣ ተጓዳኝ መጋጠሚያዎቻቸው ከ ጋር ተመጣጣኝ መሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው።.

ምሳሌ 5

የሚከተሉት የጠፈር ቬክተሮች ኮላይነር መሆናቸውን ይወቁ፡

ሀ) ;
ለ)
ውስጥ)

መፍትሄ፡-
ሀ) ለተዛማጅ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተመጣጠነ ቅንጅት ካለ ያረጋግጡ፡-

ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ይህም ማለት ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም.

"ቀለል ያለ" የሚወጣውን መጠን በማጣራት ነው. በዚህ ሁኔታ፡-
- ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ አይደሉም, ይህም ማለት ቬክተሮች ኮላይነር አይደሉም.

መልስ፡-ቬክተሮቹ ኮላይኔር አይደሉም.

ለ-ሐ) እነዚህ ለገለልተኛ ውሳኔ ነጥቦች ናቸው. በሁለት መንገድ ይሞክሩት።

የቦታ ቬክተሮችን ለኮላይኔሪቲ እና በሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ በኩል ለመፈተሽ ዘዴ አለ, ይህ ዘዴ በአንቀጹ ውስጥ ተካትቷል. የቬክተሮች ተሻጋሪ ምርት.

በተመሳሳይም ከአውሮፕላኑ መያዣ ጋር, የታሰቡ መሳሪያዎች የቦታ ክፍሎችን እና መስመሮችን ትይዩነት ለማጥናት ሊያገለግሉ ይችላሉ.

እንኳን ወደ ሁለተኛው ክፍል በደህና መጡ፡-

የሶስት አቅጣጫዊ የጠፈር ቬክተሮች መስመራዊ ጥገኛ እና ነጻነት.
የቦታ መሠረት እና የአፊን ቅንጅት ስርዓት

በአውሮፕላኑ ውስጥ የተመለከትናቸው ብዙዎቹ መደበኛ ነገሮች እንዲሁ ለጠፈር የሚሰሩ ይሆናሉ። የመረጃው የአንበሳውን ድርሻ ቀድሞውኑ ስለታኘክ የንድፈ ሃሳቡን ማጠቃለያ ለማሳነስ ሞከርኩ። ቢሆንም, አዲስ ቃላት እና ጽንሰ-ሐሳቦች ስለሚታዩ, የመግቢያውን ክፍል በጥንቃቄ እንዲያነቡ እመክራችኋለሁ.

አሁን, ከኮምፒዩተር ጠረጴዛው አውሮፕላን ይልቅ, ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን እንመርምር. በመጀመሪያ, መሠረቱን እንፍጠር. አንድ ሰው አሁን በቤት ውስጥ ነው, አንድ ሰው ከቤት ውጭ ነው, ነገር ግን በማንኛውም ሁኔታ, ከሶስት ልኬቶች ልንርቅ አንችልም: ስፋት, ርዝመት እና ቁመት. ስለዚህ, መሰረቱን ለመገንባት ሶስት የቦታ ቬክተሮች ያስፈልጋሉ. አንድ ወይም ሁለት ቬክተሮች በቂ አይደሉም, አራተኛው ከመጠን በላይ ነው.

እና እንደገና በጣቶቹ ላይ እናሞቅላለን. እባኮትን ወደ ላይ አንስተው በተለያዩ አቅጣጫዎች ዘርጋ አውራ ጣት, መረጃ ጠቋሚ እና መካከለኛ ጣት. እነዚህ ቬክተሮች ይሆናሉ, በተለያዩ አቅጣጫዎች ይመለከታሉ, የተለያየ ርዝመት አላቸው እና በእራሳቸው መካከል የተለያዩ ማዕዘኖች አሏቸው. እንኳን ደስ አለዎት, የሶስት አቅጣጫዊ ቦታው መሰረት ዝግጁ ነው! በነገራችን ላይ ጣቶችዎን እንዴት ቢያጣምሙ ይህንን ለአስተማሪዎች ማሳየት አያስፈልግዎትም ፣ ግን ከትርጓሜዎች መራቅ አይችሉም =)

በመቀጠል አንድ አስፈላጊ ጥያቄ እንጠይቃለን- ማንኛውም ሶስት ቬክተሮች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ቢፈጥሩ? እባክዎን ሶስት ጣቶችን በኮምፒተር ጠረጴዛው ላይ አጥብቀው ይጫኑ። ምንድን ነው የሆነው? ሦስት ቬክተሮች በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ይገኛሉ, እና, በግምት, እኛ አንድ መለኪያዎች አጥተዋል - ቁመት. እንደዚህ ያሉ ቬክተሮች ናቸው ኮፕላላርእና, በግልጽ, ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት አልተፈጠረም.

ይህ coplanar vectors ተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ መዋሸት የለበትም, በትይዩ አውሮፕላኖች ውስጥ ሊሆን እንደሚችል መታወቅ አለበት (ብቻ ይህን ጣቶች ጋር ይህን ማድረግ አይደለም, ብቻ ሳልቫዶር Dali እንደ ወጣ =)).

ፍቺ: ቬክተሮች ተጠርተዋል ኮፕላላርትይዩ የሆኑበት አውሮፕላን ካለ. እዚህ ላይ እንዲህ ዓይነቱ አውሮፕላን ከሌለ, ቬክተሮች ኮፕላላር አይሆኑም ብሎ መጨመር ምክንያታዊ ነው.

ሶስት ኮፕላላር ቬክተሮች ሁል ጊዜ በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው።ማለትም እርስ በርሳቸው በመስመር ይገለጣሉ ማለት ነው። ለቀላልነት, እንደገና በአንድ አውሮፕላን ውስጥ እንደሚዋሹ አስብ. በመጀመሪያ, ቬክተሮች ኮፕላላር ብቻ አይደሉም, ነገር ግን ኮላይነር ሊሆኑ ይችላሉ, ከዚያም ማንኛውም ቬክተር በማንኛውም ቬክተር ሊገለጽ ይችላል. በሁለተኛው ጉዳይ ላይ ፣ ለምሳሌ ፣ ቬክተሮች ኮሊነር ካልሆኑ ፣ ሦስተኛው ቬክተር በልዩ መንገድ በእነሱ በኩል ይገለጻል ። (እና ከቀዳሚው ክፍል ቁሳቁሶች ለመገመት ቀላል የሆነው ለምንድነው).

ንግግሩም እውነት ነው፡- ሶስት ኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች ሁል ጊዜ በመስመር ገለልተኛ ናቸው።ማለትም እርስ በርሳቸው በምንም መንገድ አልተገለጹም። እና, በግልጽ, እንደዚህ ያሉ ቬክተሮች ብቻ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ሊያደርጉ ይችላሉ.

ፍቺ: ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረትበመስመር ላይ ገለልተኛ (ኮፕላነር ያልሆኑ) ቬክተሮች ሶስት እጥፍ ይባላል ፣ በተወሰነ ቅደም ተከተል ተወስዷልየቦታ ማንኛውም ቬክተር ሳለ ብቸኛው መንገድበተሰጠው መሠረት ይስፋፋል, በተጠቀሰው መሠረት ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎች የት ይገኛሉ

ለማስታወስ ያህል፣ ቬክተር እንደ ተወከለ ማለትም ይችላሉ። መስመራዊ ጥምረትመሠረት ቬክተሮች.

የማስተባበር ስርዓት ጽንሰ-ሀሳብ ልክ እንደ አውሮፕላኑ ጉዳይ ተመሳሳይ በሆነ መንገድ አስተዋውቋል ፣ አንድ ነጥብ እና ማንኛቸውም ሶስት የመስመር ላይ ገለልተኛ ቫክተሮች በቂ ናቸው ።

መነሻ, እና ኮፕላላር ያልሆነቬክተሮች, በተወሰነ ቅደም ተከተል ተወስዷል, አዘጋጅ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ affine coordinate system :

እርግጥ ነው, የመጋጠሚያው ፍርግርግ "ግዴታ" እና የማይመች ነው, ነገር ግን, ነገር ግን, የተገነባው የማስተባበር ስርዓት እኛን ይፈቅዳል. በእርግጠኝነትየማንኛውንም ቬክተር መጋጠሚያዎች እና የቦታ ቦታዎችን መጋጠሚያዎች ይወስኑ. ከአውሮፕላኑ ጋር በሚመሳሰል መልኩ፣ በአፊን መጋጠሚያ የቦታ ስርዓት፣ ቀደም ብዬ የጠቀስኳቸው አንዳንድ ቀመሮች አይሰሩም።

ሁሉም ሰው እንደሚገምተው የአፊን መጋጠሚያ ስርዓት በጣም የተለመደው እና ምቹ ልዩ ጉዳይ ነው። አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የቦታ መጋጠሚያ ስርዓት:

ተብሎ የሚጠራው የጠፈር ነጥብ መነሻ, እና ኦርቶዶክሳዊመሠረት ስብስብ የካርቴዥያ አስተባባሪ የቦታ ስርዓት . የታወቀ ሥዕል

ወደ ተግባራዊ ተግባራት ከመቀጠላችን በፊት መረጃውን እንደገና እናዘጋጃለን፡-

ለሶስት የጠፈር ቬክተሮች, የሚከተሉት መግለጫዎች እኩል ናቸው:
1) ቬክተሮች በመስመራዊ ገለልተኛ ናቸው;
2) ቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ;
3) ቬክተሮች ኮፕላላር አይደሉም;
4) ቬክተሮች እርስ በእርሳቸው በመስመር ሊገለጹ አይችሉም;
5) የእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተውጣጣው ወሳኙ ከዜሮ የተለየ ነው.

እኔ እንደማስበው, ተቃራኒ መግለጫዎች መረዳት የሚችሉ ናቸው.

የመስመራዊ ጥገኝነት/የጠፈር ቬክተሮች ነፃነት በባህላዊ መንገድ የሚመረመረው ወሳኙን (ንጥል 5) በመጠቀም ነው። የቀሩት ተግባራዊ ተግባራት ግልጽ የሆነ የአልጀብራ ተፈጥሮ ይሆናሉ። የጂኦሜትሪክ ዱላ በምስማር ላይ ለመስቀል እና መስመራዊ የአልጀብራ ቤዝቦል ባት ለመጠቀም ጊዜው አሁን ነው።

ሶስት የጠፈር ቬክተሮችከተሰጡት የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተዋቀረው ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ኮፕላላር ናቸው፡ .

ትኩረታችሁን ወደ ትንሽ ቴክኒካዊ ልዩነት እሰጣለሁ-የቬክተሮች መጋጠሚያዎች በአምዶች ውስጥ ብቻ ሳይሆን በመደዳዎች ውስጥ ሊጻፉ ይችላሉ (የመወሰን ዋጋ ከዚህ አይቀየርም - የመወሰን ባህሪያትን ይመልከቱ). ነገር ግን አንዳንድ ተግባራዊ ችግሮችን ለመፍታት የበለጠ ጠቃሚ ስለሆነ በአምዶች ውስጥ በጣም የተሻለ ነው.

ለእነዚያ አንባቢዎች ቆራጮችን ለማስላት ዘዴዎችን ለረሷቸው ወይም ምናልባት በጥሩ ሁኔታ ላይ ያተኮሩ ሊሆኑ ይችላሉ ፣ ከጥንታዊ ትምህርቶቼ ውስጥ አንዱን እመክራለሁ ። ወሳኙን እንዴት ማስላት ይቻላል?

ምሳሌ 6

የሚከተሉት ቬክተሮች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ከሆኑ ያረጋግጡ፡

መፍትሄ: እንደ እውነቱ ከሆነ, አጠቃላይ መፍትሔው የሚወስነውን በማስላት ላይ ነው.

ሀ) ከቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተውጣጣውን ወሳኙን አስላ (ወሳኙ በመጀመሪያው መስመር ላይ ተዘርግቷል)

, ይህም ማለት ቬክተሮች በመስመራዊ ገለልተኛ (ኮፕላላር ሳይሆን) እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ያደረጉ ናቸው.

መልስእነዚህ ቬክተሮች መሠረት ናቸው

ለ) ይህ ገለልተኛ ውሳኔ ለማግኘት ነጥብ ነው. በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ.

እንዲሁም የፈጠራ ስራዎች አሉ-

ምሳሌ 7

በምን አይነት መለኪያ መለኪያ ቬክተሮች ኮፕላላር ይሆናሉ?

መፍትሄየተሰጡት የቬክተር መጋጠሚያዎች ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ቬክተሮች ኮፕላላር ናቸው፡

በመሠረቱ፣ ከወሳኙ ጋር እኩልታን መፍታት ያስፈልጋል። እንደ ካይትስ ወደ ጀርባስ ወደ ዜሮዎች እንበርራለን - ወሳኙን በሁለተኛው መስመር ውስጥ መክፈት እና ወዲያውኑ ማነስን ማስወገድ በጣም ትርፋማ ነው።

ተጨማሪ ማቃለያዎችን እናከናውናለን እና ጉዳዩን ወደ ቀላሉ መስመር እኩልነት እንቀንሳለን-

መልስ: በ

እዚህ መፈተሽ ቀላል ነው፣ ለዚህም የተገኘውን እሴት ወደ ዋናው መወሰኛ መተካት እና ያንን ያረጋግጡ። እንደገና በመክፈት.

ለማጠቃለል፣ ሌላ ዓይነተኛ ችግርን እንመልከት፣ እሱም የበለጠ የአልጀብራ ተፈጥሮ እና በባህላዊው የመስመር አልጀብራ ሂደት ውስጥ የተካተተ ነው። በጣም የተለመደ ስለሆነ የተለየ ርዕስ ይገባዋል፡-

3 ቬክተሮች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት እንደሚሆኑ አረጋግጥ
እና በተጠቀሰው መሰረት የ 4 ኛ ቬክተር መጋጠሚያዎችን ያግኙ

ምሳሌ 8

ቬክተሮች ተሰጥተዋል. ቬክተሮቹ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት እንደሚሆኑ ያሳዩ እና በዚህ መሰረት የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ያግኙ.

መፍትሄበመጀመሪያ ሁኔታውን እንይ. እንደ ሁኔታው, አራት ቬክተሮች ተሰጥተዋል, እና እርስዎ እንደሚመለከቱት, ቀድሞውኑ በተወሰነ ደረጃ መጋጠሚያዎች አሏቸው. መሰረቱ ምንድን ነው - ፍላጎት የለንም. እና የሚከተለው ነገር ትኩረት የሚስብ ነው-ሦስት ቬክተሮች በደንብ አዲስ መሠረት ሊፈጥሩ ይችላሉ. እና የመጀመሪያው እርምጃ ከምሳሌ 6 መፍትሄ ጋር አንድ አይነት ነው ፣ ቬክተሮች በእውነቱ በመስመር ገለልተኛ መሆናቸውን ማረጋገጥ ያስፈልጋል ።

የቬክተር መጋጠሚያዎችን ያቀፈውን ወሳኙን አስላ፡

, ስለዚህ ቬክተሮች በመስመራዊ ገለልተኛ እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ይመሰርታሉ.

! አስፈላጊ የቬክተር መጋጠሚያዎች የግድ ነው።ጹፍ መጻፍ ወደ አምዶችየሚወስን እንጂ ሕብረቁምፊዎች አይደለም. አለበለዚያ, ተጨማሪ የመፍትሄው ስልተ ቀመር ውስጥ ግራ መጋባት ይኖራል.

ተግባር 1.የቬክተሮች ስርዓት በመስመር ላይ ገለልተኛ መሆኑን ይወቁ. የቬክተሮች ስርዓት በስርዓቱ ማትሪክስ ይገለጻል, ዓምዶቹ የቬክተሮች መጋጠሚያዎችን ያካተቱ ናቸው.

መፍትሄ።መስመራዊ ጥምረት ይፍቀድ ከዜሮ ጋር እኩል ነው። ይህንን እኩልነት በመጋጠሚያዎች ከጻፍን በኋላ፣ የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን።

እንዲህ ዓይነቱ የእኩልታዎች ሥርዓት ሦስት ማዕዘን ይባላል. እሷ ብቸኛ መፍትሄ አላት። . ስለዚህ ቬክተሮች በመስመር ነጻ ናቸው.

ተግባር 2.የቬክተሮች ስርዓት በመስመር ላይ ገለልተኛ መሆኑን ይወቁ.

መፍትሄ።ቬክተሮች በመስመር ነጻ ናቸው (ችግር 1 ይመልከቱ)። ቬክተር የቬክተር መስመራዊ ጥምረት መሆኑን እናረጋግጥ . የቬክተር ማስፋፊያ ቅንጅቶች ከእኩልታዎች ስርዓት ይወሰናሉ

ይህ ስርዓት, ልክ እንደ ሶስት ማዕዘን, ልዩ የሆነ መፍትሄ አለው.

ስለዚህ, የቬክተሮች ስርዓት በመስመር ላይ ጥገኛ.

አስተያየት. እንደ ችግር 1 ያሉ ማትሪክስ ተጠርተዋል ሦስት ማዕዘን እና በችግር 2 - በደረጃ ሶስት ማዕዘን . የእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ያለው ማትሪክስ በደረጃ የሶስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ከሆነ የቬክተር ስርዓት የመስመር ጥገኝነት ጥያቄ በቀላሉ መፍትሄ ያገኛል. ማትሪክስ ልዩ ቅፅ ከሌለው, ከዚያም በመጠቀም የመጀመሪያ ደረጃ ሕብረቁምፊ ለውጦች , በአምዶች መካከል ቀጥተኛ ግንኙነቶችን በመጠበቅ, ወደ ደረጃ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ መቀነስ ይቻላል.

የአንደኛ ደረጃ ሕብረቁምፊ ለውጦችማትሪክስ (ኢፒኤስ) በማትሪክስ ላይ የሚከተሉት ስራዎች ይባላሉ፡

1) የመስመሮች መተላለፍ;

2) ሕብረቁምፊን ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት;

3) በዘፈቀደ ቁጥር ተባዝቶ ወደ ሕብረቁምፊው ሌላ ሕብረቁምፊ ማከል።

ተግባር 3.ከፍተኛውን የመስመር ላይ ገለልተኛ ንዑስ ስርዓት ይፈልጉ እና የቬክተሮችን ስርዓት ደረጃ ያሰሉ።

መፍትሄ።የስርዓቱን ማትሪክስ በ EPS እርዳታ ወደ ደረጃ-ባለሶስት ማዕዘን ቅርፅ እንቀንስ. የአሰራር ሂደቱን ለማብራራት, የሚቀየረው የማትሪክስ ቁጥር ያለው መስመር በምልክት ይገለጻል. ከቀስት በኋላ ያለው ዓምድ የአዲሱን ማትሪክስ ረድፎችን ለማግኘት በተለወጠው ማትሪክስ ረድፎች ላይ የሚከናወኑትን ድርጊቶች ያሳያል።

በግልጽ እንደሚታየው ፣ የውጤቱ ማትሪክስ የመጀመሪያዎቹ ሁለት አምዶች በመስመር ላይ ገለልተኛ ናቸው ፣ ሦስተኛው አምድ የእነሱ መስመራዊ ጥምረት ነው ፣ እና አራተኛው በመጀመሪያዎቹ ሁለት ላይ የተመካ አይደለም። ቬክተሮች መሰረታዊ ተብለው ይጠራሉ. ከፍተኛውን የመስመር ላይ ገለልተኛ የስርዓቱን ንዑስ ስርዓት ይመሰርታሉ , እና የስርዓቱ ደረጃ ሦስት ነው.

መሠረት, መጋጠሚያዎች

ተግባር 4.በዚህ መሠረት የቬክተሮችን መሠረት እና መጋጠሚያዎች በጂኦሜትሪክ ቬክተሮች ስብስብ ላይ ያግኙት መጋጠሚያዎቻቸው ሁኔታውን ያረካሉ. .

መፍትሄ. ስብስቡ በመነሻው ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላን ነው. በአውሮፕላኑ ላይ የዘፈቀደ መሠረት ሁለት ኮልላይነር ያልሆኑ ቬክተሮችን ያቀፈ ነው። በተመረጠው መሠረት ውስጥ ያሉት የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የሚወሰኑት ተጓዳኝ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት በመፍታት ነው.

ይህንን ችግር ለመፍታት ሌላ መንገድ አለ, በመጋጠሚያዎች መሰረቱን ሲያገኙ.

መጋጠሚያዎች ክፍት ቦታዎች በአውሮፕላኑ ላይ መጋጠሚያዎች አይደሉም, ምክንያቱም እነሱ በግንኙነት የተያያዙ ናቸው ማለትም ራሳቸውን የቻሉ አይደሉም። ገለልተኛ ተለዋዋጮች እና (ነጻ ተብለው ይጠራሉ) በአውሮፕላኑ ላይ ያለውን ቬክተር በተለየ ሁኔታ ይወስናሉ እና ስለዚህ በ ውስጥ እንደ መጋጠሚያዎች ሊመረጡ ይችላሉ. ከዚያም መሠረቱ ከነጻ ተለዋዋጮች ስብስቦች ጋር የሚዛመዱ ቬክተሮችን ያቀፈ ነው። እና , ያውና .