የእኩልታዎች መፍትሄ ለ oge. እኩልታን መፍታት ማለት...

በአልጀብራ ሞዱል ውስጥ ያለው አራተኛው ተግባር ኃይልን እና አክራሪ አገላለጾችን በማስተናገድ መስክ እውቀትን ይፈትሻል።

የ OGE በሂሳብ ቁጥር 4 ተግባርን ሲያጠናቅቁ ስሌቶችን የማከናወን እና የቁጥር መግለጫዎችን የመቀየር ችሎታዎች ብቻ ሳይሆን የአልጀብራ መግለጫዎችን የመቀየር ችሎታም ይጣራሉ። በዲግሪ ኢንቲጀር ገላጭ፣ ፖሊኖሚሎች፣ ተመሳሳይ የምክንያታዊ አገላለጾች ለውጦችን በዲግሪ ማከናወን ያስፈልግህ ይሆናል።

በዋናው የፈተና ቁሳቁስ መሰረት ተመሳሳይ የምክንያታዊ አገላለጾች ለውጦችን መተግበር፣ ፖሊኖሚሎች ወደ ምክንያቶች መበስበስ፣ በመቶኛ እና በመጠን መጠቀም እና የመከፋፈል ምልክቶችን የሚጠይቁ ተግባራት ሊኖሩ ይችላሉ።

በተግባር 4 ውስጥ ያለው መልስ ከቁጥር 1 አንዱ ነው. 2; 3; 4 ለተግባሩ ከቀረበው መልስ ቁጥር ጋር ይዛመዳል.

ለተግባር ቁጥር 4 ቲዎሪ

ከቲዎሬቲክ ቁሳቁስ, ያስፈልገናል ዲግሪዎችን ለመቋቋም ህጎች

ጋር ለመስራት ህጎች ሥር የሰደዱ አባባሎች፡-

በእኔ የተተነተኑ ስሪቶች ውስጥ እነዚህ ደንቦች ቀርበዋል - በሦስተኛው ተግባር የመጀመሪያ እትም ትንተና ፣ ዲግሪ አያያዝ ደንቦች ቀርበዋል ፣ እና በሁለተኛው እና በሦስተኛው እትሞች ውስጥ ከአክራሪ መግለጫዎች ጋር የመሥራት ምሳሌዎች ተዘርዝረዋል ።

በሂሳብ ውስጥ ለተግባር ቁጥር 4 OGE የተለመዱ አማራጮች ትንተና

የምደባው የመጀመሪያ ስሪት

ከሚከተሉት አገላለጾች ውስጥ የትኛውም የ n እሴቶች ከ 121 11 n ምርት ጋር እኩል ነው?

  1. 121n
  2. 11n+2
  3. 112n
  4. 11n+3
መፍትሄ፡-

ይህንን ችግር ለመፍታት, የሚከተለውን ያስታውሱ ዲግሪ ደንቦች :

  • ሲባዙ, ገላጭዎቹ ይጨምራሉ
  • የዲቪዥን ዲግሪዎች ተቀንሰዋል
  • ኃይልን ወደ ኃይል ሲያሳድጉ ኃይሎቹ ይባዛሉ
  • ሥሩን በሚወጣበት ጊዜ ዲግሪዎቹ ይከፈላሉ

በተጨማሪም, ለመፍትሄው 121 ን እንደ 11 ሃይል መወከል አስፈላጊ ነው, ይህ 11 2 ነው.

121 11 n = 11 2 11 n

የማባዛት ደንቡን ከግምት ውስጥ በማስገባት ዲግሪዎቹን እንጨምራለን-

11 2 11 n = 11 n+2

ስለዚህ, ሁለተኛው መልስ ይስማማናል.

ሁለተኛው የሥራው ስሪት

ከሚከተሉት አባባሎች ውስጥ ትልቁ ዋጋ ያለው የትኛው ነው?

  1. 2√11
  2. 2√10
መፍትሄ፡-

ይህንን ተግባር ለመፍታት ሁሉንም አገላለጾች ወደ አንድ የጋራ ቅርፅ ማምጣት ያስፈልግዎታል - መግለጫዎቹን በአክራሪ መግለጫዎች መልክ ያቅርቡ-

ከሥሩ ስር 3 እንንቀሳቀሳለን-

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

ከሥሩ ስር 2 እንንቀሳቀሳለን-

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

ከሥሩ ስር 2 እንንቀሳቀሳለን-

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

ካሬ 6.5:

6.5 = √(6.5²) = √42.25

ሁሉንም የውጤት አማራጮች እንይ፡-

  1. 3√5 = √45
  2. 2√11 = √44
  3. 2√10 = √40
  4. 6,5 = √42,25

ስለዚህ, ትክክለኛው መልስ የመጀመሪያው ነው.

የሥራው ሦስተኛው ስሪት

ከእነዚህ ቁጥሮች ውስጥ የትኛው ምክንያታዊ ነው?

  1. √810
  2. √8,1
  3. √0,81
  4. እነዚህ ሁሉ ቁጥሮች ምክንያታዊ ያልሆኑ ናቸው።
መፍትሄ፡-

ይህንን ችግር ለመፍታት, እንደሚከተለው እርምጃ መውሰድ ያስፈልግዎታል.

በመጀመሪያ ፣ በዚህ ምሳሌ ውስጥ የትኛው ቁጥር እንደሚወሰድ እንወቅ - ይህ ቁጥር 9 ነው ፣ ካሬው 81 ስለሆነ ፣ እና ይህ ቀድሞውኑ ከመልሶቹ መግለጫዎች ጋር ተመሳሳይ ነው። በመቀጠል የቁጥር 9 ቅርጾችን ያስቡ - እነዚህ ሊሆኑ ይችላሉ-

እያንዳንዳቸውን አስቡባቸው፡-

0.9 = √(0.9)² = √0.81

90 = √(90²) = √8100

ስለዚህ, ቁጥሩ √0.81 ምክንያታዊ ነው, ሌሎቹ ቁጥሮች

ምንም እንኳን ከ 9 ካሬ ቅርጽ ጋር ቢመሳሰሉም, ምክንያታዊ አይደሉም.

ስለዚህ ትክክለኛው መልስ ሦስተኛው ነው።

አራተኛው አማራጭ

በማህበረሰቤ አባል ጥያቄ ቀነሰ ዲያና፣ ለሚከተለው ተግባር ቁጥር 4 ትንታኔ እሰጣለሁ፡-

ከሚከተሉት ቁጥሮች ውስጥ የአገላለጹ ዋጋ የትኛው ነው?

መፍትሄ፡-

መለያው ልናስወግደው የሚገባን ልዩነት (4 - √14) እንደያዘ ልብ ይበሉ። እንዴት ማድረግ ይቻላል?

ይህንን ለማድረግ, የአህጽሮት ማባዛትን ቀመር እናስታውሳለን, ማለትም የካሬዎች ልዩነት! በዚህ ተግባር ውስጥ በትክክል ለመተግበር, ክፍልፋዮችን ለመቆጣጠር ደንቦችን ማስታወስ ያስፈልግዎታል. በዚህ አጋጣሚ፣ አሃዛዊው እና መለያው በተመሳሳይ ቁጥር ወይም አገላለጽ ከተባዙ ክፍልፋዩ እንደማይለወጥ እናስታውሳለን። ለካሬዎች ልዩነት፣ አገላለጽ ይጎድለናል (4 + √14) ይህ ማለት አሃዛዊውን እና አካፋውን በእሱ እናባዛለን።

ከዚያ በኋላ ፣ በቁጥር ቆጣሪው ውስጥ 4 + √14 እናገኛለን ፣ እና በተከፋፈለው ውስጥ የካሬዎች ልዩነት 4² - (√14)²። ከዚያ በኋላ መለያው በቀላሉ ይሰላል-

በአጠቃላይ ተግባሮቻችን ይህን ይመስላል።

የተግባሩ አምስተኛ ተለዋጭ (የOGE 2017 ማሳያ ስሪት)

የየትኛው አገላለጽ ዋጋ ምክንያታዊ ቁጥር ነው?

  1. √6-3
  2. √3 √5
  3. (√5)²
  4. (√6-3)²
መፍትሄ፡-

በዚህ ተግባር ውስጥ የኦፕሬሽኖችን ክህሎቶች ምክንያታዊ ባልሆኑ ቁጥሮች እንፈትሻለን.

እያንዳንዱን መልስ በመፍትሔው እንመርምር፡-

√6 እራሱ ኢ-ምክንያታዊ ቁጥር ነው እንደዚህ አይነት ችግሮችን ለመፍታት ከተፈጥሮ ቁጥሮች አደባባዮች ውስጥ ሥሩን ማውጣት ምክንያታዊ መሆኑን ማስታወስ በቂ ነው ለምሳሌ 4, 9, 16, 25...

ከምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ሲቀንሱ፣ ከራሱ ሌላ ማንኛውም፣ እንደገና ወደ ኢ-ምክንያታዊ ቁጥር ይመራል፣ ስለዚህ፣ በዚህ ስሪት ውስጥ፣ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ይገኛል።

ሥሩን ስናባዛ ሥሩን ከአክራሪ አገላለጾች ምርት ውስጥ ማውጣት እንችላለን፡-

√3 √5 = √(3 5) = √15

ግን √15 ምክንያታዊነት የጎደለው ነው፣ ስለዚህ ይህ መልስ አይሰራም።

የካሬውን ሥሩን በሚያራምዱበት ጊዜ የስር አገላለጹን ብቻ እናገኛለን (ትክክለኛ ለመሆን ፣ የሞዱሎ ሥር አገላለጽ ፣ ግን በቁጥር ሁኔታ ፣ በዚህ ስሪት ውስጥ ፣ ይህ ምንም አይደለም) ፣ ስለሆነም

ይህ መልስ ለእኛ ትክክል ነው።

ይህ አገላለጽ የአንቀጽ 1ን ቀጣይነት ይወክላል፣ነገር ግን √6-3 ኢ-ምክንያታዊ ቁጥር ከሆነ፣በእኛ በሚታወቅ ማንኛውም ኦፕሬሽን ወደ ምክንያታዊ ቁጥር ሊቀየር አይችልም።

ዓረፍተ ነገሩን ጨርስ፡ 1) እኩልታው... 2) ነው። የእኩልታው መነሻ... 3) ነው። እኩልታን መፍታት ማለት...

I. እኩልታዎችን በቃል መፍታት፡ 1). 2) 3) አራት)። 5) 6) 7) ስምት). 9) 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 \u003d 10 x 5 x - 12 \u003d 8 x

ከሚከተሉት እኩልታዎች ውስጥ የትኛው መፍትሄ የለውም፡ ሀ). 2 x - 14 \u003d x + 7 ለ)። 2 x - 14 \u003d 2 (x - 7) ሐ)። x - 7 \u003d 2 x + 14 ግ)። 2 x - 14 \u003d 2 x + 7?

ከስሌቶቹ ውስጥ የትኛው ማለቂያ የሌለው ብዙ መፍትሄዎች አሉት፡ ሀ) 4 x - 12 = x - 12 ለ)። 4 x - 12 \u003d 4 x + 12 ሐ)። 4 (x - 3) = 4 x - 12 ግ)። 4 (x - 3) \u003d x - 10?

የአመለካከት እኩልታዎች kx + b = 0፣ k፣ b ቁጥሮች የተሰጡበት፣ መስመራዊ ይባላሉ። መስመራዊ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም፡ 1)። ክፍት ቅንፎች 2). የማይታወቁትን የያዙትን ቃላቶች ወደ ግራ በኩል ያንቀሳቅሱ እና የማይታወቁ ቃላትን ወደ ቀኝ በኩል ያንቀሳቅሱ (የተላለፈው አባል ምልክት ወደ ተቃራኒው ይመለሳል); 3) እንደ አባላት አምጣ; አራት)። ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ ሁለቱንም የእኩልታ ጎኖች በማይታወቅ ቅንጅት ይከፋፍሉ።

በማስታወሻ ደብተሮች ውስጥ ይፍቱ ቡድን I: ቁጥር 681 ገጽ 63 6 (4 -x) + 3 x \u003d 3 ቡድን III: ቁጥር 767 ገጽ 67 (x + 6) 2 + (x + 3) 2 \u003d 2 x 2 እኩልታዎች፡ II ቡድን፡ ቁጥር 697 ገጽ 63 x-1 + (x + 2) \u003d -4 (-5 -x) -5

የቅርጽ ax2 + bx + c \u003d 0፣ a≠ 0፣ b, c ማንኛውም እውነተኛ ቁጥሮች ሲሆኑ፣ ካሬ ይባላል። ያልተሟሉ እኩልታዎች፡ ax2 + bx =0 (c=0)፣ ax2 + c =0 (b=0)።

II. የተሟሉ ወይም ያልተሟሉ መሆናቸውን የሚያመለክተው የቃል ኳድራቲክ እኩልታዎችን ይፍቱ፡ 1)። x2 + 15 x=0 2)። -x2 +2 x = 0 3)። x2 -25=0 4)። -х2 +9 =0 5)። -x2 - 16 \u003d 0 6)። x2 - 8 x + 15=0 7)። x2 + 5 x + 6=0 8)። x2 + x - 12 = 0 9)። (-x-5)(-x+ 6)=0 10)። x2 -4 x +4 =0

ጥያቄዎች፡ 1) ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ምን የእኩልታዎች ንብረት ጥቅም ላይ ውሏል? 2) ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ፖሊኖሚል የመለኪያ ዘዴዎች የትኞቹ ናቸው? 3) የተሟላ ባለአራት እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም ምንድን ነው?

አንድ). የሁለት ነገሮች ውጤት ከዜሮ ጋር እኩል ነው አንደኛው ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ, ሁለተኛው ደግሞ ትርጉሙን አያጠፋም: ab = 0 if a = 0 or b = 0. 2). አንድ የተለመደ ሁኔታ ማውጣት እና 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) - የካሬዎች ልዩነት ቀመር። 3) ሙሉው ባለአራት እኩልታ ax2 + bx + c = o። D = b 2 - 4 ac, D> 0 ከሆነ, 2 ሥሮች; D = 0, 1 ሥር; ዲ

ቲዎረም ከቪዬታ ቲዎሪ ጋር ይቃረናል፡- ቁጥሮች a፣ b፣ c፣ x 1 እና x 2 እንደ x 1 x 2 \u003d x 1 + x 2 = እና x 2 የእኩልታ ስር ከሆኑ x 2 + bx + ሐ \u003d 0

እኩልታዎችን ይፍቱ፡ ቡድን I፡ ቁጥር 802 ገጽ 71 x2 - 5 x- 36 = 0 ቡድን II፡ ቁጥር 810 ገጽ 71 3 x2 - x + 21 = 5 x2 ቡድን III፡ x4 -5 x2 - 36 = 0

III. እኩልታዎችን መፍታት፡ I እና II ቡድን፡№ 860 III ቡድን፡ =0 =0 እነዚህ እኩልታዎች ምን ይባላሉ? እነሱን ለመፍታት ምን ንብረት ጥቅም ላይ ይውላል?

ምክንያታዊ እኩልታ የቅጹ እኩልታ =0 ነው። አሃዛዊው ዜሮ ከሆነ እና መለያው ዜሮ ካልሆነ ክፍልፋይ ዜሮ ነው። =0 ከሆነ a = 0፣ b≠ 0።

ከሂሳብ ታሪክ በአጭሩ ኳድራቲክ እና መስመራዊ እኩልታዎች የጥንቷ ግብፅ የሂሳብ ሊቃውንትን እንኳን መፍታት ችለዋል። የፋርስ የመካከለኛው ዘመን ሳይንቲስት አል-ክዋሪዝሚ (IX ክፍለ ዘመን) ለመጀመሪያ ጊዜ አልጀብራን እንደ ገለልተኛ ሳይንስ ስለ አጠቃላይ አጠቃላይ ዘዴዎች መስመራዊ እና ኳድራቲክ እኩልታዎችን አቅርቧል ፣ የእነዚህን እኩልታዎች ምደባ ሰጥቷል። በሂሳብ ውስጥ አዲስ ታላቅ ግኝት ከፈረንሳዊው ሳይንቲስት ፍራንሷ ቪዬታ (XVI ክፍለ ዘመን) ስም ጋር የተያያዘ ነው። ወደ አልጀብራ ፊደላትን ያስተዋወቀው እሱ ነው። እሱ በኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ላይ የታወቀው ቲዎሪ ባለቤት ነው። እና ያልታወቁ መጠኖችን በላቲን ፊደላት (x, y, z) የመጨረሻ ፊደላት (x, y, z) ለሌላ ፈረንሳዊ የሒሳብ ሊቅ - ሬኔ ዴካርትስ (XVII) የመግለጽ ባህል አለብን.

የቤት ስራ ከጣቢያዎች ጋር መስራት፡ - ክፍት የባንክ ስራዎች OGE (ሒሳብ) http: //85. 142.162.126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0; - "OGE ን እፈታለሁ" በዲ. ጉሽቺን https: //oge. sdamgia ru/; - የ A. Larin ድህረ ገጽ (አማራጭ 119) http: //alexlarin. የተጣራ /. የማስተማሪያ መርጃዎች፡ - ዩ.ኤም. ኮልያጊን የመማሪያ መጽሀፍ "አልጀብራ 9ኛ ክፍል"፣ M. "Enlightenment", 2014, p. 308 -310; - "3000 ተግባራት" ስር. የተስተካከለው በ I. V. Yashchenko, M., "Exam", 2017, p. 5974.

ለወላጆች መረጃ ለ OGE ዝግጅት በሂሳብ 1). በክፍል 2 ውስጥ ተጓዳኝ ድግግሞሽ). በዓመቱ መጨረሻ ላይ የመጨረሻ ድግግሞሽ 3). የተመረጡ ክፍሎች (ቅዳሜ) 4). የቤት ስራ ስርዓት - ከጣቢያዎች ጋር መስራት OGE, ክፍት ባንክ FIPI, A. LARIN SITE. 5) የግለሰብ ምክክር (ሰኞ)

ቶይሎኖቭ አርጊማይ እና ቶይሎኖቭ ኤርኬ

በአጠቃላይ ትምህርት ትምህርት ቤት ውስጥ የተቀበለው የሂሳብ ትምህርት የአጠቃላይ ትምህርት እና የዘመናዊ ሰው አጠቃላይ ባህል አስፈላጊ አካል ነው. በዘመናዊ ሰው ዙሪያ ያለው ሁሉም ነገር ማለት ይቻላል በአንድ ወይም በሌላ መንገድ ከሂሳብ ጋር የተገናኘ ነው። በፊዚክስ፣ ኢንጂነሪንግ እና የኢንፎርሜሽን ቴክኖሎጂ የቅርብ ጊዜ እድገቶች ወደፊት የሁኔታዎች ሁኔታ ተመሳሳይ እንደሚሆን ምንም ጥርጥር የለውም። ስለዚህ የብዙ ተግባራዊ ችግሮች መፍትሄ መፍታት መማር ያለባቸውን የተለያዩ የእኩልታ ዓይነቶችን ለመፍታት ይቀንሳል።

እና ከ 2013 ጀምሮ በመሠረታዊ ትምህርት ቤት መጨረሻ ላይ የሂሳብ የምስክር ወረቀት በ OGE መልክ ተካሂዷል. ልክ እንደ የተዋሃደ የስቴት ፈተና፣ OGE የተነደፈው በአልጀብራ ብቻ ሳይሆን በዋናው ትምህርት ቤት ውስጥ ባለው አጠቃላይ የሒሳብ ትምህርት ነው።

የአንበሳው ድርሻ፣ በአንድም ይሁን በሌላ፣ እኩልታዎችን እና መፍትሄዎችን ለማዘጋጀት ይወርዳል። ወደዚህ ርዕስ ጥናት ለመቀጠል ለጥያቄዎቹ መልስ መስጠት አለብን: "በ OGE ተግባራት ውስጥ ምን አይነት እኩልታዎች ይገኛሉ? "እና" እነዚህን እኩልታዎች ለመፍታት መንገዶች ምንድ ናቸው?"

ስለዚህ, በ OGE ተግባራት ውስጥ የሚገኙትን ሁሉንም እኩልታዎች ማጥናት ያስፈልጋል. ከላይ ያሉት ሁሉም ይገልፃሉ

አላማሥራ በ OGE ተግባራት ውስጥ የሚገኙትን ሁሉንም እኩልታዎች በአይነት ማጠናቀቅ እና እነዚህን እኩልታዎች ለመፍታት ዋና መንገዶችን መተንተን ነው።

ይህንን ግብ ለማሳካት የሚከተለውን አዘጋጅተናል ተግባራት፡-

1) ለዋና ግዛት ፈተናዎች ለመዘጋጀት መሰረታዊ መርጃዎችን ይማሩ.

2) ሁሉንም እኩልታዎች በአይነት ያጠናቅቁ።

3) እነዚህን እኩልታዎች የመፍታት መንገዶችን ይተንትኑ.

4) ከሁሉም አይነት እኩልታዎች እና እነሱን ለመፍታት መንገዶች ጋር ስብስብ ያሰባስቡ።

የጥናት ዓላማ፡-እኩልታዎች.

የጥናት ርዕሰ ጉዳይ፡-በ OGE ተግባራት ውስጥ እኩልታዎች.

አውርድ:

ቅድመ እይታ፡

የማዘጋጃ ቤት በጀት የትምህርት ተቋም

"የሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ማቋረጥ"

ትምህርታዊ ፕሮጀክት፡-

"በ OGE ተግባራት ውስጥ ያሉ እኩልታዎች"

ቶይሎኖቭ ኤርኬ

የ8ኛ ክፍል ተማሪዎች

ተቆጣጣሪ: Toylonova Nadezhda Vladimirovna, የሂሳብ መምህር.

የፕሮጀክት ትግበራ የጊዜ መስመር፡-

ከ 13.12.2017 እስከ 13.02. 2018

መግቢያ …………………………………………………………………………

የታሪክ ማመሳከሪያ …………………………………………………

ምዕራፍ 1 እኩልታዎችን መፍታት …………………………………………………………

1.1 መስመራዊ እኩልታዎችን መፍታት …………………………………………………

1.2 ባለአራት እኩልታዎች …………………………………………………………

1.2.1 ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች …………………………………………

9-11

1.2.2 የተሟላ ባለአራት እኩልታዎች …………………………………………

11-14

1.2.3 ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ልዩ ዘዴዎች ………………….

14-15

1.3 ምክንያታዊ እኩልታዎች ………………………………………………….

15-17

ምዕራፍ 2 ውስብስብ እኩልታዎች ………………………………………………….

18-24

መደምደሚያ …………………………………………………………………

ያገለገሉ ጽሑፎች ዝርዝር …………………………………………

አባሪ 1 "የመስመሮች እኩልታዎች" ………………………………………….

26-27

አባሪ 2 "ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች" ………………………….

28-30

አባሪ 3 "የተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች" …………………………

31-33

አባሪ 4 "ምክንያታዊ እኩልታዎች" ………………………………….

34-35

አባሪ 5 "ውስብስብ እኩልታዎች" ………………………………………….

36-40

መግቢያ

በአጠቃላይ ትምህርት ትምህርት ቤት ውስጥ የተቀበለው የሂሳብ ትምህርት የአጠቃላይ ትምህርት እና የዘመናዊ ሰው አጠቃላይ ባህል አስፈላጊ አካል ነው. በዘመናዊ ሰው ዙሪያ ያለው ሁሉም ነገር ማለት ይቻላል በአንድ ወይም በሌላ መንገድ ከሂሳብ ጋር የተገናኘ ነው። በፊዚክስ፣ ኢንጂነሪንግ እና የኢንፎርሜሽን ቴክኖሎጂ የቅርብ ጊዜ እድገቶች ወደፊት የሁኔታዎች ሁኔታ ተመሳሳይ እንደሚሆን ምንም ጥርጥር የለውም። ስለዚህ የብዙ ተግባራዊ ችግሮች መፍትሄ መፍታት መማር ያለባቸውን የተለያዩ የእኩልታ ዓይነቶችን ለመፍታት ይቀንሳል።

እና ከ 2013 ጀምሮ በመሠረታዊ ትምህርት ቤት መጨረሻ ላይ የሂሳብ የምስክር ወረቀት በ OGE መልክ ተካሂዷል. ልክ እንደ የተዋሃደ የስቴት ፈተና፣ OGE የተነደፈው በአልጀብራ ብቻ ሳይሆን በዋናው ትምህርት ቤት ውስጥ ባለው አጠቃላይ የሒሳብ ትምህርት ነው።

የአንበሳው ድርሻ፣ በአንድም ይሁን በሌላ፣ እኩልታዎችን እና መፍትሄዎችን ለማዘጋጀት ይወርዳል። ወደዚህ ርዕስ ጥናት ለመቀጠል ለጥያቄዎቹ መልስ መስጠት አለብን: "በ OGE ተግባራት ውስጥ ምን አይነት እኩልታዎች ይገኛሉ? "እና" እነዚህን እኩልታዎች ለመፍታት መንገዶች ምንድ ናቸው?"

ስለዚህ, በ OGE ተግባራት ውስጥ የሚገኙትን ሁሉንም እኩልታዎች ማጥናት ያስፈልጋል. ከላይ ያሉት ሁሉም ይገልፃሉየተከናወነው ሥራ ችግር አግባብነት.

አላማ ሥራ በ OGE ተግባራት ውስጥ የሚገኙትን ሁሉንም እኩልታዎች በአይነት ማጠናቀቅ እና እነዚህን እኩልታዎች ለመፍታት ዋና መንገዶችን መተንተን ነው።

ይህንን ግብ ለማሳካት የሚከተለውን አዘጋጅተናልተግባራት፡-

1) ለዋና ግዛት ፈተናዎች ለመዘጋጀት መሰረታዊ መርጃዎችን ይማሩ.

2) ሁሉንም እኩልታዎች በአይነት ያጠናቅቁ።

3) እነዚህን እኩልታዎች የመፍታት መንገዶችን ይተንትኑ.

4) ከሁሉም አይነት እኩልታዎች እና እነሱን ለመፍታት መንገዶች ጋር ስብስብ ያሰባስቡ።

የጥናት ዓላማ፡-እኩልታዎች.

የጥናት ርዕሰ ጉዳይ፡-በ OGE ተግባራት ውስጥ እኩልታዎች.

የፕሮጀክት ሥራ ዕቅድ;

  1. የፕሮጀክቱን ጭብጥ ማዘጋጀት.
  2. በተሰጠው ርዕስ ላይ ከኦፊሴላዊ ምንጮች የቁሳቁስ ምርጫ.
  3. መረጃን ማካሄድ እና ማደራጀት።
  4. የፕሮጀክት ትግበራ.
  5. የፕሮጀክት ንድፍ.
  6. የፕሮጀክት ጥበቃ.

ችግር ስለ እኩልታዎች ያለዎትን ግንዛቤ ያሳድጉ። በመጀመሪያ እና በሁለተኛ ክፍሎች ውስጥ በ OGE ተግባራት ውስጥ የቀረቡትን እኩልታዎች ለመፍታት ዋና ዘዴዎችን አሳይ.

ይህ ሥራ የተጠናውን ጽሑፍ ለማጠቃለል እና ለማደራጀት እና አዳዲሶችን ለማጥናት የሚደረግ ሙከራ ነው። ፕሮጀክቱ የሚያጠቃልለው፡- መስመራዊ እኩልታዎችን ከአንድ የውጤት ክፍል ወደ ሌላ በማስተላለፍ እና የእኩልታዎችን ባህሪያት በመጠቀም፣ እንዲሁም በቀመር የተፈቱ ችግሮች፣ ሁሉም አይነት ኳድራቲክ እኩልታዎች እና ምክንያታዊ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎች።

ሒሳብ... ሥርዓትን፣ ሲሜትን እና እርግጠኝነትን ያሳያል፣

እና እነዚህ በጣም አስፈላጊዎቹ የውበት ዓይነቶች ናቸው.

አርስቶትል

የታሪክ ማጣቀሻ

በእነዚያ ሩቅ ጊዜያት ጠቢባኑ ያልታወቁ መጠኖች ስለያዙ እኩልነት ማሰብ ሲጀምሩ ገና ምንም ሳንቲሞች ወይም የኪስ ቦርሳዎች አልነበሩም። ነገር ግን በሌላ በኩል, ቁልሎች ነበሩ, እንዲሁም ማሰሮዎች, ቅርጫቶች, ንጥሎች ቁጥራቸው ያልታወቀ የያዙ መሸጎጫ-መደብሮች ሚና ፍጹም ነበሩ. "እኛ ክምር እየፈለግን ነው፣ እሱም ከሁለት ሶስተኛው ግማሽ እና አንድ ሰባተኛ ጋር፣ 37 ነው..." ሲል ግብፃዊው ጸሐፊ አህሜስ በ2ኛው ሺህ ዓመት ከክርስቶስ ልደት በፊት አስተምሯል። በሜሶጶጣሚያ, ሕንድ, ቻይና, ግሪክ ጥንታዊ የሂሳብ ችግሮች ውስጥ ያልታወቁ መጠኖች በአትክልቱ ውስጥ የሚገኙትን የፒኮኮች ብዛት, በመንጋው ውስጥ ያሉት የበሬዎች ብዛት, ንብረትን በሚከፋፍሉበት ጊዜ አጠቃላይ ነገሮች ግምት ውስጥ ያስገባሉ. በምስጢር እውቀት የተጀመሩ ጸሃፍት፣ ባለስልጣኖች እና ቄሶች፣ በቆጠራ ሳይንስ በደንብ የሰለጠኑ፣ እነዚህን ስራዎች በተሳካ ሁኔታ ተቋቁመዋል።

ወደ እኛ የመጡ ምንጮች እንደሚያመለክቱት የጥንት ሳይንቲስቶች በመጠን ያልታወቁ ችግሮችን ለመፍታት አንዳንድ አጠቃላይ ዘዴዎች እንደነበሯቸው ነው። ሆኖም ግን, አንድ ፓፒረስ አይደለም, አንድ የሸክላ ጽላት ስለነዚህ ዘዴዎች መግለጫ አይሰጥም. ደራሲዎቹ አልፎ አልፎ የቁጥር ስሌቶቻቸውን “ተመልከቱ!”፣ “አድርገው!”፣ “ትክክል ሆኖ አግኝተሃል” በመሳሰሉት አማካኝ አስተያየቶች ብቻ ያቀርቡ ነበር። ከዚህ አንፃር፣ ልዩነቱ የግሪክ የሒሳብ ሊቅ ዲዮፋንተስ ኦቭ አሌክሳንድሪያ (III ክፍለ ዘመን) “አርቲሜቲክ” ነው - እኩልታዎችን ለማጠናቀር የመፍትሄዎቻቸውን ስልታዊ አቀራረብ።

ይሁን እንጂ በሰፊው የሚታወቀው ለችግሮች መፍትሔ የመጀመሪያው ማንዋል የ9ኛው ክፍለ ዘመን የባግዳድ ምሁር ሥራ ነው። ሙሐመድ ቢን ሙሳ አል-ከዋሪዝሚ። “አል-ጀብር” የሚለው ቃል ከአረብኛ አርእስት የተወሰደ የዚህ ድርሰት ቃል - “ኪታብ አል-ጀብር ወል-ሙቃባላ” (“የተሃድሶ እና ንፅፅር መፅሃፍ”) ከጊዜ በኋላ በሁሉም ዘንድ የሚታወቅ አልጀብራ ወደሚል ቃል ተለወጠ። እና የአል-ክዋሪዝሚ ስራ እራሱ እኩልታዎችን በመፍታት ሳይንስ እድገት ውስጥ እንደ መነሻ ሆኖ አገልግሏል።

ስለዚህ እኩልታ ምንድን ነው?

በመብቶች ውስጥ እኩልነት አለ ፣ የጊዜ እኩልነት (የእውነተኛ የፀሐይ ጊዜን ወደ አማካኝ የፀሐይ ጊዜ መተርጎም ፣ በሆስቴል እና በሳይንስ ተቀባይነት ያለው ፣ አስቴር) ፣ ወዘተ.

በሂሳብ - ይህ አንድ ወይም ከዚያ በላይ ያልታወቁ መጠኖችን የያዘ እና ለእነዚህ ያልታወቁ መጠኖች ለተወሰኑ እሴቶች ብቻ የሚቆይ የሂሳብ እኩልነት ነው።

ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልታዎች ውስጥ ፣ የማይታወቅ ብዙውን ጊዜ በደብዳቤው ይገለጻል " X"። የ"x , እነዚህን ሁኔታዎች የሚያረካ, የእኩልታ ሥር ይባላል.

እኩልታዎቹ የተለያዩ ናቸው።ዝርያዎች:

መጥረቢያ + b = 0. - መስመራዊ እኩልታ።
መጥረቢያ 2 + bx + c = 0. - ባለአራት እኩልታ።
መጥረቢያ 4 + bx 2 + c = 0. - የሁለትዮሽ እኩልታ።

– ምክንያታዊ እኩልታ.

– ምክንያታዊ ያልሆነ እኩልታ።
እንደዚህ ያሉ አሉ።እኩልታዎችን ለመፍታት መንገዶችእንዴት: አልጀብራ፣ አርቲሜቲክ እና ጂኦሜትሪክ። የአልጀብራን መንገድ አስቡበት።

እኩልታውን መፍታትበዋናው አገላለጽ ውስጥ ሲተካ ትክክለኛውን እኩልነት ይሰጠናል ወይም ምንም መፍትሄዎች እንደሌሉ የሚያረጋግጡ እንደዚህ ያሉ የ x እሴቶችን ማግኘት ነው። እኩልታዎችን መፍታት አስቸጋሪ ቢሆንም አስደሳች ነው። ደግሞም ፣ አጠቃላይ የቁጥሮች ፍሰት በአንድ ባልታወቀ ቁጥር ላይ ሲወሰን በጣም የሚያስደንቅ ነው።

በስሌቶች ውስጥ, የማይታወቅን ለማግኘት, ዋናውን አገላለጽ መቀየር እና ማቃለል አስፈላጊ ነው. እና መልክን በሚቀይሩበት ጊዜ የገለጻው ይዘት አይለወጥም. እንደነዚህ ያሉ ለውጦች ተመሳሳይ ወይም ተመጣጣኝ ተብለው ይጠራሉ.

ምዕራፍ 1 እኩልታ መፍታት

1.1 መስመራዊ እኩልታዎችን መፍታት.

አሁን የመስመራዊ እኩልታዎች መፍትሄዎችን እንመለከታለን. የቅጹን እኩልነት አስታውስከተለዋዋጭ ጋር ስለሆነ መስመራዊ እኩልታ ወይም የመጀመሪያ ዲግሪ እኩልታ ይባላል። X » ከፍተኛው ዲግሪ በመጀመሪያ ዲግሪ ነው.

የመስመራዊ እኩልታ መፍትሄው በጣም ቀላል ነው-

ምሳሌ 1፡ ቀመር 3ን ​​ፍታ x+3=5x

መስመራዊ እኩልታው የሚፈታው የማይታወቁ ቃላትን የያዙ ቃላትን ወደ እኩል ምልክት በግራ በኩል በማስተላለፊያ ዘዴ ሲሆን ነፃ ውህዶች በእኩል ምልክት በቀኝ በኩል።

3 x - 5 x = - 3

2x=-3

x=1.5

ቀመርን ወደ እውነተኛ እኩልነት የሚቀይር ተለዋዋጭ እሴት ይባላልየእኩልታው ሥር.

ካጣራን በኋላ የሚከተለውን እናገኛለን:

ስለዚህ 1.5 የእኩልታ ሥር ነው።

መልስ፡ 1.5.

ቃላቶችን ከአንድ የሒሳብ ክፍል ወደ ሌላ በማስተላለፍ እኩልታዎችን መፍታት፣ የቃላቶቹ ምልክት ወደ ተቃራኒው ሲቀየር እና ተግባራዊ ይሆናል።ንብረቶች እኩልታዎች - ሁለቱም የእኩልታ ክፍሎች ሊባዙ (ተከፋፈሉ) በተመሳሳይ ዜሮ ባልሆኑ ቁጥሮች ወይም አገላለጽ ፣ የሚከተሉትን እኩልታዎች ሲፈቱ ግምት ውስጥ መግባት ይችላሉ።

ምሳሌ 2. እኩልታዎችን መፍታት፡-

ሀ) 6 x +1=- 4 x; ለ) 8 + 7 x \u003d 9 x +4; ሐ) 4 (x - 8) = - 5.

መፍትሄ።

ሀ) የማስተላለፊያ ዘዴን በመጠቀም እንፈታዋለን

6x + 4x = -1;

10x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0.1.

ምርመራ፡-

መልስ፡-0.1

ለ) ከቀዳሚው ምሳሌ ጋር በተመሳሳይ ፣ በማስተላለፍ ዘዴ እንፈታለን-

መልስ፡ 2.

ሐ) በዚህ ስሌት ውስጥ የመደመር ሥራን በተመለከተ የማባዛት አከፋፋይ ንብረትን በመተግበር ቅንፎችን መክፈት አስፈላጊ ነው.

መልስ፡ 6.75.

1.2 ኳድራቲክ እኩልታዎች

እኩልታ ይተይቡ ኳድራቲክ እኩልታ ተብሎ ይጠራል፣ የትሀ - ከፍተኛ ቅንጅት;ለ አማካኝ ኮፊሸን ነው፣ ሐ ነፃ ቃል ነው።

እንደ ቅንጅቶች ይወሰናል a, b እና c - እኩልታው ሙሉ ወይም ያልተሟላ, ሊቀንስ ወይም ሊቀንስ አይችልም.

1.2.1 ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች

ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎችን ለመፍታት መንገዶችን አስቡባቸው፡-

1) ከመጀመሪያው ዓይነት ያልተሟሉ አራት ማዕዘን እኩልታዎች መፍትሄ ጋር እንጀምር c=0 . የቅጹ ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎችሀ x 2 +b x=0 እንዲፈቱ ይፈቅድልዎታልየማጠናከሪያ ዘዴ. በተለይም የቅንፍ ዘዴ.

በግልጽ እንደሚታየው ፣ እኛ እንችላለን ፣ በቀመርው በግራ በኩል ይገኛል ፣ ለዚህም የተለመደውን ከቅንፍ ማውጣት በቂ ነው ። x . ይህ ከመጀመሪያው ያልተሟላ የኳድራቲክ እኩልታ ወደ ቅጹ ተመጣጣኝ እኩልታ እንዲሄዱ ያስችልዎታል፡ x·(a·x+b)=0

እና ይህ እኩልታ ከሁለት እኩልታዎች ጥምረት ጋር እኩል ነው x=0 ወይም x+b=0 , የመጨረሻው መስመራዊ እና ሥር ያለው ነው x=- .

a x 2 +b x=0 ሁለት ሥሮች አሉት

x=0 እና x=-

2) አሁን ምን ያህል ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ አስቡበት የት ውህድ b ዜሮ እና c≠0 ነው። , ማለትም, የቅጹ እኩልታዎችአ x 2 +c=0 . የቃልን ቃል ከአንዱ ጎን ወደ ሌላው በተቃራኒው ምልክት ማዛወር እና እንዲሁም የሁለቱም ወገኖች እኩልነት በዜሮ ባልሆነ ቁጥር መከፋፈል ተመጣጣኝ እኩልነትን እንደሚሰጥ እናውቃለን። ስለዚህ, ያልተሟላ የኳድራቲክ እኩልታ የሚከተሉትን ተመጣጣኝ ለውጦችን ማካሄድ እንችላለንሀ x 2 +c=0

  • መንቀሳቀስ ሐ ወደ ቀኝ በኩል, ይህም እኩልታውን ይሰጣልሀ x 2 =-c
  • እና ሁለቱንም ክፍሎች ይከፋፍሏቸው a, እናገኛለን.

የተገኘው እኩልነት ስለ ሥሮቹ መደምደሚያ ላይ ለመድረስ ያስችለናል.

ቁጥር ከሆነ አሉታዊ ነው, ከዚያ እኩልታው ሥሮች የሉትም. ይህ መግለጫ የማንኛውም ቁጥር ካሬ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው ከሚለው እውነታ ይከተላል.

ከሆነ አወንታዊ ቁጥር ነው, ከዚያ የእኩልታው ሥር ያለው ሁኔታ የተለየ ነው. በዚህ ሁኔታ, የእኩልታ ሥር መኖሩን ማስታወስ ያስፈልግዎታል, እሱ ቁጥር ነው. የእኩልታው ሥር በእቅዱ መሠረት ይሰላል-

በምትኩ ወደ ቀመር መተካቱ ይታወቃል x ሥሩ እኩልታውን ወደ እውነተኛ እኩልነት ይለውጠዋል።

በዚህ አንቀፅ ውስጥ ያለውን መረጃ ጠቅለል አድርገን እንየው። ያልተጠናቀቀ ኳድራቲክ እኩልታአ x 2 +c=0 ከሒሳብ ጋር እኩል ነው።፣ የትኛው

3) ያልተሟሉ የኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄዎች የትኛዎቹ ጥምርታዎችለ እና ሐ ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ማለትም, ከቅጹ እኩልታዎችአንድ x 2 =0 እኩልታው a x 2 =0 x 2 =0 ይከተላል , እሱም ሁለቱንም ክፍሎቹን ዜሮ ባልሆነ ቁጥር በማካፈል ከመጀመሪያው የተገኘ ነውሀ . በግልጽ እንደሚታየው, የእኩልታው ሥር x2=0 ዜሮ ነው ምክንያቱም 0 2 =0 . ይህ እኩልነት ሌላ ሥሮች የሉትም።

ስለዚህ ያልተሟላ ባለአራት እኩልታ a x 2 \u003d 0 ነጠላ ሥር አለው x=0 .

ምሳሌ 3 እኩልታዎችን ይፍቱ: ሀ) x 2 \u003d 5x፣ ስሌቱ ብዙ ሥሮች ካሉት ፣ ከዚያ በመልሱ ውስጥ ትንሹን ያመልክቱ;

ለ) ስሌቱ ብዙ ሥሮች ካሉት ፣ ከዚያ በመልሱ ውስጥ ትልቁን ያመለክታሉ;

ሐ) x 2 -9 = 0፣ እኩልታው ብዙ ሥሮች ካሉት፣ ከዚያ በመልስዎ ውስጥ ትንሹን ያመልክቱ።

መፍትሄ።

ነፃ ቃል የሌለበት ያልተሟላ የኳድራቲክ እኩልታ አግኝተናል። በቅንፍ ውስጥ በማውጣት ዘዴ እንፈታለን.

በ አንድ እኩልታ ሁለት ሥሮች ሊኖሩት ይችላል ፣ ትንሹ 0 ነው።

መልስ፡ 0.

ለ) . ከቀደመው ምሳሌ ጋር በተመሳሳይ መልኩ, የማቀፊያ ዘዴን እንተገብራለን

በመልሱ ውስጥ ትልቁን ሥሮቹን ማመልከት አለብዎት. ያ ቁጥር 2 ነው።

መልስ፡ 2.

ውስጥ) . ይህ እኩልታ ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ሲሆን አማካይ ኮፊሸን የሌለው ነው።

ከእነዚህ ሥሮች ውስጥ ትንሹ ቁጥር - 3 ነው.

መልስ፡-3.

1.2.2 የተሟላ ባለአራት እኩልታዎች።

1. አድሎአዊ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ስር መሰረታዊ ቀመር

የስር ቀመር አለ።

እንጻፍ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር ደረጃ በደረጃ

1) D=b 2 -4 ሀ - የሚባሉት.

ሀ) ዲ

ለ) D> 0 ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታውአንድ ሥር የለውም;

ሐ) ዲ ሁለት ሥሮች የሉትም

ሥር ቀመሮችን በመጠቀም ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም

በተግባር ፣ ባለአራት እኩልታ ሲፈቱ ፣ እሴቶቻቸውን ለማስላት የስር ቀመሩን ወዲያውኑ መጠቀም ይችላሉ። ነገር ግን ይህ ውስብስብ ሥሮችን ስለማግኘት የበለጠ ነው.

ነገር ግን፣ በትምህርት ቤት አልጀብራ ኮርስ፣ ብዙውን ጊዜ የምንናገረው ስለ ውስብስብ ሳይሆን ስለ ኳድራቲክ እኩልታ እውነተኛ ሥሮች ነው። በዚህ ሁኔታ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን ቀመሮችን ከመጠቀምዎ በፊት በመጀመሪያ አድልዎ መፈለግ ጥሩ ነው ፣ አሉታዊ አለመሆኑን ያረጋግጡ (አለበለዚያ ፣ እኩልታው ትክክለኛ ሥሮች የለውም ብለን መደምደም እንችላለን) እና ከዚያ በኋላ የሥሮቹን እሴቶች አስላ።

ከላይ ያለው ምክንያት ለመጻፍ ያስችለናልየኳድራቲክ እኩልታን ለመፍታት ስልተ ቀመር. ኳድራቲክ እኩልታ ለመፍታት a x 2 +b x+c=0፣ ያስፈልግዎታል፡-

  • በአድልዎ ቀመር D=b 2 -4 ሀ ዋጋውን ማስላት;
  • መድልዎ አሉታዊ ከሆነ የኳድራቲክ እኩልታ ትክክለኛ ሥሮች የለውም ብሎ መደምደም;
  • ከሆነ የቀመርውን ብቸኛ ሥር አስላ D=0;
  • አድልዎ አዎንታዊ ከሆነ የስር ቀመሩን በመጠቀም የኳድራቲክ እኩልታ ሁለት እውነተኛ ሥሮችን ያግኙ።

2. መድልዎ ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ሁለተኛው ቀመር (ለሁለተኛ ደረጃ እኩልነት)።

የቅጹን ባለአራት እኩልታዎች ለመፍታት፣ ከተመጣጣኝ ቅንጅት ጋር b=2k ሌላ ቀመር አለ.

አዲስ እንፃፍ ለ quadratic equation ስሮች ቀመር:

1) D'=k 2 -a ሐ - የሚባሉትየኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ.

ሀ) ዲ ከሆነ እውነተኛ ሥሮች የሉትም;

ለ) D'>0 ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታውአንድ ሥር የለውም;

ሐ) ዲ ከሆነ ሁለት ሥሮች የሉትም

ምሳሌ 4 እኩልታውን 2x ፍታ 2 -3x+1=0

መፍትሄ። በመጀመርያው ሁኔታ፣ የኳድራቲክ እኩልታዎች የሚከተሉት ጥምርታዎች አሉን፡ a=2፣ b=-3 እና c=1 D=b 2 -4 a c=(-3) 2 -4 2 1=9-8=1። ከ1>0 ጀምሮ

እና አለነ ሁለት ሥሮች አገኙ ፣ ትልቁ ቁጥር 1 ነው።

መልስ፡ 1.

ምሳሌ 5 እኩልታን ፍታ x 2 -21=4x.

እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

መፍትሄ። ከቀዳሚው ምሳሌ ጋር በማነፃፀር፣ 4ሰ ወደ የእኩል ምልክት ግራ እናዞራለን፡-

በዚህ ሁኔታ፣ የኳድራቲክ እኩልታዎች የሚከተሉት ጥምርታዎች አሉን፡ a=1፣ k=-2 እና c=-21 . በአልጎሪዝም መሰረት በመጀመሪያ አድልዎ ማስላት ያስፈልግዎታል D'=k 2 -a c=(-2) 2 -1 (-21)=4+21=25 ቁጥር 25>0 ማለትም አድሏዊው ከዜሮ ይበልጣል፣ ከዚያ ኳድራቲክ እኩልታ ሁለት እውነተኛ ስሮች አሉት። በስር ፎርሙላ እናገኛቸው

መልስ፡ 7.

1.2.3 ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ልዩ ዘዴዎች.

1) የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች እና ቅንጅቶች ግንኙነት። የቪዬታ ጽንሰ-ሐሳብ.

የኳድራቲክ እኩልታ ሥረ መሠረት ቀመር የአንድን እኩልታ ሥረ መሠረት የሚገልፀው በቁጥር ብዛት ነው። በሥሮቹ ቀመር ላይ በመመስረት, በስሮች እና በቁጥር መካከል ያሉ ሌሎች ግንኙነቶችን ማግኘት ይችላሉ.

በጣም ዝነኛ እና ተፈጻሚነት ያለው ቀመር የቪዬታ ቲዎረም ይባላል.

ንድፈ ሐሳብ፡- ይሁን - የተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች. ከዚያ የሥሮቹ ምርት ከነፃው ቃል ጋር እኩል ነው ፣ እና የሥሩ ድምር ከሁለተኛው ተጓዳኝ እሴት ተቃራኒ እሴት ጋር እኩል ነው።

ቀደም ሲል የተፃፉትን ቀመሮች በመጠቀም፣ በኳድራቲክ እኩልታ ስሮች እና ውህደቶች መካከል ሌሎች በርካታ ግንኙነቶችን ማግኘት ይችላሉ። ለምሳሌ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች የካሬዎች ድምር ድምርን ከቁጥሮቹ አንፃር መግለጽ ይችላሉ።

ምሳሌ 6 ሀ) እኩልታውን ፍታ x 2

ለ) እኩልታውን መፍታት x 2

ሐ) እኩልታውን ፍታ x 2

መፍትሄ።

ሀ) እኩልታውን ፍታ x 2 -6x+5=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

ከሥሮቹ ውስጥ ትንሹን ይምረጡ

መልስ፡ 1

ለ) እኩልታውን መፍታት x 2 +7x+10=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

የቪዬታ ቲዎረምን በመተግበር, ለሥሮቹ ቀመሮችን እንጽፋለን

በአመክንዮአዊ ሁኔታ, እኛ ወደ መደምደሚያው እንሄዳለን. ከሥሮቹ ውስጥ ትልቁን ይምረጡ

መልስ፡ ─2.

ሐ) እኩልታውን ፍታ x 2 ─5x─14=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

የቪዬታ ቲዎረምን በመተግበር, ለሥሮቹ ቀመሮችን እንጽፋለን

በአመክንዮአዊ ሁኔታ, እኛ ወደ መደምደሚያው እንሄዳለን. ከሥሮቹ ውስጥ ትንሹን ይምረጡ

መልስ፡ ─2.

1.3 ምክንያታዊ እኩልታዎች

ከቅጹ ክፍልፋዮች ጋር እኩልነት ከተሰጠዎትበቁጥር ወይም በተከፋፈለው ውስጥ ካለው ተለዋዋጭ ጋር, ከዚያም እንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ ምክንያታዊ እኩልነት ይባላል. ምክንያታዊ እኩልታ ቢያንስ አንድ ምክንያታዊ መግለጫን የሚያካትት ማንኛውም እኩልታ ነው። ምክንያታዊ እኩልታዎች ልክ እንደ ማንኛውም እኩልታዎች በተመሳሳይ መንገድ ተፈትተዋል-ተለዋዋጭ በአንደኛው ክፍል ላይ እስኪነጠል ድረስ ተመሳሳይ ክንዋኔዎች በሁለቱም በኩል ይከናወናሉ. ሆኖም ግን, ምክንያታዊ እኩልታዎችን ለመፍታት 2 ዘዴዎች አሉ.

1) በመስቀል አቅጣጫ ማባዛት።አስፈላጊ ከሆነ በእያንዳንዱ ጎን አንድ ክፍልፋይ (አንድ ምክንያታዊ መግለጫ) እንዲኖርዎ የተሰጠውን እኩልታ እንደገና ይፃፉ; ከዚያ በኋላ ብቻ የመስቀል-ማባዛት ዘዴን መጠቀም ይችላሉ።

የግራ ክፍልፋይን አሃዛዊ በቀኝ አካፋይ ማባዛት። ይህንን ከቀኝ ክፍልፋይ አሃዛዊ እና የግራ መለያ ቁጥር ጋር ይድገሙት።

  • ተሻጋሪ ማባዛት በመሠረታዊ አልጀብራ መርሆች ላይ የተመሰረተ ነው። በምክንያታዊ አገላለጾች እና ሌሎች ክፍልፋዮች የሁለቱን ክፍልፋዮች አሃዛዊ እና መለያዎች በማባዛት አሃዛዊውን ማስወገድ ይችላሉ።
  • የተገኙትን አገላለጾች እኩል አድርገው ቀለል ያድርጉት።
  • የተገኘውን እኩልታ ይፍቱ ፣ ማለትም ፣ “x”ን ያግኙ። "x" በቀመርው በሁለቱም በኩል ካለ፣ ከቀመርው በአንደኛው ወገን ለይ።

2) ይህንን እኩልታ ለማቃለል ትንሹ የጋራ መለያ (LCD) ጥቅም ላይ ይውላል።ይህ ዘዴ ጥቅም ላይ የሚውለው የተሰጠውን እኩልታ በእያንዳንዱ ጎን በአንድ ምክንያታዊ አገላለጽ መጻፍ በማይችሉበት ጊዜ ነው (እና የማባዛት ዘዴን ይጠቀሙ)። ይህ ዘዴ ጥቅም ላይ የሚውለው ከ 3 ወይም ከዚያ በላይ ክፍልፋዮች ምክንያታዊ እኩልታ ሲሰጡ ነው (በሁለት ክፍልፋዮች ፣ ማባዛት ይሻላል)።

  • አነስተኛውን የጋራ ክፍልፋዮች (ወይም ቢያንስ የጋራ ብዜት) ያግኙ።NOZ ትንሹ ቁጥር ነው በእያንዳንዱ አካፋይ እኩል የሚከፋፈል።
  • የእያንዳንዱን ክፍልፋይ አሃዛዊ እና ተከፋይ NOZ ን በእያንዳንዱ ክፍልፋይ ተጓዳኝ አካፋይ በመከፋፈል ውጤት ጋር እኩል በሆነ ቁጥር ማባዛት።
  • x ፈልግ አሁን ክፍልፋዮቹን ወደ አንድ የጋራ መለያ ከቀነሱ በኋላ መለያውን ማስወገድ ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ, የእኩልታውን እያንዳንዱን ጎን በጋራ መለያ ማባዛት. ከዚያ የተገኘውን እኩልታ ይፍቱ, ማለትም "x" ን ያግኙ. ይህንን ለማድረግ, ተለዋዋጭውን በአንደኛው እኩልዮሽ በኩል ይለዩ.

ምሳሌ 7 እኩልታዎችን ይፍቱ: ሀ); ለ) ሐ)

መፍትሄ።

ሀ) . የመስቀል ማባዛት ዘዴን እንጠቀማለን.

ቅንፎችን ይክፈቱ እና ተመሳሳይ ውሎችን ያክሉ።

ከአንድ የማይታወቅ ጋር መስመራዊ እኩልታ አግኝቷል

መልስ፡ ─10

ለ) , ከቀደመው ምሳሌ ጋር በተመሳሳይ መልኩ, በመስቀል የማባዛት ዘዴን እንተገብራለን.

መልስ፡ ─1.9.

ውስጥ) , ትንሹን የጋራ መለያ (LCD) ዘዴን እንጠቀማለን.

በዚህ ምሳሌ፣ የጋራ መለያው 12 ይሆናል።

መልስ፡ 5.

ምዕራፍ 2 ውስብስብ እኩልታዎች

ውስብስብ እኩልታዎች ምድብ ውስጥ ያሉ እኩልታዎች የተለያዩ ዘዴዎችን እና የመፍታት ዘዴዎችን ሊያጣምሩ ይችላሉ። ነገር ግን፣ አንድ ወይም ሌላ፣ ሁሉም እኩልታዎች በሎጂክ አመክንዮ ዘዴ እና ተመጣጣኝ ድርጊቶች ቀደም ብለው የተጠኑትን እኩልታዎች ያስከትላሉ።

ምሳሌ 7 እኩልታውን ይፍቱ ( x +3) 2 = (x +8) 2 .

መፍትሄ። በአህጽሮት ማባዛት ቀመሮች መሠረት፣ ቅንፎችን እንከፍተዋለን፡-

ሁሉንም ውሎች ከእኩል ምልክት በላይ እናስተላልፋለን እና ተመሳሳይ የሆኑትን እንሰጣለን ፣

መልስ፡ 5.5.

ምሳሌ 8 እኩልታዎችን ይፍቱ፡ a) (- 5 x +3)(- x +6)=0፣ ለ) (x +2) (- x +6)=0።

መፍትሄ።

ሀ) (- 5 x +3) (- x +6)=0; ቅንፎችን ይክፈቱ እና እንደ ውሎች ይስጡ

በአድሎአዊነት የመጀመሪያ ቀመር የምንፈታው የተሟላ ባለአራት እኩልታ አገኘ

እኩልነት ሁለት ሥሮች አሉት

መልስ፡ 0.6 እና 6

ለ) (x +2) (- x +6)=0፣ ለዚህ ​​እኩልታ አመክንዮአዊ ምክኒያት እንሰራለን (ምርቱ ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆን አንደኛው ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል)። ማለት ነው።

መልስ፡- 2 እና 6

ምሳሌ 9 እኩልታዎችን ይፍቱ፡፣ ለ)

መፍትሄ። ዝቅተኛውን የጋራ መለያ ማግኘት

በተለዋዋጭ ኃይላት ቁልቁል እንጽፋለን

; የተሟላ ባለአራት እኩልታ እኩል ሁለተኛ እኩልነት አግኝቷል

እኩልታው ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት

መልስ፡.

ለ) . አመክንዮው ተመሳሳይ ነው ሀ) NOZ በማግኘት ላይ

ቅንፎችን ይክፈቱ እና እንደ ውሎች ይስጡ

በአጠቃላይ ፎርሙላ በኩል የተሟላውን ባለአራት እኩልታ እንፈታዋለን

መልስ፡.

ምሳሌ 10 እኩልታዎችን ይፍቱ፡

መፍትሄ።

ሀ) ፣ በግራ በኩል በቅንፍ ውስጥ ያለው አገላለጽ የተቀነሰ የማባዛት ቀመር መሆኑን እናስተውላለን ፣ በትክክል የሁለት መግለጫዎች ድምር ካሬ። እንለውጠው

; የዚህን እኩልታ ውሎች ወደ አንድ አቅጣጫ ያንቀሳቅሱ

በቅንፍ ውስጥ አውጣው

ከምክንያቶቹ አንዱ ዜሮ በሚሆንበት ጊዜ ምርቱ ዜሮ ነው. ማለት፣

መልስ፡ ─2፣ ─1 እና 1

ለ) በተመሳሳይ መንገድ እንከራከራለን ለምሳሌ ሀ)

, በቪዬታ ቲዎሪ

መልስ፡-

ምሳሌ 11. እኩልታዎችን ይፍቱ ሀ)

መፍትሄ።

ሀ) ; [በቀመር በግራ እና በቀኝ በኩል ፣ ቅንፍ ዘዴን እንተገብራለን ፣ እና በግራ በኩል እናወጣለንበቀኝ በኩል ደግሞ 16 ቁጥሩን እናወጣለን.]

[ሁሉንም ነገር ወደ አንድ ጎን እናንቀሳቅስ እና እንደገና የማቀፊያ ዘዴን እንተገብራለን. የተለመደውን ምክንያት እናወጣለን]

(ከምክንያቶቹ አንዱ ዜሮ ሲሆን ምርቱ ዜሮ ነው።)

መልስ፡-

ለ) . [ይህ ቀመር ከሒሳብ ሀ ጋር ተመሳሳይ ነው። ስለዚህ፣ በዚህ ጉዳይ ላይ የመቧደን ዘዴ ተግባራዊ ይሆናል]

መልስ፡-

ምሳሌ 12 እኩልታውን ይፍቱ=0.

መፍትሄ።

0 [ሁለትዮሽ እኩልታ. በተለዋዋጭ ዘዴ ለውጥ ተፈትቷል].

0; [የቪዬታ ቲዎረምን መተግበር ሥሩን እናገኛለን]

. [ወደ ቀድሞ ተለዋዋጮች መመለስ]

መልስ፡-

ምሳሌ 13 እኩልታውን ይፍቱ

መፍትሄ። [ሁለትዮሽ እኩልታ፣ የሞዱሎ ምልክቶችን በመተግበር እኩል የሆነውን ደረጃ ያስወግዱ።]

[ሁለት ባለአራት እኩልታዎችን አግኝተናል፣ እነሱም በኳድራቲክ እኩልታ ሥረ መሠረት የምንፈታው]

ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉም ፣ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት

መልስ፡-

ምሳሌ 14 እኩልታውን ይፍቱ

መፍትሄ።

ኦዲዝ

[የእኩልታውን ሁሉንም ውሎች ወደ ግራ በኩል እናስተላልፋለን እና እንደ ውሎች እናመጣለን]

[በቪዬታ ቲዎረም በቀላሉ የሚፈታውን የተቀነሰውን ኳድራቲክ እኩልታ አግኝተናል]

ቁጥሩ - 1 የተሰጠውን እኩልታ ODZ አያሟላም, ስለዚህ የዚህ እኩልታ ሥር ሊሆን አይችልም. ስለዚህ ሥሩ ቁጥር 7 ብቻ ነው።

መልስ፡ 7.

ምሳሌ 15 እኩልታውን ይፍቱ

መፍትሄ።

የሁለት መግለጫዎች ካሬዎች ድምር ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆን የሚችለው መግለጫዎቹ በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ብቻ ነው. ይኸውም

[እያንዳንዱን እኩልታ ለየብቻ ይፍቱ]

በቪዬታ ቲዎሪ መሰረት

ከ -5 ጋር እኩል የሆኑ ሥሮቹ የአጋጣሚ ጉዳይ የእኩልታ ሥር ይሆናል።

መልስ፡- 5

ማጠቃለያ

የተከናወነውን ስራ ውጤት ጠቅለል አድርገን ስናጠቃልል፣ እኩልታዎች በሂሳብ እድገት ውስጥ ትልቅ ሚና ይጫወታሉ ብለን መደምደም እንችላለን። የተገኘውን እውቀት በስርዓት አቀናጅተናል, የተሸፈነውን ቁሳቁስ ጠቅለል አድርገነዋል. ይህ እውቀት ለመጪው ፈተና ሊያዘጋጅን ይችላል።

የኛ ስራ ሂሳብ ከፊታችን ያስቀመጣቸውን ችግሮች በተለየ መልኩ እንድንመለከት ያስችለናል።

  • በፕሮጀክቱ መጨረሻ ላይ እኩልታዎችን ለመፍታት ቀደም ሲል የተጠኑትን ዘዴዎችን አደረጃጀት እና አጠቃላይ አደረግን ።
  • እኩልታዎችን እና የእኩልታዎችን ባህሪያት የመፍታት አዳዲስ መንገዶች ጋር መተዋወቅ;
  • በመጀመሪያው ክፍል እና በሁለተኛው ክፍል በ OGE ተግባራት ውስጥ ያሉትን ሁሉንም እኩልታዎች ግምት ውስጥ ያስገቡ ።
  • "በ OGE ተግባራት ውስጥ ያሉ እኩልታዎች" ዘዴያዊ ስብስብ ፈጠረ.

ከኛ በፊት የተቀመጠውን ግብ እንዳሳካን እናምናለን - ሁሉንም አይነት እኩልታዎች በሂሳብ ውስጥ በዋናው የመንግስት ፈተና ተግባራት ውስጥ ግምት ውስጥ ማስገባት.

ያገለገሉ ጽሑፎች ዝርዝር፡-

1. ቢ.ቪ. ግኔደንኮ "በዘመናዊው ዓለም ውስጥ የሂሳብ ትምህርት". ሞስኮ "መገለጥ" 1980

2. ያ.አይ. ፔሬልማን "አልጀብራ መዝናኛ" ሞስኮ "ሳይንስ" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

ዓባሪ 1

መስመራዊ እኩልታዎች

1. የእኩልታውን ሥር ፈልግ

2. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

3. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

አባሪ 2

ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች

1. እኩልታውን ፍታ x 2 =5x. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

2. እኩልታውን 2x ፍታ 2 =8x. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

3. እኩልታውን 3x ፍታ 2 =9x. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

4. እኩልታውን 4x ይፍቱ 2 =20x እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

5. እኩልታውን 5x ይፍቱ 2 =35x እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

6. ቀመር 6x ይፍቱ 2 =36x እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

7. እኩልታውን 7x ይፍቱ 2 =42x. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

8. እኩልታውን 8x ይፍቱ 2 =72x እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

9. እኩልታውን 9x ፍታ 2 = 54x. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

10. እኩልታውን 10x ይፍቱ2 =80x እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

11. ቀመር 5x ይፍቱ2 -10x=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

12. እኩልታውን 3x ፍታ2 -9x=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

13. እኩልታውን 4x ይፍቱ2 -16x=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

14. ቀመር 5x ይፍቱ2 +15x=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

15. እኩልታውን 3x ይፍቱ2 +18x=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

16. ቀመር 6x ይፍቱ2 +24x=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

17. እኩልታውን 4x ይፍቱ2 -20x=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

18. ቀመር 5x ይፍቱ2 +20x=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

19. እኩልታውን 7x ይፍቱ2 -14x=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

20. እኩልታውን 3x ይፍቱ2 +12x=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

21. እኩልታውን ይፍቱ x2 -9=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

22. እኩልታውን ይፍቱ x2 -121=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

23. እኩልታውን ይፍቱ x2 -16=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

24. እኩልታውን ፍታ x2 -25=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

25. እኩልታ x ን ፍታ2 -49=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

26. እኩልታውን ፍታ x2 -81=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

27. እኩልታውን ይፍቱ x2 -4=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

28. እኩልታ x ን ፍታ2 -64=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

29. እኩልታውን ይፍቱ x2 -36=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

30. እኩልታ x2 -144=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

31. እኩልታውን ይፍቱ x2 -9=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

32. እኩልታውን ይፍቱ x2 -121=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

33. እኩልታውን ይፍቱ x2 -16=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

34. እኩልታውን ይፍቱ x2 -25=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

35. እኩልታ x ን ፍታ2 -49=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

36. እኩልታውን ይፍቱ x2 -81=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

37. እኩልታውን ይፍቱ x2 -4=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

38. እኩልታውን ይፍቱ x2 -64=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

39. እኩልታውን ፍታ x2 -36=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

40. እኩልታውን ይፍቱ x2 -144=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

አባሪ 3

የተሟላ ባለአራት እኩልታዎች

1. እኩልታውን ፍታ x2 +3x=10 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

2. እኩልታ x2 +7x=18 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

3. እኩልታ x2 +2x=15 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

4. እኩልታ x2 -6x=16። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

5. እኩልታ x2 -3x=18 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

6. እኩልታ x2 -18=7x. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

7. እኩልታ x ን ፍታ2 +4x=21። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

8. እኩልታ x2 -21=4x. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

9. እኩልታ x2 -15=2x. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

10. እኩልታ x ን ፍታ2 -5x=14 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

11. እኩልታ x ን ፍታ2 +6=5x እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

12. እኩልታ x ፍታ2 +4=5x እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

13. እኩልታ x ን ፍታ2 -x=12 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

14. እኩልታ x ፍታ2 +4x=5 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

15. እኩልታ x ን ፍታ2 -7x=8 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

16. እኩልታውን ፍታ x2 +7=8x እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

17. እኩልታ x ፍታ2 +18=9x እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

18. እኩልታ x ን ፍታ2 +10=7x እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

19. እኩልታውን ፍታ x2 -20=x. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

20. እኩልታውን ይፍቱ x2 -35=2x. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

21. እኩልታውን 2x ይፍቱ2 -3x+1=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

22. ቀመር 5x ይፍቱ2 +4x−1=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

23. እኩልታውን 2x ይፍቱ2 +5x−7=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

24. ቀመር 5x ይፍቱ2 -12x+7=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

25. ቀመር 5x ይፍቱ2 -9x+4=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

26. እኩልታውን 8x ይፍቱ2 -12x+4=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

27. እኩልታውን 8x ይፍቱ2 -10x+2=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

28. ቀመር 6x ይፍቱ2 -9x+3=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

29. ቀመር 5x ይፍቱ2 +9x+4=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

30. እኩልታውን 5x ይፍቱ2 +8x+3=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

31. እኩልታውን ይፍቱ x2 -6x+5=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

32. እኩልታውን ይፍቱ x2 -7x+10=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

33. እኩልታውን ይፍቱ x2 -9x+18=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

34. እኩልታውን ይፍቱ x2 -10x+24=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

35. እኩልታ x ን ፍታ2 -11x+30=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

36. እኩልታውን ይፍቱ x2 -8x+12=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

37. እኩልታውን ይፍቱ x2 -10x+21=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

38. እኩልታውን ይፍቱ x2 -9x+8=0 እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

39. እኩልታውን ፍታ x2 -11x+18=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

40. እኩልታውን ይፍቱ x2 -12x+20=0። እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

አባሪ 4

ምክንያታዊ እኩልታዎች.

1. የእኩልታውን ሥር ፈልግ

2. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

3. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

4. የእኩልታውን ሥር ፈልግ

5. የእኩልታውን ሥር ፈልግ

6. የእኩልታውን ሥር ያግኙ.

7. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

8. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

9. የእኩልታውን ሥር ያግኙ.

10. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

11. የእኩልታውን ሥር ያግኙ.

12. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

13. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

14. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

15. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

16. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

17. የእኩልታውን ሥር ፈልግ

18. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

19. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

20. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

21. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

22. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

23. የእኩልታውን ሥር ያግኙ

አባሪ 5

ውስብስብ እኩልታዎች.

1. የእኩልታውን ስር ፈልግ (x+3)2 =(x+8)2 .

2. የእኩልታውን ስር ፈልግ (x-5)2 =(x+10)2 .

3. የእኩልታውን ስር ፈልግ (x+9)2 =(x+6)2 .

4. የእኩልታውን ስር ፈልግ (x+10)2 = (x-9)2 .

5. የእኩልታውን ስር ፈልግ (x-5)2 = (x-8)2 .

6. የእኩልታውን ሥር ያግኙ.

7. የእኩልታውን ሥር ያግኙ.

8. የእኩልታውን ሥር ያግኙ.

9. የእኩልታውን ሥር ያግኙ.

10. የእኩልታውን ሥር ያግኙ.

11. እኩልታውን ይፍቱ (x+2) (- x+6) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

12. እኩልታውን ይፍቱ (x+3) (- x-2) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

13. እኩልታውን ይፍቱ (x-11) (- x+9) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

14. እኩልታውን ይፍቱ (x-1) (- x-4) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

15. እኩልታውን ይፍቱ (x-2) (- x-1) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

16. እኩልታውን ይፍቱ (x+20) (- x+10) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

17. እኩልታውን ይፍቱ (x-2) (- x-3) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

18. እኩልታውን ይፍቱ (x-7) (- x+2) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

19. እኩልታውን ይፍቱ (x-5) (- x-10) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

20. እኩልታውን ይፍቱ (x+10) (- x-8) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

21. እኩልታውን ይፍቱ (- 5x+3) (- x+6) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

22. እኩልታውን ይፍቱ (- 2x+1) (- 2x-7) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

23. እኩልታውን ይፍቱ (- x-4) (3x+3) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

24. እኩልታውን ይፍቱ (x-6) (4x-6) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

25. እኩልታውን ይፍቱ (- 5x-3) (2x-1) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

26. እኩልታውን ይፍቱ (x-2) (- 2x-3) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

27. እኩልታውን ይፍቱ (5x+2) (- x-4) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

28. እኩልታውን ይፍቱ (x-6) (- 5x-9) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

29. እኩልታውን ይፍቱ (6x-3) (- x+3) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትልቁን ሥሮቹን ይፃፉ።

30. እኩልታውን ይፍቱ (5x-2) (- x+3) = 0. እኩልታው ከአንድ በላይ ሥር ካለው፣ በምላሹ ትንሹን ሥሮቹን ይፃፉ።

31. እኩልታውን ይፍቱ

32. እኩልታውን ይፍቱ

33. እኩልታውን ይፍቱ

34. እኩልታውን ይፍቱ

35. እኩልታውን ይፍቱ

36. እኩልታውን ይፍቱ

37. እኩልታውን ይፍቱ

38. እኩልታውን ይፍቱ

39. እኩልታውን ይፍቱ

40 እኩልታውን ይፍቱ

41. ቀመር x(x2 +2x+1)=2(x+1)።

42. እኩልታውን ይፍቱ (x-1) (x2 +4x+4)=4(x+2)።

43. ቀመር x(x2 +6x+9)=4(x+3)።

44. እኩልታውን ይፍቱ (x-1) (x2 +8x+16)=6(x+4)።

45. ቀመር x(x2 +2x+1)=6(x+1)።

46. ​​እኩልታውን ይፍቱ (x-1) (x2 +6x+9)=5(x+3)።

47. እኩልታውን ይፍቱ (x-2) (x2 +8x+16)=7(x+4)።

48. ቀመር x(x2 +4x+4)=3(x+2)።

49. እኩልታውን ይፍቱ (x-2) (x2 +2x+1)=4(x+1)።

50. እኩልታውን ይፍቱ (x-2) (x2 +6x+9)=6(x+3)።

51. እኩልታውን ይፍቱ (x+2)4 -4(x+2)2 −5=0.

52. እኩልታውን ይፍቱ (x+1)4 (x+1)2 −6=0.

53. እኩልታውን ይፍቱ (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. እኩልታውን ይፍቱ (x-1)4 -2(x-1)2 −3=0.

55. እኩልታውን ይፍቱ (x-2)4 (x-2)2 −6=0.

56. እኩልታ ፍታ (x-3)4 -3(x-3)2 −10=0.

57. እኩልታውን ይፍቱ (x+4)4 -6(x+4)2 −7=0.
58. እኩልታውን ይፍቱ (x-4)4 -4(x-4)2 −21=0.

59. እኩልታውን ይፍቱ (x+2)4 (x+2)2 −12=0.

60. እኩልታውን ይፍቱ (x-2)4 +3(x-2)2 −10=0.

61. እኩልታ x3 +3x2 =16x+48

62. እኩልታ x3 +4x2 =4x+16

63. እኩልታ x3 +6x2 =4x+24

64. እኩልታ x3 +6x2 =9x+54

65. እኩልታ x ን ፍታ3 +3x2 =4x+12

66. እኩልታ x3 +2x2 =9x+18

67. እኩልታ x3 +7x2 =4x+28

68. እኩልታ x3 +4x2 =9x+36

69. እኩልታ x3 +5x2 =4x+20

70. እኩልታ x ፍታ3 +5x2 =9x+45

71. እኩልታውን ፍታ x3 +3x2 -x-3=0

72. እኩልታ x ፍታ3 +4x2 -4x-16=0።

73. እኩልታ x3 +5x2 -x-5=0

74. እኩልታ x ፍታ3 +2x2 -x-2=0

75. እኩልታ x3 +3x2 -4x-12=0።

76. እኩልታ x ን ፍታ3 +2x2 -9x-18=0።

77. እኩልታ x ን ፍታ3 +4x2 -x-4=0

78. እኩልታ x3 +4x2 -9x-36=0።

79. እኩልታ x3 +5x2 -4x-20=0።
80. እኩልታ x3 +5x2 -9x-45=0።

81. እኩልታ x4 = (x-20)2 .

82. እኩልታ x4 = (2x-15)2 .

83. እኩልታ x4 = (3x-10)2 .

84. እኩልታ x4 = (4x-5)2 .

85. እኩልታ x4 = (x-12)2 .

86. እኩልታ x4 = (2x-8)2 .

87. እኩልታ x4 = (3x-4)2 .

88. እኩልታ x4 = (x-6)2 .

89. እኩልታ x4 = (2x-3)2 .

90. እኩልታ x4 = (x-2)2 .

91. እኩልታውን ይፍቱ

92. እኩልታውን ይፍቱ

93. እኩልታውን ይፍቱ

94. እኩልታውን ይፍቱ

95. እኩልታውን ይፍቱ

96. እኩልታውን ይፍቱ

97. እኩልታውን ይፍቱ

98. እኩልታውን ይፍቱ

99. እኩልታውን ይፍቱ

100. እኩልታውን ይፍቱ

101. እኩልታውን ይፍቱ.

102. እኩልታውን ይፍቱ

103. እኩልታውን ይፍቱ

104. እኩልታውን ይፍቱ

105. እኩልታውን ይፍቱ

106. እኩልታውን ይፍቱ

107. እኩልታውን ይፍቱ

108. እኩልታውን ይፍቱ

109. እኩልታውን ይፍቱ

110. እኩልታውን ይፍቱ

የእኩልታዎች መፍትሄ

ለ OGE ዝግጅት

9ኛ ክፍል

በሴንት ፒተርስበርግ ፑትሮቫ ማሪና ኒኮላቭና የኔቪስኪ አውራጃ በ GBOU ትምህርት ቤት ቁጥር 14 በሂሳብ መምህር ተዘጋጅቷል


አረፍተነገሩን አሟላ:

አንድ). እኩልታው...

2) የእኩልታው መነሻ...

3) እኩልታን መፍታት ማለት...


I. እኩልታዎችን በቃል መፍታት፡-

  • አንድ). 6x + 18=0
  • 2) 2x + 5=0
  • 3) 5x - 3=0
  • አራት)። -3x + 9=0
  • 5) -5x + 1=0
  • 6) -2x - 10=0
  • 7) 6x - 7=5x
  • ስምት). 9x + 6=10x
  • 9) 5x - 12=8x

ከሚከተሉት እኩልታዎች ውስጥ የትኛው መፍትሔ የለውም።

ሀ) 2x - 14 = x + 7

ለ) 2x - 14 = 2(x - 7)

ውስጥ)። x - 7 \u003d 2x + 14

ሰ) 2x-14 = 2x + 7?


የቱ እኩልነት ብዙ መፍትሄዎች አሉት?

ሀ) 4x - 12 = x - 12

ለ) 4x - 12 = 4x + 12

ውስጥ)። 4(x - 3) = 4x - 12

ሰ) 4 (x - 3) \u003d x - 10?



የአመለካከት እኩልታዎች

kx + b = 0

LINEAR ተጠርቷል።

መስመራዊ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም :

አንድ). የማይታወቁትን የያዙትን ቃላቶች ወደ ግራ በኩል ያንቀሳቅሱ እና የማይታወቁ ቃላትን ወደ ቀኝ በኩል ያንቀሳቅሱ (የተላለፈው አባል ምልክት ወደ ተቃራኒው ይመለሳል);

2) እንደ አባላት አምጣ;

3) ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ ሁለቱንም የእኩልቱን ጎኖች በማይታወቅ ቅንጅት ይከፋፍሉት።


በማስታወሻ ደብተሮች ውስጥ እኩልታዎችን ይፍቱ :

II ቡድን: ቁጥር 697 p.63

x-1 +(x+2) = -4 (-5-x) -5

ቡድን:

№ 681 ገጽ 63

6(4x)+3x=3

III ቡድን፡ ቁጥር 767 ገጽ 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2



እኩልታ ይተይቡ

አህ 2 + bx + c \u003d 0፣

የት a≠0፣ b፣ c - ማንኛውም እውነተኛ ቁጥሮች ካሬ ይባላል።

ያልተሟሉ እኩልታዎች

አህ 2 + bх =0 (c=0)፣

አህ 2 + c=0 (b=0)።


II. የተሟሉ ወይም ያልተሟሉ መሆናቸውን በማመልከት ባለአራት እኩልታዎችን በአፍ ይፍቱ፡

አንድ). 5x 2 + 15x=0

2) -X 2 +2x = 0

3) X 2 -25=0

አራት)። -X 2 +9 =0

5) -X 2 - 16 =0

6) X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6=0

ስምት). X 2 + x - 12 = 0

9)።(-x-5)(-x+ 6)=0


ጥያቄዎች፡-

አንድ). ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ምን የእኩልታዎች ንብረት ጥቅም ላይ ውሏል?

2) ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ፖሊኖሚል የመለኪያ ዘዴዎች የትኞቹ ናቸው?

3) የተሟላ ባለአራት እኩልታዎችን ለመፍታት ስልተ ቀመር ምንድነው? ?


0.2 ሥሮች; D = 0, 1 ሥር; D X 1.2 = "ስፋት = " 640"

አንድ). አንደኛው ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ የሁለት ነገሮች ውጤት ከዜሮ ጋር እኩል ነው ፣ ሁለተኛው ግን ትርጉሙን አያጣም። ab = 0 ፣ ከሆነ ሀ = 0 ወይም ለ = 0 .

2) የጋራ ምክንያት ማውጣት እና

ሀ 2 - ለ 2 == (a - ለ) (a + ለ) - የካሬዎች ልዩነት ቀመር.

3) ሙሉ ኳድራቲክ እኩልታ ah 2 + bx + c = o

D=b 2 - 4ac ከሆነ D0, 2 ሥሮች;

D = 0, 1 ሥር;

X 1,2 =


እኩልታዎችን መፍታት :

ቡድን I፡ ቁጥር 802 ገጽ 71 X 2 - 5x- 36 = 0

II ቡድን፡ ቁጥር 810 ገጽ 71 3x 2 - x + 21=5x 2

III ቡድን: X 4 -5x 2 - 36 =0


III. እኩልታዎችን መፍታት :

I እና II ቡድን፡ ቁጥር 860 = 0

III ቡድን: = 0

እንደዚህ ያሉ እኩልታዎች ምን ይባላሉ? እነሱን ለመፍታት ምን ንብረት ጥቅም ላይ ይውላል?


ምክንያታዊ እኩልታ የቅጹ እኩልታ ነው።

አሃዛዊው ዜሮ ከሆነ እና መለያው ዜሮ ካልሆነ ክፍልፋይ ዜሮ ነው። =0 ከሆነ a = 0፣ b≠0።


አጭር የሂሳብ ታሪክ

  • የጥንቷ ግብፅ የሂሳብ ሊቃውንት ኳድራቲክ እና መስመራዊ እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈቱ ያውቁ ነበር።
  • የፋርስ የመካከለኛው ዘመን ሳይንቲስት አል-ክዋሪዝሚ (IX ክፍለ ዘመን) ለመጀመሪያ ጊዜ አልጀብራን እንደ ገለልተኛ ሳይንስ ስለ አጠቃላይ አጠቃላይ ዘዴዎች መስመራዊ እና ኳድራቲክ እኩልታዎችን አቅርቧል ፣ የእነዚህን እኩልታዎች ምደባ ሰጥቷል።
  • በሂሳብ ውስጥ አዲስ ታላቅ ግኝት ከፈረንሳዊው ሳይንቲስት ፍራንሷ ቪዬታ (XVI ክፍለ ዘመን) ስም ጋር የተያያዘ ነው። ወደ አልጀብራ ፊደላትን ያስተዋወቀው እሱ ነው። እሱ በኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ላይ የታወቀው ቲዎሪ ባለቤት ነው።
  • እና ያልታወቁ መጠኖችን በላቲን ፊደላት (x, y, z) የመጨረሻ ፊደላት (x, y, z) ለሌላ ፈረንሳዊ የሒሳብ ሊቅ - ሬኔ ዴካርትስ (XVII) የመግለጽ ባህል አለብን.

አል-ክዋሪዝሚ

ፍራንሷ ቪየት

Rene Descartes


የቤት ስራ

ከጣቢያዎች ጋር በመስራት ላይ :

- ክፍት የባንክ ተግባራት OGE (ሒሳብ) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- "OGE ን እፈታለሁ" በዲ. ጉሽቺን https://oge.sdamgia.ru/ ;

የ A. Larin ድህረ ገጽ (አማራጭ 119) http://alexlarin.net/ .

አጋዥ ስልጠናዎች፡-

- Yu.M. Kolyagin የመማሪያ መጽሐፍ "አልጀብራ 9ኛ ክፍል"፣ M. "Enlightenment", 2014, p. 308-310;

- "3000 ተግባራት" ስር. በ I.V ተስተካክሏል. Yashchenko, M., "ፈተና", 2017, ገጽ.59-74.


! ከቲዎሪ ወደ ልምምድ;

! ከቀላል እስከ ውስብስብ

MAOU "Platoshinskaya ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት",

የሒሳብ መምህር, መልአክሂና ጂ.ቪ.


የመስመራዊ እኩልታ አጠቃላይ እይታ፡- መጥረቢያ + ለ = 0 ,

የት ሀእና ለ- ቁጥሮች (የቁጥሮች ብዛት)።

  • ከሆነ ሀ = 0እና ለ = 0, ከዚያም 0x+ 0 = 0 - ማለቂያ የሌለው ብዙ ሥሮች;
  • ከሆነ ሀ = 0እና b ≠ 0, ከዚያም 0x+ ለ = 0- መፍትሄዎች የሉም
  • ከሆነ አንድ ≠ 0እና ለ = 0 , ከዚያም መጥረቢያ + 0 = 0 - አንድ ሥር, x = 0;
  • ከሆነ አንድ ≠ 0እና ለ ≠ 0 , ከዚያም መጥረቢያ + ለ = 0 - አንድ ሥር

! X ለመጀመሪያው ሃይል ከሆነ እና በዲኖሚነተሩ ውስጥ ካልተካተተ ይህ መስመራዊ እኩልታ ነው


! መስመራዊ እኩልታ ቢሆንስ? ውስብስብ :

! በስተ ቀኝ X ሳይኖር ከ X ጋር ውሎች።


! እነዚህ እኩልታዎች ናቸው። እንዲሁም መስመራዊ .

! የተመጣጠነ ዋናው ንብረት (በመሻገር)።

! ቅንፎችን ይክፈቱ፣ ከ X ወደ ግራ፣ ያለ X ወደ ቀኝ።



  • Coefficient ከሆነ ሀ = 1, ከዚያም እኩልታው ይባላል የተሰጠው :
  • Coefficient ከሆነ ለ = 0 ወይም (እና) ሐ = 0, ከዚያም እኩልታው ይባላል ያልተሟላ :

! መሰረታዊ ቀመሮች

! ተጨማሪ ቀመሮች



የሁለትዮሽ እኩልታየቅጹ እኩልታ ይባላል መጥረቢያ 4 + bx 2 + c = 0 .

የሁለትዮሽ እኩልታ ወደ ተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታበመተካት, ከዚያም

ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን፡-

ሥሩን እንፈልግና ወደ መተኪያው እንመለስ፡-


ምሳሌ 1፡

እኩልታን ፍታ x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

መፍትሄ፡-

ምትክ፡ x 2 = ቲ.

t 2 + 5t - 36 = 0. የእኩልታው ሥሮች t 1 = -9 እና t 2 = 4.

x 2 \u003d -9 ወይም x 2 \u003d 4.

መልስ: በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ ምንም ሥሮች የሉም, ከሁለተኛው: x \u003d ± 2.

ምሳሌ 2፡

እኩልታውን መፍታት (2x - 1) 4 - 25 (2x - 1) 2 + 144 = 0.

መፍትሄ፡-

ምትክ፡ (2x - 1) 2 = ቲ.

t 2 - 25t + 144 = 0. የእኩልታው ሥሮች t 1 = 9 እና t 2 = 16.

(2x - 1) 2 = 9 ወይም (2x - 1) 2 = 16.

2x - 1 = ± 3 ወይም 2x - 1 = ± 4.

ከመጀመሪያው እኩልታ ሁለት ሥሮች አሉ-x \u003d 2 እና x \u003d -1, ከሁለተኛው ደግሞ ሁለት ሥሮች አሉ x \u003d 2.5 እና x \u003d -1.5.

መልስ: -1.5; -አንድ; 2; 2.5.


1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 \u003d 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.


ከግራ በኩል በማውጣት እኩልታዎችን ይፍቱ ሙሉ ካሬ :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! የድምሩ ካሬ እና የልዩነቱን ካሬ አስታውስ


ምክንያታዊ መግለጫበቁጥር እና በተለዋዋጭ የተሰራ የአልጀብራ አገላለጽ ነው። xየመደመር ፣ የመቀነስ ፣ የማባዛት ፣ የመከፋፈል እና የቃላት አገባብ ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር በመጠቀም።

ከሆነ አር(x)ምክንያታዊ አገላለጽ ነው, ከዚያም እኩልታ r(x)=0ምክንያታዊ እኩልነት ይባላል.

ምክንያታዊ እኩልነትን ለመፍታት አልጎሪዝም፡-

1. ሁሉንም የእኩልታ ውሎች ወደ አንድ ክፍል ያስተላልፉ።

2. ይህን የእኩልታ ክፍል ወደ አልጀብራ ክፍልፋይ መልክ ቀይር p(x)/q(x)

3. እኩልታውን መፍታት p(x)=0

4. ለእያንዳንዱ የእኩልታ ሥር p(x)=0ሁኔታውን የሚያሟላ ከሆነ ያረጋግጡ q(x)≠0ኦር ኖት. አዎ ከሆነ, ይህ የተሰጠው እኩልታ ሥር ነው; ካልሆነ, ውጫዊ ስር ነው እና በምላሹ ውስጥ መካተት የለበትም.


! የክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታውን መፍትሄ አስታውስ፡-


! እኩልታዎችን ለመፍታት፣ ለአጭር ጊዜ ማባዛት ቀመሮችን ማስታወስ ጠቃሚ ነው፡-



እኩልታው በካሬ ስር ምልክት ስር ተለዋዋጭ ከያዘ፣ እኩልታው ይባላል ምክንያታዊ ያልሆነ .

የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች ለመጠምዘዝ ዘዴ- ምክንያታዊ ያልሆኑ እኩልታዎችን ለመፍታት ዋናው ዘዴ.

የተገኘውን ምክንያታዊ እኩልነት ከፈታን በኋላ, አስፈላጊ ነው ቼክ ያድርጉ , ሊሆኑ የሚችሉ የውጭ ሥሮችን በማጣራት.


መልስ፡ 5; አራት

ሌላ ምሳሌ፡-

ምርመራ፡-

አገላለጹ ትርጉም የለውም።

መልስ፡-ምንም መፍትሄዎች የሉም.