أوجد القيم الذاتية للمشغل. القيم الذاتية (الأعداد) والمتجهات الذاتية أمثلة على الحلول

المصفوفات القطرية لها أبسط بنية. السؤال الذي يطرح نفسه هو ما إذا كان من الممكن إيجاد أساس يكون فيه لمصفوفة العامل الخطي شكل قطري. مثل هذا الأساس موجود.
دعونا نعطي مساحة خطية R n وعامل خطي A يعمل فيها؛ في هذه الحالة، المشغل A يأخذ R n إلى نفسه، أي A:R n → R n .

تعريف. يسمى المتجه غير الصفري بالمتجه الذاتي للعامل A إذا كان العامل A يترجم إلى متجه خطي متداخل، أي. يُطلق على الرقم lect القيمة الذاتية أو القيمة الذاتية للمشغل A، وهو ما يتوافق مع المتجه الذاتي.
دعونا نلاحظ بعض خصائص القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
1. أي مجموعة خطية من المتجهات الذاتية المشغل A المطابق لنفس القيمة الذاتية π هو ناقل ذاتي له نفس القيمة الذاتية.
2. المتجهات الذاتية المشغل A ذو القيم الذاتية المختلفة الزوجية π 1 , π 2 , ..., π m مستقلة خطيا.
3. إذا كانت القيم الذاتية 1 = 2 = 1 م = 5، فإن القيمة الذاتية 5 لا تتوافق مع أكثر من م من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا.

لذا، إذا كان هناك n متجهات ذاتية مستقلة خطيًا ، المقابلة لقيم ذاتية مختلفة ​​1، 2، ...، 5 n، فهي مستقلة خطيًا، لذلك يمكن اعتبارها أساسًا للمساحة R n. دعونا نجد شكل مصفوفة العامل الخطي A على أساس ناقلاته الذاتية، والتي سنتعامل معها مع العامل A على أساس المتجهات: ثم .
وبالتالي، فإن مصفوفة العامل الخطي A في أساس ناقلاته الذاتية لها شكل قطري، وتكون القيم الذاتية للعامل A على طول القطر.
هل هناك أساس آخر تكون فيه المصفوفة ذات شكل قطري؟ الجواب على هذا السؤال يتم تقديمه من خلال النظرية التالية.

نظرية. مصفوفة العامل الخطي A في الأساس (i = 1..n) لها شكل قطري إذا وفقط إذا كانت جميع متجهات الأساس هي متجهات ذاتية للعامل A.

قاعدة إيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

. (*)

(1)
أين - مصفوفة المشغل الخطية.

النظام (1) له حل غير صفري إذا كان محدده D يساوي الصفر

مثال 12. العامل الخطي A يعمل في R 3 وفقًا للقانون، حيث x 1, x 2, .., x n هي إحداثيات المتجه في الأساس , , . ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لهذا العامل.
حل. نحن نبني مصفوفة هذا العامل:
.
نقوم بإنشاء نظام لتحديد إحداثيات المتجهات الذاتية:

نؤلف معادلة مميزة ونحلها:

.
 1,2 = -1،  3 = 3.
بالتعويض بـ lect = -1 في النظام نحصل على:
أو
لأن ، ثم هناك متغيران تابعان ومتغير حر واحد.
دع x 1 يكون مجهولًا حرًا، إذن نحل هذا النظام بأي طريقة ونجد الحل العام لهذا النظام: النظام الأساسي للحلول يتكون من حل واحد، حيث أن n - r = 3 - 2 = 1.
مجموعة المتجهات الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية lect = -1 لها الشكل: حيث x 1 هو أي رقم غير الصفر. لنختار متجهًا واحدًا من هذه المجموعة، على سبيل المثال، نضع x 1 = 1: .
بالاستدلال بالمثل، نجد المتجهات الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية 3 = 3: .
في الفضاء R 3، يتكون الأساس من ثلاثة متجهات مستقلة خطيًا، لكننا تلقينا فقط اثنين من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا، والتي لا يمكن تكوين الأساس في R 3 منها. وبالتالي، لا يمكننا تقليل المصفوفة A للعامل الخطي إلى الشكل القطري.

مثال 13. نظرا للمصفوفة .
1. إثبات أن الناقل هو متجه ذاتي للمصفوفة A. أوجد القيمة الذاتية المقابلة لهذا المتجه الذاتي.
2. أوجد أساسًا تكون فيه المصفوفة A ذات شكل قطري.
حل.
1. إذا، فهو متجه ذاتي

.
المتجه (1، 8، -1) هو متجه ذاتي. القيمة الذاتية π = -1.
المصفوفة لها شكل قطري في أساس يتكون من ناقلات ذاتية. واحد منهم مشهور. دعونا نجد الباقي.
نحن نبحث عن المتجهات الذاتية من النظام:

المعادلة المميزة: ;
(3 + )[-2(2-)(2+)+3] = 0; (3+)( 2 - 1) = 0
lect 1 = -3، lect 2 = 1، lect 3 = -1.
لنجد المتجه الذاتي المطابق للقيمة الذاتية π = -3:

رتبة مصفوفة هذا النظام هي اثنان وتساوي عدد المجهولات، لذلك هذا النظام لديه حل صفر فقط x 1 = x 3 = 0. x 2 هنا يمكن أن يكون أي شيء آخر غير الصفر، على سبيل المثال، x 2 = 1. وبالتالي، فإن المتجه (0،1،0) هو ناقل ذاتي يقابل α = -3. دعونا تحقق:
.
إذا كانت 1 = 1، نحصل على النظام
رتبة المصفوفة اثنان. نحذف المعادلة الأخيرة.
دع x 3 يكون مجهولًا مجانيًا. إذن x 1 = -3x 3، 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3، x 2 = -9x 3.
بافتراض أن x 3 = 1، لدينا (-3،-9،1) - ناقل ذاتي يتوافق مع القيمة الذاتية 1 = 1. تحقق مما يلي:

.
نظرًا لأن القيم الذاتية حقيقية ومتميزة، فإن المتجهات المقابلة لها تكون مستقلة خطيًا، لذا يمكن أخذها كأساس في R 3 . وهكذا في الأساس , , المصفوفة A لها الشكل:
.
لا يمكن اختزال كل مصفوفة للمشغل الخطي A:R n → R n إلى شكل قطري، لأنه بالنسبة لبعض العوامل الخطية قد يكون هناك أقل من n من المتجهات الذاتية المستقلة الخطية. ومع ذلك، إذا كانت المصفوفة متماثلة، فإن جذر المعادلة المميزة للتعدد m يتوافق تمامًا مع المتجهات المستقلة خطيًا.

تعريف. المصفوفة المتماثلة هي مصفوفة مربعة تكون فيها العناصر المتماثلة حول القطر الرئيسي متساوية، أي فيها.
ملحوظات. 1. جميع القيم الذاتية للمصفوفة المتماثلة حقيقية.
2. إن المتجهات الذاتية للمصفوفة المتماثلة المقابلة للقيم الذاتية المختلفة الزوجية تكون متعامدة.
وكأحد التطبيقات العديدة للجهاز المدروس، فإننا نعتبر مشكلة تحديد نوع منحنى الدرجة الثانية.

القيم الذاتية (الأرقام) والمتجهات الذاتية.
أمثلة على الحلول

كن نفسك

ومن كلا المعادلتين ينتج ذلك.

فلنضعها إذن: .

نتيجة ل: – المتجه الذاتي الثاني.

ولنكرر النقاط المهمة في القرار:

- النظام الناتج بالتأكيد لديه حل عام (المعادلات تعتمد خطيا)؛

- نختار "y" بحيث يكون عددًا صحيحًا ويكون الإحداثي "x" الأول عددًا صحيحًا وموجبًا وصغيرًا قدر الإمكان.

- نتحقق من أن الحل المعين يحقق كل معادلة في النظام.

إجابة .

كان هناك ما يكفي من "نقاط التفتيش" الوسيطة، لذا فإن التحقق من المساواة غير ضروري من حيث المبدأ.

في مصادر المعلومات المختلفة، غالبًا ما تتم كتابة إحداثيات المتجهات الذاتية ليس في أعمدة، بل في صفوف، على سبيل المثال: (وبصراحة أنا نفسي معتاد على كتابتها في سطور). وهذا الخيار مقبول، ولكن في ضوء الموضوع التحولات الخطيةمن الناحية الفنية أكثر ملاءمة للاستخدام ناقلات العمود.

ربما بدا لك الحل طويلا جدا، لكن هذا فقط لأنني علقت على المثال الأول بتفصيل كبير.

مثال 2

المصفوفات

دعونا نتدرب بمفردنا! مثال تقريبي للمهمة النهائية في نهاية الدرس.

في بعض الأحيان تحتاج إلى إكمال مهمة إضافية، وهي:

اكتب تحليل المصفوفة الكنسي

ما هو؟

إذا كانت المتجهات الذاتية لشكل المصفوفة أساس، فيمكن تمثيلها على النحو التالي:

حيث تتكون المصفوفة من إحداثيات المتجهات الذاتية، - قطريمصفوفة مع القيم الذاتية المقابلة.

ويسمى هذا التحلل المصفوفة العنوان الأساسيأو قطري.

دعونا نلقي نظرة على مصفوفة المثال الأول. ناقلاتها الذاتية مستقل خطيا(غير خطية) وتشكل الأساس. لنقم بإنشاء مصفوفة لإحداثياتها:

على قطري الرئيسيالمصفوفات بالترتيب المناسبتقع القيم الذاتية، والعناصر المتبقية تساوي الصفر:
- أؤكد مرة أخرى على أهمية الترتيب: "اثنان" يتوافق مع المتجه الأول وبالتالي يقع في العمود الأول، "ثلاثة" - يتوافق مع المتجه الثاني.

باستخدام الخوارزمية المعتادة لإيجاد مصفوفة معكوسةأو طريقة غاوس-جورداننجد . لا، هذا ليس خطأ مطبعي! - أمامك حدث نادر، مثل كسوف الشمس، عندما يتزامن العكس مع المصفوفة الأصلية.

يبقى أن نكتب التحلل القانوني للمصفوفة:

يمكن حل النظام باستخدام التحويلات الأولية، وفي الأمثلة التالية سوف نلجأ إلى هذه الطريقة. ولكن هنا تعمل طريقة "المدرسة" بشكل أسرع بكثير. من المعادلة الثالثة نعبر عن : – نعوض في المعادلة الثانية :

وبما أن الإحداثي الأول هو صفر، فإننا نحصل على نظام يتبعه كل معادلة.

ومره اخرى انتبه إلى الوجود الإلزامي لعلاقة خطية. إذا تم الحصول على حل تافه فقط ، فإما أنه تم العثور على القيمة الذاتية بشكل غير صحيح، أو أنه تم تجميع/حل النظام مع حدوث خطأ.

الإحداثيات المدمجة تعطي القيمة

المتجه الذاتي:

ومرة أخرى، نتحقق من وجود الحل يرضي كل معادلة النظام. في الفقرات اللاحقة وفي المهام اللاحقة، أوصي بأخذ هذه الرغبة كقاعدة إلزامية.

2) بالنسبة للقيمة الذاتية وبنفس المبدأ نحصل على النظام التالي:

من المعادلة الثانية للنظام نعبر عن: – نعوض في المعادلة الثالثة:

وبما أن إحداثيات "زيتا" تساوي الصفر، فإننا نحصل على نظام من كل معادلة يتبعه اعتماد خطي.

يترك

التحقق من أن الحل يرضي كل معادلة النظام.

وبالتالي فإن المتجه الذاتي هو : .

3) وأخيرًا، يتوافق النظام مع القيمة الذاتية:

تبدو المعادلة الثانية هي الأبسط، فلنعبر عنها ونعوض بها في المعادلتين الأولى والثالثة:

كل شيء على ما يرام - ظهرت علاقة خطية نستبدلها في التعبير:

ونتيجة لذلك، تم التعبير عن "x" و"y" من خلال "z": . في الممارسة العملية، ليس من الضروري تحقيق مثل هذه العلاقات بدقة؛ في بعض الحالات يكون من الملائم أكثر التعبير عن كل من خلال أو من خلال. أو حتى "القطار" - على سبيل المثال، "X" إلى "I"، و"I" إلى "Z"

فلنضعها إذن:

نتحقق من العثور على الحل يرضي كل معادلة النظام ويكتب المتجه الذاتي الثالث

إجابة: المتجهات الذاتية:

هندسيًا، تحدد هذه المتجهات ثلاثة اتجاهات مكانية مختلفة ("هناك والعودة مرة أخرى")، وفقا لما التحول الخطييحول المتجهات غير الصفرية (المتجهات الذاتية) إلى متجهات خطية متداخلة.

وإذا كان الشرط يقتضي إيجاد التحلل القانوني، فهذا ممكن هنا، لأن تتوافق القيم الذاتية المختلفة مع المتجهات الذاتية المختلفة المستقلة خطيًا. صنع مصفوفة من إحداثياتهم، مصفوفة قطرية من مناسبالقيم الذاتية وإيجادها مصفوفة معكوسة .

إذا، بشرط، تحتاج إلى الكتابة مصفوفة التحويل الخطي على أساس المتجهات الذاتيةثم نعطي الجواب في النموذج . هناك فرق، والفرق كبير!لأن هذه المصفوفة هي مصفوفة "دي".

مشكلة ذات حسابات أبسط يمكنك حلها بنفسك:

مثال 5

أوجد المتجهات الذاتية للتحول الخطي المعطى بواسطة المصفوفة

عند العثور على أرقامك الخاصة، حاول ألا تنتقل إلى متعددة الحدود من الدرجة الثالثة. بالإضافة إلى ذلك، قد تختلف حلول نظامك عن حلولي - ليس هناك يقين هنا؛ وقد تختلف المتجهات التي تجدها عن نماذج المتجهات حتى تناسب إحداثياتها. على سبيل المثال، و. من الممتع أكثر من الناحية الجمالية تقديم الإجابة في النموذج، لكن لا بأس إذا توقفت عند الخيار الثاني. ومع ذلك، هناك حدود معقولة لكل شيء، ولم تعد النسخة تبدو جيدة جدًا.

نموذج نهائي تقريبي للمهمة في نهاية الدرس.

كيفية حل المشكلة في حالة القيم الذاتية المتعددة؟

تظل الخوارزمية العامة كما هي، ولكن لها خصائصها الخاصة، ومن المستحسن الاحتفاظ ببعض أجزاء الحل بأسلوب أكاديمي أكثر صرامة:

مثال 6

ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

حل

بالطبع، دعونا نستغل العمود الأول الرائع:

وبعد تحليل ثلاثية الحدود التربيعية:

ونتيجة لذلك، يتم الحصول على القيم الذاتية، اثنان منها مضاعفات.

دعونا نجد المتجهات الذاتية:

1) دعونا نتعامل مع الجندي المنفرد وفق مخطط “مبسط”:

من المعادلتين الأخيرتين، تكون المساواة واضحة للعيان، والتي من الواضح أنه ينبغي استبدالها بالمعادلة الأولى للنظام:

لن تجد مزيجًا أفضل:
المتجه الذاتي:

2-3) الآن نقوم بإزالة اثنين من الحراس. في هذه الحالة قد تتحول إما اثنان أو واحد eigenvector. وبغض النظر عن تعدد الجذور، فإننا نعوض بالقيمة في المحدد الذي يقودنا في اليوم التالي نظام متجانس من المعادلات الخطية:

المتجهات الذاتية هي بالضبط ناقلات
النظام الأساسي للحلول

في الواقع، طوال الدرس بأكمله، لم نفعل شيئًا سوى العثور على متجهات النظام الأساسي. إنه فقط في الوقت الحالي لم يكن هذا المصطلح مطلوبًا بشكل خاص. بالمناسبة هؤلاء الطلاب الأذكياء الذين فاتهم الموضوع ببدلات التمويه معادلات متجانسة، سوف تضطر إلى تدخينه الآن.

كان الإجراء الوحيد هو إزالة الخطوط الإضافية. والنتيجة هي مصفوفة واحدة في ثلاثة مع "خطوة" رسمية في المنتصف.
– المتغير الأساسي – المتغيرات الحرة . هناك نوعان من المتغيرات الحرة، لذلك هناك أيضًا متجهان للنظام الأساسي.

لنعبر عن المتغير الأساسي بدلالة المتغيرات الحرة : . يسمح المضاعف الصفري الموجود أمام "X" بأخذ أي قيم على الإطلاق (والتي يمكن رؤيتها بوضوح من نظام المعادلات).

في سياق هذه المشكلة، يكون الحل العام أكثر ملاءمة لكتابة الحل العام ليس على التوالي، ولكن في العمود:

يتوافق الزوج مع ناقل ذاتي:
يتوافق الزوج مع ناقل ذاتي:

ملحوظة : يمكن للقراء المتمرسين اختيار هذه المتجهات شفهيًا - وذلك ببساطة عن طريق تحليل النظام ولكن هناك حاجة إلى بعض المعرفة هنا: هناك ثلاثة متغيرات، رتبة مصفوفة النظام- واحد يعني نظام القرار الأساسييتكون من 3 – 1 = 2 متجهين. ومع ذلك، فإن المتجهات التي تم العثور عليها مرئية بوضوح حتى بدون هذه المعرفة، على مستوى حدسي بحت. في هذه الحالة، سيتم كتابة المتجه الثالث بشكل أكثر "جمالاً": . ومع ذلك، أحذرك أنه في مثال آخر، قد لا يكون الاختيار البسيط ممكنًا، ولهذا السبب فإن البند مخصص للأشخاص ذوي الخبرة. بالإضافة إلى ذلك، لماذا لا نعتبر، على سبيل المثال، المتجه الثالث؟ بعد كل شيء، فإن إحداثياتها تلبي أيضًا كل معادلة النظام والمتجهات مستقل خطيا. هذا الخيار مناسب من حيث المبدأ ولكنه "ملتوي" لأن المتجه "الآخر" عبارة عن مزيج خطي من متجهات النظام الأساسي.

إجابة: القيم الذاتية: ، المتجهات الذاتية:

مثال مماثل لحل مستقل:

مثال 7

ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

نموذج تقريبي للتصميم النهائي في نهاية الدرس.

تجدر الإشارة إلى أنه في كلا المثالين السادس والسابع تم الحصول على ثلاثية من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا، وبالتالي فإن المصفوفة الأصلية قابلة للتمثيل في التحلل القانوني. لكن مثل هذا التوت لا يحدث في جميع الحالات:

مثال 8

حل: لنقم بإنشاء وحل المعادلة المميزة:

دعونا نوسع المحدد في العمود الأول:

نقوم بإجراء مزيد من التبسيط وفقًا للطريقة المدروسة، مع تجنب متعددة الحدود من الدرجة الثالثة:

- القيم الذاتية.

دعونا نجد المتجهات الذاتية:

1) لا توجد صعوبات مع الجذر:

لا تتفاجأ، بالإضافة إلى المجموعة، هناك أيضًا متغيرات قيد الاستخدام - لا يوجد فرق هنا.

من المعادلة الثالثة نعبر عنها ونعوضها في المعادلتين الأولى والثانية:

وينتج من المعادلتين:

دع إذن:

2-3) للقيم المتعددة نحصل على النظام .

دعونا نكتب مصفوفة النظام، وباستخدام التحويلات الأولية، ننقلها إلى شكل تدريجي:

www.siteيسمح لك بالعثور على ملفات . يقوم الموقع بالحساب. في غضون ثوانٍ قليلة، سيقدم الخادم الحل الصحيح. المعادلة المميزة للمصفوفةسيكون تعبيرًا جبريًا تم العثور عليه باستخدام قاعدة حساب المحدد المصفوفات المصفوفاتبينما على طول القطر الرئيسي سيكون هناك اختلافات في قيم العناصر القطرية والمتغير. عند الحساب المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت، كل عنصر المصفوفاتسيتم ضربها مع العناصر الأخرى المقابلة المصفوفات. البحث في الوضع متصلممكن فقط للمربع المصفوفات. عملية البحث المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتيقلل من حساب المجموع الجبري لمنتج العناصر المصفوفاتنتيجة لإيجاد المحدد المصفوفات، فقط لغرض التحديد المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت. وتحتل هذه العملية مكانة خاصة في النظرية المصفوفات، يسمح لك بالعثور على القيم الذاتية والمتجهات باستخدام الجذور. مهمة العثور المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتيتكون من عناصر مضاعفة المصفوفاتمتبوعًا بجمع هذه المنتجات وفقًا لقاعدة معينة. www.siteيجد المعادلة المميزة للمصفوفةالبعد المحدد في الوضع متصل. عملية حسابية المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتنظرا لبعدها، فهذا هو إيجاد كثيرة الحدود ذات المعاملات العددية أو الرمزية، وجدت وفقا لقاعدة حساب المحدد المصفوفات- كمجموع منتجات العناصر المقابلة المصفوفات، فقط لغرض التحديد المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت. العثور على كثيرة الحدود فيما يتعلق بمتغير للمعادلة التربيعية المصفوفات، كتعريف المعادلة المميزة للمصفوفة، شائع من الناحية النظرية المصفوفات. معنى جذور كثير الحدود المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتتستخدم لتحديد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لـ المصفوفات. علاوة على ذلك، إذا كان المحدد المصفوفاتسيكون مساوياً للصفر، إذن المعادلة المميزة للمصفوفةسيظل موجودا، على عكس العكس المصفوفات. من أجل الحساب المعادلة المميزة للمصفوفةأو ابحث عن عدة في وقت واحد مصفوفات المعادلات المميزة، تحتاج إلى قضاء الكثير من الوقت والجهد، بينما سيجد خادمنا ذلك في غضون ثوانٍ المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت. في هذه الحالة الجواب على إيجاد المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتسوف تكون صحيحة وبدقة كافية، حتى لو كانت الأرقام عند العثور عليها المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتسيكون غير عقلاني. في الموقع www.siteيُسمح بإدخالات الأحرف في العناصر المصفوفات، إنه المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتيمكن تمثيلها بشكل رمزي عام عند الحساب المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت. من المفيد التحقق من الإجابة التي تم الحصول عليها عند حل مشكلة البحث المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتباستخدام الموقع www.site. عند إجراء عملية حساب كثير الحدود - المعادلة المميزة للمصفوفة، عليك أن تكون حذرًا ومركزًا للغاية عند حل هذه المشكلة. بدوره، سيساعدك موقعنا على التحقق من قرارك بشأن الموضوع المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت. إذا لم يكن لديك الوقت لإجراء فحوصات طويلة للمشكلات التي تم حلها، إذن www.siteستكون بالتأكيد أداة ملائمة للتحقق عند البحث والحساب المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت.

المتجه الذاتي لمصفوفة مربعة هو الذي عند ضربه في مصفوفة معينة ينتج عنه متجه خطي متداخل. بكلمات بسيطة، عندما يتم ضرب المصفوفة بمتجه ذاتي، يظل الأخير كما هو، ولكن مضروبًا في عدد معين.

تعريف

المتجه الذاتي هو متجه غير صفري V، والذي، عند ضربه في مصفوفة مربعة M، يصبح هو نفسه زائدًا ببعض الأرقام LA. في التدوين الجبري يبدو كما يلي:

م × الخامس = × × الخامس،

حيث α هي القيمة الذاتية للمصفوفة M.

دعونا نلقي نظرة على مثال رقمي. ولتسهيل التسجيل، سيتم فصل الأرقام الموجودة في المصفوفة بفاصلة منقوطة. دعونا نحصل على مصفوفة:

• م = 0؛ 4؛
• 6; 10.

دعونا نضربه في متجه العمود:

• الخامس = -2؛

عندما نضرب مصفوفة في متجه عمود، نحصل أيضًا على متجه عمود. في اللغة الرياضية الصارمة، ستبدو صيغة ضرب مصفوفة 2 × 2 بمتجه عمود كما يلي:

• م × الخامس = م11 × V11 + م12 × V21؛
• م21 × ف11 + م22 × ف21.

M11 يعني عنصر المصفوفة M الموجود في الصف الأول والعمود الأول، وM22 يعني العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثاني. بالنسبة لمصفوفتنا، هذه العناصر تساوي M11 = 0، M12 = 4، M21 = 6، M22 10. بالنسبة لمتجه العمود، هذه القيم تساوي V11 = –2، V21 = 1. وفقًا لهذه الصيغة، نحصل على النتيجة التالية لمنتج المصفوفة المربعة بواسطة المتجه:

• م × الخامس = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4؛
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

للراحة، دعونا نكتب متجه العمود في صف واحد. لذا، قمنا بضرب المصفوفة المربعة في المتجه (-2; 1)، مما أدى إلى الحصول على المتجه (4;-2). من الواضح أن هذا هو نفس المتجه مضروبًا في lect = -2. تشير لامدا في هذه الحالة إلى القيمة الذاتية للمصفوفة.

إن المتجهات الذاتية للمصفوفة هي متجهة خطية متداخلة، أي كائن لا يغير موضعه في الفضاء عند ضربه بمصفوفة. يشبه مفهوم العلاقة الخطية المتداخلة في الجبر المتجه مصطلح التوازي في الهندسة. في التفسير الهندسي، المتجهات الخطية هي مقاطع موجهة متوازية ذات أطوال مختلفة. منذ زمن إقليدس، ونحن نعلم أن السطر الواحد يحتوي على عدد لا حصر له من الخطوط الموازية له، لذلك فمن المنطقي أن نفترض أن كل مصفوفة لديها عدد لا حصر له من المتجهات الذاتية.

يتضح من المثال السابق أن المتجهات الذاتية يمكن أن تكون (-8؛ 4)، و(16؛ -8)، و(32، -16). هذه كلها متجهات خطية متداخلة تقابل القيمة الذاتية lect = -2. عند ضرب المصفوفة الأصلية في هذه المتجهات، سنحصل في النهاية على متجه يختلف عن المصفوفة الأصلية مرتين. لهذا السبب، عند حل مشاكل العثور على ناقل ذاتي، من الضروري العثور على كائنات متجهة مستقلة خطيًا فقط. في أغلب الأحيان، بالنسبة لمصفوفة n × n، يوجد عدد n من المتجهات الذاتية. تم تصميم الآلة الحاسبة الخاصة بنا لتحليل المصفوفات المربعة من الدرجة الثانية، لذلك ستجد النتيجة دائمًا متجهين ذاتيين، باستثناء الحالات التي يتطابقان فيها.

في المثال أعلاه، عرفنا المتجهات الذاتية للمصفوفة الأصلية مسبقًا وحددنا رقم لامدا بوضوح. ومع ذلك، في الممارسة العملية، كل شيء يحدث في الاتجاه المعاكس: يتم العثور على القيم الذاتية أولاً وبعد ذلك فقط يتم العثور على المتجهات الذاتية.

خوارزمية الحل

دعونا نلقي نظرة على المصفوفة الأصلية M مرة أخرى ونحاول العثور على كلا من متجهيها الذاتيين. لذلك تبدو المصفوفة كما يلي:

• م = 0؛ 4؛
• 6; 10.

نحتاج أولًا إلى تحديد القيمة الذاتية، والتي تتطلب حساب محدد المصفوفة التالية:

• (0 - )؛ 4؛
• 6؛ (10 - π).

يتم الحصول على هذه المصفوفة بطرح المجهول π من العناصر الموجودة على القطر الرئيسي. يتم تحديد المحدد باستخدام الصيغة القياسية:

• ديتا = M11 × M21 - M12 × M22
• ديتا = (0 − ) × (10 − ) − 24

وبما أن المتجه يجب أن يكون غير صفر، فإننا نقبل المعادلة الناتجة باعتبارها تابعة خطيًا ونساوي المحدد لدينا بالصفر.

(0 − ) × (10 − ) − 24 = 0

دعونا نفتح الأقواس ونحصل على المعادلة المميزة للمصفوفة:

2 − 10 − 24 = 0

هذه معادلة تربيعية قياسية ويجب حلها باستخدام المميز.

د = ب 2 − 4أ = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

جذر المميز هو sqrt(D) = 14، وبالتالي lect1 = -2، lect2 = 12. الآن لكل قيمة لامدا نحتاج إلى إيجاد المتجه الذاتي. دعونا نعبر عن معاملات النظام لـ lect = -2.

• م −  × ه = 2; 4؛
• 6; 12.

في هذه الصيغة، E هي مصفوفة الهوية. بناءً على المصفوفة الناتجة، نقوم بإنشاء نظام من المعادلات الخطية:

2س + 4ص = 6س + 12ص،

حيث x و y هي العناصر الذاتية.

دعونا نجمع كل علامات X الموجودة على اليسار وكل علامات Y الموجودة على اليمين. من الواضح - 4س = 8ص. اقسم التعبير على - 4 واحصل على x = -2y. الآن يمكننا تحديد المتجهات الذاتية الأولى للمصفوفة، مع أخذ أي قيم للمجهول (تذكر اللانهاية للمتجهات الذاتية المعتمدة خطيًا). لنأخذ y = 1، ثم x = -2. ولذلك، فإن المتجهات الذاتية الأولى تبدو كالتالي: V1 = (–2; 1). العودة إلى بداية المقال. لقد كان هذا الكائن المتجه هو الذي ضربنا فيه المصفوفة لتوضيح مفهوم المتجهات الذاتية.

الآن دعونا نوجد المتجه الذاتي لـ lect = 12.

• م -  × ه = -12؛ 4
• 6; -2.

دعونا ننشئ نفس نظام المعادلات الخطية؛

• -12س + 4ص = 6س − 2ص
• -18س = -6ص
• 3س = ص.

الآن نأخذ x = 1، وبالتالي y = 3. وبالتالي، يبدو المتجهات الذاتية الثانية مثل V2 = (1; 3). عند ضرب المصفوفة الأصلية بمتجه معين، ستكون النتيجة دائمًا نفس المتجه مضروبًا في 12. وهذا هو المكان الذي تنتهي فيه خوارزمية الحل. الآن أنت تعرف كيفية تحديد المتجهات الذاتية للمصفوفة يدويًا.

• محدد؛
• تتبع، أي مجموع العناصر على القطر الرئيسي؛
• rank، أي الحد الأقصى لعدد الصفوف/الأعمدة المستقلة خطيًا.

يعمل البرنامج وفق الخوارزمية المذكورة أعلاه، مما يختصر عملية الحل قدر الإمكان. من المهم الإشارة إلى أنه في البرنامج تم تحديد لامدا بالحرف "c". دعونا نلقي نظرة على مثال رقمي.

مثال لكيفية عمل البرنامج

دعونا نحاول تحديد المتجهات الذاتية للمصفوفة التالية:

• م = 5؛ 13؛
• 4; 14.

لندخل هذه القيم في خلايا الآلة الحاسبة ونحصل على الإجابة بالشكل التالي:

• رتبة المصفوفة: 2؛
• محدد المصفوفة: 18؛
• أثر المصفوفة: 19؛
• حساب المتجه الذاتي: c 2 − 19.00c + 18.00 (معادلة مميزة)؛
• حساب المتجهات الذاتية: 18 (قيمة لامدا الأولى)؛
• حساب المتجهات الذاتية: 1 (قيمة لامدا الثانية)؛
• نظام المعادلات للمتجه 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• نظام المعادلات للمتجه 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• المتجه الذاتي 1: (1; 1);
• المتجه الذاتي 2: (-3.25؛ 1).

وهكذا، حصلنا على اثنين من المتجهات الذاتية المستقلة خطيا.

خاتمة

يعد الجبر الخطي والهندسة التحليلية من المواضيع القياسية لأي تخصص هندسي جديد. إن العدد الكبير من المتجهات والمصفوفات أمر مرعب، ومن السهل ارتكاب الأخطاء في مثل هذه الحسابات المرهقة. سيسمح برنامجنا للطلاب بالتحقق من حساباتهم أو حل مشكلة العثور على ناقل ذاتي تلقائيًا. توجد آلات حاسبة أخرى للجبر الخطي في الكتالوج الخاص بنا؛ استخدمها في دراستك أو عملك.

"يحدد الجزء الأول الأحكام الضرورية إلى الحد الأدنى لفهم القياسات الكيميائية، ويحتوي الجزء الثاني على الحقائق التي تحتاج إلى معرفتها لفهم أعمق لأساليب التحليل متعدد المتغيرات. تم توضيح العرض التقديمي باستخدام الأمثلة الواردة في مصنف Excel Matrix.xls، والتي تصاحب هذه الوثيقة.

يتم وضع روابط الأمثلة في النص ككائنات Excel. هذه الأمثلة ذات طبيعة مجردة، ولا ترتبط بأي حال من الأحوال بمشكلات الكيمياء التحليلية. تمت مناقشة أمثلة واقعية لاستخدام جبر المصفوفة في القياسات الكيميائية في نصوص أخرى تغطي مجموعة متنوعة من تطبيقات القياس الكيميائي.

معظم القياسات التي يتم إجراؤها في الكيمياء التحليلية ليست مباشرة، ولكن غير مباشر. وهذا يعني أنه في التجربة، بدلاً من قيمة المادة التحليلية المطلوبة C (التركيز)، يتم الحصول على قيمة أخرى س(إشارة)، مرتبطة بـ C ولكنها لا تساويها، أي. س(ج) ≠ ج. كقاعدة عامة، نوع الاعتماد س(C) غير معروف، ولكن لحسن الحظ في الكيمياء التحليلية تكون معظم القياسات متناسبة. وهذا يعني أنه مع زيادة تركيز C في أمرات، إشارة X سوف تزيد بنفس المقدار، أي. س(أج) = فأس(ج). بالإضافة إلى ذلك، تكون الإشارات أيضًا إضافية، وبالتالي فإن الإشارة من العينة التي تحتوي على مادتين بتركيزات C 1 وC 2 ستكون مساوية لمجموع الإشارات من كل مكون، أي. س(ج1 + ج2) = س(ج1)+ س(ج2). التناسب والإضافة معا يعطيان الخطية. ويمكن إعطاء أمثلة كثيرة لتوضيح مبدأ الخطية، ولكن يكفي أن نذكر المثالين الأكثر وضوحا - اللوني والتحليل الطيفي. الميزة الثانية المتأصلة في تجربة الكيمياء التحليلية هي متعدد القنوات. تقوم المعدات التحليلية الحديثة بقياس الإشارات للعديد من القنوات في نفس الوقت. على سبيل المثال، يتم قياس شدة انتقال الضوء لعدة أطوال موجية في وقت واحد، أي. يتراوح. لذلك، في التجربة نتعامل مع العديد من الإشارات س 1 , س 2 ,...., س n، التي تميز مجموعة التركيزات C 1 , C 2 , ..., C m من المواد الموجودة في النظام قيد الدراسة.

أرز. 1 أطياف

لذلك، تتميز التجربة التحليلية بالخطية وتعدد الأبعاد. ولذلك، فمن الملائم اعتبار البيانات التجريبية كمتجهات ومصفوفات ومعالجتها باستخدام جهاز جبر المصفوفات. يتم توضيح جدوى هذا النهج من خلال المثال الموضح في، والذي يعرض ثلاثة أطياف مأخوذة عند 200 طول موجي من 4000 إلى 4796 سم −1. أولاً ( س 1) والثانية ( س 2) تم الحصول على الأطياف للعينات القياسية التي تُعرف فيها تركيزات مادتين A وB: في العينة الأولى [A] = 0.5، [B] = 0.1، وفي العينة الثانية [A] = 0.2، [ ب] = 0.6. ماذا يمكن أن يقال عن عينة جديدة غير معروفة يشار إلى طيفها س 3 ?

دعونا نفكر في ثلاثة أطياف تجريبية س 1 , س 2 و س 3 كثلاثة متجهات للبعد 200. باستخدام الجبر الخطي، يمكن للمرء بسهولة إظهار ذلك س 3 = 0.1 س 1 +0.3 س 2، لذلك من الواضح أن العينة الثالثة تحتوي فقط على المادتين A وB بتركيزات [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 و[B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.

1. المعلومات الأساسية

1.1 المصفوفات

مصفوفةيسمى جدول مستطيل من الأرقام، على سبيل المثال

أرز. 2 مصفوفة

يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف كبيرة وعريضة ( أ)، وعناصرها - من خلال الحروف الصغيرة المقابلة للمؤشرات، أي. أاي جاي. الفهرس الأول يقوم بترقيم الصفوف، والثاني - الأعمدة. في القياس الكيميائي، من المعتاد الإشارة إلى القيمة القصوى للمؤشر بنفس حرف المؤشر نفسه، ولكن بأحرف كبيرة. لذلك المصفوفة أيمكن كتابتها أيضًا كـ ( أ اي جاي , أنا = 1,..., أنا; ي = 1,..., ج). بالنسبة لمصفوفة المثال أنا = 4, ج= 3 و أ 23 = −7.5.

زوج من الأرقام أناو جيسمى البعد المصفوفة ويشار إليه باسم أنا× ج. مثال على المصفوفة في القياسات الكيميائية هو مجموعة من الأطياف التي تم الحصول عليها أناعينات ل جالأطوال الموجية.

1.2. أبسط العمليات على المصفوفات

يمكن أن تكون المصفوفات اضرب بالأرقام. في هذه الحالة، يتم ضرب كل عنصر بهذا الرقم. على سبيل المثال -

أرز. 3 ضرب المصفوفة بعدد

يمكن أن تكون مصفوفتان لهما نفس البعد عنصرًا بعنصر يطوىو طرح او خصم. على سبيل المثال،

أرز. 4 إضافة مصفوفة

نتيجة الضرب بعدد والجمع يتم الحصول على مصفوفة من نفس البعد.

المصفوفة الصفرية هي مصفوفة تتكون من أصفار. تم تعيينه يا. من الواضح أن أ+يا = أ, أ−أ = ياو 0 أ = يا.

يمكن أن تكون المصفوفة تبديل موضع. خلال هذه العملية، يتم قلب المصفوفة، أي. يتم تبديل الصفوف والأعمدة. تتم الإشارة إلى النقل بواسطة أولية ، أ"أو الفهرس أر. وهكذا إذا أ = {أ اي جاي , أنا = 1,..., أنا; ي = 1,...,ج)، الذي - التي أر = ( أ جي , ي = 1,...,ج; ط = 1،...، أنا). على سبيل المثال

أرز. 5 تبديل المصفوفة

من الواضح أن ( أر) ر = أ, (أ+ب) ر = أر+ بر.

1.3. ضرب المصفوفة

يمكن أن تكون المصفوفات تتضاعفولكن فقط إذا كانت ذات أبعاد مناسبة. لماذا هذا سوف يكون واضحا من التعريف. منتج المصفوفة أ، البعد أنا× ك، والمصفوفات ب، البعد ك× ج، تسمى مصفوفة ج، البعد أنا× ج، وعناصرها أرقام

وهكذا بالنسبة للمنتج أ.بفمن الضروري أن عدد الأعمدة في المصفوفة اليسرى أكان يساوي عدد الصفوف في المصفوفة اليمنى ب. مثال على منتج المصفوفة -

الشكل 6: منتج المصفوفات

يمكن صياغة قاعدة ضرب المصفوفات على النحو التالي. للعثور على عنصر المصفوفة ج، واقفاً عند التقاطع أنا- السطر و يالعمود العاشر ( ج اي جاي) يجب ضرب عنصر بعنصر أنا-الصف من المصفوفة الأولى أعلى يالعمود الرابع من المصفوفة الثانية بوجمع كل النتائج. لذلك في المثال الموضح، يتم الحصول على عنصر من الصف الثالث والعمود الثاني كمجموع منتجات الصف الثالث من حيث العناصر أوالعمود الثاني ب

الشكل 7: عنصر منتج المصفوفات

يعتمد منتج المصفوفات على الترتيب، أي. أ.ب ≠ بكالوريوس.، على الأقل لأسباب الأبعاد. يقولون أنه غير تبادلي. ومع ذلك، فإن منتج المصفوفات هو ترابطي. هذا يعني انه اي بي سي = (أ.ب)ج = أ(قبل الميلاد). بالإضافة إلى ذلك، فهي أيضًا توزيعية، أي. أ(ب+ج) = أ.ب+مكيف الهواء. من الواضح أن أ.و. = يا.

1.4. المصفوفات المربعة

إذا كان عدد أعمدة المصفوفة يساوي عدد صفوفها ( أنا = ي = ن)، فإن هذه المصفوفة تسمى مربع. في هذا القسم سننظر فقط في هذه المصفوفات. ومن بين هذه المصفوفات يمكن تمييز المصفوفات ذات الخصائص الخاصة.

أعزبمصفوفة (المشار إليها أنا،وأحيانا ه) هي مصفوفة تكون جميع عناصرها مساوية للصفر، باستثناء العناصر القطرية التي تساوي 1، أي.

بوضوح منظمة العفو الدولية. = I ل. = أ.

تسمى المصفوفة قطري، إذا كانت جميع عناصره باستثناء العناصر القطرية ( أ ثانيا) تساوي الصفر. على سبيل المثال

أرز. 8 مصفوفة قطرية

مصفوفة أدعا الأعلى الثلاثي، إذا كانت جميع عناصره الواقعة تحت القطر تساوي الصفر، أي. أ اي جاي= 0، في أنا>ي. على سبيل المثال

أرز. 9 المصفوفة الثلاثية العليا

يتم تعريف المصفوفة المثلثية السفلية بالمثل.

مصفوفة أمُسَمًّى متماثل، لو أر = أ. بعبارة أخرى أ اي جاي = أ جي. على سبيل المثال

أرز. 10 مصفوفة متماثلة

مصفوفة أمُسَمًّى متعامد، لو

أر أ = أ.أ.ر = أنا.

تسمى المصفوفة طبيعيلو

1.5. التتبع والمحدد

التاليمصفوفة مربعة أ(يُشار إليه بواسطة Tr( أ) أو س( أ)) هو مجموع عناصره القطرية،

على سبيل المثال،

أرز. 11 تتبع المصفوفة

من الواضح أن

س (α أ) = α س( أ) و

س ( أ+ب) = س( أ)+ س( ب).

يمكن أن يظهر ذلك

س ( أ) = س( أر)، س ( أنا) = ن,

وأيضا ذلك

س ( أ.ب) = س( بكالوريوس.).

هناك سمة أخرى مهمة للمصفوفة المربعة وهي المحدد(يشار إليه بـ( أ)). تحديد المحدد في الحالة العامة أمر صعب للغاية، لذلك سنبدأ بالخيار الأبسط - المصفوفة أالبعد (2×2). ثم

بالنسبة للمصفوفة (3×3) فإن المحدد سيكون مساوياً لها

في حالة المصفوفة ( ن× ن) يتم حساب المحدد كمجموع 1·2·3· ... · ن= ن! حيث أن كل منها متساوي

الفهارس ك 1 , ك 2 ,..., ك نيتم تعريفها على أنها جميع التباديلات المرتبة الممكنة صالأرقام في المجموعة (1، 2، ...، ن). يعد حساب محدد المصفوفة إجراءً معقدًا يتم تنفيذه عمليًا باستخدام برامج خاصة. على سبيل المثال،

أرز. 12 محدد المصفوفة

دعونا نلاحظ فقط الخصائص الواضحة:

ديت ( أنا) = 1، ديت ( أ) = ديت( أر)،

ديت ( أ.ب) = ديت( أ)حذف( ب).

1.6. ثلاثة أبعاد

إذا كانت المصفوفة تتكون من عمود واحد فقط ( ج= 1)، ثم يتم استدعاء مثل هذا الكائن المتجه. بتعبير أدق، ناقل العمود. على سبيل المثال

يمكن للمرء أيضًا اعتبار المصفوفات التي تتكون من صف واحد، على سبيل المثال

هذا الكائن هو أيضًا ناقل، ولكن ناقلات التوالي. عند تحليل البيانات، من المهم أن نفهم المتجهات التي نتعامل معها - الأعمدة أو الصفوف. لذلك يمكن اعتبار الطيف المأخوذ لعينة واحدة بمثابة متجه صف. ثم ينبغي التعامل مع مجموعة الكثافات الطيفية عند طول موجي معين لجميع العينات على أنها متجه عمود.

البعد المتجه هو عدد عناصره.

من الواضح أنه يمكن تحويل أي متجه عمود إلى متجه صف عن طريق التبديل، أي.

في الحالات التي لم يتم فيها تحديد شكل المتجه بشكل محدد، ولكن يُقال ببساطة أنه متجه، فإن ذلك يعني متجه عمود. سوف نلتزم أيضًا بهذه القاعدة. تتم الإشارة إلى المتجه بحرف صغير ومستقيم وعريض. المتجه الصفري هو متجه جميع عناصره صفر. تم تعيينه 0 .

1.7. أبسط العمليات مع المتجهات

يمكن جمع المتجهات وضربها بالأرقام بنفس طريقة المصفوفات. على سبيل المثال،

أرز. 13 العمليات مع المتجهات

اثنين من المتجهات سو ذوتسمى خطي، إذا كان هناك رقم α هكذا

1.8. منتجات المتجهات

متجهان من نفس البعد نيمكن أن تتضاعف. يجب أن يكون هناك ناقلان س = (س 1 , س 2 ,...,سن)ر و ذ = (ذ 1 , ذ 2 ,...,ذن) ر . مسترشدين بقاعدة الضرب صفًا بعمود، يمكننا تكوين منتجين منهما: سر ذو xyر. اول عمل

مُسَمًّى العدديةأو داخلي. نتيجته رقم. ويشار إليه أيضًا بـ ( س,ذ)= سر ذ. على سبيل المثال،

أرز. 14 المنتج الداخلي (العددي).

القطعة الثانية

مُسَمًّى خارجي. والنتيجة هي مصفوفة البعد ( ن× ن). على سبيل المثال،

أرز. 15 عمل خارجي

تسمى المتجهات التي يكون حاصل ضربها القياسي صفرًا متعامد.

1.9. قاعدة المتجهات

يُطلق على المنتج العددي للمتجه مع نفسه اسم المربع العددي. هذه القيمة

يحدد مربع طولالمتجه س. للإشارة إلى الطول (وتسمى أيضًا القاعدةالمتجه) يتم استخدام الترميز

على سبيل المثال،

أرز. 16 قاعدة المتجهات

متجه طول الوحدة (|| س|| = 1) يسمى تطبيع. ناقل غير صفري ( س ≠ 0 ) يمكن تطبيعها بتقسيمها على الطول، أي. س = ||س|| (س/||س||) = ||س|| ه. هنا ه = س/||س|| - ناقلات تطبيع.

تسمى المتجهات متعامدة إذا كانت جميعها طبيعية ومتعامدة بشكل زوجي.

1.10. الزاوية بين المتجهات

المنتج العددي يحدد و ركنφ بين ناقلين سو ذ

إذا كانت المتجهات متعامدة، فإن cosφ = 0 و φ = π/2، وإذا كانت على خط مستقيم، فإن cosφ = 1 و φ = 0.

1.11. تمثيل المتجهات للمصفوفة

كل مصفوفة أمقاس أنا× جيمكن تمثيلها كمجموعة من المتجهات

هنا كل ناقلات أ ييكون يالعمود العاشر ومتجه الصف ب أنايكون أناالصف العاشر من المصفوفة أ

1.12. المتجهات المعتمدة خطياً

ناقلات من نفس البعد ( ن) يمكن جمعها وضربها برقم، تمامًا مثل المصفوفات. ستكون النتيجة متجهًا بنفس البعد. يجب أن يكون هناك عدة نواقل لها نفس البعد س 1 , س 2 ,...,س K ونفس عدد الأرقام α α 1 , α 2 ,...,α ك. المتجه

ذ= α 1 س 1 + ألفا 2 س 2 +...+ أ ك س ك

مُسَمًّى تركيبة خطيةثلاثة أبعاد س ك .

إذا كان هناك مثل هذه الأرقام غير الصفرية α ك ≠ 0, ك = 1,..., ك، ماذا ذ = 0 ، ثم هذه المجموعة من المتجهات س كمُسَمًّى تعتمد خطيا. خلاف ذلك، تسمى المتجهات مستقلة خطيا. على سبيل المثال، المتجهات س 1 = (2، 2)ر و س 2 = (−1, −1) t يعتمدان خطيًا، لأن س 1 +2س 2 = 0

1.13. رتبة المصفوفة

النظر في مجموعة من كثلاثة أبعاد س 1 , س 2 ,...,س كأبعاد ن. رتبة هذا النظام من المتجهات هي الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا. على سبيل المثال في المجموعة

على سبيل المثال، لا يوجد سوى متجهين مستقلين خطيا س 1 و س 2، لذا فإن رتبته هي 2.

من الواضح أنه إذا كان عدد المتجهات في المجموعة أكبر من أبعادها ( ك>ن)، فإنهم بالضرورة يعتمدون خطيًا.

رتبة المصفوفة(يشار إليه بالرتبة( أ)) هي رتبة نظام المتجهات الذي يتكون منه. على الرغم من أنه يمكن تمثيل أي مصفوفة بطريقتين (متجهات الأعمدة أو الصفوف)، إلا أن هذا لا يؤثر على قيمة الترتيب، لأن

1.14. مصفوفة معكوسة

مصفوفة مربعة أويسمى غير منحط إذا كان له فريدة يعكسمصفوفة أ-1، تحددها الشروط

أ.أ. −1 = أ −1 أ = أنا.

المصفوفة العكسية غير موجودة في جميع المصفوفات. الشرط الضروري والكافي لعدم الانحطاط هو

ديت ( أ) ≠ 0 أو الرتبة( أ) = ن.

يعد انعكاس المصفوفة إجراءً معقدًا توجد به برامج خاصة. على سبيل المثال،

أرز. 17 انعكاس المصفوفة

دعونا نقدم الصيغ لأبسط حالة - مصفوفة 2 × 2

إذا المصفوفات أو بفهي غير منحطة، ثم

(أ.ب) −1 = ب −1 أ −1 .

1.15. مصفوفة عكسية زائفة

إذا مصفوفة أمفرد والمصفوفة العكسية غير موجودة، وفي بعض الحالات يمكنك استخدامها معكوس زائفالمصفوفة، والتي يتم تعريفها على أنها مصفوفة أ+ ذلك

أ.أ. + أ = أ.

المصفوفة العكسية الكاذبة ليست الوحيدة ويعتمد شكلها على طريقة بنائها. على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة المستطيلة، يمكنك استخدام طريقة مور-بنروز.

إذا كان عدد الأعمدة أقل من عدد الصفوف

أ + =(أر أ) −1 أر

على سبيل المثال،

أرز. 17a الانقلاب الزائف للمصفوفة

إذا كان عدد الأعمدة أكبر من عدد الصفوف

أ + =أر ( أ.أ.ر) −1

1.16. ضرب المتجه بمصفوفة

المتجه سيمكن ضربها بمصفوفة أحجم مناسب. في هذه الحالة، يتم ضرب متجه العمود على اليمين فأس، والصف المتجه على اليسار سر أ. إذا كان البعد ناقلات ج، والبعد المصفوفة أنا× جفإن النتيجة ستكون متجه البعد أنا. على سبيل المثال،

أرز. 18 ضرب المتجه بمصفوفة

إذا مصفوفة أ- مربع ( أنا× أنا)، ثم المتجه ذ = فأسله نفس البعد س. من الواضح أن

أ(أ 1 س 1 + ألفا 2 س 2) = α 1 فأس 1 + ألفا 2 فأس 2 .

ولذلك، يمكن اعتبار المصفوفات بمثابة تحويلات خطية للمتجهات. بخاصة التاسع = س, ثور = 0 .

2. معلومات إضافية

2.1. أنظمة المعادلات الخطية

يترك أ- حجم المصفوفة أنا× ج، أ ب- ناقل البعد ج. خذ بعين الاعتبار المعادلة

فأس = ب

نسبة إلى المتجه س، أبعاد أنا. في الأساس، هو نظام أناالمعادلات الخطية مع جمجهول س 1 ,...,س ج. الحل موجود إذا وفقط إذا

رتبة( أ) = الرتبة( ب) = ر,

أين بهي مصفوفة موسعة للأبعاد أنا×( ي+1)، تتكون من مصفوفة أ، مكملاً بعمود ب, ب = (أ ب). وإلا فإن المعادلات غير متناسقة.

لو ر = أنا = ج، فالحل فريد

س = أ −1 ب.

لو ر < أنا، فهناك العديد من الحلول المختلفة التي يمكن التعبير عنها من خلال مجموعة خطية ج−رثلاثة أبعاد. نظام المعادلات المتجانسة فأس = 0 مع مصفوفة مربعة أ (ن× ن) لديه حل غير بديهي ( س ≠ 0 ) إذا وفقط إذا ديت( أ) = 0. إذا ر= الرتبة( أ)<ن، ثم هناك ن−رحلول مستقلة خطيا.

2.2. الأشكال الثنائية والتربيعية

لو أهي مصفوفة مربعة، و سو ذ- متجه البعد المقابل، ثم المنتج القياسي للنموذج سر نعممُسَمًّى خطينالنموذج المحدد بواسطة المصفوفة أ. في س = ذتعبير سر فأسمُسَمًّى من الدرجة الثانيةاستمارة.

2.3. مصفوفات محددة إيجابية

مصفوفة مربعة أمُسَمًّى إيجابية محددة، إذا كان لأي ناقل غير صفري س ≠ 0 ,

سر فأس > 0.

محددة بالمثل سلبي (سر فأس < 0), غير سلبي (سر فأس≥ 0) و سلبي (سر فأس≥ 0) مصفوفات معينة.

2.4. التحلل تشوليسكي

إذا كانت المصفوفة متماثلة أإيجابية محددة، ثم هناك مصفوفة ثلاثية فريدة من نوعها شمع العناصر الإيجابية، والتي

أ = شر ش.

على سبيل المثال،

أرز. 19 التحلل تشوليسكي

2.5. التحلل القطبي

يترك أهي مصفوفة مربعة غير مفردة البعد ن× ن. ثم هناك فريدة من نوعها القطبيةأداء

أ = ريال سعودى.

أين سهي مصفوفة متماثلة غير سلبية، و رهي مصفوفة متعامدة. المصفوفات سو ريمكن تعريفها بوضوح:

س 2 = أ.أ.ر أو س = (أ.أ.ر) ½ و ر = س −1 أ = (أ.أ.ر) -½ أ.

على سبيل المثال،

أرز. 20 التحلل القطبي

إذا مصفوفة أكان منحطاً، فإن التحلل ليس فريداً - وهي: سما زلت وحيدا، ولكن رربما كثيرا. يمثل التحلل القطبي المصفوفة أكمزيج من الضغط/التمديد سو التف ر.

2.6. المتجهات الذاتية والقيم الذاتية

يترك أهي مصفوفة مربعة. المتجه الخامسمُسَمًّى eigenvectorالمصفوفات أ، لو

شارع = λ الخامس,

حيث يتم استدعاء الرقم القيمة الذاتيةالمصفوفات أ. وبالتالي، فإن التحول الذي تقوم به المصفوفة أفوق المتجه الخامس، يتلخص في التمدد أو الضغط البسيط بمعامل LA. يتم تحديد المتجه الذاتي حتى الضرب بواسطة ثابت α ≠ 0، أي. لو الخامسهو متجه ذاتي، ثم α الخامس- أيضًا ناقل ذاتي.

2.7. القيم الذاتية

في المصفوفة أ، البعد ( ن× ن) لا يمكن أن يكون أكثر من نالقيم الذاتية. يرضون معادلة مميزة

ديت ( أ − λ أنا) = 0,

وهي معادلة جبرية ن- الترتيب. على وجه الخصوص، بالنسبة للمصفوفة 2×2، تكون المعادلة المميزة بالشكل

على سبيل المثال،

أرز. 21 القيم الذاتية

مجموعة من القيم الذاتية ​​Â 1 ,..., α نالمصفوفات أمُسَمًّى نطاق أ.

الطيف له خصائص مختلفة. بخاصة

ديت ( أ) = lect 1 ×...× lect ن،سب( أ) =  1 +...+ ن.

يمكن أن تكون القيم الذاتية للمصفوفة التعسفية أرقامًا معقدة، ولكن إذا كانت المصفوفة متماثلة ( أر = أ)، فإن قيمها الذاتية حقيقية.

2.8. المتجهات الذاتية

في المصفوفة أ، البعد ( ن× ن) لا يمكن أن يكون أكثر من نالمتجهات الذاتية، كل منها يتوافق مع قيمته الذاتية. لتحديد المتجهات الذاتية الخامس نالحاجة إلى حل نظام المعادلات المتجانسة

(أ − λ ن أنا)الخامس ن = 0 .

لديها حل غير تافه، منذ ديت ( أ -λ ن أنا) = 0.

على سبيل المثال،

أرز. 22 ناقلات ذاتية

المتجهات الذاتية للمصفوفة المتماثلة متعامدة.