معادلة الظل هي: مماس للرسم البياني للدالة عند نقطة ما

المماس هو خط مستقيم ، الذي يلامس الرسم البياني للدالة عند نقطة واحدة وجميع نقاطها تقع على أقصر مسافة من الرسم البياني للدالة. لذلك، يمر الظل مماسًا للرسم البياني للدالة عند زاوية معينة، ولا يمكن للعديد من الظلال بزوايا مختلفة المرور عبر نقطة التماس. يتم إنشاء معادلات الظل والمعادلات العادية للرسم البياني للدالة باستخدام المشتق.

معادلة الظل مشتقة من المعادلة الخطية .

دعونا نشتق معادلة المماس، ثم معادلة العمودي على الرسم البياني للدالة.

ذ = kx + ب .

فيه ك- المعامل الزاوي.

ومن هنا نحصل على الإدخال التالي:

ذ - ذ 0 = ك(س - س 0 ) .

قيمة مشتقة F "(س 0 ) المهام ذ = F(س) عند هذه النقطة س0 يساوي المنحدر ك= تيراغرام φ مماس للرسم البياني للدالة المرسومة من خلال نقطة م0 (س 0 , ذ 0 ) ، أين ذ0 = F(س 0 ) . هذا هو المعنى الهندسي للمشتق .

وهكذا يمكننا أن نستبدل كعلى F "(س 0 ) والحصول على ما يلي معادلة المماس للرسم البياني للدالة :

ذ - ذ 0 = F "(س 0 )(س - س 0 ) .

في المسائل التي تتضمن تكوين معادلة مماس للرسم البياني للدالة (وسننتقل إليها قريبًا)، يلزم تقليل المعادلة التي تم الحصول عليها من الصيغة أعلاه إلى معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة. للقيام بذلك، تحتاج إلى نقل جميع الحروف والأرقام إلى الجانب الأيسر من المعادلة، وترك الصفر على الجانب الأيمن.

الآن عن المعادلة العادية. طبيعي - هذا خط مستقيم يمر عبر نقطة التماس إلى الرسم البياني للدالة المتعامدة مع الظل. معادلة عادية :

(س - س 0 ) + F "(س 0 )(ذ - ذ 0 ) = 0

للإحماء، يطلب منك حل المثال الأول بنفسك، ثم النظر إلى الحل. هناك كل الأسباب التي تجعلنا نأمل في ألا تكون هذه المهمة بمثابة "دش بارد" لقرائنا.

مثال 0.أنشئ معادلة ظل ومعادلة عادية للرسم البياني للدالة عند نقطة ما م (1, 1) .

مثال 1.اكتب معادلة الظل والمعادلة العادية للتمثيل البياني للدالة ، إذا كان الإحداثي مماسا.

لنجد مشتقة الدالة:

الآن لدينا كل ما يلزم استبداله في الإدخال الوارد في المساعدة النظرية للحصول على معادلة الظل. نحن نحصل

في هذا المثال، كنا محظوظين: تبين أن الميل يساوي صفرًا، لذلك لم تكن هناك حاجة لاختزال المعادلة بشكل منفصل إلى شكلها العام. الآن يمكننا إنشاء المعادلة العادية:

في الشكل أدناه: الرسم البياني للدالة باللون العنابي، والظل باللون الأخضر، والعمودي باللون البرتقالي.

المثال التالي ليس معقدًا أيضًا: الوظيفة، كما في المثال السابق، هي أيضًا متعددة الحدود، لكن المنحدر لن يساوي الصفر، لذلك ستتم إضافة خطوة أخرى - وبذلك تصل المعادلة إلى شكل عام.

مثال 2.

حل. لنجد إحداثيات نقطة الظل:

لنجد مشتقة الدالة:

.

دعونا نوجد قيمة المشتقة عند نقطة التماس، أي ميل المماس:

نستبدل جميع البيانات التي تم الحصول عليها في "الصيغة الفارغة" ونحصل على معادلة الظل:

نعيد المعادلة إلى شكلها العام (نجمع كل الحروف والأرقام غير الصفر في الطرف الأيسر، ونترك الصفر في الطرف الأيمن):

نحن نشكل المعادلة العادية:

مثال 3.اكتب معادلة المماس ومعادلة العمودي على التمثيل البياني للدالة إذا كان الإحداثي الإحداثي هو نقطة التماس.

حل. لنجد إحداثيات نقطة الظل:

لنجد مشتقة الدالة:

.

دعونا نوجد قيمة المشتقة عند نقطة التماس، أي ميل المماس:

.

نجد معادلة الظل:

قبل إحضار المعادلة إلى شكلها العام، تحتاج إلى "تمشيطها" قليلاً: ضرب حد بحد في 4. نفعل ذلك ونعيد المعادلة إلى شكلها العام:

نحن نشكل المعادلة العادية:

مثال 4.اكتب معادلة المماس ومعادلة العمودي على التمثيل البياني للدالة إذا كان الإحداثي الإحداثي هو نقطة التماس.

حل. لنجد إحداثيات نقطة الظل:

.

لنجد مشتقة الدالة:

دعونا نوجد قيمة المشتقة عند نقطة التماس، أي ميل المماس:

.

نحصل على معادلة الظل:

ونأتي بالمعادلة إلى صورتها العامة:

نحن نشكل المعادلة العادية:

من الأخطاء الشائعة عند كتابة معادلات الظل والمعادلات العادية عدم ملاحظة أن الدالة الواردة في المثال معقدة وحساب مشتقتها على أنها مشتقة دالة بسيطة. الأمثلة التالية هي بالفعل من وظائف معقدة(سيتم فتح الدرس المقابل في نافذة جديدة).

مثال 5.اكتب معادلة المماس ومعادلة العمودي على التمثيل البياني للدالة إذا كان الإحداثي الإحداثي هو نقطة التماس.

حل. لنجد إحداثيات نقطة الظل:

انتباه! هذه الوظيفة معقدة، لأن وسيطة الظل (2 س) هي في حد ذاتها وظيفة. لذلك، نجد مشتقة الدالة كمشتقة دالة مركبة.

يوضح درس الفيديو "معادلة المماس للرسم البياني للدالة" المواد التعليمية لإتقان الموضوع. خلال درس الفيديو، يتم وصف المواد النظرية اللازمة لصياغة مفهوم معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند نقطة معينة، وخوارزمية للعثور على مثل هذا المماس، وأمثلة على حل المشكلات باستخدام المادة النظرية المدروسة .

يستخدم الفيديو التعليمي أساليب تعمل على تحسين وضوح المادة. يحتوي العرض التقديمي على رسومات ومخططات وتعليقات صوتية مهمة ورسوم متحركة وإبراز وأدوات أخرى.

يبدأ درس الفيديو بعرض تقديمي لموضوع الدرس وصورة مماس للرسم البياني لبعض الوظائف y=f(x) عند النقطة M(a;f(a)). ومن المعروف أن المعامل الزاوي للظل المرسوم على الرسم البياني عند نقطة معينة يساوي مشتقة الدالة f΄(a) عند هذه النقطة. ومن مقرر الجبر أيضاً نعرف معادلة الخط المستقيم y=kx+m. يتم تقديم حل مشكلة إيجاد معادلة الظل عند نقطة ما بشكل تخطيطي، مما يقلل من إيجاد المعاملات k، m. بمعرفة إحداثيات نقطة تنتمي إلى الرسم البياني للدالة، يمكننا إيجاد m عن طريق استبدال قيمة الإحداثيات في معادلة الظل f(a)=ka+m. ومنه نجد m=f(a)-ka. وبالتالي، بمعرفة قيمة المشتق عند نقطة معينة وإحداثيات النقطة، يمكننا تمثيل معادلة الظل بهذه الطريقة y=f(a)+f΄(a)(x-a).

ما يلي هو مثال على تكوين معادلة الظل باتباع الرسم التخطيطي. بالنظر إلى الدالة y=x 2 , x=-2. بأخذ a=-2، نجد قيمة الدالة عند نقطة معينة f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. نحدد مشتقة الدالة f΄(x)=2x. عند هذه النقطة يكون المشتق يساوي f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. لتكوين المعادلة، تم العثور على جميع المعاملات a=-2، f(a)=4، f΄(a)=-4، وبالتالي فإن معادلة الظل هي y=4+(-4)(x+2). بتبسيط المعادلة نحصل على y = -4-4x.

يقترح المثال التالي إنشاء معادلة للمماس عند نقطة الأصل للرسم البياني للدالة y=tgx. عند نقطة معينة a=0، f(0)=0، f΄(x)=1/cos 2 x، f΄(0)=1. لذا فإن معادلة الظل تبدو مثل y=x.

على سبيل التعميم، يتم إضفاء الطابع الرسمي على عملية تكوين معادلة مماسة للرسم البياني للدالة عند نقطة معينة في شكل خوارزمية تتكون من 4 خطوات:

• أدخل التعيين a لنقطة المماس؛
• يتم حساب f(a)؛
• يتم تحديد f΄(x) ويتم حساب f΄(a). يتم استبدال القيم الموجودة لـ a، f(a)، f΄(a) في صيغة معادلة الظل y=f(a)+f΄(a)(x-a).

يتناول المثال 1 تكوين معادلة الظل للرسم البياني للدالة y=1/x عند النقطة x=1. لحل المشكلة نستخدم خوارزمية. بالنسبة لدالة معينة عند النقطة a=1، قيمة الدالة f(a)=-1. مشتق الدالة f΄(x)=1/x 2. عند النقطة أ=1 المشتقة f΄(a)= f΄(1)=1. باستخدام البيانات التي تم الحصول عليها، يتم وضع معادلة الظل y=-1+(x-1)، أو y=x-2.

في المثال 2، من الضروري إيجاد معادلة المماس للرسم البياني للدالة y=x 3 +3x 2 -2x-2. الشرط الرئيسي هو توازي المماس والخط المستقيم y=-2x+1. أولاً، نوجد المعامل الزاوي للظل، والذي يساوي المعامل الزاوي للخط المستقيم y=-2x+1. بما أن f΄(a)=-2 لخط معين، فإن k=-2 للمماس المطلوب. نجد مشتقة الدالة (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. بمعرفة أن f΄(a)=-2، نجد إحداثيات النقطة 3a 2 +6a-2=-2. وبعد حل المعادلة، نحصل على 1 = 0، و2 = -2. باستخدام الإحداثيات التي تم العثور عليها، يمكنك العثور على معادلة الظل باستخدام خوارزمية معروفة. نجد قيمة الدالة عند النقاط f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. قيمة المشتق عند النقطة f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. باستبدال القيم الموجودة في معادلة الظل، نحصل على النقطة الأولى a 1 =0 y=-2x-2، وللنقطة الثانية a 2 =-2 معادلة الظل y=-2x-22.

يصف المثال 3 تركيب معادلة الظل لرسمها عند النقطة (0;3) إلى الرسم البياني للدالة y=√x. يتم الحل باستخدام خوارزمية معروفة. نقطة الظل لها إحداثيات x=a، حيث a>0. قيمة الدالة عند النقطة f(a)=√x. مشتق الدالة f΄(x)=1/2√x، وبالتالي عند نقطة معينة f΄(а)=1/2√а. باستبدال جميع القيم التي تم الحصول عليها في معادلة الظل، نحصل على y = √a + (x-a)/2√a. بتحويل المعادلة، نحصل على y=x/2√a+√a/2. بمعرفة أن المماس يمر بالنقطة (0;3)، نجد قيمة أ. نجد أ من 3=√a/2. وبالتالي √أ=6، أ=36. نجد معادلة الظل ص=س/12+3. يوضح الشكل الرسم البياني للوظيفة قيد النظر والظل المطلوب.

يتم تذكير الطلاب بالمساواة التقريبية Δy=≈f΄(x)Δx وf(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. بأخذ x=a، x+Δx=x، Δx=x-a، نحصل على f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a)، وبالتالي f(x)≈f(a)+ f΄( أ)(س-أ).

في المثال 4، من الضروري إيجاد القيمة التقريبية للتعبير 2.003 6. نظرًا لأنه من الضروري إيجاد قيمة الدالة f(x)=x 6 عند النقطة x=2.003، فيمكننا استخدام الصيغة المعروفة، مع أخذ f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. مشتق عند النقطة f΄(2)=192. لذلك، 2.003 6 ≈65-192·0.003. بعد حساب التعبير، نحصل على 2.003 6 ≈64.576.

يوصى باستخدام درس الفيديو "معادلة الظل للرسم البياني للدالة" في درس الرياضيات التقليدي في المدرسة. بالنسبة للمعلم الذي يقوم بالتدريس عن بعد، ستساعد مواد الفيديو في شرح الموضوع بشكل أكثر وضوحًا. يمكن التوصية بالفيديو للطلاب لمراجعته بشكل مستقل إذا لزم الأمر لتعميق فهمهم للموضوع.

فك تشفير النص:

نحن نعلم أنه إذا كانت النقطة M (a; f(a)) (em بإحداثيات a و ef من a) تنتمي إلى الرسم البياني للدالة y = f (x) وإذا كان من الممكن عند هذه النقطة رسم ظل إلى الرسم البياني للدالة التي ليست متعامدة مع محور الإحداثي السيني، فإن المعامل الزاوي للظل يساوي f"(a) (eff prime من a).

لنفترض أن الدالة y = f(x) والنقطة M (a; f(a)) معروفة أيضًا بوجود f´(a). لنقم بإنشاء معادلة لمماس الرسم البياني لدالة معينة عند نقطة معينة. هذه المعادلة، مثل معادلة أي خط مستقيم غير موازي للمحور الإحداثي، لها الصيغة y = kx+m (y يساوي ka x زائد em)، وبالتالي فإن المهمة هي إيجاد قيم المعاملات ك و م (كا و م)

معامل الزاوية k= f"(a). لحساب قيمة m، نستخدم حقيقة أن الخط المستقيم المطلوب يمر عبر النقطة M(a; f (a)). وهذا يعني أنه إذا قمنا باستبدال إحداثيات عند نقطة M في معادلة الخط المستقيم، نحصل على المساواة الصحيحة: f(a) = ka+m، حيث نجد أن m = f(a) - ka.

يبقى استبدال القيم الموجودة للمعاملات ki و m في معادلة الخط المستقيم:

y = kx+(f(a) -ka);

ص = و(أ)+ك(س-أ);

ذ= F(أ)+ F"(أ) (س- أ). ( y يساوي ef من زائد ef الرئيسي من a، مضروبًا في x ناقص a).

لقد حصلنا على معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = f(x) عند النقطة x=a.

إذا، على سبيل المثال، y = x 2 وx = -2 (أي a = -2)، إذن f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4؛ f´(x) = 2x، وهو ما يعني f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (ثم ef لـ a يساوي أربعة، ef لرأس العدد x يساوي اثنين x، وهو ما يعني ef الأولية من يساوي ناقص أربعة)

باستبدال القيم الموجودة a = -2، f(a) = 4، f"(a) = -4 في المعادلة، نحصل على: y = 4+(-4)(x+2)، أي y = -4x -4.

(E يساوي ناقص أربعة × ناقص أربعة)

لنقم بإنشاء معادلة لمماس الرسم البياني للدالة y = tanx (y يساوي المماس x) عند نقطة الأصل. لدينا: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= ، مما يعني f"(0) = l. باستبدال القيم الموجودة a=0، f(a)=0، f´(a) = 1 في المعادلة، نحصل على: y=x.

دعونا نلخص خطواتنا في إيجاد معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند النقطة x باستخدام خوارزمية.

خوارزمية لتطوير معادلة مماس الرسم البياني للدالة y = f(x):

1) قم بتعيين حدود نقطة المماس بالحرف أ.

2) احسب f (أ).

3) أوجد f´(x) واحسب f´(a).

4) عوّض بالأرقام الموجودة a، f(a)، f´(a) في الصيغة ذ= F(أ)+ F"(أ) (س- أ).

مثال 1. أنشئ معادلة لمماس الرسم البياني للدالة y = - in

النقطة س = 1.

حل. دعونا نستخدم الخوارزمية، مع الأخذ في الاعتبار ما في هذا المثال

2) و(أ)=و(1)=- =-1

3) و'(س)=; و'(أ)= و'(1)= =1.

4) عوض بالأرقام الثلاثة التي تم العثور عليها: a = 1، f(a) = -1، f"(a) = 1 في الصيغة. نحصل على: y = -1+(x-1)، y = x-2 .

الجواب: ص = س-2.

مثال 2. بالنظر إلى الدالة y = × 3 +3x 2 -2x-2. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = f(x) الموازي للخط المستقيم y = -2x +1.

باستخدام الخوارزمية لتكوين معادلة الظل، نأخذ في الاعتبار أنه في هذا المثال f(x) = × 3 +3x 2 -2x-2، ولكن لم تتم الإشارة هنا إلى حدود نقطة الظل.

دعونا نبدأ بالتفكير بهذه الطريقة. يجب أن يكون الظل المطلوب موازيا للخط المستقيم y = -2x+1. والخطوط المتوازية لها معاملات زوايا متساوية. هذا يعني أن المعامل الزاوي للظل يساوي المعامل الزاوي للخط المستقيم المعطى: k tangent. = -2. هوك كاس. = f"(a). وهكذا يمكننا إيجاد قيمة a من المعادلة f ´(a) = -2.

دعونا نجد مشتقة الدالة ص=F(س):

F"(س)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;F"(أ)= 3أ 2 +6أ-2.

من المعادلة f"(a) = -2، أي 3أ 2 +6أ-2=-2 نجد 1 = 0، 2 = -2. هذا يعني أن هناك مماسين يحققان شروط المشكلة: أحدهما عند النقطة ذات الإحداثي السيني 0، والآخر عند النقطة التي يوجد بها الإحداثي السيني -2.

الآن يمكنك اتباع الخوارزمية.

1) أ 1 = 0، و 2 = -2.

2) و(أ 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; و(أ2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) و"(أ 1) = و"(أ 2) = -2.

4) استبدال القيم a 1 = 0، f(a 1) = -2، f"(a 1) = -2 في الصيغة، نحصل على:

ص=-2-2(س-0)، ص=-2س-2.

باستبدال القيم a 2 = -2، f(a 2) =6، f"(a 2) = -2 في الصيغة، نحصل على:

ص=6-2(س+2)، ص=-2س+2.

الإجابة: ص=-2س-2، ص=-2س+2.

مثال 3. من النقطة (0؛ 3) ارسم مماسًا للرسم البياني للدالة y = . حل. دعونا نستخدم الخوارزمية لتكوين معادلة الظل، مع الأخذ في الاعتبار أنه في هذا المثال f(x) = . لاحظ أنه هنا، كما في المثال 2، لم تتم الإشارة بوضوح إلى الإحداثي الإحداثي لنقطة الظل. ومع ذلك، فإننا نتبع الخوارزمية.

1) دع x = a يكون حدًا لنقطة التماس؛ فمن الواضح أن >0.

3) و'(س)=()'=; و'(أ) =.

4) استبدال قيم a، f(a) = , f"(a) = في الصيغة

ص=و (أ) +و "(أ) (س-أ)، نحن نحصل:

بشرط أن يمر الظل بالنقطة (0 ؛ 3). بتعويض القيم x = 0، y = 3 في المعادلة، نحصل على: 3 = ، ثم =6، a =36.

كما ترون، في هذا المثال، فقط في الخطوة الرابعة من الخوارزمية تمكنا من العثور على حدود نقطة الظل. بالتعويض بالقيمة a =36 في المعادلة نحصل على: y=+3

في التين. يوضح الشكل 1 رسمًا توضيحيًا هندسيًا للمثال قيد النظر: تم إنشاء رسم بياني للدالة y =، ورسم خط مستقيم y = +3.

الجواب: ص = +3.

نحن نعلم أنه بالنسبة للدالة y = f(x)، التي لها مشتق عند النقطة x، تكون المساواة التقريبية صحيحة: Δyf´(x)Δx (دلتا y تساوي تقريبًا eff الرئيسي لـ x مضروبًا في delta x)

أو، بمزيد من التفصيل، f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff from x plus delta x ناقص ef from x يساوي تقريبًا ef prime من x بواسطة delta x).

لتسهيل إجراء مزيد من المناقشة، دعونا نغير الترميز:

بدلا من x سنكتب أ,

بدلاً من x+Δx سنكتب x

بدلا من Δx سنكتب x-a.

ثم المساواة التقريبية المكتوبة أعلاه سوف تأخذ الشكل:

و(خ)-و(أ)و'(أ)(س-أ)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (التأثير من x يساوي تقريبًا ef من زائد ef الرئيسي من a، مضروبًا في الفرق بين x وa).

مثال 4. أوجد القيمة التقريبية للتعبير العددي 2.003 6.

حل. نحن نتحدث عن إيجاد قيمة الدالة y = x 6 عند النقطة x = 2.003. دعونا نستخدم الصيغة f(x)f(a)+f´(a)(x-a)، مع الأخذ في الاعتبار أنه في هذا المثال f(x)=x 6، a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 وبالتالي f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

ونتيجة لذلك نحصل على:

2.003 6 64+192· 0.003، أي. 2.003 6 =64.576.

إذا استخدمنا الآلة الحاسبة نحصل على:

2,003 6 = 64,5781643...

كما ترون، دقة التقريب مقبولة تماما.

الظلهو خط مستقيم يمر بنقطة على المنحنى ويتزامن معها عند هذه النقطة حتى الدرجة الأولى (الشكل 1).

تعريف آخر: هذا هو الموضع المحدد للقاطع عند Δ س→0.

شرح: خذ خطاً مستقيماً يتقاطع مع المنحنى عند نقطتين: أو ب(انظر الصورة). هذا قاطع. سنقوم بتدويره في اتجاه عقارب الساعة حتى يجد نقطة مشتركة واحدة فقط مع المنحنى. وهذا سيعطينا الظل.

تعريف صارم للظل:

مماس للرسم البياني للدالة F، قابلة للتمييز عند هذه النقطة سيا، هو خط مستقيم يمر بالنقطة ( سيا; F(سيا)) ولها المنحدر F′( سيا).

المنحدر لديه خط مستقيم من النموذج ص =ك س +ب. معامل في الرياضيات او درجة كوهو ميلهذا الخط المستقيم.

المعامل الزاوي يساوي ظل الزاوية الحادة التي يشكلها هذا الخط المستقيم مع محور الإحداثي السيني:

هنا الزاوية α هي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ص =ك س +بوالاتجاه الإيجابي (أي عكس اتجاه عقارب الساعة) للمحور السيني. تسمى زاوية ميل الخط المستقيم(الشكل 1 و 2).

إذا كانت زاوية الميل مستقيمة ص =ك س +بحاد، فإن الميل هو رقم موجب. الرسم البياني آخذ في الازدياد (الشكل 1).

إذا كانت زاوية الميل مستقيمة ص =ك س +بمنفرجة، فإن الميل يكون رقمًا سالبًا. الرسم البياني آخذ في التناقص (الشكل 2).

إذا كان الخط المستقيم يوازي المحور x فإن زاوية ميل الخط المستقيم تكون صفراً. في هذه الحالة، ميل الخط هو أيضًا صفر (نظرًا لأن ظل الصفر هو صفر). ستبدو معادلة الخط المستقيم كما يلي y = b (الشكل 3).

إذا كانت زاوية ميل خط مستقيم هي 90 درجة (π/2)، أي أنها متعامدة مع محور الإحداثي السيني، فإن الخط المستقيم يُعطى بالمساواة س =ج، أين ج- بعض الأعداد الحقيقية (الشكل 4).

معادلة المماس للرسم البياني للدالةذ = F(س) عند نقطة سيا:

مثال: أوجد معادلة المماس للرسم البياني للدالة F(س) = س 3 – 2س 2 + 1 عند النقطة مع الإحداثي الإحداثي 2.

حل .

نحن نتبع الخوارزمية.

1) نقطة اللمس سيايساوي 2. احسب F(سيا):

F(سيا) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) البحث F′( س). للقيام بذلك، نطبق صيغ التمايز الموضحة في القسم السابق. ووفقا لهذه الصيغ، X 2 = 2X، أ X 3 = 3X 2. وسائل:

F′( س) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

الآن، باستخدام القيمة الناتجة F′( س)، احسب F′( سيا):

F′( سيا) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) لذلك، لدينا جميع البيانات اللازمة: سيا = 2, F(سيا) = 1, F ′( سيا) = 4. عوض بهذه الأرقام في معادلة الظل وأوجد الحل النهائي:

ص = F(سيا) + F′( سيا) (س - س س) = 1 + 4 ∙ (س – 2) = 1 + 4س – 8 = –7 + 4س = 4س – 7.

الإجابة: ص = 4س - 7.

تعليمات

نحدد المعامل الزاوي للمماس للمنحنى عند النقطة M.
المنحنى الذي يمثل الرسم البياني للدالة y = f(x) مستمر في حي معين من النقطة M (بما في ذلك النقطة M نفسها).

إذا كانت القيمة f'(x0) غير موجودة، فإما أنه لا يوجد مماس، أو أنها تعمل عموديًا. وفي ضوء ذلك فإن وجود مشتقة الدالة عند النقطة x0 يرجع إلى وجود مماس غير رأسي للرسم البياني للدالة عند النقطة (x0, f(x0)). في هذه الحالة، سيكون المعامل الزاوي للظل مساويا لـ f "(x0). وهكذا يصبح المعنى الهندسي للمشتق واضحا - حساب المعامل الزاوي للظل.

أوجد قيمة الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس التي يُشار إليها بالحرف "أ". إذا تزامن مع نقطة مماس معينة، فسيكون "a" هو إحداثي x الخاص به. تحديد القيمة المهام f(a) بالتعويض في المعادلة المهامقيمة الإحداثي.

تحديد المشتقة الأولى للمعادلة المهام f'(x) واستبدل قيمة النقطة "a" بها.

خذ معادلة الظل العامة، والتي يتم تعريفها على أنها y = f(a) = f (a)(x – a)، واستبدل فيها القيم الموجودة لـ a، f(a)، f "(a). ونتيجة لذلك، سيتم إيجاد حل الرسم البياني والمماس.

قم بحل المشكلة بطريقة مختلفة إذا كانت نقطة الظل المحددة لا تتطابق مع نقطة الظل. في هذه الحالة، من الضروري استبدال "أ" بدلاً من الأرقام في معادلة الظل. بعد ذلك، بدلًا من الحرفين "x" و"y"، استبدل قيمة إحداثيات النقطة المحددة. حل المعادلة الناتجة حيث "أ" هو المجهول. قم بالتعويض عن القيمة الناتجة في معادلة الظل.

اكتب معادلة للمماس بالحرف "أ" إذا كانت عبارة المشكلة تحدد المعادلة المهامومعادلة الخط الموازي بالنسبة للمماس المطلوب. بعد ذلك نحتاج إلى المشتقة المهام

دعونا نعطي دالة f، والتي عند نقطة ما x 0 لها مشتق محدود f (x 0). ثم يسمى الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطة (x 0 ; f (x 0)) مع معامل زاوي f '(x 0) ظلًا.

ماذا يحدث إذا لم يكن المشتق موجودا عند النقطة x 0؟ هناك خياران:

1. لا يوجد ظل للرسم البياني سواء. المثال الكلاسيكي هو الدالة y = |x | عند النقطة (0؛ 0).
2. يصبح الظل عموديا. وهذا صحيح، على سبيل المثال، بالنسبة للدالة y = arcsin x عند النقطة (1؛ π /2).

معادلة الظل

يتم إعطاء أي خط مستقيم غير رأسي بمعادلة على الصورة y = kx + b، حيث k هو الميل. الظل ليس استثناءً، ولإنشاء معادلته عند نقطة ما × 0، يكفي معرفة قيمة الدالة والمشتقة عند هذه النقطة.

لذلك، دعونا نعطي دالة y = f (x)، والتي لها مشتق y = f ’(x) على القطعة. ثم عند أي نقطة x 0 ∈ (a ; b) يمكن رسم مماس للرسم البياني لهذه الدالة، والذي تعطى بالمعادلة:

ص = و '(س 0) (س − س 0) + و (س 0)

هنا f '(x 0) هي قيمة المشتق عند النقطة x 0، وf (x 0) هي قيمة الدالة نفسها.

مهمة. بالنظر إلى الدالة y = x 3 . اكتب معادلة مماس التمثيل البياني لهذه الدالة عند النقطة x 0 = 2.

معادلة الظل: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). يتم إعطاء النقطة x 0 = 2 لنا، ولكن يجب حساب القيم f (x 0) و f ’(x 0).

أولًا، دعونا نوجد قيمة الدالة. كل شيء سهل هنا: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8؛
والآن لنوجد المشتقة: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
نعوض بـ x 0 = 2 في المشتقة: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
في المجموع نحصل على: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
هذه هي المعادلة الظلية.

مهمة. اكتب معادلة مماس الرسم البياني للدالة f (x) = 2sin x + 5 عند النقطة x 0 = π /2.

هذه المرة لن نصف كل إجراء بالتفصيل - سنشير فقط إلى الخطوات الأساسية. لدينا:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7؛
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

معادلة الظل:

ص = 0 · (س − π /2) + 7 ⇒ ص = 7

في الحالة الأخيرة، تبين أن الخط المستقيم أفقي، لأنه معاملها الزاوي k = 0. لا حرج في هذا - لقد عثرنا للتو على نقطة متطرفة.