2 dəyişənli xətti tənlik nədir. "İki dəyişənli xətti tənliklər" mövzusunda dərsin xülasəsi

Tənlikləri həll etməyi öyrənmək cəbrin tələbələr qarşısında qoyduğu əsas vəzifələrdən biridir. Ən sadədən başlayaraq, bir bilinməyəndən ibarət olduqda və getdikcə daha mürəkkəb olanlara keçir. Birinci qrupdakı tənliklərlə yerinə yetirilməli olan hərəkətləri mənimsəməmisinizsə, digərlərini başa düşmək çətin olacaq.

Söhbətə davam etmək üçün nota ilə razılaşmaq lazımdır.

Bir naməlum xətti olan tənliyin ümumi forması və onun həlli prinsipi

Bu şəkildə yazıla bilən hər hansı bir tənlik:

a * x = b,

çağırdı xətti. Bu ümumi formuladır. Lakin çox vaxt tapşırıqlarda xətti tənliklər gizli formada yazılır. Sonra ümumi qəbul edilmiş qeydi əldə etmək üçün eyni çevrilmələri yerinə yetirmək lazımdır. Bu tədbirlərə aşağıdakılar daxildir:

  • mötərizələrin açılması;
  • dəyişən dəyəri olan bütün şərtləri bərabərliyin sol tərəfinə, qalanlarını isə sağa köçürmək;
  • oxşar terminlərin azaldılması.

Naməlum bir kəmiyyət kəsrin məxrəcində olduğu halda, ifadənin mənası olmayacaq onun dəyərlərini təyin etməlisiniz. Başqa sözlə, tənliyin tərif sahəsini bilmək lazımdır.

Bütün xətti tənliklərin həlli prinsipi tənliyin sağ tərəfindəki dəyəri dəyişənin qarşısındakı əmsala bölməkdən ibarətdir. Yəni “x” b/a-ya bərabər olacaqdır.

Xətti tənliklərin xüsusi halları və onların həlli

Mühakimə zamanı xətti tənliklərin xüsusi formalardan birini alması anları yarana bilər. Onların hər birinin özünəməxsus həlli var.

Birinci vəziyyətdə:

a * x = 0, və a ≠ 0.

Belə bir tənliyin həlli həmişə x = 0 olacaqdır.

İkinci halda, “a” sıfıra bərabər olan dəyəri alır:

0 * x = 0.

Belə bir tənliyin cavabı istənilən ədəd olacaqdır. Yəni sonsuz sayda kökə malikdir.

Üçüncü vəziyyət belə görünür:

0 * x = in, burada ≠ 0-da.

Bu tənliyin mənası yoxdur. Çünki onu qane edən köklər yoxdur.

İki dəyişənli xətti tənliyin ümumi görünüşü

Adından aydın olur ki, onda artıq iki naməlum kəmiyyət var. İki dəyişənli xətti tənliklər belə görün:

a * x + b * y = c.

Qeyddə iki naməlum olduğu üçün cavab bir cüt ədəd kimi görünəcək. Yəni, yalnız bir dəyəri qeyd etmək kifayət deyil. Bu natamam cavab olacaq. Tənliyin eyniliyə çevrildiyi kəmiyyətlər cütü tənliyin həllidir. Üstəlik, cavabda əlifbada birinci gələn dəyişən həmişə birinci yazılır. Bəzən deyirlər ki, bu rəqəmlər onu qane edir. Üstəlik, belə cütlərin sonsuz sayda ola bilər.

İki naməlum xətti olan tənliyi necə həll etmək olar?

Bunu etmək üçün sadəcə düzgün olduğu ortaya çıxan hər hansı bir cüt rəqəm seçmək lazımdır. Sadəlik üçün bəzi sadə ədədə bərabər olan naməlumlardan birini götürüb ikincisini tapa bilərsiniz.

Həll edərkən tənliyi sadələşdirmək üçün tez-tez addımlar atmalı olursunuz. Onlar şəxsiyyət çevrilmələri adlanır. Bundan əlavə, aşağıdakı xüsusiyyətlər tənliklər üçün həmişə doğrudur:

  • hər bir termin işarəsini əksi ilə əvəz etməklə bərabərliyin əks hissəsinə köçürülə bilər;
  • İstənilən tənliyin sol və sağ tərəflərinin sıfıra bərabər olmaması şərti ilə eyni ədədə bölünməsinə icazə verilir.

Xətti tənliklərlə tapşırıqların nümunələri

İlk tapşırıq. Xətti tənlikləri həll edin: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Bu siyahıda birinci gələn tənlikdə 20-ni 4-ə bölmək kifayətdir. Nəticə 5 olacaq. Cavab budur: x = 5.

Üçüncü tənlik şəxsiyyət çevrilməsinin həyata keçirilməsini tələb edir. Mötərizənin açılması və oxşar şərtlərin gətirilməsindən ibarət olacaq. Birinci addımdan sonra tənlik formasını alacaq: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Sonra bütün bilinməyənləri tənliyin sol tərəfinə, qalanlarını isə sağa köçürmək lazımdır. Tənlik belə görünəcək: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Oxşar şərtləri əlavə etdikdən sonra: 14x = 16. İndi birincisi ilə eyni görünür və onun həllini tapmaq asandır. Cavab x=8/7 olacaq. Amma riyaziyyatda bütün hissəni düzgün olmayan kəsrdən təcrid etməlisən. Sonra nəticə dəyişdiriləcək və "x" tam və yeddidə birə bərabər olacaqdır.

Qalan nümunələrdə dəyişənlər məxrəcdədir. Bu o deməkdir ki, əvvəlcə tənliklərin hansı dəyərlərdə təyin olunduğunu öyrənməlisiniz. Bunu etmək üçün, məxrəclərin sıfıra getdiyi nömrələri istisna etməlisiniz. Birinci misalda “-4”, ikincidə “-3”dür. Yəni bu dəyərləri cavabdan çıxarmaq lazımdır. Bundan sonra bərabərliyin hər iki tərəfini məxrəcdəki ifadələrə vurmaq lazımdır.

Mötərizələri açıb oxşar şərtləri gətirsək, bu tənliklərin birincisində alırıq: 5x + 15 = 4x + 16, ikincidə isə 5x + 15 = 4x + 12. Çevrilmələrdən sonra birinci tənliyin həlli x = olacaq. -1. İkincisi "-3"ə bərabərdir, yəni sonuncunun həlli yoxdur.

İkinci tapşırıq. Tənliyi həll edin: -7x + 2y = 5.

Tutaq ki, birinci naməlum x = 1, onda tənlik -7 * 1 + 2y = 5 formasını alacaq. “-7” amilini bərabərliyin sağ tərəfinə keçirib işarəsini artıya dəyişdikdə belə çıxır ki, 2y = 12. Bu, y =6 deməkdir. Cavab: x = 1, y = 6 tənliyinin həll yollarından biri.

Bir dəyişənli bərabərsizliyin ümumi forması

Bərabərsizliklər üçün bütün mümkün vəziyyətlər burada təqdim olunur:

  • a * x > b;
  • a * x< в;
  • a * x ≥b;
  • a * x ≤в.

Ümumiyyətlə, sadə xətti tənliyə bənzəyir, yalnız bərabərlik işarəsi bərabərsizliklə əvəz olunur.

Bərabərsizliklərin şəxsiyyət çevrilməsi qaydaları

Xətti tənliklər kimi, bərabərsizliklər də müəyyən qanunlara uyğun olaraq dəyişdirilə bilər. Aşağıdakılara qədər qaynayırlar:

  1. bərabərsizliyin sol və sağ tərəflərinə istənilən əlifba və ya ədədi ifadə əlavə oluna bilər və bərabərsizliyin işarəsi eyni qalır;
  2. eyni müsbət ədədlə çoxalda və ya bölmək olar, bu yenə işarəni dəyişmir;
  3. Eyni mənfi ədədə vurulan və ya bölünən zaman bərabərsizlik işarəsi tərsinə çevrilmək şərti ilə bərabərlik doğru qalacaq.

İkiqat bərabərsizliklərin ümumi görünüşü

Problemlərdə aşağıdakı bərabərsizliklər təqdim edilə bilər:

  • V< а * х < с;
  • c ≤ a * x< с;
  • V< а * х ≤ с;
  • c ≤ a * x ≤ c.

Hər iki tərəfdən bərabərsizlik işarələri ilə məhdudlaşdığı üçün ikiqat adlanır. Adi bərabərsizliklərlə eyni qaydalardan istifadə etməklə həll edilir. Cavabı tapmaq isə bir sıra eyni çevrilmələrə gəlir. Ən sadə əldə olunana qədər.

İkiqat bərabərsizliklərin həllinin xüsusiyyətləri

Bunlardan birincisi onun koordinat oxundakı təsviridir. Sadə bərabərsizliklər üçün bu üsuldan istifadə etməyə ehtiyac yoxdur. Ancaq çətin hallarda sadəcə lazım ola bilər.

Bərabərsizliyi təsvir etmək üçün əsaslandırma zamanı əldə edilən bütün nöqtələri oxda qeyd etməlisiniz. Bunlar deşilmiş nöqtələrlə göstərilən etibarsız dəyərlər və çevrilmələrdən sonra əldə edilən bərabərsizliklərdən alınan dəyərlərdir. Burada da nöqtələri düzgün çəkmək vacibdir. Əgər bərabərsizlik ciddidirsə, yəni< или >, sonra bu dəyərlər silinir. Qeyri-ciddi bərabərsizliklərdə nöqtələr kölgələnməlidir.

Sonra bərabərsizliklərin mənasını göstərmək lazımdır. Bu kölgə və ya qövslərdən istifadə etməklə edilə bilər. Onların kəsişməsi cavabı göstərəcək.

İkinci xüsusiyyət onun qeydə alınması ilə bağlıdır. Burada iki variant təklif olunur. Birincisi son bərabərsizlikdir. İkincisi fasilələr şəklindədir. Onunla olur ki, çətinliklər yaranır. Boşluqlarda verilən cavab həmişə üzvlük işarəsi və mötərizə içərisində nömrələri olan dəyişənə bənzəyir. Bəzən bir neçə boşluq olur, sonra mötərizələr arasında "və" simvolunu yazmalısınız. Bu işarələr belə görünür: ∈ və ∩. Aralıq mötərizələri də rol oynayır. Dəyirmi bir nöqtə cavabdan çıxarıldıqda qoyulur və düzbucaqlı olan bu dəyəri ehtiva edir. Sonsuzluq işarəsi həmişə mötərizə içərisindədir.

Bərabərsizliklərin həlli nümunələri

1. 7 - 5x ≥ 37 bərabərsizliyini həll edin.

Sadə çevrilmələrdən sonra əldə edirik: -5x ≥ 30. “-5”-ə bölməklə aşağıdakı ifadəni ala bilərik: x ≤ -6. Bu artıq cavabdır, lakin başqa cür də yazmaq olar: x ∈ (-∞; -6].

2. -4 ikiqat bərabərsizliyi həll edin< 2x + 6 ≤ 8.

Əvvəlcə hər yerdə 6-nı çıxarmaq lazımdır: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Dərsin məqsədləri:

  • Maarifləndirici:
    • mövzunu təkrarlayın: “Tənliklər. Xətti tənliklər. Ekvivalent tənliklər və onların xassələri”;
    • tələbələrin iki dəyişənli xətti tənliklər anlayışını və onların həllini başa düşmələrini təmin edin.
  • İnkişaf:
    • intellektual qabiliyyətləri formalaşdırmaq üçün:
    • müqayisə etmək, analoqlar qurmaq, əsas şeyi vurğulamaq bacarığı;
    • əhatə olunan materialı ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək bacarığı;
    • məntiqi təfəkkür, yaddaş, təxəyyül, riyazi nitqi inkişaf etdirmək;
    • aktiv idrak fəaliyyətini inkişaf etdirin.
  • Maarifləndirici:
    • dərsin bütün mərhələlərində şagirdlərdə müstəqillik, fəallıq və marağı inkişaf etdirmək;
    • əzmkarlıq, əzmkarlıq, qətiyyət kimi xarakter keyfiyyətlərini formalaşdırmaq.

Müəllimin dərsdə həll etməli olduğu vəzifələr:

  • mətndə əsas fikri vurğulamağı öyrənmək;
  • müəllimə, özünüzə və ya tələbələrə sual verməyi öyrənin;
  • qeyri-standart məsələlərin həlli üçün əldə edilmiş biliklərdən istifadə etməyi öyrənmək;
  • fikirlərini riyazi olaraq düzgün ifadə etmək bacarığını öyrət.

Bu dərsdə tələbələrin həll etməli olduğu problemlər:

  • iki dəyişənli xətti tənliyin tərifini bilmək;
  • sadə xətti tənlikləri yazmağı bacarmalı;
  • a, b və c dəyişənlərinin qiymətlərini düzgün tapa bilmək;
  • tənliklər arasında iki dəyişənli xətti tənlikləri müəyyən etməyi bacarmalı;
  • sualına cavab verin: iki dəyişənli xətti tənliyin həlli nədir?
  • Bir cüt ədədin tənliyin həlli olub olmadığını necə bilirsiniz?
  • bir dəyişəni digəri ilə ifadə edə bilmək.

Dərsin növü: yeni materialın öyrənilməsi dərsi.

DƏRSLƏR zamanı

I. Təşkilati məqam

II. Qapalı materialın təkrarlanması

1) Lövhədə: 2x, 2x + 5, 2x + 5 = 17.

2) Sinif üçün suallar:

- Bu ifadələri müəyyənləşdirin. (Gözlənilən cavablar: hasil, monomial, cəmi, çoxhədli, tənlik.)
- Tənlik nə adlanır?
– Sizə tənlik lazımdır...? (Qərar verin)
– “Tənliyi həll etmək” nə deməkdir?
- Tənliyin kökü nədir?
– Hansı tənliklər ekvivalentdir?
– Tənliklərin ekvivalentliyinin hansı xassələrini bilirsiniz?

III. Şagirdlərin biliklərinin yenilənməsi

3) Bütün sinfə tapşırıq:

- İfadələri çevirin :(şurada iki nəfər işləyir).

a) 2(x + 8) + 4(2x – 4) = b) 4(x – 2) + 2(3y + 4) =

Transformasiyadan sonra əldə etdik: a) 10x; b) 4x + 6y:

– Tənliklər yaratmaq üçün onlardan istifadə edin (şagirdlər təklif edir - müəllim lövhədə tənliklər yazır): 10x = 30; 4x + 6y = 28.

Suallar:

– Birinci tənliyin adı nədir?
- Niyə xətti?
– İkinci tənliyi birinci ilə müqayisə edin. İkinci tənliyin tərifini formalaşdırmağa çalışın (Gözlənilən cavab: iki dəyişənli tənlik; tələbələrin diqqəti tənliyin növünə yönəldilir - xətti).

IV. Yeni materialın öyrənilməsi

1) Dərsin mövzusu elan olunur. Mövzunun dəftərlərə qeyd edilməsi. Şagirdlər tərəfindən iki dəyişənli tənliyin, iki dəyişənli xətti tənliyin (bir dəyişənli xətti tənliyin tərifinə bənzətməklə), iki dəyişənli tənliyin tərifinin müstəqil formalaşdırılması. Müzakirə frontal söhbət, dialoq - əsaslandırma şəklində baş verir.

2) Sinif tapşırığı:

a) İki dəyişənli iki xətti tənlik yazın (müəllim və tələbələr bir neçə tələbənin cavabını dinləyir; müəllimin seçimi ilə onlardan biri tənliklərini lövhəyə yazır).

b) Şagirdlərlə birlikdə onların bu dərsdə cavab almalı olduqları tapşırıq və suallar müəyyən edilir. Hər bir tələbə bu sualları olan kartlar alır.

c) Bu məsələ və vəzifələri həll etmək üçün tələbələrlə işləmək:

– Bu tənliklərdən hansının iki dəyişənli xətti tənliklər olduğunu müəyyənləşdirin a) 6x 2 = 36; b) 2x – 5y = 9: c) 7x + 3y 3; d) 1/2x + 1/3y = 6 və s. x: 5 – y: 4 = 3 tənliyi ilə problem yarana bilər (bölmə işarəsi kəsr kimi yazılmalıdır). Tənliklərin ekvivalentliyinin hansı xassələrini tətbiq etmək lazımdır? (Tələbələrin cavabları)Əmsal dəyərlərini təyin edin A, V Və ilə.

– Bütün tənliklər kimi iki dəyişənli xətti tənliklər də həll edilməlidir. İki dəyişənli xətti tənliklərin həlli nədir? (Uşaqlar tərif verirlər).

Misal: Tənliyin həll yollarını tapın: a) x – y = 12, cavabları (x; y) və ya x = ... şəklində yazın; y = .... Tənliyin neçə həlli var?

Nümunələr: Aşağıdakı tənliklərin həllini tapın a) 2x + y = 7; b) 5x – y = 4. Bu tənliklərin həll yollarını necə tapdınız? (götürdü).

– Bir cüt ədədin iki dəyişənli xətti tənliyin həlli olub-olmadığını necə bilirsiniz?

3) Dərsliklə işləmək.

– Dərslikdə bu dərsin mövzusunun əsas ideyasının vurğulandığı yerləri tapın

a) Tapşırıqların şifahi icrası: No 1092, No 1094.

b) Nömrələrin həlli No 1096 (zəif şagirdlər üçün), No 1097 (güclü şagirdlər üçün).

c) Tənliklərin ekvivalentlik xassələrini təkrarlayın.

Məşq: Tənliklərin ekvivalentlik xassələrindən istifadə edərək Y dəyişənini 5x + 2y = 12 tənliyində X dəyişəni vasitəsilə ifadə edin. (“müstəqil həll etmək üçün bir dəqiqə”, sonra lövhədə həllin ümumi icmalı, sonra izahat verilir).

d) 1099 nömrəli nümunənin icrası (tələbələrdən biri lövhədə tapşırığı yerinə yetirir).

Tarixi istinad

1. Uşaqlar, bu gün sinifdə tanış olduğumuz tənliklər iki dəyişənli Diofant xətti tənliklər adlanır, adını təxminən 3,5 min il əvvəl yaşamış qədim yunan alimi və riyaziyyatçısı Diofantın şərəfinə daşıyır. Qədim riyaziyyatçılar əvvəlcə məsələlər düzəldir, sonra isə onların həlli üzərində işləyirdilər. Beləliklə, tanış olduğumuz və həll etməyi öyrəndiyimiz bir çox problemlər tərtib edildi.

2. Həm də bu tənliklərə qeyri-müəyyən tənliklər deyilir. Bir çox riyaziyyatçılar bu cür tənliklərin həlli üzərində işləyirdilər. Onlardan biri də fransız riyaziyyatçısı Pyer Fermatdır. O, qeyri-müəyyən tənliklərin həlli nəzəriyyəsini öyrənmişdir.

V. Dərsin xülasəsi

1) Dərsdə keçən materialın ümumiləşdirilməsi. Dərsin əvvəlində tələbələrə verilən bütün suallara cavablar:

– Hansı tənliklər iki dəyişənli xətti adlanır?
– İki dəyişənli xətti tənliyin həllinə nə deyilir?
- Bu qərar necə qeydə alınır?
– Hansı tənliklərə ekvivalent deyilir?
– Tənliklərin ekvivalentliyinin xüsusiyyətləri hansılardır?
– Sinifdə hansı problemləri həll etdik, hansı suallara cavab verdik?

2) Müstəqil iş görmək.

Zəiflər üçün:

– –1.1x + 3.6y = – 34 tənliyində a, b və c dəyişənlərinin qiymətlərini tapın?
– x – y = 35 tənliyinin ən azı bir həllini tapın?
– Ədədlər cütü (3; 2) iki dəyişəni 2x – y = 4 olan verilmiş xətti tənliyin həllidirmi?

Güclülər üçün:

– Diofant problemi üçün iki dəyişənli xətti tənlik yazın: Evin həyətində qırqovullar və dovşanlar gəzir. Bütün ayaqların sayı 26 oldu.
– 3x – 5y = 8 tənliyində y dəyişənini x ilə ifadə edin.

VI. Ev tapşırığı mesajı

Dərslikdəki bütün tapşırıqlara baxın, hər bir tapşırığın sürətli təhlili, tapşırıq seçin.

  • Zəif tələbələr üçün: No 1093, No 1095b).
  • Güclülər üçün: 1) No 1101, No 1104 (a). 2) Diofant məsələsini həll edin, bu tənliyin bütün təbii həll yollarını tapın.

Bundan əlavə, tələbələrin istəyi ilə - No 1105.

Nəticə əvəzinə: Mən 40 ildən artıqdır ki, riyaziyyat müəllimiyəm. Və qeyd etmək istəyirəm ki, açıq dərs həmişə ən yaxşı dərs deyil. Çox vaxt olur ki, bəzən adi dərslər müəllimə daha çox sevinc və məmnunluq gətirir. Sonra da təəssüflə düşünürsən ki, bu dərsi - müəllim və tələbələrin yaradıcılığını heç kim görmədi.

Dərs vahid orqanizmdir, vahid bütövdür, məhz dərsdə həm şagirdlər, həm də müəllimlər üçün şəxsi və mənəvi tərbiyə təcrübəsi əldə edilir. Bir dərsin 45 dəqiqəsi həm çox, həm də azdır. Çox şey - çünki bu müddət ərzində siz tələbələrinizlə əsrlərin dərinliklərinə "baxıb" oradan "qayıtaraq" çoxlu yeni, maraqlı şeylər öyrənə və hələ də yeni materialı öyrənməyə vaxt tapa bilərsiniz.

Hər bir şagirdə riyaziyyatın insanın intellektual inkişafının əsası olduğunu başa düşmək lazımdır. Bunun da əsası məntiqi təfəkkürün inkişafıdır. Ona görə də hər dərsdən əvvəl mən özüm və tələbələrimin qarşısına məqsəd qoyuram: şagirdlərə təriflərlə uğurla işləməyi, məchul olanı məlumdan, sübut olunmuşdan sübut olunmamışdan məharətlə ayırmağı, təhlil etməyi, müqayisə etməyi, təsnif etməyi, suallar qoymağı və məharətlə həll etməyi öyrənməyi öyrətmək. onlar. Bənzətmələrdən istifadə edin, ancaq özünüz çıxa bilmirsinizsə, o zaman yanınızda təkcə müəllim deyil, həm də əsas köməkçiniz var - kitab.

Təbii ki, açıq dərs müəllimin yaradıcı əməyinin müəyyən nəticəsidir. Və bu dərsdə iştirak edən müəllimlər əsas şeyə diqqət yetirməlidirlər: iş sisteminə, yeniliyə, ideyaya. Burada, məncə, müəllimin dərsdə hansı tədris metodikasından istifadə etməsi xüsusi əhəmiyyət kəsb etmir: köhnə, müasir və ya yeni innovativ texnologiyalar, əsas odur ki, ondan istifadə müəllim və şagirdlər üçün uyğun və səmərəli olsun.

Çox şadam ki, həyatımda məktəb, uşaqlar, dərslər və belə mehriban həmkarlarım var. Hamınıza təşəkkür edirəm!

İki dəyişənli xətti tənlik ax + by + c = 0 ümumi formasına malikdir. Onda a, b və c əmsallardır - bəzi ədədlər; və x və y dəyişənlərdir - tapılmalı olan naməlum ədədlər.

İki dəyişənli xətti tənliyin həlli x və y cütüdür, bunun üçün ax + by + c = 0 həqiqi bərabərlikdir.

İki dəyişənli verilmiş xətti tənlik (məsələn, 3x + 2y – 1 = 0) həllər çoxluğuna, yəni tənliyin doğru olduğu ədədlər cütlüyünə malikdir. İki dəyişənli xətti tənlik koordinat müstəvisində düz xətt olan y = kx + m formalı xətti funksiyaya çevrilir. Bu xətt üzərində yerləşən bütün nöqtələrin koordinatları iki dəyişənli xətti tənliyin həllidir.

Əgər ax + ilə + c = 0 şəklində iki xətti tənlik verilirsə və hər ikisinin həlli üçün x və y qiymətlərini tapmaq tələb olunursa, onda deyirik ki, tənliklər sistemini həll edir. Tənliklər sistemi ümumi əyri mötərizə altında yazılır. Misal:

Müvafiq xətti funksiyaların qrafikləri olan xətlər kəsişməzsə (yəni bir-birinə paralel) tənliklər sisteminin həlli ola bilməz. Həllin olmadığı qənaətinə gəlmək üçün iki dəyişənli hər iki xətti tənliyi y = kx + m formasına çevirmək kifayətdir. Hər iki tənlikdə k eyni ədəddirsə, sistemin həlli yoxdur.

Əgər tənliklər sistemi iki eyni tənlikdən ibarətdirsə (bu, dərhal aydın olmaya bilər, lakin çevrilmələrdən sonra), onda onun sonsuz sayda həlli var. Bu vəziyyətdə qeyri-müəyyənlikdən danışırıq.

Bütün digər hallarda sistemin bir həlli var. İstənilən iki qeyri-paralel xəttin yalnız bir nöqtədə kəsişə biləcəyindən bu nəticəyə gəlmək olar. Məhz bu kəsişmə nöqtəsi həm birinci, həm də ikinci sətirdə yerləşəcək, yəni həm birinci tənliyin, həm də ikincinin həlli olacaqdır. Buna görə də tənliklər sisteminin həllidir. Bununla belə, x və y dəyərlərinə müəyyən məhdudiyyətlər qoyulduqda (adətən problemin şərtlərinə uyğun olaraq) vəziyyətləri müəyyən etmək lazımdır. Məsələn, x > 0, y > 0. Bu halda tənliklər sisteminin həlli olsa belə, şərti təmin etməsə belə, belə nəticəyə gəlinir ki, tənliklər sisteminin verilmiş şərtlərdə həlli yoxdur. .

Tənliklər sistemini həll etməyin üç yolu var:

  1. Seçim üsulu ilə. Çox vaxt bunu etmək çox çətindir.
  2. Qrafik üsul. Koordinat müstəvisində iki düz xətt (uyğun tənliklərin funksiyalarının qrafikləri) çəkildikdə və onların kəsişmə nöqtəsi tapıldıqda. Əgər kəsişmə nöqtəsinin koordinatları kəsr ədədlərdirsə, bu üsul dəqiq nəticələr verməyə bilər.
  3. Cəbri üsullar. Onlar çox yönlü və etibarlıdırlar.

Təlimatlar

İki xətti tənlik sistemi verilmiş, onu aşağıdakı kimi həll edin. Dəyişənlərin qarşısındakı əmsalların daha kiçik olduğu tənliklərdən birini seçin və dəyişənlərdən birini ifadə edin, məsələn, x. Sonra y olan bu dəyəri ikinci tənliyə əvəz edin. Yaranan tənlikdə yalnız bir dəyişən y olacaq, y ilə bütün hissələri sola, boş olanları isə sağa köçürün. y-ni tapın və x-i tapmaq üçün orijinal tənliklərdən hər hansı birini əvəz edin.

İki tənlik sistemini həll etməyin başqa bir yolu var. Tənliklərdən birini elə ədədə vurun ki, x kimi dəyişənlərdən birinin əmsalı hər iki tənlikdə eyni olsun. Sonra tənliklərdən birini digərindən çıxarın (əgər sağ tərəf 0-a bərabər deyilsə, sağ tərəfləri də eyni şəkildə çıxmağı unutmayın). Siz görəcəksiniz ki, x dəyişəni yox olub və yalnız bir y dəyişəni qalıb. Nəticədə tənliyi həll edin və y-nin tapılmış qiymətini ilkin bərabərliklərdən hər hansı birinə əvəz edin. x tapın.

İki xətti tənlik sistemini həll etməyin üçüncü yolu qrafikdir. Bir koordinat sistemi çəkin və sisteminizdə tənlikləri verilmiş iki düz xəttin qrafikini çəkin. Bunu etmək üçün hər hansı iki x dəyərini tənliyə əvəz edin və müvafiq y-ni tapın - bunlar xəttə aid nöqtələrin koordinatları olacaqdır. Koordinat oxları ilə kəsişməni tapmağın ən əlverişli yolu sadəcə x=0 və y=0 dəyərlərini əvəz etməkdir. Bu iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları vəzifələr olacaqdır.

Əgər məsələnin şərtlərində yalnız bir xətti tənlik varsa, o zaman sizə həllini tapa biləcəyiniz əlavə şərtlər verilmişdir. Bu şərtləri tapmaq üçün problemi diqqətlə oxuyun. Əgər x və y dəyişənləri məsafəni, sürəti, çəkiyi ifadə edirsə, x≥0 və y≥0 limitini təyin etməkdən çəkinməyin. Tamamilə mümkündür ki, x və ya y almaların, ağacların və s. sayını gizlədir. – onda dəyərlər yalnız tam ədədlər ola bilər. Əgər x oğlunun yaşıdırsa, onun atasından böyük ola bilməyəcəyi aydındır, ona görə də bunu problemin şərtlərində göstərin.

Xətti tənliyə uyğun xətt qrafiki qurun. Qrafikə baxın, bütün şərtləri təmin edən yalnız bir neçə həll variantı ola bilər - məsələn, tam ədədlər və müsbət ədədlər. Onlar tənliyiniz üçün həllər olacaq.

Mənbələr:

  • bir dəyişənli tənliyi necə həll etmək olar

Riyaziyyatın əsas məsələlərindən biri bir neçə naməlum olan tənliklər sisteminin həllidir. Bu çox praktik bir problemdir: bir neçə naməlum parametr var, onlara bir neçə şərt qoyulur və onların ən optimal birləşməsini tapmaq lazımdır. İqtisadiyyatda, tikintidə, mürəkkəb mexaniki sistemlərin layihələndirilməsində və ümumiyyətlə, maddi və insan resurslarının məsrəflərinin optimallaşdırılması tələb olunduğu yerlərdə belə vəzifələr adi haldır. Bu baxımdan sual yaranır: belə sistemləri necə həll etmək olar?

Təlimatlar

Riyaziyyat bizə belə sistemləri həll etmək üçün iki yol verir: qrafik və analitik. Bu üsullar ekvivalentdir və onlardan heç birinin daha yaxşı və ya daha pis olduğunu söyləmək olmaz. Hər bir vəziyyətdə, bir həlli optimallaşdırarkən, hansı metodun daha sadə bir həll verdiyini seçmək lazımdır. Ancaq bəzi tipik hallar da var. Beləliklə, müstəvi tənliklər sistemi, yəni iki qrafik y=ax+b formasına malik olduqda, qrafik həll etmək daha asandır. Hər şey çox sadə şəkildə edilir: iki düz xətt qurulur: xətti funksiyaların qrafikləri, sonra onların kəsişmə nöqtəsi tapılır. Bu nöqtənin koordinatları (absis və ordinat) bu tənliyin həlli olacaqdır. Qeyd edək ki, iki xətt paralel ola bilər. Onda tənliklər sisteminin həlli yoxdur və funksiyalar xətti asılı adlanır.

Əks vəziyyət də ola bilər. Əgər iki xətti müstəqil tənlik verilmiş üçüncü naməlumu tapmaq lazımdırsa, o zaman sistem kifayət qədər müəyyən edilməyəcək və sonsuz sayda həll yolu olacaqdır. Xətti cəbr nəzəriyyəsində tənliklərin sayı naməlumların sayı ilə üst-üstə düşdüyü təqdirdə sistemin unikal həlli olduğu sübut edilir.

DƏRSİN XÜLASƏSİ

Sinif: 7

UMK: Cəbr 7 sinif: dərslik. ümumi təhsil üçün təşkilatlar / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk və başqaları]; tərəfindən redaktə edilmiş S.A. Telyakovski. – 2-ci nəşr. – M.: Təhsil, 2014

Mövzu: İki dəyişənli xətti tənliklər

Məqsədlər: Şagirdləri iki dəyişənli xətti tənlik və onun həlli anlayışları ilə tanış etmək, tənlikdən ifadə etməyi öyrətmək.X vasitəsiləsaat və yasaat vasitəsiləX .

Yaradılmış UUD:

Koqnitiv: fərziyyələr irəli sürmək və əsaslandırmaq, onları yoxlamaq yollarını təklif etmək

Tənzimləyici: öz hərəkətlərinin metodunu və nəticəsini verilmiş standartla müqayisə etmək, standartdan kənarlaşmaları və fərqləri aşkar etmək; tədbirlər planını və ardıcıllığını tərtib edin.

Ünsiyyətcil: iş əlaqələri qurmaq; səmərəli əməkdaşlıq etmək və məhsuldar əməkdaşlığı təşviq etmək.

Şəxsi: föz fəaliyyətinin təhlilini təşkil etmək bacarıqlarını inkişaf etdirmək

Avadanlıq:kompüter, multimedia proyektoru, ekranı

Dərslər zamanı:

I Təşkilat vaxtı

Bərabər baba haqqında nağılı dinləyin və bu gün nə haqqında danışacağımızı təxmin edin

"Baba-bərabər" nağılı

Ravnyalo ləqəbli baba meşənin kənarındakı daxmada yaşayırdı. O, rəqəmlərlə zarafat etməyi sevirdi. Baba özünün hər iki tərəfindəki rəqəmləri götürəcək, onları işarələrlə birləşdirəcək və ən sürətli olanları mötərizədə qoyacaq, lakin bir hissənin digərinə bərabər olduğundan əmin olun. Sonra "X" maskası altında bir neçə nömrə gizlədəcək və nəvəsi kiçik Ravnyalkadan onu tapmasını xahiş edəcək. Ravnyalka kiçik olsa da, öz işini bilir: “X” hərfindən başqa bütün rəqəmləri sürətlə digər tərəfə keçirəcək və onların işarələrini əksinə dəyişməyi unutmayacaq. Rəqəmlər ona tabe olur, onun əmri ilə bütün hərəkətləri tez yerinə yetirir və “X” məlumdur. Baba nəvəsinin hər şeyi necə ağıllı yerinə yetirməsinə baxır və sevinir: onun üçün yaxşı bir əvəz böyüyür.

Yaxşı, bu nağıl nədən bəhs edir?(tənliklər haqqında)

II . Gəlin xətti tənliklər haqqında bildiyimiz hər şeyi xatırlayaq və bildiyimiz materialla yeni material arasında paralel aparmağa çalışaq.

    Biz hansı növ tənliyi bilirik?(bir dəyişənli xətti tənlik)

    Bir dəyişənli xətti tənliyin tərifini xatırlayaq.

    Bir dəyişənli xətti tənliyin kökü nədir?

    Gəlin bir dəyişənli xətti tənliyin bütün xassələrini formalaşdıraq.

Cədvəlin 1 hissəsi doldurulur

ax = b, burada x dəyişən, a, b ədəddir.

Misal: 3x = 6

Tənliyin doğru olduğu x dəyəri

1) şərtləri tənliyin bir hissəsindən digərinə köçürmək, işarəsini əksinə dəyişdirmək.

2) tənliyin hər iki tərəfini sıfıra bərabər olmayan eyni ədədə vurmaq və ya bölmək.

İki dəyişənli xətti tənlik.

ax + vy = c, burada x, y dəyişənlər, a, b.c ədədlərdir.

Misal:

x – y = 5

x + y = 56

2x + 6y =68

Tənliyi doğru edən x, y qiymətləri.

x=8; y=3 (8;3)

x=60; y = - 4 (60;-4)

1 və 2 xassələri doğrudur.

3) ekvivalent tənliklər:

x-y=5 və y=x-5

(8;3) (8;3)

Bənzətmə əsasında cədvəlin birinci hissəsini doldurduqdan sonra cədvəlin ikinci cərgəsini doldurmağa başlayırıq və bununla da yeni material öyrənirik.

III . Mövzuya qayıdaq:iki dəyişənli xətti tənlik . Mövzunun başlığı sizə yeni dəyişən təqdim etməyiniz lazım olduğunu göstərir, məsələn, y.

İki ədəd x və y var, biri digərindən 5-ə böyükdür. Onlar arasındakı əlaqəni necə yazmaq olar? (x – y = 5) bu iki dəyişənli xətti tənlikdir. Gəlin, bir dəyişənli xətti tənliyin tərifinə bənzətməklə, iki dəyişənli xətti tənliyin tərifini formalaşdıraq. (İki dəyişənli xətti tənlik formanın tənliyidirbalta + tərəfindən = c , Haradaa,b Vəc - bəzi nömrələr vəx Vəy -dəyişənlər).

tənlik x – y= 5 ilə x = 8, y = 3 düzgün bərabərliyə çevrilir 8 – 3 = 5. Deyirlər ki, x = 8, y = 3 dəyişənlərinin qiymət cütü bu tənliyin həllidir.

İki dəyişənli tənliyin həllinin tərifini tərtib edin (İki dəyişənli tənliyin həlli bu tənliyi həqiqi bərabərliyə çevirən dəyişənlərin bir cüt dəyəridir)

Dəyişən dəyər cütləri bəzən daha qısa yazılır: (8;3). Belə qeydlərdə birinci yerdə x qiyməti, ikinci yerdə isə y qiyməti yazılır.

Həllləri eyni olan (və ya həlli olmayan) iki dəyişənli tənliklər ekvivalent adlanır.

İki dəyişənli tənliklər bir dəyişənli tənliklərlə eyni xüsusiyyətlərə malikdir:

    Əgər tənliyin hər hansı bir hissəsini onun işarəsini dəyişdirərək bir hissədən digərinə keçirsəniz, verilmiş birinə ekvivalent tənlik alacaqsınız.

    Tənliyin hər iki tərəfi eyni ədədə vurularsa və ya bölünərsə (sıfıra bərabər deyil), verilmiş birinə ekvivalent tənlik alırsınız.

Misal 1. 10x + 5y = 15 tənliyini nəzərdən keçirək. Tənliklərin xassələrindən istifadə edərək bir dəyişəni digəri ilə ifadə edirik.

Bunu etmək üçün əvvəlcə işarəsini dəyişdirərək sol tərəfdən sağa 10 dəfə hərəkət edin. 5y = 15 - 10x ekvivalent tənliyini alırıq.

Bu tənliyin hər bir hissəsini 5 rəqəminə bölərək, ekvivalent tənliyi alırıq

y = 3 - 2x. Beləliklə, bir dəyişəni digəri ilə ifadə etdik. Bu bərabərlikdən istifadə edərək, x-in hər bir dəyəri üçün y-nin dəyərini hesablaya bilərik.

Əgər x = 2 olarsa, y = 3 - 2 2 = -1 olar.

Əgər x = -2 olarsa, y = 3 - 2· (-2) = 7. (2; -1), (-2; 7) ədəd cütləri bu tənliyin həllidir. Beləliklə, bu tənliyin sonsuz sayda həlli var.

Tarixdən. Natural ədədlərdə tənliklərin həlli məsələsinə məşhur yunan riyaziyyatçısı Diofantın (III əsr) əsərlərində ətraflı baxılmışdır. Onun “Arifmetika” traktatı müxtəlif tənliklər üçün natural ədədlərdə dahi həllərdən ibarətdir. Bu baxımdan natural ədədlər və ya tam ədədlərlə həll tələb edən bir neçə dəyişənli tənliklərə Diofant tənlikləri deyilir.

Misal 2. Un 3 kq və 2 kq-lıq kisələrə qablaşdırılır. 20 kq un hazırlamaq üçün hər növdən neçə torba götürmək lazımdır?

Tutaq ki, 3 kq-lıq x torba və 2 kq-lıq y kisə götürməliyik. Onda 3x + 2y = 20. Bu tənliyi təmin edən x və y dəyişənlərinin bütün cüt təbii qiymətlərini tapmaq tələb olunur. Biz əldə edirik:

2y = 20 - 3x

y =

Bu bərabərliyə ardıcıl olaraq bütün 1,2,3 və s. ədədləri x əvəzinə əvəz etsək, x-in hansı qiymətləri üçün y-nin qiymətlərinin natural ədədlər olduğunu tapırıq.

Alırıq: (2;7), (4;4), (6;1). Bu tənliyi təmin edən başqa cütlər yoxdur. Bu o deməkdir ki, siz müvafiq olaraq ya 2 və 7, ya da 4 və 4 və ya 6 və 1 paketləri götürməlisiniz.

IV . Dərslikdən iş (şifahi) No 1025, No 1027 (a)

Sinifdə sınaq ilə müstəqil iş.

1. İki dəyişənli xətti tənlik yazın.

a) 3x + 6y = 5 c) xy = 11 b) x – 2y = 5

2. Cüt ədəd tənliyin həllidirmi?

2x + y = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. Xətti tənlikdən ifadə edin

4x – 3y = 12 a) x-dən y-dən b) y-dən x-ə qədər

4. Tənliyin üç həllini tapın.

x + y = 27

V . Beləliklə, ümumiləşdirmək üçün:

İki dəyişənli xətti tənliyi təyin edin.

İki dəyişənli xətti tənliyin həlli (kökü) adlanan şey.

İki dəyişənli xətti tənliyin xassələrini bildirin.

Qiymətləndirmə.

Ev tapşırığı: bənd 40, No 1028, No 1032