Fəaliyyətdə inteqral. Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək bir inqilab cismin həcmini necə hesablamaq olar

Tərif 3. İnqilab cismi düz fiqurun ox ətrafında fırlanması nəticəsində əldə edilən cisimdir ki, bu fiqurla kəsişməyən və onunla eyni müstəvidə yerləşir.

Fırlanma oxu, fiqurun simmetriya oxudursa, onu da kəsə bilər.

Teorem 2.
, ox
və düz xətt seqmentləri
və

ox ətrafında fırlanır
. Sonra ortaya çıxan inqilab cismin həcmi düsturla hesablana bilər

(2)

Sübut. Belə bir cisim üçün absis ilə bölmə radiuslu dairədir
, deməkdir
və düstur (1) istənilən nəticəni verir.

Əgər rəqəm iki fasiləsiz funksiyanın qrafikləri ilə məhdudlaşırsa
və
, və xətt seqmentləri
və
, üstəlik
və
, onda absis oxu ətrafında fırlananda həcmi olan bir cisim alırıq

Misal 3 Bir dairə ilə məhdudlaşan bir dairəni fırlatmaqla əldə edilən torusun həcmini hesablayın

x oxu ətrafında.

R həll. Göstərilən dairə aşağıdan funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşır
, və yuxarıda -
. Bu funksiyaların kvadratlarının fərqi:

İstədiyiniz həcm

(inteqralın qrafiki yuxarı yarımdairədir, ona görə də yuxarıda yazılmış inteqral yarımdairənin sahəsidir).

Misal 4 Baza ilə parabolik seqment
, və hündürlük , baza ətrafında fırlanır. Yaranan bədənin həcmini hesablayın (Cavalieri tərəfindən "limon").

R həll. Parabolanı şəkildə göstərildiyi kimi yerləşdirin. Sonra onun tənliyi
, və
. Parametrin qiymətini tapaq :
. Beləliklə, istədiyiniz həcm:

Teorem 3. Davamlı qeyri-mənfi funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan əyrixətti trapesiya olsun
, ox
və düz xətt seqmentləri
və
, üstəlik
, ox ətrafında fırlanır
. Sonra yaranan inqilab cismin həcmi düsturla tapıla bilər

(3)

sübut ideyası. Seqmentin bölünməsi
xal

, hissələrə bölün və düz xətlər çəkin
. Bütün trapezoid zolaqlara parçalanacaq ki, bu da əsası olan təxminən düzbucaqlı hesab edilə bilər
və hündürlük
.

Belə bir düzbucağın fırlanması nəticəsində yaranan silindr generatrix boyunca kəsilir və açılır. Ölçüləri olan "demək olar ki," paralelepiped alırıq:
,
və
. Onun həcmi
. Beləliklə, bir inqilab cisminin həcmi üçün biz təxmini bərabərliyə malik olacağıq

Dəqiq bərabərliyi əldə etmək üçün limitə keçməliyik
. Yuxarıda yazılmış cəmi funksiya üçün inteqral cəmidir
, buna görə də limitdə (3) düsturundan inteqralı alırıq. Teorem sübut edilmişdir.

Qeyd 1. 2 və 3-cü teoremlərdə şərt
buraxıla bilər: düstur (2) ümumiyyətlə işarəyə həssas deyil
, və (3) düsturunda bu kifayətdir
ilə əvəz edilmişdir
.

Misal 5 Parabolik seqment (əsas
, hündürlük ) hündürlük ətrafında fırlanır. Yaranan cismin həcmini tapın.

Həll. Parabolanı şəkildə göstərildiyi kimi düzün. Və fırlanma oxu rəqəmi kəssə də, o - ox - simmetriya oxudur. Buna görə də, seqmentin yalnız sağ yarısı nəzərə alınmalıdır. Parabola tənliyi
, və
, deməkdir
. Həcmi üçün bizdə var:

Qeyd 2. Əyrixətti trapezoidin əyri sərhədi parametrik tənliklərlə verilirsə
,
,
və
,
sonra (2) və (3) düsturları əvəz etməklə istifadə edilə bilər üstündə
və
üstündə
dəyişdikdə t-dan
əvvəl .

Misal 6 Şəkil sikloidin birinci qövsü ilə məhdudlaşır
,
,
, və absis oxu. Bu fiqurun ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın: 1) ox
; 2) oxlar
.

Həll. 1) Ümumi düstur
Bizim vəziyyətimizdə:

2) Ümumi düstur
Fiqurumuz üçün:

Biz tələbələri bütün hesablamaları özləri etməyə təşviq edirik.

Qeyd 3. Davamlı bir xətt ilə məhdudlaşan əyri bir sektor olsun
və şüalar
,

, qütb oxu ətrafında fırlanır. Yaranan cismin həcmi düsturla hesablana bilər.

Misal 7 Bir kardioid ilə məhdudlaşan fiqurun bir hissəsi
, dairədən kənarda uzanır
, qütb oxu ətrafında fırlanır. Yaranan cismin həcmini tapın.

Həll. Hər iki xətt və deməli, onların məhdudlaşdırdığı rəqəm qütb oxuna görə simmetrikdir. Buna görə də, yalnız hansı hissəni nəzərə almaq lazımdır
. Döngələr nöqtəsində kəsişir
və

saat
. Bundan əlavə, rəqəm iki sektorun fərqi kimi qəbul edilə bilər və buna görə də həcm iki inteqralın fərqi kimi hesablana bilər. Bizdə:

Tapşırıqlar müstəqil həll üçün.

1. Əsası olan dairəvi seqment
, hündürlük , baza ətrafında fırlanır. İnqilab bədəninin həcmini tapın.

2. Əsası olan inqilab paraboloidinin həcmini tapın , hündürlüyü isə .

3. Astroid ilə məhdudlaşan fiqur
,
x oxu ətrafında fırlanır. Bu halda alınan cismin həcmini tapın.

4. Xətlərlə məhdudlaşmış fiqur
və
x oxu ətrafında fırlanır. İnqilab bədəninin həcmini tapın.

Mövzu: “Müəyyən inteqraldan istifadə etməklə inqilab cisimlərinin həcmlərinin hesablanması”

Dərsin növü: birləşdirilmiş.

Dərsin məqsədi: inteqrallardan istifadə edərək inqilab cisimlərinin həcmlərini hesablamağı öyrənin.

Tapşırıqlar:

bir sıra həndəsi fiqurlardan əyrixətti trapesiyaları seçmək bacarığını möhkəmləndirmək və əyrixətti trapesiyaların sahələrini hesablamaq bacarığını inkişaf etdirmək;

üçölçülü fiqur anlayışı ilə tanış olmaq;

inqilab cisimlərinin həcmlərini hesablamağı öyrənin;

məntiqi təfəkkürün, səriştəli riyazi nitqin, rəsmlərin qurulmasında dəqiqliyin inkişafına kömək etmək;

fənnə marağı tərbiyə etmək, riyazi anlayış və obrazlarla işləmək, son nəticəyə nail olmaqda iradə, müstəqillik, əzmkarlıq tərbiyə etmək.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam.

Qrup salamı. Tələbələrə dərsin məqsədləri barədə məlumat verilməsi.

Bugünkü dərsə bir məsəllə başlamaq istərdim. “Hər şeyi bilən bir müdrik insan var idi. Bir nəfər sübut etmək istəyirdi ki, müdrik hər şeyi bilmir. Kəpənəyi əlində tutaraq soruşdu: “Mənə deyin, müdrik, mənim əlimdə hansı kəpənək var: ölü, yoxsa diri?” Özü də düşünür: “Diri desə, öldürərəm, ölü desə, buraxaram”. Müdrik fikirləşdikdən sonra cavab verdi: “Hər şey sənin əlindədir”.

Odur ki, gəlin bu gün səmərəli işləyək, yeni biliklər anbarına yiyələnək və əldə etdiyimiz bacarıq və bacarıqları sonrakı həyatda və əməli fəaliyyətdə tətbiq edəcəyik.“Hər şey sənin əlindədir”.

II. Əvvəllər öyrənilən materialın təkrarı.

Əvvəllər öyrənilmiş materialın əsas məqamlarını xatırlayaq. Bunu etmək üçün "Əlavə sözü sil" tapşırığını yerinə yetirəcəyik.

(Tələbələr əlavə bir söz deyirlər.)

Düzgün "Diferensial". Qalan sözləri bir ümumi sözlə adlandırmağa çalışın. (İnteqral hesablama.)

İnteqral hesabla bağlı əsas mərhələləri və anlayışları xatırlayaq.

Məşq edin. Keçidləri bərpa edin. (Tələbə çıxır və markerlə lazım olan sözləri yazır.)

Noutbuklarda işləmək.

Nyuton-Leybnits düsturu ingilis fiziki İsaak Nyuton (1643-1727) və alman filosofu Qotfrid Leybniz (1646-1716) tərəfindən hazırlanmışdır. Və bu təəccüblü deyil, çünki riyaziyyat təbiətin özünün danışdığı dildir.

Praktik tapşırıqların həllində bu düsturdan necə istifadə olunduğunu düşünün.

Misal 1: Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Həll: Funksiyaların qrafiklərini koordinat müstəvisində quraq . Tapılacaq fiqurun sahəsini seçin.

III. Yeni materialın öyrənilməsi.

Ekrana diqqət yetirin. Birinci şəkildə nə göstərilib? (Şəkil düz bir fiqur göstərir.)

İkinci şəkildə nə göstərilib? Bu rəqəm düzdür? (Şəkil üçölçülü rəqəmi göstərir.)

Kosmosda, yerdə və gündəlik həyatda biz təkcə düz fiqurlarla deyil, həm də üçölçülü fiqurlarla qarşılaşırıq, lakin belə cisimlərin həcmini necə hesablamaq olar? Məsələn: planetin, kometin, meteoritin həcmi və s.

Ev tikərkən, suyu bir qabdan digərinə tökərkən həcmi fikirləşirlər. Həcmi hesablamaq üçün qaydalar və üsullar yaranmalı idi, başqa bir şey onların nə qədər dəqiq və əsaslı olmasıdır.

1612-ci il o vaxtkı məşhur astronom İohannes Keplerin yaşadığı Avstriyanın Linz şəhərinin sakinləri, xüsusən də üzüm üçün çox məhsuldar oldu. İnsanlar şərab çəlləklərini hazırlayırdılar və onların həcmlərini praktiki olaraq necə təyin edəcəyini bilmək istəyirdilər.

Beləliklə, Keplerin nəzərdən keçirilən əsərləri 17-ci əsrin son rübündə yekunlaşan bütöv bir tədqiqat axınının başlanğıcını qoydu. İ.Nyuton və G.V.-nin əsərlərində dizayn. Leybnits diferensial və inteqral hesablamaları. Həmin dövrdən böyüklük dəyişənləri riyaziyyatı riyazi biliklər sistemində aparıcı yer tutur.

Beləliklə, bu gün biz belə praktik fəaliyyətlərlə məşğul olacağıq, buna görə də

Dərsimizin mövzusu: “Müəyyən inteqraldan istifadə edərək inqilab cisimlərinin həcmlərinin hesablanması”.

Aşağıdakı tapşırığı yerinə yetirməklə inqilab cəsədinin tərifini öyrənəcəksiniz.

"Labirint".

Məşq edin. Qarışıq vəziyyətdən çıxış yolu tapın və tərifi yazın.

IVHəcmlərin hesablanması.

Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək, bir cismin həcmini, xüsusən də bir inqilab cismini hesablaya bilərsiniz.

İnqilab cismi əyrixətti trapesiyanı öz əsası ətrafında fırlatmaqla əldə edilən cisimdir (şək. 1, 2).

Bir inqilab cisminin həcmi düsturlardan biri ilə hesablanır:

1. x oxu ətrafında.

2. , əyrixətli trapezoidin fırlanması olarsa y oxu ətrafında.

Şagirdlər əsas düsturları dəftərə yazırlar.

Müəllim lövhədəki misalların həllini izah edir.

1. Xətlərlə hüdudlanmış əyrixətti trapezoidin y oxu ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Həll.

Cavab: 1163 sm3.

2. Parabolik trapesiyanı absis oxu ətrafında fırlatmaqla alınan cismin həcmini tapın. y = , x = 4, y = 0.

Həll.

V. Riyaziyyat simulyatoru.

2. Verilmiş funksiyanın bütün əks törəmələrinin çoxluğuna deyilir

A) qeyri-müəyyən inteqral

B) funksiya,

B) fərqləndirmə.

7. Xətlərlə hüdudlanmış əyrixətti trapezoidin absis oxu ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın:

D/Z. Yeni materialın düzəldilməsi

Ləçəkin x oxu ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn bədənin həcmini hesablayın y=x2, y2=x.

Funksiyanın qrafiklərini çəkək. y=x2, y2=x. y2 = x qrafiki y = formasına çevrilir.

Bizdə V = V1 - V2 var Gəlin hər bir funksiyanın həcmini hesablayaq:

Nəticə:

Müəyyən inteqral praktiki məzmunlu məsələlərin həllinə əvəzsiz töhfə verən riyaziyyatın öyrənilməsi üçün bir növ təməldir.

“İnteqral” mövzusu riyaziyyat və fizika, biologiya, iqtisadiyyat və texnologiya arasında əlaqəni aydın şəkildə nümayiş etdirir.

Müasir elmin inkişafını inteqraldan istifadə etmədən təsəvvür etmək mümkün deyil. Bu baxımdan onu orta ixtisas təhsili çərçivəsində öyrənməyə başlamaq lazımdır!

VI. Qiymətləndirmə.(Şərhlə.)

Böyük Ömər Xəyyam - riyaziyyatçı, şair, filosof. O, taleyinin ağası olmağa çağırır. Onun əsərindən bir parçaya qulaq asın:

Deyirsən bu həyat bir anlıqdır.
Onu qiymətləndirin, ondan ilham alın.
Nə qədər xərcləsən, o da elə keçəcək.
Unutma: o, sənin yaradıcılığındır.

Sahə tapmaq problemində olduğu kimi, inamlı rəsm bacarıqlarına ehtiyacınız var - bu, demək olar ki, ən vacib şeydir (çünki inteqralların özləri çox vaxt asan olacaq). Metodiki materialların və qrafiklərin həndəsi çevrilmələrinin köməyi ilə səriştəli və sürətli qrafika texnikasına yiyələnə bilərsiniz. Amma əslində dərsdə rəsmlərin əhəmiyyətindən dəfələrlə danışmışam.

Ümumiyyətlə, inteqral hesablamada bir çox maraqlı tətbiqlər var, müəyyən bir inteqralın köməyi ilə bir fiqurun sahəsini, inqilab cisminin həcmini, qövs uzunluğunu, səth sahəsini hesablaya bilərsiniz. fırlanma və daha çox. Beləliklə, əyləncəli olacaq, zəhmət olmasa optimist olun!

Koordinat müstəvisində düz bir fiqur təsəvvür edin. Təmsil olunan? ... Görəsən kim nə təqdim etdi ... =))) Artıq onun ərazisini tapdıq. Ancaq əlavə olaraq, bu rəqəm iki şəkildə fırlana və döndərə bilər:

- absis oxu ətrafında;
- y oxu ətrafında.

Bu yazıda hər iki hal müzakirə olunacaq. İkinci fırlanma üsulu xüsusilə maraqlıdır, ən böyük çətinliklərə səbəb olur, lakin əslində həll x oxu ətrafında daha çox yayılmış fırlanma ilə demək olar ki, eynidır. Bir bonus olaraq, mən qayıdacağam fiqurun sahəsini tapmaq problemi, və sahəni ikinci şəkildə - ox boyunca necə tapacağınızı söyləyin. Material mövzuya yaxşı uyğunlaşdığı üçün o qədər də bonus deyil.

Ən məşhur fırlanma növü ilə başlayaq.

bir ox ətrafında düz fiqur

Misal 1

Ox ətrafında xətlərlə məhdudlaşdırılmış fiqurun fırlanması ilə əldə edilən bədənin həcmini hesablayın.

Həll: Ərazi problemində olduğu kimi, həll düz bir fiqurun çəkilməsi ilə başlayır. Yəni müstəvidə tənliyin oxu müəyyən etdiyini unutmadan xətlərlə məhdudlaşan bir fiqur qurmaq lazımdır. Rəsmi necə daha rasional və daha sürətli etmək olar, səhifələrdə tapa bilərsiniz Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri və Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar. Bu Çin xatırlatmasıdır və mən bu nöqtədə dayanmıram.

Buradakı rəsm olduqca sadədir:

İstənilən yastı fiqur mavi rənglə kölgələnir və ox ətrafında fırlanan da məhz budur.Fırlanma nəticəsində ox ətrafında simmetrik olan belə bir az yumurta formalı uçan nəlbəki alınır. Əslində, bədənin riyazi bir adı var, lakin istinad kitabında bir şey təyin etmək çox tənbəldir, buna görə də davam edirik.

Bir inqilab cisminin həcmini necə hesablamaq olar?

Bir inqilab cisminin həcmi düsturla hesablana bilər:

Düsturda inteqraldan əvvəl bir ədəd olmalıdır. Sadəcə belə oldu - həyatda fırlanan hər şey bu sabitlə bağlıdır.

"a" və "ol" inteqrasiyasının sərhədlərini necə təyin etmək olar, məncə, başa çatmış rəsmdən təxmin etmək asandır.

Funksiya... bu funksiya nədir? Rəsmə baxaq. Düz fiqur yuxarıdan parabola qrafiki ilə məhdudlaşır. Bu, düsturda nəzərdə tutulan funksiyadır.

Praktik tapşırıqlarda düz bir fiqur bəzən oxun altında yerləşə bilər. Bu heç nəyi dəyişmir - düsturdakı inteqran kvadratdır: , beləliklə inteqral həmişə qeyri-mənfidir, bu olduqca məntiqlidir.

Bu düsturdan istifadə edərək, inqilab cisminin həcmini hesablayın:

Artıq qeyd etdiyim kimi, inteqral demək olar ki, həmişə sadə olur, əsas odur ki, diqqətli olun.

Cavab verin:

Cavabda ölçüləri - kub vahidlərini göstərmək lazımdır. Yəni fırlanma bədənimizdə təxminən 3,35 "kub" var. Niyə məhz kub vahidlər? Çünki ən universal formula. Kub santimetr ola bilər, kubmetr ola bilər, kub kilometr ola bilər və s., sizin fantaziyanız uçan nəlbəkiyə nə qədər kiçik yaşıl kişi sığdıra bilər.

Misal 2

, xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini tapın.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Praktikada da tez-tez rast gəlinən daha iki mürəkkəb problemi nəzərdən keçirək.

Misal 3

, və xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmaqla əldə edilən bədənin həcmini hesablayın.

Həll: Tənliyin oxu müəyyən etdiyini unutmadan, , , , xətləri ilə sərhədlənmiş rəsmdə düz bir fiqur çəkin:

İstədiyiniz rəqəm mavi rənglə kölgələnir. Ox ətrafında fırlananda dörd künclü belə sürreal pişi əldə edilir.

İnqilab bədəninin həcmi kimi hesablanır bədən həcmi fərqi.

Əvvəlcə qırmızı ilə dairəvi şəkildə çəkilmiş fiqura baxaq. Ox ətrafında fırlandıqda, kəsilmiş bir konus əldə edilir. Bu kəsilmiş konusun həcmini kimi işarə edək.

Yaşıl rəngdə dairəvi olan rəqəmə nəzər salın. Bu rəqəmi ox ətrafında döndərsəniz, kəsilmiş bir konus alacaqsınız, yalnız bir az daha kiçikdir. Onun həcmini ilə işarə edək.

Və açıq-aydın, həcm fərqi məhz bizim "donut" un həcmidir.

Bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün standart düsturdan istifadə edirik:

1) Qırmızı rənglə çevrələnmiş fiqur yuxarıdan düz xətt ilə məhdudlaşır, buna görə də:

2) Yaşıl rənglə çevrələnmiş fiqur yuxarıdan düz xətt ilə məhdudlaşır, buna görə də:

3) İstədiyiniz inqilab gövdəsinin həcmi:

Cavab verin:

Maraqlıdır ki, bu vəziyyətdə həll kəsilmiş konusun həcmini hesablamaq üçün məktəb düsturundan istifadə edərək yoxlanıla bilər.

Həllin özü tez-tez qısaldılır, buna bənzər bir şey:

İndi bir az ara verək və həndəsi illüziyalar haqqında danışaq.

İnsanlar tez-tez cildlərlə əlaqəli illüziyalara sahib olurlar, Perelman (başqası) kitabda qeyd etdi Maraqlı həndəsə. Həll edilmiş problemdəki düz rəqəmə baxın - ərazisi kiçik görünür və inqilab gövdəsinin həcmi çox böyük görünən 50 kub vahiddən bir qədər çoxdur. Yeri gəlmişkən, adi bir insan bütün həyatı boyu 18 kvadratmetrlik bir otaq həcmi olan bir maye içir, bu, əksinə, çox kiçik bir həcm kimi görünür.

Ümumiyyətlə, SSRİ-də təhsil sistemi həqiqətən də ən yaxşı sistem idi. Perelmanın 1950-ci ildə nəşr olunan eyni kitabı, yumoristin dediyi kimi, çox yaxşı inkişaf edir, əsaslandırır və problemlərə orijinal qeyri-standart həll yolları axtarmağı öyrədir. Bu yaxınlarda bəzi fəsilləri böyük maraqla yenidən oxudum, tövsiyə edirəm, hətta humanitar elm adamları üçün də əlçatandır. Xeyr, gülmək lazım deyil ki, mənim təklif etdiyim əyləncəli əyləncə, erudisiya və ünsiyyətdə geniş dünyagörüşü əla şeydir.

Lirik bir təxribatdan sonra yaradıcı bir tapşırığı həll etmək kifayətdir:

Misal 4

, xətləri ilə hüdudlanmış düz fiqurun oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini hesablayın , burada .

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Qeyd edək ki, bandda hər şey olur, başqa sözlə, hazır inteqrasiya limitləri əslində verilir. Triqonometrik funksiyaların qrafiklərini düzgün tərtib edin, sizə dərsin materialını xatırladacağam qrafiklərin həndəsi çevrilmələri: arqument ikiyə bölünürsə: , onda qrafiklər ox boyunca iki dəfə uzanır. Ən azı 3-4 xal tapmaq arzu edilir triqonometrik cədvəllərə əsasən rəsmini daha dəqiq tamamlamaq üçün. Tam həll və dərsin sonunda cavab. Yeri gəlmişkən, vəzifə rasional olaraq həll edilə bilər və çox rasional deyil.

Fırlanma ilə əmələ gələn cismin həcminin hesablanması
bir ox ətrafında düz fiqur

İkinci abzas birincidən daha maraqlı olacaq. Y oxu ətrafında bir inqilab cisminin həcminin hesablanması vəzifəsi də test sənədlərində kifayət qədər tez-tez rast gəlinən bir qonaqdır. Keçiddə nəzərə alınacaq fiqurun sahəsini tapmaq problemi ikinci yol - ox boyunca inteqrasiya, bu, yalnız bacarıqlarınızı təkmilləşdirməyə deyil, həm də sizə ən sərfəli həll yolunu necə tapmağı öyrətməyə imkan verəcəkdir. Bunun həm də praktik mənası var! Riyaziyyatın tədrisi metodikası müəllimimin təbəssümlə xatırladığı kimi, bir çox məzunlar ona təşəkkür etdilər: “Fənniz bizə çox kömək etdi, indi biz effektiv menecerlərik və işçilərimizi optimal şəkildə idarə edirik”. Fürsətdən istifadə edərək, mən də ona böyük minnətdarlığımı bildirirəm, xüsusən də əldə etdiyim bilikləri təyinatı üzrə istifadə etdiyim üçün =).

Hər kəsə oxumağı tövsiyə edirəm, hətta tam dummies. Üstəlik, ikinci paraqrafın mənimsənilmiş materialı ikiqat inteqralların hesablanmasında əvəzsiz kömək edəcəkdir..

Misal 5

, , xətləri ilə məhdudlaşan düz fiqur verilmişdir.

1) Bu xətlərlə məhdudlaşan düz fiqurun sahəsini tapın.
2) Bu xətlərlə hüdudlanmış yastı fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın.

Diqqət! Yalnız ikinci paraqrafı oxumaq istəsəniz belə, birinci mütləq birincisini oxu!

Həll: Tapşırıq iki hissədən ibarətdir. Meydandan başlayaq.

1) Gəlin bir rəsm çəkək:

Asanlıqla görmək olar ki, funksiya parabolanın yuxarı qolunu, funksiya isə parabolanın aşağı qolunu təyin edir. Qarşımızda "yan tərəfində yatan" mənasız bir parabola var.

Sahəsi tapılmalı olan istənilən rəqəm mavi rənglə kölgələnir.

Fiqurun sahəsini necə tapmaq olar? Dərsdə nəzərdən keçirilən "adi" şəkildə tapıla bilər. Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar. Üstəlik, rəqəmin sahəsi sahələrin cəmi kimi tapılır:
- seqmentdə ;
- seqmentdə.

Buna görə də:

Bu vəziyyətdə adi həll yolu ilə nə səhvdir? Birincisi, iki inteqral var. İkincisi, inteqrallar altındakı köklər və inteqraldakı köklər hədiyyə deyil, üstəlik, inteqrasiyanın sərhədlərini əvəz etməkdə çaşqınlıq yarana bilər. Əslində, inteqrallar, əlbəttə ki, ölümcül deyil, amma praktikada hər şey daha kədərlidir, mən sadəcə tapşırıq üçün "daha yaxşı" funksiyaları seçdim.

Daha rasional bir həll var: tərs funksiyalara keçiddən və ox boyunca inteqrasiyadan ibarətdir.

Tərs funksiyalara necə keçmək olar? Kobud desək, "x"i "y" vasitəsilə ifadə etmək lazımdır. Əvvəlcə parabola ilə məşğul olaq:

Bu kifayətdir, lakin gəlin əmin edək ki, eyni funksiya alt budaqdan alına bilər:

Düz bir xətt ilə hər şey daha asandır:

İndi oxa baxın: izah etdiyiniz kimi vaxtaşırı başınızı sağa 90 dərəcə əyin (bu zarafat deyil!). Bizə lazım olan rəqəm qırmızı nöqtəli xətt ilə göstərilən seqmentdə yerləşir. Üstəlik, seqmentdə düz xətt parabolanın üstündə yerləşir, bu o deməkdir ki, rəqəmin sahəsi sizə artıq tanış olan düsturdan istifadə edərək tapılmalıdır: . Düsturda nə dəyişdi? Yalnız bir məktub və başqa heç nə.

! Qeyd: Ox boyunca inteqrasiya hədləri təyin edilməlidir ciddi şəkildə aşağıdan yuxarıya!

Ərazinin tapılması:

Beləliklə, seqmentdə:

İnteqrasiyanı necə həyata keçirdiyimə diqqət yetirin, bu, ən rasional yoldur və tapşırığın növbəti bəndində bunun səbəbi aydın olacaq.

İnteqrasiyanın düzgünlüyünə şübhə edən oxucular üçün törəmələri tapacağam:

Orijinal inteqral alınır, bu da inteqrasiyanın düzgün yerinə yetirildiyini bildirir.

Cavab verin:

2) Bu fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn cismin həcmini hesablayın.

Rəsmi bir az fərqli dizaynda yenidən çəkəcəyəm:

Beləliklə, mavi ilə kölgələnmiş fiqur ox ətrafında fırlanır. Nəticə öz oxu ətrafında fırlanan "uçan kəpənək"dir.

İnqilab cismin həcmini tapmaq üçün ox boyunca inteqrasiya edəcəyik. Əvvəlcə tərs funksiyalara keçməliyik. Bu, artıq edilmiş və əvvəlki paraqrafda ətraflı təsvir edilmişdir.

İndi başımızı yenidən sağa əyib rəqəmimizi öyrənirik. Aydındır ki, inqilab gövdəsinin həcmi həcmlər arasındakı fərq kimi tapılmalıdır.

Qırmızı rənglə çevrələnmiş şəkli ox ətrafında döndəririk, nəticədə kəsilmiş konus yaranır. Bu həcmi ilə işarə edək.

Yaşıl rəngdə dairəvi olan rəqəmi oxun ətrafında fırladıq və nəticədə meydana gələn inqilab gövdəsinin həcmi ilə işarə edirik.

Kəpənəkimizin həcmi həcm fərqinə bərabərdir.

Bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik:

Əvvəlki paraqrafın düsturundan nə ilə fərqlənir? Yalnız hərflərlə.

Bir az əvvəl haqqında danışdığım inteqrasiyanın üstünlüyü də budur, onu tapmaq daha asandır inteqranı 4-cü gücə qaldırmaqdansa.

Cavab verin:

Ancaq xəstə bir kəpənək.

Diqqət yetirin ki, eyni düz fiqur ox ətrafında fırlanırsa, onda tamamilə fərqli bir inqilab cismi, təbii olaraq fərqli həcmdə olacaq.

Misal 6

Xətlərlə məhdudlaşan düz fiqur və ox verilmişdir.

1) Tərs funksiyalara keçin və dəyişən üzərində inteqrasiya edərək bu xətlərlə məhdudlaşan düz fiqurun sahəsini tapın.
2) Bu xətlərlə hüdudlanmış yastı fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini hesablayın.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Arzu edənlər rəqəmin sahəsini də "adi" şəkildə tapa bilər və bununla da 1-ci bəndin testini tamamlayır). Ancaq təkrar edirəm, düz bir fiqurunu ox ətrafında döndərsəniz, o zaman fərqli həcmdə tamamilə fərqli bir fırlanma gövdəsi alırsınız, yeri gəlmişkən, düzgün cavab (həmçinin həll etməyi sevənlər üçün).

Dərsin sonunda tapşırığın təklif olunan iki bəndinin tam həlli.

Oh, fırlanma cisimlərini və inteqrasiya daxilində başa düşmək üçün başınızı sağa əyməyi unutmayın!

Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək bir inqilab cisminin həcmini necə hesablamaq olar?

AYRICA müəyyən inteqraldan istifadə edərək düz fiqurun sahəsini tapmaq mövzunun ən mühüm tətbiqi inqilab cisminin həcminin hesablanması. Material sadədir, lakin oxucu hazır olmalıdır: həll etməyi bacarmaq lazımdır qeyri-müəyyən inteqrallar orta mürəkkəblik və Newton-Leibniz düsturunu tətbiq edin müəyyən inteqral . Sahə tapmaq problemində olduğu kimi, inamlı rəsm bacarıqlarına ehtiyacınız var - bu, demək olar ki, ən vacib şeydir (çünki inteqralların özləri çox vaxt asan olacaq). Metodiki materialın köməyi ilə qrafiklərin səriştəli və sürətli qurulması texnikasını mənimsəyə bilərsiniz . Amma əslində dərsdə rəsmlərin əhəmiyyətindən dəfələrlə danışmışam. .

Ümumiyyətlə, inteqral hesablamada çox maraqlı tətbiqlər var; müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək, bir fiqurun sahəsini, inqilab cismin həcmini, qövsün uzunluğunu, səth sahəsini hesablaya bilərsiniz. bədənin və daha çox. Beləliklə, əyləncəli olacaq, zəhmət olmasa optimist olun!

– x oxu ətrafında; - y oxu ətrafında.

Bu yazıda hər iki hal müzakirə olunacaq. İkinci fırlanma üsulu xüsusilə maraqlıdır, ən böyük çətinliklərə səbəb olur, lakin əslində həll x oxu ətrafında daha çox yayılmış fırlanma ilə demək olar ki, eynidır. Bir bonus olaraq, mən qayıdacağam fiqurun sahəsini tapmaq problemi , və sahəni ikinci şəkildə - ox boyunca necə tapacağınızı söyləyin. Material mövzuya yaxşı uyğunlaşdığı üçün o qədər də bonus deyil.

Ən məşhur fırlanma növü ilə başlayaq.

Misal 1

Xətlərlə hüdudlanmış bir fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə əldə edilən cismin həcmini hesablayın.

Həll:Ərazinin tapılması problemində olduğu kimi, həll düz bir fiqurun çəkilməsi ilə başlayır. Yəni bir müstəvidə tənliyin oxu təyin etdiyini unutmadan, xətlərlə məhdudlaşan bir fiqur qurmaq lazımdır. Rəsmi necə daha rasional və daha sürətli etmək olar, səhifələrdə tapa bilərsiniz Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri və Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar . Bu Çin xatırlatmasıdır və mən bu nöqtədə dayanmıram.

Buradakı rəsm olduqca sadədir:

İstədiyiniz düz fiqur mavi rənglə kölgələnir, ox ətrafında fırlanan odur. Fırlanma nəticəsində oxa simmetrik olan bu bir qədər yumurta formalı uçan nəlbəki alınır. Əslində, bədənin riyazi bir adı var, amma istinad kitabında bir şeyə baxmaq çox tənbəldir, buna görə də davam edirik.

Bir inqilab cisminin həcmini necə hesablamaq olar?

Bir inqilab cisminin həcmi düsturla hesablana bilər:

Düsturda inteqraldan əvvəl bir ədəd olmalıdır. Sadəcə belə oldu - həyatda fırlanan hər şey bu sabitlə bağlıdır.

"a" və "ol" inteqrasiyasının sərhədlərini necə təyin etmək olar, məncə, başa çatmış rəsmdən təxmin etmək asandır.

Funksiya... bu funksiya nədir? Rəsmə baxaq. Düz fiqur yuxarıdakı parabolik qrafiklə məhdudlaşır. Bu, düsturda nəzərdə tutulan funksiyadır.

Praktik tapşırıqlarda düz bir fiqur bəzən oxun altında yerləşə bilər. Bu heç nəyi dəyişmir - düsturdakı funksiya kvadratdır:, beləliklə inqilab cisminin həcmi həmişə mənfi deyil, bu olduqca məntiqlidir.

Bu düsturdan istifadə edərək, inqilab cisminin həcmini hesablayın:

Artıq qeyd etdiyim kimi, inteqral demək olar ki, həmişə sadə olur, əsas odur ki, diqqətli olun.

Cavab:

Misal 2

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini tapın,

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Praktikada da tez-tez rast gəlinən daha iki mürəkkəb problemi nəzərdən keçirək.

Misal 3

, və xətləri ilə sərhədlənmiş fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmaqla əldə edilən bədənin həcmini hesablayın.

Həll: Rəsmdə tənliyin oxu təyin etdiyini unutmadan, xətlərlə məhdudlaşmış düz bir fiqur təsvir edək:

İstədiyiniz rəqəm mavi rənglə kölgələnir. Ox ətrafında fırlananda dörd künclü belə sürreal pişi əldə edilir.

İnqilab bədəninin həcmi kimi hesablanır bədən həcmi fərqi.

Əvvəlcə qırmızı ilə dairəvi şəkildə çəkilmiş fiqura baxaq. Ox ətrafında fırlandıqda, kəsilmiş bir konus əldə edilir. Bu kəsilmiş konusun həcmini ilə işarələyin.

Və açıq-aydın, həcm fərqi məhz bizim "donut" un həcmidir.

Bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün standart düsturdan istifadə edirik:

1) Qırmızı rənglə çevrələnmiş fiqur yuxarıdan düz xətt ilə məhdudlaşır, buna görə də:

2) Yaşıl rənglə çevrələnmiş fiqur yuxarıdan düz xətt ilə məhdudlaşır, buna görə də:

3) İstədiyiniz inqilab gövdəsinin həcmi:

Cavab:

Maraqlıdır ki, bu vəziyyətdə həll kəsilmiş konusun həcmini hesablamaq üçün məktəb düsturundan istifadə edərək yoxlanıla bilər.

Həllin özü tez-tez qısaldılır, buna bənzər bir şey:

İndi bir az ara verək və həndəsi illüziyalar haqqında danışaq.

İnsanlar tez-tez cildlərlə əlaqəli illüziyalara sahib olurlar, Perelman (eyni deyil) kitabda qeyd etdi Maraqlı həndəsə. Həll edilmiş problemdəki düz rəqəmə baxın - ərazisi kiçik görünür və inqilab gövdəsinin həcmi çox böyük görünən 50 kub vahiddən bir qədər çoxdur. Yeri gəlmişkən, adi bir insan bütün həyatı boyu 18 kvadratmetrlik bir otaq həcmi olan bir maye içir, bu, əksinə, çox kiçik bir həcm kimi görünür.

Ümumiyyətlə, SSRİ-də təhsil sistemi həqiqətən də ən yaxşı sistem idi. Perelmanın 1950-ci ildə yazdığı eyni kitabı, yumoristin dediyi kimi, çox yaxşı inkişaf edir, əsaslandırır və problemlərə orijinal qeyri-standart həll yolları axtarmağı öyrədir. Bu yaxınlarda bəzi fəsilləri böyük maraqla yenidən oxudum, tövsiyə edirəm, hətta humanitar elm adamları üçün də əlçatandır. Xeyr, gülmək lazım deyil ki, mənim təklif etdiyim əyləncəli əyləncə, erudisiya və ünsiyyətdə geniş dünyagörüşü əla şeydir.

Lirik bir təxribatdan sonra yaradıcı bir tapşırığı həll etmək kifayətdir:

Misal 4

Xətləri ilə məhdudlaşan düz fiqurun oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini hesablayın, burada.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Nəzərə alın ki, qrupda hər şey baş verir, başqa sözlə demək olar ki, hazır inteqrasiya limitləri verilir. Həmçinin triqonometrik funksiyaların qrafiklərini düzgün çəkməyə çalışın, əgər arqument ikiyə bölünürsə:, onda qrafiklər ox boyunca iki dəfə uzanır. Ən azı 3-4 xal tapmağa çalışın triqonometrik cədvəllərə əsasən və rəsmini daha dəqiq edin. Tam həll və dərsin sonunda cavab. Yeri gəlmişkən, vəzifə rasional olaraq həll edilə bilər və çox rasional deyil.

Düz fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn cismin həcminin hesablanması

Misal 5

,, xətləri ilə məhdudlaşan düz fiqur verilmişdir.

1) Bu xətlərlə məhdudlaşan düz fiqurun sahəsini tapın. 2) Bu xətlərlə hüdudlanmış yastı fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın.

Diqqət! Yalnız ikinci paraqrafı oxumaq istəsəniz belə, birinci mütləq birincisini oxu!

Həll: Tapşırıq iki hissədən ibarətdir. Meydandan başlayaq.

1) Gəlin bir rəsm çəkək:

Asanlıqla görmək olar ki, funksiya parabolanın yuxarı qolunu, funksiya isə parabolanın aşağı qolunu təyin edir. Qarşımızda "yan tərəfində yatan" mənasız bir parabola var.

Sahəsi tapılmalı olan istənilən rəqəm mavi rənglə kölgələnir.

Fiqurun sahəsini necə tapmaq olar? Dərsdə nəzərdən keçirilən "adi" şəkildə tapıla bilər. Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar . Üstəlik, rəqəmin sahəsi sahələrin cəmi kimi tapılır: - seqmentdə ; - seqmentdə.

Buna görə də:

Daha rasional bir həll var: tərs funksiyalara keçiddən və ox boyunca inteqrasiyadan ibarətdir.

Tərs funksiyalara necə keçmək olar? Kobud desək, "x"i "y" vasitəsilə ifadə etmək lazımdır. Əvvəlcə parabola ilə məşğul olaq:

Bu kifayətdir, lakin gəlin əmin edək ki, eyni funksiya alt budaqdan alına bilər:

Düz bir xətt ilə hər şey daha asandır:

İndi oxa baxın: izah etdiyiniz kimi vaxtaşırı başınızı sağa 90 dərəcə əyin (bu zarafat deyil!). Bizə lazım olan rəqəm qırmızı nöqtəli xətt ilə göstərilən seqmentdə yerləşir. Eyni zamanda, seqmentdə düz xətt parabolanın üstündə yerləşir, bu o deməkdir ki, rəqəmin sahəsi sizə artıq tanış olan düsturdan istifadə edərək tapılmalıdır: . Düsturda nə dəyişdi? Yalnız bir məktub və başqa heç nə.

! Qeyd: Ox boyunca inteqrasiyanın hədləri təyin edilməlidirciddi şəkildə aşağıdan yuxarıya !

Ərazinin tapılması:

Beləliklə, seqmentdə:

İnteqrasiyanı necə həyata keçirdiyimə diqqət yetirin, bu, ən rasional yoldur və tapşırığın növbəti bəndində bunun səbəbi aydın olacaq.

İnteqrasiyanın düzgünlüyünə şübhə edən oxucular üçün törəmələri tapacağam:

Orijinal inteqral alınır, bu da inteqrasiyanın düzgün yerinə yetirildiyini bildirir.

Cavab:

2) Bu fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn cismin həcmini hesablayın.

Rəsmi bir az fərqli dizaynda yenidən çəkəcəyəm:

Beləliklə, mavi ilə kölgələnmiş fiqur ox ətrafında fırlanır. Nəticə öz oxu ətrafında fırlanan "uçan kəpənək"dir.

İnqilab cismin həcmini tapmaq üçün ox boyunca inteqrasiya edəcəyik. Əvvəlcə tərs funksiyalara keçməliyik. Bu, artıq edilmiş və əvvəlki paraqrafda ətraflı təsvir edilmişdir.

İndi başımızı yenidən sağa əyib rəqəmimizi öyrənirik. Aydındır ki, inqilab gövdəsinin həcmi həcmlər arasındakı fərq kimi tapılmalıdır.

Qırmızı rənglə çevrələnmiş şəkli ox ətrafında döndəririk, nəticədə kəsilmiş konus yaranır. Bu həcmi ilə işarə edək.

Yaşıl rəngdə dairəvi şəkli ox ətrafında fırladıq və nəticədə fırlanma gövdəsinin həcmini təyin edirik.

Kəpənəkimizin həcmi həcm fərqinə bərabərdir.

Bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik:

Əvvəlki paraqrafın düsturundan nə ilə fərqlənir? Yalnız hərflərlə.

Bir az əvvəl haqqında danışdığım inteqrasiyanın üstünlüyü də budur, onu tapmaq daha asandır inteqrandı ilkin olaraq 4-cü gücə qaldırmaqdansa.

İnqilab bədəninin həcmini necə hesablamaq olar
müəyyən inteqraldan istifadə edir?

Ümumiyyətlə, inteqral hesablamada bir çox maraqlı tətbiqlər var, müəyyən bir inteqralın köməyi ilə rəqəmin sahəsini, fırlanma gövdəsinin həcmini, qövsün uzunluğunu hesablaya bilərsiniz, fırlanma səthinin sahəsi və daha çox. Beləliklə, əyləncəli olacaq, zəhmət olmasa optimist olun!

- x oxu ətrafında;
- y oxu ətrafında.

Ən məşhur fırlanma növü ilə başlayaq.

bir ox ətrafında düz fiqur

Ox ətrafında xətlərlə məhdudlaşdırılmış fiqurun fırlanması ilə əldə edilən bədənin həcmini hesablayın.

Həll: Ərazi problemində olduğu kimi, həll düz bir fiqurun çəkilməsi ilə başlayır. Yəni müstəvidə tənliyin oxu müəyyən etdiyini unutmadan xətlərlə məhdudlaşan bir fiqur qurmaq lazımdır. Rəsmi necə daha rasional və daha sürətli etmək olar, səhifələrdə tapa bilərsiniz Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri və . Bu Çin xatırlatmasıdır və mən bu nöqtədə dayanmıram.

Buradakı rəsm olduqca sadədir:

Bir inqilab cisminin həcmini necə hesablamaq olar?

Bir inqilab cisminin həcmi düsturla hesablana bilər:

Düsturda inteqraldan əvvəl bir ədəd olmalıdır. Belə oldu - həyatda fırlanan hər şey bu sabitlə bağlıdır.

"a" və "ol" inteqrasiyasının sərhədlərini necə təyin etmək olar, məncə, başa çatmış rəsmdən təxmin etmək asandır.

Funksiya... bu funksiya nədir? Rəsmə baxaq. Düz fiqur yuxarıdan parabola qrafiki ilə məhdudlaşır. Bu, düsturda nəzərdə tutulan funksiyadır.

Bu düsturdan istifadə edərək, inqilab cisminin həcmini hesablayın:

Artıq qeyd etdiyim kimi, inteqral demək olar ki, həmişə sadə olur, əsas odur ki, diqqətli olun.

Cavab verin:

, xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini tapın.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Praktikada da tez-tez rast gəlinən daha iki mürəkkəb problemi nəzərdən keçirək.

, və xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmaqla əldə edilən bədənin həcmini hesablayın.

Həll: Tənliyin oxu müəyyən etdiyini unutmadan, , , , xətləri ilə sərhədlənmiş rəsmdə düz bir fiqur çəkin:

İstədiyiniz rəqəm mavi rənglə kölgələnir. Ox ətrafında fırlananda dörd künclü belə sürreal pişi əldə edilir.

İnqilab bədəninin həcmi kimi hesablanır bədən həcmi fərqi.

Əvvəlcə qırmızı ilə dairəvi şəkildə çəkilmiş fiqura baxaq. Ox ətrafında fırlandıqda, kəsilmiş bir konus əldə edilir. Bu kəsilmiş konusun həcmini kimi işarə edək.

Və açıq-aydın, həcm fərqi məhz bizim “donut”un həcmidir.

Bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün standart düsturdan istifadə edirik:

1) Qırmızı rənglə çevrələnmiş fiqur yuxarıdan düz xətt ilə məhdudlaşır, buna görə də:

2) Yaşıl rənglə çevrələnmiş fiqur yuxarıdan düz xətt ilə məhdudlaşır, buna görə də:

3) İstədiyiniz inqilab gövdəsinin həcmi:

Cavab verin:

Maraqlıdır ki, bu vəziyyətdə həll kəsilmiş konusun həcmini hesablamaq üçün məktəb düsturundan istifadə edərək yoxlanıla bilər.

Həllin özü tez-tez qısaldılır, buna bənzər bir şey:

İndi bir az ara verək və həndəsi illüziyalar haqqında danışaq.

Lirik bir təxribatdan sonra yaradıcı bir tapşırığı həll etmək kifayətdir:

, xətləri ilə hüdudlanmış düz fiqurun oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini hesablayın , burada .

Fırlanma ilə əmələ gələn cismin həcminin hesablanması
bir ox ətrafında düz fiqur

İkinci abzas birincidən daha maraqlı olacaq. Y oxu ətrafında bir inqilab cisminin həcmini hesablamaq vəzifəsi də testlərdə kifayət qədər tez-tez rast gəlinir. Keçiddə nəzərə alınacaq fiqurun sahəsini tapmaq problemi ikinci yol - ox boyunca inteqrasiya edərək, bu, yalnız bacarıqlarınızı təkmilləşdirməyə deyil, həm də ən sərfəli həll yolunu tapmağı öyrətməyə imkan verəcəkdir. Bunun həm də praktik mənası var! Riyaziyyatın tədrisi metodikası müəllimimin təbəssümlə xatırladığı kimi, bir çox məzunlar ona təşəkkür etdilər: “Fənniz bizə çox kömək etdi, indi biz effektiv menecerlərik və işçilərimizi optimal şəkildə idarə edirik”. Fürsətdən istifadə edərək, mən də ona böyük minnətdarlığımı bildirirəm, xüsusən də əldə etdiyim bilikləri təyinatı üzrə istifadə etdiyim üçün =).

Hər kəsə oxumağı tövsiyə edirəm, hətta tam dummies. Üstəlik, ikinci paraqrafın mənimsənilmiş materialı ikiqat inteqralların hesablanmasında əvəzsiz kömək edəcəkdir..

, , xətləri ilə məhdudlaşan düz fiqur verilmişdir.

1) Bu xətlərlə məhdudlaşan düz fiqurun sahəsini tapın.
2) Bu xətlərlə hüdudlanmış yastı fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın.

Diqqət! Yalnız ikinci paraqrafı oxumaq istəsəniz belə, birincisini oxumağınızdan əmin olun!

Həll: Tapşırıq iki hissədən ibarətdir. Meydandan başlayaq.

1) Gəlin bir rəsm çəkək:

Asanlıqla görmək olar ki, funksiya parabolanın yuxarı qolunu, funksiya isə parabolanın aşağı qolunu təyin edir. Qarşımızda "yan tərəfində yatan" mənasız bir parabola var.

Sahəsi tapılmalı olan istənilən rəqəm mavi rənglə kölgələnir.

Buna görə də:

Daha rasional bir həll var: tərs funksiyalara keçiddən və ox boyunca inteqrasiyadan ibarətdir.

Tərs funksiyalara necə keçmək olar? Kobud desək, "x"i "y" vasitəsilə ifadə etmək lazımdır. Əvvəlcə parabola ilə məşğul olaq:

Bu kifayətdir, lakin gəlin əmin edək ki, eyni funksiya alt budaqdan alına bilər:

Düz bir xətt ilə hər şey daha asandır:

! Qeyd: Ox boyunca inteqrasiya hədləri təyin edilməlidir ciddi şəkildə aşağıdan yuxarıya!

Ərazinin tapılması:

Beləliklə, seqmentdə:

İnteqrasiyanı necə həyata keçirdiyimə diqqət yetirin, bu, ən rasional yoldur və tapşırığın növbəti bəndində bunun səbəbi aydın olacaq.

İnteqrasiyanın düzgünlüyünə şübhə edən oxucular üçün törəmələri tapacağam:

Orijinal inteqral alınır, bu da inteqrasiyanın düzgün yerinə yetirildiyini bildirir.

Cavab verin:

2) Bu fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn cismin həcmini hesablayın.

Rəsmi bir az fərqli dizaynda yenidən çəkəcəyəm:

Beləliklə, mavi ilə kölgələnmiş fiqur ox ətrafında fırlanır. Nəticə öz oxu ətrafında fırlanan "uçan kəpənək"dir.

İnqilab cismin həcmini tapmaq üçün ox boyunca inteqrasiya edəcəyik. Əvvəlcə tərs funksiyalara keçməliyik. Bu, artıq edilmiş və əvvəlki paraqrafda ətraflı təsvir edilmişdir.

İndi başımızı yenidən sağa əyib rəqəmimizi öyrənirik. Aydındır ki, inqilab gövdəsinin həcmi həcmlər arasındakı fərq kimi tapılmalıdır.

Qırmızı rənglə çevrələnmiş şəkli ox ətrafında döndəririk, nəticədə kəsilmiş konus yaranır. Bu həcmi ilə işarə edək.

Yaşıl rəngdə dairəvi olan rəqəmi oxun ətrafında fırladıq və nəticədə meydana gələn inqilab gövdəsinin həcmi ilə işarə edirik.

Kəpənəkimizin həcmi həcm fərqinə bərabərdir.

Bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik:

Əvvəlki paraqrafın düsturundan nə ilə fərqlənir? Yalnız hərflərlə.

Bir az əvvəl haqqında danışdığım inteqrasiyanın üstünlüyü də budur, onu tapmaq daha asandır inteqrandı ilkin olaraq 4-cü gücə qaldırmaqdansa.

Cavab verin:

Diqqət yetirin ki, eyni düz fiqur ox ətrafında fırlanırsa, onda tamamilə fərqli bir inqilab cismi, təbii olaraq fərqli həcmdə olacaq.

Xətlərlə məhdudlaşan düz fiqur və ox verilmişdir.

Dərsin sonunda tapşırığın təklif olunan iki bəndinin tam həlli.

Oh, fırlanma cisimlərini və inteqrasiya daxilində başa düşmək üçün başınızı sağa əyməyi unutmayın!

Məqaləni bitirmək istədim, amma bu gün sadəcə y oxu ətrafında bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün maraqlı bir nümunə gətirdilər. Təzə:

və əyriləri ilə məhdudlaşan fiqurun oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini hesablayın.

Həll: Gəlin rəsm çəkək:

Yol boyu bəzi başqa funksiyaların qrafikləri ilə də tanış oluruq. Cüt funksiyanın belə maraqlı qrafiki ....

Fəaliyyətdə inteqral. Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək bir inqilab cismin həcmini necə hesablamaq olar

bir ox ətrafında düz fiqur

Bir inqilab cisminin həcmini necə hesablamaq olar?

Fırlanma ilə əmələ gələn cismin həcminin hesablanmasıbir ox ətrafında düz fiqur

İnqilab bədəninin həcmini necə hesablamaq olar müəyyən inteqraldan istifadə edir?

bir ox ətrafında düz fiqur

Bir inqilab cisminin həcmini necə hesablamaq olar?

Fırlanma ilə əmələ gələn cismin həcminin hesablanmasıbir ox ətrafında düz fiqur

Fırlanma ilə əmələ gələn cismin həcminin hesablanması
bir ox ətrafında düz fiqur

İnqilab bədəninin həcmini necə hesablamaq olar
müəyyən inteqraldan istifadə edir?

Fırlanma ilə əmələ gələn cismin həcminin hesablanması
bir ox ətrafında düz fiqur