Homojen diferensial tənliyi necə həll etmək olar. Birinci dərəcəli homogen diferensial tənliklər

Birinci dərəcəli homogen diferensial tənlik formanın tənliyidir
, burada f funksiyadır.

Homojen diferensial tənliyi necə təyin etmək olar

Birinci dərəcəli diferensial tənliyin homojen olub olmadığını müəyyən etmək üçün t sabitini təqdim etmək və y-ni ty, x-i tx ilə əvəz etmək lazımdır: y → ty, x → tx. t azalırsa, bu homojen diferensial tənlik. Bu çevrilmə ilə y' törəməsi dəyişmir.
.

Misal

Verilmiş tənliyin homojen olub olmadığını müəyyən edin

Həll

y → ty, x → tx əvəzini edirik.

t-ə bölün 2 .

.
Tənlikdə t yoxdur. Buna görə də bu homojen bir tənlikdir.

Homojen diferensial tənliyin həlli üsulu

Birinci dərəcəli homogen diferensial tənlik y = ux əvəzlənməsindən istifadə edərək ayrıla bilən dəyişənləri olan tənliyə endirilir. Gəlin onu göstərək. Tənliyi nəzərdən keçirin:
(i)
Gəlin bir əvəz edək:
y = ux,
burada u x funksiyasıdır. X-ə görə fərqləndirin:
y′ =
Orijinal tənliyi əvəz edin (i).
,
,
(ii) .
Gəlin dəyişənləri ayıraq. dx-ə vurun və x-ə bölün ( f(u) - u ).

f-da (u) - u ≠ 0 və x ≠ 0 alırıq:

Gəlin inteqrasiya edək:

Beləliklə, tənliyin ümumi inteqralını əldə etdik (i) kvadratlarda:

C inteqrasiya sabitini ilə əvəz edək ln C, Sonra

İstənilən işarə C sabitinin işarəsinin seçimi ilə müəyyən edildiyi üçün modulun işarəsini buraxaq. Onda ümumi inteqral aşağıdakı formanı alacaq:

Sonra f. işi nəzərdən keçirməliyik (u) - u = 0.
Bu tənliyin kökləri varsa, onlar tənliyin həllidir (ii). Eq. (ii) orijinal tənliklə üst-üstə düşmürsə, əlavə həllərin orijinal tənliyi təmin etdiyinə əmin olmalısınız. (i).

Biz çevrilmə prosesində hər hansı bir tənliyi g kimi işarə etdiyimiz hansısa funksiyaya böldük (x, y), onda sonrakı çevrilmələr g üçün etibarlıdır (x, y) ≠ 0. Buna görə də g məsələsinə ayrıca baxılmalıdır (x, y) = 0.

Homojen birinci dərəcəli diferensial tənliyin həlli nümunəsi

Tənliyi həll edin

Həll

Bu tənliyin homojen olub olmadığını yoxlayaq. y → ty, x → tx əvəzini edirik. Bu halda, y′ → y′.
,
,
.
Biz onu t ilə qısaldırıq.

Sabit t azalıb. Buna görə də tənlik homojendir.

Əvəzetməni y = ux edirik, burada u x-in funksiyasıdır.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Orijinal tənliyi əvəz edin.
,
,
,
.
x ≥ olduqda 0 , |x| = x. x ≤ olduqda 0 , |x| = - x . |x| yazırıq = x yuxarı işarənin x ≥ dəyərlərinə aid olduğunu nəzərdə tutur 0 , və aşağı olan - x ≤ dəyərlərinə 0 .
,
dx ilə çarpın və bölün.

Zaman u 2 - 1 ≠ 0 bizdə:

Gəlin inteqrasiya edək:

Cədvəl inteqralları,
.

Düsturu tətbiq edək:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
a = u, qoyaq.
.
Hər iki tərəfi modulu götürək və loqarifmləşdirək,
.
Buradan
.

Beləliklə, bizdə:
,
.
C sabitinin işarəsini seçməklə istənilən işarə təmin olunduğundan modulun işarəsini buraxırıq.

X-ə vurun və ux = y-ni əvəz edin.
,
.
Kvadrat.
,
,
.

İndi işi nəzərdən keçirin, u 2 - 1 = 0 .
Bu tənliyin kökləri
.
y = x funksiyalarının orijinal tənliyi təmin etdiyini yoxlamaq asandır.

Cavab verin

,
,
.

İstinadlar:
N.M. Günter, R.O. Kuzmin, Ali riyaziyyatda problemlər toplusu, "Lan", 2003.

Düşünürəm ki, biz diferensial tənliklər kimi şərəfli riyazi alətin tarixindən başlamalıyıq. Bütün diferensial və inteqral hesablamalar kimi, bu tənliklər də 17-ci əsrin sonlarında Nyuton tərəfindən icad edilmişdir. O, bu xüsusi kəşfini o qədər vacib hesab etdi ki, hətta bu gün belə tərcümə edilə bilən bir mesajı şifrələdi: "Təbiətin bütün qanunları diferensial tənliklərlə təsvir edilmişdir." Bu, mübaliğə kimi görünə bilər, amma həqiqətdir. İstənilən fizikanın, kimyanın, biologiyanın qanunlarını bu tənliklərlə təsvir etmək olar.

Riyaziyyatçılar Eyler və Laqranj diferensial tənliklər nəzəriyyəsinin inkişafına və yaradılmasına böyük töhfə vermişlər. Artıq 18-ci əsrdə onlar indi ali universitet kurslarında öyrəndiklərini kəşf etdilər və inkişaf etdirdilər.

Diferensial tənliklərin öyrənilməsində yeni mərhələ Henri Puankare sayəsində başladı. O, mürəkkəb dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsi ilə birləşərək topologiyanın - kosmos və onun xassələri elminin təməlinə mühüm töhfə verən “diferensial tənliklərin keyfiyyət nəzəriyyəsini” yaratdı.

Diferensial tənliklər nədir?

Bir çox insanlar bir ifadədən qorxur, lakin bu məqalədə adından göründüyü qədər mürəkkəb olmayan bu çox faydalı riyazi aparatın bütün mahiyyətini ətraflı təsvir edəcəyik. Birinci dərəcəli diferensial tənliklər haqqında danışmağa başlamaq üçün əvvəlcə bu təriflə mahiyyətcə əlaqəli olan əsas anlayışlarla tanış olmalısınız. Və biz diferensialdan başlayacağıq.

Diferensial

Bir çox insanlar bu anlayışı məktəbdən bəri bilirlər. Bununla belə, gəlin buna daha yaxından nəzər salaq. Bir funksiyanın qrafikini təsəvvür edin. Biz onu o qədər artıra bilərik ki, onun istənilən seqmenti düz xətt şəklini alsın. Bir-birinə sonsuz yaxın olan iki nöqtəni götürək. Onların koordinatları (x və ya y) arasındakı fərq sonsuz kiçik olacaqdır. O, diferensial adlanır və dy (y-nin diferensialı) və dx (x-in diferensialı) işarələri ilə işarələnir. Diferensialın sonlu kəmiyyət olmadığını başa düşmək çox vacibdir və bu, onun mənası və əsas funksiyasıdır.

İndi biz diferensial tənlik anlayışını izah etməkdə bizə faydalı olacaq növbəti elementi nəzərdən keçirməliyik. Bu törəmədir.

törəmə

Yəqin ki, hamımız bu anlayışı məktəbdə eşitmişik. Törəmə funksiyanın artma və ya azalma sürətinə deyilir. Ancaq bu tərifdən çox şey anlaşılmaz olur. Gəlin törəməni diferensiallar vasitəsilə izah etməyə çalışaq. Bir-birindən minimum məsafədə olan iki nöqtəsi olan funksiyanın sonsuz kiçik seqmentinə qayıdaq. Lakin bu məsafədə belə funksiya müəyyən qədər dəyişməyi bacarır. Və bu dəyişikliyi təsvir etmək üçün onlar diferensialların nisbəti kimi yazıla bilən törəmə ilə çıxış etdilər: f(x)"=df/dx.

İndi törəmənin əsas xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirməyə dəyər. Onlardan yalnız üçü var:

Cəmin və ya fərqin törəməsi törəmələrin cəmi və ya fərqi kimi göstərilə bilər: (a+b)"=a"+b" və (a-b)"=a"-b".
İkinci xassə vurma ilə bağlıdır. Məhsulun törəməsi bir funksiyanın hasilinin və digər funksiyanın törəməsinin cəmidir: (a*b)"=a"*b+a*b".
Fərqin törəməsi aşağıdakı bərabərlik kimi yazıla bilər: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Bütün bu xassələr birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həlli yollarını tapmaq üçün bizim üçün faydalı olacaqdır.

Qismən törəmələr də var. Tutaq ki, x və y dəyişənlərindən asılı olan z funksiyamız var. Bu funksiyanın qismən törəməsini hesablamaq üçün, deyək ki, x-ə münasibətdə, y dəyişənini sabit kimi götürməli və sadəcə olaraq diferensiasiya etməliyik.

İnteqral

Başqa bir vacib anlayış inteqraldır. Əslində, bu, törəmənin tam əksidir. Bir neçə növ inteqral var, lakin ən sadə diferensial tənlikləri həll etmək üçün bizə ən mənasız olanlar lazımdır.

Beləliklə, tutaq ki, f-nin x-dən bir qədər asılılığı var. Ondan inteqral alırıq və törəməsi ilkin funksiyaya bərabər olan F(x) funksiyasını (çox vaxt antitörəmə adlanır) alırıq. Beləliklə, F(x)"=f(x). Buradan da belə nəticə çıxır ki, törəmənin inteqralı ilkin funksiyaya bərabərdir.

Diferensial tənlikləri həll edərkən inteqralın mənasını və funksiyasını başa düşmək çox vacibdir, çünki həllini tapmaq üçün onları çox tez-tez götürməli olacaqsınız.

Tənliklər təbiətindən asılı olaraq dəyişir. Növbəti bölmədə birinci dərəcəli diferensial tənliklərin növlərinə baxacağıq, sonra isə onların həlli yollarını öyrənəcəyik.

Diferensial tənliklərin sinifləri

"Differlər" onlara daxil olan törəmələrin sırasına görə bölünür. Beləliklə, birinci, ikinci, üçüncü və daha çox sıra var. Onları da bir neçə sinfə bölmək olar: adi və qismən törəmələr.

Bu yazıda birinci dərəcəli adi diferensial tənliklərə baxacağıq. Biz də aşağıdakı bölmələrdə nümunələr və onların həlli yollarını müzakirə edəcəyik. Biz yalnız ODE-ləri nəzərdən keçirəcəyik, çünki bunlar ən çox yayılmış tənlik növləridir. Adi olanlar alt növlərə bölünür: ayrıla bilən dəyişənlərlə, homojen və heterojen. Sonra, onların bir-birindən necə fərqləndiyini öyrənəcək və onları necə həll edəcəyinizi öyrənəcəksiniz.

Bundan əlavə, bu tənliklər birləşdirilə bilər ki, birinci dərəcəli diferensial tənliklər sistemi ilə nəticələnək. Biz də bu cür sistemləri nəzərdən keçirəcəyik və onları necə həll edəcəyimizi öyrənəcəyik.

Niyə biz yalnız birinci sifarişi nəzərdən keçiririk? Çünki sadə bir şeydən başlamaq lazımdır və diferensial tənliklərlə bağlı hər şeyi bir məqalədə təsvir etmək sadəcə mümkün deyil.

Ayrılan tənliklər

Bunlar bəlkə də ən sadə birinci dərəcəli diferensial tənliklərdir. Bunlara aşağıdakı kimi yazıla bilən misallar daxildir: y"=f(x)*f(y). Bu tənliyi həll etmək üçün törəməni diferensialların nisbəti kimi təqdim etmək üçün düstur lazımdır: y"=dy/dx. Ondan istifadə edərək aşağıdakı tənliyi əldə edirik: dy/dx=f(x)*f(y). İndi standart misalların həlli metoduna keçə bilərik: dəyişənləri hissələrə böləcəyik, yəni y dəyişəni olan hər şeyi dy-nin yerləşdiyi hissəyə köçürəcəyik və x dəyişəni ilə də eyni şeyi edəcəyik. Hər iki tərəfin inteqrallarını götürməklə həll olunan dy/f(y)=f(x)dx formasının tənliyini alırıq. İnteqral aldıqdan sonra təyin edilməli olan sabit haqqında unutmayın.

Hər hansı bir “diffure” həlli x-in y-dən (bizim vəziyyətimizdə) asılılığının funksiyasıdır və ya ədədi şərt varsa, nömrə şəklində cavabdır. Xüsusi bir nümunədən istifadə edərək bütün həll prosesinə baxaq:

Dəyişənləri müxtəlif istiqamətlərə köçürək:

İndi inteqralları götürək. Onların hamısını xüsusi inteqral cədvəlində tapmaq olar. Və əldə edirik:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Tələb olunarsa, “y”-ni “x” funksiyası kimi ifadə edə bilərik. İndi deyə bilərik ki, şərt göstərilmədikdə diferensial tənliyimiz həll olunur. Şərt müəyyən edilə bilər, məsələn, y(n/2)=e. Sonra biz sadəcə olaraq bu dəyişənlərin qiymətlərini həlldə əvəz edirik və sabitin qiymətini tapırıq. Bizim nümunəmizdə 1-dir.

Birinci dərəcəli homogen diferensial tənliklər

İndi daha çətin hissəyə keçək. Birinci dərəcəli bircinsli diferensial tənlikləri ümumi formada belə yazmaq olar: y"=z(x,y). Qeyd etmək lazımdır ki, iki dəyişənin sağ əl funksiyası bircinsdir və onu iki asılılığa bölmək olmaz. : z on x və z on y , tənliyin homojen olub olmadığını yoxlayın: biz x = k * x və y = k * y əvəzini edirik , onda tənlik homojendir və biz onu təhlükəsiz həll etməyə başlaya bilərik, deyək: bu nümunələrin həlli prinsipi də çox sadədir.

Əvəz etməliyik: y=t(x)*x, burada t x-dən də asılı olan müəyyən funksiyadır. Onda törəməni ifadə edə bilərik: y"=t"(x)*x+t. Bütün bunları ilkin tənliyimizlə əvəz edərək və sadələşdirərək, ayrıla bilən t və x dəyişənləri ilə nümunə alırıq. Onu həll edirik və t(x) asılılığını alırıq. Biz onu alanda sadəcə olaraq y=t(x)*x-i əvvəlki əvəzimizə əvəz edirik. Onda y-nin x-dən asılılığını alırıq.

Daha aydın olması üçün bir misala baxaq: x*y"=y-x*e y/x .

Dəyişdirmə ilə yoxlanarkən hər şey azalır. Bu o deməkdir ki, tənlik həqiqətən homojendir. İndi haqqında danışdığımız başqa bir əvəz edirik: y=t(x)*x və y"=t"(x)*x+t(x). Sadələşdirildikdən sonra aşağıdakı tənliyi əldə edirik: t"(x)*x=-e t. Əldə olunan nümunəni ayrılmış dəyişənlərlə həll edirik və alırıq: e -t =ln(C*x). Bizə sadəcə əvəz etmək qalır. t y/x ilə (axı, əgər y =t*x, onda t=y/x) və biz cavabı alırıq: e -y/x =ln(x*C).

Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliklər

Başqa bir geniş mövzuya baxmağın vaxtı gəldi. Birinci dərəcəli qeyri-homogen diferensial tənlikləri təhlil edəcəyik. Onlar əvvəlki ikisindən nə ilə fərqlənir? Gəlin bunu anlayaq. Ümumi formada birinci tərtibli xətti diferensial tənlikləri aşağıdakı kimi yazmaq olar: y" + g(x)*y=z(x). z(x) və g(x) sabit kəmiyyətlər ola biləcəyini aydınlaşdırmağa dəyər.

İndi bir misal: y" - y*x=x 2 .

İki həll yolu var və biz hər ikisinə ardıcıllıqla baxacağıq. Birincisi, ixtiyari sabitlərin dəyişdirilməsi üsuludur.

Tənliyi bu şəkildə həll etmək üçün əvvəlcə sağ tərəfi sıfıra bərabərləşdirməli və hissələri köçürdükdən sonra aşağıdakı formanı alacaq nəticədə tənliyi həll etməlisiniz:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

İndi C 1 sabitini tapmalı olduğumuz v(x) funksiyası ilə əvəz etməliyik.

Törəməni əvəz edək:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Və bu ifadələri orijinal tənliklə əvəz edin:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Sol tərəfdə iki şərtin ləğv edildiyini görə bilərsiniz. Əgər hansısa misalda bu baş verməyibsə, deməli səhv bir şey etmisiniz. Davam edək:

v"*e x2/2 = x 2 .

İndi dəyişənləri ayırmaq lazım olan adi tənliyi həll edirik:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

İnteqralı çıxarmaq üçün burada hissələr üzrə inteqrasiya tətbiq etməli olacağıq. Ancaq bu, məqaləmizin mövzusu deyil. Əgər maraqlanırsınızsa, bu cür hərəkətləri özünüz necə yerinə yetirəcəyinizi öyrənə bilərsiniz. Bu çətin deyil və kifayət qədər bacarıq və qayğı ilə çox vaxt çəkmir.

Qeyri-bircins tənliklərin həllinin ikinci üsuluna: Bernulli üsuluna keçək. Hansı yanaşmanın daha sürətli və asan olduğuna qərar vermək sizin ixtiyarınızdadır.

Deməli, bu üsuldan istifadə edərək tənliyi həll edərkən əvəzetmə aparmalıyıq: y=k*n. Burada k və n bəzi x-dən asılı funksiyalardır. Onda törəmə belə görünəcək: y"=k"*n+k*n". Hər iki əvəzetməni tənlikdə əvəz edirik:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Qruplaşdırma:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

İndi mötərizədə olanları sıfıra bərabərləşdirmək lazımdır. İndi iki nəticə tənliyini birləşdirsək, həll edilməli olan birinci dərəcəli diferensial tənliklər sistemini alırıq:

Birinci bərabərliyi adi tənlik kimi həll edirik. Bunu etmək üçün dəyişənləri ayırmaq lazımdır:

İnteqralı götürüb alırıq: ln(n)=x 2 /2. Onda n-i ifadə etsək:

İndi alınan bərabərliyi sistemin ikinci tənliyinə əvəz edirik:

k"*e x2/2 =x 2 .

Və transformasiya edərək, birinci üsulda olduğu kimi eyni bərabərliyi əldə edirik:

dk=x 2 /e x2/2 .

Bundan sonrakı hərəkətləri də müzakirə etməyəcəyik. İlk növbədə birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həllinin əhəmiyyətli çətinliklərə səbəb olduğunu söyləmək lazımdır. Bununla belə, mövzunu daha dərindən araşdırdıqca, daha yaxşı və daha yaxşı işləməyə başlayır.

Diferensial tənliklər harada istifadə olunur?

Diferensial tənliklər fizikada çox aktiv şəkildə istifadə olunur, çünki demək olar ki, bütün əsas qanunlar diferensial formada yazılır və gördüyümüz düsturlar bu tənliklərin həllidir. Kimyada onlar eyni səbəbdən istifadə olunur: fundamental qanunlar onların köməyi ilə əldə edilir. Biologiyada diferensial tənliklərdən yırtıcı və yırtıcı kimi sistemlərin davranışını modelləşdirmək üçün istifadə olunur. Onlar, məsələn, mikroorqanizmlərin koloniyasının çoxalma modellərini yaratmaq üçün də istifadə edilə bilər.

Diferensial tənliklər sizə həyatda necə kömək edə bilər?

Bu sualın cavabı sadədir: heç də yox. Əgər siz alim və ya mühəndis deyilsinizsə, deməli, onların sizin üçün faydalı olma ehtimalı azdır. Ancaq ümumi inkişaf üçün diferensial tənliyin nə olduğunu və necə həll edildiyini bilmək zərər verməyəcəkdir. Və sonra oğul və ya qızın sualı "diferensial tənlik nədir?" sizi çaşdırmayacaq. Yaxşı, əgər alim və ya mühəndissinizsə, o zaman özünüz bu mövzunun hər hansı bir elmdə əhəmiyyətini başa düşürsünüz. Ancaq ən vacibi odur ki, indi "birinci dərəcəli diferensial tənliyi necə həll etmək olar?" hər zaman cavab verə bilərsiniz. Razılaşın, insanların anlamaqdan belə qorxduğu bir şeyi başa düşmək həmişə xoşdur.

Təhsildə əsas problemlər

Bu mövzunu başa düşməkdə əsas problem funksiyaların inteqrasiyası və diferensiallaşdırılmasında zəif bacarıqdır. Əgər siz törəmələr və inteqrallarda yaxşı deyilsinizsə, onda yəqin ki, daha çox öyrənməyə, müxtəlif inteqrasiya və diferensiallaşdırma üsullarını mənimsəməyə və yalnız bundan sonra məqalədə təsvir olunan materialı öyrənməyə başlamağa dəyər.

Bəzi insanlar dx-in daşına biləcəyini biləndə təəccüblənirlər, çünki əvvəllər (məktəbdə) dy/dx kəsirinin bölünməz olduğu bildirilirdi. Burada törəmə haqqında ədəbiyyatı oxumaq və bunun tənlikləri həll edərkən manipulyasiya edilə bilən sonsuz kiçik kəmiyyətlərin nisbəti olduğunu başa düşmək lazımdır.

Bir çox insanlar birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həllinin çox vaxt alına bilməyən funksiya və ya inteqral olduğunu dərhal dərk etmir və bu yanlış təsəvvür onlara çoxlu problem yaradır.

Daha yaxşı başa düşmək üçün başqa nə öyrənə bilərsiniz?

Xüsusi dərsliklərlə, məsələn, qeyri-riyazi ixtisasların tələbələri üçün riyazi analizlə bağlı diferensial hesablama dünyasına daha da daxil olmağa başlamaq yaxşıdır. Sonra daha xüsusi ədəbiyyata keçə bilərsiniz.

Diferensial tənliklərə əlavə olaraq, inteqral tənliklərin də olduğunu söyləməyə dəyər, buna görə də hər zaman səy göstərməli və öyrənmək üçün bir şeyiniz olacaq.

Nəticə

Ümid edirik ki, bu məqaləni oxuduqdan sonra diferensial tənliklərin nə olduğu və onları necə düzgün həll etmək barədə bir fikriniz var.

İstənilən halda riyaziyyat bizə müəyyən mənada həyatda faydalı olacaq. Məntiqi və diqqəti inkişaf etdirir, onsuz hər bir insan əlsizdir.

1-ci dərəcəli bircinsli diferensial tənliyi həll etmək üçün u=y/x əvəzetməsindən istifadə edin, yəni u x-dən asılı olaraq yeni naməlum funksiyadır. Beləliklə, y=ux. Məhsulun fərqləndirmə qaydasından istifadə edərək y’ törəməsini tapırıq: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (x’=1 olduğundan). Başqa bir qeyd forması üçün: dy = udx + xdu Əvəz etdikdən sonra tənliyi sadələşdiririk və ayrıla bilən dəyişənləri olan tənliyə gəlirik.

1-ci dərəcəli homogen diferensial tənliklərin həlli nümunələri.

1) Tənliyi həll edin

Bu tənliyin homojen olduğunu yoxlayırıq (bax: Homojen tənliyi necə təyin etmək olar). Əmin olduqdan sonra u=y/x əvəzini edirik, ondan y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Əvəz edin: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Məhsulun loqarifmi loqarifmlərin cəminə bərabər olduğundan ln(ux)=lnu+lnx. Buradan

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Oxşar terminləri gətirdikdən sonra: u’x+u=u(1+lnu). İndi mötərizələri açın

u'x+u=u+ul·lnu. Hər iki tərəfdə u var, deməli u’x=ul·lnu. u x funksiyası olduğundan u’=du/dx. Əvəz edək

Ayrılan dəyişənləri olan bir tənlik əldə etdik. Dəyişənləri hər iki hissəni dx-ə vuraraq və x·ul·lnu-ya bölmək yolu ilə ayırırıq, bir şərtlə ki, hasil x·ul·lnu≠0

Gəlin inteqrasiya edək:

Sol tərəfdə bir cədvəl inteqralı var. Sağda - t=lnu əvəzini edirik, buradan dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Lakin biz artıq müzakirə etdik ki, belə tənliklərdə C əvəzinə ln│C│ götürmək daha əlverişlidir. Sonra

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Loqarifmlərin xassəsinə görə: ln│t│=ln│Сx│. Beləliklə, t=Cx. (şərtə görə, x>0). Əks əvəzetmənin vaxtı gəldi: lnu=Cx. Və daha bir tərs əvəz:

Loqarifmlərin xassəsinə görə:

Bu tənliyin ümumi inteqralıdır.

Biz x·ul·lnu≠0 (və buna görə də x≠0,u≠0, lnu≠0, haradan u≠1) hasilinin vəziyyətini xatırlayırıq. Lakin şərtdən x≠0, u≠1 qalır, deməli, x≠y. Aydındır ki, y=x (x>0) ümumi həllə daxil edilir.

2) y(1)=2 ilkin şərtlərini ödəyən y’=x/y+y/x tənliyinin qismən inteqralını tapın.

Birincisi, biz bu tənliyin homojen olduğunu yoxlayırıq (baxmayaraq ki, y/x və x/y terminlərinin mövcudluğu bunu dolayısı ilə göstərir). Sonra u=y/x əvəzini edirik, ondan y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Alınan ifadələri tənlikdə əvəz edirik:

u'x+u=1/u+u. Sadələşdirək:

u'x=1/u. u x funksiyası olduğundan u’=du/dx:

Ayrılan dəyişənləri olan bir tənlik əldə etdik. Dəyişənləri ayırmaq üçün hər iki tərəfi dx və u-ya vurub x-ə bölürük (x≠0 şərtlə, deməli, u≠0 da, yəni həll itkisi yoxdur).

Gəlin inteqrasiya edək:

və hər iki tərəfdə cədvəlli inteqrallar olduğundan dərhal alırıq

Biz tərs dəyişdirmə həyata keçiririk:

Bu tənliyin ümumi inteqralıdır. İlkin y(1)=2 şərtindən istifadə edirik, yəni nəticədə y=2, x=1 əvəz edirik:

3) Homojen tənliyin ümumi inteqralını tapın:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Əvəzetmə u=y/x, haradan y=ux, dy=xdu+udx. Əvəz edək:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Mötərizədə x² çıxarırıq və hər iki hissəni ona bölürük (x≠0 şərti ilə):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Mötərizələri açın və sadələşdirin:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Şərtləri du və dx ilə qruplaşdırırıq:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Mötərizədə ümumi amilləri çıxaraq:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Dəyişənləri ayırırıq:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Bunun üçün tənliyin hər iki tərəfini xu(u²+1)≠0-a bölürük (buna uyğun olaraq x≠0 tələblərini əlavə edirik (artıq qeyd olunub), u≠0):

Gəlin inteqrasiya edək:

Tənliyin sağ tərəfində cədvəlli inteqral var və sol tərəfdəki rasional kəsri sadə amillərə parçalayırıq:

(yaxud ikinci inteqralda diferensial işarəni əvəz etmək əvəzinə t=1+u², dt=2udu - kimin xoşuna gəlirsə, hansı üsul daha yaxşıdır) əvəzini etmək mümkün idi). Biz əldə edirik:

Loqarifmlərin xüsusiyyətlərinə görə:

Ters dəyişdirmə

u≠0 şərtini xatırlayırıq. Beləliklə, y≠0. C=0 y=0 olduqda, bu o deməkdir ki, məhlul itkisi yoxdur və y=0 ümumi inteqrala daxil edilir.

Şərh

Termini solda x ilə tərk etsəniz, fərqli formada yazılmış bir həll əldə edə bilərsiniz:

Bu halda inteqral əyrinin həndəsi mənası mərkəzləri Oy oxunda olan və başlanğıcdan keçən dairələr ailəsidir.

Özünü test tapşırıqları:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Tənliyin homojen olduğunu yoxlayırıq, bundan sonra u=y/x əvəzini edirik, buradan y=ux, dy=xdu+udx. Şərtlə əvəz edin: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Tənliyin hər iki tərəfini x²≠0-a bölsək, alırıq: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Beləliklə, dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Sadələşdirsək, bizdə var: dx-xudu=0. Deməli xudu=dx, udu=dx/x. Gəlin hər iki hissəni birləşdirək:

Dayan! Gəlin bu çətin düsturu anlamağa çalışaq.

Bəzi əmsalı olan gücdə ilk dəyişən birinci gəlməlidir. Bizim vəziyyətimizdə belədir

Bizim vəziyyətimizdə belədir. Bildiyimiz kimi, bu, birinci dəyişəndəki dərəcənin yaxınlaşması deməkdir. Və birinci dərəcəyə qədər ikinci dəyişən yerindədir. Əmsal.

Bizdə var.

Birinci dəyişən gücdür, ikinci dəyişən isə əmsallı kvadratdır. Bu, tənliyin sonuncu bəndidir.

Gördüyünüz kimi, tənliyimiz düstur şəklində tərifə uyğun gəlir.

Tərifin ikinci (şifahi) hissəsinə baxaq.

Bizdə iki naməlum və. Burada birləşir.

Bütün şərtləri nəzərdən keçirək. Onlarda naməlumların dərəcələrinin cəmi eyni olmalıdır.

Dərəcələrin cəmi bərabərdir.

Güclərin cəmi (at və at) bərabərdir.

Dərəcələrin cəmi bərabərdir.

Gördüyünüz kimi hər şey uyğun gəlir!!!

İndi homojen tənlikləri təyin etməyə məşq edək.

Tənliklərdən hansının homojen olduğunu müəyyənləşdirin:

Homojen tənliklər - ədədləri olan tənliklər:

Tənliyi ayrıca nəzərdən keçirək.

Hər bir termini faktorinqlə bölsək, alarıq

Və bu tənlik tamamilə homojen tənliklərin tərifinə düşür.

Homojen tənlikləri necə həll etmək olar?

Misal 2.

Gəlin tənliyi bölək.

Şərtimizə görə y bərabər ola bilməz. Buna görə də təhlükəsiz şəkildə bölə bilərik

Əvəzetmə edərək, sadə kvadrat tənlik alırıq:

Bu azaldılmış kvadrat tənlik olduğundan, Vyeta teoremindən istifadə edirik:

Əks əvəzetmə etdikdən sonra cavabı alırıq

Cavab:

Misal 3.

Tənliyi (şərtlə) bölək.

Cavab:

Misal 4.

Əgər tapın.

Burada bölmək deyil, çoxalmaq lazımdır. Bütün tənliyi belə çarpaq:

Əvəz edək və kvadrat tənliyi həll edək:

Əks əvəzetmə etdikdən sonra cavabı alırıq:

Cavab:

Homojen triqonometrik tənliklərin həlli.

Homojen triqonometrik tənliklərin həlli yuxarıda təsvir edilən həll üsullarından fərqlənmir. Yalnız burada, başqa şeylər arasında, bir az triqonometriya bilmək lazımdır. Və triqonometrik tənlikləri həll etməyi bacarın (bunun üçün bölməni oxuya bilərsiniz).

Nümunələrdən istifadə edərək belə tənliklərə baxaq.

Misal 5.

Tənliyi həll edin.

Biz tipik bir homojen tənliyi görürük: və naməlumdurlar və hər bir termində onların güclərinin cəmi bərabərdir.

Bu cür homojen tənlikləri həll etmək çətin deyil, lakin tənlikləri bölmədən əvvəl,

Bu halda tənlik aşağıdakı formanı alacaq: , deməli. Lakin sinus və kosinus eyni vaxtda bərabər ola bilməz, çünki əsas triqonometrik eyniliyə görə. Buna görə də onu təhlükəsiz şəkildə bölmək olar:

Tənlik verildiyi üçün Vyeta teoreminə görə:

Cavab:

Misal 6.

Tənliyi həll edin.

Nümunədə olduğu kimi, tənliyi bölmək lazımdır. Gəlin bu halı nəzərdən keçirək:

Lakin sinus və kosinus eyni vaxtda bərabər ola bilməz, çünki əsas triqonometrik eyniliyə görə. Buna görə də.

Əvəz edək və kvadrat tənliyi həll edək:

Əks əvəzetməni edək və tapaq və:

Cavab:

Homojen eksponensial tənliklərin həlli.

Homojen tənliklər yuxarıda müzakirə olunanlarla eyni şəkildə həll edilir. Əgər eksponensial tənlikləri necə həll etməyi unutmusunuzsa, müvafiq bölməyə baxın ()!

Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal 7.

Tənliyi həll edin

Gəlin bunu belə təsəvvür edək:

Biz iki dəyişəni və güclərin cəmi olan tipik bir homojen tənliyi görürük. Tənliyi aşağıdakılara bölək:

Gördüyünüz kimi, əvəzetmə etməklə aşağıdakı kvadrat tənliyi əldə edirik (sıfıra bölməkdən qorxmağa ehtiyac yoxdur - həmişə sıfırdan ciddi şəkildə böyükdür):

Vyeta teoreminə görə:

Cavab: .

Misal 8.

Tənliyi həll edin

Gəlin bunu belə təsəvvür edək:

Tənliyi aşağıdakılara bölək:

Əvəz edək və kvadrat tənliyi həll edək:

Kök şərti qane etmir. Əks əvəzetməni edək və tapaq:

Cavab:

Homojen tənliklər. ORTA SƏVİYYƏ

Əvvəlcə bir problemi misal çəkərək sizə xatırlatmağa icazə verin homojen tənliklər nədir və bircins tənliklərin həlli nədir.

Problemi həll et:

Əgər tapın.

Burada maraqlı bir şey görə bilərsiniz: hər termini bölsək, əldə edirik:

Yəni, indi ayrı-ayrılıqda yoxdur və, - indi tənlikdəki dəyişən istənilən dəyərdir. Və bu, Vyeta teoremindən istifadə etməklə asanlıqla həll edilə bilən adi kvadrat tənlikdir: köklərin hasili bərabərdir, cəmi isə ədədlərdir.

Cavab:

Formanın tənlikləri

homojen adlanır. Yəni bu, iki naməlumlu tənlikdir, hər bir üzvü bu məchulların güclərinin eyni cəminə malikdir. Məsələn, yuxarıdakı nümunədə bu məbləğ bərabərdir. Homojen tənliklər naməlumlardan birinə bu dərəcəyə bölünməklə həll edilir:

Və dəyişənlərin sonrakı dəyişdirilməsi: . Beləliklə, bir naməlum güc tənliyini əldə edirik:

Çox vaxt ikinci dərəcəli (yəni kvadratik) tənliklərlə qarşılaşacağıq və onları necə həll edəcəyimizi bilirik:

Nəzərə alın ki, biz bütün tənliyi dəyişənə yalnız o zaman bölmək (və vurmaq) olar ki, bu dəyişənin sıfıra bərabər ola bilməyəcəyinə əminik! Məsələn, bizdən tapmaq istənilsə, bölmək mümkün olmadığından dərhal anlayırıq. Bunun o qədər də aydın olmadığı hallarda, bu dəyişənin sıfıra bərabər olduğu halı ayrıca yoxlamaq lazımdır. Misal üçün:

Tənliyi həll edin.

Həll:

Biz burada tipik bir homojen tənliyi görürük: və naməlumdurlar və hər bir termində onların güclərinin cəmi bərabərdir.

Lakin, bölünmə və nisbi kvadrat tənlik əldə etməzdən əvvəl, nə vaxt olduğunu nəzərə almalıyıq. Bu halda tənlik formasını alacaq: , yəni . Amma sinus və kosinus eyni vaxtda sıfıra bərabər ola bilməz, çünki əsas triqonometrik eyniliyə görə: . Buna görə də onu təhlükəsiz şəkildə bölmək olar:

Ümid edirəm bu həll tamamilə aydındır? Yoxdursa, bölməni oxuyun. Haradan gəldiyi aydın deyilsə, daha əvvəl - bölməyə qayıtmaq lazımdır.

Özünüz üçün qərar verin:

Əgər tapın.
Əgər tapın.
Tənliyi həll edin.

Burada birbaşa homojen tənliklərin həllini qısaca yazacağam:

Həll yolları:

Cavab: .

Ancaq burada bölməkdənsə çoxaltmaq lazımdır:

Cavab:

Əgər triqonometrik tənlikləri hələ qəbul etməmisinizsə, bu nümunəni atlaya bilərsiniz.

Burada bölmək lazım olduğuna görə əvvəlcə yüz sıfırın sıfıra bərabər olmadığına əmin olaq:

Və bu mümkün deyil.

Cavab: .

HOMOGEN TƏNLƏR. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Bütün homojen tənliklərin həlli dəyişənlərin gücünə və sonrakı dəyişməsinə naməlumlardan birinə bölünməyə qədər azaldılır.

Alqoritm:

Yaxşı, mövzu bitdi. Əgər bu sətirləri oxuyursansa, deməli, çox gözəlsən.

Çünki insanların yalnız 5%-i nəyisə təkbaşına mənimsəməyi bacarır. Və sona qədər oxusanız, deməli bu 5%-dəsiniz!

İndi ən vacib şey.

Bu mövzuda nəzəriyyəni başa düşdünüz. Və təkrar edirəm, bu... bu sadəcə superdir! Siz artıq yaşıdlarınızın böyük əksəriyyətindən daha yaxşısınız.

Problem ondadır ki, bu kifayət deyil...

Nə üçün?

Vahid Dövlət İmtahanını müvəffəqiyyətlə verdiyinə görə, büdcə ilə kollecə daxil olduğun üçün və ən əsası ömürlük.

Sizi heç nəyə inandırmayacağam, sadəcə bir şey deyəcəm...

Yaxşı təhsil almış insanlar, almayanlardan qat-qat çox qazanırlar. Bu statistikadır.

Ancaq bu, əsas məsələ deyil.

Əsas odur ki, onlar DAHA XOŞBƏXTDİR (belə araşdırmalar var). Bəlkə ona görə ki, onların qarşısında daha çox imkanlar açılır və həyat daha parlaq olur? Bilmirəm...

Amma özünüz düşünün...

Vahid Dövlət İmtahanında başqalarından üstün olmaq və nəticədə... daha xoşbəxt olmaq üçün nə lazımdır?

BU MÖVZUDA MƏSƏLƏLƏRİ HƏLL EDƏK ƏLİNİZİ QAZANIN.

İmtahan zamanı sizdən nəzəriyyə tələb olunmayacaq.

Sizə lazım olacaq zamana qarşı problemləri həll edin.

Əgər onları həll etməmisinizsə (ÇOX!), Hardasa mütləq axmaq səhv edəcəksiniz və ya sadəcə vaxtınız olmayacaq.

İdmanda olduğu kimi - əminliklə qalib gəlmək üçün bunu dəfələrlə təkrarlamaq lazımdır.

Kolleksiyanı istədiyiniz yerdə tapın, mütləq həlləri, ətraflı təhlili ilə və qərar verin, qərar verin, qərar verin!

Tapşırıqlarımızdan istifadə edə bilərsiniz (isteğe bağlı) və biz, əlbəttə ki, onları tövsiyə edirik.

Tapşırıqlarımızdan daha yaxşı istifadə etmək üçün siz hazırda oxuduğunuz YouClever dərsliyinin ömrünü uzatmağa kömək etməlisiniz.

Necə? İki seçim var:

Bu məqalədəki bütün gizli tapşırıqları açın - 299 rub.
Dərsliyin bütün 99 məqaləsindəki bütün gizli tapşırıqlara girişi açın - 499 rub.

Bəli, bizim dərsliyimizdə 99 belə məqalə var və bütün tapşırıqlara və onlarda olan bütün gizli mətnlərə giriş dərhal açıla bilər.

Bütün gizli tapşırıqlara giriş saytın BÜTÜN ömrü üçün təmin edilir.

Yekun olaraq...

Tapşırıqlarımızı bəyənmirsinizsə, başqalarını tapın. Sadəcə nəzəriyyədə dayanmayın.

“Anladım” və “Mən həll edə bilərəm” tamamilə fərqli bacarıqlardır. Hər ikisinə ehtiyacınız var.

Problemləri tapın və həll edin!

Məsələn, funksiya
birinci ölçüsün homojen funksiyasıdır, çünki

üçüncü ölçüsün homojen funksiyasıdır, çünki

sıfır ölçüsünün homojen funksiyasıdır, çünki

, yəni.
.

Tərif 2. Birinci dərəcəli diferensial tənlik y" = f(x, y) funksiyası varsa homojen adlanır f(x, y) ilə bağlı sıfır ölçüsünün homojen funksiyasıdır x Və y ya da necə deyərlər f(x, y) sıfır dərəcənin homojen funksiyasıdır.

şəklində təmsil oluna bilər

(3.3) formasına çevrilə bilən diferensial tənlik kimi homojen tənliyi müəyyən etməyə imkan verir.

Yerdəyişmə
homojen tənliyi ayrıla bilən dəyişənləri olan tənliyə endirir. Həqiqətən, əvəzetmədən sonra y =xz alırıq
,
Dəyişənləri ayıraraq və inteqrasiya edərək tapırıq:

Misal 1. Tənliyi həll edin.

Δ Güman edirik y =zx,
Bu ifadələri əvəz edin y Və dy bu tənliyə:
və ya
Dəyişənləri ayırırıq:
və inteqrasiya edin:
,

Əvəz olunur z haqqında , alırıq
.

Misal 2. Tənliyin ümumi həllini tapın.

Δ Bu tənlikdə P (x,y) =x 2 -2y 2 ,Q(x,y) =2xy ikinci ölçüsün homojen funksiyalarıdır, ona görə də bu tənlik homojendir. şəklində təmsil oluna bilər
və yuxarıdakı kimi həll edin. Amma biz fərqli qeyd formasından istifadə edirik. qoyaq y = zx, harada dy = zdx + xdz. Bu ifadələri orijinal tənliyə əvəz edərək, əldə edəcəyik

dx+2 zxdz = 0 .

Dəyişənləri saymaqla ayırırıq

Gəlin bu tənliyin terminini terminə birləşdirək

, harada

yəni
. Əvvəlki funksiyaya qayıdırıq
ümumi həll yolu tapın


Misal 3 . Tənliyin ümumi həllini tapın
.

Δ Çevrilmələr zənciri: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Mühazirə 8.

4. Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliklər Birinci dərəcəli xətti diferensial tənlik formaya malikdir.

Burada tənliyin sağ tərəfi də adlanan sərbəst termindir. Bu formada xətti tənliyi aşağıda nəzərdən keçirəcəyik.

Əgər
0, onda (4.1a) tənliyi xətti qeyri-bərabər adlanır. Əgər
0 olarsa, tənlik formasını alır

və xətti homojen adlanır.

(4.1a) tənliyinin adı naməlum funksiya ilə izah olunur y və onun törəməsi onu xətti olaraq daxil edin, yəni. birinci dərəcədə.

Xətti homojen tənlikdə dəyişənlər ayrılır. Formada yenidən yazın
harada
və inteqrasiya edərək əldə edirik:
,olar.

Bölündükdə qərarı itiririk
. Bununla belə, fərz etsək, onu tapılmış həllər ailəsinə (4.3) daxil etmək olar İLƏ 0 qiymətini də qəbul edə bilər.

(4.1a) tənliyinin həlli üçün bir neçə üsul var. görə Bernoulli üsulu, həlli iki funksiyanın hasili şəklində axtarılır X:

Bu funksiyalardan biri özbaşına seçilə bilər, çünki yalnız məhsuldur uv ilkin tənliyi təmin etməlidir, digəri (4.1a) tənliyinə əsasən müəyyən edilir.

Bərabərliyin hər iki tərəfini fərqləndirərək (4.4) tapırıq
.

Alınan ifadənin törəmə ilə əvəz edilməsi , eləcə də dəyəri saat tənliyinə (4.1a), alırıq
, və ya

olanlar. funksiya kimi v Homojen xətti tənliyin (4.6) həllini götürək:

(Burada C Yazmaq lazımdır, əks halda ümumi deyil, konkret bir həll alacaqsınız).

Beləliklə, (4.4) istifadə edilən əvəzetmə nəticəsində (4.1a) tənliyinin (4.6) və (4.7) ayrıla bilən dəyişənləri olan iki tənliyə çevrildiyini görürük.

Əvəz edən
Və v(x) düsturuna (4.4), nəhayət əldə edirik

Misal 1. Tənliyin ümumi həllini tapın

 Qoyaq
, Sonra
. Əvəzedici ifadələr Və orijinal tənliyə, alırıq
və ya
(*)

Əmsalını sıfıra bərabər təyin edək :

Əldə olunan tənlikdəki dəyişənləri ayırsaq, əldə edirik

(ixtiyari sabit C yazmırıq), buradan v= x. Dəyəri tapıldı v(*) tənliyinə əvəz edin:

,
,
.

Beləliklə,
ilkin tənliyin ümumi həlli.

Qeyd edək ki, (*) tənliyi ekvivalent formada yazıla bilər:

Funksiyanın təsadüfi seçilməsi u, amma yox v, inana bildik
. Bu həll yalnız dəyişdirilməsi ilə nəzərə alınandan fərqlənir v haqqında u(və buna görə də u haqqında v), son dəyər saat eyni olduğu ortaya çıxır.

Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, birinci dərəcəli xətti diferensial tənliyin həlli üçün alqoritm alırıq.

Əlavə olaraq qeyd edək ki, bəzən birinci dərəcəli tənlik əgər xətti olur saat müstəqil dəyişən hesab olunur və x- asılı, yəni. rolları dəyişdirin x Və y. Bu şərtlə edilə bilər x Və dx tənliyi xətti olaraq daxil edin.

Misal 2 . Tənliyi həll edin
.

Görünüşdə bu tənlik funksiyaya görə xətti deyil saat.

Ancaq nəzərə alsaq x funksiyası kimi saat, onda bunu nəzərə alaraq
, formasına gətirilə bilər

(4.1 b)

Əvəz olunur haqqında , alırıq
və ya
. Son tənliyin hər iki tərəfinin məhsula bölünməsi idi, gəlin onu formalaşdıraq

, və ya
. (**)

Burada P(y)=,
. Bu, ilə əlaqədar xətti tənlikdir x. Biz inanırıq
,
. Bu ifadələri (**) ilə əvəz edərək, alırıq

və ya
.

Gəlin v seçək ki,
,
, harada
;
. Növbəti bizdə
,
,
.

Çünki
, onda formada bu tənliyin ümumi həllinə gəlirik

.

Qeyd edək ki, (4.1a) tənliyində P(x) Və Q (x) yalnız funksiyalar şəklində daxil edilə bilməz x, həm də sabitlər: P= a,Q= b. Xətti tənlik

y= əvəzindən istifadə etməklə də həll edilə bilər uv və dəyişənlərin ayrılması:

;
.

Buradan
;
;
; Harada
. Özümüzü loqarifmdan azad edərək tənliyin ümumi həllini əldə edirik

(Burada
).

At b= 0 tənliyinin həllinə gəlirik

(eksponensial artım tənliyinə (2.4) baxın).
).

Əvvəlcə müvafiq homojen tənliyi (4.2) inteqrasiya edirik. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, onun həlli (4.3) formasına malikdir. amili nəzərə alacağıq İLƏ(4.3) funksiyası kimi X, yəni. əsasən dəyişən dəyişikliyi edir

haradan, inteqrasiya edərək, tapırıq

Qeyd edək ki, (4.14)-ə əsasən (həmçinin (4.9)) qeyri-homogen xətti tənliyin ümumi həlli müvafiq bircins tənliyin (4.3) ümumi həlli ilə qeyri-bərabər tənliyin müəyyən edilmiş xüsusi həllinin cəminə bərabərdir. ikinci termin (4.14)-də (və (4.9)-da) daxil edilmişdir.

Xüsusi tənlikləri həll edərkən, çətin düsturdan (4.14) istifadə etməkdənsə, yuxarıdakı hesablamaları təkrar etməlisiniz.

Baxılan tənliyə Laqranj metodunu tətbiq edək misal 1 :

Uyğun homojen tənliyi inteqrasiya edirik
.

Dəyişənləri ayıraraq, alırıq
və sonra
. İfadənin düsturla həlli y = Cx. Biz formada orijinal tənliyin həllini axtarırıq y = C(x)x. Bu ifadəni verilmiş tənliyə əvəz edərək, alırıq
;
;
,
. Orijinal tənliyin ümumi həlli formaya malikdir