Vektorların xətti asılılığı və xətti müstəqilliyi. Vektor əsası

Qoy L- ixtiyari xətti fəza, a i Î L onun elementləridir (vektorları).

Tərif 3.3.1.İfadə , harada, - xətti kombinasiya adlanan ixtiyari real ədədlər vektorlar a 1 , a 2 ,…, a n.

Əgər vektor R = , sonra belə deyirlər R vektorlara parçalanır a 1 , a 2 ,…, a n.

Tərif 3.3.2. Vektorların xətti kombinasiyası deyilir qeyri-trivial, ədədlər arasında sıfırdan başqa ən azı biri varsa. Əks halda, xətti birləşmə adlanır əhəmiyyətsiz.

Tərif 3.3.3 . a 1 , a 2 ,…, a vektorları nƏgər onların qeyri-trivial xətti kombinasiyası mövcuddursa, xətti asılı adlanır

= 0 .

Tərif 3.3.4. a 1, a 2,…, a vektorları n bərabərlik olarsa xətti müstəqil adlanır = 0 yalnız bütün nömrələr olduqda mümkündür l 1, l 2,…, l n eyni zamanda sıfırdır.

Nəzərə alın ki, hər hansı sıfırdan fərqli a 1 elementi bərabərlik olduğundan xətti müstəqil sistem hesab edilə bilər l a 1 = 0 şərti ilə mümkündür l= 0.

Teorem 3.3.1. Xətti asılılıq üçün zəruri və kafi şərt a 1 , a 2 ,…, a n bu elementlərdən ən azı birinin qalan hissəsinə parçalanması imkanıdır.

Sübut. Ehtiyac. a 1 , a 2 ,…, a elementləri olsun n xətti asılıdır. Bu o deməkdir ki = 0 , və nömrələrdən ən azı biri l 1, l 2,…, l n sıfırdan fərqlidir. Qoy dəqiqlik üçün l 1 ¹ 0. Sonra

yəni a 1 elementi a 2, a 3, …, a elementlərinə parçalanır. n.

Adekvatlıq. a 1 elementi a 2, a 3, …, a elementlərinə parçalansın n, yəni a 1 =. Sonra = 0 , buna görə də a 1 , a 2 ,…, a vektorlarının qeyri-trivial xətti kombinasiyası mövcuddur. n bərabərdir 0 , buna görə də onlar xətti asılıdır .

Teorem 3.3.2. a 1 , a 2 ,…, a elementlərindən ən azı biri olarsa n sıfırdır, onda bu vektorlar xətti asılıdır.

Sübut . Qoy a n= 0 , sonra = 0 , bu, göstərilən elementlərin xətti asılılığı deməkdir.

Teorem 3.3.3. Əgər n vektor arasında hər hansı p (s< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Sübut. Müəyyənlik üçün a 1, a 2,…, a elementləri olsun səh xətti asılıdır. Bu o deməkdir ki, qeyri-trivial xətti kombinasiya var ki = 0 . Elementi onun hər iki hissəsinə əlavə etsək, göstərilən bərabərlik qorunacaq. Sonra + = 0 , rəqəmlərdən ən azı biri isə l 1, l 2,…, lp sıfırdan fərqlidir. Buna görə a 1 , a 2 ,…, a vektorları n xətti asılıdır.

Nəticə 3.3.1.Əgər n element xətti müstəqildirsə, onda onlardan hər hansı k xətti müstəqildir (k< n).

Teorem 3.3.4. Əgər vektorlar a 1 , a 2 ,…, a n- 1 xətti müstəqildir və elementlər a 1 , a 2 ,…, a n- 1 , a n xətti asılıdır, sonra vektor a n vektorlara parçalana bilər a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Sübut.Çünki a 1 şərti ilə, a 2 ,…, a n- 1 , a n xətti asılıdır, onda onların qeyri-trivial xətti kombinasiyası mövcuddur = 0 , və (əks halda a 1 , a 2 ,…, a vektorları n- bir). Amma sonra vektor

,

Q.E.D.

Vektorlar sistemi adlanır xətti asılıdır, ən azı biri sıfırdan fərqli olan belə nömrələr varsa, bərabərlik https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src" =" >.

Əgər bu bərabərlik yalnız hamısı varsa, onda vektorlar sistemi adlanır xətti müstəqil.

Teorem. Vektorlar sistemi olacaq xətti asılıdır o halda ki, onun vektorlarından ən azı biri digərlərinin xətti kombinasiyası olsun.

Misal 1 Polinom çoxhədlilərin xətti birləşməsidir https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomlar xətti müstəqil sistem təşkil edir, çünki https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Misal 2 Matris sistemi , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> xətti müstəqildir, çünki xətti birləşmə bərabərdir. sıfır matris yalnız https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ olduqda 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> xətti asılıdır.

Həll.

Bu vektorların xətti kombinasiyasını yaradın https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" hündürlük = 22">.

Bərabər vektorların eyni adlı koordinatlarını bərabərləşdirərək https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> alırıq.

Nəhayət alırıq

və

Sistemin unikal əhəmiyyətsiz həlli var, ona görə də bu vektorların xətti birləşməsi yalnız bütün əmsallar sıfır olduqda sıfırdır. Buna görə də bu vektorlar sistemi xətti müstəqildir.

Misal 4 Vektorlar xətti müstəqildir. Vektor sistemləri nə olacaq

a).;

b).?

Həll.

a). Xətti kombinasiya qurun və onu sıfıra bərabərləşdirin

Xətti fəzada vektorlarla əməliyyatların xassələrindən istifadə edərək, formada sonuncu bərabərliyi yenidən yazırıq

Vektorlar xətti müstəqil olduğundan, üçün əmsallar sıfıra bərabər olmalıdır, yəni..gif" width="12" height="23 src=">

Nəticə tənliklər sisteminin unikal əhəmiyyətsiz həlli var .

Bərabərlikdən bəri (*) yalnız https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif saytında icra edilir width="115 height=20" height="20"> – xətti müstəqil;

b). Bərabərliyi yaradın https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Bənzər əsaslandırmaları tətbiq edərək, əldə edirik

Tənliklər sistemini Gauss üsulu ilə həll edərək əldə edirik

və ya

Sonuncu sistemdə sonsuz sayda həll yolları var https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Beləliklə, qeyri-müəyyən var. bərabərliyi olan əmsalların sıfır dəsti (**) . Buna görə vektorlar sistemi xətti asılıdır.

Misal 5 Vektor sistemi xətti müstəqildir, vektor sistemi isə xətti asılıdır..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Bərabərlikdə (***) . Həqiqətən, üçün sistem xətti asılı olacaq.

Münasibətdən (***) alırıq və ya İşarə et .

alın

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar (sinifdə)

1. Sıfır vektoru olan sistem xətti asılıdır.

2. Tək vektor sistemi a, yalnız və yalnız o halda xətti asılıdır, a=0.

3. İki vektordan ibarət olan sistem, vektorlar mütənasib olduqda (yəni onlardan biri digərindən ədədə vurulmaqla alınır) xətti asılı olur.

4. Xətti asılı sistemə vektor əlavə olunarsa, xətti asılı sistem alınır.

5. Xətti müstəqil sistemdən vektor çıxarılarsa, nəticədə vektorlar sistemi xətti müstəqildir.

6. Əgər sistem S xətti müstəqil, lakin vektor əlavə edildikdə xətti asılı olur b, sonra vektor b sistemin vektorları ilə xətti olaraq ifadə edilir S.

c).İkinci dərəcəli matrislər fəzasında , , matrislər sistemi.

10. Vektorlar sistemi olsun a,b,c vektor fəzası xətti müstəqildir. Aşağıdakı vektor sistemlərinin xətti müstəqilliyini sübut edin:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" eni="15" hündürlük="19">– ixtiyari nömrə

c).a+b, a+c, b+c.

11. Qoy a,b,c müstəvidə üçbucaq yaratmaq üçün istifadə edilə bilən üç vektordur. Bu vektorlar xətti asılı olacaqmı?

12. İki vektor verilmişdir a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Daha iki 4D vektoru seçin a3 vəa4 belə ki, sistem a1,a2,a3,a4 xətti müstəqil idi .

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Həll. Biz tənliklər sisteminin ümumi həllini axtarırıq

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Qauss üsulu. Bunun üçün bu homojen sistemi koordinatlarda yazırıq:

Sistem matrisi

İcazə verilən sistem belə görünür: (r A = 2, n= 3). Sistem ardıcıl və qeyri-müəyyəndir. Onun ümumi həlli ( x 2 – sərbəst dəyişən): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o =. Sıfırdan fərqli özəl həllin olması, məsələn, vektorların olduğunu göstərir a 1 , a 2 , a 3 xətti asılı.

Misal 2

Verilmiş vektorlar sisteminin xətti asılı və ya xətti müstəqil olduğunu öyrənin:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Həll. Homojen tənliklər sistemini nəzərdən keçirək a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

və ya genişləndirilmiş (koordinatlarla)

Sistem homojendir. Qeyri-degenerativdirsə, o zaman onun unikal həlli var. Homojen bir sistem vəziyyətində, sıfır (trivial) həll. Deməli, bu halda vektorlar sistemi müstəqildir. Əgər sistem pozulmuşdursa, o, sıfırdan fərqli həllərə malikdir və buna görə də asılıdır.

Sistemin degenerasiya üçün yoxlanılması:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistem qeyri-degenerasiya və deməli vektorlardır a 1 , a 2 , a 3 xətti müstəqildirlər.

Tapşırıqlar. Verilmiş vektorlar sisteminin xətti asılı və ya xətti müstəqil olduğunu öyrənin:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Sübut edin ki, vektorlar sistemi o halda xətti asılı olacaq:

a) iki bərabər vektor;

b) iki mütənasib vektor.

Vektorların xətti asılılığı və xətti müstəqilliyi.
Vektorların əsasları. Affin koordinat sistemi

Tamaşaçılarda şokoladlı araba var və bu gün hər bir ziyarətçi şirin bir cüt əldə edəcək - xətti cəbrlə analitik həndəsə. Bu məqalə eyni anda ali riyaziyyatın iki bölməsinə toxunacaq və biz onların bir paketdə necə getdiyini görəcəyik. Fasilə verin, Twix yeyin! ... lənətə gəlsin, yaxşı, cəfəngiyyatla mübahisə. Yaxşı olsa da, qol vurmayacağam, sonda oxumağa müsbət münasibət olmalıdır.

Vektorların xətti asılılığı, vektorların xətti müstəqilliyi, vektor əsası və digər terminlər təkcə həndəsi şərhə deyil, hər şeydən əvvəl cəbri mənaya malikdir. Xətti cəbr nöqteyi-nəzərindən "vektor" anlayışının özü həmişə müstəvidə və ya kosmosda təsvir edə biləcəyimiz "adi" vektordan uzaqdır. Sübut üçün uzağa baxmaq lazım deyil, beş ölçülü fəzanın vektorunu çəkməyə çalışın . Və ya Gismeteoya getdiyim hava vektoru: - müvafiq olaraq temperatur və atmosfer təzyiqi. Nümunə, əlbəttə ki, vektor fəzasının xassələri baxımından düzgün deyil, lakin buna baxmayaraq, heç kim bu parametrlərin vektor kimi rəsmiləşdirilməsini qadağan etmir. Payız nəfəsi...

Xeyr, mən sizi nəzəriyyədən, xətti vektor fəzalarından bezdirmək fikrində deyiləm, vəzifə budur başa düşmək təriflər və teoremlər. Yeni terminlər (xətti asılılıq, müstəqillik, xətti birləşmə, bazis və s.) cəbri baxımdan bütün vektorlara şamil edilir, lakin nümunələr həndəsi şəkildə veriləcəkdir. Beləliklə, hər şey sadə, əlçatan və vizualdır. Analitik həndəsə problemlərinə əlavə olaraq, cəbrin bəzi tipik tapşırıqlarını da nəzərdən keçirəcəyik. Materialı mənimsəmək üçün dərslərlə tanış olmaq məsləhətdir Butaforlar üçün vektorlar və Determinantı necə hesablamaq olar?

Müstəvi vektorların xətti asılılığı və müstəqilliyi.
Müstəvi əsas və afin koordinat sistemi

Kompüter masanızın müstəvisini nəzərdən keçirin (yalnız bir masa, yataq masası, döşəmə, tavan, istədiyiniz hər şey). Tapşırıq aşağıdakı hərəkətlərdən ibarət olacaq:

1) Təyyarə əsasını seçin. Təxminən desək, masanın uzunluğu və eni var, buna görə də əsas qurmaq üçün iki vektorun tələb olunduğu intuitiv olaraq aydındır. Bir vektor kifayət deyil, üç vektor həddindən artıqdır.

2) Seçilmiş əsas əsasında koordinat sistemini təyin edin(koordinat şəbəkəsi) masanın bütün elementlərinə koordinatlar təyin etmək üçün.

Təəccüblənməyin, əvvəlcə izahatlar barmaqlarda olacaq. Üstəlik, sizin. Zəhmət olmasa yerləşdirin sol əlin şəhadət barmağı stolun kənarında ki, monitora baxsın. Bu vektor olacaq. İndi yer sağ əlin kiçik barmağı masanın kənarında eyni şəkildə - monitor ekranına yönəldilməsi üçün. Bu vektor olacaq. Gülümsə, əla görünürsən! Vektorlar haqqında nə demək olar? Məlumat vektorları kollinear, yəni xətti olaraq bir-biri vasitəsilə ifadə olunur:
, yaxşı və ya əksinə: , burada sıfırdan fərqli rəqəmdir.

Bu hərəkətin şəklini dərsdə görə bilərsiniz. Butaforlar üçün vektorlar, burada vektoru ədədə vurma qaydasını izah etdim.

Barmaqlarınız kompüter masasının müstəvisinə əsas qoyacaqmı? Aydındır ki, yox. Kollinear vektorlar irəli-geri hərəkət edir tək bir təyyarənin uzunluğu və eni olduğu halda, istiqamət.

Belə vektorlar deyilir xətti asılıdır.

İstinad: “Xətti”, “xətti” sözləri riyazi tənliklərdə, ifadələrdə kvadratların, kubların, başqa dərəcələrin, loqarifmlərin, sinusların və s.-nin olmadığını bildirir. Yalnız xətti (1-ci dərəcə) ifadələr və asılılıqlar var.

İki təyyarə vektoru xətti asılıdır yalnız və yalnız bir-birinə uyğun gələrsə.

Barmaqlarınızı masanın üstündə çarpazlayın ki, aralarında 0 və ya 180 dərəcədən başqa istənilən bucaq olsun. İki təyyarə vektoruxətti olaraq yox yalnız və yalnız kollinear olmadıqda asılıdır. Beləliklə, əsas alındı. Əsasın müxtəlif uzunluqların perpendikulyar olmayan vektorları ilə "oblik" olduğu ortaya çıxdığından utanmaq lazım deyil. Tezliklə biz onun qurulması üçün nəinki 90 dərəcə bucağın uyğun olduğunu, nəinki bərabər uzunluqlu vahid vektorların olmadığını görəcəyik.

Hər hansı təyyarə vektoru yeganə yoləsas baxımından genişləndirilir:
, real ədədlər haradadır. Nömrələr çağırılır vektor koordinatları bu əsasda.

Bunu da deyirlər vektorşəklində təqdim olunur xətti birləşməəsas vektorlar. Yəni ifadə deyilir vektor parçalanmasıəsas və ya xətti birləşməəsas vektorlar.

Məsələn, bir vektorun müstəvidə ortonormal əsasda genişləndiyini və ya vektorların xətti birləşməsi kimi göstərildiyini söyləyə bilərsiniz.

Gəlin formalaşdıraq əsas tərif formal olaraq: təyyarə əsası bir cüt xətti müstəqil (kollinear olmayan) vektordur, , burada hər hansı müstəvi vektor əsas vektorların xətti birləşməsidir.

Tərifin əsas məqamı vektorların götürülməsidir müəyyən bir qaydada. əsaslar Bunlar tamamilə fərqli iki əsasdır! Necə deyərlər, sol əlin kiçik barmağını sağ əlin kiçik barmağının yerinə keçirmək olmaz.

Əsasını başa düşdük, lakin koordinatlar şəbəkəsini qurmaq və kompüter masanızda hər bir elementə koordinatlar təyin etmək kifayət deyil. Niyə kifayət deyil? Vektorlar sərbəstdir və bütün təyyarədə gəzirlər. Beləliklə, vəhşi bir həftə sonundan qalan kiçik çirkli masa nöqtələrinə koordinatları necə təyin edirsiniz? Bir başlanğıc nöqtəsi lazımdır. Və belə bir istinad nöqtəsi hər kəsə tanış olan bir nöqtədir - koordinatların mənşəyi. Koordinat sistemini başa düşmək:

Mən "məktəb" sistemi ilə başlayacağam. Artıq giriş dərsində Butaforlar üçün vektorlar Düzbucaqlı koordinat sistemi ilə ortonormal əsas arasındakı bəzi fərqləri vurğuladım. Budur standart şəkil:

Haqqında danışarkən düzbucaqlı koordinat sistemi, onda çox vaxt onlar mənşəyi, koordinat oxlarını və oxlar boyunca miqyası nəzərdə tuturlar. Axtarış sistemində “düzbucaqlı koordinat sistemi” yazmağa çalışın və görəcəksiniz ki, bir çox mənbələr sizə 5-6-cı siniflərdən tanış olan koordinat oxları və müstəvidə nöqtələrin necə qurulacağı barədə məlumat verəcəklər.

Digər tərəfdən, insanda belə bir təəssürat yaranır ki, düzbucaqlı koordinat sistemi ortonormal əsas baxımından yaxşı müəyyən edilə bilər. Və demək olar ki. Tərif belə olur:

mənşəyi, və ortonormaləsas dəsti Təyyarənin kartezian koordinat sistemi . Yəni düzbucaqlı koordinat sistemi mütləq tək nöqtə və iki vahid ortoqonal vektorla müəyyən edilir. Buna görə də yuxarıda verdiyim rəsmi görürsən - həndəsi məsələlərdə həm vektorlar, həm də koordinat oxları çox vaxt (lakin həmişə deyil) çəkilir.

Düşünürəm ki, hər kəs bir nöqtə (mənşə) və ortonormal əsasın köməyi ilə başa düşür Təyyarənin HƏR NÖQTƏSİ və təyyarənin HƏR VEKTORU koordinatları təyin edilə bilər. Obrazlı desək, “təyyarədə hər şeyi nömrələmək olar”.

Koordinat vektorları vahid olmalıdırmı? Xeyr, onlar ixtiyari sıfırdan fərqli uzunluğa malik ola bilərlər. Bir nöqtəni və ixtiyari sıfırdan fərqli uzunluqlu iki ortoqonal vektoru nəzərdən keçirək:

Belə bir əsas deyilir ortoqonal. Vektorlu koordinatların mənşəyi koordinat torunu müəyyən edir və müstəvinin istənilən nöqtəsi, istənilən vektorun verilmiş əsasda öz koordinatları var. Məsələn, və ya. Aşkar narahatçılıq koordinat vektorlarının olmasıdır ümumiyyətlə birlikdən başqa müxtəlif uzunluqlara malikdir. Əgər uzunluqlar birinə bərabərdirsə, onda adi ortonormal əsas alınır.

! Qeyd : ortoqonal əsasda, eləcə də aşağıda müstəvi və fəzanın afin əsaslarında oxlar boyunca vahidlər nəzərə alınır. ŞƏRTLİ. Məsələn, absis üzərində bir vahiddə 4 sm, ordinatda bir vahiddə 2 sm var.Bu məlumat lazım olduqda “qeyri-standart” koordinatları “adi santimetrlərimizə” çevirmək üçün kifayətdir.

Və əslində artıq cavablandırılmış ikinci sual - əsas vektorlar arasındakı bucaq mütləq 90 dərəcəyə bərabərdirmi? Yox! Tərifdə deyildiyi kimi, əsas vektorlar olmalıdır yalnız kollinear deyil. Müvafiq olaraq, bucaq 0 və 180 dərəcədən başqa hər şey ola bilər.

Təyyarədə bir nöqtə çağırıldı mənşəyi, və qeyri-kollinear vektorlar, , təyin edin təyyarənin afin koordinat sistemi :

Bəzən bu koordinat sistemi adlanır əyri sistemi. Nöqtələr və vektorlar rəsmdə nümunə kimi göstərilmişdir:

Anladığınız kimi, affin koordinat sistemi daha az rahatdır, dərsin ikinci hissəsində nəzərdən keçirdiyimiz vektor və seqmentlərin uzunluqları üçün düsturlar işləmir. Butaforlar üçün vektorlar, ilə əlaqəli bir çox dadlı düsturlar vektorların skalyar hasili. Lakin vektorların əlavə edilməsi və vektorun ədədə vurulması qaydaları etibarlıdır, bu baxımdan bir seqmenti bölmək üçün düsturlar, eləcə də tezliklə nəzərdən keçirəcəyimiz bəzi digər problemlər.

Nəticə budur ki, afin koordinat sisteminin ən əlverişli xüsusi halı Dekart düzbucaqlı sistemidir. Buna görə də, o, özünü ən çox görmək məcburiyyətindədir. ... Bununla belə, bu həyatda hər şey nisbidir - bir oblique (və ya başqa bir şey, məsələn, qütb) koordinat sistemi. Bəli və humanoidlər belə sistemlərin dadına gələ bilər =)

Gəlin praktik hissəyə keçək. Bu dərsdəki bütün məsələlər həm düzbucaqlı koordinat sistemi, həm də ümumi afin vəziyyət üçün etibarlıdır. Burada mürəkkəb bir şey yoxdur, bütün material hətta məktəbli üçün də mövcuddur.

Müstəvi vektorların kollinearlığını necə təyin etmək olar?

Tipik şey. İki müstəvi vektor üçün kollineardır, onların müvafiq koordinatlarının mütənasib olması zəruri və kifayətdir.Əsasən, bu, aşkar əlaqənin koordinata görə dəqiqləşdirilməsidir.

Misal 1

a) Vektorların kollinear olub olmadığını yoxlayın .
b) Vektorlar əsas təşkil edirmi? ?

Həll:
a) Vektorlar üçün mövcud olub olmadığını öyrənin mütənasiblik əmsalı, beləliklə bərabərliklər yerinə yetirilir:

Mən sizə mütləq bu qaydanın tətbiqinin praktikada kifayət qədər yaxşı işləyən “qeybi” versiyası haqqında danışacağam. İdeya dərhal bir nisbət tərtib etmək və düzgün olub olmadığını görməkdir:

Vektorların müvafiq koordinatlarının nisbətlərindən nisbət yaradaq:

Qısaldırıq:
, buna görə də müvafiq koordinatlar mütənasibdir, buna görə də,

Əlaqə qurula bilər və əksinə, bu ekvivalent variantdır:

Özünü sınamaq üçün kollinear vektorların bir-biri ilə xətti şəkildə ifadə olunmasından istifadə etmək olar. Bu vəziyyətdə bərabərliklər var . Onların etibarlılığı vektorlarla elementar əməliyyatlar vasitəsilə asanlıqla yoxlanıla bilər:

b) İki müstəvi vektor kollinear deyilsə (xətti müstəqil) əsas təşkil edir. Vektorları kollinearlıq üçün yoxlayırıq . Gəlin bir sistem yaradaq:

Birinci tənlikdən belə çıxır ki, ikinci tənlikdən belə çıxır ki, bu o deməkdir ki, sistem uyğunsuzdur(həll yoxdur). Beləliklə, vektorların uyğun koordinatları mütənasib deyil.

Nəticə: vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.

Həllin sadələşdirilmiş versiyası belə görünür:

Vektorların müvafiq koordinatlarından nisbəti tərtib edin :
, deməli, bu vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.

Adətən rəyçilər bu seçimi rədd etmirlər, lakin bəzi koordinatların sıfıra bərabər olduğu hallarda problem yaranır. Bunun kimi: . Və ya bu kimi: . Və ya bu kimi: . Burada nisbət üzərində necə işləmək olar? (Həqiqətən, sıfıra bölmək olmaz). Məhz bu səbəbdən sadələşdirilmiş həlli “foppish” adlandırdım.

Cavab: a) , b) forma.

Müstəqil bir həll üçün kiçik bir yaradıcı nümunə:

Misal 2

Parametr vektorlarının hansı qiymətində kollinear olacaq?

Nümunə həllində parametr nisbət vasitəsilə tapılır.

Vektorların kollinearlığını yoxlamaq üçün zərif bir cəbr üsulu var.Gəlin biliklərimizi sistemləşdirək və onu beşinci nöqtə kimi əlavə edək:

İki müstəvi vektor üçün aşağıdakı ifadələr ekvivalentdir:

2) vektorlar əsas təşkil edir;
3) vektorlar kollinear deyil;

+ 5) bu vektorların koordinatlarından ibarət olan determinant sıfırdan fərqlidir.

müvafiq olaraq, aşağıdakı əks ifadələr ekvivalentdir:
1) vektorlar xətti asılıdır;
2) vektorlar əsas təşkil etmir;
3) vektorlar kollineardır;
4) vektorlar bir-biri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə oluna bilər;
+ 5) bu vektorların koordinatlarından ibarət olan determinant sıfıra bərabərdir.

Çox, çox ümid edirəm ki, bu anda rastlaşdığınız bütün terminləri və ifadələri başa düşürsünüz.

Gəlin yeni, beşinci məqama daha yaxından nəzər salaq: iki müstəvi vektor yalnız və yalnız verilmiş vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabər olduqda kollinear olurlar.:. Bu xüsusiyyətdən istifadə etmək üçün təbii ki, bacarmaq lazımdır determinantları tapın.

Biz qərar verəcəyikİkinci şəkildə 1-ci misal:

a) Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayın :
, buna görə də bu vektorlar kollineardır.

b) İki müstəvi vektor kollinear deyilsə (xətti müstəqil) əsas təşkil edir. Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayaq :
, deməli, vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.

Cavab: a) , b) forma.

Proporsional məhluldan daha yığcam və gözəl görünür.

Nəzərdən keçirilən materialın köməyi ilə təkcə vektorların kollinearlığını qurmaq deyil, həm də seqmentlərin, düz xətlərin paralelliyini sübut etmək mümkündür. Xüsusi həndəsi formalarla bağlı bir neçə problemi nəzərdən keçirin.

Misal 3

Dördbucaqlının təpələri verilmişdir. Dördbucaqlının paraleloqram olduğunu sübut edin.

Sübut: Problemdə rəsm çəkməyə ehtiyac yoxdur, çünki həll sırf analitik olacaqdır. Paraleloqramın tərifini xatırlayın:
Paraleloqram Qarşı tərəflərin cüt-cüt paralel olduğu dördbucaqlı adlanır.

Beləliklə, sübut etmək lazımdır:
1) əks tərəflərin paralelliyi və;
2) əks tərəflərin paralelliyi və .

Biz sübut edirik:

1) vektorları tapın:

2) vektorları tapın:

Nəticə eyni vektordur ("məktəbə görə" - bərabər vektorlar). Kollinearlıq olduqca açıqdır, lakin düzgün qərar vermək daha yaxşıdır, tənzimləmə ilə. Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayın:
, buna görə də bu vektorlar kollineardır və .

Nəticə: Dördbucaqlının əks tərəfləri cüt-cüt paraleldir, ona görə də tərifinə görə paraleloqramdır. Q.E.D.

Daha yaxşı və fərqli rəqəmlər:

Misal 4

Dördbucaqlının təpələri verilmişdir. Dördbucaqlının trapesiya olduğunu sübut edin.

Sübutun daha ciddi formalaşdırılması üçün, əlbəttə ki, trapezoidin tərifini almaq daha yaxşıdır, ancaq onun necə göründüyünü xatırlamaq kifayətdir.

Bu müstəqil qərar vermək üçün bir vəzifədir. Dərsin sonunda tam həll.

İndi yavaş-yavaş təyyarədən kosmosa keçmək vaxtıdır:

Kosmik vektorların kollinearlığını necə təyin etmək olar?

Qayda çox oxşardır. İki kosmos vektorunun kollinear olması üçün onların müvafiq koordinatlarının uyğunluğu ilə mütənasib olması zəruri və kifayətdir..

Misal 5

Aşağıdakı kosmik vektorların kollinear olub olmadığını öyrənin:

a) ;
b)
in)

Həll:
a) Vektorların müvafiq koordinatları üçün mütənasiblik əmsalının olub olmadığını yoxlayın:

Sistemin həlli yoxdur, yəni vektorlar kollinear deyil.

"Sadələşdirilmiş" nisbəti yoxlayaraq tərtib edilir. Bu halda:
– uyğun koordinatlar mütənasib deyil, yəni vektorlar kollinear deyildir.

Cavab: vektorlar kollinear deyil.

b-c) Bunlar müstəqil qərar üçün nöqtələrdir. Bunu iki yolla sınayın.

Məkan vektorlarının kollinearlığını yoxlamaq üçün bir üsul var və üçüncü dərəcəli determinant vasitəsilə bu üsul məqalədə əhatə olunur. Vektorların çarpaz məhsulu.

Təyyarə vəziyyətində olduğu kimi, nəzərdən keçirilən alətlər fəza seqmentlərinin və xətlərin paralelliyini öyrənmək üçün istifadə edilə bilər.

İkinci bölməyə xoş gəlmisiniz:

Üçölçülü fəza vektorlarının xətti asılılığı və müstəqilliyi.
Məkan əsası və afin koordinat sistemi

Təyyarədə nəzərdən keçirdiyimiz qanunauyğunluqların çoxu kosmos üçün də keçərlidir. Mən nəzəriyyənin xülasəsini minimuma endirməyə çalışdım, çünki məlumatın aslan payı artıq çeynənib. Buna baxmayaraq, giriş hissəsini diqqətlə oxumağınızı tövsiyə edirəm, çünki yeni terminlər və anlayışlar meydana çıxacaq.

İndi kompüter masasının müstəvisi əvəzinə üçölçülü fəzanı araşdıraq. Əvvəlcə onun əsasını yaradaq. Kimsə indi evdə, kimsə çöldə, amma hər halda, üç ölçüdən uzaqlaşa bilmərik: en, uzunluq və hündürlük. Buna görə də, əsas qurmaq üçün üç fəza vektoru tələb olunur. Bir və ya iki vektor kifayət deyil, dördüncü artıqdır.

Və yenidən barmaqlarda qızdırırıq. Zəhmət olmasa əlinizi yuxarı qaldırın və müxtəlif istiqamətlərə yayın baş barmaq, şəhadət və orta barmaq. Bunlar vektorlar olacaq, müxtəlif istiqamətlərə baxırlar, müxtəlif uzunluqlara malikdirlər və öz aralarında fərqli açılara malikdirlər. Təbrik edirik, üçölçülü məkanın əsası hazırdır! Yeri gəlmişkən, barmaqlarınızı necə büksəniz də, bunu müəllimlərə nümayiş etdirməyə ehtiyac yoxdur, ancaq təriflərdən uzaqlaşa bilməzsiniz =)

Sonra vacib bir sual veririk, hər hansı üç vektorun üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edib-etməməsi? Zəhmət olmasa üç barmağınızla kompüter masasının üstünə möhkəm basın. Nə olub? Üç vektor eyni müstəvidə yerləşir və kobud desək, ölçülərdən birini - hündürlüyü itirmişik. Belə vektorlar düzbucaqlı və tamamilə aydındır ki, üçölçülü məkanın əsası yaradılmayıb.

Qeyd etmək lazımdır ki, koplanar vektorlar eyni müstəvidə uzanmaq məcburiyyətində deyil, onlar paralel müstəvilərdə ola bilər (sadəcə bunu barmaqlarınızla etməyin, yalnız Salvador Dali belə çıxdı =)).

Tərif: vektorlar deyilir düzbucaqlı paralel olduqları müstəvi varsa. Burada əlavə etmək məntiqlidir ki, əgər belə bir müstəvi yoxdursa, onda vektorlar koplanar olmayacaq.

Üç koplanar vektor həmişə xətti asılıdır, yəni bir-biri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə olunur. Sadəlik üçün yenidən onların eyni müstəvidə yatdıqlarını təsəvvür edin. Birincisi, vektorlar təkcə düzənli deyil, həm də kollinear ola bilər, sonra istənilən vektor istənilən vektor vasitəsilə ifadə oluna bilər. İkinci halda, məsələn, vektorlar kollinear deyilsə, üçüncü vektor onlar vasitəsilə unikal şəkildə ifadə edilir: (və əvvəlki bölmənin materiallarından nə üçün təxmin etmək asandır).

Bunun əksi də doğrudur: üç qeyri-komplanar vektor həmişə xətti müstəqildir, yəni heç bir şəkildə bir-biri vasitəsilə ifadə olunmur. Və aydındır ki, yalnız belə vektorlar üçölçülü məkanın əsasını təşkil edə bilər.

Tərif: Üçölçülü məkanın əsası xətti müstəqil (komplanar olmayan) vektorların üçlü adlanır, müəyyən qaydada qəbul edilir, fəzanın istənilən vektoru olarkən yeganə yol verilmiş əsasda genişlənir , burada vektorun koordinatları verilmiş əsasdadır

Xatırladaq ki, vektorun kimi təmsil olunduğunu da söyləyə bilərsiniz xətti birləşməəsas vektorlar.

Koordinat sistemi anlayışı müstəvi vəziyyətində olduğu kimi təqdim olunur, bir nöqtə və istənilən üç xətti müstəqil vektor kifayətdir:

mənşəyi, və qeyri-düzgün vektorlar, müəyyən qaydada qəbul edilir, təyin edin üçölçülü fəzanın affin koordinat sistemi :

Əlbəttə ki, koordinat şəbəkəsi "çəp" və əlverişsizdir, lakin buna baxmayaraq, qurulmuş koordinat sistemi bizə imkan verir mütləq istənilən vektorun koordinatlarını və fəzada istənilən nöqtənin koordinatlarını təyin edin. Təyyarə kimi, yuxarıda qeyd etdiyim bəzi düsturlar kosmosun affin koordinat sistemində işləməyəcək.

Hər kəsin təxmin edə bildiyi kimi, afin koordinat sisteminin ən tanış və əlverişli xüsusi halıdır düzbucaqlı kosmik koordinat sistemi:

kosmosdakı nöqtə adlanır mənşəyi, və ortonormaləsas dəsti Kosmosun kartezian koordinat sistemi . tanış şəkil:

Praktiki tapşırıqlara keçməzdən əvvəl məlumatları yenidən sistemləşdiririk:

Üç fəza vektoru üçün aşağıdakı ifadələr ekvivalentdir:
1) vektorlar xətti müstəqildir;
2) vektorlar əsas təşkil edir;
3) vektorlar koplanar deyil;
4) vektorlar bir-biri vasitəsilə xətti ifadə edilə bilməz;
5) bu vektorların koordinatlarından ibarət olan determinant sıfırdan fərqlidir.

Məncə, əks bəyanatlar başa düşüləndir.

Kosmik vektorların xətti asılılığı/müstəqilliyi ənənəvi olaraq determinantdan istifadə etməklə yoxlanılır (maddə 5). Qalan praktiki tapşırıqlar açıq-aşkar cəbri xarakter daşıyacaqdır. Dırnaq üzərində həndəsi çubuq asmaq və xətti cəbr beysbol yarasasını istifadə etmək vaxtıdır:

Üç kosmik vektor Verilmiş vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabər olduqda və yalnız o zaman müştərəkdir: .

Diqqətinizi kiçik bir texniki nüansa cəlb edirəm: vektorların koordinatları təkcə sütunlarda deyil, həm də sətirlərdə yazıla bilər (determinantın qiyməti bundan dəyişməyəcək - determinantların xüsusiyyətlərinə baxın). Ancaq sütunlarda daha yaxşıdır, çünki bəzi praktik problemlərin həlli üçün daha faydalıdır.

Determinantların hesablanması üsullarını bir az unudan və ya bəlkə də ümumiyyətlə zəif yönümlü olan oxucular üçün ən qədim dərslərimdən birini tövsiyə edirəm: Determinantı necə hesablamaq olar?

Misal 6

Aşağıdakı vektorların üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edib-etmədiyini yoxlayın:

Həll: Əslində, bütün həll determinantın hesablanmasına gəlir.

a) Vektorların koordinatlarından ibarət determinantı hesablayın (birinci sətirdə determinant genişlənir):

, bu o deməkdir ki, vektorlar xətti müstəqildirlər (komplanar deyil) və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edirlər.

Cavab verin: bu vektorlar əsas təşkil edir

b) Bu, müstəqil qərar üçün bir məqamdır. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Yaradıcı vəzifələr də var:

Misal 7

Parametrin hansı qiymətində vektorlar koplanar olacaq?

Həll: Verilmiş vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabər olduqda vektorlar müştərəkdir:

Əsasən, müəyyənedici ilə tənliyi həll etmək tələb olunur. Biz uçurtmalar jerboa kimi sıfırlara uçuruq - ikinci sətirdəki determinantı açmaq və dərhal mənfi cəhətlərdən qurtulmaq ən sərfəlidir:

Əlavə sadələşdirmələr aparırıq və məsələni ən sadə xətti tənliyə endiririk:

Cavab verin: at

Burada yoxlamaq asandır, bunun üçün nəticədə alınan dəyəri orijinal determinantla əvəz etməli və əmin olun ki, onu yenidən açmaqla.

Yekun olaraq, daha çox cəbri xarakter daşıyan və ənənəvi olaraq xətti cəbr kursuna daxil olan başqa bir tipik məsələni nəzərdən keçirək. O qədər yaygındır ki, ayrı bir mövzuya layiqdir:

3 vektorun üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etdiyini sübut edin
və verilmiş əsasda 4-cü vektorun koordinatlarını tapın

Misal 8

Vektorlar verilir. Vektorların üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etdiyini göstərin və bu əsasda vektorun koordinatlarını tapın.

Həll: Əvvəlcə şərtlə məşğul olaq. Şərtə görə, dörd vektor verilir və gördüyünüz kimi, onların artıq müəyyən əsasda koordinatları var. Əsas nədir - bizi maraqlandırmır. Və aşağıdakı şey maraqlıdır: üç vektor yeni bir əsas yarada bilər. Və ilk addım 6-cı nümunənin həlli ilə tamamilə eynidir, vektorların həqiqətən xətti müstəqil olub olmadığını yoxlamaq lazımdır:

Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayın:

, deməli, vektorlar xətti müstəqildir və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edir.

! Əhəmiyyətli : vektor koordinatları mütləq yazın sütunlara sətirlər deyil, müəyyənedicidir. Əks halda, sonrakı həll alqoritmində qarışıqlıq yaranacaq.

Tapşırıq 1. Vektorlar sisteminin xətti müstəqil olub olmadığını öyrənin. Vektorlar sistemi, sütunları vektorların koordinatlarından ibarət olan sistemin matrisi ilə müəyyən ediləcək.

.

Həll. Xətti birləşməyə icazə verin sıfıra bərabərdir. Bu bərabərliyi koordinatlarda yazaraq aşağıdakı tənliklər sistemini əldə edirik:

.

Belə tənliklər sisteminə üçbucaq deyilir. Onun yeganə həll yolu var. . Beləliklə vektorlar xətti müstəqildirlər.

Tapşırıq 2. Vektorlar sisteminin xətti müstəqil olub olmadığını öyrənin.

.

Həll. Vektorlar xətti müstəqildir (1-ci məsələyə bax). Sübut edək ki, vektor vektorların xətti birləşməsidir . Vektor genişlənmə əmsalları tənliklər sistemindən müəyyən edilir

.

Bu sistem, üçbucaqlı sistem kimi, unikal həll yoluna malikdir.

Buna görə vektorlar sistemi xətti asılı.

Şərh. 1-ci məsələdəki kimi matrislər çağırılır üçbucaqlı , və problem 2 - pilləli üçbucaqlı . Vektorlar sisteminin xətti asılılığı məsələsi, bu vektorların koordinatlarından ibarət matris pilləli üçbucaqlı olduqda asanlıqla həll olunur. Əgər matrisin xüsusi forması yoxdursa, o zaman istifadə olunur elementar sətir çevrilmələri , sütunlar arasında xətti əlaqələri qoruyaraq, pilləli-üçbucaqlı formaya endirilə bilər.

Elementar sətir çevrilmələri matrislər (EPS) matris üzərində aşağıdakı əməliyyatlar adlanır:

1) xətlərin dəyişdirilməsi;

2) sətri sıfırdan fərqli ədədə vurmaq;

3) sətirə ixtiyari bir rəqəmə vurulan başqa bir sətir əlavə etmək.

Tapşırıq 3. Maksimum xətti müstəqil alt sistemi tapın və vektorlar sisteminin dərəcəsini hesablayın

.

Həll. EPS-in köməyi ilə sistemin matrisini pilləli-üçbucaqlı formaya endirək. Proseduru izah etmək üçün çevriləcək matrisin nömrəsi olan xətt simvolu ilə işarələnəcəkdir. Oxdan sonrakı sütun yeni matrisin sətirlərini əldə etmək üçün çevrilmiş matrisin sətirlərində yerinə yetirilməli olan hərəkətləri göstərir.

.

Aydındır ki, alınan matrisin ilk iki sütunu xətti müstəqildir, üçüncü sütun onların xətti birləşməsidir, dördüncüsü isə ilk ikisindən asılı deyil. Vektorlar əsas adlanır. Onlar sistemin maksimum xətti müstəqil alt sistemini təşkil edirlər , sistemin dərəcəsi isə üçdür.

Əsas, koordinatlar

Tapşırıq 4. Koordinatları şərti ödəyən həndəsi vektorlar çoxluğunda bu əsasda vektorların əsasını və koordinatlarını tapın. .

Həll. Çoxluq mənşədən keçən bir təyyarədir. Təyyarədə ixtiyari əsas iki qeyri-kollinear vektordan ibarətdir. Seçilmiş əsasda vektorların koordinatları müvafiq xətti tənliklər sisteminin həlli ilə müəyyən edilir.

Bu problemi həll etməyin başqa bir yolu var, o zaman koordinatlarla əsas tapa bilərsiniz.

Koordinatlar boşluqlar müstəvidə koordinat deyil, çünki onlar əlaqə ilə bağlıdır , yəni müstəqil deyillər. Müstəqil dəyişənlər və (bunlar sərbəst adlanır) müstəvidəki vektoru unikal şəkildə təyin edir və buna görə də onları koordinatlar kimi seçmək olar. Sonra əsas sərbəst dəyişənlər çoxluğunda yerləşən və onlara uyğun gələn vektorlardan ibarətdir və , yəni.

Tapşırıq 5. Fəzadakı tək koordinatları bir-birinə bərabər olan bütün vektorların çoxluğunda bu əsasda vektorların əsasını və koordinatlarını tapın.

Həll. Əvvəlki problemdə olduğu kimi koordinatları seçirik.

Çünki , sonra sərbəst dəyişənlər vektoru unikal şəkildə təyin edin və buna görə də koordinatlardır. Müvafiq əsas vektorlardan ibarətdir.

Tapşırıq 6. Formanın bütün matrisləri çoxluğunda bu əsasda vektorların əsasını və koordinatlarını tapın , harada ixtiyari nömrələrdir.

Həll. Hər bir matris unikal şəkildə təmsil oluna bilər:

Bu əlaqə vektorun bazis baxımından genişlənməsidir
koordinatları ilə .

Tapşırıq 7. Vektorlar sisteminin xətti diapazonunun ölçüsünü və əsasını tapın

.

Həll. EPS-dən istifadə edərək, matrisi sistem vektorlarının koordinatlarından pilləli üçbucaqlı formaya çeviririk.

.

sütunlar sonuncu matrisin xətti müstəqildir və sütunlar onlar vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilir. Beləliklə vektorlar əsasını təşkil edir , və .

Şərh. Əsas qeyri-müəyyən seçilmişdir. Məsələn, vektorlar əsasını da təşkil edir .