Rasional və ya irrasional ədəd. İrrasional ədədlər: onlar nədir və nə üçün istifadə olunur

İrrasional ədədlər hansılardır? Onlar niyə belə adlanır? Onlar harada istifadə olunur və onlar nədir? Çox az adam bu suallara tərəddüd etmədən cavab verə bilər. Ancaq əslində onlara cavablar olduqca sadədir, baxmayaraq ki, hər kəs onlara ehtiyac duymur və çox nadir hallarda.

Mahiyyət və təyinat

İrrasional ədədlər sonsuz qeyri-dövridir Bu anlayışın təqdim edilməsi zərurəti onunla əlaqədardır ki, yeni yaranan məsələlərin həlli üçün əvvəllər mövcud olan həqiqi və ya həqiqi, tam, natural və rasional ədədlər anlayışları artıq kifayət etmirdi. Məsələn, 2-nin kvadratının nə olduğunu hesablamaq üçün təkrar olunmayan sonsuz onluqlardan istifadə etməlisiniz. Bundan əlavə, ən sadə tənliklərin çoxunun da irrasional ədəd anlayışını təqdim etmədən həlli yoxdur.

Bu çoxluq I kimi işarələnir. Və artıq aydın olduğu kimi, bu dəyərlər sadə bir kəsr kimi göstərilə bilməz, onun payında tam ədəd, məxrəcdə isə -

İlk dəfə bu və ya digər şəkildə hind riyaziyyatçıları bu hadisə ilə 7-ci əsrdə, bəzi kəmiyyətlərin kvadrat köklərinin açıq şəkildə göstərilə bilməyəcəyi aşkar edildikdə qarşılaşdılar. Və bu cür ədədlərin mövcudluğunun ilk sübutu, ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın öyrənilməsi prosesində bunu edən Pifaqor Hippasına aiddir. Bu toplunun tədqiqinə eramızdan əvvəl yaşamış bəzi digər alimlər də ciddi töhfə vermişlər. İrrasional ədədlər anlayışının tətbiqi mövcud riyazi sistemin yenidən nəzərdən keçirilməsinə səbəb oldu, buna görə də onlar çox vacibdir.

adının mənşəyi

Əgər latın dilində nisbət "fraksiya", "nisbət"dirsə, onda "ir" prefiksi
sözünə əks məna verir. Beləliklə, bu ədədlərin çoxluğunun adı göstərir ki, onlar tam və ya kəsrlə əlaqələndirilə bilməz, onların ayrıca yeri var. Bu, onların təbiətindən irəli gəlir.

Ümumi təsnifatda yer

İrrasional ədədlər rasionallarla yanaşı, öz növbəsində mürəkkəb olan həqiqi və ya həqiqi ədədlər qrupuna aiddir. Heç bir alt çoxluq yoxdur, lakin aşağıda müzakirə ediləcək cəbri və transsendental növlər var.

Xüsusiyyətlər

İrrasional ədədlər həqiqi ədədlər çoxluğuna daxil olduğundan onların hesabda öyrənilən bütün xassələri onlara şamil edilir (bunlara əsas cəbr qanunları da deyilir).

a + b = b + a (kommutativlik);

(a + b) + c = a + (b + c) (assosiativlik);

a + (-a) = 0 (əks ədədin mövcudluğu);

ab = ba (yer dəyişdirmə qanunu);

(ab)c = a(bc) (paylayıcılıq);

a(b+c) = ab + ac (paylayıcı qanun);

a x 1/a = 1 (əks ədədin mövcudluğu);

Müqayisə həmçinin ümumi qanunlara və prinsiplərə uyğun olaraq aparılır:

Əgər a > b və b > c olarsa, onda a > c (münasibətin keçidi) və. və s.

Əlbəttə ki, bütün irrasional ədədlər əsas arifmetikadan istifadə etməklə çevrilə bilər. Bunun üçün xüsusi qaydalar yoxdur.

Bundan əlavə, Arximed aksiomunun hərəkəti irrasional ədədlərə qədər uzanır. Burada deyilir ki, hər hansı iki a və b kəmiyyəti üçün a-nı kifayət qədər dəfə götürməklə b-yə qalib gəlmək olar.

İstifadəsi

Adi həyatda onlarla tez-tez məşğul olmamağınıza baxmayaraq, irrasional ədədləri saymaq olmaz. Onların çoxu var, amma demək olar ki, görünməzdir. Bizi hər yerdə irrasional rəqəmlər əhatə edir. Hamıya tanış olan nümunələr 3,1415926 ...-a bərabər olan pi ədədi və ya mahiyyətcə natural loqarifmin əsasını təşkil edən e, 2,718281828... Cəbr, triqonometriya və həndəsədə onlardan daim istifadə etmək lazımdır. Yeri gəlmişkən, "qızıl bölmə"nin məşhur mənası, yəni həm böyük hissənin kiçikə nisbəti, həm də əksinə, həm də

bu dəstəyə aiddir. Daha az tanınan "gümüş" də.

Say xəttində onlar çox sıx yerləşirlər ki, rasional olanlar çoxluğuna aid hər hansı iki kəmiyyət arasında mütləq irrasional bir kəmiyyət yaranır.

Bu dəstlə bağlı hələ də çoxlu həll olunmamış problemlər var. İrrasionallıq ölçüsü və ədədin normallığı kimi meyarlar var. Riyaziyyatçılar bu və ya digər qrupa aid olduqları üçün ən əhəmiyyətli nümunələri araşdırmağa davam edirlər. Məsələn, hesab olunur ki, e normal ədəddir, yəni onun daxilində müxtəlif rəqəmlərin görünmə ehtimalı eynidir. Pi-yə gəlincə, bununla bağlı araşdırmalar hələ də davam edir. İrrasionallıq ölçüsü müəyyən bir ədədin rasional ədədlərlə nə qədər yaxınlaşdırıla biləcəyini göstərən dəyərdir.

Cəbri və transsendental

Artıq qeyd edildiyi kimi, irrasional ədədlər şərti olaraq cəbri və transsendental bölünür. Şərti olaraq, ciddi şəkildə desək, bu təsnifat C çoxluğunu bölmək üçün istifadə olunur.

Bu təyinat altında həqiqi və ya həqiqi ədədləri ehtiva edən mürəkkəb ədədlər gizlənir.

Beləliklə, cəbri dəyər eyni olaraq sıfıra bərabər olmayan çoxhədlinin kökü olan qiymətdir. Məsələn, 2-nin kvadrat kökü bu kateqoriyaya aid olacaq, çünki o, x 2 - 2 = 0 tənliyinin həllidir.

Bu şərti təmin etməyən bütün digər həqiqi ədədlər transsendental adlanır. Bu müxtəlifliyə ən məşhur və artıq qeyd olunan nümunələr də daxildir - pi sayı və təbii loqarifmin əsası e.

Maraqlıdır ki, nə biri, nə də ikincisi ilkin olaraq riyaziyyatçılar tərəfindən bu qabiliyyətdə çıxarılmamışdır, onların irrasionallığı və transsendensliyi kəşflərindən illər sonra sübuta yetirilmişdir. Pi üçün sübut 1882-ci ildə verildi və 1894-cü ildə sadələşdirildi, bu da dairənin kvadratlaşdırılması problemi ilə bağlı 2500 illik mübahisəyə son qoydu. Hələ də tam başa düşülməyib, ona görə də müasir riyaziyyatçıların üzərində işləmək üçün bir şey var. Yeri gəlmişkən, bu dəyərin ilk kifayət qədər dəqiq hesablanması Arximed tərəfindən aparılmışdır. Ondan əvvəl bütün hesablamalar çox təxmini idi.

e (Euler və ya Napier nömrəsi) üçün onun transsendensiyasının sübutu 1873-cü ildə tapıldı. Loqarifmik tənliklərin həllində istifadə olunur.

Digər misallara hər hansı cəbri sıfır olmayan dəyərlər üçün sinus, kosinus və tangens dəyərləri daxildir.

Riyazi anlayışların mücərrədliyindən bəzən o qədər təcridlə nəfəs alır ki, istər-istəməz fikir yaranır: “Bütün bunlar nə üçündür?”. Ancaq ilk təəssüratlara baxmayaraq, bütün teoremlər, hesab əməliyyatları, funksiyalar və s. - təcili ehtiyacları ödəmək istəyindən başqa bir şey deyil. Bunu müxtəlif dəstlərin görünüşü nümunəsində xüsusilə aydın görmək olar.

Hər şey natural ədədlərin meydana çıxması ilə başladı. İndi kiminsə bunun necə olduğunu dəqiq cavablandıra bilməsi çətin olsa da, amma çox güman ki, elmlər kraliçasının ayaqları mağaranın bir yerindən böyüyür. Burada dərilərin, daşların və qəbilələrin sayını təhlil edən bir insanın çoxlu "saymaq üçün nömrələri" var. Və bu onun üçün kifayət idi. Təbii ki, müəyyən vaxta qədər.

Sonra dəriləri və daşları bölmək və götürmək lazım idi. Beləliklə, arifmetik əməliyyatlara ehtiyac var idi və onlarla birlikdə rasional olanlar, m / n növünün bir hissəsi kimi müəyyən edilə bilər, burada, məsələn, m dərilərin sayı, n - qəbilələrin sayıdır.

Görünür, artıq kəşf edilmiş riyazi aparat həyatdan həzz almaq üçün kifayətdir. Ancaq tezliklə məlum oldu ki, nəticənin tam olmayan bir şey olmadığı, hətta bir kəsr də olmadığı hallar var! Və həqiqətən də, ikinin kvadrat kökünü pay və məxrəcdən istifadə etməklə başqa cür ifadə etmək olmaz. Yaxud, məsələn, qədim yunan alimi Arximed tərəfindən kəşf edilən məşhur Pi rəqəmi də rasional deyil. Vaxt keçdikcə belə kəşflər o qədər çox oldu ki, "rasionallaşdırma" üçün uyğun olmayan bütün rəqəmlər birləşdirildi və irrasional adlandırıldı.

Xüsusiyyətlər

Daha əvvəl nəzərdən keçirilən çoxluqlar riyaziyyatın fundamental anlayışlar toplusuna aiddir. Bu o deməkdir ki, onlar daha sadə riyazi obyektlər vasitəsilə müəyyən edilə bilməz. Ancaq bu, kateqoriyaların (yunan "bəyanatlarından") və ya postulatların köməyi ilə edilə bilər. Bu vəziyyətdə, bu dəstlərin xüsusiyyətlərini təyin etmək ən yaxşısı idi.

o İrrasional ədədlər rasional ədədlər toplusunda Dedekind bölmələrini müəyyən edir ki, onların aşağısında ən böyük, yuxarıda isə ən kiçik sayı yoxdur.

o Hər transsendental ədəd irrasionaldır.

o Hər bir irrasional ədəd ya cəbr, ya da transsendentaldır.

o Rəqəmlər çoxluğu həqiqi xəttin hər yerində sıxdır: hər birinin arasında irrasional ədəd var.

o Dəst saysızdır, ikinci Baer kateqoriyasının dəstidir.

o Bu çoxluq sıralanır, yəni hər iki müxtəlif a və b rasional ədədi üçün onlardan hansının digərindən kiçik olduğunu göstərmək olar.
o Hər iki fərqli rasional ədəd arasında ən azı daha bir ədəd və buna görə də sonsuz rasional ədədlər toplusu var.

o İstənilən iki rasional ədəd üzərində arifmetik əməliyyatlar (toplama, vurma və bölmə) həmişə mümkündür və müəyyən rasional ədədlə nəticələnir. İstisna sıfıra bölməkdir, bu qeyri-mümkündür.

o Hər bir rasional ədəd onluq kəsr kimi təqdim edilə bilər (sonlu və ya sonsuz dövri).

rasional ədəd m/n adi kəsr ilə təmsil olunan ədəddir, burada m ədədi tam, məxrəci isə natural ədəddir. İstənilən rasional ədəd dövri sonsuz onluq kəsr kimi təqdim edilə bilər. Rasional ədədlər çoxluğu Q ilə işarələnir.

Həqiqi ədəd rasional deyilsə, odur irrasional ədəd. İrrasional ədədləri ifadə edən onluq kəsrlər sonsuzdur və dövri deyil. İrrasional ədədlər çoxluğu adətən böyük Latın hərfi I ilə işarələnir.

Həqiqi nömrə çağırılır cəbri, əgər rasional əmsallı bəzi polinomun (sıfırdan fərqli dərəcə) köküdürsə. İstənilən qeyri-cəbri nömrə çağırılır transsendent.

Bəzi xüsusiyyətlər:

Rasional ədədlər çoxluğu hər yerdə say oxunda sıxdır: istənilən iki fərqli rasional ədəd arasında ən azı bir rasional ədəd (və deməli, sonsuz rasional ədədlər toplusu) vardır. Buna baxmayaraq, məlum olur ki, Q rasional ədədlər çoxluğu və N natural ədədlər çoxluğu ekvivalentdir, yəni onlar arasında bir-bir uyğunluq qurmaq olar (rasional ədədlər çoxluğunun bütün elementləri yenidən nömrələnə bilər) .

Rasional ədədlərin Q çoxluğu toplama, çıxma, vurma və bölmə altında bağlanır, yəni iki rasional ədədin cəmi, fərqi, hasili və hissəsi də rasional ədədlərdir.

Bütün rasional ədədlər cəbridir (əksi doğru deyil).

Hər real transsendental ədəd irrasionaldır.

Hər bir irrasional ədəd ya cəbri, ya da transsendentaldır.

İrrasional ədədlər çoxluğu real xəttdə hər yerdə sıxdır: istənilən iki ədəd arasında irrasional ədəd (və deməli, sonsuz irrasional ədədlər toplusu) var.

İrrasional ədədlər çoxluğu saysız-hesabsızdır.

Məsələləri həll edərkən, a + b√ c irrasional ədədi ilə (burada a, b rasional ədədlərdir, c natural ədədin kvadratı olmayan tam ədəddir) ilə birlikdə "birləşən" ədədi nəzərə almaq rahatdır. it a - b√ c: onun cəmi və orijinal - rasional ədədlərlə hasili. Beləliklə, a + b√ c və a – b√ c tam əmsallı kvadrat tənliyin kökləridir.

Həll yolları ilə bağlı problemlər

1. Bunu sübut edin

a) ədəd √ 7;

b) lg 80 nömrəsi;

c) ədəd √ 2 + 3 √ 3;

irrasionaldır.

a) Fərz edək ki, √ 7 ədədi rasionaldır. Onda p və q əmsalları var ki, √ 7 = p/q, buradan p 2 = 7q 2 alırıq. p və q bir-birini əvəz etdiyindən, p 2 və deməli, p 7-yə bölünür. Onda р = 7k, burada k hansısa natural ədəddir. Deməli, q 2 = 7k 2 = pk olur ki, bu da p və q-nun bir-birinə zidd olması ilə ziddiyyət təşkil edir.

Deməli, fərziyyə yanlışdır, ona görə də √ 7 rəqəmi irrasionaldır.

b) Fərz edək ki, lg 80 ədədi rasionaldır. Sonra təbii p və q var ki, lg 80 = p/q və ya 10 p = 80 q, buradan 2 p–4q = 5 q–p alırıq. 2 və 5 ədədlərinin üst-üst olduğunu nəzərə alsaq, sonuncu bərabərliyin yalnız p–4q = 0 və q–p = 0 üçün mümkün olduğunu alırıq. Buradan p = q = 0, mümkün deyil, çünki p və q təbii olması üçün seçilmişdir.

Deməli, fərziyyə yanlışdır, ona görə də lg 80 rəqəmi irrasionaldır.

c) Bu ədədi x ilə işarə edək.

Sonra (x - √ 2) 3 \u003d 3 və ya x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2). Bu tənliyi kvadratlaşdırdıqdan sonra əldə edirik ki, x tənliyi təmin etməlidir

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Onun rasional kökləri yalnız 1 və -1 rəqəmləri ola bilər. Yoxlama 1 və -1-in kök olmadığını göstərir.

Beləliklə, verilmiş √ 2 + 3 √ 3 ədədi irrasionaldır.

2. Məlumdur ki, a, b ədədləri, √ a –√ b,- rasional. Bunu sübut et √ a və √ b həm də rasional ədədlərdir.

Məhsulu nəzərdən keçirin

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

Nömrə √ a + √ b , a – b və ədədlərinin nisbətinə bərabərdir √ a –√ b, rasionaldır, çünki iki rasional ədədin bölünməsi rasional ədəddir. İki rasional ədədin cəmi

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

rasional ədəddir, onların fərqi,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

həm də isbat edilməli olan rasional ədəddir.

3. a b ədədinin natural olduğu müsbət irrasional a və b ədədlərinin olduğunu sübut edin.

4. Bərabərliyi təmin edən a, b, c, d rasional ədədləri varmı

(a+b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

harada n natural ədəddir?

Şərtdə verilmiş bərabərlik təmin edilirsə və a, b, c, d ədədləri rasionaldırsa, bərabərlik də təmin edilir:

(a-b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Lakin 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Yaranan ziddiyyət ilkin bərabərliyin mümkün olmadığını sübut edir.

Cavab: onlar yoxdur.

5. Uzunluğu a, b, c olan seqmentlər üçbucaq əmələ gətirirsə, onda bütün n = 2, 3, 4, . . . uzunluqları n √ a , n √ b , n √ c olan seqmentlər də üçbucaq əmələ gətirir. Sübut et.

Uzunluğu a, b, c olan seqmentlər üçbucaq əmələ gətirirsə, onda üçbucaq bərabərsizliyi verir

Ona görə də bizdə var

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

Üçbucaq bərabərsizliyinin yoxlanılmasının qalan halları oxşar şəkildə nəzərdən keçirilir, bundan nəticə çıxır.

6. Sonsuz onluq kəsr 0,1234567891011121314... (bütün natural ədədlər onluq nöqtədən sonra ardıcıllıqla verilmişdir) irrasional ədəd olduğunu sübut edin.

Bildiyiniz kimi, rasional ədədlər müəyyən işarədən başlayan dövrə malik onluq kəsrlərlə ifadə edilir. Buna görə də, bu kəsrin heç bir işarə ilə dövri olmadığını sübut etmək kifayətdir. Tutaq ki, belə deyil və n rəqəmdən ibarət bəzi T ardıcıllığı m-ci onluqdan başlayaraq kəsrin dövrüdür. Aydındır ki, m-ci rəqəmdən sonra sıfırdan fərqli rəqəmlər var, ona görə də T rəqəmlərinin ardıcıllığında sıfırdan fərqli rəqəm var. Bu o deməkdir ki, onluq nöqtədən sonra m-ci rəqəmdən başlayaraq, ard-arda istənilən n rəqəm arasında sıfırdan fərqli rəqəm var. Bununla belə, bu kəsrin onluq qeydində 100...0 = 10 k rəqəmi üçün onluq işarəsi olmalıdır, burada k > m və k > n. Aydındır ki, bu giriş m-ci rəqəmin sağında baş verəcək və ardıcıl olaraq n-dən çox sıfırdan ibarət olacaq. Beləliklə, sübutu tamamlayan bir ziddiyyət əldə edirik.

7. Sonsuz onluq kəsr 0,a 1 a 2 ... verilmişdir. Sübut edin ki, onun onluq qeydindəki rəqəmləri elə təşkil etmək olar ki, nəticədə kəsr rasional ədədi ifadə etsin.

Xatırladaq ki, kəsr rasional ədədi yalnız və yalnız dövri olduqda, hansısa işarədən başlayaraq ifadə edir. 0-dan 9-a qədər olan ədədləri iki sinfə bölürük: birinci sinfə ilkin fraksiyada sonlu sayda, ikinci sinfə - ilkin kəsrdə sonsuz sayda rast gəlinən ədədləri daxil edirik. Rəqəmlərin ilkin dəyişdirilməsindən əldə edilə bilən dövri fraksiyanı yazmağa başlayaq. Birincisi, sıfırdan və vergüldən sonra, birinci sinifdən olan bütün nömrələri təsadüfi qaydada yazırıq - hər biri orijinal fraksiyanın girişində baş verdiyi qədər. Yazılan birinci sinif rəqəmləri ondalığın kəsr hissəsindəki dövrdən əvvəl olacaq. Sonra, ikinci sinifdən olan nömrələri bir dəfə müəyyən qaydada yazırıq. Bu birləşməni dövr elan edəcəyik və sonsuz sayda təkrarlayacağıq. Beləliklə, bəzi rasional ədədi ifadə edən tələb olunan dövri kəsri yazdıq.

8. Sübut edin ki, hər sonsuz onluq kəsrdə kəsrin genişlənməsində sonsuz dəfələrlə baş verən ixtiyari uzunluqda onluq rəqəmlər ardıcıllığı var.

m ixtiyari verilmiş natural ədəd olsun. Gəlin bu sonsuz onluq kəsri hər biri m rəqəmi olan seqmentlərə ayıraq. Belə seqmentlər sonsuz sayda olacaq. Digər tərəfdən, m rəqəmindən, yəni sonlu ədəddən ibarət cəmi 10 m müxtəlif sistem var. Nəticə etibarilə, bu sistemlərdən ən azı biri burada sonsuz dəfələrlə təkrarlanmalıdır.

Şərh. İrrasional ədədlər üçün √ 2 , π və ya e onları təmsil edən sonsuz onluqlarda hansı rəqəmin sonsuz dəfələrlə təkrarlandığını belə bilmirik, baxmayaraq ki, bu ədədlərin hər birində ən azı iki fərqli rəqəmin olduğu asanlıqla göstərilə bilər.

9. Tənliyin müsbət kökünün olduğunu elementar yolla sübut edin

irrasionaldır.

X > 0 üçün tənliyin sol tərəfi x ilə artır və asanlıqla görmək olar ki, x = 1.5-də 10-dan kiçik, x = 1.6-da isə 10-dan böyükdür. Buna görə də yeganə müsbət kök tənlik (1.5 ; 1.6) intervalın daxilində yerləşir.

Kökü azalmayan kəsr p/q kimi yazırıq, burada p və q bəzi təbii ədədlərdir. Sonra x = p/q üçün tənlik aşağıdakı formanı alacaq:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

buradan belə nəticə çıxır ki, p 10-a böləndir, buna görə də p 1, 2, 5, 10 ədədlərindən birinə bərabərdir. Lakin 1, 2, 5, 10 ədədləri olan kəsrləri yazanda dərhal fərq edirik ki, onların heç biri yoxdur. onlar intervalın (1,5; 1,6) içərisinə düşür.

Beləliklə, ilkin tənliyin müsbət kökünü adi kəsr kimi təqdim etmək olmaz, yəni irrasional ədəddir.

10. a) Müstəvidə elə üç A, B və C nöqtəsi varmı ki, istənilən X nöqtəsi üçün XA, XB və XC seqmentlərindən ən azı birinin uzunluğu irrasional olsun?

b) Üçbucağın təpələrinin koordinatları rasionaldır. Sübut edin ki, onun əhatə olunmuş dairəsinin mərkəzinin koordinatları da rasionaldır.

c) Bir rasional nöqtənin olduğu sfera varmı? (Rasional nöqtə hər üç Dekart koordinatının rasional ədədlər olduğu nöqtədir.)

a) Bəli, var. C AB seqmentinin orta nöqtəsi olsun. Sonra XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Əgər AB 2 ədədi irrasionaldırsa, onda XA, XB və XC ədədləri eyni zamanda rasional ola bilməz.

b) (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) və (a 3 ; b 3) üçbucağın təpələrinin koordinatları olsun. Onun əhatə olunmuş dairəsinin mərkəzinin koordinatları tənliklər sistemi ilə verilir:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Bu tənliklərin xətti olduğunu yoxlamaq asandır, yəni baxılan tənliklər sisteminin həlli rasionaldır.

c) Belə bir sahə mövcuddur. Məsələn, tənliyi olan bir kürə

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Koordinatları (0; 0; 0) olan O nöqtəsi bu sferanın üzərində yerləşən rasional nöqtədir. Sferanın qalan nöqtələri irrasionaldır. Gəlin bunu sübut edək.

Bunun əksini fərz edək: (x; y; z) sferanın O nöqtəsindən fərqli rasional nöqtəsi olsun. Aydındır ki, x 0-dan fərqlidir, çünki x = 0 üçün unikal həll (0; 0) var. ; 0), biz indi maraqlana bilmirik. Mötərizələri genişləndirək və √ 2 ifadə edək:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

rasional x, y, z və irrasional √ 2 üçün ola bilməz. Beləliklə, O(0; 0; 0) nəzərdən keçirilən sferada yeganə rasional nöqtədir.

Həll yolu olmayan problemlər

1. Nömrəni sübut edin

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

irrasionaldır.

2. (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n bərabərliyi m və n hansı tam ədədləri üçün yerinə yetirilir?

3. Elə bir ədəd varmı ki, a - √ 3 və 1/a + √ 3 ədədləri tam ədəd olsun?

4. 1, √ 2, 4 ədədləri arifmetik irəliləyişin üzvləri ola bilərmi (mütləq bitişik deyil)?

5. Sübut edin ki, hər hansı n müsbət tam ədədi üçün (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 tənliyinin (x; y) rasional ədədlərində həlli yoxdur.

İrrasional ədədin tərifi

İrrasional ədədlər ondalık qeydlərdə sonsuz qeyri-dövri onluq kəsrlər olan ədədlərdir.

Beləliklə, məsələn, natural ədədlərin kvadrat kökünü götürməklə alınan ədədlər irrasionaldır və natural ədədlərin kvadratları deyil. Amma bütün irrasional ədədlər kvadrat kökləri çıxarmaqla alınmır, çünki bölmə ilə alınan "pi" ədədi də irrasionaldır və təbii ədəddən kvadrat kök çıxarmağa çalışarkən çətin ki, onu ala biləsən.

İrrasional ədədlərin xassələri

Sonsuz onluq kəsrlərlə yazılan ədədlərdən fərqli olaraq, dövri olmayan sonsuz onluq kəsrlərdə yalnız irrasional ədədlər yazılır.
İki qeyri-mənfi irrasional ədədin cəmi sonda rasional ədəd ola bilər.
İrrasional ədədlər rasional ədədlər çoxluğunda Dedekind bölmələrini müəyyən edir, aşağı sinifdə ən böyük ədəd, yuxarı sinifdə isə ondan kiçik yoxdur.
İstənilən real transsendental ədəd irrasionaldır.
Bütün irrasional ədədlər ya cəbri, ya da transsendentaldır.
Xəttdəki irrasional ədədlər çoxluğu sıx şəkildə yığılmışdır və onun hər iki ədədi arasında irrasional ədəd olmalıdır.
İrrasional ədədlər çoxluğu sonsuzdur, sayılmazdır və 2-ci kateqoriya çoxluğudur.
Rasional ədədlər üzərində hər hansı hesab əməliyyatı yerinə yetirərkən, 0-a bölmədən başqa, onun nəticəsi rasional ədəd olacaqdır.
Rasional ədədi irrasional ədədə əlavə edərkən nəticə həmişə irrasional ədəd olur.
İrrasional ədədləri toplayanda nəticədə rasional ədəd ala bilərik.
İrrasional ədədlər çoxluğu cüt deyil.

Rəqəmlər irrasional deyil

Bəzən ədədin irrasional olub-olmaması sualına cavab vermək kifayət qədər çətindir, xüsusən də ədəd onluq kəsr şəklində və ya ədədi ifadə, kök və ya loqarifm şəklində olduğu hallarda.

Buna görə də, hansı rəqəmlərin irrasional olmadığını bilmək artıq olmaz. Əgər irrasional ədədlərin tərifinə əməl etsək, onda biz artıq bilirik ki, rasional ədədlər irrasional ola bilməz.

İrrasional ədədlər deyil:

Birincisi, bütün natural ədədlər;
İkincisi, tam ədədlər;
Üçüncüsü, adi fraksiyalar;
Dördüncüsü, müxtəlif qarışıq nömrələr;
Beşincisi, bunlar sonsuz dövri onluq kəsrlərdir.

Yuxarıda göstərilənlərin hamısına əlavə olaraq, +, -, , : kimi arifmetik əməliyyatların əlamətləri ilə yerinə yetirilən rasional ədədlərin istənilən kombinasiyası irrasional ədəd ola bilməz, çünki bu halda iki rasional ədədin nəticəsi də olacaq. rasional ədəd olsun.

İndi gəlin görək rəqəmlərdən hansı irrasionaldır:

Bu sirli riyazi hadisənin pərəstişkarlarının Pi haqqında getdikcə daha çox məlumat axtardığı, onun sirrini açmağa çalışdığı fan-klubun mövcudluğundan xəbəriniz varmı. Onluq nöqtədən sonra müəyyən sayda Pi rəqəmlərini əzbər bilən istənilən şəxs bu klubun üzvü ola bilər;

Bilirdinizmi ki, Almaniyada YUNESKO-nun himayəsi altında Kastadel Monte sarayı var, onun nisbətləri sayəsində Pi-ni hesablaya bilərsiniz. Kral II Frederik bu nömrəyə bütün saray həsr etmişdir.

Məlum olub ki, onlar Babil qülləsinin tikintisində Pi rəqəmindən istifadə etməyə çalışıblar. Ancaq böyük təəssüf ki, bu, layihənin dağılmasına səbəb oldu, çünki o dövrdə Pi dəyərinin dəqiq hesablanması kifayət qədər öyrənilməmişdi.

Müğənni Kate Bush yeni diskində məşhur 3, 141 seriyasından yüz iyirmi dörd nömrənin səsləndiyi "Pi" adlı bir mahnı yazdı ... ..

Bu məqalənin materialı haqqında ilkin məlumatdır irrasional ədədlər. Əvvəlcə irrasional ədədlərin tərifini verəcəyik və onu izah edəcəyik. Burada irrasional ədədlərin bəzi nümunələri verilmişdir. Nəhayət, verilmiş ədədin irrasional olub olmadığını öyrənmək üçün bəzi yanaşmalara baxaq.

Səhifə naviqasiyası.

İrrasional ədədlərin tərifi və nümunələri

Onluq kəsrlərin tədqiqində biz sonsuz qeyri-dövri onluq kəsrləri ayrıca nəzərdən keçirdik. Belə kəsrlər bir seqmentlə müqayisə olunmayan seqmentlərin uzunluqlarının onluq ölçülməsində yaranır. Onu da qeyd etdik ki, sonsuz qeyri-dövri onluq kəsrlər adi kəsrlərə çevrilə bilməz (bax adi kəsrlərin ondalığa çevrilməsinə və əksinə), buna görə də bu ədədlər rasional ədədlər deyil, onlar irrasional ədədlər deyilənləri təmsil edirlər.

Beləliklə, gəldik irrasional ədədlərin tərifi.

Tərif.

Onluq notasiyasında sonsuz təkrar olunmayan onluq kəsrləri təmsil edən ədədlər adlanır irrasional ədədlər.

Səslənən tərif gətirməyə imkan verir irrasional ədədlərin nümunələri. Məsələn, sonsuz qeyri-dövri onluq kəsr 4.10110011100011110000… (birlərin və sıfırların sayı hər dəfə bir artır) irrasional ədəddir. İrrasional ədədə başqa bir misal verək: −22,353335333335 ... (səkkizləri ayıran üçlüklərin sayı hər dəfə iki artır).

Qeyd etmək lazımdır ki, irrasional ədədlər sonsuz qeyri-dövri onluq kəsrlər şəklində olduqca nadirdir. Adətən onlar formada və s., eləcə də xüsusi olaraq təqdim olunan hərflər şəklində olur. Belə qeydlərdə irrasional ədədlərin ən məşhur nümunələri ikinin arifmetik kvadrat kökü, “pi” π=3,141592…, e=2,718281… və qızıl ədəddir.

İrrasional ədədləri rasional və irrasional ədədləri birləşdirən həqiqi ədədlər baxımından da müəyyən etmək olar.

Tərif.

İrrasional ədədlər rasional olmayan real ədədlərdir.

Bu rəqəm məntiqsizdir?

Ədəd onluq kəsr kimi deyil, müəyyən kök, loqarifm və s. kimi verildikdə, bir çox hallarda onun irrasional olub-olmaması sualına cavab vermək kifayət qədər çətindir.

Şübhəsiz ki, verilən suala cavab verərkən hansı rəqəmlərin irrasional olmadığını bilmək çox faydalıdır. İrrasional ədədlərin tərifindən belə çıxır ki, rasional ədədlər irrasional ədədlər deyil. Beləliklə, irrasional ədədlər DEYİL:

sonlu və sonsuz dövri onluq kəsrlər.

Həmçinin arifmetik əməllərin (+, −, ·, :) işarələri ilə bağlanan rasional ədədlərin istənilən tərkibi irrasional ədəd deyil. Çünki iki rasional ədədin cəmi, fərqi, hasili və hissəsi rasional ədəddir. Məsələn, və ifadələrinin dəyərləri rasional ədədlərdir. Burada qeyd edirik ki, əgər belə ifadələrdə rasional ədədlər arasında bir tək irrasional ədəd varsa, onda bütün ifadənin qiyməti irrasional ədəd olacaqdır. Məsələn, ifadədə ədəd irrasionaldır, qalan ədədlər isə rasionaldır, deməli, irrasional ədəddir. Əgər rasional ədəd olsaydı, rəqəmin rasionallığı bundan irəli gələrdi, lakin bu, rasional deyil.

Əgər ədəd verilmiş ifadədə bir neçə irrasional ədəd, kök işarələri, loqarifmlər, triqonometrik funksiyalar, π, e ədədləri və s. olarsa, onda hər bir konkret halda verilmiş ədədin irrasionallığını və ya rasionallığını sübut etmək tələb olunur. Bununla belə, istifadə edilə bilən bir sıra artıq əldə edilmiş nəticələr var. Əsas olanları sadalayaq.

Sübut edilmişdir ki, tam ədədin k-ci kökü yalnız o halda rasional ədəddir ki, kökün altındakı ədəd başqa tam ədədin k-ci dərəcəsi olsun, digər hallarda belə kök irrasional ədədi təyin edir. Məsələn, və rəqəmləri irrasionaldır, çünki kvadratı 7 olan tam ədəd yoxdur və beşinci dərəcəyə yüksəldilməsi 15 rəqəmini verən tam ədəd yoxdur. Və rəqəmlər irrasional deyil, çünki və .

Loqarifmlərə gəlincə, bəzən onların irrasionallığını ziddiyyətlə sübut etmək olur. Məsələn, log 2 3-ün irrasional ədəd olduğunu sübut edək.

Tutaq ki, log 2 3 irrasional deyil, rasional ədəddir, yəni m/n adi kəsr kimi göstərilə bilər. və aşağıdakı bərabərliklər zəncirini yazmağa icazə verin: . Son bərabərlik mümkün deyil, çünki sol tərəfindədir tək nömrə, və hətta sağ tərəfdə. Beləliklə, biz bir ziddiyyətə gəldik, bu o deməkdir ki, bizim fərziyyəmiz yanlış çıxdı və bu, log 2 3-ün irrasional ədəd olduğunu sübut edir.

Qeyd edək ki, hər hansı müsbət və vahid olmayan rasional a üçün lna irrasional ədəddir. Məsələn, və irrasional ədədlərdir.

Həmçinin isbat edilir ki, hər hansı sıfırdan fərqli rasional a üçün e a ədədi irrasionaldır, hər hansı sıfırdan fərqli z tam ədədi üçün π z ədədi isə irrasionaldır. Məsələn, rəqəmlər irrasionaldır.

İrrasional ədədlər də arqumentin hər hansı rasional və sıfırdan fərqli qiyməti üçün sin , cos , tg və ctg triqonometrik funksiyalarıdır. Məsələn, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , irrasional ədədlərdir.

Digər sübut edilmiş nəticələr var, lakin biz özümüzü artıq sadalananlarla məhdudlaşdıracağıq. Onu da qeyd etmək lazımdır ki, yuxarıdakı nəticələrin sübutu ilə əlaqəli nəzəriyyə cəbri ədədlər və transsendent rəqəmlər.

Sonda qeyd edirik ki, verilən rəqəmlərin irrasionallığı barədə tələsik nəticə çıxarmaq olmaz. Məsələn, aydın görünür ki, irrasional ədəd irrasional dərəcədə irrasional ədəddir. Lakin bu, həmişə belə olmur. Səslənən faktın təsdiqi olaraq dərəcəsini təqdim edirik. Məlumdur ki, - irrasional ədəd, həm də sübut etdi ki, - irrasional ədəd, lakin - rasional ədəd. Cəmi, fərqi, hasili və hissəsi rasional ədədlər olan irrasional ədədlərə də misallar verə bilərsiniz. Üstəlik, π+e , π−e , π e , π π , π e və bir çox başqa ədədlərin rasionallığı və ya irrasionallığı hələ sübut olunmayıb.

Biblioqrafiya.

Riyaziyyat. 6-cı sinif: dərslik. ümumi təhsil üçün qurumlar / [N. Ya.Vilenkin və başqaları]. - 22-ci nəşr, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-00897-2.
Cəbr: dərs kitabı 8 hüceyrə üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M. : Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Qusev V. A., Mordkoviç A. G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün dərslik): Proc. müavinət.- M.; Daha yüksək məktəb, 1984.-351 s., xəstə.