Funksiyaların cədvəl qiymətləri. Diskret təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması qanunu

2.1. Laplas funksiyası (ehtimal inteqralı) formaya malikdir:

Laplas funksiyasının qrafiki Şəkil 5-də göstərilmişdir.

Funksiya F(X) cədvəl şəklində verilmişdir (əlavələrin Cədvəl 1-ə bax). Bu cədvəldən istifadə etmək üçün bilmək lazımdır Laplas funksiyasının xüsusiyyətləri:

1) Funksiya Ф( X) tək: F(-X)= -F(X).

2) Funksiya F(X) monoton şəkildə artır.

3) F(0)=0.

4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ )=-0,5. Praktikada x³5 üçün funksiyanın olduğunu güman edə bilərik F(X)=0,5; x £ -5 funksiyası üçün F(X)=-0,5.

2.2. Laplas funksiyasının başqa formaları da var:

Və

Bu formalardan fərqli olaraq funksiya F(X) standart və ya normallaşdırılmış Laplas funksiyası adlanır. Bu, digər münasibətlər formaları ilə bağlıdır:

NÜMUNƏ 2. Davamlı təsadüfi dəyişən X parametrləri ilə normal paylanma qanununa malikdir: m=3, s=4. Test nəticəsində təsadüfi dəyişən olma ehtimalını tapın X: a) (2; 6) intervalında olan qiyməti qəbul edəcək; b) 2-dən kiçik qiymət alacaq; c) 10-dan çox qiymət alacaq; d) riyazi gözləntidən 2-dən çox olmayan məbləğdə yayınmaq. Problemin həllini qrafik şəkildə təsvir edin.

Həll. a) Normal təsadüfi dəyişən olma ehtimalı X müəyyən edilmiş intervala düşür ( a,b), Harada a=2 və b=6, bərabərdir:

Laplas funksiyasının qiymətləri F(x) nəzərə alınmaqla əlavədə verilmiş cədvəl üzrə müəyyən edilir F(–X)= –F(X).

b) Normal təsadüfi dəyişən olma ehtimalı X bərabər 2-dən kiçik bir dəyər alacaq:

c) Normal təsadüfi dəyişən olma ehtimalı X 10-dan böyük dəyər alacaq, buna bərabərdir:

d) Normal təsadüfi dəyişən olma ehtimalı X d=2, bərabərdir:

Həndəsi nöqteyi-nəzərdən hesablanmış ehtimallar ədədi olaraq normal əyri altında kölgələnmiş sahələrə bərabərdir (bax şək. 6).

düyü. 6. Təsadüfi dəyişən üçün normal əyri X~N(3;4)
NÜMUNƏ 3.Şaftın diametri sistematik (eyni işarəli) səhvlər olmadan ölçülür. Təsadüfi ölçmə xətaları 10 mm standart sapma ilə normal paylanmaya məruz qalır. Ölçmənin mütləq dəyərdə 15 mm-dən çox olmayan xəta ilə aparılma ehtimalını tapın.

Həll. Təsadüfi səhvlərin riyazi gözləntiləri sıfırdır m X-dən az miqdarda riyazi gözləntidən kənara çıxacaq d=15, bərabərdir:

NÜMUNƏ 4. Maşın toplar istehsal edir. Top sapma halında etibarlı sayılır X mütləq dəyərdə dizayn ölçüsündən topun diametri 0,7 mm-dən azdır. Təsadüfi dəyişən olduğunu fərz etsək X 0,4 mm standart sapma ilə normal paylanmış, istehsal edilən 100 ədəd arasında uyğun topların orta sayını tapın.

Həll. Təsadüfi dəyər X- topun diametrinin dizayn ölçüsündən sapması. Sapmanın riyazi gözləntisi sıfırdır, yəni. M(X)=m=0. Sonra normal təsadüfi dəyişən olma ehtimalı X-dən az miqdarda riyazi gözləntidən kənara çıxacaq d=0,7, bərabərdir:

Beləliklə, 100 topdan təxminən 92 top uyğun olacaq.

NÜMUNƏ 5."3" qaydasını sübut edin s».

Həll. Normal təsadüfi dəyişən olma ehtimalı X-dən az miqdarda riyazi gözləntidən kənara çıxacaq d= 3s, bərabərdir:

NÜMUNƏ 6. Təsadüfi dəyər X normal olaraq riyazi gözlənti ilə paylanır m=10. Ehtimal vurun X intervalda (10, 20) 0,3-ə bərabərdir. Vurma ehtimalı nədir X intervalında (0, 10)?

Həll. Normal əyri düz xəttə görə simmetrikdir X=m=10, buna görə də yuxarıda normal əyri ilə və aşağıda (0, 10) və (10, 20) intervalları ilə məhdudlaşan sahələr bir-birinə bərabərdir. Sahələr ədədi olaraq vurma ehtimallarına bərabər olduğundan X müvafiq intervalda, sonra.

Laplasın yerli və inteqral teoremləri

Bu məqalə haqqında dərsin təbii davamıdır müstəqil testlər, tanış olduğumuz yer Bernoulli düsturu və mövzu ilə bağlı tipik nümunələr üzərində işləmişdir. Laplasın yerli və inteqral teoremləri (Moivre-Laplas) oxşar problemi kifayət qədər çox sayda müstəqil testlərə tətbiq oluna bilmə fərqi ilə həll edir. "Yerli", "inteqral", "teoremlər" sözlərini vurğulamağa ehtiyac yoxdur - material Laplasın Napoleonun qıvrım başına vurduğu asanlıqla mənimsənilir. Buna görə də, heç bir kompleks və ilkin şərhlər olmadan, dərhal nümayiş nümunəsini nəzərdən keçirək:

Sikkə 400 dəfə atılır. Başların 200 dəfə alınma ehtimalını tapın.

Xarakterik xüsusiyyətlərə görə burada müraciət etmək lazımdır Bernoulli düsturu . Bu hərflərin mənasını xatırlayaq:

– müstəqil sınaqlarda təsadüfi hadisənin məhz bir dəfə baş verməsi ehtimalı;
– binom əmsalı;
– hər sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalı;

Tapşırığımızla əlaqədar olaraq:
- testlərin ümumi sayı;
– başların düşməli olduğu atışların sayı;

Beləliklə, 400 sikkə atılması nəticəsində başların düz 200 dəfə görünməsi ehtimalı: ...Dayan, bundan sonra nə etməli? Mikrokalkulyator (ən azı mənim) 400-cü dərəcənin öhdəsindən gələ bilmədi və təslim oldu. faktoriallar. Amma məhsul vasitəsilə nəyisə saymaq istəmədim =) Gəlin istifadə edək standart Excel funksiyası, canavarı emal etməyi bacaran: .

Qəbul edilənlərə diqqətinizi cəlb etmək istərdim dəqiq məna və belə bir həll ideal görünür. İlk baxışdan. Budur bəzi inandırıcı əks arqumentlər:

– birincisi, proqram təminatı əlində olmaya bilər;
– ikincisi, həll qeyri-standart görünəcək (böyük ehtimalla fikrinizi dəyişməli olacaqsınız);

Buna görə də, əziz oxucular, yaxın gələcəkdə gözləyirik:

Yerli Laplas teoremi

Hər sınaqda təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalı sabitdirsə, o zaman hadisənin hər sınaqda bir dəfə baş verməsi ehtimalı təxminən bərabərdir:
, Harada.

Üstəlik, nə qədər böyükdürsə, hesablanmış ehtimal əldə edilən dəqiq dəyərə bir o qədər yaxın olacaqdır (ən azı hipotetik olaraq) Bernoulli düsturuna görə. Tövsiyə olunan minimum test sayı təxminən 50-100-dür, əks halda nəticə həqiqətdən uzaq ola bilər. Bundan əlavə, yerli Laplas teoremi ehtimal 0,5-ə yaxın olduqda daha yaxşı işləyir və əksinə - sıfıra və ya birinə yaxın dəyərlər üçün əhəmiyyətli bir səhv verir. Bu səbəbdən düsturdan səmərəli istifadə üçün başqa bir meyar bərabərsizlikdir () .

Beləliklə, məsələn, əgər , onda Laplas teoreminin 50 sınaq üçün tətbiqi əsaslandırılmışdır. Amma əgər və , onda həm də təxmini (dəqiq dəyər) pis olacaq.

Niyə və xüsusi bir funksiya haqqında haqqında sinifdə danışacağıq normal ehtimal paylanması, lakin hələlik bizə məsələnin formal hesablama tərəfi lazımdır. Xüsusilə vacib bir fakt var paritet bu funksiya: .

Nümunəmizlə əlaqəni rəsmiləşdirək:

Problem 1

Sikkə 400 dəfə atılır. Başların dəqiq yerə düşmə ehtimalını tapın:

a) 200 dəfə;
b) 225 dəfə.

Haradan başlamaq lazımdır həll? Əvvəlcə məlum miqdarları gözümüzün qabağında olması üçün yazaq:

– müstəqil testlərin ümumi sayı;
– hər atışda baş əldə etmə ehtimalı;
- başlıqların enmə ehtimalı.

a) 400 atış silsiləsində başların düz bir dəfə qalxması ehtimalını tapaq. Çoxsaylı testlərə görə biz Laplasın yerli teoremindən istifadə edirik: , Harada .

İlk addımda arqumentin tələb olunan dəyərini hesablayırıq:

Sonra müvafiq funksiya dəyərini tapırıq: . Bu bir neçə yolla edilə bilər. İlk növbədə, əlbəttə ki, birbaşa hesablamalar özünü göstərir:

Yuvarlaqlaşdırma adətən 4 onluq yerinə qədər aparılır.

Birbaşa hesablamanın dezavantajı odur ki, hər bir mikrokalkulyator eksponenti həzm edə bilməz, əlavə olaraq hesablamalar xüsusilə xoş deyil və vaxt aparır; Niyə bu qədər əziyyət? istifadə edin terver kalkulyatoru (bənd 4) və dərhal dəyərlər əldə edin!

Bundan əlavə, var funksiyanın qiymət cədvəli, bu ehtimal nəzəriyyəsi ilə bağlı demək olar ki, hər hansı bir kitabda, xüsusən də dərslikdə var V.E. Gmurman. Hələ yükləməmisinizsə, yükləyin - orada çoxlu faydalı şeylər var ;-) Və cədvəldən necə istifadə edəcəyinizi öyrəndiyinizə əmin olun (hazırda!)– uyğun hesablama avadanlığı həmişə əlində olmaya bilər!

Son mərhələdə düsturu tətbiq edirik :
– 400 sikkə atışda başların düz 200 dəfə yerə düşmə ehtimalı.

Gördüyünüz kimi, əldə edilən nəticə hesablanmış dəqiq dəyərə çox yaxındır Bernoulli düsturu.

b) 400 sınaq seriyasında başların düz bir dəfə görünməsi ehtimalını tapın. Laplasın yerli teoremindən istifadə edirik. Bir, iki, üç - və bitirdiniz:

- arzu olunan ehtimal.

Cavab verin:

Növbəti nümunə, çoxlarının təxmin etdiyi kimi, doğuşa həsr olunub - və bu, özünüz üçün qərar verin :)

Problem 2

Oğlan olma ehtimalı 0,52-dir. 100 yeni doğulmuş körpə arasında dəqiq olma ehtimalını tapın: a) 40 oğlan, b) 50 oğlan, c) 30 qız.

Nəticələri 4 onluq yerlərinə yuvarlaqlaşdırın.

...Burada “müstəqil testlər” ifadəsi maraqlı səslənir =) Yeri gəlmişkən, realdır statistik ehtimal Dünyanın bir çox regionlarında oğlan uşaqlarının doğuş nisbəti 0,51-0,52 arasında dəyişir.

Dərsin sonunda tapşırığın təxmini nümunəsi.

Hər kəs rəqəmlərin olduqca kiçik olduğunu gördü və bu, yanıltıcı olmamalıdır - axı biz fərdi ehtimallardan danışırıq, yerli dəyərlər (teoremin adı belədir). Və belə dəyərlər çoxdur və obrazlı desək, ehtimal “hamı üçün kifayət olmalıdır”. Düzdür, bir çox hadisələr baş verəcək demək olar ki, qeyri-mümkündür.

İcazə verin yuxarıdakıları sikkə nümunəsi ilə izah edim: dörd yüz sınaq seriyasında başlar nəzəri olaraq 0-dan 400 dəfəyə qədər düşə bilər və bu hadisələr əmələ gəlir. tam qrup:

Ancaq bu dəyərlərin əksəriyyəti kiçikdir, məsələn, başların 250 dəfə görünmə ehtimalı on milyonda birdir: . kimi dəyərlər haqqında Nəzakətlə susaq =)

Digər tərəfdən, təvazökar nəticələr qiymətləndirilməməlidir: əgər söhbət yalnız haqqındadırsa, onda başların düşmə ehtimalı, deyin ki, 220-dən 250 dəfəyə qədər, çox nəzərə çarpacaq.

İndi düşünək: bu ehtimalı necə hesablamaq olar? Hesab etməyin uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarının toplanması teoremi məbləğ:

Bu dəyərlər daha sadədir birləşdirin. Və bildiyiniz kimi bir şeyi birləşdirməyə deyilir inteqrasiya:

Laplasın inteqral teoremi

Əgər hər sınaqda təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalı sabitdirsə, onda ehtimal Hadisənin məhkəmələrdə baş verəcəyini söylədi az və çox deyil (zaman daxil olmaqla), təxminən bərabərdir:

Bu halda, testlərin sayı, əlbəttə ki, kifayət qədər böyük olmalıdır və ehtimal çox az/yüksək olmamalıdır. (təxminən), əks halda yaxınlaşma əhəmiyyətsiz və ya pis olacaq.

Funksiya çağırılır Laplas funksiyası, və onun dəyərləri yenidən standart cədvəldə ümumiləşdirilir ( tapın və onunla işləməyi öyrənin!). Mikrokalkulyator burada kömək etməyəcək, çünki inteqral birləşdirilə bilməz. Ancaq Excel müvafiq funksiyaya malikdir - istifadə bənd 5 dizayn tərtibatı.

Praktikada ən ümumi dəyərlər bunlardır:
- Onu dəftərinizə köçürün.
-dən başlayaraq, güman edə bilərik ki, və ya daha ciddi şəkildə yazsaq:

Bundan əlavə, Laplas funksiyası qəribə: , və bu əmlak artıq bezdiyimiz vəzifələrdə fəal şəkildə istifadə olunur:

Problem 3

Atıcının hədəfi vurma ehtimalı 0,7-dir. 100 atışla hədəfin 65-80 dəfə vurulma ehtimalını tapın.

Mən ən real nümunəni seçdim, əks halda burada atıcının minlərlə atəş açdığı bir neçə tapşırıq tapdım =)

Həll: bu problemdə biz danışırıq təkrar müstəqil testlər, və onların sayı kifayət qədər çoxdur. Şərtə görə, hədəfin ən azı 65, lakin 80-dən çox olmamaq ehtimalını tapmaq lazımdır, yəni Laplasın inteqral teoremindən istifadə etməlisiniz: , burada

Rahatlıq üçün orijinal məlumatları bir sütunda yenidən yazaq:
- ümumi atışlar;
- minimum vuruş sayı;
- maksimum vuruş sayı;
– hər atışla hədəfə dəymə ehtimalı;
- hər atışda qaçırılma ehtimalı.

Buna görə də, Laplas teoremi yaxşı bir yaxınlaşma verəcəkdir.

Arqumentlərin dəyərlərini hesablayaq:

Nəzərinizə çatdırım ki, əsəri kökündən tam çıxarmaq lazım deyil. (problem müəllifləri nömrələri "tənzimləməyi" xoşladığı üçün)– heç bir şübhə olmadan, kökü çıxarın və nəticəni yuvarlaqlaşdırın; Mən 4 onluq yer qoymağa öyrəşmişəm. Ancaq ortaya çıxan dəyərlər adətən 2 onluq yerə yuvarlaqlaşdırılır - bu ənənə gəlir funksiya qiymət cədvəlləri, burada arqumentlər məhz bu formada təqdim olunur.

Yuxarıdakı cədvəldən və ya istifadə edirik terver üçün dizayn planı (bənd 5).
Yazılı bir şərh olaraq sizə aşağıdakı ifadəni qoymağı məsləhət görürəm: müvafiq cədvəldən istifadə edərək funksiya dəyərlərini tapacağıq:

– 100 atışla hədəfin 65-80 dəfə vurulma ehtimalı.

Funksiyanın tək sayından yararlandığınızdan əmin olun! Hər halda, ətraflı yazacam:

Fakt budur ki funksiyanın qiymət cədvəli yalnız müsbət “X”ləri ehtiva edir və biz işləyirik (ən azı "əfsanəyə" görə) masa ilə!

Cavab verin:

Nəticə ən çox 4 onluq yerə yuvarlaqlaşdırılır (yenə cədvəl formatına uyğun olaraq).

Bunu özünüz həll etmək üçün:

Problem 4

Binada 2500 lampa var, axşam hər birinin yanma ehtimalı 0,5-dir. Axşam saatlarında ən azı 1250 və 1275-dən çox olmayan lampanın yanma ehtimalını tapın.

Dərsin sonunda yekun dizaynın təxmini nümunəsi.

Qeyd etmək lazımdır ki, nəzərdən keçirilən vəzifələr çox vaxt "şəxssiz" formada baş verir, məsələn:

Təsadüfi hadisənin 0,5 ehtimalı ilə baş verə biləcəyi bəzi təcrübə aparılır. Təcrübə dəyişməz şəraitdə 2500 dəfə təkrarlanır. 2500 təcrübədə hadisənin 1250 ilə 1275 dəfə baş verməsi ehtimalını müəyyən edin

Və oxşar formulalar damdan keçir. Tapşırıqların klişe xarakterinə görə, onlar tez-tez vəziyyəti ört-basdır etməyə çalışırlar - bu, həlli bir şəkildə şaxələndirmək və çətinləşdirmək üçün "yeganə şansdır":

Problem 5

İnstitutda 1000 tələbə təhsil alır. Yemək otağında 105 yer var. Böyük fasilə zamanı hər bir tələbə yeməkxanaya 0,1 ehtimalla gedir. Tipik bir məktəb günündə olma ehtimalı nədir:

a) yemək otağı üçdə ikidən çox olmayacaq;
b) hər kəs üçün kifayət qədər yer yoxdur.

Diqqətinizi “DAİMİ məktəb günündə” vacib bəndinə cəlb etmək istərdim - bu, vəziyyətin nisbətən dəyişməz qalmasını təmin edir. Tətildən sonra instituta xeyli az tələbə gələ bilər və “Açıq Qapılar Günü”ndə ac nümayəndə heyəti enə bilər =) Yəni “qeyri-adi” gündə ehtimallar nəzərəçarpacaq dərəcədə fərqli olacaq.

Həll: biz Laplasın inteqral teoremindən istifadə edirik, burada

Bu vəzifədə:
– institutda tələbələrin ümumi sayı;
– tələbənin uzun fasilə zamanı yeməkxanaya getmə ehtimalı;
- əks hadisənin baş vermə ehtimalı.

a) Gəlin hesablayaq ki, neçə oturacaq ümumi sayın üçdə ikisini təşkil edir: oturacaqlar

Normal bir dərs günündə bufetin üçdə ikidən çox olmamaq ehtimalını tapaq. Bunun mənası nədi? Bu o deməkdir ki, böyük fasilə zamanı 0-dan 70-ə qədər adam gələcək. Heç kimin gəlməməsi və ya bir neçə tələbənin gəlməsi - hadisələr olur praktiki olaraq qeyri-mümkündür, lakin Laplasın inteqral teoremini tətbiq etmək üçün bu ehtimallar yenə də nəzərə alınmalıdır. Beləliklə:

Müvafiq arqumentləri hesablayaq:

Nəticə olaraq:

– normal bir dərs günündə yeməkxananın üçdə ikidən çox olmama ehtimalı.

Xatırlatma : Laplas funksiyası bərabər hesab edildikdə.

Bu izdihamı sevindirir =)

b) Hadisə “Oturacaqlar hamıya çatmır” böyük fasilə zamanı nahar üçün yeməkxanaya 106-dan 1000-ə qədər adam gələcək (əsas odur ki, onu yaxşı yığışdırın =)). Yüksək davamiyyətin inanılmaz olduğu aydındır, lakin buna baxmayaraq: .

Arqumentləri hesablayırıq:

Beləliklə, hər kəs üçün kifayət qədər oturacaqların olmama ehtimalı:

Cavab verin:

İndi diqqəti birinə yönəldək mühüm nüansüsul: biz hesablamalar apararkən tək seqment, onda hər şey "buludsuzdur" - nəzərdən keçirilən şablona uyğun olaraq qərar verin. Ancaq nəzərə alsaq hadisələrin tam qrupu göstərilməlidir müəyyən dəqiqlik. İcazə verin, indi müzakirə olunan problemin nümunəsindən istifadə edərək bu məqamı izah edim. “Olmaq” nöqtəsində hamı üçün kifayət qədər oturacaqların olmama ehtimalını tapdıq. Sonra eyni sxemdən istifadə edərək hesablayırıq:
– kifayət qədər yerlərin olma ehtimalı.

Bu hadisələrdən bəri əks, onda ehtimalların cəmi birə bərabər olmalıdır:

Nə məsələdir? – Burada hər şey məntiqli görünür. Məsələ ondadır ki, Laplas funksiyası belədir davamlı, amma nəzərə almadıq interval 105-dən 106-ya qədər. 0.0338 ədədin yoxa çıxdığı yer budur. Buna görə də eyni standart düsturdan istifadə etməklə hesablanmalıdır:

Yaxşı və ya daha sadə:

sual yaranır: İLK tapsaq nə olacaq? Sonra həllin başqa bir versiyası olacaq:

Amma bu necə ola bilər?! – iki üsul fərqli cavab verir! Çox sadədir: Laplasın inteqral teoremi bir üsuldur yaxın hesablamalar və buna görə də hər iki yol məqbuldur.

Daha dəqiq hesablamalar üçün istifadə etməlisiniz Bernoulli düsturu və məsələn, Excel funksiyası BINOMIDST. Nəticə olaraq onun tətbiqi alırıq:

Bu incəliyə diqqət çəkən sayt ziyarətçilərindən birinə öz təşəkkürümü bildirirəm - bu, mənim görmə sahəsimdən kənarda qaldı, çünki praktikada hadisələrin tam qrupunun öyrənilməsinə nadir hallarda rast gəlinir. Maraqlananlar tanış ola bilər

Riyaziyyatda, diferensial tənliklər nəzəriyyəsində, statistikada və ehtimal nəzəriyyəsində istifadə olunan ən məşhur qeyri-elementar funksiyalardan biri Laplas funksiyasıdır. Onunla problemlərin həlli ciddi hazırlıq tələb edir. Excel alətlərindən istifadə edərək bu göstəricini necə hesablaya biləcəyinizi öyrənək.

Laplas funksiyası geniş tətbiqi və nəzəri tətbiqlərə malikdir. Məsələn, diferensial tənlikləri həll etmək üçün olduqca tez-tez istifadə olunur. Bu terminin başqa bir ekvivalent adı var - ehtimal inteqralı. Bəzi hallarda həll üçün əsas dəyərlər cədvəlinin qurulmasıdır.

NORM.ST.DIST operatoru

Excel-də bu problem operatorun köməyi ilə həll edilir NORM.ST.DIST.. Onun adı "normal standart paylama" termininin abbreviaturasıdır. Çünki onun əsas vəzifəsi seçilmiş xanaya standart normal məcmu paylanmanı qaytarmaqdır. Bu operator standart Excel funksiyalarının statistik kateqoriyasına aiddir.

Excel 2007 və proqramın əvvəlki versiyalarında bu operator çağırılırdı NORMSDIST. Uyğunluq səbəbi ilə tətbiqlərin müasir versiyalarında saxlanılır. Ancaq yenə də daha inkişaf etmiş bir analoqdan istifadə etməyi məsləhət görürlər - NORM.ST.DIST..

Operator sintaksisi NORM.ST.DIST. göstərildiyi kimi:

NORM.ST.DIST(z;inteqral)

Köhnə operator NORMSDIST belə yazılır:

NORMSDAĞ(z)

Gördüyünüz kimi, mövcud arqumentin yeni versiyasında "Z" arqument əlavə etdi "İnteqral". Qeyd etmək lazımdır ki, hər bir arqument tələb olunur.

Arqument "Z" paylanmanın qurulduğu ədədi dəyəri göstərir.

Arqument "İnteqral" təmsili ola bilən Boolean dəyərini təmsil edir "DOĞRU" ("1") və ya "YALAN" («0») . Birinci halda kumulyativ paylama funksiyası göstərilən xanaya, ikinci halda isə çəki paylama funksiyası qaytarılır.

Problemin həlli

Dəyişən üçün tələb olunan hesablamanı yerinə yetirmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edin:

NORM.ST.DIST(z;inteqral(1))-0,5

İndi konkret misaldan istifadə edərək operatorun istifadəsinə baxaq NORM.ST.DIST. konkret problemi həll etmək üçün.

Laplas funksiyası qeyri-elementar funksiyadır və tez-tez həm diferensial tənliklər nəzəriyyəsində, həm ehtimal nəzəriyyəsində, həm də statistikada istifadə olunur. Laplas funksiyası müəyyən bilik və təlim tələb edir, çünki o, tətbiqi və nəzəri tətbiqlər sahəsində müxtəlif məsələləri həll etməyə imkan verir.

Laplas funksiyası çox vaxt diferensial tənlikləri həll etmək üçün istifadə olunur və çox vaxt ehtimal inteqralı adlanır. Gəlin görək bu funksiya Excel-də necə istifadə oluna bilər və necə işləyir.

Excel-də ehtimal inteqralı və ya Laplas funksiyası sintaksisi olan “NORMSDAĞ” operatoruna uyğundur: “=NORMSDAĞ(z). Proqramın daha yeni versiyalarında operatorun “NORM.ST.DIST” adı da var. və bir qədər dəyişdirilmiş sintaksis “=NORM.ST.DIST(z; inteqral).

"Z" arqumenti paylanmanın ədədi dəyərinə cavabdehdir. "İnteqral" arqumenti iki dəyər qaytarır - "1" - inteqral paylanma funksiyası, "0" - çəki paylama funksiyası.

Biz nəzəriyyəni sıraladıq. Təcrübəyə keçək. Excel-də Laplace funksiyasından istifadə etməyə baxaq.

1. Xanaya qiymət yazın və növbəti xanaya funksiya daxil edin.

2. Funksiyanı əl ilə yazaq “=NORM.ST.DIST(B4;1).

3. Və ya funksiyanın daxil edilməsi sihirbazından istifadə edirik - “Statik” kateqoriyasına keçin və “Tam əlifba sırası siyahısı”nı göstərin.

4. Görünən funksiya arqumentləri pəncərəsində ilkin qiymətləri göstərin. Orijinal xanamız "Z" dəyişəninə cavabdeh olacaq və "İnteqrala" "1" əlavə edin. Bizim funksiyamız məcmu paylama funksiyasını qaytaracaq.

5. “NORM.ST.DAĞ” funksiyası üçün standart normal inteqral paylanmanın hazır həllini alırıq. Ancaq bu, hamısı deyil, məqsədimiz Laplas funksiyasını və ya ehtimal inteqralını tapmaq idi, ona görə də bir neçə addım yerinə yetirək.

6. Laplas funksiyası o deməkdir ki, yaranan funksiyanın qiymətindən “0,5” çıxılmalıdır. Funksiyaya lazımi əməliyyatı əlavə edirik. "Enter" düyməsini sıxırıq və son həlli əldə edirik. İstədiyiniz dəyər düzgündür və tez tapılır.

Excel bu funksiyanı istənilən hüceyrə dəyəri, xanalar diapazonu və ya xana istinadları üçün asanlıqla hesablayır. “NORM.ST.DAĞ” funksiyası ehtimal inteqralını və ya, eyni zamanda, Laplas funksiyasını axtarmaq üçün standart operatordur.

Bayes düsturu

B 1, B 2,…, B n hadisələri uyğun gəlmir və tam qrup təşkil edir, yəni. P(B 1)+ P(B 2)+…+ P(B n)=1. Və A hadisəsi yalnız B 1,B 2,…,B n hadisələrindən biri meydana çıxdıqda baş versin. Sonra A hadisəsinin ehtimalı ümumi ehtimal düsturu ilə tapılır.

Qoy A hadisəsi artıq baş vermiş olsun. Onda B 1, B 2,..., B n hipotezlərinin ehtimalları Bayes düsturu ilə yüksək qiymətləndirilə bilər:

Bernoulli düsturu

Hər birində A hadisəsi baş verə bilər və ya olmaya da bilən n müstəqil sınaq keçirilsin. A hadisəsinin baş verməsi (baş verməməsi) ehtimalı eyni və p-ə bərabərdir (q=1-p).

N müstəqil sınaqda A hadisəsinin bir dəfə baş verməsi ehtimalı (hansı ardıcıllıqdan asılı olaraq) Bernulli düsturu ilə tapılır:

n müstəqil sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalı:

A). P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1) dəfədən azdır.

b). Bir dəfədən çox P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

V). ən azı dəfə P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).

G). k dəfədən çox olmayan P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

Laplasın yerli və inteqral teoremləri.

Bu teoremlərdən n kifayət qədər böyük olduqda istifadə edirik.

Yerli Laplas teoremi

Hadisənin n müstəqil sınaqda tam olaraq `k' dəfə baş verməsi ehtimalı təxminən bərabərdir:

Müsbət qiymətlər (x) üçün funksiyalar cədvəli Əlavə 1, səh. 324-325-də Gmurman məsələ kitabında verilmişdir.

() cüt olduğundan, mənfi dəyərlər (x) üçün eyni cədvəldən istifadə edirik.

Laplasın inteqral teoremi.

Hadisənin n müstəqil sınaqda ən azı `k' dəfə baş verməsi ehtimalı təxminən bərabərdir:

Laplas funksiyası

Müsbət dəyərlər üçün funksiyalar cədvəli Əlavə 2, səh. 326-327-də Gmurman problem kitabında verilmişdir. 5-dən böyük dəyərlər üçün F(х)=0,5 təyin edirik.

Laplas funksiyası tək F(-х)=-Ф(х) olduğundan, mənfi qiymətlər (x) üçün eyni cədvəldən istifadə edirik, yalnız mənfi işarəli funksiya qiymətlərini alırıq.

Diskret təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması qanunu

Binom paylama qanunu.

Diskret- təsadüfi dəyişən, mümkün dəyərləri bu dəyişənin müəyyən ehtimallarla qəbul etdiyi fərdi təcrid olunmuş nömrələrdir. Başqa sözlə, diskret təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri nömrələnə bilər.

Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonlu və ya sonsuz ola bilər.

Diskret təsadüfi dəyişənlər böyük X hərfləri ilə, mümkün dəyərləri isə x1, x2, x3... kiçik hərflərlə işarələnir.

Misal üçün.

X zər üzərində yuvarlanan xalların sayıdır; X altı mümkün qiymət alır: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 ehtimalları ilə p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 =1/6.

Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu onun mümkün dəyərlərinin siyahısını və onlara uyğun ehtimalları adlandırın.

Paylanma qanunu verilə bilər:

1. cədvəl şəklində.

2. Analitik olaraq - düstur şəklində.

3. qrafik olaraq. Bu halda düzbucaqlı XOP koordinat sistemində M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn) nöqtələri qurulur. Bu nöqtələr düz seqmentlərlə birləşdirilir. Nəticədə alınan rəqəm deyilir paylama poliqonu.

Diskret təsadüfi dəyişənin (x) paylanma qanununu yazmaq üçün onun bütün mümkün dəyərlərini sadalamaq və müvafiq ehtimalları tapmaq lazımdır.

Əgər müvafiq ehtimallar Bernulli düsturundan istifadə edilməklə tapılarsa, onda belə bir paylanma qanunu binomial adlanır.

Misal No 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Diskret təsadüfi dəyişənlərin ədədi dəyərləri.

Gözləmə, dispersiya və standart sapma.

Diskret təsadüfi kəmiyyətin orta qiymətinin xarakteristikası riyazi gözləntidir.

Riyazi gözlənti Diskret təsadüfi dəyişən onun bütün mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir. Bunlar. paylanma qanunu verilirsə, onda riyazi gözlənti

Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonsuzdursa, onda

Üstəlik, bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra mütləq birləşir və bütün ehtimalların cəmi pi birə bərabərdir.

Riyazi gözləmənin xassələri.

1. M(C)=C, C=sabit.

2. M(Cx)=CM(x)

3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)

4. M(x1*x2*…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).

5. Binom paylama qanunu üçün riyazi gözlənti düsturla tapılır:

Riyazi gözlənti ətrafında təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin dispersiyasının xüsusiyyətləri dispersiya və standart sapmadır.

Fərqlilik diskret təsadüfi dəyişən (x) kvadrat kənarlaşmanın riyazi gözləntiləri adlanır. D(x)=M(x-M(x)) 2 .

D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2 düsturu ilə dispersiyanı hesablamaq rahatdır.

Dispersiya xüsusiyyətləri.

1. D(S)=0, C=sabit.

2. D(Cx)=C 2 D(x)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. Binom paylanma qanununun dispersiyası

Standart sapma təsadüfi dəyişənə dispersiyanın kvadrat kökü deyilir.

misallar. 191, 193, 194, 209, d/z.

Davamlı təsadüfi dəyişənin (RCV) ehtimallarının məcmu paylanma funksiyası (CDF). Davamlı- bəzi sonlu və ya sonsuz intervaldan bütün dəyərləri götürə bilən kəmiyyət. NSV-nin bir sıra mümkün dəyərləri var və onu yenidən nömrələmək mümkün deyil.

Misal üçün.

Atış zamanı mərminin qət etdiyi məsafə NSV-dir.

IFR hər x dəyəri üçün NSV X-nin X dəyərini qəbul etmə ehtimalını təyin edən F(x) funksiyası adlanır.<х, т.е. F(x)=Р(X

Çox vaxt IFR əvəzinə FR deyirlər.

Həndəsi cəhətdən F(x)=P(X) bərabərliyi

IF xassələri.

1. IF dəyəri intervala aiddir, yəni. F(x).

2. IF azalmayan funksiyadır, yəni. x2>x1.

Nəticə 1. NSV X-nin (a; b) intervalında olan qiymət alması ehtimalı bu intervalda inteqral funksiyanın artımına bərabərdir, yəni.

P(a

Nəticə 2. NSV X-nin bir xüsusi qiymət alması ehtimalı, məsələn, x1=0, 0-a bərabərdir, yəni. P(x=x1)=0.

3. Əgər NSV X-nin bütün mümkün qiymətləri (a;c)-ə aiddirsə, x-də F(x)=0 olur.<а, и F(x)=1 при х>V.

Nəticə 3. Aşağıdakı limit münasibətləri etibarlıdır.

Davamlı təsadüfi dəyişənin (RNV) ehtimallarının (ehtimal sıxlığı) diferensial paylanma funksiyası (DDF).

DF f(x) NSV-nin ehtimal paylanması IFR-nin birinci törəməsi adlanır:

Çox vaxt PDR əvəzinə ehtimal sıxlığı (PD) deyirlər.

Tərifdən belə çıxır ki, DF F(x)-i bilməklə biz DF f(x)-i tapa bilərik. Lakin tərs çevrilmə də həyata keçirilir: DF f(x)-i bilməklə, siz DF F(x)-i tapa bilərsiniz.

NSV X-nin (a;b)-yə aid dəyərini alması ehtimalı tapılır:

A). Əgər IF verilirsə, Nəticə 1.

B). DF göstərilibsə

DF-nin xüsusiyyətləri.

1. DF - mənfi deyil, yəni. .

2. () daxilində DF-nin düzgün olmayan inteqralı 1-ə bərabərdir, yəni. .

Nəticə 1. Əgər NSV X-nin bütün mümkün dəyərləri (a;c) -ə aiddirsə, onda.

Nümunələr. No 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z.

NSV-nin ədədi xüsusiyyətləri.

1. Mümkün dəyərləri bütün OX oxuna aid olan NSV X-nin riyazi gözləntisi (ME) düsturla müəyyən edilir:

NSV X-nin bütün mümkün dəyərləri (a;c) -ə aiddirsə, MO düsturla müəyyən edilir:

Diskret kəmiyyətlər üçün göstərilən bütün MO xassələri davamlı kəmiyyətlər üçün də qorunur.

2. Mümkün qiymətləri bütün OX oxuna aid olan NSV X-nin dispersiyası düsturla müəyyən edilir:

NSV X-nin bütün mümkün dəyərləri (a;c) -ə aiddirsə, dispersiya düsturla müəyyən edilir:

Diskret kəmiyyətlər üçün göstərilən bütün dispersiya xassələri davamlı kəmiyyətlər üçün də qorunur.

3. NSV X-nin standart kənarlaşması diskret kəmiyyətlər üçün olduğu kimi müəyyən edilir:

Nümunələr. No 276, 279, X, d/z.

Əməliyyat hesabı (OC).

OR, funksiyaların fərqləndirilməsi və inteqrasiyası əməliyyatlarını daha sadə hərəkətlərə endirməyə imkan verən bir üsuldur: bu funksiyaların sözdə təsvirlərinin arqumenti ilə vurma və bölmə.

OI-dən istifadə bir çox problemlərin həllini asanlaşdırır. Xüsusilə, LDE-lərin sabit əmsallarla inteqrasiyası və belə tənliklər sistemləri, onların xətti cəbri olanlara endirilməsi problemləri.

Orijinallar və şəkillər. Laplas çevrilir.

f(t)-orijinal; F(p)-şəkil.

f(t)F(p) keçidi adlanır Laplas çevrilməsi.

f(t) funksiyasının Laplas çevrilməsi mürəkkəb dəyişəndən asılı olaraq F(p) adlanır və düsturla müəyyən edilir:

Bu inteqrala Laplas inteqralı deyilir. Bu düzgün olmayan inteqralın yaxınlaşması üçün fərz etmək kifayətdir ki, f(t) intervalında hissə-hissə davamlı və bəzi sabitlər üçün M>0 və bərabərsizliyi ödəyir.

Belə xassələrə malik olan f(t) funksiyası deyilir orijinal, və orijinaldan onun şəklinə keçid adlanır Laplas çevrilməsi.

Laplas çevrilməsinin xassələri.

Formula (2) istifadə edərək şəkillərin birbaşa təyini adətən çətindir və Laplas çevrilməsinin xüsusiyyətlərindən istifadə etməklə əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdırıla bilər.

F(p) və G(p) müvafiq olaraq f(t) və g(t) orijinalların şəkilləri olsun. Sonra aşağıdakı xassə-əlaqələri qorunur:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - bircinslik xassəsi.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - aşqarlıq xassəsi.

3. f(t)F(p-) - yerdəyişmə teoremi.

orijinalın n-ci törəməsinin təsvirə keçidi (orijinalın diferensiallaşdırılması teoremi).