Ən kiçik kvadratların üçölçülü üsulu. Eksperimental məlumatların yaxınlaşması

Hansı ki, elm və praktikanın müxtəlif sahələrində ən geniş tətbiq tapır. Bu fizika, kimya, biologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya, psixologiya və sair ola bilər. Taleyin iradəsi ilə mən tez-tez iqtisadiyyatla məşğul oluram və buna görə də bu gün sizin üçün adlanan heyrətamiz ölkəyə bilet təşkil edəcəyəm. Ekonometriya=) … Bunu necə istəmirsən?! Orada çox yaxşıdır - sadəcə qərar verməlisiniz! …Ancaq yəqin ki, istədiyiniz şey problemləri necə həll edəcəyinizi öyrənməkdir ən kiçik kvadratlar. Və xüsusilə çalışqan oxucular onları nəinki dəqiq, həm də ÇOX SÜRƏTLİ həll etməyi öyrənəcəklər ;-) Amma əvvəlcə problemin ümumi ifadəsi+ əlaqəli nümunə:

Bəzi fənn sahəsində kəmiyyət ifadəsi olan göstəricilər öyrənilsin. Eyni zamanda, göstəricinin göstəricidən asılı olduğuna inanmaq üçün hər cür əsas var. Bu fərziyyə həm elmi fərziyyə ola bilər, həm də elementar sağlam düşüncəyə əsaslana bilər. Bununla belə, elmi bir kənara qoyub daha iştahaaçan sahələri - yəni ərzaq mağazalarını araşdıraq. ilə işarələyin:

– ərzaq mağazasının pərakəndə satış sahəsi, kv.m.,
- bir ərzaq mağazasının illik dövriyyəsi, milyon rubl.

Tamamilə aydındır ki, mağazanın sahəsi nə qədər böyükdürsə, əksər hallarda onun dövriyyəsi bir o qədər çox olur.

Tutaq ki, müşahidələr / təcrübələr / hesablamalar / qavalla rəqs etdikdən sonra bizim ixtiyarımızda rəqəmsal məlumatlar var:

Ərzaq mağazaları ilə məncə hər şey aydındır: - bu, 1-ci mağazanın ərazisidir, - onun illik dövriyyəsi, - 2-ci mağazanın sahəsi, - illik dövriyyəsi və s. Yeri gəlmişkən, məxfi materiallara daxil olmaq heç də lazım deyil - istifadə edərək dövriyyənin kifayət qədər dəqiq qiymətləndirilməsi əldə edilə bilər. riyazi statistika. Ancaq diqqətinizi yayındırmayın, kommersiya casusluğu kursu artıq ödənilir =)

Cədvəl məlumatları nöqtələr şəklində də yazıla və bizim üçün adi şəkildə təsvir edilə bilər. Kartezyen sistemi .

Gəlin vacib suala cavab verək: keyfiyyətli tədqiqat üçün neçə bal lazımdır?

Nə qədər böyük, bir o qədər yaxşıdır. Minimum icazə verilən dəst 5-6 baldan ibarətdir. Bundan əlavə, az miqdarda məlumatla "anormal" nəticələr nümunəyə daxil edilməməlidir. Beləliklə, məsələn, kiçik bir elit mağaza "həmkarlarından" daha çox böyük sifarişlər verməyə kömək edə bilər, bununla da tapılmalı olan ümumi nümunəni təhrif edir!

Bu olduqca sadədirsə, bir funksiya seçməliyik, cədvəli nöqtələrə mümkün qədər yaxın keçir . Belə bir funksiya deyilir yaxınlaşdıran (yaxınlaşma - yaxınlaşma) və ya nəzəri funksiya . Ümumiyyətlə, burada dərhal aşkar bir "iddiaçı" görünür - qrafiki BÜTÜN nöqtələrdən keçən yüksək dərəcəli polinom. Ancaq bu seçim mürəkkəbdir və çox vaxt sadəcə səhvdir. (çünki qrafik hər zaman "külək" edəcək və əsas trendi zəif əks etdirəcək).

Beləliklə, istənilən funksiya kifayət qədər sadə olmalı və eyni zamanda asılılığı adekvat şəkildə əks etdirməlidir. Təxmin etdiyiniz kimi, bu cür funksiyaları tapmaq üsullarından biri adlanır ən kiçik kvadratlar. Əvvəlcə onun mahiyyətini ümumi şəkildə təhlil edək. Bəzi funksiyaların eksperimental məlumatları təxmin etməsinə icazə verin:


Bu yaxınlaşmanın düzgünlüyünü necə qiymətləndirmək olar? Eksperimental və funksional qiymətlər arasındakı fərqləri (sapmaları) da hesablayaq (rəsmi öyrənirik). Ağlına gələn ilk fikir, məbləğin nə qədər böyük olduğunu təxmin etməkdir, lakin problem fərqlərin mənfi ola bilməsidir. (misal üçün, ) və bu cür cəmləmə nəticəsində sapmalar bir-birini ləğv edəcəkdir. Buna görə də, yaxınlaşmanın düzgünlüyünü qiymətləndirmək üçün o, cəmini götürməyi təklif edir. modullar sapmalar:

və ya qatlanmış formada: (birdən, kim bilmir: cəm simvoludur və köməkçi dəyişəndir - 1-dən -ə qədər olan "sayğac").

Müxtəlif funksiyaları olan eksperimental nöqtələri yaxınlaşdırmaqla, -nin müxtəlif qiymətlərini əldə edəcəyik və aydındır ki, bu məbləğ daha kiçik olan yerdə, bu funksiya daha dəqiqdir.

Belə bir üsul mövcuddur və deyilir ən az modul üsulu. Ancaq praktikada bu, daha geniş yayılmışdır. ən kiçik kvadrat üsulu, burada mümkün mənfi dəyərlər modulla deyil, sapmaların kvadratı ilə aradan qaldırılır:

, bundan sonra səylər elə bir funksiyanın seçilməsinə yönəldilir ki, kvadratdan kənara çıxanların cəmi mümkün qədər kiçik idi. Əslində, metodun adı belədir.

İndi başqa bir vacib məqama qayıdırıq: yuxarıda qeyd edildiyi kimi, seçilmiş funksiya olduqca sadə olmalıdır - lakin belə funksiyalar da çoxdur: xətti , hiperbolik, eksponensial, loqarifmik, kvadratik və s. Və təbii ki, burada mən dərhal "fəaliyyət sahəsini azaltmaq" istərdim. Tədqiqat üçün hansı sinif funksiyaları seçmək lazımdır? Primitiv, lakin effektiv texnika:

- Xal çəkməyin ən asan yolu rəsm üzərində və onların yerini təhlil edin. Əgər onlar düz bir xəttdə olmağa meyllidirlərsə, onda siz axtarmalısınız düz xətt tənliyi optimal dəyərlərlə və . Başqa sözlə desək, vəzifə BELƏ əmsalları tapmaqdır - belə ki, kvadratdan kənara çıxanların cəmi ən kiçik olsun.

Nöqtələr, məsələn, boyunca yerləşirsə hiperbola, onda xətti funksiyanın zəif yaxınlaşma verəcəyi aydındır. Bu halda biz hiperbola tənliyi üçün ən “əlverişli” əmsalları axtarırıq - kvadratların minimum cəmini verənlər .

İndi diqqət yetirin ki, hər iki halda söhbət gedir iki dəyişənin funksiyaları, arqumentləri kimindir asılılıq variantlarını axtardı:

Və mahiyyətcə, biz standart problemi həll etməliyik - tapmaq iki dəyişənli funksiyanın minimumu.

Nümunəmizi xatırlayın: fərz edək ki, "mağaza" nöqtələri düz bir xəttdə yerləşir və mövcudluğuna inanmaq üçün hər cür əsas var. xətti asılılıq ticarət sahəsindən dövriyyə. BELƏ “a” və “be” əmsallarını tapaq ki, kvadratdan kənara çıxanların cəmi olsun. ən kiçik idi. Hər şey həmişəki kimi - ilk 1-ci dərəcəli qismən törəmələr. görə xəttilik qaydası cəmi ikonası altında fərqlənə bilərsiniz:

Bu məlumatı esse və ya kurs işi üçün istifadə etmək istəyirsinizsə, mənbələr siyahısındakı linkə görə çox minnətdar olacağam, heç bir yerdə belə ətraflı hesablamalara rast gəlməyəcəksiniz:

Standart bir sistem yaradaq:

Hər bir tənliyi "iki" azaldırıq və əlavə olaraq məbləğləri "parçalayırıq":

Qeyd : "a" və "be"nin nə üçün cəmi işarəsindən çıxarıla biləcəyini müstəqil təhlil edin. Yeri gəlmişkən, formal olaraq bu, məbləğlə edilə bilər

Sistemi "tətbiqi" formada yenidən yazaq:

bundan sonra problemimizin həlli üçün alqoritm çəkilməyə başlayır:

Nöqtələrin koordinatlarını bilirikmi? Biz bilirik. məbləğlər tapa bilərik? Asanlıqla. Ən sadəini tərtib edirik iki naməlumlu iki xətti tənlik sistemi("a" və "beh"). Sistemi həll edirik, məsələn, Kramer üsulu, nəticədə stasionar nöqtə yaranır. Yoxlama ekstremum üçün kifayət qədər şərtdir, biz bu nöqtədə funksiyanın olduğunu yoxlaya bilərik dəqiq çatır minimum. Doğrulama əlavə hesablamalarla əlaqələndirilir və buna görə də onu pərdə arxasında qoyacağıq. (lazım olduqda, çatışmayan çərçivəyə baxmaq olar). Son nəticəni çıxarırıq:

Funksiya ən yaxşı yol (ən azı hər hansı digər xətti funksiya ilə müqayisədə) eksperimental nöqtələri yaxınlaşdırır . Kobud desək, onun qrafiki bu nöqtələrə mümkün qədər yaxın keçir. Ənənədə ekonometriya yaranan yaxınlaşma funksiyası da adlanır qoşalaşmış xətti reqressiya tənliyi .

Baxılan problem böyük praktik əhəmiyyət kəsb edir. Nümunəmizdəki vəziyyətdə, tənlik hansı növ dövriyyəni proqnozlaşdırmağa imkan verir ("yig") satış sahəsinin bu və ya digər dəyəri ilə mağazada olacaq ("x" in bu və ya digər mənası). Bəli, ortaya çıxan proqnoz yalnız bir proqnoz olacaq, lakin bir çox hallarda kifayət qədər dəqiq olacaq.

Mən "real" rəqəmlərlə yalnız bir problemi təhlil edəcəyəm, çünki orada heç bir çətinlik yoxdur - bütün hesablamalar 7-8-ci siniflərdə məktəb kurikulumu səviyyəsindədir. 95 faiz hallarda sizdən sadəcə xətti funksiyanı tapmağınız xahiş olunacaq, lakin məqalənin ən sonunda optimal hiperbola, eksponent və bəzi digər funksiyalar üçün tənlikləri tapmaq daha çətin olmadığını göstərəcəyəm.

Əslində, vəd edilmiş yaxşılıqları yaymaq qalır - belə ki, bu cür nümunələri yalnız dəqiq deyil, həm də tez həll etməyi öyrənəsiniz. Standartı diqqətlə öyrənirik:

Bir tapşırıq

İki göstərici arasındakı əlaqənin öyrənilməsi nəticəsində aşağıdakı cüt ədədlər əldə edilmişdir:

Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək, empirikə ən yaxşı yaxınlaşan xətti funksiyanı tapın (təcrübəli) data. Dekart düzbucaqlı koordinat sistemində eksperimental nöqtələri və yaxınlaşma funksiyasının qrafikini tərtib edən bir rəsm çəkin. . Empirik və nəzəri qiymətlər arasındakı kvadratik kənarlaşmaların cəmini tapın. Funksiyanın daha yaxşı olub olmadığını öyrənin (ən kiçik kvadratlar metodu baxımından) təxmini eksperimental nöqtələr.

Qeyd edək ki, "x" dəyərləri təbii dəyərlərdir və bunun xarakterik mənalı mənası var, bu barədə bir az sonra danışacağam; lakin onlar, əlbəttə, fraksiya ola bilər. Bundan əlavə, müəyyən bir tapşırığın məzmunundan asılı olaraq, həm "X", həm də "G" dəyərləri tam və ya qismən mənfi ola bilər. Yaxşı, bizə “simasız” tapşırıq verilib və biz ona başlayırıq həll:

Sistemin həlli kimi optimal funksiyanın əmsallarını tapırıq:

Daha yığcam notasiya məqsədləri üçün "sayıcı" dəyişəni buraxıla bilər, çünki toplamanın 1-dən -ə qədər aparıldığı artıq aydındır.

Tələb olunan məbləğləri cədvəl şəklində hesablamaq daha rahatdır:


Hesablamalar mikrokalkulyatorda aparıla bilər, lakin Excel-dən istifadə etmək daha yaxşıdır - həm daha sürətli, həm də səhvsiz; qısa videoya baxın:

Beləliklə, aşağıdakıları əldə edirik sistemi:

Burada ikinci tənliyi 3 və vura bilərsiniz 1-ci tənliyin həddi ilə 2-cini çıxarın. Ancaq bu şansdır - praktikada sistemlər çox vaxt istedadlı deyil və belə hallarda qənaət edir Kramer üsulu:
, belə ki, sistemin unikal həlli var.

Gəlin yoxlayaq. Başa düşürəm ki, istəmirəm, amma niyə onları qaçıra bilməyəcəyiniz səhvləri qaçırırsınız? Tapılan həlli sistemin hər bir tənliyinin sol tərəfində əvəz edin:

Müvafiq tənliklərin düzgün hissələri alınır ki, bu da sistemin düzgün həll edilməsi deməkdir.

Beləliklə, istədiyiniz yaxınlaşma funksiyası: – dən bütün xətti funksiyalar eksperimental məlumatlar ən yaxşı şəkildə ona uyğunlaşdırılır.

Fərqli düz mağazanın dövriyyəsinin onun sahəsindən asılılığı, tapılan asılılıqdır tərs ("nə qədər çox - bir o qədər az" prinsipi), və bu fakt dərhal mənfi ilə üzə çıxır bucaq əmsalı. Funksiya müəyyən göstəricinin 1 vahid artması ilə asılı göstəricinin dəyərinin azaldığını bildirir orta 0,65 vahid. Necə deyərlər, qarabaşaq nə qədər bahadırsa, bir o qədər az satılır.

Təxmini funksiyanın qrafikini çəkmək üçün onun iki dəyərini tapırıq:

və rəsmini yerinə yetirin:


Qurulmuş xətt adlanır trend xətti (yəni xətti trend xətti, yəni ümumi halda trend mütləq düz xətt deyil). “Trenddə olmaq” ifadəsi hər kəsə tanışdır və hesab edirəm ki, bu terminin əlavə şərhə ehtiyacı yoxdur.

Kvadrat sapmaların cəmini hesablayın empirik və nəzəri dəyərlər arasında. Həndəsi olaraq bu, "qırmızı" seqmentlərin uzunluqlarının kvadratlarının cəmidir (onlardan ikisi o qədər kiçikdir ki, onları görə bilməzsiniz).

Hesablamaları cədvəldə ümumiləşdirək:


1-ci bənd üçün bir nümunə verəcəyəm deyə, yenidən əl ilə həyata keçirilə bilər:

lakin artıq məlum olan üsulu etmək daha səmərəlidir:

Təkrarlayaq: nəticənin mənası nədir? From bütün xətti funksiyalar funksiyası eksponent ən kiçikdir, yəni ailəsində ən yaxşı yaxınlaşmadır. Və burada, yeri gəlmişkən, problemin son sualı təsadüfi deyil: əgər təklif olunan eksponensial funksiya eksperimental nöqtələrə yaxınlaşmaq daha yaxşı olarmı?

Kvadrat sapmaların müvafiq cəmini tapaq - onları fərqləndirmək üçün onları "epsilon" hərfi ilə təyin edəcəyəm. Texnika tamamilə eynidır:


Və yenə 1-ci nöqtə üçün hər yanğın hesablanması üçün:

Excel-də biz standart funksiyadan istifadə edirik EXP (Sintaksis Excel Yardımında tapıla bilər).

Nəticə: , beləliklə eksponensial funksiya eksperimental nöqtələrə düz xəttdən daha pis yaxınlaşır .

Ancaq burada qeyd etmək lazımdır ki, "daha pis" hələ demək deyil, səhv nədir. İndi mən bu eksponensial funksiyanın qrafikini qurdum və o da nöqtələrə yaxın keçir - o qədər ki, analitik araşdırma olmadan hansı funksiyanın daha dəqiq olduğunu söyləmək çətindir.

Bu, həlli tamamlayır və mən mübahisənin təbii dəyərləri sualına qayıdıram. Müxtəlif tədqiqatlarda, bir qayda olaraq, iqtisadi və ya sosioloji, aylar, illər və ya digər bərabər zaman intervalları natural "X" ilə nömrələnir. Məsələn, belə bir problemi nəzərdən keçirək.

Ən kiçik kvadrat üsulu

Mövzunun yekun dərsində ən məşhur proqramla tanış olacağıq FNP, elm və praktikanın müxtəlif sahələrində ən geniş tətbiq tapır. Bu fizika, kimya, biologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya, psixologiya və sair ola bilər. Taleyin iradəsi ilə mən tez-tez iqtisadiyyatla məşğul oluram və buna görə də bu gün sizin üçün adlanan heyrətamiz ölkəyə bilet təşkil edəcəyəm. Ekonometriya=) … Bunu necə istəmirsən?! Orada çox yaxşıdır - sadəcə qərar verməlisiniz! …Ancaq yəqin ki, istədiyiniz şey problemləri necə həll edəcəyinizi öyrənməkdir ən kiçik kvadratlar. Və xüsusilə çalışqan oxucular onları nəinki dəqiq, həm də ÇOX SÜRƏTLİ həll etməyi öyrənəcəklər ;-) Amma əvvəlcə problemin ümumi ifadəsi+ əlaqəli nümunə:

Bəzi fənn sahəsində kəmiyyət ifadəsi olan göstəricilər öyrənilsin. Eyni zamanda, göstəricinin göstəricidən asılı olduğuna inanmaq üçün hər cür əsas var. Bu fərziyyə həm elmi fərziyyə ola bilər, həm də elementar sağlam düşüncəyə əsaslana bilər. Bununla belə, elmi bir kənara qoyub daha iştahaaçan sahələri - yəni ərzaq mağazalarını araşdıraq. ilə işarələyin:

– ərzaq mağazasının pərakəndə satış sahəsi, kv.m.,
- bir ərzaq mağazasının illik dövriyyəsi, milyon rubl.

Tamamilə aydındır ki, mağazanın sahəsi nə qədər böyükdürsə, əksər hallarda onun dövriyyəsi bir o qədər çox olur.

Tutaq ki, müşahidələr / təcrübələr / hesablamalar / qavalla rəqs etdikdən sonra bizim ixtiyarımızda rəqəmsal məlumatlar var:

Ərzaq mağazaları ilə məncə hər şey aydındır: - bu, 1-ci mağazanın ərazisidir, - onun illik dövriyyəsi, - 2-ci mağazanın sahəsi, - illik dövriyyəsi və s. Yeri gəlmişkən, məxfi materiallara daxil olmaq heç də lazım deyil - istifadə edərək dövriyyənin kifayət qədər dəqiq qiymətləndirilməsi əldə edilə bilər. riyazi statistika. Ancaq diqqətinizi yayındırmayın, kommersiya casusluğu kursu artıq ödənilir =)

Cədvəl məlumatları nöqtələr şəklində də yazıla və bizim üçün adi şəkildə təsvir edilə bilər. Kartezyen sistemi .

Gəlin vacib suala cavab verək: keyfiyyətli tədqiqat üçün neçə bal lazımdır?

Nə qədər böyük, bir o qədər yaxşıdır. Minimum icazə verilən dəst 5-6 baldan ibarətdir. Bundan əlavə, az miqdarda məlumatla "anormal" nəticələr nümunəyə daxil edilməməlidir. Beləliklə, məsələn, kiçik bir elit mağaza "həmkarlarından" daha çox böyük sifarişlər verməyə kömək edə bilər, bununla da tapılmalı olan ümumi nümunəni təhrif edir!

Bu olduqca sadədirsə, bir funksiya seçməliyik, cədvəli nöqtələrə mümkün qədər yaxın keçir . Belə bir funksiya deyilir yaxınlaşdıran (yaxınlaşma - yaxınlaşma) və ya nəzəri funksiya . Ümumiyyətlə, burada dərhal aşkar bir "iddiaçı" görünür - qrafiki BÜTÜN nöqtələrdən keçən yüksək dərəcəli polinom. Ancaq bu seçim mürəkkəbdir və çox vaxt sadəcə səhvdir. (çünki qrafik hər zaman "külək" edəcək və əsas trendi zəif əks etdirəcək).

Beləliklə, istənilən funksiya kifayət qədər sadə olmalı və eyni zamanda asılılığı adekvat şəkildə əks etdirməlidir. Təxmin etdiyiniz kimi, bu cür funksiyaları tapmaq üsullarından biri adlanır ən kiçik kvadratlar. Əvvəlcə onun mahiyyətini ümumi şəkildə təhlil edək. Bəzi funksiyaların eksperimental məlumatları təxmin etməsinə icazə verin:


Bu yaxınlaşmanın düzgünlüyünü necə qiymətləndirmək olar? Eksperimental və funksional qiymətlər arasındakı fərqləri (sapmaları) da hesablayaq (rəsmi öyrənirik). Ağlına gələn ilk fikir, məbləğin nə qədər böyük olduğunu təxmin etməkdir, lakin problem fərqlərin mənfi ola bilməsidir. (misal üçün, ) və bu cür cəmləmə nəticəsində sapmalar bir-birini ləğv edəcəkdir. Buna görə də, yaxınlaşmanın düzgünlüyünü qiymətləndirmək üçün o, cəmini götürməyi təklif edir. modullar sapmalar:

və ya qatlanmış formada: (bilməyənlər üçün: cəmi simvoludur və - köməkçi dəyişən - 1-dən qiymət alan "sayğac" ) .

Müxtəlif funksiyaları olan eksperimental nöqtələrə yaxınlaşaraq, fərqli qiymətlər alacağıq və bu cəmin harada daha az olduğu aydındır - bu funksiya daha dəqiqdir.

Belə bir üsul mövcuddur və deyilir ən az modul üsulu. Ancaq praktikada bu, daha geniş yayılmışdır. ən kiçik kvadrat üsulu, burada mümkün mənfi dəyərlər modulla deyil, sapmaların kvadratı ilə aradan qaldırılır:

, bundan sonra səylər elə bir funksiyanın seçilməsinə yönəldilir ki, kvadratdan kənara çıxanların cəmi mümkün qədər kiçik idi. Əslində, metodun adı belədir.

İndi başqa bir vacib məqama qayıdırıq: yuxarıda qeyd edildiyi kimi, seçilmiş funksiya olduqca sadə olmalıdır - lakin belə funksiyalar da çoxdur: xətti , hiperbolik , eksponensial , loqarifmik , kvadratik və s. Və təbii ki, burada mən dərhal "fəaliyyət sahəsini azaltmaq" istərdim. Tədqiqat üçün hansı sinif funksiyaları seçmək lazımdır? Primitiv, lakin effektiv texnika:

- Xal çəkməyin ən asan yolu rəsm üzərində və onların yerini təhlil edin. Əgər onlar düz bir xəttdə olmağa meyllidirlərsə, onda siz axtarmalısınız düz xətt tənliyi optimal dəyərlərlə və . Başqa sözlə desək, vəzifə BELƏ əmsalları tapmaqdır - belə ki, kvadratdan kənara çıxanların cəmi ən kiçik olsun.

Nöqtələr, məsələn, boyunca yerləşirsə hiperbola, onda xətti funksiyanın zəif yaxınlaşma verəcəyi aydındır. Bu halda biz hiperbola tənliyi üçün ən “əlverişli” əmsalları axtarırıq - kvadratların minimum cəmini verənlər .

İndi diqqət yetirin ki, hər iki halda söhbət gedir iki dəyişənin funksiyaları, arqumentləri kimindir asılılıq variantlarını axtardı:

Və mahiyyətcə, biz standart problemi həll etməliyik - tapmaq iki dəyişənli funksiyanın minimumu.

Nümunəmizi xatırlayın: fərz edək ki, "mağaza" nöqtələri düz bir xəttdə yerləşir və mövcudluğuna inanmaq üçün hər cür əsas var. xətti asılılıq ticarət sahəsindən dövriyyə. BELƏ “a” və “be” əmsallarını tapaq ki, kvadratdan kənara çıxanların cəmi olsun. ən kiçik idi. Hər şey həmişəki kimi - ilk 1-ci dərəcəli qismən törəmələr. görə xəttilik qaydası cəmi ikonası altında fərqlənə bilərsiniz:

Bu məlumatı esse və ya kurs işi üçün istifadə etmək istəyirsinizsə, mənbələr siyahısındakı linkə görə çox minnətdar olacağam, heç bir yerdə belə ətraflı hesablamalara rast gəlməyəcəksiniz:

Standart bir sistem yaradaq:

Hər bir tənliyi "iki" azaldırıq və əlavə olaraq məbləğləri "parçalayırıq":

Qeyd : "a" və "be"nin nə üçün cəmi işarəsindən çıxarıla biləcəyini müstəqil təhlil edin. Yeri gəlmişkən, formal olaraq bu, məbləğlə edilə bilər

Sistemi "tətbiqi" formada yenidən yazaq:

bundan sonra problemimizin həlli üçün alqoritm çəkilməyə başlayır:

Nöqtələrin koordinatlarını bilirikmi? Biz bilirik. məbləğlər tapa bilərik? Asanlıqla. Ən sadəini tərtib edirik iki naməlumlu iki xətti tənlik sistemi("a" və "beh"). Sistemi həll edirik, məsələn, Kramer üsulu, nəticədə stasionar nöqtə yaranır. Yoxlama ekstremum üçün kifayət qədər şərtdir, biz bu nöqtədə funksiyanın olduğunu yoxlaya bilərik dəqiq çatır minimum. Doğrulama əlavə hesablamalarla əlaqələndirilir və buna görə də onu pərdə arxasında qoyacağıq. (lazım olduqda, çatışmayan çərçivəyə baxmaq olarburada ) . Son nəticəni çıxarırıq:

Funksiya ən yaxşı yol (ən azı hər hansı digər xətti funksiya ilə müqayisədə) eksperimental nöqtələri yaxınlaşdırır . Kobud desək, onun qrafiki bu nöqtələrə mümkün qədər yaxın keçir. Ənənədə ekonometriya yaranan yaxınlaşma funksiyası da adlanır qoşalaşmış xətti reqressiya tənliyi .

Baxılan problem böyük praktik əhəmiyyət kəsb edir. Nümunəmizdəki vəziyyətdə, tənlik hansı növ dövriyyəni proqnozlaşdırmağa imkan verir ("yig") satış sahəsinin bu və ya digər dəyəri ilə mağazada olacaq ("x" in bu və ya digər mənası). Bəli, ortaya çıxan proqnoz yalnız bir proqnoz olacaq, lakin bir çox hallarda kifayət qədər dəqiq olacaq.

Mən "real" rəqəmlərlə yalnız bir problemi təhlil edəcəyəm, çünki orada heç bir çətinlik yoxdur - bütün hesablamalar 7-8-ci siniflərdə məktəb kurikulumu səviyyəsindədir. 95 faiz hallarda sizdən sadəcə xətti funksiyanı tapmağınız xahiş olunacaq, lakin məqalənin ən sonunda optimal hiperbola, eksponent və bəzi digər funksiyalar üçün tənlikləri tapmaq daha çətin olmadığını göstərəcəyəm.

Əslində, vəd edilmiş yaxşılıqları yaymaq qalır - belə ki, bu cür nümunələri yalnız dəqiq deyil, həm də tez həll etməyi öyrənəsiniz. Standartı diqqətlə öyrənirik:

Bir tapşırıq

İki göstərici arasındakı əlaqənin öyrənilməsi nəticəsində aşağıdakı cüt ədədlər əldə edilmişdir:

Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək, empirikə ən yaxşı yaxınlaşan xətti funksiyanı tapın (təcrübəli) data. Dekart düzbucaqlı koordinat sistemində eksperimental nöqtələri və yaxınlaşma funksiyasının qrafikini tərtib edən bir rəsm çəkin. . Empirik və nəzəri qiymətlər arasındakı kvadratik kənarlaşmaların cəmini tapın. Funksiyanın daha yaxşı olub olmadığını öyrənin (ən kiçik kvadratlar metodu baxımından) təxmini eksperimental nöqtələr.

Qeyd edək ki, "x" dəyərləri təbii dəyərlərdir və bunun xarakterik mənalı mənası var, bu barədə bir az sonra danışacağam; lakin onlar, əlbəttə, fraksiya ola bilər. Bundan əlavə, müəyyən bir tapşırığın məzmunundan asılı olaraq, həm "X", həm də "G" dəyərləri tam və ya qismən mənfi ola bilər. Yaxşı, bizə “simasız” tapşırıq verilib və biz ona başlayırıq həll:

Sistemin həlli kimi optimal funksiyanın əmsallarını tapırıq:

Daha yığcam notasiya məqsədləri üçün "sayıcı" dəyişəni buraxıla bilər, çünki toplamanın 1-dən -ə qədər aparıldığı artıq aydındır.

Tələb olunan məbləğləri cədvəl şəklində hesablamaq daha rahatdır:


Hesablamalar mikrokalkulyatorda aparıla bilər, lakin Excel-dən istifadə etmək daha yaxşıdır - həm daha sürətli, həm də səhvsiz; qısa videoya baxın:

Beləliklə, aşağıdakıları əldə edirik sistemi:

Burada ikinci tənliyi 3 və vura bilərsiniz 1-ci tənliyin həddi ilə 2-cini çıxarın. Ancaq bu şansdır - praktikada sistemlər çox vaxt istedadlı deyil və belə hallarda qənaət edir Kramer üsulu:
, belə ki, sistemin unikal həlli var.

Gəlin yoxlayaq. Başa düşürəm ki, istəmirəm, amma niyə onları qaçıra bilməyəcəyiniz səhvləri qaçırırsınız? Tapılan həlli sistemin hər bir tənliyinin sol tərəfində əvəz edin:

Müvafiq tənliklərin düzgün hissələri alınır ki, bu da sistemin düzgün həll edilməsi deməkdir.

Beləliklə, istədiyiniz yaxınlaşma funksiyası: – dən bütün xətti funksiyalar eksperimental məlumatlar ən yaxşı şəkildə ona uyğunlaşdırılır.

Fərqli düz mağazanın dövriyyəsinin onun sahəsindən asılılığı, tapılan asılılıqdır tərs ("nə qədər çox - bir o qədər az" prinsipi), və bu fakt dərhal mənfi ilə üzə çıxır bucaq əmsalı. Funksiya bizə müəyyən bir göstəricinin 1 vahid artması ilə asılı göstəricinin dəyərinin azaldığını bildirir orta 0,65 vahid. Necə deyərlər, qarabaşaq nə qədər bahadırsa, bir o qədər az satılır.

Təxmini funksiyanın qrafikini çəkmək üçün onun iki dəyərini tapırıq:

və rəsmini yerinə yetirin:

Qurulmuş xətt adlanır trend xətti (yəni xətti trend xətti, yəni ümumi halda trend mütləq düz xətt deyil). “Trenddə olmaq” ifadəsi hər kəsə tanışdır və hesab edirəm ki, bu terminin əlavə şərhə ehtiyacı yoxdur.

Kvadrat sapmaların cəmini hesablayın empirik və nəzəri dəyərlər arasında. Həndəsi olaraq bu, "qırmızı" seqmentlərin uzunluqlarının kvadratlarının cəmidir (onlardan ikisi o qədər kiçikdir ki, onları görə bilməzsiniz).

Hesablamaları cədvəldə ümumiləşdirək:


1-ci bənd üçün bir nümunə verəcəyəm deyə, yenidən əl ilə həyata keçirilə bilər:

lakin artıq məlum olan üsulu etmək daha səmərəlidir:

Təkrarlayaq: nəticənin mənası nədir? From bütün xətti funksiyalar funksiyanın göstəricisi ən kiçikdir, yəni onun ailəsində ən yaxşı yaxınlaşmadır. Və burada, yeri gəlmişkən, problemin son sualı təsadüfi deyil: əgər təklif olunan eksponensial funksiya eksperimental nöqtələrə yaxınlaşmaq daha yaxşı olarmı?

Kvadrat sapmaların müvafiq cəmini tapaq - onları fərqləndirmək üçün onları "epsilon" hərfi ilə təyin edəcəyəm. Texnika tamamilə eynidır:

Və yenə 1-ci nöqtə üçün hər yanğın hesablanması üçün:

Excel-də biz standart funksiyadan istifadə edirik EXP (Sintaksis Excel Yardımında tapıla bilər).

Nəticə: , beləliklə eksponensial funksiya eksperimental nöqtələrə düz xəttdən daha pis yaxınlaşır.

Ancaq burada qeyd etmək lazımdır ki, "daha pis" hələ demək deyil, səhv nədir. İndi mən bu eksponensial funksiyanın qrafikini qurmuşam - və o da nöqtələrə yaxın keçir - o qədər ki, analitik araşdırma olmadan hansı funksiyanın daha dəqiq olduğunu söyləmək çətindir.

Bu, həlli tamamlayır və mən mübahisənin təbii dəyərləri sualına qayıdıram. Müxtəlif tədqiqatlarda, bir qayda olaraq, iqtisadi və ya sosioloji, aylar, illər və ya digər bərabər zaman intervalları natural "X" ilə nömrələnir. Məsələn, aşağıdakı problemi nəzərdən keçirin:

İlin birinci yarısı üçün mağazanın pərakəndə dövriyyəsi ilə bağlı aşağıdakı məlumatları əldə edirik:

Düz xətt analitik uyğunlaşdırmadan istifadə edərək, iyul ayı üçün satış həcmini tapın.

Bəli, problem yoxdur: biz 1, 2, 3, 4, 5, 6 ayları nömrələyirik və adi alqoritmdən istifadə edirik, nəticədə bir tənlik əldə edirik - zamana gəldikdə yeganə şey adətən "te" hərfidir. ” (kritik olmasa da). Əldə edilən tənlik göstərir ki, ilin birinci yarısında dövriyyə orta hesabla 27,74 VV artıb. hər ay üçün. İyul ayı üçün proqnoz alın (ay #7): e.u.

Və oxşar vəzifələr - qaranlıq qaranlıqdır. Arzu edənlər əlavə xidmətdən, yəni mənim Excel kalkulyatoru (demo versiya), hansı problemi demək olar ki, dərhal həll edir! Proqramın işlək versiyası mövcuddur əvəzində və ya üçün simvolik ödəniş.

Dərsin sonunda bəzi digər növ asılılıqların tapılması haqqında qısa məlumat verilir. Əslində, demək üçün xüsusi bir şey yoxdur, çünki əsas yanaşma və həll alqoritmi eyni qalır.

Fərz edək ki, eksperimental nöqtələrin yeri hiperbolaya bənzəyir. Sonra ən yaxşı hiperbolanın əmsallarını tapmaq üçün funksiyanın minimumunu tapmaq lazımdır - istəyənlər ətraflı hesablamalar aparıb oxşar sistemə gələ bilərlər:

Formal texniki baxımdan “xətti” sistemdən alınır (gəlin ulduzla qeyd edək)"x" ilə əvəz. Yaxşı, məbləğlər hesablayın, bundan sonra optimal "a" və "be" əmsallarına əlində.

Bu nöqtələrə inanmaq üçün hər cür səbəb varsa loqarifmik əyri boyunca düzülür, sonra optimal dəyərləri axtarmaq və funksiyanın minimumunu tapmaq üçün . Formal olaraq sistemdə (*) aşağıdakılarla əvəz edilməlidir:

Excel-də hesablayarkən funksiyadan istifadə edin LN. Etiraf edirəm ki, baxılan halların hər biri üçün kalkulyatorlar yaratmaq mənim üçün çətin olmayacaq, amma yenə də hesablamaları özünüz "proqramlaşdırsanız" daha yaxşı olar. Kömək etmək üçün video dərslər.

Eksponensial asılılıq ilə vəziyyət bir az daha mürəkkəbdir. Məsələni xətti vəziyyətə endirmək üçün funksiyanın loqarifmini götürürük və istifadə edirik loqarifmin xassələri:

İndi alınan funksiyanı xətti funksiya ilə müqayisə edərək belə nəticəyə gəlirik ki, sistemdə (*) , və - ilə əvəz olunmalıdır. Rahatlıq üçün qeyd edirik:

Nəzərə alın ki, sistem və ilə bağlı həll olunur və buna görə də kökləri tapdıqdan sonra əmsalın özünü tapmağı unutmamalısınız.

Təcrübə nöqtələrini təxmin etmək optimal parabola , tapılmalıdır üç dəyişənli funksiyanın minimumu . Standart hərəkətləri yerinə yetirdikdən sonra aşağıdakı "işləyən" alırıq sistemi:

Bəli, əlbəttə ki, burada daha çox məbləğ var, lakin sevimli tətbiqinizi istifadə edərkən heç bir çətinlik yoxdur. Və nəhayət, Excel-dən istifadə edərək tez bir zamanda necə yoxlanacağını və istədiyiniz trend xəttini necə quracağınızı söyləyəcəyəm: səpilmə qrafiki yaradın, siçan ilə hər hansı bir nöqtəni seçin. və seçim seçimini sağ vurun "Trend xətti əlavə et". Sonra, cədvəlin növünü və nişanı seçin "Seçimlər" seçimi aktivləşdirin "Qrafikdə tənliyi göstər". tamam

Həmişə olduğu kimi, məqaləni gözəl bir ifadə ilə bitirmək istəyirəm və az qala “Trenddə ol!” yazısını yazdım. Lakin zaman keçdikcə fikrini dəyişdi. Həm də ona görə yox ki, bu, formal xarakter daşıyır. Mən heç kimin necə olduğunu bilmirəm, amma Amerika və xüsusilə Avropanın təbliğatını qətiyyən izləmək istəmirəm =) Ona görə də hər birinizə öz xəttinizdən qalmanızı arzulayıram!

http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/metod-naimenshih-kvadratov.html

Ən kiçik kvadratlar metodu ən çox yayılmış və ən inkişaf etmiş üsullardan biridir xətti ekonometrik modellərin parametrlərinin qiymətləndirilməsi üsullarının sadəliyi və səmərəliliyi. Eyni zamanda, ondan istifadə edərkən bir qədər ehtiyatlı olmaq lazımdır, çünki ondan istifadə edərək qurulan modellər parametrlərinin keyfiyyətinə dair bir sıra tələblərə cavab verməyə bilər və nəticədə prosesin inkişaf nümunələrini "yaxşı" əks etdirmir.

Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə etməklə xətti ekonometrik modelin parametrlərinin qiymətləndirilməsi prosedurunu daha ətraflı nəzərdən keçirək. Ümumi formada belə bir model (1.2) tənliyi ilə təmsil oluna bilər:

y t = a 0 + a 1 x 1t +...+ a n x nt + ε t .

a 0, a 1,..., a n parametrlərini qiymətləndirərkən ilkin məlumatlar asılı dəyişənin qiymət vektorudur. y= (y 1 , y 2 , ... , y T)" və müstəqil dəyişənlərin dəyərlərinin matrisi

birlərdən ibarət birinci sütun modelin əmsalına uyğundur.

Ən kiçik kvadratlar metodu, onun əsasında alınan parametr qiymətləndirmələrinin təmin etməli olduğu əsas prinsipə əsaslanaraq adını aldı: model xətasının kvadratlarının cəmi minimal olmalıdır.

Ən kiçik kvadratlar üsulu ilə məsələlərin həlli nümunələri

Misal 2.1. Ticarət müəssisəsi 12 mağazadan ibarət şəbəkəyə malikdir, onların fəaliyyəti haqqında məlumatlar Cədvəldə təqdim olunur. 2.1.

Şirkət rəhbərliyi illik dövriyyənin həcminin mağazanın pərakəndə satış yerindən necə asılı olduğunu bilmək istərdi.

Cədvəl 2.1

Ən kiçik kvadratların həlli. Təyin edək - -ci mağazanın illik dövriyyəsi, milyon rubl; - mağazanın satış sahəsi, min m 2.

Şəkil 2.1. Nümunə 2.1 üçün səpələnmə qrafiki

Dəyişənlər arasında funksional əlaqənin formasını müəyyən etmək və səpələnmə qrafikini qurmaq (şək. 2.1).

Səpələnmə diaqramına əsaslanaraq belə nəticəyə gələ bilərik ki, illik dövriyyə satış sahəsindən müsbət asılıdır (yəni y artımı ilə artacaq). Funksional əlaqənin ən uyğun formasıdır xətti.

Əlavə hesablamalar üçün məlumatlar Cədvəldə təqdim olunur. 2.2. Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək xətti bir faktorlu ekonometrik modelin parametrlərini qiymətləndiririk

Cədvəl 2.2

Bu minvalla,

Buna görə, ticarət sahəsinin 1 min m 2 artması ilə, digər şeylər bərabər olduqda, orta illik dövriyyə 67,8871 milyon rubl artır.

Misal 2.2. Müəssisənin rəhbərliyi qeyd etdi ki, illik dövriyyə təkcə mağazanın satış sahəsindən deyil (bax misal 2.1), həm də ziyarətçilərin orta sayından asılıdır. Müvafiq məlumatlar cədvəldə təqdim olunur. 2.3.

Cədvəl 2.3

Həll. Göstərin - gündə ci mağazaya gələnlərin orta sayı, min nəfər.

Dəyişənlər arasında funksional əlaqənin formasını müəyyən etmək və səpələnmə qrafikini qurmaq (şək. 2.2).

Dağılma diaqramına əsaslanaraq belə nəticəyə gələ bilərik ki, illik dövriyyə gündəlik ziyarətçilərin orta sayı ilə müsbət əlaqədədir (yəni y artımı ilə y artacaq). Funksional asılılığın forması xəttidir.

düyü. 2.2. Scatterplot, məsələn, 2.2

Cədvəl 2.4

Ümumiyyətlə, iki faktorlu ekonometrik modelin parametrlərini müəyyən etmək lazımdır

y t \u003d a 0 + a 1 x 1t + a 2 x 2t + ε t

Əlavə hesablamalar üçün tələb olunan məlumatlar Cədvəldə təqdim olunur. 2.4.

Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək xətti iki faktorlu ekonometrik modelin parametrlərini qiymətləndirək.

Bu minvalla,

= 61,6583 əmsalının qiymətləndirilməsi göstərir ki, digər şeylər bərabər olduqda, ticarət sahəsinin 1 min m 2 artması ilə illik dövriyyə orta hesabla 61,6583 milyon rubl artacaqdır.

Əmsalın qiymətləndirilməsi = 2,2748 göstərir ki, digər şeylər bərabər olduqda, 1 min nəfərə düşən ziyarətçilərin orta sayının artması ilə. gündə illik dövriyyə orta hesabla 2,2748 milyon rubl artacaq.

Misal 2.3. Cədvəldə göstərilən məlumatlardan istifadə etməklə. 2.2 və 2.4, bir faktorlu ekonometrik modelin parametrini qiymətləndirin

-ci mağazanın illik dövriyyəsinin mərkəzləşdirilmiş dəyəri haradadır, milyon rubl; - t-ci mağazaya gələnlərin orta gündəlik sayının mərkəzləşdirilmiş dəyəri, min nəfər. (2.1-2.2 nümunələrinə baxın).

Həll. Hesablamalar üçün tələb olunan əlavə məlumatlar Cədvəldə təqdim olunur. 2.5.

Cədvəl 2.5

(2.35) düsturundan istifadə edərək əldə edirik

Bu minvalla,

http://www.cleverstudents.ru/articles/mnk.html

Misal.

Dəyişənlərin dəyərlərinə dair eksperimental məlumatlar X və saat cədvəldə verilmişdir.

Onların düzülməsi nəticəsində funksiya

İstifadə ən kiçik kvadrat üsulu, bu məlumatları xətti asılılıqla təxmin edin y=ax+b(variantları tapın a və b). İki sətirdən hansının daha yaxşı olduğunu tapın (ən kiçik kvadratlar metodu mənasında) eksperimental məlumatları uyğunlaşdırır. Rəsm çəkin.

Həll.

Bizim nümunəmizdə n=5. Tələb olunan əmsalların düsturlarına daxil olan məbləğlərin hesablanmasının rahatlığı üçün cədvəli doldururuq.

Cədvəlin dördüncü sətirindəki dəyərlər 2-ci sətrin dəyərlərini hər bir nömrə üçün 3-cü sətirin dəyərlərinə vurmaqla əldə edilir. i.

Cədvəlin beşinci cərgəsindəki dəyərlər hər nömrə üçün 2-ci sətirin dəyərlərini kvadratlaşdırmaqla əldə edilir. i.

Cədvəlin son sütununun dəyərləri sətirlər arasında olan dəyərlərin cəmidir.

Əmsalları tapmaq üçün ən kiçik kvadratlar metodunun düsturlarından istifadə edirik a və b. Onlarda cədvəlin son sütunundan müvafiq dəyərləri əvəz edirik:

Nəticədə, y=0,165x+2,184 arzu olunan təxmini düz xəttdir.

Sətirlərdən hansının olduğunu tapmaq qalır y=0,165x+2,184 və ya ilkin məlumatları daha yaxşı təxmin edir, yəni ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək təxmin etmək.

Sübut.

Belə ki, aşkar zaman a və b funksiya ən kiçik qiyməti alır, bu nöqtədə funksiya üçün ikinci dərəcəli diferensialın kvadrat formasının matrisi lazımdır. müsbət müəyyən idi. Gəlin onu göstərək.

İkinci dərəcəli diferensial formaya malikdir:

Yəni

Buna görə kvadrat formanın matrisi formaya malikdir

və elementlərin qiymətləri asılı deyil a və b.

Gəlin matrisin müsbət müəyyən olduğunu göstərək. Bu, kiçiklərin bucağın müsbət olmasını tələb edir.

Birinci dərəcəli bucaq minoru . Ballardan bəri bərabərsizlik ciddidir

Düzləşdirildikdən sonra aşağıdakı formalı funksiyanı alırıq: g (x) = x + 1 3 + 1 .

Müvafiq parametrləri hesablamaqla bu məlumatları y = a x + b xətti əlaqəsi ilə təxmin edə bilərik. Bunun üçün ən kiçik kvadratlar adlanan metodu tətbiq etməliyik. Eksperimental məlumatları hansı xəttin ən yaxşı şəkildə uyğunlaşdıracağını yoxlamaq üçün bir rəsm çəkməlisiniz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

OLS (ən kiçik kvadratlar metodu) dəqiq nədir

Bizim etməli olduğumuz əsas şey elə xətti asılılıq əmsallarını tapmaqdır ki, bu zaman iki dəyişənin F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 funksiyasının qiyməti ən kiçik olacaqdır. . Başqa sözlə, a və b-nin müəyyən dəyərləri üçün təqdim olunan məlumatların alınan düz xəttdən kvadrat sapmalarının cəmi minimum dəyərə malik olacaqdır. Ən kiçik kvadratlar metodunun mənası budur. Nümunəni həll etmək üçün etməli olduğumuz tək şey iki dəyişənin funksiyasının ekstremumunu tapmaqdır.

Əmsalların hesablanması üçün düsturları necə əldə etmək olar

Əmsalların hesablanması üçün düsturlar əldə etmək üçün iki dəyişənli tənliklər sistemini tərtib etmək və həll etmək lazımdır. Bunun üçün F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ifadəsinin a və b-yə nisbətən qismən törəmələrini hesablayırıq və onları 0-a bərabərləşdiririk.

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = y ∑ i = a ∑ i = a ∑ i = 1 1 ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

Tənliklər sistemini həll etmək üçün istənilən üsullardan, məsələn, əvəzetmə və ya Kramer metodundan istifadə edə bilərsiniz. Nəticədə ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək əmsalları hesablayan düsturlar almalıyıq.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 a n y i - ∑ i = 1 n y i - i

Funksiya olan dəyişənlərin dəyərlərini hesabladıq
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 minimum qiyməti alacaq. Üçüncü abzasda bunun niyə belə olduğunu sübut edəcəyik.

Bu, ən kiçik kvadratlar metodunun praktikada tətbiqidir. Onun a parametrini tapmaq üçün istifadə edilən düsturuna ∑ i = 1 n x i , ∑ i = 1 n y i , ∑ i = 1 n x i y i , ∑ i = 1 n x i 2 və parametr daxildir.
n - eksperimental məlumatların miqdarını bildirir. Hər bir məbləği ayrıca hesablamağı məsləhət görürük. Əmsal dəyəri b a dan dərhal sonra hesablanır.

Orijinal nümunəyə qayıdaq.

Misal 1

Burada beşə bərabər n var. Katsayı düsturlarına daxil edilmiş tələb olunan məbləğləri hesablamağı daha rahat etmək üçün cədvəli doldururuq.

Həll

Dördüncü cərgədə ikinci cərgədən gələn dəyərləri hər bir fərdin üçün üçüncünün qiymətlərinə vurmaqla əldə edilən məlumatlar var. Beşinci sətir ikinci kvadratdan məlumatları ehtiva edir. Son sütun fərdi sətirlərin dəyərlərinin cəmini göstərir.

Bizə lazım olan a və b əmsallarını hesablamaq üçün ən kiçik kvadratlar üsulundan istifadə edək. Bunu etmək üçün son sütundan istədiyiniz dəyərləri əvəz edin və məbləğləri hesablayın:

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 a ∑ y i =∑ i = 1 n ∑ i - ∑ i = ∑ i - 1 n y i ∑ i = 1 n y i n - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184

İstədiyimiz yaxınlaşma xəttinin y = 0, 165 x + 2, 184 kimi görünəcəyini əldə etdik. İndi müəyyən etməliyik ki, hansı xəttin məlumatları ən yaxşı təxmin edəcəyini - g (x) = x + 1 3 + 1 və ya 0 , 165 x + 2 , 184 . Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək təxmin edək.

Xətanı hesablamaq üçün σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 və σ 2 = ∑ i = 1 n (y i -) sətirlərindən verilənlərin kvadratik kənarlaşmalarının cəmini tapmalıyıq. g (x i)) 2 , minimum dəyər daha uyğun bir xəttə uyğun olacaq.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0 , 165 x i + 2 , 184)) 2 ≈ 0 , 019 σ 2 = ∑ 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0 , 096

Cavab:σ 1-dən< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0, 165 x + 2, 184.

Ən kiçik kvadratlar üsulu qrafik təsvirdə aydın şəkildə göstərilmişdir. Qırmızı xətt düz xətti g (x) = x + 1 3 + 1, mavi xətt y = 0, 165 x + 2, 184 işarələrini göstərir. Xam məlumatlar çəhrayı nöqtələrlə işarələnmişdir.

Bu tip təxminlərin niyə lazım olduğunu izah edək.

Onlar məlumatların hamarlaşdırılmasını tələb edən problemlərdə, həmçinin məlumatların interpolyasiyası və ya ekstrapolyasiyası lazım olan problemlərdə istifadə edilə bilər. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan məsələdə x = 3 və ya x = 6-da müşahidə olunan y kəmiyyətinin qiymətini tapmaq olar. Bu cür nümunələrə ayrıca məqalə ayırdıq.

LSM metodunun sübutu

Funksiyanın hesablanmış a və b üçün minimum qiyməti qəbul etməsi üçün müəyyən nöqtədə F (a, b) formasının funksiyasının diferensialının kvadrat formasının matrisi = ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) 2 müsbət müəyyən olun. Bunun necə görünməli olduğunu sizə göstərək.

Misal 2

Aşağıdakı formada ikinci dərəcəli diferensialımız var:

d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2b

Həll

δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b = δ δ F (a ; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i +) b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

Başqa sözlə, onu belə yazmaq olar: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b .

M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n kvadrat formalı matrisa əldə etdik.

Bu halda, ayrı-ayrı elementlərin dəyərləri a və b-dən asılı olaraq dəyişməyəcəkdir. Bu matris müsbət müəyyəndirmi? Bu suala cavab vermək üçün onun bucaq kiçiklərinin müsbət olub olmadığını yoxlayaq.

Birinci dərəcəli bucaq minorunu hesablayın: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . x i nöqtələri üst-üstə düşmədiyi üçün bərabərsizlik sərtdir. Sonrakı hesablamalarda bunu nəzərə alacağıq.

İkinci dərəcəli bucaq minorunu hesablayırıq:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ x i = 12

Bundan sonra riyazi induksiyadan istifadə etməklə n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 bərabərsizliyinin isbatına keçirik.

1. Bu bərabərsizliyin ixtiyari n üçün etibarlı olub olmadığını yoxlayaq. 2 götürüb hesablayaq:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

Düzgün bərabərliyi əldə etdik (x 1 və x 2 qiymətləri uyğun gəlmirsə).

1. Gəlin bu bərabərsizliyin n üçün doğru olacağını fərz edək, yəni. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – doğrudur.
2. İndi n + 1 üçün etibarlılığı sübut edək, yəni. ki (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0 olarsa, n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

Hesablayırıq:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = +1 n xi = +1 n xi n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

Qıvrımlı mötərizələrə daxil edilmiş ifadə 0-dan böyük olacaq (2-ci addımda qəbul etdiyimizə əsasən) və qalan şərtlər 0-dan böyük olacaq, çünki onların hamısı ədədlərin kvadratlarıdır. Biz bərabərsizliyi sübut etdik.

Cavab: tapılan a və b F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 funksiyasının ən kiçik qiymətinə uyğun olacaq, bu o deməkdir ki, onlar ən kiçik kvadratlar metodunun arzu olunan parametrləridir. (LSM).

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Ən kiçik kvadratlar metodu (LSM) təsadüfi səhvləri ehtiva edən bir çox ölçmənin nəticələrindən istifadə edərək müxtəlif kəmiyyətləri qiymətləndirməyə imkan verir.

Xarakterik MNC

Bu metodun əsas ideyası ondan ibarətdir ki, kvadrat xətlərin cəmi minimuma endirilməsi axtarılan problemin həllinin düzgünlüyünün meyarı kimi qəbul edilir. Bu metoddan istifadə edərkən həm ədədi, həm də analitik yanaşmalar tətbiq oluna bilər.

Xüsusilə, ədədi bir tətbiq olaraq, ən kiçik kvadratlar metodu naməlum təsadüfi dəyişənin mümkün qədər çox ölçülməsini nəzərdə tutur. Üstəlik, nə qədər çox hesablama aparılsa, həll bir o qədər dəqiq olacaqdır. Bu hesablamalar toplusunda (ilkin məlumatlar) başqa təklif olunan həllər toplusu əldə edilir, onlardan ən yaxşısı seçilir. Əgər həllər çoxluğu parametrləşdirilirsə, onda ən kiçik kvadratlar metodu parametrlərin optimal qiymətini tapmaq üçün azaldılacaqdır.

İlkin məlumatların (ölçmələrin) və təklif olunan həllərin toplusunda LSM-in həyata keçirilməsinə analitik yanaşma olaraq, təsdiq edilməli olan müəyyən bir fərziyyə kimi əldə edilən düsturla ifadə edilə bilən bəzi (funksional) müəyyən edilir. . Bu halda, ən kiçik kvadratlar üsulu ilkin məlumatların kvadrat xətaları toplusunda bu funksionalın minimumunu tapmaq üçün azaldılır.

Qeyd edək ki, səhvlərin özləri deyil, səhvlərin kvadratlarıdır. Niyə? Fakt budur ki, çox vaxt ölçmələrin dəqiq dəyərdən sapması həm müsbət, həm də mənfi olur. Orta dəyəri təyin edərkən, sadə toplama qiymətləndirmənin keyfiyyəti haqqında yanlış nəticəyə səbəb ola bilər, çünki müsbət və mənfi dəyərlərin qarşılıqlı ləğvi ölçmə dəstinin seçmə gücünü azaldacaqdır. Və nəticədə qiymətləndirmənin düzgünlüyü.

Bunun baş verməməsi üçün kvadratlardan kənarlaşmalar yekunlaşdırılır. Bundan da artıq, ölçülən dəyərin ölçüsünü və yekun qiymətləndirməni kvadrat xətlərin cəmindən bərabərləşdirmək üçün,

MMC-lərin bəzi tətbiqləri

MNC müxtəlif sahələrdə geniş istifadə olunur. Məsələn, ehtimal nəzəriyyəsində və riyazi statistikada, təsadüfi bir dəyişənin dəyərlər diapazonunun genişliyini təyin edən standart sapma kimi təsadüfi bir dəyişənin belə bir xarakteristikasını təyin etmək üçün üsul istifadə olunur.

• dərslik

Giriş

Mən kompüter proqramçısıyam. Karyeramda ən böyük sıçrayışı deməyi öyrənəndə etdim: "Heç nə başa düşmürəm!"İndi mən utanmıram ki, elm korifeyinə deyirəm ki, o, mənə mühazirə oxuyur, mən başa düşmürəm ki, o, korifey mənimlə nə danışır. Və çox çətindir. Bəli, bilmədiyinizi etiraf etmək çətin və utancvericidir. Kim nəyinsə əsaslarını bilmədiyini etiraf etməyi xoşlayır - orada. Peşəmə görə çoxlu sayda təqdimat və mühazirələrdə iştirak etməliyəm, etiraf edirəm ki, əksər hallarda yuxum gəlir, çünki heç nə başa düşmürəm. Mən başa düşmürəm, çünki elmdə mövcud vəziyyətin böyük problemi riyaziyyatdadır. Bu, bütün tələbələrin riyaziyyatın tamamilə bütün sahələri ilə tanış olduğunu güman edir (bu, absurddur). Törəmənin nə olduğunu bilmədiyinizi etiraf etmək (bunun bir az sonra olduğunu) ayıbdır.

Amma mən vurmağın nə olduğunu bilmirəm deməyi öyrənmişəm. Bəli, mən Lie cəbri üzərində subcəbrin nə olduğunu bilmirəm. Bəli, bilmirəm kvadrat tənliklər həyatda niyə lazımdır. Yeri gəlmişkən, bildiyinizə əminsinizsə, danışacaq bir şeyimiz var! Riyaziyyat bir sıra fəndlərdir. Riyaziyyatçılar ictimaiyyəti çaşdırmağa və qorxutmağa çalışırlar; çaşqınlığın, reputasiyanın, səlahiyyətin olmadığı yerdə. Bəli, mümkün olan ən mücərrəd dildə danışmaq prestijlidir ki, bu da özlüyündə tamamilə cəfəngiyatdır.

Törəmənin nə olduğunu bilirsinizmi? Çox güman ki, fərq əlaqəsinin həddi barədə mənə məlumat verəcəksiniz. Sankt-Peterburq Dövlət Universitetinin riyaziyyat fakültəsinin birinci kursunda Viktor Petroviç Xavin məni müəyyən edilmişdir törəmə nöqtədə funksiyanın Taylor sırasının birinci həddi əmsalı kimi (törəməsiz Teylor sırasını təyin etmək ayrıca gimnastika idi). Uzun müddət bu tərifə güldüm, nəhayət, nə haqqında olduğunu başa düşənə qədər. Törəmə diferensiasiya etdiyimiz funksiyanın y=x, y=x^2, y=x^3 funksiyasına nə qədər bənzədiyinin ölçüsündən başqa bir şey deyil.

Mən indi kim tələbələrə mühazirə oxumaq şərəfinə sahibəm qorxu riyaziyyat. Riyaziyyatdan qorxursan - biz yoldayıq. Hansısa mətni oxumağa cəhd edən kimi və sizə elə gəlir ki, bu, həddən artıq mürəkkəbdir, bilin ki, pis yazılıb. İddia edirəm ki, riyaziyyatın elə bir sahəsi yoxdur ki, dəqiqliyini itirmədən "barmaqlarda" danışmaq mümkün olmasın.

Yaxın gələcək üçün problem: Mən tələbələrimə xətti-kvadrat nəzarətçinin nə olduğunu başa düşməyi tapşırdım. Utanmayın, həyatınızın üç dəqiqəsini boş yerə sərf edin, linki izləyin. Əgər heç nə başa düşmürsənsə, deməli yoldayıq. Mən də (peşəkar riyaziyyatçı-proqramçı) heç nə başa düşmədim. Və sizi inandırıram ki, bunu "barmaqlarda" həll etmək olar. Hazırda bunun nə olduğunu bilmirəm, amma sizi əmin edirəm ki, biz bunu anlaya biləcəyik.

Tələbələrim qorxu içində yanıma qaçaraq xətti-kvadrat nəzarətçinin həyatınızda heç vaxt idarə edə bilməyəcəyiniz dəhşətli bir səhv olduğunu söyləyərək onlara verəcəyim ilk mühazirədir. ən kiçik kvadratlar üsulları. Xətti tənlikləri həll edə bilərsinizmi? Əgər siz bu mətni oxuyursunuzsa, çox güman ki, yox.

Beləliklə, iki nöqtə (x0, y0), (x1, y1), məsələn, (1,1) və (3,2) verildikdə, tapşırıq bu iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini tapmaqdır:

illüstrasiya

Bu düz xəttin aşağıdakı kimi bir tənliyi olmalıdır:

Burada alfa və beta bizə məlum deyil, lakin bu xəttin iki nöqtəsi məlumdur:

Bu tənliyi matris şəklində yaza bilərsiniz:

Burada lirik bir təxribat aparmalıyıq: matris nədir? Matris iki ölçülü massivdən başqa bir şey deyil. Bu, məlumatların saxlanması üsuludur, ona daha çox dəyər verilməməlidir. Müəyyən bir matrisi dəqiq necə şərh etmək bizim ixtiyarımızdadır. Periyodik olaraq onu xətti xəritə kimi, vaxtaşırı kvadrat forma kimi, bəzən isə sadəcə vektorlar toplusu kimi şərh edəcəyəm. Bütün bunlara kontekstdə aydınlıq gətiriləcək.

Xüsusi matrisləri onların simvolik təsviri ilə əvəz edək:

Sonra (alfa, beta) asanlıqla tapıla bilər:

Daha konkret olaraq əvvəlki məlumatlarımız üçün:

Bu (1,1) və (3,2) nöqtələrindən keçən düz xəttin aşağıdakı tənliyinə gətirib çıxarır:

Yaxşı, burada hər şey aydındır. Və buradan keçən düz xəttin tənliyini tapaq üç xallar: (x0,y0), (x1,y1) və (x2,y2):

Oh-oh-oh, amma iki naməlum üçün üç tənliyimiz var! Standart riyaziyyatçı deyəcək ki, heç bir həll yoxdur. Proqramçı nə deyəcək? Və əvvəlcə əvvəlki tənliklər sistemini aşağıdakı formada yenidən yazacaq:

Bizim vəziyyətimizdə i, j, b vektorları üçölçülüdür, ona görə də (ümumi halda) bu sistemin həlli yoxdur. İstənilən vektor (alfa\*i + beta\*j) vektorların (i, j) əhatə etdiyi müstəvidə yerləşir. Əgər b bu müstəviyə aid deyilsə, onda həll yoxdur (tənlikdə bərabərliyə nail olmaq mümkün deyil). Nə etməli? Bir kompromis axtaraq. ilə işarə edək e(alfa, beta) necə tam olaraq bərabərliyə nail ola bilmədik:

Və bu səhvi minimuma endirməyə çalışacağıq:

Niyə kvadrat?

Biz təkcə normanın minimumunu deyil, normanın kvadratının minimumunu axtarırıq. Niyə? Minimum nöqtənin özü üst-üstə düşür və kvadrat hamar funksiya verir (arqumentlərin kvadratik funksiyası (alfa, beta)), sadəcə uzunluq isə minimum nöqtədə fərqlənməyən konus şəklində funksiya verir. Brr. Kvadrat daha əlverişlidir.

Aydındır ki, vektor olduqda xəta minimuma endirilir e vektorların əhatə etdiyi müstəviyə ortoqonaldır i və j.

İllüstrasiya

Başqa sözlə: biz elə bir xətt axtarırıq ki, bütün nöqtələrdən bu xəttə qədər olan məsafələrin kvadrat uzunluğunun cəmi minimal olsun:

YENİLƏNİB: burada məndə tıxac var, xəttə olan məsafə orfoqrafik proyeksiya ilə deyil, şaquli olaraq ölçülməlidir. Bu şərhçi düz deyir.

İllüstrasiya

Tamamilə fərqli sözlərlə (diqqətlə, zəif rəsmiləşdirilmiş, lakin barmaqlarda aydın olmalıdır): biz bütün cüt nöqtələr arasında bütün mümkün xətləri götürürük və hamısı arasında orta xətti axtarırıq:

İllüstrasiya

Barmaqlarda başqa bir izahat: bütün məlumat nöqtələri (burada üçümüz var) və axtardığımız xətt arasında bir yay əlavə edirik və tarazlıq vəziyyətinin xətti tam olaraq axtardığımız şeydir.

Kvadrat forma minimumu

Başqa sözlə, biz x=(alfa, beta) vektoru axtarırıq ki:

Xatırladıram ki, bu vektor x=(alfa, beta) kvadratik funksiyanın minimumu ||e(alfa, beta)||^2:

Burada yadda saxlamaq faydalıdır ki, matrisin kvadrat forması kimi şərh oluna bilər, məsələn, eynilik matrisi ((1,0),(0,1)) x^2 + y funksiyası kimi şərh edilə bilər. ^2:

kvadrat forma

Bütün bu gimnastika xətti reqressiya kimi tanınır.

Dirixlet sərhəd şərti ilə Laplas tənliyi

Orijinal öhdəlik mövcuddur. Xarici asılılıqları minimuma endirmək üçün mən artıq Habré-də olan proqram təminatının kodunu götürdüm. Xətti sistemi həll etmək üçün mən OpenNL-dən istifadə edirəm, bu, əla həlledicidir, lakin onu quraşdırmaq çox çətindir: iki faylı (.h + .c) layihə qovluğuna köçürməlisiniz. Bütün hamarlama aşağıdakı kodla həyata keçirilir:

Üçün (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&face = üzlər[i]; üçün (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X, Y və Z koordinatları ayrıla bilər, onları ayrıca hamarlayıram. Yəni, hər biri modelimdəki təpələrin sayı qədər dəyişən olan üç xətti tənlik sistemini həll edirəm. A matrisinin ilk n cərgəsində hər cərgədə yalnız bir 1 var, b vektorunun ilk n sətirində isə orijinal model koordinatları var. Yəni, yeni təpə mövqeyi ilə köhnə təpə mövqeyi arasında yay bağlayıram - yeniləri köhnələrdən çox da uzaq olmamalıdır.

A matrisinin bütün sonrakı cərgələrində (faces.size()*3 = griddəki bütün üçbucaqların kənarlarının sayı) bir dəfə 1, biri isə -1 olur, b vektorunda isə əks tərəfdə sıfır komponent var. Bu o deməkdir ki, mən üçbucaqlı torumuzun hər kənarına yay qoymuşam: bütün kənarlar başlanğıc və son nöqtələri ilə eyni təpəni almağa çalışırlar.

Bir daha: bütün təpələr dəyişənlərdir və onlar öz ilkin mövqelərindən uzaqlaşa bilməzlər, lakin eyni zamanda bir-birinə bənzəməyə çalışırlar.

Nəticə budur:

Hər şey yaxşı olardı, model həqiqətən hamarlandı, amma orijinal kənarından uzaqlaşdı. Kodu bir az dəyişdirək:

Üçün (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

A matrisimizdə kənarda olan təpələr üçün v_i = verts[i][d] kateqoriyasından bir sıra əlavə etmirəm, lakin 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Nəyi dəyişir? Və bu, səhvin kvadrat formasını dəyişir. İndi kənarda yuxarıdan tək bir sapma əvvəlki kimi bir vahidə deyil, 1000 * 1000 vahidə başa gələcək. Yəni, həddindən artıq zirvələrə daha güclü bir yay asdıq, həll başqalarını daha güclü şəkildə uzatmağa üstünlük verir. Nəticə budur:

Təpələr arasındakı yayların gücünü iki qat artıraq:
nlƏmsal(üz [ j ], 2); nlƏmsal(üz[(j+1)%3], -2);

Səthin daha hamar olması məntiqlidir:

İndi yüz dəfə daha güclüdür:

Bu nədir? Təsəvvür edin ki, məftil halqasını sabunlu suya batırmışıq. Nəticədə, ortaya çıxan sabun filmi eyni sərhədə - tel halqamıza toxunaraq, mümkün qədər ən az əyriliyə sahib olmağa çalışacaq. Haşiyəni düzəltmək və içəridə hamar bir səth istəməklə əldə etdiyimiz şey budur. Təbrik edirik, biz indicə Laplas tənliyini Dirixlet sərhəd şərtləri ilə həll etdik. Gözəl səslənir? Ancaq əslində həll etmək üçün yalnız bir xətti tənlik sistemi.

Puasson tənliyi

Deyək ki, məndə belə bir şəkil var:

Hamı yaxşıdır, amma kürsüdən xoşum gəlmir.

Şəkli yarıya böldüm:

Və əllərimlə bir stul seçəcəyəm:

Sonra maskada ağ olan hər şeyi şəklin sol tərəfinə sürükləyəcəm və eyni zamanda bütün şəkil boyu deyəcəyəm ki, iki qonşu piksel arasındakı fərq iki qonşu piksel arasındakı fərqə bərabər olmalıdır. sağ şəkil:

Üçün (int i=0; i

Nəticə budur:

Kod və şəkillər var