Hvordan man skriver ligningen for en linje, der går gennem et punkt. Ligning af en linje, der går gennem to givne punkter: eksempler, løsninger

Denne artikel fortsætter emnet for ligningen af en linje på et plan: vi vil betragte denne type ligning som den generelle ligning af en linje. Lad os definere teoremet og give dets bevis; Lad os finde ud af, hvad en ufuldstændig generel ligning af en linje er, og hvordan man laver overgange fra en generel ligning til andre typer ligninger af en linje. Vi vil forstærke hele teorien med illustrationer og løsninger på praktiske problemer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lad et rektangulært koordinatsystem O x y angives på planet.

Sætning 1

Enhver ligning af første grad, med formen A x + B y + C = 0, hvor A, B, C er nogle reelle tal (A og B er ikke lig med nul på samme tid), definerer en ret linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan. Til gengæld er enhver ret linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan bestemt af en ligning, der har formen A x + B y + C = 0 for et bestemt sæt værdier A, B, C.

Bevis

Denne sætning består af to punkter; vi vil bevise hver af dem.

Lad os bevise, at ligningen A x + B y + C = 0 definerer en ret linje på planet.

Lad der være et punkt M 0 (x 0 , y 0), hvis koordinater svarer til ligningen A x + B y + C = 0. Således: A x 0 + B y 0 + C = 0. Træk fra venstre og højre side af ligningen A x + B y + C = 0 venstre og højre side af ligningen A x 0 + B y 0 + C = 0, får vi en ny ligning, der ligner A (x - x 0) + B (y - y0) = 0 . Det svarer til A x + B y + C = 0.

Den resulterende ligning A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for vinkelretheden af vektorerne n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, å-å0). Således definerer sættet af punkter M (x, y) en ret linje i et rektangulært koordinatsystem vinkelret på retningen af vektoren n → = (A, B). Vi kan antage, at dette ikke er tilfældet, men så ville vektorerne n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ikke være vinkelrette, og ligheden A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ville ikke være sandt.

Følgelig definerer ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 en bestemt linje i et rektangulært koordinatsystem på planet, og derfor definerer den ækvivalente ligning A x + B y + C = 0 samme linje. Sådan beviste vi den første del af sætningen.

Lad os give et bevis på, at enhver ret linje i et rektangulært koordinatsystem på en plan kan specificeres ved en ligning af første grad A x + B y + C = 0.

Lad os definere en ret linje a i et rektangulært koordinatsystem på en plan; punktet M 0 (x 0 , y 0), som denne linje går igennem, samt normalvektoren for denne linje n → = (A, B) .

Lad der også være et punkt M (x, y) - et flydende punkt på en linje. I dette tilfælde er vektorerne n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vinkelrette på hinanden, og deres skalarprodukt er nul:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Lad os omskrive ligningen A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definere C: C = - A x 0 - B y 0 og som et endeligt resultat får vi ligningen A x + B y + C = 0.

Så vi har bevist anden del af sætningen, og vi har bevist hele sætningen som en helhed.

Definition 1

En ligning af formen A x + B y + C = 0 - Det her generel ligning af en linje på et plan i et rektangulært koordinatsystemOxy.

Baseret på den gennemprøvede sætning kan vi konkludere, at en ret linje og dens generelle ligning defineret på et plan i et fast rektangulært koordinatsystem er uløseligt forbundet. Med andre ord svarer den oprindelige linje til dens generelle ligning; den generelle ligning for en linje svarer til en given linje.

Af beviset for sætningen følger det også, at koefficienterne A og B for variablerne x og y er koordinaterne for linjens normalvektor, som er givet ved den generelle ligning for linjen A x + B y + C = 0.

Lad os overveje et specifikt eksempel på en generel ligning af en ret linje.

Lad ligningen 2 x + 3 y - 2 = 0 være givet, hvilket svarer til en ret linje i et givet rektangulært koordinatsystem. Normalvektoren for denne linje er vektoren n → = (2, 3). Lad os tegne den givne rette linje på tegningen.

Vi kan også oplyse følgende: den rette linje, som vi ser på tegningen, er bestemt af den generelle ligning 2 x + 3 y - 2 = 0, da koordinaterne for alle punkter på en given ret linje svarer til denne ligning.

Vi kan få ligningen λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ved at gange begge sider af linjens generelle ligning med et tal λ ikke lig med nul. Den resulterende ligning svarer til den oprindelige generelle ligning, derfor vil den beskrive den samme lige linje på planet.

Definition 2

Fuldfør den generelle ligning af en linje– sådan en generel ligning af den rette linje A x + B y + C = 0, hvor tallene A, B, C er forskellige fra nul. Ellers er ligningen ufuldstændig.

Lad os analysere alle variationer af den ufuldstændige generelle ligning af en linje.

Når A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, har den generelle ligning formen B y + C = 0. En sådan ufuldstændig generel ligning definerer i et rektangulært koordinatsystem O x y en ret linje, der er parallel med O x-aksen, da for enhver reel værdi af x vil variablen y tage værdien - C B. Med andre ord angiver den generelle ligning for den rette linje A x + B y + C = 0, når A = 0, B ≠ 0, stedet for punkter (x, y), hvis koordinater er lig med det samme tal - C B.
Hvis A = 0, B ≠ 0, C = 0, har den generelle ligning formen y = 0. Denne ufuldstændige ligning definerer x-aksen O x .
Når A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, får vi en ufuldstændig generel ligning A x + C = 0, der definerer en ret linje parallel med ordinaten.
Lad A ≠ 0, B = 0, C = 0, så vil den ufuldstændige generelle ligning have formen x = 0, og dette er ligningen for koordinatlinjen O y.
Endelig, for A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, har den ufuldstændige generelle ligning formen A x + B y = 0. Og denne ligning beskriver en lige linje, der går gennem oprindelsen. Faktisk svarer talparret (0, 0) til ligheden A x + B y = 0, da A · 0 + B · 0 = 0.

Lad os grafisk illustrere alle de ovennævnte typer af ufuldstændig generel ligning af en ret linje.

Eksempel 1

Det er kendt, at den givne rette linje er parallel med ordinataksen og går gennem punktet 2 7, - 11. Det er nødvendigt at nedskrive den generelle ligning for den givne linje.

Løsning

En ret linje parallel med ordinataksen er givet ved en ligning på formen A x + C = 0, hvor A ≠ 0. Betingelsen specificerer også koordinaterne for det punkt, som linjen går igennem, og koordinaterne for dette punkt opfylder betingelserne for den ufuldstændige generelle ligning A x + C = 0, dvs. ligheden er sand:

A27 + C = 0

Ud fra det er det muligt at bestemme C, hvis vi giver A en værdi, der ikke er nul, for eksempel A = 7. I dette tilfælde får vi: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Vi kender begge koefficienterne A og C, indsæt dem i ligningen A x + C = 0 og få den påkrævede lige linje: 7 x - 2 = 0

Svar: 7 x - 2 = 0

Eksempel 2

Tegningen viser en lige linje; du skal skrive dens ligning ned.

Løsning

Den givne tegning giver os mulighed for nemt at tage de indledende data for at løse problemet. Vi ser på tegningen, at den givne rette linje er parallel med O x-aksen og går gennem punktet (0, 3).

Den rette linje, som er parallel med abscissen, bestemmes af den ufuldstændige generelle ligning B y + C = 0. Lad os finde værdierne af B og C. Koordinaterne for punktet (0, 3), da den givne linje passerer gennem det, vil opfylde ligningen for linjen B y + C = 0, så er ligheden gyldig: B · 3 + C = 0. Lad os sætte B til en anden værdi end nul. Lad os sige B = 1, i hvilket tilfælde ud fra ligheden B · 3 + C = 0 kan vi finde C: C = - 3. Ved at bruge de kendte værdier af B og C får vi den krævede ligning for den rette linje: y - 3 = 0.

Svar: y-3 = 0.

Generel ligning for en linje, der går gennem et givet punkt i en plan

Lad den givne linje passere gennem punktet M 0 (x 0 , y 0), så svarer dens koordinater til linjens generelle ligning, dvs. ligheden er sand: A x 0 + B y 0 + C = 0. Lad os trække venstre og højre side af denne ligning fra venstre og højre side af den generelle komplette ligning af linjen. Vi får: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, denne ligning svarer til den oprindelige generelle, går gennem punktet M 0 (x 0, y 0) og har en normal vektor n → = (A, B).

Resultatet, vi opnåede, gør det muligt at nedskrive den generelle ligning for en linje med kendte koordinater for linjens normalvektor og koordinaterne for et bestemt punkt på denne linje.

Eksempel 3

Givet et punkt M 0 (- 3, 4), som en linje går igennem, og normalvektoren for denne linje n → = (1, - 2). Det er nødvendigt at nedskrive ligningen for den givne linje.

Løsning

De indledende betingelser giver os mulighed for at opnå de nødvendige data til at sammensætte ligningen: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Derefter:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problemet kunne have været løst anderledes. Den generelle ligning for en ret linje er A x + B y + C = 0. Den givne normalvektor giver os mulighed for at opnå værdierne af koefficienterne A og B, så:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Lad os nu finde værdien af C ved hjælp af punktet M 0 (- 3, 4) specificeret af problemets tilstand, gennem hvilken den lige linje passerer. Koordinaterne for dette punkt svarer til ligningen x - 2 · y + C = 0, dvs. - 3 - 2 4 + C = 0. Derfor C = 11. Den påkrævede lige linje har formen: x - 2 · y + 11 = 0.

Svar: x-2 y + 11 = 0.

Eksempel 4

Givet en linje 2 3 x - y - 1 2 = 0 og et punkt M 0 liggende på denne linje. Kun abscissen af dette punkt er kendt, og den er lig med - 3. Det er nødvendigt at bestemme ordinaten af et givet punkt.

Løsning

Lad os betegne koordinaterne for punktet M 0 som x 0 og y 0 . Kildedataene indikerer, at x 0 = - 3. Da punktet hører til en given linje, svarer dets koordinater til den generelle ligning for denne linje. Så vil ligestillingen være sand:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definer y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Svar: - 5 2

Overgang fra en linjes generelle ligning til andre typer ligninger for en linje og omvendt

Som vi ved, er der flere ligningstyper for den samme rette linje på et plan. Valget af ligningstype afhænger af problemets betingelser; det er muligt at vælge den, der er mere bekvem til at løse det. Evnen til at konvertere en ligning af én type til en ligning af en anden type er meget nyttig her.

Lad os først overveje overgangen fra den generelle ligning på formen A x + B y + C = 0 til den kanoniske ligning x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Hvis A ≠ 0, så flytter vi udtrykket B y til højre side af den generelle ligning. På venstre side tager vi A ud af parentes. Som et resultat får vi: A x + C A = - B y.

Denne lighed kan skrives som en proportion: x + C A - B = y A.

Hvis B ≠ 0, efterlader vi kun udtrykket A x i venstre side af den generelle ligning, overfører de andre til højre, får vi: A x = - B y - C. Vi tager – B ud af parentes, så: A x = - B y + C B .

Lad os omskrive ligheden i form af en proportion: x - B = y + C B A.

Selvfølgelig er der ingen grund til at huske de resulterende formler. Det er nok at kende algoritmen for handlinger, når man går fra en generel ligning til en kanonisk.

Eksempel 5

Den generelle ligning for linjen 3 y - 4 = 0 er givet. Det er nødvendigt at omdanne det til en kanonisk ligning.

Løsning

Lad os skrive den oprindelige ligning som 3 y - 4 = 0. Dernæst fortsætter vi i henhold til algoritmen: udtrykket 0 x forbliver på venstre side; og på højre side sætter vi - 3 ud af beslag; vi får: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Lad os skrive den resulterende lighed som en proportion: x - 3 = y - 4 3 0 . Således har vi fået en ligning af kanonisk form.

Svar: x - 3 = y - 4 3 0.

For at omdanne en linjes generelle ligning til parametriske, laves først en overgang til den kanoniske form, og derefter en overgang fra en linjes kanoniske ligning til parametriske ligninger.

Eksempel 6

Den rette linje er givet ved ligningen 2 x - 5 y - 1 = 0. Skriv de parametriske ligninger for denne linje ned.

Løsning

Lad os lave overgangen fra den generelle ligning til den kanoniske:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nu tager vi begge sider af den resulterende kanoniske ligning lig med λ, så:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Svar:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Den generelle ligning kan konverteres til en ligning af en ret linje med hældning y = k · x + b, men kun når B ≠ 0. Til overgangen lader vi udtrykket B y stå i venstre side, resten overføres til højre. Vi får: B y = - A x - C . Lad os dividere begge sider af den resulterende lighed med B, forskellig fra nul: y = - A B x - C B.

Eksempel 7

Linjens generelle ligning er givet: 2 x + 7 y = 0. Du skal konvertere den ligning til en hældningsligning.

Løsning

Lad os udføre de nødvendige handlinger i henhold til algoritmen:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Svar: y = - 2 7 x .

Fra den generelle ligning af en linje er det nok blot at få en ligning i segmenter af formen x a + y b = 1. For at lave en sådan overgang flytter vi tallet C til højre side af ligheden, dividerer begge sider af den resulterende lighed med – C og overfører til sidst koefficienterne for variablerne x og y til nævnerne:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Eksempel 8

Det er nødvendigt at transformere den generelle ligning for linjen x - 7 y + 1 2 = 0 til ligningen for linjen i segmenter.

Løsning

Lad os flytte 1 2 til højre side: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Lad os dividere begge sider af ligheden med -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Svar: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Generelt er den omvendte overgang også let: fra andre typer ligninger til den generelle.

Ligningen for en linje i segmenter og en ligning med en vinkelkoefficient kan let konverteres til en generel ved blot at samle alle led på venstre side af ligheden:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Den kanoniske ligning konverteres til en generel ligning i henhold til følgende skema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

For at flytte fra parametriske skal du først flytte til den kanoniske og derefter til den generelle:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Eksempel 9

De parametriske ligninger for linjen x = - 1 + 2 · λ y = 4 er givet. Det er nødvendigt at nedskrive den generelle ligning for denne linje.

Løsning

Lad os lave overgangen fra parametriske ligninger til kanoniske ligninger:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Lad os gå fra det kanoniske til det generelle:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Svar: y - 4 = 0

Eksempel 10

Ligningen for en ret linje i segmenterne x 3 + y 1 2 = 1 er givet. Det er nødvendigt at gå over til den generelle form af ligningen.

Løsning:

Vi omskriver blot ligningen i den påkrævede form:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Svar: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Tegning af en generel ligning for en linje

Vi sagde ovenfor, at den generelle ligning kan skrives med kendte koordinater for normalvektoren og koordinaterne for det punkt, hvorigennem linjen går. En sådan ret linje er defineret af ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Der analyserede vi også det tilsvarende eksempel.

Lad os nu se på mere komplekse eksempler, hvor vi først skal bestemme koordinaterne for den normale vektor.

Eksempel 11

Givet en linje parallel med linjen 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Punktet M 0 (4, 1), hvorigennem den givne linje går, er også kendt. Det er nødvendigt at nedskrive ligningen for den givne linje.

Løsning

Begyndelsesbetingelserne fortæller os, at linjerne er parallelle, så som normalvektor for linjen, hvis ligning skal skrives, tager vi retningsvektoren for linjen n → = (2, - 3): 2 x - 3 år + 3 3 = 0. Nu kender vi alle de nødvendige data for at skabe den generelle ligning af linjen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Svar: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Eksempel 12

Den givne linje går gennem origo vinkelret på linjen x - 2 3 = y + 4 5. Det er nødvendigt at lave en generel ligning for en given linje.

Løsning

Normalvektoren for en given linje vil være retningsvektoren for linjen x - 2 3 = y + 4 5.

Derefter n → = (3, 5) . Den rette linje går gennem oprindelsen, dvs. gennem punkt O (0, 0). Lad os lave en generel ligning for en given linje:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Svar: 3 x + 5 y = 0.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Kanoniske ligninger for en linje i rummet er ligninger, der definerer en linje, der går gennem et givet punkt kollineært med retningsvektoren.

Lad et punkt og en retningsvektor være givet. Et vilkårligt punkt ligger på en linje l kun hvis vektorerne og er kollineære, dvs. betingelsen er opfyldt for dem:

Ovenstående ligninger er de kanoniske ligninger for den rette linje.

Tal m , n Og s er projektioner af retningsvektoren på koordinatakserne. Da vektoren er ikke-nul, så er alle tal m , n Og s kan ikke samtidigt være lig med nul. Men en eller to af dem kan vise sig at være nul. I analytisk geometri, for eksempel, er følgende indtastning tilladt:

hvilket betyder, at vektorens projektioner på aksen Åh Og Oz er lig nul. Derfor er både vektoren og den rette linje defineret af de kanoniske ligninger vinkelrette på akserne Åh Og Oz, dvs. fly yOz .

Eksempel 1. Skriv ligninger for en linje i rummet vinkelret på en plan og passerer gennem skæringspunktet for dette plan med aksen Oz .

Løsning. Lad os finde skæringspunktet for dette plan med aksen Oz. Da ethvert punkt ligger på aksen Oz, har koordinater , så forudsat i den givne ligning af planet x = y = 0, vi får 4 z- 8 = 0 eller z= 2. Derfor skæringspunktet for dette plan med aksen Oz har koordinater (0; 0; 2) . Da den ønskede linje er vinkelret på planet, er den parallel med sin normalvektor. Derfor kan den rette linjes vektor være normalvektoren givet fly.

Lad os nu nedskrive de krævede ligninger af en lige linje, der går gennem et punkt EN= (0; 0; 2) i vektorens retning:

Ligninger for en linje, der går gennem to givne punkter

En ret linje kan defineres af to punkter, der ligger på den Og I dette tilfælde kan den rettede vektor for den rette linje være vektoren. Så tager linjens kanoniske ligninger formen

Ovenstående ligninger bestemmer en linje, der går gennem to givne punkter.

Eksempel 2. Skriv en ligning for en linje i rummet, der går gennem punkterne og .

Løsning. Lad os nedskrive de krævede ligninger for den rette linje i formen ovenfor i den teoretiske reference:

Siden , så er den ønskede rette linje vinkelret på aksen Åh .

Lige som skæringslinjen mellem fly

En ret linje i rummet kan defineres som skæringslinjen mellem to ikke-parallelle planer og, dvs. som et sæt punkter, der opfylder et system af to lineære ligninger

Systemets ligninger kaldes også de generelle ligninger for en ret linje i rummet.

Eksempel 3. Sammensæt kanoniske ligninger af en linje i rummet givet ved generelle ligninger

Løsning. For at skrive de kanoniske ligninger for en linje eller, hvad der er det samme, ligningerne for en linje, der går gennem to givne punkter, skal du finde koordinaterne for to vilkårlige punkter på linjen. De kan f.eks. være skæringspunkterne for en ret linje med to koordinatplaner yOz Og xOz .

Skæringspunktet mellem en linje og et plan yOz har en abscisse x= 0 . Derfor antager man i dette ligningssystem x= 0, får vi et system med to variable:

Hendes beslutning y = 2 , z= 6 sammen med x= 0 definerer et punkt EN(0; 2; 6) den ønskede linje. Derefter antages i det givne ligningssystem y= 0, får vi systemet

Hendes beslutning x = -2 , z= 0 sammen med y= 0 definerer et punkt B(-2; 0; 0) skæring af en linje med et plan xOz .

Lad os nu nedskrive ligningerne for linjen, der går gennem punkterne EN(0; 2; 6) og B (-2; 0; 0) :

eller efter at have divideret nævnerne med -2:

Lad linjen passere gennem punkterne M 1 (x 1; y 1) og M 2 (x 2; y 2). Ligningen for en ret linje, der går gennem punktet M 1, har formen y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Hvor k - stadig ukendt koefficient.

Da den rette linje går gennem punktet M 2 (x 2 y 2), skal koordinaterne for dette punkt opfylde ligning (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Herfra finder vi Substituering af den fundne værdi k ind i ligning (10.6) får vi ligningen for en ret linje, der går gennem punkterne M 1 og M 2:

Det antages, at i denne ligning x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Hvis x 1 = x 2, så er den rette linje, der går gennem punkterne M 1 (x 1,y I) og M 2 (x 2,y 2), parallel med ordinataksen. Dens ligning er x = x 1 .

Hvis y 2 = y I, så kan linjens ligning skrives som y = y 1, den rette linje M 1 M 2 er parallel med abscisseaksen.

Ligning af en linje i segmenter

Lad den rette linje skære Ox-aksen i punktet M 1 (a;0), og Oy-aksen i punktet M 2 (0;b). Ligningen vil have formen:
de der.
. Denne ligning kaldes ligning af en ret linje i segmenter, fordi tallene a og b angiver, hvilke segmenter linjen skærer af på koordinatakserne.

Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt vinkelret på en given vektor

Lad os finde ligningen for en ret linje, der går gennem et givet punkt Mo (x O; y o) vinkelret på en given ikke-nul vektor n = (A; B).

Lad os tage et vilkårligt punkt M(x; y) på linjen og betragte vektoren M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Da vektorerne n og M o M er vinkelrette, er deres skalarprodukt lig med nul: dvs.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ligning (10.8) kaldes ligning for en ret linje, der går gennem et givet punkt vinkelret på en given vektor .

Vektor n= (A; B), vinkelret på linjen, kaldes normal normal vektor af denne linje .

Ligning (10.8) kan omskrives som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

hvor A og B er koordinaterne for normalvektoren, C = -Ax o - Vu o er det frie led. Ligning (10,9) er linjens generelle ligning(se fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Linjens kanoniske ligninger

Hvor
- koordinater for det punkt, hvorigennem linjen går, og
- retningsvektor.

Anden ordens kurver Cirkel

En cirkel er mængden af alle punkter i planet, der er lige langt fra et givet punkt, som kaldes centrum.

Kanonisk ligning af en cirkel med radius R centreret i et punkt
:

Især hvis pælens centrum falder sammen med koordinaternes oprindelse, vil ligningen se sådan ud:

Ellipse

En ellipse er et sæt punkter på et plan, summen af afstandene fra hver af dem til to givne punkter Og , som kaldes foci, er en konstant størrelse
, større end afstanden mellem brændpunkter
.

Den kanoniske ligning for en ellipse, hvis brændpunkter ligger på okseaksen, og oprindelsen af koordinater i midten mellem brændpunkterne har formen
G de-en semi-hovedaksens længde; b – længden af den semi-mindre akse (fig. 2).

Ligningen for en linje, der går gennem et givet punkt i en given retning. Ligning for en linje, der går gennem to givne punkter. Vinklen mellem to lige linjer. Betingelsen for parallelitet og vinkelrethed af to rette linjer. Bestemmelse af skæringspunktet mellem to linjer

1. Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt EN(x 1 , y 1) i en given retning, bestemt af hældningen k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Denne ligning definerer en blyant af linjer, der går gennem et punkt EN(x 1 , y 1), som kaldes strålecentret.

2. Ligning for en linje, der går gennem to punkter: EN(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2), skrevet sådan:

Vinkelkoefficienten for en ret linje, der går gennem to givne punkter, bestemmes af formlen

3. Vinkel mellem lige linjer EN Og B er den vinkel, som den første rette linje skal drejes med EN omkring skæringspunktet for disse linjer mod uret, indtil det falder sammen med den anden linje B. Hvis to rette linjer er givet ved ligninger med en hældning

y = k 1 x + B 1 ,

Definition. Enhver ret linje på planet kan specificeres ved en førsteordens ligning

Axe + Wu + C = 0,

Desuden er konstanterne A og B ikke lig med nul på samme tid. Denne første ordens ligning kaldes generel ligning af en ret linje. Afhængigt af værdierne af konstanterne A, B og C er følgende specielle tilfælde mulige:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – den rette linje går gennem origo

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ret linje parallel med Ox-aksen

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – ret linje parallel med Oy-aksen

B = C = 0, A ≠0 – den rette linje falder sammen med Oy-aksen

A = C = 0, B ≠0 – den rette linje falder sammen med Ox-aksen

Ligningen for en ret linje kan præsenteres i forskellige former afhængigt af givne begyndelsesbetingelser.

Ligning af en ret linje fra et punkt og normalvektor

Definition. I det kartesiske rektangulære koordinatsystem er en vektor med komponenter (A, B) vinkelret på den rette linje givet af ligningen Ax + By + C = 0.

Eksempel. Find ligningen for linjen, der går gennem punktet A(1, 2) vinkelret på (3, -1).

Løsning. Med A = 3 og B = -1, lad os sammensætte ligningen for den rette linje: 3x – y + C = 0. For at finde koefficienten C erstatter vi koordinaterne for det givne punkt A i det resulterende udtryk. 3 – 2 + C = 0, derfor C = -1 . I alt: den påkrævede ligning: 3x – y – 1 = 0.

Ligning for en linje, der går gennem to punkter

Lad to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) være givet i rummet, så er ligningen for linjen, der går gennem disse punkter:

Hvis nogen af nævnerne er lig nul, skal den tilsvarende tæller være lig nul. På planet er ligningen for linjen skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2.

Brøken = k kaldes hældning lige.

Eksempel. Find ligningen for linjen, der går gennem punkterne A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved at anvende formlen skrevet ovenfor får vi:

Ligning for en ret linje fra et punkt og hældning

Hvis den samlede Ax + Bu + C = 0, føres til formen:

og udpege , så kaldes den resulterende ligning ligning af en ret linje med hældningk.

Ligning af en ret linje fra et punkt og en retningsvektor

I analogi med punktet, der betragter ligningen for en ret linje gennem en normalvektor, kan du indtaste definitionen af en ret linje gennem et punkt og den rette linjes retningsvektor.

Definition. Hver ikke-nul vektor (α 1, α 2), hvis komponenter opfylder betingelsen A α 1 + B α 2 = 0, kaldes en retningsvektor for linjen

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Find ligningen for en ret linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gennem punktet A(1, 2).

Løsning. Vi vil lede efter ligningen for den ønskede linje på formen: Ax + By + C = 0. I overensstemmelse med definitionen skal koefficienterne opfylde betingelserne:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Så har ligningen for den rette linje formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0. for x = 1, y = 2 får vi C/ A = -3, dvs. påkrævet ligning:

Ligning af en linje i segmenter

Hvis i den generelle ligning for den rette linje Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, divideret med –С: eller

Den geometriske betydning af koefficienterne er, at koefficienten EN er koordinaten for skæringspunktet for linjen med Ox-aksen, og b– koordinaten for skæringspunktet mellem den rette linje og Oy-aksen.

Eksempel. Der gives den generelle ligning for linjen x – y + 1 = 0. Find ligningen for denne linje i segmenter.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal ligning af en linje

Hvis begge sider af ligningen Ax + By + C = 0 ganges med tallet som hedder normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normal ligning af en linje. Tegnet ± for den normaliserende faktor skal vælges således, at μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Eksempel. Der er givet den generelle ligning for linjen 12x – 5y – 65 = 0. Det er nødvendigt at skrive forskellige typer ligninger for denne linje.

ligning af denne linje i segmenter:

ligning af denne linje med hældning: (divider med 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Det skal bemærkes, at ikke hver lige linje kan repræsenteres af en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer parallelt med akserne eller passerer gennem koordinaternes oprindelse.

Eksempel. Den rette linje afskærer lige positive segmenter på koordinatakserne. Skriv en ligning for en ret linje, hvis arealet af trekanten dannet af disse segmenter er 8 cm 2.

Løsning. Ligningen for den rette linje har formen: , ab /2 = 8; ab = 16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Eksempel. Skriv en ligning for en ret linje, der går gennem punkt A(-2, -3) og origo.

Løsning. Ligningen for den rette linje er: hvor xl = y1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Vinkel mellem rette linjer på et plan

Definition. Hvis to linjer er givet y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, så vil den spidse vinkel mellem disse linjer blive defineret som

To linjer er parallelle, hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette, hvis k 1 = -1/ k 2.

Sætning. Linjerne Ax + Bу + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle, når koefficienterne A 1 = λA, B 1 = λB er proportionale. Hvis også C 1 = λC, så falder linjerne sammen. Koordinaterne for skæringspunktet for to linjer findes som en løsning på disse linjers ligningssystem.

Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt vinkelret på en given linje

Definition. En ret linje, der går gennem punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelret på den rette linje y = kx + b, er repræsenteret ved ligningen:

Afstand fra punkt til linje

Sætning. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er givet, så bestemmes afstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 som

Bevis. Lad punktet M 1 (x 1, y 1) være bunden af vinkelret faldet fra punkt M til en given ret linje. Så afstanden mellem punkterne M og M 1:

(1)

Koordinaterne x 1 og y 1 kan findes ved at løse ligningssystemet:

Systemets anden ligning er ligningen for en linje, der går gennem et givet punkt M 0 vinkelret på en given linje. Hvis vi transformerer systemets første ligning til formen:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved at erstatte disse udtryk i ligning (1), finder vi:

Sætningen er blevet bevist.

Eksempel. Bestem vinklen mellem linjerne: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Eksempel. Vis, at linjerne 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.

Løsning. Vi finder: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, derfor er linjerne vinkelrette.

Eksempel. Givet er hjørnerne af trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Find ligningen for højden tegnet fra toppunktet C.

Løsning. Vi finder ligningen for side AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Den nødvendige højdeligning har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Så y =. Fordi højden passerer gennem punkt C, så opfylder dens koordinater denne ligning: hvorfra b = 17. I alt:.

Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.