Udvidelse af elementære funktioner til Taylor-serier. Maclaurin-serien og udvidelse af nogle funktioner

Lad mig tage et forbehold med det samme, at artiklen vil diskutere udvidelsen af tangenten ved nul, det der i mange lærebøger kaldes Maclaurin-udvidelsen.

Nå, alle funktioner vil være uendeligt differentierbare, hvor vi har brug for dem.

Mens de fleste af de andre simpleste elementære funktioner ganske let kan udvides til en Taylor-serie, og loven, hvorved udvidelsens vilkår er dannet, oftest ikke er kompliceret og simpelthen kan gættes, er dette ikke tilfældet for tangenten. Selvom det ser ud til, at sidstnævnte kun er forholdet mellem sinus og cosinus, er der funktioner, som der ikke opstår problemer med under udvidelsen. I mellemtiden, for at indikere typen af generel betegnelse for tangenten, bliver vi nødt til at starte lidt på afstand og bruge kunstige teknikker. Men i praksis er det ofte ikke nødvendigt at kende alle koefficienterne for en serie, kun nogle få termer af udvidelsen er nok. Det er den problemformulering, som eleverne oftest støder på. Så det er der, vi starter. For ikke at genere for meget, vil vi kigge efter udvidelsen op til koefficienten af den femte potens.

Det første, der kommer til at tænke på her, er at prøve at bruge Taylors formel direkte. Ofte har folk simpelthen ingen idé om andre nedbrydningsmetoder i en serie. Forresten, vores seminarist i matematik. analyse, på mit andet år ledte jeg efter nedbrydning på præcis denne måde, selvom jeg ikke kan sige noget dårligt om ham, han er en smart fyr, måske ville han bare vise sine evner til at tage derivater. Hvorom alting er, er det stadig en fornøjelse at tage højordens afledte tangenter, en ekstremt kedelig opgave, blot en af dem, der er lettere at overlade til en maskine frem for en person. Men som rigtige atleter er vi ikke interesseret i resultatet, men i processen, og det er ønskeligt, at processen er enklere. De afledte værdier er som følger (beregnet i maksimasystemet): , , , , . Den, der tror, at derivater er nemme at få manuelt, lad ham gøre det i ro og mag. Hvorom alting er, kan vi nu skrive udvidelsen ud: .

Her er, hvad vi kan forenkle her: det bemærker vi og så er den første afledede af tangenten udtrykt gennem tangenten, derudover følger det af dette, at alle andre afledede af tangenten vil være polynomier af tangenten, hvilket tillader os ikke at lide med de afledte af kvotienten fra sinus og cosinus:
,
,
,
.
Nedbrydningen bliver selvfølgelig den samme.

Jeg lærte om en anden metode til serieudvidelse direkte under matematikeksamenen. analyse og for uvidenhed om denne metode modtog jeg så et kor. i stedet for ex.-a. Meningen med metoden er, at vi kender serieudvidelsen af både sinus og cosinus, samt funktionen, sidstnævnte udvidelse giver os mulighed for at finde udvidelsen af anden:. Ved at åbne parenteserne får vi en række, der skal ganges med sinusudvidelsen. Nu mangler vi bare at gange de to rækker. Hvis vi taler om kompleksitet, så tvivler jeg på, at den er ringere end den første metode, især da mængden af beregninger vokser hurtigt med stigende grad af de ekspansionsbegreber, der skal findes.

Den næste metode er en variant af metoden med ubestemte koefficienter. Lad os først stille spørgsmålet: hvad ved vi generelt om tangenten, der kan hjælpe os med at konstruere en udvidelse, så at sige a priori? Det vigtigste her er, at tangentfunktionen er ulige, og derfor er alle koefficienter ved lige potenser lig med nul, med andre ord er det ikke nødvendigt at finde halvdelen af koefficienterne. Så kan vi skrive , eller , udvide sinus og cosinus i en serie, får vi . Og ved at sætte lighedstegn mellem koefficienterne i de samme grader, vi får, , og generelt . Ved at bruge en iterativ proces kan vi således finde et hvilket som helst antal ekspansionsudtryk.

Den fjerde metode er også metoden med ubestemte koefficienter, men for den har vi ikke brug for udvidelsen af andre funktioner. Vi vil overveje differentialligningen for tangent. Vi så ovenfor, at den afledede af tangent kan udtrykkes som en funktion af tangent. Ved at erstatte en række ubestemte koefficienter i denne ligning kan vi skrive: Ved at kvadrere og herfra igen gennem en iterativ proces vil det være muligt at finde ekspansionskoefficienterne.

Disse metoder er meget enklere end de to første, men at finde udtryk for seriens almindelige term på denne måde vil ikke fungere, men det vil jeg gerne. Som jeg sagde i begyndelsen, skal du starte på afstand (jeg vil følge Courants lærebog). Vi starter med serieudvidelsen af funktionen. Som et resultat får vi en serie, der vil blive skrevet i formularen , hvor tallene er Bernoulli-tal.
Oprindeligt blev disse tal fundet af Jacob Bernoulli, da han fandt summen af de naturlige tals mte potenser . Det ser ud til, hvad har trigonometri med det at gøre? Senere modtog Euler, der løste problemet med summen af de omvendte kvadrater af en række naturlige tal, svaret fra udvidelsen af sinus til et uendeligt produkt. Det viste sig endvidere, at udvidelsen af cotangensen indeholder summer af formen , for alle naturlige n. Og baseret på dette opnåede Euler udtryk for sådanne summer i form af Bernoulli-tal. Så der er sammenhænge her, og det bør ikke være overraskende, at tangentudvidelsen indeholder denne sekvens.
Men lad os vende tilbage til brøknedbrydning. Udvider vi eksponenten, trækker en fra og dividerer med "x", får vi til sidst . Herfra er det allerede tydeligt, at det første af Bernoulli-tallene er lig med et, det andet minus et sekund, og så videre. Lad os skrive udtrykket for det kth Bernoulli-tal ud fra enhed. Når vi multiplicerer dette udtryk med, omskriver vi udtrykket i følgende form. Og fra dette udtryk kan vi få Bernoulli-tal på skift, især: , ,

I teorien om funktionelle serier er den centrale plads optaget af afsnittet om udvidelse af en funktion til en serie.

Dermed er opgaven sat: for en given funktion vi skal finde sådan en magtserie

som konvergerede på et bestemt interval og dets sum var lig med
, de der.

= ..

Denne opgave kaldes problemet med at udvide en funktion til en potensrække.

En nødvendig betingelse for nedbrydeligheden af en funktion i en potensrække er dens differentierbarhed et uendeligt antal gange - dette følger af egenskaberne for konvergerende potensrækker. Denne betingelse er som regel opfyldt for elementære funktioner i deres definitionsdomæne.

Så lad os antage, at funktionen
har derivater af enhver rækkefølge. Er det muligt at udvide det til en power-serie?Hvis ja, hvordan kan vi finde denne serie? Den anden del af problemet er lettere at løse, så lad os starte med det.

Lad os antage, at funktionen
kan repræsenteres som summen af en potensrække, der konvergerer i det interval, der indeholder punktet x 0 :

= .. (*)

Hvor EN 0 ,EN 1 ,EN 2 ,...,EN P ,... – ukendte (endnu) koefficienter.

Lad os sætte værdien i lighed (*) x = x 0 , så får vi

Lad os differentiere potensrækken (*) led for led

= ..

og tro her x = x 0 , vi får

Med næste differentiering får vi serien

= ..

troende x = x 0 , vi får
, hvor
.

Efter P-multiple differentiering vi får

Forudsat i den sidste ligestilling x = x 0 , vi får
, hvor

Så koefficienterne er fundet

,
,
, …,
,….,

erstatter hvilken i serien (*), får vi

Den resulterende serie kaldes ved siden af Taylor til funktion
.

Det har vi altså slået fast hvis funktionen kan udvides til en potensrække i potenser (x - x 0 ), så er denne udvidelse unik, og den resulterende serie er nødvendigvis en Taylor-serie.

Bemærk, at Taylor-serien kan fås for enhver funktion, der har afledte værdier af en hvilken som helst rækkefølge på punktet x = x 0 . Men det betyder ikke, at der kan placeres et lighedstegn mellem funktionen og den resulterende række, dvs. at summen af rækken er lig med den oprindelige funktion. For det første kan en sådan lighed kun give mening i konvergensområdet, og Taylor-rækken opnået for funktionen kan divergere, og for det andet, hvis Taylor-rækken konvergerer, så falder dens sum muligvis ikke sammen med den oprindelige funktion.

3.2. Tilstrækkelige betingelser for nedbrydeligheden af en funktion i en Taylor-serie

Lad os formulere en erklæring, ved hjælp af hvilken opgaven skal løses.

Hvis funktionen
i et eller andet område af punkt x 0 har derivater op til (n+ 1) af orden inklusive, så har vi i dette kvarterformel Taylor

HvorR n (x)-det resterende led af Taylor-formlen - har formen (Lagrange-form)

Hvor prikξ ligger mellem x og x 0 .

Bemærk, at der er forskel på Taylor-serien og Taylor-formlen: Taylor-formlen er en endelig sum, dvs. P - fast antal.

Husk at summen af serien S(x) kan defineres som grænsen for en funktionel sekvens af delsummer S P (x) med et eller andet interval x:

Ifølge dette betyder at udvide en funktion til en Taylor-serie at finde en serie sådan, at for enhver xx

Lad os skrive Taylors formel i formen hvor

Læg mærke til det
definerer den fejl, vi får, erstatter funktionen f(x) polynomium S n (x).

Hvis
, At
,de der. funktionen udvides til en Taylor-serie. Omvendt, hvis
, At
.

Således beviste vi kriterium for nedbrydeligheden af en funktion i en Taylor-serie.

For funktionenf(x) udvides til en Taylor-serie, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at på dette interval
, HvorR n (x) er resten af Taylor-serien.

Ved hjælp af det formulerede kriterium kan man opnå tilstrækkeligbetingelser for nedbrydeligheden af en funktion i en Taylor-serie.

Hvis inoget kvarter til punkt x 0 de absolutte værdier af alle afledede af funktionen er begrænset til det samme tal M≥ 0, dvs.

, To i dette kvarter udvides funktionen til en Taylor-serie.

Af ovenstående følger algoritmefunktionsudvidelse f(x) i Taylor-serien i nærheden af et punkt x 0 :

1. Finde afledte funktioner f(x):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),…

2. Beregn værdien af funktionen og værdierne af dens afledte ved punktet x 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f"(x 0 ), f'"(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Vi skriver formelt Taylor-serien og finder konvergensområdet for den resulterende potensrække.

4. Vi kontrollerer opfyldelsen af tilstrækkelige betingelser, dvs. vi fastlægger for hvilket x fra konvergensregionen, resterende sigt R n (x) har en tendens til nul kl
eller
.

Udvidelsen af funktioner til en Taylor-serie ved hjælp af denne algoritme kaldes udvidelse af en funktion til en Taylor-serie per definition eller direkte nedbrydning.

Hvis funktionen f(x) har på et eller andet interval, der indeholder punktet EN, afledte af alle ordener, så kan Taylor-formlen anvendes på den:

Hvor r n– det såkaldte restled eller resten af serien, det kan estimeres ved hjælp af Lagrange-formlen:

, hvor tallet x er mellem x Og EN.

Hvis for en vis værdi x r n®0 kl n®¥, så bliver Taylor-formlen i grænsen til en konvergent formel for denne værdi Taylor-serien:

Altså funktionen f(x) kan udvides til en Taylor-serie på det pågældende punkt x, hvis:

1) den har derivater af alle ordrer;

2) den konstruerede serie konvergerer på dette tidspunkt.

På EN=0 får vi en serie kaldet nær Maclaurin:

Eksempel 1 f(x)= 2x.

Løsning. Lad os finde værdierne af funktionen og dens afledte ved x=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Ved at erstatte de opnåede værdier af derivaterne i Taylor-seriens formlen får vi:

Konvergensradius for denne serie er lig med uendelig, derfor er denne udvidelse gyldig for -¥<x<+¥.

Eksempel 2 x+4) for funktion f(x)= e x.

Løsning. Find afledede af funktionen e x og deres værdier på det punkt x=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Derfor har den nødvendige Taylor-serie af funktionen formen:

Denne udvidelse er også gyldig for -¥<x<+¥.

Eksempel 3 . Udvid en funktion f(x)=ln x i en række i magter ( X- 1),

(dvs. i Taylor-serien i nærheden af punktet x=1).

Løsning. Find de afledte af denne funktion.

Ved at erstatte disse værdier i formlen får vi den ønskede Taylor-serie:

Ved at bruge d'Alemberts test kan du verificere, at serien konvergerer hvornår

½ X- 1½<1. Действительно,

Serien konvergerer hvis ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При x=2 får vi en alternerende serie, der opfylder Leibniz-kriteriets betingelser. På x=0 funktion er ikke defineret. Således er konvergensområdet for Taylor-serien det halvåbne interval (0;2].

Lad os præsentere udvidelserne opnået på denne måde i Maclaurin-serien (dvs. i nærheden af punktet x=0) for nogle elementære funktioner:

(2) ,

(3) ,

( den sidste nedbrydning kaldes binomial serie)

Eksempel 4 . Udvid funktionen til en potensrække

Løsning. I udvidelse (1) erstatter vi x på - x 2 får vi:

Eksempel 5 . Udvid funktionen i en Maclaurin-serie

Løsning. Vi har

Ved hjælp af formel (4) kan vi skrive:

erstatte i stedet x ind i formlen -X, vi får:

Herfra finder vi:

At åbne parenteserne, omarrangere vilkårene for serien og bringe lignende vilkår, får vi

Denne serie konvergerer i intervallet

(-1;1), da det er opnået fra to serier, som hver konvergerer i dette interval.

Kommentar .

Formlerne (1)-(5) kan også bruges til at udvide de tilsvarende funktioner til en Taylor-serie, dvs. til udvidelse af funktioner i positive heltalspotenser ( Ha). For at gøre dette er det nødvendigt at udføre sådanne identiske transformationer på en given funktion for at opnå en af funktionerne (1)-(5), hvori i stedet x koster k( Ha) m , hvor k er et konstant tal, m er et positivt heltal. Det er ofte praktisk at foretage en ændring af variabel t=Ha og udvide den resulterende funktion med hensyn til t i Maclaurin-serien.

Denne metode illustrerer teoremet om det unikke ved en potensrækkeudvidelse af en funktion. Essensen af denne teorem er, at der i nærheden af det samme punkt ikke kan opnås to forskellige potensrækker, der ville konvergere til den samme funktion, uanset hvordan dens ekspansion udføres.

Eksempel 6 . Udvid funktionen i en Taylor-serie i nærheden af et punkt x=3.

Løsning. Dette problem kan løses, som før, ved hjælp af definitionen af Taylor-serien, for hvilken vi skal finde funktionens afledte og deres værdier ved x=3. Det bliver dog nemmere at bruge den eksisterende udvidelse (5):

Den resulterende serie konvergerer kl eller –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Eksempel 7 . Skriv Taylor-serien i magter ( x-1) funktioner .

Løsning.

Serien konvergerer kl , eller 2< x£5.

Studerende af højere matematik bør vide, at summen af en bestemt potensrække, der hører til intervallet for konvergens af rækken givet os, viser sig at være en kontinuerlig og ubegrænset antal gange differentieret funktion. Spørgsmålet opstår: er det muligt at sige, at en given vilkårlig funktion f(x) er summen af en bestemt potensrække? Det vil sige, under hvilke betingelser kan funktionen f(x) repræsenteres af en potensrække? Betydningen af dette spørgsmål ligger i, at det er muligt tilnærmelsesvis at erstatte funktionen f(x) med summen af de første par led i en potensrække, det vil sige et polynomium. Denne udskiftning af en funktion med et ret simpelt udtryk - et polynomium - er også praktisk ved løsning af visse problemer, nemlig: ved løsning af integraler, ved beregning osv.

Det er blevet bevist, at for en bestemt funktion f(x), hvor det er muligt at beregne afledte op til (n+1)te orden, inklusive den sidste, i nærheden af (α - R; x 0 + R ) et punkt x = α, er det rigtigt, at formlen:

Denne formel er opkaldt efter den berømte videnskabsmand Brooke Taylor. Serien, der er opnået fra den forrige, kaldes Maclaurin-serien:

Reglen, der gør det muligt at udføre en udvidelse i en Maclaurin-serie:

Bestem afledte af den første, anden, tredje... orden.
Beregn hvad de afledte ved x=0 er lig med.
Skriv Maclaurin-serien ned for denne funktion, og bestem derefter intervallet for dens konvergens.
Bestem intervallet (-R;R), hvor resten af Maclaurin-formlen

R n (x) -> 0 ved n -> uendelig. Hvis en findes, skal funktionen f(x) i den falde sammen med summen af Maclaurin-rækken.

Lad os nu overveje Maclaurin-serien for individuelle funktioner.

1. Så den første vil være f(x) = e x. Naturligvis har en sådan funktion afledte af meget forskellige rækkefølger på grund af sine karakteristika, og f (k) (x) = e x , hvor k er lig med alle. Erstat x = 0. Vi får f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Baseret på ovenstående vil serien e x se således ud:

2. Maclaurin-rækken for funktionen f(x) = sin x. Lad os straks præcisere, at funktionen for alle ukendte vil have afledte, desuden f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), hvor k er lig med et hvilket som helst naturligt tal. Det vil sige, efter at have lavet simple udregninger, kan vi komme til konklusionen om, at rækken for f(x) = sin x vil se sådan ud:

3. Lad os nu prøve at overveje funktionen f(x) = cos x. For alle ubekendte har den afledte af vilkårlig rækkefølge, og |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Så vi har listet de vigtigste funktioner, der kan udvides i en Maclaurin-serie, men de er suppleret med Taylor-serien for nogle funktioner. Nu vil vi liste dem. Det er også værd at bemærke, at Taylor- og Maclaurin-serier er en vigtig del af det praktiske arbejde med at løse serier i højere matematik. Altså Taylor-serien.

1. Den første vil være rækken for funktionen f(x) = ln(1+x). Som i de foregående eksempler kan vi for den givne f(x) = ln(1+x) tilføje rækken ved at bruge den generelle form af Maclaurin-serien. Men til denne funktion kan Maclaurin-serien fås meget mere enkelt. Efter at have integreret en bestemt geometrisk række, får vi en serie for f(x) = ln(1+x) af en sådan prøve:

2. Og den anden, som vil være endelig i vores artikel, vil være serien for f(x) = arktan x. For x, der hører til intervallet [-1;1], er udvidelsen gyldig:

Det er alt. Denne artikel undersøgte de mest anvendte Taylor- og Maclaurin-serier i højere matematik, især på økonomiske og tekniske universiteter.

16.1. Udvidelse af elementære funktioner til Taylor-serier og

Maclaurin

Lad os vise, at hvis en vilkårlig funktion er defineret på et sæt
, i nærheden af punktet
har mange afledte og er summen af en potensrække:

så kan du finde koefficienterne for denne serie.

Lad os erstatte i en magtserie
. Derefter
.

Lad os finde den første afledede af funktionen
:

På
:
.

For den anden afledede får vi:

På
:
.

Fortsætter denne procedure n når vi får:
.

Således fik vi en potensrække af formen:

som hedder ved siden af Taylor til funktion
i nærheden af punktet
.

Et særligt tilfælde af Taylor-serien er Maclaurin-serien på
:

Resten af Taylor (Maclaurin) serien fås ved at kassere hovedserien n første medlemmer og betegnes som
. Derefter funktionen
kan skrives som en sum n seriens første medlemmer
og resten
:,

Resten er normalt
udtrykt i forskellige formler.

En af dem er i Lagrange-form:

, Hvor
.
.

Bemærk, at Maclaurin-serien i praksis bruges oftere. Altså for at skrive funktionen
i form af en potensseriesum er det nødvendigt:

1) find koefficienterne for Maclaurin (Taylor) serien;

2) find konvergensområdet for den resulterende potensrække;

3) bevise, at denne serie konvergerer til funktionen
.

Sætning1 (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for konvergensen af Maclaurin-serien). Lad radius af konvergens af serien
. For at denne serie kan konvergere i intervallet
at fungere
, det er nødvendigt og tilstrækkeligt for at betingelsen er opfyldt:
i det angivne interval.

Sætning 2. Hvis afledte af en hvilken som helst rækkefølge af funktionen
i et eller andet interval
begrænset i absolut værdi til det samme tal M, det er
, så i dette interval funktionen
kan udvides til en Maclaurin-serie.

Eksempel1 . Udvid i en Taylor-serie omkring punktet
fungere.

Løsning.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergensregion
.

Eksempel2 . Udvid en funktion i en Taylor-serie omkring et punkt
.

Løsning:

Find værdien af funktionen og dens afledte ved
.

,
;

...........……………………………

,
.

Lad os sætte disse værdier i en række. Vi får:

eller
.

Lad os finde konvergensområdet for denne serie. Ifølge d'Alemberts test konvergerer en serie if

Derfor for evt denne grænse er mindre end 1, og derfor vil seriens konvergensinterval være:
.

Lad os overveje flere eksempler på Maclaurin-seriens udvidelse af grundlæggende elementære funktioner. Husk at Maclaurin-serien:

konvergerer på intervallet
at fungere
.

Bemærk, at for at udvide en funktion til en serie er det nødvendigt:

a) find koefficienterne for Maclaurin-serien for denne funktion;

b) beregn konvergensradius for den resulterende serie;

c) bevis, at den resulterende række konvergerer til funktionen
.

Eksempel 3. Overvej funktionen
.

Løsning.

Lad os beregne værdien af funktionen og dens afledte ved
.

Så har seriens numeriske koefficienter formen:

for enhver n. Lad os erstatte de fundne koefficienter i Maclaurin-serien og få:

Lad os finde konvergensradius for den resulterende serie, nemlig:

Derfor konvergerer serien på intervallet
.

Denne serie konvergerer til funktionen for eventuelle værdier , fordi på ethvert interval
fungere og dens derivater i absolut værdi er begrænset af antal .

Eksempel4 . Overvej funktionen
.

Løsning.

Det er let at se, at afledte af lige rækkefølge
, og derivaterne er af ulige orden. Lad os erstatte de fundne koefficienter i Maclaurin-serien og få udvidelsen:

Lad os finde konvergensintervallet for denne serie. Ifølge d'Alemberts tegn:

for enhver . Derfor konvergerer serien på intervallet
.

Denne serie konvergerer til funktionen
, fordi alle dens derivater er begrænset til enhed.

Eksempel5 .
.

Løsning.

Lad os finde værdien af funktionen og dens afledte ved
:

Således er koefficienterne for denne serie:
Og
, derfor:

I lighed med den foregående række, området for konvergens
. Serien konvergerer til funktionen
, fordi alle dens derivater er begrænset til enhed.

Bemærk venligst, at funktionen
ulige og serieudvidelse i ulige potenser, funktion
– lige og udvidelse til en serie i lige magter.

Eksempel6 . Binomial serie:
.

Løsning.

Lad os finde værdien af funktionen og dens afledte ved
:

Heraf kan det ses, at:

Lad os erstatte disse koefficientværdier i Maclaurin-serien og opnå udvidelsen af denne funktion til en potensrække:

Lad os finde konvergensradius for denne serie:

Derfor konvergerer serien på intervallet
. Ved begrænsningspunkterne kl
Og
en serie kan eller kan ikke konvergere afhængigt af eksponenten
.

Den undersøgte serie konvergerer på intervallet
at fungere
, altså summen af serien
på
.

Eksempel7 . Lad os udvide funktionen i Maclaurin-serien
.

Løsning.

For at udvide denne funktion til en serie, bruger vi binomialrækken ved
. Vi får:

Baseret på egenskaben for potensrækker (en potensrække kan integreres i området for dens konvergens), finder vi integralet af venstre og højre side af denne serie:

Lad os finde konvergensområdet for denne serie:
,

det vil sige, at området for konvergens af denne serie er intervallet
. Lad os bestemme konvergensen af serien i enderne af intervallet. På

. Denne serie er en harmonisk serie, det vil sige, den divergerer. På
får vi en talrække med et fælles led
.

Serien konvergerer ifølge Leibniz' test. Således er konvergensområdet for denne serie intervallet
.

16.2. Anvendelse af potensrækker i omtrentlige beregninger

I omtrentlige beregninger spiller potensrækker en yderst vigtig rolle. Med deres hjælp er der udarbejdet tabeller over trigonometriske funktioner, tabeller over logaritmer, værditabeller for andre funktioner, som bruges i forskellige vidensområder, for eksempel i sandsynlighedsteori og matematisk statistik. Derudover er udvidelsen af funktioner til en potensrække nyttig til deres teoretiske undersøgelse. Hovedproblemet ved anvendelse af potensrækker i omtrentlige beregninger er spørgsmålet om at estimere fejlen, når summen af en serie erstattes med summen af dens første n medlemmer.

Lad os overveje to tilfælde:

funktionen udvides til en tegnskiftende serie;

funktionen udvides til en række konstanttegn.

Beregning ved hjælp af vekslende serier

Lad funktionen
udvidet til en vekslende effektserie. Så når man beregner denne funktion for en bestemt værdi får vi en talserie, som vi kan anvende Leibniz-kriteriet på. I overensstemmelse med dette kriterium, hvis summen af en serie erstattes af summen af dens første n termer, så overstiger den absolutte fejl ikke det første led i resten af denne serie, det vil sige:
.

Eksempel8 . Beregn
med en nøjagtighed på 0,0001.

Løsning.

Vi vil bruge Maclaurin-serien til
, der erstatter vinkelværdien i radianer:

Hvis vi sammenligner det første og andet led i rækken med en given nøjagtighed, så: .

Tredje udvidelsesperiode:

mindre end den angivne beregningsnøjagtighed. Derfor at beregne
det er nok at forlade to termer af serien, dvs

Dermed
.

Eksempel9 . Beregn
med en nøjagtighed på 0,001.

Løsning.

Vi vil bruge binomialrækkeformlen. For at gøre dette, lad os skrive
som:
.

I dette udtryk
,

Lad os sammenligne hver af termerne i serien med den nøjagtighed, der er angivet. Det er klart
. Derfor at beregne
det er nok at forlade tre termer af serien.

eller
.

Beregning ved hjælp af positive serier

Eksempel10 . Beregn antal med en nøjagtighed på 0,001.

Løsning.

På række for en funktion
lad os erstatte
. Vi får:

Lad os estimere fejlen, der opstår, når summen af en serie erstattes med summen af den første medlemmer. Lad os skrive den åbenlyse ulighed ned:

altså 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Ifølge problemet skal du finde n sådan at følgende ulighed gælder:
eller
.

Det er nemt at tjekke, hvornår n= 6:
.

Derfor,
.

Eksempel11 . Beregn
med en nøjagtighed på 0,0001.

Løsning.

Bemærk, at man for at beregne logaritmer kunne bruge en række til funktionen
, men denne serie konvergerer meget langsomt og for at opnå den givne nøjagtighed ville det være nødvendigt at tage 9999 termer! For at beregne logaritmer bruges derfor som regel en række for funktionen
, som konvergerer på intervallet
.