Udvid funktionen online til en power-serie. Power-serier, deres konvergens, udvidelse af funktioner til power-serier

Lad os vise, at hvis en vilkårlig funktion er defineret på et sæt
, i nærheden af ​​punktet
har mange afledte og er summen af ​​en potensrække:

så kan du finde koefficienterne for denne serie.

Lad os erstatte i en magtserie
. Derefter
.

Lad os finde den første afledede af funktionen
:

På
:
.

For den anden afledede får vi:

På
:
.

Fortsætter denne procedure n når vi får:
.

Således fik vi en potensrække af formen:

,

som hedder ved siden af ​​Taylor til funktion
i nærheden af ​​punktet
.

Et særligt tilfælde af Taylor-serien er Maclaurin-serien på
:

Resten af ​​Taylor (Maclaurin) serien fås ved at kassere hovedserien n første medlemmer og betegnes som
. Derefter funktionen
kan skrives som en sum n seriens første medlemmer
og resten
:,

.

Resten er normalt
udtrykt i forskellige formler.

En af dem er i Lagrange-form:

, Hvor
.
.

Bemærk, at Maclaurin-serien i praksis bruges oftere. Altså for at skrive funktionen
i form af en potensrækkesum er det nødvendigt:

1) find koefficienterne for Maclaurin (Taylor) serien;

2) find konvergensområdet for den resulterende potensrække;

3) bevis, at denne serie konvergerer til funktionen
.

Sætning 1 (nødvendig og tilstrækkelig betingelse for konvergensen af ​​Maclaurin-rækken). Lad radius af konvergens af serien
. For at denne serie kan konvergere i intervallet
at fungere
, det er nødvendigt og tilstrækkeligt for, at betingelsen er opfyldt:
i det angivne interval.

Sætning 2. Hvis afledede af en hvilken som helst rækkefølge af en funktion
i et eller andet interval
begrænset i absolut værdi til det samme tal M, det er
, så i dette interval funktionen
kan udvides til en Maclaurin-serie.

Eksempel 1. Udvid i en Taylor-serie omkring punktet
fungere.

Løsning.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergensregion
.

Eksempel 2. Udvid en funktion i en Taylor-serie omkring et punkt
.

Løsning:

Find værdien af ​​funktionen og dens afledte ved
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Lad os sætte disse værdier i en række. Vi får:

eller
.

Lad os finde konvergensområdet for denne serie. Ifølge d'Alemberts test konvergerer en serie if

.

Derfor for evt denne grænse er mindre end 1, og derfor vil seriens konvergensinterval være:
.

Lad os overveje flere eksempler på Maclaurin-seriens udvidelse af grundlæggende elementære funktioner. Husk at Maclaurin-serien:

.

konvergerer på intervallet
at fungere
.

Bemærk, at for at udvide en funktion til en serie er det nødvendigt:

a) find koefficienterne for Maclaurin-serien for denne funktion;

b) beregn konvergensradius for den resulterende serie;

c) bevis, at den resulterende række konvergerer til funktionen
.

Eksempel 3. Overvej funktionen
.

Løsning.

Lad os beregne værdien af ​​funktionen og dens afledte ved
.

Så har seriens numeriske koefficienter formen:

for enhver n. Lad os erstatte de fundne koefficienter i Maclaurin-serien og få:

Lad os finde konvergensradius for den resulterende serie, nemlig:

.

Derfor konvergerer serien på intervallet
.

Denne serie konvergerer til funktionen for eventuelle værdier , fordi på ethvert interval
fungere og dens derivater i absolut værdi er begrænset af antal .

Eksempel 4. Overvej funktionen
.

Løsning.

:

Det er let at se, at afledte af lige rækkefølge
, og derivaterne er af ulige orden. Lad os erstatte de fundne koefficienter i Maclaurin-serien og få udvidelsen:

Lad os finde konvergensintervallet for denne serie. Ifølge d'Alemberts tegn:

for enhver . Derfor konvergerer serien på intervallet
.

Denne serie konvergerer til funktionen
, fordi alle dens derivater er begrænset til enhed.

Eksempel 5.
.

Løsning.

Lad os finde værdien af ​​funktionen og dens afledte ved
:

Således er koefficienterne for denne serie:
Og
, derfor:

I lighed med den foregående række, området for konvergens
. Serien konvergerer til funktionen
, fordi alle dens derivater er begrænset til enhed.

Bemærk venligst, at funktionen
ulige og serieudvidelse i ulige potenser, funktion
– lige og udvidelse til en serie i lige magter.

Eksempel 6. Binomial serie:
.

Løsning.

Lad os finde værdien af ​​funktionen og dens afledte ved
:

Heraf kan det ses, at:

Lad os erstatte disse koefficientværdier i Maclaurin-serien og opnå udvidelsen af ​​denne funktion til en potensrække:

Lad os finde konvergensradius for denne serie:

Derfor konvergerer serien på intervallet
. Ved grænsepunkterne kl
Og
en serie kan eller kan ikke konvergere afhængigt af eksponenten
.

Den undersøgte serie konvergerer på intervallet
at fungere
, altså summen af ​​serien
på
.

Eksempel 7. Lad os udvide funktionen i Maclaurin-serien
.

Løsning.

For at udvide denne funktion til en serie, bruger vi binomialrækken ved
. Vi får:

Baseret på egenskaben for potensrækker (en potensrække kan integreres i området for dens konvergens), finder vi integralet af venstre og højre side af denne serie:

Lad os finde konvergensområdet for denne serie:
,

det vil sige, at området for konvergens af denne serie er intervallet
. Lad os bestemme konvergensen af ​​serien i enderne af intervallet. På

. Denne serie er en harmonisk serie, det vil sige, den divergerer. På
får vi en talrække med et fælles led
.

Serien konvergerer efter Leibniz' kriterium. Således er konvergensområdet for denne serie intervallet
.

I omtrentlige beregninger spiller potensrækker en yderst vigtig rolle. Med deres hjælp er der udarbejdet tabeller over trigonometriske funktioner, tabeller over logaritmer, værditabeller for andre funktioner, som bruges i forskellige vidensområder, for eksempel i sandsynlighedsteori og matematisk statistik. Derudover er udvidelsen af ​​funktioner til en potensrække nyttig til deres teoretiske undersøgelse. Hovedproblemet ved anvendelse af potensrækker i omtrentlige beregninger er spørgsmålet om at estimere fejlen, når summen af ​​en serie erstattes med summen af ​​dens første n medlemmer.

Lad os overveje to tilfælde:

funktionen udvides til en tegnskiftende serie;

funktionen udvides til en række konstanttegn.

Lad funktionen
udvidet til en vekslende effektserie. Så når man beregner denne funktion for en bestemt værdi får vi en talserie, som vi kan anvende Leibniz-kriteriet på. I overensstemmelse med dette kriterium, hvis summen af ​​en serie erstattes af summen af ​​dens første n termer, så overstiger den absolutte fejl ikke det første led i resten af ​​denne serie, det vil sige:
.

Eksempel 8. Beregn
med en nøjagtighed på 0,0001.

Løsning.

Vi vil bruge Maclaurin-serien til
, der erstatter vinkelværdien i radianer:

Hvis vi sammenligner det første og andet led i rækken med en given nøjagtighed, så: .

Tredje udvidelsesperiode:

mindre end den angivne beregningsnøjagtighed. Derfor at beregne
det er nok at forlade to termer af serien, dvs

.

Dermed
.

Eksempel 9. Beregn
med en nøjagtighed på 0,001.

Løsning.

Vi vil bruge binomialrækkeformlen. For at gøre dette, lad os skrive
som:
.

I dette udtryk
,

Lad os sammenligne hver af termerne i serien med den nøjagtighed, der er angivet. Det er klart
. Derfor at beregne
det er nok at forlade tre termer af serien.

eller
.

Eksempel 10. Beregn antal med en nøjagtighed på 0,001.

Løsning.

På række for en funktion
lad os erstatte
. Vi får:

Lad os estimere fejlen, der opstår, når summen af ​​en serie erstattes med summen af ​​den første medlemmer. Lad os skrive den åbenlyse ulighed ned:

altså 2