Defineerige maatriksi mõiste. §1

Definitsioon 1. Maatriks A suurusmn on m rea ja n veeru ristkülikukujuline tabel, mis koosneb arvudest või muudest matemaatilistest avaldistest (nimetatakse maatrikselementideks), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, või

2. definitsioon. Kaks maatriksit
Ja
nimetatakse sama suurusega võrdne, kui need elemendi kaupa kattuvad, s.t. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Maatriksite abil on lihtne registreerida mõningaid majanduslikke sõltuvusi, näiteks teatud majandussektorite ressursside jaotuse tabeleid.

3. määratlus. Kui maatriksi ridade arv langeb kokku selle veergude arvuga, s.o. m = n, siis kutsutakse maatriks ruudu järjekordn, muidu ristkülikukujuline.

4. määratlus. Üleminek maatriksilt A maatriksile A m, mille käigus ridade ja veergude vahetamine toimub järjekorda säilitades, nimetatakse ülevõtmine maatriksid.

Maatriksite tüübid: ruut (suurus 33) -
,

ristkülikukujuline (suurus 25) -
,

diagonaal -
, vallaline -
, null -
,

maatriksirida -
, maatriks-veerg -.

Definitsioon 5. Ruutmaatriksi suurusjärku n samade indeksiga elemente nimetatakse põhidiagonaali elementideks, s.t. need on elemendid:
.

Definitsioon 6. Ruutmaatriksi n-järku elemente nimetatakse sekundaarse diagonaali elementideks, kui nende indeksite summa on võrdne n + 1, s.o. need on elemendid: .

1.2. Tehted maatriksitega.

1 0 . Summa kaks maatriksit
Ja
sama suurust maatriksit nimetatakse maatriksiks C = (koos ij-ga), mille elemendid on määratud võrdsusega ij = a ij + b ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).

Maatriksi liitmise operatsiooni omadused.

Mis tahes sama suurusega maatriksite A, B, C korral kehtivad järgmised võrdsused:

1) A + B = B + A (kommutatiivsus),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (assotsiatiivsus).

2 0 . Töö maatriksid
numbri kohta nimetatakse maatriksiks
sama suur kui maatriks A ja b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Maatriksi arvuga korrutamise operatsiooni omadused.

    (A) = ()A (korrutamise assotsiatiivsus);

    (A+B) = A+B (korrutamise jaotus maatriksi liitmise suhtes);

    (+)A = A+A (korrutamise jaotus arvude liitmise suhtes).

Definitsioon 7. Maatriksite lineaarne kombinatsioon
Ja
sama suurusega avaldist nimetatakse kujul A+B, kus  ja  on suvalised arvud.

3 0 . Toode A Maatriksites A ja B, mille suurus on mn ja nk, nimetatakse maatriksiks C suurusega mk, nii et element ij-ga võrdub i-nda rea ​​elementide korrutiste summaga. maatriksi A ja maatriksi B j-nda veeru, s.o. ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Korrutis AB eksisteerib ainult siis, kui maatriksi A veergude arv langeb kokku maatriksi B ridade arvuga.

Maatriksi korrutamise operatsiooni omadused:

    (AB)C = A(BC) (assotsiatiivsus);

    (A+B)C = AC+BC (jaotus maatriksi liitmise suhtes);

    A(B+C) = AB+AC (jaotus maatriksi liitmise suhtes);

    AB  BA (mitte kommutatiivne).

Definitsioon 8. Maatrikse A ja B, mille puhul AB = BA, nimetatakse pendeldamiseks või pendeldamiseks.

Mis tahes järjestust ruutmaatriksi korrutamine vastava identiteedimaatriksiga ei muuda maatriksit.

Definitsioon 9. Elementaarsed teisendused Järgmisi tehteid nimetatakse maatriksiteks:

    Vahetage kaks rida (veeru).

    Rea (veeru) iga elemendi korrutamine nullist erineva arvuga.

    Ühe rea (veeru) elementidele teise rea (veeru) vastavate elementide lisamine.

Definitsioon 10. Maatriksist A elementaarteisenduste abil saadud maatriksit B nimetatakse samaväärne(tähistatud BA).

Näide 1.1. Leidke maatriksite 2A–3B lineaarne kombinatsioon, kui

,
.

,
,


.

Näide 1.2. Leidke maatriksite korrutis
, Kui

.

Lahendus: kuna esimese maatriksi veergude arv langeb kokku teise maatriksi ridade arvuga, siis on maatriksite korrutis olemas. Selle tulemusena saame uue maatriksi
, Kus

Selle tulemusena saame
.

Loeng 2. Determinandid. Teist ja kolmandat järku determinantide arvutamine. Determinantide omadusedn- järjekorras.

>> Maatriksid

4.1.Maatriksid. Tehted maatriksitega

Ristkülikukujuline maatriks suurusega mxn on mxn arvude kogum, mis on paigutatud ristkülikukujulise tabeli kujul, mis sisaldab m rida ja n veergu. Kirjutame selle vormi

või lühendatult A = (a i j) (i = ; j = ), nimetatakse numbreid a i j selle elementideks; Esimene indeks tähistab rea numbrit, teine ​​- veeru numbrit. Ühesuurused A = (a i j) ja B = (b i j) nimetatakse võrdseteks, kui nende samades kohtades olevad elemendid on paarikaupa võrdsed, st A = B, kui a i j = b i j.

Ühest reast või ühest veerust koosnevat maatriksit nimetatakse vastavalt reavektoriks või veeruvektoriks. Veeruvektoreid ja ridavektoreid nimetatakse lihtsalt vektoriteks.

Ühest numbrist koosnev maatriks identifitseeritakse selle numbriga. A suurust mxn, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse nulliks ja tähistatakse 0-ga. Sama indeksiga elemente nimetatakse põhidiagonaali elementideks. Kui ridade arv on võrdne veergude arvuga, st m = n, nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks järjestusega n. Ruutmaatrikse, milles ainult põhidiagonaali elemendid on nullist erinevad, nimetatakse diagonaalideks ja need kirjutatakse järgmiselt:

.

Kui kõik diagonaali elemendid a i i on võrdsed 1-ga, nimetatakse seda ühikuks ja tähistatakse tähega E:

.

Ruutmaatriksit nimetatakse kolmnurkseks, kui kõik põhidiagonaalist kõrgemal (või allpool) olevad elemendid on võrdsed nulliga. Transpositsioon on teisendus, mille käigus ridu ja veerge vahetatakse, säilitades nende numbrid. Ülekandmist tähistab ülaosas T.

Kui paigutame (4.1) read ja veerud ümber, saame

,

mis transponeeritakse A suhtes. Eelkõige veeruvektori transponeerimisel saadakse reavektor ja vastupidi.

A ja arvu b korrutis on maatriks, mille elemendid saadakse A vastavatest elementidest, korrutades arvuga b: b A = (b a i j).

Ühesuurust summat A = (a i j) ja B = (b i j) nimetatakse ühesuuruseks C = (c i j), mille elemendid määratakse valemiga c i j = a i j + b i j.

Korrutis AB määratakse eeldusel, et A veergude arv on võrdne B ridade arvuga.

Korrutist AB, kus A = (a i j) ja B = (b j k), kus i = , j= , k= , antud kindlas järjekorras AB nimetatakse C = (c i k), mille elemendid on määratud järgmine reegel:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Teisisõnu on korrutise AB element defineeritud järgmiselt: i-nda rea ​​ja k-nda veeru element C on võrdne i-nda rea ​​A elementide korrutiste summaga. k-nda veeru B vastavad elemendid.

Näide 2.1. Leia korrutis AB ja .

Lahendus. Meil on: A suurusega 2x3, B suurusega 3x3, siis on korrutis AB = C olemas ja C elemendid on võrdsed

Alates 11 = 1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3 = 8, alates 21 = 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 = 5, alates 12 = 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 = 7 ,

s 22 = 3 × 2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, ja toodet BA pole olemas.

Näide 2.2. Tabelis on näidatud meiereidest 1 ja 2 kauplustesse M 1, M 2 ja M 3 tarnitud toodete ühikute arv iga päev ning igast meiereist tooteühiku kohaletoimetamine kauplusesse M 1 maksab 50 den. ühikut, kauplusesse M 2 - 70 ja M 3 - 130 den. ühikut Arvutage iga taime igapäevased transpordikulud.

Piimakombinaat

Lahendus. Tähistame A-ga maatriksit, mis on antud meile tingimuses ja poolt
B - maatriks, mis iseloomustab tooteühiku kauplustesse tarnimise kulusid, st

,

Seejärel näeb transpordikulude maatriks välja järgmine:

.

Seega kulutab esimene tehas transpordile iga päev 4750 denjerit. ühikut, teine ​​- 3680 rahaühikut.

Näide 2.3. Õmblusfirma toodab talvemantleid, poolhooaja mantleid ja vihmamantleid. Dekaadi planeeritud toodangut iseloomustab vektor X = (10, 15, 23). Kasutatakse nelja tüüpi kangaid: T 1, T 2, T 3, T 4. Tabelis on kanga kulunormid (meetrites) iga toote kohta. Vektor C = (40, 35, 24, 16) määrab igat tüüpi kanga meetri maksumuse ja vektor P = (5, 3, 2, 2) määrab igat tüüpi kanga meetri transpordikulu.

Kanga tarbimine

Talvemantel

Poolhooaja mantel

1. Mitu meetrit igat tüüpi kangast kulub plaani täitmiseks?

2. Leidke iga tooteliigi õmblemisele kulunud kanga maksumus.

3. Määrake kogu plaani täitmiseks vajaliku kanga maksumus.

Lahendus. Tähistame A-ga meile tingimuses antud maatriksit, st.

,

siis plaani täitmiseks vajaliku kangameetrite arvu leidmiseks peate vektori X korrutama maatriksiga A:

Leiame igat tüüpi õmblustoodetele kulunud kanga maksumuse, korrutades maatriksi A ja vektori C T:

.

Kogu plaani täitmiseks vajaliku kanga maksumus määratakse järgmise valemiga:

Lõpuks, võttes arvesse transpordikulusid, võrdub kogu summa kanga maksumusega, st 9472 den. ühikut, pluss väärtus

X A P T =
.

Niisiis, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (rahaühikud).

Maatriksit tähistatakse suurte ladina tähtedega ( A, IN, KOOS,...).

Definitsioon 1. Ristkülikukujuline lauavaade,

koosnevad m read ja n veergudeks nimetatakse maatriks.

Maatriksi element, i – rea number, j – veeru number.

Maatriksite tüübid:

põhidiagonaali elemendid:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. 2., 3. ja n-nda järgu determinandid

Olgu antud kaks ruutmaatriksit:

Definitsioon 1. Teist järku maatriksi determinant A 1 on arv, mida tähistatakse ∆-ga ja mis on võrdne , Kus

Näide. Arvutage teist järku determinant:

2. definitsioon. Ruutmaatriksi 3. järku determinant A 2 nimetatakse numbriks kujul:

See on üks viis determinandi arvutamiseks.

Näide. Arvutama

3. definitsioon. Kui determinant koosneb n-reast ja n-veerust, siis nimetatakse seda n-ndat järku determinandiks.

Determinantide omadused:

    Determinant ei muutu transponeerimisel (st kui selles olevaid ridu ja veerge järjekorda säilitades vahetatakse).

    Kui vahetate determinandis kaks rida või kaks veergu, muudab determinant ainult märki.

    Mis tahes rea (veeru) ühisteguri võib võtta determinandi märgist kaugemale.

    Kui determinandi mis tahes rea (veeru) kõik elemendid on võrdsed nulliga, siis on determinant võrdne nulliga.

    Determinant on null, kui mis tahes kahe rea elemendid on võrdsed või proportsionaalsed.

    Determinant ei muutu, kui rea (veeru) elementidele lisatakse teise rea (veeru) vastavad elemendid, korrutades sama arvuga.

Näide.

4. määratlus. Nimetatakse veeru ja rea ​​läbikriipsutamise teel antud determinanti alaealine vastav element. M ij element a ij .

Definitsioon 5. Algebraline komplement elementi a ij nimetatakse väljendiks

§3. Toimingud maatriksitel

Lineaarsed operatsioonid

1) Maatriksite lisamisel liidetakse nende samanimelised elemendid.

    Maatriksite lahutamisel lahutatakse nende samanimelised elemendid.

    Maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse maatriksi iga element selle arvuga:

3.2.Maatrikskorrutis.

Töö maatriksid A maatriksile IN on uus maatriks, mille elemendid on võrdsed maatriksi i-nda rea ​​elementide korrutiste summaga A maatriksi j-nda veeru vastavatele elementidele IN. Matrix toode A maatriksile IN saab leida ainult siis, kui maatriksi veergude arv A võrdne maatriksi ridade arvuga IN. Vastasel juhul on töö võimatu.

Kommentaar:

(ei järgi kommutatiivset omadust)

§ 4. Pöördmaatriks

Pöördmaatriks eksisteerib ainult ruutmaatriksi jaoks ja maatriks peab olema mitteainsuses.

Definitsioon 1. Maatriks A helistas mitte-mandunud, kui selle maatriksi determinant ei ole võrdne nulliga

2. definitsioon. A-1 kutsutakse pöördmaatriks antud mitteainsuse ruutmaatriksi jaoks A, kui selle maatriksi korrutamisel antud maatriksiga, nii paremal kui ka vasakul, saadakse identiteedimaatriks.

Algoritm pöördmaatriksi arvutamiseks

1 viis (kasutades algebralisi liite)

Näide 1:

1. kursus, kõrgmatemaatika, õppimine maatriksid ja nendega seotud põhitoimingud. Siin süstematiseerime põhitehteid, mida saab teha maatriksitega. Kust alustada maatriksitega tutvumist? Muidugi alates kõige lihtsamatest asjadest – definitsioonidest, põhimõistetest ja lihtsatest operatsioonidest. Kinnitame teile, et maatriksitest saavad aru kõik, kes neile vähemalt veidi aega pühendavad!

Maatriksi definitsioon

Maatriks on ristkülikukujuline elementide tabel. Lihtsamalt öeldes – numbrite tabel.

Tavaliselt on maatriksid tähistatud suurte ladina tähtedega. Näiteks maatriks A , maatriks B ja nii edasi. Maatriksid võivad olla erineva suurusega: ristkülikukujulised, ruudukujulised, samuti on olemas rida- ja veerumaatriksid, mida nimetatakse vektoriteks. Maatriksi suuruse määrab ridade ja veergude arv. Näiteks kirjutame ristkülikukujulise suuruse maatriksi m peal n , Kus m – ridade arv ja n – veergude arv.

Üksused, mille jaoks i=j (a11, a22, .. ) moodustavad maatriksi põhidiagonaali ja neid nimetatakse diagonaalideks.

Mida saab maatriksitega teha? Lisa/lahutamine, arvuga korrutada, paljunevad omavahel, üle võtta. Nüüd kõigist põhitehtetest maatriksitega järjekorras.

Maatriksi liitmise ja lahutamise tehted

Hoiatame teid kohe, et saate lisada ainult sama suurusega maatrikseid. Tulemuseks on sama suur maatriks. Maatriksite liitmine (või lahutamine) on lihtne - peate lihtsalt nende vastavad elemendid kokku liitma . Toome näite. Teeme kahe maatriksi A ja B liitmise, mille suurus on kaks korda kaks.

Lahutamine toimub analoogia põhjal, ainult vastupidise märgiga.

Iga maatriksi saab korrutada suvalise arvuga. Selleks peate iga selle elemendi selle arvuga korrutama. Näiteks korrutame esimese näite maatriksi A arvuga 5:

Maatriksi korrutamise operatsioon

Kõiki maatrikseid ei saa omavahel korrutada. Näiteks on meil kaks maatriksit – A ja B. Neid saab omavahel korrutada ainult siis, kui maatriksi A veergude arv on võrdne maatriksi B ridade arvuga. saadud maatriksi iga element, mis asub i-ndas reas ja j-ndas veerus, on võrdne esimese teguri i-nda rea ​​ja j-nda veeru vastavate elementide korrutistega. teine. Selle algoritmi mõistmiseks kirjutame üles, kuidas korrutatakse kaks ruutmaatriksit:

Ja näide reaalarvudega. Korrutame maatriksid:

Maatriksi transponeerimise operatsioon

Maatriksi transpositsioon on toiming, mille käigus vahetatakse vastavad read ja veerud. Näiteks transponeerime maatriksi A esimesest näitest:

Maatriksi determinant

Determinant ehk determinant on üks lineaaralgebra põhimõisteid. Kunagi ammu mõtlesid inimesed välja lineaarvõrrandid ja nende järel tuli välja mõelda determinant. Lõpuks jääte kõigega sellega tegelema, nii et viimane tõuge!

Determinant on ruutmaatriksi arvtunnus, mida on vaja paljude ülesannete lahendamiseks.
Lihtsaima ruutmaatriksi determinandi arvutamiseks peate arvutama põhi- ja sekundaardiagonaalide elementide korrutiste erinevuse.

Esimest järku, st ühest elemendist koosneva maatriksi determinant on võrdne selle elemendiga.

Mis siis, kui maatriks on kolm korda kolm? See on keerulisem, kuid saate sellega hakkama.

Sellise maatriksi puhul on determinandi väärtus võrdne põhidiagonaali elementide ja põhidiagonaaliga paralleelse küljega kolmnurkadel asuvate elementide korrutiste summaga, millest saadakse sekundaarse diagonaali elemendid ja paralleelse sekundaarse diagonaali esiküljega kolmnurkadel asuvate elementide korrutis lahutatakse.

Õnneks on praktikas harva vaja arvutada suurte maatriksite determinante.

Siin vaatlesime põhilisi tehteid maatriksitega. Muidugi ei pruugi te päriselus kohata isegi vihjet maatriksvõrrandisüsteemile või, vastupidi, võite kohata palju keerulisemaid juhtumeid, kui peate tõesti oma ajusid raputama. Just sellistel juhtudel on olemas professionaalsed üliõpilasteenused. Küsi abi, saa kvaliteetne ja detailne lahendus, naudi õppeedukust ja vaba aega.

Selles teemas käsitleme nii maatriksi mõistet kui ka maatriksitüüpe. Kuna antud teemas on palju termineid, siis lisan ka lühikese kokkuvõtte, et materjalis oleks lihtsam orienteeruda.

Maatriksi ja selle elemendi definitsioon. Märge.

Maatriks on $m$ ridade ja $n$ veergudega tabel. Maatriksi elemendid võivad olla täiesti erineva iseloomuga objektid: arvud, muutujad või näiteks muud maatriksid. Näiteks maatriks $\left(\begin(massiivi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiivi) \right)$ sisaldab 3 rida ja 2 veergu; selle elemendid on täisarvud. Maatriks $\left(\begin(massiivi) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(massiivi) \right)$ sisaldab 2 rida ja 4 veergu.

Maatriksite kirjutamise erinevad viisid: näita\peida

Maatriksi saab kirjutada mitte ainult ümmarguste, vaid ka ruudu- või topeltsirgete sulgudes. See tähendab, et alltoodud kirjed tähendavad sama maatriksit:

$$ \left(\begin(massiivi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiivi) \right);\;\; \left[ \begin(massiivi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiivi) \right]; \;\; \left \Vert \begin(massiivi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiivi) \right \Vert $$

Toodet $m\times n$ kutsutakse maatriksi suurus. Näiteks kui maatriks sisaldab 5 rida ja 3 veergu, siis räägime maatriksist, mille suurus on $5\ korda 3 $. Maatriksi $\left(\begin(massiivi)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(massiivi)\right)$ suurus on $3 \times 2$.

Tavaliselt tähistatakse maatrikseid ladina tähestiku suurtähtedega: $A$, $B$, $C$ ja nii edasi. Näiteks $B=\left(\begin(massiivi) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiivi) \right)$. Rea nummerdamine läheb ülevalt alla; veerud - vasakult paremale. Näiteks maatriksi $B$ esimene rida sisaldab elemente 5 ja 3 ning teine ​​veerg elemente 3, -87, 0.

Maatriksite elemente tähistatakse tavaliselt väikeste tähtedega. Näiteks maatriksi $A$ elemente tähistatakse $a_(ij)$-ga. Topeltindeks $ij$ sisaldab infot elemendi asukoha kohta maatriksis. Arv $i$ on rea number ja number $j$ veeru number, mille ristumiskohas on element $a_(ij)$. Näiteks maatriksi teise rea ja viienda veeru ristumiskohas $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(massiivi) \right)$ element $a_(25) = 59 $:

Samamoodi on esimese rea ja esimese veeru ristumiskohas element $a_(11)=51$; kolmanda rea ​​ja teise veeru ristumiskohas - element $a_(32)=-15$ ja nii edasi. Pange tähele, et kirje $a_(32)$ on "kolm kaks", kuid mitte "kolmkümmend kaks".

Maatriksi $A$, mille suurus on $m\times n$, lühendamiseks kasutatakse tähist $A_(m\times n)$. Võid sellest veidi täpsemalt kirjutada:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

kus märge $(a_(ij))$ tähistab maatriksi $A$ elemente. Täielikult laiendatud kujul saab maatriksi $A_(m\times n)=(a_(ij))$ kirjutada järgmiselt:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(massiivi)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(massiivi) \right) $$

Tutvustame teist terminit - võrdsed maatriksid.

Nimetatakse kaks ühesuurust maatriksit $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ja $B_(m\times n)=(b_(ij))$ võrdne, kui nende vastavad elemendid on võrdsed, s.t. $a_(ij)=b_(ij)$ kõigi $i=\overline(1,m)$ ja $j=\overline(1,n)$ jaoks.

Kirje $i=\overline(1,m)$ selgitus: näita\peida

Märkus "$i=\overline(1,m)$" tähendab, et parameeter $i$ varieerub vahemikus 1 kuni m. Näiteks märge $i=\overline(1,5)$ näitab, et parameetri $i$ väärtused on 1, 2, 3, 4, 5.

Seega, et maatriksid oleksid võrdsed, peavad olema täidetud kaks tingimust: suuruste kokkulangevus ja vastavate elementide võrdsus. Näiteks maatriks $A=\left(\begin(massiivi)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(massiivi)\right)$ ei võrdu maatriksiga $B=\left(\ begin(massiivi)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(massiivi)\right)$ kuna maatriksi $A$ suurus on $3\ korda 2$ ja maatriksil $B$ on suurus $2\ korda $2. Samuti ei võrdu maatriks $A$ maatriksiga $C=\left(\begin(massiiv)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(massiivi)\right)$ , kuna $a_( 21)\neq c_(21)$ (st $0\neq 98$). Kuid maatriksi $F=\left(\begin(massiivi)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(massiivi)\right)$ jaoks võime julgelt kirjutada $A= F$, sest nii maatriksite $A$ ja $F$ suurused kui ka vastavad elemendid langevad kokku.

Näide nr 1

Määrake maatriksi suurus $A=\left(\begin(massiivi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(massiivi) \right)$. Näidake, millega on võrdsed elemendid $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

See maatriks sisaldab 5 rida ja 3 veergu, seega on selle suurus $5\ korda 3 $. Selle maatriksi jaoks võite kasutada ka tähistust $A_(5\x 3)$.

Element $a_(12)$ asub esimese rea ja teise veeru ristumiskohas, seega $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ on kolmanda rea ​​ja kolmanda veeru ristumiskohas, seega $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ on neljanda rea ​​ja kolmanda veeru ristumiskohas, seega $a_(43)=-5$.

Vastus: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Maatriksite tüübid sõltuvalt nende suurusest. Põhi- ja sekundaardiagonaalid. Maatriksi jälg.

Olgu antud teatud maatriks $A_(m\times n)$. Kui $m=1$ (maatriks koosneb ühest reast), siis kutsutakse antud maatriks maatriks-rida. Kui $n=1$ (maatriks koosneb ühest veerust), siis kutsutakse selline maatriks maatriks-veerg. Näiteks $\left(\begin(massiiv) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(massiiv) \right)$ on reamaatriks ja $\left(\begin(massiiv ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(massiivi) \right)$ on veerumaatriks.

Kui maatriks $A_(m\times n)$ täidab tingimust $m\neq n$ (st ridade arv ei võrdu veergude arvuga), siis sageli öeldakse, et $A$ on ristkülikukujuline maatriks. Näiteks maatriksi $\left(\begin(massiivi) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(massiivi) \right)$ suurus on $2\ korda 4 $, need. sisaldab 2 rida ja 4 veergu. Kuna ridade arv ei võrdu veergude arvuga, on see maatriks ristkülikukujuline.

Kui maatriks $A_(m\times n)$ vastab tingimusele $m=n$ (st ridade arv on võrdne veergude arvuga), siis $A$ nimetatakse ruutmaatriksiks järku $ n$. Näiteks $\left(\begin(massiiv) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(massiivi) \right)$ on teist järku ruutmaatriks; $\left(\begin(massiivi) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(massiivi) \right)$ on kolmandat järku ruutmaatriks. Üldiselt saab ruutmaatriksi $A_(n\times n)$ kirjutada järgmiselt:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(massiivi)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(massiivi) \right) $$

Väidetavalt on elemendid $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ põhidiagonaal maatriksid $A_(n\times n)$. Neid elemente nimetatakse peamised diagonaalsed elemendid(või lihtsalt diagonaalsed elemendid). Elemendid $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ on sisse lülitatud külgmine (minoorne) diagonaal; neid nimetatakse külgmised diagonaalsed elemendid. Näiteks maatriksi $C=\left(\begin(massiivi)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( massiiv) \right)$ meil on:

Elemendid $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ on peamised diagonaalelemendid; elemendid $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ on külgdiagonaalsed elemendid.

Peamiste diagonaalsete elementide summat nimetatakse järgneb maatriks ja seda tähistab $\Tr A$ (või $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Näiteks maatriksi jaoks $C=\left(\begin(massiivi) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(massiiv)\right)$ meil on:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Diagonaalelementide mõistet kasutatakse ka mitteruuduliste maatriksite puhul. Näiteks maatriksi jaoks $B=\left(\begin(massiivi) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(massiivi) \right)$ peamised diagonaalelemendid on $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Maatriksite tüübid sõltuvalt nende elementide väärtustest.

Kui kõik maatriksi $A_(m\x n)$ elemendid on võrdsed nulliga, siis nimetatakse sellist maatriksit null ja seda tähistatakse tavaliselt tähega $O$. Näiteks $\left(\begin(massiivi) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(massiivi) \right)$, $\left(\begin(massiivi) (cc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(massiivi) \right)$ - nullmaatriksid.

Olgu maatriksil $A_(m\times n)$ järgmine vorm:

Siis nimetatakse seda maatriksit trapetsikujuline. See ei pruugi sisaldada nulli rida, kuid kui need on olemas, asuvad need maatriksi allosas. Üldisemal kujul saab trapetsikujulise maatriksi kirjutada järgmiselt:

Jällegi pole nullridade lõppu vaja. Need. Formaalselt saame trapetsikujulise maatriksi jaoks eristada järgmisi tingimusi:

  1. Kõik põhidiagonaali all olevad elemendid on nullid.
  2. Kõik elemendid $a_(11)$ kuni $a_(rr)$, mis asuvad põhidiagonaalil, ei ole võrdsed nulliga: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
  3. Viimaste $m-r$ ridade kõik elemendid on nullid või $m=r$ (st nullridu pole üldse).

Trapetsikujuliste maatriksite näited:

Liigume edasi järgmise määratluse juurde. Kutsutakse maatriksit $A_(m\times n)$ astus, kui see vastab järgmistele tingimustele:


Näiteks astmemaatriksid oleksid järgmised:

Võrdluseks maatriks $\left(\begin(massiivi) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(massiivi)\right)$ ei ole ešelon, kuna kolmandal real on sama nulliosa kui teisel real. See tähendab, et rikutakse põhimõtet "mida madalam joon, seda suurem on nullosa". Lisan, et trapetsikujuline maatriks on astmelise maatriksi erijuhtum.

Liigume edasi järgmise määratluse juurde. Kui kõik ruutmaatriksi elemendid, mis asuvad põhidiagonaali all, on võrdsed nulliga, nimetatakse sellist maatriksit nn. ülemine kolmnurkne maatriks. Näiteks $\left(\begin(massiivi) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(massiivi) \right)$ on ülemine kolmnurkmaatriks. Pange tähele, et ülemise kolmnurkse maatriksi määratlus ei ütle midagi põhidiagonaali kohal või põhidiagonaalil asuvate elementide väärtuste kohta. Need võivad olla nullid või mitte – vahet pole. Näiteks $\left(\begin(massiivi) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(massiivi) \right)$ on samuti ülemine kolmnurkmaatriks.

Kui kõik ruutmaatriksi elemendid, mis asuvad põhidiagonaali kohal, on võrdsed nulliga, nimetatakse sellist maatriksit nn. alumine kolmnurkne maatriks. Näiteks $\left(\begin(massiivi) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(massiivi) \right)$ - alumine kolmnurkmaatriks. Pange tähele, et madalama kolmnurkse maatriksi määratlus ei ütle midagi põhidiagonaali all või sellel asuvate elementide väärtuste kohta. Need võivad olla nullid või mitte – see pole oluline. Näiteks $\left(\begin(massiivi) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(massiivi) \right)$ ja $\left(\ algus (massiiv) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(massiivi) \right)$ on samuti madalamad kolmnurkmaatriksid.

Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaal, kui kõik selle maatriksi elemendid, mis ei asu põhidiagonaalil, on võrdsed nulliga. Näide: $\left(\begin(massiivi) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(massiivi)\right)$. Põhidiagonaalil olevad elemendid võivad olla ükskõik millised (nulliga võrdsed või mitte) – see ei oma tähtsust.

Diagonaalmaatriksit nimetatakse vallaline, kui kõik selle maatriksi põhidiagonaalil asuvad elemendid on võrdsed 1-ga. Näiteks $\left(\begin(massiiv) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(massiivi)\right)$ - neljandat järku identiteedimaatriks; $\left(\begin(massiiv) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(massiivi)\right)$ on teist järku identiteedimaatriks.