Harmoonilised vibratsioonid. Matemaatiline pendel: periood, kiirendus ja valemid
(lat. amplituud- suurusjärk) on võnkuva keha suurim kõrvalekalle tasakaaluasendist.
Pendli puhul on see maksimaalne vahemaa, mille jooksul pall oma tasakaaluasendist eemaldub (joonis allpool). Väikeste amplituudidega võnkumiste puhul võib selliseks vahemaaks võtta kaare pikkuse 01 või 02 ja nende segmentide pikkused.
Võnkumiste amplituudi mõõdetakse pikkusühikutes – meetrites, sentimeetrites jne. Võnkegraafikul on amplituud defineeritud kui sinusoidse kõvera maksimaalne (moodul) ordinaat (vt joonist allpool).
Võnkeperiood.
Võnkeperiood- see on lühim ajavahemik, mille jooksul võnkuv süsteem naaseb uuesti samasse olekusse, milles ta oli suvaliselt valitud algsel ajahetkel.
Teisisõnu, võnkeperiood ( T) on aeg, mille jooksul toimub üks täielik võnkumine. Näiteks alloleval joonisel on see aeg, mis kulub pendli hoo liikumiseks kõige parempoolsemast punktist läbi tasakaalupunkti KOHTA vasakpoolsemasse punkti ja punkti kaudu tagasi KOHTA jälle paremale äärmisele.
Täieliku võnkeperioodi jooksul läbib keha seega tee, mis on võrdne nelja amplituudiga. Võnkeperioodi mõõdetakse ajaühikutes – sekundites, minutites jne. Võnkeperioodi saab määrata tuntud võnkegraafiku järgi (vt allolevat joonist).
Mõiste "võnkeperiood" rangelt võttes kehtib ainult siis, kui võnkesuuruse väärtused on teatud aja möödudes täpselt korduvad, st harmooniliste võnkumiste korral. See mõiste kehtib aga ka ligikaudu korduvate suuruste puhul, näiteks jaoks summutatud võnkumised.
Võnkesagedus.
Võnkesagedus- see on ajaühikus sooritatud võnkumiste arv, näiteks 1 sekundi jooksul.
Sageduse SI ühikut nimetatakse hertsi(Hz) saksa füüsiku G. Hertzi (1857-1894) auks. Kui võnkesagedus ( v) on võrdne 1 Hz, see tähendab, et iga sekund toimub üks võnkumine. Võnkumiste sagedus ja periood on seotud suhetega:
Võnkumisteoorias kasutavad nad seda mõistet ka tsükliline, või ringsagedus ω . See on seotud normaalse sagedusega v ja võnkeperiood T suhted:
.
Tsükliline sagedus on sooritatud võnkumiste arv kohta 2π sekundit
Võnkuv liikumine- keha perioodiline või peaaegu perioodiline liikumine, mille koordinaat, kiirus ja kiirendus võrdsete ajavahemike järel omandavad ligikaudu samad väärtused.
Mehaanilised vibratsioonid tekivad siis, kui keha tasakaaluasendist eemaldamisel ilmneb jõud, mis kipub keha tagasi viima.
Nihe x on keha kõrvalekalle tasakaaluasendist.
Amplituud A on keha maksimaalse nihke moodul.
Võnkeperiood T - ühe võnke aeg:
Võnkesagedus
Keha poolt sooritatud võnkumiste arv ajaühikus: Võnkumise ajal muutuvad perioodiliselt kiirus ja kiirendus. Tasakaalusendis on kiirus maksimaalne ja kiirendus null. Maksimaalse nihke punktides saavutab kiirendus maksimumi ja kiirus muutub nulliks.
HARMOONILINE VIBRATSIOONI AJAKAVA
Harmooniline Siinuse või koosinuse seaduse järgi tekkivaid vibratsioone nimetatakse:
kus x(t) on süsteemi nihe ajahetkel t, A on amplituud, ω on võnkumiste tsükliline sagedus.
Kui joonistate keha kõrvalekalde tasakaaluasendist piki vertikaaltelge ja aja piki horisontaaltelge, saate graafiku võnke kohta x = x(t) - keha nihke sõltuvus ajast. Vabade harmooniliste võnkumiste jaoks on see siinuslaine või koosinuslaine. Joonisel on kujutatud nihke x, kiiruse V x projektsioonid ja kiirenduse a x sõltuvuse graafikud ajast.
Nagu graafikutelt näha, on maksimaalse nihke x korral võnkuva keha kiirus V null, kiirendus a ja seega ka kehale mõjuv jõud on maksimaalne ja suunatud nihkele vastupidiselt. Tasakaalusendis muutub nihe ja kiirendus nulliks ning kiirus on maksimaalne. Kiirenduse projektsioonil on alati nihkele vastupidine märk.
VIBRATSIOONILISE LIIKUMISE ENERGIA
Võnkuva keha mehaaniline koguenergia on võrdne selle kineetilise ja potentsiaalse energia summaga ning jääb hõõrdumise puudumisel konstantseks:
Sel hetkel, kui nihe saavutab maksimumi x = A, läheb kiirus ja koos sellega ka kineetiline energia nulli.
Sel juhul on koguenergia võrdne potentsiaalse energiaga:
Võnkuva keha mehaaniline koguenergia on võrdeline tema võnkumiste amplituudi ruuduga.
Kui süsteem läbib tasakaaluasendi, on nihe ja potentsiaalne energia null: x = 0, E p = 0. Seega on koguenergia võrdne kineetilise energiaga:
Võnkuva keha mehaaniline koguenergia on võrdeline selle tasakaaluasendis kiiruse ruuduga. Seega:
MATEMAATILINE PENDEL
1. Matemaatika pendel on materiaalne punkt, mis on riputatud kaaluta mitteveniva niidi külge.
Tasakaalusendis kompenseeritakse raskusjõud niidi pingega. Kui pendel pöörata kõrvale ja vabastada, siis jõud lakkab üksteist kompenseerimast ja tekib resultantjõud, mis on suunatud tasakaaluasendisse. Newtoni teine seadus:
Väikeste võnkumiste korral, kui nihe x on palju väiksem kui l, liigub materiaalne punkt peaaegu piki horisontaalset x-telge. Seejärel saame kolmnurgast MAB:
Sest sin a = x/l, siis on tekkiva jõu R projektsioon x-teljele võrdne
Miinusmärk näitab, et jõud R on alati suunatud nihke x vastassuunas.
2. Seega on matemaatilise pendli võnkumisel, aga ka vedrupendli võnkumisel, taastav jõud võrdeline nihkega ja on suunatud vastupidises suunas.
Võrdleme matemaatiliste ja vedrupendlite taastava jõu avaldisi:
On näha, et mg/l on k analoog. Vedrupendli perioodi valemis k asendamine mg/l-ga
saame matemaatilise pendli perioodi valemi:
Matemaatilise pendli väikeste võnkumiste periood ei sõltu amplituudist.
Matemaatilist pendlit kasutatakse aja mõõtmiseks ja gravitatsioonikiirenduse määramiseks antud kohas maapinnal.
Matemaatilise pendli vabavõnkumised väikeste paindenurkade juures on harmoonilised. Need tekivad tulenevalt raskusjõust ja keerme tõmbejõust, samuti koormuse inertsist. Nende jõudude resultant on taastav jõud.
Näide. Määrake gravitatsioonist tingitud kiirendus planeedil, kus 6,25 m pikkuse pendli vaba võnkeperiood on 3,14 s.
Matemaatilise pendli võnkeperiood sõltub keerme pikkusest ja raskuskiirendusest:
Võrdsuse mõlemad pooled ruudustades saame:
Vastus: raskuskiirendus on 25 m/s 2 .
Ülesanded ja testid teemal "Teema 4. "Mehaanika. Võnkumised ja lained."
- Rist- ja pikisuunalised lained. Lainepikkus
Tunnid: 3 Ülesanded: 9 Kontrolltööd: 1
- Helilained. Heli kiirus - Mehaanilised vibratsioonid ja lained. Heli 9. klass
Matemaatika pendel
Sissejuhatus
Võnkeperiood
järeldused
Kirjandus
Sissejuhatus
Nüüd pole enam võimalik kontrollida legendi selle kohta, kuidas katedraalis palves seisnud Galileo jälgis hoolikalt pronkslühtrite õõtsumist. Jälgisin ja määrasin lühtri edasi-tagasi liikumise aja. Seda aega nimetati hiljem võnkeperioodiks. Galileol käekella ei olnud ja erineva pikkusega kettidele riputatud lühtrite võnkeperioodi võrdlemiseks kasutas ta oma impulsi sagedust.
Pendleid kasutatakse kellade kiiruse reguleerimiseks, kuna igal pendlil on väga konkreetne võnkeperiood. Pendel leiab olulisi rakendusi ka geoloogilises uurimistöös. On teada, et erinevates kohtades üle maakera väärtusi g on erinevad. Need on erinevad, kuna Maa ei ole täiesti korrapärane kera. Lisaks piirkondades, kus esinevad tihedad kivimid, näiteks mõned metallimaagid, väärtus g ebanormaalselt kõrge. Täpsed mõõtmised g matemaatilise pendli abil on mõnikord võimalik selliseid ladestusi tuvastada.
Matemaatilise pendli liikumisvõrrand
Matemaatiline pendel on raskest materjalist punkt, mis liigub mööda vertikaalset ringi (tasane matemaatiline pendel) või piki sfääri (sfääriline pendel). Esimesel ligikaudsel lähenemisel võib matemaatilist pendlit pidada väikeseks koormaks, mis ripub venimatule painduvale niidile.
Vaatleme tasase matemaatilise pendli liikumist mööda raadiusega ringi l tsentreeritud punkti KOHTA(Joonis 1). Määrame punkti asukoha M(pendli) kõrvalekalde nurk j raadius OM vertikaalist. Tangensi suunamine M t positiivse nurga j suunas, koostame loomuliku liikumisvõrrandi. See võrrand on moodustatud liikumisvõrrandist
mW=F+N, (1)
Kus F on punktile mõjuv aktiivne jõud ja N- suhtlemisreaktsioon.
1. pilt
Võrrandi (1) saime Newtoni teise seaduse järgi, mis on dünaamika põhiseadus ja väidab, et materiaalse punkti impulsi ajatuletis on võrdne sellele mõjuva jõuga, s.o.
Eeldusel, et mass on konstantne, saame eelmist võrrandit esitada kujul
Kus W on punkti kiirendus.
Seega annab võrrand (1) t-teljele projektsioonis ühe naturaalvõrrandi punkti liikumiseks piki antud fikseeritud silekõverat:
Meie puhul saame projektsioonis t-teljele
,
Kus m seal on pendli mass.
Alates või , siit leiame
.
Vähendades m ja uskudes
, (3)
lõpuks saame:
,
,
,
. (4)
Vaatleme esmalt väikeste võnkumiste juhtumit. Laske pendlil algmomendil vertikaalist nurga võrra kõrvale kalduda j ja langetatakse ilma algkiiruseta. Siis on esialgsed tingimused järgmised:
juures t= 0, 
. (5)
Energiaintegraalist:
, (6)
Kus V- potentsiaalne energia ja h on integreerimiskonstant, järeldub, et nendel tingimustel on igal ajal nurk jЈj 0 . Püsiv väärtus h määratud algandmete põhjal. Oletame, et nurk j 0 on väike (j 0 Ј1); siis on ka nurk j väike ja saame ligikaudselt määrata sinj»j. Sel juhul võtab võrrand (4) kuju
. (7)
Võrrand (7) on lihtsa harmoonilise võnkumise diferentsiaalvõrrand. Selle võrrandi üldine lahendus on
, (8)
Kus A Ja B või a ja e on integratsiooni konstandid.
Siit leiame kohe perioodi ( T) matemaatilise pendli väikesed võnked (periood - ajavahemik, mille jooksul punkt naaseb sama kiirusega oma eelmisele positsioonile)
Ja 
,
sest patu periood on võrdne 2p-ga, siis w T=2p Yu
(9)
Liikumisseaduse leidmiseks algtingimustel (5) arvutame:
. (10)
Asendades väärtused (5) võrranditesse (8) ja (10), saame:
j 0 = A, 0 = w B,
need. B=0. Järelikult on väikeste võnkumiste liikumisseadus tingimustel (5) järgmine:
j = j 0 cos wt. (üksteist)
Leiame nüüd lameda matemaatilise pendli probleemi täpse lahenduse. Määrame kõigepealt liikumisvõrrandi (4) esimese integraali. Sest
,
siis (4) saab esitada kui
.
Seega korrutades võrrandi mõlemad pooled arvuga d j ja integreerides saame:
. (12)
Tähistame siin j 0 pendli maksimaalse läbipainde nurka; siis j = j 0 korral saame, kust C= w 2 cosj 0 . Selle tulemusena annab integraal (12):
, (13)
kus w on määratud võrdsusega (3).
See integraal on energiaintegraal ja selle saab otse võrrandist
, (14)
kus on töö kolimisega M 0 M aktiivne jõud F, kui me seda meie puhul arvesse võtame v 0 =0 ja (vt joonist).
Võrrandist (13) on selge, et pendli liikumisel muutub nurk j väärtuste +j 0 ja -j 0 vahel (|j|Јj 0, kuna), st. pendel sooritab võnkuva liikumise. Lepime kokku, et loeme aega maha t hetkest, mil pendel läbib vertikaali O.A. kui see liigub paremale (vt joonist). Siis saame esialgse tingimuse:
juures t=0, j = 0. (15)
Lisaks punktist liikudes A tahe ; võttes ruutjuure võrdsuse (13) mõlemalt poolelt, saame:
.
Eraldades siin muutujad, saame:
. (16)
, 
,
See
.
Asendades selle tulemuse võrrandiga (16), saame.
Matemaatilise pendli võnkeperiood sõltub keerme pikkusest: keerme pikkuse vähenedes väheneb võnkeperiood
Matemaatilise pendli puhul on mõned seadused täidetud:
1 seadus. Kui pendli sama pikkuse säilitamisel riputame üles erinevad koormused (näiteks 5 kg ja 100 kg), siis on võnkeperiood sama, kuigi koormuste massid on väga erinevad. Matemaatilise pendli periood ei sõltu koormuse massist.
2. seadus. Kui pendlit painutatakse erinevate, kuid väikeste nurkade all, siis see võngub sama perioodiga, kuigi erineva amplituudiga. Kuni pendli amplituud on väike, on võnked oma kujul sarnased harmoonilistega ja siis ei sõltu matemaatilise pendli periood võnke amplituudist. Seda omadust nimetatakse isokronismiks.
Tuletame matemaatilise pendli perioodi valemi.
Matemaatilise pendli koormusele m mõjuvad raskusjõud mg ja keerme elastsusjõud Fynp. Suuname 0X telje mööda puutujat ülespoole liikumise trajektoorile. Kirjutame selle juhtumi jaoks Newtoni teise seaduse:
Projekteerime kõik OX-teljele:
Väikeste nurkade all
Pärast asenduste ja väikeste teisenduste tegemist saame, et võrrand näeb välja selline:
Võrreldes saadud avaldist harmooniliste vibratsioonide võrrandiga, saame:
Võrrandist on näha, et vedrupendli tsükliline sagedus on kujul:
Siis on matemaatilise pendli periood võrdne:
Matemaatilise pendli periood sõltub ainult raskuskiirendusest g ja pendli pikkusest l. Saadud valemist järeldub, et pendli periood ei sõltu selle massist ja amplituudist (eeldusel, et see on piisavalt väike). Samuti tegime kindlaks kvantitatiivse seose pendli perioodi, selle pikkuse ja raskuskiirenduse vahel. Matemaatilise pendli periood on võrdeline pendli pikkuse ja raskuskiirenduse suhte ruutjuurega. Proportsionaalsustegur on 2p
On olemas ka:
Vedrupendli periood
Füüsilise pendli periood 
Väändependli periood
Ümber telje pöörleva keha konkreetse näitena vaatleme pendlite liikumist.
Füüsiline pendel on jäik keha, millel on horisontaalne pöörlemistelg, mille ümber ta sooritab oma raskuse mõjul võnkuvaid liigutusi (joonis 119).
Pendli asend on täielikult määratud selle tasakaaluasendist kõrvalekaldumise nurga järgi ja seetõttu piisab pendli liikumisseaduse määramiseks selle nurga sõltuvuse ajast leidmisest.
Vormi võrrand:
nimetatakse pendli liikumisvõrrandiks (seaduseks). See sõltub algtingimustest, st nurgast ja nurkkiirusest.
Füüsikalise pendli piirjuhtum on matemaatiline pendel, mis kujutab (nagu varem öeldud – 2. peatükk, § 3) materiaalset punkti, mis on ühendatud horisontaalteljega, mille ümber see pöörleb jäiga kaalutu varda abil (joonis 120). Materiaalse punkti kaugust pöörlemisteljest nimetatakse matemaatilise pendli pikkuseks.
Füüsikaliste ja matemaatiliste pendlite liikumisvõrrandid
Valime koordinaattelgede süsteemi nii, et xy tasand läbib keha C raskuskeskme ja langeb kokku pendli pöördetasandiga, nagu on näidatud joonisel (joonis 119). Suuname joonestustasandiga risti oleva telje enda poole. Seejärel kirjutame eelmise lõigu tulemuste põhjal füüsilise pendli liikumisvõrrandi kujul:
kus läbi tähistab pendli inertsimomenti tema pöörlemistelje suhtes ja
Seetõttu võite kirjutada:
Pendlile mõjuv aktiivne jõud on selle kaal, mille moment kaalutelje suhtes on:
kus on kaugus pendli pöörlemisteljest selle massikeskmeni C.
Järelikult jõuame järgmise füüsikalise pendli liikumisvõrrandini:
Kuna matemaatiline pendel on füüsikalise pendli erijuhtum, siis ülalkirjeldatud diferentsiaalvõrrand kehtib ka matemaatilise pendli puhul. Kui matemaatilise pendli pikkus on võrdne ja selle kaal, siis on tema inertsmoment pöörlemistelje suhtes võrdne
Kuna matemaatilise pendli raskuskeskme kaugus teljest on võrdne, saab matemaatilise pendli lõpliku liikumise diferentsiaalvõrrandi kirjutada kujul:
Füüsilise pendli vähendatud pikkus
Võrreldes võrrandeid (16.8) ja (16.9), võime järeldada, et kui füüsikalise ja matemaatilise pendli parameetrid on omavahel seotud
siis on füüsikaliste ja matemaatiliste pendlite liikumisseadused samad (samadel algtingimustel).
Viimane seos näitab pikkust, mis peab olema matemaatilisel pendlil, et liikuda samamoodi nagu vastav füüsiline pendel. Seda pikkust nimetatakse füüsilise pendli vähendatud pikkuseks. Selle kontseptsiooni tähendus seisneb selles, et füüsikalise pendli liikumise uurimist saab asendada matemaatilise pendli liikumise uurimisega, mis on lihtne mehaaniline vooluring.
Pendli liikumisvõrrandi esimene integraal
Füüsikaliste ja matemaatiliste pendlite liikumisvõrrandid on ühesuguse kujuga, seetõttu on nende liikumisvõrrandiks
Kuna ainuke jõud, mida selles võrrandis arvesse võetakse, on potentsiaalsesse jõuvälja kuuluv gravitatsioonijõud, kehtib mehaanilise energia jäävuse seadus.
Viimase saab lihtsa meetodiga, nimelt korrutame võrrandi (16.10) selleks ajaks
Selle võrrandi integreerimisel saame
Määrates algtingimustest integreerimise konstandi Cu, leiame
Lahendades viimase suhtelise võrrandi saame
See seos esindab diferentsiaalvõrrandi (16.10) esimest integraali.
Füüsikaliste ja matemaatiliste pendlite tugireaktsioonide määramine
Liikumisvõrrandite esimene integraal võimaldab määrata pendlite toetusreaktsioone. Nagu märgitud eelmises lõigus, määratakse tugireaktsioonid võrrandite (16.5) põhjal. Füüsikalise pendli korral on aktiivjõu komponendid piki koordinaattelgesid ja selle momendid telgede suhtes:
Massikeskme koordinaadid määratakse valemitega:
Seejärel on tugireaktsioonide määramise võrrandid järgmine:
Vastavalt ülesande tingimustele peavad olema teada keha tsentrifugaalsed inertsmomendid ja tugedevahelised kaugused. Nurkkiirendus b ja nurkkiirus с määratakse võrrandite (16.9) ja (16.4) abil järgmisel kujul:
Seega määravad võrrandid (16.12) täielikult ära füüsikalise pendli toetusreaktsioonide komponendid.
Võrrandid (16.12) lihtsustuvad veelgi, kui arvestada matemaatilist pendlit. Tõepoolest, kuna matemaatilise pendli materiaalne punkt asub tasapinnal, siis Lisaks, kuna üks punkt on fikseeritud, siis Järelikult muutuvad võrrandid (16.12) võrranditeks kujul:
Võrranditest (16.13) võrrandit (16.9) kasutades järeldub, et toetusreaktsioon on suunatud piki keerme I (joon. 120). Viimane on ilmne tulemus. Järelikult, projitseerides võrsete (16.13) komponendid keerme suunale, leiame võrrandi vormi toe reaktsiooni määramiseks (joon. 120):
Asendades siin väärtuse ja võttes arvesse, et kirjutame:
Viimane seos määrab matemaatilise pendli dünaamilise reaktsiooni. Pange tähele, et selle staatiline reaktsioon on
Pendli liikumise olemuse kvalitatiivne uurimine
Pendli liikumisvõrrandi esimene integraal võimaldab meil läbi viia selle liikumise olemuse kvalitatiivse uuringu. Nimelt kirjutame selle integraali (16.11) kujul:
Liikumise ajal peab radikaalne väljendus olema kas positiivne või mõnes punktis kaduma. Oletame, et algtingimused on sellised, et
Sel juhul ei kao radikaalne väljend kuhugi. Järelikult läbib pendel liikumisel kõik nurga väärtused ja nurkkiirus pendlist on sama märgiga, mille määrab algse nurkkiiruse suund või nurk kas suurendab kõiki aega või väheneb kogu aeg, st pendel hakkab pöörlema ühel küljel.
Liikumissuunad vastavad ühele või teisele märgile avaldises (16.11). Sellise liikumise teostamise vajalik tingimus on algse nurkkiiruse olemasolu, kuna ebavõrdsusest (16.14) on selge, et mis tahes esialgse läbipaindenurga korral on pendli sellist liikumist võimatu saavutada.
Olgu nüüd algtingimused sellised, et
Sel juhul on kaks sellist nurga väärtust, mille juures radikaalavaldis muutub nulliks. Olgu need vastavad võrdsusega määratletud nurkadele
Lisaks on see kuskil vahemikus 0 kuni . Lisaks on ilmne, et millal
radikaalavaldis (16.11) on positiivne ja suvaliselt väikese ületamise korral negatiivne.
Järelikult, kui pendel liigub, muutub selle nurk vahemikus:
Kui pendli nurkkiirus läheb nulli ja nurk hakkab vähenema väärtuseni . Sel juhul muutub avaldises (16.11) nurkkiiruse märk või radikaali ees olev märk. Kui pendli nurkkiirus jõuab uuesti nulli ja nurk hakkab uuesti suurenema väärtuseni
Seega teeb pendel võnkuvaid liigutusi
Pendli võnkumiste amplituud
Kui pendel võngub, nimetatakse selle vertikaalist kõrvalekaldumise maksimaalset väärtust võnke amplituudiks. See on võrdne, millega määratakse võrdsusest
Nagu viimasest valemist järeldub, sõltub võnke amplituud pendli põhiomaduste algandmetest või selle vähendatud pikkusest.
Konkreetsel juhul, kui pendel on tasakaaluasendist kõrvale kaldunud ja vabastatud ilma algkiiruseta, on see võrdne , seega ei sõltu amplituud vähendatud pikkusest.
Pendli liikumisvõrrand lõppkujul
Olgu pendli algkiirus null, siis selle liikumisvõrrandi esimene integraal on:
Selle võrrandi integreerimisel leiame
Aega arvestame pendli asendist, mis vastab siis
Teisendame integrandi valemi abil:
Siis saame:
Saadud integraali nimetatakse esimest tüüpi elliptiliseks integraaliks. Seda ei saa väljendada piiratud arvu elementaarfunktsioonide abil.
Elliptilise integraali (16.15) inversioon selle ülemise piiri suhtes kujutab pendli liikumisvõrrandit:
See on hästi uuritud Jacobi elliptiline funktsioon.
Pendli võnke periood
Aega, mis kulub pendli üheks täielikuks võnkumiseks, nimetatakse selle võnkeperioodiks. Tähistame seda T. Kuna pendli liikumise aeg asendist asendisse on sama, mis liikumise aeg sellest alates, määratakse T valemiga:
Teeme muutujate muudatuse panemise teel
Kui varieerub vahemikus 0 kuni muutub 0 väärtuseks . Edasi,
ning seetõttu
Viimast integraali nimetatakse esimest tüüpi täielikuks elliptiliseks integraaliks (selle väärtused on toodud spetsiaalsetes tabelites).
Kui integrand kaldub ühtsusele ja .
Pendli väikeste võnkumiste ligikaudsed valemid
Kui pendli võnkumiste amplituud on väike (praktiliselt ei tohiks ületada 20°), võite panna
Siis on pendli liikumise diferentsiaalvõrrand järgmine:
