Kuidas leida ruutvõrrandi juuri ilma s-ita. Ruutvõrrandid – näited lahenduste, tunnuste ja valemitega

Jätkame teema uurimist " võrrandite lahendamine" Lineaarvõrranditega oleme juba tuttavaks saanud ja liigume edasi tutvumise juurde ruutvõrrandid.

Esiteks vaatleme, mis on ruutvõrrand, kuidas seda üldkujul kirjutatakse ja anname sellega seotud definitsioonid. Pärast seda uurime näidete abil üksikasjalikult, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Järgmisena liigume täisvõrrandite lahendamise juurde, saame juurvalemi, tutvume ruutvõrrandi diskriminandiga ja kaalume lahendusi tüüpnäidetele. Lõpuks jälgime juurte ja koefitsientide vahelisi seoseid.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on ruutvõrrand? Nende tüübid

Kõigepealt peate selgelt mõistma, mis on ruutvõrrand. Seetõttu on loogiline alustada vestlust ruutvõrrandi kohta ruutvõrrandi definitsioonist, aga ka sellega seotud definitsioonidest. Pärast seda võite kaaluda ruutvõrrandite peamisi tüüpe: redutseeritud ja taandamata, samuti täielikke ja mittetäielikke võrrandeid.

Ruutvõrrandite definitsioon ja näited

Definitsioon.

Ruutvõrrand on vormi võrrand a x 2 +b x+c=0, kus x on muutuja, a, b ja c on mõned arvud ning a on nullist erinev.

Ütleme kohe, et ruutvõrrandeid nimetatakse sageli teise astme võrranditeks. See on tingitud asjaolust, et ruutvõrrand on algebraline võrrand teine ​​aste.

Esitatud definitsioon võimaldab tuua näiteid ruutvõrranditest. Seega 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 jne. Need on ruutvõrrandid.

Definitsioon.

Numbrid a, b ja c nimetatakse ruutvõrrandi koefitsiendid a·x 2 +b·x+c=0 ja koefitsienti a nimetatakse esimeseks ehk suurimaks või koefitsiendiks x 2, b on teine ​​koefitsient või x koefitsient ja c on vaba liige .

Näiteks võtame ruutvõrrandi kujul 5 x 2 −2 x −3=0, siin on juhtkoefitsient 5, teine ​​koefitsient on võrdne −2 ja vaba liige −3. Pange tähele, et kui koefitsiendid b ja/või c on negatiivsed, nagu just toodud näites, on ruutvõrrandi lühivorm 5 x 2 −2 x −3=0, mitte 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Väärib märkimist, et kui koefitsiendid a ja/või b on võrdsed 1 või −1, siis neid ruutvõrrandis tavaliselt otseselt ei esine, mis on tingitud selliste kirjutamise iseärasustest. Näiteks ruutvõrrandis y 2 −y+3=0 on juhtiv koefitsient üks ja y koefitsient on võrdne −1.

Redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid

Sõltuvalt juhtkoefitsiendi väärtusest eristatakse redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid. Anname vastavad definitsioonid.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand, mille juhtkoefitsient on 1 antud ruutvõrrand. Muidu ruutvõrrand on puutumata.

Selle definitsiooni järgi ruutvõrrandid x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 jne. – antud juhul on esimene koefitsient võrdne ühega. A 5 x 2 −x−1=0 jne. - redutseerimata ruutvõrrandid, nende juhtkoefitsiendid erinevad 1-st.

Mis tahes taandamata ruutvõrrandist, jagades mõlemad pooled juhtiva koefitsiendiga, saate minna redutseeritud koefitsiendini. See toiming on samaväärne teisendus, see tähendab, et sel viisil saadud taandatud ruutvõrrandil on samad juured, mis algsel taandamata ruutvõrrandil, või nagu sellel pole juuri.

Vaatame näidet selle kohta, kuidas toimub üleminek taandamata ruutvõrrandilt redutseeritud võrrandile.

Näide.

Võrrandist 3 x 2 +12 x−7=0 minge vastava taandatud ruutvõrrandi juurde.

Lahendus.

Peame lihtsalt jagama algse võrrandi mõlemad pooled juhtiva koefitsiendiga 3, see on nullist erinev, et saaksime selle toimingu sooritada. Meil on (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, mis on sama, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0 ja siis (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, kust . Nii saime redutseeritud ruutvõrrandi, mis on samaväärne algse võrrandiga.

Vastus:

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Ruutvõrrandi definitsioon sisaldab tingimust a≠0. See tingimus on vajalik selleks, et võrrand a x 2 + b x + c = 0 oleks ruutkeskne, kuna kui a = 0, muutub see tegelikult lineaarvõrrandiks kujul b x + c = 0.

Mis puudutab koefitsiente b ja c, siis need võivad olla võrdsed nulliga nii eraldi kui ka koos. Nendel juhtudel nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand a x 2 +b x+c=0 mittetäielik, kui vähemalt üks koefitsientidest b, c on võrdne nulliga.

Omakorda

Definitsioon.

Täielik ruutvõrrand on võrrand, milles kõik koefitsiendid erinevad nullist.

Selliseid nimesid ei pandud juhuslikult. See selgub järgmistest aruteludest.

Kui koefitsient b on null, on ruutvõrrand kujul a·x 2 +0·x+c=0 ja see on võrdne võrrandiga a·x 2 +c=0. Kui c=0, st ruutvõrrand on kujul a·x 2 +b·x+0=0, siis saab selle ümber kirjutada kujul a·x 2 +b·x=0. Ja b=0 ja c=0 korral saame ruutvõrrandi a·x 2 =0. Saadud võrrandid erinevad täisruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat. Sellest ka nende nimi – mittetäielikud ruutvõrrandid.

Seega on võrrandid x 2 +x+1=0 ja −2 x 2 −5 x+0,2=0 täielike ruutvõrrandite näited ja x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 on mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Eelmises lõigus esitatud teabest järeldub, et on olemas kolme tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid:

• a·x 2 =0, sellele vastavad koefitsiendid b=0 ja c=0;
• ax2 +c=0, kui b=0;
• ja a·x 2 +b·x=0, kui c=0.

Uurime järjekorras, kuidas lahendatakse igat tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid.

a x 2 =0

Alustame mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisega, milles koefitsiendid b ja c on võrdsed nulliga, st võrranditega kujul a x 2 =0. Võrrand a·x 2 =0 on samaväärne võrrandiga x 2 =0, mis saadakse originaalist, jagades mõlemad osad nullist erineva arvuga a. Ilmselgelt on võrrandi x 2 =0 juur null, kuna 0 2 =0. Sellel võrrandil pole muid juuri, mis on seletatav sellega, et iga nullist erineva arvu p korral kehtib ebavõrdsus p 2 >0, mis tähendab, et p≠0 korral ei saavutata kunagi võrdust p 2 =0.

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a·x 2 =0 üks juur x=0.

Näitena anname lahenduse mittetäielikule ruutvõrrandile −4 x 2 =0. See on ekvivalentne võrrandiga x 2 =0, selle ainus juur on x=0, seetõttu on algvõrrandil üks juurnull.

Lühilahenduse saab sel juhul kirjutada järgmiselt:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 + c=0

Nüüd vaatame, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid, milles koefitsient b on null ja c≠0, st võrrandid kujul a x 2 +c=0. Teame, et võrrandi ühelt küljelt teisele nihutamine vastupidise märgiga, samuti võrrandi mõlema poole jagamine nullist erineva arvuga annab samaväärse võrrandi. Seetõttu saame mittetäieliku ruutvõrrandi a x 2 +c=0 ekvivalentsed teisendused läbi viia:

• liigutage c paremale, mis annab võrrandi a x 2 =-c,
• ja jagame mõlemad pooled a-ga, saame .

Saadud võrrand võimaldab teha järeldusi selle juurte kohta. Olenevalt a ja c väärtustest võib avaldise väärtus olla negatiivne (näiteks kui a=1 ja c=2, siis ) või positiivne (näiteks kui a=-2 ja c=6, siis ), ei ole see null , kuna tingimusel c≠0. Vaatame juhtumeid eraldi.

Kui , siis võrrandil pole juuri. See väide tuleneb asjaolust, et mis tahes arvu ruut on mittenegatiivne arv. Sellest järeldub, et kui , siis suvalise arvu p puhul ei saa võrdsus olla tõene.

Kui , siis võrrandi juurtega on olukord erinev. Sel juhul, kui me mäletame umbes , siis ilmneb kohe võrrandi juur, see on arv, kuna . Lihtne on arvata, et arv on ka võrrandi juur, tõepoolest. Sellel võrrandil pole muid juuri, mida saab näidata näiteks vastuoluga. Teeme seda.

Tähistame äsja väljakuulutatud võrrandi juurteks x 1 ja −x 1 . Oletame, et võrrandil on veel üks juur x 2, mis erineb näidatud juurtest x 1 ja −x 1. On teada, et selle juurte asendamine võrrandiga x asemel muudab võrrandi õigeks arvuliseks võrrandiks. x 1 ja −x 1 jaoks on meil , ja x 2 jaoks on meil . Arvvõrduste omadused võimaldavad teostada õigete arvuliste võrratuste terminihaaval lahutamist, seega võrduse vastavate osade lahutamine annab x 1 2 −x 2 2 =0. Arvudega tehte omadused võimaldavad meil saadud võrrandi ümber kirjutada kujul (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Teame, et kahe arvu korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks neist on võrdne nulliga. Seetõttu järeldub saadud võrrandist, et x 1 −x 2 =0 ja/või x 1 +x 2 =0, mis on sama, x 2 =x 1 ja/või x 2 = −x 1. Nii jõudsime vastuoluni, kuna alguses ütlesime, et võrrandi x 2 juur erineb x 1 ja −x 1 omast. See tõestab, et võrrandil pole muid juuri peale ja .

Teeme selles lõigus toodud teabe kokkuvõtte. Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 +c=0 on samaväärne võrrandiga, mis

• tal pole juuri, kui
• on kaks juurt ja kui .

Vaatleme näiteid mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisest kujul a·x 2 +c=0.

Alustame ruutvõrrandiga 9 x 2 +7=0. Pärast vaba liikme liigutamist võrrandi paremale poolele saab see kujul 9 x 2 =−7. Jagades saadud võrrandi mõlemad pooled 9-ga, jõuame . Kuna paremal pool on negatiivne arv, pole sellel võrrandil juuri, seega pole algsel mittetäielikul ruutvõrrandil 9 x 2 +7 = 0 juuri.

Lahendame veel ühe mittetäieliku ruutvõrrandi −x 2 +9=0. Nihutame üheksa paremale poole: −x 2 =−9. Nüüd jagame mõlemad pooled −1-ga, saame x 2 =9. Paremal pool on positiivne arv, millest järeldame, et või . Seejärel kirjutame üles lõpliku vastuse: mittetäielikul ruutvõrrandil −x 2 +9=0 on kaks juurt x=3 või x=−3.

a x 2 +b x=0

Jääb üle lahendada viimast tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid c=0 korral. Mittetäielikud ruutvõrrandid kujul a x 2 + b x = 0 võimaldavad lahendada faktoriseerimise meetod. Ilmselgelt saame võrrandi vasakul küljel asudes, mille jaoks piisab, kui võtta sulgudest välja ühistegur x. See võimaldab meil liikuda algselt mittetäielikult ruutvõrrandilt ekvivalentsele võrrandile kujul x·(a·x+b)=0. Ja see võrrand on ekvivalentne kahe võrrandi hulgaga x=0 ja a·x+b=0, millest viimane on lineaarne ja mille juur on x=-b/a.

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a·x 2 +b·x=0 kaks juurt x=0 ja x=−b/a.

Materjali koondamiseks analüüsime konkreetse näite lahendust.

Näide.

Lahenda võrrand.

Lahendus.

Võttes x välja sulgudest, saadakse võrrand . See on võrdne kahe võrrandiga x=0 ja . Lahendame saadud lineaarvõrrandi: , ja jagades segaarvu hariliku murruga, leiame . Seetõttu on algvõrrandi juurteks x=0 ja .

Pärast vajaliku praktika omandamist võib selliste võrrandite lahendused lühidalt kirjutada:

Vastus:

x=0 , .

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahendamiseks on juurvalem. Paneme selle kirja ruutvõrrandi juurte valem: , Kus D=b 2 −4 a c- nn ruutvõrrandi diskriminant. Kirje tähendab sisuliselt seda, et .

Kasulik on teada, kuidas juurvalem tuletati ja kuidas seda ruutvõrrandite juurte leidmisel kasutatakse. Mõtleme selle välja.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Peame lahendama ruutvõrrandi a·x 2 +b·x+c=0. Teeme mõned samaväärsed teisendused:

• Võime jagada selle võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga a, mille tulemuseks on järgmine ruutvõrrand.
• Nüüd vali terve ruut selle vasakul küljel: . Pärast seda võtab võrrand kuju .
• Selles etapis on võimalik kaks viimast terminit vastupidise märgiga paremale poole üle kanda, meil on .
• Ja teisendame ka paremal küljel olevat väljendit: .

Selle tulemusena jõuame võrrandini, mis on ekvivalentne algse ruutvõrrandiga a·x 2 +b·x+c=0.

Oleme juba eelmistes lõikudes, kui uurisime, lahendanud vormilt sarnaseid võrrandeid. See võimaldab meil teha võrrandi juurte kohta järgmised järeldused:

• kui , siis võrrandil pole reaalseid lahendeid;
• kui , siis võrrandil on vorm , seega, , millest on nähtav selle ainus juur;
• kui , siis või , mis on sama kui või , see tähendab, et võrrandil on kaks juurt.

Seega sõltub võrrandi juurte ja seega ka algse ruutvõrrandi olemasolu või puudumine parempoolse avaldise märgist. Selle avaldise märgi määrab omakorda lugeja märk, kuna nimetaja 4·a 2 on alati positiivne, see tähendab avaldise b 2 −4·a·c märgiga. Seda avaldist kutsuti b 2 −4 a c ruutvõrrandi diskriminant ja määratud kirjaga D. Siit on diskrimineerija olemus selge - selle väärtuse ja märgi põhjal järeldavad nad, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui on, siis milline on nende arv - üks või kaks.

Tuleme tagasi võrrandi juurde ja kirjutame selle ümber, kasutades diskrimineerivat tähistust: . Ja me teeme järeldused:

• kui D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• kui D=0, siis sellel võrrandil on üks juur;
• lõpuks, kui D>0, siis võrrandil on kaks juurt või, mille saab ümber kirjutada kujule või ning peale murdude laiendamist ja ühisnimetajasse toomist saame.

Nii tuletasime ruutvõrrandi juurte valemid, need näevad välja sellised, kus diskriminant D arvutatakse valemiga D=b 2 −4·a·c.

Nende abiga saate positiivse diskriminandi abil arvutada ruutvõrrandi mõlemad reaaljuured. Kui diskriminant on võrdne nulliga, annavad mõlemad valemid juure sama väärtuse, mis vastab ruutvõrrandi ainulaadsele lahendile. Ja negatiivse diskriminandi korral, kui proovite kasutada ruutvõrrandi juurte valemit, seisame silmitsi negatiivse arvu ruutjuure eraldamisega, mis viib meid kooli õppekava ulatusest välja. Negatiivse diskriminandi korral pole ruutvõrrandil tegelikke juuri, kuid sellel on paar kompleksne konjugaat juured, mida saab leida samade juurvalemite abil, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Praktikas saab ruutvõrrandite lahendamisel nende väärtuste arvutamiseks kohe kasutada juurvalemit. Kuid see on rohkem seotud keerukate juurte leidmisega.

Koolialgebra kursusel ei räägita aga tavaliselt ruutvõrrandi keerulistest, vaid reaalsetest juurtest. Sel juhul on soovitatav enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist kõigepealt leida diskriminant, veenduda, et see pole negatiivne (muidu võime järeldada, et võrrandil pole reaalseid juuri), ja alles siis arvutage juurte väärtused.

Ülaltoodud põhjendus lubab meil kirjutada ruutvõrrandi lahendamise algoritm. Ruutvõrrandi a x 2 +b x+c=0 lahendamiseks peate:

• kasutades diskriminantvalemit D=b 2 −4·a·c, arvuta selle väärtus;
• järeldada, et ruutvõrrandil pole reaalseid juuri, kui diskriminant on negatiivne;
• arvutage valemi abil võrrandi ainus juur, kui D=0;
• leida ruutvõrrandi kaks reaaljuurt juurvalemi abil, kui diskriminant on positiivne.

Siinkohal märgime lihtsalt, et kui diskriminant on võrdne nulliga, võite kasutada ka valemit; see annab sama väärtuse kui .

Võite liikuda näidete juurde ruutvõrrandite lahendamise algoritmi kasutamise kohta.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Vaatleme kolme ruutvõrrandi lahendusi positiivse, negatiivse ja nulldiskriminandiga. Olles käsitlenud nende lahendust, on analoogia põhjal võimalik lahendada mis tahes muu ruutvõrrand. Alustagem.

Näide.

Leia võrrandi x 2 +2·x−6=0 juured.

Lahendus.

Sel juhul on ruutvõrrandi koefitsiendid järgmised: a=1, b=2 ja c=−6. Algoritmi järgi tuleb kõigepealt välja arvutada diskriminant, selleks asendame diskriminandi valemiga näidatud a, b ja c, saame D=b 2 –4·a·c=2 2–4·1·(–6)=4+24=28. Kuna 28>0, see tähendab, et diskriminant on suurem kui null, on ruutvõrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need juurvalemi abil, saame , siin saate tekkivaid avaldisi tehes lihtsustada kordaja liigutamine juurmärgist kaugemale millele järgneb fraktsiooni vähendamine:

Vastus:

Liigume järgmise tüüpilise näite juurde.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand −4 x 2 +28 x−49=0 .

Lahendus.

Alustame diskrimineerija leidmisega: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Seetõttu on sellel ruutvõrrandil üks juur, mille leiame kui , see tähendab,

Vastus:

x = 3,5.

Jääb üle kaaluda ruutvõrrandite lahendamist negatiivse diskriminandiga.

Näide.

Lahendage võrrand 5·y 2 +6·y+2=0.

Lahendus.

Siin on ruutvõrrandi koefitsiendid: a=5, b=6 ja c=2. Asendame need väärtused diskrimineeriva valemiga, meil on D=b 2 –4·a·c=6 2 –4·5·2=36–40=–4. Diskriminant on negatiivne, seetõttu pole sellel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Kui teil on vaja näidata keerulisi juuri, siis rakendame ruutvõrrandi juurte jaoks tuntud valemit ja teostame tehted kompleksarvudega:

Vastus:

pärisjuuri pole, keerulised juured on: .

Märgime veel kord, et kui ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne, siis koolis kirjutatakse tavaliselt kohe kirja vastus, milles märgitakse, et pärisjuuri pole ja keerulisi juuri ei leita.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Ruutvõrrandi juurte valem, kus D=b 2 −4·a·c võimaldab saada kompaktsema kujuga valemi, mis võimaldab lahendada ruutvõrrandi x paariskoefitsiendiga (või lihtsalt koefitsient on näiteks kujul 2·n või 14· ln5=2·7·ln5). Toome ta välja.

Oletame, et peame lahendama ruutvõrrandi kujul a x 2 +2 n x+c=0. Leiame selle juured meile teadaoleva valemi abil. Selleks arvutame diskriminandi D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), ja seejärel kasutame juurvalemit:

Tähistame avaldist n 2 −a c kui D 1 (mõnikord on see tähistatud D "). Siis saab teise koefitsiendiga 2 n vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem kuju , kus D 1 =n 2 −a·c.

On lihtne näha, et D=4·D 1 või D 1 =D/4. Teisisõnu, D 1 on diskriminandi neljas osa. On selge, et D 1 märk on sama, mis D märk. See tähendab, et märk D 1 näitab ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumist.

Seega on teise koefitsiendiga 2·n ruutvõrrandi lahendamiseks vaja

• Arvutage D 1 =n 2 −a·c ;
• Kui D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Kui D 1 =0, siis arvutage valemi abil võrrandi ainus juur;
• Kui D 1 >0, siis leia valemi abil kaks reaaljuurt.

Kaaluge näite lahendamist selles lõigus saadud juurvalemi abil.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand 5 x 2 −6 x −32=0 .

Lahendus.

Selle võrrandi teist kordajat saab esitada kui 2·(−3) . See tähendab, et saate algse ruutvõrrandi ümber kirjutada kujul 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, siin a=5, n=−3 ja c=−32 ning arvutada välja ruutvõrrandi neljanda osa. diskrimineeriv: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kuna selle väärtus on positiivne, on võrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need vastava juurvalemi abil:

Pange tähele, et ruutvõrrandi juurte jaoks oli võimalik kasutada tavalist valemit, kuid sel juhul tuleks teha rohkem arvutustööd.

Vastus:

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord, enne ruutvõrrandi juurte arvutamist valemite abil, ei tee paha küsida: "Kas selle võrrandi vormi on võimalik lihtsustada?" Nõus, et arvutustes on ruutvõrrandi 11 x 2 −4 x−6=0 lahendamine lihtsam kui 1100 x 2 −400 x−600=0.

Tavaliselt saavutatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine, korrutades või jagades mõlemad pooled teatud arvuga. Näiteks eelmises lõigus oli võimalik lihtsustada võrrandit 1100 x 2 −400 x −600=0, jagades mõlemad pooled 100-ga.

Sarnane teisendus viiakse läbi ruutvõrranditega, mille koefitsiendid ei ole . Sel juhul jagatakse võrrandi mõlemad pooled tavaliselt selle koefitsientide absoluutväärtustega. Näiteks võtame ruutvõrrandi 12 x 2 −42 x+48=0. selle koefitsientide absoluutväärtused: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Jagades algse ruutvõrrandi mõlemad pooled 6-ga, saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 x 2 −7 x+8=0.

Ja ruutvõrrandi mõlema poole korrutamine toimub tavaliselt murdosakoefitsientidest vabanemiseks. Sel juhul korrutatakse selle koefitsientide nimetajatega. Näiteks kui ruutvõrrandi mõlemad pooled korrutada LCM(6, 3, 1)=6, siis saab see lihtsamal kujul x 2 +4·x−18=0.

Selle punkti kokkuvõtteks märgime, et peaaegu alati vabanevad nad ruutvõrrandi kõrgeima koefitsiendi miinusest, muutes kõigi liikmete märke, mis vastab mõlema poole korrutamisele (või jagamisele) -1-ga. Näiteks tavaliselt liigutakse ruutvõrrandilt −2 x 2 −3 x+7=0 lahendusele 2 x 2 +3 x−7=0 .

Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vaheline seos

Ruutvõrrandi juurte valem väljendab võrrandi juuri oma kordajate kaudu. Juurevalemi põhjal saate juurte ja koefitsientide vahel muid seoseid.

Vieta teoreemi kõige tuntumad ja rakendatavad valemid on kujul ja . Eelkõige on antud ruutvõrrandi puhul juurte summa võrdne teise vastasmärgiga koefitsiendiga ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Näiteks ruutvõrrandi 3 x 2 −7 x + 22 = 0 kuju vaadates võime kohe öelda, et selle juurte summa võrdub 7/3 ja juurte korrutis on võrdne 22-ga. /3.

Kasutades juba kirjutatud valemeid, saate ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel mitmeid muid seoseid. Näiteks saab ruutvõrrandi juurte ruutude summat väljendada selle kordajate kaudu: .

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. 2 tunniga.1.osa.Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

On teada, et see on võrdsuse ax 2 + bx + c = o konkreetne versioon, kus a, b ja c on tundmatu x reaalkoefitsiendid ning kus a ≠ o ning b ja c on nullid - samaaegselt või eraldi. Näiteks c = o, b ≠ o või vastupidi. Peaaegu mäletasime ruutvõrrandi määratlust.

Teise astme trinoom on null. Selle esimene koefitsient a ≠ o, b ja c võivad võtta mis tahes väärtused. Muutuja x väärtus on siis, kui asendamine muudab selle õigeks arvuliseks võrdsuseks. Keskendume reaaljuurtele, kuigi võrrandid võivad olla ka lahendid.Täielikuks on tavaks nimetada võrrandit, milles ükski koefitsient pole võrdne o-ga, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Lahendame näite. 2x 2 -9x-5 = oh, leiame
D = 81 + 40 = 121,
D on positiivne, mis tähendab, et on olemas juured, x 1 = (9+√121):4 = 5 ja teine ​​x 2 = (9-√121):4 = -o,5. Kontrollimine aitab veenduda, et need on õiged.

Siin on ruutvõrrandi samm-sammuline lahendus

Diskriminandi abil saate lahendada mis tahes võrrandi, mille vasakul küljel on teada ruuttrinoom ≠ o jaoks. Meie näites. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Mõelgem, millised on teise astme mittetäielikud võrrandid

1. ax 2 +in = o. Vaba liige, koefitsient c x 0 juures on siin võrdne nulliga, ühikutes ≠ o.
   Kuidas lahendada seda tüüpi mittetäielikku ruutvõrrandit? Võtame x sulgudest välja. Tuletame meelde, kui kahe teguri korrutis on võrdne nulliga.
   x(ax+b) = o, see võib olla siis, kui x = o või kui ax+b = o.
   Olles lahendanud 2., saame x = -в/а.
   Selle tulemusena on meil juured x 1 = 0, arvutuste kohaselt x 2 = -b/a.
2. Nüüd on x koefitsient võrdne o-ga ja c ei ole võrdne (≠) o-ga.
   x 2 +c = o. Liigume c võrrandist paremale poole, saame x 2 = -с. Sellel võrrandil on reaaljuured ainult siis, kui -c on positiivne arv (c ‹ o),
   x 1 on siis võrdne √(-c), x 2 on -√(-c). Vastasel juhul pole võrrandil üldse juuri.
3. Viimane variant: b = c = o, see tähendab, ax 2 = o. Loomulikult on sellisel lihtsal võrrandil üks juur, x = o.

Erijuhtumid

Vaatasime, kuidas lahendada mittetäielikku ruutvõrrandit, ja võtame nüüd kõik tüübid.

• Täielikus ruutvõrrandis on x-i teine ​​koefitsient paarisarv.
  Olgu k = o.5b. Meil on valemid diskriminandi ja juurte arvutamiseks.
  D/4 = k 2 - ac, juured arvutatakse x 1,2 = (-k±√(D/4))/a D › o jaoks.
  x = -k/a, kui D = o.
  D ‹ o juured puuduvad.
• Seal on antud ruutvõrrandid, kui x ruudu koefitsient on võrdne 1-ga, kirjutatakse need tavaliselt x 2 + рх + q = o. Nende kohta kehtivad kõik ülaltoodud valemid, kuid arvutused on mõnevõrra lihtsamad.
  Näide, x 2 -4x-9 = 0. Arvutage D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Lisaks on seda lihtne rakendada ka etteantutele. See ütleb, et võrrandi juurte summa on võrdne -p, teine ​​koefitsient miinusega (tähendab vastupidist märki) ja nende samade juurte korrutis olema võrdne q-ga, vaba liige. Vaadake, kui lihtne oleks selle võrrandi juuri verbaalselt määrata. Redutseerimata koefitsientide puhul (kõikide koefitsientide puhul, mis ei ole võrdsed nulliga) on see teoreem rakendatav järgmiselt: summa x 1 + x 2 võrdub -b/a, korrutis x 1 · x 2 on võrdne c/a.

Vabaliikme c ja esimese koefitsiendi a summa on võrdne koefitsiendiga b. Selles olukorras on võrrandil vähemalt üks juur (lihtne tõestada), esimene on tingimata võrdne -1 ja teine ​​-c/a, kui see on olemas. Saate ise kontrollida, kuidas mittetäielikku ruutvõrrandit lahendada. Sama lihtne kui pirukas. Koefitsiendid võivad olla üksteisega teatud suhetes

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Kõigi koefitsientide summa on võrdne o-ga.
  Sellise võrrandi juurteks on 1 ja c/a. Näide, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Erinevate teise astme võrrandite lahendamiseks on veel mitmeid viise. Siin on näiteks meetod täieliku ruudu eraldamiseks antud polünoomist. Graafilisi meetodeid on mitu. Kui te selliste näidetega sageli tegelete, õpite neid nagu seemneid “klõpsama”, sest kõik meetodid tulevad automaatselt meelde.

Selle matemaatikaprogrammiga saate ruutvõrrandi lahendamine.

Programm mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid kuvab ka lahendusprotsessi kahel viisil:
- diskriminandi kasutamine
- kasutades Vieta teoreemi (võimalusel).

Pealegi kuvatakse vastus täpse, mitte ligikaudsena.
Näiteks võrrandi \(81x^2-16x-1=0\) puhul kuvatakse vastus järgmisel kujul:

See programm võib olla kasulik üldhariduskoolide gümnaasiumiõpilastele katseteks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit ning vanematele paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamise kontrollimisel. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt oma matemaatika või algebra kodutöö võimalikult kiiresti valmis saada? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjalike lahendustega.

Nii saate ise läbi viia koolitusi ja/või nooremate vendade või õdede koolitust, samal ajal tõuseb haridustase probleemide lahendamise alal.

Kui te ei ole kursis ruutpolünoomi sisestamise reeglitega, soovitame teil nendega tutvuda.

Ruutpolünoomi sisestamise reeglid

Muutujana võib toimida mis tahes ladina täht.
Näiteks: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) jne.

Arve saab sisestada täis- või murdarvuna.
Veelgi enam, murdarvu saab sisestada mitte ainult kümnendkoha, vaid ka tavalise murru kujul.

Kümnendmurdude sisestamise reeglid.
Kümnendmurdudes saab murdosa tervikosast eraldada kas punkti või komaga.
Näiteks võite sisestada kümnendmurrud järgmiselt: 2,5x - 3,5x^2

Harilike murdude sisestamise reeglid.
Murru lugeja, nimetaja ja täisarvuna saab toimida ainult täisarv.

Nimetaja ei saa olla negatiivne.

Numbrimurru sisestamisel eraldatakse lugeja nimetajast jagamismärgiga: /
Kogu osa eraldatakse murdosast ampersandi märgiga: &
Sisend: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Tulemus: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Väljendi sisestamisel võite kasutada sulgusid. Sel juhul ruutvõrrandi lahendamisel esmalt lihtsustatakse sisestatud avaldist.
Näiteks: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Avastati, et mõnda selle probleemi lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.

Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on pandud järjekorda.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...

Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saate kirjutada sellest tagasiside vormi.
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.

Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:

Natuke teooriat.

Ruutvõrrand ja selle juured. Mittetäielikud ruutvõrrandid

Iga võrrand
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
paistab nagu
\(ax^2+bx+c=0, \)
kus x on muutuja, a, b ja c on arvud.
Esimeses võrrandis a = -1, b = 6 ja c = 1,4, teises a = 8, b = -7 ja c = 0, kolmandas a = 1, b = 0 ja c = 4/9. Selliseid võrrandeid nimetatakse ruutvõrrandid.

Definitsioon.
Ruutvõrrand nimetatakse võrrandiks kujul ax 2 +bx+c=0, kus x on muutuja, a, b ja c on mõned arvud ja \(a \neq 0 \).

Arvud a, b ja c on ruutvõrrandi koefitsiendid. Arvu a nimetatakse esimeseks koefitsiendiks, arvu b on teiseks koefitsiendiks ja arvu c on vaba liige.

Igas võrrandis kujul ax 2 +bx+c=0, kus \(a\neq 0\) on muutuja x suurim aste ruut. Sellest ka nimi: ruutvõrrand.

Pange tähele, et ruutvõrrandit nimetatakse ka teise astme võrrandiks, kuna selle vasak pool on teise astme polünoom.

Nimetatakse ruutvõrrand, milles koefitsient x 2 on võrdne 1-ga antud ruutvõrrand. Näiteks antud ruutvõrrandid on võrrandid
\(x^2-11x+30=0, \neli x^2-6x=0, \neli x^2-8=0 \)

Kui ruutvõrrandis ax 2 +bx+c=0 on vähemalt üks koefitsientidest b või c võrdne nulliga, siis nimetatakse sellist võrrandit. mittetäielik ruutvõrrand. Seega võrrandid -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 on mittetäielikud ruutvõrrandid. Esimeses neist b=0, teises c=0, kolmandas b=0 ja c=0.

Mittetäielikke ruutvõrrandeid on kolme tüüpi:
1) ax 2 +c=0, kus \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kus \(b \neq 0 \);
3) kirves 2 =0.

Vaatleme igat tüüpi võrrandite lahendamist.

Mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 +c=0 lahendamiseks \(c \neq 0 \) nihutage selle vaba liiget paremale ja jagage võrrandi mõlemad pooled a-ga:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Paremnool x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Kuna \(c \neq 0 \), siis \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Kui \(-\frac(c)(a)>0\), siis on võrrandil kaks juurt.

Kui \(-\frac(c)(a) Lahendamaks mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) koefitsiendiga selle vasak pool ja saada võrrand
\(x(ax+b)=0 \Paremnool \left\( \begin(massiivi)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(massiivi) \right. \Rightarrow \left\( \begin (massiivi)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(massiivi) \right. \)

See tähendab, et mittetäielikul ruutvõrrandil kujul ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) korral on alati kaks juurt.

Mittetäielik ruutvõrrand kujul ax 2 =0 on samaväärne võrrandiga x 2 =0 ja seetõttu on sellel üks juur 0.

Ruutvõrrandi juurte valem

Vaatleme nüüd, kuidas lahendada ruutvõrrandid, milles nii tundmatute koefitsiendid kui ka vaba liige on nullist erinevad.

Lahendame ruutvõrrandi üldkujul ja saame selle tulemusena juurte valemi. Seda valemit saab seejärel kasutada mis tahes ruutvõrrandi lahendamiseks.

Lahenda ruutvõrrand ax 2 +bx+c=0

Jagades mõlemad pooled a-ga, saame ekvivalentse taandatud ruutvõrrandi
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Teisendame selle võrrandi, valides binoomi ruudu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \paremnool \)

Radikaalset väljendit nimetatakse ruutvõrrandi diskriminant ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” ladina keeles – diskrimineerija). Seda tähistatakse tähega D, st.
\(D = b^2-4ac\)

Nüüd, kasutades diskrimineerivat tähistust, kirjutame ruutvõrrandi juurte valemi ümber:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kus \(D= b^2-4ac \)

On ilmne, et:
1) Kui D>0, siis ruutvõrrandil on kaks juurt.
2) Kui D=0, siis ruutvõrrandil on üks juur \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Kui D Seega, olenevalt diskriminandi väärtusest võib ruutvõrrandil olla kaks juurt (D > 0 puhul), üks juur (D = 0 korral) või juurteta (D puhul Ruutvõrrandi lahendamisel selle abil valemiga, on soovitatav teha järgmine viis:
1) arvutada diskriminant ja võrrelda seda nulliga;
2) kui diskriminant on positiivne või võrdne nulliga, siis kasuta juurvalemit, kui diskriminant on negatiivne, siis pane kirja, et juuri pole.

Vieta teoreem

Antud ruutvõrrandis ax 2 -7x+10=0 on juured 2 ja 5. Juurte summa on 7 ja korrutis on 10. Näeme, et juurte summa võrdub teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidisega märk ja juurte korrutis võrdub vaba liikmega. See omadus on igal redutseeritud ruutvõrrandil, millel on juured.

Ülaltoodud ruutvõrrandi juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega.

Need. Vieta teoreem ütleb, et taandatud ruutvõrrandi x 2 +px+q=0 juurtel x 1 ja x 2 on omadus:
\(\left\( \begin(massiivi)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(massiivi) \right. \)

Jätkates teemat "Võrrandite lahendamine", tutvustab selle artikli materjal teile ruutvõrrandeid.

Vaatame kõike üksikasjalikult: ruutvõrrandi olemust ja tähistust, defineerime kaasnevad terminid, analüüsime mittetäielike ja täielike võrrandite lahendamise skeemi, tutvume juurte ja diskriminandi valemiga, loome seosed juurte ja kordajate vahel, ja loomulikult anname praktilistele näidetele visuaalse lahenduse.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ruutvõrrand, selle liigid

Ruutvõrrand on võrrand, mis on kirjutatud kujul a x 2 + b x + c = 0, Kus x– muutuja, a , b ja c– mõned numbrid, samas a ei ole null.

Sageli nimetatakse ruutvõrrandit ka teise astme võrranditeks, kuna sisuliselt on ruutvõrrand teise astme algebraline võrrand.

Toome antud definitsiooni illustreerimiseks näite: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 jne. Need on ruutvõrrandid.

2. definitsioon

Numbrid a, b ja c on ruutvõrrandi koefitsiendid a x 2 + b x + c = 0, samas koefitsient a nimetatakse esimeseks ehk vanemaks või koefitsiendiks x 2, b - teiseks koefitsiendiks või koefitsiendiks at x, A c kutsuti vabaliikmeks.

Näiteks ruutvõrrandis 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 juhtiv koefitsient on 6, teine ​​koefitsient on − 2 , ja vaba termin on võrdne − 11 . Pöörame tähelepanu asjaolule, et kui koefitsiendid b ja/või c on eitavad, siis kasutatakse vormi lühivormi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, kuid mitte 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Täpsustame ka seda aspekti: kui koefitsiendid a ja/või b võrdne 1 või − 1 , siis ei pruugi nad ruutvõrrandi kirjutamises selgesõnaliselt osaleda, mis on seletatav näidatud arvkordajate kirjutamise iseärasustega. Näiteks ruutvõrrandis y 2 – y + 7 = 0 juhtiv koefitsient on 1 ja teine ​​koefitsient on − 1 .

Redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid

Esimese koefitsiendi väärtuse alusel jagatakse ruutvõrrandid taandatud ja taandamata.

3. definitsioon

Vähendatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, kus juhtiv koefitsient on 1. Juhtkoefitsiendi muude väärtuste puhul on ruutvõrrand redutseerimata.

Toome näiteid: ruutvõrrandid x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 on taandatud, millest igaühe juhtkoefitsient on 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- taandamata ruutvõrrand, kus esimene koefitsient erineb 1 .

Iga taandamata ruutvõrrandi saab teisendada taandatud võrrandiks, jagades mõlemad pooled esimese koefitsiendiga (ekvivalentne teisendus). Teisendatud võrrandil on samad juured kui antud taandamata võrrandil või puuduvad juured üldse.

Konkreetse näite kaalumine võimaldab meil selgelt näidata üleminekut taandamata ruutvõrrandilt redutseeritud võrrandile.

Näide 1

Arvestades võrrandit 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Algne võrrand on vaja teisendada redutseeritud kujule.

Lahendus

Ülaltoodud skeemi kohaselt jagame algse võrrandi mõlemad pooled juhtkoefitsiendiga 6. Siis saame: (6 x 2 + 18 x – 7) : 3 = 0:3, ja see on sama, mis: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ja edasi: (6:6) x 2 + (18:6) x – 7:6 = 0. Siit: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Seega saadakse võrrand, mis on ekvivalentne antud võrrandiga.

Vastus: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Pöördume ruutvõrrandi definitsiooni juurde. Selles täpsustasime seda a ≠ 0. Võrrandi jaoks on vajalik sarnane tingimus a x 2 + b x + c = 0 oli täpselt kandiline, kuna kl a = 0 see muundub sisuliselt lineaarvõrrandiks b x + c = 0.

Juhul kui koefitsiendid b Ja c on võrdsed nulliga (mis on võimalik nii eraldi kui ka koos), nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

4. määratlus

Mittetäielik ruutvõrrand- selline ruutvõrrand a x 2 + b x + c = 0, kus vähemalt üks koefitsientidest b Ja c(või mõlemad) on null.

Täielik ruutvõrrand– ruutvõrrand, milles kõik arvulised koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Arutleme, miks ruutvõrrandite tüüpidele on antud just need nimed.

Kui b = 0, saab ruutvõrrand kuju a x 2 + 0 x + c = 0, mis on sama, mis a x 2 + c = 0. Kell c = 0 ruutvõrrand on kirjutatud kujul a x 2 + b x + 0 = 0, mis on samaväärne a x 2 + b x = 0. Kell b = 0 Ja c = 0 võrrand võtab kuju a x 2 = 0. Saadud võrrandid erinevad täielikust ruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat. Tegelikult andis see asjaolu seda tüüpi võrrandile nime – mittetäielik.

Näiteks x 2 + 3 x + 4 = 0 ja −7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 on täielikud ruutvõrrandid; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Ülaltoodud määratlus võimaldab eristada järgmist tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid:

• a x 2 = 0, vastab see võrrand koefitsientidele b = 0 ja c = 0;
• a · x 2 + c = 0, kui b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0, kui c = 0.

Vaatleme järjestikku igat tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendust.

Võrrandi lahend a x 2 =0

Nagu eespool mainitud, vastab see võrrand koefitsientidele b Ja c, võrdne nulliga. Võrrand a x 2 = 0 saab teisendada samaväärseks võrrandiks x 2 = 0, mille saame, kui jagame algse võrrandi mõlemad pooled arvuga a, ei ole võrdne nulliga. Ilmselge tõsiasi on see, et võrrandi juur x 2 = 0 see on null, sest 0 2 = 0 . Sellel võrrandil pole muid juuri, mida saab seletada astme omadustega: mis tahes arvu korral p, ei ole võrdne nulliga, on ebavõrdsus tõsi p 2 > 0, millest järeldub, et millal p ≠ 0 võrdsus p 2 = 0 ei saavutata kunagi.

Definitsioon 5

Seega on mittetäieliku ruutvõrrandi jaoks a x 2 = 0 unikaalne juur x = 0.

Näide 2

Näiteks lahendame mittetäieliku ruutvõrrandi − 3 x 2 = 0. See on võrdne võrrandiga x 2 = 0, selle ainus juur on x = 0, siis on esialgsel võrrandil üks juur - null.

Lühidalt on lahendus kirjutatud järgmiselt:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Võrrandi a x 2 + c = 0 lahendamine

Järgmine on mittetäielike ruutvõrrandite lahendus, kus b = 0, c ≠ 0, st võrrandid kujul a x 2 + c = 0. Teisendame selle võrrandi, teisaldades ühe võrrandi ühelt poolelt teisele, muutes märgi vastupidiseks ja jagades võrrandi mõlemad pooled arvuga, mis ei ole võrdne nulliga:

• üleandmine c paremale poole, mis annab võrrandi a x 2 = − c;
• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, saame tulemuseks x = - c a .

Meie teisendused on samaväärsed, seega on ka saadud võrrand samaväärne algse võrrandiga ja see asjaolu võimaldab teha järeldusi võrrandi juurte kohta. Alates sellest, millised on väärtused a Ja c avaldise väärtus - c a sõltub: sellel võib olla miinusmärk (näiteks kui a = 1 Ja c = 2, siis - c a = - 2 1 = - 2) või plussmärki (näiteks kui a = -2 Ja c = 6, siis - c a = - 6 - 2 = 3); see ei ole null, sest c ≠ 0. Peatugem üksikasjalikumalt olukordadel, kui - c a< 0 и - c a > 0 .

Juhul kui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа lk võrdus p 2 = - c a ei saa olla tõene.

Kõik on teisiti, kui - c a > 0: jätke ruutjuur meelde ja selgub, et võrrandi x 2 = - c a juur on arv - c a, kuna - c a 2 = - c a. Pole raske mõista, et arv - - c a on ühtlasi ka võrrandi x 2 = - c a juur: tõepoolest, - - c a 2 = - c a.

Võrrandil pole muid juuri. Seda saame demonstreerida vastuolu meetodi abil. Alustuseks määratleme ülaltoodud juurte tähised kui x 1 Ja − x 1. Oletame, et võrrandil x 2 = - c a on ka juur x 2, mis erineb juurtest x 1 Ja − x 1. Me teame seda võrrandisse asendades x selle juurtest teisendame võrrandi õiglaseks arvuliseks võrduseks.

Sest x 1 Ja − x 1 kirjutame: x 1 2 = - c a , ja jaoks x 2- x 2 2 = - c a . Arvuliste võrduste omaduste põhjal lahutame ühe õige võrdusliikme teisest, mis annab meile: x 1 2 − x 2 2 = 0. Viimase võrdsuse ümberkirjutamiseks kasutame arvudega tehte omadusi (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Teatavasti on kahe arvu korrutis null siis ja ainult siis, kui vähemalt üks arvudest on null. Eeltoodust järeldub, et x 1 − x 2 = 0 ja/või x 1 + x 2 = 0, mis on sama x 2 = x 1 ja/või x 2 = − x 1. Tekkis ilmne vastuolu, sest algul lepiti kokku, et võrrandi juur x 2 erineb x 1 Ja − x 1. Seega oleme tõestanud, et võrrandil pole muid juuri kui x = - c a ja x = - - c a.

Võtame kõik ülaltoodud argumendid kokku.

Definitsioon 6

Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + c = 0 on samaväärne võrrandiga x 2 = - c a, mis:

• ei ole juures - c a< 0 ;
• on kaks juurt x = - c a ja x = - - c a kui - c a > 0.

Toome näiteid võrrandite lahendamisest a x 2 + c = 0.

Näide 3

Antud ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0. Vaja on leida lahendus.

Lahendus

Liigume vaba liikme võrrandist paremale poole, siis saab võrrand kuju 9 x 2 = −7.
Jagame saadud võrrandi mõlemad pooled arvuga 9 , jõuame x 2 = - 7 9 . Paremal pool näeme miinusmärgiga arvu, mis tähendab: antud võrrandil pole juuri. Siis algne mittetäielik ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0 ei oma juuri.

Vastus: võrrand 9 x 2 + 7 = 0 pole juuri.

Näide 4

Võrrand tuleb lahendada − x 2 + 36 = 0.

Lahendus

Liigume 36 paremale poole: − x 2 = −36.
Jagame mõlemad osad arvuga − 1 , saame x 2 = 36. Paremal pool on positiivne arv, millest saame selle järeldada x = 36 või x = -36.
Eraldame juure ja kirjutame üles lõpptulemuse: mittetäielik ruutvõrrand − x 2 + 36 = 0 on kaks juurt x=6 või x = −6.

Vastus: x=6 või x = −6.

Võrrandi a x 2 +b x=0 lahendus

Analüüsime kolmandat tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid, mil c = 0. Mittetäieliku ruutvõrrandi lahenduse leidmiseks a x 2 + b x = 0, kasutame faktoriseerimise meetodit. Faktoriseerime võrrandi vasakul poolel oleva polünoomi, võttes sulgudest välja ühisteguri x. See samm võimaldab teisendada esialgse mittetäieliku ruutvõrrandi selle ekvivalendiks x (a x + b) = 0. Ja see võrrand on omakorda võrdväärne võrrandite kogumiga x = 0 Ja a x + b = 0. Võrrand a x + b = 0 lineaarne ja selle juur: x = − b a.

Definitsioon 7

Seega mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + b x = 0 on kaks juurt x = 0 Ja x = − b a.

Tugevdame materjali näitega.

Näide 5

On vaja leida lahendus võrrandile 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Lahendus

Me võtame selle välja x väljaspool sulgusid saame võrrandi x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . See võrrand on samaväärne võrranditega x = 0 ja 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nüüd peaksite lahendama saadud lineaarvõrrandi: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Kirjutage võrrandi lahend lühidalt järgmiselt:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või x = 3 3 7

Vastus: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahenduste leidmiseks on juurvalem:

Definitsioon 8

x = - b ± D 2 · a, kus D = b 2 − 4 a c– ruutvõrrandi nn diskriminant.

x = - b ± D 2 · a kirjutamine tähendab sisuliselt seda, et x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Kasulik oleks mõista, kuidas see valem tuletati ja kuidas seda rakendada.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Olgem ruutvõrrandi lahendamise ülesande ees a x 2 + b x + c = 0. Teeme mitu samaväärset teisendust:

• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, mis erineb nullist, saame järgmise ruutvõrrandi: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Valime saadud võrrandi vasakpoolses servas terve ruudu:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Pärast seda saab võrrand järgmise kuju: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Nüüd on võimalik kaks viimast liiget üle kanda paremale poole, muutes märgi vastupidiseks, mille järel saame: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Lõpuks teisendame viimase võrdsuse paremale küljele kirjutatud avaldise:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Seega jõuame võrrandini x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , mis on samaväärne algse võrrandiga a x 2 + b x + c = 0.

Selliste võrrandite lahendust uurisime eelmistes lõikudes (mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine). Juba saadud kogemus võimaldab teha järelduse võrrandi x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 juurte kohta:

• koos b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kui b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, on võrrand x + b 2 · a 2 = 0, siis x + b 2 · a = 0.

Siit on ilmne ainus juur x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 korral kehtib järgmine: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 või x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , mis on sama kui x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 või x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, st. võrrandil on kaks juurt.

Võib järeldada, et võrrandi x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 juurte olemasolu või puudumine (ja seega ka algne võrrand) sõltub avaldise b märgist 2 - 4 · a · c 4 · a 2 kirjutatud paremale küljele. Ja selle väljendi märgi annab lugeja märk (nimetaja 4 ja 2 on alati positiivne), see tähendab väljendi märk b 2 − 4 a c. See väljend b 2 − 4 a c nimi on antud - ruutvõrrandi diskriminant ja täht D on defineeritud selle tähistusena. Siin saate kirja panna diskriminandi olemuse - selle väärtuse ja märgi põhjal saavad nad järeldada, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui jah, siis kui palju on juure - üks või kaks.

Pöördume tagasi võrrandi x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 juurde. Kirjutame selle ümber, kasutades diskrimineerivat tähistust: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sõnastame oma järeldused uuesti:

Definitsioon 9

• juures D< 0 võrrandil pole tegelikke juuri;
• juures D = 0 võrrandil on üks juur x = - b 2 · a ;
• juures D > 0 võrrandil on kaks juurt: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 või x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Lähtuvalt radikaalide omadustest saab need juured kirjutada kujul: x = - b 2 · a + D 2 · a või - b 2 · a - D 2 · a. Ja kui me avame moodulid ja viime murrud ühise nimetajani, saame: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Niisiis, meie arutluse tulemuseks oli ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D arvutatakse valemiga D = b 2 − 4 a c.

Need valemid võimaldavad määrata mõlemad tegelikud juured, kui diskriminant on suurem kui null. Kui diskriminant on null, annab mõlema valemi rakendamine ruutvõrrandi ainsa lahendusena sama juure. Kui diskriminant on negatiivne, siis kui proovime kasutada ruutjuure valemit, seisame silmitsi vajadusega võtta negatiivse arvu ruutjuur, mis viib meid reaalarvude ulatusest välja. Negatiivse diskriminandi korral ei ole ruutvõrrandil reaalseid juuri, kuid võimalik on keerukate konjugeeritud juurte paar, mis määratakse kindlaks samade juurvalemitega, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Ruutvõrrandit on võimalik lahendada kohe juurvalemi abil, kuid üldjuhul tehakse seda siis, kui on vaja leida keerulisi juuri.

Enamikul juhtudel tähendab see tavaliselt ruutvõrrandi mitte keeruliste, vaid tegelike juurte otsimist. Siis on optimaalne enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist esmalt määrata diskriminant ja veenduda, et see pole negatiivne (muidu järeldame, et võrrandil pole reaalseid juuri) ja seejärel hakata arvutama juurte väärtus.

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab sõnastada ruutvõrrandi lahendamise algoritmi.

Definitsioon 10

Ruutvõrrandi lahendamiseks a x 2 + b x + c = 0, vajalik:

• valemi järgi D = b 2 − 4 a c leida diskrimineeriv väärtus;
• kohas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• kui D = 0, leidke võrrandi ainus juur, kasutades valemit x = - b 2 · a ;
• kui D > 0, määrake ruutvõrrandi kaks reaaljuurt valemiga x = - b ± D 2 · a.

Pange tähele, et kui diskriminant on null, võite kasutada valemit x = - b ± D 2 · a, see annab sama tulemuse kui valem x = - b 2 · a.

Vaatame näiteid.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Anname näidetele lahendused diskrimineerija erinevate väärtuste jaoks.

Näide 6

Peame leidma võrrandi juured x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lahendus

Paneme kirja ruutvõrrandi arvulised koefitsiendid: a = 1, b = 2 ja c = – 6. Edasi liigume algoritmi järgi, s.t. Alustame diskriminandi arvutamist, mille asemel asendame koefitsiendid a, b Ja c diskrimineerivasse valemisse: D = b 2 - 4 · a · c = 2 2 - 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Seega saame D > 0, mis tähendab, et algsel võrrandil on kaks reaaljuurt.
Nende leidmiseks kasutame juurvalemit x = - b ± D 2 · a ja asendades vastavad väärtused, saame: x = - 2 ± 28 2 · 1. Lihtsustame saadud avaldist, võttes teguri juurmärgist välja ja seejärel murdu vähendades:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 või x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 või x = - 1 - 7

Vastus: x = -1 + 7​​​​​, x = -1 -7.

Näide 7

Vaja lahendada ruutvõrrand − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Lahendus

Määratleme diskrimineerija: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Selle diskriminandi väärtusega on algsel võrrandil ainult üks juur, mis määratakse valemiga x = - b 2 · a.

x = -28 2 (-4) x = 3,5

Vastus: x = 3,5.

Näide 8

Võrrand tuleb lahendada 5 a 2 + 6 a + 2 = 0

Lahendus

Selle võrrandi arvulised koefitsiendid on: a = 5, b = 6 ja c = 2. Diskriminandi leidmiseks kasutame neid väärtusi: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Arvutatud diskriminant on negatiivne, seega pole algsel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Juhul, kui ülesandeks on näidata keerulisi juuri, rakendame juurvalemit, tehes kompleksarvudega toiminguid:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 või x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i või x = - 3 5 - 1 5 · i.

Vastus: pole tõelisi juuri; kompleksjuured on järgmised: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Kooli õppekavas ei ole standardset nõuet otsida keerulisi juuri, mistõttu kui lahenduse käigus määratakse diskrimineerija eitav, siis pannakse kohe kirja vastus, et pärisjuuri pole.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Juurvalem x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) võimaldab saada teise, kompaktsema valemi, mis võimaldab leida lahendusi ruutvõrranditele paariskoefitsiendiga x ( või koefitsiendiga kujul 2 · n, näiteks 2 3 või 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Näitame, kuidas see valem tuletatakse.

Olgem silmitsi ülesandega leida lahendus ruutvõrrandile a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Toimime vastavalt algoritmile: määrame diskriminandi D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ja seejärel kasutame juurvalemit:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Olgu avaldis n 2 − a · c tähistatud kui D 1 (mõnikord on see tähistatud D "). Siis saab teise koefitsiendiga 2 · n vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem järgmiselt:

x = - n ± D 1 a, kus D 1 = n 2 − a · c.

On lihtne näha, et D = 4 · D 1 või D 1 = D 4. Teisisõnu, D 1 on neljandik diskriminandist. Ilmselgelt on D 1 märk sama, mis D, mis tähendab, et D 1 märk võib olla ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumise indikaator.

Definitsioon 11

Seega, et leida lahendus ruutvõrrandile teise koefitsiendiga 2 n, on vaja:

• leida D 1 = n 2 − a · c ;
• kohas D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kui D 1 = 0, määrake võrrandi ainus juur, kasutades valemit x = - n a;
• D 1 > 0 korral määrake kaks reaaljuurt valemiga x = - n ± D 1 a.

Näide 9

On vaja lahendada ruutvõrrand 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Lahendus

Antud võrrandi teist kordajat saame esitada kui 2 · (− 3) . Seejärel kirjutame antud ruutvõrrandi ümber 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kus a = 5, n = − 3 ja c = − 32.

Arvutame diskriminandi neljanda osa: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Saadud väärtus on positiivne, mis tähendab, et võrrandil on kaks reaaljuurt. Määrame need vastava juurvalemi abil:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 või x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 või x = - 2

Arvutusi oleks võimalik teostada ruutvõrrandi juurte tavavalemiga, kuid sel juhul oleks lahendus tülikam.

Vastus: x = 3 1 5 või x = - 2 .

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord on võimalik algse võrrandi vormi optimeerida, mis lihtsustab juurte arvutamise protsessi.

Näiteks ruutvõrrandit 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 on selgelt mugavam lahendada kui 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Sagedamini teostatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine selle mõlema külje korrutamise või jagamise teel teatud arvuga. Näiteks näitasime ülalpool võrrandi 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 lihtsustatud esitust, mis saadakse mõlema poole jagamisel 100-ga.

Selline teisendus on võimalik, kui ruutvõrrandi koefitsiendid ei ole kaasalgarvud. Seejärel jagame tavaliselt võrrandi mõlemad pooled selle koefitsientide absoluutväärtuste suurima ühise jagajaga.

Näitena kasutame ruutvõrrandit 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Määrame selle koefitsientide absoluutväärtuste GCD: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Jagame algse ruutvõrrandi mõlemad pooled 6-ga ja saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Korrutades ruutvõrrandi mõlemad pooled, vabanete tavaliselt murdosa kordajatest. Sel juhul korrutatakse need selle koefitsientide nimetajate väikseima ühiskordsega. Näiteks kui ruutvõrrandi 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 iga osa korrutatakse LCM-iga (6, 3, 1) = 6, siis kirjutatakse see lihtsamal kujul x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Lõpuks märgime, et peaaegu alati vabaneme ruutvõrrandi esimese koefitsiendi miinusest, muutes võrrandi iga liikme märke, mis saadakse mõlema poole korrutamisel (või jagamisel) -1-ga. Näiteks ruutvõrrandist − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 saate minna selle lihtsustatud versioonile 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Seos juurte ja koefitsientide vahel

Meile juba tuntud ruutvõrrandite juurte valem x = - b ± D 2 · a väljendab võrrandi juuri oma arvuliste kordajate kaudu. Selle valemi põhjal on meil võimalus täpsustada muid sõltuvusi juurte ja koefitsientide vahel.

Kõige kuulsamad ja rakendatavamad valemid on Vieta teoreem:

x 1 + x 2 = - b a ja x 2 = c a.

Eelkõige on antud ruutvõrrandi puhul juurte summa teine ​​vastupidise märgiga koefitsient ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Näiteks ruutvõrrandi 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 kuju vaadates saab kohe kindlaks teha, et selle juurte summa on 7 3 ja juurte korrutis on 22 3.

Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel võib leida ka mitmeid muid seoseid. Näiteks ruutvõrrandi juurte ruutude summat saab väljendada koefitsientide kaudu:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Lihtsalt. Valemite ja selgete lihtsate reeglite järgi. Esimesel etapil

on vaja viia antud võrrand standardkujule, s.t. vormile:

Kui võrrand on teile juba antud kujul antud, ei pea te esimest etappi tegema. Kõige tähtsam on seda õigesti teha

määrata kõik koefitsiendid, A, b Ja c.

Ruutvõrrandi juurte leidmise valem.

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv . Nagu näete, otsime X-i

me kasutame ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid alates ruutvõrrand. Lihtsalt pange see ettevaatlikult sisse

väärtused a, b ja c Arvutame selle valemi järgi. Me asendame nende märgid!

Näiteks, võrrandis:

A =1; b = 3; c = -4.

Asendame väärtused ja kirjutame:

Näide on peaaegu lahendatud:

See on vastus.

Levinuimad vead on segiajamine märgiväärtustega a, b Ja Koos. Või õigemini asendamisega

negatiivsed väärtused juurte arvutamise valemisse. Siin tuleb appi valemi detailne salvestis

konkreetsete numbritega. Kui teil on probleeme arvutustega, tehke seda!

Oletame, et peame lahendama järgmise näite:

Siin a = -6; b = -5; c = -1

Kirjeldame kõike üksikasjalikult, hoolikalt, ilma kõigi märkide ja sulgudega midagi vahele jätmata:

Ruutvõrrandid näevad sageli veidi erinevad. Näiteks nii:

Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu.

Esimene kohtumine. Ära ole enne laisk ruutvõrrandi lahendamine viige see standardvormi.

Mida see tähendab?

Oletame, et pärast kõiki teisendusi saate järgmise võrrandi:

Ärge kiirustage juurvalemi kirjutamisega! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c.

Koostage näide õigesti. Esiteks X ruudus, siis ilma ruuduta, siis vaba termin. Nagu nii:

Vabane miinusest. Kuidas? Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:

Nüüd aga võid julgelt juurte valemi kirja panna, diskriminandi arvutada ja näite lahendamise lõpetada.

Otsustage ise. Nüüd peaksid teil olema juured 2 ja -1.

Vastuvõtt teine. Kontrollige juuri! Kõrval Vieta teoreem.

Antud ruutvõrrandite lahendamiseks, s.o. kui koefitsient

x 2 +bx+c=0,

Siisx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Täieliku ruutvõrrandi jaoks, milles a≠1:

x 2+bx+c=0,

jagage kogu võrrand arvuga V:

→ →

Kus x 1 Ja x 2 - võrrandi juured.

Vastuvõtt kolmas. Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutada

võrrand ühise nimetajaga.

Järeldus. Praktilised näpunäited:

1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi standardkujule ja koostame selle Õige.

2. Kui X ruudu ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle kõik korrutades

võrrandid -1 võrra.

3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, elimineerime murdarvud korrutades kogu võrrandi vastavaga

faktor.

4. Kui x ruudus on puhas, selle koefitsient on võrdne ühega, saab lahendust hõlpsasti kontrollida