Kuidas leida täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi pikkust. Kuidas leida jalad, kui hüpotenuus on teada
Kreeka keelest tõlgituna tähendab hüpotenuus "tihe". Õige arusaamise jaoks kujutage ette vibunööri, mis ühendab painduva pulga kahte otsa. Samamoodi on täisnurga kolmnurga pikim külg hüpotenuus, mis asub täisnurga vastas. See toimib kahe ülejäänud külje ühendajana, mida nimetatakse jalgadeks. Et teada saada, kui pikk see "nöör" on, peavad teil olema jalgade pikkused või kahe teravnurga väärtus. Neid andmeid kombineerides saate valemite abil soovitud väärtuse arvutada.
Kuidas leida hüpotenuus jalgade järgi
Lihtsaim viis arvutamiseks, kui tead kahe jala väärtust (tähistame ühte A, teist B). Appi tulevad Pythagoras ise ja tema maailmakuulus teoreem. Ta ütleb meile, et kui paneme jalgade pikkuse ruudusse ja liidame arvutatud väärtused, siis saame selle tulemusel teada hüpotenuusi pikkuse ruudus. Ülaltoodust järeldame: hüpotenuusi väärtuse leidmiseks on vaja eraldada ruutjuur jalgade ruutude kogusummast C \u003d √ (A² + B²). Näide: jalg A \u003d 10 cm, jalg B \u003d 20 cm. Hüpotenuus on 22,36 cm. Arvutamine on järgmine: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √203 √203.
Kuidas leida hüpotenuus läbi nurga
Hüpotenuusi pikkust läbi etteantud nurga on veidi keerulisem arvutada. Kui teate ühe kahest jalast (tähistagem A) ja selle vastas asuva nurga suurust (tähistagem α), siis leitakse hüpotenuusi suurus trigonomeetria abil ja täpsemalt siinus. Kõik, mida pead tegema, on jagada teadaoleva jala väärtus nurga siinusega. C=A/sin(a). Näide: jala pikkus on A = 30 cm, nurk selle vastas on 45 °, hüpotenuus on 42,25 cm. Arvutamine on järgmine: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.
Teine võimalus on koosinuse abil leida hüpotenuusi suurus. Seda kasutatakse siis, kui on teada jala suurus (tähistame B) ja sellega külgneva teravnurk (tähistame α). Kõik, mida pead tegema, on jagada jala väärtus nurga siinusega. С=В/cos(α). Näide: jala pikkus on B = 30 cm, nurk selle vastas on 45 °, hüpotenuus on 42,25 cm. Arvutamine on järgmine: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.
Kuidas leida võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus
Iga endast lugupidav õpilane teab, et kolmnurk on võrdhaarne, eeldusel, et kaks külge kolmest on üksteisega võrdsed. Neid külgi nimetatakse külgmisteks ja see, mis jääb, on alus. Kui üks nurkadest on 90 °, on teil võrdhaarne täisnurkne kolmnurk.
Hüpotenuusi leidmine sellises kolmnurgas on lihtne, kuna sellel on mitmeid omadusi, mis aitavad. Alusega külgnevad nurgad on sama väärtusega, nurkade summa on 180°. See tähendab, et täisnurk asub aluse vastas, mis tähendab, et alus on hüpotenuus, jalad on küljed.
Juhend
Seotud videod
Märge
Täisnurkse kolmnurga külgede arvutamisel võib selle tunnuste tundmine mängida:
1) Kui täisnurga jalg asub 30-kraadise nurga vastas, on see võrdne poole hüpotenuusiga;
2) hüpotenuus on alati pikem kui ükski jalg;
3) Kui ringjoon on ümbritsetud täisnurkse kolmnurga ümber, peab selle keskpunkt asuma hüpotenuusi keskel.
Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga külg, mis on 90-kraadise nurga vastas. Selle pikkuse arvutamiseks piisab, kui on teada kolmnurga ühe jala pikkus ja ühe teravnurga väärtus.
Juhend
Andke meile teada üks jalg ja sellega külgnev nurk. Kindluse mõttes olgu selleks jalg |AB| ja nurk α. Seejärel saame kasutada külgneva jala trigonomeetrilise koosinuse - koosinussuhte valemit. Need. meie tähistuses cos α = |AB| / |AC|. Siit saame hüpotenuusi pikkuse |AC| = |AB| / cosα.
Kui me teame jalga |BC| ja nurk α, siis kasutame nurga siinuse arvutamise valemit - nurga siinus võrdub vastasjala ja hüpotenuusi suhtega: sin α = |BC| / |AC|. Saame, et hüpotenuusi pikkus leitakse kui |AC| = |BC| / cosα.
Selguse huvides kaaluge näidet. Olgu jala pikkus |AB| = 15. Ja nurk α = 60°. Saame |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Mõelge, kuidas saate Pythagorase teoreemi abil oma tulemust kontrollida. Selleks peame arvutama teise jala pikkuse |BC|. Kasutades nurga puutuja valemit tg α = |BC| / |AC|, saame |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Järgmiseks rakendame Pythagorase teoreemi, saame 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Kontrollimine on tehtud.
Kasulikud nõuanded
Pärast hüpotenuusi arvutamist kontrollige, kas saadud väärtus vastab Pythagorase teoreemile.
Allikad:
- Algarvude tabel 1 kuni 10 000
Jalad nimetage täisnurkse kolmnurga kaks lühikest külge, mis moodustavad selle tipu ja mille väärtus on 90 °. Sellise kolmnurga kolmandat külge nimetatakse hüpotenuusiks. Kõik need kolmnurga küljed ja nurgad on omavahel seotud teatud seostega, mis võimaldavad arvutada jala pikkust, kui on teada mitmeid muid parameetreid.
Juhend
Kasutage Pythagorase teoreemi jala (A) jaoks, kui teate täisnurkse kolmnurga ülejäänud kahe külje (B ja C) pikkust. See teoreem väidab, et jalgade pikkuste ruudu summa võrdub hüpotenuusi ruuduga. Sellest järeldub, et kummagi jala pikkus on võrdne hüpotenuusi ja teise jala pikkuste ruutjuurega: A=√(C²-B²).
Kasutage teravnurga jaoks trigonomeetrilise otsefunktsiooni "siinus" määratlust, kui teate arvutatud haru vastas oleva nurga (α) väärtust ja hüpotenuusi pikkust (C). See ütleb, et selle teadaoleva siinus on soovitud jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhe. See tähendab, et soovitud jala pikkus võrdub hüpotenuusi pikkuse ja teadaoleva nurga siinuse korrutisega: A=C∗sin(α). Samade teadaolevate väärtuste korral saate kasutada kosekanti ja arvutada soovitud pikkus, jagades hüpotenuusi pikkuse teadaoleva nurga A=C/kosek(α) kosekandiga.
Kasutage otsese trigonomeetrilise koosinusfunktsiooni definitsiooni, kui lisaks hüpotenuusi pikkusele (C) on teada ka nõutavaga külgneva teravnurga (β) väärtus. Selle nurga koosinus on soovitud jala ja hüpotenuusi pikkuste suhe ning sellest saame järeldada, et jala pikkus võrdub hüpotenuusi pikkuse ja teadaoleva nurga koosinuse korrutisega: A=C∗cos(β). Võite kasutada sekantfunktsiooni definitsiooni ja arvutada soovitud väärtuse, jagades hüpotenuusi pikkuse teadaoleva nurga A=C/sek(β) sekaaniga.
Tuletage nõutav valem sarnasest trigonomeetrilise funktsiooni puutuja tuletise definitsioonist, kui lisaks soovitud haru (A) vastas asuvale teravnurga väärtusele (α) on teise haru (B) pikkus teatud. Soovitud jala vastas oleva nurga puutuja on selle jala pikkuse ja teise jala pikkuse suhe. See tähendab, et soovitud väärtus on võrdne teadaoleva haru pikkuse ja teadaoleva nurga puutuja korrutisega: A=B∗tg(α). Nendest samadest teadaolevatest suurustest saab kotangensfunktsiooni definitsiooni kasutades tuletada teise valemi. Sel juhul on jala pikkuse arvutamiseks vaja leida teadaoleva jala pikkuse ja teadaoleva nurga kotangensi suhe: A=B/ctg(α).
Seotud videod
Sõna "katet" tuli vene keelde kreeka keelest. Täpses tõlkes tähendab see loodijoont, st maapinnaga risti. Matemaatikas nimetatakse jalgu külgedeks, mis moodustavad täisnurkse kolmnurga täisnurga. Selle nurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks. Mõistet "jalg" kasutatakse ka arhitektuuris ja keevitustehnoloogias.
Joonistage täisnurkne kolmnurk ACB. Märgistage selle jalad a ja b ning hüpotenuus c. Täisnurkse kolmnurga kõik küljed ja nurgad on üksteisega määratletud. Ühe teravnurga vastas oleva jala suhet hüpotenuusiga nimetatakse selle nurga siinuseks. Selles kolmnurgas sinCAB=a/c. Koosinus on suhe külgneva jala hüpotenuusiga, st cosCAB=b/c. Pöördsuhteid nimetatakse sekantseks ja koosekandiks.
Selle nurga sekant saadakse hüpotenuusi jagamisel külgneva jalaga, st secCAB=c/b. Selgub koosinuse pöördväärtus, see tähendab, et seda saab väljendada valemiga secCAB=1/cosSAB.
Koosekant võrdub hüpotenuusi vastasjalaga jagatisega ja on siinuse pöördväärtus. Seda saab arvutada valemi cosecCAB=1/sinCAB abil
Mõlemad jalad on omavahel ühendatud ja kotangentsed. Sel juhul on puutuja külje a ja külje b suhe, st külgneva jala vastaspool. Seda suhet saab väljendada valemiga tgCAB=a/b. Seega on pöördsuhe kotangents: ctgCAB=b/a.
Hüpotenuusi ja mõlema jala suuruse suhte määras Vana-Kreeka Pythagoras. Teoreem, tema nimi, inimesed kasutavad siiani. See ütleb, et hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga, see tähendab c2 \u003d a2 + b2. Seega on iga jalg võrdne hüpotenuusi ja teise jala ruutude erinevuse ruutjuurega. Selle valemi saab kirjutada kujul b=√(c2-a2).
Jala pikkust saab väljendada ka tuttavate suhete kaudu. Siinuste ja koosinuste teoreemide järgi võrdub jalg hüpotenuusi ja ühe nendest funktsioonidest korrutisega. Saate seda väljendada ja või kotangenti. Jala a võib leida näiteks valemiga a \u003d b * tan CAB. Täpselt samamoodi, sõltuvalt antud puutujast või , määratakse teine jalg.
Arhitektuuris kasutatakse ka mõistet "jalg". Seda kantakse joonia pealinnale ja selle selja keskele. See tähendab antud juhul antud joonega risti.
Keevitustehnoloogias on "filee keevisõmbluse jalg". Nagu muudel juhtudel, on see lühim vahemaa. Siin räägime ühe keevitatava osa vahelisest pilust teise osa pinnal asuva õmbluse piirini.
Seotud videod
Allikad:
- mis on jalg ja hüpotenuus 2019. aastal
Selle probleemi lahendamiseks on kolm võimalust. Esimene on see, kui ülesande tingimustes on antud, et jalad on võrdsed (tegelikult on meil täisnurkne võrdhaarne kolmnurk). Teine - kui on antud mõni muu nurk (välja arvatud nurk 45%, siis on meil sama võrdhaarne kolmnurk ja pöördume tagasi esimese variandi juurde). Ja kolmas - kui üks jalg on teada. Vaatleme neid võimalusi üksikasjalikumalt.
Kuidas leida teadaoleva hüpotenuusiga võrdsed jalad
- esimene jalg (tähistagem tähega "a") on võrdne teise jalaga ((tähistagem tähega "b"): a=b;
- jalgade suurus;
Selles versioonis põhineb ülesande lahendus Pythagorase teoreemi kasutamisel. Seda rakendatakse täisnurksetele kolmnurkadele ja selle põhiversioon kõlab järgmiselt: "Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga." Kuna meie jalad on võrdsed, võime tähistada mõlemat jalga sama märgiga: a=b, mis tähendab - a=a.
- Asendame oma kokkulepped teoreemiga (arvestades ülaltoodut):
c^2=a^2+a^2, - Järgmisena lihtsustame valemit nii palju kui võimalik:
с^2=2*(a^2) – rühm,
c \u003d √ 2 * a - toome mõlemad võrrandi osad ruutjuure,
a=c/√2 - võtke soovitud välja. - Asendame selle hüpotenuusi väärtuse ja saame lahenduse:
a=x/√2
Kuidas leida jalad teadaoleva hüpotenuusi ja nurgaga
- hüpotenuus (tähistatakse tähega "c") on võrdne x cm: c=x;
- nurk β võrdub q-ga: β=q;
- jalgade suurus;
Selle probleemi lahendamiseks on vaja kasutada trigonomeetrilisi funktsioone. Kaks kõige populaarsemat neist on:
- siinusfunktsioon - soovitud nurga siinus võrdub vastasjala ja hüpotenuusi suhtega;
- koosinusfunktsioon - soovitud nurga koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega;
Võite kasutada mis tahes. Toon näite, kasutades esimest. Olgu jalad tähistatud sümbolitega "a" (nurga kõrval) ja "b" (nurga vastas). Vastavalt sellele jääb meie nurk jala "a" ja hüpotenuusi vahele.
- Asendame valitud sümbolid valemis:
sinβ = b/c - Me tuletame kateeti:
b=c*sinβ - Asendame oma andmed ja meil on üks jalg.
b=c*sinq
Teise jala saab leida teise trigonomeetrilise funktsiooni abil või minna kolmanda valiku juurde.
Kuidas leida üks jalg, kui hüpotenuus ja teine jalg on teada
- hüpotenuus (tähistatakse tähega "c") on võrdne x cm: c=x;
- jalg (tähistagem tähega "b") võrdub y-ga cm: b=y;
- teise jala suurus (tähistagem seda tähega "a");
Selles variandis on ülesande lahendus, nagu ka esimeses, Pythagorase teoreemi kasutamine.
- Asendades meie kokkulepped teoreemiga:
c^2=a^2+b^2, - Võtame välja vajaliku jala:
a^2=c^2-b^2 - Toome võrrandi mõlemad pooled ruutjuure:
a=√(c^2-b^2) - Asendame need väärtused ja meil on lahendus:
a=√(x^2-y^2)
“Aga nad ütlevad meile, et jalg on lühem kui hüpotenuus…” Need read kuulsast laulust, mis kõlas mängufilmis “Elektroonika seiklused”, on Eukleidese geomeetria seisukohalt tõepoolest õiged. Jalad on ju kaks külge, mis moodustavad nurga, mille kraadimõõt on 90 kraadi. Ja hüpotenuus on pikim "venitatud" külg, mis ühendab kahte jalga üksteisega risti ja asub õige nurga vastas. Sellepärast on jalgu piki hüpotenuusi võimalik leida ainult täisnurksest kolmnurgast ja kui jalg oleks hüpotenuusist pikem, siis sellist kolmnurka ei oleks.
Kuidas leida hüpotenuus Pythagorase teoreemi abil, kui mõlemad jalad on teada
Teoreem ütleb, et hüpotenuusi ruut pole midagi muud kui jalgade ruutude summa: x^2+y^2=z^2, kus:
- x - esimene jalg;
- y - teine jalg;
- z on hüpotenuus.
Kuid peate lihtsalt leidma hüpotenuusi, mitte selle ruudu. Selleks eemaldage juur.
Algoritm hüpotenuusi leidmiseks kahe teadaoleva jala järgi:
- Määrake endale, kus on jalad ja kus hüpotenuus.
- Esimene jalg ruut.
- Ruudu teine jalg.
- Lisage saadud väärtused.
- Võtke sammus 4 saadud arvu juur.
Kuidas leida hüpotenuus läbi siinuse, kui on teada jalg ja selle vastu asetsev teravnurk
Tuntud jala ja selle vastas asuva teravnurga suhe on võrdne hüpotenuusi väärtusega: a/sin A = c. See on siinuse määratluse tagajärg:
Vastasjala ja hüpotenuusi suhe: sin A \u003d a / c, kus:
- a - esimene jalg;
- A on jala vastas olev teravnurk;
- c on hüpotenuus.
Algoritm hüpotenuusi leidmiseks siinusteoreemi abil:
- Määrake enda jaoks teadaolev jalg ja selle vastasnurk.
- Jagage jalg vastasnurka.
- Võtke hüpotenuus.
Kuidas leida hüpotenuus koosinuse kaudu, kui on teada jalg ja sellega külgnev teravnurk
Teadaoleva jala ja terava hõlmatusnurga suhe on võrdne hüpotenuusi väärtusega a/cos B = c. See on koosinuse määratluse tagajärg: külgneva jala ja hüpotenuusi suhe: cos B \u003d a / s, kus:
- a - teine jalg;
- B on teise jalaga külgnev teravnurk;
- c on hüpotenuus.
Algoritm hüpotenuusi leidmiseks koosinusteoreemi abil:
- Määrake enda jaoks teadaolev jalg ja sellega külgnev nurk.
- Jagage jalg külgnevasse nurka.
- Võtke hüpotenuus.
Kuidas leida hüpotenuus "Egiptuse kolmnurga" abil
"Egiptuse kolmnurk" on numbrite kolmik, mida teades võite säästa aega hüpotenuusi või isegi mõne muu tundmatu jala leidmiseks. Kolmnurgal on selline nimi, kuna Egiptuses sümboliseerisid mõned numbrid jumalaid ja olid püramiidide ja muude erinevate ehitiste ehitamise aluseks.
- Esimene numbrite kolmik: 3-4-5. Jalad on siin võrdsed 3 ja 4. Siis on hüpotenuus tingimata võrdne 5-ga. Kontrollige: (9 + 16 = 25).
- Teine numbrite kolmik: 5-12-13. Ka siin on jalad 5 ja 12. Seetõttu on hüpotenuus 13. Kontrollige: (25+144=169).
Sellised numbrid aitavad isegi siis, kui need on jagatud või korrutatud mõne üksiku arvuga. Kui jalad on 3 ja 4, on hüpotenuus 5. Kui korrutada need arvud 2-ga, siis hüpotenuus korrutatakse 2-ga. Näiteks arvude kolmik 6-8-10 sobib ka Pythagorase teoreemiga. ja te ei saa hüpotenuusi arvutada, kui jätate need arvukolmikud meelde. 
Seega on teadaolevate jalgade abil hüpotenuusi leidmiseks neli võimalust. Parim variant on Pythagorase teoreem, kuid ei teeks paha meeles pidada ka "Egiptuse kolmnurga" moodustavaid arvude kolmikuid, sest selliste väärtustega kokku puutudes võite säästa palju aega.