Kuidas kontrollida gaussi meetodit. Vastupidine Gaussi meetod

Üks lihtsamaid viise lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks on meetod, mis põhineb determinantide ( Crameri reegel). Selle eeliseks on see, et see võimaldab lahenduse kohe salvestada, see on eriti mugav juhtudel, kui süsteemi koefitsiendid ei ole numbrid, vaid mõned parameetrid. Selle miinuseks on arvutuste kohmakus suure arvu võrrandite korral, pealegi ei ole Crameri reegel otseselt rakendatav süsteemidele, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute arvuga. Sellistel juhtudel kasutatakse seda tavaliselt Gaussi meetod.

Nimetatakse lineaarvõrrandisüsteeme, millel on sama lahenduskomplekt samaväärne. Ilmselgelt lineaarse süsteemi lahenduste hulk ei muutu, kui ühtki võrrandit vahetada või kui üks võrranditest korrutatakse mõne nullist erineva arvuga või kui üks võrrand liidetakse teisele.

Gaussi meetod (Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod) seisneb selles, et elementaarteisenduste abil taandatakse süsteem samaväärseks astmeliseks süsteemiks. Esiteks, 1. võrrandi abil x 1 kõigist süsteemi järgnevatest võrranditest. Seejärel, kasutades 2. võrrandit, elimineerime x 2 3. võrrandist ja kõik järgnevad võrrandid. Seda protsessi nimetatakse otsene Gaussi meetod, jätkub seni, kuni viimase võrrandi vasakule küljele jääb ainult üks tundmatu x n. Pärast seda valmistatakse Gaussi tagurpidi– lahendades viimase võrrandi, leiame x n; pärast seda, kasutades seda väärtust, arvutame eelviimasest võrrandist x n-1 jne. Viimasena leiame x 1 esimesest võrrandist.

Gaussi teisendusi on mugav teostada, tehes teisendusi mitte võrrandite endi, vaid nende koefitsientide maatriksitega. Mõelge maatriksile:

helistas laiendatud maatrikssüsteem, sest lisaks süsteemi põhimaatriksile sisaldab see vabaliikmete veergu. Gaussi meetod põhineb süsteemi põhimaatriksi viimisel kolmnurksele kujule (mitteruuduliste süsteemide puhul trapetsikujulisele kujule), kasutades süsteemi laiendatud maatriksi elementaarseid ridateisendusi (!).

Näide 5.1. Lahendage süsteem Gaussi meetodil:

Lahendus. Kirjutame välja süsteemi liitmaatriksi ja esimese rea abil seame ülejäänud elemendid nulliks:

saame nullid esimese veeru 2., 3. ja 4. real:

Nüüd peame kõik 2. rea all oleva teise veeru elemendid olema võrdsed nulliga. Selleks saab teise rea korrutada -4/7-ga ja liita 3. reale. Et aga mitte murdudega tegeleda, loome teise veeru 2. reale ühiku ja ainult

Nüüd peate kolmnurkmaatriksi saamiseks nullima 3. veeru neljanda rea ​​elemendi, selleks saate kolmanda rea ​​korrutada 8/54-ga ja lisada selle neljandale. Et aga mitte murdudega tegeleda, vahetame 3. ja 4. rea ning 3. ja 4. veeru ning alles pärast seda lähtestame määratud elemendi. Pange tähele, et veergude ümberpaigutamisel vahetatakse vastavad muutujad ja seda tuleb meeles pidada; muid elementaarteisendusi veergudega (liitmine ja arvuga korrutamine) teha ei saa!

Viimane lihtsustatud maatriks vastab võrrandisüsteemile, mis on samaväärne algse maatriksiga:

Siit, kasutades Gaussi meetodi pöördkäiku, leiame neljandast võrrandist x 3 = -1; kolmandast x 4 = -2, teisest x 2 = 2 ja esimesest võrrandist x 1 = 1. Maatriksi kujul kirjutatakse vastus kujul

Oleme käsitlenud juhtumit, kui süsteem on kindel, s.t. kui on ainult üks lahendus. Vaatame, mis juhtub, kui süsteem on ebaühtlane või ebamäärane.

Näide 5.2. Uurige süsteemi Gaussi meetodi abil:

Lahendus. Kirjutame välja ja teisendame süsteemi liitmaatriksi

Kirjutame lihtsustatud võrrandisüsteemi:

Siin viimases võrrandis selgus, et 0=4, s.o. vastuolu. Seetõttu pole süsteemil lahendust, s.t. ta on Sobimatu. à

Näide 5.3. Uurige ja lahendage süsteemi Gaussi meetodil:

Lahendus. Kirjutame välja ja teisendame süsteemi laiendatud maatriksi:

Teisenduste tulemusena saadi viimasel real ainult nullid. See tähendab, et võrrandite arv on vähenenud ühe võrra:

Seega jääb peale lihtsustusi kaks võrrandit ning neli tundmatut, s.o. kaks tundmatut "lisa". Olgu "üleliigne" või, nagu öeldakse, vabad muutujad, tahe x 3 ja x neli . Siis

Eeldusel x 3 = 2a ja x 4 = b, saame x 2 = 1–a ja x 1 = 2b–a; või maatriksi kujul

Sel viisil kirjutatud lahendust nimetatakse üldine, kuna, andes parameetrid a ja b erinevaid väärtusi, on võimalik kirjeldada kõiki süsteemi võimalikke lahendusi. a

Täna käsitleme Gaussi meetodit lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks. Mida need süsteemid endast kujutavad, saate lugeda eelmisest artiklist, mis oli pühendatud sama SLAE lahendamisele Crameri meetodil. Gaussi meetod ei nõua mingeid spetsiifilisi teadmisi, vaja on vaid hoolt ja järjepidevust. Hoolimata asjaolust, et matemaatika seisukohalt piisab selle rakendamiseks kooli ettevalmistusest, tekitab selle meetodi valdamine õpilastele sageli raskusi. Selles artiklis püüame need nulli viia!

Gaussi meetod

M Gaussi meetod on kõige universaalsem meetod SLAE lahendamiseks (erandiks on väga suured süsteemid). Erinevalt varem käsitletust ei sobi see mitte ainult süsteemidele, millel on unikaalne lahendus, vaid ka süsteemidele, millel on lõpmatu arv lahendusi. Siin on kolm võimalust.

1. Süsteemil on unikaalne lahendus (süsteemi põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga);
2. Süsteemil on lõpmatu arv lahendusi;
3. Lahendusi pole, süsteem on ebaühtlane.

Niisiis, meil on süsteem (olgu sellel üks lahendus) ja me lahendame selle Gaussi meetodil. Kuidas see töötab?

Gaussi meetod koosneb kahest etapist - otsene ja pöördvõrdeline.

Otsene Gaussi meetod

Esiteks kirjutame süsteemi liitmaatriksi. Selleks lisame põhimaatriksisse vabade liikmete veeru.

Gaussi meetodi olemus on selle maatriksi taandamine elementaarteisenduste abil astmeliseks (või, nagu öeldakse, kolmnurkseks) vormiks. Sellisel kujul peaksid maatriksi põhidiagonaali all (või üle selle) olema ainult nullid.

Mida saaks teha:

1. Saate maatriksi ridu ümber paigutada;
2. Kui maatriksis on identsed (või proportsionaalsed) read, saate need kõik peale ühe kustutada;
3. Saate stringi korrutada või jagada mis tahes arvuga (v.a null);
4. Nulljooned eemaldatakse;
5. Saate stringile lisada stringi, mis on korrutatud nullist erineva arvuga.

Vastupidine Gaussi meetod

Pärast süsteemi sellisel viisil muutmist on üks tundmatu xn saab teada ja on võimalik leida kõik ülejäänud tundmatud vastupidises järjekorras, asendades süsteemi võrrandites juba teadaolevad x-id kuni esimeseni välja.

Kui Internet on alati käepärast, saate võrrandisüsteemi lahendada Gaussi meetodil võrgus. Kõik, mida pead tegema, on sisestada koefitsiendid veebikalkulaatorisse. Kuid peate tunnistama, et palju meeldivam on tõdeda, et näidet ei lahendanud mitte arvutiprogramm, vaid teie enda aju.

Näide võrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

Ja nüüd - näide, et kõik saaks selgeks ja arusaadavaks. Olgu antud lineaarvõrrandisüsteem ja see tuleb lahendada Gaussi meetodil:

Kõigepealt kirjutame suurendatud maatriksi:

Vaatame nüüd ümberkujundamisi. Pidage meeles, et peame saavutama maatriksi kolmnurkse kuju. Korrutage esimene rida (3-ga). Korrutage 2. rida arvuga (-1). Lisame 2. rea esimesele ja saame:

Seejärel korrutage 3. rida arvuga (-1). Liidame 3. rea teisele:

Korrutage esimene rida (6-ga). Korrutage 2. rida arvuga (13). Lisame 2. rea esimesele:

Voila - süsteem viiakse sobivasse vormi. Jääb üle leida tundmatud:

Selle näite süsteemil on ainulaadne lahendus. Lõpmatu hulga lahendustega süsteemide lahendust käsitleme eraldi artiklis. Võib-olla algul ei teagi, kust maatriksiteisendustega alustada, kuid pärast asjakohast harjutamist saad asjale pihta ja klõpsad nagu pähklid Gaussi SLAE-d. Ja kui satute ootamatult kokku SLAU-ga, mis osutub liiga kõvaks pähkliks, võtke ühendust meie autoritega! saate jättes avalduse kirjavahetusse. Koos lahendame kõik probleemid!

See veebikalkulaator leiab Gaussi meetodil lahenduse lineaarvõrrandisüsteemile (SLE). Esitatakse üksikasjalik lahendus. Arvutamiseks valige muutujate arv ja võrrandite arv. Seejärel sisestage andmed lahtritesse ja klõpsake nuppu "Arvuta".

Numbri esitus:

Numbrite arv pärast kümnendkoha eraldajat

×

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmesisestusjuhend. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendarvudena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täis- või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

Gaussi meetod

Gaussi meetod on meetod üleminekuks algsest lineaarvõrrandisüsteemist (kasutades ekvivalentseid teisendusi) süsteemile, mida on lihtsam lahendada kui algset süsteemi.

Lineaarvõrrandisüsteemi samaväärsed teisendused on järgmised:

• kahe võrrandi vahetamine süsteemis,
• süsteemi mis tahes võrrandi korrutamine nullist erineva reaalarvuga,
• ühele võrrandile lisades teise võrrandi, mis on korrutatud suvalise arvuga.

Mõelge lineaarsete võrrandite süsteemile:

Kirjutame süsteemi (1) maatriksi kujul:

(3)

A nimetatakse süsteemi koefitsientide maatriksiks, b- piirangute parem pool, x− leiduvate muutujate vektor. Laske järjestada ( A)=lk.

Ekvivalentsed teisendused ei muuda süsteemi koefitsientmaatriksi ja liitmaatriksi auastet. Süsteemi lahenduste hulk ei muutu ka samaväärsete teisenduste korral. Gaussi meetodi olemus seisneb koefitsientide maatriksi toomises A diagonaaliks või astmeliseks.

Koostame süsteemi laiendatud maatriksi:

Järgmises etapis lähtestame kõik elemendi all oleva veeru 2 elemendid. Kui antud element on null, siis vahetatakse see rida reaga, mis asub antud rea all ja mille teises veerus on nullist erinev element. Järgmisena nullime kõik juhtelemendi all oleva veeru 2 elemendid a 22. Selleks lisage read 3, ... m mille rida 2 on korrutatud - a 32 /a 22 , ..., −a m2 / a 22 vastavalt. Protseduuri jätkates saame diagonaalse või astmelise kujuga maatriksi. Laske saadud suurendatud maatriksil välja näha järgmine:

Sest auasteA = auaste(A|b), siis lahenduste hulk (7) on ( n-p) on sort. Järelikult n-p tundmatuid saab suvaliselt valida. Ülejäänud tundmatud süsteemist (7) arvutatakse järgmiselt. Viimasest võrrandist, mida me väljendame x p läbi ülejäänud muutujad ja sisestada eelmistesse avaldistesse. Järgmisena väljendame eelviimasest võrrandist x p−1 läbi ülejäänud muutujate ja sisestada eelmistesse avaldistesse jne. Mõelge Gaussi meetodile konkreetsete näidete puhul.

Näited lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

Näide 1. Leidke Gaussi meetodi abil lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendus:

Tähistage a ij elemendid i-th rida ja j-s veerg.

aüksteist . Selleks lisage read 2,3 reaga 1, korrutatuna vastavalt -2/3, -1/2:

Maatriksikirje tüüp: kirves=b, kus

Tähistage a ij elemendid i-th rida ja j-s veerg.

Välista elemendi all oleva maatriksi 1. veeru elemendid aüksteist . Selleks lisage read 2,3 reaga 1, korrutatuna vastavalt -1/5, -6/5:

Jagame maatriksi iga rea ​​vastava juhtelemendiga (kui juhtiv element on olemas):

kus x 3 , x

Asendades ülemised avaldised alumistega, saame lahenduse.

Seejärel saab vektorlahendust esitada järgmiselt:

kus x 3 , x 4 on suvalised reaalarvud.

1. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem

1.1 Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi mõiste

Võrrandisüsteem on tingimus, mis seisneb mitme võrrandi samaaegses täitmises mitmes muutujas. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem (edaspidi SLAE), mis sisaldab m võrrandit ja n tundmatut, on süsteem järgmisel kujul:

kus arve a ij nimetatakse süsteemi koefitsientideks, siis arvud b i on vabaliikmed, aij ja b i(i=1,…, m; b=1,…, n) on mõned teadaolevad arvud ja x 1 ,…, x n- teadmata. Koefitsientide tähistuses aij esimene indeks i tähistab võrrandi arvu ja teine ​​indeks j on tundmatu arv, mille juures see koefitsient asub. Sõltuvalt arvu x n leidmisest. Sellist süsteemi on mugav kirjutada kompaktse maatriksi kujul: AX=B. Siin on A süsteemi koefitsientide maatriks, mida nimetatakse põhimaatriksiks;

Maatriksite A * X korrutis on defineeritud, kuna maatriksis A on sama palju veerge kui maatriksis X ridu (n tükki).

Süsteemi laiendatud maatriks on süsteemi maatriks A, mida täiendab vabade terminite veerg

1.2 Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendus

Võrrandisüsteemi lahendus on arvude (muutujate väärtuste) järjestatud kogum, kui muutujate asemel neid asendada, muutub süsteemi iga võrrand tõeliseks võrduseks.

Süsteemi lahenduseks on n tundmatute x1=c1, x2=c2,…, xn=cn väärtust, mille asendamisel muutuvad kõik süsteemi võrrandid tõelisteks võrdusteks. Süsteemi mis tahes lahenduse saab kirjutada maatriksveeruna

Võrrandisüsteemi nimetatakse järjekindlaks, kui sellel on vähemalt üks lahend, ja ebajärjekindlaks, kui sellel pole lahendeid.

Liitsüsteemi nimetatakse kindlaks, kui sellel on kordumatu lahendus, ja määramatuks, kui sellel on rohkem kui üks lahendus. Viimasel juhul nimetatakse iga selle lahendust süsteemi konkreetseks lahenduseks. Kõikide konkreetsete lahenduste hulka nimetatakse üldlahenduseks.

Süsteemi lahendamine tähendab välja selgitada, kas see on järjepidev või vastuoluline. Kui süsteem on ühilduv, leidke selle üldine lahendus.

Kahte süsteemi nimetatakse samaväärseks (ekvivalentseks), kui neil on sama üldlahendus. Teisisõnu, süsteemid on samaväärsed, kui iga lahendus neist ühele on lahendus teisele ja vastupidi.

Teisendust, mille rakendamine muudab süsteemi uueks, algse samaväärseks süsteemiks, nimetatakse ekvivalentseks või samaväärseks teisenduseks. Samaväärsete teisenduste näideteks võivad olla järgmised teisendused: süsteemi kahe võrrandi vahetamine, kahe tundmatu vahetamine kõigi võrrandite koefitsientidega, süsteemi mis tahes võrrandi mõlema osa korrutamine nullist erineva arvuga.

Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga:

Homogeenne süsteem on alati järjepidev, kuna x1=x2=x3=…=xn=0 on süsteemi lahendus. Seda lahendust nimetatakse nulliks või triviaalseks.

2. Gaussi eliminatsiooni meetod

2.1 Gaussi eliminatsioonimeetodi olemus

Klassikaline meetod lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks on tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod - Gaussi meetod(Seda nimetatakse ka Gaussi eliminatsioonimeetodiks). See on meetod muutujate järjestikuseks elimineerimiseks, kui elementaarteisenduste abil taandatakse võrrandisüsteem astmelise (või kolmnurkse) kujuga samaväärseks süsteemiks, millest kõik muud muutujad leitakse järjestikku, alustades viimased (arvu järgi) muutujad.

Gaussi lahendusprotsess koosneb kahest etapist: edasi- ja tagasiliigutustest.

1. Otsene käik.

Esimeses etapis viiakse läbi nn otseliikumine, kui elementaarsete teisenduste abil üle ridade viiakse süsteem astmelisele või kolmnurksele kujule või tehakse kindlaks, et süsteem on ebaühtlane. Nimelt valitakse maatriksi esimese veeru elementide hulgast nullist erinev üks, see viiakse ridade permuteerimise teel ülemisse asendisse ning ülejäänud ridadest lahutatakse pärast permutatsiooni saadud esimene rida, korrutades see väärtusega, mis on võrdne kõigi nende ridade esimese elemendi ja esimese rea esimese elemendi suhtega, nullides seega selle all oleva veeru.

Pärast näidatud teisenduste tegemist kriipsutatakse esimene rida ja esimene veerg mõtteliselt läbi ja jätkatakse, kuni jääb alles nullsuurusega maatriks. Kui mõnel esimese veeru elementide iteratsioonil ei leitud nullist erinevat ühte, minge järgmise veeru juurde ja tehke sarnane toiming.

Esimesel etapil (edasisõit) taandatakse süsteem astmeliseks (eriti kolmnurkseks).

Allolev süsteem on astmeline:

Koefitsiente aii nimetatakse süsteemi peamisteks (juht)elementideks.

Teisendame süsteemi, elimineerides tundmatu x1 kõigis võrrandites, välja arvatud esimene (kasutades süsteemi elementaarseid teisendusi). Selleks korrutage esimese võrrandi mõlemad pooled arvuga

Seda protsessi jätkates saame samaväärse süsteemi:

Seega hävitatakse esimeses etapis kõik esimese juhtelemendi a 11 all olevad koefitsiendid

Kui süsteemi astmelisele vormile redutseerimise käigus tekivad nullvõrrandid, s.o. võrdusi kujul 0=0, jäetakse need kõrvale. Kui on olemas vormi võrrand

See lõpetab Gaussi meetodi otsese kulgemise.

2. Tagurpidi liikumine.

Teises etapis viiakse läbi nn pöördliikumine, mille põhiolemus on väljendada kõik saadud põhimuutujad mittepõhilistena ja konstrueerida fundamentaalne lahenduste süsteem või kui kõik muutujad on põhimuutujad, siis väljendage arvuliselt lineaarvõrrandisüsteemi ainsat lahendust.

See protseduur algab viimase võrrandiga, millest vastav põhimuutuja väljendatakse (selles on ainult üks) ja asendatakse eelmiste võrranditega jne, minnes "astmeid" ülespoole.

Iga rida vastab täpselt ühele põhimuutujale, nii et igal sammul, välja arvatud viimane (ülemine), kordab olukord täpselt viimase rea juhtu.

Märkus: praktikas on mugavam töötada mitte süsteemiga, vaid selle laiendatud maatriksiga, tehes selle ridadel kõik elementaarsed teisendused. On mugav, kui koefitsient a11 on võrdne 1-ga (korrastage võrrandid ümber või jagage võrrandi mõlemad pooled a11-ga).

2.2 Näited SLAE lahendamisest Gaussi meetodil

Selles osas näitame kolme erineva näite abil, kuidas saab Gaussi meetodit kasutada SLAE lahendamiseks.

Näide 1. Lahendage 3. järku SLAE.

Seadke koefitsiendid nulli

Jätkame lineaarvõrrandisüsteemide kaalumist. See õppetund on sellel teemal kolmas. Kui teil on ebamäärane ettekujutus, mis on lineaarvõrrandisüsteem üldiselt, tunnete end nagu teekann, siis soovitan alustada järgmisel lehel põhitõdedest, õppetundi on kasulik uurida.

Gaussi meetod on lihtne! Miks? Kuulus saksa matemaatik Johann Carl Friedrich Gauss pälvis oma eluajal tunnustuse kui kõigi aegade suurimat matemaatikut, geeniust ja isegi hüüdnime "Matemaatika kuningas". Ja kõik geniaalne, nagu teate, on lihtne! Muide, raha sisse ei satu mitte ainult nõmedad, vaid ka geeniused - Gaussi portree lehvis 10 Saksa margasel arvel (enne euro kasutuselevõttu) ja Gauss naeratab sakslastele siiani salapäraselt tavalistelt postmarkidelt.

Gaussi meetod on selle poolest lihtne, et selle valdamiseks PIISAB VIIENDA KLASSI ÕPILASE TEADMISEST. Peab oskama liita ja korrutada! Pole juhus, et kooli matemaatika valikainete õpetajad kaaluvad sageli tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetodit. See on paradoksaalne, kuid Gaussi meetod tekitab õpilastele kõige suuremaid raskusi. Pole midagi üllatavat – see kõik puudutab metoodikat ja ma püüan ligipääsetaval kujul rääkida meetodi algoritmist.

Esiteks süstematiseerime veidi teadmisi lineaarvõrrandisüsteemide kohta. Lineaarvõrrandisüsteem võib:

1) omage ainulaadset lahendust. 2) teil on lõpmatult palju lahendusi. 3) Sul pole lahendusi (ole Sobimatu).

Gaussi meetod on kõige võimsam ja mitmekülgsem vahend lahenduse leidmiseks ükskõik milline lineaarvõrrandisüsteemid. Nagu me mäletame Crameri reegel ja maatriksmeetod ei sobi juhtudel, kui süsteemil on lõpmatult palju lahendusi või see on ebaühtlane. Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod igatahes vii meid vastuseni! Selles õppetükis käsitleme taas Gaussi meetodit juhtumi nr 1 jaoks (süsteemi ainus lahendus), artikkel on reserveeritud punktide nr 2-3 olukordade jaoks. Märgin, et meetodi algoritm ise töötab kõigil kolmel juhul ühtemoodi.

Tuleme õppetunnist tagasi kõige lihtsama süsteemi juurde Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi? ja lahendage see Gaussi meetodil.

Esimene samm on kirjutada laiendatud maatrikssüsteem: . Millise põhimõtte järgi koefitsiente registreeritakse, seda näevad vist kõik. Maatriksi sees olev vertikaalne joon ei oma matemaatilist tähendust – see on lihtsalt läbikriipsutamine disaini hõlbustamiseks.

Viide : Soovitan meeles pidada tingimustele Lineaaralgebra. Süsteemi maatriks on maatriks, mis koosneb ainult tundmatute koefitsientidest, selles näites on süsteemi maatriks: . Laiendatud süsteemimaatriks on sama süsteemi maatriks pluss vabade liikmete veerg, antud juhul: . Mis tahes maatriksit võib lühiduse huvides nimetada lihtsalt maatriksiks.

Pärast süsteemi laiendatud maatriksi kirjutamist on vaja sellega teha mõned toimingud, mida nimetatakse ka elementaarsed teisendused.

Seal on järgmised elementaarsed teisendused:

1) Stringid maatriksid saab ümber paigutama kohad. Näiteks vaadeldavas maatriksis saate esimese ja teise rea ohutult ümber korraldada:

2) Kui maatriksis on (või ilmusid) proportsionaalsed (erijuhtumina - identsed) read, siis järeldub sellest kustutada maatriksist kõik need read peale ühe. Mõelge näiteks maatriksile . Selles maatriksis on kolm viimast rida proportsionaalsed, nii et piisab, kui jätta neist ainult üks: .

3) Kui teisenduste käigus tekkis maatriksisse null rida, siis sellest ka järeldub kustutada. Ma muidugi ei tõmba, nulljoon on joon, milles ainult nullid.

4) Maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes numbri jaoks nullist erinev. Vaatleme näiteks maatriksit . Siin on soovitatav esimene rida jagada -3-ga ja teine ​​​​rida korrutada 2-ga: . See toiming on väga kasulik, kuna see lihtsustab maatriksi edasisi teisendusi.

5) See transformatsioon tekitab kõige rohkem raskusi, kuid tegelikult pole ka midagi keerulist. Maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist. Mõelge meie maatriksile praktilise näite põhjal: . Esiteks kirjeldan ümberkujundamist väga üksikasjalikult. Korrutage esimene rida -2-ga: ja teisele reale lisame esimese rea korrutatuna -2-ga: . Nüüd saab esimese rea "tagasi" jagada -2-ga: . Nagu näete, rida, mis on LISATUD LI – pole muutunud. On alati rida muudetakse, MILLELE LISATUD TÜ.

Praktikas nad muidugi nii detailselt ei maali, vaid kirjutavad lühemalt: Veel kord: teisele reale lisati esimene rida korrutatuna -2-ga. Rida korrutatakse tavaliselt suuliselt või mustandil, samal ajal kui arvutuste mõttekäik on umbes selline:

"Kirjutan maatriksi ümber ja kirjutan esimese rea ümber: »

Esimene veerg kõigepealt. Allpool pean saama nulli. Seetõttu korrutan ülaltoodud ühiku -2:-ga ja lisan esimese teise reale: 2 + (-2) = 0. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

"Nüüd teine ​​veerg. Üle -1 korda -2: . Esimese lisan teisele reale: 1 + 2 = 3. Kirjutan tulemuse teisele reale: »

"Ja kolmas veerg. Üle -5 korda -2: . Teisele reale lisan esimese rea: -7 + 10 = 3. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

Palun mõelge see näide hoolega läbi ja saage aru järjestikuse arvutuse algoritmist, kui sellest aru saate, siis on Gaussi meetod praktiliselt "taskus". Kuid loomulikult me ​​töötame selle ümberkujundamise kallal endiselt.

Elementaarteisendused võrrandisüsteemi lahendust ei muuda

! TÄHELEPANU: kaalutletud manipulatsioonid ei saa kasutada, kui sulle pakutakse ülesannet, kus maatriksid antakse "iseenesest". Näiteks "klassikaline" maatriksid mitte mingil juhul ei tohi maatriksite sees midagi ümber korraldada! Tuleme tagasi oma süsteemi juurde. Ta on praktiliselt tükkideks murtud.

Kirjutame süsteemi liitmaatriksi ja taandame elementaarteisenduste abil selle väärtuseks astmeline vaade:

(1) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Ja veel: miks me korrutame esimese rea -2-ga? Selleks, et saada allosas null, mis tähendab teises reas ühest muutujast vabanemist.

(2) Jagage teine ​​rida 3-ga.

Elementaarteisenduste eesmärk – teisendage maatriks astmeliseks vormiks: . Ülesande kujundamisel joonistavad nad lihtsa pliiatsiga otse välja “redeli” ja ringlevad ka “astmetel” asuvad numbrid. Mõiste "astmeline vaade" ise ei ole täiesti teoreetiline, teadus- ja õppekirjanduses nimetatakse seda sageli nn. trapetsikujuline vaade või kolmnurkne vaade.

Elementaarsete teisenduste tulemusena oleme saanud samaväärne algne võrrandisüsteem:

Nüüd tuleb süsteem "lahti keerata" vastupidises suunas - alt üles, seda protsessi nimetatakse vastupidine Gaussi meetod.

Alumises võrrandis on meil juba valmis tulemus: .

Mõelge süsteemi esimesele võrrandile ja asendage sellega juba teadaolev "y" väärtus:

Vaatleme kõige tavalisemat olukorda, kus kolme tundmatuga kolme lineaarvõrrandi süsteemi lahendamiseks on vaja Gaussi meetodit.

Näide 1

Lahendage võrrandisüsteem Gaussi meetodi abil:

Kirjutame süsteemi liitmaatriksi:

Nüüd joonistan kohe tulemuse, milleni lahenduse käigus jõuame: Ja kordan, meie eesmärk on viia maatriks astmelisele kujule, kasutades elementaarseid teisendusi. Kust alustada tegutsemist?

Kõigepealt vaadake ülemist vasakpoolset numbrit: Peaks peaaegu alati siin olema üksus. Üldjuhul sobivad ka -1 (ja vahel ka teised numbrid), aga kuidagi on traditsiooniliselt juhtunud, et sinna pannakse tavaliselt ühik. Kuidas üksust organiseerida? Vaatame esimest veergu - meil on valmis üksus! Esimene teisendus: vahetage esimene ja kolmas rida:

Nüüd jääb esimene rida muutumatuks kuni lahenduse lõpuni. Nüüd hästi.

Üleval vasakul asuv üksus on organiseeritud. Nüüd peate nendes kohtades saama nullid:

Nullid saadakse lihtsalt "raske" teisenduse abil. Esiteks tegeleme teise reaga (2, -1, 3, 13). Mida tuleb teha, et esikohale null saada? Vaja teisele reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -2-ga. Vaimselt või mustandi põhjal korrutame esimese rea -2-ga: (-2, -4, 2, -18). Ja me teostame järjekindlalt (taas vaimselt või mustandi alusel) lisamist, teisele reale lisame esimese rea, mis on juba korrutatud -2-ga:

Tulemus kirjutatakse teisele reale:

Samamoodi käsitleme kolmandat rida (3, 2, -5, -1). Esimesel positsioonil nulli saamiseks peate kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Vaimselt või mustandi põhjal korrutame esimese rea -3-ga: (-3, -6, 3, -27). Ja kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna -3-ga:

Tulemus kirjutatakse kolmandale reale:

Praktikas tehakse need toimingud tavaliselt suuliselt ja pannakse kirja ühes etapis:

Pole vaja kõike korraga ja samal ajal lugeda. Arvutuste järjekord ja tulemuste "sisestamine". järjekindel ja tavaliselt nii: kõigepealt kirjutame esimese rea ümber ja pahvime end vaikselt - JÄÄKSELT ja HOOLIKALT:
Ja arvutuste enda mõttelist kulgu olen juba eespool käsitlenud.

Selles näites on seda lihtne teha, jagame teise rea -5-ga (kuna kõik seal olevad arvud jaguvad 5-ga ilma jäägita). Samal ajal jagame kolmanda rea ​​-2-ga, sest mida väiksem arv, seda lihtsam on lahendus:

Elementaarsete teisenduste viimases etapis tuleb siin saada veel üks null:

Selle jaoks kolmandale reale lisame teise rea, korrutatuna -2-ga:
Proovige seda toimingut ise sõeluda - korrutage teine ​​rida mõtteliselt -2-ga ja viige läbi liitmine.

Viimane toiming on tulemuse soeng, jagage kolmas rida 3-ga.

Elementaarteisenduste tulemusena saadi ekvivalentne algne lineaarvõrrandisüsteem: Lahe.

Nüüd tuleb mängu Gaussi meetodi vastupidine kulg. Võrrandid "kerivad lahti" alt üles.

Kolmandas võrrandis on meil juba valmis tulemus:

Vaatame teist võrrandit: . "z" tähendus on juba teada, seega:

Ja lõpuks esimene võrrand: . "Y" ja "Z" on teada, asi on väike:

Vastus:

Nagu korduvalt märgitud, on iga võrrandisüsteemi puhul võimalik ja vajalik leitud lahendust kontrollida, õnneks pole see keeruline ja kiire.

Näide 2

See on näide ise lahendamiseks, viimistlusnäidis ja vastus õppetunni lõpus.

Tuleb märkida, et teie tegevussuund ei pruugi kattuda minu tegevusega, ja see on Gaussi meetodi tunnusjoon. Aga vastused peavad olema samad!

Näide 3

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Seal peaks meil üksus olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole üldse kedagi, nii et ridade ümberpaigutamise abil ei saa midagi lahendada. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil. Ma tegin seda: (1) Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna -1-ga. See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea -1-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine ​​rida ei muutunud.

Nüüd üleval vasakul "miinus üks", mis sobib meile suurepäraselt. Kes soovib saada +1, saab teha täiendava liigutuse: korrutage esimene rida -1-ga (muutke selle märki).

(2) Esimene rida, mis on korrutatud 5-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 3-ga, lisati kolmandale reale.

(3) Esimene rida korrutati -1-ga, põhimõtteliselt on see ilu jaoks. Ka kolmanda rea ​​märk muudeti ja viidi teisele kohale, seega oli meil teisel “sammul” soovitud üksus.

(4) 2-ga korrutatud teine ​​rida lisati kolmandale reale.

(5) Kolmas rida jagati 3-ga.

Halb märk, mis näitab arvutusviga (harvemini kirjaviga), on "halb" lõpptulemus. See tähendab, et kui me saame midagi sellist, nagu allpool, ja vastavalt , siis võib suure tõenäosusega väita, et elementaarteisenduste käigus tehti viga.

Laestame vastupidise liikumise, näidete kujundamisel ei kirjutata sageli süsteemi ennast ümber ja võrrandid on “otse antud maatriksist võetud”. Tuletan teile meelde, et vastupidine käik toimib alt üles. Jah, siin on kingitus:

Vastus: .

Näide 4

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

See on näide iseseisva lahenduse jaoks, see on mõnevõrra keerulisem. Pole hullu, kui keegi segadusse läheb. Täislahendus ja kujundusnäidis tunni lõpus. Teie lahendus võib minu omast erineda.

Viimases osas käsitleme mõnda Gaussi algoritmi omadust. Esimene omadus on see, et mõnikord puuduvad süsteemi võrrandites mõned muutujad, näiteks: Kuidas õigesti kirjutada süsteemi liitmaatriksit? Sellest hetkest rääkisin juba tunnis. Crameri reegel. Maatriksmeetod. Süsteemi laiendatud maatriksis paneme puuduvate muutujate asemele nullid: Muide, see on üsna lihtne näide, kuna esimeses veerus on juba üks null ja elementaarseid teisendusi tuleb teha vähem.

Teine omadus on see. Kõigis vaadeldavates näidetes panime “astmetele” kas –1 või +1. Kas võib olla muid numbreid? Mõnel juhul saavad nad. Mõelge süsteemile: .

Siin üleval vasakpoolsel "astmel" on meil kaksik. Kuid märkame tõsiasja, et kõik esimeses veerus olevad numbrid jaguvad 2-ga ilma jäägita - ja veel kahe ja kuuega. Ja meile sobib üleval vasakus olev deuce! Esimeses etapis peate tegema järgmised teisendused: lisage teisele reale esimene rida korrutatuna -1-ga; kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Seega saame esimeses veerus soovitud nullid.

Või veel üks hüpoteetiline näide: . Siin sobib meile ka teise “restangu” kolmik, kuna 12 (koht, kus peame nulli saama) jagub 3-ga ilma jäägita. On vaja läbi viia järgmine teisendus: kolmandale reale lisage teine ​​rida, korrutatuna -4-ga, mille tulemusena saadakse vajalik null.

Gaussi meetod on universaalne, kuid sellel on üks eripära. Saate julgelt õppida lahendama süsteeme teiste meetoditega (Crameri meetod, maatriksmeetod) sõna otseses mõttes esimesest korrast - seal on väga jäik algoritm. Kuid selleks, et tunda end Gaussi meetodis enesekindlalt, peaksite "käe täitma" ja lahendama vähemalt 5-10 kümmet süsteemi. Seetõttu võib alguses esineda segadust, arvutusvigu ning selles pole midagi ebatavalist ega traagilist.

Vihmane sügisilm akna taga .... Seega kõigile keerulisem näide iseseisvaks lahenduseks:

Näide 5

Lahendage Gaussi meetodil neljast lineaarsest võrrandist koosnev süsteem nelja tundmatuga.

Selline ülesanne praktikas pole nii haruldane. Arvan, et isegi teekann, kes on seda lehte põhjalikult uurinud, mõistab sellise süsteemi lahendamise algoritmi intuitiivselt. Põhimõtteliselt sama – lihtsalt rohkem tegevust.

Tunnis käsitletakse juhtumeid, kui süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindlaid) või on lahendusi lõpmatult palju. Ühildumatud süsteemid ja ühise lahendusega süsteemid. Seal saate parandada Gaussi meetodi vaadeldud algoritmi.

Soovin teile edu!

Lahendused ja vastused:

Näide 2: Lahendus : Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule.
Teostatud elementaarsed teisendused: (1) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga. Tähelepanu! Siin võib olla kiusatus lahutada esimene kolmandast reast, ma ei soovita kindlasti lahutada - eksimise oht suureneb oluliselt. Me lihtsalt foldime! (2) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Teine ja kolmas rida on vahetatud. Märge et "sammudel" oleme rahul mitte ainult ühega, vaid ka -1-ga, mis on veelgi mugavam. (3) Lisage kolmandale reale teine ​​rida, korrutatuna 5-ga. (4) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Kolmas rida jagati 14-ga.

Tagurpidi liikumine:

Vastus : .

Näide 4: Lahendus : Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi ja toome selle elementaarsete teisenduste abil astmelisele kujule:

Teostatud konversioonid: (1) Esimesele reale lisati teine ​​rida. Seega on soovitud üksus korraldatud vasakpoolses ülanurgas. (2) Esimene rida, mis on korrutatud 7-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 6-ga, lisati kolmandale reale.

Teise "sammuga" on kõik hullem , on selle "kandidaadid" numbrid 17 ja 23 ning vajame kas ühte või -1. Teisendused (3) ja (4) on suunatud soovitud ühiku saamiseks (3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga. (4) Teisele reale lisati kolmas rida, mis on korrutatud -3-ga. Teisel sammul vajalik asi kätte saadud . (5) Kolmandale reale lisati teine, korrutatuna 6-ga. (6) Teine rida korrutati -1-ga, kolmas rida jagati -83-ga.

Tagurpidi liikumine:

Vastus :

Näide 5: Lahendus : Kirjutame üles süsteemi maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Teostatud konversioonid: (1) Esimene ja teine ​​rida on vahetatud. (2) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati neljandale reale, korrutatuna -3-ga. (3) Kolmandale reale lisati teine ​​rida, mis on korrutatud 4-ga. Neljandale reale lisati teine ​​rida, mis on korrutatud -1-ga. (4) Teise rea märk on muudetud. Neljas rida jagati 3-ga ja asetati kolmanda rea ​​asemele. (5) Kolmas rida lisati neljandale reale, korrutatuna -5-ga.

Tagurpidi liikumine:

Vastus :